INGRESO Universidad de Catamarca

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

CURSO DE INGRESO MATEMÁTICA

2012

CARRERAS: LICENCIATURA Y PROFESORADO EN FÍSICA LICENCIATURA, PROFESORADO EN QUÍMICA LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA LICENCIATURA EN CIENCIAS AMBIENTALES TECNICATURA EN FÍSICA MÉDICA TECNICATURA EN QUÍMICA DOCENTES: LIC. MELINA BORDCOCH PROF. SONIA MASCAREÑO

CICLO ACADÉMICO 2012

Docente a Cargo: Lic. Melina Bordcoch Página 2

FUNDAMENTOS:

El presente curso de Ingreso de Matemática está centrado en aportar a los alumnos de primer año de las carreras basadas en las denominadas “ciencias duras” algunos complementos a la formación previa en matemática, como así también mayor agilidad, destreza y entrenamiento en la resolución de problemas básicos de esta área. Además, debido al amplio espectro de alumnos ingresantes es necesario, por un lado, homogeneizar los diferentes conocimientos matemáticos que poseen antes de comenzar el curso oficial y por otro, proveer el material apropiado para que los alumnos adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina.

El enfoque será teórico práctico, centrado, en primer lugar, en la adquisición de las herramientas matemáticas básicas por medio de la lectura y luego en la resolución de problemas, promoviendo en cada clase, la participación activa del alumno con el propósito de que logre un buen rendimiento a lo largo del ciclo académico. OBJETIVOS:

Adquirir hábitos de estudio acordes al nivel universitario.

Desarrollar la agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.

Adquirir el conocimiento necesario en expresiones algebraicas y sus combinaciones

Obtener los conocimientos esenciales en ecuaciones e inecuaciones.

Adquirir conocimientos básicos en trigonometría METODOLOGIA:

El presente material de trabajo se divide en cinco Temas generales a desarrollar durante el período del curso de ingreso. En cada clase o encuentro se hará lectura colectiva del material de trabajo, interpretando los conceptos por medio de la explicación en el pizarrón. Para fijar estos contenidos se procede a la resolución de ejercicios y problemas inmediatamente después de la lectura. Al finalizar cada Tema, se propone ejercitación adicional con el propósito de desarrollar en el alumno la habilidad en la resolución de problemas.

CONTENIDOS MINIMOS:

Números Reales. Operaciones Básicas. Propiedades de las operaciones. Expresiones algebraicas. Ecuaciones e inecuaciones. Funciones elementales: Recta, función de proporcionalidad inversa, parábola, función cubica, función modulo. Trigonometría. EVALUACION: Se tomara una evaluación de los contenidos propuestos, que constará de 5 (cinco) ejercicios, cada uno vinculado a uno de los 5 (cinco) Temas. Esta evaluación no es vinculante con ninguna de las asignaturas del diseño curricular.

TEMAS A DESARROLLAR POR SEMANA

Semana 1: Números reales, operaciones básicas y sus propiedades. Conjuntos e intervalos. Valor absoluto de un número real. Expresiones algebraicas: suma y producto. Semana 2: Factorización. Expresiones fraccionarias. Ecuaciones: lineales, cuadráticas y otras. Resolución de problemas con ecuaciones. Semana 3: Desigualdades. Puntos en el plano cartesiano. Gráfica de ecuaciones lineales, cuadráticas y otras. Rectas. Semana 4: Ángulos y Trigonometría. Evaluación.


PRIMERA PARTE

NÚMEROS REALES

Al pensar en matemática, inmediatamente pensamos en números. Los números que representan cantidades como longitudes, masa, precios, temperaturas, son los denominados números reales.

Recordemos los diferentes tipos de números que forman el sistema de los números reales. Empezamos con los números naturales:

...4,3,2,1

Ejercicio 1. Enuncie a continuación ejemplos de números naturales de dos, tres, cuatro, cinco y seis cifras. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales junto con los negativos y el cero:

...4,3,2,1,0,1,2,3... Ejercicio 2. Enuncie a continuación ejemplos de números enteros de dos, tres, cuatro, cinco y seis cifras, positivos y negativos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Construimos los números racionales mediante razones entre números enteros. Así, cualquier número racional r se puede representar como

n

mr

donde m y n son enteros y 0n . Algunos ejemplos son:

2

1

7

3

1

4646

100

1717,0

(La división por 0 no es válida en ningún caso, por lo que las expresiones 0

3ó

0

0están indefinidas).

Ejercicio 3. Enuncie a continuación ejemplos de números racionales positivos y negativos. También escriba ejemplos de números racionales que resulten en enteros. Por último, enuncie ejemplos de expresiones racionales indefinidas. _______________________________________________________________________________________________


_______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

A partir de los ejemplos, podemos concluir que “el denominador de cualquier número entero es 1”. ¡NUNCA olvide este concepto!

También existen números reales tales como 2 que no se expresan como una razón entre números enteros y que, por lo tanto, se conocen como números irracionales. Se puede demostrar que cada uno de los números siguientes también es un número irracional:

2 3 5 3 2 2

3

Ejercicio 4. Escriba los números anteriores hasta la sexta cifra decimal. _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ Ejercicio 5. Investigue a cerca de los números irracionales. Encuentre ejemplos, distintos a los aquí mencionados y escríbalos hasta su sexta cifra decimal. _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

El conjunto de números reales, por lo general, se denota mediante el símbolo . El siguiente, es un diagrama de los diferentes tipos de números reales con los que trabajaremos durante el Cursillo de Ingreso y en las Cátedras Matemática I y Análisis Matemático I:

Los números reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta, como se muestra en la

siguiente figura:


La dirección positiva (hacia la derecha) se indica mediante una flecha. Elegimos un punto arbitrario de referencia O, llamado el origen, que corresponde al número real 0.

Los números reales están ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos ba , esto significa que

a se encuentra a la izquierda de b en la recta real. (De la misma manera, podemos decir que b es mayor que a y

escribir ab ). El símbolo ba (ó ab ) significa que ba ó ba y se lee “ a es menor o igual a b ”. Por ejemplo, las siguientes desigualdades son verdaderas:

77 5,74 3 3 22

Ejercicio 6. Complete los espacios vacíos, eligiendo una de las infinitas posibilidades. Ubique cada ejemplo en la recta numérica.

____< 5 5 <____ 3 <____ 3 >____ 10 >_____ 10 <____

____< 2 2 <____ - 2 >_____ ____>- 2

2

>____ ____>

2

-

2

<_____ ____<-

2

Dibuje aquí su recta numérica para representar los ejemplos anteriores:

Puede afirmarse que el número 5 se encuentra entre 4 y 6, lo que escribimos como 654 . También

puede decirse que 5 se ubica entre 4,5 y 5,5 y, de la misma manera escribimos 5,555,4 . Si un número real

arbitrario c , se encuentra entre a y b , escribimos bca .

Ejercicio 7. Complete los espacios vacíos, eligiendo una de las infinitas posibilidades.

0 <____< 5 5 <____< 0 0 <____<1 1 <____< 0 1 <____<1 2 <____< 2 0 <____<2

1

2

1<____<

2

3

2

3<_____<

2

5

2

5<_____<

2

7

2

7<_____<

2

9


-2

3<_____<-

2

1 -

2

5<_____<-

2

3 -

2

7<_____<-

2

5 -

2

9<_____<-

2

7

___< <____ ____<- <____ ____<2

<_____ ____<-

2

<____

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Al combinar los números reales utilizando las operaciones familiares de suma y multiplicación, utilizamos las siguientes propiedades:

De nuestra experiencia diaria con los números sabemos intuitivamente que estas propiedades son verdaderas. Para revisarlas, se calculan las expresiones a ambos lados del signo igual de cada uno de los ejemplos de la tabla. Dado que las operaciones entre paréntesis se resuelven primero, se tiene

13767)42( y 13112)74(2

Ejercicio 8. Aplique la propiedad conmutativa y/o asociativa de la suma para resolver sin calculadora:

357 1007525

307050 120350130

18120032 36023401220

2,15,23,3 5,504,1546,25


La propiedad distributiva es muy importante en álgebra, ya que describe la forma en que la suma y la multiplicación se relacionan entre sí.

Ejercicio 9. Utilice la propiedad distributiva para resolver los siguientes ejercicios. Demuestre que la igualdad se verifica (vea el siguiente ejemplo):

2.23.2)23(2

465.2

1010

)63(5 )52(5,2

)41(10 )3,55,2(2,1

25).42( 73,31).79,145,21(

100).53( 25,0)03,208,5(

El número 0 es especial en el caso de la suma; se conoce como elemento neutro aditivo, porque aa 0

para cualquier número real a . Todo número real a tiene un negativo, a , que satisface la ecuación 0)( aa .

La resta o sustracción es la operación inversa de la suma; para restar un número de otro, simplemente sumamos el negativo de dicho número. Por definición

)( baba

Para combinar números reales que involucran negativos, utilizamos las siguientes propiedades:


La propiedad 6. establece el hecho de que los números ba y ab son los negativos el uno del otro. El

número 1 es especial para la multiplicación; se conoce como elemento neutro multiplicativo ya que aa 1. para cualquier número real a .

Ejercicio 10. Resuelva:

05 0100 01500 01300900

)1(2 )5(25 )8(48

)50(100 )1.(3 )1.(37

)25,0).(1( )1000).(1( 3).4( )5.(25

3).7( )3.(10 )4).(30( )2).(65(

)50).(5( )450).(4(

Cualquier número real a diferente de cero tiene un inverso, a

1, que satisface la ecuación 1

1. a

a . La

división es la operación inversa de la multiplicación; para dividir un número en otro, multiplicamos el primero por el inverso del segundo número, es decir

baba

1.:

que se escribe como b

a, a es el numerador y b es el denominador. Para combinar números reales utilizando la

operación de división, aplicamos las propiedades siguientes:


Ejercicio 11. Resuelva:

5

1

3

2

2

1

4

5

4

9

3

2

48

5

25

12

4

1:

3

2

2

1:

4

5

2

3:

4

15

21

4:

7

12

2

1

2

5

12

7

12

5

3

1

3

5

11

3

11

9

5

1

2

5

7

1

3

5

3

1

5

4

4

5

12

25

CONJUNTOS E INTERVALOS

Más adelante y a lo largo de todas las asignaturas relacionadas con la Matemática, será necesario el uso de la notación de conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos, conocidos como los elementos del conjunto. Por

ejemplo, si Z representa el conjunto de los números enteros, entonces Z3 y Z . El símbolo significa

que 3 es un elemento del conjunto de los números enteros y se lee “ 3 pertenece a Z ”. El símbolo significa que no es un elemento del conjunto de los números enteros (ya que es irracional) y se lee “ no pertenece a

Z ”.


Algunos conjuntos se pueden describir listando sus elementos entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A formado por todos los enteros positivos menores que 7 se puede escribir como

}6,5,4,3,2,1{A

También podríamos escribir A en la forma

}70 enteroun es /{ xxxA

que se lee “ A es el conjunto de todas las x tal que x sea un entero y 70 x ”. Existen conjuntos compuestos por infinitos elementos y por lo tanto no es posible detallar todos sus

elementos entre llaves. Estos conjuntos se conocen como intervalos y representan segmentos de la recta numérica.

Por ejemplo, suponiendo que ba , todos los números comprendidos entre a y b es un intervalo abierto y se

denota mediante el símbolo ),( ba . Utilizando la notación constructiva de conjuntos puede escribirse

}/{),( bxaxba .

Note que los extremos del intervalo no están incluidos en el conjunto.

El intervalo cerrado de a y b es el conjunto

}/{],[ bxaxba ;

donde los puntos extremos del intervalo sí están incluidos en el conjunto.

Los intervalos no necesariamente son abiertos o cerrados. La siguiente tabla muestra todos los tipos de

intervalos posibles, suponiendo siempre que ba :

Ejercicio 12. Complete la siguiente tabla:

Notación Descripción del Conjunto Gráfica

)5,5(

}10/{ xx

]3,1(

}/{ xx

]10,10[


VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número a , denotado por a , es la distancia desde cero hasta a .

Definición del valor absoluto: Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es

0

0

aa

aaa

Ejemplos:

33

3)3(3

3)3(3

Propiedades del Valor Absoluto:

Ejercicio 13. Resuelva siguiendo el ejemplo anterior:

5 5 5,7

2,3

25,0 32

22 22

22

2

2

Ejercicio 14. Escriba cada una de las siguientes expresiones según la definición de valor absoluto (siga el siguiente ejemplo):

11

11

01)1(

0111

xx

xx

xx

xxx

2x


5x

ax

x1

xa

EXPONENTES Y RADICALES

Un producto de números iguales por lo general se escribe en notación exponencial. Por ejemplo, 5.5.5 se

escribe como 35 . En general tenemos que si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es

n veces

aaaan

El número a se conoce como la base y n como el exponente. Para descubrir algunas reglas de los exponentes, comencemos con el siguiente ejemplo, donde

multiplicamos 54 por 52: 246

veces6 veces2 veces4

24 55555555)55()5555(55

Es evidente que para multiplicar dos potencias con una misma base, sumamos sus exponentes. En general,

para cualquier número real a y dos enteros positivos cualesquiera m y n , se demuestra que:

nmnm aaa

Si queremos que esta regla sea verdadera incluso cuando m y n son 0 ó enteros negativos, entonces debemos tener

33030 2222

pero esto sólo ocurre cuando 120 . De la misma manera debemos tener que,

122222 044)4(444

y esto es verdadero si 2-4=42

1. Estas observaciones nos llevan a afirmar que si 0a es cualquier número real y n

es un entero positivo, entonces


10 a y n

n

aa

1

En la siguiente tabla, se expresan las leyes de los exponentes. Las bases a y b son números reales y los exponentes m y n son enteros:

Ejercicio 15. Resuelva aplicando la/s regla/s correspondiente/s:

22 = 2)2( 32 = 3)2( 22

32 25 2)5( 35

3)5( 25 35 32 3.3

32 4.4 32 )3.()3( 22 10.10

55 )3.()3( 01500 0)5( 22)5(

43))2((

3

3

2

2

4

3

3

3

1

3

3

1

2

2

5


2

3

4

43

Es de conocimiento común que la expresión 9 (que se lee raíz cuadrada de nueve) es igual a 3, porque

932 . En general, podemos escribir ba , lo cual significa que ab 2 y 0b . La expresión a sólo tiene

sentido si 0a (pruebe con su calculadora, escriba el resultado de 9 =________________________________).

Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n-ésimas. Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz n-ésima de a se define como:

ban significa que abn

Si n es par, tenemos que 0a y 0b . Las raíces impares son únicas, pero las raíces pares no lo son. Observe que,

283 porque 822223 y que 283 porque 8)2()2()2()2( 3

pero sin embargo,

24 porque 4)2()2()2( 2 y también 4)2()2()2( 2 .

A continuación, observemos que

41642 pero 4416)4( 2

y por lo tanto la ecuación aa 2 no siempre es verdadera (es decir, no siempre es posible anular la raíz cuadrada

con el exponente dos); sólo es verdadera cuando 0a . Sin embargo, siempre podemos escribir aa 2 , lo cual

es verdadero no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. A continuación se detallan las propiedades de las raíces n-ésimas:

Ejercicio 16. Resuelva aplicando la/s propiedad/es correspondiente/s:


64 64 3 64 3 64

25 2)3( 3 33 3 3)4(

4

9 3

27

8

25

4 3

64

125

La raíz n-ésima de un número real puede expresarse como una potencia fraccionaria, es decir,

nn aa

1

En general, para cualquier exponente racional n

m donde m y n son enteros y 0n se define:

mnn

m

aa o, de manera equivalente, n mn

m

aa

Todas las leyes y propiedades ya enunciadas para los exponentes son también válidas para los exponentes racionales.

EJERCITACIÓN

1-8. Enuncie la propiedad de los números reales que se está usando:

9-16. Utilice las propiedades de los números reales para escribir la expresión sin paréntesis:


17-20. Efectúe las operaciones indicadas:

21-24. Diga si cada una de las desigualdades es verdadera o falsa:

25-26. Escriba cada uno de los enunciados en términos de desigualdades:

27-32. Exprese el intervalo en términos de desigualdades y grafíquelo:

33-38. Exprese la desigualdad en notación de intervalos y realice las gráficas correspondientes:


39-42. Evalúe cada una de las siguientes expresiones:

43-48. Utilice las propiedades del valor absoluto para simplificar la expresión:

49-58. Evalúe cada uno de los números dados:

59-74. Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo. Suponga que todas las letras indican números reales positivos.


75-82. Simplifique la expresión suponiendo que todas las letras indican números reales positivos.

SEGUNDA PARTE

EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Las expresiones algebraicas se obtienen a partir de variables como x ó y ó z y constantes como 3 , 2 , a y b combinándolas utilizando la suma, resta, multiplicación, división y la exponenciación. Una variable es una letra que puede representar cualquier número que pertenezca a un conjunto dado de números, mientras que una constante representa un número fijo, un valor específico. Por ejemplo:

ybxyax 22

(Anote las variables _____ y ______; las constantes _____, ______ y _______; las operaciones son __________, ______________,_________________________ y _________________).

Los tipos más simples de expresiones algebraicas son los polinomios. Cualquier polinomio es la suma de

términos de la forma kax llamados monomios donde a es una _____________ y k es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios y así sucesivamente. El grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable.

Ejercicio 1. En las siguientes consignas utilice la variable x y las constantes 1 , 2 , a y b para resolver.


Escriba tres monomios de grado dos diferentes entre sí: _________________________________________________ Escriba tres binomios de grado uno diferentes entre sí: __________________________________________________ __________________________________________________ Escriba dos trinomios de grado tres diferentes entre sí: __________________________________________________ __________________________________________________

Sumamos y restamos polinomios utilizando las propiedades de los números reales. La idea es combinar términos semejantes, esto es, términos que contengan la misma variable elevada a la misma potencia (el coeficiente que “acompaña” a la variable, por supuesto, puede ser distinto de un polinomio a otro). Por ejemplo:

)453()426( 2323 xxxxxx

4)42()56()3( 2233 xxxxxx Agrupar términos semejantes

424 23 xxx Combinar los términos semejantes

)453()426( 2323 xxxxxx

xxxxxx 453426 2323 Propiedad distributiva (signo menos)

4)42()56()3( 2233 xxxxxx Agrupar términos semejantes

46112 23 xxx Combinar los términos semejantes

Ejercicio 2. Calcule la suma y la diferencia de los polinomios )243(y )132( 2323 xxxxxx .

Para obtener el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas necesitamos utilizar varias veces la propiedad distributiva. Además, no debe olvidarse del hecho de que el producto de dos potencias con la misma base es igual a esa base elevada a la suma de los exponentes (_________________). Por ejemplo:

)53)(12( xx

)53(1)53(2 xxx Propiedad distributiva

53106 2 xxx Combinar términos semejantes

576 2 xx


El caso anterior es el ejemplo del producto de dos polinomios. En el ejercicio siguiente se debe resolver el producto entre polinomios con una variable, polinomios con más de una variable y de expresiones algebraicas. Ejercicio 3. Calcule los siguientes productos:

)12)(3( 32 xxx

))(( 22 yxyxyx

)2)(1( xx

Ciertos productos se presentan con mayor frecuencia que otros y son más útiles. Es por ello que es conveniente memorizar la siguiente tabla:

Ejercicio 4. Aplique la regla correspondiente para resolver los siguientes productos.

2)( yx ))(( wzwz

3)3(x 32 )3(x


22)( ba

FACTORIZACIÓN

Hasta aquí, se ha utilizado la propiedad distributiva para desarrollar expresiones algebraicas. Algunas veces será necesario invertir este proceso factorizando una expresión como un producto de elementos más sencillos. Por ejemplo:

--- FACTORIZACIÓN--->

)2)(2(42 xxx

< --- DESARROLLO---

Se reduce un binomio de grado dos a un producto de binomios de grado uno. Este proceso se denomina factorización. A continuación se exponen los distintos casos de factoreo, el proceso de resolución y se ejemplifica cada uno de ellos. Lea atentamente, de esta manera podrá resolver el Ejercicio 5. Factor común:

1. Se busca el factor común (el mayor posible). 2. Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el

polinomio dado por el factor común. Ejemplo:

)3(4124 2 xxxx (Señale cuál es el factor común y cuál el polinomio resultante del cociente entre el polinomio dado y el factor común). Factor común por grupos:

1. Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común. 2. Se practica factor común en cada uno de estos grupos. 3. Debe quedar un paréntesis común. 4. Se extrae dicho paréntesis como factor común.

Ejemplo:

)55()(55 2222 babxaxbbxaax

)(5)(2 babax

))(5( 2 bax

Trinomio cuadrado perfecto: 1. Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante. 2. Se calcula el doble producto de sus bases.


3. Se observa si dicho producto aparece en el trinomio dado. 4. Si es así, decimos que es un trinomio cuadrado perfecto y los factorizamos como el cuadrado de un

binomio. Ejemplo:

xx 1294 2

xx 24 2

39

xx 123.2.2 22 )32(1294 xxx

Si el trinomio no resulta ser cuadrado perfecto, se procede de la siguiente manera:

1. Se iguala el trinomio a cero.

2. Se buscan las raíces del trinomio recordando que si el polinomio es de la forma cbxax 2 se utiliza la

fórmula de Baskara: a

acbbx

2

42

2,1

, para determinar las raíces.

3. Se expresa finalmente en la forma factorizada ))(( 21

2 xxxxacbxax .

Ejemplo:

432 xx

2

53

2

253

2

1693

1.2

)4.(1.433 2

2,1

x

12

531

x

42

532

x

)4)(1(432 xxxx

Cuatrinomio cubo perfecto: 1. Se reconocen los cubos perfectos. 2. Se calculan sus raíces cúbicas, estas serán las bases. Las bases conservan su signo. 3. Se calcula el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda base. 4. Se calcula el triple producto de la primera base por el cuadrado la segunda base. 5. Se observa si lo calculado en 3. y 4. se encuentra en el cuatrinomio original. 6. Si es así, se factoriza como el cubo de un binomio.

Ejemplo:

3223 2754368 yxyyxx

xx 283 3

yy 3273 3

yxyx 223632.3

225432.3 xyyx

33223 )32(2754368 yxyxyyxx

Diferencia de cuadrados: 1. Identificar los términos cuadráticos y la resta entre ellos.


2. Calcular las bases de los cuadrados. 3. Transformar la diferencia de cuadrados en el producto de de binomios conjugados formados por dichas

bases. Ejemplo:

169 2x

xx 39 2

416

)43)(43(169 2 xxx

Ejercicio 5. Resuelva aplicando la factorización correspondiente:

154 2 xx

xyyxx 552

133 23 xxx

93025 2 xx 36100 2x

EXPRESIONES FRACCIONARIAS El cociente de dos expresiones algebraicas se conoce como expresión fraccionaria. Un tipo común de expresión fraccionaria ocurre cuando tanto el numerador como el denominador son polinomios. Esto se conoce como expresión racional. Por ejemplo,

3

524 3

x

xx

es una expresión racional cuyo denominador es cero cuando___________________________________________. Por esto, al tratar con esta expresión, implícitamente suponemos que___________. En la simplificación de las expresiones racionales se factoriza tanto el numerador como el denominador y se utiliza la siguiente propiedad de las fracciones:

B

A

BC

AC


donde es posible simplificar los factores comunes del numerador y del denominador. Por ejemplo:

2

12

2

xx

x

)1)(1(12 xxx Factorizar el numerador

)2)(1(22 xxxx Factorizar el denominador

)2)(1(

)1)(1(

2

12

2

xx

xx

xx

x Sustituir en la expresión original

)2(

)1(

2

12

2

x

x

xx

x Simplificar factores comunes

Ejercicio 6. Reduzca las expresiones fraccionarias mediante simplificación.

xx

x

410

4252

2

4

442

2

x

xx

Si una fracción tiene un denominador de la forma xba es posible racionalizar el denominador

multiplicando el numerador y el denominador por el radical conjugado xba . Esto es útil gracias a la definición

de diferencias de cuadrados, en este caso se tiene que

xba xba xba 22

donde se ha eliminado la raíz cuadrada en la expresión del lado derecho. Un ejemplo concreto es el siguiente:

x

x

x

x

xx

1

1

1

1.

1

1

1

1

donde se ha eliminado la raíz cuadrada del denominador. El proceso de racionalización también puede llevarse a cabo en el numerador, como se verá en el siguiente ejercicio. Ejercicio 7. Racionalice las siguientes expresiones:

x21

1

3

21 x


No se debe aplicar propiedades de la multiplicación a la suma. Muchos errores en álgebra provienen de

hacer esto. La tabla anterior muestra la propiedad correspondiente a la multiplicación y el ERROR que se comete al aplicar esa misma propiedad a la suma. Lea atentamente y sea cauteloso en el momento de resolver futuros ejercicios.

Ejercicio 8. Dé valores a las constantes a y b en la tabla anterior y verifique la igualdad y la no igualdad en cada una de las propiedades.


EJERCITACIÓN

1 -12. Lleve a cabo las operaciones indicadas y simplifique la expresión.

13 – 32. Factorice completamente (es decir, de ser necesario aplique más de un caso de factoreo) las siguientes expresiones:

33 -44. En los primeros cinco ejercicios aplique factorización en el numerador y denominador para simplificar la expresión racional. En los ejercicios restantes, racionalice el numerador o el denominador, según corresponda.


TERCERA PARTE

ECUACIONES

Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son iguales. Por ejemplo,

835

es una ecuación. Pero no es una ecuación muy interesante, simplemente expresa un hecho aritmético simple. La mayor parte de las ecuaciones que estudiamos en álgebra contienen variables. En las ecuaciones

16)4)(4( 2 www 1974 x

las letras w y x representan las variables. La primera de estas ecuaciones es verdadera para todos los valores posibles de w , dado que esta ecuación representa la diferencia de cuadrados. La segunda ecuación no es verdadera para todos los valores de x . Los valores de x que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones o raíces de la misma y el proceso de determinar la solución se conoce como resolución de la ecuación. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para resolver una ecuación, intentamos determinar una que sea más simple y equivalente y que tenga la variable sola a uno de los lados del signo igual. A continuación se expresan las propiedades que utilizamos para resolver una ecuación:

Usando estas propiedades podemos resolver la ecuación anterior de la siguiente manera:

)7(19)7(74 x Sumar 7

124 x

4

1.12

4

1.4 x Multiplicar por

4

1

3x

La solución es 3x . Para verificar esto se sustituye 3x y comprobamos que este valor hace verdadera la ecuación:

3x

197)3(4

1919 Sí se satisface

ECUACIONES LINEALES El tipo más simple de ecuación es la ecuación lineal, o de primer grado, es decir, cada uno de los términos es una constante o un múltiplo diferente de cero de la variable. Así, una ecuación lineal es equivalente a una ecuación de la forma


0bax

donde a y b representan números reales con 0a y x es la incógnita que hay que determinar. Por ejemplo:

8347 xx

483447 xx Sumar 4

1237 xx

xxxx 312337 Restar x3

124 x

4

1.12

4

1.4 x Multiplicar por

4

1

3x

Para verificar la respuesta debe sustituirse 3x en la ecuación original (verificar, se obtiene 17 a ambos lados del igual, con lo cual se verifica la igualdad). En el siguiente ejemplo se resolverá una ecuación que no parece lineal, pero que se simplifica a una lineal que es equivalente:

32

12

1

x

x

x

x

)32)(1(32

12)32)(1(

1

xx

x

xxx

x

x Multiplicar por el producto de los denominadores

)1)(12()32( xxxx Simplificar la expresión

13232 22 xxxx Aplicar propiedad distributiva

2222 2132232 xxxxxx Restar 22x

133 2 xx 222 31333 xxxx Restar 23x

16 2 x Multiplicar por 6

1

6

1x

Ejercicio 1. Verifique la respuesta del ejemplo anterior. Ejercicio 2. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales. Luego, verifique su respuesta.

0123 x xx 3522


12

56

1

3

x

x

x

x

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Las ecuaciones cuadráticas son de segundo grado, es decir, incluye un término con la variable elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática es equivalente a una de la forma:

02 cbxax

donde cba y , son números reales con 0a .

Las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, es decir, la ecuación se satisface para dos valores de la variable. Ya se analizó la forma de obtener las raíces de este tipo de ecuaciones cuando se revisaron los distintos casos de factoreo. Para fijar estos conceptos, se resolverá a continuación el siguiente ejercicio.

Ejercicio 3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Luego, verifique su respuesta.

2452 xx 052 x 5)4( 2 x

OTRAS ECUACIONES

A continuación se analizarán otros tipos de ecuaciones, incluyendo aquellas que involucran potencias de mayor orden y valor absoluto. Por ejemplo (Escribir sobre el renglón la operación llevada a cabo en cada línea. Verificar la/s respuesta/s): Verificación:

83 x _____________________________________


3

1

3

13 8x _____________________________________

2x _____________________________________

En el siguiente ejemplo tenemos que recordar que todo número elevado a un exponente par tiene dos soluciones, de igual valor absoluto pero signos opuestos:

Verificación:

8116 4 x ____________________________________________

16

814 x ____________________________________________

4

1

4

14

16

81

x ____________________________________________

2

3x ____________________________________________

Recordar que el valor absoluto también tiene dos soluciones, la primera hace el argumento positivo y la segunda hace el argumento negativo. En el siguiente ejemplo, resolver las ecuaciones de primer grado y escribir en cada renglón la operación llevada a cabo en esa línea. Verificar debajo. Ejemplo:

3|52|

argumento

x

352 x _______________________________ 352 x ______________________________ _______________________________ ______________________________ _______________________________ ______________________________

4x 1x Verificación: Verificación:

RESOLUCION DE PROBLEMAS CON ECUACIONES

El álgebra es muy útil porque muchas situaciones en ciencias, en economía, en medicina e incluso de la vida

cotidiana, pueden resolverse haciendo uso de las expresiones algebraicas. Suponer que alguien plantea la siguiente situación problemática: “Dentro de 12 años Lucas tendrá 27 ¿Qué edad tiene ahora?” ¿Cómo se resuelve? Los siguientes enunciados son las reglas básicas propuestas para resolver una situación problemática. REGLAS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS


1. IDENTIFIQUE LA VARIABLE: Reconozca la cantidad que se pide determinar. Generalmente se identifica mediante una lectura cuidadosa de la pregunta planteada al final del problema. Introduzca una notación para la variable (asígnele una letra, por ejemplo x). Asegúrese de escribir claramente lo que representa.

2. EXPRESE TODAS LAS INCÓGNITAS EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE: Lea de nuevo cada una de las frases del problema, y exprese todas las cantidades mencionadas mediante una variable definida.

3. RELACIONE LAS CANTIDADES: identifique la condición del problema que relaciona dos o más expresiones establecidas en el paso anterior. Un enunciado que dice que una cantidad “es igual” o “es lo mismo que” otra, generalmente señala el tipo de relación que estamos buscando.

4. ESTABLEZCA UNA ECUACIÓN: Plantee una ecuación que exprese la condición del problema. Aquí necesitará una fórmula para obtener la expresión algebraica.

5. RESUELVA EL PROBLEMA Y VERIFIQUE LA RESPUESTA: Resuelva la ecuación, verifique que su solución se satisface el problema original y exprese la respuesta en forma de un enunciado, que responda a la pregunta planteada en el problema.

1. Al releer la pregunta en la situación planteada al principio, se establece que la incógnita es la edad de Lucas.

Por lo tanto, Lucas de edad:x . 2. No se aplica en este problema, la única variable es la edad de Lucas. 3. Idem 2.

4. Al releer la frase del problema, identificamos “dentro de doce años” con 12 y “tendrá veintisiete” con

27 . La expresión algebraica finalmente queda: 5.

27 tendráLucas

años 12 de Dentro

hora? tieneaedad qué

2712 x

Es decir: 2712 x

Esta es una ecuación de primer grado, resuelva a continuación y verifique. Resolución: Verificación:

Ejercicio 4. Resuelva las siguientes situaciones problemáticas. Siga los pasos establecidos anteriormente. Nunca olvide verificar la respuesta. “Hace 7 años Juan tenía 16 ¿Cuál es su edad?” “Si María tuviera el doble del dinero que tiene ahorrado podría comprarse un automóvil de $35000 y le quedarían $7000 ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?” “Si se suma 4 con la raíz cuadrada de un número y al resultado de esa suma se divide en 2 se obtiene 8 ¿Cuál es ese número?”


“Un hombre comenzó una dieta y en seis meses redujo su peso a la mitad, continuó con la dieta y bajo 14 kg llegando a los 71 kg ¿Cuánto pesaba antes de comenzar la dieta?” “La moto de Juan llega a los 96 k/h si la moto de Marcelo anduviera 28 k/h más rápido andaría el doble de rápido que la de Juan ¿A cuánto llega la moto de Marcelo?” “Si a 8 se le resta la raíz cúbica de un número y al resultado de la resta se lo multiplica por 6 se obtiene 64 ¿Cuál es ese número?” “Dentro de 2 años tendré el triple de la edad que tenía hace 10 ¿Qué edad tengo ahora?” “Para ir a la escuela, Federico recorre una cierta distancia solo, luego recorre el doble de esa distancia con su amigo Gonzalo. Si de la casa de Federico a la escuela hay 18 cuadras ¿Cuántas cuadras camina solo?” “El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6 años es igual al triple de la edad que tenía hace 5 ¿Qué edad tiene Guillermo?” “Si Manolo aumentara 30 kg, pesaría 2 / 7 más de lo que pesa ahora ¿Cuánto pesa Manolo?”


DESIGUALDADES

Algunos problemas de álgebra se plantean como desigualdades en lugar de ecuaciones. Una desigualdad es

como una ecuación, excepto que en lugar del signo igual se incluye alguno de los signos ó , , . El siguiente es

un ejemplo de desigualdad:

91 7x4

Resolver una desigualdad que incluye una variable significa determinar todos los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad. A diferencia de una ecuación, generalmente una desigualdad tiene infinitas soluciones que forman un intervalo o una unión de intervalos sobre la recta real.

Para ilustrar esta importante diferencia vea el siguiente caso:

Ecuación: 91 7x4 3 x

Desigualdad: 91 7x4 3 x

Para resolver desigualdades utilizamos las siguientes reglas para dejar de un lado del signo de desigualdad sólo la variable. Estas reglas nos dicen cuándo dos desigualdades son equivalentes. Las letras mayúsculas representan números reales o expresiones algebraicas. Aquí se enuncian las reglas para las desigualdades que incluyen el símbolo , pero son válidas para cada uno de los símbolos restantes también.

Las reglas 3. y 4. requieren una especial atención. La regla 3. dice que multiplicar o dividir la desigualdad por un número positivo no altera la orientación del símbolo; sin embargo la regla 4. establece que si multiplicamos o dividimos una desigualdad por un número negativo se debe cambiar la orientación del símbolo. Por ejemplo, si se comienza con la desigualdad

53

y multiplicamos por 2


016

pero si multiplicamos por 2- , resulta que

10-6-

A continuación, se exponen algunos ejemplos que muestran la manera en que se resuelven distintos tipos de desigualdades.

Por ejemplo (desigualdad lineal):

493x x

xxx 9499-3x Restar x9

46- x

6

1.46-

6

1x Multiplicar por

6

1 , cambia orientación del símbolo

3

2x

El conjunto solución está formado por todos los números mayores que 3

2 , es decir, el intervalo ),

3

2( .

La gráfica sobre la recta numérica es (grafique aquí):

Ejercicio 5. Resuelva las siguientes desigualdades lineales. Escriba la solución en notación de intervalos y como gráfica sobre la recta numérica.

152 x 123

1x

Por ejemplo (desigualdad cuadrática):

0652 xx

Factorizando se obtiene

0)3)(2( xx

es decir, el producto de dos binomios lineales debe ser negativo o cero. Como se trata del producto, aplicamos regla

de signos: )())(( y )())(( , por lo tanto, cuando uno de los paréntesis sea negativo o cero el otro debe

ser positivo o cero y viceversa. En el presente ejemplo proponemos primero que Representación en intervalos Gráfica

0)2( x mientras que 0)3( x

2x mientras que 3x Luego proponemos,


0)2( x mientras que 0)3( x

2x mientras que 3x En el segundo caso, es imposible elegir un único valor de la variable que satisfaga ambas desigualdades. De hecho, si

escogemos un valor 2x y sustituimos en la desigualdad inicial veremos que esta no se satisface; tampoco lo hace

para cualquier valor de 3x . Por lo tanto descartamos la segunda opción y decimos que la solución es el intervalo

]3,2[ .

Ejercicio 6. Resolver las siguientes desigualdades. Escriba la solución en notación de intervalos y como gráfica sobre la recta numérica.

022 xx

032 2 xx

Por ejemplo (desigualdad con valor absoluto):

2|5| x

Notación en intervalos Gráfica

25 x 25 x

7x 3x Por lo tanto, el conjunto solución es __________________. Ejercicio 7. Resuelva la siguiente desigualdad. Verifique su respuesta. Luego escriba la solución en notación de intervalos y represente gráficamente.

4|23| x


7|4| x

EJERCITACIÓN

1 - 4. Determine si los valores de la variable son solución de la ecuación propuesta.

5 – 16. Resuelva las siguientes ecuaciones. Luego verifique su respuesta.


17 – 35. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas.

36 – 48. Resuelva las siguientes ecuaciones. Luego verifique la/s solución/es.

49 – 74. Resuelva las siguientes desigualdades.


CUARTA PARTE

PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO

Como ya se vio anteriormente, los puntos sobre una recta pueden identificarse con números reales. Si dibujamos dos rectas reales perpendiculares entre sí que se cruzan en el origen, podremos identificar puntos sobre el plano. Por lo general una de estas rectas es horizontal con dirección positiva hacia la derecha y se conoce como eje x ; la otra es vertical con dirección positiva hacia arriba y se le llama eje y .

Cualquier punto P sobre el plano se localiza mediante un par único de números como muestra la siguiente figura:

Aquí, se traza una línea punteada horizontal desde el punto P hasta el eje y . Sobre el eje se marca el punto

b . De la misma manera, se traza una línea vertical punteada desde el punto hasta el eje x , donde se marca el punto

a . Así, el punto P queda determinado por sus coordenadas y se escribe ),( baP . El punto a se conoce como la

coordenada x (o abscisa) de P ; el punto b se conoce como coordenada y (u ordenada) de P .

Este proceso puede invertirse, es decir, en lugar de partir desde el punto y encontrar sus coordenadas,

partimos desde las coordenadas y encontramos el punto. De esta manera, dadas ),( ba podemos identificar el punto

P correspondiente.


Este sistema de coordenadas se conoce como sistema de coordenadas cartesianas. Los ejes x e y o ejes de

coordenadas dividen el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, denotados por I, II, III y IV en la figura anterior.

Dependiendo del signo de a y b , el punto caerá en alguno de estos cuadrantes. Algunos ejemplos concretos son los que se muestra en la siguiente figura:

Ejercicio 1. Trace a continuación un plano cartesiano y ubique en él los siguientes puntos:

)1,2(A

)2,3( B

)4,1(C

)2,3( D

)2,0(E

)0,2(F

)0,1(G

)3,0( H

Ejercicio 2. Observe el plano cartesiano que se muestra a continuación. Luego, determine las coordenadas de todos los puntos ubicados en él.

GRÁFICA DE ECUACIONES.

De la misma manera en que se representan puntos sobre el plano, también es posible representar ecuaciones. Suponer que tenemos una ecuación que incluye las variables x e y , como en


2522 yx 2yx x

y2

Un punto ),( yx satisface la ecuación si al sustituir las coordenadas en ella la hace verdadera. Por ejemplo

)4,3( satisface la primera ya que 2543 22 , pero )3,2( no la satisface ya que 25)3(2 22 .

La gráfica de una ecuación en x e y es el conjunto de todos los puntos ),( yx del plano de coordenadas

que satisfacen la misma. Por ejemplo, para graficar la ecuación

32 yx

primero resolvemos la ecuación para y , con lo que obtenemos

32 xy

Esta expresión es útil para calcular las coordenadas y dando valores permitidos para x . Los cálculos se acomodan

en la siguiente tabla:

x 32 xy ),( yx

-1 -5 (-1,-5)

0 -3 (0,-3)

1 -1 (1,-1)

2 1 (2,1)

3 3 (3,3)

Los datos de la última columna son las coordenadas de puntos que forman parte de la gráfica de la función

32 xy , que se muestra a continuación:

Por ejemplo, para graficar la ecuación

22 xy

damos valores permitidos para x calculamos los valores de y y volcamos los datos en una tabla de la siguiente

manera:

x 22 xy ),( yx

-3 7 (-3,7)

-2 2 (-2,2)

-1 -1 (-1,-1)


0 -2 (0,2)

1 -1 (1,-1)

2 2 (2,2)

3 7 (3,7)

Al ubicar estos puntos sobre el plano e intentar unirlos se obtiene una gráfica que se denomina parábola y tiene la siguiente forma:

Ejercicio 3. Trace las gráficas de las siguientes funciones. Siga el procedimiento tenido en cuenta hasta aquí; otorgue valores a la variable x y calcule los valores de la variable y . Luego lleve los puntos al plano y únalos de una manera

adecuada. xy

2xy

2y

3x

|| xy 2xy

xy

RECTAS Estudiaremos con mayor profundidad las ecuaciones de las rectas. Como ya se vio en las gráficas previas, una de las características más importantes de la recta es su “inclinación”. La pendiente de una recta está definida como la razón entre el cambio de la coordenada y y el cambio de la coordenada x . Así, para determinar la

pendiente de una recta se eligen dos puntos sobre ella ),( 11 yxA y ),( 22 yxB y se calcula

x

y

coordenada la de cambio

coordenada la de cambiopendiente

12

12

xx

yy

x

ym

La siguiente figura muestra varias rectas con sus respectivas pendientes. Note que las rectas con pendiente positiva se inclinan hacia arriba, mientras que las que tienen pendiente negativa se inclinan hacia abajo (siempre siga la recta en el sentido en el que la variable x crece). Las rectas con una pendiente más pronunciada son aquellas para las cuales el valor absoluto de la pendiente es mayor; una recta horizontal tiene pendiente____________________ y una recta vertical tiene pendiente __________________________.


La ecuación general de la recta se escribe de la siguiente manera:

bmxy

donde m es la pendiente de la recta, b se denomina ordenada al origen y representa el punto donde la recta corta el eje y .

A partir de esta ecuación, la gráfica de la recta se hace más sencilla y no será necesaria la confección de una tabla de valores. El procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo:

Graficar la recta 12 xy .

En este caso se tiene 1b , la recta corta el eje y en el punto 1. Nos ubicamos en esa posición.

Por otro lado 2m , es decir, 1

2

x

ym por lo cual 2y y 1x . Entonces, a partir del punto 1y

recorremos una distancia horizontal igual a 1x y a partir de allí recorremos una distancia vertical igual a 2y .

De esta manera se obtiene,

Ejemplo:

Graficar la recta 13

2 xy .

En este caso también se tiene 1b , la recta corta el eje y en el punto 1 . Nos ubicamos en esa posición.

Ahora 3

2m , es decir,

3

2

x

ym por lo cual 2y y 3x . Entonces, a partir del punto 1y

recorremos una distancia horizontal igual a 3x y a partir de allí recorremos una distancia vertical igual a

2y , es decir, en el sentido negativo. De esta manera se obtiene,


Ejercicio 4. Trace un par de ejes de coordenadas. En ese plano, grafique las siguientes rectas. NO utilice tabla, siga el procedimiento mostrado anteriormente.

43 xy

13

2 xy

2 xy

22

1 xy

Ejercicio 5. La siguiente figura muestra cuatro rectas en un plano coordenado. Determine la pendiente y la ordenada al origen y escriba la ecuación correspondiente a cada una de ellas.


La ecuación de una recta vertical es: _________________________________________________

La ecuación de una recta horizontal es: _______________________________________________ Ejercicio 6. Dé tres ejemplos de rectas horizontales y tres ejemplos de rectas verticales. Luego, grafíquelas en un plano coordenado.

EJERCITACIÓN

1 – 6. Para cada uno de los siguientes ejercicios, represente en un plano coordenado los puntos P y Q . Una dichos

puntos con una recta. Luego, escriba la ecuación para cada una de ellas.

7. Observe con atención las siguientes rectas. Determine para cada una de ellas su pendiente y ordenada al origen. Luego, escriba sus ecuaciones.


19- 27. Grafique las siguientes ecuaciones.

19. 02 2 xy

20. 02 2 xy

21. 02 2 xy

22. 02 2 xy

23. 02 xy

24. 02 xy

25. 03 xy

26. 02 3 xy

27. 02 3 xy


QUINTA PARTE

ÁNGULOS

Un ángulo consta de tres partes: un rayo inicial, un rayo terminal y un vértice (el punto de intersección de los rayos), como muestra la figura. Un rayo está en posición normal si su rayo inicial coincide con el semieje positivo de x y su vértice está en el origen. Utilizamos letras griegas minúsculas para nombrar ángulos o representar sus medidas (en la figura se

usa______________). Los ángulos comprendidos entre 0 y 90 se denominan agudos y

los ángulos comprendidos entre 90 y 180 se llaman obtusos. Los ángulos positivos se miden en el sentido antihorario y los negativos en el sentido horario.

Ejercicio 1. Grafique un ángulo de 0 , 90 , 180 , 45 y 135 . Asigne “agudo”, “obtuso”, “recto” y “llano” según corresponda.

Ejercicio 2. Grafique un ángulo de 45 negativo. ¿Cuál es su medida tomada en el sentido positivo? Haga lo mismo

con un ángulo de 90 negativo.

Además de grados, los ángulos pueden medirse en otra unidad denominada radianes. La medida en radianes se define como la longitud del arco del sector sostenido por el ángulo (señale ese arco y su longitud). Dado que el

perímetro de un círculo es r2 , el de un círculo unidad (es decir, de radio 1) es 2 . Esto implica que la medida en

radianes de un ángulo que mide 360 es 2 . En otras palabras radianes 2360 . Es conveniente conocer las conversiones de los ángulos más usuales, los cuales se muestran en la siguiente figura:

Ejercicio 3. Haga usted mismo/a la conversión entre grados y radianes de los ángulos mostrados en la figura anterior.


TRIGONOMETRÍA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Ejercicio 4. Dibuje un triángulo rectángulo, señale el ángulo recto y nombre todos y cada uno sus lados.

En todo triángulo rectángulo “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Es decir (enuncie en símbolos usted mismo/a): A esta relación se la llama Teorema de Pitágoras. Ejercicio 5. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? Represente gráficamente. Ejercicio 6. Dado el triángulo de la figura, calcule la longitud del lado restante según los lados que se dan como dato.

a) 5,41c y 9h

b) 62 c y 12h

Ejercicio 7. Diga si los siguientes triángulos son rectángulos.

a) 61c , 82 c y 10h

b) 91c , 52 c y 11h


Ejercicio 8. Proponga un ejemplo de triángulo rectángulo distinto a los enunciados hasta aquí. a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo significa determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre ellos.

Dado cualquier triángulo rectángulo se puede considerar las siguientes razones entre los lados del mismo:

h

c1,

h

c2 y

2

1

c

c

Estas razones no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las llama razones trigonométricas. A continuación se enuncia una definición más precisa de cada una de ellas:

“Las razones trigonométricas de un triángulo como el de la figura anterior son:

h

c1

hipotenusa

opuesto catetosen

h

cos

2

hipotenusa

adyacente catetoc


2

1

adyacente cateto

opuesto catetot

c

cg ”

Ejercicio 9. Suponga el triángulo rectángulo 61c , 82 c y 10h , calcule las tres

razones trigonométricas para los ángulos y . Repita el ejercicio para el triángulo

rectángulo 31c , 42 c y 5h .

Las razones trigonométricas facilitan la resolución de un triángulo rectángulo. En los ejercicios anteriores, por ejemplo, es posible calcular el valor de los ángulos en cuestión, ya que conocemos todos sus lados. En el caso en

que 61c , 82 c y 10h ,

6,010

61

h

csen entonces 87,366,0 arcsen

y podría obtenerse el mismo valor de usando cualquier razón trigonométrica. De la misma manera,

8,010

82

h

csen entonces 13,538,0 arcsen .

Usando el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas es posible resolver los triángulos en base a

muy pocos datos. Por ejemplo, para resolver el triángulo 31c , 62 c calculamos,

71,64563 22 h

5,06

3

2

1

c

ctg 56,265,0 arctg

23

6

1

2

c

ctg 44,632 arctg

También podemos considerar el siguiente ejemplo 41c 50 hacemos,


2

1

c

ctg entonces 35,3

50

412

tgtg

cc

22,5435,3 22 h

18090 entonces 90 y por lo tanto 40509090

Ejercicio 10. Resuelva los siguientes triángulos.

51c y 30

5,32 c y 45

Retornemos ahora a la circunferencia de radio uno, denominada circunferencia trigonométrica. Se marca un ángulo arbitrario en ella, por ejemplo de la siguiente figura,

El rayo terminal interseca la circunferencia en el punto A. Proyectando ese punto sobre el eje x se marca el punto B. de esta manera, se ha determinado un triángulo rectángulo. Conociendo que el radio de esta circunferencia es 1, las razones trigonométricas del ángulo son (escríbalas a continuación): De esta manera, los catetos se escriben como (despeje de las expresiones que usted escribió anteriormente):


y el teorema de Pitágoras para este triángulo es: RECUERDE siempre esta expresión, es una IDENTIDAD esencial y se utilizará en cualquier curso de Matemática, del Cálculo al Álgebra, incluso cuando estudie los números complejos. Por otro lado, la tangente del ángulo es (escriba la expresión): lo cual es válido para todo ángulo . Esta igualdad será de gran utilidad, RECUERDELA siempre. Ejercicio 11. Trace un ángulo obtuso en una circunferencia trigonométrica. Represente el seno y el coseno del ángulo (remarque esos segmentos). Determine el signo de cada uno. Repita el ejercicio para un ángulo cuyo rayo terminal caiga en el tercer cuadrante y para uno cuyo rayo terminal caiga en el cuarto cuadrante. Ejercicio 12. Con los resultados del Ejercicio 11., complete la siguiente tabla.

R. T. / Cuadrante

I II III IV

sen

cos tg


EJERCITACIÓN

SIGUE EN LA PRÓXIMA PÁGINA






Ejercicio 23: Plantear y resolver los siguientes problemas: a) Un edificio proyecta una sombra de 20 m de largo. Si el ángulo de visión desde la punta de la sombra al punto más alto del edificio es de 69º, ¿Cuál es la altura del edificio? (el ángulo de visión se mide respecto de la horizontal) b) Desde un acantilado de 50 m de altura se ve un barco, si el ángulo de la visual es de 70º. ¿A qué distancia del acantilado se encuentra el barco? c) Para conocer la altura de la torre hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto, obteniendo un resultado de 43º. Al acercarnos 15 m hacia la torre obtenemos un nuevo ángulo de 57º, ¿cuánto mide la torre? d) Para calcular la altura de un edificio un hombre que estaba ubicado a 150 m de él calcula que el ángulo de elevación es de 20º; si la altura del hombre es 1,70 m, ¿cuál es la altura aproximada del edificio? e) La parte superior de una escalera de 20 m está recostada contra el borde del techo de una casa. Si el ángulo de inclinación de la escalera desde la horizontal es de 51º, ¿cuál es la altura de la casa? f) El asta de una bandera está localizada al borde de un precipicio de 50 m, a la orilla de un río de 40 m de ancho. Un observador al lado opuesto del río mide un ángulo de 3º entre su línea de observación a la punta de la bandera, y su línea de observación a la cima del precipicio. Encuentra la altura del asta de la bandera. g) Dos lados de un triángulo isósceles miden 20 cm y cada uno de los ángulos iguales 25º. Resuelve el triángulo. h) Determina la altura de un árbol si desde el punto situado a 20 m de su base se observa su copa con un ángulo de 65º 23’. i) La sombra que proyecta Luis al atardecer de un día de verano mide 2,24 m. El ángulo que forman los rayos solares con el suelo es 37º. ¿Cuánto mide Luis? j) Un globo se encuentra a 150 m de altura. Desde un punto, la línea visual forma un ángulo de 37º 4’. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra el globo del observador? k) Se quiere cubrir con césped un cantero de forma triangular. Uno de los lados mide 8 m. Los otros dos lados forman con éste ángulos de 46º y 60º. Calcula la cantidad de césped que se necesita para cubrirlo.


l) Un topógrafo situado en B observa dos puntos A y C, en los extremos de un lago. Si

mBCmBA 2,242;7,331 y el ángulo º120ˆ CBA , calcula la distancia de A a C. m) Sobre un peñasco situado en la rivera de un río se levanta una torre de 125 m de altura. Desde el extremo superior de la torre el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta, es de 28º 40’ y desde la base de la torre el ángulo de depresión del mismo punto es de 18º 20’. Encuentra el ancho del río y la altura del peñasco. n) Calcula las diagonales del paralelogramo cuyos lados tienen por medida 6 dm y 15 dm, sabiendo que el ángulo que forman los mismos es de 58º. ñ) La longitud de la sombra de una persona de 1,80 m de altura producida por un foco de alumbrado es inicialmente 3,60 m. Después la persona se para justo en el lugar donde terminaba la sombra y comprueba que ahora aquella mide 4 m. ¿A qué altura está el foco? o) Un bote patrulla recorre 37,8 km con derrotero de 120º y después 28,30 km con derrotero de 45º. Halle el derrotero y la distancia que debe recorrer para regresar por la ruta más corta. p) Un piloto sale de A y vuela 125 km en dirección NO 38º. Trata, entonces, de regresar al punto de partida, pero, por error, vuela 125 km en dirección SE 51º. Calcula a qué distancia se encuentra de A y cuál ha de ser la dirección que debe tomar ahora para llegar a A.

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