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CAPÍTULO 1INTRODUCCIÓN: LA INGENIERÍA DE TRANSPORTE

1. Aspectos Generales

El transporte corresponde al proceso asociado a la modificación de las coordenadas espacio -temporales de una persona u objeto. En otras palabras, es el desplazamiento de personas u objetosdesde un origen a un destino en un tiempo determinado.

El transporte es una actividad repetitiva, requiere de tecnología, es organizada, masiva y con participación humana en las decisiones. A esta actividad deben dedicarse recursos queusualmente son escasos y, por lo tanto, pasa a ser económicamente relevante.

El hecho de transportar un objeto o una persona de un lugar a otro implica una necesidadasociada a un objetivo, existiendo un beneficio derivado del transporte del objeto o persona.Además del objetivo inicial, existirán restricciones de índole física, económica, legal, etc. De loanterior se desprende que el transporte es una necesidad producto de otras actividades de lasociedad, y por lo tanto es una actividad derivada. El transporte es un reflejo del nivel derelaciones económicas, sociales y de otra índole en la sociedad.

Transportar objetos o personas implica satisfacer las necesidades planteadas en cuanto aredistribuir objetos o personas en el espacio, cumpliendo exigencias tales como cierto nivel deservicio, mínimo costo, cierto tiempo de viaje, etc.

En definitiva, el transporte será el conjunto de movimientos asociados a personas o cosas pordecisión humana.

2. Conceptualización del Problema

Plantearemos un enfoque dinámico:

2.1 Supondremos una estructura espacial dada. El Sistema de Actividades extractivas,elaboradoras, consumidoras de servicio y residenciales, etc., es conocida. Estas actividadesestán físicamente localizadas dentro de una ciudad, región o sistema de regiones territoriales.

2.2 Sobre esta estructura espacial de las actividades surgen Necesidades de Transporte. Se pueden identificar los centros oferentes (de productos, servicios, mano de obra, etc.) y loscentros demandantes.

2.3 Establecidas las necesidades, se necesita determinar el conjunto de vías, vehículos yterminales que, asociados a diversos modos de transporte, constituyen las condiciones físicasen que se deberá realizar el movimiento de objeto y personas, venciendo la fricción. Todoesto constituye la Oferta de Transporte.


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2.4 Se debe decidir acerca de cómo Operar el Sistema los modos de transporte, lo que producirá cambios en la estructura espacial primitiva.

Esquemáticamente:

EstructuraEspacial de laciudad o área

estudiada

Necesidadesde

Transporte

Medios yModos deTransporte

Operacionesde

Transporte

Fig. 1: El problema de Transporte (Jara y González)

3. Áreas de Estudio

En el contexto presentado, el transporte puede dividirse en tres áreas distinguibles entre sí, quecorresponden a :

Generación de las necesidades de transporte y efectos que los procesos de transporte producen al redistribuir espacialmente los objetos.

Aspectos operacionales ligados al proceso de transporte.

Las condiciones físicas en que se realiza el transporte, tanto en el aspecto de sustentacióncomo de desplazamiento.

De esta manera, el proceso de transporte presenta dimensiones especiales, de infraestructura yoperacionales, aspectos que se interceptan y condicionan.


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4. El Papel del Ingeniero de Transporte

El problema de transporte va más allá del diseño y construcción de la infraestructura necesaria para superar las dificultades al movimiento de objetos y personas. Esto de construir sin ningúnanálisis de eficiencia fue la tónica en el pasado cuando se pensaba en el transporte como un mero

proveedor de oferta.Debe entenderse a la Ingeniería de Transporte como aquella rama de la Ingeniería dedicada a darsolución al problema de transportar, en todos los aspectos: planificación, análisis, diseño yoperación.

El papel de la Ingeniería de Transporte se puede representar en cada una de las áreas en que se hadivido el problema.

Análisis Espacial: Se ocupa de aspectos relacionados con los conglomerados humanos yactividades productivas. Relaciona las actividades y su localización con las necesidades de

transporte.

Actividades Viajes- Personas

- Mercancías

Para lo anterior se hace un análisis de la demanda y oferta de transporte, considerando:- Antecedentes pasados y actuales de los viajes y el sistema de actividades- Efectos espaciales y temporales- Proyecciones

Infraestructura: Diseña las vías, terminales y vehículos, dependiendo del medio sobre elcual se actúa para producir el movimiento: tierra, agua o aire.

Operaciones: Desarrollo de técnicas operacionales en cuanto al transporte en sí(movimiento de objetos y personas), carga y descarga, planificación y coordinación deoperaciones.

Ejemplo: En el caso de la infraestructura vial, la preocupación fundamental de la Ingeniería de

Transporte una vez detectada la demanda por Transporte - especificada según tipo de vehículo, peso máximo por eje, flujo máximo, horario, etc. - será determinar el tipo de pavimento a usar,condiciones estructurales que éste debe cumplir, radio mínimo de curvas, peralte de la calzada, pendientes máximas, número de pistas, señalización, etc. Con lo anterior se busca satisfacer lanecesidad de transporte en forma óptima.

Su turno: La implantación de la plataforma logística en el sector de la isla de Rocuant ¿Cómodebería ser evaluada considerando los aspectos mencionados anteriormente?


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CAPÍTULO 2ANÁLISIS DE SISTEMAS DE TRANSPORTE

Este capítulo se plantea como objetivo un Análisis de Sistema al problema de transporte. Esdecir, describir y estudiar los diversos elementos o agentes que interactúan para producir

transporte.Para iniciar el análisis debemos primero considerar que el transporte ha sido definido como eldesplazamiento de personas u objetos desde un origen a un destino en un tiempo determinado yque, por lo tanto, es una actividad humana. Por esto mismo, el objeto de estudio de la Ingenieríade Transporte es, en última instancia, el estudio de la conducta humana.

El transporte es un problema atingente a la sociedad, problema generado por necesidades que estasociedad tiene y que deben ser satisfechas. Debido a ello presenta ciertas características que sediscuten a continuación.

a. El transporte es una actividad originada por la sociedad, una sociedad que está en cambio permanente. Este dinamismo de la sociedad da origen a varios cambios en el problema detransporte.

Cambios en la demanda por transporte. Estos cambios se reflejan en modificaciones en lamagnitud de la demanda. El número de viajes aumenta continuamente debido al crecimientode la población, al aumento de los niveles de ingreso, a la mayor actividad económica, etc.Además, hay cambios en la distribución espacial y temporal de los viajes, es decir, cambianlos horarios en que éstos se realizan y cambian los destinos u orígenes de ellos, por efectosdel crecimiento de las ciudades o de las modificaciones en los hábitos. Estos cambios seasocian a lo que se denomina Generación - Atracción y Distribución de los viajes.

Cambios en el uso de los modos de transporte. El número de viajes en cada modo sedenomina Partición Modal. Modificaciones en la partición modal se asocian, por una parte,al crecimiento de las ciudades. En este caso disminuye la proporción de los viajes a pie, poraumentar las distancias que es necesario recorrer, debido a una relocalización de lasactividades. Por otra parte, el crecimiento económico de las sociedades aumenta la posesióny el uso del automóvil, con un impacto en el uso de los sistemas de transporte masivo, talescomo buses, ferrocarriles, etc.

Cambios en la tecnología de los modos de transporte. Estas modificaciones incluyen a losvehículos y el entorno en que éstos se desplazan. En cuanto a los vehículos, éstos cambian sucapacidad y alteran sus dimensiones, por razones técnicas, económicas o comodidad para elusuario. Esto afectará la superficie de rodado y el sistema de sustentación. Además, haycambios en la velocidad que pueden desarrollar, afectando con esto el diseño geométrico delas vías por las que circulan (radios de giro, peraltes, distancia de visibilidad, gálibo, etc.).Hay cambios en los sistemas de control de las vías por el surgimiento de nuevas tecnologíaso la evolución de otras, tales como sistemas de control centralizado de semáforos, sistemasde transporte inteligente (ITS), que incluyen sistemas de ayuda a la navegación y guía al


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conductor, entrega de información en tiempo real de las condiciones de congestión de lasvías, horario y localización de buses, etc.

La sociedad experimenta cambios en los valores que la sustentan: ha surgido en las últimasdécadas un mayor interés por la conservación del medio ambiente, los fenómenos de

contaminación ambiental que existen en algunas ciudades han tornado el aire limpio un bienescaso y por tanto valioso. Estas consideraciones no eran relevantes algunas décadas atrás.Hoy sería impensable, por ejemplo, construir un puerto sin un estudio de impacto ambientalque cuantifique los efectos que tendrá el proyecto durante su construcción y operación sobreel borde costero, etc. Es interesante notar que la casi totalidad de los puertos que ahoraexisten en nuestro país (construidos hace más de una década) se materializaron sin talesestudios. Este es un ejemplo del cambio en los valores que experimenta la sociedad. Otroejemplo más cercano es la posesión de automóvil, que se identifica como un símbolo deestatus, una situación transversal respecto al nivel socioeconómico de las personas. Elincentivo del uso racional del automóvil, pasa en parte, por abordar este simbolismo.

b. Los sistemas de Transporte tienen impactos importantes sobre el medio antrópico y natural.La construcción de una carretera, de una obra portuaria, de una aeropuerto o, aún, de una simplecalle en el centro de una ciudad produce impactos de muy variada índole en el entorno y en lasactividades que se desarrollan ahí. Entre estos impactos pueden mencionarse aquellos sobre elambiente (contaminación acústica, contaminación de las aguas, afección de la flora o faunasilvestre), impactos sobre los residentes en las vecindades del proyecto (cambios en laaccesibilidad, cambios en los valores del suelo, instalación de nuevas actividades asociadas a proyectos), impactos urbanísticos (disminución o aumento de áreas verdes, afección de hitosurbanos, cambios en la imagen urbana, intrusión visual, segregación espacial), impactos sobre losviajeros (cambios en los tiempos de viaje, aumento o disminución del consumo de combustible,cambios en los niveles de congestión), cambios en la seguridad vial (aumento o disminución delnúmero, gravedad o tipo de accidentes). Estos son sólo algunos de los tipos de efectos que es posible identificar en un proyecto de transporte y cada uno de ellos debe ser consideradoadecuadamente. Esto requiere necesariamente de un enfoque multidisciplinario, en que participen no sólo ingenieros sino también geógrafos, urbanistas, economistas, expertos enseguridad vial, paisajistas, etc.

c. Por lo anterior, el ámbito de Análisis del Sistema de Transporte debe cumplir con lassiguientes exigencias:

- Debe considerar al sistema en su conjunto. Debe analizar "el todo" y no cada una de las partes en forma aislada. Se requiere una visión holística.

- Debe considerar todos los modos de transporte involucrados y no sólo algunos(automóviles, buses, taxibuses, taxis privados y colectivos, camiones, biciclos, peatones,etc.)

- Debe considerar a todas las personas que se ven afectadas en alguna medida (los viajerosen auto, en bus, los peatones, los ciclistas, los residentes, etc.)

- Debe considerar todos los flujos vehiculares relevantes (los flujos de paso, los que viran,etc.)


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2.1.2 El sistema de Transporte

En primer lugar analizaremos un esquema propuesto por Jara-Díaz en que se ofrece un enfoquedinámico.

Teniendo en cuenta que el transporte consiste en el cambio de coordenadas espacio-temporales deobjetos o personas y que es el resultado de una necesidad, se entiende la importancia de laestructura espacial. En efecto, el sistema de actividades (residencia, servicio, producción,consumo, etc.) tiene una localización física en un espacio determinado (región, ciudad, comuna oárea específica). Esta estructura es el escenario en el cual, dada su configuración, nacen lasnecesidades de transporte generadas por la relación entre pares de actividades. Para dar solución atales necesidades, existe un conjunto de medios materiales (vías, vehículos, terminales) capacesde superar las diferencias de coordenadas, es decir, de producir transporte.

Definido el subconjunto de medios que se utilizarán habrá que definir la forma de operar talesmedios que responderá el cómo realizar transporte.

Finalmente, como consecuencia del transporte, los objetos o personas tendrán una nuevaubicación especial, modificando la estructura inicial.

Esquemáticamente, el problema se puede presentar como sigue:

Operacionesde Transporte

Neces idadesde Transporte

Medios deTransporte

Genera

Condicionan

RequiereModifican

DEMANDA

OFERTA

EstructuraEspacial

En este esquema, la estructura espacial es consecuencia de la planificación urbana y constituye elescenario de las actividades y su ubicación física. Dentro de esta realidad se verifican las

necesidades de transporte. Ambos elementos están asociados al concepto de demanda en elmercado de transporte.

Por otra parte, la satisfacción de tales necesidades (demanda) proviene de dos áreas relacionadascon la oferta: la infraestructura y la forma de operación.


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La infraestructura, o medios disponibles, tiene un carácter fijo en el corto plazo: no sonmodificables, sólo se elige entre lo disponible. La forma de operación (frecuencias, tamaño deflota, número de terminales) es un aspecto susceptible de modificar en el corto plazo.

El cambio de la ubicación espacial de objetos o personas verificado por el transporte modifica la

estructura espacial. Tal modificación puede ser completamente reversible, o de corto plazo(objetos que cambian su ubicación), o de largo plazo (“casi” irreversible, como el cambio deáreas residenciales).

2.1.3 El esquema de Manheim

Este es un resumen de lo que aparece en el texto de Manheim, que está citado en la bibliografíadel curso.

Manheim postuló que existe una estrecha relación entre el sistema socioeconómico y el sistemade transporte y que este último a su vez afecta al primero. Postula, además, que cambios en elsistema socioeconómico inducirán modificaciones en el sistema de transporte.

Para analizar lo anterior, se definen tres elementos básicos:

Un sistema de transporte: compuesto por las vías, terminales, vehículos y formas de operación.

Un sistema de actividades: compuesto por todas las actividades, y sus descriptores) que tienenlugar en una cierta zona, sean éstas sociales, económicas, de servicios, etc.

Un Patrón de flujos: que es el volumen de objetos o personas que se mueve entre diversosorígenes y destinos en diferentes períodos y por distintas vías.

Las relaciones que existen entre estos elementos se pueden representar como sigue:

Sistema deActividades

Sistema deTransporte

Patrón deFlujos

Relacionesde corto plazo


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Las relaciones que se muestran en el esquema de Manheim son de corto, mediano y largo plazo:

Relaciones de corto plazo: nos dicen que el patrón de flujo está determinado por el sistema detransporte y el sistema de actividades simultáneamente.

Relaciones de mediano plazo: nos dicen que el patrón de flujo puede modificar el sistema deactividades a través del patrón de servicios de transporte provisto y de los recursos consumidos.

Relaciones de largo plazo: nos dicen que el patrón de flujos genera cambios en el tiempo en elsistema de transporte. En efecto, el patrón de flujos actual induce a las autoridades y operadoresa provocar cambios (mejoras) en el sistema de transporte.

Estas definiciones de Mediano y Largo Plazo, y su relación con el sistema de Actividades (SA) y

Transporte (ST) ¿Son taxativas?

Piense en situaciones en que los efectos de Mediano y Largo Plazo pueden ocurrir tanto en el SAcomo en el ST.

Los agentes o actores que intervienen en este sistema son:

Los usuarios: deciden acerca de realizar el viaje. Cuándo lo harán, a dónde irán, por cuál ruta y enqué modo.

Los Operadores: deciden la cantidad y calidad de los vehículos de la flota, las frecuencias, lasrutas y las tarifas de transporte.

El Gobierno: decide los impuestos, subsidios y otros asuntos financieros que influyen en usuariosy operadores, aspectos legales y administrativos, y mejoras en infraestructura.

Como consecuencia, es posible plantear que el problema que los usuarios viven está dado por el patrón de flujos (PF) y sus características, pero este PF es sólo la consecuencia de la interacciónentre los otros dos sistemas.

Por ejemplo, la solución a los problemas de congestión que experimentan los usuarios debe buscarse no sólo en mejorar el sistema de transporte (más y mejores vías, o mejor gestión), sinotambién en modificar el sistema de actividades.

¿Cómo modificaría el SA con tal de reducir la congestión vehicular y peatonal en la hora puntade la mañana en sectores de establecimientos educacionales?

La puesta en marcha de los estacionamientos en el sector céntrico de Concepción, ¿a qué seasocia en el enfoque de Manheim?


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LA CIUDAD DE SMEED

En esta sección se analiza un modelo descriptivo de una ciudad para analizar la idea de que haymuchas maneras de abordar los problemas urbanos y que las soluciones pueden tener efectosinsospechados. Este modelo es formativo más que operacional. La ciudad es “ideal”, pero recoge

una característica esencial del transporte urbano: su concentración espacial y temporal. Estaconcentración da origen a un alto porcentaje de los que se consideran los “problemas” deltransporte urbano.

Suponga una ciudad con forma circular, de radio R, en cuya área céntrica no vive nadie. La población se ubica en el perímetro de la ciudad. Al área céntrica llegan N personas a trabajar enel período punta mañana (T). Se estudiará la zona céntrica por ser, típicamente, la máscongestionada. Se desconocen otras características de la ciudad fuera del centro. Nótese que estaestructura urbana es un caso frecuente de ciudad.

Considere los siguientes supuestos sobre los habitantes y los lugares de trabajo:a) Las personas llegan con igual probabilidad desde cualquier punto de la circunferencia al área

céntrica. Esto se puede interpretar como que existe una cierta uniformidad en la distribución poblacional fuera del centro

b) Las personas van directamente a su trabajo por la ruta más cortac) Los lugares de trabajo están uniformemente distribuidos en el área céntricad) Todo par de puntos del perímetro y del área central están unidos por una ruta

Con estos supuestos, la distancia media de viaje al centro dependerá de las rutas posibles y seráun indicador de la congestión y nivel de servicio del sistema de transporte (y paralelamente de lacalidad de vida urbana)

Suponiendo una estructura de rutas directas se tiene:

O indica el origen de un viaje, mientras que D1 y D2 corresponden a dos posibles destinos.

Cualquier punto de la circunferencia basta para analizar lo que pasa. Además, por simetría essuficiente ver que sucede en un semicírculo de radio R.

R

D1D2

O


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Sea r la distancia a recorrer entre O y D. Buscaremos r medio, que corresponde a la distancia mediade viaje a recorrer entre O y cualquier punto del área céntrica:

dr )r (f r r medio (2.2)

donde f(r) es la probabilidad que el destino esté a una distancia r del origen O.

Como se ha supuesto que los lugares de trabajo están uniformemente distribuidos, el número dedestinos ubicados a una distancia “r” del origen, que denominaremos N(r), será proporcional a lalongitud del arco BD (ancho unitario):

r )r ( N (2.3)

Para calcular el valor de se tiene que:

r

Yd)cos( (2.4)

Por lo tanto

)r

Ydcos(ar (2.5)

El valor de Yd se obtiene de la intersección de las circunferencias de radio R y r:

0R Yd2YdXd 22 (2.6)

222 r YdXd (2.7)

R

Y

D

B

YD r

XO XD


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Obteniendo que

2)R 2/r (1r Xd (2.8)

R 2/r Yd 2 (2.9)

Por lo tanto

)R 2

r cos(ar (2.10)

Luego, reemplazando en 2.3 se tiene

)R 2/r cos(ar r )r ( N (2.11)

La función densidad (probabilidad) f(r) se puede expresar como

2/R

)R 2/r cos(ar r

)Tot( N

)r ( N)r (f

2

(2.12)

)R 2/r cos(ar R

r 2)r (f

2

(2.13)

Reemplazando 2.13 en 2.2, se tiene

dr )R 2/r cos(ar R

r 2r

R 2

02

2

medio (2.14)

Haciendo el cambio de variable: x = r/2R, obtenemos

dx)xcos(ar xR 16

r 1

0

2medio

(2.15)

Integrando, se llega a

1

0

2323

medio x13

1)x1(

9

1

3

)xcos(ar xR 16r

(2.16)

La evaluación del radio medio arroja que éste es igual a 1.13R


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Análogamente, se puede llegar a otros valores de r medio dependiendo de la estructura de la red vialen el área céntrica.

La estructura anular ha sido un buen argumento para la construcción de anillos de circunvalaciónde alta capacidad y con alta concentración de viajes en ellos. La mayor longitud de recorrido secompensa con el nivel de servicio (velocidad) obtenido en ellos. Se minimizan los viajes dentrodel centro, reduciéndo los problemas de congestión en él.

Para ver cómo es afectado el centro mismo por los viajes en él, se define:

A: área total del centroS: área destinada a vialidad en el centroE: área destinada a estacionamiento en el centroG: área destinada a lugares de trabajo en el centro

Por lo tanto:

GESA El área total destinado a vías en el centro se puede expresar como:

R k NS (2.17)

donde

N: número de viajeros en hora punta (pax) (Nota: pax = pasajeros)k: factor de estructura vial (1.13; 1.67; etc.)R: radio del centro (m): ancho de vía ocupado por cada viajero (m/pax)

El ancho ocupado por cada viajero mientras viaja por el centro se puede definir como:

T pQ

w

(2.18)

UNIFORME RADIAL ARCO-RADIAL RECTANGULAR ANULAR

D1

D2

D1

D2

D1

D2

D1

D2

D1

D2

O O O O O

r medio=1.13R r medio=1.67R r medio=1.38R r medio=1.44R r medio=1.90R


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donde

w: ancho de una vía (m)Q: capacidad de una vía (veh/hr) p: tasa media de ocupación de veh. (pax/veh)

T: duración del período punta (hr)Se ha supuesto un solo tipo de vehículo y un mismo tipo de vía en todo el centro (en términos deancho y capacidad).

De esta forma, la cantidad de infraestructura vial del centro ocupada para viajar depende, entreotros aspectos, de variables tales como la estructura de la red y la duración del período punta.

Conviene notar que esa área depende también de la tecnología existente (w, Q) y de los hábitos(p,T).

Luego, modificar k implica una enorme inversión, la que puede ser sustituida por cambios en p(uso de transporte público en forma masiva) o en T (alargar la hora punta para hacer que nocoincidan los horarios de entrada al trabajo). Estas últimas alternativas son bastante máseficientes que la propuesta original.

Por su parte, el área destinada a estacionamientos puede expresarse como:

p

e NE

(2.19)

donde:

e: área necesaria para estacionar un vehículo (m2/veh)

Con esto se puede calcular el porcentaje del centro destinado a transporte urbano (PATU) como:

A/)ES(100PATU (2.20)

Puede observarse que este porcentaje crece con N y R.

Si se amplía la capacidad vial del centro para responder a las demandas de disminuir lacongestión (solicitud típica que proponen los usuarios de automóvil), se tiende a ampliar S y E.

Esto lleva a una mayor distancia recorrida, bajando el nivel de servicio (mayor tiempo de viaje).Luego, se vuelve a aumentar la capacidad vial y el ciclo se repite indefinidamente. Se ve clara lasensación de que el centro tiende a “hacerse chico”.

Es evidente, entonces, que la presión sobre el centro puede ser aliviada de varias maneras:

a) Cambios en los modos de transporte: trenes subterráneos, uso del transporte público desuperficie, disminución de estacionamientos, etc.


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b) Cambios en el período punta: modificar las jornadas de trabajo, horarios del comercio yservicios, etc.

c) Cambios en la estructura urbana: edificios de altura, edificios de estacionamientos, estructuravial, descentralización de actividades.

d) Cambios en los hábitos de transporte: aumentar las tasas de ocupación de vehículos

particulares, uso de transporte público, etc.Aunque los efectos de estas estrategias son equivalentes, no lo son sus costos.

Notar que no se ha introducido en este análisis los viajes de vuelta, la circulación peatonal, losviajes de paso por el centro, etc.

Es más fácil ahora ver la dificultad del diagnóstico elemental: ¿A qué se debe la congestión?. Si, por ejemplo, la estructura vial es radial, habrá gran congestión en el “centro del centro”. Si ésta esrectangular, se producirán altos grados de congestión en casi todo el centro.

Una ciudad, para serlo, necesitaría un centro, pero no es evidente que tan extenso debería ser éste.Un manejo armonioso de los elementos tratados acá requiere de planificación urbana, de toma dedecisiones coherentes, pero también de permanencia en el tiempo de las políticas de transporte,ya que están involucrados los hábitos de las personas.

El modelo analizado es descriptivo, no causal, pero ayuda a entender las múltiples relaciones queestán detrás de la configuración de las ciudades y de la generación de problemas que ellas plantean a sus habitantes.

¿De qué forma usted podría adaptar este modelo al caso interurbano?


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DERIVACIÓN DE LA DEMANDA POR TRANSPORTE

Definiciones y Supuestos

La estructura espacial de las diversas actividades (residencia, comercio, industria, educación,

etc.) y las funciones que se realizan entre ellas, establecen las necesidades de transporte.

La expresión de las necesidades de transporte constituyen lo que denominamos la demanda.

La representación de la demanda por transporte (q) en relación a la disponibilidad a pagar (C) deésta, da origen al concepto de curva de demanda (D). Tras ella están los gustos, preferencias, precios e ingresos de las personas.

Por otra parte, se llama curva de oferta (O) a la representación de la cantidad de transporte quelos agentes del sistema están dispuestos a producir dependiendo del costo de producción Estacurva depende de los precios de los insumos y de la tecnología y de los recursos con que cuentanlos productores.

Ambas curvas representan lo que se conoce como el Mercado de transporte.

C* y q* corresponden a la cantidad a transportar y su costo, que aseguran que lo que se estádispuesto a pagar por q (demanda) coincide con lo que cuesta su producción (oferta), es decir,corresponde a la situación de equilibrio.

Estructura espacialFunciones productivas,

culturales y sociales

Necesidades deTransporte (Demanda)

C

q

O

D

q*

C*


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Supuestos y Comentarios

1. El precio de los bienes y el ingreso de las personas son atributos observables.

2. Las personas demandan en virtud de un conjunto de características del bien y de ellas

mismas. Por ejemplo, precio del bien, comodidad, tiempo de viaje, gustos, nivel de ingresos,etc. Esto está basado en el principio de Lancaster (en un libro de microeconomía modernaencontrará los postulados de este autor ).

3. La producción y demanda de cada bien conduce a la representación de un mercado particular.Sin embargo, todos los mercados son mutuamente dependientes (debido al ingreso). Para unanálisis aislado de cada bien se suponen condiciones estáticas (ceteris paribus) para el resto.

4. La dependencia entre dos mercados es mucho más evidente cuando se trata de bienessustitutos o complementarios.

5. El transporte no es un bien que se adquiera por sí mismo, sino que es un medio para satisfacerotras necesidades asociadas al sistema de actividades.

6. Las curvas de oferta y demanda del mercado de un bien cualquiera pueden ser re interpretadascomo:

Oferta: Cantidad del bien que los agentes del sistema están dispuestos a ofrecer almercado para cada nivel de costo de producción. En un mercado perfecto el precio esigual al Costo Marginal. En un monopolio el precio es distinto al Costo Marginal de producción.

Demanda: Cantidad que la gente está dispuesta a consumir para cada nivel de precio del bien.

¿Por qué en un mercado perfecto, el precio es igual al costo marginal?

¿Qué es un monopolio? ¿Qué es un monopolio natural? ¿En qué casos un mercado tenderá a serun monopolio natural?

¿Siempre la curva de oferta tendrá pendiente positiva? ¿Por qué?


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Generación del Mercado de Transporte

Supongamos la existencia de dos mercados que inicialmente se encuentran aislados, en los cualesse produce y consume el mismo tipo de bien.

P

q

º2P

º2q

2O

2 D

P

q

º1P

º1q

1O

1 D

Mercado 2 Mercado 1

En general, los puntos de equilibrio en cada mercado establecen cantidades consumidas y preciosqi

º y Piº respectivamente, para los mercados 1 y 2. Estos precios y cantidades de equilibrio son

distintos, dado que las curvas de oferta y demanda en cada mercado son diferentes.

¿Qué sucedería si ambos mercados fueran unidos por una vía de transporte?

Dado que P1º es mayor que P2

º, intuitivamente pareciera interesante transportar bienes desde el

mercado 2 (M2) al mercado 1 (M1), donde es posible obtener un mayor precio por el mismo producto. La pregunta es ¿qué cantidad transportar y a qué precios se verificarán lastransacciones?

Por ahora veremos la demanda por transporte que se genera cuando M 1 y M2 quedancomunicados. Esto corresponde a la derivación de la curva de demanda.


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Sea q la cantidad que se transporta de M2 a M1.

q

2Mercado 1Mercado

2O

1

2 P

0

2 P

P

12

02

112 qqq

1O

1 D

111

01

11 qqq

1

1 P

01P

qt

2 D

P

t : Tarifa a cobrar por el envío del producto de M2 a M1 01q : Cantidad producida y consumida inicialmente en M102q : Cantidad producida y consumida inicialmente en M211q : Cantidad nueva producida localmente en M1 11

1q : Cantidad nueva que se ofrece en M1, que incluye la producción local y lo

importado de M2 11

2q : Cantidad nueva que se demanda localmente en M2 1

2q : Cantidad nueva producida en M2, que incluye el consumo local y lo que se

exporta a M1

El transporte tendrá como consecuencia una variación en los precios de equilibrio encada mercado. Estos precios dependerán de la cantidad transportada y del costo detransporte (tarifa).

La diferencia de precios entre M2 y M1 corresponde a la disponibilidad a pagar portransportar la cantidad q entre los dos mercados.

)q(f PP)q(t 1211 (2.1)

Notar que la máxima tarifa que se puede cobrar (máxima disposición a pagar por moverla carga entre los mercados) es:

02

01 PP)q(tmax


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Esto ocurre cuando la cantidad transportada es cero, es decir, q=0.

A medida que aumenta q (cantidad transportada) disminuye la diferencia de preciosentre ambos mercados, disminuyendo la disposición a pagar por el envío del producto.Cuando los precios de venta en ambos mercados se igualan, el transporte debería

producirse a una tarifa nula (no hay disposición a pagar) y la cantidad transportadasería máxima, es decir:

0)q(tymáxesqentoncesPPSi 1211

Lo señalado anteriormente puede ser expresado en términos de excesos de Oferta yDemanda, en el mercado desde el que se envía el producto y en el mercado que lorecibe, respectivamente.

En M1 hay un exceso de demanda (ED), dado que se está recibiendo una cantidad queantes no se producía en él. Notar que en la nueva condición la producción localdisminuye, y que el exceso de demanda se asocia al producto que llega desde el otromercado. El exceso de demanda está dado por:

11

111111 qqODED

En M2 hay un exceso de oferta (EO), puesto que los productores en ese mercado, dada laposibilidad de vender el producto en el otro mercado han decidido producir más.Debido al aumento de precio en ese mercado, el consumo local disminuye, con una

mayor producción, que se exporta. El exceso de oferta está dado por:

112

12222 qqDOEO

Dibujando ED1 y EO2 se tiene:


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0

2

1

2

1

1

0

1

P

P

P

P

t

P

2 EO

1 ED

qqmaxq

Rango de validez: máxq,0q

P,P p01

02

La ecuación 2.1 puede ser dibujada como

Función de Demanda de Transporte

t

12

11 PP

0

2

0

1 P P

qqmaxq

En una economía competitiva el precio se determina por el punto de equilibrio entreoferta y demanda.

Curva de oferta de transporte OT: depende de la tecnología disponible y de las formasde operación del sistema.


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qqe

te

DT

OT

t

En este caso te y qe son la tarifa y la cantidad transportada en el equilibrio del mercadode transporte. La disposición a pagar (demanda), coincide con lo que cobran losproductores, en base a sus costos.

¿Cómo afectan el ingreso de las personas, la elasticidad de la demanda por el precio del bien, ylos cambios tecnológicos de producción del bien y de transporte a la solución de equilibrio en elmercado de transporte?

DESCRIPCIÓN DE LA DEMANDA DE TRANSPORTE

Los requerimientos de transporte (demanda) se verifican en la realidad como una necesidad detrasladar en el espacio objetos o personas, es decir, de modificación de sus coordenadasgeográficas.

El transporte, por lo tanto, cumple la función de trasladar bienes o personas desde un punto delespacio que llamaremos Origen (O) a otro punto llamado Destino (D).

Dado que el número de “puntos” en el espacio que pueden constituir orígenes o destinos de viajeses infinito, resulta necesario agrupar tales puntos en zonas. Así, un viaje se verificará, no desdeun punto a otro del espacio, sino desde una Zona de Origen a una Zona de Destino.

El criterio para definir el tamaño y la cantidad de zonas de un área emerge de las características

que generan un viaje y de las restricciones para que éste se efectúe. En efecto, una zona debetener características homogéneas en cuanto a:

Población (mismas características socioeconómicas, hábitos, educación, pero principalmenteingreso).

Accesibilidad y acceso al sistema de transporte Similitud del sistema de actividades (debe ser homogénea, es decir, sólo residencial, sólo

industrial, etc.)


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La acción de discretizar el espacio en un número finito y acotado de zonas para que puedaestudiarse la demanda desde en forma práctica, se denomina ZONIFICACIÓN y es la primeralabor que debe realizarse en un estudio de la demanda de transporte.

Por otra parte, los viajes cambian durante el día. Así, hay horas donde predominan viajes altrabajo y estudio, otras en que predominan los viajes de compras y trámites, etc. Por esto, lademanda se estudia para horas particulares del día, las que llamaremos períodos. La definición deestos períodos se denomina PERIODIZACIÓN y se realiza paralelamente con la zonificación.

Los períodos de análisis varían de una ciudad a otra e incluso son distintos entre sectores de unamisma ciudad. Sin embargo, es frecuente, en el caso del transporte urbano, la identificación detres períodos punta (punta mañana, punta medio día y punta tarde), además de un períododenominado “resto”, que agrupa a las horas del día no contenidas en los períodos “punta”. Laidentificación de períodos requiere la medición de los flujos que pasan por una sección de vía enel transcurso de uno o varios días.

Matriz Origen Destino

La forma más apropiada para describir la demanda es la MATRIZ ORIGEN – DESTINO en lacual, dada una zonificación del área de estudio y una periodización. Cada celda de la matrizrepresenta el número de viajes que se realizan entre cada par de zonas.

DESTINOS1 ... j … N

O R Í G E N E S 1 T11 ... T1j … T1n O1 ... ... ... ... ... ... ...

i Ti1 ... Tij … Tin Oi … … ... ... ... ... ... N Tn1 ... Tnj … Tnn On D1 ... D j … Dn T

donde

Tij : Cantidad de viajes entre la zona de origen “i” y zona de destino “j”.Oi : Total de viajes que se generan (parten) de la zona de origen “i”

D j : Total de viajes atraídos por (con destino en) la zona “j”.T : Total de viajes realizados en el área (ciudad) durante el período de estudio.

La matriz O- D cumple las siguientes relaciones

N

ji TijO


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N

i j TijD

TDjOi

N

j

N

i

Estas condiciones aseguran la consistencia interna de la matriz Origen Destino de viajes.

Esta “foto” de los viajes nos dirá cuanta gente se moviliza entre un par de zonas, en un periododel día, por un motivo específico. Segmentaciones por otras variables, tales como género, edad,etc., también son posibles.


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EL MODELO SECUENCIAL DE TRANSPORTE

Basado en las etapas en que se llevan a cabo las decisiones del proceso de transporte y

suponiendo que tales decisiones se ejercen en forma secuencial (una a la vez y en cierto orden) seha estructurado el siguiente modelo secuencial de transporte:

Modelos de Generación: su función es estimar la cantidad de viajes que se originan en cadazona Oi. Depende de las características socioeconómicas de la población y de las actividades quese desarrollan en la zona.

Modelos de Atracción: estiman la cantidad de viajes que son atraídos por cada zona D j. Están basados en las actividades que en estas zonas se desarrollan y que atraen viajes (trabajo,educación, comercio, recreación, etc.)

Modelos de Distribución: cuantifican la cantidad de viajes que teniendo origen en la zona i tienecomo destino la zona j. Con ellos se obtienen los valores T ij (celdas de la matriz de viajes).Depende de factores como el costo generalizado de viaje, que es una combinación de precios,

tiempos, etc. (ver más adelante), la sensibilidad de los usuarios al costo generalizado, etc.Modelos de Partición Modal: Cuantifican los viajes que se realizan en cada modo de transportek (auto, bus, caminata, etc.). Esta cantidad se denominará T ij

k . En estos modelos se predice elcomportamiento de los usuarios frente a la elección de modo, que dependerá del costogeneralizado de transporte para viajar de i a j en el modo k. Este costo se denotará C ij

k .

Generación / Atracción de Viajes

Distribución de viajes

Partición modal

Asignación a la red


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Modelos de Asignación a la Red: Modelos que asignan los viajes, entre cada par de zonas y paracada modo, a la red de transporte (pública y privada). De esta manera, se obtienen las rutas r porla cual se realizan los viajes. Se tiene la cantidad de viajes entre i y j en el modo k, por la ruta r(Tij

kr ). La asignación depende de las características de la red y del costo de viajar por cada rutadisponible.

El Modelo Secuencial, así definido, comienza con la modelación de la generación y atracción deviajes, y termina con la asignación de flujos a la red.

Costo Generalizado de viaje

Este se define como (Wilson)

PdetC jij3ij2ij1ij

donde

Cij : Costo generalizado de viajar desde la zona i a la zona jtij : Tiempo de viaje dentro del vehículo para ir de i a jeij : Costo dependiente de la distancia entre i y j (tarifa de buses, costo de operación de

automóviles, etc.).dij : Tiempo de acceso (caminata y espera) necesario para ir de i a jP j : Costo en terminal de destino (estacionamiento)k : Coeficientes que ponderan los tiempos de viaje, acceso y distancia, para que el

resultado se encuentre en unidades monetarias. Estos coeficientes se estiman y son propios de cada caso.


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MODELOS AGREGADOS DE DEMANDA

Generación de Viajes

En esencia busca determinar el número de viajes que se generan en o atraen a un zona, usando

información agregada a nivel de hogares o a nivel zonal, dependiendo si se está modelando lageneración o atracción.

Definiciones previas:

Viaje: es el movimiento en un sentido desde un punto de origen a un punto de destino.

Viajes basados en el Hogar (VBH): son aquellos que tienen un extremo en el hogar de la personaque realiza el viaje, independiente de que sea este el origen o el destino.

Viajes no basados en el hogar (VNBH): son aquellos que no tienen un extremo en el hogar del

viajero.

Producción de viajes: es el extremo hogar de un VBH o el origen de un VNBH.

Atracción de viajes: es el extremo que no es el hogar de un VBH o el destino de VNBH.

Se ha encontrado que es posible obtener mejores modelos si se segmenta el mercado total deviajes en distintas categorías. Por ejemplo:

Separados por propósito del viaje (trabajo, compras, estudio, otros)Separados por hora del día (punta mañana, fuera de punta, etc.)

Separados por tipo de persona, etc.

Modelos de Generación y Atracción

Análisis de Regresión: Consiste en establecer y estimar una relación funcional entre ciertasvariables explicativas de viajes y los viajes observados por hogar u otra unidad de observación(zonas). Un ejemplo de un modelo de generación de este tipo es:

Y = 0,84 + 1,41 X 1 + 1,36 Z

1 + 2,14 Z

2

donde:

Y : Número de VBH en hora puntaX1 : Número de empleados en el hogarZ1 : Variable muda (1: si el hogar tiene auto; 0: en otros casos)Z2 : Variable muda (1: si el hogar tiene auto; 0: en otros casos)


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En este caso, para obtener los totales zonales se reemplaza en la ecuación los valores promedio delas variables para cada zona (ya que el modelo es lineal) y el resultado se multiplica por elnúmero de hogares en cada zona.

Análisis por categorías: Estos modelos, en síntesis, consisten en valores promedios que indican lacantidad de viajes generados por un hogar en función de ciertas variables explicativas, como loson el nivel de ingreso (alto, medio o bajo) y la posesión de automóvil (0 autos, 1 auto, 2 o másautos en la familia). En este caso la combinación de estas dos variables, que pueden asumir tresvalores cada una, da origen a nueve categorías de demanda. Este método entonces se traduce enun valor constante denominado tasa de generación para cada tipo de familia (por ingreso y posesión de automóvil), según las categorías antes mencionadas.

¿Cuáles serán las ventajas y desventajas de cada método?¿Cómo se usan ambos modelos para predecir los viajes generados/atraídos a futuro por una

zona?


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Distribución de Viajes.

Los modelos de generación y atracción de viajes permiten predecir los vectores de viajesgenerados y atraidos por las diferentes zonas, es decir, las sumas totales de las filas (O i) ycolumnas (D j) de la matriz O/D.

Mientras que los modelos de generación/atracción entregan los Oi y D j, el modelo de distribucióndebe encontrar los Tij.

O/D O1

? ...On

D1 ... Dn T

El número de zonas en que se divide el área de estudio es el resultado de un balance entre laexactitud y el costo de tomar los datos y de procesar la información. Si un área posee n zonas, yse aumenta su número en uno, entonces la matriz crece de n2 celdas a n2 + (2n+1) celdas.

En definitiva, los modelos de distribución de viajes buscan encontrar cómo se reparten los viajestotales Oi y D j entre las distintas celdas de la matriz.

Existen múltiples modelos que permiten estudiar la etapa de distribución:- Factor de crecimiento- Modelo gravitacional- Modelo basado en la maximización de la entropía.

De ellos el método más empleado es el Método de Maximización de la Entropía, que es unaherramienta estadística que permite estimar la matriz O/D “más probable”. Esto es, que laconfiguración de las celdas Tij de la matriz esté definida basado en el criterio único de obtenercomo resultado una matriz que tenga la máxima probabilidad de ocurrencia, bajo ciertascondiciones. Es decir, los viajes desde una zona i a una zona j, que denotamos T ij, se obtienen conel criterio de que la matriz sea la más probable.

Por consistencia la matriz O/D debe cumplir las siguientes restricciones:

i

N

j

ij OT

(2.21)

j

N

i

ij DT (2.22)

T DOT N

i

j

N

j

i

N

i

N

j

ij (2.23)

¿Qué representan cada una de estas restricciones?


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El problema es cómo generar la matriz más probable, es decir, encontrar los T ij que configuran lamatriz con la mayor probabilidad de ocurrencia. Si es la más probable, entonces sería la más real(natural), de acuerdo al principio de la Entropía. Notar que la matriz real no se conoce, sino que

se estima la más probable.Se trata, entonces, de llenar las celdas que no se conocen de manera de cumplir, al menos, con lastres restricciones señaladas antes.

Hay muchas formas de llenar la matriz cumpliendo las restricciones 2.21, 2.22 y 2.23. Cada unade estas formas se llama macroestado. Por ejemplo:

Datos M acroEstado I M acroEstado II

0/D 0/D 0/D1 2 3 1 2 3 1 2 3iO iO iO

1

2

3

1

2

3

1

2

3

10

5

20

10

5

20

10

5

20

15 15 5 15 15 5 15 15 5

6 2 2

3 0 2

6 13 1

6 3 1

2 2 1

7 10 3

Supongamos que de los modelos de generación/atracción conocemos los datos que se muestranen la matriz denominada “Datos”. Se muestran dos formas cualquiera, de entre las muchas

posibles, de llenar la matriz cumpliendo con las restricciones. A estas formas las llamaremosMACROESTADO I y MACROESTADO II.

En nuestro ejemplo tenemos un total de 35 viajes en la matriz (T=35). Supongamos quedefinimos un vector con cada uno de esos viajes individuales como se muestra en la tablasiguiente

Viaje NºIdentificación del viaje

1 Viaje del Individuo A2 Viaje del Individuo B

... ...J Viaje del Individuo J

... ...35 Viaje del Individuo n-ésimo

Tomamos ahora el Macroestado I del ejemplo y procedemos a asignar libremente cada uno de losviajes del vector anterior a las celdas de la matriz hasta completar el número de viajes de cadacelda Tij respectiva.


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Lo que obtenemos como resultado es un microestado de la matriz en que no sólo aparecencuantos viajes se realizan entre cada par de zonas sino que, adecuadamente, están representadoscuales de los T viajes están asignados a cada celda. En nuestro ejemplo, para el Macroestado I, enla celda (1,1) deben asignarse seis viajes, en la (1,2) dos viajes, en la (2,1) tres viajes, etc. Por lo

tanto, podríamos elegir los 6 primeros viajes de nuestro vector (es decir los viajes de losindividuos A, B, C, D, E, F) y asignarlos a la celda (1,1), luego tomar los dos viajes siguientes(viajes de los individuos G, H) y asignarlos a la celda (2,1), y así sucesivamente hasta asignar losT=35 viajes a la matriz O/D. Con esto habremos definido el Microestado 1.

Dado que la asignación fue libre (arbitraria), podemos repetir el proceso, asignando nuevamenteal azar. Por ejemplo, tomar los viajes de los individuos O, P, Q, R, S, T y asignarlos a la celda(1,1), luego asignar los viajes de los individuos A, B a la celda (1,2) y así hasta asignar para cadacelda el número de viajes fijado por el Macroestado 1. Entonces, estamos definiendo un nuevomicroestado, que llamaremos microestado 2, para el mismo Macroestado.

Entenderemos por “matriz más probable” a aquel Macroestado que acepta el mayor número decombinaciones distintas de sus viajes (microestados) que puedan generarla y que cumpla con lasrestricciones 2.21, 2.22 y 2.23, más una restricción de costo:

CCT N

i

N

jijij (2.24)

dondeCij : Costo generalizado de viajar de la zona i a la zona j

C : Costo total de realizar los T viajes

El problema será encontrar aquel macroestado que se puede obtener a partir de un mayor númerode microestados.

Ahora calcularemos la cantidad de microestados posibles en un macroestado (Tij). Para llenar lacelda T11 disponemos de T viajes, para la celda T12 se cuenta con T- T11, etc.

El número posible de microestados es el número de combinaciones para llenar T 11, multiplicado por el número de combinaciones para llenar T12, etc. Por lo tanto, el número de microestados posibles, dado un macroestado (Tij), será

...)!TTT(!T

)!TT()!TT(!T

!T)T(121112

11

1111

ij

(2.25)

que se reduce a

ijij

ij !T

!T)T( (2.26)


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Luego podemos plantear la optimización de la siguiente manera:

Min !TLn iji j

s.a.. N,...10TO j

jiji

N,...10TD ii

ij j

0CCT iji j

ij

Se puede demostrar que la solución a este problema es

)Cexp(T ij jiij (2.29)

La ecuación anterior constituye la expresión general del modelo de entropía. En ella los valoresi, j, no son conocidos y corresponden a los multiplicadores de Lagrange de cada una de lasrestricciones (¿a cuáles?)

Recordando las restricciones del problema, se puede generar una forma más operativa. Sabemosque

j j

iij jiij O)Cexp(T (2.30)

luego

1

jij jii )Cexp(O)exp(

(2.31)

Análogamente

i

jij jii

ij D)Cexp(T (2.32)

luego

1

iiji j j )Cexp((D)exp(

(2.33)

Introduciendo las variables auxiliares Ai y B j, conocidos como factores de balance,

i

ii O

)exp(A

(2.34)


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j

j j D

)exp(B

(2.35)

Expresando la ecuación 2.29 en función de los A i y B j obtenemos lo siguiente

)Cexp(DOBAT ij ji jiij (2.36)

1

jij j ji )Cexp(DBA

(2.37)

1

iijii j )BCexp(OAB

(2.38)

En esta formulación se requiere estimar Ai, B j y . Recordar que Oi, D j y Cij son datos.

El parámetro es único y representa la “fricción” que produce el costo en el viaje. Este parámetro corresponde a la Elasticidad Costo de la Demanda.

ij

ij

ij

ij

T

C

C

T

(2.39)

representa la dificultad promedio de moverse en toda el área estudiada. Un buen estimador deeste parámetro es

1

i jijij

1

T

CT)C(

(2.40)

Dado , las ecuaciones 2.36, 2.37 y 2.38 pueden ser usadas para calcular los valores A i y B j.Partiendo de un vector arbitrario Ai

0 se calcula el vector B j0, luego un nuevo Ai y B j, hasta la

convergencia. Una vez que ésta es alcanzada se calculan los T ij.


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MODELOS ALTERNATIVOS DE DISTRIBUCION

Modelos del factor de crecimiento

Supongamos que se tiene una matriz antigua (actual) de viajes, que llamaremos vij, y se la quiere

actualizar. Una situación similar es contar con una matriz presente, que se quiere proyectar alfuturo.

a) Método del factor uniforme

El nuevo número de viajes está dado por

ijij vFV (2.41)

vij : Viajes actuales de i a jVij : Viajes proyectados de i a jF : Factor de crecimiento

Este método tiene las siguientes características

- Es un modelo muy simple (fácil de usar)- Entrega una aproximación gruesa- Es poco realista (porque supone que todas las zonas crecieron igual)- No requiere iteraciones- Debe usarse sólo cuando el área a estudiar no ha cambiado mucho (situación de régimen).

b) Método del Factor Promedio

Para comenzar:

ij

)1( j

)1(i)1(

ij v2

FFV

(2.42)

a

i

a

i

a

i

f i

f i

f i)1(

j,i

YTMP

YTMPF

(2.43)

Pia : Población actual de la zona i

TMia : Tasa de motorización actual de la zona i

Yia : Ingreso actual de la población en la zona i

Pif , TMi

f , Yif : Idem anterior, situación futura (que se desea conocer)

Estos valores no varían en las iteraciones.


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Se debe cumplir que

j

ijii VFO (2.44)

i

ij j j VFD (2.45)

Además, se debe satisfacer que

i j

ij OV (2.46)

ji

ij DV (2.47)

Si no se cumple, calcular nuevos Fi,j

j

)1(ij

i)2(i V

OF (2.48)

i

)1(ij

j)2( j

V

DF (2.49)

Con esto se calculan nuevos Vij(2)

de

)1(ij

)2( j

)2(i)2(

ij V2

FFV

(2.50)

Verificar el balance usando ecuaciones 2.46 y 2.47

Repetir hasta que 0.1F,F ji

c) Modelo de Detroit

El modelo anterior podría escribirse como

ijijij FvV (2.51)

con


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F

FFF

ji j,i

(2.52)

F se conoce como factor general del área y está dado por

ijij

ijij

v

VF (2.53)

El modelo tiene una aplicación iterativa igual al anterior.

d) Modelo de Fratar

Requiere menos iteraciones. Los viajes futuros están dados por

2

LLFFvV ji jiijij (2.54)

donde

j jij

jij

i Fv

VL (2.55)

iiij

i ij

j FvVL (2.56)

e) Ventajas de los modelos de factor de crecimiento

Los modelos de factor de crecimiento anteriores presentan algunas ventajas sobre el modelo demaximización de la entropía. Estas ventajas corresponden a:

- Fáciles de entender

- Requieren pocos datos- Proceso iterativo sencillo- Razonablemente exactos en el corto plazo- Sólo se pueden aplicar en áreas con desarrollo estable, que no hayan cambiado mucho entre lasituación actual y futura.

En contraste, el modelo de maximización de la entropía (ME) requiere mucha más información(la matriz Cij por ejemplo) pero no requiere conocer una matriz “a priori” o “antigua” (v ij). Los


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Vij (que en el método ME llamamos Tij) son calculados directamente. Este método (ME) es útilcuando el área de estudio ha cambiado mucho. Es más complejo de usar, pero es el másextensamente utilizado en la práctica.

Modelo Gravitacional

Este método se desarrolló como una analogía con el modelo de gravitación de Newton.

i P j P ijd

Inicialmente la expresión de este modelo fue

2ij

jiij d

PPk V (2.57)

Con Pi = Población de la zona i-ésimadij = Distancia entre la zona i y la zona jk = Constante a estimarVij = Número de viajes entre i y j

Posteriormente se reemplazó la distancia por el costo y se dejó libre el exponente. Además, se

reemplazó Pi y P j por Oi y D j respectivamente, resultando la siguiente expresión.

nij jiij CDOk V

(2.58)

n y k son coeficientes que deben ser estimados utilizando una técnica ad-hoc.

¿Conoce alguna técnica que permita estimar dichos coeficientes? ¿Cuál? ¿Qué informaciónnecesita para realizar dicha estimación?

¿Cuál será la elasticidad de la demanda de los viajes entre i y j, al costo del viajar entre dichas

zonas?

¿Cuán diferente es el modelo representado por la ecuación 2.58 de aquel obtenido del enfoque demaximización de la entropía?¿Qué enfoque será más generalista?¿Por qué?


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MODELOS DESAGREGADOS DE DEMANDA

Los modelos desagregados se han desarrollado bajo el marco conceptual de la TEORIA DE LAUTILIDAD ALEATORIA. Esta teoría postula lo siguiente:

1. Los individuos actúan en forma determinística y racional. Esto implica que los individuosescogen, dentro de un conjunto de alternativas factibles, aquella que les proporciona la mayorutilidad neta.

2. El modelo está construido con información imperfecta de atributos del sistema y de lascaracterísticas socio-económicas de la población. Luego, se establece una "utilidadobservable" iV , para cada grupo de individuos y para cada alternativa de elección. El modelo

supone que toda la variabilidad observable en la población se debe a elementos aleatorios .Por lo tanto, la expresión de la utilidad de la alternativa i-ésima está dada por:

iii VU (2.59)

3. La presencia de una componente aleatoria en la función de utilidad conduce a un tratamiento probabilístico del proceso de elección. La probabilidad de elegir la alternativa A i viene dada por:

AA;UUPP j jii (2.60)

donde

A: Conjunto de Alternativas disponibles.

Reemplazando se tiene

AA;VVPP j j jiii (2.61)

AA;VVPP j jii ji (2.62)

El supuesto que se haga respecto a la distribución conjunta de los errores dará origen adiferentes modelos de elección discreta (MED).

Estos modelos han sido usados para modelar diferentes proceso, tales como elección del modo detransporte, elección de la ruta de viaje entre un origen y destino, elección del lugar de destino delviaje y elección de la zona de residencia.

Proponga actividades fuera del ámbito del transporte a las cuales podría aplicarle un MED.


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El Modelo Logit Simple Multinomial (MNL – Multi Nomial Logit)

Supuestos

Los residuos estocásticos i se distribuyen IID Gumbel, es decir

ee)P(x (2.63)

La expresión anterior supone un factor de localización nulo y una factor de escala unitario.

¿Cómo afectan estos factores a la probabilidad? Haga una simulación en Excel y vea los efectos.

Los errores son independientes, es decir, no están correlacionados entre alternativas y tienenmedia nula y varianza constante.

22i

i

ji

)(E

0)(E0)(E

(2.64)

donde 2 es la varianza.

El modelo Logit Simple (Multi Nomial Logit) expresa la probabilidad de elegir la alternativa i-ésima de la siguiente forma

A j

V

V

i j

i

e

eP (2.65)

donde A es el conjunto de alternativas disponibles.

Para ver la derivación de esta expresión puede revisar Ben-Akiva y Lerman (1985) y Louviere etal. (2000).1

Para la función de utilidad observable, Vi, podemos suponer una forma lineal, es decir

i4i3i2i1ii PTATETVV (2.66)

donde

TVi : Tiempo de viaje en el vehículo del modo i

1 Louviere, J., D. Hensher y J. Swait (2000) Stated Choice Methods: analysis and application. CambridgeUniversity Press. Cambridge. En Biblioteca Central.


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TEi : Tiempo de espera del vehículo del modo iTAi : Tiempo de acceso al modo iPi : Costo de viaje en el modo ii, j : Coeficientes a estimar usando una muestra de observaciones de individuos.

La formulación general del Logit y la función de utilidad no excluye otras especificaciones deésta y la introducción de otras variables explicativas.

¿Qué forma funcional genérica existe para modelar la utilidad? ¿Cómo opera en la práctica estaforma funcional genérica?

El coeficiente i se denomina constante modal o constante específica y se interpreta como laatracción básica que tiene la alternativa i-ésima respecto al resto de ellas. Este coeficiente estáreferido a una alternativa base.

Los coeficentes j corresponden a las utilidades marginales asociadas a las diferentes variablesexplicativas, e indican en cuánto variaría la utilidad si uno de los atributos (el j-ésimo) tuvierauna variación en una unidad. En particular, el coeficiente de la variable costo corresponde a laUtilidad Marginal del Ingreso (pero con signo contrario).

¿Por qué el coeficiente del costo correspondería a la Utilidad Marginal del Ingreso? ¿Cómointerpretaría económicamente este hecho?

La principal limitación del modelo Logit simple proviene de la hipótesis de “independencia de lasalternativas irrelevantes”. En efecto, esta propiedad se aprecia más claramente si se calcula larazón entre las probabilidades de escoger dos alternativas. Esta razón corresponde a lo siguiente:


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)VV(ee/e

e/e

P

P ji

R

VVR

VV

j

i

R j

R i

(2.67)

Notar que esta razón no depende del resto de las alternativas. Esta razón no se ve afectada por laexpansión o contracción del conjunto de alternativas disponibles. El origen de esta independenciaestá en el supuesto de generación del modelo Logit y que dice relación con la independenciaentre alternativas (IID).

¿Será esto bueno? ¿Por qué?

Versión agregada del MNL

La probabilidad individual de elección entre alternativas se puede entender, a nivel agregado,como la proporción de individuos que elige cada modo (S i). El razonamiento para esta extensiónse basa en suponer que la función de utilidad V i obtenida de varias observaciones de diversosindividuos se puede entender como la utilidad de un individuo representativo del grupo. A partirde la ecuación 2.67 se obtiene la siguiente expresión

k ik

i VVS

SLn

(2.68)

donde Si es la proporción de individuos que elige el modo i-ésimo.

La ecuación 2.68 se conoce como el Modelo Logit Agregado. Si la utilidad se modela lineal enlos atributos, y de forma aditiva en sus componentes, implicando que existe una conductacompensatoria, entonces obtenemos lo siguiente

)PP()TATA()TETE()TVTV()(S

SLn k i4k i3k i2k i1k i

k

i

(2.69)

La estimación de un modelo usando la expresión 2.69 se puede hacer usando alguna de lastécnicas disponibles, tal como mínimos cuadrados.

¿Cuáles son los datos necesarios para estimar este modelo, y cuáles son los resultados de estaestimación? ¿De dónde provendrán los datos necesarios para estimar estos modelos?

¿Cuán cierta es la conducta compensatoria implícita en el modelo?


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Valores Subjetivos del Tiempo

Además de entregar particiones modales, el modelo Logit permite estimar el Valor Subjetivo delTiempo (u otro atributo de interés). Si la expresión de V i es:

i4i3i2iiii PTATETVV (2.70)

entonces es posible re–escribirla como

)PTATETV(V ii4

3i

4

2i

4

1

4

i4i

El término entre paréntesis tiene dimensiones de dinero. Los coeficientes que acompañan losdiferentes tiempos (TV, TE y TA) permiten convertirlos en unidades monetarias, y se conocencomo Valores Subjetivos del Tiempo:

Valor Subjetivo del Tiempo de Viaje4

1VSTv

Valor Subjetivo del Tiempo de Espera4

2VSTe

Valor Subjetivo del Tiempo de Acceso4

3VSTa

Estos valores, medidos en unidades monetarias dividido por unidades de tiempo, estarán referidosal período del día al que correspondan los datos con que se estimó el modelo. Se pueden calcular

para diferentes propósitos de viaje (trabajo, estudio, otros) y otras segmentaciones de mercado.

¿Cómo variará el VST con el Ingreso de las personas? ¿Por qué?


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Estimación de un modelo Logit

Una ventaja de los modelos desagregados de demanda proviene del hecho que modelancomportamientos de individuos y no a nivel de zonas. Luego, la cantidad de informaciónnecesaria para calibrar modelos podría ser menor, generando menores costos de adquisición de

datos. En efecto, estos modelos suponen que las personas que pertenecen a hogares de similarescaracterísticas socioeconómicas se comportan de manera similar, sin importar a que lugargeográfico (zona) pertenezca el hogar. Sólo dependerá de las características del hogar (nivel deingreso, posesión de automóvil, etc.)

La información base para estimar un modelo Logit no depende del número de zonas. Depende delnúmero de categorías de individuos (categorías de demanda), y ella proviene de dos fuentes posibles:

Fuente:

- Series de tiempo: Se observa el comportamiento deunos pocos individuos a través del tiempo

- Sección transversal: Se observa el comportamiento demuchos individuos en un día típico

La información a recolectar será:- Preferencia por modo (que modo se eligió entre las alternativas disponibles)- Atributos de la totalidad de modos disponibles (variables del nivel de servicio, costos, etc.)- Características socio-económicas de la persona

Una vez que la información está disponible se aplica el método de Máxima Verosimilitud para

realizar las estimaciones. Los coeficientes así estimados serán estimadores máximo verosímiles.Además de los coeficientes en sí, el método permite calcular la matriz de variaza/covarianza entreestimadores, para así poder analizar el nivel de significancia de los coeficientes.

¿En qué consiste el método de máxima verosimilitud? ¿En qué se diferencia del método de losmínimos cuadrados?

La forma de la función de probabilidad de un modelo Logit, para el caso de dos alternativas(modelo binomial o bimodal), gráficamente corresponde a:


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DemandaCaut iva

0,5

0,0

1,0P 2

V 2-V 1

Si las utilidades observadas para cada modo son las mismas, la probabilidad de elección de cadauno es 0,5 (50%). Notar que, por la forma del modelo Logit, la probabilidad de elegir undeterminado modo puede ser tan pequeña como se quiera, pero nunca es nula. Este residuo puedeinterpretarse como una demanda que es cautiva al modo, es decir, usuarios que por diferentesrazones usarán siempre el modo sin importar la utilidad (satisfacción) que tenga. Inversamente, la

probabilidad tampoco será 1.0 (excepto que exista sólo una alternativa), sino que se acercaráasintóticamente a este valor.


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El Modelo Logit Incremental

Usualmente los modelos de demanda se utilizan para evaluar variaciones en ésta ante cambios enlos atributos que condicionan dicha demanda. Una opción es evaluar la demanda en ambosestados, determinando de esta forma el cambio en ella.

El modelo Logit presenta la ventaja de que es posible evaluar la nueva demanda utilizandoinformación actual acerca de la partición modal, y las variaciones en los atributos de interés. Es posible demostrar que la demanda futura por el modo i-ésimo ante cambios en el vector deatributos se puede calcular utilizando la siguiente expresión

j

a j

aif

ieP

ePP V

V

j

i

(2.71)

donde f y a denotan el valor futuro y actual de las probabilidades respectivamente, mientras que

Vi es la variación en la utilidad del modo i-ésimo debido al cambio en los atributos asociados aél.

Notar que si las variaciones son nulas (i.e., estamos en presencia de la condicón actual), entoncesPi

f es igual a Pia, como es de esperar.

Elasticidades

El uso de modelos Logit para modelar elecciones discretas tiene la ventaja de que es posibleobtener expresiones explícitas y manejables para las elasticidades, tanto propias como cruzadas.Las expresiones para ambas elasticidades, dado un atributo z cualquiera, serán

z)P1( iii (2.72)

zP j j j/i (2.73)

es el coeficiente asociado al atributo z, i es la elasticidad propia y i/j es la elasticidad cruzada.

Estas elasticidades corresponden a elasticidades punto, en oposición a las elasticidades arco, lasque se obtienen a partir de observaciones “in situ” de cambios en la demanda ante cambios en precios o algún atributo de interés.

Notar que las elasticidades no son un valor fijo, sino que su magnitud depende del valor de losatributos, la sensibilidad de la demanda a ellos, y la proporción de mercado cubierta por laalternativa bajo análisis (o la competencia).


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En este caso, las alternativas de transporte público estarían correlacionadas entre sí. El transporte privado sería una alternativa independiente.

En términos de formulación, esta estructuración jerárquica del proceso de decisión es consistentecon el supuesto de varianza constante que se consideró al derivar el modelo MNL. En este caso(HL) la varianza de los errores será la misma (errores homocedásticos) para todas las alternativasque pertenecen a un nido específico.

Dado lo anterior, este modelo se puede estimar usando software específico desarrollado para elMNL. Esto requiere que en cada nivel jerárquico se estime un modelo MNL separado como partede un proceso secuencial. En el ejemplo desarrollado se requiere estimar un modelo MNL paralas alternativas disponibles en el nido transporte público (bus y taxibus), cuidando de omitir en laespecificación de la función aquellas variables que tengan el mismo valor para el conjunto dealternativas. Esto porque dada la forma en que opera el MNL (por diferencias) estas variables secancelarían.

El siguiente paso es estimar un modelo MNL para la jerarquía superior. Para ello el nido inferiorqueda representado como una alternativa compuesta, a la cual se le asocia una utilidadrepresentativa de todo el nido. Esta utilidad representativa está dada por

Vi = EMU + N (2.74)

donde:

EMU es el valor esperado de la máxima utilidad entre las alternativas del nido.

EMU = Ln eVi Ai AI (2.75)

En la expresión 2.75, conocida como Logsum, V i corresponde a la utilidad de la alternativa i-ésima del nido, tal como se modeló en la primera etapa. N es el vector de atributos comunes atodas las alternativas del nido y que no fueron incluidos en la modelación del nido, y y soncoeficientes a estimar.

Por consistencia económica del modelo se debe cumplir que

0 < < 1

AUTO

BUS TAXIBUS

Nido TransportePúblico

JERARQUIASUPERIOR

JERARQUIAINFERIOR


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Cuando es estadísticamente igual a 1, el modelo Logit Jerárquico (HL) es matemáticamenteigual al modelo MNL. Podemos decir, entonces, que el MNL es un caso particular del HL cuandono existe correlación entre alternativas.

Probar, para un caso sencillo, que un HL colapsa a un MNL si el coeficiente esestadísticamente igual a 1. ¿Qué significa que sea estadísticamente igual a 1?¿Cómo verificaesto?

En el caso de que existan varios niveles en la estructura jerárquica se debe cumplir la siguientecondición de orden entre coeficientes

0 < 1 2 ... S < 1

En que 1 representa el coeficiente del EMU correspondiente al nido más interno y S el

correspondiente a la jerarquía superior. Si esta condición no se cumple, deberá concluirse que lashipótesis de correlación de alternativas asociadas a la estructura jerárquica propuesta no essustentada por los datos disponibles.

Si designamos por VI y VS las utilidades asociadas al modelo estimado en el nivel jerárquicoinferior y superior, respectivamente, entonces la probabilidad de elegir la alternativa i-ésima delnido superior será:

S

S

Ak

Si

SiS

Ai )Vexp(

)Vexp(P (2.76)

Cuya forma es idéntica al MNL, con la salvedad de que una o más alternativas del conjunto A S puede constituir una o más alternativas compuestas.

Por otra parte, la probabilidad de elegir una alternativa de la jerarquía inferior viene dada por la“probabilidad de elegir la alternativa del modo, dado que se eligió la alternativa compuestacorrespondiente en el nivel superior”. Esto se calcula como:

)I( j

)S(C

)I(

A jPPP I (2.77)

donde

Pc(S): Probabilidad de elegir alternativa compuesta en nivel superior

P j(I): Probabilidad de elegir alternativa j-ésima en el nido inferior.

Por lo tanto, la probabilidad de elegir la alternativa j será el producto de la probabilidad de elegirel nido compuesto por la probabilidad de elegir esa alternativa en ese nido.


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IS

I

Ai

Ii

I j

Ak

Sk

SI)I(

A j )Vexp(

)Vexp(

)Vexp(

)Vexp(P (2.78)

Estado del Arte en Modelos Desagregados

El estado actual en la modelación de elecciones discretas utilizando modelos desagregados tienevarias líneas de trabajo. Estas líneas se asocian con las técnicas utilizadas para recolectar lainformación, el tratamiento de la información recolectada, los modelos utilizados para analizar lainformación recolectada y la especificación de las funciones de utilidad.

En cuanto a las técnicas de recolección de información, se están utilizando técnicas de

preferencias reveladas y declaradas, asistidas por computador cuando corresponda. En el caso delas preferencias declaradas, la tendencia es usar experimentos de elección, dado su nivel derealismo. La utilización de computadores personales permite ajustar los diseños experimentalesusados para obtener las respuestas de las personas, de forma tal que las opciones presentadas aéstas sean lo más realistas posibles, asegurando suficiente varianza en las respuestas.

¿Por qué será deseable que exista varianza en las respuestas?

Respecto al tratamiento de la información, la tendencia es combinar las respuestas obtenidasusando preferencias reveladas y declaradas. Puesto que cada técnica tiene sus bondades yfalencias, un tratamiento conjunto permitiría potenciar cada una de ellas, mejorando el carácter predictivo de los modelos estimados usando dicha información. Puesto que las varianzasasociadas a estas fuentes de información es diferente, entonces las respuestas son modeladascomo estructuras jerárquicas.

Relativos a los modelos utilizados, los modelos Logit siguen siendo los más usados, aunque conmayores sofisticaciones en cuanto a la estructura de la función de utilidad. Funciones no lineales,con transformaciones flexibles de las variables, tal como la Box-Cox, están siendo introducidasen la modelación.

La existencia de correlación entre alternativas está siendo abordada utilizando modelos genéricos,tal como el Probit. Si bien el uso de este modelo fue complicado en el pasado, por lo pocomanejable de las expresiones matemáticas que lo definen, el advenimiento de computadores conmayor capacidad de proceso ha permitido levantar esta restricción tecnológica. Existen, además,una serie de modelos matemáticos que permiten modelar de mejor forma la variación en losgustos en la muestra.


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Asignación a la Red

En el corto plazo el equilibrio se verifica manteniendo constante el sistema de actividades y el

sistema de transporte, luego, el problema consiste en determinar o estimar el patrón de flujos deequilibrio para una demanda que es conocida, es decir, cómo se asignan los flujos a la red.

Se requiere saber cómo los usuarios eligen ruta, de entre las múltiples disponibles para ir desdeun origen a un destino usando la red de transporte (calles).

En principio el viaje reporta costos para el usuario entre los cuales los principales son: Tiempo deviaje y costo monetario asociado al viaje (combustible, tarifa , etc.) esto se denomina “Costogeneralizado de viaje”. El ttiempo de viaje en una vía depende del nivel de flujos en esa vía (porel efecto de interacción estudiado anteriormente).

La relación es tiempo v/s flujo tiene aproximadamente la siguiente forma:

Donde

ta : Tiempo en el arco “a”

qa : Flujo en el arco “a”

Q . Capacidad del arco

La forma como los usuarios elijan ruta dependerá entonces del tiempo de viaje por cada ruta, elcual a su vez dependerá del flujo que circula por esa ruta (es decir de la elección de ruta quehicieron múltiples usuarios).

ta

qa

T(x)

Q


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EQUILIBRIO DE WARDORP

Wardrop palnteó en 1952 que “El equilibrio de una red con múltiples rutas es aquellasituación en que ningún usuario puede disminuir su propio tiempo de viaje a través de uncambio unilateral de ruta” . Se la siguiente red:

En el ejemplo, los tiempos de viaje dependen de los respectivos flujos en el arco (porcongestión). Se pueden dar tres situaciones de equilibrio para un flujo total X que va de O a D:

T1 = T2 : Los tiempos son iguales en ambas rutas y por lo tanto, los flujos q1 y q2deben ser tales que se cumpla esta igualdad

T1>T2 : Luego todos los usuarios eligen la ruta 2 y nadie la ruta 1 (q2=X; q1 = 0)

T1 0tk

rs > trs si Xk rs = 0

O D

T1(X1)

T2(X2)


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2. Condiciones de demanda:

La suma de todos los flujos de van desde “r” a “s” usando las distintas rutas, debe ser igual alflujo rotas que va desde “r” a “s”:

sr

k

sr k q X ,, 3. Condiciones de Red:

La primera condición de red dice que el tiempo total para ir de “r” a “s” usando la ruta “k” es lasuma de los tiempos de viaje en los arcos que pertenecen a la ruta.

Aa

sr

ak a

sr

k t t ,,

La segunda condición es que el flujo total en un arco “a” es la suma de todos los flujos, paratodos los paras “r”,”s” que usan una ruta que incluye al arco “a”:

k

sr

ak

sr

k

sr

a X X ,,

,

SOLUCION GRAFICA AL PROBLEMA DE EQUILIBRIO

En un plano tiempo-flujo se dibujan las curvas de congestión de todas las rutas posibles entre un par O/D. Luego se construye la curva de oferta total de la red entre O y D (TOD)como la sumahorizontal de las curvas de cada ruta:

El punto de equilibrio se obtiene en la intersección de la curva de oferta con la curva de lademanda en ese par O-D. Este punto establece además el total de viajes XOD que los usuariosrealizarán, Se aprecia que los flujos X1 y X2 en el equilibrio dependen de las funciones decongestión T1(x1) y T2(x2).

D

T2(x2)T1(x1) TOD

XXOD X2 X1

T1= T2= T


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OPTIMO DEL SISTEMA

Hemos visto el equilibrio del usuario que se obtiene por aplicar las condiciones de wardrop. Estees la condición de equilibrio que se da de manera natural en una red de transporte público. Sinembargo puede preguntarse si es esta la forma óptima de distribución de los flujos para el

sistema.En efecto, la condición de equilibrio de los usuarios se obtiene de la búsqueda de óptimosindividuales (cada usuario trata de minimizar su tiempo de viaje), si embargo esto no garantizaque el tiempo total de todos los usuarios de la red sea mínimo.

El mínimo tiempo total en la red “T” de los usuarios resulta de resolver el siguiente problema:

Min )( aaa

a X t X T

Sujeto a: sr

k

sr

k q X ,, , para todo r, s

Además deben cumplirse las restricciones de Red y restricciones de flujo no negativo.

Veamos un ejemplo: sea la siguiente red con las funciones de tiempo de viaje dadas:

Se sabe que hay un flujo de 60 unidades que quiere viajar desde A a B:

Si se resuelve el equilibrio del usuario aplicando la condición de Wardrop (tiempos de viajes

iguales para ambas rutas), y sabiendo que X1 + X2 = 60 (por condición de demanda), se tienenlas siguientes soluciones:

X1 = 40 ; T1 = 50X2 = 20 ; T2 = 50

Calculemos ahora el óptimo del sistema. Se sabe que:

A B

T1=10 + x1

T2=40 +0,5 x2


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)( aaa

a X t X T = T1 * X1 + T2 * X2

Para encontrar el óptimo debemos minimizar T, es decir:

Min T = (10 + x1)*x1 + (40+0,5x2)*x2

Sujeto a: x1 + x2 = 60 y x1, x2 no negativos.Para minimizar T reemplazamos la restricción (x1+x2=60) en la función objetivo T y tenemos:

T = (70 –x2)*(60-x2)+(40+0,5X2)*x2

T=15 x22 – 90x2 + 4200

Derivando y haciendo igual a cero, se tiene que la solución al problema de optimización es:

X2 = 30; T2 = 55X1 =30; T1=40

Esta es la asignación de los flujos que minimiza el tiempo total en el sistema. Notar que por laruta 2 el tiempo es

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