La Funcin Gaussiana y La Integral de GaussLa Funcin de Gauss

Curvas gaussianas con distintos parmetros.

En matemticas la funcin gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss), es una funcin definida por la expresin:

donde a, b y c son constantes reales (a > 0).

La grfica de la funcin es simtrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parmetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.

Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadstica correspondiendo, en el caso de que a sea igual a, a la funcin de densidad de una variable aleatoria con distribucin normal de media =b y varianza 2=c2.

Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una funcin gaussiana no es slo otra gaussiana, sino adems un mltiplo escalar de la funcin original.

PROPIEDADESLas gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obtenindose que:

El valor de la integral es 1 si y solo si, en cuyo caso la funcin gaussiana es la funcin de densidad de una variable aleatoria con distribucin normal de media =b y varianza 2=c2. Se muestran varias grficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta.

Aplicaciones

La primitiva de una funcin gaussiana es la funcin error.

Estas funciones aparecen en numerosos contextos de las ciencias naturales, ciencias sociales, matemticas e ingeniera. Algunos ejemplos:

* En estadstica y teora de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la funcin de densidad de la distribucin normal, la cual es una distribucin de probabilidad lmite de sumas complicadas, segn el teorema del lmite central.

* Una funcin gaussiana es la funcin de onda del estado fundamental del oscilador armnico cuntico.

* Los orbitales moleculares usados en qumica computacional son combinaciones lineales de funciones gaussianas llamados orbitales gaussianos.

* Matemticamente, la funcin gaussiana juega un papel importante en la definicin de los polinomios de Hermite.

* Consecuentemente, estn tambin asociadas con el estado de vaco en la teora cuntica de campos.

* Los rayos gaussianos se usan en sistemas pticos y de microondas.

* Las funciones gaussianas se utilizan como filtro de suavizado en el procesamiento digital de imgenes.

En matemticas la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad, es la integral impropia de la funcin gaussianasobre toda la recta de los reales. Debe su nombre al matemtico y fsico alemn Carl Friedrich Gauss, y su valor es:

Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalizacin, en teora de la probabilidad y transformada continua de Fourier. Tambin aparece en la definicin de la funcin error. A pesar de que no existe ninguna funcin elemental para la funcin error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, la integral Gaussiana puede ser resuelta analticamente con las herramientas del clculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental parapero si es posible evaluar la integral definida

Clculo de la integral

La forma ms comn de calcular la integral de Gauss en el plano R2 es mediante la integracin doble en el sistema cartesiano de coordenadas, para despus hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor. Se procede de la siguiente manera:

* Mediante el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita como:

* Pero tambin puede ser calculada mediante el cambio de coordenadas a coordenadas polares:

donde el factor r es consecuencia de calcular el determinante del cambio de las coordenadas cartesianas a polares, y s aparece al hacer un cambio de variable tal que s = - r2, ds = -2rdr. As pues, obtenemos:

por lo tanto

Cuadratura de GaussEnanlisis numricoun mtodo de cuadratura es una aproximacin de una integral definida de una funcin. Una cuadratura de Gaussn, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluacin de manera ptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntosxiy los coeficienteswiparai=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [1, 1]dada por:

Tal cuadratura dar resultados precisos solo sif(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [1, 1]. Si la funcin puede ser escrita comof(x)=W(x)g(x), dondeg(x) es un polinomio aproximado yW(x) es conocido.

Cambio de intervalosLos cambios de intervalos van de [1, 1] despus de aplicar la cuadratura de Gauss:

Despus de aplicar la cuadratura la aproximacin es:

EjemploAproxime la integralde 1 a 5 cuandon=2 mediante el mtodo de cuadratura de Gauss y despus comparelo con el resultado exacto.

Conpodemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 paraf(x)

Frmula para calcular

Lista de coeficientes dey puntospara n=1,....,5Nmero de puntos,nPuntos,xiPesos,wi

102

21

3089

59

4

50128225