Initiere in Transferul de Caldura Si Masa

7/28/2019 Initiere in Transferul de Caldura Si Masa

1/257

Prof.dr.ing. Adrian Alexandru Badea

INITIERE IN TRANSFERUL DE

CALDURA SI MASA

2004


2/257

CUPRINS

Cap.1 Consideraii generale

1.1. Definiii 11.1.1. Cmpul de temperatur... 11.1.2. Suprafaa izoterm.. 21.1.3. Gradientul de temperatur.. 21.1.4. Fluxul termic... 31.1.5. Fluxuri termice unitare... 31.1.6. Linii i tub de curent. 3

1.2. Analogia electric a transferului de cldur 41.3. Modurile fundamentale de transfer al cldurii 4

1.3.1. Conducia termic... 41.3.2. Convecia termic.. 51.3.3. Radiaia termic. 7

Cap.2 Transferul de cldur prin conducie2.1. Ecuaiile difereniale ale conduciei termice 9

2.1.1. Ecuaia legii lui Fourier.. 92.1.2. Ecuaia general a conduciei termice 92.1.3. Condiii de determinare univoc a proceselor

de conducie 132.1.4. Conductivitatea termic.. 15

2.2. Conducia termic unidirecional n regim constant.. 172.2.1. Corpuri cu forme geometrice simple fr surse

interioare de cldur. 172.2.1.1. Peretele plan.. 172.2.1.2. Peretele cilindric. 302.2.1.3. Peretele sferic. 362.2.2. Corpuri cu forme geometrice simple cu surse

interioare de cldur uniform distribuite.. 382.2.2.1. Peretele plan.. 38

2.2.2.2. Peretele cilindric. 422.2.2.3. Perete cilindric tubular 432.2.3. Conducia termic prin suprafee extinse... 46

2.2.3.1. Ecuaia general a nervurilor.. 462.2.3.2. Nervura cu seciune constant 48

2.2.3.3. Nervura circular 54


3/257

Iniiere n transferul de clduri masviii

2.2.3.4. Transferul de cldur printr-un perete nervurat.. 582.3 Conducia termic bidirecional n regim constant. 61

2.3.1. Metoda separrii variabilelor.. 61

2.3.2. Metoda grafic 652.3.3. Metode numerice 71

2.4. Conducia termic n regim tranzitoriu 732.4.1. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene

interne neglijabile... 752.4.2. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene

de suprafa neglijabile. 78

2.4.3. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezisteneinterne i de suprafa finite... 80

2.4.3.1. Perete plan infinit 802.4.3.2. Discretizarea ecuaiei difereniale a conductei

tranzitorii 87

Cap.3 Convecia termic3.1. Introducere n convecia termic.. 91

3.1.1. Elemente fundamentale i definiii. 913.1.2. Ecuaiile difereniale ale conveciei 943.1.2.1. Ecuaia conduciei.. 943.1.2.2. Ecuaia micrii.. 953.1.2.3. Ecuaia continuitii 97

3.1.2.4. Condiii de determinare univoc. 983.1.3. Factorii care influeneaz transferul de cldur.. 993.1.4. Metode de determinare a coeficientului de

convecie. 1003.1.5. Studiul experimental al proceselor de convecie

termic 1033.1.5.1. Bazele teoriei similitudinii.. 1043.1.5.2. Analiza dimensional.. 106

3.1.5.3. Planificarea experimentului i corelarea datelorexperimentale.. 111

3.2. Convecia liber... 1143.2.1. Convecia liber n spaii mari 115

3.2.2. Convecia liber n spaii limitate.. 1193.3. Convecia forat monofazic exterioar. 122

3.3.1. Convecia forat la curgerea peste o plac 122

3.3.2. Convecia forat la curgerea peste un cilindru.. 1263.3.3. Transferul de cldur la curgerea forat peste

un fascicul de evi.. 1303.4. Convecia forat monofazic la curgerea prin canale. 135

3.4.1. Curgerea prin canale circulare 135

3.4.1.1. Transferul de cldur la curgerea laminar 1353.4.1.2. Transferul de cldur la curgerea turbulent.. 139


4/257

Cuprins ix

3.4.2. Curgerea prin canale necirculare 1443.4.2.1. Canale inelare. 1443.4.2.2. Canale rectangulare 146

3.4.2.3. Canale ondulate.. 1473.5. Transferul de cldur la fierbere.. 150

3.5.1. Clasificarea proceselor de fierbere. 1503.5.2. Fierberea n volum mare. 151

3.5.2.1. Condiiile amorsrii nucleaiei 1513.5.2.2. Regimurile fierberii 1533.5.2.3. Transferul de cldur la fierberea nucleic. 156

3.5 .2.4. Transferul de cldur la fierberea pelicular.. 1613.5.3. Fierberea cu convecie forat 162

3.5.3.1. Mrimi caracteristice.. 1623.5.3.2. Structura curgerii bifazice.. 1633.5.3.3. Transferul de cldur la fierberea cu convecie

forat. 1673.6. Transferul de cldur la condensare. 168

3.6.1. Condensarea pelicular . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . 1693.6.1.1. Transferul de cldur la condensarea pelicular

cu curgere laminar. 1713.6.1.2. Transferul de cldur la condensarea pelicular

cu curgere turbulent.. 176

3.6.1.3. Influena vitezei vaporilor asupra coeficientuluide convecie 177

3.6.1.4. Influena prezenei gazelor necondensabileasupra condensrii peliculare.. 178

3.6.1.5. Condensarea pelicular n interiorul evilor... 1793.6.2. Transferul de cldur la condensarea nucleic... 181

Cap.4 Radiaia termic4.1. Elemente fundamentale 183

4.1.1. Natura fenomenului 1834.1.2. Definiii... 184

4.1.3. Legile radiaiei termice... 1894.1.3.1. Legea lui Planck. 189

4.1.3.2. Legea lui Stefan Boltzmann 1914.1.3.3. Legea lui Kirchhoff. 1944.1.3.4. Legea lui Lambert... 195

4.2. Transferul de cldur prin radiaie ntre corpuri separateprin medii transparente 1954.2.1. Transferul de cldur prin radiaia ntre dou

suprafee plane paralele.. 1954.2.2. Transferul de cldur prin radiaie ntre dou

corpuri oarecare.. 1984.3. Radiaia gazelor 205


5/257

Iniiere n transferul de clduri masx

Cap.5 Intensificarea transferului termic5.1. Intensificarea transferului termic convectiv 212

5.1.1. Metode de intensificare... 212

5.1.2. Nervurile. 2165.1.3. Inseriile.. 220

5.1.4. Suprafee rugoase 2215.1.5. Intensificarea transferului termic la fierbere... 223

5.1.6. Intensificarea transferului de cldur lacondensare.. 225

5.2. Intensificarea transferului termic prin radiaie 228

Cap.6 Transferul de mas6.1. Transferul de mas prin difuziune molecular. 229

6.1.1. Definiii. Legi de baz 2296.1.2. Ecuaii difereniale ale difuziei moleculare 2356.1.2.1. Ecuaia de continuitate 2356.1.2.2. Forme speciale ale ecuaiei de continuitate 2386.1.2.3. Condiii iniiale i la limit. 2406.1.3. Difuzia masic prin medii cu geometri simple

fr reacii chimice care genereaz mas nvolum.. 241

6.2. Transferul de mas convectiv... 2436.2.1. Ecuaii de baz 244

6.2.2. Transferul de mas interfazic.. 245Bibliografie


6/257

CAP.1 CONSIDERAII GENERALE

1.1. Definiii

Transferul de cldureste tiina proceselor spontane, ireversibile,de propagare a cldurii n spaiu i reprezint schimbul de energie termicntre dou corpuri, dou regiuni ale unuicorp sau dou fluide sub aciuneaunei diferene de temperatur.

Transferul de cldur face parte din tiina mai larg a studiuluicldurii, el respectnd cele dou principii ale termodinamicii: primul

principiu care exprim legea conservrii energiei termice n procesele detransfer i cel de al doilea principiu potrivit cruia transferul de cldur serealizeaz ntotdeauna de la o temperatur mai ridicat ctre o temperatur

mai cobort.

1.1.1.Cmpul de temperatur

Temperatura caracterizeaz starea termic a unui corp, caracterizndgradul de nclzire a acestuia.

n fiecare punct M (x,y,z) dintr-un corp solid, lichid sau gazos sepoate defini o temperatur, funcie scalar de coordonatele punctului i detimp:

T= T (x,y,z,) (1.1)

Cmpul de temperatur definit de relaia (1.1) este tridimensional inestaionar. Dac temperatura nu depinde de timp, cmpul de temperatureste staionar sau permanent. Cel mai simplu cmp de temperatur, careva fi utilizat cel mai des n acest curs este cmpul staionar unidirecional:

T = T (x). (1.2)


7/257

Iniiere n transferul de clduri mas2

1.1.2. Suprafaa izoterm

Suprafaa izoterm este locul geometric al punctelor din spaiu carela un moment dat au aceeai temperatur. n regim nestaionar suprafeeleizoterme sunt mobile i deformabile; n regim staionar ele sunt invariabile.Suprafeele izoterme nu pot intersecta, acelai punct din spaiu la acelaimoment de timp, neputnd avea temperaturi diferite.

Unitatea de msur pentru temperatur este gradul Kelvin ,definit ca 1/273,16 din temperatura termodinamic a punctului triplu al apei.

In sistemul internaional de uniti de msur este tolerat i gradul Celsius[C], care are aceeai msur cu gradul Kelvin, diferind doar originea scriide msur. Din aceste considerente vom utiliza n lucrare att K ct i C.

1.1.3. Gradientul de temperatur

Cmpul de temperatur fiind o funcie derivabil se poate defini norice punctM, la fiecare moment un vector al gradientului de temperaturn direcia normal la suprafaa izoterm care trece prin acel punct (1.1):

grad T=

n

T

n

t

n 0

lim [K/m] . (1.3)

Fig.1.1Gradientul de temperatur

n

x

T+t nx

T


8/257

Consideraii generale 3

1.1.4. Fluxul termic

Fluxul termic este cantitatea de cldur care trece printr-o suprafaizoterm n unitatea de timp:

QQ [W] . (1.4)

unde: Q este cantitatea de cldur, n J; este intervalul de timp n s.

1.1.5. Fluxuri termice unitare

Fluxul termic unitar de suprafa (densitatea fluxului termic)reprezint fluxul termic care este transmis prin unitatea de suprafa:

S

Qqs [W/m2] . (1.5)

Fluxul termic unitar linear este fluxul termic transmis prin unitateade lungime a unei suprafee:

L

Qql [W/m] (1.6)

Fluxul termic unitar volumic este fluxul termic emis sau absorbitde unitatea de volum dintr-un corp:

V

Qqv [W/m

3] . (1.7)

1.1.6 Linii i tub de curent

Liniile de curent sunt tangentele la vectorii densitii fluxului termic

sq

Ansamblul liniilor de curent pentru un contur dat formeaz tubul decurent.


9/257


1.2. Analogia electric atransferului de cldur

Dou fenomene sunt analoge dac difer ca natur dar au ecuaiicare le caracterizeaz identice ca form.

n cazul transferului de cldur exist o analogie a acestuia cufenomenul de trecere a curentului electric printr-un circuit:

t

s

R

Tq

[W/m2], respectiv:

eR

UI

[A], (1.8)

unde: et RR , sunt rezistenele termice, respectiv electrice, n (m2K)/W,

respectiv ; T diferena de temperatur, n K; U diferena depotenial, n V;Icurentul electric, n A.

n baza acestei analogii, se pot aplica problemelor de transfer decldur o serie de concepte din teoria curentului electric, pentru un circuittermic putnd construi un circuit electric echivalent , pentru care calcululrezistenei termice total se face cu aceleai reguli ca la circuitele electrice.

1.3. Modurile fundamentalede transfer al cldurii

Transferul de energie termic se poate realiza prin trei modurifundamentale distincte: conducia termic , convecia termic i radiaiatermic.

1.3.1. Conducia termic este procesul de transfer al cldurii dintr-ozon cu o temperatur mai ridicat ctre una cu temperatur mai cobort,n interiorul unui corp (solid, lichid sau gazos) sau ntre corpuri solide

diferite aflate n contact fizic direct,fr existena uneideplasri aparente aparticulelorcare alctuiesc corpurile respective [ 1 ] .

Mecanismul conduciei termice este legat de cinetica molecular, deinteraciunea energetic ntre microparticulele care alctuiesc corpurile(molecule, atomi, electroni).

n corpurile solide nemetalice , conducia se realizeaz printransferul energiei vibraiilor atomilor. Purttorii asociai acestor undelongitudinale i transversale sunt fononi(teoria statistic Bose-Einstein iDebye)[ 11 ] .


10/257


n cazul metalelor conducia termic se realizeaz att prin fononict i prin electroni liberi (teoria statistic Fermi-Dirac). n acest caz

ponderea electronilor liberi este de 10 30 ori mai mare dect cea afononilor.

n cazul gazelor macroscopic imobile, conducia termic seefectueaz prin schimbul de energie de translaie, de rotaie i vibraie amoleculelor (teoria cineticii gazelor, statistica Maxwell-Boltzmann).

Pentru lichide exist dou mecanisme de propagare a cldurii princonducia: ciocnirile elastice legate de micarea de mic amplitudine a

moleculelor n jurul poziiilor lor de echilibru i deplasarea electronilorliberi (potenialul Van der Waals).Ecuaia fundamental a conduciei termice este ecuaia legii lui

Fourier (1822):

dx

dTSQ [W]. (1.9)

sau:gradTqs [W/m

2] , (1.10)

unde: este conductivitatea termic, n W/(mK); S suprafaa, n m2;

sqQ, fluxul termic, respectiv fluxul termic unitar de suprafa, n W,

respectiv W/m2; Ttemperatura, n K.Ecuaia legii lui Fourier este valabil pentru conducia termic

unidirecional n regim staionar, prin corpuri omogene i izotrop, frsurse interioare de cldur.

Semnul minus din ecuaia (1.1) i (1.2) ine seama c fluxul termicse propag de la o temperatur mai ridicat ctre una mai cobort, avndsens invers gradientului de temperatur.

1.3.2. Convecia termic

Convecia termic reprezint procesul de transfer de cldur ntre unperete i un fluid n micare, sub aciunea unei diferene de temperaturntre perete i fluid.

Convecia presupune aciunea combinat a conduciei termice nstratul limit de fluid de lng perete, a acumulrii de energie intern i amicrii de amestec a particulelor de fluid.

Intensitatea procesului de convecie depinde n msur esenial demicarea de amestec a fluidului. Dup natura micrii se disting dou tipuri


11/257


de micare crora le corespund dou tipuri de convecie: liber sau naturali forat. Micarea liber este datorat variaiei densitii fluidului cutemperatur. La nclzirea fluidului densitatea lui scade i el se ridic; larcire, densitatea crete i fluidul coboar pe lng suprafaa de schimb decldur. Intensitatea micrii libere este determinat de natura fluidului,diferena de temperatur ntre fluid i perete, volumul ocupat de fluid icmpul gravitaional.

Micarea forat a unui fluid este determinat de o for exterioarcare l deplaseaz (pomp, ventilator, diferen de nivel, etc.).

Ecuaia fundamental a conveciei termice este dat de formula luiNewton (1701):

TSTTSQ pf // [W] , (1.11)

sau:

Tqs [ W/m2] . (1.12)

unde: este coeficientul de convecie, n W/(m2K); pfTT , temperaturile

fluidului, respective a peretelui, n K; S suprafaa, n m2.

Coeficientul de convecie , caracterizeaz intensitatea transferuluide cldur convectiv. El este diferit de legea lui Newton ca fluxul termictransmis prin convecie prin unitateade suprafa izoterm la o diferen detemperatur de 1 K.

Coeficientul de convecie se poate modifica n lungul suprafeei detransfer de cldur. Valoarea sa ntr-un anumit punct se numete local. ncalculele termice se utilizeaz de obicei valoarea medien lungul suprafeeia coeficientului de convecie.

Valoarea coeficientului de convecie depinde de numeroi factori:natura fluidului, viteza fluidului, presiune, temperatur, starea de agregare,

geometria suprafeei, etc.n tabelul 1.1 sunt prezentate ordinele de mrime a coeficientului de

convecie pentru diferite fluide [39].


12/257


Tabelul 1.1

Ordinul de mrime a coeficientului de convecie Fluidul i tipul conveciei , n W/(m2K)

Gaze, convecie liber 6 - 30Gaze, convecie forat 30 - 300Ulei, convecie forat 60 - 1800Ap, convecie forat 500 - 40.000Ap, fierbere 3000 - 60.000

Abur, condensare 6000 - 120.000

1.3.3 Radiaia termic

Radiaia termic este procesul de transfer de cldur ntre corpuri cutemperaturi diferiteseparate n spaiu.

Orice corp S emite prin radiaii electromagnetice energie.Transportul se realizeaz prin fotoni, care se deplaseaz n spaiu cu vitezaluminii. Energia transportat de acetia este n funcie de lungimea de unda radiaiei.

Transferul de cldur prin radiaie se realizeaz de la distan.Fenomenul are dublu sens: un corp radiaz energie ctre altele, dar la rndulsu primete energie emis sau reflectat de corpurile nconjurtoare. Dacavem dou corpuri Si S, corpul Semite energie prin radiaie ctre corpulSdar i primete radiaie de la corpul S , emis sau reflectat de acesta.Dac ,'ss TT pe ansamblu apare un flux termic net transmis de corpul S

ctre corpul S.Relaia de baz a transferului de cldur prin radiaie a fost stabilit

experimental de Stefan n 1879 i teoretic de Boltzmann n 1984. EcuaiaStefan Boltzmann exprim fluxul termic emis de un corp negru absolutsub forma:

4

0STQ [W] (1.13)

unde: 0 este coeficientul de radiaie a corpului negru( 80 1067,5

W/(m2K4); S, Tsuprafaa, respective temperatura, n m2,

respective K.


13/257

CAP. 2 TRANSFERUL DE CLDURPRIN CONDUCIE

2.1. ECUAIILE DIFERENIALEALE CONDUCIEI TERMICE

2.1.1. Ecuaia legii lui Fourier

Aceast ecuaie care caracterizeaz conducia termicunidirecional, n regim permanent prin corpuri omogene i izotrope, frsurse interioare de cldur, reprezint ecuaia fundamental a conduciei.

Ea a fost enunat n capitolul anterior i are forma:

dxdTqS [W/m2]. (2.1)

2.1.2. Ecuaia general a conduciei termice

Aceast ecuaie caracterizeaz conducia tridimensional, n regimnestaionar, prin corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite.

Ipotezelecare stau la baza determinrii acestei ecuaii sunt:- corpul este omogen i izotrop, astfel nct conductivitatea termic

este constant i are aceleai valori n toate direciile:

.;constzyx - cldura specific pc i densitatea sunt constante n intervalul de

temperatur considerat;- n interiorul corpului exist surse de cldur uniform distribuite cu

densitatea volumic (flux termic unitar volumic) qv [W/m3] = const.;

- deformarea corpului prin dilataie datorit variaiei temperaturiieste neglijabil:

Pentru determinarea acestei legi se consider un element cu volumuldv dintr-un corp (figura 2.1), pentru care se va scrie bilanul termic [20].


14/257


Fig.2.1.Conducia termic printr-un element de volum

Ecuaia bilanului termic pentru elementul dv are forma:

cldura intrat i rmas n corp cldura generat de surseprin suprafeele lui exterioare (dQ1) interioare de cldur (dQ2)

cldura acumulatn corp (dQ3)

Cldura intrat n elementul dvprin conducie dup direcia Ox, sepoate scrie, utiliznd ecuaia legii lui Fourier:

dydzdx

T

dydzdqdQ sx1 [J], (2.3)unde: dxdzeste suprafaa de schimb de cldur prin care intr cldura dupdirecia Ox.

Cldura ieit din elementul dv dup aceeai direcie, innd seama

c temperatura feeiA'B'C'D'a elementului dv este dxx

TT

, va fi:

dydzddxx

TT

xdQx

2 [J]. (2.4)

Cldura rmas n elementul dvdup direcia Ox va fi atunci:

dQ 2

A'A

D

C

D'

C'

B B'

T

dQx1

dQz1

dQx2

dQ 1

dQz2

dxx

TT

O

+ =

=


15/257

Transferul de cldur prin conducie 11

ddvx

Tdxdydzd

x

T

dydzddxx

TT

xdydzd

x

TdQdQdQ xxx

2

2

2

2

21

[J]. (2.5)

n mod analog se poate scrie cantitatea de cldur rmas nelementul dvdup direciile Oy i Oz:

ddv

y

TdQy

2

2

, (2.6)

.2

2

ddvz

TdQz (2.7)

Cantitatea total de cldur intrat prin suprafaa lateral aelementului dvi rmas n aceasta va fi:

,2

2

2

2

2

2

2

1

dTdvddvz

T

y

T

x

TdQ (2.8)

unde: T2 este laplacianul temperaturii.Cantitatea de cldur generat de sursele interioare de cldur

uniform distribuite este:ddvqdQ v 2 [J] . (2.9)Cldura acumulat n corp se poate determina utiliznd relaia:

dT

dvcdT

cmdQ pp3 [J] . (2.10)

nlocuind valorile lui 321 ,, dQdQdQ n ecuaia bilanului termic

(2.2), se obine:

ddvqTdvdddv

Tc vp

2 , (2.11)

sau:

.2

cp

qTcp

T v

(2.12)

Definind difuzivitatea termicpc

a

ecuaia general a

conduciei are forma:

vqTT

a

21 (2.13)


16/257


Difuzivitatea termic a reprezint o proprietate fizic a unuimaterial, ea caracteriznd capacitatea acestuia de transport conductiv alcldurii.

Ecuaia general a conduciei termice are o serie de cazuriparticulare, prezentate n tabelul 2.1

Tabelul 2.1

Ecuaiile difereniale ale conduciei termice

Denumire Regimul EcuaiaEcuaia general a

conduciei

Regim tranzitoriu cusurse interioare de

cldur

vqTT

a

21

Ecuaia lui PoissonRegim constant cu surse

interioare de cldur0

2

vq

T

Ecuaia lui FourierRegim tranzitoriu fr

surse interioare decldur

TT

a

21

Ecuaia lui LaplaceRegim constant frsurse interioare de

cldur02 T

n cazul corpurilor neomogene i neizotrope : ,,, zyx la

care )(T i )(Tcc pp i care au surse interne de cldur discrete n

punctelexi,yi,zi, cu densitile ,,,, iiii zyxq ecuaia general a conducieise poate scrie [39] :

.,,,0

ii

n

ii

iz

yxp

zyxqz

T

z

y

T

yx

TTTTc

(2.14)


17/257


2.1.3. Condiii de determinare univoca proceselor de conducie

Ecuaiile difereniale prezentate descriu o scar larg de procese deconducie termic. Pentru descrierea unui proces concret de transferconductiv, ecuaiilor difereniale trebuie s li se ataeze condiii dedeterminare univoca procesului.

Aceste condiii sunt de urmtoarele tipuri:Condiii geometrice, care dau forma i dimensiunile spaiului n

care se desfoar procesul de conducie.Condiii fizice, care dau proprietile fizice ale corpului: pc,, i

variaia surselor interioare de cldur.Condiiile iniiale, care apar n cazul proceselor nestaionare i dau

de obicei, valorile cmpului de temperatur, la momentul iniial 0 .Condiiile limit sau de contur, care definesc legtura corpului cu

mediul ambiant i care se pot defini n mai multe forme [36] :a) Condiiile la limit de ordinul I(condiii Dirichlet) se refer la

cunoaterea cmpului de temperatur pe suprafaa corpului n orice momentde timp: .,,, zyxTp

Un caz particular al acestui tip de condiii la limit este cel n caresuprafaa corpului este izoterm n timp: ctTp .

b) Condiiile limit de ordinul II (condiii Neumann), la care secunosc valorile fluxului termic unitar pe contur n orice moment de timp:

,,, zyxfn

Tq

p

sp (2.15)

n acest caz exist dou cazuri particulare:- fluxul termic unitar pe suprafa este constant: .constqsp ;

- fluxul termic unitar la suprafa este nul (corp izolat termic,adiabat):

.0

pn

T(2.16)

c) Condiiile la limit de ordinul III, la care se dau temperaturafluidului care nconjoar corpul fT i legea de transfer de cldur ntre

corp i fluid.n cazul n care transferul de cldur ntre corp i fluid se realizeaz

prin convecie, condiia la limit de ordinul III se scrie:


18/257


).( fpp

TTn

T

(2.17)

d) Condiiile limit de ordinul IV, care caracterizeaz condiiile detransfer la interfaa dintre dou corpuri solide de naturi diferite (figura 2.2)

Fig.2.2Condiii la limit de ordinul IV

n cazul n care contactul ntre cele dou corpuri este perfect (nuexist rezistene termice de contact), fluxul termic unitar de suprafa fiindacelai n ambele corpuri, condiiile la limit de ordinul IV se scriu:

.221

1

pp dx

dT

dx

dT

(2.18)

La interfaa de contact pantelecelor dou variaii ale temperaturilorndeplinesc condiia:

.1

2

2

1 consttgtg

(2.19)

2.1.4. Conductivitatea termic

Conductivitatea termic se definete din ecuaia legii lui Fourier:

Tgrand

qs [W/(mK)] . (2.20)

Solid 1 Solid 2

T

x

T

T1

1

T22

1 2


19/257


Ea reprezint fluxul transmis prin conducie prin unitatea desuprafa izoterm la un gradient de temperatur de 1K/m.

Conductivitatea termic este o proprietate a corpurilor care depindede natura acesteia, temperatur i presiune. Ordinul de mrime alconductivitii termice pentru diferite materiale este prezentat n figura 2.3[39].

Fig. 2.3.Ordinul de mrime al conductivitii termicepentru diferite materiale [20]

Pentru corpurile solide influena presiunii asupra lui esteneglijabil, variaia cu temperatura avnd forma:

T 10 [W/(mK)] (2.21)Variaiile conductivitii termice pentru cteva solide, lichide sau gaze sunt

prezentate n figurile (2.4), (2.5) i (2.6) [20].


20/257


Fig.2.4.Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru solide

Fig. 2.5.Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru lichide


21/257


Fig.2.6.Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru gaze

2.2. Conducia termic unidirecionaln regim constant

2.2.1. Corpuri cu forme geometrice simplefr surse interioare de cldur

2.2.1.1. Peretele plan

Se consider un perete plan ci grosimea p, dintr-un material cuconductivitatea termic p, prin care se transmite cldura de la un fluid caldcu temperatura Tf1, la un fluid rece cu temperatura Tf2 (figura 2.7)

a) Conducia la limit de ordinul I

n acest caz mrimile cunoscute sunt: grosimea peretelui , n m;conductivitatea termic p, n W/(mK); temperaturile celor doi perei Tp1iTp2, suprafaa peretelui S, n m

2.


22/257


Se ce mrimile: cmpul de temperatur T(x), fluxul termic unitarqsi fluxul termic Q.

n acest caz conducii a fiind unidirecional, n regim permanent,fr surse interioare de cldur se poate pleca de la ecuaia legii lui Fourier:

Fig. 2.7Conducia termic printr-un perete plan

dxdTqs (2.22)

Prin separarea variabilelor i integrare se obine:

2

10

p

p

p T

T

ps dTdxq , (2.23)

sau:

21 pppps TTq . (2.24)

Rezult:

Tp1

Fluid cald1

Fluid rece2

Tf1

Tf2

Tp2

xx =p

p

Tf1Tf2Rs1 Rs2

Rs3Tp1 Tp2

qs


23/257


p

p

pp

s

TTq

21 [W/m3] . (2.25)

Comparnd ecuaia (2.25) cu ecuaia analogiei electrice (1.8), rezultc rezistena termic conductiv pentru un perete plan este:

p

p

sR

[(m2K)/W] (2.26)

Fluxul termic va fi:

Q = qsS [W] (2.27]

Pentru determinarea cmpului de temperatur ecuaia (2.22) se vaintegra de la 0 lax, respectiv de la Tp1 la T(x). Rezult:

qsx = [Tp1T(x)] , (2.28)

de unde, nlocuind pe qscu valoarea din (2.25), rezult:

xTTTTp

pppx

211 . (2.29)

Rezult c variaia temperaturii prin perete este linear.n cazul n care conductivitatea termic nu este constant, ci variaz

liniar cu temperatura:

= 0(1 + T) [W/(mK)] , (2.30)

ecuaia legii lui Fouriei va fi:

dxdTTqs )1(0 [W/m2] . (2.31)


22212102

ppppps TTTTq

, (2.32)

sau:

21

210

21 pp

pp

p

s TTTT

q

[W/m2] , (2.33)


24/257


21 pp

ms TTq

[W/m2] . (2.34)

Rezult c n acest caz pentru determinarea fluxului termic unitar sepoate utiliza aceeai ecuaia ca pentru cazul = ct., conductivitatea termiccalculndu-se la temperatura medie a peretelui Tm = 0,5 (Tp1 + Tp2).

n cazul n care = 0 (1 + T), cmpul de temperatur, determinatanalog ca pentru = ct., are forma:

121)(0

2

1xqTxT sp . (2.35)

Variaia temperaturii prin perete n acest caz este prezentat n figura2.8.

Fig. 2.8Distribuia temperaturii la conduciatermic printr-un perete plan omogen

b) Condiii la limit de ordinul III

n acest caz mrimile cunoscute sunt temperaturile celor dou fluideTf1 i Tf2, cei doi coeficieni de convecie 1 i 2, grosimea iconductivitatea termic a peretelui pi p, suprafaa de schimb de cldurS.

Tp1

Tp2

= const.(=0)

=0(1+t)

T(x)

T

0


25/257


Se cere determinarea fluxului termic unitarqs, a fluxului termic i atemperaturilor peretelui Tp1i Tp2.

Fluxul termic unitar de suprafa se poate scrie n acest caz:

22221111 fppp

p

p

pfs TTTTTTq

[W/m2] (2.36)

Din aceste egaliti vor rezulta:

2

22

21

1

11

1

1

sfp

p

p

spp

spf

qTT

qTT

qTT

(2.37)

Prin nsumare se obine:

21

21

11

p

p

sff qTT . (2.38)

Rezult fluxul termic unitar de suprafa:

21

21

11

p

p

ff

s

TTq [W/m2] . (2.39)

La acelai rezultata se ajunge folosind analogia electric atransferului de cldur. n acest caz apar trei rezistene termice nseriate:

Rst=Rs1 +Rs2 +Rs3 [(m2K)/W] , (2.40)

unde: Rs1este rezistena termic convectiv la transferul ntre fluidul cald

i perete; Rs2 rezistena termic conductiv prin perete; Rs3 rezistenatermic convectiv de la perete la fluidul rece;Rstrezistena termic total.

Fluxul termic unitar la convecie este dat de relaia lui Newton:

s

pf

pfsR

TTTTTq

1. (2.41)

Rezult c rezistena termic convectiv n cazul peretelui plan este:


26/257


1

scvR [(m2K)/W] . (2.42)

Atunci fluxul termic unitar de suprafa va fi:

21

21

11

p

p

ff

st

s

TT

R

Tq [W/m2] . (2.43]

Se definete coeficientul global de transfer de cldurKs:

21

11

11

p

pst

sR

K [W/(m2K)] . (2.44)

Fluxul termic transmis va fi:

Q =Ks STf1Tf2) [W] . (2.45)

Temperaturile suprafeelor peretelui se stabilesc fie din ecuaiile(2.36 ), fie cu ajutorul rezistenelor termice.

n general temperatura ntr-un punct oarecare din perete se determincu relaia:

Tx = T0qsRs, ox , (2.46)

unde:T0este temperatura cunoscut ntr-un punct de referin;Rs,oxrezistena termic ntre punctul de referin i punctul cu Tx.Aplicnd relaia (2.46) rezult:

322111 sssfssfp RRqTRqTT ,sau:

21

11

112

p

p

sfsfp qTqTT ; (2.47)

i


27/257


322112 ssfsssfp RqTRRqTT ,sau:

2

2

1

12

11

sf

p

p

sfp qTqTT . (2.48)

c) Rezistene termice de contact

Dac dou suprafee plane vin n contact una cu cealalt, contactul

fizic direct, datorit rugozitii suprafeelor, se realizeaz pe o suprafa Sc,care reprezint o mic parte din suprafa total de contact S(figura 2.9)

Fig. 2.9Rezistena termic de contact

Suprafaa efectiv de contact este funcie de rugozitatea suprafeelori de fora de strngere ntre acestea, ea reprezentnd ntre 18% dinsuprafaa total.

Deoarece conductivitatea termic a fluidului din interstiiile ntrecele dou suprafee este diferit de conductivitatea termic a celor dousuprafee, la suprafaa de contact apare o diferen de temperaturTc,datorit unei rezistene termice de contactRscdefinit ca:

s

csc

q

TR

[(m2K)/W] . (2.49)

Mrimea invers rezistenei termice de contact este conductanatermic de contact:


28/257


scR

1* [W/(m2K)] . (2.50)

Rezistena termic de contact este compus din dou rezistenetermice legate n paralel: rezistena termic prin punctele solide de contact

Rssi rezistena termic prin fluidul din interstiiiRsf:

sfsssc RRR

111* [W/(m2K)] . (2.51)

Fluxul termic transmis n zona de contact va fi:

21

*2121 TTSSR

TTS

R

TTQ f

sf

c

ss

[W] . (2.52)

Dar:

2

2

1

1

ssR , (2.53)

f

sfR

. (2.54)

nlocuind valorile Rss

i Rsf

n ecuaia (2.52) i fcnd ipoteza: 1

=2 = /2, rezult:

ffc

S

S

S

S

21

21* 21 , (2.55)

sau:

f

f

medc

S

S

S

S1* [W/(m2K)] , (2.56)

unde: med este media armonic a conductivitii celor dou corpuri ncontact (1i 2).

Din relaia (2.56) rezult c rezistena termic de contact, respectivconducia termic de contact sunt dependente de:

presiunea de strngere a celor dou suprafee; rugozitatea suprafeelor; rezistena la ruperera materialului cu duritate mai mic; conductivitatea termic a celor dou solide; conductivitatea termic a fluidului din interstiii.


29/257


n figura 2.10 sunt date curbele de variaie a conductanei termice decontact n funcie de presiunea de strngere pentru 10 perechi de materiale

prezentate n tabelul 2.2 [37].

Fig. 2.10Variaia conductanei termice de contact


30/257


Tabelul 2.2

Caracteristicile suprafeelorn contact corespunztoarecurbelor de conductan termic din figura 2.10

Curba

nr.

Perechea de

materiale

Rugozitateasuprafeelor

mFluidul dininterstiiu

Temperatura

medie decontact

C1 Aluminiu 1,221,65 Vid (10-2 Pa) 43

2 Aluminiu 1,65 Aer 93

3 Aluminiu 0,150,2(neplane)

Foi de plumb(0,2 mm)

43

4 Oel inoxidabil 1,081,52 Vid (10-2 Pa) 305 Oel inoxidabil 0,250,38 Vid (10-2 Pa) 306 Oel inoxidabil 2,54 Aer 937 Cupru 0,180,22 Vid (10-2 Pa) 46

8 Oel inoxidabilaluminiu

0,761,65 Aer 93

9 Magneziu 0,20,41(oxidat)

Vid (10-2 Pa)30

10 Fieraluminiu Aer 27

d) Perete plan neomogen cu straturi perpendiculare

pe direcia de propagare a cldurii

Vom considera un perete plan format din 2 straturi cu rezistentermic de contact ntre ele, cu condiii la limit de ordinul III (figura 2.11).

Mrimile cunoscute n acest caz vor fi: temperaturile celor doufluide Tf1i Tf2, coeficienii de convecie 1i 2, grosimile celor doi perei1i 2, conductivitile termiceale pereilor1i 2, conductana termic

de contact *

i suprafaa de schimb de cldur S..


31/257


Fig. 2.11Transferul cldurii ntre dou fluide printr-un perete omogencu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii:a distribuia temperaturii; b schema electric echivalent.

Se cer: fluxul termice unitar de suprafa qs, fluxul termic Qi temperaturilepereilorTp1, Tp2, Tp3, Tp4.

Vom porni de la schema electric echivalent care este format din 5rezistene termice nseriate. Rezult:

5

1

21

i

si

ff

s

R

TTq [W/m2] , (2.57)

sau, nlocuind valorile celor 5 rezistene:

T

Tp11

11

1

ssps qRqT

*

1

sscsc qRqT

2

2

22

sspsp qRqT

2

22

1

sss qRqT

1

1

11

sspsp qRqT

Tf2

Tf1

Tp2

Tp3

Tp4

21

21

2

1

qsS

a)

1

1

1

sR

1

1

1

sp

R

*

1

sc

R 2

2

2

spR

22

1

s

R

Tf1 Tf2Tp1 Tp2 Tp3 Tp4

qs

b)


32/257


22

2

*

1

1

1

21

111

ffs

TTq [W/m2] . (2.58)

Coeficientul global de transfer de cldur va fi:

22

2

*

1

1

1

111

11

st

sR

K [W/(m2K)] (2.59)

Fluxul termic transmis va fi:

Q = qsS=Ks S(Tf1Tf2) [W] . (2.60)

Aplicnd regula dat de relaia (2.46) rezult:

1

1111

1

sfssfp qTRqTT ; (2.61)

1

1

112112

1

sfsssfpqTRRqTT ; (2.62)

*

1

1

1

132113

11sfssssfp qTRRRqTT ; (2.63)

2

224

1

sfspsfp qTRqTT . (2.64)

e) Perete compozit

Pentru exemplificarea acestui caz vom considera faada unei cldiri(figura 2.12) constituit din beton cu conductivitatea termic 1(haurat) iun material izolant (aer sau polistiren) cu conductivitatea termic 2 [1].


33/257


innd seama de simetria sistemului, acesta se poate descompune, nelemente de nlime identic b. Schema electric echivalent este compusdin 7 rezistene termice legate n serie i paralele.

Fig. 2.12 Perete compozit [1]

Rezistena termic total echivalent va fi:

76

543

21 1111

ss

sss

ssst RR

RRR

RRR

. (2.65)

Pentru determinarea rezistenelor termice vom scrie fluxul termicunitar pe fiecare zon, considernd o lime a peretelui z, astfel cazb=1m2.Vom obine pentru zonele omogene 1, 2, 4 i 5:

524

1

12

1

111 TTTTqs

. (2.66)

1

b3

b

b

T3T1 T2 T4 T5

Rs2Rs1

Rs3

Rs4

Rs5

Rs6 Rs7Tf1 Tf2

Tf1 Tf21 2

b1

b2

1


34/257


Rezult:

2

7

1

16

1

12

1

1

1;;;

1

ssss RRRR [(m2K)/W] (2.67)

Pentru zona 3 care este neomogen fluxul termic unitar va fi:

33

2

22

2

11

2

2321 Tzbzbzbqqqq ssss

. (2.68)

Rezult:

12

2

12

2

2

12

3

1

b

b

zbzbRs

; (2.69)

21

2

21

2

2

2114

1

b

b

zbzbRs

; (2.70)

32

2

32

2

2

32

5

1

b

b

zbzbRs

. (2.71)

2.2.1.2. Peretele cilindric

Se consider un perete cilindric tubular cu raza interioar ri(diametrul di) i raza exterioar re (diametrul exteriorde), alctuit dintr-unmaterial omogen cu conductivitatea termic = const.

a) Condiii la limit de ordinul I

Se dau: diametrele dii de, conductivitatea termic , lungimea lacilindrului i temperaturile pe cele dou fee Tp1i Tp2.

Se cer: determinarea cmpului de temperatur, fluxului termic unitarlinear i fluxului termic.

n cazul peretelui cilindric suprafaa sa variaz n lungul razei i nconsecin i fluxul termic unitar de suprafa va fi variabil n funcie de


35/257


raz. Din aceste motive n acest caz se utilizeaz fluxul termic unitar linearql. Legtura ntre cele dou fluxuri unitare este:

dqq sl [W/m] . (2.72)

Fig. 1.13Transferul de cldur conductiv printr-un perete cilindric:a) variaia temperaturii; b) schema electric echivalent

Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se pornete de laecuaia legii lui Fourier:

dr

dTSlqQ l . (2.73)

Suprafaa de schimb de cldur este: S= 2rl. Rezult:

ri

re

di

de

Tp1

Tp2

Tf1

Tf2

drr

d

dT

l=1m

=const.

T ql

a)

b)Tf2 Tf1Tp2 Tp1

Rl2 Rl1Rl3


36/257


dr

dTrql 2 . (2.74)

Separnd variabilele i integrnd se obine:

r

drqdT

e

i

p

p

r

r

e

T

T

22

1

, (2.75)

de unde:

i

e

pp

l

r

r

TTq

ln2

1

21

[W/m] . (2.76)

Din analogia electric va rezulta valoarea rezistenei termice lineare pentruperetele cilindric:

i

e

i

el

d

d

r

rR ln

2

1ln

2

1

[(mK)/W] . (2.77)

Pentru determinarea ecuaiei cmpului de temperatur ecuaia (2.75)se va integra de la Tp1 la T(r), respectiv de la ri la r. Se obine:

i

lp

r

rqrTT ln

2)(1 . (2.78)

nlocuind valoarea lui qldin (2.77), se obine:

)/(ln

)/(ln)( 211

ie

ippp

rr

rrTTTrT , (2.79)

relaie care arat c distribuia temperaturii n peretele cilindric este de tiplogaritmic.

n cazul n care conductivitatea termic este variabil linear cutemperatura: = 0 (1+T) ecuaia (2.74) devine:

dr

dTrTql 210 . (2.80)


37/257


Prin integrare ntre limitele r1i r, respectiv Tp1i T(r), rezult:

1/ln1)(

0

1

2

1

rrqTrT lp . (2.81)

Distribuia temperaturii prin perete n funcie de semnul lui esteprezentat n figura 2.14

b) Conducii la limit de ordinul III

n acest caz mrimile cunoscute vor fi: temperaturile celor doufluide Tf1 i Tf2, coeficienii de convecie i, e, diametrele i lungimea

peretelui: di, de, li conductivitatea termic .Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se va utiliza

analogia electric a transferului termic pentru schema echivalent din figura2.13.

Fig. 2.14Distribuia temperaturii la conduciatermic printr-un perete cilindric omogen

Fluxul termic unitar linear va fi:

d1

const.(=0)T(r)

0

=0(1+T)

Tp1

Tp2

T

d2

r

ql


38/257


321

21

lll

ff

lRRR

TTq

[W/m] , (2.82)

unde: Rl1 i Rl3 sunt rezistene termice convective, n mK/W; Rl2 rezistena termic conductiv, n mK/W.

Pentru determinarea valorii rezistenei termice convective se pleacde la relaia legii lui Newton:

TrlTSQ 2 [W] . (2.83)

Rezult:

d

T

l

Qql 1

[W/m] . (2.84)

Rezistena termic linear convectiv va fi:

dR cvl

1, [(mK)/W] . (2.85)

nlocuind n (2.82) valorile rezistenelor termice calculate cu (2.85)i (2.77), rezult:

eei

e

ii

ffl

dd

d

d

TTq

1ln

2

1121 [W/m] . 2.86)

Definind coeficientul global linear de transferde cldur:

eei

e

ii

l

dd

d

d

K

1

ln2

11

1[W/(mK)] , (2.87)

fluxul termic va fi:

21 ffl TTlKQ [W] . (2.88)

Pentru determinarea temperaturilor pereilor se va aplica relaia(2.46):

ei

lfllfpd

qTRqTT

1

1111 ; (2.89)


39/257


ee

lfllf

i

e

ii

lflllfp

dqTRqT

d

d

dqTRRqTT

1

ln2

11

232

12112

. (2.90)

c) Perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare

pe direcia de propagare a cldurii

Se consider un perete cilindric format din dou straturi cu rezisten

termic de contact ntre ele (figura 2.15).Rezistena termic total este:

232

3

2

*

21

2

111

2211

1ln

2

11ln

2

11

dd

d

dd

d

d

RRRRRR llplclpllt

. (2.91)

Coeficientul global de schimb de cldur, fluxul termic unitar lineari fluxul termic se determin cu relaiile:

Fig. 2.15Transferul cldurii printr-un perete cilindric neomogencu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii

232

3

2

*

21

2

111

1ln

2

11ln

2

11

1

dd

d

dd

d

d

Kl [W/(mK)];(2.92)

T1

T111

11

1

d

qRqT lll

*

2

1

dqRqT llclc

2

3

2

22 ln2

1

d

dqRqT llplp

23

22

1

dqRqT lll

1

2

1

11 ln2

1

d

dqRqT llplp

T2

T2

T3T4

i

d1

d2

d3

*


40/257


11 pfll TTKq [W/m] . (2.93)

Temperaturile peretelui se determin analog ca n cazul anterior(relaia 2.46). Pentru exemplificare:

222

1113

lpllf

lclpllfp

RRqT

RRRqTT

[C] . (2.94)

2.2.1.3. Peretele sferica) Condiii la limit de ordinul I

Se consider un perete sferic (sfer goal la interior, (figura 2.16) curaza interioar r1 i cea exterioar r2, dintr-un material cu conductivitateatermic . Se cunosc cele dou temperaturi pe suprafa Tp1i Tp2.

Fig. 2.16 Transferul cldurii prin conducieprintr-un perete sferic omogen

T Tp1

Tp2

T(r)

r1

r2

r dr

dT

d1d2

0

=const.


41/257


Fluxul termic, conform ecuaiei legii lui Fourier va fi:

dr

dTr

dr

dTSQ 24 [W] . (2.95)


2

1

2

1

24

r

r

T

Tr

drQdT

p

p

, (2.96)

Rezult:

21

21

11

4 rr

QTT pp . (2.97)

Fluxul termic va fi:

21

21

21

21

11

2

111

4

dd

TT

rr

TTQ

pppp [W] . (2.98)

Rezult c rezistena termic conductiv n cazul sferic va fi:

21

11

2

1

ddRtcd [K/W] (2.99)

Prin integrarea relaiei (2.96) de la Tp1 la T(r), respectiv de la r1 la r,rezult ecuaia cmpului de temperatur:

21

1

2111

1 11

11

11

4)(

rr

rr

TTTrr

Q

TrT pppp

(2.100)

Relaia (2.100) arat c variaia temperaturii prin perete este n acestcaz de tip hiperbolic.

b) Condiii la limit de ordinul III

Ecuaia fluxului termic convectiv n cazul sferei este:


42/257


2

2

1

d

TTdTSQ [W] (2.101)

Rezult c rezistena termic convectiv n cazul peretelui sfericeste:

2

1

dRtcv [K/W] . (2.202)

Aplicnd analogia electric, n cazul condiiilor la limit de ordinulIII fluxul termic va fi:

2

2

2211

2

1

21

1

21

111

2

11

2

dddd

TT

RRR

TTQ

ff

tcvtcdtcv

ff

[W] , (2.103)

sau:

21 ffsf TTKQ [W] . (2.104)

Rezult coeficientul global de schimb de cldur pentru peretelesferic:

2

2

2211

2

1

111

2

11

1

dddd

Ksf [W/K] . (2.105)

2.2.2. Corpuri cu forme geometrice simplecu surse interioare de cldur uniform

distribuite

2.2.2.1. Peretele plan

a) Perete rcit uniform pe ambele fee (fig.2.17a)Ecuaia diferenial care caracterizeaz conducia termic prin

corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite n regim permanenteste ecuaia lui Poisson, care scris pentru cmpul de temperaturunidirecional este:


43/257


02

2

vq

dx

Td. (2.106)

Integrnd de dou ori se obine:

1Cx

q

dx

dT v

, (2.107)

21

2

2CxCx

qT v

(2.108)

Pentru determinarea constantelor de integrare C1 i C2 se pot punecondiii la limit de ordinul I sau ordinul III. Peretele fiind rcit uniform peambele fee, n centrul plcii temperatura va fi maxim, deci:

lax = 0 , 0dx

dT. (2.109)

Fig. 2.17.Distribuia temperaturii printr-un perete plancu sursa interioar de cldur uniform distribuit:a) rcit uniform pe ambele fee; b) rcit neuniform

n cazul condiiile la limit de ordinul I: lax = , T=Tp . (2.110)

Cu aceste condiii la limit cele 2 constante rezult:

0

S

Tf Tf

Tp

Q1/2 Q1/2

Tp

Tm

qv=const.

=const.

a)

v=const.=const.

Q1 Q2

Qx Qx+dx

dx

m

Tm

S

T1

T2

Tp1

T2

1 2

2

0 b)


44/257


01 C i2

22

vpq

TC . (2.111)

Rezult:

2

21

2

xqTT vp . (2.112)

Temperatura maxim a peretelui va fi:

2

2

vpm qTT . (2.113)

Ecuaia cmpului de temperatur se poate scrie i pornind de latemperatura maxim, punnd condiia la limit:

lax = 0 , T= Tm . (2.114)Rezult: C1 = 0; C2 = Tm i:

2

2xqTT vm . (2.115)

n cazul condiiilor la limit de ordinul III, vom avea: lax = 0, 0

dx

dT;

lax = , fp TTdx

dT . (2.116)

Se obine: C1= 0 i:

vfpq

TT . (2.117)

nlocuind valoarea lui Tpn relaia (2.112), rezult:

2

2

12

xqq

TTvv

f . (2.118)

Fluxul termic transmis prin fiecare fa a peretelui cu suprafaa Svafi:

Sqdx

dTSQ v

x

2/1 [W] . (2.119)


45/257


b) Perete rcit neuniform pe cele dou fee (fig. 2.17.b)

n acest caz punnd condiiile la limit de ordinul I: lax = 0 , T= Tp1 ; lax = 2 , T= Tp2 ,

rezult:C2 = Tp1 i

vpp

qTTC

2

12

1 . (2.120)

Ecuaia cmpului de temperatur va fi:

1

122

22p

vppv TxqTTxq

T

. (2.121)

Temperatura maxim se realizeaz la distanax =xm, care rezult din ecuaiadT/dx = 0 :

2

12 pp

v

m

TT

qx . (2.122)

nlocuind valoarea lui xm n ecuaia (2.121), rezult temperaturamaxim:

21

2

122

2

2

1

82pppp

v

vm TTTT

q

qT

. (2.123)

Fluxurile termice transmise prin cele dou fee, avnd suprafaa Seste:

vppmv

qTTSSxqQ

2

12

1 [W] ,

(2.124)

2

212

2

ppvmv

TTqSxSqQ [W] .

(2.125)Condiiile la limit de ordinul III vor fi:

lax = 0 , 111 fp TTdx

dT ;

la x = 2 , 22 fp TTdx

dT .


46/257


Rezult temperaturile suprafeelor peretelui:

1

2

1

2

12

11

21

12 vff

fp

qTT

TT ;

(2.126)

2

1

2

1

21

22

21

12 vff

fp

qTT

TT . (2.127)

nlocuind aceste valori n ecuaia (2.121) se stabilete ecuaia cmpului detemperatur.

2.2.2.2. Peretele cilindric (fig. 2.18)

Ecuaia lui Poisson pentru conducia unidirecional n coordonatecilindrice are forma:

01

2

2

vq

dr

dT

rdr

Td, (2.128)

cu soluia general:

21

2

ln4

CrCrq

T v

. (2.129)

Punnd condiiile la limit:

la r= 0 , 0dr

dT;

la r = 0 , T= Tm ,rezult: C1= 0 i C2 = Tm. Ecuaia cmpului de temperatur va fi:

4

2rqTT vm . (2.130)

Temperatura peretelui se obine pentru r = R:

4

2RqTT vmp . (1.131)

Fluxul termic generat n perete i transmis prin suprafaa acestuiaeste:


47/257


lTTlqRdr

dTSQ pmv

r

42

0

[W] . (1.132)

Fig. 2.18 Perete cilindric cu surse interioarede cldur uniform distribuite

2.2.2.3. Perete cilindric tubular

n cazul transferului de cldur printr-un perete tubular, dac tubulcilindric are perei subiri (de/di1,1) el poate fi tratat cu bun aproximaie

ca un perete plan. n cazul tuburilor cu perei groi (de/di > 1,1) se potntlni trei cazuri: tubul are suprafaa interioar izolat termic, fiind rcit numai la

exterior (fig. 2.19.a); tubul are suprafaa exterioar izolat termic, fiind rcit numai la

interior (fig. 2.19.b); tubul termic este rcit pe ambele fee (fig. 1.19.c).

Ecuaiile cmpului de temperatur, razei la care apare temperatura maximi fluxurile transmise prin cele dou fee sunt prezentate n tabelul 2.3

qv = const.

= const.Tf Tf

Tp Tp

Tm

Qr+drQr

drrl

R

r0


48/257


Fig. 2.19.Perete tubular cu surse interioare de clduruniform distribuite:

a) rcit la exterior; b) rcit la interior; c) rcit pe ambele fee

qv=const

qv=const

qv=const

=const.=const.

=const.

Suprafa

izola

t

termic

Suprafa

izo

lat

termic

Fluid dercire

Fluid dercire

Fluid dercire

Fluid dercire

Re Re

Re

Ri Ri

Ri

Ti

Ti

Ti

Te

Te

Te

Tm

Rm

Qe

QeQi

Qi

a) b)

c)


49/257

Tabelul2.3

Perete tubular cu surse interioare de cldur

MrimeaRcit la exterior

(fig.2.19.a)Rcit la interior

(fig.2.19.b)Rcit pe ambele fee

(fig.2.19.c)

Cmpul detemperatur

1ln24

22

ii

ivi

R

r

R

rRqTT

1ln2

4

22

ee

eve

R

r

R

rRqTT

4

/ln

/ln

4

22

22

ievei

ei

iivi

RRqTT

RR

RrRrqTT

Raza la caretemperaturaeste maxim

Rm =Ri Rm =Ri

i

ev

iev

ie

m

R

Rq

RRq

TT

R

ln2

4

22

Fluxultransmis

prin pereteleinterior

viei lqRRQ 22 0 vimi lqRRQ 22

Fluxultransmis

prin pereteleexterior

0 viee lqRRQ 22 vmee lqRRQ 22


50/257


2.2.3. Conducia termic prinsuprafee extinse

n cazul transferului de cldur ntre un fluid cald i unul rece, printr-o suprafa de schimb de cldur, coeficientul global de schimb decldur este mai mic dect cel mai mic coeficient de convecie (Ks 4.2.2.3.4. Transferul de cldur printr-un

perete nervurat

Dac se consider un perete plan nervurat pe una din pri cusuprafaa pe partea ne nervurat S1i suprafaa pe partea nervurat St:

St= Sn + Snn [m2] (2.182)

unde: Sn, Snn sunt suprafa nervurilor, respectiv suprafaa din perete nenervurat (dintre nervuri).


63/257


Fig.2.27Transferul de cldur printr-unperete plan nervurat.

Fluxul termic transmis pe partea nervurat va fi:

0022 trednnnnnnn SSSQQQ [W](2.183)

Dar:

0 nn , deci:

00202 trednnnn SSSQ [W] , (2.184)de unde:

t

nnnnredS

SS 2 [W/(m2K)] . (2.185)

Fluxul termic transmis de la fluidul cald cu Tf1, ctre cel rece cutemperatura Tf2 va fi:

222111111 fptredpppf TTSTTSTTSQ

[W]

(2.186)Din acest ir de egaliti rezult:


64/257


red

tt

tff

tred

ff

S

S

S

S

STT

SSS

TTQ

11111

111

21

111

21 [W] (2.187)

n cazul peretelui nervurat se pot defini doi coeficieni globali deschimb de cldur, dup cum acetia se refer la suprafaa nervurat sau nenervurat:

2122111 fftSffS TTSKTTSKQ [W] . (2.188)

Rezult:

tred

S

S

SK

1

1

1 11

1

[W/(m2K)] , (2.189)

red

ttS

S

S

S

SK

11

1

111

2

[W/(m2K)] . (2.190)

Raportul St/S1, poart denumirea de coeficient de nervurare:

1S

Sn t . (2.191)

Din analiza relaiei (2.189), rezult ca prin nervurare (n ipotezan=1), coeficientul de convecie pe partea nervurat se mrete de nori. Dinacest motiv n multe lucrri nervurarea este menionat ca o metod deintensificare a transferului de cldur convectiv.


65/257


2.3. Conducia termic bidirecionaln regim constant

Tratarea unidirecional a problemelor de conducie d rezultateacceptabile n cazul corpurilor cu grosimea mult mai mic fa de lungimealor, cum sunt evile, plcile subiri, cilindri cu diametru mic, la caretransferul de cldur are loc predominant transversal. Exist ns cazuri ncare corpurile au contururi neregulate sau la care temperaturile pe contur nusunt uniforme. n aceste situaii tratarea problemelor trebuie fcut

bidirecional sau chiar tridimensional.Rezolovarea problemelor de conducie bi sau tridimensional se

poate realiza prin metode analitice, grafice sau numerice.

2.3.1. Metoda separrii variabilelor

Pentru exemplificarea acestei metode vom considera o placrectangular la care trei laturi sunt meninute la o temperatur constant T1,iar cea dea patra fat este meninut la temperatura T2T1 (figura 2.28).

Scopul studiului va fi determinarea cmpului de temperatur T(x,y) n placTransferul de cldur conductiv va fi bidirecional, n regim staionar

printr-un corp omogen i izotrop, fr surse interioare de cldur. Ecuaiadiferenial care caracterizeaz procesul va fi:

02

2

2

2

y

T

x

T. (2.192)

Pentru simplificarea soluiei vom face schimbarea de variabil:

12

1

TT

TT

, (2.193)

n acest caz ecuaia diferenial fiind:

02

2

2

2

yx

, (2.194)

condiiile la limit fiind:

0,0 y i 00, x ; (2.195) 0, yL i 1, Wx . (2.196)


66/257


Fig. 2.28Conducia termic bidirecionalprintr-o plac

Pentru rezolvarea ecuaiei se utilizeaz metoda separrii variabilelor,considernd funcia ca un produs a dou funcii, una numai funcie de x,cealalt numai funcie dey:

yYxXyx , . (2.197)Ecuaia (2.194) devine:

2

2

2

211

dy

Yd

Ydx

Xd

X

(2.198)

Pentru a avea aceast egalitate, fiecare membru al ei trebuie s fieegal cu aceeai constant. Pentru ca s se obin o soluie care s respectecondiiile la limit impuse, constanta trebuie s fie pozitiv 2 . Vom scrieatunci:

02

2

2

Xdx

Xd(2.199)

02

2

2

Ydy

Yd(2.200)

T(x,y)T1, = 0 T1, = 0

T1, = 0

T2, = 1

0

W

L

y

x


67/257


Soluiile generale ale ecuaiilor (2.199) i (2.200) sunt:xCxCX sincos 21 ; (2.201)

yy eCeCY 43 . (2.202)

Soluia general a funciei va fi: yy eCeCxCxC 4321 sincos . (2.203)

Din condiia (0,y) = 0 , rezult c C1 = 0Din condiia (x, 0) = 0 , rezult:

0sin 432 CCxC (2.204)Deoarece C2nu poate fi zero, pentru c n acest caz funcia nu ar mai fivariabil cux, rezult: C3 + C4 = 0, deci C3 = C4.Soluia general devine:

yy eexCC sin42 (2.205)Din condiia 0, yL , se obine:

0sin42 yy eeLCC

Aceast condiie se poate realiza numai dac constanta va luavalori pentru care 0sin L . Aceste valori sunt:

Ln cu n = 1, 2, 3.... (2.206)

Atunci:

LynLyn eeL

xnCC //42 sin

. (2.207)

Combinnd cele 2 constante C2i C4i trecnd la funcii hiperbolicese obine:

L

yn

L

xnC

n

n

sinhsin

1

. (2.208)

Pentru determinarea lui Cn se pune ultima condiie la limit

1, Wx :1sinhsin

1

L

Wn

L

xnC

n

n

. (2.209)

Pentru determinarea lui Cndin ecuaia (2.209) vom folosi analogiacu dezvoltarea n serii a funciilor ortogonale [20]. Astfel un ir infinit defunciig1(x),g2(x), .....,gn(x), .... va fi ortogonal n domeniul axb, dac:

b

a

nm dxxgxg 0 , mn . (2.210)


68/257


Orice funcie f(x) poate fi exprimat ca o sum infinit de funciiortogonale:

xgAxf nn

n

1

(2.211)

Forma coeficientului An din aceast serie se poate determina prinmultiplicarea fiecrui membru al ecuaiei cugn(x) i integrarea ntre limiteleai b:

dxxgAxgdxxgxf nn

n

b

a

n

b

a

n

1

.

(2.212)innd seama de condiia (2.209) rezult ca n membrul drept al

ecuaiei (2.212) va rmne din sum numai un singur termen pentru careintegrala nu este egal cu zero, deci:

dxxgAdxxgxfb

a

nnn

b

a

2 (2.213)

Rezult:

dxxg

dxxgxf

A b

a

n

n

b

an

2. (2.214)

Pentru determinarea lui Cndin ecuaia (2.209) vom alege f(x) = 1 i Lxnxgn /sin . Se va obine:

n

dxL

xn

dxL

xn

A

n

L

L

n

112

sin

sin1

0

2

0

. (2.215)

nlocuindAnn ecuaia (2.211) avem:

1sin112

1

1

L

xn

n

n

n

(2.216)

Comparnd ecuaia (2.216) cu (2.209), rezult:

LWnhn

Cn

n/sin

1121

, n = 1, 2, 3 ... (2.217)

Atunci ecuaia (2.208) devine:


69/257


LWnLyn

L

xn

nyx

n

n

/sinh

/sinhsin

112,

1

1

(2.218)

Ecuaia (2.218) este o serie convergent, care permite calculul lui pentru orice valoarexiy. n figura 2.29 sunt prezentate izotermele obinutepentru placa considerat [20].

Fig. 2.29Izotermele pentru o placcu conducie bidirecional

2.3.2. Metoda grafic

Metoda grafic poate fi utilizat pentru problemele la care conturulcorpului studiat este izoterm i adiabat.

Metoda se bazeaz pe faptul c izotermele i liniile care indicdirecia fluxului termic sunt perpendiculare.

Obiectivul metodei este s construiasc o reea de izoterme i liniiale fluxului termic.

Procedura de construcie a reelei exemplificat pentru un canalptrat cu lungimea l(figura 2.30), are urmtoarele etape [1]:

0.75

0.50

0.25

0.1

= 0

= 1W

L

= 0 = 0

0


70/257


1. Prima etap o constituie identificarea liniilor de simetrie idescompunerea corpului n elemente identice care vor fianalizate (figura 2.30b).

2. Liniile de simetrie sunt adiabate, izotermele fiind perpendicularepe ele.

3. Se traseaz toate izotermele cunoscute pe contur i se face oncercare de construire a celorlalte izoterme, care va trebui s fie

perpendiculare pe adiabate.4. Se traseaz ntreaga reea de izoterme i liniile de flux constant,

obinndu-se o reea de ptrate curbilinii care trebuie sndeplineasc condiia ca liniile de temperatur i flux constants formeze unghiuri drepte i fiecare latur a unui ptrat s aibaproximativ aceeai lungime. Deoarece ultima condiie estedificil de respectat strict, se accept ca s fie egale sumele feeloropuse ale fiecrui ptrat. Pentru unul din ptrate (figura 2.30c)condiia se scrie:

22

bdacy

cdabx

. (2.219)

Fig. 2.30 Conducia bidirecional ntr-un canalcu seciune ptrat i lungime l: a) liniile de simetrie;

b) reeaua de izoterme i linii de flux; c) elementcurbiliniu al reelei

T1

T2

Linii desimetrie

Adiabate

Izoterme

Tjqiqi

T1

T2

Tj

y

x

ab

cd

qi

x

(a)

(b)

(c)


71/257


Realizarea unei reele corecte se poate realiza numai prin iteraiisuccesive cu rbdare i sim artistic.

Dup obinerea reelei finale se dispune de o distribuie atemperaturii n corp i se poate calcula fluxul termic unitar.Astfel pentru celula din figura 2.30c avem:

x

Tly

x

TAQ

jj

ii

, (2.220)

Deoarece creterea de temperatur este aceeai pentru fiecare celul:

N

TTj

21 , (2.221)

unde: N este numrul de intervale (pai) de temperatur ntre feele cutemperaturile T1i T2.

innd seama c avem M culoare paralele de flux termic i cyx , fluxul termic total va fi:

21 TNMlMQQ i (2.222)

RaportulMl/N=Bdepinde de forma geometric a corpului i poartnumele de factor de form. Atunci:

21 TSQ [W] . (2.223)


72/257

Tabelul 2.5

Factorul de form pentru cteva sisteme bidirecionale

Nr. Sistemul Schema Restricii Factorul de form

1 2 3 4 5

1 Sfer izoterm ntr-un mediusemi-infinit

z>D/2zD

D4/1

2

2Cilindru orizontal izoterm culungimeaL ntr-un mediusemi-infinit

L >>DL >>Dz> 3D/2

DzL

Dzh

L

/4ln

2

/2cos

21

3Cilindru vertical ntr-unmediu semi-infinit

L >>D DL

L

/4ln

2

4Doi cilindri cu lungimeaL nmediu infinit

L >>D1,D2L >> w

21

2

2

2

1

21

2

4cos

2

DD

DDwh

L

L

T1

D

T2

LDT1

z

T2

T1 D

z

T2

T

Tw


73/257


74/257

Tabelul 2.5

(continuare)1 2 3 4 5

5

Cilindru orizontal culungimeaLntre dou plane

paralele cu aceeai lungime ilime infinit

z >> D/2L >> z

Dz

L

/8ln

2

6Cilindru cu lungimeaL ntr-un cub cu aceeai lungime

w >DL >> w Dw

L

/08.1ln

2

7Cilindru excentric culungimea L, ntr-un cilindrucu aceeai lungime

D > sL >>D

Dd

zdDh

L

2

4cos

2222

1

T1

T2

T2

z

zD

T1

D

T2

D

d

z

T1T2


75/257


76/257

Tabelul 2.5

(continuare)

1 2 3 4 5

8 Conducia n muchea a doi perei D >L/5 0.54D

9Conducia prin colul de interseciea trei perei

L


77/257


2.3.3. Metode numerice

Pentru geometri complexe i condiii pe frontier de ordinul II,metoda analitic i grafic nu pot oferi soluii fiabile. n aceste cazuri ceamai bun alternativ o constituie utilizarea metodelornumerice, care sunt:metoda diferenelor finite, metoda elementelor finite i metodaelementelor de frontier [6,10,43] conductivitatea termic a celor dousolide;

Deoarece analiza acestor metode face obiectul altor discipline, n

prezentul paragraf se va prezenta numai modul n care ecuaia lui Laplacepentru conducia bidirecional n regim permanent poate fi transformatntr-o ecuaie algebric.

Spre deosebire de soluiile analitice, la care ecuaiile descriu cmpulde temperatur n orice punct, soluiile numerice permit determinareatemperaturii n puncte discrete. Prima etap a oricrei analize numerice

presupune alegerea acestor puncte. Pentru aceasta corpul studiat se mparten mici regiuni, n centrul creia se ia un punct de referin (figura 2.31) care

poart numele de nod. Suma acestor noduri formeaz reeaua de noduri saugril. Fiecare nod reprezint o regiune i temperatura lui este temperaturamedie a regiunii. El este caracterizat de o schem numeric (figura 2.31a),

coordonatele x i y fiind desenate de indicii m i n. Alegerea grilei dediscretizare se face innd seama de geometria corpului i de precizia pecare o dorim. Cu ct grila este mai fin, cu att precizia este mai mare, darnumrul de ecuaii crete, crescnd timpul de calcul.

x

TT

x

T

x

TT

x

T

nmnm

nm

nmnm

nm

,,1

,2/1

,1,

,2/1

Fig. 2.31Conducia bidirecional: a) Reeaua de nodurib) Aproximarea cu diferene finite

x

x

y

x,m

,n

m1,n

m+1,n

m,n1

m,n+1

m,n

2

1m

2

1m

m+1

m1

m

xx

T(x)

(a)

(b)


78/257


Pentru aproximarea ecuaiei (2.192) cu diferene finite se vorexprima derivatele de ordinul unu i doi ale temperaturii:

x

TT

x

T nmnm

nm

,1,

,2/1

; (2.224)

x

TT

x

T nmnm

nm

,,1

,2/1

; (2.225)

i

x

x

T

x

T

x

T nmnm

nm

,2/1,2/1

,

2

2

. (2.226)

Atunci:

2,,1,1

,

2

2 2

x

TTT

x

T nmnmnm

nm

. (2.227)

Similar:

2,1,1,

,

2

2 2

y

TTT

y

T nmnmnm

nm

. (2.228)

nlocuind n (2.192) i utiliznd o reea la care yx , ecuaia luiLaplace scris cu elemente finite, caracteriznd conducia bidirecional princorpuri omogene, fr surse interioare de cldur, n regim staionar va fi:

04 ,,1,11,1, nmnmnmnmnm TTTTT (2.229)

Aceast ecuaie trebuie scris pentru fiecare nod al reelei, prinrezolvarea sistemului de ecuaii obinut se determin temperaturile dindiferite noduri.

Rezolvarea sistemelor de ecuaii se pot realiza prin diferite metode[6,43]: metoda relaxrii, inversiunea matricelor, metoda Gauss-Seidel etc.


79/257


2.4. Conducia termicn regim tranzitoriu

n tehnic procesele termice tranzitorii pot apare n trei categorii deprocese:

procese tranzitorii care n final ating regimul constant; procese tranzitorii de scurt durat la care nu se atinge regimul

constant; procese tranzitorii periodice, n care temperatura i fluxul termic

au variaii ciclice.n prezentul capitol ne vom ocupa numai de prima categorie de

procese tranzitorii, care au o larg rspndire.Cel mai simplu proces de conducie tranzitorie este cele de nclzire

a unei piese ntr-un cuptor (figura 2.32a) n care temperatura este Tf [33].Corpul ncepe s se nclzeasc n timp de la suprafaa acestuia (Tp),temperatura n centrul corpului (T0) ncepnd s creasc dup o perioad detimp. Dup un interval de timp (teoretic infinit) corpul ajunge la echilibru cumediul din cuptor. Fluxul primit de corp (Q) descrete n timp ajungnd 0 laechilibru.

n cazul conduciei printr-un perete ntre un fluid cald cu Tf1i unulrece cu Tf2 (figura 2.32b), dac printr-un salt de temperatur, temperaturafluidului cald crete de la ' 1fT la

"

1fT , temperatura fluidului rece rmnnd

constant ' 2fT , temperaturile peretelui cresc n timp (figura 2.32b) crete rea

fiind simit nti pe partea fluidului cald, Tp1, apoi pe partea fluidului rece,Tp2 (figura 2.32c). Variaia fluxurilor termice cedate de fluidul cald Q1 i

primite de fluidul rece Q2 (figura 2.32d), evideniaz cldura acumulat nperete (suprafaahaurat) pentru a modifica entalpia acestuia.

La nclzirea sau rcirea n regim tranzitoriu a corpurilor se

evideniaz dou tipuri de rezistene termice: rezistenele termiceinterioare, date de procesul de conducie i rezistenele termice desuprafa, datorate conveciei ntre corp i fluidul cu care vine n contact.


80/257


Fig. 2.32Conducia termic n regim tranzitoriu

Tratarea analitic a proceselor de conducie tranzitorie se poate facen trei ipoteze:

corpuri cu rezistene interne neglijabile; corpuri cu rezistene de suprafa neglijabile; corpuri cu rezistene interne i de suprafa finite.

1 2 3

''

1fT

'

1fT

'

2fT

'

2pT

''

2pT

''

1pT

'

1pT

0

T

x

b)a)

c) d)

T

T=f()

Tf

TpT0

0

Q=f()

Q

0

0 0

'

1pT ''2pT

Tp1

Tp2'2pT

''

1pT

''

pT

'

pT

QT

Q1

Q2

Q

Q


81/257


2.4.1. Conducia tranzitorie prin corpuricu rezistene interne neglijabile

n acest caz temperatura n interiorul corpului va fi constant, eavariind numai n timp.

Fluxul de cldur schimbat de corp cu mediul ambiant prin convecieva fi egal cu fluxul acumulat n corp:

d

dTVcTTSQ pf [W] , (2.230)

unde: S,Vsunt suprafaa de schimb de cldur, respectiv volumul corpului,Tf, T temperatura fluidului, respectiv a corpului; coeficientul deconvecie ntre corp i fluid; , cpdensitatea, respectiv cldura specific acorpului.

Separnd variabilele i integrnd ecuaia (2.230) devine:

00

dVc

S

TT

dT

p

TT

TT f

f

f

, (2.231)

unde T0este temperatura corpului la momentul iniial.Rezult:

Vc

S

f

f peTT

TT

0

. (2.232)

Relaia 2.232 este analog cu cea care caracterizeaz descrcareaunui condensator electric pe o rezisten electric:

eeCRe

EE

1

0

, (2.233)

unde Re, Ce sunt rezistena, respectiv capacitatea electric. Din aceastanalogie se poate defini o rezisten i o capacitate termic:

ptt VcCS

R

;1

. (2.234)


82/257


Raportul SVcp / poate fi interpretat ca o constant de timp a

sistemului, ea fiind:

ttpt CRVcS

1

[s] , (2.235)

unde: Rt este rezistena termic convectiv, n K/W; Ct capacitateatermic, n J/K.

Creterea rezistenei i capacitii termice vor face ca rspunsul

corpului la modificarea temperaturii mediului nconjurtor s fie mai lent iechilibrul termic s se realizeze dup un timp mai mare (figura 2.33).

Fig. 2.33Rspunsul termic tranzitoriu pentru corpuricu rezistene interne neglijabile

Ecuaia (2.232) poate fi generalizat pentru cteva forme geometricesimple prin utilizarea criteriilor adimensionale Biot i Fourier.Criteriul lui Biot reprezint raportul dintre rezistena termic de

conducie i rezisten termic convectiv:

L

L

R

RBi

cv

cond

1(2.236)

tt

p

t CRS

Vc

1 2 3 4

f

f

TT

TT

00

1

0


83/257


Criteriul lui Fourier, care are semnificaia de timp relativ estedefinit de relaia:

2L

aFo

(2.237)

Lungimea caracteristic Lpentru plci este egal cu jumtate dingrosime, iar pentru cilindri sau sfere cu raza.

n funcie deBiiFo, ecuaia (2.232) devine:

VSL

LaL

f

fe

TT

TT 2

0

; (2.238)

sau:

BiFoG

f

fe

TT

TT

0

, (2.239)

unde:V

SLG este factorul geometric al corpului care are valorile: G =1

pentru plci infinite; G= 2 pentru cilindri infinii; G = 3 pentru sfere.Fluxul termic transferat la un timp oarecare se determin cu relaia:

VcSff peTTSTTSQ /0 [W]

(2.240)Cantitatea de cldur transferat n intervalul de timp de la = 0 la

timpul este:

0

/

0

0

VcS

fpeTTSQdQ ; (2.241)

)/(0 1VcS

fppeTTVcQ [J]. (2.242)

Ipoteza rezistenei interne neglijabile este valabil analitic numaidac , ceea ce n practic nu se poate realiza. Dac ns rezisteneleinterne sunt mult mai mici dect cele de suprafa ipoteza se poate utiliza cu

bun aproximaie. Aceasta se poate realiza pentru corpurile cu mare igrosimea sau diametru mici, care primesc sau cedeaz cldur cu coeficienide convecie redui (convecie natural la gaze). Verificarea se face princalcularea criteriului Biot. Dac Bi < 0,1 ipoteza rezistenelor interneneglijabile se poate utiliza cu bune rezultate.


84/257


Influena lui Biot asupra distribuiei tranzitorii a temperaturii printr-oplac este prezentat n figura 2.34. Se observ c pentru Bi> 1, diferena ntretemperatura peretelui i a fluidului este neglijabil (rezistenele de suprafasunt neglijabile).

Fig. 2.34 Distribuia tranzitorie a temperaturii pentruvalori diferite ale criteriului Biot [20]

a)Bi 1

2.4.2. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene de suprafaneglijabile

n acest caz temperatura peretelui corpului este egal cu temperaturafluidului nconjurtor i este constant n timp. Ipoteza este valabil pentruvalori mari ale criteriului Biot (figura 2.34c).

Pentru o plac plan infinit (figura 2.35) ecuaia care caracterizeazprocesul este:

2

2

x

Ta

T

, (2.243)

cu urmtoarele condiii iniiale i la limit:

T(x,0)=T0 T(x,0)=T0

L L L L-L -L -L -L

T T T Tf

t

Bi1T=T(x,t)

Tf,

Tf,


85/257


la = 0, T = T0(x); lax = 0, T = Tf; lax =L, T = Tf

Fig. 2.35Plac infinit cu rezistenede suprafa neglijabile

Soluia ecuaiei, determinat prin metoda separrii variabilelor (veziparagraful urmtor), n cazul n care la = 0, T= T0 = ct. este:

Fon

np

pex

L

n

nTT

TT2/

10

sin14

,

(2.244)unde n = 1, 3, 5, 7 ....

Variaia temperaturii centrale la diferite corpuri cu forme geometricesimple, n ipoteza rezistenei interne neglijabile este prezentat n figura2.36.[39]

T

L0

Tf=Tp Tf=Tp

1

2

=0T=T0(x)


86/257


Fig. 2.36Variaia temperaturii centralepentru corpuri cu geometrii simple

2.4.3. Conducia tranzitorie prin corpuri curezistene interne i de suprafa finite

n acest caz, n special pentru forme geometrice i condiii iniiale ila limit complexe, tratarea analitic a problemei este practic imposibil de

abordat, singura modalitate util de rezolvare a problemei fiind utilizareametodelor numerice.

Rezolvarea analitic a ecuaiei conduciei n acest caz se poate totuirealiza pentru forme geometrice simple.

2.4.3.1. Perete plan infinit

Se consider un perete plan infinit cu grosimea 2L, mult mai micdect limea i nlimea sa (figura 2.37), astfel nct ipoteza transferuluiconductiv unidirecional este apropiat de realitate.

p

pc

TTTT

0


87/257


Fig. 2.37 Perete plan infinit

Ecuaia care caracterizeaz conducia unidirecional tranzitorie va fidat de relaia (2.243), care cu schimbareade variabil fTT , devine:

2

2

xa

, (2.245)

cu condiiile iniiale i la limit: la = 0 xFTxfTT ff 0 ; lax = 0 0

x

;

lax =

x

.

Pentru rezolvarea ecuaiei se va utiliza ca i n paragraful 2.3.1metoda separrii variabilelor, scriind [21]:

xx , (2.246)

Atunci ecuaia (2.245) devine:

T

x

Tf

T0

0

2L


88/257


2

2

x

xax , (2.247)

sau: xax "' . (2.248)

Separnd variabilele se obine:

const

x

xa

"'(2.249)

Deoarece o soluie ne banal pentru x se obine numai pentru < 0, vomalege: 2k , obinndu-se sistemul de ecuaii:

0' 2 ak ; (2.250) 0" 2 xkx . (2.251)

Soluiile celor dou ecuaii difereniale sunt:

2

1

akeC ; (2.252)

kxCkxCx cossin 32 .

(2.253)Atunci:

kxCkxCeC ak cossin 3212

(2.254)Determinarea constantelorC1, C2, C3i kse face utiliznd condiiile

iniiale i la limit.

Din condiia 00

xx, rezult:

0sincos 03212

x

ak kxCkxCkeC (2.255)

Pentru a avea aceast egalitate rezult: C2= 0. Soluia general devine:

kxAekxeCCakak

coscos

22

31

. (2.256)Punnd cea de a doua condiie la limit rezult:

Lx

Lxx

, (2.257)

sau:

kLAekLkAe akak cossin22

De unde:


89/257


L

kLkLctg (2.258)

Dar:

L

Bi i notm kL = . Rezult:

Bictg

(2.259)

Fig. 2.38Reprezentarea grafic a ecuaiei (2.259)

Reprezentarea grafic a ecuaiei (2.259) evideniaz faptul c vomavea pentru constanta un ir infinit de soluii. Primele patru soluii nfuncie de valoarea criteriului Biot sunt prezentate n tabelul 2.6.

3

1=ctg1 1 1

1 2 3 4

2

0

'2 Biy


90/257


Tabelul 2.6

Valorile constantelor n funcie de BiBi 1 2 3 4 Bi 1 2 3 4

0 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,52930,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,58010,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,62960,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,72400,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,81190,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 5,0 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928

0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,96670,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,03390,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,09490,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,15020,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,20030,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,38980,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,51170,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,65430,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,73340,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,78320,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,81720,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,86060,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,88710,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956

Rezult ca vom avea pentru fiecare valoare io distribuie a temperaturii, detipul:

2

2

2

22

2

21

cos

...........................

cos

cos

222

111

L

a

nnn

L

a

L

a

ne

LxA

eL

xA

eL

xA

(2.260)

Soluia general va fi atunci suma irului de soluii:

1

2

2

cosn

L

a

nn

n

eL

xA (2.261)

ConstantaAnse va determina din conducia iniial ( = 0):


91/257


L

xAxF n

n

n cos1

0 . (2.262)

Pentru determinarea lui Anvom folosi proprietile funciilor ortogonale, nmod similar cu cele prezentate la studiul analitic al conduciei bidirecionale(vezi paragraful 2.3). n relaia (2.214) vom alege:

L

xxg nn cos , i

xFxf .

Se va obine:

dxL

x

dxL

xxF

AL

L

n

L

L

n

n

cos

cos

. (2.263)

innd seama c:

24

2sincos

2 x

m

mxmxdx , (2.264)

n

nnn

n

n

L

L

L

Ln

nL

L

n

LL

xL

x

Lx

cossin

2

2sin

24

2sin

cos2

(2.265)

Atunci:

dx

L

xxF

LA n

L

Lnnn

nn

coscossin

(2.266)

Soluia general a ecuaiei conduciei va fi:

2

2

coscoscossin1

L

a

n

L

L

n

n nnn

nn

eL

xdx

L

xxF

L

.

(2.267)

Dac vom considera c la momentul iniial corpul are aceeaitemperatur n toat masa sa:F(x) = 0 = ct.,


92/257


n

n

L

L

n

n

L

L

n

L

L

xLdx

L

x

sin2sincos 000

(2.268)

Atunci soluia general devine:

2

coscossin

sin2

10

L

a

n

n nnn

nn

eL

x

(2.269)

Mrimile L

x

L

an ,,, 2

0

sunt adimensi

Documents

Initiere in Transferul de Caldura Si Masa