Institut für Energie- und Umweltverfahrenstechnik · Die Thermodynamik benutzt also zusätztlich zu den 3 Grundgrößen der Mechanik die Temperatur als 4. Grundgröße und die Stoffmenge

Ergänzungen zum Buch„Übungsaufgabenzur Thermodynamik“

Institut für Energie- und Umweltverfahrenstechnik

R

Grundlagen der Technischen Thermodynamik mit Übungsaufgaben zur Verwendung in MathcadDieser Band ist eine Ergänzung des hier abgebildeten Übungsbuches. Er enthält den größten Teil der Kapitel und Übungsaufgaben mit den Lösungen aus der CD des Buches. Die Kapitel sind hier ergänzt und die Lösungen mit ausführlicheren Erklärungen - auch für den "Fußgänger" - versehen, so dass die Verwendung z.B. als Repetitorium ohne PC und ohne ein weiteres Fachbuch möglich ist.

Um zu einem besseren Verständnis der Materie zu gelangen, wird jedoch das Arbeiten mit den rechenaktiven Mathcad- Dateien aus der Buch-CD bzw. aus dem Downloadbereich des Fachgebietes Energietechnik der Universität Duisburg empfohlen. Näheres ist im Vorwort auf der nächsten Seite und im Kapitel 17 des Übungsbuches beschrieben.

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Inhaltsverzeichnis Vowort……………………………………………………………………………………………….……..……… 4

1 Größen und Einheiten der Thermodynamik…………………………………………………….………….. 6 1.1 Größen und Einheiten, allgemein……………………………………………………………………… 6 1.2 Grundgrößen…………………………………………………………………………………………….. 7 1.3 Abgeleitete Größen……………………………………………………………………….…………….. 9

2 Thermodynamische Systeme………………………………………………………………………………… 11

3 Zustand……………………………………………………………………………………………….….……… 12 3.1 Zustandsgrößen…………………………………………………………………………………………. 12 3.2 Zustandsgleichungen ………………………………………………………………………….……….. 14

4 Energien, 1. Hauptsatz……………………………………………………………………………….……….. 17 4.1 Geschlossenes System (Innere Energie, Arbeit, Wärme, 1. Hauptsatz)…………………………..17 4.1.1 Energien im ruhenden geschlossenen System………………………………………………... 17 4.1.2 Äußere Energien…………………………………………………………………………………. 20 4.2 Offenes System (Enthalpie, technische Arbeit, Wärme)……………………………………………. 21 4.3 Strömungen……………………………………………………………………………………………… 26 4.4 Weitere Beispiele zum Thema Energie………………………………………………………………. 32

5 Entropie und T-s-Diagramm………………………………………………………………………………….. 33

6 Zustandsgleichungen für ideale (perfekte) Gase…………………………………………………………… 34 6.1 Zustandsänderungen idealer Gase bei konstantem Polytropenexponent………………………… 35 6.2 Allgemeine Zustandsänderungen idealer Gase……………………………………………………... 45 6.3 Weitere Beispiele und Aufgaben………………………………………………………………………. 46

7 Kreisprozesse, Carnot-Prozess………………………………………………………………………………. 48

8 Der Zweite Hauptsatz…………………………………………………………………………………………. 50

9 Exergie und Anergie, irreversible Prozesse………………………………………………………………… 53

9.1 Exergie und Anergie eines geschlossenen Systems (Exergie der inneren Energie)……………. 53 9.2 Exergie eines Massenstromes (Exergie der Enthalpie)…………………………………………….. 54 9.3 Exergie der Wärme……………………………………………………………………………………… 54 9.4 Kraft-Wärme-Kopplung…………………………………………………………………………………. 55 9.5 Spezielle irreversible Prozesse 9.6 Weitere Beispiele und Aufgaben…………………………….. 56 9.5.1 Reibungsarbeit bei isothermer Zustandsänderung eines idealen Gases im………………. 56 geschlossenen System 9.5.2 Adiabate Drosselung eines idealen Gases im offenen System……………………………… 57 9.5.3 Adiabate Maschinen……………………………………………………………………………… 58 9.5.4 Wärmeübertragung………………………………………………………………………………. 59

10 Mischungen idealer Gase…………………………………………………………………………………… 60

11 Spezifische Wärmekapazität idealer Gase………………………………………………………………… 62

12 Feuchte Luft…………………………………………………………………………………………………… 66

13 Das Zustandsverhalten reiner Stoffe………………………………………………………………………. 72 13.1 Allgemeines…………………………………………………………………………………………….. 72 13.2 Das Zustandsverhalten von Wasser…………………………………………………………………. 73 13.2.1 Definierte Größen……………………………………………………………………………….. 73 13.2.2 Näherungsweise Berechnung der Größen für flüssiges Wasser (für "Fußgänger")…….. 73 13.2.3 Rechenaktive Funktionen………………………………………………………………………. 74 13.2.4 Zustandsdaten im Siedepunkt für flüssiges Wasser und Dampf (Sattdampf)……………. 75 13.2.5 Diagramme………………………………………………………………………………………. 76 13.2.6 Aufgaben…………………………………………………………………………………………. 77 13.3 Andere Stoffe…………………………………………………………………………………………… 81

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14 Verbrennung…………………………………………………………………………………………………... 86 14.1 Stoffbilanzen……………………………………………………………………………………………. 86 14.1.1 Gasförmige Brennstoffe………………………………………………………………………… 86 14.1.2 Feste und flüssige Brennstoffe………………………………………………………………… 87 14.2 Brennwert, Heizwert und theoretische Verbrennungstemperatur………………………………… 89 14.2.1 Brennwert und Heizwert………………………………………………………….……………. 89 14.2.2 Theoretische Verbrennungstemperatur………………………………………………………. 90 14.3 Wasserdampftaupunkt des Rauchgases……………………………………………………………. 91 14.4 Abgaskontrolle…………………………………………………………………………………………. 93

15 Vergleichsprozesse für spezielle Maschinen……………………………………………………………… 94 15.1 Otto-Prozess……………………………………………………………………………………………. 94 15.2 Diesel-Prozess…………………………………………………………………………………………. 94 15.3 Seiliger-Prozess……………………………………………………………………………………….. 95 15.4 Joule-Prozess………………………………………………………………………………………….. 96 15.5 Clausius-Rankine-Prozess……………………………………………………………………………. 97 15.6 Kaltdampfprozess zum Kühlen und Heizen…………………………………………...……………. 98 15.7 Kombinierter Gas- und Dampfturbinen-Prozess (GuD)……………………………………………. 99

16 Wärmeübertragung…………………………………………………………………………………………... 101 16.1 Wärmeleitung…………………………………………………………………………………………... 101 16.1.1 Ebene Wand……………………………………………………………………………………... 101 16.1.2 Zylindrische Wand………………………………………………………………………………. 102 16.2 Konvektion……………………………………………………………………………………………… 103 16.3 Wärmedurchgang……………………………………………………………………………………… 104 16.4 Wärmeübertrager………………………………………………………………………………………. 107 16.5 Wärmestrahlung……………………………………………………………………………………….. 109 16.5.1 Emission…………………………………………………………………………………………. 109 16.5.2 Auftreffende Strahlung………………………………………………………………………….. 112 16.5.3 Wärmeübertragung durch Strahlung………………………………………………………….. 112 16.6 Weitere Aufgaben und Beispiele………………………………………………………………..……. 115

Literaturverzeichnis………………………………………………………………………………………………. 116 Thermodynamik……………………………………………………………………………………………… 116 Bücher mit Mathcad…………………………………………………………………………………………. 116 Literatur zu Stoffdaten………………………………………………………………………………………. 118

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Vorwort Dieser Band ergänzt und erweitert das im Fachbuchverlag Leipzig (Hanser) im Jahre 2001 erschie-nene Buch „Übungsaufgaben zur Thermodynamik mit Mathcad“.

Viele angehende und fertige Ingenieure haben die Möglichkeit gerne aufgegriffen, thermodynami-sche Aufgaben mit Mathcad am PC bearbeiten zu können und dafür - über das gesamte Lehrgebiet verteilt - Beispiele vorzufinden, die sich nach eigenem Bedarf bearbeiten und verändern lassen. Bei der Einführung des Buches in den relevanten Fachdisziplinen hatte sich jedoch auch gezeigt, dass nur diejenigen Interessenten dessen Sinn richtig erkennen konnten, die in der Lage und willens waren, die Dateien aus der zugehörigen CD zu öffnen. Nur bei der Anwendung auf dem PC wird der Vorteil der interaktiven Datensätze und Formulationen erkennbar, insbesondere für die Stoffdaten von Wasser und - mit den Ergänzungen aus dem Downloadbereich - zusätzlich für Stickstoff und einige Kältemittel, auf die online zugegriffen werden kann. Aber auch die Möglichkeiten, die sich durch unendlich viele Eingabevarianten bei den Rechenbeispielen erschließen, kommen nur dann zur Geltung. Deshalb ist dieser Band kein Ersatz für das Buch mit den aktiven Dateien. Er ist viel-mehr eine leichter lesbare Form, allerdings auch mit zusätzlichen Erklärungen und Beispielen aus-gestattet und zur Verwendung neben dem Rechner oder auch ohne diesen geeignet. Wenn auch ein Inhaltsverzeichnis angefügt wurde, so ist doch das Suchen nach bestimmten Begriffen nur am Rech-ner mit der CD des Übungsbuches möglich.

Bezüglich des Buches soll hier noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen werden, dass Autor und Verlag nicht die Absicht hatten, den vielen - zum großen Teil hervorragenden - Fachbüchern ein weiteres überflüssiges hinzuzufügen, sondern dem Nutzer auf leichte Weise - ohne Kenntnisse von Programmiersprachen - auch auf diesem Gebiet die Möglichkeiten zu erschließen, die heute ein PC bietet, und damit das in diesem Rahmen beherrschbare Spektrum wesentlich zu erweitern.

Ein Nachteil, der dabei zunächst in Kauf genommen werden muss, ist die manchmal etwas unge-wöhnliche Schreibweise bei Formeln, die wegen der für Mathcad erforderlichen Unverwechselbar-keit von Funktionsnamen etwas umständlicher wird. Insbesondere junge Nutzer gewöhnen sich im Allgemeinen aber sehr schnell daran. Dennoch wurde in diesem Band und in den Dateien, die das Fachgebiet Energietechnik zusätzlich zum Download zur Verfügung stellt, zur besseren Übersicht die allgemeine Darstellung des Stoffes von manchen mathcadspezifischen Formulierungen befreit, mit weiteren Erklärungen versehen, und durch Bilder ergänzt. Auch wurden viele aktive Routinen und Anweisungen in Bereiche verlagert, die nur aus der Programmoberfläche heraus einsehbar sind oder durch Anklicken geöffnet werden können. Auf diese Weise ist eine kompakte, als Repetitorium auch für den "Fußgänger" nutzbare Form entstanden, die hier abgebildet ist und die teilweise im Downloadbereich neben dem aktiven Mathcadformat in:

http://www.uni-duisburg.de/FB7/FG02/Mathcad/download.html,

abgelegt ist, sowie auch im PDF-Format vorliegt in:

http://duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/DerivateServlet/Derivate-17146.xml.

Die Übungsaufgaben wurden ebenfalls erweitert und mit ausführlichen Erklärungen - insbesondere für den "Fußgänger" versehen. Auf vielfachen Wunsch wurden die Lösungswege als Anhang mit in die Skriptoberfläche übernommen. Während aber in der aktiven Buchkapiteln die Lösungen durch Klick auf das gelbe Feld „Lösung“ aufgerufen werden können, muss hier geblättert werden. Einige umfangreichere Berechnungen, die den Rahmen für normale Übungen sprengen, kommen hinzu. Sie sind als Beispiele mit der Bezeichnung "B" eingefügt, wobei der Rechengang, der ebenfalls aus der

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sichtbaren Oberfläche ausgeblendet ist, zur Einsicht geöffnet werden kann (nur mit Mathcad 8 bis 11). So lassen sich auch - ohne Blick auf den Rechengang - Parameterstudien betreiben. Einige dieser Berechnungen laufen allerdings nur mit Mathcad 11, wie z.B. die Kreislaufberechnung B 15.6 mit rechenaktivem Wärmeschaltplan für ein KWK-Kraftwerk.

An vielen Stellen sind in den Berechnungen zur Erleichterung auch Hinweise auf spezielle Mathcad-Routinen gegeben. Wer aber alle Möglichkeiten von Mathcad kennenlernen will oder weitere Hilfen wünscht, muss auf das Mathcad-Handbuch zugreifen, dessen Umfang etwa dem dieses Bandes entspricht. Darüber hinaus steht aber auch die Mathcad-Online-Hilfe zur Verfügung, die über das gelbe Fragezeichen in der Symbolleiste aufgerufen werden kann.

Es sei zum Schluss für den eiligen Leser auch hier noch einmal darauf hingewiesen, dass zum Ar-beiten mit den Mathcaddateien die Installation eines der Computeralgebra-Programme Mathcad 8 bis Mathcad 11 erforderlich ist. Von dem auf der CD des eigenen Übungsbuches befindlichen Mathcadexplorer muss dringend abgeraten werden. Eine geeignete Mathcad 8 - Professional– Ver-sion ist auf der jeweiligen CD zu den Büchern von Gerd Schlüter über Regelungstechnik (Standort in der UB DUE: D33, D43 und D45) zu finden.

Duisburg, Dezember 2007 Volker Sperlich

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Lösung S. a1

Gesucht wird eine Zahlenwertgleichung, in der alte, z.T. nicht mehr gesetzliche Einheiten verwendet werden: PS,Liter, min, und at.

PM 0.5 VH⋅ n⋅ peff⋅=

Gegeben ist die Größengleichung für die Leistung eines Verbrennungsmotors (4-Takt-Motor) mit den Parametern V H

(Hubraum), n (Drehzahl) und peff (mittlerer effektiver Überdruck). Auf die Herleitung dieser einfachen Gleichung wirdhier verzichtet.

Aufgabe A 1.1 Umwandlung einer Größengleichung in eine Zahlenwertgleichung

LW 6 m=Das Ergebnis ist jetzt wieder richtig:

LW EL ZL⋅:=ZL 6:=und Zahlenwert von LW:EL m:=Einheit von LW

Sie können aber Folgendes definieren (Die sonst üblichen eckigen Klammern können hier nicht verwendet werden.)

falsch!LW 1 m=

Wenn Sie jetzt wieder probieren, wie groß L ist, erhalten Sie etwas Falsches:

1 Größen und Einheiten der Thermodynamik1.1 Größen und Einheiten, allgemein Für jede physikalische Größe steht ein Symbol, z. B. für die Länge wählt man vielfach den Buchstaben L (der kleineBuchstabe l ist hier kaum von der Ziffer 1 zu unterscheiden). Die Länge ist, wie viele andere Größen, eine direktmessbare Eigenschaft eines Gegenstandes. Zum Messen braucht man eine Vergleichsgröße. Solche Vergleichsgrößennennt man Einheiten. Die Einheiten sind ursprünglich mehr oder weniger willkürlich festgelegt worden, sie sind heutejedoch in einem international gültigen Einheitensystem, dem SI-System festgelegt. Für die Länge ist dies das Meter. DieLänge eines bestimmten Gegenstandes gibt man daher in Vielfachen bzw. Bruchteilen dieser Vergleichsgröße (Einheit)an. Das Mathematikprogramm Mathcad "kennt" diese Einheiten. Für das Meter steht der kleine Buchstabe m.

Die Länge einer Wand ist z. B. LW 6 m⋅:= (gleich sechs mal (ein) m)

Man erkennt also, die Größe ist immer ein Produkt aus einem Zahlenwert und der Einheit.Sie haben in der obigen Gleichung, in der das Gleichheitszeichen mit dem Doppelpunkt auf der Tastatur eingegebenwird, die Länge L eindeutig definiert. Wenn Sie jetzt noch einmal wissen wollen, wie groß die Länge L ist, schreiben SieL und danach das Gleichheitszeichen (auf der Tastatur über der Null):

LW 6 m=

Wenn Sie nunmehr das Ergebnis in einer anderen Einheit ausdrücken wollen, z. B. in cm, also dem hundertsten Teil dergenormten Einheit, ersetzen Sie jetzt in dieser Ergebnisgleichung das Meter durch das Zentimeter, indem Sie das Meteranklicken und in den Platzhalter, der jetzt erscheint, cm einsetzen .

LW 600 cm=

Der Zahlenwert ist jetzt das Hundertfache, damit das Ergebnis gleich bleibt. Zahlenwert und Einheit sind in derGleichung gleichberechtigte Faktoren. Sie können L dimensionslos machen, indem Sie durch die Einheit dividieren, Sieerhalten damit den Zahlenwert von L.

LW

m6=

Sie können genau so auch L durch den Zahlenwert dividieren und erhalten dann die Einheit:

LW

61 m=

Beachten Sie diese Zusammenhänge und schreiben Sie nie bei einer Einheitenbetrachtung:

LW m:= falsch!

66

V 1 V= W 1 W= e 2.718=

g 9.807m

s2= h 3600 s= l 0.001 m3= m 1 m= π 3.142= s 1 s= t 1000 kg=

Sie können diese Symbole in Ihren Berechnungen anders definieren. Wenn Sie jedoch eine vorher getroffene Definitionvergessen haben, kommt bei Verwendung des Symbols nur dann eine Fehlermeldung, wenn in einer Gleichung dieEinheiten nicht übereinstimmen, ansonsten verwendet Mathcad diese Definition.

Die Thermodynamik benutzt also zusätztlich zu den 3 Grundgrößen der Mechanik die Temperatur als 4. Grundgrößeund die Stoffmenge als 5. Grundgröße. Rein theoretisch könnte man darauf verzichten, da die Temperatur durch diekinetische Energie der Moleküle gekennzeichnet ist und die Stoffmenge über die Masse und die chemischeZusammensetzung des Stoffes. In der Praxis würde man damit jedoch auf große Schwierigkeiten stoßen.

Die Temperatur

Mathcad kennt für die Temperatur nur die Einheit K (Kelvin). Will man mit °C rechnen muss man vorher definieren:

°C K:=

Die Skala für die sogenannte absolute Temperatur wurde von Kelvin der Skala von Celsius angepasst, so dass nur derNullpunkt ein anderer ist (vergl. Aufgabe A 1.4) Die Umrechnung ist daher:

t1 T1 273.15K−= oder: T1 t1 273.15K+=

(fettes Gleichheitszeichen über Symbolleiste "Auswertung" oder über Tasten str und + ( hier nicht aktiv))

Um nicht für jede einzelne Temperatur diese Umrechnung vornehmen zu müssen, kann man auch definieren:

Aufgabe A 1.2 Umwandlung einer Größengleichung in eine Zahlenwertgleichung

Gegeben ist folgende Gleichung für einen Wärmestrom:

Q m c⋅ ∆T⋅=

Gesucht ist eine Zahlenwertgleichung mit den Einheiten: EQ = kcal/h, Em = TME/h , Ec = BTU / lb*K und E∆T = °C Dabei sind:

1 TME = Masse, die für die Beschleunigung um 1m/s2 eine Kraft von 1kp benötigt.1 BTU (British Thermal Unit) = 1055 J 1 kcal = 4,19 kJ1 kp = Gewicht von einem kg bei Normal-Erdbeschleunigung1 lb = 0.454 kg

Lösung S. a2

1.2 Grundgrößen

1 ) Die Länge L mit der Einheit EL m:=2 ) Die Masse m1 mit der Einheit Em kg:=

3 ) Die Zeit Z mit der Einheit EZ s:=4 ) Die Temperatur T mit der Einheit ET K:= sowie mit: °C K:= , t mit der Einheit: Et °C:=

5 ) Die Stoffmenge n mit der Einheit En mol:= oder mit kmol 1000mol:= : En kmol:=

Die Größen m und t werden z.T. mit einem beliebigen Literalindex (Eingabe von Punkt und Ziffer bzw. Buchstabe)oder mit einem zweiten Buchstaben versehen. Dieser Index kann irgend einen Zustand oder einen bestimmtenGegenstand charakterisieren. Mathcad "kennt" die Einheiten. Wollte man die Masse nur mit m bezeichnen, würdeMathcad dies mit dem Meter verwechseln. Weitere belegte Symbole sind:

A 1 A= C 1 C= F 1 F= G 1 10 4−× T= H 1 H= J 1 J= K 1 K= L 0.001 m3=

N 1 N= P 0.1kgm s

= R 0.556 K= S 1 S= T 1 T=

77

R Rmol:=Rmol 8314J

kmol K⋅:=

Die molare Gaskonstante für ideale Gase ist:

Die Stoffmenge

Die Stoffmenge wird auch als Teilchenmenge bezeichnet. Da man wegen der großen Zahlenwerte nicht die Anzahl derAtome bzw. Moleküle angeben will, wird als Einheit das mol verwendet, das aus so vielen Teilchen besteht, wie in 12 greinen atomaren Kohlenstoffes (C12) enthalten sind. Da dieses Kohlenstoffatom die 12-fache Masse desWasserstoffatoms besitzt, ist die molare Masse eines Stoffes in kg so groß, wie die relative Molekülmasse angibt, bei H2also 2 kg/kmol.

Während Mathcad die Einheit mol kennt ( mol 1 mol= ), muss die meist verwendete Einheit kmol 1000mol:= definiertwerden

Temperaturskala:Die gebräuchliche Skala für die Temperatur t wurde von Celsiuswillkürlich festgelegt, indem er die Temperaturdifferenzzwischen Siedepunkt und Gefrierpunkt des Wassers in 100 Teileteilte. Eine theoretisch begründete Temperaturskala ist die derabsoluten Temperatur T mit der Einheit K und dem Nullpunkt bei - 273,15 °C (vergl. Aufgabe A 1.4)

0°C

100°C

Gefrierpunkt Siedepunkt

Zeigt das System C (Thermometer) mit dertemperaturabhängigen Größe LF denselben Wert fürLF im Kontakt mit dem System A, wie im Kontakt mitdem System B, so haben A und B dieselbeTemperatur. A B

LFC

Anwendung des nullten Hauptsatzes:Temperaturmessung:

System A hat also dieselbe Temperatur, wie System C

Definition der Temperatur:

Zwei Systeme, die miteinander im thermodynamichenGleichgewicht stehen, haben dieselbe Temperatur

Nullter Hauptsatz:Stehen zwei Systeme mit einem dritten imGleichgewicht, so stehen sie auch untereinander imGleichgewicht.

A steht mit B im thermodynamischenGleichgewicht, ebenso wie B mit C

A

B

C

Erläuterung zum Begriff der Temperatur

Will man ein Ergebnis in einer anderen Einheit als der von Mathcad automatisch angezeigten angeben, so ist dieseEinheit in den Platzhalter hinter dem Ergebnis einzusetzen. Wollen Sie z.B. t 1 anzeigen, so wird zunächstausgegeben: t1 50K= . Klicken Sie auf den zunächst unsichtbaren Platzhalter hinter dem Ergebnis und setzen Siedort °C ein, dann erhalten Sie: t1 50°C=

für t1 50°C:= ist dann mit T1 Tt t1( ):= die absolute Temperatur T1 323.15K=

Tt t( ) t 273.15K+:=bzw. tT T( ) T 273.15K−:=

88

EpEFEA

:=Druck p

vmolMolvolumen Evmol 1m3

kmol=Evmol 0.001

m3

mol=Evmol

EVEn

:=Volumen, das 1 mol(1kmol) eines Stoffeseinnimmt

EM 1kg

kmol=EM 0.001

kgmol

=EMEmEn

:=Masse von einem (k)moleines Stoffes

MMolare Masse

Eγ 1N

m3=Eγ 1

kg

m2 s2=Eγ Eρ Ea⋅:=γ

Das Gewicht derVolumeneinheit diesesStoffes bei Norm-Erdbe-schleunigung: g 9.807m s 2−

⋅=

spezifischesGewicht (Wichte)

EG 1 N=EG EF:=

Ecw 1J

kg K⋅=Ecw 1

m2

s2K=Ecw

EEEm ET⋅

:=(vergl. Kap. 6 u. 11)cw, cp,cv

SpezifischeWärmekapazität

Ee 1Jkg

=Ee 1 Sv=EeEEEm

:=(vergl. Kap. 4)e, w, q,h, u

SpezifischeEnergien

kWh kW h⋅:=

kJ 1000J:=EE 1 J=EE EL EF⋅:=(vergl. Kap. 4)E, W, Q,U, H

Energien

mbar 100Pa:=

bar 105Pa:=Ep 1 Pa=

cGeschwindigkeit

m3 1000 l=EV 1 m3=EV EL3:=VVolumen

m2 10000 cm2=EA 1 m2=EA EL2

:=AFläche

________________________________________________________________________________________________

Geänderte Ausgabeund andere Definition

Ausgabemathcad

Einheiten-gleichung

Definition Symbol Größe

Auf eine Reihe von abgeleiteten Größen muss besonders hingewiesen, werden, weil sie entweder aus der Mechanikweniger bekannt sind oder dort mit anderen Symbolen verwendet werden. Im Folgenden sind der Vollständigkeithalber alle wichtigen Größen mit ihren Symbolen und den zugehörigen Einheitengleichungen aufgelistet. ZurUnterscheidung von unterschiedlichen Größen, für die je nach Anwendung oft dieselben Symbole verwendet werden,sollte man immer über Literalindizes (Eingabe nach einem Punkt) oder einen zusätzlichen Buchstaben eindeutigeZuordnungen erreichen.

1.3 Abgeleitete Größen

Gewicht G

EF 1 N=EF Em Ea⋅:=FKraft, allgemein

Eρ 1kg

m3=Eρ

EmEV

:=Die Masse derVolumeneinheit diesesStoffes, Kehrwert desspezifischen Volumens.

ρDichte

Ev 1m3

kg=Ev

EVEm

:=Das Volumen einesStoffes, das von derMasseneinheit diesesStoffes eingenommenwird.

vSpezifischesVolumen

Ea 1m

s2=Ea

EL

EZ2:=aBeschleunigung

ms

3.6kmh

=Ec 1ms

=EcELEZ

:=v( )

99

λ (vergl. Kap. 16) Eλ EqAELET⋅:= Eλ 1

kg m

s3K= Eλ 1

Wm K⋅

=

Wärmeübergangs-koeffizient

α (vergl. Kap. 16) EαEqAET

:= Eα 1kg

s3K= Eα 1

W

m2 K⋅=

Wärmedurchgangs-koeffizient

k (vergl. Kap. 16) Ek Eα:= Eα 1kg

s3K= Eα 1

W

m2 K⋅=

Dynamische Zähigkeit (Viskosi-tät)

ηZ (vergl. Kap. 16) EηZEpEc

EL

:= EηZ 1kgm s

= EηZ 1 Ns

m2⋅=

Kinematische Zähigkeit (Viskosi-tät)

ν (vergl. Kap. 16) EνEηZ

Eρ:= Eν 1

m2

s=

Tabelle 1.1 Größen und Einheiten

Entropie S (vergl. Kap. 5) ESEEET

:= ES 1kg m2

s2K= ES 1

JK

=

SpezifischeEntropie

s (vergl. Kap. 5) EsESEm

:= Es 1m2

s2K= Es 1

Jkg K⋅

=

Leistung P EPEEEZ

:= EP 1 W= kW 1000 W=

MW 103kW:=

Wärmestrom Q QStr= (vergl. Kap. 16) EQStr EP:= EQStr 1 W= GW 103MW:=

Wärmestromdichte qA (vergl. Kap. 16) EqAEPEA

:= EqA 1kg

s3= EqA 1

W

m2=

Wärmeleitfähigkeit

1010

2 Thermodynamische SystemeEin Thermodynamisches System ist ein bestimmter Bereich, auf den sich die jeweilige Betrachtung bezieht. Er wird miteiner geschlossenen Grenze umgeben. Es werden die Stoffmengen und Energien bilanziert, die über diese Grenze fließen.

Geschlossenes (stoffdichtes) System stoffdicht, verschiebbare SystemgrenzeAbgeschlossenes System: stoffdicht und energiedichtOffenes (stoffdurchlässiges) System: Stoff fließt über starre SystemgrenzeAdiabates System: wärmedicht

Anmerkung: Energie, die mit dem Stoffstrom fließt, gilt nicht als Wärme, sondern als innere Energie (vergl. Kap.4.1). Ein offenes System gilt dann als adiabat, wenn keine Wärme über die Systemgrenze fließt (z. B. eineDampfturbine, deren Gehäuse isoliert ist).

System

ohneEinschrän-

kung

adiabat

arbeitsdicht

energiedicht

ohneEinschrän-

kung

adiabat

arbeitsdicht

arbeitsdichtund

adiabat

Über dieSystem-grenzefließt

stoffunab-hängig:

gesc

hlos

sen

(mas

sedi

cht)

offe

n (m

asse

durc

hläs

sig,

Ene

rgie

trans

port

über

den

Sto

ffstro

m)

Beispiel

W ärme undArbeit

W ärme

Arbeit

W ärme undArbeit

Arbeit

W ärme

Beweglicher, dichtschließender

Kolben in Zylinder,nicht isoliert

Q

W

W

wie oben, jedochringsum

wärmeisoliert

Starrer, isolierterBehälter

(Thermosflasche)

Starrer, nichtisolierterBehälter

Q

m

Q

m

PVerbrennungs-kraftmaschine

m

m

P Dampfturbinemit isoliertem

Gehäuse

mm beheiztes Rohr

mmisoliertes Rohr

(Fernheizleitung)

Systemgrenze

Q

Bild 2.1 Übersicht über thermodynamische Systeme

1111

Lösung S. a3

R 300J

kg K⋅=c 1000

Jkg K⋅

=c und R sind Konstanten:

ds cdTT

⋅ Rdvv

⋅+=Größe s (Entropie):

dq c dT⋅ RTv⋅ dv⋅+=Größe q (Wärme):

T

v

1 2

34

Untersucht werden sollen 2 verschiedene Größen, derenDifferenzial in den beiden folgenden Gleichungen durchdie Größen T und v beschrieben ist.

Vorgegeben wird die Temperatur T und das spezifische Volumen v im Zustandpunkt 1 mit T1 und v1. Verändert manden Zustand auf beliebige Weise und kehrt auf einem anderen Wege zum Ausgangszustand 1 zurück, hier auf dem Wegüber die Punkte 2 bis 4, so haben alle Zustandsgrößen bei Erreichen des Punktes 1 wieder den gleichen Wert wievorher, anders gesagt, das Kreisintegral oder die Summe aller Änderungen muss null sein. Dieses Merkmal istnotwendig und hinreichend für den Beweis, dass es sich bei der zu untersuchenden Größe um eine Zustandsgrößehandelt.

Aufgabe A 3.1 Zustandsgrößen - Prozessgrößen

Bild 3.1 Das vollständige Differenzial

∫ = 0dz

oder :

δ

δzδx

y

δy

x

δ

δzδy

x

δx

y

=

Dann muss sein:

Eine Größe ist eine Zustandsgröße, wennsie ein vollständiges Differenzial hat

d y

d x x

y

zδzδx y

d x

δzδy x

d y

bedeutet : partielle Ableitung von znach x (bei konstantem y)

δzδx

y

dzδzδx

y

dx⋅δzδy

x

dy⋅+=

Für diese Gleichung existiert dann ein volllständiges Differenzial:

x und y und z sind intensive Zustandgößenz f x y,( )= es gilt

innere Zustandsgrößen: Druck, Temperatur, Volumen, Entropie, innere Energie, Enthalpie, Transportgrößen(Stoffwerte)

äußere Zustandsgrößen: Lagekoordinaten, Geschwindigkeit, Beschleunigung, potentielle und kinetische Energieintensive Zustandsgrößen: von Masse bzw. Stoffmenge unabhängig: Druck, Temperatur, spezifische und molare

Größenextensive Zustandsgrößen: Masse, Volumen, Energien, Entropie

Zustandsgrößen sind durch den Zustand des Systems gekennzeichet. Sie sind unabhängig vom Weg, auf dem derZustand erreicht wurde. In einem homogenen Ein-Stoff-System ist der intensive (von der Menge unabhänige) Zustanddurch 2 voneinander unabhängige intensive Zustandsgrößen festgelegt.

Einteilung der Zustandsgrößen:

3.1 Zustandsgrößen

3 Zustand

1212

Lösung S. a10Berechnen Sie daraus die spezifischen Volumina der Gase im Normzustand!

R 8314J

kmol K⋅⋅:=und die allgemeine Gaskonstante:

MH2O 18kg

kmol⋅:=MCO2 44

kgkmol⋅:=MN2 28

kgkmol⋅:=MO2 32

kgkmol⋅:=

Die molaren Massen von Sauerstoff O2 , Stickstoff N2 , Wasserdampf H2O und CO2 sind:

Aufgabe A 3.5 Molare und spezifische Größen

S. a7

Ein Gasthermometer wird mit zwei unterschiedlich großen Stickstoffmengen betrieben. Füllung a ergibt imTripelpunkt von Wasser einen Druck von p0a = 300 mbar, Füllung b einen Druck von p0b = 1700 mbar . ImGleichgewicht mit siedendem Wasser bei Atmosphärendruck ergeben sich Drücke von p1a = 400,9 mbar undp1b = 2325,15 mbar . Welche Temperatur ergibt sich dann für das siedende Wasser?

Aufgabe A 3.4 Temperaturmessung mit dem Gasthermometer

Lösung S. a6

Der Druck in einem Dampfkessel wird mittels einesU-Rohr-Manometers aus Glas gemessen. Messflüssigkeit istQuecksilber (ρHg = 13.6 kg/dm3). Durch einen Kondenstopf an derDruckentnahme ist gewährleistet, dass der zugehörige Schenkeldes U-Rohres stets mit Wasser gefüllt ist. Der Luftdruck wurdemit pU = 1000 hPa gemessen. a) Welcher Druck herrscht im Kessel, wenn die Differenz derQuecksilbersäulen ∆z 2676mm:= und die Wassersäule z1 4m:=

beträgt? b) Wie lang müsste das U-Rohr mindestens sein, wenn eineMessflüssigkeit mit einer Dichte von 2,4 kg/dm3 verwendetwerden soll?

Dampf

Fl.Wasser

∆z z1

Aufgabe A 3.3 Druckmessung mit U-Rohr-Manometer

Lösung S. a5 bestimmt wurde!ρHg 13.6kg

10cm( )3=

gemessen wird und die Dichte des Quecksilbers mit hHg 765mm=

Ein etwa 1m langes Glasrohr mit einem lichten Durchmesser von 5 mm, das auf einer Seitegeschlossen ist, wird mit Quecksilber vollgefüllt und ohne Luftblase verschlossen, z. B. miteinem Gummipfropfen. Anschließend wird das Rohr mit dem Verschluss nach unten in einoffenes Gefäß getaucht, das ebenfalls mit Quecksilber gefüllt ist. Nun wird der Verschlussentfernt. Im Rohr sinkt nunmehr die Quecksilbersäule bis auf die Höhe hHg ab. Darüber muss sichnunmehr Vakuum befinden (In Wirklichkeit Quecksilberdampf mit vernachlässigbaremTeildruck). Bestimmen Sie nun den Luftdruck, wenn die Höhe

hHg

Aufgabe A 3.2 Luftdruckmessung

1313

Rmol 8.314kJ

kmol K⋅=

ERmol 1J

kmol K⋅=ERmol EM ER⋅:=r M R⋅=r Rmol:=

p v⋅ M R⋅ T⋅= r T⋅=

p V⋅ m R⋅ T⋅=

ER 1J

kg K⋅=ER

Ep Ev⋅

ET:=

(Dieses Gleichheitszeichen (Str+) ist hier nicht aktiv)

p v⋅ R T⋅=Thermische Zustandsgleichung für ideale Gasemit den intensiven Zustandsgrößen (stoffabhängig):

R ist die stoffspezifische Gaskonstante mit der Einheit:

Durch Erweitern der Gleichung mit der Masse m erhält man für die extensiven Größen V und m:

und nach Dividieren durch die Stoffmenge n

mit der molaren Gaskonstante

Die Gleichungen z = f(x,y) oder F(x,y,z) = 0 heißen Zustandsgleichungen. Bildlich kann z. B. z1 als Höhe einesPunktes 1 über der x-y-Ebene mit den Koordinaten x1, y1 dargestellt werden. Die Menge aller Punkte bildet eine Flächeim Raum. Die gebräuchlichen Zustandsdiagramme sind Projektionen auf die drei Ebenen mit Parameterlinien fürkonstante x- y- und z-Werte.Die einfachste Zustandsgleichung haben ideale Gase, weshalb diese meist zur Darstellung von grundsätzlichenZusammenhängen herangezogen werden. Ein Gas verhält sich in Wirklichkeit nur im Grenzfalle p => 0 ideal, d. h.wenn sich kein Gas mehr im System befindet (vergl. Aufgabe A 1.4). Alle realen Gase verhalten sich mehr oder wenigerabweichend. Die zur Berechnung erforderlichen Daten sind als Zahlentafeln oder Computerprogramme erhältlich. (Fürdie Bestimmung der Zustandsgrößen von Wasser, Stickstoff und einiger Kältemittel (flüssig und dampfförmig) sindaktive Rechenprogramme in dieses Buch eingearbeitet, vergl. Kapitel 13).

3.2 Zustandsgleichungen

Lösung S. a11

:Berechnen Sie den Durchmesser D (näherungsweise soll dieKugelform angenommen werden) der Ballonhülle einesHeißluftballons, der folgende Last zu tragen hat: Korb mit Zubehör mk

= 100 kg , 4 Personen: mp = 300 kg , Brenner 30 kg und 4Gasflaschen à 40 kg: mBr = 190 kg ! Für die Ballonhülle muss

allerdings zusätzlich eine Masse von mA = 0,12 kg/m2

berücksichtigt werden. Es soll eine Übertemperatur der Heißluft von80 °C gegenüber der Umgebungstemperatur von 15 °C angenommenwerden.

D

Aufgabe A 3.6 Berechnen der zum Abheben erforderlichen Gastemperatur abhängig vom Durchmesser

1414

dh cp dT⋅=

Eine Zusammenstellung thermischer und ausgewählter energetischer Zustandsgleichungen für ideale (perfekte) Gasewird in Kapitel 6 gegeben.

Aufgabe A 3.7 Isothermen zeichnenZeichnen Sie für Luft im p-v-Diagramm im Intervall 0 < p <10 bar und 0 < v < 1 m3 die Isothermen für0° C, 100 °C und 200 °C ! Lösung S. a13

Aufgabe A 3.8 Ausgleichsbehälter einer Heizungsanlage

V1

x

HW

HE

A

d

Der Ausgleichsbehälter einer Heizungsanlage hat imBetriebszustand ein Luftpolster mit einem Volumen von V1

bei einem Druck von p1. In der Höhe HE befindet sich einekleine Entlüftungsarmatur A.Das Heizungssystem soll entlüftet sein. Wieviel Wasserfließt dort allmählich aus, wenn die Armatur (z. B. vonKinderhand) geöffnet und nicht wieder geschlossen wird?

Gegeben:

HW 3m:= HE 11m:= d 1m:= V1 1 m3⋅:=

p1 2.5bar:= Außendruck: pa 1bar:=

Wichte des Wassers: ρW 1000kg

m3:= γW ρW g⋅:=

Lösung S. a 15

Kalorische Zustandsgleichungen für ideale Gase u cv t⋅= h p0 v0⋅ cp t⋅+=

Vakuum

t1 p1

t2 p2

p2 t2

Ausgangszustand

Endzustand

Hierzu folgende Erläuterung:Für die kalorische Zustandsgrößeu gilt allgemein (s.o.):

duδuδT

v

dT⋅δuδv

T

dv⋅+=

Nach dem 1. Hauptsatz ist für dasgeschlossene System mit starrer Systemgrenze (dv=0):

du cv dT⋅=

somit ist du cv dT⋅δuδv

T

dv⋅+=

Der Drosselversuch von Gay Lussac in einem abgeschlossenenSystem (rechtes Bild) ergibt, dass nach Druck- undTemperaturausgleich zwischen beiden Gefäßen t2 = t1 ist. Da dT = 0ist, sich das Volumen verdoppelt hat dv 0≠( ) und die innere Energieim abgeschlossenen System sich nicht ändern konnte, ist also

δuδv

T

0= und allgemein füralle Zustandsänderungen:

du cv dT⋅=

Umkehrschluss: bei einer isothermen Ausdehnung eines idealenGases ist die innere Energie konstant

Bild 3.2 Drosselversuch von Gay Lussac

und somit allgemein füralle Zustandsänderungen:: Mit h u p v⋅+= u = const, p*v = const. ist auch h = const.

1515

Aufgabe A 3.9 Inhalt eines Druckbehälters

In einem Gefäß mit einem Inhalt von 4000 Liter befindet sich bei einer Temperatur von eine Gasmengevon 3kmol CO2 a) wie groß sind Druck und Dichte des Gases? b) Wie groß ist das Volumen imNormzustand? Lösung S. a18

Aufgabe A 3.10 Zeit zum Aufladen eines Pressluftbehälters

B

K

S

VEin Druckbehälter für Pressluft hat ein Volumen von VB = 3 m3 DerDruck beträgt im aufgeladenen Zustand pmax = 10 bar. d. h. bei diesemDruck schaltet der Ladekompressor K über den Druckschalter S aus.Der Mindestdruck, bei dem der Kompressor wieder anläuft, beträgt pmin

= 3 bar. Der Kompressor saugt aus der Umgebung mit pU = 1 bar undtU = 25 °C an. Die Temperatur im Behälter sei infolge gutenWärmeaustausches mit der Umgebung konstant tB = 25 °C. An derVerbrauchsstelle hinter dem Reduzierventil V wird ein konstanterVolumenstrom V = 3,74 m3/h bei pV = 2,75 bar und tV = 20 °Centnommen.Berechnen Sie die Zeit Z, die zwischen dem Abschalten undWiedereinschalten des Kompressors vergeht!

Lösung S. a19

Aufgabe A 3.11 Leckverluste in einem Pressluft-Leitungssystem Ein Schraubenkompressor drückt Pressluft in ein verzweigtes Leitungssystem mit einem Betriebsdruck vonpM = 5 bar Er fördert unabhängig vom Gegendruck die Luftmenge = 19 m3/min im Ansaugzustand bei p1 =1 bar und t1 = 25 °C. Um festzustellen, welche Leckmengen im Leitungssystem entstehen, werden alleVerbraucher abgeschiebert und nach dem Aufladen des Systems auf p2 = 6,7 bar der Kompressorabgeschaltet. Der Verlauf des Druckes über der Zeit wird gemessen, bis der Druck auf p3 = 1,385 barabgefallen ist. Zu diesem Zeitpunkt wird der Kompressor wieder gestartet. Der Verlauf des Druckes über derZeit wird wiederum gemessen. 1. Welches Volumen hat das Leitungssystem?2. Welche Menge entweicht bei Betriebsdruck?3. Welche Menge ist in der Zeit während des Kompressorstillstandes entwichen?

Lösung S. a20

Aufgabe A 3.12 Leckverluste in einem Pressluft-Leitungssystem, vereinfachte Berechnungfür geringe Druckunterschiede

Ein Druckbehälter DB für Luft hat ein Volumen von VDB = 5 m³. Er wird von Zeit zu Zeit über einen Kompressor Kmit einer Förderleistung von V = 14.0 m³/h im Normzustand auf einen Maximaldruck von pmax = 6.0 bar aufgeladen.Der Behälter ist jedoch an ein Leitungsnetz mit unbekanntem Volumen angeschlossen. Um die Undichtigkeiten im Netzzu ermitteln, werden alle Verbraucher abgeschaltet. Der Druck fällt dabei innerhalb einer Zeit von t Leck = 3,5 h aufpmin = 5.7 bar ab, wobei sich der Kompressor wieder einschaltet. Der Kompressor benötigt jetzt eine Zeit von tLaden =0.15 h, um den Maximaldruck wieder zu erreichen.Bei dem ganzen Vorgang bleibt die Temperatur im Netz mit t L = 25°C konstant.Welche Luftmenge strömt stündlich durch das Leck und wie groß ist das Volumen des Leitungssystems unter derAnnahme, daß beim Absinken des Druckes von 6.0 auf 5.7 bar der Leckagestrom in etwa konstant ist? Lösung S. a23

1616

wV1_21

2vp

⌠⌡

d−= EwJ

kg:= Gl 4.1.1c

Anmerkung: Reibungsarbeit*) ist hierin nicht enthalten, auch wenndurch Reibung, z. B. zwischen Kolben und Zylinderwand, der Verlaufvon 1 nach 2´ steiler und die Volumenänderungsarbeit größer wird alsbei dem Verlauf ohne Reibung von 1 nach 2. Dies ist der Fall, wenndie Reibungsarbeit - zumindest teilweise - in das System fließt, d. h.nicht als zusätzliche Wärmeabfuhr in das Kühlwasser. Im letzterenFalle beeinflusst sie nicht den Prozess, sie verringert dannausschließlich die abgegebene Arbeit

Die Gesamtarbeit mit Reibungsarbeit WR ist:

Bild 4.1 Volumenänderungsarbeit W1_2´ WV.1_2´ WR.1_2´+= Gl 4.1.2

Wärme Q1_2

Die Wärme Q1_2 ist die Energie, die durchTemperaturausgleich ins System fließt

Q1_2 m cx⋅ t2 t1−( )⋅= Gl 4.1.3

Einheit: EQ J:=

mit cx = spezifische Wärmekapazität EcxJ

kg K⋅:=Wärme und Arbeit sind Prozessgrößen

4 Energien

4.1 Geschlossenes System (Innere Energie, Arbeit, Wärme, 1. Hauptsatz)

Energie, Arbeit und Wärme haben dieselbe Einheit J. J 1 J= Das Joule ist die kohärente Einheit imSI-System, die Mathcad "kennt"

Arbeit und Wärme sind Energien, die über die Systemgrenze fließen. Die innere Energie ist im System enthalten, sie isteine Zustandsgröße. Wäre das nicht so, also hätte sie beim Durchlaufen eines Kreislaufs einen anderen Wert als vorher,würde bei beliebig häufiger Wiederholung dieses Prozesses beliebig viel Wärme oder Arbeit freigesetzt werden können,ohne dass irgendwo dazu Energie eingesetzt werden müsste (Perpetuum mobile 1. Art, Widerspruch zum 1. Hauptsatz)

1. Hauptsatz, allgemeine Form: Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant oder: Energie kann nicht aus demNichts entstehen und kann auch nicht vernichtet werden. ("Was man reinsteckt, ist drin")

Anmerkung: Einstein hat erkannt, dass Energie in Masse umgewandelt werden kann und umgekehrt (E = m*c 2). Nicht nurbei Kernumwandlungen auch bei chemischen Prozessen (z.B. Verbrennung) ist das der Fall. In der klassischenThermodynamik braucht diese Erkenntnis nicht beachtet zu werden, da - außer in der Kerntechnik - dieMassenänderungen bei Energieumsetzungen vernachlässigt werden können.

4.1.1 Energien im ruhenden geschlossenen System

Volumenänderungsarbeit WV.1_2 dWV Fp− ds⋅= p− A⋅ ds⋅= p− dV⋅= Gl 4.1.1a

p

V

p

1

2

F

dV

p

2

dW

1-2: ohne Reibung1-2´: mit Reibung

wird als Volumenänderungsarbeit bezeichnet. Per Definition sind allein ein System hineinfließenden Energien positiv. Da ds und dV beiKompression negativ sind, muss der Ausdruck mit dem negativenVorzeichen versehen werden, also

Gl 4.1.1bWV1_2

1

2Vp

⌠⌡

d−= EW J:=

oder spezifisch, d. h. auf die Masse bezogen:

1717

Hierbei ist (Gl 4.1.2) W1_2 WV.1_2 WR.1_2+=

Für ideale Gase gilt mit cv = spezifische Wärmekapazität beikonstantem Volumen:

du cv dT⋅= Gl 4.1.5

Aufgabe A 4.1 Volumenänderungsarbeit in geschlossenem Behälter (Beispiel Gasometer) Gegeben ist ein Gasometer gemäß Skizze. Die Glocke schwimmt frei beweglich in dem schraffierten Wasserring.Ausgangstemperatur ist 20 °C. Durch Sonneneinstrahlung erwärmt sich der Behälter auf 40 °C.

H

D

h

a) Um welchen Betrag hebt sich die Glocke?b) Wieviel wiegt die Glocke?c) Welche Arbeit verrichtet das Gas zum Heben der Glocke?d) Welche Arbeit verrichtet das Gas insgesamt?

Gegeben: H1 30 m⋅:= D 30 m⋅:= t1 20 °C⋅:=

h 20 mm⋅:=

ρW 1000kg

m3⋅:= pU 760 torr⋅:= ∆t 20 K⋅:=

Die Stärke des Wasserringes und die Auftriebskräfte imWasser sollen vernachlässigt werden.

Lösung S. a26

Erläuterung zum Begriff der Prozessgröße

WW WV

p

V

2b

2a

1

3

Verdichtet man erst von 1 nach 2a und betreibtanschließend den Ventilator, hat man dieVolumenänderungsarbeit entsprechend derFläche unter der Linie 1_2a aufzubringen.Betreibt man dagegen erst den Ventilator underwärmt den Inhalt mit entsprechenderDruckerhöhung bis zum Punkt 2b, der so hochliegt, dass die anschließende Verdichtungebenfalls zum Punkt 3 führt, hat man einegrößere Volumenänderungsarbeit aufzubringen,die der Fläche unter der Kurve 2b_3 entspricht.Da die Summe der zugeführten Energien aufbeiden Wegen die gleiche sein muss, (es wird jaderselbe Zustandspunkt mit derselben innerenEnergie erreicht), muss die Differenz derVolumenänderungsarbeiten gleich dem Betrageder Differenz der Wellenarbeiten sein. DieWellenarbeit kann auch durch Wärme ersetztwerden. Arbeiten und Wärme sind alsowegabhängige Prozessgrößen.

Bild 4.2 Einfluss der Reibungsarbeit

Innere Energie U und spezifische innere Energie u

Die Innere Energie ist die Summe aller in einem System enthaltenen Energien. Danur Differenzen von Interesse sind, ist der Bezugspunkt beliebig zu setzen. DerBegriff der inneren Energie ist daher über den den 1. Hauptsatz definiert:

Einheiten:

EU J:= EuJ

kg:=

1. Hauptsatz, formuliert für das geschlossene ruhende System: Die Summe aus Arbeiten W1_2 und Wärmen Q1_2, die in das System fließen, erhöht dessen innere Energie

Anm.: Kinetische und potentielle Energien gehören nicht dazu, das sind äußere Energien (s.u.)

extensiv W1_2 Q1_2+ U2 U1−= Gl 4.1.4a dW dQ+ dU= Gl 4.1.4b

intensiv (spezifisch): w1_2 q1_2+ u2 u1−= Gl 4.1.4c dw dq+ du= Gl 4.1.4d

1818

Lösung S. a29

W1_2el

V1 V2

l 1

In einem Zylinder mit adiabaten Wänden (vergl. Skizze), der durcheinen reibungsfrei beweglichen Kolben verschlossen ist, befindetsich Luft bei 1 bar und 20 °C mit einem Volumen von anfangs 5000

cm3. Der Querschnitt des Zylinders ist 100 cm2. Über einenelektrischen Widerstand wird dem Gas Energie zugeführt, wobeisich das Volumen verdoppelt.Im ersten Fall soll sich der Kolben gegen den Atmosphärendruckbewegen, im zweiten Fall zusätzlich gegen eine Federkraft, die imAusgangspunkt 0 ist und abhängig vom Federweg mit

FF l( ) 103 Nm

l l1−( )⋅= beschrieben werden kann. Für beide Fälle

sind anzugeben:

a) Druck und Temperatur im Zustand 2, b) Änderung der inneren Energie,c) elektrische Arbeit

Aufgabe A 4.4 Volumenänderungsarbeit in geschlossenem System gegen Feder

Lösung S. a28

Berechnen Sie die Volumenänderungsarbeit und die ausgetauschte Wärme für die isotherme Verdichtungvon 1 kg Luft von 1 bar bei 0 °C auf 10 bar in einem geschlossenen System, wenna) der Vorgang reibungsfrei abläuft,b) 10 % der aufzubringenden Arbeit Reibungsarbeit ist!

Aufgabe A 4.3 Volumenänderungsarbeit in geschlossenem Behälter (allgemein)

Qp1_2 cpL T2 T1−( )⋅ mL⋅=Qv1_2 cvL T2 T1−( )⋅ mL⋅= Lösung S. a27

p1 p2= pa=p2 p1>

cpL 0.2398kcalkg K⋅

:=cvL 0.1713kcalkg K⋅

:=

gegebene Messwerte:

Vollziehen Sie Mayers Beweis nach, und zwar anhand des Unterschiedes zwischen den vorgegebenen spezifischenWärmekapazitäten von Luft für konstanten Druck cp und für konstantes Volumen cv, und zeigen Sie, dass dieseUmrechnung stimmt!

kcal 427 mkp=oder kcal 4.187 103× J=

Die Erkenntnis, dass Wärme und mechanische Arbeit Energieformen sind, die man ineinander umwandeln kann, haterstmals im Jahre 1840 Robert Julius Mayer veröffentlicht. Bis dahin war die Einheit der Wärme, die Kilokalorie, eineBasiseinheit und die Einheit der Arbeit das Meterkilopond: ( mkp kg g⋅ m⋅:= )

Die Kilokalorie (kcal) ist die Wärme, die man benötigt, um 1kg Wasser von 14,5 auf 15,5 °C zu erwärmen.Mathcad kennt die Kilokalorie als Energieeinheit:

Aufgabe A 4.2 Mechanisches Wärmeäquivalent

1919

Aufgabe A 4.6 Äußere Energien, Relativbewegung

Ein PKW hat eine Masse von 1000 kg. Er wird ausgehend von einer Geschwindigkeit von v1 = 100 km/h auf ebenerStrecke auf v2 = 0 km/h abgebremst. a) Welche Wassermenge könnte man mit der Bremsarbeit von 20 °C auf 100 °C erwärmen, unter der Annahme,dass diese Reibungsarbeit ausschließlich in der Trommelbremse anfällt und von der Wassermenge (Kühlwasser)aufgenommen wird? b) Welche Wassermenge könnte aus dem für die Beschleunigung von v1 auf v2 erforderlichen Brennstoff erhitzt werden, wenn nur 25 % der Brennstoffenergie in Bewegungsenergie umgesetzt werden?

v1 100kmh

:= v2 0kmh

:=

Lösung S. a31

1. Hauptsatz, formuliert für das geschlossene bewegte System:Die Summe aus Arbeiten W1_2 , die auf die Systemgrenze einwirken und Wärmen Q1_2, die in dasSystem fließen, erhöht dessen innere und äußere Energie

extensiv W1_2 Q1_2+ U2 U1− ∆Ea+= Gl 4.1.9a dw dq+ du dea+= Gl 4.1.9b

spezifisch w1_2 q1_2+ u2 u1− ∆ea+= Gl 4.1.9c dw dq+ du dea+= Gl 4.1.9d

Wie das Aufgabenbeispiel A 4.6 zeigt, wird beim Bremsen die Bewegungsenergie des Fahrzeuges in innere Energie in denBremsen umgewandelt, bervor sie als Wärme nach außen abgegeben wird. Umgekehrt kann auch innere Energie inkinetische oder potentielle Energie umgewandelt werden, z.B bei einer Rakete. Die Aufteilung der Energieen mussgegebenenfalls durch Messung der Zustandsgrößen erfasst werden. Die Arbeit W1_2 (Bei obigem Beispiel ist sie - ebenso,wie die Wärme = 0) kann hier auch einen Anteil enthalten, der nur die äußeren Zustandsgrößen verändert.

Aufgabe A 4.5 Volumenänderungsarbeit einer Flüssigkeit in offenem Behälter mit Rührer

Md

1

2

Ein Rührer wird in einem offenen Behälter mit einer zähenFlüssigkeit (Volumen V1 = 2 m3 ) mit einer Drehzahl

von n = 75 min-1 während eines Zeitraumes von z = 30min betrieben. Dabei nimmt das Volumen um 5 % zu. Ander Welle wird ein konstantes Drehmoment von Md =122 Nm gemessen. Der Barometerdruck beträgt pa =1,02 bar. a) wie groß ist die Wellenarbeit?b) wie groß ist die Gesamtarbeit, die über dieSystemgrenze fließt?

S. a30

4.1.2 Äußere Energien:

Äußere Energien Ea sind die kinetische Energie und die potentielle Energie des Systems

kinetische Energie: Ekinm2

c2⋅= Gl 4.1.6a ekin

12

c2⋅= Gl 4.1.6b

potentielle Energie EPot m g⋅ z⋅= Gl 4.1.7a ePot g z⋅= Gl 4.1.7b

mit c = Geschwindigkeit und z = Höhe über Bezugspunkt

Zwischen zwei Zuständen ist dieDifferenz der äußeren Energien

∆Ea m12

c22 c1

2−

⋅ g z2 z1−( )⋅+

= Gl 4.1.8

2020

VW 1m3:=

Das spezifisches Gewicht des Wassersγw 1000kg m 3−

⋅ g⋅:=

Umgebungsdruck pU 1bar:= p1 pU:=

Der Überdruck am Boden des Behälters ∆p 100m γw⋅:=

Druck im Behälter p2 pU ∆p+:=

Die Verschiebearbeit zum Einschieben des Wassers ist somit:

WV 1m3∆p⋅:= WV 9.807 105

× J=

Da sich das Volumen des Wassersnicht ändert, ist dies auch die Zunahme der Enthalpie: p2 VW⋅ p1 VW⋅− 981 kJ=

Bild 4.2 Zur Erläuterung des Größe "Enthalpie"

Energiebilanz am offenen System

Maschine mit konstantemMassen- und Energieinhalt

p1* V1

Maschine mit konstantemMassen- und Energieinhalt

WW1_2

p2* V2

p1

V1

p2

m

m

H1

H2Q1_2

vorher nachher

Bild 4.3 Offenes System, über einen kleinen Zeitraum ∆Z ersetzt durch ein geschlossenes System mit verschobenen Systemgrenzen am Ein- und Austritt

Aufgabe A 4.7 Äußere Energien am Beispiel eines Satelliten

Ein Satelit aus Aluminium taucht mit einer Geschwindigkeit von 30000 km/h in einer Höhe von H1 = 30 km beieiner Temperatur von 20 °C in die Erdatmosphäre ein und wird dabei auf 300 km/h abgebremst. In der Höhe vonH2 = 500 m wird ein Bremsfallschirm geöffnet, durch den bei 300 m eine konstante Geschwindigkeit von 2 m/serreicht wird.a) wie groß ist die gesamte spezifische Energie des Sateliten in den verschiedenen Höhen?b) Welchen Anteil der Reibungsenergie von H1 bis H2 darf er aufnehmen, wenn er sich um nicht mehr als100K erwärmen soll?

Lösung S. a32

4.2 Offenes System (Enthalpie, technische Arbeit, Wärme)

Enthalpie Die Enthalpie ist die Summe aus der inneren Energie und dem Produkt aus Volumen und Druck

h u p v⋅+= Gl. 4.2.1a bzw. H U p V⋅+= Gl. 4.2.1b

Für ideale Gase gilt dh cp dT⋅= Gl. 4.2.2

cp ist die spezifische Wärmekapazität beikonstantem Druck mit der Einheit:

EcpkJ

kg K⋅:=

Die Enthalpie H enthält zusätzlich zur inneren Energie U das Produkt p*V . Dieser Term ist die Energie, die als Arbeiterforderlich war oder gewesen wäre, um dem System in seiner Umgebung Platz zu verschaffen.

Beispiel: Welche Arbeit müssen Sie aufbringen, um eine Wassermenge von einem Kubikmeter in ein Becken zu drücken,dessen Wasserspiegel 100 m höher liegt?

100 m

1m3

pu=1bar

Das Volumen des Wassers

2121

dq dwt+ dh dea+= Gl 4.2.3c q1_2 wt.1_2+ h2 h1− ∆ea+= Gl 4.2.3d

multipliziert mit dem Massenstrom: P Q+ m h2 h1− ∆ea+( )⋅= Gl 4.2.4

P ist die über die Welle zugeführte Leistung (abgegebene Leistung negativ) und m derMassenstrom. Multipliziert man den Massenstrom in die Klammer hinein, so wird daraus:

P Q+ H2 H1− ∆Ea+( )= Gl. 4.2.5

Für adiabate Maschinen, z.B. Dampfturbinen, ergibt sich bei vernachlässigbaren äußerenEnergien:

P m h2 h1−( )⋅= Gl 4.2.6

Technische Arbeit

Die technische Arbeit Wt ist die kontinuierlich bzw. periodisch über eine Welle in das System fließendeArbeit

Vergleicht man die Formulierung des 1. Hauptsatze für das offene System mit der für das geschlossene ruhende System,so ergibt sich der Unterschied zwischen den Arbeiten:

wt1_2 q1_2+ h2 h1− ∆ea+= bzw.

wt1_2 q1_2+ u2 u1− p2 v2⋅+ p1 v1⋅− ∆ea+= wV1_2 wR1_2+ q1_2+ u2 u1−=

wt1_2 wV1_2 wR1_2+( )− p2 v2⋅ p1 v1⋅− ∆ea+= => wt1_2 wV1_2 wR1_2+ p2 v2⋅+ p1 v1⋅−=

Das Bild 4.3 kann sich z.B. auf eine Turbine beziehen. Im stationären Betrieb ändern sich die Zustände am Eintritt und amAustritt nicht. Ein Masseteilchen ändert seinen Zustand auf dem Weg durch die Maschine. Das offene System wird füreinen kleinen Zeitraum als geschlossenes ruhendes System betrachtet, bei dem die Grenzen am Eintritt und am Austrittdurch die Masse ∆m, die in diesem Zeitraum strömt, verschoben werden. Da der Energieinhalt der Maschine konstantist, vergleichen wir die Energieen des Masseteilchens ∆m am Eintritt und Austritt, einschließlich dort verrichteterVolumenänderungsarbeiten. Zusätzlich fließen in dem betrachteten Zeitraum die Wärme Q1_2 und die Arbeit W1_2

Es fließen also: Die Verschiebearbeiten: p1 ∆V1⋅ p1 v1⋅ ∆m⋅= am Eintrittsquerschnitt

p2 ∆V2⋅ p2 v2⋅ ∆m⋅= am Austrittsquerschnitt

Die Wellenarbeit WW1_2 über die Welle

Die Wärme Q1_2 über das Gehäuse

Die inneren und äußeren Energien(z = geodätische Höhe, c = Geschwindigkeit)

∆m u1 g Z1⋅+c1

2

2+

⋅ am Eintrittsquerschnitt

∆m u2 g Z2⋅+c2

2

2+

⋅ am Austrittsquerschnitt

Bilanz : ∆m p1 v1⋅ u1+ g Z1⋅+c1

2

2+

⋅ ∆m p2 v2⋅ u2+ g Z2⋅+

c22

2+

⋅− ∆m wW1_2⋅+ ∆m q1_2⋅+ 0=

Mit der Definition h = u + p*v (s.o.) und der Definition der technischen Arbeit w t1_2 = ww1_2 wird daraus dieFormulierung des ersten Hauptsatzes für das offene System

1. Hauptsatz, formuliert für das offene System:Die Summe aus technischer Arbeit Wt.1_2 und Wärme Q1_2, die in das System fließen, erhöht dieSumme aus Enthalpie und äußerer Energie.

dQ dWt+ dH dEa+= Gl 4.2.3a Q1_2 Wt.1_2+ H2 H1− ∆Ea+= Gl 4.2.3b

2222

S. a33

In einer Dampfturbine entspannen sich stündlich 40 t Wasserdampf . Die spezifische Enthalpie würdesich dabei um 1200 kJ verringern, wenn keine innere Reibung vorhanden wäre. Der Gütegrad, der dieReibung berücksichtigt, beträgt 86 %. Auf dem Wege über die Turbinenwelle zur Generatorklemme gehtnochmals 2 % der Wellenarbeit verloren. Welche Leistung wird an der Generatorklemme abgegeben?

Aufgabe A 4.10 Wellenleistung aus Enthalpiestrom

S. a33

Durch eine waagerechte, thermisch gut isolierte Düse strömt Wasserdampf mit einer spezifischen Enthalpievon h1 = 2804 kJ/kg bei p1 = 30 bar und einer Geschwindigkeit von c1 = 38 m/s. Am Austritt beträgt dieEnthalpie h2 = 2720 kJ/kg bei p2 = 20 bar. Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit c2?

Aufgabe A 4.9 Kinetische Energie aus Enthalpiestrom

Lösung S. a32 Um welche Temperaturspanne erwärmt sich das Wasser eines Flusses nach dem Durchlaufen eines 300m hohen Wasserfalles, wenn der Wärmeaustausch mit der Umgebung vernachlässigt werden kann?

Aufgabe A 4.8 Umwandlung potentieller u. kinetischer Energie in innere Energie

Die Zusammensetzung der technischen Arbeitaus Volumenänderungsarbeit undVerschiebearbeiten lässt sich gut anhandeines Kolbenkompressors verdeutlichen. DieVerschiebearbeit p1*V1 wird vomDruckspeicher 1 mit dem Druck p1 an denKolben des Kompressors abgegeben, derKompressor muss die Verschiebearbeit p2*V2

nach Verrichten der Volumenänderungsarbeit(im Punkt 2 des obigen Diagramms (Bild 4.4)aufbringen, um das Gas in den Zylinder 2 mitdem Druck p2 hineinzudrücken.

p1 p2

V2

V1

Veranschaulichung am Beispiel eines Kolbenkompressors:

Bild 4.4 Zusammenhang zwischen Volumenänderungsarbeit und technischer Arbeit

Achtung: Die Definition ist in der einschlägigenLiteratur unterschiedlich. Häufig wird alstechnische Arbeit lediglich der reversible Anteildefiniert und die Arbeit, die auch die dissipierteEnergie (hier wR = wdiss ) enthält, als "innereArbeit" bezeichnet.

Gl 4.2.8dwt v dp⋅ dwR+ ∆ea+=

Gl 4.2.7wt1_21

2pv

⌠⌡

d wR1_2+ ∆ea+=somit gilt:

p

V

1

2

p1*v1

p2*v2

wv1_2

V2V1

1

2vp

⌠⌡

d− p2 v2⋅+ p1 v1⋅−1

2pv

⌠⌡

d=Aus der Skizze Bild 4.4 lässt sich entnehmen:

wt1_21

2vp

⌠⌡

d− p2 v2⋅+ p1 v1⋅− wR1_2+ ∆ea+= =>wV1_21

2vp

⌠⌡

d−=und mit

2323

Aufgabe A 4.11 Energiebilanz an einem Dampferzeuger mit Speisepumpe In einen stationär arbeitenden Dampferzeuger wird eine Wassermenge von: mW = 70000 kg/h eingespeist. Die

spezifische Enthalpie des Wassers ist: h1 = 1408 kJ/kg und das spezifische Volumen: v1 = 0,00145 m3/kg, die

Enthalpie des austretenden Dampfes: h2 = 2728 kJ/kg und das spezifische Volumen: v2 = 0,01804 m3/kg . DerDruck im Dampferzeuger ist konstant p1 = 100 bar. Die Dampfaustrittsleitung hat einen lichten Durchmesservon D2 = 100 mm.a) Welche Wärme ist pro kg Dampf zu übertragen, wenn die Eintrittsgeschwindigkeit vernachlässigbarklein ist?b) Wie groß ist der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der Änderung der inneren Energie?c) Welche Leistung benötigt die Kesselspeisepumpe, wenn der Ausgangsdruck p0 = 1bar ist und dasWasser als inkompressibel zu betrachten ist? Der Gütegrad der Pumpe betrage ηG = 0,90

Lösung S. a33

Aufgabe A 4.12 Arbeit zum Lenzen eines gesunkenen U-Bootes

Ein U-Boot aus dem letzten Weltkrieg liegt auf Grund in 100 m Tiefe. Das Boot soll gehoben werden. Taucher stellenfest, dass keine Luftblase vorhanden ist, dass aber eine Abdichtung unter Wasser möglich ist. Aus den alten Plänen wirdfestgestellt, dass das Boot über die Außenhaut gerechnet ein Volumen von 500 m 3 besitzt und ganz aufgetaucht eineWasserverdrängung von 400 m3. Die mittlere Dichte aller im Boot enthaltenen Massen (einschließlich Außenhaut, aberaußer Luft) kann mit 6000 kg/m3 angenommen werden.Für die folgenden Berechnungen ist eine Genauigkeit < 1 % nicht erforderlich!

a) Welches Gewicht hatte das Boot (aufgetaucht gemäß Skizze 1) ?b) Wie groß war das Volumen der Luft im Boot?c) Welche Wassermenge musste zum normalen Tauchen des Bootes (Skizze 2) eingelassen werden?d) Zum Heben soll nach dem Abdichten eine Lenzpumpe eingebracht werden, die Wasser über eine Rück-

schlagklappe nach außen fördern kann. Die Belüftung erfolgt über einen Schlauch von oben. Welche Arbeit hat die Pumpe mindestens zu verrichten?

e) Wie groß wäre mindestens die Arbeit für den Antrieb eines Kompressors (Skizze 3), wenn das Wasser über Pressluft von oben ausgetrieben werden soll? f) Welche Arbeit hat ein adiabater Kompressor mit einem Gütegrad von 0.7 zu verrichten? Bei allen Vorgängen soll eine konstante Temperatur angenommen werden.

HW HWHW

1 schwimmend 2 getaucht 3 gesunken Lösung S. a34

2424

Aufgabe A4.13 Aufpumpen eines Fahrradreifens

Ein Fahrradschlauch und eine Handpumpe werdenmit den Abmessungen gemäß nebenstehender Skizzeangenommen (Der schädliche Raum der Pumpe zwischen Kolben undVentil bei Beendigung des Pumpenhubes sei vernachlässigbar). a) Welche Menge fördern Sie mit einem Hub undwieviele Hübe sind erforderlich, um den Schlauch,der sich wegen des unelastischen Mantels nichtausdehnen kann, von Umgebungsdruck auf 3 bar beiUmgebungstemperatur aufzupumpen?b) Welche Arbeit wäre für das Aufpumpenmindestens erforderlich (bei einem reversiblenProzess)c) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf für einigePumpenhübe im p-v-Diagramm!

DS = 26 in

dS = 2 in

dP = 1 in

lP = 40 cm

pa = 1 barta = 20 °C

Vergl. auch Aufgaben A 6.3 und A 9.2 ! Lösung S. a36

Aufgabe A 4.15 Aufladen eines elastischen BehältersIn einem Zylinder mit nicht adiabaten Wänden (vergl. Skizze), derdurch einen reibungsfrei beweglichen Kolben verschlossen ist,befindet sich Luft mit Umgebungszustand bei 1 bar und 20 °C miteinem Volumen von anfangs 5000 cm³ . Der Querschnitt desZylinders ist 100 cm² . Über ein Ventil wird langsam zusätzlicheLuft mit der Masse ∆m aus der Umgebung eingespeist, bis sich dasVolumen verdoppelt hat.Der Kolben soll sich gegen eine Federkraft bewegen, die imAusgangspunkt 0 ist und abhängig vom Federweg mit

FF l( ) 1.5 103⋅

Nm

l l1−( )⋅= beschrieben werden kann. Berechnen Sie

a) Masse und Druck im Zustand! b) die mindestens aufzubringende Arbeit!

m1

V1 V2

l1

m2∆m

Tipp zur Lösung: nehmen Sie an, dass sich die Masse ∆m bereits im Zylinder einer entsprechend dimensioniertenKolbenpumpe bei Umgebungszustand befindet.

Lösung S. a 42

2525

Gl 4.3.2

Bei reinen Strömungsprozessen innerhalb eines offenen Systems ist die technische Arbeit = 0 (Keine Welle) Beiinkompressiblen Medien gilt dann

v ∆prev⋅ wR.1_2+ g z2 z1−( )+c2

2

2+

c12

2− 0=

bzw.: Gl 4.3.3p2

ρWR.1_2+ g z2⋅+

c22

2+

p1

ρg z1⋅+

c12

2+=

Für reibungsfreie Strömung einesinkompressiblen Fluids wird darausdas Gesetz von Bernoulli:

Gl 4.3.4p2

ρg z2⋅+

c22

2+

p1

ρg z1⋅+

c12

2+=

und aus der Massenbilanz ergibtsich die Kontinuitätsgleichung

m1 m2= mit m V ρ⋅= und V A c⋅=

A1 c1⋅ ρ1⋅ A2 c2⋅ ρ2⋅= Gl 4.3.5

Die Summe aus Wärme und Reibungs- bzw. Dissipationsarbeit erhält man mit v1 v2= v= auch über dieallgemeine Form des 1. Hauptsatzes (Gl 4.1.4c) mit wV.1_2 0= ( dv 0= )

q1_2 wR.1_2+ u2 u1−= cv t2 t1−( )⋅= Gl 4.3.6

4.3 Strömungen

4.31 Energiebilanz

Bei Strömungsvorgängen mit inkompressiblen Medien wird aus dem Integral von v*dp, d.h. aus der reversiblentechnischen Arbeit:

wt_rev1

2pv

⌠⌡

d= v p2 p1−( )⋅=

Bei der Behandlung dieser Strömungsvorgänge werden die Gleichungen aus Kapitel 4.2 vielfach durch g dividiert. Aus derreversiblen technischen Arbeit einer Pumpe wird dann die reversible Förderhöhe für die Druckerhöhung:

mit v1ρ

= ist∆prev

ρ g⋅∆zrev= Einheitengleichung: Ep

Eρ Ea⋅1 m=

Zunächst ohne Einschränkungwird aus Gleichung 4.2.7 :

wt.1_21

2pv

⌠⌡

d wR.1_2+ ∆ea+=

mit dem Quotient g:wt.1_2

g∆zges= ∆zrev ∆zR+ ∆zg+ ∆zdyn+= Gl 4.3.1

mit ∆zrev = reversible Förderhöhe für Druckerhöhung ∆zR = Reibungsanteil = zusätzlich zur Überwindung der Reibungskräfte erforderliche Förderhöhe∆zg = geodätische Förderhöhe

∆zdync2

2 c12

−

2 g⋅= = dynamische Förderhöhe

Multipliziert man dieselben Gleichungen dagegen mit ρ bzw. dividiert durch v, so ergibt sich die Druckbilanz, dievielfach alternativ verwendet wird.

wt.1_2

v∆pges= ∆prev ∆pR+ ∆pg+ ∆pdyn+=

2626

Lösung S. a43

Aus einer Wasserstrahlpumpe gemäß Skizze strömtdas Wasser mit einer Geschwindigkeit von cA = 5m/s ins Freie. Der engste Querschnitt desStrömungskanals, wo sich eine Bohrung zumAnsaugen von Luft befindet, beträgt die Hälfte desAustrittsquerschnittes. Welcher Druck stellt sich indem an die Bohrung angeschlossenen Behälter ein,wenn die Wasserströmung über die gesamteStrecke als reibungslos angesehen werden kannund welche Luftmasse befindet sich imGleichgewichtszustand im Behälter, wenn dieser einVolumen von 5 Liter besitzt?

pa = 1 bar

DA

cADE

pE

cE

tA = 20°C

12

Aufgabe A 4.16 Evakuieren durch Wasserstrahlpumpe

Lösung S. a38νW 10 6− m2

s:=Kinematische Zähigkeit von Wasser bei 20°C

ηP 0.8:=Wirkungsgrad der Pumpe

∆z 300m:=Geodätische FörderhöhedRo 1m:=Rohrdrchmesser innen

k 0.3mm:=Rauhigkeit der Rohrwannd:cRo 3ms

:=Geschwindigkeit im Rohr

gegeben:

In einem Speicherkraftwerk wird das Arbeitsfluid Wasser durcheine Turbopumpe aus dem Einlaufbecken durch ein Betonrohrmit dem inneren Durchmesser dRo in das um ∆z höher gelegeneSpeicherbecken mit einer Geschwindigkeit im Rohr von cRo

gefördert. Das Rohr hat im Saugteil einen gerundeten Einlauf.Das Rohr hat zwei 30°- Krümmer, die horizontalen Streckensind jeweils 10 m lang. Einlauf und Auslauf liegen jeweils 3munterhalb des Wasserspiegels. Die Pumpe befindet sich 2moberhalb des Wasserspiegels des Einlaufbeckens. Gesucht ist der Druckverlauf in der Mitte des Rohres über derRohrlänge und die erforderliche Antriebsleistung der Pumpe beieinem Pumpenwirkungsgrad von ηP, sowie die Erwärmung desWassers durch die ReibungsarbeitDie Widerstandsbeiwerte sind der Fachliteratur, z.B. DubbelKap. B6.2 zu entnehmen.

Speicherbecken

Einlaufbecken

z2-z1dR

Pumpe

R

Aufgabe A 4.14 Druckverlauf in einer Rohrleitung

l = Rohrlänge, d = Rohrdurchmesser, c = Geschwindigkeit, ρ = Dichte des Fluids, λ = Rohrreibungszahl,abhängig von der Rohrrauhigkeit und der Reynoldszahl (vergl. Kap. 16). ζι = Widerstandsbeiwert von Einbauten, Krümmern, Verzweigungen, Einläufen usw.

Gl 4.3.7∆pR

λ l⋅d

ρc2

2⋅

⋅

i

ζ i ρc2

2⋅

⋅

∑+=Der Reibungsdruckverlust wird errechnet mit:

Bei der Auslegung von hydraulischen Systemen kommt der Bestimmung der Reibungsdruckverluste(Gl . 4.3.2) eine wichtige Bedeutung zu hinsichtlich der Dimensionierung der Querschnitte und derPumpen.

2727

Aufgabe A 4.17 Durchsatzmessung mit Prandtlrohr

p∆

d

3 d

p 1

p S t

0 ,3 d

0 ,1 d

1 0 d

Der Massenstrom in einem Kanal einerKlimaanlage wird mittels einesPrandtl-Staurohres gemäß Skizze ermittelt,indem eine größere Anzahl vonMesspunkten über den Querschnitt verteiltabgetastet werden. An dem mit Wassergefüllten U-Rohr-Manometer, das denDifferenzdruck zwischen dem Druck imKanal und dem Staudruck anzeigt, wird imMittel eine Höhendifferenz von 15 mmWassersäule abgelesen. Der Kanal hat einenQuerschnitt von 2m * 3m.Wie groß ist der Massenstrom der Luft,wenn an dieser Stelle eine Temperatur von30°C bei einem Überdruck entsprechend 10mm Wassersäule gegenüber demAußendruck von 1 bar gemessen wird?

Lösung S. a43

B 4.1 Umwandlung kinetischer Energie eines Luftstromes (Beispiel Segelboot)

Gegeben sind Windstärke und Windrichtung, sowie die Kenngrößen eines Segelbootes (Annahme einesEintrittsquerschnittes für den beaufschlagenden Luftstrom und der Widerstandsbeiwerte für Wasser, Wellen und Luft).Gesucht ist die günstigste Stellung des Segels.

c 1

F

u

w 1

c2

FU

Absolutgeschwindigkeiten: cRelativgeschwindigkeiten: wUmfangsgeschwindigkeit: u

β1

β2

u

c1u

c2u

α1

α2w2

Luftstrom (W

ind)

Berechnung S. b4

2828

T1 330°C:= κ 1.4:= m 10kgs

:=

RL 287J

kg K⋅:= p1 2bar:= v1

RL T1⋅

p1:= px 0.01bar 0.02bar, 5bar..:=

0 0.5 10

500

1000

Ax px( )cm2

px

p1

Der Querschnitt hat also ein Minimum. Es lässt sich durchAbleiten der Funktion zeigen, dass sich der zu dem Minimumgehörende Druck, Laval-Druck genannt, ergibt zu:

Laval-Druck für ideale GasepL p1

2κ 1+

κ

κ 1−⋅:=

Im Beispiel:pL

p10.528=

Durch Einsetzen ergibt sichder engste Querschnitt zu: AL m

κ 1+( )2

κ 1+( ) 0.5⋅

κ 1−( )⋅

v1

κ p1⋅⋅:= Im Beispiel: AL 0.0225 m2

=

TL T12

κ 1+⋅:=die zugehörige Temperatur gemäß

Isentropengleichung:Im Beispiel: TL 275 K=

Adiabate reibungsfreie Strömung eines idealen Gases durch eine Düse (Laval-Düse)

x

für eine beliebigen Stelle x der Düse gilt:

1

xpv

⌠⌡

dcx

2

2+

c12

2− g zx z1−( )+ 0= (s. o.)

Bei Höhendifferenz 0 undAusgangsgeschwindigkeit 0wird daraus: 1

xpv

⌠⌡

dcx

2

2+ 0=

Andererseits aus derIsentropengleichung:

px

p1

v1

vx

κ

= bzw. ergibt sich: p1

px

pv⌠⌡

d p1 v1⋅κ

κ 1−⋅

px

p1

κ 1−

κ

1−

⋅=v

v1

p1

p

1

κ

=

demnach cx 2 p1⋅ v1⋅κ

κ 1−⋅ 1

px

p1

κ 1−

κ

−

⋅=

und mit Axm vx⋅

cx= und vx v1

p1

px

1

κ

⋅=

erhält man den zu px zugehörigen Querschnitt des Kanals: Ax px( )m v1

p1

px

1

κ

⋅

⋅

2 p1⋅ v1⋅κ

κ 1−⋅ 1

px

p1

κ 1−

κ

−

⋅

=

Beispiel :

2929

Beispiel:

c1

c2 = c1

Fdm

A

x

Ein Wasserstrahl mit dem Querschnitt A = 0.5 cm² und mit derGeschwindigkeit c1 = 15 m/s trifft auf eine feststehende Schneidegemäß Skizze und wird dort in gleiche Teile geteilt, die ohne Stoßund reibungsfrei im Winkel von 90° abgelenkt werden. WelcheKraft übt er auf die Wand mit der Schneide aus?

Mit dem Newtons'chen Gesetz: F m a⋅=

gilt für das Massenteilchen dm ineinem Zeitintervall dt derUmlenkung:

dF→

dmdc→

dt⋅=

Dabei ist dF der Kraftvektor, mit dem die Wand auf dasMassenteilchen dm wirkt, also hier entgegen derBewegungsrichtung. Da aus Symmetriegründen hier die Summeder Kräfte in y-Richtung null ist, gilt:

dF dmdc1x

dt⋅= oder dF

dmdt

dc1x⋅=

mit dmdt

m= (konstanter Massenstrom mit m = ρ*c1*A ) wird daraus integriert für die gesamte Umlenkung:

F Fx= m c2x c1x−( )⋅=

und mit c2x0= F m− c1⋅=

Die Strömung dagegen wirkt auf die Wand mit der entgengerichteten gleich großen Reaktionskraft, die Impulskraftgenannt wird.

und die zugehörigeGeschwindigkeit:

cL 2 p1⋅ v1⋅κ

κ 1+⋅:=

Im Beispiel: cL 332.4ms

=

Dies ist, wie z.B. bei Baehr [1 ] näher erläutert, die Schallgeschwindigkeit. Da die Schallgeschwindigkeit eineZustandsgröße ist, kann sie auch abhängig vom jeweiligen Zustand geschrieben werden:

cs R T⋅ κ⋅= Im Beispiel: cS RL TL⋅ κ⋅:= cS 332.4ms

=

Im Normzustand: T0 273.15K:= cSN RL T0⋅ κ⋅:= cSN 331.3ms

=

Anmerkung: Der Laval-Druck mit Schallgeschwindigkeit stellt sich im engsten Querschnitt der Düse nur dann ein, wennder Gegendruck hinter der Düse gleich dem Laval-Druck ist oder unterhalb dieses Druckes liegt. Ist dies der Fall, ist fürden Ausgangszustand vor der Düse der maximale Durchfluss durch die vorgegebene Düse erreicht, unabhängig davon,ob der Gegendruck der Düse noch niedriger ist oder nicht. Da Schall eine Druckwelle ist, kann beim Erreichen derSchallgeschwindigkeit der niedrigere Druck dort nicht mehr in die Düse eindringen, wo die Schallgeschwindigkeiterreicht oder überschritten ist. Im engsten Querschnitt kann der Druck also nicht unter den Laval-Druck absinken. Im(richtig gestalteten) Diffusor entspannt sich das Gas weiter unter Geschwindigkeitszunahme, berechenbar über dieFunktion Ax(px), reibungsfreie Strömung vorausgesetzt. Liegt der Gegendruck höher als der über vorgegebenenDiffusor zu berechnende Druck am Ende des Diffusors, so entspannt sich das Gas innerhalb des Diffusors unter diesenDruck und erfährt am Austritt einen Verdichtungsstoß (irreversibel), liegt der Gegendruck niedriger, erfolgt dort eine -ebenfalls irreversilble - Expansion.Adiabate reibungsfreie Strömung eines realen Gases durch eine Düse (Laval-Düse)

Aus dem ersten Hauptsatz ergit sich für c1 =0 und ∆z = 0 lediglich:

0 hx h1−cx

2

2

+= und: cx 2 h1 hx−( )⋅=

4.3.2 Kräfte durch Strömungen

3030

Lösung S. a46

Ein Wasserstrahl mit einem Querschnitt A1 trifftauf eine feststehende Wand mit einerGeschwindigkeit von c1 = 5 m/s(zweidimensionale Strömung, d.h. keineKomponente senkrecht zur Zeichenebene). DerStrahl teilt sich reibungsfrei.a) mit welcher Geschwindigkeit und welchenAnteilen am Gesamtstrom fließen die Teilströmeab ?b) welche Kraft wirkt auf die Wand (Betrag undRichtung?)

αc1

A1

A2

A3

c2

c3

Aufgabe A 4.20 Impulskraft eines Wasserstrahles

Lösung S. a45

Ein Rohrkrümmer gemäß Skizze mit einer Umlenkung von β =30 Grad, der mit Wasser reibungsfrei durchströmt wird, hat amEintritt einen lichten Durchmesser von d1 = 150 mm.Eintrittsgeschwindigkeit ist c1 = 3 m/s . Am Austritt ist derDurchmesser d2 = 70 mm und der Druck 2bara) mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus?b) Welcher Druck herrscht am Eintrittc) welche Kraft wirkt auf die den Krümmer?

c1

p1

p2

A2

A1

c2

β

Aufgabe A 4.19 Kräfte an einem Rohrkrümmer (Variante zu A4.18)

Lösung S. a44

In einem Rohr mit einem lichten Durchmesser von 150 mmherrscht ein Überdruck gegenüber der Atmosphäre von 6 bar.in dem Rohr strömt Wasser mit einer Geschwindigkeit von5m/s. Welche Einzelkräfte wirken auf einen 90-Grad-Krümmer undwelche Gesamtkraft (Richtung und Betrag)(Die Gewichtskräfte sollen vernachlässigt werden)

c1

c2

pU

A1

A2

p1= pi

p2= piF

Aufgabe A 4.18 Kräfte an einem Rohrkrümmer

FI 12.5 N=FI m c1⋅:=m ρ c1⋅ A1⋅:=

c1 5ms

:=ρ 1kgl

:=A1 5cm2:=Die im betrachteten Beipiel auf die Wand wirkende Kraft ist mt:

FI→

1

n

i

mi ci

→⋅

∑

=

= In den Kontrollraum einfließendeMassentröme positiv, abströmendenegativ

Allgemein gilt beim ruhenden durchströmten Systemfür die Summe aller n Impulskräfte, mit der dieTeilströme auf die Umgebung wirken:

(In der Mechanik wird das Produkt aus Kraft und dem Zeitintervall, in dem die Kraft wirkt, F*∆t = m*c, als Impulsbezeichnet)

FI m c⋅=

3131

S. a48

Ein Wasserschlauch hat einen lichten Durchmesser von d1 = 2cm und wird mit einer Geschwindigkeit von c1 = 1m/sdurchströmt. Am Ende des Schlauches befindet sich eine Düsemit einem Durchmesser von d2 = 6 mm.a) mit welcher Geschwindigkeit tritt der Wasserstrahl aus?b) Welche Kräfte wirken auf den Schlauch?c) welche Kraft auf die den Schlauch haltende Hand?

c2c1

p1

p2

A2

A1

Aufgabe A 4.21 Haltekraft an einem Wasserschlauch

3232

525 122900 488 111500560 104400 578 109000485 89680 416 94010256 68210 324 81470121 48840 197 5239096 49970 111 5480086 55940 5 4182097 49180 37 49310

230 62650 193 57150351 69860 371 79870579 115400 364 82830493 101900 472 100500

GV2GTZ2V1GTZ1

TAB 1

Für das erste Jahr nach dem Umbau ergibt sich

Zur Definition der monatlichen Gradtagszahl: bt sich beispielsweise, wenn an 20 Tagen imMonat die Außentemperatur im Schnitt 10°C u ratur von 20°C gelegen hat oder wenn an 31Tagen des Monats die mittlere Temperatur auß r ( 31 * 6,452 = 200 ). Da DieTransmissions- und Lüftungsverluste nahezu l nz ansteigen, ist die GTZ ein Maß für denrelativen Energieeinsatz.

Der monatliche Gasverbrauch V in m3/Monat hre vor dem Umbau gegeben ausAblesungen. Vom Wetteramt erhält man die zu . Beide Datensätze enthält die EingabetabelleTAB1.

Ineinem Krankenhaus sollen Energiesparmaßn er Auftragnehmer führt die Arbeiten aufeigene Kosten durch und soll dafür vom Auftr gen über einen Zeitraum von 5 Jahrenvergütet bekommen. Hierzu müssen die Einspa den, da die absoluten Verbrauchswerteteilweise witterungsbedingt sind. Ein zunächst toffverbrauches ist für die Küche, für Bäderund für die Sterilisation erforderlich. Er kann w der Jahreszeit angenommen werden.

B 4.2 Statistische Erfassung von

4.4 Weitere Beispiele zum Them

Eine Gradtagszahl von 200 erginterhalb der Norm-Raumtempeen um 6,452 Grad niedriger wa

inear mit der Temperaturdiffere

eines Krankenhauses ist für 3 Jagehörigen Gradtagszahlen GTZ

ahmen durchgeführt werden. Daggeber die erzielten Einsparunrungen statistisch ermittelt wer

unbekannter Anteil des Brennseitgehend als unabhängig von

Energieeinsparungen

a Energie

Berechnung S. b5

719 119745645 107524584 113010321 68305251 70303145 5055867 4826913 39192

256 53201312 59548440 74328669 99642

577 106700402 87720503 114100340 70990211 64260143 5108011 5002037 50200

147 52400203 65960468 89430683 126400

V4GTZ4V3TZ3

TAB 2

die Tabelle TAB2

Eine isentrope Zustandsänderung liegt vor, wenn ds = 0, also dq + dw R = 0 (s konstant) ist. Eine Adiabate (dq = 0) istdaher nur dann auch eine Isentrope, wenn keine Reibungsarbeit zu verrichten ist (dw R = 0).

1

2

T

s

q12+wR12

Die links im T-s-Diagramm dargestellte Zustandsänderungerfolgt mit Entropiezunahme. Die Fläche unter der Kurvestellt die Summe aus zugeführter Wärme und Reibungsarbeit(im System dissipierte Arbeit) dar. Die einzelnen Anteile sindaus dem Diagramm nicht erkennbar.

q1_2 wR1_2+1

2sT

⌠⌡

d=

Für 1

2sT

⌠⌡

d 0=

erhalten wir eine Isentrope. Diese ist aber nur dann eineAdiabate und reversibel, wenn beide Summanden 0 sind.

Bild 5.1 Zur Erläuterung des T-s-Diagrammes

Anmerkung: obwohl Zustandsverläufe streng genommen nur dann darstellbar sind, wenn es sich um (innerlichreversible) Aneinanderreihungen von Gleichgewichtszuständen handelt (sogenannte quasistatische Zustandsänderungen),kann man auch bei sehr schnell sich ändernden und nicht im Gleichgewicht befindlichen Zuständen (Dissipation)bewusst vereinfachend mit theoretischen Mittelwerten derartige Betrachtungen anstellen. Andernfalls wären z. B.Vergleichsprozesse für schnellaufende Maschinen nicht darstellbar.

Aufgabe A 5.1 Berechnung der spezifischen Entropie idealer Gase

a) Zeichnen Sie im T-s-Diagramm für Luft die Linien mit konstantem Druck p !

p

0.3

1

3

10

bar:= cpL 1.004kJ

kg K⋅:= RL 287

Jkg K⋅

:= p0 1.013bar:= T0 273K:=

b) Kennzeichnen Sie die zugeführte Wärme für 1 kg von 20°C auf 800°C bei p1! Lösung S. a49

5 Entropie und T-s-Diagramm

Die Entropie S ist definiert durch: T dS⋅ dU p dV⋅+= bzw. T dS⋅ dQ dWR+= ES 1JK

=

und die spezifische Entropie: T ds⋅ du p dv⋅+= bzw. T ds⋅ dq dwR+= Es 1J

kg K⋅=

mit h u p v⋅+= und d p v⋅( ) p dv⋅ v dp⋅+= gilt auch

T ds⋅ dh v dp⋅−=

In Aufgabe A 1.2 wurde bereits der Beweis geführt, dass die Entropie eine Zustandsgröße ist. Aus den rechtenGleichungen ergibt sich, dass im T-s-Diagramm die Fläche unter der Zustandsänderungskurve die Summe auszugeführter Wärme und Reibungsarbeit (allgemeiner: dissipierter Arbeit) darstellt.

3333

RL 287.1J

kg K⋅:= cvL cpL RL−:= cp cpL:= cv cvL:=

κcp

cv:= R RL:= v0

R T0⋅

p0:=

Für den Normzustand t0 0°C= und p0 1.013bar= werden meist u und s = 0 gesetzt. Die Abhängigkeit der spezifischenWärmekapazitäten von der Temperatur wird ebenso vernachlässigt, wie der Realgasfaktor (perfektes Gas).

ut t( ) cv t⋅:= ht t( ) cp t⋅ p0 v0⋅+:= cn n( ) cvκ n−( )1 n−( )

⋅:=

Tpv p v,( )p v⋅R

:= Tps p s,( ) T0pp0

κ 1−

κ⋅ e

s

cp⋅:= Tsv s v,( ) T0

v0

v

κ 1−

⋅ e

s

cv⋅:=

pTv T v,( ) RTv⋅:= psv s v,( ) p0

vv0

κ−⋅ e

s

cv⋅:= psT s T,( ) p0

TT0

κ

κ 1−⋅ e

s

R−

⋅:=

vpT p T,( ) RTp⋅:= vps p s,( ) v0

pp0

1

κ−

⋅ e

s

cp⋅:= vsT s T,( ) v0

TT0

1

κ 1−−

⋅ e

s

R⋅:=

spv p v,( ) cp lnvv0

⋅ cv lnpp0

⋅+:= sTv T v,( ) cv lnTT0

⋅ R lnvv0

⋅+:= spT p T,( ) cp lnTT0

⋅ R lnpp0

⋅−:=

In dieser Form sind die Gleichungen aktiv, z. B. ist diespezifische Entropie für Luft bei 50 °C und 2,5 bar: spT 2.5bar Tt 100°C( ),( ) 0.054

kJkg K⋅

=

6 Zustandsgleichungen für ideale (perfekte) GaseZusammenstellung der Gleichungen für ein spezielles Gas mit den Konstanten R,cp und cv:

p v⋅ R T⋅= p V⋅ m R⋅ T⋅= p vmol⋅ M R⋅ T⋅= Rmol T⋅= Rmol M R⋅= T t 273.15K+=

u cv t⋅= h u p v⋅+= dh cp dT⋅= R cp cv−= κcp

cv= n

cn cp−

cn cv−= cn cv

κ n−( )1 n−( )

⋅=

s cp lnTT0

⋅ R lnpp0

⋅−= s cv lnTT0

⋅ R lnvv0

⋅+= s cp lnvv0

⋅ cv lnpp0

⋅+=

Umkehrfunktionen:

T T0pp0

κ 1−

κ⋅ e

s

cp⋅= p p0

vv0

κ−⋅ e

s

cv⋅= v v0

TT0

1−

κ 1−⋅ e

s

R⋅=

T T0v0

v

κ 1−

⋅ e

s

cv⋅= p p0

TT0

κ

κ 1−⋅ e

s

R−

⋅= v v0pp0

1

κ−

⋅ e

s

cp⋅=

Die hier zusammengestellten Funktionen sind so nicht aktiv.Damit Mathcad die unterschiedlichen Funktionen erkennt,werden Buchstabenkombinationen mit den Namen der unabhängigen Variablen in alphabetischer Folge an dieabhängige Variable zur Bildung des Funktionsnamens angehängt. Die unabhängigen Variablen in der Klammermüssen dann immer in der vorgegebenen Reihenfolge eingegeben werden. Die Gleichungen können erst dann mit demDefinitionsgleichheitszeichen (Doppelpunkt) benutzt werden, wenn die Stoffkonstanten und die Größen imVergleichszustand (Normzustand) vorher definiert worden sind. Im Folgenden ist dies für Luft durchgeführt. DieseGleichungen sind damit aktiv.

cpL 1.004kJ

kg K⋅:=

3434

T1 T0p1

p0

κ 1−

κ

⋅ e

s1

cp⋅= T T1 e

s s1−

cp⋅=

Isobare

Für die Darstellung im Diagramm mit Mathcad wird als Zustandspunkt 2 gewählt: v2 2v1= Der Index "p" imFunktionsnamen bedeutet hier: konstantes p. Die weiteren für die Erstellung der Diagramme erforderlichenRechenschritte sind ausgeblendet.

T-s-Diagramm p-v-Diagramm T-v-Diagramm

p p1:= Tvp v( ) T1vv1⋅:=Tsp s( ) T1 e

s s1−

cp⋅:=

Als Beispiel wird eine Isobare gewählt mit p1 2 bar=

0 0.5 10

500

1000

Spez.Entropie in kJ/kg*K

Abs

olut

e Te

mpe

ratu

r in

K

0 10

1

2

3

4

spez. Volumen in m³/kg

Dru

ck in

bar

0 10

500

1000


Abs

olut

e Te

mpe

ratu

r in

K

Volumenänderungsarbeit wV_p_1_2 p1− v2 v1−( )⋅:=

Technische Arbeit wt_p_1_2 0J:=

Zugeführte Wärme qzu_p_1_2 cp T2 T1−( )⋅:=

6.1 Zustandsänderungen idealer Gase bei konstantem Polytropenexponent

Eine Polytrope ist eine Zustandsänderung mit konstanter spezifischer Wärmekapazität, das heißt auch: mit konstantemPolytropenexponent (vergl. Diagramme Bild 6.2 und Bild 6.3 auf S.9)

Die Gleichungen lassen sich aus der thermischen Zustandsgleichung und aus dem 1. Hauptsatz herleiten. Für dieBerechnung der Prozessgrößen werden die Zustandsänderungen zunächst als innerlich reversibel behandelt (es wirdmit den spezifischen Größen gerechnet). Spezielle Zustandsänderungen sind:

1. Isobare, p=const., dp = 0 p p1=

Spezifische Wärmekapazität der Isobare c cp= Für Luft ist cpL 1.004kJ

kg K⋅=

aus p v⋅ R T⋅= und dem Ausgangspunkt 1 p v⋅T

p1 v1⋅

T1= wird v

T

v1

T1= und v v1

TT1⋅=

wird mit p p1=und aus T T0pp0

κ 1−

κ⋅ e

s

cp⋅= so wie

3535

Für die Wahl der Funktionsnamen und die Darstellung im Diagramm mit Mathcad vergl. Punkt 1

Isochore

T-s-Diagramm p-v-Diagramm p-T-Diagramm

Tsv s( ) T1 e

s s1−

cv⋅:= (s. Punkt 1) v v1:= pTv T( ) p1

TT1⋅:=

Als Beispiel wird eine Isochore gewählt mit v1 0.6m3

kg=

0 0.5 10

500

1000


Abs

olut

e Te

mpe

ratu

r in

K

0.5 10

2

4


Dru

ck in

bar

0 500 10000

2

4

Absolute Temperatur in K

Dru

ck in

bar

Volumenänderungsarbeit wV_v_1_2 0J:=

Technische Arbeit wt_v_1_2 v0 p2 p1−( )⋅:=

Zugeführte Wärme qzu_v_1_2 cv T2 T1−( )⋅:=

2. Isochore, v = const., dv = 0 v v1=

Spezifische Wärmekapazität der Isochore: c cv= Für Luft ist cvL 0.717kJ

kg K⋅=


p1 v1⋅

T1= wird p

T

p1

T1= und p p1

TT1⋅=

wird mit v v1=und aus T T0v0

v

κ 1−

⋅ e

s

cv⋅= so wie T1 T0

v0

v1

κ 1−

⋅ e

s1

cv⋅= T T1 e

s s1−

cv⋅=

3636

dq = - dwVWärme: aus dq + dwV = du = cV*dT mit dT = 0 wird

wt_T_1_2 p0 v0⋅ lnp2

p1

⋅:=

wt_T_1_2

p1

p2

pp1 v1⋅

p

⌠⌡

d:=Technische Arbeit

wV_T_1_2 p1− v1⋅ lnv2

v1

⋅:=

wV_T_1_2

v1

v2

vp1 v1⋅

v

⌠⌡

d−:=Volumenänderungsarbeit

0 0.5 1 1.50

1

2


Dru

ck in

bar

0 0.50

200

400

600


Abs

olut

e Te

mpe

ratu

r in

K

T1 418 K=Als Beispiel wird eine Isotherme gewählt mit

pvT v( )p1 v1⋅

v:=p-v-DiagrammT T1:=T-s-Diagramm

3. Isotherme, T = const., dT = 0 T T1=

Spezifische Wärmekapazität der Isotherme ct ∞= (als Grenzwert zu verstehen)


p1 v1⋅

T1= wird p v⋅ p1 v1⋅=

und pp1 v1⋅

v= oder p

R T1⋅

v=


Isotherme

3737

κdvv

⋅dpp

+ 0=

Die Gleichung kann integriert werden:

dpp

κ−dvv

⋅= ln p( ) κ− ln v( )⋅= ln p( ) ln v κ−( )=

pp1

v1

v

κ

=Für den Bereich von p1 bis p gilt dann: lnpp1

lnvv1

κ−= oder

p als Funktion von T durchEinsetzen der Zustandsgleichung:

pp1

T1 p⋅

T p1⋅

κ

= pp1

1 κ− T1

T

κ

=T

T1

pp1

κ 1−

κ=

oder :T

T1

v1

v

κ 1−

=


Isentrope

T-s-Diagramm es s1:= p-v-Diagramm pvs v( ) p1v1

v

κ

⋅:=

Als Beispiel wird eine Isentrope gewählt mit s1 0.232 kJ kg K⋅( ) 1−⋅=

q_T_1_2 wV_T_1_2−:=

4. Isentrope, s = const., ds = 0 s s1=

Spezifische Wärmekapazität der Isentrope mit dq = 0 und dT 0≠ wird cis 0=

Aus dq + dwV = du mit dq = 0 wird: pdv− cv dT⋅=

Die Variable T muss ersetzt werden: p v⋅ R T⋅= p dv⋅ v dp⋅+ R dT⋅=

dTp dv⋅ v dp⋅+

R= pdv− cv

p dv⋅ v dp⋅+

R⋅=

mit R cp cv−= und der Definition κcp

cv=

R cv κ 1−( )⋅= wird daraus pdv− κ 1−( )⋅ p dv⋅ v dp⋅+=

bzw.: κ pdv⋅ vdp+ 0= oder mit Division durch p*v :

3838

dTp dv⋅ v dp⋅+

R= cn cv−( ) p dv⋅ v dp⋅+

R⋅ pdv−+ 0=

und derDefinition

sowie derDefinition mit R cp cv−= κ

cp

cv= n

cn cp−

cn cv−=

oder mit Divisiondurch p*v wird daraus: n pdv⋅ vdp+ 0= n

dvv

⋅dpp

+ 0=

somit ergibt sich analog derIsentrope

pp1

v1

v

n

=T

T1

pp1

n 1−

n=

T

T1

v1

v

n 1−

= vv1

T1

T

1

n 1−

=

Spezifische Wärmekapazität: aus cn cp−

cn cv−n= wird cn cv

κ n−( )1 n−( )

⋅=

0.5 0 0.5 10

200

400

600


Abs

olut

e Te

mpe

ratu

r in

K

0 1 20

0.5

1

1.5

2

2.5


Dru

ck in

bar

n

Volumenänderungsarbeit wV_s_1_2

v1

v2

vp1v1

v

κ

⋅

⌠⌡

d−:=

oder über dq dwV+ du= mit dq = 0 dwV cv dT⋅= wV_s_1_2 cv T2 T1−( )⋅:=

oder mit Einsetzen von Tin die Zustandsgleichung: wV_s_1_2

1κ 1−

p1⋅ v1⋅p2

p1

κ 1−

κ

1−

⋅:=

Technische Arbeit aus κ pdv⋅ vdp+ 0= lässt sich wegen dwt = vdp und dwV = -pdv sofortentnehmen:

dwt_s κ dwV_s⋅= bzw. wt_s_1_2 κ wV_s_1_2⋅:=

5. Beliebige Polytrope mit der spezif. Wärmekapazität c = cn = const., ∞− < cn < ∞

Aus dq + dwV = du mit dq = cn * dt wird: cn dT⋅ pdv−+ cv dT⋅=

Die Variable T muss ersetzt werden(vergl. Isentrope!):

3939

0 1 20

1

2


Dru

ck in

bar

0.2 0 0.2 0.4 0.60

200

400

600


Abs

olut

e Te

mpe

ratu

r in

K

n1 1.2=Als Beispiel wird eine Polytrope gewählt mit

Tns n s,( ) T1 e

s s1−

cn n( )

⋅:=T-s-Diagramm pnv n v,( ) p1v1

v

n

⋅:=p-v-Diagramm

Polytrope


T T1 e

s s1−

cn

⋅=wird

cn cn n( )= cvκ n−( )1 n−( )

⋅=mit T ds⋅ cn dT⋅=und aus

p p1v1

v

n

⋅=s cv lnTT1

⋅ R lnvv1

⋅+=und T T1v1

v

n 1−

⋅=Aus

Beziehung für das p-v-Diagramm:Beziehung für das T-s-Diagramm:

Bild 6.1 Zusammenhang zwischenspezifischer Wärmekapazität undPolytropenexponent:

cn: rote Liniecv: blaue Punkte

2 1 0 1 2 3 4

2

1

1

2

3

Polytropenexponent n

Spez

if. W

ärm

ekap

azitä

t cn

in

kJ/k

g*K

Diagramm n = f(cn)

4040

p1 1 bar= v1 1.436m3

kg= s1 0.611

kJkg K⋅

= u1 162.629kJkg

= h1 306.179kJkg

=

Polytropengleichungen allgemein:Die Zustandsgrößen, v1,, p1 undT1 müssen vor Verwendung dieserGleichungen immer oberhalbzahlenmäßig definiert werden.

pnv n v,( ) p1v1

v

n

⋅:= Tnp n p,( ) T1pp1

n 1−

n⋅:=Tns n s,( ) T1 e

s s1−

cn n( )⋅:=

Tnv n v,( ) T1v1

v

n 1−

⋅:= cn n( ) cvκ n−

1 n−⋅:=vnp n p,( ) v1

p1

p

1

n

⋅:=

Für die Summe aus Wärme undReibungsarbeit gilt: wR1_2 q1_2+ cn T T1−( )⋅=

T1

TsT

⌠⌡

d=

Für die Arbeit im geschlossenen System und die technische Arbeit gilt gemäß Kap. 4.1 und 4.2:

w1_2 wV1_2 wR1_2+ ∆ea+= mit wV1_21

2vp

⌠⌡

d−= und wt1_2p1

p2

pv⌠⌡

d wR1_2+ ∆ea+=

Anmerkung: Beachten Sie die unterschiedlichen Definitionen für die technische Arbeit in der Literatur (vergl.Kap.4.2) !

Auf die symbolische Berechnung der Integrale wird hier verzichtet, da mit Mathcad die numerische Berechnung jederzeitüber die hier angegebenen Funktionen möglich ist.

Volumenänderungsarbeit wV_n1_1_2

v1

v2

vp1v1

v

n1

⋅

⌠⌡

d−:=

oder über dq dwV+ du= dwV cv dT⋅ cn dT⋅−= dwVκ 1−

n 1−cv⋅ dT⋅=

wV_n1_1_2κ 1−

n1 1−cv⋅ T2 T1−( )⋅:= oder wV_n1_1_2

Rn1 1−

T2 T1−( )⋅:=

oder mit Einsetzen von Tin die Zustandsgleichung: wV_n1_1_2

1n1 1−

p1⋅ v1⋅p2

p1

n1 1−

n1

1−

⋅:=

Technische Arbeit: aus n pdv⋅ vdp+ 0= lässt sich wegen dwt = vdp und dwV = -pdv sofort entnehmen:

dwt_n1 n1 dwV_n⋅= wt_n1_1_2 n1 wV_n1_1_2⋅:=bzw.

zugeführte Wärme qn1_1_2 cn n1( ) T2 T1−( )⋅:=

Zusammenfassung unter Einbeziehung nicht reversibler Zustandsänderungen für die Behandlung mit Mathcad

Im Folgenden wird als Ausgangspunkt 1 ein beliebiger vorgegebener Zustand gewählt, und die oben behandeltenSpezialfälle werden alle als Polytropen mit jeweils kontantem Polytropenexponent betrachtet. Es werden wiederum dieStoffdaten für Luft gewählt. Ausgangszustand sei Punkt 1 mit

Punkt 1

4141

Bild 6.3 Zustandsänderungen idealerGase im T-s-Diagramm

___ Isochore, nv 1 104×=

___ Isobare, np 0=

___ Isotherme, nt 1=

___ Isentrope, ns 1.4=

___ Polytrope mit n1 1.2=

..... Polytrope mit n2 0.7−=

..... Polytrope mit n3 0.1=

0.5 0 0.5 1 1.5

200

400

600

800

1000

Spez. Entropie in kJ / kg*K

Tem

pera

tur i

n K

Darstellung im T-S-Diagramm

Bild 6.2 Zustandsänderungen idealer Gaseim p-v-Diagramm

___ Isochore, nv 1 104×=

___ Isobare, np 0=

___ Isotherme, nt 1=

___ Isentrope, ns 1.4=

___ Polytrope mit n1 1.2=

..... Polytrope mit n2 0.7−=

..... Polytrope mit n3 0.1=

0 1 2 3 4

1

2

3

4

Spez. Volumen in m³/kg

Dru

ck in

bar

Darstellung im p-v-DiagrammDiagramme

Zur Vermeidung von Singularitäten darf nicht n v = ∞ gesetzt werden , nicht ns = κ und nicht nt = 1

n3 0.1:=n2 0.7−:=n1 1.2:=ns κ 10 6−−:=nt 0.9999:=nv 104

:=np 0:=

Polytrope 3Polytrope 2Polytrope 1

beliebige PolytropenIsentrope n = κ Isotherme n = 1 Isochore n = ∞ Isobare n = 0

Die Spezialfälle:

4242

Lösung S. a51

Eine Luftmenge von 10 m3 bei 25 °C und 0,1 bar Überdruck gegenüber der Atmosphäre mit 750 Torr sollauf 3 bar Überdruck verdichtet werden. Bestimmen Sie für den Fall des reibungsfreien quasistatischenVorgangs die Zustandsgrößen (v, p, T, s), sowie die Prozessgrößen ( WV, Wt und Q), wenn dieVerdichtung a) isochorb) isothermc) isentropd) polytrop mit n = 1,2erfolgt! Zeichnen Sie die Verläufe der Zustände im p-v-Diagramm und T-s-Diagramm!

Aufgabe A 6.1 Zustands- und Prozessgrößen von Luft bei unterschiedlichen Prozessen

da die Enthalpie (genau genommen: die innere Energie) für flüssiges Wasser im Tripelpunkt = 0 gesetzt wird, ist alsohier die Verdampfungsenthalpie hinzuzuaddieren ist (vergl. Kap. 13)

ht t( ) cp9t⋅ 2501

kJkg

+:=

Achtung bei H2O: Verwenden Sie die Daten für H2O nur für die dampfförmige Phase und sicherheitshalber nurunterhalb eines Wasserdampf-Partialdruckes von 0.9bar! Für die Berechnung der Wasserdampfenthalpie gilt dannangenähert:

cvH2 10.07kJ

kg K⋅=

cvH2 cv6:=

κAr 1.667=κAr κ7:=

(CO2 alsVektorindex)RCO2188.923

Jkg K⋅

=oder:RCO2 188.9 J kg K⋅( ) 1−=RCO2 R2:=

(Der Vektorindex muss mit den Tasten "Alt Gr" + "8" geschrieben werden)Beispiele: Matrix

Tabelle 6.1 Stoffwerte einiger technisch wichtiger Gase (Idealgaszustand) bei 0 °C

R Rmol:=

Rmol 8.3145J

mol K⋅:=

Molare Gaskonstante:Index / Stoff R J/kg*K

M kg/kmol

cp

J/kg*Kcv

J/kg*Kk

1 N2 296,8 28,01 1039 742,2 1,4002 CO2 188,9 44,01 816,9 628,0 1,3013 O2 259,8 32,00 915,0 655,2 1,3974 SO2 129,8 64,06 609,2 479,4 1,2715 CO 296,8 28,01 1040 743,2 1,3996 H2 4126,3 2,015 14200 10074 1,4107 Ar 208,1 39,95 520,3 312,2 1,6678 Ne 412,0 20,18 1027 615,0 1,6709 H2O 461,5 18,02 1859 1397 1,33010 He 2077,1 4,003 5238 3161 1,65711 NH3 488,2 17,03 2056 1568 1,31112 CH4 518,4 16,04 2156 1638 1,31713 Luft 287,2 28,95 1005 717,8 1,400

Stoffdaten für verschiedene technisch wichtige Gase

Indizes

4343

Lösung S. a57 t1 tU:=Starttemperatur

tU 20°C:=pU 1bar:=Außenzustand

D 10cm:=Durchmesser:

H1 30cm:=Höhe des Kolbens

G 500N:=Gewicht mK 10kg:=Masse des KolbensGegeben:

Ein mit Luft gefüllter wärmedichter Zylinder gemäß Skizze sei durch einen reibungsfreigleitenden Kolben K abgedichtet. Der Überdruck im Zylinder ergibt sich somit aus demGewicht des Kolbens. Legt man vorsichtig auf den Kolben ein zusätzliches Gewicht G undlässt dieses los, besteht kein Gleichgewicht mehr. Beschreiben Sie den Vorgang, derabläuft, wenn a) wirklich keine Reibung im Spiel ist,b) wenn mit geringfügiger Reibung zu rechnen ist!c) Berechnen Sie sowohl den tiefsten Punkt des Kolbens im Falle a und den zugehörigen Zustand der Luft im Zylinder, als auch den Punkt mit Druckausgleich, d) den Ruhezustand im Falle b!

KG

H1

D

x

Aufgabe A 6.4 Störung des thermodynamischen Gleichgewichts

Lösung S. a56Vergl. auch Aufgabe A 4.13

In einem Autoreifen herrscht anfangs ein Druck von p1 = 2 barbei Umgebungstemperatur t1 = 25 °C . Der Reifen wird auseinem Druckbehälter mit tDB = 25 °C und pDB = 5 baraufgeladen auf p2 = 2,9 bar. Welche Temperatur stellt sich indem Reifen ein, unmittelbar nach dem Aufladen, und welcherDruck, wenn sich der Reifen auf Umgebungstemperaturabgekühlt hat? Das Volumen des Reifens soll als konstantangesehen werden.

R

DB

V

VH

Aufgabe A 6.3 Aufladen eines Autoreifens

Lösung S. a55

Die Schnellabschaltanlage für den Steuerstab S einesSiedewasserreaktors ist in nebenstehender Skizze dargestellt.Wie weit darf durch einen Fehler in der Druckhaltung derWasservorlage (z. B. beim Ausfall der Pumpe P) der Druckin dem mit Stickstoff gefüllten Speicher D langsam absinken,wenn die Möglichkeit, den Stab durch Öffnen der Armatur Aund Expansion des Stickstoffes im Speicher einzuschießen,auf jeden Fall gewährleistet sein muss? (Verlust von N2 sollauf jeden Fall ausgeschlossen werden. Der Einschießvorgangdauert etwa 0,3 Sekunden. Der unter dem Kolben Kvorhandene Mindest-Überdruck durch das Gewicht desStabes beträgt 5 bar. Stickstoff soll annähernd als idealesGas betrachtet werden. Alle Vorgänge sollen auch alsreibungsfrei behandelt werden. Für die Zustandsänderungdes Stickstoffes sind sinnvolle Annahmen zu treffen).

S

K

DN2

H2O30 Liter

50 Liter130 bar

70 bar

A

P

Hubraum15 Liter

Aufgabe A 6.2 Schnellabschaltung eines Siedewasserreaktors durch Druckspeicher

4444

Auch wenn reale Gase in vielen Fällen mit ausreichender Genauigkeit als ideal angesehen werden können, dürfen derenZustandsänderungen nur in begrenzten Bereichen mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten bzw. konstantenPolytropenexponenten berechnet werden. z. B. ist die Temperaturdifferenz zwischen Gas und Zylinderwand einesVerbrennungsmotors beim Einströmen zunächst negativ, das Gas wird erwärmt. Durch den Verdichtungsvorgangsteigt die Temperatur des Gases, so dass die Differenz positiv wird und das Gas Wärme abgibt. DerPolytropenexponent ändert sich entsprechend. Solche Vorgänge können in diesem Rahmen nicht behandelt werden(vergl. Vorwort).

6.2 Allgemeine Zustandsänderungen idealer Gase

Lösung S. a63

D 12cm:=Durchmesser

mZ 25kg:=Masse des Zylinders

mK 20kg:=Masse des Kolbens

Hier gegeben:

K

LB

D A B

LA

In dem skizzierten adiabaten Zylinder mit reibungsfrei beweglichem, aber ideal abdichtendem Kolben, befindet sichbeidseitig des Kolbens eine jeweils konstante Luftmenge mit einer Temperatur von 20 °C im Anfangszustand, jedochlinks (System A) mit pA1 und rechts (System B) mit 1 bar. Der Kolben hat eine Masse von mK und ist anfangs arretiert.Löst man die Arretierung, beginnt der Kolben zu schwingen.

a) 1. Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit des Kolbens und die zugehörigen Zustandsgrößen (V, p, T) inbeiden Systemen, sowie den rechten Totpunkt mit Zustandsgrößen, wenn damit gerechnet werden kann, dassin den kurzen Zeiträumen kein Wärmeaustausch erfolgt! 2. Tragen Sie die Geschwindigkeit des Kolbens über dem Volumen VA auf, und ermitteln Sie darüber den rechtenTotpunkt und die Frequenz!b) Ermitteln Sie den Gleichgewichtszustand, wenn infolge geringer Reibung die Schwingung abgeklungen ist und wenn ein Temperaturausgleich über Kolben und Zylinder erfolgen, die eine spezifische Wärmekapazität von 0.47 kJ/kg besitzen!

Aufgabe A 6.6 (Variante zu 6.5)Lösung S. a61

Ein mit Luft gefüllter wärmedichter Zylinder Z gemäß Skizzesei durch einen reibungsfrei gleitenden Kolben K idealabgedichtet. Der Kolben ist zunächst durch den Riegel Rarretiert Der Druck im Zylinder beträgt 5 bar. Löst man dieArretierung, dehnt sich die Luft aus und der Kolben beginnt zuschwingen. a) An welcher Stelle x2 erreicht er die größte Geschwindigkeitund wie groß ist diese, wenn keine Reibung im Spiel ist? (Diekinetische Energie der Luft auf beiden Seiten des Kolbens sollvernachlässigt werden).b) an welcher Stelle x3 kommt er zum Stillstand?

x1

D

R

Z

K K

x2

Aufgabe A 6.5 Berechnung einer Schwingung

4545

6.3 Weitere Beispiele und Aufgaben

Aufgabe A 6.7 Höhensteuerung eines LuftschiffesEin Luftschiff mit einem Leergewicht ohne Gasfüllung von GL = 16 kN und einer starren Außenhülle, die ein Volumen

von VL = 2000 m3 verdrängt, ist mit Helium gefüllt. Im Innern des Luftschiffes befindet sich ein schlaffer Luftsack,ein sog. Ballonet, der zur Höhensteuerung mit Luft gefüllt werden kann.In Bodennähe kann der Außendruck mit pa = 1 bar und die Außentemperatur mit ta = 20°C angenommen werden. DieTemperaturen im Innern sind gleich der Außentemperatur.a) Bestimmen Sie die maximale Nutzlast GN, die das Luftschiff bei völlig geleertem Ballonet in Bodennähe tragen kann.Der Druck der Helium-Füllung beträgt in diesem Falle 1,1 barb) Welche Luftmasse muss in das Ballonet gepumpt werden, wenn das Luftschiff unbeladen in Bodennähe schwebensoll und welchen Druck erreicht die Füllung dann?c) Welche Arbeit muss die Pumpe für das Füllen mindestens aufbringen?d) Stellen Sie den Vorgang im p-v-Diagramm dar!

Lösung S. a67

Aufgabe A 6.8 Zeichnen von Isobaren im T-s-Diagramm

Zeichnenn Sie für das als ideal angenommene Gas CO2 zwei isobare Zustandsänderungen (p1 = 1 bar und p2 = 2 bar)maßstäblich in das T-s-Diagramm im Bereich zwischen - 1 kJ/kg*K und +1,5 kJ/kg*K

Lösung S. a69

Aufgabe A 6.9 Magdeburger Halbkugeln

pa = 1 barta = 20 °C

dP = 25 mm

lP = 40 cm

F

D = 15 cm

Der Inhalt der skizzierten Kugel, die aus den beidendicht aneinandergelegten Magdeburger Halbkugenbesteht, soll mit einer Handpumpe auf ein Dritteldes Anfangsdruckes von 1 bar reduziert werden.(Der schädliche Raum der Pumpe zwischen Kolben und Ventil beiBeendigung des Pumpenhubes und der Inhalt des Ventils seivernachlässigbar). a) Welche Arbeit muss über die Handpumpeaufgebracht werden ?b) Kann der Prozess reversibel geführt werden?c) Wieviel Kolbenhübe sind erforderlich?d) Welche Kraft F wäre erforderlich, um diebeiden Halbkugeln auseinanderzuziehen?

Tipp zur Lösung: Stellen Sie sich zunächst vor, die Pumpe ist so groß, dass Sie die geforderte Evakuierung ineinem Zuge erreichen können und dann den Inhalt der Pumpe nach außen drücken! Skizzieren Sie für diesenFall qualitativ das p-v-Diagramm und kennzeichnen Sie die der Arbeit entsprechende Fläche

Lösung S. a71

4646

Aufgabe A 6.10 Gasturbine mit Luft

Eine adiabate Gasturbine wird mit Luft betrieben. Die Menge entspricht einem Volumenstrom von stündlich 22000 m 3 imNormzustand. Am Turbineneintritt wird ein Zustand von 14,5 bar bei 920 °C gemessen und am Austritt ein Zustand von1,05 bar bei 412 °C. a) Berechnen Sie den Polytropenexponent!b) Stellen Sie die Zustandsänderung im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm dar!c) Welche Leistung gibt die Turbine an die Welle ab?d) Welche Leistung ergäbe sich, wenn die (adiabate) Entspannung auf den gleichen Druck p 2 reversibel wäre undwelche Temperatur würde dabei erreicht? e) Wie groß ist die dissipierte Leistung (Reibung?)f) Wie hoch ist der Gütegrad der Turbine?

Lösung S. a73

Aufgabe A 6.11 Zeichnen von Isochoren im T-s-Diagramm

Zeichnen Sie für das als ideal angenommene Gas He je eine isochore Zustandsänderung (v 1 = 5 m3/kg und v2 = 2,5

m3/kg) maßstäblich in das T-s-Diagram im Bereich zwischen - 0 kJ/kg*K und +4 kJ/kg*KLösung S. a75

4747

oder ∑ −= Krwq

∫ ∫ =+ 0dwdq1. Hauptsatz für den Kreisprozess:

Da nach dem Durchlaufen des Kreisprozesses wieder der Ausgangszustand erreicht ist, also keine Änderung derZustandsgrößen, lautet der

Bild 7.1 Zur Erläuterung des Begriffes "Kreisprozess" ∫∫ += )dw(dqTds R

Aus der analogen Darstellung im T-s-Diagramm lässt sichentnehmen:

Wenn der Vorgang reibungsbehaftet ist, ist die technische Arbeit = derSumme aus dem Kreisintegral von vdp und der Reibungsarbeit!

mitalso ∫ ∫+= Rt dwvdpw∫ ∫= vdppdv

Aus der Skizze ist erkenntlich, dass das Integral von vdp von Punkt 1über Punkt 2 nach Punkt 3 um die vom Kreislauf eingeschlosseneFläche kleiner ist als die Arbeit von 3 über 4 nach 1. Bei derVolumenänderungsarbeit zwischen den Punkten 2 und 4 erhält mandasselbe Ergebnis.

v

p

1

2

3

4

Ein Kreisprozess ist eine Folge von Zustandsänderungen, an deren Ende der Ausgangszustand wieder erreicht wird.Dabei ist die Summe der Wärmen ungleich null und die Summe der Arbeiten ungleich null.

Allgemein

oder ∑ −= Krwq∫ ∫ =+ 0dwdq

Die nebenstehende Skizze dient der Erläuterung desPrinzips eines Kreisprozesses. Der linke Zylinder wird alsKolbenkompressor betrieben. Er fördert in den oberenDruckspeicher. Die technische Arbeit ist imp-v-Diagramm die blaue Fläche zwischen derZustandsänderung von 4 nach 1 und der Ordinate. Imrechten Zylinder läuft der Vorgang umgekehrt ab. Es wirin den unteren Druckspeicher ausgeschoben. Wird inbeiden Druckspeichen keine Wärme zu- oder abgeführt,muss im p-v-Diagramm die Expansion von 1 nach 4erfolgen (beide Zylinder müssen dann den gleichenDurchmesser haben). Beide Arbeiten heben sich auf. Erstwenn im oberen Speicher Wärme zugeführt wird, verläuftdie Expansion von 2 nach 3. Der rechte Zylinder mussdann einen entsprechend dem größeren Eintrittsvolumengrößeren Durchmesser haben. Damit ein geschlossenerKreislauf entsteht, muss im unteren Speicher Wärmeabgeführt werden.Die Summe der Arbeiten entspricht nun der von den 4Zustandspunkten eingegrenzten (schraffierten) Fläche. Eswird jetzt diese Arbeit an die Kurbelwelle abgegeben.Nachdem 1. Hauptsatz muss diese Arbeit gleich der Differenzder beiden Wärmen sein.

Beispiel eines Kreisprozesses (keine technische Bedeutung)p1

p2

q1_2

q2_3

m

p2

p1

v4 v3

3

v2v12

4

1

1 2

34

7 Kreisprozesse, Carnot-Prozess

4848

Lösung S. a77

a) Tragen Sie den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses über der Temperatur tI der Wärmezufuhrzwischen Umgebungstemperatur und 1000 °C auf und zwar für die Umgebungstemperatur (für dieWärmeabfuhr) von 0 °C und 30 °C! b) Erstellen Sie ein entsprechendes Diagramm für die Leistungsziffer der Wärmepumpe zum Heizen beieiner Umgebungstemperatur (Wärmezufuhr) von jeweils 0°C und -15°C und einer Temperatur derWärmeabgabe zwischen 25 °C und 90 °C!

Aufgabe A 7.1 Wirkungsgrad und Leistungsziffer in Abhängigkeit von der Temperatur

ηCTI TII−

TI=Aus dem T-s-Diagramm lässt sich der Wirkungsgrad direkt ablesen:

Es handelt sich hier um einen idealisierten reibungsfreien Prozess mit idealen Gasen. Die Isentropen sind somit hier auchAdiabaten. Der Carnot-Prozess lässt sich theoretisch reversibel führen, das heißt also statt rechts herum im Uhrzeigersinn:1, 2, 3, 4, 1, auch links herum: 1, 4, 3, 2, 1

1 - 2 Isotherme Verdichtung2 - 3 Isentrope Verdichtung3 - 4 Isotherme Expansion4 - 1 Isentrope Expansion

Bild 7.2 Der Carnot-Prozess mit einemidealen Gas im T-s-Diagramm und imp-v-Diagramm

2

3

T

s

4

1

1

2

3

4

p

v

TI

TII

qzu qab− wKr=Der Carnot-Prozess

Anmerkung: In der Energiewirtschaft werden auch Nutzungsgrade und Arbeitsziffern definiert, die die Arbeiten überbestimmte Betriebszeiten (z. B. Tage oder Jahre) ins Verhältnis setzen. Da sie instationären Betrieb mit Teillastenbeinhalten, sind die Werte in der Regel kleiner. Stets bilden diese Zahlen das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand.

(genutzt wird qzu)εK

qzu

qab qzu−=Leistungsziffer der Wärmepumpe zum Kühlen:

(genutzt wird qab)εH 1>εH

qab

qab qzu−=Leistungsziffer der Wärmepumpe zum Heizen:

Linksprozess: Der Prozess wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Kreisprozessarbeit wird zugeführt, undzusammen mit bei niedriger Temperatur aufgenommener Wärme als Wärme bei höherer Temperatur abgegeben. ( Wärmepumpe zum Heizen oder Kühlen)

η th 1<η thqzu qab−

qzu=Thermischer Wirkungsgrad:

Rechtsprozess: Der Prozess wird im Uhrzeigersinn durchlaufen, die Differenz der Wärmebeträge qzu bei höherer Temperatur und qab bei niedriger Temperatur ist die abgegebene Kreisprozessarbeit (Kraftmaschine)

Krwabqzuq =−

"Kreisintegral" heißt nichts anderes als Aufsummierung aller differenziellen Beträge dq über den Kreislauf hinweg, d. h.dabei kommt die Differenz der Beträge zwischen zu- und abgeführter Arbeit bzw. zwischen zu- und abgeführter Wärmeheraus.

4949

=> pdv− dwR+ dq+ du=

(dwR, die dissipierte Arbeit oder Reibungsarbeit, ist stets > 0) oder dwR dq+ du pdv+=

Für das adiabate System mit dq = 0 gilt dann dwR du pdv+=

Folgende Zustandsänderungen sind im adiabaten System möglich (vergl. Bild 8.2):

1. Die maximale Arbeit kann abgegeben werden, wenndwR= 0 ist. Der Vorgang ist umkehrbar (vergl. Bild 8.2 )

pdv− du=

2. Bei der adiabaten Drosselung (Überströmprozess,vergl. Bild 8.1) wird keine Energie nach außen abgegeben,also

du 0= und dwR pdv=

3. Wird einem System mit starrer Systemgrenze nurReibungsarbeit zugeführt (Ventilator, Bild 8.1),so ist pdv 0= und dwR du=

8 Der Zweite Hauptsatz

Wärme fließt niemals von selbst von "Kalt" nach "Warm" ( Aussage von Clausius 1865, salopp ausgedrückt)

Daraus ergeben sich die in der Technik weiteren wichtigen Aussagen des 2. Hauptsatzes:

1. Wärme lässt sich - in einem periodischen Prozess - nicht restlos in mechanische Energie umwandeln.2. Es gibt keinen Kreisprozess mit einem höheren Wirkungsgrad als dem Carnot-Wirkungsgrad für gleicheTemperaturen* der Wärmezu- und -abfuhr. 3. Alle reversiblen Prozesse mit gleichen Temperaturen* der Wärmezu- und -abfuhr haben den gleichenWirkungsgrad bzw. die gleiche Leistungsziffer.4. Alle realen Prozesse zwischen gleichen Temperaturen* haben geringere Wirkungsgrade bzw. geringereLeistungsziffern.5. In einem adiabaten System kann die Entropie nicht abnehmen.

* Mittlere Temperatur der Wärmeübertragung über die Systemgrenze (vergl. Kap. 15)

Erläuterungen zum 2. Hauptsatz

Beispiele für irreversible (nicht umkehrbare) Prozesse:

t2>t1

Q1_2 t1

Wel

WW

Dissipierte mechanische Arbeit

Dissipierte elektrische Arbeit

Temperaturausgleichsprozess

p2>p1

Drosselprozess

p1

Bild 8.1irreversible Prozesse

Die Erfahrung lehrt, dass die skizzierten Prozesse nicht umkehrbar sind. Das System oben links z.B. erwärmt sich durchden von außen angetriebenen Ventilator und der Druck erhöht sich dadurch. Bisher hat man noch nicht beobachtenkönnen, dass durch das erwärmte System der Ventilator rückwärts angetrieben werden kann und das System sich dabeiwieder abkühlt.

Erläuterung zum Begriff der Entropie

Der erste Hauptsatz für das geschlossene System wird durch die Gleichung: dw dq+ du= beschrieben.

mit dw dwV1_2 dwR+= und dwV1_2 pdv−=

5050

bzw. T ds⋅ dq dwR+= (Gl. 8.4)

mit h u p v⋅+= und d p v⋅( ) p dv⋅ v dp⋅+= gilt auch T ds⋅ dh v dp⋅−= (Gl. 8.5)

(vergl. auch Kapitel 5!)

Beispiel für einen reversiblen (umkehrbaren) Prozess:

R(L)

L

p(L)

m

r

p(L)

L

m

Der Kolben und die Masse m sind je mit einemFaden verbunden, der über eine Rolle läuft. DieMasse hat über die Kurvenscheibe jedochunterschiedliche Hebelarme

Gleichgewicht für jedes L:

m g⋅ R L( )⋅ p L( ) A⋅ r⋅=

R L( )p L( ) A⋅ r⋅

m g⋅=

Die Mechanik sei reibungsftei. Je nachdem,ob der Zylinder wärmedurchlässig ist odernicht, ergibt sich p(L) über die Gleichungder Isotherme oder die Gleichung derIsentrope.Das Hinzufügen oder Entfernen einesbeliebig kleinen Zusatzgewichtes ∆m lässtden Vorgang in die eine oder andereRichtung ablaufen.Man hat es hier mit einer Folge vonGleichgewichtszuständen zu tun. SolcheZustandsänderungen nennt manquasistatisch. Bild 8.2 reversibler Prozess

4. Reale reibungsbehaftete Expansion p dv⋅ dwR> du 0<

A

u

v1

2

3

4

Eine Zustandsänderung in den schraffierten Bereichhinein ist im adiabaten System nicht möglich und imnicht adiabaten System nur durch Kühlung zuerreichen. Die Summe du+pdv ist ein Maß für dieNichtumkehrbarkeit der Zustandsänderung. Dividiertman diese durch die ebenfalls immer positive Größe T,so erhält man das Differenzial der Zustandsgröße s,die man als spezifische Entropie bezeichnet.

Definition dsdu pdv+

T= bzw. T ds⋅ du p dv⋅+= (Gl. 8.1)

Somit gilt für die extensiveGröße Entropie: T dS⋅ dU p dV⋅+= (Gl. 8.2)

Bild 8.2 mögliche Prozesse im adiabaten System mit dwR dq+ du pdv+=

lässt sich dann für das nicht adiabate System schreiben: T dS⋅ dQ dWR+= (Gl. 8.3)

5151

Aufgabe A 8.1 Aufzeigen eines Widerspruchs zum 2. Hauptsatz Zeigen Sie, dass eine zum 2. Hauptsatz, obigen Aussage 3, gegenteilige Annahme im Widerspruch zurFormulierung des 2. Hauptsatzes in der Aussage von Clausius steht! Lösung S. a78

Aufgabe A 8.2 Entropieproduktion bei Temperaturausgleich Zeigen Sie, dass beim isobaren Vermischen zweier stofflich gleicher Flüssigkeiten unterschiedlicherTemperatur die Entropie insgesamt ansteigt (Die spezifische Wärmekapazität soll als konstant angenommenwerden.)! Lösung S. a79

Aufgabe A 8.3 Maximale Leistungsziffer einer WärmepumpeEin Gebäudekomplex hat einen Heizbedarf von 100 kW bei einer Vorlauftemperatur von 60 °C(Eintrittstemperatur in die Heizkörper). Eine Firma bietet eine Wärmepumpenanlage an, die dem Grundwasserbei 10°C Wärme entziehen soll und elektrisch mit einer Leistung von 13 kW angetrieben wird. Zeigen Sie, dassdas Angebot nicht reell ist! Lösung S. a80

5252

Lösung S. a83

Welche Arbeit ist mindestens erforderlich, um einen Druckbehälter mit einem Inhalt von 10 m3 mitPressluft von 10 bar aufzuladen, wenn der Zustand der Atmosphäre mit 1 bar bei 20 °C angegeben ist?Der Behälter war im Ausgangszustand offen und enthielt Luft im Umgebungszustand.

Aufgabe A 9.2 Exergie in einem Druckbehälter

(Gl. 9.1.3)angS u1 exgS−= uU TU sU s1−( )⋅− pU vU v1−( )⋅+=Die spezifische Anergie des geschlossenenSystems ergibt sich somit zu:

Äußere Energien sind hinzuzuaddieren!

(Gl. 9.1.2)ExgS U1 UU− TU S1 SU−( )⋅− pU VU V1−( )⋅−=

(Gl. 9.1.1)exgS u1 uU− TU s1 sU−( )⋅− pU vU v1−( )⋅−=Es gilt also für die Exergie des geschlossenenSystems exgS mit der inneren Energie u1 bzw.U1:(Die Gleichungen sind stoffunabhängig)

wV1_U1

Uvp

⌠⌡

d=Davon ist nutzbar, z. B. zum Spannen einer Feder, jedoch nur der Teil dieser Arbeit,dessen Flächenäquivalent oberhalb des Umgebungsdruckes liegt, da die Atmosphäreverdrängt werden muss (Verschiebearbeit pU * (vU-v1)).

Die Diagramme zeigen am Beispiel eines idealen Gas eine reversible Expansion auf Umgebungstemperatur undUmgebungsdruck nacheinander von 1 nach 2 isentrop und von 2 nach U isotherm. Das Gas verrichtet dieVolumenänderungsarbeit:

Bild 9.1 Die Exergie der inneren Energie am Beispiel eines idealen Gases im p-v-Diagramm und T-s-Diagramm

T

s

2

1

3 = UTU

v1

u1-uU TU*(sU-s1)

p

v

2

1

3 = U

ds=0

dT=0pU

p1*(vU-v1)

9.1 Exergie und Anergie eines geschlossenen Systems (Exergie der inneren Energie)

Exergie ist der Teil der Energie, der sich bei einer vorhandenen Umgebung in eine beliebige andere Energieformumwandeln lässt. Der Teil, der sich nicht umwandeln lässt, heißt Anergie.

Lösung S. a81

In einem Behälter mit einem freien Volumen von 5 m3 ist Pressluft mit 90 °C bei 6 bar gespeichert. Welche Arbeit kannmaximal abgegeben werden, wenn man den gesamten Inhalt reversibel auf Umgebungszustand bringt ? a) Es soll keine Nachspeisung in den Behälter erfolgen.b) Es wird von einem Kompressor kontinuierlich nachgespeist, und gesucht ist die Arbeit, die von derselben Luftmengez. B. in einer Turbine abgegeben werden kann.

Aufgabe A 9.1 Maximale aus einem Druckspeicher gewinnbare Arbeit

9 Exergie und Anergie, irreversible Prozesse

5353

dW− ηC T( ) dQ⋅= 1TU

T−

T⋅ dS⋅= T TU−( ) dS⋅=Davon kann reversibel (z.B. über einenCarnot-Prozess) in Arbeit verwandelt werden:

dQ T dS⋅=Übertragene Wärme bei der Temperatur T(S):

Bild 9.2 Die Exergie der Wärme im T-s-Diagramm

Bei vielen Betrachtungen interessiert nicht der Stoff (unddessen Zustandsgrößen), der die Wärme für den zubetrachtenden Prozess liefert, sondern nur dieTemperatur, bei der die Wärme zur Verfügung steht.Diese verändert sich meist während derWärmeübertragung, z. B. bei einem Rauchgas, das dieWärme auf den Dampfkreislauf überträgt, indem es sichdabei abkühlt. Das nebenstehende T-s-Diagramm beziehtsich auf das wärmeabgebende System, dessenEntropieänderung von 2 nach 1 negativ ist. Die Wärmesoll aber einem Kreisprozess reversibel zugeführtwerden. Deshalb wird mit vertauschten Indizes unddaher positivem ds gerechnet.S

T

T(S)

dS

TU

2

1

9.3 Exergie der Wärme

Lösung S. a85

Für eine Gasturbine steht ein Gasstrom von 18 kg/s mit einer Temperatur von 800 °C bei einem Druckvon 30 bar zur Verfügung. Welche Leistung könnte maximal bei reversibler Prozessführung erzieltwerden, wenn der Umgebungszustand mit 15 °C und 1 bar angegeben ist? Es sollen die Stoffwerte fürLuft als ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität verwendet werden.

Aufgabe A 9.4 Exergie eines Enthalpiestromes

Bild 9.2 Die Exergie der Enthalpie am Beispiel eines idealen Gases im T-s-Diagramm

(Gl. 9.2.3)anoS hU TU sU s1−( )⋅−=Somit ist die spezifischeAnergie des offenen Systems:

Äußere Energien sind hinzuzuaddieren!

(Gl. 9.2.2)ExoS H1 HU− TU S1 SU−( )⋅−=

(Gl.9.2.1)

exoS h1 hU− TU s1 sU−( )⋅−=Exergie des offenenSystems (oS)Die Gleichungen sindstoffunabhängig

Wie im geschlossenen System, kann der Stoffstrom nacheinanderreversibel isentrop und isotherm unter Arbeitsabgabe auf denUmgebungszustand gebracht werden. Jetzt ist jedoch auch amEintritt in das System die Verschiebearbeit zu berücksichtigen. In dieBilanzgleichung wird hier die Enthalpiedifferenz eingesetzt, da indieser beide Verschiebearbeiten enthalten sind (vergl. 4.2: 1.Hauptsatz für das offene System!).

T

s

2s

1

2UTU

p1

h1-hU TU*(sU-s1)

9.2 Exergie eines Massenstromes (Exergie der Enthalpie)

Lösung S. a84

Der Kondensator eines Dampfkraftwerks ist anfangs mit Luft im Umgebungszustand gefüllt. Vor derInbetriebnahme muss er evakuiert werden. Der Druck bei Inbetriebnahme soll 5 % des Umgebungsdruckesbetragen. a) Welche Luftmasse muss abgesaugt werden und wie groß ist die im Behälter verbleibende Luftmenge? b) Welche Arbeit ist mindestens zur Evakuierung erforderlich?

Aufgabe A 9.3 Exergie in einem evakuierten Behälter (Kondensator)

5454

Das Beispiel im dargestellten T-s-Diagramm zeigt den Fall, dass etwa 50 % des Niederdruckdampfes zu Heizzweckenentnommen wird. Gewonnene Heizwärme: qheiz , Verlust an Arbeit: wVerl . Das Verhältnis dieser beiden Größen wirdals Stromverlustkennziffer bezeichnet. Eine weitere Alternative zum Heizen sind die sogenannten Blockheizkraftwerke (BHKW). Dort treibt einVerbrennungsmotor einen Generator zur Stromerzeugung und das Motorkühlwasser, der Ölkreislauf und das Abgasbeheizen nacheinander den Heizungskreislauf. BHKW eignen sich hervorragend für die dezentrale Versorgung mittlererVerbraucher, die auch im Sommer Wärme benötigen (z. B. Krankenhäuser).

Aus den vorigen Abschnitten und insbesondere auch aus der Aufgabe A 9.5 geht hervor, dass die größtenExergieverluste entstehen, wenn die bei einem Verbrennungsprozess aus der Energie des Brennstoffes (ca. 100 %Exergie) freiwerdende Wärme zum Heizen bei niedrigen Temperaturen verwendet wird, auch wenn z. B. durchEinsatz eines Brennwertkessels die Wärmeverluste gering sind. Da die Heizwärme bei 20 °C Raumtemperatur und0 °C Außentemperatur (etwa die mittlere Außentemperatur einer Heizperiode) nur noch zu rund 7 % aus Exergie,d. h. also zu 93 % aus Anergie besteht, ist es energetisch weitaus günstiger, diese Heizwärme zu einem möglichsthohen Anteil aus dem unendlich großen Anergievorrat der Umgebung über Wärmepumpen bereitzustellen oderaber durch sogenanntes Auskoppeln von Wärme aus einem Kraftprozess bei der erforderlichen Heiztemperatur. Ineinem sogenannten Heizkraftwerk braucht man dann nur auf einen geringen Teil der Stromerzeugung aus dem"kalten Ende" der Turbine zu verzichten, wenn man dort den Heizdampf über eine Entnahme abzweigt oderkomplett in den sogenannten Heizkondensator (HK) umleitet (vergl. Skizze)

9.4 Kraft-Wärme-Kopplung

Lösung S. a86 Zeigen Sie, dass die Exergie aus einem Heißluftstrom bei Umgebungsdruck über eine Folge vonCarnot-Prozessen mit abnehmender oberer Prozesstemperatur gewonnen werden kann!

Aufgabe A 9.6 Exergie der Wärme und Carnot-Prozess

Lösung S. a85

Ein Wohngebäude muss bei einer Außentemperatur von 0 °C auf 20 °C beheizt werden. Der erforderlicheWärmebedarf wurde für diese Temperatur mit 15 kW berechnet. a) Welche Antriebsleitung müsste eine Wärmepumpe haben, die das Gebäude reversibel beheizt? b) Wie hoch wäre die Antriebsleistung, wenn die innerlich reversible Wärmepumpe in einen Heizungskreiseinspeist, dessen Umlaufwasser sie von 40 °C Rücklauftemperatur auf 55 °C Vorlauftemperaturerwärmen muss? c) Stellen Sie eine Betrachtung an über die exergetischen Wirkungsgrade, wenn eine reale Wärmepumpe imFalle b) eine Leistungsziffer von 4 erreicht!

Aufgabe A 9.5 Exergie beim Heizen

Achtung: Betrachtet man den Verlauf eines Kreisprozesses im T-s- Diagramm, so ist die Fläche unter dem Verlauf vonlinks nach rechts um die dissipierte Arbeit größer als die reversibel zugeführte Wärme (dq + dwR = T * ds)

(Gl. 9.3.3)AnQ TU S1 S2−( )⋅=Damit ist die Anergie der Wärme:

(Gl. 9.3.2)ExQ Q1_2 TU

1

2

Q1T

⌠⌡

d⋅−= Q1_2 TU S2 S1−( )⋅−=Die Exergie der Wärme ExQ kannsomit geschrieben werden mit:

(Gl. 9.3.1)W1_2rev

1

2

Q1TU

T−

⌠⌡

d−=insgesamt:

Das entspricht der Fläche zwischen Temperaturlinie und Umgebungstemperatur im T-S-Diagramm

5555

Anmerkung: Im obigen T-s-Diagramm ist nicht die Zustandsänderung des komprimierten Gases dargestellt. Dieschraffierten Flächen können als Wärmen aufgefasst werden, die pro kg Gas vom Kühlmittel mit gleicher Temperatur Taufgenommen werden.

Bild 9.5 Exergieverlust durch Reibung (Dissipation) exV TU ∆sirr⋅=

Der Exergieverlust ist aus dem T-s- Diagramm ablesbar:

qirr T ∆sirr⋅=

qrev T ∆srev⋅=Bei Kompression wird der gleicheEnergiebetrag als Wärmeabgegeben, d. h. der Betrag von wR

wird als qirr zusätzlich zumreversiblen Anteil qrev abgegeben.

wV wR+ q−=Die über die Systemgrenzetransportierte Arbeit ist:

T

s

qrev qdiss

TU

exVerl

srev sirr

für ideale Gase gilt mit dt = 0 auch du = 0 dq dwV+ dwR+ du=Nach dem 1. Hauptsatz gilt

9.5.1 Reibungsarbeit bei isothermer Zustandsänderung eines idealen Gases imgeschlossenen System

Alle realen Prozesse sind irreversibel. Folgende Phänomene sind zu nennen:Reibungskräfte, Drosselvorgänge, Unelastischer Stoß, Temperaturausgleichsprozesse. Im Gegensatz zu reversibelübertragener Wärme, wobei die Entropie je nach Flussrichtung über die Systemgrenze zu- oder abnimmt(Entropietransport), wird bei irreversiblen Vorgängen Entropie erzeugt. Dieser Anteil der Entropieänderung ist alsostets positiv. Im Folgenden sind einige Beispiele aufgeführt.

9.5 Spezielle irreversible Prozesse

Berechnungund Diagramme S. b12

Am Beispiel eines mit Dampf arbeitenden Heizkraftwerkes wird die Auswirkung der geringerenExergieverluste auf den Primärenergiebedarf für die Bereitstellung der Wärme aufgezeigt. Für das reineKondensationskraftwerk wird der Gesamtwirkungsgrad vorgegeben. Die Untersuchung braucht sichdann nur auf das "kalte Ende" zu erstrecken, wenn die Heiztemperatur und die Temperatur imKondensator ( oberhalb Umgebungstemperatur) ebenfalls vorgegeben werden. Es wird ebenfalls aufgezeigt, welche Energie im Vergleich zu einem reinen Heizwerk zusätzlich fürStromerzeugung aufzubringen ist.

Beispiel B 9.1 Reduzierter Energieeinsatz bei Kraft-Wärme-Kopplung

Bild 9.4 T-s-Diagramm zur Wärmeauskopplung aus einem Dampfkraftwerk

Bild 9.3 Das Prinzip eines Heizkraftwerkes (Dampfkraftwerk)

1

2

T

s

qab

qzu

qheiz

Ewverl

TU

TH

MD ND G

HK

Ko

Heiz. Vorl

Heiz. Rückl.

KühlwasserKoP

E

1

2

5656

9.5.2 Adiabate Drosselung eines idealen Gases im offenen System

c1,p1,T1 c2=c1, p2, T1=T2

T

∆sirr

1 2

wdiss

exverl

TU

p1 p2

Bild 9.6 Drosselung eines idealen Gases (Prinzip)

Der Querschnitt des Strömungskanals wird so gewählt, dass dieAustrittsgeschwindigkeit gleich der Eintrittsgeschwindigkeit ist

Nach dem 1. Hauptsatz gilt: dq dwt+ dh d ea( )+=

Bild 9.6 Drosselung eines idealen Gases - Darstellung imT-s-Diagramm

Somit sind gemäß Voraussetzung (keine Wärme, keine Arbeit) alle Terme in dieser Gleichung jeweils für sich = 0.Für ideale Gase gilt dann wegen dh = cp * dT auch dT = 0

und mit dem 2. Hauptsatz gilt: dq dwdiss+ T ds⋅= also wdiss T1 s2 s1−( )⋅= T1 ∆sirr⋅=

Diese Arbeit hätte bei reversibler isothermer Expansion abgegeben werden können. Da sie jedoch im System bleibt,für das Gas mit gleicher Auswirkung wie von außen zugeführte Wärme, verbleibt davon als Exergie nur der Teil,dessen Flächenäquivalent oberhalb der Umgebungstemperatur liegt. Der Flächenanteil unterhalb T U ist wiederum derExergieverlust.

exverl TU ∆sirr⋅=

5757

Lösung S. a88

In einer Gasturbine entspannen sich stündlich 3000 kg Helium ausgehend von 800 °C und 6 bar auf 1 bar und608 °C.a) Wie groß ist der Polytropenexponent? b) Wie groß wäre die abgegebene Leistung und der Wärmestrom, wenn die Zustandsänderung innerlichreversibel ablaufen würde?c) Wie groß ist die Leistung, wenn die gleiche Zustandsänderung bei adiabater Entspannung zustande kommt?d) Wie groß sind Reibungsleistung und Gütegrad bei adiabater Entspannung? Helium soll als ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität betrachtet werden.e) Welchen Exergieverlust hat die Turbine bei einer Umgebungstemperatur von 25 °C?

Aufgabe A 9.7 Exergieverlust in einer Gasturbine

ηgVh2is h1−

h2 h1−=für die Verdichtung:ηgT

h1 h2−

h1 h2is−=Für die Expansion (T = Turbine)

Es wird gegenüber der isentropen Zustandsänderung noch der Gütegrad oder innere Wirkungsgrad definiert:

wt1_2 h2 h1− ∆ea+=dwt dh d ea( )+=Aus dem 1. Hauptsatz mit dq = 0 wird:

exverl TU ∆sirr⋅=wdiss1

2sT

⌠⌡

d=In beidem Fällen gilt analogden vorher getroffenen Aussagen:

Bild 9.7 Exergieverlust bei Expansion (links) und Kompression (rechts) in einer Maschine

T

∆sirr

1

2wdiss

exverl

TU

p2

2is

p1

s

T

1

2

wdiss

exverl

TU

p1 p2

2is

∆sirr

In jeder Maschine treten jedoch Reibungskräfte auf, z. B. zwischen Kolben und Zylinderwand oder Drosselvorgänge z.B. an Ventilen und zwischen Schaufel und Gehäuse oder Stoß mit entsprechender Entropieerzeugung.

Viele Maschinen arbeiten ungekühlt, soweit die Betriebstemperaturen für die Materialien nicht zu hoch werden. Dazugehören z. B. Verdichter und Dampfturbinen. Die reversible Zustandsänderung ist dann eine Isentrope.

9.5.3 Adiabate Maschinen

5858

Lösung S. a94

Bestimmen Sie a) den Ladedruck des skizzierten Druckbehälters für Druckluft. Der Behälter

hat ein Volumen VB = 0,3 m3 . Der Mindestdruck, bei dem der Kompressorwieder anläuft, beträgt pmin = 2,4 bar. Der Kompressor saugt aus derUmgebung mit pU = 1 bar und tU = 20 °C an. Die Temperatur im Behälter seiinfolge guten Wärmeaustausches mit der Umgebung konstant tB = 20 °C. Ander Verbrauchsstelle hinter dem Reduzierventil V wird ein konstanterVolumenstrom V = 3,1 m3/h bei pV = 2,3 bar und tV = 18 °C entnommen. DieZeit Z, die zwischen dem Abschalten und Wiedereinschalten des Kompressorsvergeht, soll 15 min betragen.b) die mindestens vom Kompressor aufzubringende Arbeit für das Aufladen. Warum ist die tatsächliche Arbeit größer?

B

K

S

V

Aufgabe A 9.10 Aufladen eines Pressluftbehälters

9.6 Weitere Beispiele und Aufgaben

Lösung S. a93 Berechnen Sie den Exergieverlust beim isobaren Vermischen zweier stofflich gleicher Flüssigkeitenunterschiedlicher Temperatur (Die spezifische Wärmekapazität soll als konstant angenommen werden)

Aufgabe A 9.9 Exergieverlust beim Temperaturausgleich durch Mischen

(vergl. auch Aufgaben A 9.9 und A 8.2)Bild 9.8 Exergieverlust bei Wärmeübertragung

Exverl TU ∆Sirr⋅=und der Exergieverlust

∆Sirr ∆Szu ∆Sab+= Qzu1

Tzu

1Tab

−

⋅=Die produzierte Entropie istwegen: ∆Sab<0

∆SabQab

TMab=und ∆Szu

Qzu

Tzu=Dann ist

Qzu1zu

2zuSTzu

⌠⌡

d= Tzu ∆Szu⋅=Qab1ab

2abSTab

⌠⌡

d=

Es wird die Wärme Qab = -Qzu vom wärmeabgebenden System mit dermittleren Temperatur TMab auf das wärmeaufnehmende System mit Tzu

übertragen (wegen unterschiedlicher Stoffe extensive Größen)

Sirr

Exverl

1ab

2zu

2ab

Tzu

T

Exverl

1zu

TU

TMab

9.5.4 Wärmeübertragung

Lösung S. a91

Ein gekühlter Verdichter saugt Luft aus der Umgebung mit tU = 25 °C und pU = 1 bar an und verdichtetdiese auf p2 = 7,5 bar bei t2 = 147 °C. Die vom Verdichter aufgenommene Arbeit wird dabei zu 10 % zurÜberwindung von Reibungskräften benötigt. a) Stellen Sie den Prozess im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm dar (Wie groß ist derPolytropenexponent?) b) Berechnen Sie die spezifischen Prozessgrößen Wärme und Arbeit.c) Wie groß wäre die abgegebene spezifische Arbeit und die Wärme, wenn die Zustandsänderung innerlichreversibel ablaufen würde? Luft soll als ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität betrachtet werden.

Aufgabe A 9.8 Exergieverlust in einem Verdichter mit Kühler

5959

mi

m

Mi ni⋅

M n⋅=M

1

n

i

Mi ψ i⋅( )∑=

= und mitFür die molare Masse M ergibt sichebenso mit m = M*n:

vVm

=V1

m

V2

m+=

V1 m1⋅

m m1⋅

V2 m2⋅

m m2⋅+= ξ1 v1⋅ ξ2 v2⋅+=

ρmV

=m1

V

m2

V+=

V1 m1⋅

V V1⋅

V2 m2⋅

V V2⋅+= ψ1 ρ1⋅ ψ2 ρ2⋅+=

Beispiel: für 2 Komponenten:

Dichte ρ

spezifisches Volumen v

Die Zustandsgrößen der Mischung werden über die Raumanteile addiert, wenn sie sich auf das Volumen (bzw.Menge) beziehen und über die Massenanteile, wenn sie sich auf die Masse beziehen (spezifische Größen). AndereGrößen, wie z. B. Zähigkeit und Wärmeleitfähigkeit lassen sich nicht über diese Mischungsgleichungen berechnen(s. VDI-Wärmeatlas!)

1

n

i

ψ i∑=

1=ψ iVi

V=und ψ i

ni

n=

Mengenanteil des Stoffes ian der Gesamtmenge (Teilchen- menge), identisch mit dem Raumanteilentsprechend dem Ausgangsvolumen:

1

n

i

ξi∑=

1=ξimi

m=

Massenanteil des Stoffes ian der Gesamtmasse:

10 Mischungen idealer GaseDie Stoffeigenschaften von Gasmischungen lassen sich aus den Eigenschaften der beteiligten reinen Stoffe berechnen.Dies ist in der Regel bei chemischen Prozessen von Bedeutung. In der technischen Thermodynamik sind insbesondereRauchgase aus Feuerungen, z. B. im Dampfkessel eines Kraftwerkes, wichtige Wärmeträger. Auch Luft ist einGemisch, in erster Linie aus Stickstoff und Sauerstoff. Andere Bestandteile sind in den meisten Fällen zuvernachlässigen. Allerdings spielt der geringe Wasserdampfanteil für das Klima eine lebensnotwendige Rolle. Bei denfolgenden Betrachtungen bleibt er unberücksichtigt.

p , V1, T, p , V2, T,

p1 + p2 , V, T,

Ein Raum gemäß nebenstehender Skizze ist zunächst in zweiKammern geteilt, in denen sich unterschiedliche Gase, z. B.Sauerstoff und Stickstoff befinden. Temperatur und Druck seiauf beiden Seiten gleich. Das Beispiel mit 2 Komponenten lässtsich auf eine beliebige Anzahl von Komponenten erweitern

Die Trennwand wird entfernt und beide Gase vermischen sich. Eshandelt sich um einen irreversiblen Vorgang. Beide Gase expandierenisotherm von ihrem ursprünglichen Teilvolumen auf dasGesamtvolumen ohne Arbeitsleistung. Statt des Ausgangsdruckeshat jedes Gas jetzt nur noch einen seiner Ausdehnungentsprechenden Partialdruck (Teildruck). Die Summe derPartialdrücke ergibt den Gesamtdruck (= Ausgangsdruck). Bild 10.1 Isotherme Vermischung idealer Gase

Gesetz von Dalton:In einer Mischung von Gasen verhält sich jedes Gas so, als ob es den Raum allein einnehmen würde

Es gilt für die Partialdrücke:

p1 p2+ p= allgemein: p

1

n

i

pi∑=

= bei n Komponenten

für die Teilmassen: m1 m2+ m= allgemein: m

1

n

i

mi∑=

= bei n Komponenten

6060

ξO2 0.233= ML 28.84kg

kmol= ξN2 0.767= RL 288

Jkg K⋅

=

Der Wert weicht in erster Linie wegen der vernachlässigten anderen Stoffanteile und geringfügig auch wegen der beider Angabe der molaren Massen der Komponenten unberücksichtigten geringen Anteile der schwereren Isotope vondem bekannten Wert 287,1 ab.

Mischungsentropie und Exergieverlust beim Mischen idealer Gase:Diese Größen spielen nur dann eine Rolle, wenn die Gase nicht beim Beginn eines Prozesses bereits als Gemischvorliegen. Beim isobaren - bei idealen Gasen = isothermen - Vermischen wird die isotherme Arbeit der Expansion aufden Partialdruck dissipiert.

für die Komponente i Wdissimi Ri⋅ T⋅ ln

ppi

⋅= mi Ri⋅ T⋅ lnψi⋅( )−= Gesamt: Wdiss

1

n

i

mi Ri⋅ T⋅ ln ψ i( )⋅( )∑=

−=

Diese Arbeit wäre mindestens zum Entmischen erforderlich

Entsprechend dieMischungsentropie: ∆S

Wdiss

T= und mit mi Ri⋅ ni Rmol⋅= ∆S Rmol−

1

n

i

ni ln ψ i( )⋅( )∑=

⋅=

oder nach Erweiterung mit n ∆S m− R⋅

1

n

i

ψ i ln ψ i( )⋅( )∑=

⋅=

Aufgabe A 10.1 Berechnung von Stoffwerten für eine Mischung aus verschiedenenidealen Gasen

Berechnen Sie für ein Rauchgas mit den Volumenanteilen:CO2 = 12 %, H2O = 4,5 %, SO2 = 0,15 % , O2 = 6,4 % und N2 = 82,6 % die Größen R, M, x, cp und cv

für die Temperatur 0 °C unter der Annahme, dass die Bestandteile ideale Gase sind! Lösung S. a96

der Zusammenhang zwischen Massen-und Raumanteilen

für die Gaskonstante derMischung:

RM

1

n

i

ξi Ri⋅( )∑=

=ξi ψ i

Mi

M⋅=

Beispiel für Luft vereinfacht als Mischung zwischen Sauerstoff und Stickstoff:

RO2 259.9J

kg K⋅:= R1 RO2:= und RN2 296.8

Jkg K⋅

:= R2 RN2:=

ψO2 0.21:= ψN2 0.79:= MO2 32kg

kmol:= MN2 28

kgkmol

:=

ML ψO2 MO2⋅ ψN2 MN2⋅+:= ξO2 ψO2MO2

ML⋅:= ξ1 ξO2:= ξN2 ψN2

MN2

ML⋅:=

ξ2 ξN2:= RL

1

2

i

ξi Ri⋅( )∑=

:=

Ergebnisse:

6161

Bild 11.1 Zusammenhang zwischen der wahren und dermittlereren spezifischen Wärmekapazität

dabei ist j der dem speziellen Stoff zugehörigeSpaltenindex in der Tabelle 11.2

qp1_2 j t1, t2,( )

Die zugehörige aktive Gleichung 11.2 finden Sie aufder nächsten Seite als:

Gl. 11.1q1_2t1

t2tcpm

⌠⌡

d= cpm 0 t2,( ) t2⋅ cpm 0 t1,( ) t1⋅−=

q0_1

cpm 0t2

cp*dtt1

t2q1_2 =

t1

cpm 0t1

t2

cpm

t

1

2

Für genauere Berechnungen finden Sie in der Tabelle 11.2 Mittlere spezifische Wärmekapazitäten in kJ / kg*Kzwischen 0 °C und der jeweiligen Temperatur der ansonsten als ideale Gase behandelten Stoffe. Die Tabellierung war in dieser Form erforderlich, weil damit ohne Rechenprogramme eine einfache Bestimmung derWärmezufuhr zwischen zwei beliebigen Temperaturen möglich wird. Man findet diese Tabelle - mehr oder wenigerdetailliert - überall in der Fachliteratur. Das Prinzip der Berechnung ist in der Skizze Bild 11.1 dargestellt.

Tabelle 6.1 Stoffwerte einigertechnisch wichtiger Gase(Idealgaszustand) bei 0 °C

R Rmol:=

Rmol 8.314J

mol K⋅≡

Molare Gaskonstante:

Tabelle 11.1 Stoffwerte idealerGase, spezifischeWärmekapazitäten undIsentropenexponent bei 0 °C Quelle: Baehr,Thermodynamische Funktionenidealer Gase

Index / Stoff R J/kg*K

M kg/kmol

cp

J/kg*Kcv

J/kg*Kk

1 N2 296,8 28,01 1039 742,2 1,4002 CO2 188,9 44,01 816,9 628,0 1,3013 O2 259,8 32,00 915,0 655,2 1,3974 SO2 129,8 64,06 609,2 479,4 1,2715 CO 296,8 28,01 1040 743,2 1,3996 H2 4126 2,015 14200 10074 1,4107 Ar 208,1 39,95 520,3 312,2 1,6678 Ne 412,0 20,18 1027 615,0 1,6709 H2O 461,5 18,02 1859 1398 1,33010 He 2077 4,003 5238 3161 1,65711 NH3 488,2 17,03 2056 1568 1,31112 CH4 518,3 16,04 2156 1638 1,31613 Luft 287,2 28,95 1004 716,8 1,401

Stoffdaten für verschiedene technisch wichtige Gase als ideale Gase, spezifische Wärmekapazitäten undIsentropenexponent für 0°C

In vielen Fällen wird bei der Behandlung idealer Gase mit temperaturunabhängigen Wärmekapazitäten gerechnet, die inder Literatur meist für 0 °C zu finden sind (Tabelle 11.1). Dies ist nur gerechtfertigt, wenn die Temperaturen sichnicht weit vom Nullpunkt der Celsiusskala entfernen oder aber, wenn es um qualitative Berechnungen für prinzipielleDarstellungen geht, bei denen keine numerische Genauigkeit erforderlich ist. Ideale Gase mit konstanter spezifischerWärmekapazität ( auch "perfekte Gase" genannt) werden z. B. in der technischen Thermodynamik als Arbeitsstoffe fürKreisprozesse verwendet, die man ohne diese Idealisierung mit einfachen Mitteln nicht rechnerisch modellieren könnte.Die Abweichungen vom tatsächlichen Verhalten sind jedoch meist erheblich.

11 Spezifische Wärmekapazität idealer Gase

6262

Gl. 11.8ht j t,( ) cpm j t,( ) t⋅ p0 v0 j( )⋅+:=v0 j( )Rj T0⋅

p0:=mit Dann ist die Enthalpie

(Normzustand t0 = 0 °C und p0 =1.013 bar):

Gl. 11.7ut j t,( ) cvm j t,( )( )t:=Setzt man im Bezugspunkt t0 = 0 °Cdie innere Energie des Gases u0 = 0so gilt (vergl. Kap. 6):

Gl. 11.5cvmm j t1, t2,( )cvm j t2,( ) t2⋅ cvm j t1,( ) t1⋅−

t2 t1−:=bzw cv :

cpmm j t1, t2,( )cpm j t2,( ) t2⋅ cpm j t1,( ) t1⋅−

t2 t1−:=

Gl. 11.4somit ist die mittlere spezifischeWärmekapazität cp für den Bereichzwischen den Temperaturen t1 und t2

Gl. 11.3qv1_2 j t1, t2,( ) cvm j t2,( ) t2⋅ cvm j t1,( ) t1⋅−:=

Gl. 11.2qp1_2 j t1, t2,( ) cpm j t2,( ) t2⋅ cpm j t1,( ) t1⋅−:=Wärmezufuhr von t1 nach t2

Bild 11.2 Mittlere spezifische Wärmekapazität von Stickstoff in Abhängigkeit von der Temperatur

0 500 1000 1500 2000 2500 30001

1.05

1.1

1.15

1.2

Temperatur in °C

Mitt

lere

spez

.Wär

mek

apaz

ität i

n kJ

/kg*

K

Darstellung der mittleren spez. Wärmekapazität von Stickstoff zwischen 0°C unt t im cp-t-Diagramm

cpm N2 t1,( ) 1.116kJ

kg K⋅=t1 1000°C:=Beispiel Stickstoff:(Für andere Stoffe entsprechende Bezeichnung einsetzen!)

Zur Verwendung mit Mathcad werden daraus Funktionen cpm j t,( ) und cvm j t,( ) gebildet, über die auf die Dateninnerhalb des tabellierten Bereiches zugegriffen werden kann (auf der CD sichtbar rechts neben diesem Bereich)

Zur Einsicht in denunteren Teil der Tabellediese anklicken undLaufleiste bedienen!

Tabelle 11.2 Mittlerespezifische Wärmekapazitätcpm zwischen 0 und t fürtechnisch wichtige Gase,Bereich 0 °C bis 3000 °C(Idealgaszustand) Quelle: Baehr,ThermodynamischeFunktionen idealer Gase

1 2 3 4 5 6 7 8 912

3

4

5

67

8

9

10

11

12

0 1.0387 0.8165 0.9148 0.6083 1.0397 14.199 0.5203 1.858425 1.0387 0.8299 0.9164 0.6153 1.0399 14.259 0.5203 1.8608

50 1.0389 0.8429 0.9182 0.6224 1.0403 14.3 0.5203 1.864

100 1.0396 0.8677 0.923 0.6365 1.0416 14.359 0.5203 1.8718

150 1.0408 0.8907 0.9288 0.6503 1.0435 14.397 0.5203 1.8814

200 1.0426 0.9122 0.9354 0.6634 1.0462 14.423 0.5203 1.8924250 1.045 0.9321 0.9425 0.676 1.0496 14.441 0.5203 1.9046

300 1.048 0.9509 0.9499 0.6878 1.0537 14.455 0.5203 1.9177

350 1.0516 0.9685 0.9574 0.6988 1.0583 14.469 0.5203 1.9316

400 1.0556 0.985 0.9649 0.709 1.0634 14.481 0.5203 1.946

450 1.0601 1.0005 0.9721 0.7186 1.0688 14.495 0.5203 1.9608

500 1.0648 1.0152 0.9792 0.7274 1.0745 14.51 0.5203 1.976

t N2 CO2 O2 SO2 CO H2 Ar H2O

6363

Gl. 11.10

Wahrer Isentropenexponent κw j t,( )cp j t,( )

cv j t,( ):= κw N2 t1,( ) 1.325= Gl. 11.11

Mittlerer Isentropenexponentzwischen t1 und t2

κm j t1, t2,( )cpmm j t1, t2,( )

cpmm j t1, t2,( ) Rj−:= κm N2 t1, t2,( ) 1.314= Gl. 11.12

κm N2 0°C, 10°C,( ) 1.4=

Darstellung der wahren spez. Wärmekapazität von Stickstoff im cp-t-Diagramm

500 1000 1500 2000 2500 30001

1.1

1.2

1.3

1.4

Temperatur in °C

Wah

re sp

ez. W

ärm

ekap

azitä

t in

kJ/k

g*K Bild 11.3

Wahre spez. Wärmekapazität von Stickstoff inAbhängigkeit von der Temperatur

Da die Gleichung 11.9 durch durch Differenziationder Spline-Funktion cpm j t,( ) (Interpolationsfunktionfür die Tabelle 11.2) gewonnen wurde, ergeben sichgeringfügige Fehler, die im wellenförmigen Verlaufder Kurve erkennbar sind. Sie liegen im Bereich von0.1% und können toleriert werden. Dabei istinsbesondere zu bemerken, dass durch Dissoziationbei Temperaturen oberhalb 1500 °C ohnehin größereAbweichungen auftreten, die in den obigenTabellenwerten nicht berücksichtigt sind.

Isentropenexponent

0 1000 2000 30001.2

1.25

1.3

1.35

1.4

Temperatur in °C

Wah

rer u

nd m

ttl. I

sent

rope

nexp

onen

t _____ mittlerer Exponent

------- wahrer Exponent

_ _ _ mittlerer Exponent zwischen t1 1000°C= und t < t1(als Beispiel zur Gleichung 11.12)

Bild 11.3 Wahrer Isentropenexponent bei Temperatur t undmittlere Isentropenexponenten für Stickstoff

Statt der Ziffer j kann in diese Gleichungen auch das zugehörige chemische Symbol eingesetzt werden.

Beispiel für Stickstoff bei t1 = 1000°C: uN2 ut N2 t1,( ):= uN2 819.2 kJ kg 1−⋅=

hN2 ht N2 t1,( ):= hN2 1197.1 kJ kg 1−⋅=

MIt t2 1500°C:= wird cpm cpmm N2 t1, t2,( ):=cpm 1.241 kJ kg K⋅( ) 1−

⋅=

qN2_1_2 qp1_2 N2 t1, t2,( ):= qN2_1_2 620.7 kJ kg 1−⋅=

Wahre Spezifische Wärmekapazität:

Da die mittlere spezifische Wärmekapazitätcpm(t) über die wahre spezifischeWärmekapazität cp(t) definiert ist als:

cpm t( )1t 0°C

ttcp t( )

⌠⌡

d⋅=

ergibt sich umgekehrt die wahreWärmekapazität bei der Temperatur taus der mittleren über:

cp j t,( )t

cpm j t,( ) t⋅( )dd

:= cp N2 t1,( ) 1.211kJ

kg K⋅= Gl. 11.9

cv j t,( ) cp j t,( ) Rj−:=bzw. cv N2 t1,( ) 0.914kJ

kg K⋅=

6464

Lösung S. a97

Einer CO2-Masse von 1 kg wird ausgehend von 20 °C eine Wärmemenge von 300 kJ zugeführt, wobeisich das Gas ausdehnt und eine Volumenänderungsarbeit von 10.000 mkp abgibt. Wie hoch ist dieEndtemperatur des Gases, wenn es sich um ein ideales Gase mit konstanter spezifischen

Wärmekapazitäten cp 0.821kJ

kg K⋅:= handelt ?

Welche Arbeit wird abgegeben und welche Endtemperatur wird erreicht, wenn die tatsächlichentemperaturabhängigen Wärmekapazitäten aus den Tabellen berücksichtigt werden und die Erwärmungisobar bei 1 bar Absolutdruck erfolgt?

Aufgabe A 11.1 Erwärmung einer Gasmasse

κm j t1, t2,( )mittlerer Isentropenexponent zwischen t1 und t2

κw j t,( )Wahrer Isentropenexponent bei Temperatur t

qp1_2 j t1, t2,( )Wärmezufuhr von t1 nach t2

cvmm j t1, t2,( )mittlere spezifische Wärmekapazität cvmm zwischen t1 und t2

cpmm j t1, t2,( )mittlere spezifische Wärmekapazität cpmm zwischen t1 und t2

cv j t,( )Wahre spezifische Wärmekapazität cv bei t

cp j t,( )Wahre spezifische Wärmekapazität cp bei t

cvm j t,( )mittlere spezifische Wärmekapazität cvm zwischen 0 °C und t

cpm j t,( )mittlere spezifische Wärmekapazität cpm zwischen 0 °C und t

ht j t,( )Spezifische Enthalpie

ut j t,( )Spezifische innere Energie

Es stehen also für die Gase in obiger Tabelle (Stoff j = 1 bis 8 ) folgende Funktionen zur Verfügung:

6565

Schmelzenthalpie des Wassersbei 0 °C:r0 2501

kJkg

= rSch 334kJkg

=

Die Zustandsgrößen v und h werden in der Regel bezogen auf 1 kg trockene Luft, das heißt auf insgesamt (1 + x) kg.Mit dem Verhältnis der Gaskonstanten von Luft RL und Wasserdampf RWD von 0,622 erhält man folgende Gleichungenfür das Massenverhältnis x, das spezifische Volumen v1_x und die Enthalpie h1_x

für den ungesättigten Bereich ( x < xs) : x 0.622φ ps tL( )⋅

p φ ps tL( )⋅−⋅= Gl. 12.1

(p ist der messbare Gesamtdruck)

v1_xTL

p1 x 1.607⋅+( )⋅ RL⋅= Gl. 12.2

h1_x cpL tL⋅ x tL cpD⋅ r0+( )⋅+= Gl. 12.3

Herleitungen EK12für den übersättigten Bereich ( x > xs) :

für tL > 0°C: h1_x cpL tL⋅ xs tL cpD⋅ r0+( )⋅+ x1 xs−( ) cW⋅ tL⋅+= Gl. 12.4

für tL < 0°C: h1_x cpL tL⋅ xs tL cpD⋅ r0+( )⋅+ x1 xs−( ) cE tL⋅ rSch−( )⋅+= Gl. 12.5

mit xs 0.622ps tL( )

p ps tL( )−⋅= (aus Gl. 12.1 mit φ = 1 )

Bei 0°C kann sowohl Wassernebel als auch Eisnebel (Schnee, Hagel) oder einGemisch mit Eisanteil aE auftreten. Die Beziehung für die Enthalpie lautet dann:

h1_x xs r0⋅ aE x1 xs−( )⋅ rSch⋅−= Gl. 12.6

Sollen die spezifischen Größen für 1kg gesamte Masse angegeben werden, so ist durch (1+x) zu dividieren

12 Feuchte LuftFeuchte Luft ist eine Mischung von Luft und Wasser. Da der Wasserdampfpartialdruck in der Umgebung stetsunterhalb des Barometerdruckes von etwa 1 bar (in der Regel weit darunter) liegt, kann hier der Wasserdampf alsideales Gas behandelt werden. Der Unterschied zu einer Mischung zwischen Gasen, die sich bei den zubetrachtenden Zuständen nicht verflüssigen, liegt darin, dass der Wasserdampfpartialdruck nicht größer werdenkann als der zur jeweiligen Temperatur gehörige Sättigungsdruck des Wasserdampfes. Es kann also stets nur so vielWasser verdampfen (man spricht hier vom "Verdunsten"), wie der Sättigungsdruck erlaubt. Man spricht dann vongesättigter Luft. Wird eine größere Wassermenge zugemischt, bleibt diese flüssig oder für t < 0 °C fest.

Folgende Definitionen werden getroffen:

Verhältnis der Wassermasse zurMasse der trockenen Luft: x

mW

mL= Partialdruck des Wasserdampfes pD

Maximaler Partialdruck des Wasserdampfes bei Lufttemperatur tL(kann auch aus der Tabelle 13.1 abgelesen werden)

pDmax ps tL( )=

Relative Luftfeuchtigkeit: φpD

ps tL( )= mit pDRD TL⋅

vD= (D = Wasserdampf )

Gaskonstante der Luft: RL 0.2871kJ

kg K⋅= spezifische Wärmekapazität der

Luft:cpL 1

kJkg K⋅

=

Gaskonstante des Wasserdampfes: RD 0.4615kJ

kg K⋅= spezifische Wärmekapazität des

Dampfes:cpD 1.86

kJkg K⋅

=

spezifische Wärmekapazität desflüssigen Wassers:

spezifische Wärmekapazität desgefrorenen Wassers (Eis):cW 4.19

kJkg K⋅

= cE 2.09kJ

kg K⋅=

Verdampfungsenthalpie des Wassersbei 0 °C:

6666

hptx 1bar 20°C, 0.007362,( ) 38.69kJkg

=vptx 1bar 20°C, 0.00732,( ) 0.852m3

kg=Beispiel:

hptx p t, x,( )und vptx p t, x,( )Für alle Bereiche mit t 0°C≠

φptx 1bar 20°C, 0.00732,( ) 49.7 %=hpφt 1bar 0.5, 20°C,( ) 38.69kJkg

=xpφt 1bar 0.5, 20°C,( ) 0.007362=Beispiel:

φptx p t, x,( )hpφt p φ, t,( )xpφt p φ, t,( ) für den ungesättigten Bereich:

Die aktiven Funktionen (Zugriff über die Verweisdatei "VD_Flu"), Bezugsgröße 1 kg trockene Luft, d.h. (1 + x) kg gesamt:

Bild 12.2 Erläuterung des h-x-Diagrammes nachMollier für feuchte Luft im Bereich t < 0 °C

Wassernebel mit t = 0°C

Eisnebel mit t = 0°C

h = o

1

xs

xs*cpD*tL

xs*r0

cpL*tL

(x1-xs)*rSch(x1-xs)*cE*tL

0 °C ungesättigt

Bild 12.1 Erläuterung des h-x-Diagrammes nachMollier für feuchte Luft im Bereich t > 0°C

h1+x

t1

t

x1*r0

cpL*t1

x1*cpD*t1

1

0x1

h1,1+x

0°C

xs(t1)

2

(x2-xs(t1))*cpW*t1

x2h1,1+xs(t1)

xs(t1)*cpD*t1

=1Ungesättigter Bereich

Nebelgebiet

h = 0

Darstellung der Enthalpie feuchter Luft im ungesättigten und übersättigten Bereich imMOLLIER-h-x-Diagramm

6767

Bild 12.3 Das aktiveh-x-Diagrammes fürfeuchte Luft nachMollier

t5 10− °C=zya:

t4 0 °C=mag:

t3 10 °C=braun:

t2 20 °C=blau:

t1 40 °C=rot:

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.02540

30

20

10

0

10

20

30

40

50

x in kgW/kgL

h in

kJ/

kgL

und

t in

°C

t1 40°C:= t2 20°C:= t3 10°C:= t4 0°C:= t5 10− °C:= aE 0:= p 1bar:= Die Eingaben

können hier geändert werden

Aktives Schiefwinkliges Koordinatensystem (Mollier-h-x-Diagramm)

Sollen Größen die spezifischen Größen für 1kg gesamte Masse angegeben werden, so ist durch (1+x) zu dividieren

hpφt 500hPa 0.5, 15°C,( ) 42.3kJkg

=hpφt 2bar 1, 15°C,( ) 28.5kJkg

=

hptxa 1bar 0°C, 0.02, 1,( ) 4.165kJkg

=hpφt 1bar 1, 15°C,( ) 42.3kJkg

=

hptxa 1bar 0°C, 0.02, 0,( ) 9.567kJkg

=xpφt 1bar 1, 15°C,( ) 0.011=

hptx 1bar 5− °C, 0.02,( ) 4.77−kJkg

=hptx 1bar 15°C, 0.02,( ) 42.9kJkg

=Weitere Beispiele :

hptxa 1bar 0°C, xSR, 0.7,( ) 8.124kJkg

=xpφt 1bar 1, 0°C,( ) 0.003825=xSR 0.01:=

Beispiel: Schnee-Regen mit 70% Schnee und 30% fl. Wasser:

hptxa p x, t, aE,( )undvptxa p t, x, aE,( )für alle Bereiche feuchter Luft,auch für t = 0°C mit Eisanteil aE:

6868

S. a105

Die Luft in einem Wohnraum mit einem Volumen von V = 80 V 80m3:= hat im Ausgangszustand (Bewohner

sind anwesend, verbrauchen warmes Wasser zum Kochen, Duschen usw., verdunsten auch aus demKörper Wasserdampf) bei einer Temperatur von t1 = 20 °C eine relative Feuchte von φ1 = 80 % . DieBewohner verlassen für längere Zeit den Raum. Die Fensterscheiben erreichen dann auf der Innenseite eineTemperatur von tF = -3 °C (Es handelt sich um ein altes Fenster ohne Isolierverglasung!), während dieHeizungsanlage die Temperatur auf konstant t2 = 13 °C hält. Welche relative Feuchte stellt sich ein, wennsonst keine Wasserquellen vorhanden sind? Welche Wassermasse scheidet sich in Form von Eisblumen amFenster ab?

Aufgabe A 12.5 Luftentfeuchtung Lösung S. a103

t1 t2

Eine Klimaanlage soll einen Zuluftstrom von VLzu = 5000 m3/h bei einer Zulufttemperatur von tzu = 20 °C undeiner relativen Luftfeuchtigkeit von 50 % liefern. Ansaugzustand von außen ist t1 = 0,1 °C sowie φ1 = 0,8und p1 = 1 bar . Die Luft soll so erwärmt und anschließend durch Einsprühen von Wasser mit tW = 10 °Cbefeuchtet werden, dass der gewünschte Zuluftzustand erreicht wird. Welcher Wasserstrom und welcheHeizleistung ist erforderlich?

Aufgabe A 12.4 Luftbefeuchtung

Lösung S. a101

In einem Industriebetrieb wird ein feuchter gesättigter Luftstrom von V = 6,96 m3/s bei einer Temperaturvon t4 = 22 °C benötigt. In einer ersten Mischkammer werden zwei Feuchtluftströme (Strom 1: t1 = 2 °Cund φ1 = 0,9 , Strom 2: t2 = 31 °C , x2 = 0.02 , m2= 3,06 kg/s (feucht) ) zugemischt und gleichzeitigerwärmt, in einer zweiten Mischkammer wird Sattdampf von p = 1 bar zugemischt, womit der erforderlicheZustand 4 erreicht wird. Der ganze Vorgang läuft isobar ab bei p1 = 1 bar . a) Stellen Sie den Vorgang im h-x-Diagramm dar!b) Berechnen alle Stoffströme und für alle Eckpunkte die zugehörigen Zustandsgrößen!c) Welchen Zustand müsste der Luftstrom 1 haben, wenn bei gleichen Luftmengen und gleicherDampfmenge die Zusatzheizung entfallen könnte?

Aufgabe A 12.3 Aufbereitung und Vermischung zweier Feuchtluftströme

Lösung S. a99

Ein Volumenstrom feuchter Luft von V = 100 m3/h wird von t1 = 10 °C und φ1 = 0,6 bei p = 1 barauf t2 = 45 °C erwärmta ) wie groß sind Wassergehalt und Wasserdampfpartialdruck?b ) wie groß sind spezifisches Volumen und Dichte im Ausgangszustand? c ) welcher Wärmestrom wird zugeführt und welche relative Feuchte wird erreicht?d ) Stellen Sie den Vorgang im Mollier-h-x-Diagramm dar!

Aufgabe A 12.2 Erwärmung feuchter Luft

Lösung S. a98

Zeigen Sie, dass bei der Mischung zweier feuchter Luftmassen der Zustandspunkt der Mischung im

Mollier-Diagramm auf der Verbindungsgeraden zwischen den Zustandspunkten der beidenFeuchtluftmengen liegt!

Aufgabe A 12.1 Mischung zweier gesättigter Luftmassen verschiedener Temperatur

6969

S. a114

In einem zu klimatisierenden Gebäude soll die Innentemperatur 24°C nicht überschreiten. Bei einer Außentemperaturvon ta = 35°C wird eine Kühlleistung von 53 kW (Wärmeabfur) erforderlich, um diese Bedingung zu erfüllen. Es stehtgenügend viel Grundwasser mit einer Temperatur von 10°C zur Verfügung, das in den Frischluftstrom eingesprühtwerden kann, der ohnehin zum Auswechseln der Raumluft erforderlich ist (Vor dem Eintritt in den Raum fällt dasflüssige Wasser aus.)

a) Welchen Zustand kann die Frischluft durch das Einsprühen erreichen?b) Welche Frischluftmenge mit diesem Zustand muss in einer Stunde eingeblasen werden, damit die Kühllast erreichtwird?c) Welcher Luftwechsel ergibt sich dadurch bei einem Gebäudevolumen von 10540 m 3 ? (mit anderen Worten: wieoft in der Stunde wird die im Gebäude vorhandene Luft mit diesem Frischluftstrom ausgewechselt?) d) Welche relative Luftfeuchtigkeit stellt sich dabei ein, wenn sonst kein Wasser zu- oder abgeführt wird?

Aufgabe A 12.10 Gebäudekühlung durch Grundwasser

Lösung S. a113

Welche Energie und welche Wassermenge führt ein Mensch ohne körperliche Tätigkeit über den Atemab, wenn er die Umgebungsluft mit einer gegebenen Temperatur und einer gegebenen relativenLuftfeuchte einatmet und mit 35 °C und 95 % relativer Feuchte ausatmet (Luftbedarf: 0,5 m 3/h)?Tragen Sie die Menge über der Umgebungstemperatur im Bereich -20 °C bis +30 °C auf!

Aufgabe A 12.9 Wasserabgabe über Atem

S. a111

Ein feuchtes Rauchgas hat die folgende Zusammensetzung in Raumanteilen: CO2: 9.486 % H2O: 19.16 %O2: 0.184 % N2: 71.17 % SO2: 0 % . Das Rauchgas hat beim Verlassen der Feuerung bei einemDruck von 1 bar eine Temperatur von 1900 °C und soll in einem Brennwertgerät auf 20 °C abgekühltwerden. Welche Wärmemenge gibt es ab, wenn der Volumenstrom im Normzustand mit 49.26 Kubikmeterpro Stunde anzusetzen ist?

Aufgabe A 12.8 Enthalpiestrom eines feuchten Rauchgases

S. a109

2. Psychrometermessung:Die Fragestellung bei der Messung der Luftfeuchte ist umgekehrt. Gemessen wird die Temperatur derLuft mit einem trockenen Thermometer und mit einem Thermometer, das mit einem feuchten "Strumpf"versehen ist ("Feuchtkugel"). Die zu messene Luft wird von einem Ventilator an beiden Thermometernvorbei angesaugt. Gegeben sind jetzt die Temperaturen des trockenen Thermometers: ttr = 25 °C und desfeuchten Thermometers tf = 16 °C gesucht ist die relative Feuchte φ1

1. Feuchtkugeltemperatur. Ein Regentropfen bewegt sich auf einer genügend langen Wegstrecke durch eineungesättigte Luftschicht mit gegebenem Zustand. Welche Temperatur erreicht er dabei? tL = 25 °C und φL = 33,5 %

Aufgabe A 12.7 Feuchtkugeltemperatur und Psychrometermessung

Lösung S. a107

a) In welcher Höhe setzt Wolkenbildung ein(Der Index 0 bezieht sich hier auf die Höhe 0über dem Meeresspiegel)?b) Welche Temperatur hat die Luft (Fön) im500m hoch liegenden Tal auf der Nordseitehinter dem Gebirgskamm, wenn auf derSüdseite 30% des Wassergehaltes ausgeregnetist?

z1

Fön

z2

Ein feuchter Luftstrom, der vom Mittelmeer mit einem Zustand mit t0 = 30 °C und φ0 = 50% nachNorden ins Land weht, streicht dort ohne Wärmeaustausch mit anderen Luftschichten über die Alpenhinweg.

Aufgabe A 12.6 Wolkenbildung bei adiabater Strömung

7070

Aufgabe A 12.11 Verdunstung in einem geschlossenen Behälter

Ein Topf mit gegebenen Abmessungen (vergl. Skizze) wird bei Umgebungsdruck mit einem Deckel versehen,dessen Masse ebenfalls bekannt ist. Der Deckel soll allein durch sein Gewicht abdichten. Am Boden des Topfesbefindet sich eine geringe Wassermenge (in flüssigem Zustand bei Umgebungstemperatur von 20 °C) wodurchdie im Topf befindliche Luft gesättigt ist. a) Auf welche Temperatur muss der Topf erwärmt werden, damit der Deckel gerade abhebt? und welcheWassermenge muss sich im flüssigen Zustand im Topf befinden, damit diese beim Abheben des Deckels geraderestlost verdunstet ist?

HT

DT

Deckel mD

z1

Flüssiges Wasser

Gesättigte Luft p1 , t1 ,φ1 = 1

Gesättigte Luft p2 , t2 ,φ2 = 1

Lösung S. a115

7171

13 Das Zustandsverhalten reiner Stoffe13.1 Allgemeines

Reine Stoffe haben prinzipiell das Zustandsverhalten gemäß dem räumlichen p-v-t-Diagramm Bild 13.1. FürArbeitsstoffe in energietechnischen Prozessen ist das Festkörpergebiet nicht interessant. Das Nassdampfgebiet liegtstoffabhängig in unterschiedlichen Temperatur- und Druckbereichen. Stickstoff z. B. hat seinen kritischen Punkt beica. -147 °C und 34 bar, Sauerstoff bei ca. -118 °C und 51 bar. Da Luft (Gemisch dieser beiden Stoffe) in den hierbetrachteten Prozessen nur bei viel höheren Temperaturen als Arbeitsfluid benutzt wird, wird sie als inertes Gasbehandelt, in der Regel - soweit es nur um prinzipielle Darstellungen geht - sogar als ideales Gas, obwohl bei Drückenoberhalb 10 bar beträchtliche Fehler auftreten. Bei vielen energietechnischen Anwendungen spielt der Phasenwechsel eine entscheidende Rolle. Der großeUnterschied des spezifischen Volumens zwischen flüssiger und gasförmiger Phase bei entsprechendem Energieumsatzermöglicht große spezifische Arbeiten bei der Expansion in der Gasphase (Dampfturbine) bei kleinen spezifischenArbeiten für die Druckerhöhung (Speisepumpe). Große spezifische Kreisprozessarbeiten führen zu kleineren Anlagenmit geringerem Investitionsaufwand.

v

T

p

t

Heißdampf

Naßdampf

Flüs

sigk

eit

Sublimation

Isobare

Überhitzung

Verdampfung

TaulinieSied

elinie

Tripellinie

Fest

körp

erSc

hmel

ze

kritischer Punkt

vk

tk

Bild 13.1 Das räumliche p-v-T-Diagramm für reine Stoffe

Bei der Stromerzeugung und bei vielen Kühlprozessen werden deshalb Stoffe eingesetzt, die in den dazu erforderlichenTemperaturbereichen verdampfen bzw. kondensieren. Der wichtigste Stoff als Arbeitsstoff (und Wärmeträger) ist das Wasser. Es steht fast überall zur Verfügung und hat jenach Druck seinen Verdampfungspunkt zwischen 0,01 °C und 374 °C. Für den unteren Temperaturbereich derKraftwerksprozesse wird daher - auch wenn einmal Werkstoffe für wesentlich höhere Temperaturen zur Verfügungstehen sollten, das Wasser (der Wasserdampf) seine Bedeutung behalten. Bei Prozessen mit höheren Temperaturen derWärmezufuhr (oberhalb ca. 600 °C) kann eine Gasturbine (mit gekühlten Schaufeln) vorgeschaltet werden, bei der einWärmeübertrager mit entsprechender Warmfestigkeit nicht erforderlich ist (GuD-Prozess).Anmerkung: Das dargestellte räumliche Diagramm trifft für Wasser im Festkörperbereich nicht zu. Die sogenannte Anomalie des Wassers bestehtdarin, dass das Volumen von Eis mit abnehmender Temperatur zunimmt (Eis schwimmt auf dem Gewässer, Eis sprengt Wasserleitungen undverursacht Frostaufbrüche in Straßendecken). Auch hat das spezifische Volumen der Flüssigkeit bei 4°C ein Minimum.

7272

s´Tr 0kJ

kg K⋅= s´´Tr 9.1555

kJkg K⋅

=

u´Tr 0J

kg= h´Tr 0.0006118

kJkg

=

Anmerkung: Die Temperatur wird immer in °C ausgegeben, auch wenn hinter dem Ergebnis (wegen der obigenDefinition) das K erscheint. In den Platzhalter hinter dem Ergebnis muss deshalb "°C" eingesetzt werden.

13.2.2 Näherungsweise Berechnung der Größen für flüssiges Wasser (für "Fußgänger"):

vF = 0.001 m3 / kg (bis 50°C) besser: vF vt´ t( )= aus der Tabelle 13.1

oder für den prorammierbaren Taschenrechner: vF t( ) 3.596 10 9−⋅

t°C

2⋅ 6.342 10 8−⋅

t°C

⋅+ 10 3−+

m3

kg⋅= (bis 225°C)

Kalorische Größen: cW 4.186kJ

kg K⋅= uF t( ) cW t⋅= hF p t,( ) uF t( ) p vF t( )⋅+= (bis 150°C)

Bezeichnungen:

Größen für die Flüssigkeit im Siedezusand werden mit einem Strich gekennzeichnet: v', m', h' usw. Größen für den Dampf bei Siedtemperatur (Sattdampf) mit zwei Strichen: v'', m'', h'' usw.Das Verhältnis der Dampfmasse zur Flüssigkeitsmasse im Naßdampfbereich ist: x = m'' / m

mit m = m' + m''

Die Zustandgrößen im Nassdampfbereich errechnen sich über die Massenanteile mit:

v = v' + x ( v'' - v' )

h = h' + x ( h'' - h') usw.

13.2 Das Zustandsverhalten von Wasser

Das Zustandsverhalten von Wasser wird durch eine international verbindliche Industrieformulation, die von Zeit zu Zeitauf den neuesten Stand wissenschaftlicher Erkenntnisse gebracht wird (zuletzt im Jahre 1997), beschrieben: Die"IAPWS Industrial Formulation 1997 for the Thermodynamic Properties of Water and Steam", abgekürzt "IF97".

Zustandsdaten für flüssiges Wasser und Wasserdampf für Mathcad Standard

(Die Daten werden aus Tabellenwerten interpoliert, die unter Verwendung der neuen Formulation IF97 erstellt wurden.Der Zugriff auf diese Tabellen erfordert längere Ladezeiten. Er ergibt sich über den hier einzufügenden Verweis auf dieDatei "VD_WasSt" (Menue "Einfügen", "Verweis", "Durchsuchen", Datei "VD_WasSt" anklicken,"Öffnen", "OK").Sollte eine Einheit nicht verstanden werden, diese (teilweise) löschen und erneut hinschreiben.In der Nähe des kritischen Punktes und an den Phasengrenzen ist mit geringfügigen Ungenauigkeiten zu rechnen. Eskönnen auch Werte ausgegeben werden, die außerhalb der angegebenen Gültigkeitsbereiche liegen. Dabei treten abereventuell Fehlermeldungen auf. Auf jeden Fall sollte dann und beim Rechnen außerhalb dieser Bereiche das Ergebniskritisch, z. B. anhand der Wasserdampftafeln oder eines aktiven Diagrammes, überprüft werden.

Zustandsdaten für flüssiges Wasser und Wasserdampf für Mathcad Professional

Bei Benutzung von Mathcad prof. kann auf die Datei "VD_WasPr" verwiesen werden (kürzere Ladezeit). Eine auf der o.e. Formulation basierende dll-Datei ist beigefügt. Sie muss in das Verzeichnis mathcad/userefi eingebunden werden. Siewird erst wirksam, wenn Mathcad nachträglich gestartet wird. Auch hier treten Ungenauigkeiten in der Nähe des kritischenPunktes auf (s. o.)

Die Verweisdateien können auch zur direkten Einsicht durch Doppelklick auf den Verweis geöffnet werden

13.2.1 Definierte Größen:Kritischer Punkt: pk 220.64 bar= tk 373.95 °C= sk 4.407

kJkg K⋅

= hk 2084kJkg

=

Tripelpunkt: pTr 0.0061165 bar= tTr 0.01 °C=

7373

pus u s,( ) 0 u< 3400Eh< mit Lücken"

phs h s,( ) 0 h< 3800Eh< " "

vpt p t,( ) 0.001bar p< 440bar< 0 t< 700°C<

hst s t,( ) 5 6Es es< 9Es<, 0 t< 660°C<

spt p t,( ) 0.001bar p< 440bar< 0 t< 700°C<

shp h p,( ) 0.01bar p< 600bar< 2000Eh h< 3800Eh<

(guten Schätzwert für die Größe es oberhalb des Verweises auf VD_WasPrvorgeben, s. Beispiel )

upt p t,( ) hpt p t,( ) p vpt p t,( )⋅−:= s. o.

cp p t,( ) hpt p t 1K+,( ) hpt p t,( )−( ) K 1−⋅:= s. o.

Die hier angegebenen Gültigkeitsbereiche sind z.T. Anhaltswerte. Einerseits lassen sich die Wertepaare für die Eingabenicht beliebig aus den angegebenen Bereichen zusammenstellen, andererseits können auch - insbesondere bei derPr-Version - Ergebnisse für Wertepaare außerhalb der angegebenen Bereiche gefunden werden. Überprüfen Siegegebenenfalls Ihre Eingaben und die Ergebnisse anhand der unten abgebildeten Diagramme

Weitere Möglichkeiten zur Bestimmung angenäherter Zustandsgrößen mit einem Überblick überdie dabei - abhängig vom jeweiligen Zustand - entstehenden Fehler - finden Sie hier

Größen im Nassdampfgebiet errechnen sich mit:

vx v´ x v´´ v´−( )⋅+= ux u´ x u´´ u´−( )⋅+= hx h´ x h´´ h´−( )⋅+= sx s´ x s´´ s´−( )⋅+=

Die ein- und zweigestrichenen Größen für die Taulinie und die Siedelinie können aus der Tabelle 13.1 entnommen oderüber die Funktionen für die Phasengrenzen (s.u.) gewonnen werden

13.2.3 Rechenaktive Funktionen(Der erste Buchstabe im Funktionsnamen bezeichnet die zu berechnende Größe (abhängige Variable), die folgenden - außerIndices - die Größen, die vorzugeben sind (unabhängige Variablen)

Zustandsgebiet Funktion Gültigkeitsbereich

Siedelinie ps t( ) p´ t( ):= tTr t< tk<

ts p( ) t´ p( ):= pTr p< pk<

Flüssigkeit und Heißdampf: hpt p t,( ) 0.001bar p< 440bar< 0 t< 700°C<

ups p s,( ) 0.00612bar p< 400bar< 0 s< 10Es<

hps p s,( ) " "

7474

sk s≤ s´´Tr≤

hsat s( ) 0 s≤ s´´Tr≤

Nassdampfgebiet: hps p s,( ) vpx p x,( ) hpx p x,( ) upx p x,( ) spx p x,( ) xhp h p,( )

0 x≤ 1≤ hst s t,( ) vtx t x,( ) htx t x,( ) utx t x,( ) stx t x,( )

Zur leichteren Handhabung wird noch definiert:

vtp t p,( ) vpt p t,( ):= hsp s p,( ) hps p s,( ):= hts t s,( ) hst s t,( ):= xph p h,( ) xhp h p,( ):=

htp t p,( ) hpt p t,( ):= stp t p,( ) spt p t,( ):= utp t p,( ) upt p t,( ):=

Beispiele

13.2.4 Zustandsdaten im Siedepunkt für flüssiges Wasser und Dampf (Sattdampf), aus obigen Gleichungen berechnet

t ps(t) v́ v́ ´ h´ h´´ u´ u´´ s´ s´´

°C bar m3 / kg m3 / kg kJ / kg kJ / kg kJ / kg kJ / kg kJ / kg*K

kJ / kg*K

0,01 0,00611 0,001 206,01 0.00061 2501 0,000 2375 0,000 9,1561 0,00657 0,001 192,46 4,178 2503 4,176 2376 0,015 9,1292 0,00706 0,001 179,78 8,393 2505 8,391 2378 0,031 9,1033 0,00758 0,001 168,03 12,61 2506 12,60 2379 0,046 9,0774 0,00814 0,001 157,14 16,81 2508 16,81 2380 0,061 9,0515 0,00873 0,001 147,03 21,02 2510 21,02 2382 0,076 9,0256 0,00935 0,001 137,65 25,23 2512 25,22 2383 0,091 8,9997 0,0100 0,001 128,94 29,43 2514 29,43 2385 0,106 8,9748 0,0107 0,001 120,85 33,63 2516 33,63 2386 0,121 8,9499 0,0115 0,001 113,32 37,83 2517 37,82 2387 0,136 8,924

10 0,0123 0,001 106,32 42,02 2519 42,02 2389 0,151 8,90011 0,0131 0,001 99,80 46,22 2521 46,22 2390 0,166 8,87612 0,0140 0,001 93,73 50,41 2523 50,41 2391 0,181 8,85113 0,0150 0,001 88,08 54,60 2525 54,60 2393 0,195 8,82814 0,0160 0,001 82,80 58,80 2527 58,79 2394 0,210 8,80415 0,0171 0,001 77,89 62,99 2528 62,98 2396 0,224 8,78016 0,0182 0,001 73,30 67,17 2530 67,17 2397 0,239 8,75717 0,0194 0,001 69,01 71,36 2532 71,36 2398 0,253 8,73418 0,0207 0,001 65,01 75,55 2534 75,55 2400 0,268 8,71119 0,0220 0,001 61,26 79,74 2536 79,73 2401 0,282 8,68920 0,0234 0,001 57,76 83,92 2537 83,92 2402 0,297 8,66621 0,0249 0,001 54,49 88,11 2539 88,10 2404 0,311 8,64422 0,0265 0,001 51,42 92,29 2541 92,29 2405 0,325 8,62223 0,0281 0,001 48,55 96,47 2543 96,47 2406 0,339 8,60024 0,0299 0,001 45,86 100,7 2545 100,7 2408 0,353 8,578

Tabelle 13.1 Zustandsdaten vonsiedendem Wasser und Sattdampf

Phasengrenzen: vp´ p( ) vp´´ p( ) pTr p< pk<

hp´ p( ) hp´´ p( ) pTr p< pk<

up´ p( ) up´´ p( ) pTr p< pk<

sp´ p( ) sp´´ p( ) pTr p< pk<

ht´ t( ) ht´´ t( ) tTr t< tk<

ut´ t( ) ut´´ t( ) tTr t< tk<

vt´ t( ) vt´´ t( ) tTr t< tk<

st´ t( ) st´´ t( ) tTr t< tk<

hs´ s( ) 0 s≤ sk≤

hs´´ s( )

7575

Fortsetzung der Tabelle bis tkr durch Doppelklick auf die Tabelle einsehbar

13.2.5 Diagramme

Die Siedelinie von Wasser

1 .10 3 0.01 0.1 1 10 100 1 .1030

100

200

300

400

Druck in bar

Sied

etem

pera

tur i

n °C

Bild 13.2 Siedelinie von Wasser

Das t-v-Diagramm von Wasser (die Parameter können Sie hier ändern)

p1 0.1bar:= p2 10bar:= p3 100bar:= p4 400bar:=

1 .10 4 1 .10 3 0.01 0.1 1 10 100 1 .1030

100

200

300

400

500

600

700

Spez. Volumen / m^3/kg

Tem

pera

tur /

°C

7676

Lösung Aufgabe A 13.1a Einfacher TurbinenprozessLösung S. a117

Gegeben ist der Frischdampfzustand vor einer Dampfturbinemit p1 = 36 bar und t1 = 430 °C , der Druck p2 = 0,15 baram Austritt aus der Turbine und der Gütegrad der Turbine(innerer Wirkungsgrad) mit ηT = 0.9a) Stellen Sie den Verlauf der Expansion in der Turbine imh-s-Diagramm dar (Annahme eines linearen Verlaufes)! b) Berechnen Sie die Zustandsgrößen h, s, v undgegebenenfalls x für die beiden Zustände!c) Berechnen Sie die Zustandsgrößen einer Entnahme, wennan dieser Stelle gerade Sättigungszustand herrschen soll!

T G

1

2E

Aufgabe A 13.1 Beispiel eines Dampfturbinenprozesses mit Entnahme

13.2.6 Aufgaben

Weitere Diagramme finden Sie hier

Bild 13.4 Das h-s-Diagramm von Wasser

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Spez. Entropie / kJ/kg*K

Spez

. Ent

halp

ie /

kJ/

kg

t2 t´ p2( ):=t1 500°C:=x2 0.8:=x1 0.9:=p4 400bar:=p3 220.6bar:=p2 10bar:=p1 0.1bar:=

Bereiche

Das h-s-Diagramm für Wasser (die Parameter können Sie hier ändern)

Bild 13.3 Das t-v-Diagramm von Wasser

7777

Beispiel B 15.5 Einfacher Kraftwerksprozess Lösung S. b39

Aufgabe A 13.2 Druckregelung in einem Druckwasserreaktor

Heizung

Speisewasser

Primärkreis

Der Druckhalter eines Druckwasserreaktors hat einVolumen von 40m3 Im Ausgangszustand des zubetrachtenden Vorgangs befinden sich darin 25 m3

flüssigen Wassers im Siedezustand bei 151 bar. Darüberbefindet sich Sattdampf. Der Druck soll nun durchEinsprühen von Kondensat mit 120 °C auf 150 barheruntergeregelt werden. (Falls Druckerhöhungerforderlich wird, tritt die Heizung in Kraft).Welche Wassermenge muss eingesprüht werden?Bemerkung: Zur Vereinfachung kann so gerechnetwerden, dass kein Wasser aus dem Primärkreisnachströmt, mit dem der Druckhalter hydraulischverbunden ist.

Lösung S. a120

Aufgabe A 13.3 Bilanz für einen Speisewasser-Mischvorwärmer

VW13

2

D

SP4

2a

In einem Speisewasservorwärmer VW einer Kraftwerksanlagewird dem Speisewasserstrom m1=105 kg/h mit dem Zustandp1 = 6 bar und t1 = 120 °C über ein Drosselventil D einDampfstrom zugemischt. Dieser hat vor der Drossel einenZustand von p2 = 8 bar bei t2 = 180 °C . Beim isobarenMischungsvorgang soll der Dampf vollständig kondensierenund der gesamte Speisewasserstrom dabei geradeSiedetemperatur erreichen. Er wird anschließend durch eineKesselspeisepumpe SP, die einen Gütegrad von ηgSp = 0,73hat, in den Kessel mit p4 = 80 bar gedrückt (Wasser seiinkompressibel).a ) Wie groß ist der erforderliche Dampfmassenstrom?b ) Wie groß ist der Exergieverluststrom infolge des Drosselvorganges?c ) Wie groß ist der Exergieverluststrom des Mischungsvorganges?d ) Welche Leistung hat die Kesselspeisepumpe? Lösung S. a121

Aufgabe A 13.4 Bestimmung der Dampfnässe in einer Leitung In einer Dampfleitung wird eine Temperatur von t1 = 180 °C und als Druck der zu dieser Temperatur gehörigeSättigungsdruck gemessen. Das bedeutet, dass Nassdampf mit unbekanntem Dampfgehalt x1 vorliegt. Drosseltman den Dampf auf 1 bar herunter, stellt sich eine Temperatur von 120 °C ein. Welchen Zustand hat derDampf in der Leitung? Lösung S. a125

7878

Aufgabe A 13.5 Bilanz für ein kleines Kraftwerk, mit Exergieverlusten Eine kleine Dampfkraftanlage hat einen Dampfdurchsatz von mD=1000 kg/h. Der Frischdampf wird mit einem Zustandvon t1 = 350 °C und p1 = 20 bar der Turbine zugeführt, in der die Entspannung auf p2 = 0,1 bar bei einem Gütegradvon ηgT = 0,75 erfolgt. Im Kondensator, der mit Wasser aus der Umgebung mit tU = 15 °C gekühlt wird, kondensiertder Dampf bei konstantem Druck. Anschließend erfolgt das Einspeisen in den Kessel mit Frischdampfdruck über eineSpeisepumpe, die einen Gütegrad von ηgSp = 0,6 haben soll. Die isobare Wärmezufuhr im Kessel kommt aus demRauchgas, das eine Verbrennungstemperatur von tV = 1600 °C hat und sich bei der Wärmeübertragung auf tab = 100°C abkühlt. Das Rauchgas soll als eine Mischung mit den Raumanteilen rN2 = 0,79 und rCO2 = 0,21 angesehenwerden. Der Druck des Rauchgases soll mit pU = 1 bar angenommen werden.Bestimmen Siea) qualitativ den Verlauf des Prozesses im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm,b) die Leistung der Kesselspeisepumpe,c) die von der Kraftanlage abgegebene Leistung,d) den Exergieverluststrom in der Turbine,e) den Exergieverluststrom im Kondensator,f) den Exergieverluststrom bei der Wärmeübertragung im Kessel,g) den Exergieverluststrom durch die heißen Abgase im Schornstein!

Für das Rauchgas sind in erster Näherung die konstanten spezifischen Wärmekapazitäten für den Normzustand zuverwenden. Sodann ist eine genauere Berechnung über die unten angegebene Entropietabelle aus der Literaturanzustellen (H. D. Baehr: Themodynamik).

N2 CO2

0 6,7482 4,78425 6,8392 4,856650 6,9229 4,9256

100 7,0726 5,0538150 7,2037 5,1716200 7,3207 5,2806250 7,4267 5,3823300 7,5237 5,4776350 7,6135 5,5674400 7,6971 5,6523450 7,7756 5,7329500 7,8497 5,8096550 7,9199 5,8828600 7,9866 5,9527650 8,0502 6,0197700 8,11118 6,084750 8,1694 6,1458800 8,2254 6,2053850 8,2793 6,2626900 8,3313 6,3179950 8,3814 6,37131000 8,4298 6,423

Tempe-ratur

spez. Entropie in kJ/kg*K

Tabelle 13.2 spezifische Entropie von Stickstoff undKohlendioxid für den Idealgaszustand (H.D. Baehr)

Fortsetzung der Tabelle bis 3000°C durchDoppelklick auf die Tabelle einsehbar

Lösung S. a127

7979

Aufgabe B 13.6 Kraftwerk mit 3 Entnahmen zur Speisewasservorwärmung Es soll ein vereinfachter* Prozess eines Kondensationskraftwerks mit drei Entnahmen zur Speisewasservorwärmunggemäß dem beigefügten Schaltschema berechnet werden. Vereinfachend soll auch auf die Berücksichtigung derStrömungsdruckverluste verzichtet werden (Diese treten insbesondere im Kessel auf, sind sogar erforderlich, um stabileStrömungsverhältnisse zu gewährleisten). Gegeben sind die Zustandsgrößen p1 = 250 bar t1 = 538 °C p2 = 30,5 bar t3 = 533 °C p4 = 0,035 bar, Gütegrade der Turbinenstufen ηHD = 0,87 ηND = 0,9 Gütegrad von Kondensatpumpeund Kesselspeisepumpe ηSP = 0,8 die Wirkungsgrade ηm = 0,99 ηel = 0,99 ηK = 0,9 , sowie die verlangteNetto-Leistung des Kraftwerks Pel = 300 MW Gesucht sind die spezifischen Zustandsgrößen an den Punkten 1 bis 10, die Massenströme und der Wirkungsgrad desKraftwerks im Vergleich zu einer Anlage ohne Speisewasservorwärmung.

*) Die Vereinfachung besteht darin, dass ein modernes Kondensationskraftwerk in der Regel 8 bis 10 Vorwärmstufen besitztund drei Tubinenstufen. Die Schaltungen sind komplizierter mit getrennten Enthitzern und Kondensatkühlern. Sie entsprechenden jeweiligen unterschiedlichen betrieblichen Anforderungen und stellen einen Kompromiss dar zwischen möglichst geringenExergieverlusten ( = geringe Brennstoffkosten) einerseits und geringen Investitionskosten andererseits.

1

2 3

E1E2

E3 5

4

678

9

10

E2' E3' Lösung S. a132

Aufgabe A 13.7 Verdampfung in einem geschlossenen BehälterIn einem geschlossenen Druckbehälter mit einem freien Volumen von 1 m3 befindet sich ausschließlichWasser. Im Ausgangszustand liegen dabei 10 Liter in flüssigem Zustand bei 20 °C vor. Der Rest ist alsoWasserdampf.a) Welche Wassermenge befindet sich insgesamt im Behälter?b) Welche Wärmemenge muss zugeführt werden, bis eine Temperatur von 100 °C erreicht wird. WievielWasser verdampft und welcher Druck stellt sich dabei ein? c) Welche Wärmemenge muss zugeführt werden, bis gerade alles Wasser verdampft ist und welcherDruck wird dabei erreicht?d) Stellen Sie den Vorgang im p-v-Diagramm dar! Lösung S. a137

8080

Ein p-v-Diagramm von Stickstoff liegt als jpg-Bild "p-v-N2" im gleichen Verzeichnis (nicht aus Mathcad zu öffnen)

tc 147− °C=pc 34 bar=Der kritische Punkt von Stickstoff liegt bei:

Bild 13.5 Realgasfaktor von Stickstoff

t4 1000 °C=

t2 200 °C=

t1 100 °C=

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Druck in bar

Rea

lgas

fakt

or Z

t0 0 °C=t3 100− °C=

Realgasfaktor Z für Stickstoff

Ein weiteres Diagramm zum Vergleich zwischen dem realen Gas Stickstoff und dem idealen Gas finden Sie in B13_1 undeinen Verdichtungprozess mit Zwischenkühlung, gerechnet jeweils mit Luft und Stickstoff als ideale Gase im Vergleich mitdem realen Gas Stickstoff in "Verdichter". Da ebenfalls das Gebiet des unterkritischen Zustandes (t < -146°C) erfasst ist,lassen sich auch Prozesse mit flüssigem Stickstoff bzw. mit Stickstoff im Nassdampfgebiet darstellen (vergl. B15_3). Desweiteren sind folgende Kältemittel verfügbar: NH3, R134a und R152a. Ein Aufgabenbeispiel für einen Kühlprozessfinden Sie in A15_4. Für CO2 sind die Daten für den Sättigungszustand vorhanden (vergl. folgende Aufgabe A13_8!).

v1 1− 464.684kg

m3=v1 2.152 10 3−×

m3

kg=v1

Z1 R⋅ Tt t1( )⋅p1

:=

Z1 0.837=Z1 Z ρ1 t1,( ):=Für das Beispiel:

ρp

Z R⋅ T⋅=oder v

Z R⋅ T⋅p

=bzw. p v⋅ Z R⋅ T⋅=

Alternativ kann auch die durch den Realgasfaktor Z aus dem Diagramm Bild 13.5 ergänzte Zustandsgleichung für idealesGas verwendet werden:

ρ1 464.684kg

m3=ρ1 ρpt p1 t1,( ):=t1 100− °C:=p1 200bar:=Beispiel:

Als Beispiel für ein Gas, das unter normalen und auch unter vom Normalzustand stark abweichenden Bedingungen inertist, sind die Zustandsdaten für Stickstoff hier verfügbar (Verweisdatei: VD_N2). Stickstoff ist der Hauptbestandteil derLuft mit ca. 79% Volumenanteil. Deshalb können Prozesse, bei denen Luft oder auch Verbrennungsgase mit höherenDrücken und niedrigen Temperaturen auftreten, mit weitaus höherer Genauigkeit mit diesen Zustandsdaten berechnetwerden als mit den Gleichungen für ideale Gase.

13.3 Andere Stoffe

8181

Aufgabe A 13.8 Inhalt einer CO2-Gasflasche

di

x

Eine Gasflasche enthält CO2. Die Masse der leeren Flasche wird vom Lieferanten mit 15 kgangegeben und das Füllvolumen mit 13,4 Liter. Beim Wiegen der gefüllten Flasche wird eineGesamtmasse von 25 kg festgestellt. a) In welchem Zustand befindet sich die Füllung bei einer Umgebungstemperatur von 1. bei 20 °C2. bei 0 °C und 3. bei 30 °C?b) Welche Zustände liegen bei diesen Temperaturen vor, wenn 1. eine Masse von 5 kg und 2. eine Masse von 9,8 kg entnommen worden ist?c) Welche Temperatur hat ausströmendes Gas, wenn Sattdampf von 20 °C aus der Flascheentweicht?

Vom Fachverband Kohlensäureindustrie e.V., Koblenz, werden in einerBroschüre vom September 1997 folgende Daten für CO2 angegeben:

Krit. Zustand: tk = 31 °C pk = 73,83 bar

Tripelpunkt tTr = -56,6 °C pTr = 5,18 bar

Weiterhin enthält die Broschüre u. a. Tabellen für die flüssige und gasförmige Phase im Siedezustand, ebenfalls einh-p-Diagramm und ein t-s-Diagramm. Ein Auszug aus den Tabellen ist in die beiden Eingabetabellen M1 und M2(Einsicht durch Anklicken und Scrollen) aufgenommen worden. Um das Erstellen stabiler Interpolationskurven zuermöglichen, wurden im Bereich des kritischen Punktes einige zusätzliche Werte durch graphische Interpolationgewonnen und dort eingegeben.

Temperatur °C

Druck bar

spez. Vol. Fl. m3/kg

spez. Vol. Dampf m3/kg

spez. Enthalpie Fl.

kJ/kg

spez. Enthalpie Dampf kJ/kg

-100 0,139 1595,2 0,428 45,55 630,74-90 0,372 1582,2 1,087 56,9 637,06-80 0,896 1566,1 2,51 68,71 642,63

-78,9 0,98 1564 2,74 70,05 643,18-70 1,98 1546,1 5,39 82,02 646,94-60 4,1 1521,9 10,97 99,27 649,21

-56,6 5,18 1512,4 13,84 105,55 649,33Tabelle 13.3 Zustandsgrößen vonKohlendioxid im Mischgebiet gasförmig - fest

8282

Temperatur °C

Druck bar

spez. Vol. Fl.

m3/kg

spez. Vol. Dampf m3/kg

spez. Enthalpie Fl.

kJ/kg

spez. Enthalpie Dampf kJ/kg

-56,599 5,18 1178 13,84 301,32 649,33-50 6,84 1153 18,1 314,05 651,34-40 10,05 1115 26,2 333,23 653,62-30 14,27 1074 37 352,49 655,49-20 19,67 1030 51,4 372,33 656,36-10 26,47 980,8 70,5 393,94 655,650 34,85 924,8 96,3 418,68 653,695 39,72 893,1 113 431,66 650,84

10 45,06 858 133 445,89 647,2415 50,93 817,9 158 460,97 641,2920 57,33 770,7 190,2 477,3 632,6325 64,32 705,8 240 497,39 616,8427 67,3 672 264 505 60829 70,4 630 300 518 59730 71,92 596,4 334,4 527,12 590,13

30,5 72,75 568 361 533 58530,8 73,35 540 388 539 57930,9 73,57 523 405 543 57431 73,83 466 466 558,94 558,94

Tabelle 13.4 Zustandsgrößen von Kohlendioxid imMischgebiet gasförmig - flüssig

Lösung S. a141

13.4 Weitere Aufgaben und Beispiele

Aufgabe A 13.9 Bestimmung des Zustandes im Nassdampfbereich

mKo

mKW

Drossel

Dampf

tKW

Kondensat

Kühlung

In einer Dampfleitung wird eine Temperatur von300°C und ein Druck von 85.9 bar gemessen.Um den Dampfzustand zu bestimmen, wird derLeitung ein Teilstrom über eine Drosselentnommen und durch Kühlen kondensiert und ineinen offenen Behälter abgeleitet. Die dortinnerhalb von 5 Minuten anfallendeKondensatmenge von 22,3 Litern hat eineTemperatur von 50 °C. Der zum Kühlenerforderliche Wasserstrom betrug 3,1 Liter proSekunde bei einer Erwärmung um 11 °C.a) Welchen Zustand hat der Dampf in derLeitung? c) Welche Wärme müssen Sie dem Dampf(Ausgangszustand in der Leitung) pro kgzuführen, damit Sie eine Überhitzung von 10°Cerreichen?

Lösung S. a145

8383

Aufgabe A 13.10 Regelung der Heißdampftemperatur in einem Dampfkessel

Kondensat K

Heißdampf 1Heißdampf 2

In einen Heißdampfstrom von 1000 to/h wird bei t1 = 585°Cund p1 = 60 bar zu Regelungszwecken ein Kondenatstromeingesprüht, damit eine Temperatur von 580°C erreicht wird. a) Welchen Massenstrom müssen Sie zuführen, wenn dasKondensat eine Temperatur von 330°C bei einem Druckvon 200 bar hat?b) Wie hoch ist der Exergieverluststrom bei diesem Vorgang?

Lösung S. a146

Aufgabe A 13.11 GAU (= größter anzunehmender Unfall) bei einem Druckwasserreakor

BetonEisen

EisenWasser primär

fl. Wassersekundär

Dampf sekundär

Reaktor

DE(4X)

Wasserspeicherz.B. Lagerbecken

Es soll der Druck nach einem GAU imReaktorgebäude eines Kernkraftwerks mitDruckwasserreaktor mit vereinfachtenAnnahmen bestimmt werden. Der innereTeil des Reaktorgebäudes besteht aus einemkugelförmigen, so genannten Sicher-heitsbehälter (containment) aus Stahl. Nacheinem GAU schließt das Sicherheitssystemautomatisch alle Öffnungen nach außen(Durchdringungsabschluss) und derBehälter muss dem sich dann aufbauendenDruck standhalten.Der Druck soll zunächst ohne Berücksich-tigung der Wärmekapazität der festen undflüssigen Inhalte bei alleiniger Vermischungder Wassermassen aus Primär- und Sekun-därkreis mit der Gebäudeluft berechnetwerden (ungünstigster Fall), sodann nachTemperaturausgleich mit diesen Massenohne Berücksichtigung der Nachzerfalls-wärme (es soll angenommen werden, dasseine Notkühlung in Betrieb bleibt).

Druckwasserreaktor im Sicherheitsbehälter(Prinzip)

Lösung S. a147

8484

Aufgabe A 13.12 Bestimmung des Zustandes am Turbinenaustritt

ND G

Ko

NDE

NDA

∆tW

tK,pK

mW

mK

∆

P

Im Kondensator einer Dampfkraftanlage wird einDruck von pK = 0.035 bar gemessen. DerKondensatmassenstrom am Austritt des Kondensatorswird mit mK = 300 Tonnen pro Stunde bestimmt undhat eine Temperatur von tK = 23 °C . Der Durch denKondensator fließende Kühlwasserstrom von mW =36400 to/h erwärmt sich im Kondensator um 4,5 °C. a) Welchen Zustand hat der Dampf am Eintritt in denKondensator?b) Welche Leistung gibt der Dampf in derNiederdruckstufe der Turbine ab, wenn er in diese miteinem Zustand von 1.5 bar bei 220°C eintritt? c) Welchen Gütegrad hat die Niederdruckstufe?d) Stellen Sie die Entspannung in der Niederdruckstufeals Gerade im h-s-Diagramm dar!

Lösung S. a151

A13.13 Dampf aus einem Dampfstrahlreiniger

Der Kesseldruck eines Dampfstrahlreinigers beträgt pK = 3,5 bar. Dort wird mit einer elektrischen Heizung Pel = 1700 WSattdampf erzeugt. Der Dampf strömt von dort durch einen Schlauch und eine abschließende Düse in die Umgebung mitpU = 1 bar. a) Welche Temperatur kann der Dampfstrahl am Austritt aus der Düse maximal erreichen und b) welche überschreitet er tatsächlich nicht, wenn er dort bereits als sichtbarer Schwaden austritt?c) Welcher Wasserdampfanteil x ergibt sich, wenn bis zur Düse ein Wärmestrom mit einem Anteil AV = 10% derelektrischen Leistung verloren geht (d.h. hauptsächlich vom Schlauch an die Umgebung übertragen wird) ? d) Wie lange kann der Apparat in einem gechlossenen Raum von VU = 75 m3 betrieben werden, wenn die Luft anfangseine relative Feuchte von φU = 50% bei einer Temperatur von tU = 20°C besitzt, bis die Luft gesättigt ist, d.h.keinWasser mehr verdunsten kann, und welche Temperatur wird dann im Raum erreicht?e) In welcher Weise ändert sich das Ergebnis qualitativ durch die Tatsache, dass sich Möbel im Raum befinden unddie Wände weder adiabat noch stoffdicht sind (Diffusion)?

Lösung S. a155

8585

H2 0 %⋅:= O2 0. %⋅:=

C2H6 3.46 %⋅:= C6H6 0.047 %⋅:= CO 0 %⋅:= H2O 0 %⋅:=

Probe: CH4 C2H2+ C2H4+ C2H6+ C3H8+ C4H10+C3H6 C5H12+ H2S+ CO+ CO2+ N2+ O2+ H2O++

... 0.99953=

Die Verbrennung soll mit Luft erfolgen bei einem Zustand: φ 0.5:= tL 20 °C⋅:= pL 1 bar⋅:= λ 1.01:=

Der Sauerstoffbedarf fürdie Gasmischung ergibtsich aus denReaktionsgleichungen zu:

Omin 0.5 H2 CO+( )⋅ O2− 1.5 H2S⋅+ 2 CH4⋅+ 2.5 C2H2⋅+ 3 C2H4⋅+ 3.5 C2H6⋅+5 C3H8⋅ 6.5 C4H10⋅+ 4.5 C3H6⋅+ 7.5 C6H6⋅+ 8 C5H12⋅++

...

:=

Omin 1.832m3

m3=

trockene Luft, andereBestandteile in der Luftvernachlässigt:

Dafür ist bei einem Sauerstoffgehalt der Luftvon 21 % eine minimale Luftmengeerforderlich von:

LminOmin

0.21:= Lmin 8.724

m3

m3=

Im Rauchgas entsteht dadurch bezogen auf 1m3 Brenngas ein CO2-Volumen:

VCO2 CH4 C2H2 C2H4+ C2H6+( ) 2⋅+ CO+ CO2+ 3 C3H6 C3H8+( )⋅+ 4 C4H10⋅+ 5 C5H12⋅+ 6 C6H6⋅+:=

VCO2 0.943=

ein Stickstoffvolumen: VN2min N2 0.79 Lmin⋅+:= VN2min 7.009=

Hier Verweis auf "VD_FLu" erforderlich

14 Verbrennung 14.1 Stoffbilanzen14.1.1 Gasförmige BrennstoffeDie Mengenangaben erfolgen in der Regel in der Einheit Kilomol oder in m 3 im Normzustand pro kmol (bzw. m3)Brennstoff. Die chemischen Symbole für die Elemente bzw. Verbindungen sind als Mengenanteile (bei idealen Gasen= Raumanteile) zu verstehen. Index b: Brennstoff (falls erforderlich).

Brenngaszusammensetzung für "trockenes" Gas, d. h. ohne H2O

CH4b C2H2b+ C2H4b+ C2H6b+ C3H8b+ C4H10b+C3H6b C5H12b+ H2Sb+ COb+ CO2b+ N2b+ O2b+ H2b++

... 1=

Reaktionsgleichungen für vollständige Verbrennung (Beispiel):

2CO O2+ 2CO2=

2kmolCO 1kmolO2+ 2kmolCO2=

oder: 2m3 CO 1m3 O2+ 2 m3CO2= bei Annahme von Idealgas

1m3 CO 0.5m3 O2+ 1 m3CO2=

entsprechend: 1m3 H2 0.5m3 O2+ 1 m3H2O=

1m3 C3H8 5m3 O2+ 3m3 CO2 4m3 H2O+=

Die folgende Darstellung wird anhand eines konkreten Beispiels dokumentiert. Sie können daher für Ihre eigenenAnwendungsfälle diese kopieren und mit ihren speziellen Eingaben verwenden.Die Zusammensetzung eines Erdgases ist (ohne Index):

Analyse: CH4 82.7 %⋅:= C3H8 0.67 %⋅:= C5H12 0.061 %⋅:= CO2 1.19 %⋅:=

C2H2 0 %⋅:= C4H10 0.232 %⋅:= H2S 0 %⋅:= N2 11.64 %⋅:=

C2H4 0 %⋅:= C3H6 0 %⋅:=

8686

VRg_F VRg_Tr VH2O+:= VRg_F 9.945=

Rauchgaszusammensetzung feucht:

N2FVN2

VRg_F:= CO2F

VCO2

VRg_F:= O2F

VO2

VRg_F:= SO2F

VSO2

VRg_F:= H2OF

VH2O

VRg_F:=

Rauchgaszusammensetzung trocken:

N2TrVN2

VRg_Tr:= CO2Tr

VCO2

VRg_Tr:= O2Tr

VO2

VRg_Tr:= SO2Tr

VSO2

VRg_Tr:= CO2Tr 0.117=

14.1.2 Feste und flüssige Brennstoffe

Die Mengenangaben für die Verbrennungsluft (in der Praxis meist als Frischluft bezeichnet) und die Rauchgaseerfolgen in der Einheit kmol oder m3 pro kg Brennstoff. Die chemischen Symbole für die Elemente sind alsMassenanteile zu verstehen. Index b: Brennstoff. Die folgende Darstellung wird ebenfalls anhand eines konkretenBeispiels gegeben. Die Brennstoff-Elementaranalyse ist: cb 76 %⋅:= hb 3.9 %⋅:= nb 1 %⋅:= ob 3.8 %⋅:= sb 0.8 %⋅:= wb 8.5 %⋅:= ab 6 %⋅:= λ 1.27:=

(Sie können diese Eingaben für andere Anwendungsfälle hier ändern)

Kontrolle: cb hb+ nb+ sb+ wb+ ab+ ob+ 1=

Es handelt sich um eine Anthrazit-Kohle. Wie hier sind bei allen festen und flüssigen Brennstoffen die chemischenBindungen nicht bekannt. Dies ist von Bedeutung für die Bestimmung des Brennwertes bzw. der Brennstoffexergie.Die weiteren Symbole: a ist der nicht brennbare Ascheanteil, w der Wasseranteil. Eingabe für die Verbrennungsluftwie oben.

und mit derWasserdampfmenge aus derVerbrennungsluft: VDmin Lmin

φ ps tL( )⋅ p 1−⋅

1 φ ps tL( )⋅ p 1−⋅−

⋅:= VDmin 0.103=

ein Wasserdampfvolumen:

VH2Omin H2O H2+ H2S+ C2H2+ 2 CH4 C2H4+( )⋅+ 3 C2H6 C3H6+ C6H6+( )⋅+ 4 C3H8⋅+ 5 C4H10⋅+6 C5H12⋅ VDmin++

...

:=

VH2Omin 1.905=

Ein Volumen Schwefeldioxid: VSO2 H2S:= VSO2 0=

Das für 1m3 Brenngas anfallende minimaletrockene Rauchgasvolumen ist:

VRgmin_Tr VCO2 VN2min+ VSO2+:= VRgmin_Tr 7.952=

Bei Verbrennung mit einem gewählten Luftüberschussλ 1.01= (Verhältniszahl ) ist das trockeneRauchgasvolumen:

VRg_Tr VRgmin_Tr λ 1−( ) Lmin⋅+:= VRg_Tr 8.039=

VO2 0.21 λ 1−( )⋅ Lmin⋅:= VO2 0.018=mit einem Sauerstoffvolumen:und einem Stickstoffvolumen: VN2 VN2min 0.79 λ 1−( )⋅ Lmin⋅+:= VN2 7.077=

es ist auch: VRg_Tr VCO2 VN2+ VSO2+ VO2+:= VRg_Tr 8.039=

Für das feuchte Rauchgas gilt:

Dampfvolumen: VH2O VH2Omin λ 1−( ) VDmin⋅+:=

feuchtes Rauchgas:

8787

Menge tr. Rauchgas: VRg_tr VCO2 VN2+ VSO2+ VO2+:=

Wasserdampf: VD elφ ps tL( )⋅ pL

1−⋅

1 φ ps tL( )⋅ pL1−

⋅−⋅:= VH2O

hb

MH2

wb

MH2O+ VD+:= VH2O 29.386

molkg

=

Feuchtes Rauchgas: VRg_f VRg_tr VH2O+:=

Anteile trocken:CO2tr

VCO2

VRg_tr:= O2tr

VO2

VRg_tr:= N2tr

VN2

VRg_tr:= SO2tr

VSO2

VRg_tr:=

Anteile feucht:CO2f

VCO2

VRg_f:= H2Of

VH2O

VRg_f:= O2f

VO2

VRg_f:= N2f

VN2

VRg_f:= SO2f

VSO2

VRg_f:=

Ergebnisse am Beispiel CO2: CO2tr 0.148=

CO2f 0.138=

Molmassen MCO2 44kg

kmol⋅:= MO2 32

kgkmol⋅:= MH2 2

kgkmol⋅:= MH2O 18

kgkmol⋅:= MN2 28

kgkmol⋅:=

MS 32kg

kmol⋅:= MSO2 64

kgkmol⋅:= MCO 28

kgkmol⋅:= MC 12

kgkmol⋅:=

Der Sauerstoffbedarf ergibtsich aus denReaktionsgleichungen zu:

omincb

MC0.5

hb

MH2⋅+

sb

MS+

ob

MO2−:= elmin

10.21

omin⋅:= elmin 0.344kmol

kg=

omin 0.072kmol

kg=

TrockenesRauchgas:

VCO2cb

MC:= VN2min

nb

MN20.79 elmin⋅+:= VSO2

sb

MS:= VRgmin VCO2 VN2min+ VSO2+:=

el λ elmin⋅:= VN2nb

MN20.79 el⋅+:= VO2 0.21 λ 1−( )⋅ elmin⋅:=

8888

C5H12 0.061 %⋅:= CO2 1.19 %⋅:=C2H2 0 %⋅:= C4H10 0.232 %⋅:= H2S 0 %⋅:= N2 11.64 %⋅:=C2H4 0 %⋅:= C3H6 0 %⋅:= H2 0 %⋅:= O2 0. %⋅:=C2H6 3.46 %⋅:= C6H6 0.047 %⋅:= CO 0 %⋅:= H2O 0 %⋅:=

Ho 282.9 CO⋅ 285.8 H2⋅+ 890.4 CH4⋅+ 1299.6 C2H2⋅+ 1410.6 C2H4⋅+ 1560 C2H6⋅+2058.49 C3H6⋅ 3301 C6H6⋅+ 3549 C5H12⋅+ 2220. C3H8⋅+ 2880 C4H10⋅++

...

MJkmol⋅:= Ho 815.6

MJkmol

=

14.2 Brennwert, Heizwert und theoretische Verbrennungstemperatur

14.2.1 Brennwert und Heizwert

Der Brennwert (früher "oberer Heizwert") ist definiert als die Energie, die frei wird, wenn die Verbrennung isobarund vollständig erfolgt und die Verbrennungsprodukte auf die Bezugstemperatur* abgekühlt werden. Im Brennwert istdie Kondensationsenthalpie des gesamten Wasserdampfes aus dem Brennstoff** enthalten.

*(d. h. die Temperatur, bei der das Brennstoff-Luftgemisch zugeführt wird, in der Regel ist diese Bezugstemperatur 25 °C, derBrennwert ändert sich geringfügig mit der Bezugstemperatur)**Wasser im Brennstoff und als Verbrennungsprodukt

Der Heizwert (Früher "unterer Heizwert") ist definiert als Differenz des Brennwertes und der Kondensationsenthalpiedes Wasserdampfes aus dem Brennstoff

Brennwerte Ho und Heizwerte Hu sind vertafelt (z. B. Dubbel, Recknagel/Sprenger bzw. DIN 51857, die Angabenweichen geringfügig voneinander ab). Bei Gasmischungen kann der Brennwert über die Werte der Bestandteileaufaddiert werden. Bei festen und flüssigen Brennstoffen geht das nur über empirische Beziehungen, da unbekanntechemische Verbindungen vorliegen.

Brenn- und Heizwerte von Erdgasbestandteilen bei Referenzzustand 25 °C und 1,013 bar in MJ/kg

Symbol Name Molmasse BrennwertHeizwert Brennwert Heizwertkg/kmol MJ/kg MJ/kg MJ/kmol MJ/kmol

CH4 Methan 16,043 55,500 50,010 890,4 802,3C2H2 Acetylen 26,038 49,910 48,220 1299,6 1255,6C2H4 Ethylen 28,054 50,280 47,150 1410,6 1322,7C2H6 Ethan 30,069 51,880 47,490 1560,0 1428,0C3H6 Propylen 42,086 48,920 45,780 2058,8 1926,7C3H8 Propan 44,090 50,350 46,350 2219,9 2043,6C4H10 Butan 58,123 49,550 45,720 2880,0 2657,4C5H12 Pentan ( fl.) 72,150 49,190 45,430 3549,1 3277,8C6H6 Benzol 78,113 42,270 40,580 3301,8 3169,8CO Kohlenoxid 28,010 10,100 10,100 282,9 282,9H2 Wasserstoff 2,016 141,800 119,970 285,8 241,8

MJ 106J:=

Tabelle 14.1Heizwerte undBrennwerte einiger Gase

Brenn- und Heizwerte von festen und flüssigen BrennstoffenFür das breite Spektrum von flüssigen und festen Brennstoffen sind die Daten aus den o.g. Quellen zu entnehmen.Man kann aber auch folgende empirische Gleichungen verwenden, wenn die Elementaranalyse vorliegt:

hu 34.0c 101.6h+ 6.3n+ 19.1s+ 9.8o− 2.5w−( ) 106⋅

Jkg

=

ho 34.0c 124.3h+ 6.3n+ 19.1s+ 9.8o−( ) 106⋅

Jkg

=

Der Heizwert und Brennwert für das Erdgas im Beispiel 14.1.1 ist mit den unten vorgegebenenAnalysewerten:

CH4 82.7 %⋅:= C3H8 0.67 %⋅:=

8989

cA 0.9kJ

kg K⋅:=

Lösung S. a157

14.2.2 Theoretische VerbrennungstemperaturDie theoretische Verbrennungstemperatur ergibt sich aus der Energiebilanz über die Stoffwerte der zu- undabgeführten Stoffe. Sie ist real immer niedriger, einmal weil bei Temperaturen >1500 °C Dissoziation auftritt, zumanderen weil während der Verbrennung Energie an die kälteren Brennkammerwände abgestrahlt wird. In derEnergiebilanz tritt dadurch jedoch kein Fehler auf, weil die Dissoziation bei der Abkühlung rückläufig ist und dieabgestrahlte Energie im Bilanzraum verbleibt (Beim Dampfkraftwerk im verdampfenden Wasser) oder aber z. B. beimVerbrennungsmotor als Wärmeabfuhr aus dem Verbrennungsprodukt an das Kühlwasser zu berücksichtigen ist.

somit gilt:

1

n

j

cpmm j tV, tU,( ) tV tU−( )⋅ Vj Mj⋅( )⋅ ∑=

Hu=

Hierbei ist cpmm tV tU, i,( ) die mittlere spezifische Wärmekapazität der Rauchgaskomponente i zwischen derTemperatur der Brennstoff- und Luftzufuhr bei Umgebungstemperatur tU und der theoretischenVerbrennungstemperatur tV (vergl. Kap. 11). Bei unterschiedlichen Temperaturen der Stoffzufuhr, z. B. beiLuftvorwärmung, ist die entsprechende Enthalpiedifferenz mit in der Bilanz zu berücksichtigen.Da tV auch die spezif. Wärmekapazität beeinflusst, ist eine explizite Berechnung nicht möglich.

Für das Beispiel Erdgas wird mit den Zahlenindizes aus Kap 11:

r1 N2F:= r2 CO2F:= r3 O2F:= r4 SO2F:= r9 H2OF:=

und tU 20°C:= sowie Vj rj VRg_F⋅=

tV 1000°C:= Vorgabe Hu tV tU−( ) VRg_F⋅

1

9

j

rj cpmm j tV, tU,( )⋅ Mj⋅( )∑=

⋅=

tV Suchen tV( ):= tV 1988 °C=

Verbrennungsprozesse sind irreversibel. Die Exergie der Brennstoffe stimmt nicht genau mit ihrem Brennwert überein,bei Kohlenstoff ist sie ca 4 % größer, bei Wasserstoff ca 18 % niedriger, bei Methan ca 7 % niedriger bei festen undflüssigen Brennstoffen etwa gleich. Die Unterschiede sind auf die im Brenngas und in der Umgebung unterschiedlichenTeildrücke zurückzuführen. Da eine reversible Überführung der Verbrennungsprodukte auf Umgebungszustand bislangfür technische Prozesse ohnehin nicht infrage kommt, haben die Werte nur rein wissenschaftliche Bedeutung. Mankann daher zur Beurteilung der Exergieverluste bei der Verbrennung vereinfachend die Anergie der Enthalpie derRauchgase bei Verbrennungstemperatur zugrundelegen.

und mit vmol 22.4m3

kmol:=

Hovmol

36.4MJ

m3=

Damit ist der Heizwert (Die Kondensationsenthalpie des Wasserdampfes bei 25 °C beträgt 2242kJ/kg):

Hu Ho VH2Omin 18⋅kg

kmol2442⋅

kJkg

−:= Hu 731.9MJ

kmol=

Aufgabe A 14.1 Verbrennung von Steinkohle

Berechnen Sie für die gegebene Steinkohle bei einem Luftverhältnis von 1,48 die Rauchgaszusammensetzung und dietheoretische Verbrennungstemperatur bei einem Umgebungszustand von 20 °C und 1,013 bar!Wie hoch sind die Abgasverluste bei 150 °C (Kamineintritt) und die Wärmeverluste in der Asche, wenn diese denBrennraum flüssig mit 1500 °C verlässt (es kann die spezifische Wärmekapazität von SiO2 angenommen werden)?

gegeben:

cb 76 %⋅:= hb 3.9 %⋅:= nb 1 %⋅:= ob 3.8 %⋅:= sb 0.8 %⋅:= wb 8.5 %⋅:= ab 6 %⋅:=

λ 1.48:= tU 20°C:= pL 1.013bar:= tL tU:= φ 0.5:=

tRg_ab 150°C:= tA_ab 1500°C:=

9090

Bild 14.1Enthalpie-Temperatur-Diagrammfür feuchtes Rauchgas

20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

HRg tRg( )MJ

kmol

tRg

MJ 1000kJ:=tRg 20°C 100°C..:=HRg tRg( ) wenn tRg ttau> HRg1 tRg( ), HRg2 tRg( ),( ):=somit

HRg2 tRg( ) HRg1 tRg( )pD ps tRg( )−

pD

r9⋅ M9⋅ 2442⋅

kJkg

−:=tRg ttau<für

HRg1 tRg( )1

9

j

cpmm j tRg, tU,( ) tRg tU−( )⋅ rj⋅ Mj⋅ ∑=

r9 M9⋅ 2442⋅kJkg

+:=tRg ttau>für

Während früher die Taupunktunterschreitung zum Schutz der Rauchgasleitungen (saures Kondensat) unter Verzicht aufdie Nutzung der Verdampfungsenthalpie grundsätzlich vermieden wurde, wird heute in den sogenanntenBrennwertkesseln dieser (insbesondere bei Erdgas mit ca. 10 % erhebliche) Energieanteil durch Abkühlung möglichstweit unter den Taupunkt genutzt. Wiederum anhand des obigen Beispiels wird die Enthalpie des Rauchgases über der Temperatur aufgetragen. (Wegen derkonstant angenommenen Verdampfungsenthalpie ensteht eine geringe Ungenauigkeit)

ttau 59.4 °C=ttau wurzel ps ttau( ) pD− ttau,( ):=ttau 10K:=und die Taupunkttemperatur(Taupunkt) mit dem Startwert

pD 0.194 bar=pD pL H2OF⋅:=somit ist der Partialdruck des WasserdampfesH2OF 0.192=

Für die Verbrennung von Erdgas mit der Zusammensetzung im obigen Beispiel ist

Wird das Rauchgas so weit abgekühlt, dass der temperaturabhängige Sättigungsdruck des Wasserdampfes niedrigerwird als sein bis dahin vorhandener Partialdruck, so beginnt der Wasserdampf auszukondensieren (Austauen). Es geltenprinzipiell die Gesetzmäßigkeiten für feuchte Luft. Bei der Berechnung von Enthalpien ist jedoch die Gaskonstante derinerten Gasmischung statt der von Luft einzusetzen. Für den Taupunkt benötigen wir jedoch lediglich dieDampfdruckfunktion.

14.3 Wasserdampftaupunkt des Rauchgases

9191

tRgKam 50 °C⋅:= Lösung S. a158

Aufgabe A 14.3 Verbrennung von Erdgas L in einem Brennwertgerät Die Analyse eines Erdgases ergibt folgende Zusammensetzung:

CH4 87.4 %⋅:= C3H8 0.67 %⋅:= C5H12 0.061 %⋅:= CO2 1.19 %⋅:=

C2H2 0 %⋅:= C4H10 0.232 %⋅:= H2S 0 %⋅:= N2 8.45 %⋅:=

C2H4 0 %⋅:= C3H6 0.011 %⋅:= H2 0 %⋅:= O2 0.02 %⋅:=

C2H6 1.32 %⋅:= C6H6 0.017 %⋅:= CO 0 %⋅:= H2O 0.63 %⋅:=

Berechnen Sie bei einem Frischluftzustand von φ 0.5:= tU 20°C:= pL 1 bar⋅:=

die Rauchgaszusammensetzung bei einem Luftverhältnis von 1,1 sowie die theoretische Verbrennungstemperatur und dieabgegebene Wärmeleistung in einem Kessel, dessen Rauchgasaustrittstemperatur ursprünglich 220°C betrug, bevor einBrennwertgerät nachgeschaltet wurde, in dem die Rauchgase zunächst auf 30°C abgekühlt werden, dann aber zwecksVermeidung von Wasseranfall im (alten) Kamin über den Heizkreislauf wieder auf 50 °C aufgewärmt werden. WelchenAnteil an der gesamten Wärmeleistung hat das Brennwertgerät ?

Lösung S. a161

Beispiel B 14.1 Stadtgas Berechnung S. b19

Aufgabe A 14.2 Verbrennung von Erdöl EL in einem Brennwertgerät

In einem Gebäude steht eine ältere Kesselanlage mit einer Feuerungsleistung von 200 kW (bezogen auf Hu für dieWärmeversorgung. Es wird Heizöl EL gemäß angegebener Elementaranalyse verfeuert bei einem Luftverhältnis von1,1 und einer Abgastemperatur von 200 °C.Dem Kessel wird nun rauchgasseitig ein Brennwertwärmeübertrager nachgeschaltet, der das Rauchgas zunächst auf25 °C abkühlt. Im letzten Teil des Wärmeübertragers wird jedoch eine Wiederaufwärmung um 20 K vorgenommen,damit trockenes Rauchgas in den alten gemauerten Kamin gelangt. Zeigen Sie, dass dies eine echte Brennwertnutzung darstellt und der Verlust durch die Wiederaufwärmung gering ist!

gegeben: Frischluft φ 1:= tU 20 °C⋅:= pL 1 bar⋅:= Luftverhältnis λ 1.1:= tL tU:=

Brennstoff-Elementaranalyse:

cb 86.5 %⋅:= hb 12.25 %⋅:= nb 0.88 %⋅:= ob 0.12 %⋅:= sb 0.24 %⋅:= wb 0 %⋅:= ab 0 %⋅:=

Feuerungsleistung:PF 200 kW⋅:= Minimale

Rauchgastemperatur:tRgmin 25 °C⋅:=

RauchgastemperaturKesselaustritt: tRg1 200 °C⋅:= Rauchgasemperatur

Kamin:

9292

Berechnung S. b21Beispiel B14_2 Berechnung von Kenndaten für ein Braunkohlekraftwerk

λ 1.00983=λN2Tr

N2Tr7921

O2TrCOTr

2−

⋅−

:=obiges Beispiel Gas

λ 1.26965=λN2tr

N2tr7921

O2trCOtr

2−

⋅−

:=obiges Beispiel Kohle

Ist nur CO als Unverbranntes im Abgas, kann auch näherungsweise für alle Brennstoffe folgende Gleichung benutztwerden (hier mit Zahlenbeispiel wiederum für die vollständige Verbrennung):

2179 Omin⋅

CH4 2 C2H2⋅+ 2 C2H4⋅+ 2 C2H6⋅+ 3 C3H8⋅+ 4 C4H10⋅+3 C3H6⋅ 5 C5H12⋅+ CO+ CO2++

...

N2Tr⋅

CO2Tr COTr+ CH4Tr+N2−

⋅ 1.02=

21cb

12⋅

79omin

kmol kg 1−⋅

⋅

α N2tr⋅

CO2tr COtr+ CH4tr+

nb

28

cb

12

−

⋅ 1.446=

CH4Tr 0:=COTr 0:=

α 1:=CH4tr 0:=COtr 0:=für die obigen Beispiele wird bei vollständiger Verbrennung

Mit k = Anzahl der höheren Kohlenwasserstoffe (i) im Brennstoff mit ni C-Atomen und mi H-Atomen. Die mit Trbzw. tr indizierten Anteile beziehen sich gemäß obiger Definition auf das trockene Abgas (Die Analyse findet beiRaumtemperatur statt, wobei der überwiegende Wasserdampfanteil auskondensiert ist).

λ21

79 Omin⋅

COb CH4b+

1

k

i

ni CnHmbi⋅( )∑

=

+ CO2b+

N2Tr⋅

CO2Tr COTr+ CH4Tr+N2b−

⋅=für gasförmige Brennstoffe

Dabei ist α der verbrannte Anteil des Kohlenstoffs,

λ

21cb

12⋅

79omin

kmol kg 1−⋅

⋅

α N2tr⋅

CO2tr COtr+ CH4tr+

n

28

c

12

−

⋅=für feste und flüssige Brennstoffe

Aus den Verbrennungsgleichungen kann für den Fall, dass sich im Abgas Unverbranntes in Form von CO und CH 4

befindet, hergeleitet werden:

Verbrennungsprozesse müssen überwacht werden, damit zum einen die Energieausnutzung möglichst gut und zumanderen die Schadstoffemissionen möglichst gering werden. Aus den Beispielen kann man leicht erkennen, dass beigrößer werdendem Luftverhältnis, insbesondere bei höheren Abgastemperaturen, die Abgasverluste zunehmen. DasLuftverhältnis sollte also möglichst nahe an das stöchiometrische ( λ = 1) herankommen. Andererseits erlauben dieStrömungsverhältnisse in den Brennkammern nicht immer eine ideale Durchmischung von Brennstoff undVerbrennungsluft, so dass bei zu niedrigem Luftverhältnis die Verbrennung unvollständig abläuft. BeiVerbrennungsmotoren sind - konstruktiv bedingt - die Brennräume klein und die Brennkammerwände zu kalt, umvollständige Verbrennung erzielen zu können. Kraftfahrzeuge mit ihrem instationären Betrieb sind deshalb die größtenSchadstoffemittenten (trotz Katalysatoren) mit der geringsten Energieeffizienz. Großfeuerungen, z. B. in Kraftwerken,haben dagegen nahezu keinen Verlust durch Unverbranntes. Schadstoffe, wie Schwefel- und Stickoxide werden inaufwendigen Rauchgasreinigungsanlagen zurückgehalten. Bei allen Verbrennungsprozessen ist aber die Überwachungdes Luftverhältnisses erforderlich, um den Verbrennungsablauf zu optimieren. Dabei werden die Abgaskomponentengemessen.

14.4 Abgaskontrolle

9393

15 Vergleichsprozesse für spezielle MaschinenWie in Kap. 8 aufgezeigt, gibt es keinen Kreisprozess, der bei gleichen Temperaturen der Wärmezufuhr undWärmeabfuhr einen besseren Wirkungsgrad erreicht als der Carnot-Prozess. Letzterer, obwohl technisch nichtrealisierbar, dient daher als "Messlatte" für alle anderen Prozesse. Für spezielle Maschinen, in denen Kreisprozesseablaufen, braucht man jedoch weitere Vergleichsmöglichkeiten, die aufzeigen, was im günstigsten (theoretischen) Fallemit einer solchen Maschine erreichbar wäre. Solche Vergleichsprozesse sind ebenfalls idealisiert. Sie laufen, wennnicht z. B. gerade ein Drosselvorgang notwendige Voraussetzung für die Durchführbarkeit ist, ohne Reibung (undsonstige Dissipation) ab und sind dann innerlich reversibel. Auch wird mit unendlich kleinen Zeiten für dieWärmeübertragung gerechnet. Um die grundsätzlichen Einflüsse ohne kompliziertes numerisches Rechnen aufzeigenzu können, wird in der technischen Thermodynamik üblicherweise bei den Verbrennungskraftmaschinen auch derArbeitsstoff idealisiert, d. h. man vernachlässigt die chemischen Umwandlungen und rechnet mit Luft als idealem Gasmit konstanter spezifischen Wärmekapazität ("perfektes Gas").

Vergleich eines beliebigen Prozesses mit dem Carnot-Prozess:

T

s

Tmzu

Tmab

Tmin

Tmax

Bei einem innerlich reversiblen Prozess (gelbes Ei)stellen die Flächen unter den Kurven die Wärmendar. Man kann durch Flächenausgleich jeweils fürdie Wärmezufuhr und Wärmeabfuhr mittlere Tempe-raturen finden, mit denen sich ein äquivalenter Carnot-Prozess (mit gleichen Flächenverhältnissen,also gleichem Wirkungsgrad) bilden lässt. Manerkennt, dass dieser Prozess immer schlechter istals ein mit der maximalen und minimalen Prozess-Prozesstemperatur geführter Carnot-Prozess(T min = Umgebungstemperatur).

Bild 15.1 allgemeiner Kreisprozess

15.1 Otto-Prozess

VHVK

Der 4-Takt-Otto-Motor hat bei 2 Umdrehungen derKurbelwelle einen Arbeitskreislauf. Je ein Kolbenhubist erforderlich zum Füllen und Ausschieben. Diedazu erforderlichen Arbeiten heben sich auf undspielen für den theoretischen Kreisprozess keineRolle.Dieser hat folgende Zustandsänderungen:1. Verdichten von 1 nach 2 isentrop 2. Wärmezufuhr in der Zeit dt = 0 isochor3. Expansion von 3 nach 4 isentrop4. Wärmeabfuhr von 4 nach 1 isochor

Bild 15.2 Prinzip des Otto-Motors

9494

15.3 Seiliger-Prozess

Bild 15.4 p-V-Diagramm des Diesel-Motors

η th_Diesel 11

κ εκ 1−

⋅

ϕκ

1−

ϕ 1−⋅−=wird der thermische Wirkungsgrad

εV1

V2=und dem Verdichtungsverhältnis

ϕV3

V2=Mit dem Volldruckverhältnis

Der Diesel-Prozess arbeitet mit einem größeren Verdichtungsverhältnis. Umeine zu hohe Druck- und Temperaturspitze im Punkt 3 zu vermeiden, wirdvom Verdichtungsendpunkt 2 aus der Brennstoff (die Wärme) dosiert biszum Punkt 3 so zugeführt, dass der Druck bis dahin konstant bleibt.

p

V1

4

32

ds = 0

q ab

q zu

15.2 Diesel-Prozess Lösung

Ein Viertakt-Otto-Motor hat einen Hubraum von 1,6 Liter. Der thermische Wirkungsgrad des Vergleichsprozesses ist 60% und der Gütegrad gegenüber dem Vergleichsprozess 70%. Ansaugzustand ist 1 bar bei 15 °C. Die höchsteTemperatur des Vergleichsprozesses sei 2400 °C. Der Prozess soll mit Luft als idealem Gas mit konstanterWärmekapazität berechnet werden.a) Berechnen Sie die Zustandsgrößen der Eckpunkte p, v, t, s und stellen Sie den Prozess im p-v-Diagramm und imT-s-Diagramm dar!b) Berechnen Sie den thermischen Wirkungsgrad und die Drehzahl, wenn eine Leistung von 65 kW erreicht werdensoll! c) Welche Vorgänge sind für den relativ geringen Gütegrad verantwortlich?

Aufgabe A 15.1a Berechnung eines Vergleichsprozesses (Variante zu A 15.1)

Lösung S. a166

Ein 4-Takt-Otto-Motor hat ein Verdichtungsverhältnis von ε = 10 , Die nach dem idealenVergleichsprozess (als Arbeitsmittel sei Luft als ideales Gas angenommen) abgeführte Wärmemengebeträgt Qab = 50 kJ/s bei einer Abgastemperatur von t4 = 771 °C Der Zustand der angesaugtenUmgebungsluft wird mit tU = 20 °C und pU = 1bar angegeben.a) Skizzieren Sie den Vergleichsprozess qualitativ im h-s-Diagramm und im p-v-Diagramm!b) Berechnen Sie die Zustandsgrößen p, v, t und s der Eckpunkte (s 1 = 0 J/kg*K )!c) Berechnen Sie das Hubvolumen, die Leistung und den Wirkungsgrad des Vergleichsprozesses beieiner Drehzahl von n = 6500 min-1 !d) Wie ändert sich die Leistung und der Wirkungsgrad, wenn durch Kühlung der Zylinderwände einAnteil von a = 20 % der zugeführten Wärme bereits im oberen Totpunkt verloren geht, und dieadiabate Expansion infolge Reibung polytrop mit konstantem Exponenten n = 1,3 gerechnetwerden soll?

Aufgabe A 15.1 Berechnung eines Vergleichsprozesses (Otto-Motor)

Bild 15.3 p-v-Diagramm des Otto-Motorsη th_Otto 1

1

εκ 1−

−=εV1

V2=mit dem Verdichtungs-

verhältnis

Beim realen Prozess muss der Zylinder gekühlt werden, derDruckabbau von 4 nach 1 wird nur annähernd durch dasschnelle Öffnen des Auslassventils erreicht, auch dieIsochore von 2 nach 3 durch Verbrennen des Treibstoffes inder angesaugten Frischluft benötigt Zeit. Beim Ansaugendurch den Luftfilter und beim Ausschieben durch dieAbgasanlage entstehen Strömungsdruckverluste (Schleife mitnegativer Arbeitsfläche im p-v-Diagramm).Der Thermische Wirkungsgrad des Otto-Prozesses kann mitden o. e. Vereinfachungen geschrieben werden:

p

V1

2

3

4qab

qzu

9595

Verbesserung des Prozesses durch mehrstufige Verdichtung und Expansion und interne Wärmeübertragung siehe A15_3

η th_Joule 1T1

T2−= 1

p1

p2

κ 1−

κ

−=

Mit den Gleichungen für ideale Gase errechnet sichder Wirkungsgrad über das Temperatur- bzw.Druckverhältnis:

Der Joule-Prozess ist der Vergleichsprozess für eine Gasturbinenanlage. Wärmezu- und -abfuhr erfolgen isobar,Verdichtung und Expansion isentrop. Für den Vergleichsprozess spielt es keine Rolle, wenn statt derBrennkammer und der Atmosphäre jeweils ein Wärmeübertrager benutzt wird und der Arbeitsstoff zirkuliert (z. B.Helium im Kreislauf eines Hochtemperaturreaktors). Verbesserung des Prozesses: Aufgabe A 15.3

Bild 15.7 Kreislaufschema eines offenen GasturbinenprozessessBild 15.6 p-V-Diagramm des Joule-Prozesses

Verdichter

Brennkammer Turbine

P

1

2 3

4Atmosphäre

p

V4

1

32qzu

qab

ds = 0

15.4 Joule-Prozess

Lösung S. a168

Ein Dieselmotor arbeitet nach dem Seiliger-Vergleichsprozess mit einem Verdichtungsverhältnis von ε = 21.Die höchste Temperatur des Vergleichsprozesses beträgt 2200 °C. Die Wärmeenergie wird zu 1/3 beikonstantem Volumen und zu 2/3 bei konstantem Druck zugeführt. Als Arbeitsmedium soll Luft mitkonstanten spezifischen Wärmekapazitäten angenommen werden, die mit einem Zustand von 20 °C und 1bar angesaugt wird.

a) Zeichnen Sie den Vergleichsprozess qualitativ im p-v-Diagramm und T-s- Diagramm!b) berechnen Sie die Eckpunkte (p, v, T, s-su ) des Kreisprozesses!

c) berechnen Sie den thermischen Wirkungsgrad des Vergleichsprozesses, den Luftdurchsatz und die Leistung, wenn der zugeführte Wärmestrom 300 kW beträgt !

Aufgabe A 15.2 Berechnung eines Vergleichsprozesses (Seiliger)

Bild 15.5 p-V-Diagramm des Seiliger_Prozesses

η th_Seil 11

εκ 1−

ψ ϕκ

⋅ 1−

ψ 1− κ ψ⋅ ϕ 1−( )⋅+⋅−=wird der

thermischeWirkungsgrad

ϕV4

V3=und dem Volldruckverhältnis ("Einspritzverhältnis")

ψp3

p2=dem Gleichraumverhältnis

εV1

V2=mit dem Verdichtungsverhältnis,

Der Seiliger-Prozess ist ein Dieselprozess, bei dem derGleichdruck-Verbrennung eine Gleichraum-Verbrennung vorgelagert ist.Dies ist heute bei den Dieselmotoren in der Regel so.

p

V1

5

43

2d s = 0

q a b

q zu p

q zu v

9696

Verbesserung des Prozesses durch regenerative Speisewasservorwärmung und Zwischenüberhitzung siehe A 13_6

η th_CRh1 h2−

h1 h4−( )=grob angenähert auch wegen dergeringen Arbeit der Speisepumpe:

η th_CRh1 h2−

h1 h4−( ) h4 h3−( )+=Der Wirkungsgrad errechnet sich über: Auf die Zustandsgrößen kann

über den Verweis auf"VD_WasSt" bzw."VD_WasPr"zugegriffen werden.Rechnen Sie hier niemals mit denGleichungen für ideale Gase !!!

Bild 15.10 T-s-Diagramm des CR-Prozesses

Der Clausius-Rankine-Prozess ist der Vergleichsprozessfür das Dampfkraftwerk in seiner einfachstenKonstellation mit Turbine T, Kondensator Ko,Speisepumpe Sp und Kessel mit Überhitzer Ke. Vorteildes Dampfkraftprozesses gegenüber den Prozessen mitinerten Gasen ist die große spezifischeKreisprozessarbeit wegen der geringen Arbeit derSpeisepumpe (kleines spezifisches Volumen derFlüssigkeit). Über die Verbesserung dieses Prozessesmit Zwischenüberhitzung und Anzapfvorwärmernfinden Sie Aufgabenbeispiele in Kap. 13

1

23

4

T

s

qab

qzuV

qzuÜ

Bild 15.9 p-v-Diagramm des CR-ProzessesBild 15.8 Kreislaufschema des CR-Prozesses

p

v

1

23

4q zu

q ab

ds = 0ds = 0

1

4

3

2

G

Ke

T

KoSp qab

qzu

15.5 Clausius-Rankine-Prozess

Lösung a171

Eine Gasturbinenanlage mit 100 MW mechanischer Leistung wird mit zweistufiger Verdichtung undExpansion (gleiches Druckverhältnis ϕ) einem Zwischenkühler und einem Wärmeübertrager(Rekuperator) betrieben. Der Rekuperator weist zwischen den gegenströmenden Medien eine treibendeTemperaturdifferenz von 10 K auf. Der Gütegrad der Verdichter ist 0,85, der der Turbine 0,9. DieTurbineneintrittstemperatur ist jeweils 1100° C, die Eintrittstemperatur beider Verdichter liegt bei 20 °C,der Eintrittsdruck beträgt 1 bar. Das Gesamtdruckverhältnis ist ε = 10. Das Rauchgas soll als ideales Gasangesehen werden mit den Stoffdaten der Luft. a) Zeichnen Sie das Schaltbild des Prozesses und das dazugehörigen qualitative p-v-Diagramm! b) Bestimmen Sie für alle Eckpunkte des Prozesses T, p, v, s!c) Bestimmen Sie den thermischen Wirkungsgrad der Anlage, den umlaufenden Massenstrom desRauchgases (Annahme: Massenstrom des Rauchgases = Massenstrom der Luft) und die zugeführtethermische Leistung in den Brennkammern!d) Bestimmen Sie den thermischen Wirkungsgrad der Gasturbinenanlage ohne Rekuperator!e) Bestimmen Sie den thermischen Wirkungsgrad der Gasturbinenanlage ohne Rekuperator und ohneZwischenkühlung!

Aufgabe A 15.3 Berechnung eines 2-stufigen Gasturbinenprozesses mit internemWärmeaustausch

9797

Lösung S. a174ηV 0.85:=Gütegrad des Verdichters:

PK 30kW:=Kühlleistung:

t1 25− °C:=Minimale Temperatur im Verdampfer:

tKo 38°C:=Minimale Temperatur im Kondensator:gegeben:

Ein Kühlaggregat wird mit NH3 betrieben. Es soll im Kühlhaus eine Temperatur von -20°C erreichen und die Wärme an dieUmgebung auch bei + 33°C abführen können. Für die Wärmeübertragung sind Temperaturdifferenzen von mindestens 5°Cerforderlich. Die Kühlleistung soll 30 kW betragen.a) Geben Sie die Zustandsgrößen an den Eckpunkten eines Prozesses an, der diese Bedingungen erfüllt, wenn für denVerdichter ein Gütegrad von 0.87 angenommen werden kann. b) Stellen Sie den Prozess in folgenden Diagrammen dar: t-s-Diagramm, h-s-Diagramm, p-h-Diagramm!c) Welche Leistungsziffer hat das Aggregat und welcher Stoffstrom ist erforderlich?d) Berechnen Sie alle Ergebnisse neu für den Fall, dass das Kondensat vor der Drossel um 15 K unterkühlt wird(Außentemperatur 18°C)!

Aufgabe A 15.4 Kühlaggregat mit NH3

εKh1 h4−

wV=

h1 h4−

h2 h1−=

εHh2 h3−

wV=

h2 h3−

h2 h1−=Leistungsziffer für Heizbetrieb (genutzt wird die Wärme qab):

Leistungsziffer für Kühlbetrieb (genutzt wird die Wärme qzu):

Der Kaltdampfprozess ist praktisch eine Umkehrung des Clausius-Rankine-Prozesses. Statt der Turbine findet manhier einen Verdichter V, der den im Verdampfer erzeugten Sattdampf von 1 nach 2 verdichtet. Von 3 nach 4 wirdjedoch keine Arbeit gewonnen, da eine Arbeitsmaschine nicht mit einer Flüssigkeit beaufschlagt werden kann, die beider Arbeitsleistung teilweise verdampft. Daher wird das so weit wie möglich unterkühlte Kondensat in einemDrosselventil auf den Druck des Verdampfers heruntergedrosselt (Adiabate Drosselung = Isenthalpe). Der Prozesswird mit Fluiden durchgeführt, die bei den erforderlichen Temperaturen für solche Anlagen geeigneteVerdampfungs- bzw. Kondensationsdrücke besitzen.

Bild 15.12 Kreislaufschema des KaltdampfprozessesBild 15.11 T-s-Diagramm des Kaltdampfprozesses

4

3 2Ko

DV

qzu

qab

V

113

4

T

s

qzu

q ab

2

15.6 Kaltdampfprozess zum Kühlen und Heizen

Seite b23 Beispiel B 15.0 Wärmeschaltbild eines modernen Steinkohle-Kraftwerks

9898

15.7 Kombinierter Gas- und Dampfturbinen-Prozess (GuD)

S3d2d

1d

1g

2g

3g6g

4d

T

Qzu

Qabd

Qint

Qabg5g

4g

Beim Dampfkraftprozess treten bei derWärmeübertragung im Kessel vom Rauchgas(Brennraumtemperaturen z. B. 1700 °C) auf denDampf (maximale Dampftemperatur meistunterhalb 600 °C) große Exergieverluste auf (vergl.Aufgabe A 13.5). Der sogenannte GuD- Prozess isteine Kombination von Gasturbinen- prozess undDampfkraftprozess. Er nutzt diesesTemperaturgefälle für den Gasturbinenprozess. DerVorteil der hohen Temperatur der Wärme- zufuhrin der Brennkammer der Gasturbine von 6g nach1g (ca 1200 °C) ist gepaart mit der geringenTemperatur der Wärmeabfuhr im Kondensator desDampfkreislaufes von 2d nach 3d. Die Wärme-zufuhr für den Dampfkreislauf Qint erfolgt aus derAbwärme des Gasturbinenkreislaufes. Auch beidieser prozessinternen Wärmeübertragung tretenExergieverluste wegen der konstantenVerdampfungstemperatur auf (vergl. T-s-Diagramm).Möglichkeit zur Verbesserung: s. BeispielB15.2!Abwärme aus dem Gesamtprozess ist neben derKondensationsenthalpie des Dampfes dieRauchgasenthalpie im Punkt 4g. Anmerkung: Das T-S-Diagramm mit beidenTeilprozessen übereinander kann so nur mitunterschiedlichen Maßstäben für S gezeichnetwerden

Bild 15.13 T-s-Diagramm eines GuD-Prozesses

1g

2g

3g

4g

1d2d

4d6g

5g

3d

Bild 15.14 Anlagenschema eines GuD-Prozesses

Beispiel B 15.1 Berechnung eines GuD-Prozesses mit 1 Dampfdruckstufe Seite b25

Beispiel B 15.2 Berechnung eines GuD-Prozesses mit 2 Dampfdruckstufen Seite b30

15.8 Das Linde-Verfahren zur Verflüssigung von Luft

t1 = ta

t2

t3 = tat4t5

flüss

ig t6 = t5

Auß

en-

luft

Außen-kühlung

Zyklonab-scheider

Drossel

Gegen-strom-

WÜ

t7 = t5 t8 = t3 - 5K

K

1

75 4

2

3

h

T6

Beim Drosseln kühlen sich alle realen Gase ab, ein Phänomen, das als Joule-Thomson-Effekt bezeichnet wird. Dies kannzur Erzeugung sehr niedriger Temperaturen benutzt werden, z.B. zur Verflüssigung von Luft. Das Verfahren wurdeerstmalig von C. von Linde angewandt und ist nach ihm benannt. Es ist prinzipiell sehr einfach, hat aber insbesonderewegen des Drosselvorganges sehr hohe Exergieverluste (> 90%). Die Zustandsänderungen: 1-2 Verdichtung von Umgebungsluft, in mehreren Stufen mit Zwischenkühlung (hier nur eine Stufe gezeichnet)2-3 Rückkühlung auf Umgebungstemperatur3-4 Abkühlung im Gegenstromapparat durch die aus dem Fliehkraftabscheider zurückströmende gasförmige Luft.4-5 Drosselung (Isenthalpe) mit Abkühlung bis in das 2-Phasengebiet.5-6 Trennen des flüssigen Anteils 6 durch Fliehkraft vom gasförmigen Anteil 7.7-8 Wärmeaufnahme im Gegenstromapparat.

9999

Im folgenden Beispiel wird der Vorgang anhand der hier zur Verfügung stehenden Stoffdaten von Stickstoffdurchgerechnet.

Beispiel B 15.3 Luftverflüssigung nach dem Linde-Verfahren mit den Stoffeigen-schaften von Stickstoff

Seite b33

Weitere Beispiele und Aufgaben

Aufgabe A 15.5 Vergleichsprozess für einen Otto-Motor

Ein Viertakt-Otto-Motor hat ein Verdichtungsverhältnis von ε = 8. Ansaugzustand ist 1 bar bei 0 °C. DieAbgastemperatur des Vergleichsprozesses sei 600 °C. Der Prozess soll mit Luft als idealem Gas mit konstanterWärmekapazität berechnet werden.a) Berechnen Sie die Zustandsgrößen der Eckpunkte p, v, t, s des Vergleichsprozesses und stellen Sie den Prozessqualitativ im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm dar!b) Berechnen Sie die Leistung für einen Hubraum von 3 Litern bei einer Drehzahl von 5500/min

Lösung S. a180

Beispiele für Kreisprozesse mit idealen Gasen mit variabler Vorgabe derZustandsgrößen und der Prozessgrößen

Seite b35 B 15_4, B15_4a, B15_4b, B15_4c, B15_4d, B15_4e

100100

∆tges

1

n

i

∆ti∑=

=wie auchRWLges

1

n

i

RWLi∑=

=

RWL∆tQ

=δ

λ A⋅= Daraus ergibt sich direkt: Der Widerstand einer

mehrschichtigen Wand ist die Summe der Widerstände dereinzelnen Schichten

Vorteilhaft ist die Definition des Wärmeleitwiderstandes gemäß dem Ohm'schen Gesetz:

λL t( ) 0.0242 1 0.003 t⋅+( )⋅:=Für ruhende Luft (in engen Spalten bis 10 mm) kann angenommen werden:

Tabelle 16.1 Anhaltswerte für λ in W / m *K (aus Dubbel)

Eisen 75 Kupfer 400 Glas 1 Ziegelstein 0,9 Luft 0,025 Wasser, flüssig 0,6Edelstahl 20 Beton 1 Zementputz 1,4 Mineralwolle 0,05 Polystyrol 0,04 Wasser-Eis, 0°C 2,2

λ ist die Wärmeleitfähigkeit des Stoffes, aus dem die Wand besteht. Die nachstehende Tabelle enthält dieWärmeleitfähigkeit einiger wichtiger Stoffe bei 20 °C in W / m*K . Die Werte schwanken mit unterschiedlicherKonsistenz (vergl. VDI-WA, Dubbel, Recknagel/Sprenger)

Bild 16.1 Wärmeleitung durch ebene Wand

qi_a λ− grad t( )⋅=Allgemein für 3 Koordinaten undauf die Fläche bezogen gilt:

Eλ 1W

m K⋅=Eλ

EP EL⋅

EA Et⋅:=

Damit ergibt sich für denKoeffizienten λ aus den inKap.1.1 definierten Einheiten

Qi_a λ− A⋅ti ta−( )

δ⋅=hier:Qi_a λ− A⋅

dtdx

⋅=

Die Gleichung für den Wärmestrom Q durch die Ausschnittsfläche A lautet:

Die Skizze zeigt den Ausschnitt einer ebenen Wand mit einer genügendgroßen Ausdehnung, so dass das Temperaturgefälle in x-Richtung imdargestellten Ausschnitt an jeder Stelle gleich ist. Die Temperaturen t i und tasind durch äußere Einflüsse vorgegeben (Kühlung außen und Heizung innen).

dx

A

dt

ti

ta

tQi_a

x

16.1.1 Ebene Wand16.1 Wärmeleitung

Dieses weite Feld kann mit dem heutigen Stand des Wissens komplett nur in umfangreichen Büchern dargestelltwerden. Eine vollständige (für den Einsteiger allerdings nicht immer leicht zu überschauende und zu verstehende)Sammlung ist der VDI-Wärmeatlas. In diesem Übungsbuch können nur einige grundlegende Zusammenhängebeispielhaft behandelt werden.

16 Wärmeübertragung

101101

Lösung S. a183

ri 12.5mm:=ra 17.5mm:=

∆t 10.5K:=λR 15W

m K⋅:=Gegeben:

Ein hochlegiertes Rohr im Feuerraum eines Kessels ist zur Hälfte indie Wand eingebettet (vergl. Skizze). Die maximaleWärmebelastung, d. h. die maximale Wärmestromdichte, die amScheitelpunkt auf der Innenseite auftritt, soll bestimmt werden. Esgelingt, über genau platzierte Bohrungen 2 Thermoelemente soeinzufädeln, wie in der Skizze dargestellt. Das Rohr hat einenAußendurchmesser von da = 35 mm und eine Wandstärke von 5 mm.

Es wird eine Temperaturdifferenz von 10,5 K gemessen. Welche Fehler sind bei der Bestimmung möglich?

ri

ra

31

Aufgabe A 16.1a Messung des Wärmeflusses durch eine Rohrwand

Bild 16.2 Wärmeleitung durch zylindrische WandFür mehrere (n) Schichten: RWLges

1

n

i

RWLi∑=

=

RWL

lnrari

2 π⋅ LR⋅ λ⋅

=

Q 2π LR⋅ λ⋅ta ti−( )

lnrari

⋅=

LR Rohrlänge=

A r( ) 2π r⋅ LR⋅=mit: Q λ− A r( )⋅dtdr

⋅=dt

Aa

tiQi_a

ri

ra

drta

Wärmeübertragung an Rohre oder von Rohren spielt auf vielenGebieten eine wichtige Rolle. Bei dünnen Wänden können in ersterNäherung die Gleichungen für ebene Wände benutzt werden,ansonsten gilt analog:

16.1.2 Zylindrische Wand

Lösung S. a182

λ3.4 0.28W

m K⋅:=λ2.3 0.04

Wm K⋅

:=

t4 19°C:=λ1.2 0.9W

m K⋅:=∆tges 30K:=gegeben:

Berechnen Sie den Wärmestrom durch eine 3-schichtige Wandund die Temperaturen gemäß Skizze, wenn bei einer Temperaturvon t4 = 19 °C die gesamte Temperaturdifferenz t4 - t1 = 30 °Cbeträgt und zwischen Außenwand (Ziegel) mit einer Wandstärkevon δ1.2= 12 cm und der Innenwand aus Naturbims mit einerWandstärke von δ3.4= 27 cm die δ2.3= 10 cm starkeIsolierschicht aus Poystyrol angeordnet ist!

At4

t1

tQi_a

1,2 3,4

2,3

t2t3

Aufgabe A 16.1 Wärmeleitung durch eine ebene Wand

102102

Pew L⋅

a= Die Peclet-Zahl Ea 1

m

s2=a

λ

cp ρ⋅=

mit w und L wie oben und a = Temperaturleitwertmit cp = spezifische Wärmekapazität, ρ = Dichte.(ähnliche Temperaturfelder bei Wärmeleitungund -Transport im Stoffstrom bei gleicher

Frw2

L g⋅= Die Froude-Zahl mit w und L wie oben und g 9.807m s 2−

⋅= Die Froude-Zahl stellt dasVerhältnis von Massenkräften zu Gewichtskräften dar (bei Strömungen mitunterschiedlicher Dichte, z. B. Zwei-Phasen-Strömung oderFestkörpertransport durch Gase).

Rew L⋅ν

= Die Reynoldszahl

mit w = Geschwindigkeit, L = charakteristische Länge (hydraulischerDurchmesser) und ν = kinematische Zähigkeit. Die Reynoldszahl stelltdas Verhältnis von Reibungskräften in der Strömung zu Massenkräftendar (ähnliches Strömungsfeld bei gleicher Reynoldszahl) , beierzwungener Strömung direkt zu berechnen.

NuL

dG=

Nuα L⋅λ

=Dimensionslose Kennzahlen

Aus der Skizze Bild 16.3 ist ersichtlich, dass eine gedachte, nicht strömende Grenzschichtvon der Stärke dG mit der Wärmeleitfähigkeit des Fluids die gleiche Wirkung hat, wie derWärmeübergangskoeffizient. Bildet man aus α und λ eine dimensionslose Kennzahl miteiner charakteristischen Länge L des Systems ( bei Kanälen der hydraulische Durchmesser,sonst die Überströmlänge), so stellt diese nach Nusselt benannte Kennzahl das Verhältnis darzwischen dieser Länge und der Stärke der Grenzschicht. In den erwähnten empirischenGleichungen finden Sie die Nusseltzahl abhängig von anderen dimensionsloen Kennzahlen.Die wichtigsten sind:

Tabelle 16.2 Anhaltswerte für α in W / m2 *K (aus Cerbe/Hoffmann)

Wärmeübergangskoeffizient erreichbare Werte in der Praxis üblich

Gase und Dämpfe freie Strömung 5 bis 25 8 bis 15erzwungene Strömung 12 bis 120 20 bis 60

Wasser freie Strömung 70 bis 700 200 bis 400erzwungene Stömung 600 bis 12000 2000 bis 4000Verdampfung 2000 bis 12000 ca. 4000Filmkondensation 4000 bis 12000 ca. 6000Tropfenkondensation 35000 bis 45000 ::::::::::::::::

Flüssigkeiten erzwungene Strömung 60 bis 600 300 bis 400

Bild 16.3 Wärmeübergangskoeffizient

Der Proportionalitätsfaktor α heißt Wärmeübergangskoeffizient. Er hängt abvon den aufgezählten Einflussgrößen und kann meist nur über empirischeGleichungen berechnet werden, die auch nur für genau definierte begrenzteBereiche gültig sind und bei denen über Ähnlichkeitsbeziehungen dasParameterfeld auf meist 2 oder 3 dimensionslose Kennzahlen beschränktwurde. Eine vollständige Sammlung des derzeitigen Wissens finden Sie imVDI-Wärmeatlas. Wenn möglich, werden aber Erfahrungswerte aus nahezuidentischen Anwendungsfällen benutzt.

Q α A⋅ ∆t⋅=

Der Wärmeübergang von einem strömenden Fluid an eine feste Wand (oderumgekehrt) ist von vielen Einflussgrößen abhängig: Geschwindigkeit,Zähigkeit, Dichte, spezifische Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit desströmenden Mediums, Geometrie des Strömungskanals undTemperaturdifferenz. Die Einflussgrößen sind nicht unabhängigvoneinander. Beschrieben wird der Wärmeübergang durch die einfacheGleichung:

d

t

tW

tStr

16.2 Konvektion

103103

Rges RWÜ1 RWL+ RWÜ2+=

Für die ebene mehrschichtige Wand inhinreichender Entfernung vom Rand gilt:

Rges1

α1 A⋅λ

δ A⋅+

1α2 A⋅

+

=1

k A⋅=

1k

1α1

δ

λ+

1α2

+=

Entsprechend für Rohre: Rges1

2 π⋅ L⋅1

αi ri⋅1

n

j

1λj

lnraj

rij

⋅

∑=

+1

αa ra⋅+

⋅=

Beispiel:Werden, wie in der Wärmeschutzverordnung (Bundesgesetzblatt), k-Werte für Außenwände vogegeben, sosind darin stillschweigend Annahmen über die Wärmeübergangskoeffizienten getroffen worden, wenn es heißt:"Die Anforderung ( k 0.5≤ ) gilt als erfüllt, wenn Mauerwerk in einer Wandstärke von 36,5 cm mit Baustoffen

mit einer Wärmeleitfähigkeit von λ 0.21≤( )W m K⋅( ) 1−⋅ ausgeführt wird". Welche Annahme für ein mittleres

αa wurde dabei getroffen, wenn α für Innenräume mit 5W / m*K angenommen werden kann?Lösung:

λ 0.21W

m K⋅:= d 36.5cm:= αi 5

W

m2 K⋅:= k 0.5

W

m2 K⋅:=

αa1W

m2 K⋅:= Vorgabe k

11αi

dλ

+1αa

+

= αa Suchen αa( ):= αa 16.2W

m2 K⋅=

Peclet-Zahl) Stoffkennzahl, als Verhältnis zwischen Leitfähigkeit und"Transportfähigkeit" interpretierbar. Bei Konvektion grundsätzlich vonBedeutung

Die Prandtl-Zahl PrPeRe

=ν

a=

Mit γ = spezifisches Gewicht. Verhältnis von Auftriebskräften durchTemperaturdifferenz und Reibungskräften in Strömungen, von Bedeutung fürStrömungen, die durch Auftriebskräfte entstehen (freie Konvektion).

Die Grashof-Zahl Grg γ⋅ ∆t⋅ L3

⋅

ν2

=

Die Rayleigh-Zahl Ra Gr Pr⋅= Vielfach statt Grashof-Zahl verwendet

Sind bei einem speziellen Fall die maßgebenden Kennzahlen gleich gegenüber einem bekannten Fall, so muss auch dieNußelt-Zahl gleich sein und somit ist α berechenbar. Mit dieser Erkenntnis sind umfangreiche Messergebnisse ausden verschiedensten Bereichen abhängig von den Kennzahlen in den o. e. empirischen Gleichungen zusammengefasstworden und zwar in der Form:

Meist enthält eine Gleichung nur 2 oder 3 von diesen Kennzahlen. Das VerhältnisL/d, meist bei Rohren, stellt die Abweichung von der geometrischen Ähnlichkeitdar. Damit werden die Einflüsse am Einlauf gewichtet.

Nu f Re Pr, Gr, Fr,Ld

,

=

Eine gute Übersicht über diese Gleichungen finden Sie bei Cerbe/Hoffmann. Bei Unsicherheiten ist jedoch imVDI-WA nachzulesen. Auch danach bleibt eventuell noch manche Frage offen. Wenn Zeit und Geld esermöglichen, sollte man dann experimentell an das Problem herangehen.

16.3 Wärmedurchgang

Als Wärmedurchgang bezeichnet man den Wärmefluss von einem Fluid zum anderen durch eine feste Wand,wobei die Wärmeleitfähigkeit der Wand und auf beiden Seiten der Wärmeübergangskoeffizient den Wärmeflussbestimmen. Den alles umfassenden Proportionalitätsfaktor k in der Gleichung:

Q k A⋅ ∆t⋅=

nennt man den Wärmedurchgangskoeffizient oder einfach k-Wert. Wie zuvor erläutert, addieren sich dieeinzelnen Widerstände.

104104

Lösung S. a188

Gegeben sei der Querschnitt eines Blockesgemäß Skizze, der zwischen zweiWasserströmen (durch gute Isolierunggetrennt) liegt. Gesucht ist dieTemperaturverteilung unter der Annahme,dass die Ausdehnung des Blockessenkrecht zur Bildebene (z-Richtung)genügend groß ist, um einen Wärmestromin dieser Richtung zu vermeiden. Dabei sollder Wärmeübergang zwischen Block undWasser, wie Wärmeleitung innerhalb desBlockes behandelt werden.

Wasser ti = 100°C

Wasser ta = 0°C

1 2

50°C1211109876543 3

69

1210

dx

dy=dx

Aufgabe A 16.4 Temperaturfeld in einem rechtwinkligen Block

S. a186

In einem Isolierten Heizungsrohr mit gegebenen Abmessungen strömt Wasser mit einer Temperatur von ti= 60 °C. Die Temperatur im ungeheizten Keller beträgt ta = 10 °C. Welche Wärmeenergie verliert dasRohr auf 1m Länge? Zeichnen Sie das Temperaturprofil in der Rohrwand und der Isolierschicht!Gegebene Größen:Durchmesser da = 35 mm und di = 30 mm , Wandstärke der Isolierung δIs = 15 mmWärmeleitfähigkeit der Rohrwand λR = 40 W/m*K Wärmeleitfähigkeit der Isolierung: λIs = 0,04 W/m*K ,Wärmeübergangskoeffizienten: innen: αi = 300 W/m*K und außen: αa = 10 W/m*K

Aufgabe A 16.3 Temperaturprofil an einem isolierten Rohr

Lösung S. a184

a) Wie groß ist der Wärmeübergangskoeffizient αi ?b) Wie groß ist der Wärmeübergangskoeffizient αa ?c) Wie groß ist der Wärmeverlust Q ?

mA 252kg

cm2 h⋅⋅:=mitmA

mA

=Weiterhin sei bekannt dieMassenstromdichte:

Ein Rohr mit den Abmessungen ∅ä 30 mm⋅:= und einer Wandstärke sW = 5,5 mm aus V2A-Stahl wird von

Heißdampf tHD = 500 °C und pHD = 200 bar durchströmt. Das Rohr wird auf einer Länge von l = 3,3 munisoliert horizontal durch einen Raum mit einer Lufttemperatur ta = 50 °C geführt.

Aufgabe A 16.2 Berechnung des Wärmedurchgangs an einem von Heißdampfdurchströmten Rohr

Seite b47Beispiel B 16.1 Taupunkt in einer Außenwand

Spielen Sie ein wenig mit unterschiedlichen Eingabewerten!

k 0.508kg

s3K=k

11αi

dλ

+1αa

+

:=wird αa 35W

m2 K⋅:=für

Eigentlich ist diese Annahme je nach Lage des Hauses zu niedrig. Allerdings ist der Einfluss von αa auf den k-Wertbei dieser Wand nicht sehr groß:

105105

Seite b49

Gegeben:

Innentemperatzur ti = 20 °C Außentemperatur ta = 0°CWärmeleitfähigkeit der Innenschale λWi = 0.5 W/m*K Wärmeübergangskoeffizient innen αi = 5 W/m2*KWärmeleitfähigkeit der Außenenschale λWa = 1 W/m*K Wärmeleitfähigkeit der Isolierschicht λIs = 0.04 W/m*K Zellendicke (Rohr) dz = 4 cm Wärmeleitfähigkeit des Stahlbolzens λB = 40 W/m*K

Durchmesser des Bolzens DB = 2 cm Wärmeübergangskoeffizient außen αa = 30 W/m2*KZellenlänge dz = 4 cm

21 2 3

2120

131211109

87654

191817

161514

22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48

9 161310

dz

lz

DB

tita

41 42 43 44 45 46 47 48

Die Außenschale einer isolierten Außenwand gemäß Skizze wird durch Stahlbolzen an der Innenschale fixiert. Die Bolzenbilden Wärmebrücken. Es soll der Einfluss einer solchen Wärmebrücke auf den Wärmedurchgang anhand desTemperaturfeldes in der Umgebung eines Bolzens gezeigt werden. Zu diesem Zweck wird die Umgebung des Bolzensgemäß Skizze in 40 zylindrische Wandelemente mit der Wandstärke dz und der Länge lz aufgeteilt Für jede der Zellen(einschließlich Bolzen mit 8 Zellen) muss die Summe der Wärmeströme aus den Nachbarzellen null sein

Beispiel B 16.2 Wärmebrücke in der Außenwand

Seite a 194 A 16.5a und B 16.3 Verfeinerte Berechnung zu A16.5 s. Seiten a 194 und b 52

Lösung S. a190ti 20°C:=ta 0°C:=

d 0.06m:=λ 0.25W

m K⋅:=

αi 5W

m2 K⋅:=αa 30

W

m2 K⋅:=

gegeben sind die Wärmeübergangskoffizienteninnen und außen, die Wärmeleitfähigkeit der Wandund die Lufttemperaturen innen und außen:

1ta

2625242322

212019181716

1514131211109

8765432

ti

17

10

2

23

Es ist das Temperaturfeld in der Ecke einer 36 cm starken Hauswand zu bestimmen Gemäß Skizze sollen 26 Zellengebildet werden, für die die Summe der Wärmeströme aus den Nachbarzellen jeweils null sein muss)

Aufgabe A 16.5 Temperaturprofil in der Ecke einer Außenwand

106106

Die größte Temperaturdifferenz im Wärmeübertrager (WÜ) ist die zwischen den beidenEintrittstemperaturen. Alle anderen Temperaturdifferenzen werden dimensionslos gemacht, indem mandurch diese dividiert. Damit wird

W cp m⋅=analog werden die Enthalpieströme H und Wärmekapazitätsströme W bezeichnet mit

tab2undtzu2tab1tzu1Temperaturen:

m2undm1Massenströme

Die in obigen Skizzen gemäß dem Kap. CA im VDI-WA verwendeten Bezeichnungen lassen sich mit Mathcad nichtdarstellen. Deshalb werden folgende Bezeichnungen gewählt:

Bild 16.5 Schematische Darstellung von Wärmeübertragern

Kreuzstrom

Gleichstrom

Gegenstrom

Nach der Führung des Fluids unterscheiden wirGegenstom- Gleichstrom- und Kreuzstromapparategemäß nebenstehender Prinzipskizze.Thermodynamisch ist der Gegenstromapparat dergünstigste, da im Grenzfall der unendlichen Längebei gleichen Enthalpieströmen auf beiden Seiten derreversible und vollständige Wärmeaustausch (besser:Enthalpieaustausch) erreichbar ist. Wegen dergeringen örtlichen (treibenden) Temperaturdifferenzzwischen den beiden Fluiden wird er aber dannbesonders groß und teuer. Konstruktive Gründe(Bevorzugung platzsparenderPlatten-Wärmeübertrager mit Kreuzstrom) oder dieNotwendigkeit, Rohrwandtemperaturen oberhalb derWarmfestigkeitsgrenze zu vermeiden, z. B. in oderhinter Feuerräumen, erlauben oft keine"Gegenströmer".

m2,t2

m1,t1m2,t2

m1,t1

Bild 16.4 Temperaturverlauf in einem Gegenstrom- Wärmeübertrager

Die Bezeichnungen können aus demnebenstehenden Bild entnommen werden, indem der Temperaturverlauf über dem Weg ineinem Gegenstromwärmeübertrager (s.u.)prinzipiell dargestellt wird. Das Fluid 1 wirddurch das Fluid 2 abgekühlt, indem dieses sicherwärmt. Das ganze System wirdvereinfachend als adiabat betrachtet, d. h. eswird vorausgesetzt, dass keine Wärme mit derUmgebung ausgetauscht wird.

t

t1

tmax

tmin

tm

t1

t2t1

t2

t2t1 - t2

l

Wärmeübertrager nennt man die Apparate, deren Hauptaufgabe es ist, Wärme von einem Fluid auf das andere zuübertragen (frühere Bezeichnungen: Wärmetauscher oder Wärmeaustauscher). Die Gestaltung ist je nachAnwendungsfall sehr unterschiedlich. Eine große Gruppe sind die Rekuperatoren mit stationärem Betrieb, bei derdie Fluide getrennt voneinander geführt werden und die Übertragung über eine feste Wand (Wärmedurchgang)erfolgt. Eine weitere Gruppe nennt man Regeneratoren. Hier werden die beiden Fluide wechselweise durchdenselben Wärmespeicher geführt und laden bzw. entladen dabei den Speicher. Die Temperaturfelder sindinstationär. Schließlich gibt es noch Übertrager mit Stoffaustausch (z. B. Wasserdampfdiffusionoder -Verdunstung/Austauen). In diesem Rahmen wird das Grundprinzip des rekuperativen Austausches behandelt.Ansonsten wird auf die Spezialliteratur verwiesen, z. B. VDI-WA.

16.4 Wärmeübertrager

g

107107

P11 e

R1 1−( ) NTU1⋅−

1 R1 eR1 1−( ) NTU1⋅ ⋅−

= NTU11

1 R1−ln

1 R1 P1⋅−

1 P1−

⋅= Θ

P1 P2−

ln1 P2−

1 P1−

=

0 R≤ ∞≤ 0 P≤ 1≤ 0 NTU≤ ∞≤ 0 Θ≤ 1≤

für R1 1= PNTU

1 NTU+= NTU

P1 P−

= Θ 1 P−=

die Indizes 1 und 2 lassen sich vertauschen

für Gleichstrom gilt:

P11 e

NTU1− 1 R1+( )⋅−

1 R1+= NTU1

ln 1 P1 1 R1+( )⋅− −

1 R1+= Θ

P1 P2+( )−

ln 1 P1 P2+( )− =

0 P≤ 1≤ 0 NTU≤ ∞≤ 0 Θ≤ 1≤

die Indizes 1 und 2 lassen sich vertauschen

Für Kreuzstromapparate gibt es die unterschiedlichsten Stromführungen in Mischformen als Kreuzgegenstrom mitunterschiedlicher Quervermischung und unterschiedlichen geometrischen Verhältnissen. Hier sei auf das Kap. CA 3im VDI-WA verwiesen. Die zahlreichen Bilder und Gleichungen erfordern sorgfältiges Studium vor ihrerAnwendung, da sie nicht sehr übersichtlich sind.

Aufgabe A 16.6 Berechnung des Temperaturverlaufes in einem Wärmeübertrager mitvorgegebenem k-Wert für Gegenstrom und Gleichstrom

Für einen Wärmeübertrager zwischen einem Abwasserstrom (1) und einem Frischwasserstrom (2) in einem kleinenIndustriebetrieb können folgende Daten angenommen werden:

a) Dimensionslose mittlereTemperaturdifferenz zwischenbeiden Stoffströmen:

Θ∆tm∆tzu

= mit ∆tzu tzu1 tzu2−= 0 Θ≤ 1≤

b) DimensionsloseTemperaturänderungen derStoffströme 1 und 2:

P1tzu1 tab1−

∆tzu= P2

tab2 tzu2−

∆tzu=

c) Anzahl der Übertragungseinheiten(Number of Transfer Units) derStoffströme 1 und 2:

NTU1k A⋅W1

= NTU2k A⋅W2

= 0 NTU≤ ∞≤

k = mittlerer Wärmedurchgangskoeff. A = WÜ-Fläche

d) Wärmekapazitätsstromverhältnisse: R1W1W2

= R2W2W1

= 1R1

= 0 R≤ ∞≤

damit ist:P1

P2

NTU1

NTU2= 1

R1= R2= Θ

P1

NTU1=

P2

NTU2=

Berechnung:

Die mittlere "treibende" Temperaturdifferenz des WÜ ist ∆tm. Es lässt sichzeigen, dass unabhängig von der Stromführung geschrieben werden kann:

Hierbei sind ∆tmax und ∆tmin immer die Differenzen zwischen denTemperaturen auf jeweils einer Seite des WÜ

∆tm∆tmax ∆tmin−

ln∆tmax

∆tmin

=

Für Gegenstrom gilt nun mit den dimensionslosen Differenzen:

für R1 1≠

108108

tab2 90°C:=

16.5 Wärmestrahlung

16.5.1 Emission

Abhängig von seiner Temperatur und von seiner mikroskopischen und makroskopischen Material- undOberflächenstruktur sendet jeder Körper eine Strahlung aus, die man einerseits als Emission korpuskularerEnergie-Quanten andererseits auch als elektromagnetische Welle deuten kann. Der wesentliche Anteil der Energie wirdim Bereich einer Wellenlänge zwischen 0,5 * 10-6 m und 10-5 m ausgesendet. Im dem engen Bereich zwischen 0,38* 10-6 m und 0,78 * 10-6 m ist die Strahlung für den Menschen sichtbar (Licht). Die maximale Strahlung sendet derim physikalischen Sinne schwarze Körper aus. Die Energieverteilung seiner Strahlung über der Wellenlänge wird mitdem Planck'schen Gesetz beschrieben:

Schwarze Strahler:

iS λ T,( ) a1

λ5

e

a2

λ T⋅ 1−

⋅

= mit a1 0.3741775 10 15−⋅ W⋅ m2

⋅:= a2 0.0143877 m⋅ K⋅:=

iS ist dabei die auf die differenzielle Wellenlänge bezogeneEnergiedichte (Intensität, Strahldichte) und hat die Einheit:

EiW

m3:=

Damit können abhängig von der absoluten Temperatur die Verläufe der spektralen Ausstrahlung dargestellt werden:

T1 600K:= T2 800K:= T3 1000K:=iS λ T,( ) a1

λ5

e

a2

λ T⋅ 1−

⋅

:= mit T4 1200K:= T5 1400K:= T6 1600K:=

T7 1800K:=

V1 5m3

h:= V2 3

m3

h:= tzu1 90°C:= tzu2 12°C:= cpW 4.2

kJkg K⋅

:= ρW 1000kg

m3:=

mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient km 600W

m2 K⋅:=

Zeigen Sie die Abhängigkeit der Größe des Wärmeübertragers (Fläche A) von der Austrittstemperatur desFrischwassers a) bei einem Gegenströmer!b) bei einem Gleichströmer! c) Tragen Sie den Temperaturverlauf für beide Seiten in beiden Fällen über dem Weg durch den WÜ auf! Lösung S. a199

Aufgabe A 16.7 Einfluss des durch Verschmutzung verminderten k-Wertes in einemGegenstromapparat Gegeben ist ein Gegenstromapparat für einen Abgasstrom als Heizmedium und flüssiges Wasser alsKühlmedium. Für den Auslegungszustand sind alle Zustandsgrößen bekannt. Berechnen Sie:a) die Wärmekapazitätsströme, b) die Austrittstemperaturen für den Fall der Verschmutzung (z. B. Ölfilm auf der Abgasseite undKalkablagerung auf der Wasserseite), indem Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten bis auf 50 % seinesAusgangswertes verringern!

gegeben: Fläche des Wärmeübertragers: AWÜ 15m2:= k-Wert: kWÜ 110

W

m2 K⋅:=

Temperaturen im Auslegungszustand:

Lösung S. a203 Stoffstrom 1: tzu1 200°C:= tab1 50°C:= Stoffstrom 2: tzu2 15°C:=

109109

Maximalwert der Energiedichte, vergl.Aufgabe A 16.7: λmax Te( )

2.896 10 3−⋅ m K⋅Te

:= Te 500K 6000K..:=

0 2 .10 6 4 .10 6 6 .10 6 8 .10 6 1 .10 50

5 .1010

1 .1011

1.5 .1011

Wellenlänge in m

Stra

hlun

gsin

tens

ität i

n W

/ m

² *m

iS λmax Te( ) Te,( )

iS λ T1,( )

iS λ T2,( )

iS λ T3,( )

iS λ T4,( )

iS λ T5,( )

iS λ T6,( )

iS λ T7,( )

λmax Te( ) λ,

1 .10 7 1 .10 6 1 .10 51 .10 41 .10 3

0.01

0.11

10100

1 .1031 .1041 .1051 .1061 .1071 .1081 .109

1 .10101 .10111 .1012

Wellenlänge in m

Stra

hlun

g de

s sch

w. K

örpe

rs in

W /

m²*

m

Bild 16.6 Spektrale spezifische Strahlung des schwarzen Körpers in einfach logarithmischer und doppelt logarithmischer Darstellung

Aufgabe A 16.8 Berechnung der maximalen Strahlungsintensität (Wien´schesVerschiebungsgesetz)Bei welcher Wellenlänge ist die Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers am größten? a) mit einer Temperatur von t1 = 1000 K

110110

a) Welche Energie wird von der Sonne pro m2 Oberfläche ausgesendet, wenn man die Sonne alsschwarzen Körper betrachtet, dessen Oberfläche eine Temperatur von 5762 K hat?b) Welcher Anteil davon wird im Bereich des sichtbaren Lichtes 0,38 µm < λ <0,78 µm ausgesendet?vergleichen Sie diesen Anteil mit dem einer Glühlampe mit 2000 K!

Aufgabe A 16.10 Berechnung der Solarkonstanten (Sonneneinstrahlung auf die Erde)

Lösung S. a208 Zeigen Sie, dass die gesamte Strahlung in den Raum (Halbkugel) das π-fache der Strahlung inRichtung der Flächennormalen ist!

Aufgabe A 16.9 Zusammenhang zwischen Strahlungsdichte in Richtung derFlächennormalen und diffuser Gesamtstrahlung

Bild 16.7 Lambertsches KosinusgesetzES ∆A π⋅ en⋅=

damit ist die Gesamtstrahlung der Fläche ∆A (vergl.Aufgabe A 16.8):

eβ en cos β( )⋅=

Lambertsches Kosinusgesetz: Ein schwarzer Körper strahltdiffus in alle Richtungen. Die Energiedichte in Richtung desWinkels β zur Flächennormalen einer abstrahlendenOberfläche nimmt mit dem Kosinus des Winkels β ab,(entsprechend der Projektion der Fläche im Winkel β), d. h.:

A

en

cose = en

CS 5.6705W

m2 K4⋅

:=eS T( ) CST

100

4⋅:=CS σ 108

⋅:=mit

Für ein handlicheres Zahlenformat - auch beim Rechnen mit Mathcad - ist folgende Definition zu empfehlen:

σ ist die nach Stefan und Boltzmann benannte Strahlungskonstante des schwarzen Körpers.

σ 5.6705 10 8−×

W

m2 K4⋅

=σeS 500K( )

500K( )4:=σ 5.6705 10 8−

×W

m2 K4⋅

=

σ 5.6705 10 8−×

W

m2 K4⋅

=σeS 1000K( )

1000K( )4:= ergibt sicheS T( ) σ T4

⋅=Mit dem GesetzvonStefan-Boltzmann

eS 500K( ) 3.544 103×

W

m2=

eS 1000K( ) 5.6705 104×

W

m2=z. B.eS T( )

10 7− m⋅

10 3− mλiS λ T,( )⌠

⌡d:=

Die insgesamt auf 1 m2 ausgesendete Energie (Emission) des schwarzen Körpers ist:

Lösung S. a205

b) allgemein, tragen Sie die Wellenlänge für die maximale Intensität über der absoluten Temperaturzwischen 500K und t2 = 6000 K auf!c) Welche Oberflächentemperatur hat die Sonne, wenn die maximale Strahlungsintensität bei einerWellenlänge von λmax = 0,485 mm gemessen wird?

111111

Q1_2 A CS⋅ ε1_2⋅T1

100

4 T2

100

4

−

⋅=allgemein lässt sich definieren:

Beteiligt seien zwei Körper. Beide Körper emittieren gemäß ihrer Struktur und Temperatur, wie in Abschnitt 16.5.1beschrieben. Da sie auch absorbieren und reflektieren, entsteht ein Austausch von Energieanteilen, der mit bekanntenEmissions- und Absorptionsgraden und bekannten geometrischen Verhältnissen über Reihenentwicklung beschriebenwerden kann. Es werden einige einfache Fälle mit grauer Strahlung behandelt:

16.5.3 Wärmeübertragung durch Strahlung

Die auf die Oberfläche eines anderen Körpers auftreffende Strahlung wird zum Teil absorbiert (Anteil a) zum Teilreflektiert (Anteil r) und zum Teil durchgelassen (Anteil d). Es ist also a + r + d = 1. Je nach Struktur des Stoffes,dessen Oberflächenbeschaffenheit, Wellenlänge, Temperatur und Strahlungsrichtung liegen die einzelnen Anteilezwischen 0 und 1. Für den schwarzen Körper ist aS = εS = 1 mit rS = dS = 0 (Kirchhoff´sches Gesetz). Für den(physikalisch) grauen Körper gilt rGr + aGr = 1 (dGr = 0 ). Weiter ergibt sich aus dem 2. Hauptsatz aGr = εGr

(richtungsunabhängig). Reale Körper können in den technisch wichtigen Bereichen oft angenähert als graue Strahlerund Absorber behandelt werden. Insbesondere bei kleinen Wellenlängen, entsprechend also hohen Temperaturen desEmitters ( z. B. Sonne), sind Absorptionsgrad und Emissionsgrad aber unterschiedlich. Auf die Richtungsabhängigkeitbei kleinen Wellenlängen sei ebenfalls hingewiesen. Gase können nicht als graue Strahler behandelt werden. Sie lassendie Strahlung durch (d = 1) oder strahlen und absorbieren selektiv (farbige Strahler).Näheres finden Sie im VDI-WA oder in: Baehr/Stephan: "Wärme- und Stoffübertragung".

16.5.2 Auftreffende Strahlung

Bild 16.8 Strahldichte (Intensität)eines grauen Strahlers

0 2 .10 6 4 .10 6 6 .10 6 8 .10 6 1 .10 50

5 .109

1 .1010

1.5 .1010

Wellenlänge in

Stra

hlun

gsin

tens

ität i

n W

/ m

²*m

iGr λ T,( ) ε T3( ) iS λ T,( )⋅:=ε T3( ) 0.75:=

Emission eines grauen Strahlers im Vergleich zum schwarzen Strahler mit ε = 0,75

eGr T( ) ε T( ) CS⋅T

100

4⋅= bzw.eGr T( ) ε T( ) σ⋅ T4

⋅= und:

iGr λ T,( ) ε T( ) iS λ T,( )⋅=somit gilt für den idealen grauen Strahler,der meist für Näherungsrechnungenzugrundegelegt wird:

Der im physikalischen Sinne graue Strahler emittiert in jedem Wellenlängenbereich und in jede Richtung einenkonstanten Anteil ε der vom schwarzen Strahler emittierten Energie. Der Faktor ε heißt Emissionsgrad. Er ist sowohlabhängig vom Stoff und der Struktur der Oberfläche als auch von ihrer Temperatur.

Graue Strahler

Lösung S. a209

g pc) Wie hoch ist die Energiedichte der Sonnenstrahlung auf der Erde (außerhalb der Atmosphäre),wenn die Sonne einen Durchmesser von 13,92 *105 km und eine Entfernung von der Erde von1,496 * 108 km aufweist?

112112

EA2 1.571 W=EA2 2 π⋅ A1⋅ en⋅0

αβcos β( ) sin β( )⋅

⌠⌡

d⋅:=α atanRd

:=

Bild 16.9 Strahlung auf eine begrenzte Flächevergl. Aufgabe A 16.8 dEA2 β( ) eβ β( ) 2⋅ π⋅ dβ⋅ sin⋅ β( )=

auf die Ringfläche dA2 trifft die Strahlung

A1 1m2:=

eβ β( ) en cos β( )⋅:=eges π en⋅:=en 1W

m2:=

ε1 1:=R 5m:=d 5m:=

A1

d

dA2 Rr

A2

Strahlungsaustausch zwischen einer kleinen Fläche A1 und einer kreisförmigen Scheibe A2 mit dem Durchmesser R imAbstand d. Die Fläche A2 sei ein schwarzer Strahler (Absorber) mit ε2 1:=

Beispiel:

Beim Strahlungsaustausch zwischen begrenzten Flächen geht ein Teil der jeweils von einer Fläche emittierten undreflektierten Strahlung an der anderen vorbei. Die Anteile sind bedingt durch die geometrischen Verhältnisse.

Strahlungsaustausch zwischen begrenzten Flächen:

S. a210

Ein durchschnittlich gebauter Mensch mit einer Körperoberfläche von 1,8 m 2

geht morgens direkt nach dem Aufstehen aus dem warmen Bett mit einerKörperoberflächentemperatur von tMa = 35 °C unter die Dusche. Im Bad wardas Fenster geöffnet und die Wände und Luft haben eine Temperatur von tW1

= 15 °C und tL1 = 15 °C angenommen. Der Mensch fühlt sich unbekleidetnicht wohl, bevor er das warme Wasser aufdreht. a) Stellen Sie annähernd in diesem Zustand Wärmebilanz über die Haut desMenschen auf, wenn angenommen werden kann, dass die innereWärmeproduktion des Menschen im Stehen ohne weitere körperlicheTätigkeit etwa 125W beträgt! b) Auf welche Temperatur muss er die Wände der Duschkabine mit warmemWasser erwärmen, um nicht zu frieren?Der Wärmeübergangskoeffizient (Konvektion) kann mit αK = 6 W/m2*K ,der Emissionsgrad der menschlichen Haut mit εM = 0,92 und der dergekachelten Duschkabine εW = 0,9. Die Duschkabine sei als geschlossener

Raum mit einer Oberfläche von AW = 10 m2 angenommen.

Q

Aufgabe A 16.11 Wärmestrahlung zwischen Mensch und Umgebung (Bad)

ε1_2 ε1=

A A1=ε1_21

1ε1

A1

A2

1ε2

1−

⋅+

=2. Wärmefluss zwischen zweiFlächen, bei denen die erste (A1) vonder zweiten (A2) völlig umschlossenwird.

Für A2 >>A1 wird daraus:

ε1_21

1ε1

1ε2

+ 1−

=1. Wärmefluss zwischen zweiebenen parallelen Wänden großer(unendlicher) Ausdehnung.

dabei ist ε1_2 die zwischen beiden Körpern wirksame Strahlungsaustauschzahl. Sie kann für einfache Fälle ü bergeometrische Reihen hergeleitet werden:

113113

a 0.5 m⋅:=Abstand: Lösung S. a211

tR 20°C:=Raumtemperatur:

r2 0.5m:=Schirmradius:

t1 950°C:=Ofentemperatur:

r1 0.1 m⋅:=Ofenradius:gegeben:

Ein zylindrischer Muffelofen gemäß nebenstehender Skizze ist ineinem großen Raum mit 20 °C Wandtemperatur aufgestellt.Berechnen Siea) die abgestrahlte Wärme ohne Abschirmung der Öffnung,b) die auf die kreisförmige Abschirmung durch Strahlungübertragene Wärme (keine Temperaturdifferenzen am Schirm), c) Die mit Abschirmung insgesamt abgestrahlte Wärme. Die Innenwandung des Ofens hat einen Emissionskoeffizientenvon 0,1 und der Schirm 0,8 mit diffuser Strahlung bzw.Reflexion!

0,5 m

0,2 m

1 m

950°C

R =

L =

0,5 m

Aufgabe A 16.12 Wärmestrahlung aus einem Muffelofen auf eine Abschirmung

Bild 16.10 zur Berechnung der Einstrahlzahl

Für R>>d , z. B. R 5000m:= erhält man die in den Hohlraum der Halbkugel abgestrahlte Energie:

α atanRd

:= EHaKu 2 π⋅ A1⋅ en⋅0

αβcos β( ) sin β( )⋅

⌠⌡

d⋅:= EHaKu 1 A1 π⋅ en⋅=

Es wird definiert: ϕ1_2EA2

EHaKu:= ϕ1_2 0.5= EA2 ϕ1_2 A1⋅ ε1⋅ eges⋅:= EA2 1.571 W=

ϕ1_2 ist die rein geometrisch bedingte sogenannte Einstrahlzahl für die Strahlung (Emission und Reflexion) derFläche 1 auf die Fläche 2. Sind beide Flächen graue Strahler und endlich, so sind die wechselseitigen Strahlungenmit den Einstrahlzahlen in beiden Richtungen zu berücksichtigen.

8

=rechter Winkel

dA1

dA2

s21

allgemein gilt:

Q1_2σ ε1⋅ ε2⋅ A1⋅ ϕ1_2⋅

1 1 ε1−( ) 1 ε2−( )⋅ ϕ1_2⋅ ϕ2_1⋅−= mit:

ϕ1_21

π A1⋅A2A1

cos β1( ) cos β2( )⋅

s2

⌠⌡

d⌠⌡

d⋅=

ϕ1_2 A1⋅ ϕ21 A2⋅=

Die Berechnung dieses Integrals ist in der Regel sehrschwierig und mühsam. Für eine Reihe von technischwichtigen Anwendungsfällen findet man jedoch im VDI-WAin Kap. Kb Lösungen in Form von Gleichungen undDiagrammen

114114

Seite b54

tU 20°C:=Temperatur in derUmgebung:

cG 1700J

kg K⋅:=Spezif. Wärmekap.

ρ 1110kg

m3:=Dichte:λ 0.3

Wm K⋅

:=Wärmeleitfähigkeit:

lG 1.3m:=Länge DG 210mm:=Durchmesser:Gegeben:

Ein zylindrischer Rohling aus Polyamid, aus dem Zahnräder gefertigt werden sollen, hatnach dem Gießen eine Temperatur von 170°C an der Oberfläche und 240°C im KernZur Vermeidung von Spannungen beim Abkühlen bis auf 70°C darf dieTemperaturtransiente erfahrungsgemäß 10°C/Stunde nicht überschreiten. a) Es ist zu zeigen, dass bei freier Lagerung des Gießlings (Abkühlung an derAußenluft) mit den unten angegebenen Daten diese Bedingung nicht erfüllt ist.. b) Um die Abkühlung zu verzögern, sollen mehrere Gießlinge in einen mit 10 cmSteinwolle abisolierten würfelförmigen Behälter mit einem Volumen von 1,5 m3

eingelagert werden. Wieviele Gießlinge muss man gleichzeitig in diesen Schrankeinlagern, damit die maximale Abkühlgeschwindigkeit nicht überschritten wird?

DG

lG

Beispiel B 16.4 Abkühlung eines Gießlings

16.6 Weitere Aufgaben und Beispiele

115115

Literaturverzeichnis Baehr, Hans D., Kabelac, S:

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Technische Thermodynamik Ein beispielorientiertes, praxisbezogenes Lehrbuch 2., vollst. neu bearb. Aufl., Springer, 2008, ISBN: 978-3-540-34096-6

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Langeheinecke, Klaus; Jany, Peter; Sapper, Eugen: Thermodynamik für Ingenieure 3. Auflage Vieweg 2003 ISBN 3-528-34785-6

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Bücher mit Mathcad

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Benker, Hans: Statistik mit MATHCAD und MATLAB. Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer Berlin, Heidelberg (2001), ISBN: 3540422773

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Böckh, Peter von: Fluidmechanik, Einführendes Lehrbuch, ,ursprünglich erschienen bei Verlag Bildung Sauerländer, Aarau, 2., neu bearb. Aufl., Springer 2004, ISBN: 978-3-540-22076-3

Böckh, Peter von: WärmeübertragungGrundlagen und Praxis 2., bearb. Aufl., Springer 2006, ISBN: 978-3-540-31432-5

Böckh, Peter von, Kretzschmar, Hans-Joachim: Technische Thermodynamik, ein beispielorientiertes, praxisbezogenes Lehrbuch. Erste Auflage erschienen bei Sauerländer unter v. Böckh; Cizmar; Schlachter: Grundlagen der technischen Thermodynamik 2., vollst. neu bearb. Aufl., 2007, ISBN: 978-3-540-34096-6

Benker, Hans: Statistik mit MATHCAD und MATLAB, Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler , Springer 2001, ISBN: 978-3-540-42277-8, Practical Use of Mathcad · Solving Mathematical Problems with a Computer AlgebraSystem, (1999), ISBN 1-85233-166-6

Benker, Hans: Mathematik mit MATLAB, Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler 2000.ISBN: 978-3-540-67372-9

Benker, Hans: Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB, Springer 2005, ISBN: 978-3-540-23440-1

Buchmayr, Bruno: Werkstoff- und Produktionstechnik mit Mathcad, in. CD-ROM

Davis, Artice M:. Analyse linearer Schaltungen, in. CD-ROM. Mitp-Verlag (2003)

Georg, Otfried: Elektromagnetische Felder und Netzwerke. Anwendungen in Mathcad und PSpice Springer (1999) ISBN 3-540-65587-5

Henning, Gerhard: Technische Mechanik mit Mathcad, Matlab und Maple, Vieweg (2004), ISBN: 3528039663

Pflaumer, Peter; Kohler, Hans-Peter: Investitionsrechnung, Oldenbourg (2004), ISBN: 3486254472

Stephan, Wolfgang : Leistungselektronik interaktiv, in. CD-ROM Fachbuchverlag Leipzig (2000), ISBN: 3446193987

Schlüter, Gerd: Regelung technischer Systeme interaktiv Fachbuchverlag Leipzig (2001), ISBN: 3-446-21781-9

Schlüter, Gerd: Digitale Regelungstechnik interaktiv“, Fachbuchverlag Leipzig (2000) ISBN: 3-446-21477-1

Seidel, Heinz-Ulrich; Wagner, Edwin: Allgemeine Elektrotechnik, Gleichstrom - Felder - Wechselstrom Fachbuchverlag Leipzig (2003) ISBN 3-446-22090-9

Sperlich, Volker: Übungsaufgaben zur Thermodynamik mit Mathcad, Fachbuchverlag Leipzig (2002), ISBN 3-446-21603-0

Trölß, Josef: Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch Band 1: Einführung in Mathcad 2. Aufl, 2007, XIV, 474 S. Mit zahlreichen Abbildungen., Softcover ISBN: 978-3-211-71178-1 Band 2: Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und Analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis 2. Aufl., 2007, X, 545 S. Mit zahlr. Abb., Softcover ISBN: 978-3-211-71176-7 Band 3: Differential- und Integralrechnung 2. Aufl., 2007, IX, 486 S. Mit zahlreichen Abbildungen., Softcover ISBN: 978-3-211-71180-4 Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen 2. Aufl., 2007, IX, 481 S. Mit zahlreichen Abbildungen., Softcover ISBN: 978-3-211-71182-8

Trölss, Josef: Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicberung mit Hilfe von Mathcad Trauner Verlag (2000) ISBN 3-85487-123-6

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Wagner, Andreas; Wambach, Thomas: Elektrische Netzwerkanalyse. Anwendungen in Mathcad. BoD GmbH, Norderstedt (2001), ISBN: 3831127166

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Werkle, Horst; Avak, Ralf: Mathcad in der Tragwerksplanung, Vieweg (2002) ISBN: 3-528-01746-5

Mathcad 2000 Benutzerhandbuch Mathsoft (1999) Mathcad 2001, Benutzerhandbuch Mathsoft (2001) Mathcad 8, Benutzerhandbuch Mathsoft (1998) Mathcad 11, Benutzerhandbuch Mathsoft (2003)

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118118

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Institut für Energie- und Umweltverfahrenstechnik · Die Thermodynamik benutzt also zusätztlich zu den 3 Grundgrößen der Mechanik die Temperatur als 4. Grundgröße und die Stoffmenge