INSTITUCION EDUCATIVA LA DESPENSA MARCO …galeon.com/informaciomarcofidel/Documentos_2016/DECIMO/Trigo_1.pdf · Trigonometría I - Ing. Luis Ernesto Gómez Vargas Lic. en Matemáticas

INSTITUCION EDUCATIVA LA DESPENSA

MARCO FIDEL SUÁREZ CIUDAD VERDE

Área de Matemáticas

TRIGONOMETRÍA

Elaboró: Ing. Luis Ernesto Gómez Vargas

Lic. en Matemáticas y Computación

2.016

Nombre: _______________________________________________

Trigonometría I -

Ing. Luis Ernesto Gómez Vargas


1

UNIDAD I. ANGULOS

¿QUÉ QUEREMOS?

Desarrollar habilidades para el manejo de ángulos.

BIENVENIDO

1. ¿QUÉ TAL ESTAMOS PARA SUMAR?

VEAMOS:

Ubicar los números impares de 1 a 31, los números 20, 32,

34, 38 y 40 en los vértices de los pentágonos (están

marcados con círculos), de manera que la suma de los

números en los vértices de cualquier pentágono sea 100.

¿Y PARA OTRAS OPERACIONES SENCILLAS...?

INTENTEMOS CON ESTE

La figura de la derecha se obtiene a partir de la figura de la

izquierda. La figura de la izquierda es un TANGRAM de 10

cm de lado y la medida de cada una de las siete fichas que lo

conforman se puede deducir a partir de las indicadas en el

dibujo. ¿Cuánto vale el área de cada una de las fichas del

Tangram?. ¿Cuál es el área de la figura de la derecha?. ¿Qué

se puede concluir?

¿Cuántas figuras geométricas se encuentran en la figura izquierda?. ¿Cómo se llaman?

Identifique sobre la figura de la izquierda los diferentes ángulos que hay y diga como se llaman.

¿Cuánto suman los ángulos internos de cada una de las fichas del Tangram?

2. ¿LAS MATEMÁTICAS SIRVEN EN LA VIDA DIARIA?

Muchos de los problemas que a diario se presentan pueden ser resueltos de manera rápida y fácil aplicando

conceptos elementales de geometría o de trigonometría y, ¿por qué no?, una calculadora de funciones.

Algunos problemas son tan frecuentes que en ocasiones pasamos por alto el conocimiento teórico y

procedemos a realizar prácticas dispendiosas y hasta complejas.

De ahí la importancia de adquirir un bagaje teórico suficiente para podernos desempeñar de manera

adecuada ante alguna situación de la vida real.

Trigonometría I -



2

ANGULOS

3. UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO

Para contestar el siguiente taller tenga en cuenta los conocimientos que ha adquirido hasta el momento.

Dibuje un ángulo de 45º e indique en él su lado inicial, su lado final y su vértice.

Dibuje un ángulo de 60º y su bisectriz.

ACTUALICÉMONOS

LO QUE SE ENCUENTRA EN LOS LIBROS

ANGULOS

Ángulo, porción de plano determinada por dos semirrectas con origen común.

Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un punto común.

Las semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice. Lo que caracteriza a

un ángulo es la abertura de sus lados. Si los lados de un ángulo α están más abiertos que los de otro β se

dice que α es mayor que β.

Cuando en un ángulo el lado final gira en sentido de las manecillas del reloj el ángulo es negativo. Si el

lado final del ángulo gira en sentido contrario, el ángulo es positivo.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos de igual medida.

Trigonometría I -



3

DESEMPEÑO No. 1.: Identifica diferentes clases de ángulos y los clasifica según su medida y posición

relativa

Si los dos lados del ángulo son semirrectas de la

misma recta, el ángulo que forman se llama ángulo

llano:

Un ángulo recto es el ángulo convexo que tiene

sus lados perpendiculares. Los ángulos

convexos mayores que uno recto se llaman

obtusos y los menores, agudos.

Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un

lado y el vértice común y están en distintos

semiplanos. En la figura, los ángulos aVb y bVc

son consecutivos:

Dos ángulos convexos se llaman opuestos por

el vértice si sus lados son semirrectas opuestas:

Dos ángulos consecutivos cuyos lados exteriores

son semirrectas opuestas se llaman adyacentes:

Se llama ángulo completo a aquel cuyos dos

lados coinciden, y que está formado por todo el

plano.

Trigonometría I -



4

Como se puede ver, en el párrafo anterior y en el dibujo de los ángulos aparecen los símbolos y , que

seguramente son nuevos para nosotros. Pues sí. Son las letras del alfabetro griego, conocidas como alfa

() y beta (), que se utilizarán junto con otras durante el sesarrollo del curso. Por eso es muy importante

tener la lista de las letras griegas para hablar todos el “mismo idioma”.

Ejercicio: Buscar el alfabetro griego y copiarlo en el cuaderno

Se acostumbra asignar una letra griega como nombre de un ángulo, una letra mayúscula del alfabeto

castellano para un vértice y una letra minúscula del mismo para un segmento de recta; sin embargo, es

común encontrar en libros que los ángulos son llamados con letras mayúsculas y en ocasiones con números

a los que se les distingue con un acento circunflejo (^). No obstante, esto no debe ser motivo de confusión

porque en cada ejercicio se le ha de llamar a un ángulo de la misma manera desde el comienzo hasta el

final.

Al cortar dos rectas paralelas, p y q, por otra recta l se

forman ocho ángulos entre los cuales se dan las

siguientes relaciones de igualdad:

• Opuestos por el vértice:

ángulo 1 = ángulo 3




• Correspondientes:





• Alternos internos:



• Alternos externos:



¿¿¿CÓMO

DIJO???

Trigonometría I -



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ALGO PARA HACER

1. Dados los ángulos de la figura, encontrar cuanto miden los demás ángulos. Justificar la respuesta. (I,A)

2. Utilizando el transportador, establecer la medida de cada uno de los siguientes ángulos. A

_______________

a

_______________

b

_______________

c.

_______________

d.

3. Dibujar las figuras que se indican si es posible. Si no lo es, explicar por qué. I,A,P

Triángulo con dos ángulos de 45º




Triángulo con un ángulo de 180º

Trigonometría I -



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CLASIFICACIÓN DE LOS ANGULOS

UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO

Si se observa la figura, ¿qué

tipo de ángulos se reconocen?

ACTUALICÉMONOS

Los ángulos se clasifican de acuerdo con su medida (amplitud) o su posición

ALGO PARA HACER

1. En las siguientes figuras identificar los tipos de ángulos internos I

RectoSu amplitud es de 90º

LLanoSu amplitud es de dos

ángulos rectos

(180º)

AgudoSu amplitud es menor de 90º

ConvexoSu amplitud es menor que

la de un ángulo llano

ObtusoSu amplitud es mayor de 90º

CóncavoSu amplitud es mayor que

la de un ángulo llano

Según su medida

AdyacentesSi su amplitud es de dos

ángulos rectos

ColateralesSi tienen un lado en común

Opuestos por el vérticeSi tienen el mismo vértice y

los lados de uno son la

prolongación de los lados del otro

Según su posición

dos ángulos pueden ser

ANGULO

Trigonometría I -



7

2. En los siguientes ejercicios dibuje la figura que se indica. P

Un triángulo con un ángulo obtuso

Una figura de cuatro lados con un ángulo obtuso

Una figura pentagonal con un ángulo agudo y uno obtuso

3. Responda las siguientes preguntas y explique sus respuestas I, A

¿Se puede dibujar un triángulo con dos ángulos obtusos?

¿Todo ángulo obtuso es convexo?

¿Todo ángulo convexo es obtuso?

¿Se puede decir que el ángulo recto es convexo?

¿Todo ángulo cóncavo es obtuso?

Trigonometría I -



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MEDIDA DE ÁNGULOS


Enumere varios sistemas de numeración. (por ejemplo decimal, binario, octal, etc.)

Si existe alguna relación entre los sistemas mencionados, exprésela.

ACTUALICÉMONOS

La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en 1/360 del ángulo

completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo º. Por ejemplo,

un ángulo de 56º.

El grado sexagesimal tiene submúltiplos:

El minuto, 1/60 de grado, que se designa ’ y

El segundo, 1/60 de minuto, que se designa“”. Es decir, 1/3600 de grado.

Hay otras unidades de medida de ángulo, como el radián.

El radián (rad) es un ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio con el que ha sido trazado.

Su relación con el grado sexagesimal es la siguiente: 180º = rad. Es decir, 1 rad equivale

aproximadamente a 57º 17′ 45′′.

¿Cómo se pasa de un sistema

al otro?

¿Se puede regresar al sistema

original?

Angulo en sexagesimal = Ángulo en radianes * 180º /

Angulo en radianes = Ángulo en sexagesimal * / 180º

Trigonometría I -



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Angulo decimal = Grados + Minutos / 60’ + Segundos / 3600”

ALGO PARA HACER

1. Copiar la siguiente tabla en el cuaderno y resolver ahí los ejercicios I

Convertir del sistema al sistema Resultado

64º Sexagesimal Radian

2/3 Radian Sexagesimal

2/3 Radian Decimal

77.0609 Decimal Sexagesimal


5/8 Radian Decimal

311º59 '19" Sexagesimal Decimal

141º48 '24" Sexagesimal Decimal


/12 Radian Decimal



78º31'17" Sexagesimal Decimal

2. Averiguar cómo se pasa un ángulo desde sistema decimal hasta sistema sexagesimal. (por ejemplo, como

se llega desde 12.26 en sistema decimal, hasta 12º15’36” en sistema sexagesimal) I

3. ¿Qué diferencia hay entre un número exacto y un número aproximado?. (Por ejemplo entre

1/3 y 0,3333) P

4. ¿Todos los ángulos expresados en un sistema de medidas (cualquiera que sea este), se pueden expresar

en todos los demás sistemas?. Justifique su respuesta. A

Trigonometría I -



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OPERACIONES CON ÁNGULOS


Sin utilizar transportador dibuje un ángulo de 75º y uno de 115º

¿Cuantas veces es mayor la abertura de un ángulo de 135º que la de uno de 45º?

ACTUALICÉMONOS

Si los ángulos están en sistema decimal o radián, sus operaciones de suma y resta se hacen como sumando

los conocidos números reales; sin embargo, cuando se trata de operar con ángulos que se encuentran en

sistema sexagesimal, la situación cambia un poco sin apartarse de los conceptos báscos que funcionan en

los sistemas mencionados.

SUMA DE ÁNGULOS EN SISTEMA SEXAGESIMAL

20º18’11”

16º21’15”

36º39’26”

35º12’51”

11º21’15”

46º34’06”

20º48’11”

16º31’15”

37º19’26”

32º16’45”

73º21’15”

105º48’00”

Caso 1.Es la suma más fácil Caso 2. Resultan mas de 60

segundos

Caso 3.Resultan mas de 60

minutos

Caso 4.Resultan exactos 60

segundos

20º20’11”

16º40’15”

37º00’26”

20º28’45”

16º31’15”

37º00’00”

Caso 5.Resultan exactos 60

minutos Caso 6. Resultan exactos 60

minutos y 60 segundos

Trigonometría I -



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RESTA DE ÁNGULOS EN SISTEMA SEXAGESIMAL

20º21’15”

-16º10’11”

4º11’04”

35º21’21”

-11º12’50”

24º08’31”

20º31’15”

-16º48’11”

3º43’04”

Caso 1.Es la resta más fácil Caso 2. Hay que “pedir

segundos prestados”

Caso 3.Hay que “pedir minutos

prestados”

73º16’45”

-32º10’45”

41º06’00”

50º20’11”

-16º19’15”

34º00’56”

Caso 4.Resultan minutos exactos Caso 5.Resultan grados exactos

ESCALA DE ÁNGULOS EN SISTEMA SEXAGESIMAL

20º21’15”

x 3

64º03’45”

20º21’15”

x 0.5

10º10’37.5”

Caso 1.Ampliación (se multiplica

el ángulo por un factor mayor

que la unidad)

Caso 2. Reducción (se multiplica

el ángulo por un factor menor

que la unidad)

ALGO PARA HACER

Efectuar la suma

I, A

Efectuar la resta

I, A

Efectuar el producto

I, A

1) 246 º 48 ' 31 " ; 39 º 16 ' 41 " 1) 355 º 39 ' 58 " ; 297 º 52 ' 46 " 1) 100 º 59 ' 56 " ; 2

2) 237 º 43 ' 17 " ; 285 º 26 ' 59 " 2) 350 º 23 ' 33 " ; 196 º 07 ' 20 " 2) 167 º 55 ' 36 " ; 5

3) 335 º 18 ' 08 " ; 333 º 06 ' 11 " 3) 139 º 23 ' 22 " ; 78 º 48 ' 12 " 3) 154 º 45 ' 57 " ; 10

4) 4 º 05 ' 39 " ; 26 º 47 ' 26 " 4) 249 º 34 ' 45 " ; 97 º 33 ' 54 " 4) 177 º 23 ' 26 " ; 0.6

5) 92 º 02 ' 29 " ; 203 º 26 ' 57 " 5) 215 º 46 ' 43 " ; 136 º 07 ' 08 " 5) 345 º 03 ' 04 " ; 0.2

¿CUÁNTO APRENDÍ?

1. ¿Cuántos segundos tiene un grado?

3. ¿Qué diferencia hay entre 2 y 1.4142135623730950488...?

4. Si en el cruce de dos líneas se forman 4 ángulos, ¿cuál es la suma de las medidas de todos ellos?

5. Si se tienen dos líneas rectas no paralelas entre sí, pero las dos son cortadas por una tercera línea diagonal

a las dos, ¿Cuantos ángulos se deben conocer para poder determinar el valor de los demás que se forman

en los dos cruces?

6. ¿Cómo se pasa un ángulo del sistema radian al sistema decimal?

Trigonometría I -



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UNIDAD II. TRIÁNGULOS

EL TRIANGULO


Para contestar el siguiente taller tenga en cuenta los conocimientos que ha adquirido hasta el momento.

Escriba debajo de cada triángulo, el nombre con el que se le conoce:

______________________

______________________

______________________

Complete las expresiones:

Un triángulo tiene ______ alturas, ______ medianas y ______ bisectrices.

El punto donde se cortan las alturas se llama _____________________________________

El punto donde se cortan las medianas se llama __________________________________

El punto donde se cortan las bisectrices se llama __________________________________

ACTUALICÉMONOS

LO QUE SE ENCUENTRA EN LOS LIBROS

Trigonometría I -



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TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

En un triángulo rectángulo, los lados que forman el

ángulo recto se llaman CATETOS y el tercer lado

(opuesto al ángulo recto) recibe el nombre de

HIPOTENUSA.

TEOREMA DE PITÁGORAS

“En todo triángulo rectángulo se comprueba que la

suma de los cuadrados de los catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa”.

TRIÁNGULO DEL INGENIERO

Se denomina así al triángulo cuyos catetos miden 3

y 4 unidades y su hipotenusa mide 5 unidades. Se le

conoce también como el triángulo 3-4-5.

Se comprueba la misma relación para triángulos

cuyos lados sean múltiplos (en la misma cantidad al

tiempo) de los lados del triángulo 3-4-5.

ALGO PARA HACER

En cada uno de los siguientes ejercicios dibuje el triángulo rectángulo y encuentre el valor del lado que

falta. I , A

1) C1 = 16 ; C2 = 13 6) Hi = 14 ; C2 = 12 11) C2 = 19 ; C1 = 19 16) C1 = 12 ; Hi = 18

2) Hi = 18 ; C1 = 15 7) C2 = 3 ; C1 = 6 12) C1 = 1 ; Hi = 10 17) C1 = 19 ; Hi = 25

3) Hi = 20 ; C2 = 3 8) C2 = 4 ; C1 = 5 13) C1 = 9 ; Hi = 30 18) Hi = 20 ; C2 = 14

4) C2 = 7 ; C1 = 4 9) C1 = 3 ; Hi = 12 14) C2 = 9 ; C1 = 1 19) C1 = 11 ; Hi = 25

5) Hi = 21 ; C1 = 18 10) C2 = 1 ; C1 = 13 15) Hi = 42 ; C1 = 19 20) C1 = 5 ; C2 = 8

C1: CATETO UNO C2: CATETO DOS Hi: HIPOTENUSA

¿Cómo haría usted para formar un triángulo rectángulo con una cuerda que mide 12 metros? A, P

¿Por qué la hipotenusa debe ser siempre mayor que los catetos en un triángulo rectángulo? I, A

Aparte de la familia de triángulos múltiplos del triángulo 3-4-5 existen otros triángulos que tienen

números enteros en la medida de sus lados. ¿Cuáles son esos triángulos? A, P

Trigonometría I -



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RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO


Dibuje un triángulo con dos de sus lados congruentes.

¿Se puede dibujar un triángulo cuyos lados midan respectivamente 5, 8 y 13 unidades?. Si su

respuesta es afirmativa entonces dibújelo. Si su respuesta es negativa explique por qué.

ACTUALICÉMONOS

Dado un ángulo , se define:

Seno de : h

c.o.Sen Cotangente de :

c.o.

c.a.Ctg

Coseno de : h

c.a.Cos Secante de :

c.a.

hSec

Tangente de : c.a.

c.o.Tg Cosecante de :

c.o.

hCsc

Si se establece la relación entre el seno y el coseno del mismo ángulo se tiene que hac

hoc

Cos

Sen

/..

/..

, de

donde resulta ..

..

ac

oc

Cos

Sen

después de simplificar; pero esta expresión es justamente la definición de la

tangente del ángulo . Por lo tanto se puede afirmar que

Cos

SenTg .

De la misma manera se puede llegar a:

Sen

CosCtg ,

CosSec

1 y

SenCsc

1

ALGO PARA HACER

Encontrar el valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo en un triángulo si: I, P, A

1) Hi = 19 ; CO = 10 6) Hi = 28 ; CO = 19 11) CA = 9 ; CO = 3 16) CO = 15 ; Hi = 20

2) CO = 6 ; CA = 13 7) Hi = 15 ; CA = 10 12) Hi = 35 ; CA = 8 17) CA = 1 ; CO = 14

3) Hi = 18 ; CO = 10 8) CA = 6 ; CO = 19 13) CA = 11 ; CO = 12 18) CO = 20 ; Hi = 29

4) CA = 5 ; CO = 3 9) CA = 20 ; CO = 15 14) CO = 15 ; CA = 4 19) Hi = 35 ; CO = 11

5) CA = 5 ; CO = 12 10) CA = 4 ; CO = 16 15) CO = 18 ; Hi = 19 20) CA = 4 ; CO = 18

Encontrar el valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo en un triángulo si: I, P, A

1) COT = 253 / 84 6) SEN = 1 / 11 11) SEC = 107 / 99 16) SEC = 457 / 95 21) TAN = 817 / 45

2) COS = 11 / 13 7) TAN = 1124 / 59 12) TAN = 1 / 20 17) COT = 151 / 30 22) TAN = 46 / 9

3) COT = 4 8) COS = 5 / 29 13) COT = 5 18) COS = 13 / 36 23) COS = 19 / 53

4) SEC = 931 / 86 9) TAN = 931 / 51 14) SEC = 37 / 6 19) SEC = 19 / 16 24) COS = 21 / 41

5) TAN = 112 / 77 10) SEN = 23 / 87 15) COS = 21 / 44 20) SEN = 1 / 15 25) SEN = 18 / 19

Trigonometría I -



15

EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO


Dibuje un círculo de 3 cm de radio, con centro en el origen de coordenadas e identifique sobre él las

coordenadas de dos puntos cualesquiera.

Sobre el mismo círculo anterior ubique un punto que tenga sus dos coordenadas positivas (+ , +) y

otro que tenga la primera coordenada positiva y la segunda coordenada negativa (+ , -).

ACTUALICÉMONOS

El Círculo Trigonométrico

Tiene su centro en el origen de coordenadas (0,0)

y la medida de su radio es la unidad

(R = 1).

El círculo trigonométrico corta al eje x en los

puntos (1 , 0) y (-1 , 0) y al eje y en los puntos (0

, 1) y (0 , -1).

La ecuación del círculo trigonométrico es

x2 + y2 = 1

Cualquier punto P sobre la circunferencia trigonométrica

(borde del círculo trigonométrico), tendrá un par de

coordenadas cartesianas (x,y) que dependen de su

posición.

En la figura se observa que para el ángulo en posición

normal del triángulo rectángulo POA, el valor del cateto

opuesto coincide con la coordenada y del punto P y lo

mismo sucede con el cateto adyacente y la coordenada x

del mismo punto. Además el valor de la hipotenusa en el

mismo triángulo es la unidad.

De acuerdo con las definiciones de seno y coseno se tiene

entonces que para el ángulo el seno vale y/1 = y, y el

coseno de vale x/1 = x.

Según lo anterior se puede afirmar entonces que para un punto P sobre la circunferencia trigonométrica, sus

coordenadas (x,y) se pueden expresar de la forma (cos, sen), donde es el ángulo formado por los el eje

de coordenadas x y el segmento que une al punto P con el origen coordenado.

Trigonometría I -



16

SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Los números en romano muestran los

cuatro cuadrantes en que está dividido el

círculo trigonométrico.

Dependiendo de la posición de un punto sobre el círculo

trigonométrico, se formará un ángulo central en posición

normal y el valor de las funciones trigonométricas coseno y

seno del ángulo corresponderán a las coordenadas (x, y) del

punto P.

Por lo anterior se establece que el signo de las funciones

trigonométricas para un ángulo en posición normal depende

de su lado final y el seno será positivo si el punto se encuentra

por encima del eje x, y será negativo mientras en caso

contrario.

Por su parte, el coseno de un ángulo será positivo si el punto

P se encuentra a la derecha del eje y y será negativo en caso

contrario.

ANGULOS CUADRANTALES

Los ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º, que

corresponden a 0 radianes, /2, , 3/2 y 2

respectivamente, lo mismo que todos sus

múltiplos, son conocidos como ángulos

cuadrantales y el valor de las funciones seno y

coseno para ellos es fácilmente observable en el

dibujo.

Signo de las funciones seno y coseno para los ángulos cuadrantales

0º

90º

/2)

180º

270º

(3/2)

360º

(2

Seno 0 1 0 -1 0

coseno 1 0 -1 0 1

ALGO PARA HACER

Encontrar el valor del seno y el coseno para los ángulos 0º, 90º, 180º, 270º y 360º. I, A

Utilizando las definiciones de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo ,

demostrar: I, A

a.

cos

sentg b.

senctg

cos

Trigonometría I -



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c.

cos

sec1

d.

sen

1csc

Deducir la IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA FUNDAMENTAL sen2a + cos2a = 1 I, A

Determinar el signo de las funciones trigonométricas para los ángulos dados I, A

Ángulo Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

30º

2/3

310º

245º

8/5

125º

2/3

Complete el cuadro con el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales I, A

0º

90º

/2)

180º

270º

(3/2)

360º

(2

Seno 0 1 0 -1 0

Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

¿CUÁNTO APRENDÍ?

1. Un avión sale del aeropuerto El Dorado y se eleva menteniendo un ángulo constante de 8º hasta que

adquiere una altura de 6 kiloómetros. Determinar a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra

en ese momento. I, A, P

2. Un rio de 1 Km de ancho fluye a razón de 1.5 Km/h. Si un hombre rema a través del río, siempre en

dirección hacia la orilla opuesta, ¿qué tan lejos llegará a tierra, rio abajo, si su velocidad al remar en

aguas tranquilas es de 3 Km/h? I, A

¿DONDE PUEDO PROFUNDIZAR?

· URIBE CÁLAD, Julio A. MATEMÁTICA. Una propuesta curricular 10. Bedout Editores S.A. · LONDOÑO, Nelson y BEDOYA, Hernando. MATEMÁTICA PROGRESIVA. Ed. Norma

· SWOKOWSKY, Earl. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ALGEBRA LINEAL.

· BARNETT, Raymond a. Precálculo. Algegra, geometría analítica y trigonometría. Ed. Limusa.

· WILLS, Darío y otros. Matemática Moderna Estructurada 6. Ed Norma.

· ENCARTA 2004. Enciclopedia multimedial.

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