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Institut für Technische Mechanik, KIT
Diplomarbeitvon
Daniel Tameling
Betreuer:Dipl.-Ing. Stephan WulfinghoffProf. Dr.-Ing. Thomas Böhlke
Bereich KontinuumsmechanikInstitut für Technische Mechanik
Algorithmen für nichtlokale Materialgesetzein der Gradienten-Einkristall-PlastizitätInhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 20111
Institut für Technische Mechanik, KIT
• Einleitung
• Mathematische Grundlagen
• Vorstellung verschiedener Algorithmen
• Vergleich der Algorithmen anhand der Rechnung
• Zusammenfassung
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 20112
InhaltInhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 20113
Einleitung
Bei Abmessungen kleiner als ca. 10 µmzeigt sich eine Größenabhängigkeit
Fleck et al. (1994)
d1
d2 <d1
Widerspruch zuklassischer Theorie
NichtlineareVariations-
formulierung
Finite Elemente Methodemit
Newton-VerfahrenActive-set-search Methode
Gradiententheoriemit Verbindungzu Versetzungen
besonders bei inhomogener Belastung wie Torsion
Gewählte Lösung:
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
Kinematik eines Einkristalls
Zerlegung des Deformationsgradienten
Kleine Deformationen beim Einkristall
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 20114
Rotation + Streckung
Scherung
ein Gleitsystem:
Slip-Parameter
Gleitrichtung
Gleitebenen-normale
Schmid-Tensor
Elastischer Anteil desVerschiebungsgradienten
Gurtin, Needleman (2005)
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
5D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 2011
Motivation Versetzungsdichtetensor
Nach plastischerVerformung
Anfangs-platzierung
Gitter
Kontinuum
Burgers-Vektor:
VersetzungsdichteSatz vonStokes
Nye (1953)
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 20116
Freie Helmholtzenergie
Verfestigungsmodul
Isotroper Verfestigungsanteil
Elastischer Anteil
Insgesamt:
mit Versetzungsdichtetensor
Vesetzungsanteil
Konstante
Steifigkeitstensor
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 2011
Umsetzung
Nichtlineare Variationsformulierung
Newton-Verfahren
Linearisieren Diskretisieren
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Leistungsbilanz
Wie lösen?
Nichtlineare Finite Elemente Methode
LinearesGleichungssystem
Was sind die plastischaktiven Knoten?
Bestimmung der aktiven Knotenmit Active-set-search Methode
Für inaktive Knoten Gleichungenmit Slip-Parameter im linearenGleichungssystem entfernen
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Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 20118
Lineares GleichungssystemActive Set Search
Diskrete Nebenbedingungen
Passiver Knoten Aktiver Knoten
Wird passiv beiWird aktiv bei
Active-set-search:
Verschiedene Möglichkeiten der Kombinationvon Active-set-search und Newton-Verfahren
symmetrisch + positiv definit
Lineares Gleichungssystem:
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung Algorithmen
Simulation
VergleichAlgorithmen
Zusammen-fassung
Active Set: Menge der aktiven Knoten
Miehe, Schröder (2001)
Ziel der Diplomarbeit:
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 20119
Ablauf der Algorithmen,die miteinander verglichen wurdenInhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Methode 3Methode 2Methode 1
Institut für Technische Mechanik, KIT
NetzeHexaeder Elemente
11x11x6=726 Knoten
26x26x14=9464 Knoten
10D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 2011
Rechengebiet
RandbedingungenUntere Fläche fest
Obere Flächewird verschoben
Rest spannungsfrei
Slip-Parameterverschwindet auf
dem Rand
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 201111
Simulation
Ausgangskonfigurationd.h. unverformt
10 Zeitschritte: letzter Zeitschritt
Anforderungen: Robuster und stabiler Algorithmus hohe Geschwindigkeit
Durchgeführte Simulationen
umax=0,03µm mit 10 Zeitschritten und feinem Netzumax=0,3µm mit 4 und 10 Zeitschritten und grobem und feinem Netz
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 201112
Simulation10 Zeitschritte, xz-Ebene
Verschiebung 20 fachüberzeichnet
Verschiebung 100 fachüberzeichnet
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 201113
Vergleich der Algorithmen
Zahl der Newton-Schrittebestimmt den Zeitaufwand
einer Methode
Methode 1 Methode 2 Methode 3
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Summe derZahl derNewton-Schritteaus allen
Simulationen
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Methode 1 ist am langsamsten
Institut für Technische Mechanik, KIT
Bei Methode 2 nur 51 mal LGS aufstellenstatt 101 wie bei Methode 3
Warum bestimmt Zahlder Newton-Schritteden Zeitaufwand?
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 201114
Vergleich der Algorithmen
Methode 1 Methode 2 Methode 3
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Summe derZahl der
Änderungenam Active Set
aus allenSimulationen
Methode 2 ist die schnellste
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Aufstellen deslinearen
Gleichungssystemsist teuer
Bei Methode 2 nurerforderlich wennkeine Änderungam Active Set
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 201115
Zusammenfassung
Methode 1 Methode 2 Methode 3
Stabilität o o o
Zahl der Active Set Searches o o o
Zahl derNewton Schritte - + +
Geschwindigkeit - + o
Fazit - + o
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie
16. September 201116
Vielen Dankfür Ihre
Aufmerksamkeit
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung