INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN · După unele studii s-a constatat că viteza medie (cuvinte pe minut) cu care un elev din clasa a X-a culege de la tastatura unui

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN

__________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________ Strada Ateneului Nr. 1, 320112 Str. General Berthelot nr. 28‐30, Sector 1 REŞIȚA – ROMANIA 010168, Bucuresti Tel: 0255/214238; Fax: 0255/216042 Tel: +40 (0)21 405 57 06 e‐mail: [email protected] Fax: +40 (0)21 310 32 05 http://cs.isj.edu.ro www.edu.ro

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ

“ADOLF HAIMOVICI” Etapa locală, 18 februarie 2012

FILIERA TEORETICĂ - PROFIL REAL - ŞTIINŢE ALE NATURII SUBIECTE - clasa a IX-a

1. La un concurs de matematică on-line, finaliştii au primit următoarea problemă: Alegeţi un număr real a, ştiind că apoi calculatorul alege aleatoriu un număr real x. Dacă 2 2x + sau 2 3x− este cel puţin egal cu a, atunci concurentul va câştiga un premiu de 100 a⋅ lei. Care este numărul care trebuie ales pentru un premiu maxim? 2. Se consideră predicatul ( ), :"2 11", ,p x y x y x y+ = ∈ .

a) Stabiliţi care din propoziţiile ( )6, 1p − şi ( )1, 9p − − este adevărată;

b) Determinaţi a∈ pentru care 3 ,2

p a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

este adevărată;

c) Este adevărată propoziţia ( ) ( ), 4t p t∃ ? Justificaţi răspunsul.

3. a) Scrieţi termenul general pentru şirul următor şi studiaţi apoi monotonia lui:

1 2 3 4, , , ,.....4 7 10 13

.

b) Se numerotează 10 cutii de la 1 la 10 şi în fiecare cutie se aşează un acelaşi număr de mere.

După o oră, în fiecare cutie se mai pun câteva mere, după regula: în cutia cu numărul n se

adaugă n mere. Dacă acum sunt în total 145 de mere, puteţi calcula cate mere au fost la început

în cutie?

4. Doi excursionişti pleacă din satul O, primul spre cabana A, al doilea spre cabana B. (Se ştie că , 1200 , 1600OA OB OA m OB m⊥ = = ). După ce ajuns fiecare la destinaţia propusă şi s-a odihnit

puţin, amândoi au plecat spre cabana C, unde OC OA OB= + . După ce s-au odihnit un pic şi acolo,

au plecat împreună spre cabana D, unde 12

CD OC= ⋅ . Calculaţi caţi kilometri a parcurs fiecare

dintre cei doi turişti din satul O până la cabana D (se presupune că drumurile dintre puncte sunt în linie dreaptă). Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problemă se punctează de la 0 la 7 puncte.


__________________________________________________________________________________




PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIULUI SUBIECTE -clasa a IX-a

1. a) Determinaţi mulţimea { }5 1A x x= ∈ − ≤ .

b) Demonstraţi folosind metoda inducţiei matematice că, pentru orice număr natural n, 5 1n − se divide cu 4. 2. Se consideră predicatul ( ), : "2 11", ,p x y x y x y+ = ∈ .



p a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

este adevărată;

c) Este adevărată propoziţia ( ) ( ), 4t p t∃ ? Justificaţi răspunsul !

3. a) Se numerotează 10 cutii de la 1 la 10 şi în fiecare cutie se aşează un acelaşi număr de mere. După

o oră, în fiecare cutie se mai pun câteva mere, după regula: în cutia cu numărul n se adaugă n

mere. Dacă acum sunt în total 145 de mere, puteţi calcula cate mere au fost la început în cutie?

b) Determinaţi numărul real x pentru care 4, 2x x− + şi 4x + sunt, în această ordine, numere în

progresie geometrică.





dintre cei doi turişti din satul O pană la cabana D (se presupune că drumurile dintre puncte sunt în linie dreaptă). Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problemă se punctează de la 0 la 7 puncte.


__________________________________________________________________________________




PROFIL UMAN – FILOLOGIE, ŞTIINŢE SOCIALE SUBIECTE - clasa a IX-a

1. Se dau mulţimile: { }5 1A x x= ∈ − ≤ şi { }2 1 7B x x= ∈ − < . Determinaţi :

a) ( ]5;7A∪ ; b) B∩ . 2. Se consideră predicatul ( ), : "2 11", ,p x y x y x y+ = ∈ .



p a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

este adevărată;

c) Este adevărată propoziţia ( ) ( ), 4t p t∃ ? Justificaţi răspunsul.

3. a) Se numerotează 10 cutii de la 1 la 10 şi în fiecare cutie se aşează un acelaşi număr de mere. După

o oră, în fiecare cutie se mai pun câteva mere, după regula: în cutia cu numărul n se adaugă n

mere. Dacă acum sunt în total 145 de mere, puteţi calcula cate mere au fost la început în cutie?

b) Determinaţi numărul real x pentru care 4, 2x x− + şi 4x + sunt, în această ordine, numere în

progresie geometrică.





dintre cei doi turişti din satul O pană la cabana D (se presupune că drumurile dintre două puncte sunt în linie dreaptă). Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore Fiecare problemă se punctează de la 0 la 7 puncte.


__________________________________________________________________________________


CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ “ADOLF HAIMOVICI”

Etapa locală, 18 februarie 2012 FILIERA TEORETICĂ - PROFIL REAL - ŞTIINŢE ALE NATURII

SUBIECTE - clasa a X-a 1. Se dau numerele:

3 3 3 364 40 135 5 4a = − + − +

2 2 2 2log 2 log 2 2 log 2 2 2 log 2 2 2b = + + + + + + − +

( ) 21 ... nc n i i i= + + + , unde 2 1i = − şi *n∈N .

a) Arătaţi că numerele a şi b sunt numere naturale. b) Arătaţi că ( )2012 1c = .

2. a) Arătaţi că 1 2xx

+ ≥ , pentru orice 0x > .

b) Utilizând eventual rezultatul de la punctul a), să se demonstreze că 5 2 7log 14 log 35 log 10 6+ + ≥ .

c) Determinaţi partea întreagă a numărului 2log 2012n = . 3. Într-un laborator de cercetare se efectuează teste asupra unei piese. Un anumit parametru P este

corelat în funcţie de temperatura T la care este supusă piesa prin funcţia ( )3 20 5

112T

P T+ −

= , unde

[ ]4;61T ∈ − .

a) Determinaţi valoarea maximă a parametrului P. b) Precizaţi dacă există posibilitatea ca parametrul P să ia aceeaşi valoare pentru două temperaturi diferite. 4. Rezolvaţi în mulţimea R ecuaţiile: a) 1 4 5x x− + + =

b) 1 5 416 4x x− = −

Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect este notat de la 0 la 7


__________________________________________________________________________________



Etapa locală, 18 februarie 2012 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIULUI

SUBIECTE - clasa a X-a 1. Se dau numerele:

3 3 3 364 40 135 5 4a = − + − +

2 2 2log 2 log 2 2 log 2 2b = + + + − 2 20121 ...c i i i= + + + , unde 2 1i = − şi *n∈N .

a) Arătaţi că numerele a şi b sunt numere naturale. b) Arătaţi că 1c =

2. a) Arătaţi că 1 2xx

+ ≥ , pentru orice 0x > .

b) Utilizând eventual rezultatul de la punctul a), să se demonstreze că 2011 2012log 2012 log 2011 2+ ≥ .

c) Determinaţi partea întreagă a numărului 2log 2012n = . 3. După unele studii s-a constatat că viteza medie (cuvinte pe minut) cu care un elev din clasa a X-a culege de la tastatura unui calculator un text este modelată de funcţia ( ) ( )5 29lg 1V t t= + + , unde 0t ≥ reprezintă numărul de ore de TIC parcurse.

a) Care este viteza când elevul culege pentru prima dată un text ( 0t = ) ?. b) Care este viteza după 9 ore de TIC ?

4. Rezolvaţi în mulţimea R ecuaţiile: a) 2 2 0x x− − = b) 2 0x x− − = c) 4 2 2 0x x− − =

Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect este notat de la 0 la 7.


__________________________________________________________________________________



Etapa locală, 18 februarie 2012 PROFIL UMAN – FILOLOGIE, ŞTIINŢE SOCIALE

SUBIECTE - clasa a X-a

1. Se consideră numărul 1 1 1...1 2 2 3 2011 2012

N = + + ++ + +

a) Să se arate că numărul ( )2012 1 N+ este natural.

b) Să se determine partea întreagă a numărului real 1N + .

2. După unele studii s-a constatat că viteza medie (cuvinte pe minut) cu care un elev din clasa a

X-a culege de la tastatura unui calculator un text este modelată de funcţia ( ) ( )5 29lg 1V t t= + + , unde 0t ≥ reprezintă numărul de ore de TIC parcurse.

c) Care este viteza când elevul culege pentru prima dată un text ( 0t = ) ?. d) Care este viteza după 9 ore de TIC ?

3. Se consideră expresia ( ) 2,E n z z nz n= + +

a) Arătaţi că ecuaţia ( )2, 0E z = nu are rădăcini reale.

b) Rezolvaţi ecuaţia ( )2, 0E z = în mulţimea numerelor complexe.

c) Arătaţi că, dacă α este o rădăcină a ecuaţiei ( )1, 0E z = , atunci 3 1α = . 4. Rezolvaţi în mulţimea R ecuaţiile:

a) 2 2 0x x− − = b) 2 0x x− − = c) 4 2 2 0x x− − =

Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect este notat de la 0 la 7.


__________________________________________________________________________________



Etapa locală, 18 februarie 2012 FILIERA TEORETICĂ - PROFIL REAL - ŞTIINŢE ALE NATURII

SUBIECTE - clasa a XI-a

1. Se consideră mulţimea ,a b b

G b a b a bb b a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

şi matricele 1 1 11 1 11 1 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

şi 3

1 0 00 1 00 0 1

I⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Să se verifice că 2 3B B= . b) Să se arate că 3 , ,mI nB G m n+ ∈ ∀ ∈ . c) Să se arate că dacă A G∈ şi 2

3A O= , atunci 3A O= , unde 3O este matricea nulă.

2. Fie M mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordinul 3, în care toate elementele aparţin mulţimii { }0;1 (aceste matrice se numesc coduri de lungime 9).

a) Găsiţi două exemple de coduri de lungime 9 care au determinantul egal cu -1; b) Găsiţi un exemplu de cod A de lungime 9 care are proprietatea că 2

3A I= .

3. a) Calculaţi limita [ ] [ ]3limx

x xx→∞

+;

b) Determinaţi constanta reală a pentru care: ( )23 3

ln 4 2 8lim lim3 9

x

x x

a xx x→ →

⋅ − −=

− −.

4. a) Determinaţi mulţimea { }1A x x= ∈ − ≥ ;

b) Fie funcţia { } ( )2 2

2

2: \ 1 , ,1

x ax af f x ax+ −

± → = ∈−

. Determinaţi a∈ , pentru

care funcţia f are o singură asimptotă verticală.

Notă: Timp de lucru 3 ore; Toate subiectele sunt obligatorii; Fiecare subiect este notat de la 0 la 7.


__________________________________________________________________________________



Etapa locală, 18 februarie 2012 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIULUI


1. a) În mulţimea matricelor pătratice ( )2M se consideră matricea 4 62 3

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ .

Să se determine matricele ( )2

0,

0x

X Xx

⎛ ⎞∈ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠M , astfel încât ( )det 2X A+ = .

b) Fie funcţia ( ) ( )2 2:f →M M , definită prin ( ) tf X X X= + , unde t X este

transpusa matricei X . Să se determine matricele ( )2A∈M pentru care ( ) 2f A O= .

2. Fie M mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordinul 3, în care toate elementele aparţin mulţimii { }0;1 (aceste matrice se numesc coduri de lungime 9).

a) Găsiţi două exemple de coduri de lungime 9 care au determinantul egal cu -1; b) Găsiţi un exemplu de cod A de lungime 9 care are proprietatea că 2

3A I= .

3. a) Calculaţi limita ( )2lim 3x

n n→∞

− + ;

b) Determinaţi constanta reală a pentru care: ( )23 3

ln 4 2 8lim lim3 9

x

x x

a xx x→ →

⋅ − −=

− −.

4. a) Determinaţi mulţimea { }1A x x= ∈ − ≥ ;

b) Determinaţi asimptotele funcţiei { }: \ 1f → , ( )1

x xf x

x⋅

=−

.

Notă: Timp de lucru 3 ore; Toate subiectele sunt obligatorii; Fiecare subiect este notat de la 0 la 7.


__________________________________________________________________________________





1. Se consideră repartiţia statistică a mediilor generale la sfârşitul anului şcolar pentru un grup de elevi. Media generală [6,7) [7,8) [8,9) [9,10) 10 Frecvenţa absolută 4 6 20 18 2

a) Să se precizeze populaţia statistică, unităţile statistice, efectivul total al populaţiei, caracteristica

şi tipul acesteia; b) Să se completeze seria statistică cu frecvenţele absolute cumulate, frecvenţele relative şi

frecvenţele relative cumulate, apoi să se interpreteze rezultatele corespunzătoare clasei de valori [8,9).

2. Din totalul elevilor unei şcoli 70% participă la cercul de matematică, iar 45% la cercul de informatică. Ştiind că fiecare elev participă la cel puţin un cerc şi 42 de elevi participă la ambele cercuri, aflaţi câţi elevi sunt în şcoală. 3. La teza de matematică de pe semestrul I, la clasa a X-a A s-au obţinut următoarele note:

Nota 5 6 7 8 9 10 Nr. elevi 2 5 5 5 5 2

iar la clasa a X-a B s-au obţinut următoarele note:

Nota 4 5 6 7 8 9 10 Nr. elevi 1 2 4 2 7 8 6

a) Care clasă este cea mai bună? (are media mai mare) b) Care clasă are dispersia mai mică? (este mai omogenă) 4. Un profesor a corectat la examenul de bacalaureat 50 de lucrări. Făcând media notelor a obţinut 5,02. Un coleg i-a atras atenţia că nu a adunat punctul acordat din oficiu la fiecare lucrare. Ce medie va obţine la lucrări după adăugarea acelui punct? Notă: Timp de lucru 3 ore; Toate subiectele sunt obligatorii; Fiecare subiect este notat de la 0 la 7.

1/ 1

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ “ADOLF HAIMOVICI” Etapa locală, 18 februarie 2012

FILIERA TEORETICĂ - PROFIL REAL - ŞTIINŢE ALE NATURII SUBIECTE - clasa a XII-a

1. Fie mulţimea ( ) ( )1 ln 00 1 0 | 0,0 0

aM A a a

a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈ ∞⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭

a) Arătaţi că ( ) ( ) ( )A a A b A ab⋅ = , pentru orice ( ), 0,a b∈ ∞

b) Demonstraţi, folosind metoda inducţiei matematice că ( ) ( )n nA a A a= , pentru orice *n∈N şi ( )0,a∈ ∞

c) Calculaţi ( )2012 1A

2. Fie funcţia :h →R R , ( ) xf x xe=

a) Să se arate că funcţia :H →R R , ( ) ( )1 xH x x e= − este o primitivă a funcţiei h

b) Calculaţi ( )1

0

h x dx∫

c) Să se arate că ( ) ( ) ( )( )

( )

2

21

1 2x h t h t h t xdt

h t x′′ ′− +

= −∫ , pentru orice 1x > .

3. Într-un circuit electric sunt legate în paralel două rezistoare cu rezistenţele 1R şi 2R . Rezistenţa

echivalentă a grupării celor două rezistoare este dată de relaţia 1 21 2

1 2

R RR RR R

⋅=

+.

a) Un circuit în paralel este format din două piese cu rezistenţe 1 10 R = Ω şi 2 40 R = Ω . Calculaţi rezistenţa totală a circuitului. b) Demonstraţi că legea " " e asociativă. c) Să se arate că cele două circuite au aceeaşi rezistenţă totală. Argumentaţi !

circuitul 1 circuitul 2 4. Calculaţi integralele definite:

0

sin cosx xdxπ

⋅∫

2011

1

lne x dxx∫

R1

R2

R3

R1

R2

R3


Strada Ateneului Nr. 1, 320112 Str. General Berthelot nr. 28‐30, Sector 1 REŞIȚA – ROMANIA 010168, Bucuresti Tel: 0255/214238; Fax: 0255/216042 Tel: +40 (0)21 405 57 06 e‐mail: [email protected] Fax: +40 (0)21 310 32 05 http://cs.isj.edu.ro www.edu.ro

2/ 1



PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIULUI SUBIECTE - clasa a XII-a

1. Fie funcţia [ )2 , dacă 0

: , ( ) , dacă 0,24, dacă 2

x xf f x x x

x x

− ≤⎧⎪→ = − ∈⎨⎪ − >⎩

R R . Să se arate că funcţia f admite primitive pe R .

2. Se consideră mulţimea ( ){ }: | ,a aG f f x ax a ∗= → = ∈R R R

a) Calculaţi 503 4f f (unde „ ” reprezintă operaţia de compunere a funcţiilor) b) Arătaţi că a b abf f f= şi deduceţi că operaţia de compunere a funcţiilor este lege de compoziţie pe mulţimea G.

3. Într-un circuit electric sunt legate în paralel două rezistoare cu rezistenţele 1R şi 2R . Rezistenţa

echivalentă a grupării celor două rezistoare este dată de relaţia 1 21 2

1 2

R RR RR R

⋅=

+.

d) Un circuit în paralel este format din două piese cu rezistenţe 1 10 R = Ω şi 2 40 R = Ω . Calculaţi rezistenţa totală a circuitului.

e) Demonstraţi că legea " " e asociativă. f) Să se arate că cele două circuite au aceeaşi rezistenţă totală. Argumentaţi !

circuitul 1 circuitul 2 4. Calculaţi următoarele integrale:

a) ( )21xdx

x+

∫ , pentru 0x >

b) 1

0

xxe dx∫


R1

R2

R3

R1

R2

R3


__________________________________________________________________________________




SUBIECTE - clasa a XII-a

1. Se consideră matricea a b c

A c a bb c a

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cu , ,a b c∈R .

a) Să se calculeze ( )detd A= determinantul matricei A

b) Să se arate că ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 212

d a b c a b b c c a= + + − + − + −

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )8 27 125 3 2 3 5 0x x x x x x+ + − ⋅ ⋅ =

2. Fie mulţimea de matrice 1 0

( ) 0 1 0 |0 0 3x

xG A x x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭

R

a) Demonstraţi că dacă )()( yAxA = , atunci yx = . b) Demonstraţi că dacă ( ), ( )A x A y G∈ , atunci ( ) ( )A x A y G⋅ ∈ .

c) Demonstraţi că ( ) ( )1n

A A n=⎡ ⎤⎣ ⎦ , folosind eventual metoda inducţiei matematice. 3. Se consideră punctele ( )2,nA n n , unde n∈N

a) Să se determine ecuaţia dreptei 0 1A A . b) Să se calculeze aria triunghiului 0 1 2A A A . c) Să se arate că pentru orice , ,m n p∈N , distincte două câte două, aria triunghiului m n pA A A este un număr natural.

4. Pentru fiecare a∈R se consideră matricea ( )1 1

1 11 1

aA a a

a

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

şi sistemul 111

ax y zx ay zx y az

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

a) Să se determine valorile lui a∈R astfel încât matricea să NU fie inversabilă. b) Să se determine a∈R pentru care sistemul dat poate fi rezolvat prin metoda lui Cramer. c) Pentru 0a = să se rezolve sistemul.


Documents

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN · După unele studii s-a constatat că viteza medie (cuvinte pe minut) cu care un elev din clasa a X-a culege de la tastatura unui