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¿Qué es una estrella?Luis A. Aguilar
Instituto de Astronomía,Universidad Nacional Autóma de México
Parte II
¿Cuál es la fuente de energíadel Sol?
Al principio de la primera parte mencionamos que el Solproduce 3.8x1026 Joules por segundo de energía luminosa.¿De dónde proviene esta cuantiosa cantidad de energía?
Dada la gran temperatura del Sol,una posibilidad es que provenga dela inmensa cantidad de energíatérmica contenida dentro del Sol.
¿Cuál es la fuente de energíadel Sol?
La energía térmica de un gas ideal monoatómico es igual a:U = (3 / 2)NkT
Donde N es el número total de partículas libres quecontiene el Sol.
N puede ser estimado dividiendo lamasa total del Sol entre la masa delprotón dividida entre dos, puesrecordemos que en el interior del Sol,cada átomo de hidrógeno se ha partidoen dos partículas libres:
N =2 !1030 kg
(1.67 !10"27kg) / 2
= 2.4 !1057 particulas
¿Cuál es la fuente de energíadel Sol?
La energía térmica del Sol es entonces igual a:
U = (3 / 2)NkT
= (3 / 2) ! (2.4 !1057) ! (1.38 !10
"23J / °K ) ! (1.15 !10
7°K )
= 5.7 !1041Joules
Esta es una cantidad gigantesca de energía.
Sin embargo, ¿cuánto tiempo duraría encendido el Sol? Estolo podemos calcular dividiendo esta energía entre lavelocidad a la que se radia la energía, es decir su brillo:
tK=Energia
Brillo=
5.7 !1041 J
3.8 !1026 J / s= 1.5 !1015 s
¿Cuál es la fuente de energíadel Sol?
Este tiempo, llamado tiempo de Kelvin, en honor de LordKelvin, quien fue el primero que lo calculó, es de 47.6 millonesde años.
tK= 1.5 !10
15s
Dado que en la Tierra se hanencontrado rocas que tienen unaantigüedad de miles de millones deaños, es claro que la energía térmicano es suficiente para explicar lalongevidad del Sol.
¿Cuál es entonces la fuente deenergía?
Hasta el primer tercio del siglo XX, se ignoraba cuál es lafuente energética del Sol.En ese siglo se descubrió la energía nuclear.
¿Cuál es entonces la fuente deenergía?
Como ya dijimos, casi todo el Sol esta hecho de hidrógeno,es entonces natural buscar una reacción nuclear queinvolucre a este elemento y produzca mucha energía.
Una reacción así es la fusión de 4 protones que produceun núcleo de Helio.
¿Cuál es entonces la fuente deenergía?
La masa de 4 núcleos de hidrógeno es ligeramente superiora la masa de un núcleo de helio, siendo la diferencia de soloun 2.9% de la masa de un protón, o sea 4.89x10-29kg.
4H ! 1He
¿Cuál es entonces la fuente deenergía?
4mH-mHe = Δm = 4.89x10-29kg.
4H ! 1He
¿Qué sucede a esta masa durante la reacción?
Einstein nos dió la respuestacon su famosa fórmula que nosda la equivalencia entre energíay masa: E = mc2
La masa faltante es convertidaen energía que se liberadurante la reacción.
¿Cuál es entonces la fuente deenergía?
Usando la fórmula de Einstein podemos encontrara cuanta energía equivale esta masa “perdida”:
!E = (4.89 "10#29kg) " (3"10
8m / s)
2= 4.4 "10
#12Joules
Esta parece ser una cantidad insignificante de energía, perorecordemos que hay muchos átomos de hidrógeno en el Sol.
Si dividimos esta energía entre la masa de 4 núcleos de hidrógeno,obtenemos la energía liberada por unidad de masa, algo así comoel “octanaje” del combustible nuclear:
E =!E
4 " mH
=4.4 "10
#12J
4 " (1.67 "10#27kg)
= 6.6 "1014J / kg
¿Cuál es entonces la fuente deenergía?
Esta es una cantidad verdaderamente prodigiosa de energía quecorresponde a ¡157 kilotones por gramo!
E = 6.6 !10
14J / kg
Si multiplicamos este “octanaje” por la masa total del Sol,obtenemos la cantidad de energía nuclear que tiene guardada elSol:
Enuc = E ! MSol = (6.6 !10
14J / kg) ! (2 !10
30kg) = 1.32 !10
45J
Si ahora dividimos esta energía entre la velocidad a la que el Solconsume su energía, es decir su luminosidad, obtenemos eltiempo que el Sol puede durar encendido usando energía nuclear:
tnuc
=Enuc
LSol
=1.32 !10
45J
3.8 !1026J / s
= 3.5 !1018s
¿Cuál es entonces la fuente deenergía?
o sea aproximadamente 110,000 millones de años.
tnuc
= 3.5 !1018s
En realidad, las condiciones necesarias para que se efectúen lasreacciones nucleares sólo existen en el centro del Sol y es solo un10% de la masa del Sol la que participa en estas reacciones.
Reaccionesnucleares
¿Cuál es entonces la fuente deenergía?
o sea aproximadamente 110,000 millones de años.
tnuc
= 3.5 !1018s
En realidad, las condiciones necesarias para que se efectúen lasreacciones nucleares sólo existen en el centro del Sol y es solo un10% de la masa del Sol la que participa en estas reacciones.
Se estima que el Sol ha existido durante 5,000 millones de años yque durará otro tanto más.
El físico Alemán Hans Bethe recibió el premio Nóbel de Física porhaber descubierto el origen de la fuente de energía de lasestrellas.
¿Qué determina la luminosidaddel Sol?
Hasta ahora hemos usado la luminosidad, o brillo del Sol,como un dato medido, sin embargo, surge la pregunta:¿Qué proceso físico determina la luminosidad?
Este proceso es la difusión de los fotones de luz producidos por lasreacciones nucleares en el centro del Sol y que tienen queatravesar el resto del Sol para llegar a su superficie, desde dondeescapan finalmente al espacio.Este proceso de difusión consiste en una serie de colisiones de losfotones con las partículas que hacen al Sol.
¿Qué determina la luminosidaddel Sol?
Cuando una partícula, o un fotón, avanza colisionando con unfondo de partículas esparcidas por su camino, el número decolisiones depende no solo del número de partículas, sino deltamaño de éstas.
¿De qué tamaño aparente aparecen los protones yelectrones del plasma solar a un fotón?
Dado que la masa del electrón es despreciable comparadacon la del protón, pudiera parecer que los protones sonmás grandes que los electrones. Sin embargo, los fotonesinteractúan con las cargas eléctricas por medio de la fuerzaelectromagnética, por lo que realmente importa es elllamado radio clásico de una partícula, que es algo asícomo su radio de influencia eléctrica.
El radio clásico de unapartícula
El radio clásico de unapartícula
El concepto de radio clásico es muy sencillo: imaginemosuna esfera hueca de radio r, construida con un materialconductor y con una carga q, igual al de la partícula. Laenergía electrostática almacenada en esta esfera sepuede calcular con la fórmula de Coulomb:
r
E = Kq2
r
La constante K de Coulomb es igual a9x109 N·m2/C2, y la carga es medida enCoulombs.
El radio clásico de unapartícula
La energía electrostática depende del tamaño de laesfera, entre más pequeña es ésta, mayor es la energía.
r
E = Kq2
r
r
E
r
El radio clásico de unapartícula
La energía electrostática depende del tamaño de laesfera, entre más pequeña es ésta, mayor es la energía.
E = Kq2
r
r
E
r
La razón de éstecomportamiento es que hamedida que disminuimos eltamaño de la esfera, tenemosque juntar más la carga q quecontiene, y como cargas delmismo signo se repelen,tenemos que hacer trabajopara comprimir la esfera, laenergía de este trabajo sealmacena en la esfera.
Analogía con un resorte: entremás queremos comprimir unresorte, más trabajo nos cuesta
El radio clásico de unapartícula
Volviendo a una partículacargada, imaginemos ahoraque comprimimos la esferahueca conductora hasta que laenergía electrostáticaalmacenada en ella es igual alequivalente en energía de lamasa de la partícula, deacuerdo a la ecuación deEinstein: r
E
r
Kq2
r= E = mc
2
Cuando esta condición secumple, obtenemos el radioclásico de la partícula:
rth =Kq
2
mc2
El radio clásico de unapartícula
A este radio se le llama también radio de Thompson por elcientífico inglés que lo describió primero.
rth =Kq
2
mc2
El radio clásico del protón es entonces:
rp =(9 !10
9N "m
2/C
2) ! (1.6 !10
#19C)
2
(1.67 !10#27kg) ! (3!10
8m / s)
2= 1.5 !10
#18m
Usando ahora la masa del electrón: me=9.1x10-31kg,encontramos el radio clásico del electrón:
re= 2.8 !10
"15m
El radio clásico de unapartícula
Aquí hay algo aparentemente desconcertante, a pesar de que elelectrón es 1,835 veces menos masivo que el protón, ¡su radioclásico es mucho mayor!
rth =Kq
2
mc2
rp= 1.5 !10
"18m,
re= 2.8 !10
"15m
Esto es debido a que el tamaño clásico de una partículadepende inversamente de la masa: a igualdad de cargaeléctrica, una partícula más ligera es la más “grande”.Esto es algo que ya explicamos: la energía almacenadaaumenta al disminuir el tamaño de la esfera (o apretar más unresorte); una masa mayor, por tanto, implica un tamaño menor.
El camino libre medio de unfotón
De lo que acabamos de ver, es claro que los fotonesinteractúan mucho más con los electrones que con losprotones, ya que éstos últimos aparecen como blancosmucho más pequeños.
ee
e
ee
e
El camino libre medio de unfotón
re
Cuando un fotón viaja en unespacio lleno de electrones, cadaelectrón le presenta al fotón unblanco circular de radio re y áreaigual a:
!T= (8 / 3)"r
e
2
Al área σT se le llama sección recta deThompson. El factor 8/3 es debido aefectos electromagnéticos que no hemosincluido en nuestra discusión.
El camino libre medio de unfotón
Supongamos ahora que el fotónatraviesa una región de área A ygrosor x. La probabilidad de quehaya una colisión es igual a lafracción del área de la pared queesta ocupada, en proyección, poralgún electrón.
El área A’ ocupada por electrones en proyección esigual al número N de electrones dentro de la región,multiplicada por la sección recta de Thompson decada electrón: A ' = N ! "
T= (nAx) ! "
T
En la última expresión hemos sustituido N por la densidad deelectrones n, multiplicada por el volumen de la región Ax.
El camino libre medio de unfotón
La probabilidad p de que haya una colisión es igual al cociente delárea proyectada al área total:
p = A '/ A = nx!T
A medida que el fotón avanza, la distancia x se incrementa y conello el área A’ y la probabilidad de sufrir una colisión.
x
El camino libre medio de unfotón
La probabilidad p de que haya una colisión es igual al cociente delárea proyectada al área total:
p = A '/ A = nx!T
A medida que el fotón avanza, la distancia x se incrementa y conello el área A’ y la probabilidad de sufrir una colisión.
λ
Es claro que eventualmente la probabilidad de sufrir una colisión seráunitaria, con lo que una colisión habrá ocurrido.Llamaremos a esta distancia en la que la probabilidad de colisiónacumulada es unitaria, el camino libre medio del fotón: λ
El camino libre medio de unfotónp = nx!
T
Si en la expresión anterior hacemos p=1, entonces x=λ:1 = n!"
T# ! =
1
n"T
El camino libre medio representa la distancia que, en promedio,recorre un fotón entre colisión y colisión.
Habiendo calculado ya el radio clásico de un electrón, podemoscalcular ahora el camino libre medio del fotón dentro del Sol:
! =1
n"T
=1
n(8 / 3)#re
2
=1
(8.34 $1029electrones / m
3) $ (8 / 3) $ (3.1416) $ (2.8 $10
%15m)
2
= 0.018m
El camino libre medio de unfotón! = 1.8cm
Concluimos que, en promedio, un fotón avanza ¡poco menos de2 centímetros entre colisiones con electrones dentro del Sol!
¡Supermán con su vista derayos X no podría ver mas alláde sus narices dentro del Sol!
El Camino AzarosoComo el camino libre medio de losfotones es muchísimo menor queel radio del Sol, cada fotón sufrirámuchas colisiones desde que esproducido por las reaccionesnucleares en el centro del Sol,hasta escapar en su superficie.
La pregunta es entonces, ¿cuántascolisiones sufre en promedio cadafotón y cuánto tiempo tarda enescapar?
La respuesta nos lleva a examinar el concepto de caminoazaroso.
El Camino Azaroso
λ
Imaginemos una línea recta que se extiende infinitamente enámbas direcciones a los lados de un punto que hemos marcadocomo el origen.Imaginemos ahora que, empezando del origen, avanzamos conpasos de un tamaño fijo λ, con igual probabilidad de hacerlo haciala izquierda o la derecha.
Es claro que, aunque la posiciónmás probable es siempre elorigen, pues la probabilidad de ira la izquierda es la misma que ira la derecha; a medida que pasael tiempo, aumenta laprobabilidad de alejarnos delorigen.
¿Cómo medir la distancia que enpromedio nos alejamos del origen?
El Camino AzarosoEn el diagrama inferior ilustramos todas las posibles combinacionesdespués de dar dos pasos; en el primer paso, las únicas posicionesposibles son x =-1 y x=+1; después del segundo paso, las posicionesposibles con -2, 0 y +2, habiendo dos posibles rutas que nos llevan alorigen.
Una posible medida del alejamiento del origen es el valor promedio de x2,en lugar de x.El valor promedio después de un paso es:
y después de dos pasos:
x1
2= [(!1)
2+ (+1)
2] / 2 = 1,
x2
2= [(!2)
2+ (0)
2+ (0)
2+ (+2)
2] / 4 = 2
El Camino AzarosoLos valores posibles de x2 después de N pasos, son:
xN
2=(x
N !1 +1)2= x
N !12
+ 2xN !1 +1
(xN !1 !1)
2= x
N !12 ! 2x
N !1 +1
"#$
%$donde el primer caso corresponde a un paso a la derecha y el segundo aun paso a la izquierda.
Como los dos casos son igualmente probables, el valor promedio de xN2
corresponde al promedio de éstos:
xN
2=1
2(x
N !1!1)
2+1
2(x
N !1+1)
2= x
N !1
2+1 = x
N !1
2+1
En el segundo paso, los términos intermedios resultantes de elevar alcuadrado los binomios, se han eliminado.
El valor promedio de x2 después de N pasos, es entonces igual al quese tenía después de N-1 pasos, mas uno.Como <x1
2>=1, se tiene que:xN
2= N
El Camino AzarosoxN
2= N
Esta es la relación fundamental del camino azaroso, la distanciapromedio dN que nos alejamos del origen después de N pasos estadada por la raíz cuadrada de N:
dN= x
N
2= N
Tomando en cuenta que los pasos dador por el fotón tienen unalongitud promedio λ, obtenemos:
dN= N!
Despejando N obtenemos el número de pasos necesarios paraavanzar, en promedio, una distancia dN:
N = (dN/ !)
2
El Camino Azaroso
Volviendo al caso de los fotones dentrodel Sol, el camino azaroso no se efectúaen una línea, sino en un volumen de 3dimensiones.En este caso, el número de pasos quehay que dar para avanzar una distanciadN dada, es tres veces mayor:
N = 3(dN/ !)
2
¿Cuánto tardan los fotones enescapar del Sol?
Habiendo encontrado el tamaño del camino libre medio de losfotones dentro del Sol y el número de pasos necesarios para avanzaren un camino azaroso, podemos estimar el número de colisiones quesufre un fotón para escapar del Sol y el tiempo que le toma.
De lo que vimos sobre camino azaroso, el número de colisiones es:
Ncol
= 3rSol
!"#$
%&'2
= 37 (108m0.018m
"#$
%&'
2
= 4.54 (1021
y el tiempo transcurrido entre colisiones es:!t = " / c( ) = 0.018m / 3#10
8m / s( ) = 6 #10$11
s,
donde c es la velocidad de la luz.
¿Cuánto tardan los fotones enescapar del Sol?
El tiempo de viaje del fotón se obtiene al multiplicar el número decolisiones con el tiempo entre éstas:
tviaje = Ncol ! "t = (4.54 !1021) ! (6 !10
#11s) = 2.72 !10
11s
o sea, ¡8,600 años!
Comparemos este tiempo con el que le tomaría a un fotón queviaja libremente sin sufrir colisiones:
tlibre
=rSol
c=7 !10
8m
3!108m / s
= 2.33s
La gran disparidad entre estos dos números nos da idea de laenorme opacidad del interior del Sol.Como veremos ahora, esta enorme opacidad es la que regula laluminosidad del Sol.
¿Cómo obtenemos laluminosidad del Sol?
De manera análoga a como la velocidad a la que se vacía untanque de agua por un hoyo en su fondo, depende del nivel delagua y el tamaño del hoyo, la luminosidad del Sol estadeterminada por la cantidad de energía de los fotones en elinterior del Sol y la velocidad a la que éstos escapan:
Luminosidad =energia termica
tiempo de difusion de fotones
¿Qué es un cuerpo negro?Para calcular la cantidad de energía que contienen los fotones enel interior del Sol, es necesario primero hablar un poco sobre sudistribución de energía, es decir, ¿qué fracción de fotones tienenuna energía dada?
En el interior del Sol, los fotones tienen una distribución de energíaigual a la de un Cuerpo Negro.
Rayos γ Rayos X Ultravioleta
Luz visible
Infrarojo
Longitud de onda (metros)
Radar FM TV AM
¿Qué es un cuerpo negro?El concepto de cuerpo negro es fácil de entender. Cuandoiluminamos un objeto, parte de la luz es reflejada y otra parte esabsorbida por el objeto para ser re-emitida de nuevo.
¿Qué es un cuerpo negro?El concepto de cuerpo negro es fácil de entender. Cuandoiluminamos un objeto, parte de la luz es reflejada y otra parte esabsorbida por el objeto para ser re-emitida de nuevo.
Las propiedades de la luz reflejadadependen de la iluminación, así porejemplo, una manzana que sabemos esroja, no se verá de este color si lailuminamos con luz que no es blanca, sinode algún color.
¿Qué es un cuerpo negro?Por el contrario, la luz que es absorbida, es “cambiada” por elobjeto, y al ser re-emitida, sus propiedades ya no dependen de lailuminación original, sino del objeto.
Foto de una personatomada con luz visible,que es luz reflejada. Siapagamos lailuminación, dejamos dever a la persona.
Foto de la misma personatomada con luz infrarroja.Esta luz no es reflejadapor el sujeto, sino que esemitida por él. Siapagamos la iluminacióncontinuaremos viendo surostro.
En general, no nospercatamos de la luz re-emitida pues la mayoría delos objetos que hay anuestro alrededor emiten luzinfrarroja que no podemosver. Sin embargo, hayinsectos como los mosquitosque si ven esta luz y poresto nos encuentran aúncuando apaguemos la luz.
¿Qué es un cuerpo negro?Cuando un cuerpo está a una temperatura constante y ademásabsorbe toda la luz que lo ilumina sin reflejar nada, entonces todala luz que emite sólo depende de su temperatura. Este es uncuerpo negro.
En la foto inferior vemos el interior deunhorno de alfarería que esta frío. La luz quevemos es reflejada.En la foto superior, el horno esta encendidoy su interior ha alcanzado una temperaturaconstante. La luz emitida es la de un cuerponegro. Nótese que ya no se ven los objetos ysólo se observa un resplandor uniforme.
¿Qué es un cuerpo negro?Como la luz emitida por un cuerpo negro sólo depende de sutemperatura, cualquier información adicional, como su forma ocolor, se pierde, y lo único que vemos es una iluminación uniformecuyo color sólo depende de la temperatura.
El interior del Sol es un cuerpo Negro.
¿Qué es un cuerpo negro?Afortunadamente para nosotros, la energía total contenida en la luzemitida por un cuerpo negro, fue encontrada experimentalmentepor Josef Steffan en 1879 y derivada teóricamente por LudwigBoltzmann pocos años después.
La energía total por unidad de volumen en un cuerpo negro estádada por:
ECN
= aT4
donde a es la llamada constante de Steffan-Boltzmann y suvalor es igual a:
a = 7.5643!10"16J / m
3# °K
4
¿Cuál es finalmente laluminosidad del Sol?
Usando la fórmula de Steffan-Boltzmann, obtenemos la cantidadde energía contenida en los fotones del interior del Sol:
Efotones = a(Tc / 4)4! volumen
= (7.5643!10"16J / m
3# °K
4) ! (1.15 !10
7°K / 4)
4
! (4 / 3)(3.1416)(7 !108m)
3
= 7.43!1037J
r
T4
Tc4
(Tc/4)4
La temperatura del Sol aumenta hacia el centro.Cada capa del Sol actúa como un cuerpo negro y sucontenido energético esta dado por la fórmula deSteffan-Boltzmann usando la temperatura local.Si dividimos al Sol en capas y sumamos la energíacontenida en cada una, suponiendo que T aumentalinealmente con r, el resultado es equivalente a usarTc/4.
Hemos usado Tc/4. Ya que si usamos Tc, sobreestimaremos la energía.
¿Cuál es finalmente laluminosidad del Sol?
La luminosidad del Sol es entonces:
L = Efotones / tviaje = (7.43!1037J ) / (2.72 !1011s) = 2.73!1026 J / s
Comparando con la luminosidad observada del Sol:
LSol
= 3.8 !1026J / s
vemos que nuestra estimación resulta ser un 30% menor.Este es un error realmente minúsculo tomando en cuenta elmodelo del Sol tan simplificado que hemos construido.
¿Qué es una estrella?Lo más importante de estas lecciones es ilustrar cómo,con un poco de Física, podemos aprender muchas cosassobre las estrellas y entender cómo funcionan.
•Hemos deducido las condiciones de presión ytemperatura que deben prevalecer dentro delSol.•Esto nos llevó a descubrir el origen de laenergía solar.•Finalmente, descubrimos la insospechadagran opacidad del material solar, y cómo loselectrones determinan en gran medida laluminosidad del Sol.
SOHO Consortium, ESA, NASA
FIN
