Upload
preuniversitario
View
50
Download
4
Tags:
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ingenieria Industrial - Io - Método Gráfico
Citation preview
MTODO GRFICO
El mtodo grfico es un procedimiento de solucin de problemas de programacin lineal muy
limitado en cuanto al nmero de variables (2 si es un grfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en
materia de interpretacin de resultados e incluso anlisis de sensibilidad. Este consiste en
representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polgono
(poliedro) factible, comnmente llamado el conjunto solucin o regin factible, en el cual por
razones trigonomtricas en uno de sus vrtices se encuentra la mejor respuesta (solucin
ptima).
EL PROBLEMA
La fbrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y
T; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de
T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T por
da se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el mximo
beneficio, cuntos metros de T y T se deben fabricar?
LA MODELIZACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL
VARIABLES
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
RESTRICCIONES
0,12XT + 0,2XT
0,072XT + 0,027XT
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
www.in
genieriaindustrialonline.com
Seguimos con la segunda restriccin,
0,15X + 0,1y = 300
www.ingenieriaindustri
alonline.com
Tercera restriccin,
0,072X + 0,027y = 108
www.ingenieriaindustri
alonline.com
En el siguiente grfico se muestra el polgono solucin de color gris, en este conjunto es donde
cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser
restricciones de menor o igual y esta caracterstica se representa con una flecha haca abajo.
www.ingenieriaindustri
alonline.com
Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones ptimas se alojan en los
vrtices del polgono solucin (color gris) y que identificar a la solucin ptima es cuestin de
elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnolgicas y
conocimientos matemticos).
La primera opcin es la geomtrica, esta depende de trazar la ecuacin que representa a la
funcin objetivo (este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones).
Funcin objetivo,
ZMAX = 4000x + 5000y
luego igualamos a 0.
4000x + 5000y = 0
luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la grfica
correspondientes a la ecuacin (en esta ocasin es recomendable ms de dos coordenadas,
incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).
www.ingenieriaindustri
alonline.com
Una vez se ha esbozado la funcin objetivo (lnea negra) sacamos replicas perpendiculares a
esta que se encuentren con cada vrtice, y solo en el caso en que la lnea imaginaria
perpendicular a la funcin objetivo no corte el polgono solucin se ha encontrado la solucin
ptima. En otras palabras trasladamos la funcin objetivo por todo el polgono conservando la
perpendicularidad con la original, la detenemos en los vrtices y evaluamos si esta corta o no el
conjunto solucin.
www.ingenieriaindustri
alonline.com
Claramente solo en el punto "B", es decir en el vrtice formado por la interseccin de las
ecuaciones 1 y 2, la lnea imaginaria no corta el polgono solucin, entonces es este punto el
correspondiente a la coordenada ptima.
Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolucin de ecuaciones
lineales 2x2, y se pueden considerar varios mtodos de solucin entre ellos:
- Mtodo por sustitucin
- Mtodo por igualacin
- Mtodo por reduccin o Eliminacin
- Mtodo por eliminacin Gauss
- Mtodo por eliminacin Gauss - Jordn
- Mtodo por determinantes
La riqueza de las matemticas nos deja suficientes alternativas, para mi gusto el mtodo de
reduccin o eliminacin es muy sencillo de aplicar.
El mtodo por reduccin o eliminacin consiste en igualar los coeficientes de una de las variables
multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en cuenta que estos coeficientes queden
iguales pero con signos contrarios.
Ecuacin 1 0,12x + 0,2y = 500
Ecuacin 2 0,15x + 0,1y = 300 multiplicamos por (-2)
Ecuacin 3 (2*(-2)) -0,30x - 0,2y = -600
Sumamos 1 y 3 -0,18x = -100
Despejamos "x" x = -100 / (-0,18)
x = 555,55
luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos ecuaciones originales con el objetivo de
despejar "y".
Ecuacin 1 0,12x + 0,2y = 500
Reemplazamos "x" 0,12(555,55) + 0,2y = 500
Despejamos "y" 66,666 + 0,2y = 500
0,2y = 500 - 66,666
0,2y = 433,334
y = 433,334 / 0,2
y = 2166,67
De esta forma hemos obtenido los valores para "x" y "y".
Recordemos que x y y fueron los nombres que recibieron las variables originales XT y XT'
x = XT
y = XT'
XT = 555,55
XT' = 2166,67
y la contribucin obtenida (reemplazando las variables en la funcin objetivo) es de:
Zmax = 4000XT + 5000XT'
Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67)
Zmax = 13.055.550
Ahora podemos cotejar los resultados con los obtenidos mediante resolucin por Solver - Excel,
sin embargo recuerden que el mtodo de bsqueda de la solucin ptima en el mtodo grfico
que utilizamos es el geomtrico y que existe una posibilidad mucho ms engorrosa pero
igualmente efectiva, este es el mtodo de iteracin por vrtice, y que consiste en hallar todas las
coordenadas de los vrtices y luego en cada coordenada se evala la funcin objetivo, (cada
coordenada nos proporciona un valor en "x" y otro en "y", luego reemplazamos estos valores en la
funcin objetivo "4000x + 5000y = ?" y luego evaluamos los resultados seleccionando la mayor
cantidad).
Una herramienta muy til al momento de resolver ejercicios mediante el mtodo grfico es una
calculadora graficadora, como es el caso de la calculadora de encarta (disponibleaqu).
VARIANTES EN EL MTODO GRFICO
Como en la mayora de los casos el ejemplo con el que aqu se explic el mtodo grfico es el
ideal, es decir un ejercicio de conjunto acotado con solucin ptima nica, sin embargo existen
una variedad de problemas diferentes a los ideales y que vale la pena analizar:
SOLUCIN PTIMA MLTIPLE Una de las variantes que puede presentar un ejercicio de programacin lineal consiste en la
cantidad de soluciones ptimas, gran cantidad de ellos presenta ms de una solucin ptima, es
decir una solucin en la cual la funcin objetivo es exactamente igual en una combinacin
cuantitativa de variables diferente.
Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que prime el anlisis de sensibilidad, es decir
una vez encontradas mltiples soluciones iguales se debe proceder al comportamiento del
consumo de los recursos y restricciones, evidentemente prevaleciendo el concepto de
productividad de los recursos ms limitados y costosos.
Un ejemplo de este caso es el siguiente:
La ebanistera "SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes prefabricadas para la
elaboracin de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un plan de produccin enfocado a estas
por la alta demanda que tiene de sus productos restantes. Las mesas que pueden elaborarse de
las partes prefabricadas son de dos modelos, modelo A y B, y estas no requieren ms que ser
ensambladas y pintadas. Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de
pintura para elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa
modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que cada mesa
modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura respectivamente. Si el margen de
utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y $10000 por cada mesa modelo B. Determine el
modelo adecuado de produccin para esta semana.
X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta semana
Y = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta semana
Restricciones
2X + Y
La grfica resultante sera:
www.ingenieriaindustri
alonline.com
Como nos podemos dar cuenta mediante la geometra en dos vrtices la lnea imaginaria
perpendicular a la funcin objetivo no atraviesa el conjunto solucin, por ende en dos puntos se
presentan soluciones ptimas, que son los puntos B y C.
Observemos la solucin ptima mltiple
Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0
Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000
Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000
Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000
Existen entonces dos soluciones ptimas
Solucin ptima 1
X = 4 Y = 2
Solucin ptima 2
X = 5 Y = 0
La pregunta siguiente es cual decisin tomar?, pues depende de factores tales como una
anlisis de sensibilidad donde se tenga en cuenta el consumo distinto de determinados recursos
(horas ensamble vs. horas pintura) y factores extras al modelo como lo puede llegar a ser en este
caso una necesidad de espacio de almacenamiento, dado que existe una alternativa en la que se
elaboran ms mesas que en la otra, de todas formas es interesante el paso posterior a esbozar
los resultados pues requerir de la capacidad de quien toma las decisiones.
SOLUCIN PTIMA NO ACOTADA Otra de las variantes que presentan los modelos de programacin lineal corresponde a los
modelos de solucin ptima no acotada, es decir problemas con infinitas soluciones ptimas. Hay
que reconocer que en la vida real gran parte de estos problemas se deben a un mal
planteamiento de las restricciones, sin embargo es comn que este tipo de problemas sean
evaluados en la vida acadmica.
Un ejemplo:
La compaa comercializadora de bebidas energticas "CILANTRO SALVAJE" se encuentra
promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se encuentran en promocin
se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda, sin embargo existen 2
polticas que la empresa debe tener en cuenta. Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A
que se vendan no puede ser menor que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender
por lo menos 1500 bebidas de cualquier tipo.
Dado que se encuentran en promocin el precio de venta de ambas bebidas equivale a $1800
pesos.
Determine la cantidad de unidades que deben venderse!!
Variables
X = Cantidad de bebidas tipo A a vender
Y = Cantidad de bebidas tipo B a vender
Restricciones
X => Y
X + Y => 1500
Funcin Objetivo
Zmax = 1800X + 1800Y
La grfica resultante sera:
www.ingenieriaindustri
alonline.com
Es claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando indefinidamente la
funcin objetivo, en estos casos se dice que la solucin ptima no es acotada, por lo cual las
posibles soluciones son infinitas.
SOLUCIN INFACTIBLE El caso de la solucin infactible es ms tpico de lo pensado, y corresponde a los casos en los
cuales no existen soluciones que cumplen con todas las restricciones. Es muy comn ver este
fenmeno producto de inviables proporciones de oferta y demanda.
Un ejemplo:
La compaa de galletas "CAROLA" desea planificar la produccin de galletas que tendr que
entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compaa "CAROLA" se
compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera sea su tipo (presentacin
D, presentacin N o una combinacin de ambas presentaciones), cada caja de galletas
presentacin D tiene un tiempo de elaboracin de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas,
mientras cada caja de presentacin N tiene un tiempo de elaboracin de 3 horas y un tiempo de
horneado de 1 hora. La compaa cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboracin y
con 480 horas de horneado.
Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentacin D y N es de
$8500 y $8100 respectivamente, determine mediante un modelo de programacin lineal el plan de
produccin que maximice las utilidades.
Variables
X = Cantidad de cajas de galletas presentacin D a producir en 2 semanas
Y = Cantidad de cajas de galletas presentacin N a producir en 2 semanas
Restricciones
2X + 3Y
La compaa "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de congeladores
denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su
comercializacin: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores tipo A requieren 2
horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B
requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen
contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente.
La compaa dispone como mximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y
450 horas de control de calidad. Con base en la informacin suministrada determine las unidades
a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades.
Las variables:
X = Cantidad de congeladores tipo A a producir semanalmente
Y = Cantidad de congeladores tipo B a producir semanalmente
Las restricciones:
2X + 3Y
El Mtodo Simplex es un mtodo iterativo que permite ir mejorando la solucin en cada paso. La
razn matemtica de esta mejora radica en que el mtodo consiste en caminar del vrtice de un
poliedro a un vrtice vecino de manera que aumente o disminuya (segn el contexto de la funcin
objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el nmero de vrtices que presenta un poliedro
solucin es finito siempre se hallar solucin.
Este famossimo mtodo fue creado en el ao de 1947 por el estadounidense George Bernard
Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el nimo de crear un algoritmo capaz de
solucionar problemas de m restricciones y n variables.
QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?
Una matriz puede definirse como una ordenacin rectangular de elementos, (o listado finito de
elementos), los cuales pueden ser nmeros reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de
columnas.
La matriz idntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo nmero tanto de
columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y
todos los dems componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idntica o identidad de
orden n, y se denota por:
La importancia de la teora de matrices en el Mtodo Simplex es fundamental, dado que el
algoritmo se basa en dicha teora para la resolucin de sus problemas.
OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MTODO SIMPLEX
VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO El Mtodo Simplex trabaja basndose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan
mediante programacin lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en
ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el
recurso al cual hace referencia la restriccin y que en el tabulado final representa el "Slack or
surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolucin de investigacin de
operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el anlisis de sensibilidad y juegan un rol
fundamental en la creacin de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restriccin es de signo
"=".
Por ejemplo:
VARIABLE ARTIFICIAL / MTODO DE LA "M" Una variable artificial es un truco matemtico para convertir inecuaciones ">=" en ecuaciones, o
cuando aparecen igualdades en el problema original, la caracterstica principal de estas variables
es que no deben formar parte de la solucin, dado que no representan recursos. El objetivo
fundamental de estas variables es la formacin de la matriz identidad.
Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, su coeficiente
es M (por esto se le denomina Mtodo de la M grande, donde M significa un nmero demasiado
grande muy poco atractivo para la funcin objetivo), y el signo en la funcin objetivo va en contra
del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximizacin su signo es menos (-) y en
problemas de Minimizacin su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la
solucin sea cero (0).
MTODO SIMPLEX PASO A PASO
EL PROBLEMA La empresa el SAMN Ltda. Dedicada a la fabricacin de muebles, ha ampliado su produccin en
dos lneas ms. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa
requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla
requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere
de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y
finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales
de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende
en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta
producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende
en $ 60000. El objetivo de la fbrica es maximizar las utilidades.
Problema planteado por Edwin
Bastidas - Ingeniero Industrial
PASO 1: MODELACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL Las variables:
X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)
X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)
X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)
X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)
Las restricciones:
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4
www.ingenieriaindustrialonline.com
Solucin: (segundo trmino)= En esta fila se consigna el segundo trmino de la solucin, es decir
las variables, lo ms adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se
escribieron en la definicin de restricciones.
Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila
"solucin" en la funcin objetivo.
Variable Solucin = En esta columna se consigna la solucin bsica inicial, y a partir de esta en
cada iteracin se van incluyendo las variables que formarn parte de la solucin final.
Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha
"Variable solucin" en la funcin objetivo.
Zj = En esta fila se consigna la contribucin total, es decir la suma de los productos entre trmino
y Cb.
Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un
"Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable
correspondiente que no forme parte de la solucin.
Solucin inicial:
www.ingenieriaindustrialonline.com
PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS
Este es el paso definitivo en la resolucin por medio del Mtodo Simplex, consiste en realizar
intentos mientras el modelo va de un vrtice del poliedro objetivo a otro.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Evaluar que variable entrar y cual saldr de la solucin ptima:
Maximizar Minimizar
riable que entra La ms positiva de los Cj - Zj La ms negativa de los Cj - Zj
ariable que sale
Siendo b los valores bajo la celda solucin y a el valor
correspondiente a la interseccin entre b y la variable
que entra. La menos positiva de los b/a.
Siendo b los valores bajo la celda solucin y a el valor
correspondiente a la interseccin entre b y la variable
que entra. La ms positiva de los b/a.
www.ingenieriaindustrialonline.com
2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solucin implica una serie de
cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarn a continuacin.
- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el
"a = 4".
www.ingenieriaindustrialonline.com
- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.
www.ingenieriaindustrialonline.com
- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harn los clculos
correspondientes en el resto de las celdas.
www.ingenieriaindustrialonline.com
De esta manera se culmina la primera iteracin, este paso se repetir cuantas veces sea
necesario y solo se dar por terminado el mtodo segn los siguientes criterios.
Maximizar Minimizar
Solucin ptima Cuando todos los Cj - Zj sean = 0
- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.
www.ingenieriaindustrialonline.com
En esta ltima iteracin podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj
www.ingenieriaindustrialonline.com
La manera de llegar a la otra solucin consiste en alterar el orden en que cada una de las
variables entro a la solucin bsica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido a la
igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aqu les presentamos una de las maneras de llegar a la
otra solucin.
www.ingenieriaindustrialonline.com
Podemos observar como existe una solucin ptima alternativa en la cual la combinacin de
variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se
encuentre la variable "S1" en la solucin ptima con un coeficiente de "3" significa que se
presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines).
X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)
X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)
X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)
X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)
S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)
Con una utilidad de: $ 340000
PROBLEMAS DE MINIMIZACIN CON EL MTODO SIMPLEX
Para resolver problemas de minimizacin mediante el algoritmo simplex existen dos
procedimientos que se emplean con regularidad.
- El primero, que a mi juicio es el ms recomendable se basa en un artificio aplicable al algoritmo
fundamentado en la lgica matemtica que dicta que "para cualquier funcin f(x), todo punto que
minimice a f(x) maximizar tambin a - f(x)". Por lo tanto el procedimiento a aplicar es multiplicar
por el factor negativo (-1) a toda la funcin objetivo.
a continuacin se resuelve el algoritmo como un problema de maximizacin.
- El segundo procedimiento, el cual pretende conservar la minimizacin consiste en aplicar los
criterios de decisin que hemos esbozado con anterioridad, en los casos de la variable que entra,
que sale y el caso en el que la solucin ptima es encontrada. Aqu recordamos los
procedimientos segn el criterio dado el caso "minimizar".
Minimizar
Variable que entra La ms negativa de los (Cj - Zj)
Variable que sale
Siendo "b" los valores bajo la celda solucin y "a" el
valor correspondiente a la interseccin entre "b" y la
variable que entra. La ms positiva de los "b/a".
Solucin ptima Cuando todos los (Cj - Zj) sean >= 0.
www.ingenieriaindustri
alonline.com
La solucin ptima corresponde a:
X = 150
Y = 0
y la funcin objetivo quedara.
Zmax = $15300000
Claramente podemos observar como la restriccin 1 y la restriccin 2 no determinan el conjunto
solucin, por ende se denominan restricciones redundantes o sobrantes.