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Informe

Gua de trabajo 2 - Errores de aproximacion

Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de Ingeniera Electrica

Simulacion en Ingeniera Electrica

Integrantes:

Pa Reyes Gonzalez 2704197-3

Mario Guerra Murua 2823034-6

Profesor: Esteban Gil Sagas

Valparaso, 22 de abril de 2015

Departamento de Ingeniera Electrica U.T.F.S.M. ELI-213 Simulacion en Ingeniera Electrica

1. Desarrollo

1.1. Parte 1

a. Considere la funcion 11x

Desarrolle una expresion usando series de Taylor para aproximar para valores en torno

a x=0.

Codigo:

1 % %

2 clc

3 % %nm

4 clear a l l

5 syms x

6 f =1/(1x ) ;7 y=t a y l o r ( f , 10 , 0 ) ;

8 y

9 % %

La expresion obtenida para f(x) en torno a cero es:

x4 + x3 + x2 + x+ 1

.

Usando solo terminos de primer orden de la aproximacion en torno a x=0, muestre

graficamente como se comporta la aproximacion en la medida que el valor de x se aleja

de 0.

Codigo:

1 % %

2 clc

3 clear a l l

4 syms x

5 f =1/(1x ) ;6 y=t a y l o r ( f , 2 , 0 ) ;

7 hold on

8 e z p l o t (y ,[1 1 ] ) ;9 e z p l o t ( f , [1 1 ] ) ;

10 xlabel ( x )

11 ylabel ( f ( x ) ) ; % pone t ? t u l o s a l e j e y

12 grid on ; % agregamos una g r i l l a

13 t i t l e ( S e r i e Taylor de Primer Orden ) ;

14

15 hold o f

16 y

17 % %

PRG MGM pagina 2


Figura 1.1: Aproximacion en torno a x=0:

Para valores de x cercanos a cero la aproximacion es muy buena, y a medida que se

aleja de cero empeora, este empeoramiento es considerablemente mas grande a medida

que x crece positivamente.

Compare graficamente como se comporta la aproximacion en torno a x=0 en la medida

que se usan terminos de orden superior para la aproximacion. Muestre graficamente que

para x fuera de cierto rango, la aproximacion por series de Taylor en torno a 0 empeora

en la medida que se aumenta el orden de la aproximacion.Por que sucede eso?

Codigo:

1 % %

2 clc

3 clear a l l

4

5 for i =1:10

6 syms x

7 f =1/(1x ) ;8 y=t a y l o r ( f , i , 0 ) ;

9 z=e z p l o t ( f , [5 , 5 ] ) ; set ( z , c o l o r , k , l i n e s t y l e , ) ;10 legend ( f ( x ) )

11

12 hold on

13 y1=e z p l o t (y ,[5 , 5 ] ) ; set ( y1 , c o l o r , m )14 legend ( TAYLOR f ( x ) )

15 xlabel ( x )



18 t i t l e ( ) ;

19

20

21 end

22

23 % %

PRG MGM pagina 3


Figura 1.2: Comparacion de la aproximacion en torno a x=0:

Como se observa, a medida que aumenta el numero de terminos considerandos de la

serie de Taylor, la aproximacion se acerca mas a la funcion real.

Tambien se aprecia que la aproximacion es cercana en torno a x=0, siendo un intervalo

de no mas de [-0.2,0.2]. Pasando ese rango, el x ya no se asemeja mucho al valor real,

en especial si la aproximacion por series de Taylor considera pocos factores.

Por ejemplo, en x=0.2 el error absoluto es menor a 0.1.

b. Para las funciones sen(x), cos(x) y ex,grafique como evoluciona el error absoluto y el relativo

al truncar sus series de Taylor respectivas en torno a 0 para distinto numero de terminos en

la aproximacion (pruebe de 1 a 10 terminos) y para valores de x entre -5 y 5.

Codigo:

1 % %

2 clc

3 clear a l l

4

5

6 for i =1:10

7 syms x

8 f c o s=cos ( x ) ;

9 ycos=t a y l o r ( f cos , i , 0 ) ;

10 e r r o r c o s=abs ( f cosycos ) ;11 e r e l c o s=abs ( f cosycos ) / f c o s 100 ;12

13 f s e n=sin ( x ) ;

14 ysen=t a y l o r ( f sen , i , 0 ) ;

15 e r r o r s e n=abs ( f senysen ) ;16 e r e l s e n=abs ( f senysen ) / f s e n 100 ;17

18 f ex=exp( x ) ;

19 yex=t a y l o r ( fex , i , 0 ) ;

20 e r r o r e x=abs ( fexyex ) ;21 e r e l e x=abs ( fexyex ) / f ex 100 ;22

23

24 hold on

25 subplot ( 3 , 2 , 1 ) , e z p l o t ( e r ro r co s ,[5 5 ] )26 xlabel ( x )

27 ylabel ( ERROR ABSOLUTO ) ; % pone t ? t u l o s a l e j e y


PRG MGM pagina 4


29 t i t l e ( ERROR ABSOLUTO FUNCION COS(X) ) ;

30 hold on

31 subplot ( 3 , 2 , 2 ) , e z p l o t ( e r e l c o s , [5 5 ] )32 xlabel ( x )

33 ylabel ( ERROR RELATIVO ) ; % pone t ? t u l o s a l e j e y


35 t i t l e ( ERROR RELATIVO FUNCION COS(X) ) ;

36

37

38

39 hold on

40 subplot ( 3 , 2 , 3 ) , e z p l o t ( e r ro r s en ,[5 5 ] )41 xlabel ( x )



44 t i t l e ( ERROR ABSOLUTO FUNCION SIN(X) ) ;

45 hold on

46 subplot ( 3 , 2 , 4 ) , e z p l o t ( e r e l s e n ,[5 5 ] )47 xlabel ( x )



50 t i t l e ( ERROR RELATIVO FUNCION SIN(X) ) ;

51

52

53 hold on

54 subplot ( 3 , 2 , 5 ) , e z p l o t ( e r rorex ,[5 5 ] )55 xlabel ( x )



58 t i t l e ( ERROR ABSOLUTO FUNCION EXP(X) ) ;

59 hold on

60 subplot ( 3 , 2 , 6 ) , e z p l o t ( e r e l ex ,[5 5 ] )61 xlabel ( x )



64 t i t l e ( ERROR RELATIVO FUNCION EXP(X) ) ;

65 end

66%%

PRG MGM pagina 5


Figura 1.3: Evolucion del error absoluto y relativo.

Ya que la serie es periodica, el error absoluto tambien es periodico, siendo cero cada ciertos

intervalos, dependiendo de la cantidad de terminos en la serie de Taylor. de todas formas el

error absoluto en torno a x=0, ya que la aproximacion independiente del orden de la serie

evaluada en ese valor de x da cero.

Respecto al grafico de error relativo, no se puede analizar, ya que en la obtencion del error

absoluto hay una division por sen(0)=0 (punto en el que se pide evaluar). Pero si se evalua-

ra en algun punto donde no ocurra esta division deberamos observar un comportamiento

periodico tambien para el error relativo.

c. Desarrolle una expresion para el error relativo asociado a la aproximacion de primer orden de la

derivada de ex usando diferencias finitas. Grafique el error relativo asociado a la aproximacion

para x=1 y h=100, 101, ..., 1012.Explique en que rango predomina el error de redondeo yen que rango predomina el error de truncamiento. Cual es el tamano de paso optimo?

Codigo:

1 % %

2 clc

3 clear a l l

4 f = [ ] ;

5 i i = [ ] ;

6

7 for i=logspace (12 ,0 ,13)8 fx=exp (1 ) ;

9 di=(exp(1+ i )exp (1 ) ) / i ;10 error=abs ( ( fxdi ) / fx ) 100 ;11 f =[ f error ] ;

12 i i =[ i i i ] ;

13 end

14 loglog ( i i , f )

15 xlabel ( LOG( x ) )

16 ylabel ( ERROR RELATIVO ) ; % pone t i t u l o s a l e j e y


18 t i t l e ( ERROR RELATIVO FUNCION DIFF EXP(X) ) ;

19

20 % %

PRG MGM pagina 6


Figura 1.4: Error relativo.

Para valores muy pequenos de h en torno 1012 y 108 predomina el error de aproximaciondado que la cantidad de decimales es muy grande para los bits disponible en la memoria

del computador para guardarlos de forma exacta, y se ve en la obligacion de aproximarlos.

Tambien al ser una diferencia entre magnitudes al ser tan de bajo valor esta no es captada

por la maquina. Para valores de 108 en adelante comienza el predominio del error de trun-camiento, ya que el tamano del paso es mayor, disminuye el uso de decimales y las diferencias

entre dos numeros no son tan pequenas.

1.2. Parte 2

a. Muestre graficamente que tan bien se puede aproximar la funcion sen(x) por un polinomio de

Taylor de grado 1.

Codigo:

1 % %

2 % a)

3 clear a l l

4 clc

5 format long

6 syms x

7

8 fx=sin ( x ) ;

9 fy=t a y l o r ( fx , 2 , 0 ) ;

10 hold on

11 t1=e z p l o t ( fx ,[2pi/3 2pi / 3 ] ) ; set ( t1 , c o l o r , k ) ;12 t2=e z p l o t ( fy ,[2pi/3 2pi / 3 ] ) ; set ( t2 , c o l o r , m ) ;13

14 legend ( f ( x ) , TAYLOR f ( x ) )

15 xlabel ( x )



18 t i t l e ( APROXIMACION FUNCION SIN(X) POR POLINOMIO DE TAYLOR ) ;

19 hold o f f

PRG MGM pagina 7


Figura 1.5: Aproximacion sen(x)

Se observa que se puede aproximar bien para valores de angulo pequenos.

b. Evalue el error absoluto (en [MW]) y el error relativo asociado a cada una de las aproximaciones

(evaluelas de manera separada y conjunta)

Codigo:

1

2 % b )

3 clc

4 clear a l l

5 format long

6 v2=1; v1 =1.05; de l=pi /90 ; b=9.9 ; g =0.99;

7 p=(v1v2 ( gcos ( de l )+b sin ( de l ) )gv2 2) 100 ;8 p 1=(v1v2 (0 cos ( de l )+b sin ( de l ) )0v2 2) 100 ;9 p 2 =((gcos ( de l )+b sin ( de l ) )g sin ( de l ) ) 100 ;

10 p 3=(v1v2 ( gcos (0 )+b de l )gv22 de l ) 100 ;11 p 4=(b de l ) 100 ;12

13 e rabs 1=abs (pp 1 ) ; e rabs 2=abs (pp 2 ) ; e rabs 3=abs (pp 3 ) ; e rabs 4=abs (pp 4 ) ;14 e r r e l 1=abs (pp 1 ) /p100 ; e r r e l 2=abs (pp 2 ) /p100 ; e r r e l 3=abs (pp 3 ) /p100 ;

e r r e l 4=abs (pp 4 ) /p100 ;15 e rabs 1

16 e rabs 2

17 e rabs 3

18 e rabs 4

19 e r r e l 1

20 e r r e l 2

21 e r r e l 3

22 e r r e l 4

aprox 1 aprox 2 aprox 3 todas

error absoluto 4.88 88.87 95.61 6.6

error relativo 11.87 % 2.1 % 2.3 % 16 %

Tabla 1.1: Comparacion de metodos para calculo de potencia en barra 2.

c. Evalue la sensibilidad del error relativo a cada una de las aproximaciones (grafique el error para

un rango de valores). Para que rangos de valores recomendara usar las aproximaciones?

PRG MGM pagina 8


Codigo:

1

2 % c )

3

4 clc

5 clear a l l

6 format long

7 v2=1; v1 =1.05;

8 x= 2 :0 . 001 :2 ;9 b=9.9; g =0.99;

10 p=(v1v2 ( gcos ( x )+b sin ( x ) )gv2 2) 100 ;11 p 1=(v1v2 (0 cos ( x )+b sin ( x ) )0v2 2) 100 ;12 p 2 =((gcos ( x )+b sin ( x ) )g sin ( x ) ) 100 ;13 p 3=(v1v2 ( gcos (0 )+bx )gv22x ) 100 ;14 p 4=(bx ) 100 ;15

16 e rabs 1=abs (pp 1 ) ; e rabs 2=abs (pp 2 ) ; e rabs 3=abs (pp 3 ) ; e rabs 4=abs (pp 4 ) ;17 e r r e l 1=abs (pp 1 ) /p100 ; e r r e l 2=abs (pp 2 ) /p100 ; e r r e l 3=abs (pp 3 ) /p100 ;

e r r e l 4=abs (pp 4 ) /p100 ;18

19 subplot ( 2 , 1 , 1 ) ;

20

21 plot (x , erabs 1 , r , x , erabs 2 , b , x , erabs 3 , k , x , erabs 4 , y ) ;

22 legend ( Aproximacion i , Aproximacion i i , Aproximacion i i i , Aproximacion i ,

i i y i i i ) ;

23 xlabel ( x )



26 t i t l e ( ERROR ABSOLUTO FUNCION POTENCIA BARRA 2 ) ;

27

28 subplot ( 2 , 1 , 2 ) ;

29 plot (x , e r r e l 1 , r , x , e r r e l 2 , b , x , e r r e l 3 , k , x , e r r e l 4 , y ) ;

30 legend ( Aproximacion i , Aproximacion i i , Aproximacion i i i , Aproximacion i ,

i i y i i i ) ;

31 xlabel ( x )



34 t i t l e ( ERROR RELATIVO FUNCION POTENCIA BARRA 2 ) ;

PRG MGM pagina 9


Figura 1.6: Error relativo.

Siendo:

Aproximacion i. R X, se desprecia las resistencia de las lneas.Aproximacion ii. | V1 |=| V2 |= 1Aproximacion iii. sen(1 2) ' 1 2Se recomendara para valores menores a pi/18 radianes.

d. Usando las funciones dcpf y acpf de la librera Matpower de MATLAB, analice el error de

aproximacion del flujo de carga en continua para algunos de los sistemas de prueba dispo-

nibles, en terminos del flujo de potencia activa y aparente en las lneas y los angulos de la

tension (e.g. puede usar un scatterplot para contrastar los resultados de ambas funciones).

Que puede concluir?

Codigo:

1 % %

2 clc

3 clear a l l

4

5 a=runopf ( case57 ) ;

6 b=rundcopf ( case57 ) ;

7

8 pac=a . branch ( : , 1 4 ) ;

9 pdc=b . branch ( : , 1 4 ) ;

10

11 angac=a . bus ( : , 9 ) ;

12 angdc=a . bus ( : , 9 ) ;

13

14 subplot ( 1 , 2 , 1 ) , s c a t t e r ( pac , pdc ) ;

15 xlabel ( POTENCIA DC )

16 ylabel ( POTENCIA AC ) ; % pone t i t u l o s a l e j e y


18 t i t l e ( COMPARACION DE POTENCIAS PARA 57 BARRAS ) ;

19

20 subplot ( 1 , 2 , 2 ) , s c a t t e r ( angdc , angac ) ;

21 xlabel ( ANGULO DC )

22 ylabel ( ANGULO AC ) ; % pone t ? t u l o s a l e j e y

PRG MGM pagina 10



24 t i t l e ( COMPARACION DE ANGULOS PARA 57 BARRAS ) ;

Figura 1.7: Error de aproximacion en flujo de carga.

Para ambos casos la aproximacion es buena. ya que en la practica se puede apreciar que para lneas

de transmision la impedancia es mucho mayor que la resistencia y la diferencia entre los angulos de

tension en las barras es pequena, por lo que las funciones sen(x) y cos(x) puedes ser aproximadas

a sus series de taylor de primer orden, en conclusion la funcion sen(x) es una recta, y la funcion

cos(x) es 1.

cos(1 2) ' 1sen(1 2) ' 1 2

PRG MGM pagina 11

1 Desarrollo1.1 Parte 11.2 Parte 2

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