integral ders notları-öğretmenler için

Yrd. Doç. Dr.Coşkun YAKAR

122© GYTE Mühendislik bölümleri için hazõrlanmakta, her hakkõ saklõ olup izinsiz

çoğaltõlamaz ve dağõtõlamaz. ®

İNTEGRAL

Alan problemi : Verilen sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyonu kapalõ0 Ò+ß ,Óaralõğõ üzerinde tanõmlanmõş olsun. fonksiyonu ile aralõğõ ve ekseni0 Ò+ß ,Ó SB )üzerinde kalan alanõn bulunmasõ problemi :

Eğer eğrinin altõnda kalan bölgeyi ne kadar küçük parçaya bölersek, eğrininaltõnda kalan alana o kadar yakõnsarõz. Buna göre büyüdükçe, yapõlabilecek hata da8küçülüp ve en iyi sonuca (alana) yaklaşõlõr.

Örnek : C œ B Ò!ß "Ó SB )# fonksiyonu ile aralõğõ arasõnda ve ekseni üzerindekialanõ hesapayõnõz.

aralõğõnda alt aralõğa bölelim. Bu alt aralõklarÒ!ß "Ó 8

noktalarõnda görülür.! ß ß ß ß ÞÞÞ ß ß œ "" # $ 88 8 8 8 8

Ð8)"Ñ

Şimdi bu noktalar da yüksekliği olan dikdörtgenler oluşturmakC œ 0ÐBÑ œ B#

istiyoruz. Bu noktalar öncelikle sağdaki noktalar olsun. Buna göre yükseklikler sõrasõ ile

Ð Ñ ß Ð Ñ ß Ð Ñ ß ÞÞÞ ß " œ "" # $8 8 8

# # #

ve her dikdörtgenin tabanõ olduğundan, toplam alan : dikdörtgenin"8 8E 8

alanlarõ toplamõ

A8" " " # " $ " 88 8 8 8 8 8 8 8

# # # #œ Ð Ñ Þ Ð Ñ 5 Ð Ñ Þ Ð Ñ 5 Ð Ñ Þ Ð Ñ 5 ÞÞÞ 5 Ð Ñ Þ Ð Ñ

E œ ÒÐ Ñ 5 Ð Ñ 5 Ð Ñ 5 ÞÞÞ 5 Ð"Ñ Ó Þ Ð Ñ8" # $ "8 8 8 8

# # # #

dir.

Örneğin , ise, dört dikdörtgenin alanlarõ toplamõ (eğrinin altõnda kalan8 œ %alana yaklaşõmõ)

E œ ÒÐ Ñ 5 Ð Ñ 5 Ð Ñ 5 " Ó Þ œ œ !Þ%')(&%" # $ " "&8 8 8 % $#

# # # #

Buna göre aşağõdaki tabloyu verebiliriz.




Alan Bulmak İçin Anti - Türev Metodu :

C œ 0ÐBÑ Ò+ß BÓ SB )eğrisi ile kapalõ aralõğõ ve ekseni üzerinde kalan bölgeninalanõ olsun. Bunu 'den elde edersek olarak seçilirse aralõğõEÐBÑ E ÐBÑ B œ , Ò+ß ,Ów

üzerinde eğrisinin sõnõrlamõş olduğu alan bulunur. Buna göreC œ 0ÐBÑ

E ÐBÑ œw

2Ä!

EÐB52Ñ)EÐBÑ2lim

Sağ taraftaki limitin payõ 'dan 'ye kadar olan alandan 'dan 'e kadar+ B 5 2 + Bolan alanõn çõkarõlmasõ ile elde edilen alandõr.

Eğer noktasõnõ ile 'nõn orta noktasõ olarak kabul edersek, Bu alanlarõn- B B 5 2farkõ ; tabanõ , yüksekliği olan dikdörtgen tarafõndan yakõnsanabilir. Sonuç olarak2 0Ð-Ñ

EÐB52Ñ)EÐBÑ 0Ð-Ñ Þ 22 2œ œ 0Ð-Ñ

iken olur. fonksiyonu sürekli olduğundan, c 'e2 Ä ! - œ Ä B 0 Ä B#B52#

yaklaşõrken 'e yaklaşõr. Bu yüzden 0Ð-Ñ Ä 0ÐBÑ 0Ð-Ñ œ 0ÐBÑlim2Ä!

Sonuç olarak bulunur. Bu bizim arõyor olduğumuz sonuç olup ;E ÐBÑ œ 0ÐBÑw

EÐBÑ 0 Balan fonksiyonunun türevi fonksiyonunun noktasõndaki üst sõnõrda almõşolduğu değerdir.

Buna göre olup alanõn bulunmasõ problemi (anti - türevE ÐBÑ œ Bw #

fonksiyonunun bulunmasõ) türevi olan fonksiyonun bulunmasõndan başka bir şeyB#

değildir.

Onlardan biri dir. Fakat bu bir tane değildir. EÐBÑ œ Þ B EÐBÑ œ Þ B 5 -" "$ $

$ $

olan herhangi bir fonksiyon denklemini sağlar. Burada herhangi bir reelE ÐBÑ œ B -w #

sayõdõr.

olup bilinmeyenini bulmalõyõz. Eğer için aralõğõEÐBÑ œ Þ B 5 - - B œ ! Ò!ß BÓ"$

$

tek noktaya düşürse. Tek noktadaki alanõn sõfõr olduğu göz önünde tutulursa yani

yada EÐ!Ñ œ ! 5 G œ ! G œ !

Buna göre EÐBÑ œ Þ B 5 G"$

$

Bu ise parabolü ile aralõğõ üzerinde kalan alan formülüdür. C œ B Ò!ß BÓ Ò!ß "Ó#

aralõğõ üzerinde kalan alan ise için olup eğrinin altõnda kalanB œ " EÐ"Ñ EÐ"Ñ œ "$

bölgenin alanõnõn kesin değeridir. Bu değer tablo da verilen değerlerle aynenuyuşmaktadõr.




Örnek : (1) 0ÐBÑ œ 'B 5 # à Ò!ß #Ó E ß E ß ÞÞÞ ß E#" # "!

(2) 0ÐBÑ œ " ) B À Ò!ß "Ó E ß E ßE ß EÈ #" # $ %

(3) iseEÐBÑ œ Þ B Þ Ð" ) B Ñ 5 Þ =38 ÐBÑ" "# #

# )"È olduğunu gösteriniz. Anti - Türev metodunu kullanarakE ÐBÑ œ " ) Bw #È0ÐBÑ œ " ) B Ò!ß "ÓÈ # eğrisi ile aralõğõ arasõnda kalan bölgenin kesin alanõnõ bulunuz.

(4) eğrisi ile aralõğõ arasõnda kalanC œ / Ò!ß "ÓB

(5) eğrisi ile aralõğõ arasõnda kalan bölgenin alanõnõ anti-C œ =38B Ò!ß Ó1türev metodunu kullanarak bulunuz.

Belirsiz İntegral :

J 0 M fonksiyonuna fonksiyonunun aralõğõndaki antitürevi denir. Eğer..B ÒJ ÐBÑÓ œ 0ÐBÑ a B − M ise

J ÐBÑ œ Ò Þ B Ó œ B œ 0ÐBÑw $ #. ".B $

fonksiyonu fonksiyonununJÐBÑ œ B 0ÐBÑ œ B"$

$ #

bir anti - türevidir. Eğer 'e herhangi bir reel sabitM œ Ð )_ß 5_Ñ JÐBÑ œ Þ B"$

$

eklersek

fonksiyonu fonksiyonununJÐBÑ œ Þ B 5 G 0ÐBÑ œ B"$

$ #

aralõğõnda bir anti - türevidir. YaniM œ Ð )_ß 5_Ñ

. . ".B .B $

$ #ÒJ ÐBÑÓ œ Ò Þ B 5 -Ó œ B œ 0ÐBÑ

JÐBÑ œ Þ B 5 " ß J ÐBÑ œ Þ B 5 # ß J ÐBÑ œ Þ B 5 ß J ÐBÑ œ Þ B ) &" " " "$ $ $ $

$ $ $ $È 1

0ÐBÑ œ B 0ÐBÑ œ B# #fonksiyonlarõ fonksiyonununanti - türevleridir.

Not : 0 ÐBÑ œ #B 0ÐBÑ œ B JÐBÑ œ Þ B 5 -w # $"$fonksiyonunun türevi fonksiyonu ise

0ÐBÑ œ B# fonksiyonunun anti - türev fonksiyonudur.

Anti - türevin bulunmasõ işlemine anti - differansiyel alma yada integrasyon(integral alma) denir.

veya . ..B .BÒJ ÐBÑÓ œ 0ÐBÑ ÒJ ÐBÑ 5 -Ó œ 0ÐBÑ




veya ' 0ÐBÑ .B œ JÐBÑ 5 -

fonksiyonunun anti-türevi olduğundan 0ÐBÑ œ B JÐBÑ œ Þ B 5 - B .B œ# $ #" "$ $

'Þ B 5 -$

Burada integral işareti, integrand , integralin bağõmsõz değişkeni ' À 0ÐBÑ B '0ÐBÑ.B 0ÐBÑise integrasyonu denir.

Burada bağõmsõz değişkenin değiştirilmesi integrasyon operasyonunun sonucunudeğiştirmez. Yani :

veya ..> ÒJ Ð>Ñ 5 -Ó œ 0Ð>Ñ 0Ð>Ñ.> œ JÐ>Ñ 5 -'

Örnek : ..B

$ # # $ÒB Ó œ $B ß $B .B œ B 5 - ' . " "

.B # B # BÒ BÓ œ ß .B œ B 5 -È ÈÈ È'

..B

# #Ò>+8>Ó œ =/- > ß =/- > .> œ >+8> 5 -' . $ $

.> # #$Î# "Î# $Î#Ò? Ó œ Þ ? ß Þ ? .? œ ? 5 -

"# '

' '" Þ .B œ .B ß .B œ' '" .BB B# #

İntegral Formülleri :

(1) ..B ÒBÓ œ " ß .B œ B 5 -'

(2) . B B.B <5" <5"

< <Ò Ó œ B ß < Á ) " B .B œ ß < Á ) "<5" <5"5-'

(3) ..B Ò=38BÓ œ -9=B ß -9=B .B œ =38B 5 -'

(4) ..B Ò ) -9=BÓ œ =38B ß =38B .B œ ) -9=B 5 -'

(5) ..B

# #Ò>+8BÓ œ " 5 >+8 B œ =/- B

' 'Ð" 5 >+8 BÑ.B œ =/- B.B œ >+8B 5 -# #

(6) ..B

# #Ò ) -9>BÓ œ -=- B œ 5 Ð" 5 -9> BÑ ß




' '-=- B.B œ Ð" 5 -9>ÐBÑÑ.B œ ) -9>B 5 -#

(7) ..B Ò=/-BÓ œ =/-B Þ >+8B ß =/-BÞ >+8B .B œ =/-B 5 -'

(8) ..B Ò ) -=-BÓ œ -=-B Þ -9>B ß -=-B Þ -9>B .B œ ) -=-B 5 -'

(9) ..B

B B B BÒ/ Ó œ / ß / .B œ / 5 -' (10) . , ,

.B M8, M8,B BÒ Ó œ , ß , .B œ 5 -

B B' (11) . " "

.B B BÒM8BÓ œ ß .B œ M8B 5 -' (12) .

.B ÒB Þ M8B ) B Ó œ M8B ß M8B .B œ BM8B ) B 5 -' (13) .

.B# # #Ò ) B 5 >+8BÓ œ ) " 5 " 5 >+8 B œ >+8 B ß >+8 B.B'

œ ) .B 5 Ð" 5 >+8 BÑ œ ) B 5 >+8B 5 -' ' #

Ters Trigonometrik Fonksiyonlarõn İntegralleri :

(14) . " .? .?.B .B

)" )"")? ")?

Ò=38 ?Ó œ ß œ =38 Ð?Ñ 5 -È È# #'

(15) . " .? .?.B .B

)" )"")? ")?

Ò ) -9= ?Ó œ ß œ ) -9= Ð?Ñ 5 -È È# #'

(16) . " .? .?.B "5? .B "5?

)" )"Ò>+8 Ð?ÑÓ œ ß œ >+8 Ð?Ñ 5 -# #'

(17) . " .? .?.B "5? .B "5?

)" )"Ò ) -9> Ð?ÑÓ œ ß œ ) -9> Ð?Ñ 5 -# #'

(18) . " .? .?.B .B

)" )"±?± Þ ? )" ±?± ? )"

Ò=/- Ð?ÑÓ œ ß œ =/- Ð?Ñ 5 -È È# #' '

(19) . " .? .?.B .B

)" )"±?± ? )" ±?± ? )"

Ò ) -=- Ð?ÑÓ œ ß œ ) -=- Ð?Ñ 5 -È È# #'

Hiperbolik Fonksiyonlarõn İntegrali :

(20) . .?.B .BÒ=382?Ó œ -9=2? ß -9=2? .? œ =382? 5 -'

(21) . .?.B .BÒ-9=2?Ó œ =382? ß =382? .? œ -9=2? 5 -'

(22) . .?.B .B

# #Ò>+82?Ó œ =/-2 ? ß =/-2 ? .? œ >+82? 5 -'




(23) . .?.B .B

# #Ò-9>2?Ó œ ) -=-2 ? ß -=-2 ? .? œ -9>2 ? 5 -' (24) u . tanhu du . .?

.B .BÒ=/-2?Ó œ ) =/-2? Þ >+82? ß =/-2 œ ) =/-2? 5 -' (25) . .?

.B .BÒ-=-2?Ó œ ) -=-2? Þ -9>2? Þ ß -=-2? Þ -9>2? .? œ ) -=-2? 5 -'Ters Hiperbolik Fonksiyonlarõn İntegrali :

(26) . " .?.B .B

)""5?

Ò=382 ?Ó œ ßÈ #

' .?"5?

)" #È #œ =382 Ð?Ñ 5 - œ M8Ð? 5 ? 5 "Ñ 5 -È

(27) . " .? .?.B .B

)" )"? )" ? )"

Ò-9=2 ?Ó œ ß ? R " ß œ -9=2 Ð?Ñ 5 -È È# #'

œ M8Ð? 5 ? ) "Ñ 5 - ß ? R "È #

(28) . " .?.B ")? .B

)"Ò>+82 ?Ó œ ß ± ? ± S "#

(29) . " .?.B ")? .B

)"Ò-9>2 ?Ó œ ß ± ? ± R "#

' .? " "5?")? # ")?

)"

)"# œ œ Þ M8 ± ± 5 ->+82 Ð?Ñ 5 -ß ± ? ± S "

-9>2 Ð?Ñ 5 -ß ± ? ± R "š

(30) . " .?.B .B

)"? ")?

Ò=/-2 Ð?ÑÓ œ ) ß ! S ? S "È #

' "

? ")?)" "5 ")?

±?±È È#

#

.? œ ) =/-2 Ð?Ñ 5 - œ ) M8Ð Ñ 5 - ß ! S ± ? ± S "

(31) . " .?.B .B

)"±?± "5?

Ò-=- Ð?ÑÓ œ ) ß ? Á ! ßÈ #

' .?? "5?

"5 "5?±?±È È

#

#

œ ) -=-2 ± ? ± 5 - œ ) M8Ð Ñ 5 - ? Á !

(32) . ..B .B

#Ò-9=2 Ð?Ñ ) =382Ð?ÑÓ œ Ò"Ó œ ! ß ! Þ .B œ !' (33) ' .?

? )")" #È #

œ ) -9=2 Ð ) ?Ñ 5 - œ M8 ± ? 5 ? ) " ± 5 - ß ? S ) "ÈÖrnek : ' 'B .B œ 5 - ß < œ # ß B .B œ B 5 -ß < œ $# $ %B "

$ %

$

' '" B "B )(5" '

)( )'(

)(5"

.B œ B .B œ 5 - œ ) Þ B 5 - ß < œ ) (




' 'ÈB .B œ B .B œ 5 - œ Þ B 5 - ß < œ"Î# $Î#B # "5" $ #

"#5"

"#

' 'B .B œ œ M8 ± B ± 5 -)" .BB




Belirsiz İntegralin Özellikleri :

Eğer fonksiyonunun bir anti - türevinin diferansiyeli alõnõrsa tekrar 0ÐBÑ 0ÐBÑfonksiyonu elde edilir. Buna göre

..B Ò 0ÐBÑ.BÓ œ 0ÐBÑ'

Teorem : (i) ' '- 0ÐBÑ .B œ - 0ÐBÑ .B' (ii) ' ' 'Ò0ÐBÑ 5 1ÐBÑÓ .B œ 0ÐBÑ.B 5 1ÐBÑ.B

(iii)' ' 'Ò0ÐBÑ ) 1ÐBÑÓ .B œ 0ÐBÑ.B ) 1ÐBÑ.B

İspat :

(i) . ..B .BÒ - 0ÐBÑ.BÓ œ - 0ÐBÑ œ - Ò 0ÐBÑ.BÓ' '

(ii) ..B Ò 0ÐBÑ 5 1ÐBÑ.BÓ œ 0ÐBÑ 5 1ÐBÑ'

œ Ò 0ÐBÑÓ 5 Ò 1ÐBÑÓ œ 0ÐBÑ 5 1ÐBÑ. ..B .B' '

(iii) . ..B .BÒ Ð0 ) 1Ñ.BÓ œ 0 ) 1 œ Ò 0.B ) 1 .BÓ' ' '

Örnek : (a) ' '1 1 1-9=B .B œ -9=B.B œ Ð 5 =38BÑ 5 -

(b) ' ' 'ÐB 5 B Ñ .B œ B.B 5 B .B œ 5 B 5 -$ $ %B "# %

#

Not : ' Ò- 0 ÐBÑ 5 - 0 ÐBÑ 5 ÞÞÞ 5 - 0 ÐBÑÓ .B" " # # 8 8

œ - 0 ÐBÑ.B 5 - 0 ÐBÑ.B 5 ÞÞÞ 5 - 0 ÐBÑ.B" " # # 8 8' ' '

Örnek : ' Ð"!B 5 $B ) #B 5 B ) $Ñ .B( $ #

œ "! B .B 5 $ B .B ) # B .B 5 B.B ) $ .B' ' ' ' '( $ #

œ "! 5 B ) # 5 ) $B 5 -B $ B B) % $ #

%) $ #

Örnek : a) ' '=38B " =38B-9= B -9=B -9=B# .B œ Þ .B




œ =/-B Þ >+8B .B œ =/-B 5 -' b) ' ' 'Ð Ñ.> œ .> ) $ .>> )$> > >

> > >

$ ' $ '

' ' '

œ > .> ) $ .> œ ) $> 5 -' ')$ >)$5"

)$5"

œ ) ) $> 5 -"#>#

Örnek : Başlangõç Değer Problemi :

Başlangõç koşulu.C.B ! !œ 0ÐBÑ ß CÐB Ñ œ C

Başlangõç Değer Problemi :

.C.B œ -9=B ß CÐ!Ñ œ "

Diferansiyel Denklemin Çözümü

.C œ -9=B .B Ê CÐBÑ œ -9=B .B œ =38B 5 -' CÐ!Ñ œ " Ê =38Ð!Ñ 5 - œ " Ê - œ "

başlangõç değer probleminin çözümü elde edilir.CÐBÑ œ =38B 5 "

Alõştõrmalar :

1 - 4 Eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz.

1) . B.B

#"5B

Ò " 5 B Ó œÈ È #

2) ..B

B BÒBÞ / Ó œ ÐB 5 "Ñ Þ /

3) ' B Þ =38B .B œ =38B ) B-9=B 5 -

4) ' .B BÐ")B Ñ Ð")B Ñ# $Î# #œ 5 -

5 - 13 İntegrallerini hesaplayõnõz.

5) ' ÐB ) %B 5 B 5 $Ñ .B)#Î$ $Î# È




6) ' Ð# 5 C Ñ .C# #

7) ' Ð" 5 B ÑÐ# ) BÑ .B#

8) ' > )>>

# %

% .>

9) ' Ò ) # Þ / Ó .>"#>

>È 10) ' =/-B Ð=/-B 5 >+8BÑ.B

11) ' =/-BÐ>+8B 5 -9=BÑ.B

12) ' =38#B-9=B .B

13) ' Ð 5 Ñ ." #=38: :# :

Dönüşüm Kullanarak İntegral Alma :

Bileşke fonksiyona zincir kuralõ uygulanõp, daha sonra da anti - türev alõnõrsa ;integral formülü elde edilir. Buna göre fonksiyonu fonksiyonununanti türevi olup veJ 01ÐBÑ J Ð1ÐBÑÑ de türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere 'in türevi ; zincir kuralõnõuygulayarak

elde edilir ve integral integral. ..B .B

w wÒJ 91ÐBÑÓ œ ÒJ Ð1ÐBÑÑÓ œ J Ð1ÐBÑÑ Þ 1 ÐBÑ

formunda yazarsak

yada fonksiyonu fonksiyonunun anti -' J Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ .B œ JÐ1ÐBÑÑ 5 - J 0w w

türevi olduğundan

' 0 Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ .B œ JÐ1ÐBÑÑ 5 -w

Bizim amacõmõz için dönüşümü uygularsak ve olup? œ 1ÐBÑ œ 1 ÐBÑ.?.B

w

diferansiyel formu .? œ 1 ÐBÑ .Bw

Bu notasyon ile yukarõdaki integral formülü tekrar yazarsak' '0Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ .B œ 0 Ð?Ñ .? œ JÐ?Ñ 5 - w

formundaki integralin hesaplanmasõ işlemine ;' 0 Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ .Bw




şekline dönüşümü ile' 0Ð?Ñ .? œ JÐ?Ñ 5 - ? œ 1ÐBÑ ß .? œ 1 ÐBÑ .Bw

getirilmesine değişken dönüşümü denir.? )

Örnek : ' ÐB 5 "Ñ Þ #B .B# #! integralini hesaplayõnõz.

Eğer olarak seçilirse olup olur. Sonuç olarak? œ B 5 " œ #B .? œ #B.B# .?.B

verilen integral tekrar

' 'ÐB 5 "Ñ Þ#B .B œ ? .? œ 5 - œ 5 -# #! #! ?#" #"

ÐB 5"Ñ#" # #"

olarak elde edilir.

değişken değişimi metodunda 'nun seçimini kontrol edebiliriz , fakat ne? ) ?zaman tayin edildiğinde , 'nun elde edilmesinde hiç bir kontrolümüz yoktur.? .?? ) Bdönüşümü metodu uygulandõktan sonra integrand da 'e bağõmlõ hiç bir değişkenkalmamalõdõr. Eğer kalõrsa bu tip integraller genelde hesaplanamayan tiptenintegrallerdir.

Örnek : ? œ B 5 " ß .? œ #B.B# dönüşümü aşağõdaki integral içinçalõşmayacakdõr ;

' ÐB 5 "Ñ Þ #B Þ -9= B .B# #!

Çünkü bu dönüşümün sonucu integralde halen 'li terim içermektedir. YaniB

' 'ÐB 5 "Ñ Þ #B Þ -9=B .B œ ? Þ -9=B .?# #! #!

Genelde , 'nun seçimi içn çok kolay ve hõzlõ bir yöntem yoktur. Bazõ?problemlerde ise uygun seçilebilecek yoktur.?

Bu gibi durumlarda integral hesabõ için başka metodlar kullanõlmalõdõr ,bunlardan bazõlarõ daha sonraki kõsõmlarda incelenecektir. Uygun 'nun seçiminin?yapõlabilmesi deneyimle gelecek olup, fakat aşağõdaki metod bu seçimi ve integralinuygulamasõnõ biraz daha kolaylaştõracaktõr.

Dönüşümle İntegrasyon :

(i) için bir seçim yapõlõr, olsun.? ? œ 1ÐBÑ

(ii) hesaplanõr..?.B

wœ 1 ÐBÑ

(iii) ve dönüşümü integrand da yapõlõr.? œ 1ÐBÑ .? œ 1 ÐBÑ .Bw




Buraya kadar integral altõndaki ifade (integrand ve diferansiyel element ) 'ya?bağõmlõ olmak zorunda : hiç değişkeni içermemelidir. Eğer durum bu değilse, içinB ?başka bir seçim yapõn.

(iv) Sonuçdaki integrali hesaplayõnõz.(Eğer mümkünse)

(v) 'nun ile yer değiştirilmesi ile en son cevap cinsinden elde edilir.? 1ÐBÑ B

Ne zaman integrand bir bilinen fonksiyonun türevi olursa , o zaman en kolaydönüşüm uygulanabilir. Fakat bir sabit bağõmsõz değişkene eklenir yada çõkartõlõrsa buişleri biraz zorlaştõrabilir.

Örnek : ' =38ÐB 5 &Ñ .B Ð? œ B 5 & ß .? œ " Þ .BÑ

œ =38? .? œ ) -9=? 5 - œ ) -9=ÐB 5 &Ñ 5 -'

Örnek : ' ÐB ) &Ñ .B Ð? œ B ) & ß .? œ " Þ .BÑ&!

œ Ð?Ñ .? œ 5 - œ 5 -' &! ?&" &!

ÐB)&Ñ&" &"

Başka bir kolay dönüşümü ise integrand bilinen bir fonksiyonunun türevi? )olup ve bağõmsõz değişken bir sabit ile çarpõlmõş veya bölünmüş ise uygulanabilir.Aşağõdaki örnek bu durumu iki farklõ şekilde hesaplayarak gösterir.

Örnek : (i) integralin hesaplayõnõz.' -9=Ð$BÑ .B

' -9= Ð$BÑ .B Ð ? œ $B Ê .? œ $ Þ .B Ê œ .BÑ.?$

œ -9=? .? œ Þ -9=? .? œ Þ =38? 5 - œ Þ =38Ð$BÑ 5 -' '" " "$ $ $

(ii) ' '-9= Ð$BÑ .B œ $ Þ -9=Ð$BÑ .B"$

.Ð=38Ð$BÑÑ œ $-9=Ð$BÑ .B

œ .Ð=38Ð$BÑÑ œ Þ =38Ð$BÑ 5 -" "$ $'

(iii) ' ' '-9=Ð$BÑ .B œ -9=Ð$BÑ Þ $ .B œ Þ -9=? .?" "$ $

œ =38? 5 - œ Þ =38Ð$BÑ 5 -" "$ $

Örnek : ' =38 ÐBÑ Þ -9=ÐBÑ .B% integralini hesaplayõnõz.




Kabul edelim ki olsun , o zaman olup olur.? œ =38B œ -9=B .? œ -9=B .B.?.B

Buna göre

' '=38 ÐBÑ Þ -9=B .B œ ? .? œ Þ ? 5 - œ Þ Ð=38 BÑ 5 -% % & &" "& &

Örnek : ' /B

ÈBÈ .B integralini hesaplayõnõz.

dersek olup ? œ B œ #.? œ .BÈ .? " ".B # B BÈ È

' ' '/B

? ? ? BÈBÈ È.B œ / Þ # .? œ # / .? œ #/ 5 - œ #/ 5 -

Örnek : ' .BÐ Þ B)&Ñ"#

' integralini hesaplayõnõz.

Ð? œ B ) & Ê .? œ .B Ê #.? œ .BÑ Ê œ # ? .?" " #.?# # ?

)'' ''

œ # Þ 5 - œ ) Þ 5 - Ê œ ) Þ 5 -? # " .B # ")& & ? &Ð B)&Ñ Ð B)&Ñ

)&

& " "# #

' &'

Örnek : ' integralini bulunuz.Ð 5 =/- Ð BÑÑ .BM8BB

# 1

œ .B 5 =/- Ð BÑ .B' 'M8BB

# 1

Ð? œ M8B ß .? œ .B Ñ ß Ð@ œ B ß .@ œ .B Ê œ .BÑ" .@B 1 1 1

œ ?.? 5 =/- Ð@Ñ œ 5 >+8 @ 5 -' ' # .@ ? "#1 1

#

œ 5 >+8 Ð BÑ 5 -M8 ÐBÑ#

"#

1 1

Örnek : ' t integralini hesaplayõnõz.& 'È$ Ð% ) &> Ñ .>

Bir kaç yanlõş denemeden sonra okuyuculardan çoğu aşağõdaki dönüşümübulacaklardõr.

dersek veya olur. Buna göreA œ % ) &> œ ) $!> œ > .>' & &.A .A.> )$!

t' ' '& "Î$' .A )")$! $!

È È$ $Ð% ) &> Ñ .> œ A œ A .A

œ ) Þ 5 - œ ) ÞA 5 - œ ) Ð% ) &> Ñ 5 -" A % #$! "! &5"

'"$5"

"$

% %$ $




Örnek : ' ÐB ) "Ñ B ) " .B# È hesaplayõnõz.

olsun , ? œ B ) " .? œ .B Þ

B œ ? 5 " Ê B 5 " œ ? 5 # Ê ÐB 5 "Ñ œ Ð? 5 #Ñ œ ? 5 %? 5 %# # #

' 'ÐB 5 "Ñ B ) " .B œ Ð? 5 %? 5 %ÑÞ ? .?# #È È œ Ð? 5 %? 5 %Ñ ? .?' # "Î#

œ Ð? 5 %? 5 %? Ñ .?' ' &Î# $Î# "Î#

œ ? 5 ? 5 ? 5 -# ) )( & $

(Î# &Î# $Î#

œ ÐB ) "Ñ 5 ÐB ) "Ñ 5 ÐB ) "Ñ 5 -# ) )( & $

(Î# &Î# $Î#

Not : Her fonksiyonun integrali bilinen fonksiyonlar cinsinden değişken? )dönüşümü yapõlarak elde edilmeyebilir. Örneğin, aşağõdaki integralleri hesaplamak içinhiçbir değişken dönüşümü bulamayacaksõnõz.? )

' ' ' '=38ÐB Ñ.B ß =38Ð BÑ.B ß / .B ß -9=ÐB Ñ.B# B $È #

Aşağõdaki integralleri hesaplayõnõz.

1) 2) sin 3 ) ' ' 'B ÐB 5 "Ñ .B B Þ -9=B .B =38 B.B# "!! $ "BÈ È

4) 5) 6) ' ' '#B .B B$B 5" ")BÈ #

#

$ .B >+8Ð BÑ.B1

7) 8) ' '=/- Ð"!B 5 "Ñ.B -9=Ð Ñ =38Ð Ñ .# È 1: :1 :

9) ' 'Ð#B 5 $Ñ ÐB 5 $B 5 "Ñ "!Ñ .B# $Î( /"5/

B

#B

11) 12) 13)' ' '/ / )""5/ /

#B B

B #B.B .B >+8Ð Ñ=/- Ð Ñ.1) 1) )

14) 15) 16)' ' 'Ð# 5 -9=>Ñ =38> .> .B"! .BBM8B "5-9= Ð#BÑ

=38Ð%BÑ#

17) 18) e' 'B " 5 B.B =/-B Þ >+8B .B# =/-BÈ 19) 20) e' 'Ò=/-Ð-9=BÑÓ =38B .B " 5 / .># #> >È




21) e 22) 23)' ' '#> # *#> ."5

È/ 5 % .> BÐ# ) B Ñ .B: ::%

24) 25) e ' '" Þ B .BÐ$)#B Ñ 5"

=38Ð8BÑ# # Þ -9=Ð BÑ .B1

26) e 27) 28) ' ' ')$B $ / 5// )/

-=- Ð BÑ

B

% B )B

B )B

#

Þ B .B .B .BÈÈ

30) ' Ð / 5 5 Ò/ 5 ÓÑ .BÈ B " " "/ B

B/B BÈ È È

31) ' >+8 Ð&/ Ñ Þ =/- Ð&/ Ñ Þ / .B& &B # &B &B

32) ' =38Ð-9=Ð ÑÑ Þ =38Ð Ñ Þ Þ .1: : 1 : :# #

33) tan 34)' # "=/-BÐ% Ñ . .B) ) '

İntergallenebilirlik için Koşullar :

Şimdi integrallenebilirlikle ilgili bazõ temel sonuçalrõ ifade edeceğiz.

Tanõm : Bir fonksiyonu bir aralõğõnda sõnõrlõ denir eğer reel sayõsõ0 M a 7 R !için öyleki

yada )7 Ÿ 0ÐBÑ Ÿ 7 ± 0ÐBÑ ± Ÿ 7

geometrik olarak fonksiyonu aralõğõnda ilea B − M Þ 0ÐBÑ M œ Ò+ß ,Ó C œ )7C œ 7 arasõnda yayõlõr.

fonksiyonu aralõğõ üzerinde sõnõrlandõrõlmõş.0 M œ Ò+ß ,Ó

Aşağõdaki teorem , integrallenebilen fonksiyonlar ile ilgili üç önemli gerçeğiortaya koymaktadõr.

Teorem : 0 M œ Ò+ß ,Ó fonksiyonu kapalõ sonlu aralõk 'deki bütün noktalar içintanõmlanmõş olsun.

(i) aralõğõnda sürekli ise de integrallenebilir.0 Ò+ß ,Ó 0 Ò+ß ,Ó

(ii) fonksiyonunun aralõğõnda sonlu çoklukta süreksizlik noktasõ olsun ve 0 Ò+ß ,Ó 0fonksiyonu de sõnõrlõ ise de integrallenebilir.Ò+ß ,Ó 0 Ò+ß ,Ó




(iii) fonksiyonu 'de sõnõrlõ değilse , fonksiyonu 'de0 Ò+ß ,Ó 0 Ò+ß ,Óintegrallenemezdir.

fonksiyonu de sõnõrlõ değildir ve fonksiyonu de integrallenemez.0 Ò+ß ,Ó 0 Ò+ß ,Ó

Analizin Temel Teoremi (İntegral) :

0 Ò+ß ,Ó 0 fonksiyonunun negatif olmayan ve üzerinde sürekli bir fonksiyon olsun. 'nin üzerindeki alanõ fonksiyonu ile aralõğõ üzerindeki kalanÒ+ß ,Ó C œ 0ÐBÑ Ò+ß ,Óbölgenin alanõ ile fonksiyonu arasõndaki ilişki :0ÐBÑ

E ÐBÑ œ 0ÐBÑÒ+ß ,Ó E ÐBÑ œ 0ÐBÑ Êw w

olan fonksiyonu EÐ+Ñ œ ! EÐBÑ 0ÐBÑ fonksiyonunun anti-türevi olup ; FÐBÑ olsun. EÐ,Ñ œ E JÐBÑ œ EÐBÑ 5 - Ê

E œ 0ÐBÑ .B+,'

Buna göre JÐ,Ñ ) JÐ+Ñ œ ÐEÐ,Ñ 5 -Ñ ) ÐEÐ+Ñ 5 -Ñ

œ EÐ,Ñ ) EÐ+Ñ œ EÐ,Ñ ) !

œ EÐ,Ñ

œ E

œ 0ÐBÑ .B+,'

Burada yani 'in anti-türevi J ÐBÑ œ E ÐBÑ œ 0ÐBÑ 0ÐBÑ J ÐBÑw w




Teorem (Analizin Temel Teoremi (İntegral almanõn)) I :

0 Ò+ß ,Ó J 0 Ò+ß ,Ó fonksiyonu de sürekli bir fonksiyon ve 'de fonksiyonunun üzerindeki anti-türevi ise

'+

,0ÐBÑ .B JÐ,Ñ ) JÐ+Ñ =

İspat : B ß B ß ÞÞÞ ß B Ò+ß ,Ó" # 8)" ler arlõğõnda herhangi noktalar+ S B S B S ÞÞÞ S B S , Ò+ß ,Ó" # 8)" koşulunu sağlayan noktalar olsunlar. bu noktalar aralõğõnõ alt aralõğa (parçaya) bölerler. Bunlar olup8 Ò+ß B Ó ß ÒB ß B Ó ß ÞÞÞ ß ÒB ß ,Ó" " # 8)"

her aralõğõn uzunluğunu ile gösterelim. Hipotezden ˜B ß ˜B ß ÞÞÞ ß˜B J" # 8w

ÐBÑ œ 0ÐBÑ a B − Ò+ß ,Ó bu yüzden Ortalama Değer Teoreminden :

JÐB Ñ ) JÐ+Ñ œ J ÐB Ñ Þ ÐB ) +Ñ œ J ÐB Ñ Þ˜B" " "w ‡ w ‡

" "

olacak şekilde mevcuttur. Benzer olarakB − Ð+ß B Ñ‡" "

JÐB Ñ)JÐB ÑB )B

w ‡ w ‡# # ## " "

# "

# "œ J ÐB Ñ Ê JÐB Ñ ) JÐB Ñ œ J ÐB Ñ ) ÐB ) B Ñ

olacak şekilde B − ÐB ß B Ñ‡# " #

J ÐB Ñ ) JÐB Ñ œ JÐB Ñ Þ˜B# " ##‡

JÐB Ñ ) JÐB Ñ œ JÐB Ñ Þ˜B$ # $‡$

ã ã ã ã

JÐ,Ñ ) JÐB Ñ œ JÐB Ñ Þ˜B8)" 8‡8

Eğer taraf tarafa toplarsak

JÐ,Ñ ) JÐ+Ñ œ 0ÐB Ñ Þ˜B!5œ"

8‡5 5

Şimdi 'yi max olacak şekilde arttõralõm. fonksiyonu sürekli8 ˜B Ä ! 05

olduğundan eşitliğin sağ tarafõ sabit ve 'den bağõmsõz olduğundan limiti kendisine8eşittir ; Sonuç olarak

JÐ,Ñ ) JÐ+Ñ œ 0ÐB Ñ Þ˜B œ 0ÐBÑ .Blim7+B˜B Ä!5œ"

8‡5 5 +

,

5

! ' Burada ile gösterilir. Buna göre0Ð,Ñ ) 0Ð+Ñ œ JÐBÑ œ ÒJ ÐBÑ¹ “

+ +

, ,




'+

,

+

,

0ÐBÑ .B œ JÐBÑ“




Örnek : '"

#% &B " $"

& & &"

#

B .B œ œ Þ Ò# ) "Ó œ& “

Örnek : C œ * ) B Ò!ß $Ó# parabolü ile aralõğõ üzerindeki alanõ bulalõm.

'!

$# $ #"

$!

$

Ð* ) B Ñ .B œ Ò*B ) Þ B œ #( ) * œ ") ,<“Örnek : (i) eğrisi ile ve ekseni üzerinde kalanC œ =38B B œ ß B œ SB )1

# 1

bölgenin alanõnõ bulunuz.

(ii) integralini hesaplayõnõz.'1

1

#

$# =38B .B

(iii) eğrisi ile ve ekseni arasõndaC œ =38B B œ ß B œ SB )1 1# #

$

kalan bölgenin alanõnõ hesaplayõnõz.

(i) olupC œ =38B ! a B − Ò ß Ó1# 1

A='1 1

1

# #

$#1

1=38B.B œ ) -9=B œ ) Ò-9=Ð Ñ ) -9=Ð ÑÓ œ ) Ò ) " ) !Ó“ 1 #

œ ",<#

(ii) '1

1

1

1

#

$#

#

$#

=38B .B œ ) -9=B œ ) Ò-9=Ð Ñ ) -9=Ð ÑÓ“ $# #1 1

œ ) Ò 5 ! ) !Ó œ !

(iii)

E œ # =38ÐBÑ .B œ #Þ" œ # Ð,<Ñ œ =38B .B ) =38B .B' ' '1 1

1

# #

$#1 1

1#

Belirli İntegralle Belirsiz İntegral Arasõndaki İlişki :

' ' '0ÐBÑ.B œ JÐBÑ 5 - ß 0ÐBÑ .B œ Ò 0ÐBÑ .B Ó +

,

+,

'+

,

+,0ÐBÑ .B œ ÒJ ÐBÑ 5 -Ó œ ÒJ Ð,Ñ 5 -Ó ) ÒJ Ð+Ñ 5 -Ó

integral sabiti yok œ JÐ,Ñ ) JÐ+Ñ Ð Ñ

Örnek : ' '"

%

" "

% %# # "%$ $ $

$Î#È È’ “ “B .B œ B.B œ Þ B œ Ð) ) "Ñ œ




Örnek : '!

M8&#B #B" $

# #!

M8&

/ .B œ $ Þ Þ / œ Ò#& ) "Ó œ $'“Örnek : '

"

/"B

/

"$

$.B œ M8 ± B ± œ“

œ M8 ± / ± ) M8 ± " ± œ $$

Örnek : ' )"

)/"B$ .B

œ M8 ± B ± œ M8 ± ) " ± ) M8 ± ) / ± œ M8" ) M8/“)/

)"$ $

$

œ H ) $ œ ) $

Örnek : ' ""B /

"$

e$ $.B œ M8 ± B ± œ M8" ) M8/ œ ) $“

Örnek : ' 1

1 1

1$

$ $

$

- =/-B Þ >+8B .B œ =/-B œ =/-Ð Ñ ) =/-Ð ) Ñ“) $ $

1 1

Çift . Tek =Tek

œ =/-Ð Ñ ) =/-Ð Ñ œ !1 1$ $

Örnek : ')"

"" "B B )"

"

# .B Á ) œ Ò" ) Ð ) "ÑÓ œ ) #“ burada negatif olmayan bir fonksiyon olup negatif bir belirli integral0ÐBÑ œ "

B#

üretilemez. noktasõnda sürekli değildir.0ÐBÑ œ B œ !"B#

Örnek : 0ÐBÑ œ 0ÐBÑ .BB 5 "ß B #

"!B ) "&ß B S #š '#

!

%için bulunuz.

' ' ' ' '! ! # ! #

% # % # %#0ÐBÑ .B œ 0ÐBÑ .B 5 0ÐBÑ .B œ Ð"!B ) "&Ñ .B 5 ÐB 5 "Ñ .B

œ Ð&B ) "&BÑ 5 Ð 5 BÑ œ Ð#! ) $!Ñ 5 Ð% ) # Ñ ) ## $ $

! #

# %B "$ $“ “$

œ ) "! 5 &% œ %%

Örnek : ')&

&#± B ) * ± .B œ

œ ÐB ) *Ñ.B 5 ) ÐB ) *Ñ .B 5 ÐB ) *Ñ .B' ' ')& )$ $

)$ $ &# # #

œ # ) ÐB ) *Ñ .B 5 # ÐB ) *Ñ .B' '! $

$ &# #




œ Ð B ) *BÑ ) Ð B ) *BÑ 5 Ð ) *BÑ" " B$ $ $

$ $

)& )$ $

)$ $ &“ “ “$

œ Þ ÒÐ ) #(Ñ 5 "#&Ó ) *Ð ) $ 5 &Ñ ) ÒÐ Þ #( ) #(Ñ ) Ð ) 5 #(ÑÓ 5" " #($ $ $’

Ò ) %&Ó ) Ò* ) #(Ó"#&$ “

œ 5 $' 5 œ%% %% "*'$ $ $

Not : Belirli integral bağõmsõz değişkenin değiştirilmesinden bağõmsõzdõr.Bağõmsõz değişkenin değişmesi alanõ değiştirmez.

E œ 0ÐBÑ .B Ê E œ 0ÐBÑ .B œ 0Ð>Ñ .> É E œ 0Ð>Ñ .>' ' ' '+ + + +

, , , ,

Örnek : ' 'B .B œ 5 - ß > .> œ 5 -# #B >$ $

$ $

' '" "

# ## #B ( > (

$ $ $ $" "

# #

B .B œ œ ß > .> œ œ$ $“ “

' '+ +

, ,# #B .B œ > .>

İntegralin Ortalama Değer Teoremi :

0 Ò+ß ,Ó 7 Qfonksiyonu üzerinde sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon , ve ise0ÐBÑ Ò+ß ,Ófonksiyonunun üzerinde sõrasõ ile minimum ve maksimum değerleri olsunlar.

E œ 0ÐBÑ .B E ÐBÑ œ 0ÐBÑ'+

,w

0ÐB Ñ Þ Ò, ) +Ó B − Ò+ß ,Ó‡ ‡

J ÐB Ñ œ B − Ò+ß ,Ów ‡ ‡JÐ,Ñ)JÐ+Ñ,)+

0 ÐB ÑÐ+ ) ,Ñ œ 0ÐBÑ .B‡+

,' Burada eğrinin altõnda kalan alan boyutlaõ ve öyleki Ð, ) +Ñ 0ÐB Ñ B − Ò+ß ,Ó‡ ‡

olan dikdörtgenin alanõndan başka birşey değildir.

Teorem (İntegral İçin Ortalama Değer Teoremi):




0 Ò+ß ,Ó 0ÐBÑ .B œ 0ÐB Ñüzerinde sürekli bir fonksiyon olsun, buna göre '+

,‡

Ð, ) +Ñ B − Ò+ß ,Óolacak şekilde en az bir sayõsõ vardõr.‡

İspat : Kabul edelim ki 'in üzerindeki maximum değeri ve minimum değeri 0 Ò+ß ,Ó Q 7olsun. Bu yüzden içina B − Ò+ß ,Ó

ve 7 Ÿ 0ÐBÑ Ÿ Q 7.B Ÿ 0ÐBÑ .B Ÿ Q .B' ' '+ + +

, , ,

yani veya7Ð, ) +Ñ Ÿ 0ÐBÑ .B Ÿ 7Ð, ) +Ñ'+

,

7 Ÿ 0ÐBÑ .B Ÿ Q",)+ +

,' Bu ise ifadesi ile arasõnda bir sayõdõr. Buna göre Ortalama"

,)+ +

,' 0ÐBÑ .B 7 Q

Değer Teoreminden fonksiyonu bu değerini de alõr. Bu ise0ÐBÑ B − Ò+ß ,Ó‡

yada 0 ÐB Ñ œ 0ÐBÑ .B Ð, ) +Ñ Þ 0ÐB Ñ œ 0ÐBÑ .B‡ ‡",)+ + +

, ,' 'Örnek : 0ÐBÑ œ B Ò!ß $Ó# fonksiyonu aralõğõnda tanõmlanmõş olsun. Buna göre adõgeçen I.O.D.T 'den bulunuz.B − Ò!ß $Ó‡

0ÐB Ñ œ 0ÐBÑ .B œ Þ B .B œ Þ Þ $ œ $‡ # $" " " ",)+ $)! $ $+ !

, $' ' ÐB Ñ œ $ Ê B œ … $ ß ) $ Â Ò!ß $Ó‡ # ‡ È Èolduğundan aradõğõmõz B œ $ − Ò!ß $Ó‡ È 0 ÐB Ñ œ Ê #B œ œ $ Ê B œw

! ! !0Ð$Ñ)0Ð!Ñ

$)! $ #*)! $

Analizin Temel Teoremi (İntegral Almanõn) :

EÐBÑ 0ÐBÑ Ò+ß BÓfonksiyonu fonksiyonu ile aralõğõ üzerinde kalan bölgenin alanõolarak tanõmlamõştõk. E ÐBÑ œ 0ÐBÑw

EÐBÑ œ 0Ð> Ñ.> Ê ÒEÐBÑÓ œ E ÐBÑ œ 0ÐBÑ'+

B..B

w

..B +

BÒ 0Ð>Ñ .>Ó œ 0ÐBÑ'

Aşağõdaki teorem bunun daha genel bir sonucu olacak eğer fonksiyonu negatif0ise de doğrudur.




Teorem (A.T.T.II)(I.A.T.T.II):

f fonksiyonu üzerinde sürekli bir fonksiyon ise 'nin anti-türevi vardõr. ÖzelM 0olarak herhangi bir nokta ise+ − M

JÐBÑ œ 0ÐBÑ .B'+

B

'nin anti - türevi : yada0 J ÐBÑ œ 0ÐBÑ a B − Mw

..B +

BÒ 0ÐBÑ .B Ó œ 0ÐBÑ'

İspat : J ÐBÑ œ œ Ò 0Ð>Ñ .> ) 0Ð>Ñ .>Ów

2Ä! 2Ä!

JÐB52Ñ)JÐBÑ2 2

"+ +

B52 Blim lim ' '

I.O.D.T uygularsakœ Ò 0Ð>Ñ .> 5 0Ð>Ñ .> Ó œ 0Ð>Ñ .>lim lim2Ä! 2Ä!

" "2 2+ B B

B52 + B52' ' ' J ÐBÑ œ Ò0Ð> Ñ Þ 2Ó œ 0 Ð> Ñ > − ÒBß B 5 2Ów ‡ ‡ ‡

2Ä!

"2lim

için œ 0ÐBÑ Ð2 Ä ! > œ B Ñ‡

Örnek : ..B "

B% %Ò > .> Ó œ B ß' gerçekten

. " . " ".B & .B & &

& & %B

"Ò Þ > Ó œ Ò B ) Ó œ B“

Örnek : . =38> =38B.B > B"

BÒ Ó .> œ B − Ð!ß 5_Ñ'

Not : ' 0 Ð>Ñ .> œ 0ÐBÑ ) 0Ð+Ñw

Diferansiyel alma ile İntegral alma birbirinin tersi olan işlemlerdir.

..B +

BÒ 0Ð>Ñ .> Ó œ 0ÐBÑ'

Örnekler :

. ..B .BB " +

! B 2+> "Î# "Î#Ò / .>Ó ß Ò M8> .> Ó ß Ð+ ) B Ñ.B' ' '#

. > ..B -9=> .?B !

! ? #Ò .> Ó ß Ò ± B ± .B Ó ß ± #B ) $ ± .B' ' '




' ' '! )" )"

# "B

$%1

± -9=B ± .Bß # 5 ± B ± .Bß ± / ) " ± .BÈBelirli İntegralin Dönüşüm İle Hesaplanmasõ :

Metod 1 : ' '+

,w w

Bœ+

Bœ,

0Ð1ÐBÑÑ Þ 1 ÐBÑ .B œ Ò 0Ð1ÐBÑÑ Þ 1 ÐBÑ .B Ó“Metod 2 : ' '

Bœ+

, 1Ð,Ñw

?œ1Ð+Ñ0Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ .B œ 0Ð?Ñ .?

? œ 1ÐBÑ Ê .? œ 1 ÐBÑ .Bw

B œ + Ê ? œ 1Ð+ÑB œ , Ê ? œ 1Ð,Ñ

Örnek : Aşağõdaki integrali iki metodu kullanarak hesaplayõnõz.

'!

"# $ %B ÐB 5 "Ñ .B

Metod 1 : ? œ B 5 " Ê .? œ $B .B Ê œ B .B$ # #.?$

' ' 'B ÐB 5 "Ñ .B œ ? œ ? .? œ ? 5 -# $ % % % &.? " "$ $ "&

œ ÐB 5 "Ñ 5 -""&

# &

' '!

"# $ % # $ %

Bœ! Bœ!

" "ÐB 5"Ñ

"&B ÐB 5 "Ñ .B œ Ò B ÐB 5 "Ñ .BÓ œ Ò Ó“ “# &

œ Ò$# ) "Ó œ" $""& "&

Metod 2 : ' 'Bœ! ?œ"

" ## $ % %" " ? "

$ $ & "&

#

?œ"B ÐB 5 "Ñ .B œ ? .? œ œ Ð$# ) "Ñ

& “B œ ! Ê ? œ "B œ " Ê ? œ # œ $"

"&

Teorem : 1 Ò+ß ,Ó 0w fonksiyonu aralõğõnda sürekli ve fonksiyonu sürekli aynõzamanda aralõğõnda anti-türeve sahip iseÒ+ß ,Ó

' '+ 1Ð+Ñ

, 1Ð,Ñw0Ð1ÐBÑÑ Þ 1 ÐBÑ .B œ 0Ð?Ñ .?

Örnek : (i) '1%

%

1 =38Ð%BÑ .B"5-9= Ð#BÑ

#Ð? œ -9= Ð#BÑ Ê .? œ ) =38Ð%BÑ#.BÑ

Ê B œ ß B œ1% 1




œ ) Þ œ 5 -'?œ!

"" 5.?# "5? )#

+<->+8Ð?Ñ

?œ!

"

# “ œ ) Ò ) !Ó œ )"

# % )1 1

(ii)

Metod 1 :

M œ œ ) M8Ð" ) BÑ œ ) M8Ð" ) Ñ 5 M8Ð"Ñ'!

$Î&.B $")B &

Bœ!

$Î&“œ M8Ð Ñ œ M8Ð&Ñ ) M8Ð#Ñ&

#

? œ " ) B Ê .? œ ) .B ß B œ ! Ê ? œ " ß B œ Ê ? œ " ) œ$ $ #& & &

Metod 2 :

M œ ) œ œ M8Ð?Ñ œ M8Ð"Ñ ) M8Ð Ñ œ M8Ð Ñ' '" #Î&

#Î& ".? .? # &? ? & #?œ#Î&

"“Örnek : M œ .B œ ? œ + ) B'

!

+ 0ÐBÑ0ÐBÑ50Ð+)BÑ #

+ ve

olduğunu gösteriniz. '!

+ 0Ð+)BÑ0Ð+)BÑ50ÐBÑ #

+.B œ

.? œ ) .B ß B œ + ) ? B œ ! Ê ? œ + B œ + Ê ? œ !

M œ .? œ ) Ð Ñ ) .?' '+ !

! +0Ð+)?Ñ 0Ð+)?Ñ50Ð?Ñ)0Ð?Ñ0Ð+)?Ñ50Ð?Ñ 0Ð+)?Ñ50Ð?Ñ

œ Ð ) " 5 Ñ .? œ 5 Ð" ) Ñ .?' '+ !

! +0Ð?Ñ 0Ð?Ñ0Ð?Ñ50Ð+)?Ñ 0Ð?Ñ50Ð+)?Ñ

œ 5 .? ) .? Ê M œ 5 + ) M' '! !

+ + 0Ð?Ñ0Ð?Ñ50Ð+)?Ñ

# Þ M œ + Ê M œ +#

Örnek : '!

$ B

B5 $)B$#

ÈÈ È œ

Örnek : '!

// 5/ #

11B#

B Ð )BÑ# #1.B œ




Örnek : '!

=38B=38B5-9=B %

1#

.B œ 1

Örnek : ' '! !

/ // 5/

M8#

/ 5#Þ/ #M8Ð#ÑM8Ð#Ñ B B

B M8#)B B )B.B œ .B œ

Örnekler :

'!

"0 Ð$B 5 "Ñ .B integralini hesaplayõnõz eğer

ve '"

%.?$0ÐBÑ .B œ & ? œ $B 5 " Ê .? œ $.B Ê .B œ B œ ! Ê ? œ " ß

B œ " Ê ? œ %

' ' '! " "

" % %.? " &$ $ $0Ð$B 5 "Ñ .B œ 0 Ð?Ñ œ 0ÐBÑ .B œ

Örnek : Eğer ise ' '! )#

% !#0ÐBÑ .B œ " B Þ 0ÐB Ñ .B

? œ B Ê .? œ #B .B Ê œ B.B# .?#

B œ ) # Ê ? œ %B œ ! Ê ? œ !

' ' ')# % !

! ! %# .? "

# #B Þ 0ÐB Ñ .B œ 0Ð?Ñ œ ) 0Ð?Ñ .?

œ ) 0ÐBÑ .B œ )" "# #!

%'Örnek : ' '

" /

# / M8B 0ÐM8 BÑB0ÐBÑ .B œ # .Bise integralini bulunuz.

##

œ 0Ð? Ñ œ 0Ð?Ñ .? œ "' '" "

# ## .? "

# #

? œ M8 B Ê .? œ .B# # M8BB

B œ / Ê ? œ "B œ / Ê ? œ ##

Örnek : (i) ve pozitif sayõlar olmak üzere7 8

' '! !

" "7 8 8 7B Ð" ) BÑ .B œ B Ð" ) BÑ .B

olduğunu uygun dönüşüm kullanarak gösteriniz.

(ii) pozitif sayõsõ için aşağõdaki integralleri hesaplayõnõz.8




'!

" 8BÐ" ) BÑ .B

(iii) ' '! !

8 8#

1 1# #=38 B œ -9= B .B à =38B œ -9=Ð ) BÑ1

(i) Ð" ) BÑ œ ? Ê ) .B œ .? B œ ! Ê ? œ " ß B œ " Ê ? œ !

' ' '! " !

" ! "7 8 7 8 8 7B Ð" ) BÑ .B œ Ð" ) ?Ñ ? ) .? œ ? Ð" ) ?Ñ .?

œ B Ð" ) ?Ñ .B'!

"8 7

(ii) ' ' '! " !

" ! "8 8 8BÐ" ) BÑ .B œ Ð" ) ?Ñ Þ ? Þ Ð ) .?Ñ œ 5 Ð" ) ?Ñ ? .?

œ Ð? ) ? Ñ .? œ ? )'!

"8 85" 85"" ?

85" 85#

"

?œ!

85# “ œ ) œ" " "

85" 85# Ð85"Ñ Þ Ð85#Ñ

(iii) ' ' '

! !8 8 8

# #

!1 1

1

# #

#

=38 B .B œ -9= Ð ) BÑ .B œ ) -9= ? .? À ? œ ) B1 1

œ -9= ? .? œ -9= B .B' '! !

8 81 1# #

B œ ) ? Ê .? œ ) .B1#

B œ ! Ê ? œ 1#

B œ Ê ? œ !1#

' ' ''!

8 8!

# !

11

##

=38 B .B œ =38 Ð ) ?Ñ ) .? œ ) -9=? Ð ) .?Ñ1

œ -9= Ð?Ñ .? œ -9= ÐBÑ .B' '! !

8 81 1# #

Tek Ve Çift Fonksiyonlarõn İntegrali :

(i) fonksiyonu tek fonksiyon ise 0ÐBÑ 0ÐBÑ .B œ !')+

+

(ii) fonksiyonu çift fonksiyon ise 0ÐBÑ 0ÐBÑ .B œ # 0ÐBÑ .B' ')+

+

!

+'İspat : (i) ' ' '

)+ )+ !

+ ! +0ÐBÑ .B œ 0ÐBÑ .B 5 0ÐBÑ .B

B œ ) ?




.B œ ) .? 0ÐBÑ .B œ 0Ð ) ?Ñ Ð ) .?Ñ' ')+ +

! !

œ ) ) 0Ð?Ñ Ð ) .?Ñ œ ) 0Ð?Ñ .?' '! !

+ +

œ ) 0ÐBÑ .B'!

+

' ' ')+ ! !

+ + +0ÐBÑ .B œ ) 0ÐB Ñ .B 5 0ÐBÑ .B œ !

(ii) ' ' ')+ )+ !

+ ! +0ÐBÑ .B œ 0ÐBÑ .B 5 0ÐBÑ .B

œ 0Ð ) ?Ñ Ð ) .?Ñ 5 0ÐBÑ .B' '+ !

! +

œ ) 0Ð ) ?Ñ Ð ) .?Ñ 5 0ÐBÑ .B À 0Ð ) ?Ñ œ 0Ð?Ñ' '!

+

!

+' œ 0Ð?Ñ .? 5 0ÐBÑ .B œ # 0ÐBÑ .B' ' '' ' '

! ! !

+ + +

Örnek : 1) ')1

1B Þ -9=ÐBÑ .B œ !

Tek . Çift =Tek

2) ')

#1

1B =38ÐBÑ .B œ !

Çift . Tek =Tek

$Ñ B Þ / .B œ !')$

$B#

Tek . Çift =Tek

4) ' ')/ !

/ /B B/ .B œ # / .B# #

5) ')

# #1

1

$

$B Þ =38ÐB Ñ .B œ ! 0Ð ) BÑ œ ) B Þ =38ÐB Ñ œ ) 0ÐBÑ

Tek . Çift =Tek

6) ' ')M8# Bœ)M8#

M8% M8%B ? B

)M8#

M8%

#B Þ / .B œ / .? œ /# #“

Tek . Çift =Tek œ / ) /ÐM8%Ñ Ð)M8#Ñ# #




œ / ) /%M8 # M8 ## #

œ / Ò/ ) "ÓM8 # %#

œ # Ò/ ) "Ó œ % Ò/ ) "Ó# % %

7) ')M8%

M8%B#B Þ / .B œ !#

/ œ Ð/ Ñ+ + +#

İntegrallerin Limitlerinin Fonksiyon Olmasõ Halinde İntegraller :

EÐBÑ œ 0ÐBÑ .B ß J ÐBÑ œ EÐBÑ 5 -'+

B

JÐBÑ œ 0Ð>Ñ .> ß J Ð1ÐBÑÑ œ 0Ð>Ñ .>' '+ +

B 1ÐBÑ

. ..> .B +

1ÐBÑÒJ Ð1ÐBÑÑÓ œ Ò 0Ð>Ñ .> Ó ÞÞÞÐMÑ'

œ J Ð1ÐBÑÑ Þ 1 ÐBÑ œ 0Ð1ÐBÑÑ Þ 1 ÐBÑw w w

JÐBÑ œ ) 0Ð>Ñ .> ß J Ð2ÐBÑÑ œ ) 0Ð>Ñ .>' 'B 2ÐBÑ

+ +

. ..> .B 2ÐBÑ

+ÒJ Ð2ÐBÑÑÓ œ Ò ) 0Ð>Ñ .> Ó'

œ J Ð2ÐBÑÑ Þ 2 ÐBÑ œ 0Ð2ÐBÑÑ Þ 2 ÐBÑw w w

..> 2ÐBÑ

+wÒ 0Ð>Ñ .> Ó œ ) 0Ð2ÐBÑÑ 2 ÐBÑ ÞÞÞÐMMÑ'

..B 2ÐBÑ

1ÐBÑw wÒ 0Ð>Ñ .> Ó œ 0Ð1ÐBÑÑ Þ 1 ÐBÑ ) 0Ð2ÐBÑÑ Þ 2 ÐBÑ'

JÐBÑ œ 0Ð>Ñ .>'+

B

JÐ1ÐBÑÑ œ 0Ð>Ñ .>'+

1ÐBÑ

JÐ2ÐBÑÑ œ ) 0Ð>Ñ .>'2ÐBÑ

+

..>

w w w wÒJ Ð1ÐBÑÑ ) JÐ2ÐBÑÑÓ œ J Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ ) J Ð2ÐBÑÑ Þ 2 ÐBÑ




œ 0Ð1ÐBÑÑ Þ 1 ÐBÑ ) 0Ð2ÐBÑÑ Þ 2 ÐBÑ ÞÞÞÐMÑw w

. ..B .B + 2ÐBÑ

1ÐBÑ +ÒJ Ð1ÐBÑÑ ) JÐ2ÐBÑÑÓ œ Ò 0Ð>Ñ .> 5 0Ð>Ñ .> Ó' '

œ Ò 0Ð>Ñ .> 5 0Ð>Ñ .> Ó..B 2ÐBÑ +

+ 1ÐBÑ' ' œ Ò 0Ð>Ñ .> Ó ÞÞÞÐMMÑ.

.B 2ÐBÑ

1ÐBÑ' ve 'yi birleştirirsekÐMÑ ÐMMÑ

..B 2ÐBÑ

1ÐBÑw wÒ 0Ð>Ñ .>Ó œ 0Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ ) 0Ð2ÐBÑÑ 2 ÐBÑ'

Örnek : Ð =38> .> Ñ œ ) =38B ÐBÑ œ =38B'B

"w wÈ È È

Örnek : Ð > 5 " .> Ñ œ Ð =38 B 5 "Ñ Ð=38BÑ'B

=38B$ $w w

#È È

) Ð ÐB Ñ 5 "Ñ ÐB ÑÈ # $ # w

œ -9= =38 B 5 " ) #B B 5 "È È$ '

Örnek : ..B B

/# % wÒ ÐM8> 5 > Ñ .BÓ J Ð!Ñ œ !'

#

B#

J Ð"Ñ œ #/ Ò# 5 / Ó ) # œ %/ 5 #/ ) #w % &

œ Ð/ Ñ ÒM8Ò/ Ó 5 Ò/ Ó Ó ) ÐB Ñ ÒM8ÒB Ó 5 ÒB Ó ÓB w B # B % # w # # %# # #

œ #B Þ / ÒÒ#B Ó 5 / Ó ) #BÒ#M ÓB # %B# #8B 5 B)

Örnek : JÐBÑ œ .> J Ð!Ñ J Ð!Ñ J Ð!Ñ'!

B-9=>> 5$

w w w# a) b) c)

J ÐBÑ œ Ê J Ð!Ñ œw w-9=B "B 5$ $#

J ÐBÑ œ Ê J Ð!Ñ œ !w w w w)=38B Þ ÐB 5$Ñ)#B Þ -9=DÐB 5$Ñ

#

# #

Örnek : JÐBÑ œ $> 5 " .> J ÐBÑ œ $B 5 "'#

B# #wÈ È

a) b) JÐ#Ñ œ ! J Ð#Ñ œ "$w È




c) J Ð#Ñ œ Êw w 'B '# $B 5" Bœ# "$È È#

“Örnek : İspat ediniz ki

için sabittir.JÐBÑ œ .> 5 .> B − Ð!ß_Ñ' '! !

B "ÎB" "

"5> "5># #

. " " ".B "5B B

w w"5Ð Ñ

ÒJ ÐBÑÓ œ ÐBÑ 5 Þ Ð Ñ# "B

#

sabittir.œ 5 Þ Ð ) Ñ œ ) œ ! Ê JÐBÑ" B " " ""5B "5B B "5B "5B# # # # #

#

Örnek : JÐBÑ œ .> J ÐBÑ œ % ) > .>' '" )"

B B>

> 5$#%

#

B ve È fonksiyonlarõ için 'in hangi aralõkta pozitif , negatif yada sõfõr olduğunuJÐBÑintegrali almadan bulunuz.

Örnek : Aşağõdaki Başlangõç değer problemlerini bulunuz

.C.B %

#œ =/- B ) =38B ß CÐ Ñ œ "1

.C.B

B5"B

œ ß CÐ"Ñ œ !È .C

.BBœ BÞ / ß CÐ!Ñ œ !#

.C.B -9= B -9=B %

" =38B Þ -9=Bœ ) ß CÐ Ñ œ "#1

.C Þ -9=B œ Ð=/-B ) Ñ .B ß CÐ Ñ œ "=38Ð#BÑ# %

1

KISMİ İNTEGRASYON 0 1ve fonksiyonlarõ diferansiyellenebilir iki fonksiyon olsunlar. Buna göre :

. . ..B .B .BÒ0ÐBÑÞ1ÐBÑÓ œ 1ÐBÑ Ò0ÐBÑÓ 5 0ÐBÑ Ò1ÐBÑÓ

' ' '. . .

.B .B .BÒ0ÐBÑÞ1ÐBÑÓ.B œ 1ÐBÑ Ò0ÐBÑÓ .B 5 0ÐBÑ Ò1ÐBÑÓ .B

0ÐBÑ1ÐBÑ ) 1ÐBÑ Ò0ÐBÑÓ .B œ 0ÐBÑ Ò1ÐBÑÓ .B' '. ..B .B

? œ 0ÐBÑß .? œ Ò0ÐBÑÓ .B..B




@ œ 1ÐBÑß .@ œ Ò1ÐBÑÓ .B..B

' ' ' '? .@ œ ?Þ@ ) @ .? ? .@ œ ?Þ@ ) @ .?veya+ +

, ,,

+¸

formüllerine kõsmi integrasyon formülleri denir. Burada integral sabitleri sõfõr olarakseçilmiştir. Örnek 1. ' B / .BB integralini hesaplayõnõz.

ve olarak seçersek? œ B .@ œ / .BB

ve olur, burada integral sabiti sõfõr olarak seçilir. Buna göre :.? œ .B @ œ /B

' ' '? .@ œ ?Þ@ ) @ .? œ B / ) / .BB B

œ B/ ) / 5 -B B

olarak bulunur. œ / ÒB ) "Ó 5 -B

Örnek 2. ' 'B / .B œ .B)B B/B

integralini hesaplayõnõz.

' ' '? .@ œ ?Þ@ ) @ .? œ ) B / 5 / .BB )B

ve ? œ B .@ œ / .B)B

ve.? œ .B @ œ ) /)B

œ ) B/ ) / 5 -)B )B ‡

' B / .B œ ) / ÒB 5 "Ó 5 -)B )B ‡ olarak bulunur.

Örnek . $ ' B / .B# )B integralini hesaplayõnõz.

' ' 'B / .B œ ?.@ œ ?Þ@ ) @ .?# )B

ve ? œ B .@ œ / .B# )B

ve olur..? œ #B .B @ œ ) /)B

œ % %B / 5 / #B .B œ B / 5 # / B .B# )B )B # )B )B' ' œ B / 5 # ) / ÒB 5 "Ó 5 -% # )B )B ‡’ “




œ B / ) #/ ÒB 5 "Ó 5 #-% # )B )B ‡

' B / .B œ ) / B 5 #B 5 # 5 G à G œ #- Þ# )B )B # ‡’ “ olarak elde edilir.

Burada nin sonucu kullanõlmõştõr.Örnek 2.

Örnek 4. ' 68B .B integralini hesaplayõnõz.

ve olarak seçersek ve olarak bulunur. Buna? œ 68 B .@ œ .B .? œ .B @ œ B"B

göre ' ' '68B .B œ ?.@ œ ?Þ@ ) @ .?

olarak bulunur. œ B 68B ) B .B œ B 68B ) B 5 -' "B

Örnek 5. ' B 68B .B integralini bulunuz.

ve olarak seçersek ve olarak bulunur.? œ 68 B .@ œ .B à .? œ .B @ œ" BB #

#

' ' ' 'B 68B .B œ ?.@ œ ?Þ@ ) @ .? œ 68B ) .BB "

# BB#

# #

œ 68B ) 5 -B "# #

B#

# #

veya ;œ 68B ) 5 -B "# #

# ’ “ ve olarak seçersek ve olarak bulunur.? œ B .@ œ 68B .B .? œ .B @ œ B68B ) B ' ' ' 'B 68B .B œ ?.@ œ ?Þ@ ) @ .? œ B B68B ) B ) B68B ) B .B’ “ ’ “ # B 68B .B œ B B68B ) B 5 B.B' '’ “ ' B 68B .B œ B 68B ) B 5 5 -" B

# ## #’ “#

olarak aynõ sonuç elde edilir. œ 68B ) 5 -B "# #

# ’ “ Örnek 6. ' 68ÐB 5 "Ñ .B# integralini bulunuz.

ve olarak seçersek? œ 68ÐB 5 "Ñ .@ œ .B#




ve olur. Buna göre :.? œ .B @ œ B#BB 5"#

' ' ' '68ÐB 5 "Ñ .B œ ?.@ œ ?Þ@ ) @ .? œ B 68ÐB 5 "Ñ ) B .B# # #B

B 5"#

œ B 68ÐB 5 "Ñ ) # .B# BB 5"

' #

#

œ B 68ÐB 5 "Ñ ) # .B# B 5")"

B 5"' #

#

œ B 68ÐB 5 "Ñ ) # .B ) ## .BB 5"

' '#

' 68ÐB 5 "Ñ .B œ B 68ÐB 5 "Ñ ) #B ) #+<->+8 B 5 -# # olarak bulunur.

Örnek 7. ' / =38B .BB integralini hesaplayõnõz.

ve olarak seçersek? œ / .@ œ =38B .BB

ve olur. Buna göre :.? œ / .B @ œ ) -9=BB

' '/ =38B .B œ ) / -9=B 5 -9=BÞ/ .BB B B ve

' '/ -9=B .B œ / =38B ) / =38B .B ÞB B B

ve ve ? œ / .@ œ -9= .B Ê .? œ / .B @ œ =38BÞB B

' '/ =38B .B œ ) / -9=B 5 / =38B ) / =38B .BB B B B

# / =38B .B œ / Ò=38B ) -9=BÓ 5 - Ê' B B"

' / =38B .B œ Ò=38B ) -9=BÓ 5 GB /#

B olarak bulunur.

Benzer olarak dir.' / -9=B .B œ Ò-9=B 5 =38BÓ 5 GB /

#

B

Bunlara göre :

'!

B / / " "# # # #!

1 11/ =38B .B œ Ò=38B ) -9=BÓ œ Ò"Ó ) Ò ) "Ó œ Ò/ ) "Ó

B ¹ 1 olur.

'!

B / / " "# # # #!

1 11/ -9=B .B œ Ò-9=B 5 =38BÓ œ Ò ) "Ó ) Ò"Ó œ ) Ò/ 5 "Ó

B ¹ 1 olur.




Örnek 8. ' "

!)">+8 B .B integralini bulunuz.

ve seçersek ve olarak bulunur.? œ >+8 B .@ œ .B .? œ .B @ œ B)" ""5B#

' ' ' '" " " "

! ! ! !)" )"

! !

" "B

"5B>+8 B .B œ ?.@ œ ?Þ@ ) @ .? œ B >+8 B ) .B¹ ¹ #

œ B >+8 B ) 68Ð" 5 B Ñ œ >+8 Ð"Ñ ) ! ) Ò 68Ð#Ñ ) !Ó)" # )"" "

! !

" "# #¹ ¹

' "

!)" 68Ð#Ñ

#>+8 B .B œ 1% ) olarak bulunur.

İNDİRGEME FORMÜLLERİ

ve pozitif bir tam sayõ olmak üzere8 #

' '=38 B .B œ ) =38 B -9=B 5 =38 B .B8 8)" 8)#" 8)"8 8 ve

' '-9= B .B œ -9= B =38B 5 -9= B .B8 8)" 8)#" 8)"8 8

' '=/- B .B œ =/- B >+8 B 5 =/- B .B8 8)# 8)#" 8)#

8)" 8)"

' '>+8 B .B œ >+8 B 5 >+8 B .B8 8)" 8)#"8)"

' 'B / .B œ B / ) 8 B / .B8 B 8 B 8)" B

' '=38 B .B œ =38 B =38B .B8 8)"

? œ =38 B ß .@ œ =38B .B8)"

.? œ Ð8 ) "Ñ=38 B -9=B .B ß @ œ ) -9=B8)#

' '=38 B .B œ ) -9=B =38 B 5 Ð8 ) "Ñ =38 B -9= B .B8 8)" 8)# #

œ ) -9=B =38 B 5 Ð8 ) "Ñ =38 B Ò" ) =38 BÓ .B8)" 8)# #' œ ) -9=B =38 B ) Ð8 ) "Ñ =38 B .B 5 Ð8 ) "Ñ =38 B .B8)" # 8)#' ' Ò" 5 Ð8 ) "ÑÓ =38 B .B œ ) -9=B =38 B 5 Ð8 ) "Ñ =38 B .B' '8 8)" 8)#

' '=38 B .B œ ) -9=B =38 B 5 =38 B .B8 8)" 8)#" 8)"8 8




' '-9= B .B œ -9= B -9=B .B ? œ -9= B ß .@ œ -9=B .B8 8)" 8)" için dönüşümü kullanõlmalõdõr.

Documents

integral ders notları-öğretmenler için