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INSTITUTO CONSCIÊNCIA GO
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA
PROJETO GRÁFICO E EDITORAÇÃO
Equipe ICG
DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP)
ADRIENE GOMES DOS SANTOS CRB1 2623
C694 Coletânea Didática do Curso Técnico de Administração (CTA)/ Instituto Consciência GO (ICG). 12 vol.
Fundamentos da Contabilidade.l V.06. Goiânia: ICG, 2014. 70 p.: il..
Inclui Referências.
Modo de Acesso: http://www.institutoconscienciago.com.br/index.php?ACESSA=_biblioteca
1.Comunicação Empresarial. 2. Administração. I. Instituto Consciência GO. II Título
Av Hamburgo, Qd. 142, nº 254 – Jardim Europa - Goiânia Telefone: (62) 3224-8931 / (62) 8538 3828
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SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ....................................................................................................... 3
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 5
1. Números Proporcionais ........................................................................................ 6
2. Operações sobre Mercadorias ............................................................................ 10
2.1 Preços de custo e venda: ............................................................................. 10
2.2 Lucros e Prejuízos: ....................................................................................... 11
3. Taxa de Juros ..................................................................................................... 15
3.1 Homogeneidade entre tempo e taxa: ........................................................... 15
4. Inflação ............................................................................................................... 18
5. Capitalização Simples......................................................................................... 20
5.1 Juros Simples: .............................................................................................. 20
5.2 Montante Simples: ........................................................................................ 22
5.3 Desconto Simples: ....................................................................................... 24
6. Capitalização Composta ..................................................................................... 27
6.1 - Juros Compostos: ...................................................................................... 28
6.2 Montante Composto: .................................................................................... 29
6.3 Desconto Composto: .................................................................................... 31
BIBLIOGRAFIA BÁSICA .............................................. Erro! Indicador não definido. QUESTÕES .............................................................................................................. 35
GABARITO ............................................................................................................ 45
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APRESENTAÇÃO
O Curso Técnico em Transações Imobiliárias (TTI) do Instituto Consciência
GO (ICG) iniciou sua trajetória acadêmica em julho de 2013, após a construção de
um projeto pautado na importância de possibilitar acesso ao ensino técnico
profissionalizante de qualidade que, combinado à seriedade na execução do projeto
político pedagógico, propiciasse uma formação sólida e relacionada às demandas
regionais.
Passados doze meses, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo,
fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados positivos. Ressalta-
se que esses valores, atividades e ações voltadas ao ensino sólido viabilizaram a
qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos
alunos, favorecendo o reconhecimento pelo Conselho Estadual de Educação de
Goiás (CEE GO) deste curso que ora iniciamos com você, Curso Técnico
Profissionalizante em Administração (CTA), a partir de setembro de 2014.
Assim, oferecemos a você, estudante, este Livro Didático, produto do
trabalho de uma equipe composta por profissionais do ICG. Julgamos de suma
importância você conhecer o processo de organização deste Livro Didático que foi
organizado seguindo algumas etapas relacionadas abaixo:
1ª: coletânea de diversos subsídios de conteúdos relevantes de vários
autores;
2ª: seleção e organização do material específico para atender o curso;
3ª: autorização do autor do respectivo material ;
4ª:apreciação realizada pelo professor docente do respectivo componente
curricular;
5ª: revisão final.
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Destacamos ainda, que este material não é produção inédita do ICG eem
cada capítulo consta a sua referência.
Aos autores e autoras do material didático pedagógico coletado, os nossos
sinceros agradecimentos, com certeza, vocês têm a alma nobre e estão contribuindo
imensamente com a qualidade da educação em nosso país.
Aos profissionais do ICG, envolvidos na organização deste Livro Didático (vide
Ficha Técnica na contracapa), os nossos agradecimentos.
A você em especial, estudante, oferecemos este material que servirá de guia
e de apoio para o estudo atento e sério, para a organização da pesquisa e para o
contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso Técnico em
Administração (CTA).
O ICG acolhe a todos e todas com respeito.
Profª Ma Sandra Isabel Chaves
Diretora Geral
Equipe Organizadora da Coletânea Digital
Profª Ma Sandra Isabel Chaves – Direção Geral
Profª Ma Angela Maria Naves da Silva – Assessoria Técnico-Pedagógica
Adriene Gomes – Bibliotecária - ( CRB1 2623)
Joana Chaves Pozzer – Secretária dos Cursos Técnicos
Prof. Luciano Galdino de Melo Resende – Informática Aplicada à Educação
Profª- Geanne Cardoso – Matemática
Profª Cleide Coelho Martins – Língua Portuguesa
Dr. Fabrício Segato - Advogado
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Maria Clara Ribeiro de Bragança – Estagiária do Curso Técnico em Redes de Computadores
INTRODUÇÃO
O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do
décimo segundo século depois de Cristo, constituindo-se em um novo sistema
econômico, social e político.
Como importantes características do Capitalismo podem citar:
A combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo)
formatando a economia de mercado;
O surgimento das grandes empresas;
As relações de trocas monetárias;
A preocupação com os rendimentos;
E principalmente, o trabalho assalariado.
Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases,
sendo atualmente chamado, nos países de primeiro mundo, de Capitalismo
Financeiro. Nesta fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras do maior
volume do capital em circulação.
Sobre as outras três etapas do Capitalismo podemos, assim, enumerar:
1º. Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV);
2º. Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos
lucros (séculos XV ao XVIII);
3º. Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando os
industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar
que esta terceira fase ainda acontece.
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Então, para existir um melhor entendimento entre as relações de troca, para a
utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para fazer previsões
de movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante,
descontos, dentre outros, a matemática foi sendo gradativamente aplicada ao
comércio e às finanças; Consequentemente, originando o seu ramo específico,
chamado Matemática Financeira.
A Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois, em um mercado
econômico que não é estático, o conhecimento e a informação representam um
grande poder para a execução de serviços.
1. Números Proporcionais
• Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, definimos a razão entre a e b,
nesta ordenação, como o quociente entre a e b.
Então, escrevemos: ba ou a : b.
Observação: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o seu valor,
diferente de zero.
ba→ (a é o numerador e b é o denominador).
Exemplo: Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28.
Solução: ba =
2832 , então
2832 =
1416 =
78 .Essas três frações são Razões
b 28 28 14 7
RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003, pg. 7 – 11.
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Equivalentes pois dividindo-se, o pelo denominador, em cada uma das três
frações, obteremos o mesmo resultado.
Resposta: ba =
78 .
• A igualdade de duas razões equivalentes é chamada de Proporção.
Exemplo 1: 1416 =
78 , 16 e 7 são os extremos da proporção e 14 e 8 são os meios da
proporção.
Propriedade Fundamental: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual
ao produto dos extremos”.
Exemplo 2: As razões 3
12 e 4
16 são iguais, logo:
312 =
416 , então: 3 x 16 = 4 x 12.
48 = 48.
• Vamos trabalhar agora, com a Divisão em Partes Proporcionais, através da
análise do exemplo a seguir:
Exemplo: Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5.
Observação: como a divisão é proporcional à três números, o número 850 será
dividido em três partes.
Solução: Vamos supor que as três partes do número 850 sejam representadas,
respectivamente, pelas letras X, Y e Z.
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8
81*541
850=
++=X .
3404*541
850=
++=Y .
4255*541
850=
++=Z .
Somando-se os números 85, 340 e 425 obteremos o número 850,
provando assim, que a divisão em partes proporcionais está correta.
No cálculo de cada uma das letras (X, Y e Z), devemos sempre dividir o
número principal (neste caso o número 850), pelo somatório das partes
proporcionais (no exemplo foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar
o resultado desta divisão por cada uma das partes proporcionais.
• Divisão em Partes Inversamente Proporcionais utilizando uma exemplificação:
Exemplo: Dividir o número 1.200 em partes inversamente proporcionais aos
números 2 e 4.
1º. Passo: Devem-se inverter os números, tornando-os 21 e
41 .
2º. Passo: Deve-se agora, colocar as frações em um mesmo denominador
(denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois
dividir, o mínimo múltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida
multiplicaremos o resultado desta divisão pelo numerador, lembrando que,
estes cálculos estão acontecendo com as frações 21 e
41 . Como o valor do
mínimo múltiplo comum será 4, as frações se modificarão para 42 e
41 .
3º. Passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados apenas os
numeradores das novas frações encontradas no item 2º passo. A partir daqui
teremos uma resolução semelhante à divisão em partes proporcionais, pois o
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número principal (neste caso o número 1.200 ) será dividido pelo somatório
das partes ( números 2 e 1 ), sendo o resultado desta divisão multiplicado por
cada uma das partes.
• 1º parte: .8002*12
200.1=
+
• 2º parte: .4001*12
200.1=
+
4º. Passo: Somando-se os números 800 e 400 obteremos o número 1.200,
provando assim que, a divisão em partes inversamente proporcionais está
correta.
• Nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no
trabalho com porcentagens (percentagens).
Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária.
Solução: Devemos dividir a taxa por 100.
.1445,0100
45,14%45,14 == 0,1445 é a forma unitária.
Exemplo 2: Colocar a fração 43 na forma percentual.
Solução: Devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade fundamental
das Proporções que estão citadas no início deste tópico.
10043 x=
100*3*4 =x
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10
3004 =x
75=x , então %7510075
43
==
Exemplo 3: Calcular 27% de 270.
Solução: transformar 27% na forma unitária e depois multiplicar o número
encontrado por 270.
.27,010027%27 == Assim: 0,27 x 270 = 72,9.
72,9 corresponde a 27% de 270.
2. Operações sobre Mercadorias
2.1 Preços de custo e venda:
Vamos trabalhar, nesta seção, com problemas de porcentagens relacionados
às operações de compra e venda.
Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo,
sendo que os mesmos podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o
preço de venda da mercadoria em questão.
Fórmula básica: PRV = PRC + LC
RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003, pg. 12 – 16.
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Onde: PRV = Preço de Venda; PRC =Preço de Custo ou Preço de Compra; LC = Lucro obtido na Venda.
2.2 Lucros e Prejuízos:
O estudo desta seção será feito com base nos exemplos a seguir: Exemplo 1: Lucro sobre o custo.
Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$3.850,00.
Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra.
Solução: PRC = 3.000
PRV = 3.850
PRV = PRC + LC
LC = PRV - PRC
LC = 3.850 – 3.000
LC = 850
Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%.
Exemplo 2: Lucro sobre a venda.
Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00.
Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda.
Solução: PRC = 550
PRV = 705
PRV = PRC + LC
LC = PRV – PRC
LC = 705 – 550
3.000 100%
850 X
3.000 * X = 100 * 850
X = 28,333%
705 100%
155 X
705 * X = 100 * 155
X = 21,986%
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12
LC = 155
Obs.; O lucro sobre o custo foi de 21,986%.
Exemplo 3:
Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de
15% sobre o preço da venda, calcule o mesmo.
Solução:
%15%100430
→→
X
5,6415*430*100
==
XX
O lucro foi de R$ 64,50.
Sendo o lucro calculado sobre o preço da venda, este terá o valor de 100%. Exemplo 4:
Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o
lucro, em porcentagem, sobre o preço de custo.
Solução: PRV = PRC + LC
PRC = PRV – LC
PRC = 670 – 152
PRC = 518
Sendo o lucro calculado sobre o preço de custo, este terá o valor de 100%. Exemplo 5:
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Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um
prejuízo de 42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.
Solução:
X→
→%100
050.1%142
.44,7391050*100*142
==
XX
O preço de venda é R$739,44.
Como o prejuízo é de 42% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá então a 142%.
Exemplo 6:
Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço
e venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de
R$445,00.
Solução:
X→→
%100445%115
96,386445*100*115
==
XX
O preço venda de é R$386,96.
Como o prejuízo é de 15% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá a 115%.
Exemplo 7: Utilização de índices.
Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de
venda foi de 4 para 8. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço de custo
foi de R$2.500,00.
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Solução:
812500.2 PRV
=
67,16668*500.2*12
==
PRVPRV
O preço de venda é R$1.666,67.
A relação de proporcionalidade entre o prejuízo e o preço de venda é estabelecida pela taxa 4 para 8. Temos assim 8 unidades de preço de venda para 4 unidades de prejuízo e, consequentemente, para cada 12 unidades de custo, neste exercício.
Custo Prejuízo Venda
125000.2
4P
8PRV
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3. Taxa de Juros
Quando pedimos emprestada certa quantia, a uma pessoa ou a uma
instituição financeira, é normal, após um certo tempo, pagarmos a quantia que nos
foi emprestada, mais uma “ outra quantia que representa o aluguel pago pelo
empréstimo”.
Essa outra quantia, citada acima, representa o juro; ou seja, representa o
bônus que se paga por um capital emprestado.
O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo (ao ano, ao
mês, ao dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja
taxa se chama Taxa de Juros.
3.1 Homogeneidade entre tempo e taxa: Sempre o prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar na
mesma unidade de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros
(representada pela letra i).
Considerações Importantes:
1º. - O mês comercial possui 30 dias;
- O ano comercial possui 360 dias;
- O ano civil possui 365 dias.
2º. Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual, assim,
para usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes,
transformá-la para a forma unitária.
Ex.: i = 25,8% →forma unitária →i = 0,258.
RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003, pg. 17 – 20.
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Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial,
equivale a quantos % (por cento) ao dia?
Solução: ano comercial = 360 dias.
%05,0360
%18==i ao dia.
Resposta: 0,05% ao dia.
Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao
mês?
Solução: i = 12% ao ano.
%112
%12==i ao mês.
Resposta: 1% ao mês.
Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial,
equivale a quantos % (por cento) ao dia?
Solução: mês comercial = 30 dias.
%1,030%3
==i ao dia.
Resposta: 0,1% ao dia.
Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês, equivale a quantos % ( por cento) ao
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ano?
Solução: (4,5% ao mês) x 12 = 54% ao ano.
i = 54% ao ano.
Resposta: 54% ao ano.
Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao
ano, levando-se em consideração o ano civil?
Solução: (0,03% ao dia) x 365 = 10,95% ao nao.
i = 10,95% ao ano.
Resposta: 10,95% ao ano.
3.2 - Juro Exato e Juro Comercial: Geralmente, nas operações correntes, a curto prazo, os bancos comerciais
utilizam o prazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato,
teremos a taxa de juros i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil.
Já, no cálculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360
dias, pois o ano utilizado é o ano comercial.
Juro Exato .365 xnCxJ i=→
Juro Comercial .360 xnCxJ i=→
Obs: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico
capitalização simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas
duas fórmulas foram necessárias para que, a unidade de tempo, entre n e i, fossem
iguais.
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4. Inflação
(O presente tópico visa dar ao aluno um conhecimento básico sobre o
problema inflacionário).
De uma maneira global, a inflação é caracterizada por um aumento geral e
cumulativo dos preços. Esse aumento geral não atinge somente alguns setores, mas
sim, o bloco econômico como um todo. Já o aumento cumulativo dos preços
acontece de forma contínua, prolongando-se ainda, por um tempo indeterminado.
O Estado em associação com a rede bancária aumenta o volume do
montante dos meios de pagamento para, atender à uma necessidade de demanda
por moeda legal; mas associado ao aumento do montante, acontece também, um
aumento dos preços.
O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente
chamado de carestia.
O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes
econômicas.
Uma família pobre tende a utilizar, o pouco dinheiro conseguido, para comprar
gêneros alimentícios. O restante do dinheiro geralmente é utilizado para o
pagamento de serviços de água, luz e esgoto.
Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e
eletricidade, costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de
beleza e estética, entre outras coisas mais. Assim, um aumento nos preços dos
produtos de beleza e rejuvenescimento, terá peso zero no custo de vida da família
pobre e um acréscimo no orçamento da família rica.
Em suma, o custo de vida aumenta, quando um produto que possui um
determinado peso nas contas mensais, sofre também um aumento.
Exemplo para um melhor entendimento do aumento do custo de vida:
Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com
vestuário, 8% com plano de saúde e 5% com o lazer.
RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003, pg. 21 – 23.
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Acontece então uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento
de 3% nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos
gastos com plano de saúde e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento
do custo de vida no mês.
Solução:
Produtos
Gasto no
orçamento
Gasto no orçamento na forma unitária
Aumento dos produtos
Aumento dos produtos na
forma unitária
Alimentos 12% 0,12 3% 0,03 Vestuário 10% 0,10 5% 0,05 Plano de Saúde
8% 0,08 4% 0,04
Lazer 5% 0,05 2% 0,02
Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se
multiplicar o gasto no orçamento na forma unitária com o aumento dos produtos na
forma unitária.
Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036.
Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005.
Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032.
Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001.
Produtos
Aumento do custo do produto na forma
unitária
Aumento do custo do produto na forma
percentual Alimentos 0,0036 0,36% Vestuário 0,005 0,50%
Plano de Saúde 0,0032 0,32% Lazer 0,001 0,10%
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Com o somatório dos aumentos de cada produto na forma percentual
obtemos o aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% +
0,10% = 1,28%.
Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de
1,28%, devido à elevação dos preços de quatro produtos utilizados pelo casal.
5. Capitalização Simples
No regime de capitalização simples temos, a taxa ( i ) incidindo somente
sobre o capital inicial ( C ), proporcionando-nos obter assim, juros simples, ao final
do período de tempo( n ).
5.1 Juros Simples:
Juro produzido pelo capital C ao final de um período de tempo: J = C x i.
Juro produzido pelo capital C ao final de n ( vários ) períodos de tempo: J = C
x i x n.
Fórmula Básica: J = C x i x n
Onde: J = juros simples. C = capital inicial ou principal. i = taxa de juros. n = tempo de aplicação ou prazo de tempo.
Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de
2% ao mês, qual será o valor dos juros simples?
Solução: J = C x i x nC = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2
RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003, pg. 24 – 31.
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21
i = 2% ao mês = 0,02 J = 353
n = 2 meses J = R$353,00
Obs.: i e n estão na mesma unidade de tempo.
Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9%
ao ano, qual será o valor dos juros simples?
Solução: J = C x i x n.
C = 550.
i = 9% ao ano %75,012%9
=→ ao mês = 0,0075.
n = 4 meses.
J = 550 x 0,0075 x 4.
J = 16,50.
J = R$16,50.
Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de R$650,00,
sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo igual a 6
meses.
Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, niJC.
=
J = 650.
i = 5% ao mês = 0,05. 6*05,0
650=C
n = 6 meses. .67,2166=C
.67,166.2$RC =
Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo
R$105,00 de juros simples. Calcule a taxa mensal i.
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Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i temos, nC
JI.
=
J = 105.
C = 425. 6*425
105=i
n = 6 meses 04117,0=i
i = 0,04117 está na forma unitária. Para colocarmos o resultado na forma
percentual devemos multiplicar i por 100, ficando então como resposta, i = 4,117% ao mês.
Na taxa i a unidade de tempo utilizada foi o mês porque o período de aplicação estava em meses.
5.2 Montante Simples:
À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital
inicial ou principal dá-se o nome de montante simples.
Fórmulas: S = J + C ou S = C x i x n + C
S = C x (i x n + 1)
Onde:
S = Montante Simples.
J = Juros Simples.
i = Taxa de Juros.
n = Período de Aplicação.
Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses,
à taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante.
Solução:
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S = J + C
C = 1550.
i = 24% ao ano %212
%24=→ ao mês = 0,02.
n = 8 meses.
J = C x i x n.
J = 1550 x 0,02 x 8.
J = 248.
S = J + C.
S = 248 + 1550.
S = 1798.
S = R$1.798,00.
Exemplo 2: Calcule o tempo, no qual, devo aplicar uma quantia de R$200.000,00,
para obter um montante simples de R$360.000,00, à taxa de 16% ao mês.
Solução: C = 200.000. S = C x (i x n + 1) S = 360.000.
CSni =+ )1*(
i = 16% ao mês = 0,16. 000.200000.360)1*( =+ni
.5.8,0*16,0
.8,0*.18,1*
.8,1)1*(
mesesnn
ninini
==
=−==+
A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato, de i também estar
em meses.
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5.3 Desconto Simples:
Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtemos
um desconto (abatimento).
• Algumas considerações:
Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento.
Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou
seja, antes da data de vencimento.
D =VN – VA Onde D = Desconto.
•• Desconto Racional ou “Por Dentro”:
Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao
período de tempo correspondente.
Fórmula: ni
VNni
DRVA.1.1 +
== Onde: DR = Desconto Racional;
VA = Valor Atual;
VN = Valor Nominal;
i = taxa;
n = Período de Tempo.
Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de
R$16.000,00, à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento.
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Solução: ni
DRVA.1
= VA = 16.000
i = 2,6% ao mês = 0,026
n = 3 meses.
DR = VA x i x n
DR = 16.000 x 0,026 x 3
DR = 1.248
DR = R$1.248,00
Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atual de R$750,00, calcule o desconto
racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de 5 meses
para o vencimento.
Solução: ni
DRVA.1
= VA = 750.
i = 12% ao ano 1% %112
%12=→ ao mês =0,01.
DR = VA x i x n
DR = 750 x 0,01 x 5.
DR = 37,5
DR = R$37,5.
•• Desconto Bancário ou Comercial ou “Por Fora”:
Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e
ao período de tempo correspondente.
Fórmula: 1..1
VNni
DBni
VA==
−
Onde:
DB = Desconto Bancário;
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VA = Valor Atual;
VN = Valor Nominal;
i = Taxa;
n = Período de Tempo.
Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal
igual à R$2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento.
(Considerar o ano comercial).
Solução: 1.
VNni
DB= %6,0
360%8.700,2 =→=VN ao dia = 0,0005.
I = 18% ao ano DB = VN x i x n
DB = 2700 x 0,0005 x 33
DB = 44,55
DB = R$44,55.
Exemplo 2: Calcule o desconto “por fora” para um pagamento antecipado, à taxa de
5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de
R$42.000,00.
Solução: 1.
VNni
DB= VN = 42.000
i = 5,8% ao mês = 0,058.
DB = VN x i x n
DB = 42.000 x 0,058 x 5
DB = 12.180
DB = R$12.180,00.
• Considerações finais dentro da capitalização simples:
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-Como se calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de
n meses:
Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao
ano, aplicada durante 8 meses.
Solução: 1º. Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano;
2º. Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são 8 meses;
3º. Calcula-se o valor da taxa i no mês;
ex.: 12
%36 ao mês.
4º. Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses;
ex.: 3% x 8 = 24%.
5º. Resultado Final: 24%.
6. Capitalização Composta
Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre
uma remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim,
formarem um novo capital (1º montante).
Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração
(juros), sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um
segundo montante.
(E assim por diante).
Então as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do
período anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta.
RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003, pg. 32 – 39.
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6.1 - Juros Compostos:
Fórmula: ( )[ ]11 −+= niCxj
Onde: j = Juros Compostos;
C = Capital Inicial;
(1+i) = Fator de Capitalização;
i = Taxa de Juros;
n = Período de Tempo.
Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização
composta, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro
obtido?
Solução: C = 829,30. i = 2,4% ao mês = 0,024
n = 3 meses.
( )[ ]( )[ ]( )[ ][ ]
.15,61$15,61
1073742,130,8291024,130,829
1024,0130,829
11
3
3
Rjj
xjxj
xj
iCxj n
==
−=−=
−+=
−+=
Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56,
aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses.
Solução: C = 777,56.
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29
i = 6% ao ano %5,012%6
=→ ao
mês = 0,005.
n = 2 meses.
( )[ ]( )[ ]( )[ ][ ]
.80,7$80,71010025,156,777
1005,156,777
1005,0156,777
11
2
2
Rjjxjxj
xj
iCxj n
=→=−=−=
−+=
−+=
6.2 Montante Composto:
Fórmula: s = C x (1+i) Onde: s = Montante Composto;
C = Capital Principal;
(1+i) = Fator de Capitalização.
i = Taxa de Juros;
n = Período de Tempo.
Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à
taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses.
Solução: C = 627,43.
i = 2% ao bimestre = 0,02.
n = 6 meses
Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o
período de capitalização é bimestral.
s = C x (1+i)
s = 627,43 x (1+0,02)
s = 627,43 x (1,02) Av Hamburgo, Qd. 142, nº 254 – Jardim Europa - Goiânia
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30
s = 627,43 x (1,061202)
s = 665,83
s = R$665,83.
Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado
à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses.
Solução: C = 15.600,70.
i = 7,2% ao mês = 0,072.
n = 4 meses.
s = C x (1+i)
s = 15.600,70 x (1+0,072)
s = 15.600,70 x (1,072)
s = 15.600,70 x (1,320623)
s = 20.602,64.
s = R$20.602,64.
Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à
taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses.
Solução: s = 7656,70.
i = 18% ao ano %5,112
%18=→ ao mês = 0,015.
n = 4 meses.
( )niCxS += 1
( )nisC+
=1
( )4015,0170,656.7
+=C
( )4015,170,656.7
=C
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31
061363,170,656.7
=C
.03,214.7$03,214.7
RCC==
Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga
gerar um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses.
Solução: C = 300.
s = 4.800
n = 2 meses
s = C x (1+i)
(1+i) = Cs
(1+i) 300800.42
(1+i) = 16.
(1+i) = 6
1+ i = 4
i = 4 – 1
i = 3
i = 3 representa a taxa na forma unitária;
Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%;
Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de
tempo n está sendo usado em meses.
Resposta: i = 300% ao mês.
6.3 Desconto Composto:
No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale
ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual.
Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal.
Fórmula: VN = VA x (1+ i) n D = VN - VA Av Hamburgo, Qd. 142, nº 254 – Jardim Europa - Goiânia
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Onde: VN = Valor Nominal;
VA = Valor Atual;
D = Desconto Composto.
Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de
1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento.
Solução: VN = 1.250,52.
i = 1,7% ao mês = 0,017.
n = 2 meses.
VN = VA x (1+ i)n
VA = ( )ni
VN+1
VA = ( )2017,01
52,250.1+
VA = ( )017,152,250.1
VA = 1.209,06.
D = VN – VA
D = 1.250,52 – 1.209,06
D = 41,46
D = R$41,46.
Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano,
3 meses antes do vencimento.
Solução: VN = 753,53.
i = 18% %5,112
%18=→ ao mês = 0,015.
n = 3 meses.
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33
( )niVAVN += 1*
( )ni
VNVA=
=1
( )3015,01
53,753+
=VA
045678,1
53,753=VA
61,720=VA
.61,720$RVA =
• Considerações finais dentro da capitalização composta:
Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos:
Fórmula: ( )iiDepxM
n 11 −+=
Onde: M = Montante;
Dep = Depósitos.
Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um,
efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito.
Solução: Dep = 230.
i = 2% ao mês = 0,02.
( )iiDepM
n 11* −+=
( )02,0
102,01*2304 −+
=M
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34
( )02,0
102,1*2304 −
=M
( ) 102,0
082432,1*230 −=M
02,0082432,0*230=M
.96,947$96,947
1216,4*230
RMMM
===
Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta:
Fórmula: ( ) ( )1211 ma ii +=+ Onde: i = Taxa anual
composta;
i = Taxa mensal composta.
Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%.
Solução:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )425760,11
03,11
03,011
11
12
12
=+=+
+=+
+=+
a
a
a
ma
ii
i
ii
i = 1,425760 - 1
i = 0,425760
Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-se o valor da referida taxa na forma percentual, ficando o valor igual a 42,5760%.
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35
“Somos aquilo que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, mas um hábito.”
Aristóteles
Referências
RODRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003.
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36
QUESTÕES
(Resolva todos os exercícios, retornando ao texto, sempre que julgar necessário).
1. Escreva a fração 1816 na forma percentual:
88,889%
86,800%
80,600%
90,889%
92,800%
2. A taxa de juros de 23,5% na forma unitária é:
235,0
0,023
023,5
02,35
0,235
3. Calcular o valor do somatório de: 42% de 350 com 16% de 102:
160,40
163,32
165,45
167,32
161,23
4. Dividir o número 540 em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6:
148, 180, 212.
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37
180, 212, 148.
100, 200, 240.
144, 180, 216.
200, 216, 124.
5. Dividir o número 325 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3
e 4:
200, 100, 25.
50, 75, 200.
150, 100, 75.
300, 10, 15.
20, 85, 220.
6. Uma mesa de escritório foi comprada por R$ 275,00 e vendida por R$ 345,00.
Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra:
25,45%
25,75%
22,40%
23,45%
26,40%
7. Uma mercadoria foi comprada por R$ 150,00 e vendida por R$ 205,00.
Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda:
25,20%
26,75%
25,89%
26,50%
26,83%
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38
8. Um monitor de computador foi vendido com um prejuízo de 9% sobre o preço
de venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de
R$ 327,00:
R$ 300,00
R$ 305,00
R$ 310,00
R$ 295,00
R$ 290,00
9. Em uma determinada operação imobiliária (compra e venda), a taxa de
prejuízo para o preço de venda foi de 2 para 6. Determine o preço de venda
sabendo-se que o preço de custo foi de R$ 705,00:
R$ 515,45
R$ 522,75
R$ 538,75
R$ 532,75
R$ 528,75
10. A taxa de juros de 24% ao ano, considerando-se o ano comercial, equivale a
quantos % ao dia?
0,050% ao dia.
0,056% ao dia.
0,067% ao dia.
0,072% ao dia.
0,035% ao dia.
11. A taxa de juros de 18% ao ano, equivale a quantos % ao mês?
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39
1,50% ao mês.
1,30% ao mês.
1,25% ao mês.
1,35% ao mês.
1,55% ao mês.
12. A taxa de juros de 3,75% ao mês, equivale a quantos % ao ano?
40% ao ano.
45% ao ano.
35% ao ano.
30% ao ano.
42% ao ano.
13. Calcule os juros simples para um capital de R$ 823,00, aplicado à taxa de
24% ao ano, durante um período de 6 meses:
R$ 101,00.
R$ 99,40.
R$ 98,76.
R$ 95,20.
R$ 97,40.
14. Calcule a taxa necessária para transformar R$ 15.000,00 em R$ 25.000,00 no
prazo de 3 meses no regime de capitalização simples (juros simples):
22,22% ao mês.
22,23% ao ano.
2,22% ao ano.
2,22% ao mês.
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40
88,22% ao mês.
15. Aplicando-se a juros simples a quantia de R$ 30.000,00 , durante 8 meses, à
taxa de 5% ao mês, qual será o montante obtido no final do período?
R$ 34.000,00
R$ 36.000,00
R$ 38.000,00
R$ 40.000,00
R$ 42.000,00
16. Calcule o montante de uma série de 3 depósitos de R$ 150,00 cada um,
efetuados no fim de cada mês, à taxa de 1% ao mês, após o terceiro
depósito:
R$ 450,47
R$ 454,51
R$ 460,51
R$ 458,87
R$ 465,00
17. Calcule o montante, da aplicação de um capital de R$ 35.000,00, durante um
período de 4 meses, a juros compostos de 7% ao mês:
R$ 50.887,86
R$ 48.787,90
R$ 46.560,86
R$ 45.877,86
R$ 42.900,86
18. No regime de capitalização simples, a taxa acumulada a 18% ao ano,
aplicada durante 4 meses é de:
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7%
4%
6%
8%
10%
19. No regime de capitalização composta, determine a taxa anual equivalente à
taxa mensal de 1,5%:
19,56%
20,06%
22,07%
18,40%
18,56%
20. Um capital C foi aplicado em um sistema de capitalização que, pagou juros
compostos, à taxa de 10% ao mês. Após um bimestre, o montante era de R$
1.050,00. Calcule o valor do capital C:
R$ 850,50
R$ 855,46
R$ 867,76
R$ 870,40
R$ 872,76
21. Um capital de R$ 2.330,00 eleva-se para R$ 2.790,00 , em 1 ano, no regime
de capitalização simples. Calcule a taxa de aplicação ao ano.
19,50% ao ano
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19,74% ao ano
18,56% ao ano
13,74% ao ano
15,64% ao ano
22. Calcule o montante simples para um capital de R$11.111,00, aplicado por um
período de 72 dias, à taxa de 18% ao ano:
R$ 11.350,60
R$ 11.430,23
R$ 12.400,00
R$ 11.510,99
R$ 10.540,99
23. Uma Letra de R$ 555,55 reduziu-se a R$ 490,00 quando foi paga um mês
antes do vencimento. Calcule a taxa de desconto comercial simples:
12,33% ao mês
11,55% ao mês
13,55% ao mês
12,40% ao mês
11,80% ao mês
24. Sabendo-se que a taxa semestral é de 3,24%, calcule o valor da taxa nominal
anual:
6,40% ao ano
6,48% ao ano
5,72% ao ano
6,58% ao ano
6,48% ao mês
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25. Calcular os juros compostos de um capital de R$ 14.401,00, à taxa de 8,6%
ao ano, durante um período de 3 anos:
R$ 4.300,00
R$ 3.390,15
R$ 4.100,15
R$ 4.044,15
R$ 4.032,00
26. Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 7.702,00, a juros compostos
de 6,2% ao ano, em um período de 3 anos:
R$ 8.340,00
R$ 8.400,65
R$ 8.686,65
R$ 8.540,70
R$ 7.680,00
27. Calcule o valor do desconto composto para uma dívida de R$ 6.000,00 que
foi descontada 1 ano antes do vencimento, à taxa de 15% ao ano:
R$ 640,00
R$ 690,61
R$ 794,61
R$ 760,60
R$ 782,61
28. Um produto obteve dois aumentos consecutivos de 5% e 9%. No regime de
capitalização composta, calcule o aumento final do produto:
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12,45%
13,00%
13,45%
14,00%
14,45%
29. Calcule a taxa semestral proporcional a 47,42% ao ano:
4,74%
20,42%
25,00%
23,71%
23,00%
30. Calcule os juros simples para um capital de R$ 57,57, à taxa de 9% ao mês,
durante um período de 23 dias:
R$ 4,50
R$ 5,97
R$ 3,97
R$ 2,62
R$ 3,45
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GABARITO
1. A 11. A 21. B 2. E 12. B 22. D 3. B 13. C 23. E 4. D 14. A 24. B 5. C 15. E 25. D 6. A 16. B 26. C 7. E 17. D 27. E 8. A 18. C 28. E 9. E 19. A 29. D
10. C 20. C 30. C
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