Ingenieria Economica INTEC

Apuntes

Asignatura Ingeniería EconómicaPreparado por

Prof. Freddy Lara

Santo Domingo, Republica Dominicana

Agosto del 2008

Area de Ingeniería

INGENIERÍA ECONÓMICA

DEFINICIÓN DE INGENIERÍA ECONOMICA:• Conceptos y técnicas matemáticas aplicadas

en el análisis, comparación y evaluaciónfinanciera de alternativas relativas a proyectosde ingeniería con el propósito identificaraquella opción que permita tomar decisioneseconómicamente optimas, entendiéndose porsolución económicamente optima, aquella quemaximimice la función de beneficios ominimice la función de costos.


Problemas típicos de la Ingeniería económica:• La escogencia entre uno de varios diseños de

una maquina, todos igualmente eficaces.• Hacer una recomendación entre arrendar o

comprar una flotilla de camiones.• Comprar un equipo nuevo o de medio uso.• Determinar el momento en que una maquina

debe ser reemplazada.• Resolver un problema vial haciendo un tunel o

un elevado.


Principios de la Ingeniería Económica

El desarrollo, estudio y aplicación de cualquier disciplinadebe comenzar con sus fundamentos.

Los autores E. L. Grant, W.G. Ireson y R.S. Leavenworthdefinen los fundamentos de la Ingeniería Económicacomo un conjunto de principios o conceptos básicos queofrecen una doctrina comprensiva para el desarrollo delos métodos de la Ingeniería Económica, esos principiosson los siguientes:


PRINCIPIO 1- DESARROLLAR ALTERNATIVAS:

La Selección (decisión) se da entre las alternativas. Esnecesario identificar las alternativas y después definirlaspara el análisis subsecuente.

PRINCIPIO 2- CENTRARSE EN LAS DIFERENCIAS

Al comparar las alternativas debe considerarse sóloaquello que resulta relevante para la toma de decisiones,es decir, las diferencias en los posibles resultados.

INGENIERÍA ECONÓMICAPRINCIPIO 3- UTILIZAR UN PUNTO DE VISTA CONSISTENTE

Los resultados posibles de las alternativas,económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabomanteniendo la coherencia con el punto de vistadefinido.

PRINCIPIO 4- USAR UNA UNIDAD DE MEDIDA COMUN

Utilizar una unidad de medición para enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las alternativas.


PRINCIPIO 5- TOMAR EN CUENTA TODOS LOS CRITERIOS RELEVANTES

La selección de una alternativa requiere del uso de uno ovarios criterios, solo deberán usarse aquellos querealmente influyan sobre los objetivos predeterminados. Elproceso de decisión debe considerar los resultadosenumerados en la unidad monetaria y los expresados enalguna otra unidad de medida o hechos explícitos de unamanera descriptiva.


PRINCIPIO 6- HACER EXPLICITA LA INCERTIDUMBRE

La incertidumbre es inherente al proyectar los resultadosfuturos de las alternativas y debe reconocerse en suanálisis y comparación.

PRINCIPIO 7- REVISAR LAS DECISIONES

La toma de decisiones mejorada resulta de un procesoadaptativo; los resultados iniciales proyectados de laalternativa seleccionada deben compararse posteriormentecon los resultados reales logrados.


PROCEDIMIENTO DE ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERÍA PROCESO DE DISEÑO EN INGENIERIA

Paso Actividad1.- Reconocimiento del problema, formulación y evaluación. 1.- Problema / Necesidad de definición.

2.- Desarrollo de las alternativas factibles. 2.- Problema / Necesidad de formulación y evaluación.

3.- Desarrollo de los flujos de efectivo para cada alternativa. 3.- Síntesis de posibles soluciones.

4.- Selección de criterios. 4.- Análisis, optimización y evaluación.

5.- Análisis y control de alternativas. 5.- Especialización de la alternativa preferida.

6.- Selección de la alternativa preferida. 6.- Comunicación.7.- Monitoreo del desempeño y post -evaluación del resultados.


Representaciones gráficas y simbología de los Representaciones gráficas y simbología de los flujos de efectivosflujos de efectivos

Los flujos de fondos se representan en una escala de Los flujos de fondos se representan en una escala de tiempo como ésta:tiempo como ésta:

0 1 2 3 ………... n Unidades de tiempo


Los flujos de entrada, Los flujos de entrada, ingresosingresos o beneficios se o beneficios se representan con una flecha hacia arribarepresentan con una flecha hacia arriba

Los flujos de salida o Los flujos de salida o egresosegresos se representan se representan con una flecha hacia abajo.con una flecha hacia abajo.


Letras y símbolos utilizados frecuentemente en Ingeniería económica

P= Valor presente

F= Valor futuro

A= Serie uniforme de ingresos o egresos

I= Interés

i= tasa de interés en %

G= Gradiente

N= Número de unidades de tiempo

INGENIERÍA ECONÓMICAREPRESENTACIÓN GRÁFICA

INGRESO (EFECTIVO)

TIEMPO(PERÍODOS)

EGRESO (EFECTIVO)

1 2 3

n

0

+

-


Las flechas se colocan en el punto del tiempo dondesucede el flujo, por ejemplo el flujo aquírepresentado indica que hubo un ingreso de $400 afinal del año 4.

0 1 2 3 4 Años

$400


CONCEPTOS FUNDAMENTALES APLICADOS EN LOS METODOS DE LA INGENIERIA ECONOMICA

•Concepto de costo de oportunidad

•Concepto de interés

•Concepto de valor de dinero en el tiempo

•Concepto de equivalencia


Concepto de costo de oportunidad

Se incurre en costo de oportunidad debido al uso derecursos limitados, de manera que se pierde laoportunidad de ventajas económicas en una alternativa;es decir, es el costo de la mejor oportunidad rechazada(perdida) y que con frecuencia esta oculto o implícito.


Concepto de costo de oportunidad

Por ejemplo, suponga que un proyecto contempla el usode un terreno para construir un nuevo almacen, sucedeque en ese espacio también sirve para parqueo, para otroedificio o para hacer un parque. La mejor alternativadesechada para construir el almacen, representa el costode oportunidad de ese terreno.


Concepto de interés

El interés se genera cuando una entidad (prestatario)utiliza durante cierto tiempo una determinada cantidad dedinero, que llamaremos capital original (P), la cual esproporcionada por otra entidad (prestamista), al final deun intervalo de tiempo establecido, el prestatario retornaP mas un ∆P al prestamista, ∆P es lo que se define comointerés.

P Tiempo P + ∆ P

∆ P = Interés


Sintetizando el concepto de interés

INTERÉS: Cantidad de dinero que excede a lo prestado.Es el costo de un préstamo.

Interés = cantidad pagada - cantidad prestada

INGENIERÍA ECONÓMICAConceptoConcepto deldel valorvalor deldel dinerodinero enen elel tiempotiempo

ElEl dinerodinero tienetiene valorvalor enen elel tiempotiempo porqueporque esteeste puedepuedeganarganar másmás dinerodinero (intereses)(intereses) alal pasarpasar elel tiempotiempo (poder(poderdede ganancia)ganancia)..

ElEl valorvalor deldel dinerodinero enen elel tiempotiempo eses medidomedido enen términostérminosdede lala tasatasa dede interésinterés..

INGENIERÍA ECONÓMICAConceptoConcepto deldel valorvalor deldel dinerodinero enen elel tiempotiempo

El dinero se valoriza a través del tiempo a una tasade interés

LaLa existenciaexistencia deldel interésinterés eses lolo queque lele dada valorvalor alal dinerodinero enen eleltiempotiempo.. NoNo eses lolo mismomismo recibirrecibir $$11 hoyhoy queque recibirlorecibirlo dentrodentro dede uno,uno,dosdos oo trestres meses,meses, porqueporque eseese pesopeso tienetiene oportunidadoportunidad dede ganarganarinteresesintereses..

$ dinero $ dinero + $ interés

Ahora Futurotiempo

Relación entre el interés y el tiempo


Tasa de interés

Cuando el interés pagado con respecto a una unidad detiempo especifica, se expresa como porcentaje (%) de lasuma original (P), el resultado recibe el nombre de tasade interés (i)

i (%) = Interés acumulado en la unidad de tiempo x 100P

La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de Periodo de interés o de capitalización.

El periodo de interés mas comúnmente utilizado es de un año.

INGENIERÍA ECONÓMICATasa de interésSi nos referimos a un periodo tendremos la siguientefórmula:P: préstamo o valor presente al principio del periodo.F: pago o valor futuro al final del periodo.F - P: intereses del periodo.i: tasa efectiva de interés por periodo (vencido)

F - PP

x 100%i =

INGENIERÍA ECONÓMICAConsecuencias del concepto del valor de dinero en

el tiempo1. No se pueden aplicar las operaciones aritméticas

con cantidad de dinero ubicadas en diferentespuntos del tiempo.

2. El dinero se valoriza si aumenta su poder decompra.

INGENIERÍA ECONÓMICAConcepto de equivalencia

Dos cantidades de dinero ubicadas en diferentespuntos del tiempo son equivalentes si al trasladarlasal mismo punto, se hacen iguales en magnitud.

$Q0

$Q1

Interés: i0 1

INGENIERÍA ECONÓMICAConcepto de equivalencia

Q0

Q1 Q2 Q3 Qn

Interés: i

0 1 2 3 n

¿Cuándo Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn serán equivalentes a Q0?


ENUNCIADO SIMPLE:

$100 hoy son equivalentes a $120 dentro de un año conrelación a una tasa de interés del 20% anual

=$100

$120

20%0 1


Concepto de inflación

La inflación es el aumento generalizado de los precios de una economía durante un periodo de tiempo determinado.

Tasa de inflación es el porcentaje promedio del alza de precios en un período


Concepto de inflación

Una consecuencia de la inflación es la perdida de poderde compra del dinero.

Por ejemplo si la inflación acumulada en el año 2007con respecto al 2006 fue del 15%, eso significa que loque costaba $100 en el año 2006, cuesta $115 en el2007

En términos mas específicos si un huevo costaba $2.50en el 2006, en el año 2007 costara $2.88, entonces enel 2006 con $100 se podían adquirir 40 huevos en el2007 con $100 solo se pueden comprar 35 huevos, enotras palabras se perdió poder de compra.


Moneda corriente y moneda de valor constante

En moneda de valor constante hacemos abstracción dela inflación y la devaluación.

En pesos corrientes trabajamos con los precios delmercado.

INGENIERÍA ECONÓMICATasa de interés e inflación

La tasa de interés hace que el dinero adquiera valor enel tiempo, mientras que la inflación provoca unadesvalorización del dinero.Con la tasa de interés el dinero se valoriza, pero con lainflación se desvaloriza ¿entonces en que quedamos?Si partimos del supuesto que la tasa de interés esmayor que la tasa de inflación:

Valoración a una tasa de interés

Desvalorización por inflación

Valoración real

INGENIERÍA ECONÓMICAPRINCIPIO DE RACIONALIDAD FINANCIERA DE LOS AGENTES ECONMICOS

Las personas y los agentes económicos siemprebuscaran maximizar beneficios y reducir costos paraun nivel de riesgo dado.

Si se tiene disponible una cantidad de dinero,siempre se encontrará en el mercado una tasa deinterés mayor que la inflación (tasa real positiva).


Tipos de interés

Interés simple:Los intereses no se capitalizan. Se calcula con base ala inversión o préstamo original.

Interés = capital x Nº de periodos x tasa de interés

Interés compuesto:Se calcula con base en el saldo al principio delperiodo. Los intereses generan intereses, es decir,se capitalizan.

INGENIERÍA ECONÓMICADeducción de la formula de interés simple

Interés simple. Se paga o se gana sobre el capital originalprestado, se acumula periódicamente y se paga junto con el capitalen n periodos, el capital se mantiene constante durante el tiempoque dura la operación.

Deuda = Capital + InterésF = P + I (1)

I = f ( capital, tasa de interés, tiempo)I = f(P,i, n) (2)

en el interés simple P,i y n son directamente proporcionales a I, entonces la expresión(2) queda como

I = P* i* nSustituyendo (2) en (1), tenemos

F = P + P*i*nF = P(1 +ni)


Ejemplo: Se depositan $100 por tres meses a una tasa de interés del 5% mensual simple

0 1 2 3 meses

$100

$115i =5%

F = P(1 + ni)

F = $100(1 + 3*0.05) = $115

INGENIERÍA ECONÓMICAFórmulas de Interés compuestoEnEn elel interésinterés compuestocompuesto loslos interesesintereses sese capitalizan,capitalizan,eses decirdecir elel interésinterés nono pagadopagado sese agregaagrega alal montomonto dedelala deudadeuda vencidavencida yy elel interésinterés parapara elel próximopróximoperíodoperíodo sese calculacalcula sobresobre elel saldosaldo insolutoinsoluto..

PorPor ejemplo,ejemplo, sisi ustedusted tomatoma $$100100 prestadoprestado alal 1010%%mensual,mensual, susu deudadeuda iráirá creciendocreciendo comocomo siguesigue::

mesmes 11:: $$100100 ++ 00..1010**100100 == $$110110..0000

mesmes 22 :: $$110110 ++ 00..1010**110110 == $$121121..0000

mesmes 33:: $$121121 ++00..1010**121121 == $$133133..1010


0 1 2 3$100

$110 $121 $133.10

Comparación del crecimiento de la deuda con interes compuesto y con interés simple

Crecimiento de la deuda con interés compuesto a una tasa del 10% anual

años

Crecimiento de la deuda con interés simple a una tasa del 10% anual

0 1 2 3 años$100

$110 $120 $130

INGENIERÍA ECONÓMICAFormulas de interés compuesto

Veremos seis modelos matemáticos de equivalencias:

•La capitalización de un pago único•El descuento de un pago único•La amortización de un valor presente con una serie uniforme de pagos.•El descuento de una serie uniforme de pagos•La capitalización de una serie uniforme de pagos•La anualidad de un pago único futuro

INGENIERÍA ECONÓMICACapitalización y descuento de pago único:Capitalización y descuento de pago único:FF11 = P + i P = P(1 +i)= P + i P = P(1 +i)

FF22 = F= F11 + i F+ i F11 = F= F11 (1 + i ) = P(1 +i) (1 + i ) = P(1 +i) (1 + i ) = P(1 +i) (1 + i ) = P(1 +i) 22

FF33 = F= F22 + i F+ i F22 = F= F22 (1 + i ) = P(1 +i)(1 + i ) = P(1 +i)22 (1 + i ) = P(1 +i) (1 + i ) = P(1 +i) 33

En términos generalesEn términos generales

FFnn = P(1 +i) = P(1 +i) nn = P (F/P)= P (F/P)i,ni,n

PPnn = F*(1/(1 +i) = F*(1/(1 +i) nn )= F (P/F))= F (P/F)i,ni,n

INGENIERÍA ECONÓMICALa amortización de un valor presente con una

serie uniforme de pagos

P = A(1+i)-1 + A(1+i)-2 + A(1+i)-3 +……….....+ A(1+i)-N


La amortización de un valor presente con una serie uniforme de pagos

Ejemplo: ¿Cual es el valor presente de una serie de pagos de $15,000 a ser recibidos al final de cada año durante 20 años si la tasa de interés anual es del 10%?

P = A (P/A) i,n

P = $15,000(P/A)10%,20

P = $15,000*8.5135 = $127,703.45

INGENIERÍA ECONÓMICATABLA DE AMORTIZACION DE PRESTAMO

Monto del préstamo: RD$100,000.00

Tasa de interés: 10%

Número de cuotas: 6

Monto de cada cuota:

n Cuota Interés Amortización Saldo insoluto1 22,960.74 10,000.00 12,960.74 87,039.262 22,960.74 8,703.93 14,256.81 72,782.453 22,960.74 7,278.25 15,682.49 57,099.964 22,960.74 5,710.00 17,250.74 39,849.215 22,960.74 3,984.92 18,975.82 20,873.406 22,960.74 2,087.34 20,873.40 0.00

INGENIERÍA ECONÓMICAAmortización de un valor presente con una


INGENIERÍA ECONÓMICAAmortización de un valor presente con una


Ejemplo: Una persona toma un préstamo de$1,000,000 para pagarlo en cuotas iguales y anualesdurante 20 años, la tasa de interés del préstamo es del10% anual ¿Cual es el monto de cada cuota?

A = P (A/P) i,n

A = $1,000,000(A/P)10%,20

A = $1,000,000*0.11746

A = $117,459.62

INGENIERÍA ECONÓMICACapitalización de una serie uniforme de pagos

F = A(1+i)n-1 + A(1+i)n-2 + A(1+i)n-3 +……….....+ A(1+i)1 + A(1+i)0

INGENIERÍA ECONÓMICACapitalización de una serie uniforme de pagos

Ejemplo: Un trabajador deposita $18,000 al final de cadaaño en una AFP durante 25 años, por sus depósitos lepagan una tasa del 16% anual ¿Cuanto tendrá acumuladodicho trabajador el día que haga el último deposito?

F = A (F/A) i,n

F = $18,000(F/A)16%,25

F = $18,000*249.214 = $4,485,852.42

INGENIERÍA ECONÓMICAAnualidad de un fondo de amortización

INGENIERÍA ECONÓMICAAnualidad de un fondo de amortización

Ejemplo: Una empresa desea tener acumulado$500,000 dentro de 8 años para reemplazar unamáquina, para ello se depositará una cantidad uniformeal final de cada año en una cuenta que paga el 20%anual. ¿Cual deberá ser el monto de cada depositopara alcanzar la meta propuesta?

A = F (A/F) i,n

A = $500,000(A/F)20%,8

A = $500,000*0.06061

A = $30,304.71

INGENIERÍA ECONÓMICAValor presente neto de un flujo de efectivo

0 1 2 3 4 5

$1,000

$300

$200

$400$500

$600i =10%

VPN(10%) = -1,000 + 300(P/F)10%,1 - 200(P/F)10%,2 + 400(P/F)10%,3

+500(P/F)10%,4 + 600(P/F)10%,5

VPN(10%) = -1,000 + 300*0.9091-200*0.8264 + 400*0.7513+500*0.6830+600*0.6209

VPN(10%) = -1,000 + 272.73 - 165.28 +300.52 +341.50 + 372.54

VPN(10%) = 122.01

INGENIERÍA ECONÓMICASERIES DE GRADIENTE Y EL VALOR PRESENTE

Las series de pagos con gradiente se basan en la suposiciónteórica de que una cantidad, como el costo de mantenimiento de unequipo, aumentará una cantidad igual cada periodo de tiempo y queesta situación se mantendrá así durante un cierto número deperiodos.Aunque en la práctica esto no siempre sucede, ya que no esposible determinar con exactitud los incrementos o disminucionesgraduales de los costos mencionados, se han desarrollado fórmulasespeciales para interpretar y resolver este tipo de situaciones. A lacantidad igual en la que se incrementa (o disminuye) un flujo deefectivo se le llama GRADIENTE y se le representa con la letra G.


Ejemplo 1. Una empresa constructora adquiere un equipo compactadorusado y estima que el costo por mantenimiento será de $20,000 al finalizarel primer año, y que éste se incrementará en $5,000 cada año durante lossiguiente 5 años que supone que utilizará dicho equipo. Si la tasa deinterés nominal anual es del 9%, ¿Cuál es el valor presente de esta seriede pagos en el periodo de 5 años?


Solución. Los datos del problema que tenemos son: primer pago A =20,000; G = 5,000; n = 5 (años), i = 0.09; P = ? En la gráfica se hanrepresentado estos datos, las cantidades aparecen en miles de pesos.

20 25 30 35 40

P= ?

años0 1 2 3 4 5

INGENIERÍA ECONÓMICAUtilizando la fórmula P = F/ (1+ i)n, Obtenemos:

P = 20/(1.09)1 + 25/(1.09)2 + 30/(1.09)3 +35/(1.09)4 +40/(1.09)5

=113.348265926

Como está expresado en miles, el valor presente es:

P = $113,348.27

INGENIERÍA ECONÓMICAEste tipo de problemas se pueden abordar de otra manera, siobservamos que todos los pagos valen al menos una cantidad A y apartir del segundo hay una diferencia que es precisamente el valordel gradiente G. por lo que se puede construir de manerageneralizada una gráfica como la siguiente.

INGENIERÍA ECONÓMICADe la gráfica se observa que en toda serie de gradiente siempre se tendrá:

1.- Un número de pagos A igual a n.

2.- Un número de pagos que involucra a G igual a (n-1), ya que en elperiodo 1 no existe el incremento debido a G.

3.- El valor presente se puede calcular sumando las cantidades porseparado que se mencionan en los puntos anteriores con la siguienteexpresión P = P’ + P’’, donde:


La fórmula para calcular P’ es la que se utiliza para el calculo de P enuna serie de anualidades ordinarias vencidas, la fórmula para obtenerP’’ se puede deducir utilizando los conceptos previos de equivalenciay aplicando la fórmula de una serie geométrica, (se deja de ejercicio).Entonces el valor presente de una serie de pagos con gradientequeda así:

n

ii

iiG

iiiAP

n

nn

n 1)1()1(

11)1(

1)1(

INGENIERÍA ECONÓMICAAplicando esta fórmula al ejemplo mostrado quedaría así: A = 20 (miles), G = 5 (miles), n = 5, i = 0.09, sustituyendo:

El resultado que se obtiene es el mismo, se pude pensar que elhecho de haber dividido el problema en dos partes como sehizo en la segunda opción parece más complicado que lasolución mostrada al inicio, sin embargo cuando el número deperiodos n es elevado, puede ser más cómodo utilizar lafórmula obtenida.

INGENIERÍA ECONÓMICAGradiente geométricoCon cierta frecuencia las series de flujo de efectivo, tales como los ingresos delas personas, los costos de mantenimiento de una máquina o las estipulacionesde un contrato, aumenten o disminuyan de un periodo a otro, mediante unaproporción constante, Vg. 8% anual. Esta tasa de cambio uniforme se definecomo serie de gradiente geométrico.

En la grafica que se presenta a continuación se presenta el modelo de flujo deserie de gradiente geométrica

INGENIERÍA ECONÓMICADeducción de la formula del valor presente del gradiente geométrico

La relación para determinar el valor presente para toda la serie Pg, se deriva multiplicando cada flujo de la figura por 1/(1+i) n = (P/F)i,n

Multiplicando la expresión (1) en ambos lados por (1+g)/(1+i), restando el resultado obtenido de (1) y factorizando se obtiene Pg

(1)

INGENIERÍA ECONÓMICABibliografía recomendada

1. L. Blank & A. Tarquin. Ingeniería Económica. McGraw-Hill. México. SextaEdición.2006.

2. W. Sullivan, E. Wicks, & J. Luxhoy. Ingeniería Económica De Degarmo.Prentice Hall. México. Duodécima Edición.2004.

3. G. Taylor. Ingeniería Económica: Toma de Decisiones. LIMUSA. México.Séptima Reimpresión de la Segunda Edición.1999.

4. J. White, K. Case, D. Pratt & M Agee. Ingeniería Económica. LIMUSAWILEY. México.2001.

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