INIVERSIDAD DE CUENCAdspace.ucuenca.edu.ec/bitstream/123456789/3408/1/Tesis.pdfTiene más de 2000 años de antigüedad, estudia las propiedades y mediciones de líneas, planos, volúmenes,

Braulio Duchitanga A.

INIVERSIDAD DE CUENCA



UNIVERSIDAD DE CUENCAFACULTAD DE ARTESESCUELA DE DISEÑO

UNIDAD DE INVESTIGACIÓN Y TESIS

Monografía previa a la obtención del título de diseñador de interiores.

Tema: Mobiliario FractalAutor: Braulio Anibal Duchitanga Ayavaca

Director: Dis. Christian Andres Calle Larriva

Cuenca - Ecuador2012

UNIVERSIDAD DE CUENCA



Agradezco a las personas que hicieron posible la realización de esta monografía, en especial a mi tutor Dis. Cristian Calle, por el tiempo y la

paciencia brindad.

AGRADECIMIENTOS



Dedico este trabajo a mis padres, Luz Ayavaca y José Duchitanga, por el inmenso apoyo brindado, en todos los momentos de mi vida.

DEDICATORIA



1

INTRODUCCIÓN

La presente monografía es la aplicación de teorías fractales en el diseño de inte-riores específicamente en el campo de diseño de objetos y mobiliario. El mobiliario propuesto obedece a una concepción escultórica, pero con funcionalidad.Esta monografía pretende ofrecer información acerca de las teorías de los fracta-les como aplicación al diseño de mobiliario. Tome a los autores Benoit Mandelbrot y Waclaw Sierpinski, dos matemáticos referentes en la teoría de los fractales.La primera parte, consta de una breve descripción de los fractales en distintos campos del conocimiento, matemáticas, geometría y materia.La segunda parte, hace referencia a los tipos de fractales, sus conceptos básicos, usos y características.La última parte, es la aplicación conseguida por medio del análisis a las teorías expuestas en esta monografía.



2

ABSTRACT

This monograph is the application of fractal theory in interior design specifically in the field of design objects and furniture. The proposed furniture reflects a sculptu-ral design, but functionality.This monograph aims to provide information about the theories of fractals and application to the design of furniture. Take Benoit Mandelbrot authors and Waclaw Sierpinski, two mathematicians concerning the theory of fractals.The first part consists of a brief description of fractals in different fields of knowled-ge, mathematics, geometry and matter.The second part refers to the types of fractals, the basic concepts, uses and cha-racteristics.The last part, the application is achieved by analyzing the theories discussed in this monograph.



3

1 FRACTALES

1.1 Definición.

No podemos definirla en términos geométricos tradicionales, pero si desde distintos puntos de vista:

1.2 Geometría.

Son objetos geométricos que están formados de universos también geométricos, su tamaño y dirección son diferentes pero su aspecto es siempre similar, su forma se repite a diferentes escalas.

1.3 Materia.

Son el prototipo de un objeto complejo, no en el sentido de difícil o complicado, es el resultado de presentar detalles a toda escala.

1.4 Imaginación.

Es una ruta eficiente de poder observar lo infinito, de manera visual y mental.

Fig.: 1. http://agarriverau.disegnolibre.org/2010/12/04/conceptos/fractales-2.jpg

Fig.:2. http://guillegoesinsane.blogspot.com/2010/09/fractales.jpg



4

FRACTALES

1.5 Matemáticas.

Son nomenclaturas complejas o entidades infinitamente extensas que son generados por cálculos que se repiten.Es difícil conceptualizar una definición absoluta, también no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes, pero tienen en común que son producto de la iteración de un proceso geométrico elemental.

Fig.:3 http://4.bp.blogspot.com/_x8YOs2_ZhPk/TLYPoO5w2WI/AAAAAAAAAFY/28HVRFOzFu4/s1600/

ojo+escalera.jpgFig.: 4. PDF:BMandelbrot_194638_241010_4800.jpg

http://5.bp.blogspot.com/_uX-U-u537B4/TLyYkNJycZI/AAAAAAAAE3g/3H34tf40eJQ/s1600/iStock_financial.JPG



5

FRACTALES

2. Lenguaje.

El lenguaje de la geometría fractal tiene un enorme contenido visual.Se trata de operaciones geométricas que podemos rotar, trasladar, escalar, defor-mar, siempre que la forma inicial guarde relación a la forma final.Este proceso permite crear objetos y formaciones a través de expresiones extraor-dinariamente compactas.Podemos hablar de dos tipos de lenguaje:

2.1 Lineal o Fractal.

La diferencia entre ambos está en que en el euclidiano, las reglas son sencillas y en el no lineal son más complejas. Los fractales tienen también su propio lenguaje a la hora de transcribir o trasladar formas matemáticas a imágenes y reproducirlas.

2.2 Origen y Evolución.

Fractal, latín fractus, significa fracturado, roto, Irregular, el concepto y la expresión se atribuyen al matemático Benoit mandelbrot. La expresión fractal aparece entre los años 1977 y 1982.

Fig.: 6. http://jorgearenasd.blog.com/files/2011/08/fractal2004.jpg



6

FRACTALES

2.3 Lineal o Euclidiano. Tiene más de 2000 años de antigüedad, estudia las propiedades y mediciones de líneas, planos, volúmenes, describe las figuras y formas creadas con ellas; pero es incapaz de explicar las formas encontradas en la naturaleza.

2.4 No Lineal o Fractal.

Se refiere a las formas de las montañas, fronteras, árboles nubes, hojas, copos de nieve etc., esta geometría describe un modelo matemático que resuelve el problema.

Fig.: 8. http://2.bp.blogspot.com/_1H8UaQZ8ZIoTJ5KGcAUZLI/AAAAAAAAADI/S5i3EpN-JVg/s1600/brrocoli-verdura-fractales-matematicas.jpg

Fig.: 7. http://2.bp.blogspot.com/_1H8UaQZ8ZIoTJ5KGcAUZLI/AAAAAAAAADI/S5i3EpN-JVg/s1600/myfristfractal-byuser151.jpg



Fig.: 12. http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/7

FRACTALES

Investigadores más destacados en el desarrollo de los fractales:

Weierstrass (1815 -1897)Cantgor (1845 - 1918)

Lyapunov (1857 -1918)Peano (1858 -1932)

Koch (1815 -1897)Sierpinski (1882 -1969)

Julia (1893 -1978)Mandelbrot (1924 - )

Fig.: 9. http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/



1 24 3

5 8 9

10 11

12

13141615

6 7

1

2

4

3

Mandelbrot

Sierpinski

Koch Julia



3 TIPOS DE FRACTALES.3.1 Características

Tienen una dimensión fraccionaria y una estructura geomé-trica repetitiva. También, su área o superficie es finita, pero

su perímetro o longitud es infinito. Su complejidad es tam-bién infinita.

Los procedimientos que tomamos para generar un fractal pueden realizarse de muchas maneras y presentar detalle a

toda escala, usando algoritmos o formulas sencillas.

Una característica importante a destacar es su auto simili-tud en distintas escalas: siempre hay una similitud entre las

deferentes partes de una misma figura fractal, aunque estas estén muy distantes. Cada parte del fractal puede visualizar-

se como un todo, ya que es su reproducción.

Los fractales que existen en la naturaleza son irregulares y auto similares.

Si tomamos un conjunto suficientemente grande de objetos de la misma clase y amplificamos una porción de alguno de

ellos, es posible que no sea idéntico al original, pero segura-mente sí será similar a algún otro miembro de la colección.

Fig.: 14. http://denissecortes.disegnolibre.org/files/2010/12/

Fractales.jpg

Fig.: 13. http://4.bp.blogspot.com/_09jDdsBUDiA/THLaJRpmYDI/

AAAAAAAAABw/mGPa2lm73kk/s1600/Vistas+Fractales.jpg

8



3.2 Usos

El primer uso que se hizo de ellos fue para solucionar problemas de ruidos en las co-municaciones.Hoy en día se usan en diferentes campos de la ciencia: en topología para medir litorales, fronteras y superficies irregulares, rocosas escabrosas, galaxias, etc.En mineralogía para entender como la naturaleza crea sus formas y como el crecimiento de las agrupaciones o seres que contiene está vinculada con ellosEn la industria textil para el diseño.En imagen y sonido para generar efectos, almacenar, transmitir señales visuales, simular paisajes.

Fig.: 16. http://www.ciencia-educacion.net/posts/10090353/Arquitectura-

fractal/brocoli.jpg

Fig.: 17. http://sildavia9.files.wordpress.com/2012/03/labyrinth_by_shortgreen-

pigg.jpg

Describir la geometría de las formas naturales, proporcio-nándonos nuevas herramientas para analizar sus propie-dades dinámicas, la manera en que se desarrollan y evo-lucionan, o cómo se interaccionan entre sí para competir y organizarse. Los fractales son sin duda una parte funda-mental del nuevo lenguaje de la complejidad y el caos.

Fig.: 15. http://4.bp.blogspot.com/_uX-U-u537B4/TLyY_nA09pI/AAAAAAAAE3o/pkpztj5aqSQ/s1600/mandelbrot-galaxy-wallpaper.jpg

9

Cuadro base SubdivisiónPerturbar

puntos verticales 2x24x4

8x8


3.3 Fractales en la naturaleza.

Basta con observar las plantas que nos rodean, las estructu-ras en la naturaleza y los detalles que conservan los mismos son autosimilares. La autosimilitud es estadística no determi-nada, posee límites superiores.

3.4 Paisajes fractales

Es la representación de un paisaje, real o imaginado, producido mediante fractales.

Un ejemplo práctico de esta teoría es observar el croquis de la una línea costera. Koch generaba este tipo de imágenes por medio de retículas.

Para levantar este tipo de paisajes, existen varios métodos, uno de los más conocidos consiste básicamente en segmentar un cuadrado en cuatro partes

iguales. El proceso se repite aleatoriamente en cada cuadrado hasta que se alcanza el nivel de detalle deseado.


10

Fig.: 20. www.educ.ar-recursos-ver=helecho.jpg

Fig.: 18. http://2.bp.blogspot.com/_hMbQOrebH0I/TLyGy2O6ayI/AAAAAAAAARE/zRRa02-iOvE/s1600/

nautilus-fractal-numero-aureo.jpg

Fig.: 19. http://www.3d-gfx.com/fractals/3d/mandelbrot03.jpg

Fig.: 22. http://www.microsiervos.com/archivo/arte-y-diseno/mesa-

fractal-platform.jpg

Fig.: 21. http://www.microsiervos.com/archivo/arte-y-diseno/mesa-fractal-platform2.jpg

11Braulio Duchitanga A.


3.5 Arboles fractales.

Para representar este tipo de imágenes nos basamos en la teoría de la auto similitud

3.6 Autosimilitud.

Para crear este tipo de imágenes, tomamos como fuente un objeto base, el cual lo iremos rotando, escalando y trasladando, el resul-tado de este ejercicio es obtener un objeto similar que proceda del objeto inicial

El ángulo, la longitud y otras propiedades de estas ramas son aleatorias pero conser-vando una apariencia más realista.Un numero finito de pasos se realizan en cada rama del árbol, también podemos realizar estas operaciones en tres dimensiones, ob-teniendo un resultado más realista.

Fig.: 23. http://www.platform-net.com/

3.7 FRACTALES DE SIERPINSKI Waclaw Sierpinski matemático, dedicó gran parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales.

3.8 Triangulo de Sierpinski Se construye a partir de un triángulo equilátero. Tomando como defenecía los puntos centrales de las aristas lo segmenta-mos de modo que el resultado sea cuatro triángulos iguales, repetimos esta operación en tres triángulos circundantes al central, esta operación puede realizarse de forma infinita.

Una particularidad llamativa del triangulo de Sierpinski es su parecido con el triangulo de Pascal.



Fig.: 24. http://www.3d-gfx.com/fractals/3d/tetraeder01a.jpg

Una particularidad llamativa del triangulo de Sierpinski es su parecido con el triangulo de Pascal.

3.9 Alfombra de Sierpinski Similar al triángulo de Sierpinski, pero usando esta vez cuadrados para su construcción. Parti-mos de un cuadrado negro, que se divide en nue-ve cuadrados iguales, el cuadrado de la mitad se lo pinta de color blanco, el resto conserva el color negro de fondo, la operación se repite en los ocho cuadrados restantes hasta obtener el nivel de complejidad deseado.

1

2

6

1

1

1

1

1

1

1

3 3

1

4 4

1

5 10 10 5

1

206 15 15 6

1

1



Fig.: 25. http://www.3d-gfx.com/

fractals/3d/menger_metal02.jp

Fig.: 26. http://3d=gfx.com/fractals/3d/mengerspoge01a.jpg

Partiendo del plano 2D podemos construir su aplicación 3D, también lla-mada esponja de Sierpinski,

Tamando el cubo como figura inicial, se divide en 27 cubos de menor dimencion, Sustraer los cubos centrales de las seis caras correspon-dientes incluyendo el cubo principal. El procedimiento se repite sucesi-vamente para cada cubo creado. Así, cada alzado se muestra como una alfombra de Sierpinski.



Fig.: 27. http://www.3d-gfx.com/fractals/3d/cubes02.jpg

14



3.10 Fractal de Mandelbrot

Benoit Mandelbrot descubrió que los fractales no son meros objetos abstractos porque existen también en la naturaleza. Esto abrió nuevos terrenos de investi-gación en la teoría del caos.

Mandelbrot inició sus estudios en París, trabajo en los Estados Unidos para como matemático en la empresa de informática IBM. En 1987 ingresó al cuerpo de profesores de la Universidad de Yale.Los fractales han pasado a ser elemento no solo empleados en teorías matemá-ticas, sino que debido a su atractivo visual se han convertido en sí mismos en elementos artísticos. Fig.: 28. http://h3llb0yn3cr0.deviantart.

com/art/Mandelbrot-Fractal-218423154.jpg

Fig.: 29. http://h3llb0yn3cr0.deviantart.com/art/Mandelbrot-Fractal-127122783.jpg

15



16

3.11 Colores de un fractal de Man-delbrot Para decidir un color en función de n existen varias alternativas. Algunas de ellas serían: Mostrar el color según la iteración Mostrar en blanco y negro Mostrar el color según la iteración y con des-composición binaria Mostrar en blanco y negro y con descompo-sición binaria

Fig.: 30. http://4.bp.blogspot.com/_uX-U-u537B4/TLyYt_JUw1I/

AAAAAAAAE3k/6Rk8gWCmBLk/s1600/LhrMyRXKX9w!v!gOqzkEBlYSdf8.jpg



17

5 DISEÑO DE MOBILIARIO FRACTAL



18

Modulo 01

Modulo 02

Modulo 03

Modulo 04

Fig.: 31. “Modulo Base” Fuente: autor

Fig.: 32. “Concreción morfológica” Fuente: autor

Fig.: 33. “Crecimiento de modulo: reflexión, rotación.” Fuente: autor

Fig.: 34. “Crecimiento de modulo” Fuente: autor



19

Modulo 05

Modulo 06

Modulo 07Fig.: 35. Fuente: autorFig.: 36. Fuente: autor

Fig.: 37. Fuente: autor



20

Modulo 08 Modulo 09Fig.: 38. Fuente: autorFig.: 39. Fuente: autor



21

Modulo 10

Escala: 1:000




22

Modulo 10Fig.: 41. Fuente: autor




23

SierpinskyMobiliario Fractal:

Escala: 1:20



24

Fig.: 43.

Fuente: Autor

Sierpinsky - MandelbroMobiliario Fractal:



25

Sierpinsky - MandelbrotMobiliario Fractal:

Escala: 1:32




26

Fig.: 44.

Fuente: Autor



27


Escala: 1:32



28

Fig.: 45.

Fuente: Autor




29


Escala: 1:32



30

Fig.: 46.

Fuente: Autor




31


Escala: 1:32



32

Fig.: 47.

Fuente: Autor




33


Escala: 1:32



34

Fuente: Autor


Fig.: 48.



35


Escala: 1:40



36

Fig.: 49.

Fuente: Autor




37


Escala: 1:32



38

Fig.: 50.

Fuente: Autor




39


Escala: 1:32



40


Fig.: 51.

Fuente: Autor



41


Escala: 1:15



42

Fig.: 52.

Fuente: Autor




43


Escala: 1:20



44

Fig.: 53.

Fuente: Autor




45


Escala: 1:20



46


Fig.: 54.

Fuente: Autor



47


Escala: 1:15



48


Fig.: 55.

Fuente: Autor



49


Escala: 1:32



50


Fig.: 56.

Fuente: Autor



51


Escala: 1:32



52

Fig.: 57.

Fuente: Autor




53


Escala: 1:32



54


Fig.: 58.

Fuente: Autor



55


Escala: 1:20



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Fig.: 59.

Fuente: Autor




57


Escala: 1:32



58

Fig.: 60.

Fuente: Autor




59

Mandelbrot - AutosimilitudMobiliario Fractal:

Escala: 1:15



60

Fig.: 61.

Fuente: Autor




61

5 ANEXOS



62


Escala: 1:32



63


Escala: 1:15




64











65












66

6 CONCLUSIONES

Del análisis realizado en la presente monografía, así como de la información y el mobiliario generado se desprenden las siguientes conclusiones:

Utilizando la teoría de fractales como premisa para generar mobiliario en función es-cultórica, obtuvimos resultados con un alto grado de riqueza visual, para delimitar estos

resultados fue necesario recurrir a los comptos básicos de diseño, estos conceptos no alteran en ninguna forma los objetivos plantados, también trabajamos en los distintos

planos de los ejes cartesianos, proporcionando diversos resultados en casa superficie, pero conservando rasgos de autosimilitud.

Los resultados obtenidos en esta monografía dejan abierta a la posibilidad de plantear diversas formas en el diseño, no solo utilizando teorías fractales pues son los conceptos

que estructuran al diseño.



67

7 BIBLIOGRAFIA.

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INDICE

Introducción 11 Fractales 31.1 Definición1.2 Geometría1.3 Materia1.4 Imaginación.1.5 Matemáticas 42 Lenguaje 52.1 Lineal o fractal2.2 Origen y evolución2.3 Lineal o Euclidiano 62.4 No lineal o fractal3 Tipos de Fractales 83.1 Características3.2 Usos 93.3 Fractales en la naturaleza 103.4 Paisajes fractales3.5 Arboles fractales 113.6 Autosimilitud3.7 Fractales de Sierpinski 123.8 Triangulo de Sierpinski3.9 Alfombra de Sierpinski 133.10 Fractal de Mandelbrot 15

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3.11 Colores de un fractal de Mandelbrot 164 Diseño de Mobiliario Fractal 175 Anexos 606 Conclusiones 667 Bibliografía 67

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