Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica

PRIMER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO I

Valor: 56 puntos. Tiempo máximo: 3 horas. Sábado 18 de abril de 2015

INSTRUCCIONES GENERALES

• Antes de contestar lea cuidadosamente las instrucciones y los enunciados de las preguntas.

• Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de selección única (5 puntos) y la segunda es de desarrollo (51 puntos).Utilice únicamente bolígrafo de tinta indeleble azul o negra para resolver este examen. No se aceptan apelaciones sobre aquellos ejercicios que deje resueltos con lápiz o presenten algún tipo de alteración.

• Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna respuesta o procedimiento está desordenado, éste no se calificará.

• ESTE EXAMEN DEBERÁ SER RESUELTO EN EL CUADERNO DE EXAMEN. ESCRIBA LAS RESPUESTAS DE LA PARTE DE SELECCIÓN. EN LA PARTE DE DESARROLLO DEBE APARECER TODO EL PROCEDIMIENTO Q UE JUSTIFIQUE CORRECTAMENTE LA SOLUCIÓN Y LA RESPUESTA DE CADA ÍTEM.

• Recuerde que sólo puede utilizar calculadora que únicamente efectúe las operaciones básicas. No se permite el uso de calculadora científica de ningún tipo.

• La prueba debe resolverse individualmente.

I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Valor: 5 puntos (un punto cada respuesta correcta). Instrucciones: A continuación se le presentan 5 enunciados con cuatro opciones de respuesta de las cuales solamente una es correcta. Marque una equis sobre la letra que antecede a la opción que completa correctamente cada enunciado. Recuerde trasladar su respuesta al cuaderno de examen escribiendo el número de enunciado y la opción seleccionada.

1. Sabiendo que 1001

1lim

100

1=

−−

→ x

xx

, entonces considere las siguientes afirmaciones:

De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente I y III (B) Solamente I y II (C) Solamente II (D) Solamente I

2. Analice las siguientes afirmaciones, referidas a dos funciones � y ℎ tales que ( ) +∞=

→xf

x 0lim y ( ) 0lim

0=

→xh

x:

De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente II y III (B) Solamente I y II (C) Solamente III (D) Solamente I

3. El valor de c para el cual el 65

lim22 ++

+−−−→ xx

cxcx

existe, corresponde a

(A) 3− (B) 2− (C) 1− (D) 2

I. 501

1lim

2

100

1=

−−

→ x

xx

.

II. 3

100

1

1lim

3

100

1=

−−

→ x

xx

.

III. 251

1lim

4

100

1=

−−

→ x

xx

.

I. 0=x es la ecuación de una asíntota asíntota vertical de la gráfica de f.

II. ( )[ ])(lim0

xhxfx

⋅→

no existe.

III. )0(f no existe.

4. Sea � una función definida en su máximo dominio, tal que 16

672)(

4

2

−++=

x

xxxf .

Considere las siguientes afirmaciones:

De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente II y III (B) Solamente I y III (C) Solamente III (D) Solamente I 5. Sea � una función tal que ( )221)( −≤− xxf , ] [5,5−∈∀x , entonces )(lim

2xf

x→

corresponde a (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 5

I. � posee una discontinuidad evitable en 2−=x .

II. � posee una discontinuidad inevitable en 4−=x .

III. 0=y es la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de �.

II PARTE: DESARROLLO. Valor: 51 puntos. 1) Construya la gráfica de una función � que satisfaga, simultáneamente, cada una de las

siguientes condiciones: (8 puntos)

{ }4,3−−= RID f 4)(lim

3−=

−−→xf

x

f es continua en todo su dominio )1(' −f no existe

6)(lim =+∞→

xfx

( ) 02' =f

+∞=−→

)(lim4

xfx

( ) ] [3,,2' −∞−∈∀−= xxf

2) Calcule, si existen, los siguientes límites:

a) x

xxx −

−+−+∞→ 1

2422lim

2

(5 puntos)

Note que como +∞→x , entonces 1)1(1 −=−−=− xxx , luego

=−

−

+−

+∞→ 1

242

2

lim2

2

x

xxx

x

=−

−

+−

+∞→ 1

242

2

lim2

x

xxx

x

=−

−

+−

+∞→ 1

242

2

lim2

x

xxx

x

=

−

−

+−

+∞→

xx

xxxx

x 11

2422

lim2

21

1

2422

lim2

=

−

−

+−

+∞→

x

xxx

x

b) 3

6

0 1212

112lim

+−+−+

→ xx

xx

(Sugerencia: Realice un cambio de variable) (5 puntos)

0

0

1212

112lim

3

6

0=

+−+−+

→ xx

xx

forma indeterminada

Si intentáramos racionalizar, el procedimiento sería bastante largo, por lo tanto un cambio de variable nos permitiría trabajar con expresiones polinomiales, como se muestra a continuación:

Sea 126 += xy , entonces 6 12 += xy y 32 12 += xy (proponer el cambio de variable de tal manera que las otras expresiones queden en términos de “y ”). Además note que cuando 10 →⇒→ yx .

Ahora se reescribe el límite en términos de la nueva variable: 0

01lim

261=

−−

→ yy

yy

forma indeterminada. Al factorizar el denominador se tiene: ( )( )( )111 2226 ++−=− yyyyyy

Luego ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 4

1

11111

1

11

1lim

111

)1(lim

221221=

++⋅=

++=

++−−

→→ yyyyyyy

yyy

c)

⋅−⋅→ 20

)cos()2cos()2cos()3cos(lim

x

xxxxx

(5 puntos)

Al evaluar se tiene 0

0)cos()2cos()2cos()3cos(lim

20=

⋅−⋅→ x

xxxxx

forma indeterminada, por

lo tanto se sigue que [ ] =−

→ 20

)cos()3cos()2cos(lim

x

xxxx

[ ] =−+

→ 20

)cos()2cos()2cos(lim

x

xxxxx

[ ] =−⋅−→ 20

)cos()2(sen)(sen)2cos()cos()2cos(lim

x

xxxxxxx

[ ][ ] =⋅−−

→ 20

)2(sen)(sen1)2cos()cos()2cos(lim

x

xxxxxx

[ ] =⋅−−−

→ 220

)2(sen)(sen)2cos()2cos(1)cos()2cos(lim

x

xxx

x

xxxx

[ ] =⋅−−−

→ 220

)2(sen)(sen)2cos()2cos(1)cos()2cos(lim

x

xxx

x

xxxx

[ ] [ ]

[ ] =⋅⋅⋅−++⋅−−

→ x

x

x

xx

x

x

x

xxxx 2

)2(sen2

)(sen)2cos(

)2cos(1

)2cos(1)2cos(1)cos()2cos(lim

20

[ ] =⋅⋅⋅−+

⋅⋅⋅⋅⋅−→ x

x

x

xx

xx

xsen

x

xsenxx

x 2

)2(sen2

)(sen)2cos(

)2cos(1

1

2

)2(2

2

)2(2)cos()2cos(lim

0

42112

11212111 −=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

3) Determine los valores de m y b de tal forma que la función [ [ RIh →+∞,0: , tal que

>+≤≤+=8si

80si25)(

xbmx

xxxh , sea derivable en 8=x . Utilice la definición de derivada

en un punto. (8 puntos)

Para que h sea derivable en 8=x debemos verificar que: a) h es continua en 8=x :

• bmbmxx

+=++→

8lim8

y 925lim8

=+−→

xx

, para que )(lim8

xhx→

exista entonces

mbbm 8998 −=⇒=+ (**). • Luego 9)8( =h .

b) )8(')8(' +− = hh :

• ( )( ) 4

1

428

162lim

8

42lim

8

925lim

8

)8()(lim)8('

8888=

+−−=

−−=

−−+=

−−=

−−−− →→→→−

xx

x

x

x

x

x

x

hxhh

xxxx

• ( ) mx

xm

x

mmx

x

bmx

x

hxhh

xxxx=

−−=

−−−+=

−−+=

−−=

−−++ →→→→+ 8

)8(lim

8

989lim

8

9lim

8

)8()(lim)8('

88

(**)

88

Por lo tanto 4

1=m , luego .74

189 =⋅−=b

4) En cada uno de los siguientes casos determine dx

dy. No es necesario simplificar:

a) ( )

1

sen2

24 3

+=

x

ey

x

(6 puntos)

( )( )22

24222223

1

2)(sen16)()cos()(sen4́'

3333

+

⋅−+⋅⋅⋅⋅=x

xexxeeey

xxxx

b) ( )[ ]35 32 2sec xxxxy −+= (7 puntos)

( )[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )

+⋅++⋅−++⋅−⋅

−⋅+−= )22(2tan2sec2sec13

5

12sec3' 225 322

5 43

225 3 xxxxxxxxxx

xxxxxxy

5) Sea RIRIf →: tal que 24)( xxf −= . Determine las ecuaciones de las rectas que pasan

por el punto de coordenadas ( )4,1 y que son tangentes a la gráfica de f . (7 puntos) Note que ( ) fG∉4,1 .

Consideremos ( ) fGba ∈, , tal que las rectas que pasan por ( )ba, y por ( )4,1 son tangentes

a la gráfica de f . Como ( ) fGba ∈, , entonces baaaf =−⇒−= 22 44)( . (1)

Además aaf 2)(' −= es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en ( )ba, . (2)

Por otro lado, como la recta (rectas) pasan por ( )ba, y ( )4,1 , entonces su pendiente

también está dado por a

b

−−

1

4.(3)

De (2) y (3) se tiene que aa

b2

1

4 −=−−

, luego de (1) sustituimos y se tiene que

2021

44 2

=∨=⇒−=−

+−aaa

a

a.

Si 0=a , entonces 4=b y 0)0(' =f , por lo tanto la ecuación de la recta tangente es

4=y .

Si 2=a , entonces 0=b y 40)2(' −=f , por lo tanto la ecuación de la recta tangente es 84 +−= xy .