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INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA SAGRADO CORAZÓN Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490
SOLEDAD – ATLÁNTICO.
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GUÍA N°1
ÁREA: Matemáticas ASIGNATURA:
Geometría
GRADO: 8
Docente: Nina Gutierrez Cabrera PERIODO: I IH (en horas):
20
EJE TEMÁTICO FIGURAS PLANAS(Ángulos y Triángulos )
DESEMPEÑO
Usa representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las
matemáticas y en otras disciplinas
NÚCLEOS TEMÁTICO:
Conceptos y definiciones básicos
Ángulos (clasificación )
Ángulos determinados por dos rectas paraleles y una transversal
Triángulos (clasificación, características y propiedades)
Teorema de Pitágoras
Líneas y puntos notables de un triángulo
Métodos de demostración
Congruencias de triángulos
COMPETENCIAS CIUDADANAS PARA EVALUAR EN EL AULA
Se comunica a través del diálogo constructivo con los otros
Considera las consecuencias de sus propios actos
Cuidar de sí mismo y de los demás respetando las diferencias en sus compañeros
INDICADOR(ES) DE DESEMPEÑO(S)
Reconoce las diferentes clasificaciones de ángulos y triángulos
Identifica los ángulos entre paralelas
Establece criterios de congruencia de triángulos
Construye correctamente las líneas notables de un triángulo
Aplica correctamente las normas para trabajar razonamiento deductivo
SITUACIÓN(ES) PROBLEMA(S):
Lee el teorema y observa la figura, luego
establece cuál de los criterios de
congruencia permiten demostrar el
teorema. Justifica tu respuesta
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FASE AFECTIVA O MOTIVACIONAL
“ LA RIQUEZA DE LOS SABIOS”
Aquella fue la gota que colmó el vaso: su propia madre le reprochaba que siendo tan
sabio no fuera igualmente tan rico. La chaza no era nueva pero a Tales de Mileto le
dolió como nunca. Se encerró en casa a fraguar su plan.
Sus estudios de los astros les permitieron predecir un perfecto año para el cultivo; así
que reuniendo todo el dinero del que disponía y aun el que, en secreto, pudo pedir
prestado, se hizo con el control de todas las prensas de aceite de Mileto y su vecina
Quíos.
Su predicción sobre el clima fue acertada, y sus vecinos se frotaban las manos
pensando en los beneficios de la cosecha de la aceituna. Pero cuando fueron a moler la
aceituna sus sonrisas se tornaron en mueca, pues hubo que pagar lo estipulado por
Tales. Cumplida su pequeña venganza, y además convertido en rico, vendió las presas y las
tierras y se dedicó a sus estudios de filosofía y matemáticas, no sin antes decirle a sus
vecinos: “tomad para vosotros los consejos que dais a otros”.
Consulta:
Quién fue Tales de Mileto
Que aportes dio a las matemáticas (geometría)
Que enseñanza o reflexión te deja la lectura
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICO
Sigue las siguientes indicaciones y resuelve, no olvides que debes realizar la actividad
sin consultar:
a) Dibuja una línea recta b) Dibuja un punto
c) Dibuja un segmento
d) Dibuja un par de rectas paralelas
e) Dibuja un par de rectas perpendiculares
f) Dibuja un par de rectas secantes
g) Dibuja un ángulo
Glosario
Ángulos: espacio comprendido entre dos semirrectas que coinciden en su vértice de
inicio
Baricentro: punto en que concurren las medianas de un triángulo Bisectriz: recta que divide un ángulo en dos congruentes
Círculo: región delimitada por una circunferencia
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Circunferencia: curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto
fijo llamado centro
Ecuación : igualdad entre expresiones algebraicas que sólo es cierta para algunos valores de la variable
Mediatriz: recta que divide a un segmento en dos congruentes
Radio: segmento que una el centro de un círculo con un punto cualquiera de la
circunferencia que lo contiene
Recta: prolongación de puntos colineales que se extienden infinitamente en ambos
sentidos
Teorema: proposición que puede ser demostrada
FASE DE ELABORACIÓN
Conceptos Y Definiciones Básicos
Geometría: es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos,
rectas, planos, poli topos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies,
polígonos, poliedros...)
Axiomas o postulados: son generalizaciones básicas que asumimos como
verdaderas y no requieren demostración
Teoremas: son proposiciones o generalizaciones que se pueden demostrar
Punto Geométrico: es la figura geométrica más simple. Es algo imaginario por lo
tanto no se puede medir, entenderemos por punto la huella u el hueco que deja un
lápiz de punta fina o un alfiler respectivamente en una hoja de papel (se representan
con letras mayúsculas y (A.)se lee el punto A)
Puntos colineales: tres o más puntos
son colineales si y sólo si, pertenecen a la
misma recta
Segmento: es un trozo de recta acotado
por dos puntos. Para representar un
segmento se utilizan dos puntos el de
inicio y el del final, en la parte superior se
le asigna un sobre rayado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , se lee “el
segmento AB”
Punto medio de un segmento: es el punto que divide a un segmento en dos
segmentos con medidas iguales
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Semirrecta: es un trozo de recta que se
extiende en uno de sus sentidos
Línea Recta: dados dos puntos distintos
existe sólo una recta que pasa por ellos.
Es la prolongación de punto colineales que se extienden en ambos sentidos.
Podemos nombrar las rectas de dos
maneras:
Por medio de letras minúsculas con una
doble flecha encima, así: r, /, m. o
1.Marcando dos puntos, nombrándolos y
colocando la doble flecha encima; así:𝑃𝑄 ⃡
Rectas paralelas Rectas secantes Rectas perpendiculares
Dos rectas son
paralelas en el mismo
plano cuando no tienen
puntos en común
Dos rectas son secantes
cuando se cruzan en un
punto
Dos rectas son perpendiculares
cuando son secantes y forman
ángulos rectos
Plano: tres puntos distintos no colineales
determinan un plano; La vida ordinaria
nos presenta numerosos ejemplos de
superficies planas: el tablero de una
mesa, el suelo de una habitación, una
hoja de papel, etc.
Puntos y rectas coplanarios:
cuatro o más puntos son coplanarias
cuando tiene un plano que los
contienen
Dos o más rectas son coplanarias si
están contenidos en el mismo plano
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Ángulos
Ángulo: es la porción del plano limitada por
dos semirrectas que parten del mismo
punto.
Un ángulo se puede nombrar de las
siguientes formas:
1. Se nombra el vértice con una letra mayúscula luego se escribe dicha letra
precedida por el símbolo ∡ que se lee
“ángulo” ejemplo: ∡𝑂 “se lee el ángulo o”
2. Se nombra tres puntos uno de cada
semirrecta y el del vértice en el medio ∡𝐴𝑂𝐵
3. se escribe una letra griega 𝛼, 𝛽, 𝜃 o un
número: 1, 2, 3, 4, en la abertura de ángulo
Medición De Ángulos
La medida de un ángulo está determinada por la mayor o menor abertura existente
entre sus lados. Para medir ángulos empleamos un transportador. Un transportador está dividido en 180 partes iguales. Cada una de ellas se llama
grado.
Esta es la forma como se miden ángulos.
Se coloca el transportador de modo que
coincida el centro con el vértice y el lado
inicial coincida con el 0°, luego se observa
la medida en el queda el lado final
Ejemplo:
Este ángulo tiene una medida de
65°
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Clasificación de ángulos
Los ángulos se pueden clasificar según su medida, según la suma de sus medidas y
de acuerdo con su posición
Según su medida se clasifican en:
Nulo Recto Llano Agudo Obtuso cóncavo completo
∡ = 0 ∡ = 90 ∡ = 180 ∡ < 90 90° < ∡ < 180° 180° < ∡ < 360° ∡ = 360
De acuerdo con su posición los ángulos se clasifican en:
Consecutivos
Son ángulos que
tienen en común el
vértice y un lado
Adyacentes
Son ángulos
consecutivos que están
en una misma recta
Opuestas por el vértice
Dos ángulos son opuestos por el
vértice cuando tienen un vértice
en común y los lados de uno de ellos es la prolongación del otro
opuestas. Los ángulos opuestos
por el vértice tienen igual
medida, ya que tienen igual
amplitud
Según la suma de sus medidas se clasifican en:
Complementario Suplementarios
La suma de sus medidas es de 90º ∡β + ∡α=90
La suma de sus medidas es de 180º ∡β + ∡α=180
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ACTIVIDAD #1
1. observa la figura. Luego, nombra los
ángulos que se te indican
a. Dos ángulos obtusos
b. Dos ángulos rectos
c. Dos ángulos cóncavos
d. Un par de ángulos adyacentes e. Un par de ángulos opuestos por el vértice
f. Un par de ángulos consecutivos y
suplementarios
2. Clasifica los ánulos que se indican
a partir de la figura
3. Mide con un transportador, los siguientes
ángulos. Luego clasifícalos según su
medida
4. Determina el valor de verdad de
los siguientes enunciados
a. Todos los ángulos consecutivos
son adyacentes ____________
b. Dos ángulos agudos pueden ser
suplementarios__________
c. Todos los ángulos adyacentes son
suplementarios____________
d. Todos los ángulos opuestos por el
vértice son complementarios
________________
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5. Construye con el transportador, un ángulo
con cada una de las siguientes medidas
6. Halla la medida de los cuatro
ángulos que se forman en la
siguiente figura. Justifica tu
respuesta.
Ángulos Determinados Por Dos Rectas Paraleles Y Una Transversal
Cuando una transversal interseca a dos rectas paralelas se forman ocho ángulos, cada
uno con una medida menor de 180°. Estos ángulos se clasifican según su posición
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Ejemplo
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ACTIVIDAD #2
Indica en cada figura, una pareja de ángulos para cada condición
Determina las medidas de los ángulos x, y, y z, sabiendo que s y m son paralelas.
Justifica tu respuesta
Encuentra la medida de los ángulos que
se indican, a partir de la figura y de
acuerdo con la información dada m y n
son paralelas
Calcula el complemento del ángulo x que
se indica en la figura, si s y m son
paralelas
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Triángulos (clasificación, características y propiedades)
Un triángulo es la región del plano delimitada por tres rectas
que se cortan dos a dos; en él se identifican los siguientes
elementos:
a. Vértice: son los puntos de intersección de cada par de
rectas que forman el triángulo
b. Lado: son los segmentos determinado por los vértices
c. Ángulos interiores: son los que se forman por dos lados
consecutivos d. Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los
ángulos interiores
Los triángulos se nombran con el símbolo ∆ seguido por las
letras que indican sus vértices. Por ejemplo el triángulo de la
figura sería ∆𝐌𝐍𝐎
Propiedades de los triángulos
Todo triángulo cumple con las siguientes propiedades
1. La suma de los ángulos interiores es 180°
2. Al lado de mayor longitud se opone el ángulo con mayor amplitud, y al lado e
menor longitud se opone el ángulo con menor amplitud
3. La medida de cada uno de los lados es menor que la suma de las medidas de
los otros dos 4. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los
ángulos interiores no adyacentes a él.
Ejemplo 1
Hallar la medida del ángulo interno que
falta en el siguiente triángulo
Aplicando la propiedad 1. Tenemos:
Entonces la medida del ángulo interior
que falta es de 90°
Ejemplo 2:
Hallar la medida de los ángulos
exteriores del siguiente triángulo
Aplicando la propiedad 4. Tenemos:
Así mismo
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Ejemplo 3:
Comprobar que se cumple la propiedad 3
para un triángulo cuyas medidas de los
lados son 5cm; 4,2 cm; y 3 cm.
Se verifica así:
ACTIVIDAD #3
Nombra los triángulos que aparecen en la
figura
ubica las medidas de los lados y de los
ángulos en un triángulo
Determina si los triángulos tienen medidas
correctas. Justifica tu respuesta
Halla la medida de los ángulos 1, 2, y 3
En cada caso
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Una de las propiedades de los triángulos es la desigualdad triangular en la cual se
afirma que: “La medida de cada uno de los lados es menor que la suma de las
medidas de los otros dos”. Teniendo en cuenta dicha propiedad. Cuál de las
siguientes medidas corresponden a las medidas de un triángulo y cuáles no.
Lee y resuelve:
1. En un ∆ 𝑃𝑄𝑅 el ángulo ∡𝑄 mide 15° más que el ángulo ∡𝑅 y el ángulo ∡𝑃 mide
la mitad que el ángulo ∡𝑄. ¿cuál es la medida de los tres ángulos?
2. Determina las medidas en grados de los tres ángulos de un triángulo teniendo
en cuenta que se pueden expresar mediante las expresiones 2x+15, x+20 y 3x+25
3. Calcula la medida de los ángulos interiores de un triángulo conociendo dos de
los ángulos exteriores a dos lados del triángulo: 100° y 135°
4. Calcula la medida de los ángulos exteriores de un triángulo si dos ángulos
interiores de este triángulo miden : 45° y 67°
Clasificación de los triángulos
Según la medida de sus lados se clasifican como:
Equilátero: todos sus
lados tienen la misma
medida
Isósceles: sólo dos de
sus lados tienen la misma
medida
Escaleno: todos sus lados
tienen medidas diferentes
Según la medida de sus ángulos se clasifican como:
Acutángulos: todos sus
ángulos son agudos
Obtusángulos: tienen un
ángulo obtuso
Rectángulo: tienen un
ángulo recto
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Triángulo Rectángulo
Es aquel triángulo que entre sus ángulos interiores tiene uno con medida de 90°, los lados que conforman el ángulo recto se les llama catetos y al lado opuesta al ángulo
recto se le llama hipotenusa. En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de
Pitágoras
Teorema De Pitágoras
Si ay b son los catetos de un triángulo rectángulo y c es su hipotenusa entonces de
cumple que:
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
En la figura a y b son catetos y c es la hipotenusa.
Este teorema se utiliza para dar solución a diversas
situaciones
Ejemplos:
Encontrar el valor de cateto b en el siguiente triángulo rectángulo; luego
determine las medidas ∡𝑪 𝒚 ∡𝑩
Se aplica el teorema de Pitágoras de la
siguiente manera:
Para determinar la medida ∡𝑪 𝒚 ∡𝑩, se
realiza el siguiente procedimiento
Una escalera de 3m de longitud se coloca contra la pared para alcanzar una ventana.
Si el pie de la escalera está a 1m de la base
de la pared ¿a qué altura aproximadamente
se encuentra la ventana?
Aplicando el teorema
de Pitágoras tenemos
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ACTIVIDAD #4
Determina la medida del lado indicado en
cada uno de los siguientes triángulos
Establece cuáles de las siguientes ternas
de números representan medidas de los
lados de un triángulo rectángulo
Determina la medida de la diagonal en
cada una de las figuras
Determina la altura (h) de cada una de
las siguientes figuras
Lee cada enunciado. Y luego, responde.
Si en un triángulo rectángulo la
medida de la hipotenusa es de 34cm,
y la medida de uno de sus catetos es
el doble de la medida del otro
aumentado en 2, ¿cuál es la medida de cada cateto?
Si en un triángulo rectángulo la
diferencia entre las medidas de sus
catetos es de 4cm y la medida de la
hipotenusa es 20cm, ¿cuál es la
medida de cada cateto?
Si en un triángulo rectángulo la
medida de uno de sus catetos es
menor 0,2 cm que la medida de la
hipotenusa, y el otro cateto mide 1,4
cm, ¿cuál es la medida de la
hipotenusa y cuál es la medida del cateto que falta?
Soluciona:
Determina la medida de la diagonal de
la pantalla de un televisor si su altura
mide 14,2cm y su ancho mide 15,4cm
(ilustra la situación)
Halla la medida de los lados indicados en cada figura
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Líneas Y Puntos Notables De Un Triángulo
En un triángulo se pueden trazar cuatro tipos de líneas notables; Las Alturas,
Medianas, Mediatrices Y Bisectrices. Trazando estas líneas aparecen cuatro puntos notables; Ortocentro, Baricentro, Incentro, Circuncentro
Altura y ortocentro
La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde el vértice hasta
la recta que contiene al lado opuesto a este. En un triángulo se pueden construir tres
alturas. Para esto se utiliza la escuadra.
La altura desde A
La altura desde B
La altura desde c
Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersecan en un mismo
punto llamado ortocentro
Mediana y baricentro
La mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son vértices y punto
medio del lado opuesto.
Las medianas de un triángulo se intersecan en un mismo punto llamado baricentro en la figura anterior el punto M sería el baricentro
Ejemplo:
Trazar las medianas y las alturas en el siguiente triángulo isósceles. Luego ubica el
ortocentro y el baricentro
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ACTIVIDAD #5
Completa cada uno de los siguientes
enunciados
a. Los puntos extremos de una mediana
son un __________ y el _________ del
lado opuesto
b. La altura de un triángulo tiene como
puntos extremos un vértice y un
________ que pertenece a ________ que contiene el lado opuesto
c. El punto de intersección de las
medianas de un triángulo se conoce
cómo ____________
Determina el valor de verdad de los
siguientes enunciados y justifica tu
respuesta
a. El ortocentro y el baricentro de un
triángulo equilátero son los mismos
puntos
b. Las alturas de un triángulo
obtusángulo siempre se intersecan en un punto interior al triángulo
c. Las medianas intersecan los lados
del triángulo formando ángulos
rectos
Construye los siguientes triángulos, luego traza las líneas y los puntos notables que
se indican.
a. Rectángulo isósceles, lados iguales de
4cm. (altura y ortocentro)
b. Obtusángulo isósceles, ángulo obtuso
de 120°, lados iguales de 5cm (altura y
ortocentro)
c. Rectángulo, lado adyacente al ángulo
recto de medidas 2cm y 4cm. (mediana
y baricentro)
d. Isósceles lados iguales 3cm, ángulo
entre los lados iguales 75°. mediana y
baricentro ()
En el triángulo BAC, se traza una altura y la mediana desde el ángulo recto A. si
∆𝐴𝑀𝐶 es isósceles, calcula las medidas
de los ángulos 1, 2, 3, 4,Y 5
Incentro, Circuncentro
Bisectriz e Incentro
La Bisectriz de un ángulo es una semirrecta que los divide en dos ángulos
congruentes.
Para construir una bisectriz de un triángulo con regla y compás, se procede así: Con el centro del vértice A se
traza un arco, y se ubican D y
E
Con la misma abertura del
paso anterior, se hace el
centro en E y e traza un
arco.
Con el centro en D se traza
un arco y se ubica el punto
F. luego, se traza la
semirrecta AF
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Las bisectrices de un triángulo se intersecan en un punto llamado Incentro
El incentro equidista de los lados del triángulo
Mediatriz Y Circuncentro
La mediatriz de un segmento es un recta perpendicular que pasa por su punto
medio, en un triángulo se puede trazar tres mediatriz; una por cada lado.
Para construirlas con regla y compás se realizan los siguientes pasos
Con centro en C, se traza un
arco, a la derecha y a la
izquierda del segmento BC
De la misma manera y
conservando la aberturas del
paso anterior, se traza un arco con centro en B.
Se traza la recta que une los
punto intersección de los dos
arcos
Las mediatrices de un triángulo se intersecan en un mismo punto llamado
circuncentro.
El circuncentro equidista de los vértices
Ejemplos
Trazar una circunferencia inscrita en el
siguiente triángulo
Primero se trazan las bisectrices y
luego, se ubica el incentro y se traza la
circunferencia
Trazar una circunferencia circunscrita en
el siguiente triángulo
Primero, se trazan las mediatrices del
triángulo y luego, se ubica el
circuncentro y se traza la circunferencia
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ACTIVIDAD #6
1. Responde. Luego, explica con un ejemplo
a. ¿Qué es la bisectriz de un ángulo y cómo se obtienen las bisectrices de un triángulo?
b. ¿Cómo se obtiene la mediatriz de un segmento?
c. ¿Cuál es la importancia de determinar el incentro y el circuncentro de un
triángulo?
2. Determina si la afirmación es falsa o verdadera. Justifica tu respuesta
a. En todo triángulo equilátero los puntos ortocentro, baricentro, incentro y
cricuncentro coinciden. ( )
b. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares entre si
3. Traza las bisectrices de cada triángulo y ubica incentro
4. Reinaldo perforara un pozo en su propiedad. El pozo debe estar situado en un punto
que equidiste la casa y los establos
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5. Una circunferencia está circunscrita en un triángulo cuan los vértices del triángulo
están sobre la circunferencia. Calca uno de los triángulos del punto 3. Luego traza
una circunferencia de tal manera que cada triangulo quede circunscrito en esta
6. Traza una circunferencia inscrita en uno de los triángulos del punto 3
Métodos De Demostración
El razonamiento deductivo es un proceso en el cual se utiliza un principio o hecho
general previamente aceptado, para obtener conclusiones en situaciones particulares.
Este razonamiento es utilizado en matemáticas y, en particular en geometría donde se
parte de hechos que se consideran verdaderos para llegar a deducir otros nuevos.
Para esto se utiliza una secuencia lógica basada en definiciones, postulados o axiomas,
teoremas y conjeturas
Definiciones: son descripciones claras y precisas de las características de los
objetos geométricos y las relaciones entre ellos. Ejemplo: un ángulo agudo es
aquel que mide menos de 90°
Postulados o axiomas: son proposiciones fundamentales, los cuales se
consideran verdaderos. Ejemplo: “dados dos puntos cualquiera hay
exactamente una recta que los contiene”
Teoremas: son proposiciones lógicas que se pueden demostrar. Consta de una
hipótesis (lo que se supone cierto) y una tesis (lo que se quiere demostrar).
Conjeturas: es una proposición que no ha sido demostrada ni refutada, pero
que se supone que es cierta. Cuando una conjetura se demuestra se convierte
en un teorema
La Demostración Es un conjunto de razonamientos lógicos, donde se articulan definiciones, postulados,
y teoremas que permiten llegar a una conclusión llamada tesis
Cada afirmación utilizada en una demostración debe ser justificada.
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Generalidades falsas y contra ejemplos
Para demostrar que una generalización es falsa basta con presentar un contraejemplo
es decir mostrar un caso particular en el que no se cumplió dicha generalización. Demostrar la falsedad de una conjetura se conoce como refutar
Ejemplo
Refute la siguiente
proposición: “todo
cuadrilátero tiene al
menos un par de lados paralelos”
Método Directo De Demostración
Para demostrar un teorema por el método directo se deben realizar los siguientes
pasos:
Se determinan claramente la hipótesis y la tesis del problema que se va a
demostrar
Se utilizan las definiciones, postulados y teoremas anteriormente demostrados a
partir de las condiciones dadas, de tal forma que conduzcan al cumplimento de la
tesis. Por lo general este proceso se representa en dos columnas; en la primera se
escriben las proposiciones verdaderas que permiten comprobar la validez de la tesis y en la segunda, se escriben las justificaciones correspondientes
Finalmente se afirma el resultado como una conclusión
Algunas Propiedades Y Postulados De Congruencias
Reflexiva Simetría Transitiva
Congruencia de
ángulos
∡𝐴 ≅ ∡𝐴 𝑆𝑖 ∡𝐴 ≅ ∡𝐵; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∡𝐵 ≅ ∡𝐴
𝑆𝑖 ∡𝐴 ≅ ∡𝐵, 𝑦 ∡𝐵 ≅ ∡𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∡𝐴 ≅ ∡𝐶
Congruencia de
segmentos
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑆𝑖, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝑆𝑖, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅
Dadas dos figuras se dicen congruentes si tienen exactamente la misma forma y
tamaño. Cuando se superponen dos polígonos se puede observar que sus lados y
ángulos coinciden. Para demostrar que dos triángulos son congruentes no es necesario
comprobar uno a uno que sus lados y sus ángulos tienen la misma medida; para esto
se aplican los siguientes postulados o criterios de congruencia.
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Congruencia De Triángulos
Criterio Detalle
1.Lado, lado, lado
(LLL)
Si los tres lados de un triángulo
son respectivamente
congruentes con los lados del
otro triángulo, entonces los
triángulos son congruentes
2. lado, ángulo,
lado (LAL)
Si los dos lados de un triángulo
y el ángulo formado por estos,
son congruentes con dos lados
del otro triángulo y el ángulo
formado por estos; entonces los
dos triángulos son congruentes
4. Ángulo, lado,
ángulo (ALA)
Si los dos ángulos de un
triángulo y el lado comprendido
entre ellos, son congruentes con
los correspondientes ángulos del otro triángulo y el lado
comprendido entre ellos,
entonces los dos triángulos son
congruentes
Ejemplo1:
Demuestre que: 𝑆𝑖 ∆𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝑦 𝑠𝑖 𝐷 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐶𝐷
Afirmaciones Justificaciones
1. 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ Hipótesis
2. 𝑫 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ Hipótesis
3. 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ ≅ 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ Definición de punto medio
4.𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ Propiedad reflexiva de la congruencia de segmento
5. ∆𝑨𝑩𝑫 ≅ ∆𝑨𝑪𝑫 Postulado de congruencia de triángulos
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Ejemplo 2: Teniendo en cuenta que: 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ||𝑇𝑆̅̅̅̅ 𝑦 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ≅ 𝑇𝑆̅̅̅̅ 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑒𝑙 ∆𝑃𝑄𝑅 ≅ ∆𝑇𝑆𝑅
Afirmaciones Justificaciones
1.𝑷𝑸̅̅ ̅̅ ||𝑻𝑺̅̅̅̅ Hipótesis
2.𝑷𝑸̅̅ ̅̅ ≅ 𝑻𝑺̅̅̅̅ Hipótesis
3.∡𝑺 ≅ ∡𝑷 Son ángulos alternos internos paralelos
4.∡𝑻 ≅ ∡𝑸 Son ángulos alternos internos paralelos
5. ∆𝑷𝑸𝑹 ≅ ∆𝑻𝑺𝑹 Criterio ALA
ACTIVIDAD 7
Observa cada par de triángulos, luego,
escribe en notación geométrica los lados
y los ángulos correspondientes que son congruentes
Observa cada par de triángulos con las
marcas que indican congruencia. Luego,
determina si tiene la información necesaria y suficiente para demostrar
que son congruentes
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Completa la demostración:
En la siguiente figura se tiene que:
𝐷 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠
Afirmación Justificación
𝑩𝑫̅̅̅̅̅ ≅ 𝑫𝑪̅̅ ̅̅
∡𝑨𝑩𝑫 ≅ ∡𝑨𝑫𝑪
𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑫̅̅ ̅̅
∆𝑨𝑩𝑫 ≅ ∆𝑨𝑪𝑫
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑪̅̅ ̅̅
∆𝑨𝑩𝑪 𝒆𝒔 𝒊𝒔ó𝒔𝒄𝒆𝒍𝒆𝒔
Completa la demostración:
En la siguiente figura el ∆𝑨𝑩𝑪 𝒆𝒔 𝒊𝒔ó𝒔𝒄𝒆𝒍𝒆𝒔 𝒚 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑫𝑪̅̅ ̅̅
Demuestra que: ∆𝑨𝑬𝑩 ≅ ∆𝑪𝑫𝑩
Afirmación Justificación
Hipótesis
𝑬𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑫𝑩̅̅̅̅̅
𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑫̅̅ ̅̅
𝒎∡𝟐 ≅ 𝒎∡𝟑 Propiedad de
triángulos isósceles 𝒎∡𝟏 + 𝒎∡𝟐 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒎∡𝟑 + 𝒎∡𝟒 = 𝟏𝟖𝟎°
𝒎∡𝟏 = 𝒎∡𝟒
Definición de
congruencia de
ángulos
Criterio LAL
Utiliza el método directo para demostrar los siguientes teoremas
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FASE DE SALIDA
1. dar solución al problema inicial y luego socializarlo
2. autoevalúate en la siguiente tabla, ten en cuenta las dificultades que tuviste y
prepárate para superarlas.
Autoevaluación
Indicador Bajo Básico Alto Superior
Reconoce las diferentes clasificaciones
de ángulos y triángulos
Identifica los ángulos entre paralelas
Establece criterios de congruencia de
triángulos
Construye correctamente las líneas
notables de un triángulo
Aplica correctamente las normas para
trabajar razonamiento deductivo
Actividad de recuperación
Responde y justifica tu repuesta
Si uno de los ángulos de un triángulo mide 91°, corresponde a un triángulo
a. Acutángulo
b. Isósceles
c. Obtusángulo
d. Rectángulo
La medida del ángulo x es:
El punto de intersección de las líneas
de la figura es el
La medida del ángulo x es:
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Resuelve:
1. Construye un triángulo de
dimensiones 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Qué clase de triángulo se obtiene?
2. En un triángulo rectángulo, uno de
los ángulos agudos mide 378,
¿cuánto mide el otro ángulo agudo?
3. Dibuja un triángulo rectángulo de
dimensiones 6 cm, 8 cm y 10 cm.
Luego, traza las tres mediatrices.
¿Qué característica particular tiene
el punto de corte de las tres líneas?
De acuerdo a la figura nombra:
Ángulos opuesto por el vértice
Ángulos adyacentes
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Explica en cada caso si la afirmación es
verdadera o falsa. Justifica
Si los ángulos externos en un
triángulo son congruentes, el
triángulo es equilátero.
Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios.
Un triángulo escaleno es acutángulo.
Existen triángulos isósceles que son a la vez triángulos rectángulos.
Construye un triángulo isósceles, uno
equilátero y uno escaleno. Halla: el
incentro, el circuncentro y el baricentro
en cada uno de ellos.
¿Qué conclusión puedes sacar?
