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Instituto Tecnológico da AeronáuticaInstituto Tecnológico da Aeronáutica 1
DINÂMICA DE ESTRUTURAS E
AEROELASTICIDADE
Prof. Airton Nabarrete
Aula 1: Introdução e Modelagem Dinâmica
EST - 56
Instituto Tecnológico da AeronáuticaInstituto Tecnológico da Aeronáutica 2
Programa
1. Problemas em dinâmica de estruturas.
2. Modelagem analítica.
3. Modelagem matemática: Métodos Newtonianos Métodos Lagrangeanos
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Problemas em dinâmica de estruturas
Ensaio em túnel de vento
Ensaio em vôoEnsaio em solo
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Projeto de estruturas e análise dinâmica
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MODELAGEM ANALÍTICA E MATEMÁTICA
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Modelagem analítica e matemática
• Modelagem Analítica – Metodologias que permitem a opção por representação contínua ou discreta
• Modelagem Matemática - Diversas técnicas que orientam como deduzir as equações de movimento
txxxFxKxCxM ,,,
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Análise de Estruturas Dinâmicas
• Modelagem analítica
Está representada quando:
• Fazemos o desenho de uma estrutura no papel,
• Adotamos hipóteses simplificadoras como:
− estrutura unidimensional ou bidimensional,
− propriedades de inércia, rigidez, amortecimento, etc.,
− carregamento equivalente aplicado à estrutura.
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representação contínua
• Modelagem Analítica – Metodologias com opção por representação contínua ou discreta
representações discretas
t = pneus v = veículo
w = roda r = piloto
s = suspensão
eq = equivalente
Análise de Estruturas Dinâmicas
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• Modelagem Analítica – Representação em sistemas de massas e molas.
Análise de Estruturas Dinâmicas
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Fenômenos energéticos
Características energética em componentes estruturaisMeios elásticos - Armazenam energia potencialMassas e inércias - Armazenam energia cinéticaAtritos - Dissipam energia
energia de vibração : energia potencial energia cinética
pode diminuir : atritos
pode aumentar : esforços atuantes
Análise de Estruturas Dinâmicas
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• Modelagem Matemática – Diversas técnicas que orientam como deduzir as equações de movimento
txxxFxKxCxM ,,,
2ª lei de Newton . princípio de D'Alembert . princípio dos deslocamentos virtuais . princípio da conservação da energia . equações de Lagrange . princípio de Hamilton .
Análise de Estruturas Dinâmicas
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2ª Lei de Newton ( 1687 em Principia )
“Vista de um referencial inercial, a resultante das forças aplicadas ao centro de massa de um sistema é igual à variação temporal da quantidade de movimento linear do mesmo”.
linear : vmdtdp
dtdF
rotativo :
Mecânica Newtoniana
Idtdh
dtdM
sendo a massa constante, amF
IM
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equilíbrio : amFFtF ck
equação final :
Mecânica Newtoniana
)(tFkxxcxm
considerando o oscilador protótipo :
2ª Lei de Newton
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Princípio de d’Alembert (1743 por Jean Ronde D'Alembert)
“Qualquer sistema de forças e/ou momentos está em equilíbrio se adicionarmos às forças e/ou momentos as forças e/ou momentos de inércia.”
linear : vmdtdFi
rotativo :
Mecânica Newtoniana
IdtdM i
forças : 0 iFF
momentos : 0 iMM
permite reduzir problemas de dinâmica em problemas de estática.
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equilíbrio : 0 cki FFFtF
equação final :
Mecânica Newtoniana
)(tFkxxcxm
considerando o oscilador protótipo :
Princípio de d’Alembert
Fi
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Princípio dos deslocamentos virtuais: (1717 - Johann Bernoulli)
a = aplicada ; i = inérciaiat WWW
no caso do sistema protótipo: )( )( txFFFtFW kcit
Mecânica Lagrangeana
“Para qualquer deslocamento virtual de um sistema, o trabalho virtual de todas as forças aplicadas ao mesmo, incluindo as forças de inércia, deve ser igual a zero”.
0)( tx 0)( kci FFFtF
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Mecânica Lagrangeana
Princípio da conservação da energia:
P incorpora as forças dissipadas e forças externas aplicadas ao sistema.
“A variação temporal da energia mecânica de um sistema é igual à potência instantânea absorvida ou dissipada pelo sistema”.
PVTdtd
dtd
)( )()( txtxctFP
)(21 2 txmT )(
21 2 txkV no caso do sistema
protótipo:
0)( txtkxtxctxmtF
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Equação de Lagrange:energia cinética: energia potencial elástica:
)(21 2 txmT )(
21 2 txkV
Lagrangeano: )(21)(
21 22 txktxmVTL
trabalho das forças não conservativas:
Mecânica Lagrangeana
)()(
)()()(txtQ
txtxctFW
x
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)()()()( tFtxktxctxm
)(tQxL
xL
dtd
x
)()()()( txctFtxktxmdtd
Mecânica Lagrangeana
Equação de Lagrange:
considerando o oscilador protótipo :
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Princípio de Hamilton (1834)
“A variação da integral da função Lagrangeana adicionada à integral do trabalho virtual das forças não-conservativas de um sistema entre dois instantes de tempo é nula, desde que as configurações inicial e final do sistema sejam prescritas.”
Mecânica Lagrangeana
matematicamente :
02
1
2
1
t
t
t
tdtWdtL
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Mecânica Lagrangeana
considerando o oscilador protótipo :
Princípio de Hamilton
Fi
Aplicando a variação na primeira integral:
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Mecânica Lagrangeana
Integrando por partes o primeiro termo:
Princípio de Hamilton
Por fim:
Considerando estados prescritos,
0)()()()( txktxctxmtF
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ao considerar oscilações em torno do equilíbrio,
e
Posição de Equilíbrio
Equilíbrio estático na modelagem matemática:2ª Lei de Newton ou Princípio de d’Alembert:
00
MF ou
tFFtxxKxCxM rere
txxtx re tFFtF re
do problema estático, 0 ee FxK
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CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS
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(quanto ao número de graus de liberdade)
Sistema discretos
Sistema distribuídos
métodos de ______discretização
Sistemas com um grau de liberdade
Sistemas com n grau de liberdade
análise ___________modal
Classificação de Sistemas Dinâmicos
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Sistema Linear x Não Linear Elemento elástico discreto: Mola comercial
F
x
+
-
-+
Mola de comportamento linear:
xkF
F
x
+
-
-+
Mola de comportamento não linear:
33
221 xkxkxkF
F
x
F = Força atuante
x = Deformação
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(quanto a linearidade)
sistema
linearvale princípio de superposição
sistema
não linear
• grandes deformações
• movimento de corpo rígido
• equação constitutiva
Classificação de Sistemas Dinâmicos
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(quanto ao tipo de excitação)
excitação determinística
• transiente
• periódica
excitação aleatória
• harmônica
• periódica qualquer
Classificação de Sistemas Dinâmicos
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Classificação de Sistemas Dinâmicos
• sistemas lineares
• uso de superposição
• soluções analíticas
• métodos numéricos
)()()()( tFtxktxctxm
• sistemas não lineares
• métodos numéricos
• métodos de perturbação
)(...)()(...)()()( 221
221 tFtxktxktxctxctxm
(quanto ao tipo de solução)
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(técnicas de solução – sistemas lineares)
• problemas transientes
• transformada de Laplace
• método numérico
• problemas periódicos
• transformada de Fourier
• método numérico (estado estacionário)
Classificação de Sistemas Dinâmicos
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MODELOS DISCRETOS
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Mola ideal:
• armazena energia potencial elástica
• não tem massa
• não dissipa energia (sem histerese)
• linear
Equação constitutiva: lei de Hooke)(txkF
Elementos Ideais
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Elementos Ideais
Estrutura axial como mola ideal:
E = Módulo de Elasticidade [N/m2]
A = Área da seção transversal [m2]
L = Comprimento inicial [m]
L
m
x
A, E
F (t)
E
m
kx
F (t)
xL
AEF L
AEk LxE
AF
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Elementos Ideais
Estrutura sob flexão como mola ideal:
I = Momento de inércia da seção transv. [m4]
y = Deslocamento da flexão [m]
m
y
a L - a
EILaLPay
3)( 22
m
k
x
yaLa
EILP 22 )(3
22 )(3
aLaEILk
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Massa ideal:
• armazena energia cinética
• rígida
Equação constitutiva: lei de Newton
(válida apenas em um referencial inercial)
)(txmF
Elementos Ideais
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Elementos Ideais
Mola de compressão ideal (sem massa):
m
kz
d zL
x
u
xlzzu )(
2)(21 zudmdE molac
dzl
mdm mola
2
321)( xmE mola
molaC
dzlxz
lmE l mola
molac
0
2
21
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Amortecedor ideal:
• dissipa energia
• não tem massa
• não tem rigidez
• viscosoEquação constitutiva: atrito viscoso
)(txcF
Elementos Ideais
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Dissipadores de energia: atrito
• atrito viscoso
• atrito seco
• atrito aerodinâmico
• histerese (atrito sólido)
)(txcFat
NFat
Elementos Ideais
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Componentes ideais:
Elementos Ideais
c x
mk Força Constante Energia ou
Potência
Molas )(txkF ]/[ mNk 2
21 xkV
Massa )(txmF ][kgm 2
21 xmT
Amortecimento )(txcF ]/[ mNsc 2
21 xcD
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CASO DE APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
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Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
Caso : Suspensão veicular de eixo rígido e diferencial
KHE KHD
y2
y1
ZE ZD
KE KDCE CD
KHC KHC
KVE KVD
x2
x1
a a
b b
c
e
d
massa do eixo(mE)
massa da carroceria(mC)
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Aplicando equações de Lagrange :
Energia cinética: 21
21
21
22
22
22 2
121
21
21 EECC JyxmJyxmT
KHE KHD
y2
y1
ZE ZD
KE KDCE CD
KHC KHC
KVE KVD
x2
x1
a a
b b
c
e
d
massa do eixo(mE)
massa da carroceria(mC)
Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
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Energia potencial
21122
211
211
211
211
21122
21122
212
21
2121212121
cxexK
dxKdxK
ZbyK
ZbyK
ayayK
ayayKV
HC
HDHE
DVD
EVE
D
E
KHE KHD
y2
y1
ZE ZD
KE KDCE CD
KHC KHC
KVE KVD
x2
x1
a a
b b
c
e
d
massa do eixo(mE)
massa da carroceria(mC)
Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
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Função de dissipação
211222
1122 21
21 ayayCayayCD DE
KHE KHD
y2
y1
ZE ZD
KE KDCE CD
KHC KHC
KVE KVD
x2
x1
a a
b b
c
e
d
massa do eixo(mE)
massa da carroceria(mC)
Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
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Escrevendo as equações de Lagrange :
)(111
txQxL
xL
dtd
)(111
tyQyL
yL
dtd
)(111
tQLLdtd
)(222
txQxL
xL
dtd
)(222
tyQyL
yL
dtd
)(222
tQLLdtd
VTL
Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
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Para o grau de liberdade x1 :
Para os outros graus de liberdade:
1. Deriva-se equação de Lagrange para cada grau de liberdade
2. As equações podem estar acopladas
3. Resolve-se o sistema de equações diferenciais
)(111
txQxL
xL
dtd
02222 21211 HCHCHDHEHCHCHDHEE KeKcdKKxKxKKKxm
Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
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Exemplo :
000
0
22
22
00202202
22
2
2
00
2022
02
0000
000000000
00000000
000000000000000000000000000000
2
2
2
1
1
1
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
22
22
2
2
2
1
1
1
bZKZKZKZK
yx
yx
Ke
aKKaKKeK
ecKaKK
aKKeK
aKKKKaKKKKeKKcKK
ecKaKK
aKKcK
Kc
dKK
bKK
aKK
bKKaKK
cKdKK
aKKKKbKK
aKKKK
KK
eKKcK
dKKK
KK
yx
yx
aCCaCCaCCaCCaCCCCaCCCC
aCCaCCaCCaCCaCCCCaCCCC
yx
yx
Jm
mJ
mm
DVDEVE
DVDEVE
HC
DEDEHC
HC
DEDEHC
DEDEDEDE
HCHCHCHC
HC
DEDEHC
HC
HDHE
VDVE
DE
VDVE
DE
HC
HDHE
DEDEVDVE
DE
VDVE
DE
HCHCHC
HDHE
HC
HDHE
DEDEDEDE
DEDEDEDE
DEDEDEDE
DEDEDEDE
C
C
C
E
E
E
Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
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Ex.1- Determinar a equação diferencial do movimento do modelo analítico abaixo considerando o método de energia conservativa:
Grau de liberdade:
Considerar:a. Massa do cabo nula,b. Momento de inércia JO = mL2 c. Pode haver grande deslocamento em .
Exercícios propostos
y
L - L cos( )
L
1
2
3
mg
O
m
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c k1
k2l1
l2
O
xm
l3
PJb
Ex.2- Determinar as equações dinâmicas do modelo analítico considerando método Newtoniano:
Graus de liberdade: (barra) e xConsiderar:k1=150 N/m k2=200 N/m c =15 Ns/m m=1,5 kg Jb=0,35 kg.m2 l1=0,15 m , l2=0,25 m , l3=0,4 m
Obs.: Considerar vibração c/ pequeno deslocamento da barra.
Exercícios propostos
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Neste modelo, a coordenada x descreve o deslocamento do C.G. e o ângulo a rotação da aeronave no plano da figura. A aeronave possui massa de 5500 kg, momento de inércia de massa igual a 1200 kg.m e comprimento igual a 7,5 m. A mesma está apoiada em 2 trens de rodas (cada suspensão tem rigidez 245.000 N/m ). Na cauda da aeronave há um esforço vertical F(t)= 250 cos( t ) proveniente do motor de propulsão. Neste exercício, considerar pequeno deslocamento em Obs.: Distância do C.G. ao trem dianteiro = 3,5 m (à esquerda da figura) .
x
F(t)4,5 m
CG
k k
Exercícios propostos
Ex.3 - O modelo analítico representa a vista lateral de uma aeronave sobre os trens de pouso.