Universidad Alas PeruanasAo de la Inversin para el Desarrollo Rural y la Seguridad AlimentariaUNIVERSIDAD ALAS PERUANASFACULTAD DE INGENIERAS Y ARQUITECTURAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVILCTEDRA: Ingeniera AntissmicaTEMA:Conceptos Anlisis Dinmico de Estructuras DOCENTE: Ing. Rene Flores MamaniCICLO: VIIIALUMNOS: Willy M. Flores Cuayla MOQUEGUA PER2013

INTRODUCCION

El anlisis dinmico en estructuras es el anlisis de la respuesta de estructuras sometidas a las acciones de impacto en general y de sismos en particular la cual requiere una evaluacin de su comportamiento dinmico. La cuestin es por dems compleja en los casos reales. Por un lado se tiene la realidad de la estructura misma, que pocas veces admite la representacin con modelos tericos suficientemente sencillos como para que el anlisis sea posible con los medios disponibles. Por el otro lado se tiene la complejidad de la excitacin que en el caso de impactos o de sismos es de caractersticas caticas, tanto en lo que se refiere a la evolucin de la accin en el tiempo como en lo que se refiere a la intensidad mxima que la misma pueda tener y que tampoco admite esquematizaciones tericas sencillas.

1.-CONCEPTOS GENERALES

1.1. ESTRUCTURA SIMPLE

Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que est constituido por una masa concentrada en la parte superior soportada por un elemento estructural de rigidez k en la direccin considerada. Este concepto es ilustrado por la Figura 1.1 en la cual se muestra un ejemplo de estructura simple.

Figura 1.1Torre de Telecomunicacin, Frankfurt (estructura simple)

Es importante el entender la vibracin de este tipo de estructuras, las cuales estn sometidas a fuerzas laterales en el tope o a movimientos horizontales del suelo debidos a sismos, para as facilitar la comprensin de la teora dinmica.

1.2GRADOS DE LIBERTAD

El grado de libertad es definido como el nmero de desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas relativas a sus posiciones originales.

Por ejemplo si se considera despreciable la deformacin axial de la columna en la estructura simple de la Figura 1.1 entonces el sistema es de un grado de libertad (el desplazamiento horizontal del tanque). Ahora considerar el prtico de la Figura 3.2 el cual est restringido a moverse slo en la direccin de la excitacin; para el anlisis esttico de esta estructura el problema tiene que ser planteado con tres grados de libertad (3DOF: lateral y dos rotaciones) al determinar la rigidez lateral del prtico. Sin embargo la estructura tiene 1DOF (desplazamiento lateral) para el anlisis dinmico si sta es idealizada con una masa concentrada en el nivel superior, a este tipo de estructuras en adelante se le designara como estructuras de simple grado de libertad (SDF).

Figura 1.2 Siendo SDF: (a) fuerza aplicada pw. (b) movimiento inducido por el sismo.

Cada miembro del sistema (viga, columna, muro, etc.) contribuye con las propiedades de la estructura: inercia (masa), elasticidad (rigidez o flexibilidad) y energa de disipacin (amortiguamiento). Estas propiedades sern consideradas por separado como componentes de masa, rigidez y amortiguamiento respectivamente.

1.3.-SISTEMA LINEALMENTE ELASTICO

Figura 1.3 Sistema Linealmente Elstico

Para comprender el concepto de estructura linealmente elstica es necesario entender la relacin existente entre la fuerza y el desplazamiento, para lo cual considerar el sistema mostrado en la Figura 1.3; el sistema est sujeto a una fuerza esttica fS, la cual es equilibrada por una fuerza inercial resistente al desplazamiento u que es igual y opuesta a fS. Existe una relacin entre la fuerza fS y el desplazamiento relativo u asociado con la deformacin de la estructura que es de carcter lineal para pequeas deformaciones y no lineal para grandes deformaciones.Para un sistema linealmente elstico la relacin entre la fuerza lateral fS y la deformacin resultante u es:

f S k u(1.1)

Donde K es la rigidez lateral del sistema y su unidad es ( fuerza/longitud).

1.4.-AMORTIGUAMIENTO

El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibracin libre disminuye en amplitud; en este proceso la energa del sistema en vibracin es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultneamente.

1.4.1.-MECANISMOS DE DISIPACIONEn sistemas simples como el de la figura 1.4 la mayor parte de la disipacin de la energa proviene de efectos trmicos causados por repetidos esfuerzos elsticos del material y de la friccin interna cuando el slido es deformado.

Figura 1.4 Fuerza de amortiguamiento

En las estructuras actuales existen mecanismos adicionales que contribuyen a la disipacin de la energa; algunos de stos son: las uniones de acero, el abrirse y cerrarse de las micro - fisuras del concreto, la friccin entre la estructura misma y los elementos no estructurales como son los muros de particin.

1.4.2.-FUERZA DE AMORTIGUAMIENTOEn las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prcticos el amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso.

La Figura 3.4 muestra un sistema amortiguado sujeto a una fuerza fD aplicada en la direccin del desplazamiento, la cual es equilibrada por la fuerza interna en el amortiguamiento que es igual y opuesta a la fuerza externa fD. La fuerza de amortiguamiento fD est relacionada con la velocidad a travs del coeficiente de amortiguamiento c mediante:

f D c u(1.2)

A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamao de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energa vibracional en las estructuras actuales.

1.5.-ECUACION DEL MOVIMIENTO

La figura 3.5 ilustra el modelo matemtico de un sistema SDF sujeto a la accin de una fuerza dinmica p(1) aplicada en la direccin del desplazamiento u(1) las cuales varan con el tiempo. La ecuacin diferencial que gobierna el desplazamiento u(1) puede ser derivada utilizando dos mtodos: la segunda ley de Newton y el principio de equilibrio dinmico.

Figura 1.5 Sistema SDF, ecuacin del movimiento

1.5.1.-SEGUNDA LEY DE NEWTON

Todas las fuerzas que actan en la masa son mostradas en la Figura 3.5(b). La fuerza externa es considerada positiva en la direccin del eje de desplazamiento u(t), la velocidad (t) y la aceleracin (t) son tambin consideradas positivas en esa direccin. La fuerza elstica y de amortiguamiento actan en direccin opuesta debido a que son fuerzas internas que resisten la deformacin y la velocidad respectivamente.

La fuerza resultante a lo largo del eje de desplazamiento es p(t) fS fD; aplicando la segunda ley de Newton se tiene:

p(t ) f S f D m um u f S f D p(t )

(1.3)

Reemplazando las ecuaciones 1.1 y 1.2 en la ecuacin 1.3 se tiene:

m u c u k u p(t )

(1.4)

La ecuacin 1.4 es la que gobierna la deformacin u(t) de la estructura idealizada en la Figura 1.5 considerando que la elasticidad es lineal.

1.5.2.-EQUILIBRIO DINAMICO

El principio de equilibrio dinmico de DAlembert est basado en el sistema de equilibrio de fuerzas. Es considerada una fuerza de inercia ficticia que es igual al producto de la masa por la aceleracin y acta en direccin opuesta a la aceleracin; este estado, incluida la fuerza de inercia, es un sistema equilibrado en todo instante. Es as que el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la masa en movimiento puede ser dibujado para poder utilizar los principios de esttica y desarrollar la ecuacin de movimiento.

El DCL en el tiempo t es representado en la Figura 1.5(c) con la masa reemplazada por la fuerza de inercia que es dibujada con trazo punteado para ser distinguida como fuerza ficticia de las fuerzas reales. Estableciendo la suma de todas las fuerzas igual a cero se tiene como resultado la ecuacin 1.3.

1.5.3.-COMPONENTES DE MASA, AMORTIGUAMIENTO Y RIGIDEZ

La ecuacin que gobierna el movimiento para el sistema SDF puede ser formulada desde un punto de vista alternativo:

Bajo la accin de la fuerza externa p(t) el sistema del sistema esta descrito por u(t), (t) y (t) como se muestra en la figura 1.6. Visualizar el sistema como la combinacin de los tres componentes: rigidez, amortiguamiento y masa. La fuerza externa Fs en el componente de rigidez est relacionada con el desplazamiento por la ecuacin 1.1.si el sistema es linealmente esttico. La fuerza FD est relacionada con velocidad por la ecuacin 1.2.y la fuerza externa Ft en el componente de masa est relacionada con la aceleracin por Ft = m. . La fuerza externa p(t) aplicada al sistema completo puede por tanto ser visualizada como una cantidad distribuida en los tres componentes de la estructura y entonces:

Figura 1.6 (a) Sistema (b) Componente de rigidez (c) Componente de amortiguamiento (d) Componente de masa

2.-VIBRACION LIBRE

2.1.-CONCEPTO TEORICO

El anlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introduccin expone de forma resumida algunos aspectos tericos de las vibraciones de los sistemas elsticos, que ayudarn a comprender los mtodos de clculo de la accin de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinmicos.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las mquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseo requiere la consideracin de este efecto dinmico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.

Una vibracin se produce cuando el sistema en cuestin es desplazado desde una posicin de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de restitucin elstica o gravitacional, movindose de un lado a otro hasta alcanzar su posicin de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efecte un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibracin, el nmero de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mximo del sistema desde su posicin de equilibrio se denomina amplitud de vibracin.

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposicin y las tcnicas matemticas para su tratamiento estn bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las tcnicas para el anlisis de sistemas no lineales son ms complicadas y no muy conocidas.

Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elstico puede tener una vibracin libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido nicamente por las fuerzas de restitucin inherentes al mismo. El sistema bajo vibracin libre vibrar en una o ms de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribucin de su masa y rigidez.

Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibracin forzada. Cuando la excitacin es oscilatoria, ya sea peridica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitacin, si sta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; as la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramtica posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el clculo de las frecuencias naturales de vibracin es de gran importancia en el diseo ssmico de estructuras.

2.2.-DEFINICION

Una estructura est en vibracin libre cuando es perturbada de su posicin esttica de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitacin de fuerza externa alguna (p(t) = 0).

2.3.-VIBRACION LIBRE NO AMORTIGUADA

Figura 2.1 Sistema SDF. Vibracin libre sin amortiguamiento

La ecuacin que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no est sometido a la accin de una fuerza externa es:

m u k u 0

nu 2 u 0

(2.1)(2.2)

donde n es la frecuencia natural en vibracin libre del sistema y es igual a:

n k m

(2.3)

El desarrollo de la ecuacin diferencial 2.1 se expone en el Apndice A-1, y su solucin es:

u(t ) A cos n t B sen n t

(2.4)

Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales:velocidad iniciales respectivamente. Obtenindose por lo tanto:

u(0) y ,

u (0) eldesplazamientoyla

u (0)

u(t ) u(0) cos n t n

sen n t

(2.5)

Las Figuras 2.1(a) y 2.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibracin libre del sistema para la ecuacin 2.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibracin libre es denominado periodo natural de vibracin, Tn, y es:

nT 2n

(2.6)

La frecuencia cclica natural de vibracin, fn, es definida como el nmero de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es:

Tnf 1n

(2.7)

Las propiedades de vibracin natural, n, Tn y fn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el trmino natural es utilizado para enfatizar el hecho de que stas son propiedades naturales del sistema cuando ste esta en estado de vibracin libre.

El movimiento representado por la ecuacin 2.5 puede tambin ser expresado en la forma:

u(t ) u0 cos n t

Donde u0 es la magnitud del desplazamiento mximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual est dada por:

3.-VIBRACIN FORZADA CARGA ARMNICA3.1.-JUSTIFICACINEl estudio de la respuesta del sistema de un solo grado de libertad (SDF) a la accin de una carga armnica establece bases para el entendimiento de la respuesta de estructuras ms complejas a excitaciones externas.3.2.-SISTEMA NO AMORTIGUADO CON CARGA ARMNICA3.2.1.-ECUACION DE MOVIMIENTOEstableciendo p(t)=p0 sent en la ecuacin 1.4 se obtiene la ecuacin diferencial[footnoteRef:1][1] que gobierna el movimiento forzado por carga armnica para un sistema no amortiguado: [1: ]

(3.1)Donde p0 es la amplitud o valor mxima de la fuerza (Figura 3.1) y es la frecuencia de excitacin. La solucin particular a la ecuacin diferencial 3.1 es: (3.2)La solucin complementaria de la ecuacin 3.1 es: (3.3)La solucin total es la suma de ambas ecuaciones: (3.4)

Figura 3.1 Fuerza armnica

Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales u(0) y (0), es as que se tiene: (3.5)Esta ecuacin contiene dos componentes de vibracin distintas:1. El trmino sent para la oscilacin en frecuencia de excitacin; representa el estado permanente de vibracin debido a que siempre est presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones iniciales.1. Los trminos sen nt y cos nt para la oscilacin en frecuencia natural del sistema; representan el estado transitorio de vibracin que depende de u(0) y (0), el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El trmino estado transitorio de vibracin se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales, hace que la vibracin libre decrezca en el tiempo. Figura 3.2 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armnica: n=0.2; u(0)=0 y (0)=np0/kLa ecuacin 3.5 para condiciones iniciales en reposo u(0) = (0) = 0 es expresada de la siguiente forma: (3.6)5.2.2 ResonanciaIgnorando el efecto dinmico de la aceleracin en la ecuacin 3.1 se obtiene como resultado la deformacin esttica en cada instante de tiempo: (3.7)El mximo valor de esta deformacin es: (3.8)Por lo tanto la respuesta dinmica del estado permanente, una oscilacin sinoidal en frecuencia de excitacin, puede ser expresada como:

(3.9)El factor entre corchetes de la ecuacin 5.9 es graficado contra la relacin de frecuencias en la Figura 3.3, de la cual se observa que:1. Para n < 1 n el factor es positivo indicando que u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el desplazamiento est en fase con la fuerza aplicada. (el sistema est desplazado en la misma direccin de la fuerza)1. Para n > 1 n el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el sistema estar fuera de fase con la fuerza aplicada. (el sistema est desplazado en direccin opuesta a la fuerza) Figura 3.3 Rd versus relacin de frecuenciasLa ecuacin 3.9 puede ser reescrita en trminos de la amplitud u0 y el ngulo de fase : (3.10)De donde se tiene que: (3.11)Donde el factor de deformacin Rd es la relacin de amplitud de deformacin vibratoria u0 y la deformacin esttica (ust)0 debido a la fuerza p0.Consiguientemente se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitacin para la cual Rd es mximo. Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es n siendo Rd infinito para esta frecuencia y la deformacin vibratoria crece indefinidamente, pero sta se vuelve infinita slo despus de un tiempo infinito.

Para n la ecuacin 3.6 no es ms vlida; en este caso la funcin Csent, como eleccin de una solucin particular a la ecuacin diferencial[footnoteRef:2][2], falla debido a que sta ya forma parte de la solucin complementaria, por tanto la solucin particular ahora es: [2: ]

(3.12)Y la solucin total es: (3.13)Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales en reposo u(0)=(0)=0 es as que se tiene la ecuacin de respuesta: (3.14): (3.15) Figura 3.4 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armnica de nEn la Figura 3.4 est graficada la ecuacin 5.15, de donde se observa que el tiempo requerido para completar un ciclo de vibracin es Tn. En cada ciclo el incremento de la amplitud[footnoteRef:3][3] est dado por: [3: ]

(3.16) La interpretacin de este resultado acadmico para estructuras reales es que a medida que la deformacin se incrementa, el sistema en algn punto en el tiempo fallar si es frgil o ceder si es dctil.

3.3.-SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMNICA3.3.1.-Ecuacin de movimiento Figura 3.6 Respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armnicaIncluyendo el amortiguamiento viscoso en la ecuacin 3.1 la ecuacin diferencial[footnoteRef:4][4] que gobierna este sistema es: [4: ]

(3.17)La solucin particular de esta ecuacin es: (3.18)Donde: (3.19)La solucin complementaria de la ecuacin 3.17 es: (3.20)Y la solucin completa es: (3.21)Donde las constantes A y B pueden determinarse mediante procedimientos estndar en trminos del desplazamiento u(0) y la velocidad (0).

La Figura 3.5 muestra la ecuacin 3.21 graficada para n = 0.2 = 0.05 u(0) = 0 y (0) =n p0 / k. La respuesta total es representada por una lnea de trazo continuo y la respuesta del estado permanente por una lnea discontinua, la diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente con el tiempo en un valor que depende de n y quedando nicamente la respuesta forzada y es por esta razn que es llamada respuesta del estado permanente.3.3.2 ResonanciaPara n las constantes C y D de la ecuacin 3.19 son:

Las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales en reposo u(0) = (0)=0 y para n:

Entonces la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armnica para n es:

(3.22)Esta ecuacin de respuesta es graficada en la Figura 3.6, se observa que la magnitud de los desplazamientos es menor que los presentados por la Figura 3.4, y que el lmite de respuesta est dado por: (3.23)Para amortiguamientos pequeos el trmino del seno en la ecuacin 3.22 es pequeo y , por lo que la ecuacin 3.22 toma la forma de: (3.24) La deformacin vara con el tiempo como una funcin coseno, la amplitud se incrementa en funcin del tiempo de acuerdo a la envolvente mostrada en la Figura 3.6 como una lnea de trazo discontinuo. Es importante el notar que la amplitud del estado permanente de deformacin del sistema es influenciada fuertemente por el amortiguamiento.El desplazamiento pico uj despus de j ciclos de vibracin es determinado sustituyendo t=jTn en la ecuacin 3.24, estableciendo cosnt=1 y utilizando la ecuacin 3.23, de donde se tiene: (3.25)

Respuesta para un sistema amortiguado de 0.05 sujeto a carga armnica nFigura 3.7 Respuesta para un sistema amortiguado de 0.05 sujeto a carga armnica n3.3.3.-DEFORMACION MAXIMALa deformacin en el estado permanente del sistema debida a una carga armnica descrita en la ecuacin 3.18 y la 3.19 puede ser reescrita como: (3.26)Donde y sustituyendo por C y D : (3.27) (3.28)Rd es graficada en funcin de n en la Figura 3.7(a) para algunos valores de notar que todas las curvas estn por debajo de la curva correspondiente a =0. El amortiguamiento reduce Rd y por consiguiente la amplitud de deformacin tambin reduce. La magnitud de esta reduccin depende de la frecuencia de excitacin de la siguiente manera:1. Si n > 1 (la fuerza est variando rpidamente) Rd tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento. Para valores grandes de n el trmino (n)4 es dominante en la ecuacin 3.27, la cual puede ser aproximada por: (3.30)

Este resultado implica que la respuesta es controlada por la masa del sistema.1. Si n 1 (la frecuencia de excitacin se acerca a la frecuencia natural del sistema) Rd es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformacin dinmica puede ser ms grande que la esttica. Si n la amplitud mxima es la expresada por la ecuacin 3.23: (3.31) Este resultado implica que la respuesta es controlada por el amortiguamiento de la estructura.3.3.4.-FACTORES DE RESPUESTA DINAMICAEn este punto se introducen factores de respuesta de deformacin, velocidad y aceleracin que definen la amplitud de estas tres cantidades de respuesta. La ecuacin 3.10 se puede escribir de la siguiente forma: (3.32)Derivando la ecuacin 3.32 se obtiene la respuesta para la velocidad: (3.33)Donde el factor de respuesta para la velocidad esta relacionado con Rd mediante: (3.34)Derivando la ecuacin 3.33 se obtiene la respuesta para la aceleracin: (3.35)Donde el factor de respuesta para la aceleracin esta relacionado con Rd mediante: (3.36)En la Figura 3.7 estn graficados los tres factores de respuesta dinmica en funcin de n. Estas cantidades estn relacionadas de la siguiente forma: (3.37) que hace posible el presentar estas tres grficas en una sola utilizando un papel tetralogartmico.

Figura 3.8 Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleracin para un sistema amortiguado sujeto a la accin de una carga armnica.3.3.5.-FRECUENCIA RESONANTE Y RESPUESTA RESONANTELa frecuencia Resonante est definida como la frecuencia de excitacin en la cual ocurre la amplitud mxima de respuesta. La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero de Rd Rv y Ra con respecto de n para :Frecuencia resonante para el desplazamiento:Frecuencia resonante para la velocidad:Frecuencia resonante para la aceleracin:

Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a n. Los tres factores de respuesta dinmica en sus respectivas frecuencias resonantes son: (3.38)