Institut de Mathématique · 2012. 3. 26. · l’open-bar. Il y a du champagne, du whisky et du jus de fruit. On sait que le bar fonctionne non-stop, que 38 personnes boivent du

Quiz logique !

Dufrasne Ludovic, Duhaut Benjamin, Dutillieux Kevin

Hauweele Pierre, Heughebaert Sylvain, Kislali Elif, Nihoul Céline

Scolas Préscillia, Tourneur Bérengère, Vande Kerckhove Laurent

Institut de Mathématique

1 Mini

2 Chenille

3 Les poules

4 Le père Noël

5 Course cycliste

6 César

7 Midi

8 Lanceur dedisques

9 Nouvel an

10 Bonbons

11 Vin

12 Voiture

13 Maxi

14 Le facteur

15 Jus de fruit

16 Polynôme

17 File indienne

18 Tremblement deterre

19 Glaçons

20 SMSQuiz

Mini Chenille Les poules Le père Noël Course cycliste César

Chenille

Une chenille veut monter le longd’un mur de 10 m de haut. Commeelle est malade, elle monte de 3 mle jour et descend de 2 m la nuit.Combien de jours lui faudra-t-il pourmonter le mur ?

Quiz!

Master Math (UMONS) Quiz logique ! 3 / 56

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Chenille — réponse

4 La bonne réponse est 8 jours.

Si la chenille monte de 3m le jour et descend de 2m la nuit, elleparcourt 1m en 24h. Au bout de 7 jours, elle aura parcouru 7met au 8ème jour elle monte 3m de plus. Elle aura donc parcourules 10m du mur.



Les poules

Un fermier possède huit cents poules. Son poulailler étant trop petit, ildoit se débarrasser de la moitié de ses poules. Il fait un bénéfice grâceaux œufs qu’il vend et se demande combien d’œufs il pourra vendreavec 400 poules. Sachant que huit cents poules pondent en moyennehuit cents œufs en huit jours, combien d’œufs pondent quatre centspoules en quatre jours ?

A) 100 œufsB) 200 œufsC) 400 œufs

Quiz!


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Les poules — réponse

4 La bonne réponse est B, 200 œufs.

On sait que 800 poules donnent 800 œufs en 8 jours et donc 400 poulespondent 800 œufs en 16 jours. Ainsi en 4 jours, les 400 poules pondent200 œufs.



Le père Noël

Le soir de Noël, le père Noël doit faire sa tournée de cadeaux. À quellevitesse moyenne en km/h doit-il effectuer son parcours pour faire letour de la terre en 24h ? Après sa tournée, le père Noël aura parcouruune distance de 40 054 km.

A) 669B) 1669C) 2669

Quiz!


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Le père Noël — réponse

4 La bonne réponse est la B, 1669 km/h.

Le père Noël doit parcourir une distance de 40 054 km en 24h.Utilisons une règle de trois pour trouver sa vitesse en km/h.

÷24÷2424h −→ 40 054 km

1h −→ 4005424 = 1669 km

Ainsi, le père Noël a effectué son parcours avec une vitesse moyennede 1669 km/h.



Course cycliste

Vous êtes très sportif et vous déci-dez de participer à une course cy-cliste. Après une montée très dif-ficile, vous essayez de rattraper lepeloton de tête. Si vous doublez ledeuxième, à quelle position êtes-vous ?

Quiz!


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Course cycliste — réponse

4 Vous êtes deuxième.

En effet, si vous êtes troisième et que vous doublez le deuxième, alorsle deuxième devient troisième et vous devenez le deuxième.

c b aessai

b c a



César

Nous sommes en 50 avant Jésus-Christ. Toute la Gaule est occupéepar les Romains... Toute ? Non ! Unpetit village en Armorique peupléd’irréductibles Gaulois résiste en-core et toujours à l’envahisseur.



César

Le meilleur ennemi d’Astérix est le légendaireJules César. Astérix et Obélix ont interceptéun message codé envoyé par Jules César aucamp de Babaorum. Ils voudraient pouvoir lelire mais ne connaissent pas la clé de décryp-tage.



César

Voici le message codé :

Ohv ehojhv qh vrqw sdv ghvedueduhv ! Gh wrxv ohv shxsohv

gh od Jdxoh, fh vrqw ohv soxveudyhv.

Obélix a réussi à apprendre la cléde décryptage grâce à une mé-thode qui lui est très particulière.



César

Voici la technique qui a été utiliséepour crypter le message : n 7→ n+3



César

Selon vous, quelle est la phrase décryptée ?

Ohv ehojhv qh vrqw sdv ghv edueduhv ! Gh wrxv ohv shxsohv gh odJdxoh, fh vrqw ohv soxv eudyhv.

A) Les belges sont un peuple très barbare ! De tous lespetits villages d’Armorique, ce sont les plus bêtes.

B) Les belges ne sont pas des barbares ! De tous lespeuples de la Gaule, ce sont les plus braves.

C) Les belges ne sont pas des fous ! De tous les petitspeuples de la Gaule, ce sont les plus barbares.

Quiz!


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César — réponse

4 La bonne réponse est la B.

En effet, la clé de cryptage utilisée par Cé-sar est : n 7→ n+ 3. Donc, pour décrypter

le message on utilise la clé suivante : n 7→n−3. Ainsi, Ohv ehojhv qh vrqw sdv edue-

duhv devient "Les belges ne sont pas desbarbares !". En conclusion, la seule possi-bilité est la réponse B.


Quiz logique !





1 Mini

2 Chenille

3 Les poules

4 Le père Noël

5 Course cycliste

6 César

7 Midi

8 Lanceur dedisques

9 Nouvel an

10 Bonbons

11 Vin

12 Voiture

13 Maxi

14 Le facteur

15 Jus de fruit

16 Polynôme

17 File indienne


19 Glaçons

20 SMSQuiz

Midi Lanceur de disques Nouvel an Bonbons Vin Voiture

Lanceur de disques

Lors des JO, un athlète s’apprête à lancer son disque. La mine est uneunité de mesure grecque équivalente à environ 436 grammes. Sondisque a pour masse deux mines, plus la masse d’un demi-disque.Quelle est la masse de ce disque ?

A) 1600 grammesB) 1744 grammesC) 1976 grammes

Quiz!


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Lanceur de disques — réponse

4 La bonne réponse est la B, 1744 grammes.

Soit x la masse du disque

2+x2= x ⇔ 2 =

x2⇔ x = 4

Donc la masse est de 4 ·436 = 1744 grammes.



Nouvel an

Lors du nouvel an, 43 personnes se retrouvent pour profiter del’open-bar. Il y a du champagne, du whisky et du jus de fruit. On saitque le bar fonctionne non-stop, que 38 personnes boivent duchampagne, 29 personnes du whisky et parmi toutes celles-ci 25boivent un peu des deux. Combien de personnes ne boivent que dujus de fruit, en supposant que tout le monde boit ?

A) 1B) 2C) 3

Quiz!


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Nouvel an — réponse

4 La bonne solution est la réponse A.

En effet, 43−38− (29−25) = 1. En clair, les personnes qui ontbu à la fois du champagne et du whisky ne sont pas comptéesdeux fois. Donc, des 29 personnes qui ont bu du whisky, on retirecelles qui ont bu les deux.On aurait pu aussi faire 43−29− (38−25) = 1.



Bonbons

Un sachet contient huit bonbons à la menthe, quatre au citron et deuxà la fraise. Ces bonbons ne diffèrent que par le goût et la couleur.Dans l’obscurité, combien faut-il au minimum en prendre pour êtrecertain d’en avoir au moins trois ayant le même goût ?

A) 5B) 7C) 9

Quiz!


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Bonbons — réponse

4 La bonne réponse est la B, 7 bonbons.

On remarque qu’on ne peut avoir que trois bonbons à la menthe ou aucitron puisqu’il n’y en a que deux à la fraise. On prend deux bonbonsde chaque sorte et ainsi au prochain tirage, il suffit d’en prendre un deplus pour avoir soit trois bonbons au citron soit trois bonbons à lamenthe. Donc au total, il faut prendre 7 bonbons minimum pour avoirtrois bonbons de même goût.



Prix du vin

Un viticulteur veut vendre sa récolte. Pour cela, il doit notammentconnaître le prix de la vidange d’une bouteille de vin. Il sait qu’unebouteille de vin en commerce coûte 20 e et que son vin lui coûte 19 ede plus que la vidange. Quel est le prix de la vidange ?

A) 0.5B) 1C) 1.5

Quiz!


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Prix du vin — réponse

4 La bonne réponse est la A, 0.5 e

Soit x le prix de la vidange. On a que le prix du vin est de 19ede plus que le prix de la vidange et donc le prix du vin est 19+x e.

20 = (19+x)+x ⇔ 20 = 19+2x ⇔ 2x = 1⇔ x =12

En conclusion, le prix de la vidange est de 0,5 e.



Voiture

Cinq voitures disputent une course.On dispose des renseignements suivantsconcernant le déroulement de la course :

1 La voiture verte, qui n’a pas gagné,est arrivée avant la voiture bleue, quine figure pas sur le podium.

2 Deux voitures séparent la voiturejaune de la voiture bleue.

3 La voiture rouge a terminé avant lavoiture violette, séparées par unevoiture.

4 La voiture jaune et la voiture rouge nese suivent pas.



Voiture

Voici les numéros de chaque voi-ture : Rouge = 1 ; Bleu = 2 ; Violette= 3 ; Verte = 4 ; Jaune = 5. Recons-tituez le classement final des voi-tures.Par exemple : 2 5 1 3 4

Quiz!


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Voiture — réponse (1/2)

4 La bonne réponse est C, 5-4-1-2-3

Le premier indice nous dit que la voiture verte n’a pas gagné mais finitavant la voiture bleue. Donc la voiture verte peut être 2e, 3e ou 4e et lavoiture bleue 4e ou 5e.

Le deuxième indice dit que la voiture jaune et la voiture bleue sontséparées par deux voitures. La voiture jaune peut être 1re ou 2e selonque la voiture bleue est 4e ou 5e.



Voiture — réponse (2/2)

Le troisième indice nous dit que la voiture rouge a terminé avant lavoiture violette et qu’elles sont séparées par une voiture. Donc, lavoiture rouge peut être 1re, 2e ou 3e et la voiture violette peut être 3e, 4e

ou 5e.

Le quatrième indice dit que la voiture jaune et la voiture rouge ne sesuivent pas. On en déduit des indices 1, 2 et 3 que la voiture jaune est1re et que la voiture rouge est 3e puisque c’est la seule possibilité pourqu’elles ne se suivent pas. La voiture violette est 5e et la voiture bleue,qui ne figure pas sur le podium d’après l’indice 1, est donc 4e. Il nereste plus que la 2e place pour la voiture verte.

On a bien le classement suivant : Jaune - Verte - Rouge - Bleue -Violette ou encore 5 - 4 - 1 - 2 - 3.


Quiz logique !





1 Mini

2 Chenille

3 Les poules

4 Le père Noël

5 Course cycliste

6 César

7 Midi

8 Lanceur dedisques

9 Nouvel an

10 Bonbons

11 Vin

12 Voiture

13 Maxi

14 Le facteur

15 Jus de fruit

16 Polynôme

17 File indienne


19 Glaçons

20 SMSQuiz

Maxi Le facteur Jus de fruit Polynôme File indienne Tremblement de terre Glaçons SMSQuiz

Le facteur

Luc reçoit la visite de son facteur qui lui apporte son courrier. Il lancela conversation :

"Comment vas-tu ?""Très bien" répond le facteur"Et tes 3 filles, ça va ?""Oui très bien."



Le facteur

"Elles ont quel âge maintenant ?"Le facteur lui dit : "Le produit de leur âge a pour résultat 36. Lasomme de leur âge est égale au numéro de la maison de tonvoisin d’en face."Luc dit alors : "Je n’ai pas assez d’informations pour répondre."Le facteur lui répond : "L’aînée est blonde."

Quel est l’âge des trois filles du facteur ?

Quiz!


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Le facteur — réponse (1/2)4 Il a des jumelles de 2 ans et une de 9 ans.

On sait que le produit des âges des trois filles est égal à 36, ondécompose alors 36 et on obtient 8 âges possibles :

1 ·1 ·36 = 36⇒ 1+1+36 = 381 ·2 ·18 = 36⇒ 1+2+18 = 211 ·3 ·12 = 36⇒ 1+3+12 = 161 ·4 ·9 = 36⇒ 1+4+9 = 141 ·6 ·6 = 36⇒ 1+6+6 = 132 ·2 ·9 = 36⇒ 2+2+9 = 132 ·3 ·6 = 36⇒ 2+3+6 = 113 ·3 ·4 = 36⇒ 3+3+4 = 10



Le facteur — réponse (2/2)

Vu que Luc connait le numéro de la maison d’en face, et qu’il hésitequand même, on peut en déduire que le numéro de la maison d’enface est 13 car il revient deux fois dans la décomposition. Du coup,quand le père précise que son aînée est blonde, on déduit qu’il a uneaînée de 9 ans et des jumelles de 2 ans.



Jus de fruit

Vous disposez de deux verres de volumes identiques qui sont remplisrespectivement de jus d’orange et de jus de pomme. Vous prenez unecuillère de jus d’orange dans le premier verre que vous versez dans ledeuxième verre. Après avoir mélangé, vous versez dans le premierverre une cuillère issue du mélange du deuxième verre.Laquelle de ces affirmations est correcte ?A) Il y a plus de jus d’orange dans le 2e verre

que de jus de pomme dans le 1er verre ;B) Il y a plus de jus de pomme dans le 1er verre

que de jus d’orange dans le 2e ;C) Il y a autant de jus de pomme dans le 1er

verre que de jus d’orange dans le 2e verre.

Quiz!


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Jus de fruit — réponse (1/2)

4 La bonne réponse est C.

Au départ, les volumes de jus de pomme et de jus d’orange sont lesmêmes.Appelons z la capacité de jus d’orange dans le verre 1 et de jus depomme dans le verre 2.Lorsqu’on prend une cuillère dans le verre 1 de jus d’orange, lacapacité du verre 1 est de z−x . Ensuite, on verse le liquide dans leverre 2, qui a désormais une capacité de z jus de pomme et de x jusd’orange.



Jus de fruit — réponse (2/2)

Lorsqu’on prend la cuillère de jus dans le verre 2, fixons la capacité dejus de pomme à y . Ainsi celle de jus d’orange est de x−y . Dans leverre 2, la capacité est donc maintenant de z−y jus de pomme etx − (x−y) = y jus d’orange.Enfin, on verse la cuillère dans le verre 1 et sacapacité est de z−x +x −y = z−y jus d’orangeet y pomme.

En conclusion, le verre 1 contient autant de jus depomme que le verre 2 a de jus d’orange.



Polynôme

Un polynôme P à coefficients entiers vérifie les conditions suivantes :P(4) = 3, P(5) = 14 et P(6) = 13. On sait que P possède au moinsune racine entière. Que vaut P(7)?

A) -4B) 0C) 3

Quiz!


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Polynôme — réponse

4 La bonne réponse est B, 0.

Soit n une racine entière de P.

On a P(x) = (x−n)Q(x) où Q est un polynôme à coefficients entiers.

On sait que P(4) = (4−n)Q(4) = 3. Ce qui montre que 4−n estdiviseur de 3⇒ 4−n ∈ {−3,−1,1,3} et donc que n ∈ {1,3,5,7}.

De même, P(5) = (5−n)Q(5) = 14 montre que5−n ∈ {−14,−7,−2,−1,1,2,7,14} ⇒ n ∈ {−9,−2,3,4,6,7,12,19}.

Enfin, P(6) = (6−n)Q(6) = 13 entraîne que n ∈ {−7,5,7,19}.

La seule possibilité est n = 7 puisque c’est le seul élément commun autrois ensembles précédents. D’où P(7) = (7−n)Q(7) = 0.



File indienne

Trois personnes sont en file indienne de telle sorte que le troisième voittout le monde, le deuxième ne voit que la première personne et lepremier ne voit personne.Quelqu’un a cinq chapeaux : deux noirs et trois blancs. Il met unchapeau sur la tête de chacune des personnes sans que celles-ci n’envoient la couleur. Il leur demande à tour de rôle quelle est la couleur deleur chapeau. Le dernier répond qu’il n’en sait rien. Le deuxièmerépond la même chose. Par contre, le premier qui ne voit rien du tout,dit "Moi, je connais la couleur de mon chapeau". Quelle est donc lacouleur de son chapeau ?

A) blancB) noir

Quiz!


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File indienne — réponse

4 La bonne réponse est A, blanc.

La couleur de son chapeau est blanche. Il y a trois chapeaux blancs etdeux noirs. Pour que le dernier sache la couleur de son chapeau, ilfaut qu’il voit devant lui les deux chapeaux noirs. Puisqu’il ne sait pasla couleur de son chapeau, cela veut dire qu’au moins un des deuxchapeaux devant lui est blanc.

Admettons que le deuxième homme voit devant lui un chapeau noir.Sachant qu’il y a au moins un chapeau blanc sur les deux premiers, ilsaurait que son chapeau est blanc. Puisqu’il ne sait pas la couleur deson chapeau, il ne voit pas devant lui un chapeau noir. Donc, lacouleur du chapeau du premier homme est blanche.



Tremblement de terre

Chaque jour des tremblements de terre plus ou moins importantssecouent notre planète. À l’annonce d’un séisme, on parle toujours desa magnitude sur l’échelle de Richter. Cette échelle, créée par Richteren 1935, permet de calculer la magnitude d’un séisme à partir del’énergie émise au foyer. L’énergie E dégagée par un séisme est liée àla magnitude M de ce séisme par la relation :

logE = 4,8+1,5M



Tremblement de terre

On admet généralement qu’un séisme de magnitude 5 dégage uneénergie équivalente à celle de la bombe atomique lancée surHiroshima en 1945. Le 11 mars 2011, Fukushima a été touchée par unséisme de magnitude 9. Au cours de recherches sur Internet, on a pulire l’information suivante : "Une différence de deux degrés demagnitude correspond à une énergie sismique mille fois plusimportante."

Cette information est-elle correcte ?(Rappel : logE = 4,8+1,5M)A) OuiB) Non

Quiz!


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Tremblement de terre — réponse

4 La bonne réponse est A, oui.

Il faut comparer l’énergie dégagée par un séisme de magnitude M etun séisme de magnitude M +2. On désigne par EM et EM+2 lesquantités d’énergie dégagées par chacun de ces séismes et puis oncalcule leur rapport. On a :

EM+2

EM=

104,8+1,5(M+2)

104,8+1,5M = 104,8+1,5M+3−4,8−1,5M = 103

Une différence de deux degrés de magnitude correspond bien à uneénergie sismique mille fois plus importante.



Glaçons

On considère un verre de hauteur 10 cm et de rayon 2 cm, rempli àmoitié de Martini. Si on ajoute trois glaçons cubiques de 2 cm de côtédans ce même verre, quelle hauteur en cm le liquide atteindra-t-il ?

A) 7B) 8C) 9

Quiz!


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Glaçons — réponse (1/3)

4 La bonne réponse est A, 7cm.

Nous pouvons modéliser le verre de la manièresuivante :Soit h1 la hauteur du liquide dans le verre rempliuniquement de Martini et soit h2 la hauteur du li-quide dans le verre dont on a ajouté les glaçons.

Rappelons que la formule du volume d’un cylindreest V = πr2h où r est le rayon de la base et h lahauteur.



Glaçons – réponse (2/3)

On ajoute trois glaçons de forme cubique de côté 2cm dans le verrerempli de Martini. Donc le volume d’un glaçon est côté x côté x côté= 8 cm3.

Le volume du verre où on a mis les glaçons est égal à celui du verrerempli de Martini auquel on a ajouté le volume des glaçons. Le verreétant rempli à moitié de Martini, la hauteur du liquide est de 5 cm.



Glaçons – réponse (3/3)

On a alors :V2 = V1 +3 ·8⇔ V2 = V1 +24

πr2h2 = πr2h1+24⇔ h2 = h1+24πr2 ⇔ h2 = 5+

244π⇔ h2 = 5+

6π

Or π ≈ 3, on obtient alors :

h2 ≈ 5+2 = 7

Donc la hauteur du verre après avoir ajouté les glaçons est de7cm.



SMSQuiz — introduction

Les professeurs posent souvent des questions lors des cours, afind’évaluer la compréhension des étudiants et ainsi leur permettre derecentrer leurs explications.

Mais bien souvent, très peu d’élèves participent, par timidité face augroupe.



SMSQuiz — projet

4 Système d’accumulation de réponses anonymes.

SMSQuiz : Quiz anonyme via SMS.

Faible coût de mise en place / exploitation.Polyvalence / extensibilité.

Projet réalisé dans le cadre d’un job d’été à l’UMONS par deuxétudiants de Bac 3 Math.

Langage OCaml (+ C pour les « bindings »).



SMSQuiz — gestion des SMS

Les SMS sont réceptionnés par SMSQuiz via un GSMconnecté à l’ordinateur ou via un modem SIM.

Interfaçage du GSM grâce à une librairie C sous licencelibre GPL : libGammu.

Nécessite le développement de « bindings » pour « tra-duire » la librairie du langage C au langage OCaml.−→ développement de la librairie ml-gammu disponiblepubliquement sous licence GPL.



SMSQuiz — analyse des SMS

Différents types de questions/réponses :

réponses textuelles arbitraires,choix multiples,réponses à valeurs numériques.

Les réponses peuvent être données sous plusieurs formes ’A’, ’A)’, . . .

Pour chaque SMS reçu, il faut :

extraire la/les réponse(s) (possibilité de réponses multiples à unchoix multiple ou réponse à plusieurs questions dans un seulSMS),décider de leur validité et justesse (une réponse peut être vraie,fausse ou invalide).



SMSQuiz — définition des questions / réponses

4 Création d’un langage pour la définition des questions et réponses.

<type de question> {[name : <nom>;][options spécifiques; ...]true: <expression de réponses>;[<false: <expression de réponses>;>]}<type de question> peut être :

Multiple_choice : expression booléenne textuelle,Int_question : union d’intervalles d’entiers,Float_question : union d’intervalles de flottants.



SMSQuiz — exemples de définitions dequestions / réponses

multiple_choice {name: "Question 1";true: B;false: A or C or D;}

float_question {name: "Question numerique";true: ]0, 2.1] U [4.2, 42[;}
