Informe de Mtc de Segunda Matricula

8/6/2019 Informe de Mtc de Segunda Matricula

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UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

FACULTAD DE INGENIERIAS

INGENIERIA ELECTRONICA

INTEGRANTES

DIEGO ROLANDO IDROVO CORONEL

SEBASTIAN MARCELO REINOSO TORRES

JUAN ANDRES VALVERDE JARA

MATERIA

MATERIA TECNICA COMPLEMENTARIA (MTC)

PROFESOR

ING. JUAN FERNANDO VSQUEZ

CICLO LECTIVO

2010-2011

1


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ANLISIS DE LA CINEMTICA DIRECTA E INVERSA

DE UN ROBOT DE CINCO GRADOS DE LIBERTAD

Resumen: En el presente documento se analizar la cinemtica directa e inversa de un brazo robot

antropomrfico, el cual posee cinco grados de libertad. Se aplicar el algoritmo de Denavit

-Hartenberg para el estudio de la cinemtica directa y el mtodo geomtrico para la cinemtica

inversa; todo este anlisis se verificar con la ayuda del programa de Matlab.

Abstract: In this paper we will analyze the direct and inverse kinematics of an anthropomorphic

robot which has five degrees of freedom. We will apply the Denavit - Hartenberg algorithm to study

the direct kinematics and the geometric method for the inverse kinematics. Finally, all this analysis

will be verified with the help of the Matlab program.

OBJETIVOS

Plasmar los conocimientos adquiridos en la materia para usarlos en la simulacin de un robotreal.

Buscar un robot comercial y calcular la cinemtica directa e inversa de un robotantropomrfico de cinco y tres grados de libertad respectivamente.

Con los clculos realizados manualmente de nuestro robot, realizar un programa en Matlabque nos permita simular y demostrar en tiempo real todos los parmetros antes adquiridos.

INTRODUCCIN

Nuestro estudio se basar en el anlisis de un brazo robot antropomrfico de 5 grados de libertad, endonde aplicaremos el algoritmo de Denavit - Hartenberg al igual que el mtodo geomtrico paradeterminar la posicin del extremo final del brazo y los grados de libertad. Realizado todo esteanlisis matemtico se comprobar los resultados obtenidos con la herramienta Simulink de Matlab,

para un mejor entendimiento y visualizacin de lo que se est realizando utilizaremos el modelo derealidad virtual que ofrece este software.

I. CINEMTICA DIRECTA DEL BRAZO ROBOT

La cinemtica directa tiene como objetivo determinar la orientacin y posicin del extremo final del

brazo robot en funcin de las variables articulares. El algoritmo de Denavit Hartenberg permite:

Colocar adecuadamente el sistema de coordenadas en cada eslabn.

Determinar los parmetros Denavit Hartenberg para cada eslabn (i,i,ai,di).

Calcular la matriz de transformacin homognea (MTH) Ai-1i para cada eslabn.

De igual manera este algoritmo asocia a los sistemas de referencia de cada uno de los eslabones desdela base al extremo final en donde cada matriz de transformacin queda expresada en funcin de los

parmetros de cada articulacin anterior.

2


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Para la resolucin del problema de la cinemtica directa de nuestro brazo robot de 4 grados de libertadse siguen los siguientes pasos:

1. Se comienza por numerar los eslabones, empezando desde el valor de 0 para el eslabn fijo ydesde 1 para el primer eslabn mvil hasta el eslabn n del extremo final.

2. Se numera las articulaciones desde el valor de 1 que es la unin del eslabn fijo con el primereslabn mvil hasta la articulacin n, dependiendo del nmero de grados de libertad del brazorobot, que en nuestro caso son 5.

3


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3 Se encuentran los ejes de cada articulacin que en este caso son solo ejes rotacionales.

4 Situar el eje Zi sobre el eje de la articulacin i+1, para cada eslabn i de 0 a n-1.

5 Colocar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del eje Z0, situar los ejes X0 e Y0de modo que formen un sistema dextrgiro con Z0.

6 A continuacin se sita el sistema solidario al eslabn (Si), para i de 1 a n-1 en la interseccin del

eje Zi con la normal comn a Zi-1 y Zi; si estas dos se cortan localizar el origen en dichainterseccin, pero si son paralelas el origen se localiza en la articulacin i.

4


5/25

7 Colocar Xi en la lnea normal comn a Zi y Zi-1 y si los ejes se cortan Xi se coloca perpendicularal plano formado por Zi y Zi-1.

8 Colocar Yi de manera que junto a Xi y Zi se forme un sistema dextrgiro.

9 Colocar el sistema Sn en el extremo del brazo robot, de manera que Zn est en al misma direccinque Zn-1 y adems sea normal a Zn-1 y Zn.

5


6/25

10 Se procede a encontrar el parmetro iel cual es el ngulo que se debe girar con respecto a Zi-1con el objeto de que Xi-1 y Xi estn paralelos.

11 Se obtiene la distancia dila cual se mide a lo largo de Zi-1, la cual se debe desplazar para que Xi yXi-1 se encuentren alineados.

12 Encontraraique es la distancia medida a lo largo de Xi y va desde el origen hasta la interseccinde los ejes Zi-1 con Xi-1.

13 Para completar la lista de parmetros se encuentra al ngulo i, representa el ngulo formado porlos ejes Zi-1 y Zi con respecto al eje Xi.

Con todos estos parmetros se obtiene la siguiente tabla:

Articulacin i di ai i

1 1 L1

0 900

2 900+2

0 L2

00

3 3 0 L3

00

4 4 0 L4

00

5 5 0 L5

00

Tabla 1. Parmetros de Denavit- Hartenberg

Partiendo de la matriz de transformacin homognea (ecuacin 1) encontramos las matricesde transformacin de cada uno de los vnculos.

=

1000

cos0

coscoscoscoscoscos

1

iii

iiiiii

iiiiiii

i

idsen

asensenasensensen

A

Ecuacin 1

Obteniendo as las matrices de transformacin para cada vinculo.

6


7/25

=

1000

010

0cos0

00cos

1

11

11

0

1l

sen

sen

T

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+++

+++

=

1000

0100

90090co s90

90co s09090co s

2222

2222

1

2

senlsen

lsen

T

=

1000

0100

0cos

cosco s

3333

33333

2

3

senlsen

lsensen

T

=

1000

0100

0cos

cos0cos

4444

4444

3

4

senlsen

lsen

T

=

1000

01000cos

coscos

5555

55555

4

5

senlsen

lsensen

T

Para la obtencin de cada transformada individual ingresando como parmetro cada fila de la tabla deDenavit- Hartenberg usamos la siguiente funcin que usa la Ecuacin 1:

EJEMPLO:

Transformada_de_1_a_0 = Transformada(tabla(1,:) );

Mientras que para encontrar la matriz de transformacin desde el extremo del robot hacia la base 05T

multiplico cada una de las matrices de transformacin de cada vinculo.

4

5

3

4

2

3

1

2

0

1

0

5**** TTTTTT =

Para resolver esta multiplicacin de matrices, utilizamos:

% TRANSFORMADA DEL SISTEMA {W} AL {B}

7


8/25

T_de_5_a_0 = T_de_1_a_0 * T_de_2_a_1 * T_de_3_a_2 * T_de_4_a_3 * T_de_5_a_4;

Obteniendo la siguiente matriz:

0

5

#1 # 2 #3 # 4

#5 #6 #7 #8

# 9 #10 #11 #12

0 0 0 1

T

=

8


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En el guide los valores de q1 hasta q5 son reemplazados por los valores que el usuario ingrese en elguide haciendo que la matriz sea un conjunto de nmeros.

Creamos nuestro robot con el comando robot (enlaces) del toolbox ROBOT:

Los Vnculos se definen como

l1 = link( datos(1,:) );l2 = link( datos(2,:) );l3 = link( datos(3,:) );l4 = link( datos(4,:) );l5 = link( datos(5,:) );Y creo el robot con:

IRV = robot ({l1,l2,l3,l4,l5});

Con los valores inciales almacenados en el vector q ploteamos el robot

9


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q= [0, pi/2, 0, 0, 0];

plot(IRV,q);

Para los sistemas {S} y {T} ingreso las posiciones x, y, z, y las orientaciones yaw, pitch, roll, usamosla configuracin R z-y-z de los ngulos de Euler en esta funcin:

Y luego con la matriz de 3x3 que nos devuelve la funcin la integro en la de 4x4 con las posiciones:

10


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Para encontrar la posicin de la herramienta con respecto a la estacin de trabajo resolvemos lasiguiente operacin:

1

* *

( ) * *

B W B S

W T S T

S B B W

T S W T

T T T T

T T T T

=

=

Para obtener la transformada inversa usamos la funcin:

1( )BST

usamos la ecuacin:

( ) ( ) ( )

0 01

1 101

* *

0 0 0 1

t t

T T PT

=

11


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13/25

Gama = acos(-T_de_5_a_0 (3,1)/sin(Beta));

I. CINEMTICA INVERSA DEL BRAZO ROBOT

PARTE A

MTODO GEOMTRICO

Usaremos el mtodo geomtrico debido a que reducimos nuestro robot a tres grados de libertad.

Dado Px, Py, Pz.

tanq1=pypx

q1=tan-1pypx

r2=px2+py2

13

q1

q2

q3(Px, Py, Pz)

L1

L2L3


14/25


15/25

Para encontrar

1

procedemos a resolver la siguiente igualdad

( ) 322

1

5

0

10

1 ** TTTT =

( )

=

1000

*

1000

00cos

100

00cos

*11

1

11

5

0

10

1

EXTZyx

EXTZyx

EXTZyx

ZZZZ

YYYY

XXXX

sen

l

sen

TT

extextext

extextext

extextext

( )

+

++++

=

1000

1

1*

1111111

11111111

50

101

Co sYSe nXCo sYSenXCo sYSenXCo sYSe nX

ZLZZZ

Se nYCo sXSe nYCo sXSe nYCo sXSe nYCo sX

TTEXTEXTZZYYXX

EXTZXX

EXTEXTZZYYXX

EXTEXTEXTEXTEXTEXT

EXTEXTEXT

EXTEXTEXTEXTEXTEXT

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

++++++

=

1000

0100

0cos

coscos

*

1000

0100

90090co s90

90cos09090cos

*3333

33333

2222

2222

3

2

2

1

senlsen

lsensen

senlsen

lsen

TT

( )

( )

+

=

1000

0100

*

*

*22233233223322332

22233233223322332

3

2

2

1

Co slSe nSe nCo sCoslSenCo sSe nCo sSe nCosSe nSenCo sCo s

Se nlSe nCo sSe nCo slSenSe nCosCosSe nSe nSe nCo sSe nCo s

TT

Resolviendo la igualdad

( ) 322

1

5

0

10

1 ** TTTT =

tenemos

=

=

=

EXT

EXT

EXT

EXT

EXTEXT

X

YTan

X

YTan

CosYSenX

1

1

1

11 0

15


16/25

Ahora para encontrar

2

y

3

procedemos a resolver la siguiente igualdad

( ) ( ) 325

0

10

1

12

1 ** TTTT =

( )

( ) ( )

( ) ( )

++

++

=

1000

0100

0090cos90

09090cos

22

222

121

sen

lsen

T

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

+

++++

++

++

=

10001

1*

10000100

0090co s90

09090co s

**1111111

11111111

22

222

5

0

10

1

12

1

Co sYSe nXCo sYSe nXCo sYSe nXCo sYSe nX

ZLZZZ

Se nYCo sXSe nYCo sXSe nYCo sXSe nYCo sX

sen

lsen

TTTEXTEXTZZYYXX

EXTZXX

EXTEXTZZYYXX

EXTEXTEXTEXTEXTEXT

EXTEXTEXT

EXTEXTEXTEXTEXTEXT

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

1000

0100

0cos

coscos

1000

**

1000

**

3333

33333

3

2

5

0

10

1

12

1

5

0

10

1

12

1

senlsen

lsensen

lifc

kheb

jgda

TTTT

lifc

kheb

jgda

TTT

Donde

22121 CosZSenSenYSenCosXa EXTEXTEXT XXX +=

b=

22121 SenZCosSenYCosCosX EXTEXTEXT XXX

c=

11 CosYSenX EXTEXT XX

d=

22121 CosZSenSenYSenCosX EXTEXTEXT YYY +

16


17/25

e=

22121 SenZCosSenYCosCosX EXTEXTEXT YYY

f=

11 CosYSenX EXTEXT YY

g=

22121 CosZSenSenYSenCosX EXTEXTEXT ZZZ +

h=

22121 SenZCosSenYCosCosX EXTEXTEXT ZZZ

i=

11 CosYSenX EXTEXT ZZ

j=

2212121 2 Co sZSenSenYSenCo sXlCo sl EXTEXTEXT +

k=

2212121 SenZCosSenYCosCosXSenL EXTEXTEXT

l=

11 Co sYSenX EXTEXT

Igualando trminos y tenemos

( )1

11

2

2112

221210

0

=

=

=

=

EXT

EXTEXT

EXTEXTEXT

EXTEXTEXT

Z

ZZ

ZZZ

ZZZ

Z

SenYCosX

Tan

SenZSenYCosXCos

SenZCosSenYCosCosX

h

Luego para encontrar3

tenemos que

( )

( )( )211213

21123

322121

3

cos

cos

cos

TanZSenYCosXCosCos

TanZSenYCosXCos

SenZCosSenYCosCosX

e

EXTEXTEXT

EXTEXTEXT

EXTEXTEXT

YYY

YYY

YYY

=

=

=

=

17


18/25

Finalmente se ha encontrado todos los valores de que necesitamos, aunque la expresin

algebraicamente no es la misma que el mtodo geomtrico, numricamente si lo es, esto se lo puede

comprobar ingresando los valores numricos y resolver cada una de las expresiones anteriores.

PARTE B

En el programa ingresamos la transformada de W a B pero de manera literal (en funcin de q1 hasta

qn), las transformadas de S a B, de G a S, y de T a W, son matrices de nmeros porque ingresamos los

valores de posicin y orientacin.

Resolviendo la siguiente operacin igualamos la transformada de W a B

1

* *

( * )*( )

B W B S

W T S T

B B S W

W S G S

T T T T

T T T T

=

=

18


19/25

y

19


20/25

tenemos la siguiente matriz

20


21/25

MATRIZ JACOBIANA

Una vez que se indica que el extremo del robot referido al sistema de su base So estaposicionado en:

Derivando respecto al tiempo usando la ecuacin 2, cada una de las expresiones anteriorestenemos

1 1 1

1 1 1

n n nyx z

i i i

i i

n n n

i i i

i i i

fq q q

q qi q

q q qq q q

yx z

= = =

= = =

Ecuacin 2

Usando la ecuacin 3 podemos expresar lo anterior de manera matricial

1 1 1

1 1 1

n n nyx z

i i i

i i

n n n

i i i

i i i

fq q q

q qi q

q q qq q q

yx z

= = =

= = =

1 3

3 3

.............

. .

. ............ .

. .

............

x xf fq q

J

f f

q q

=

Obtengo el Jacobiano con el vector de posicin de la matriz de transformacin0

3T

:

0 0 1 2

3 1 2 3* *T T T T =

21


22/25

0

3

#1 # 2 #3 #

#5 #6 #7 #

#9 #10 #11 #

0 0 0 1

X

YT

Z

=

Las ecuaciones #4, #8, #12 me devuelven X, Y y Z en funcin de q1, q2, y q3:

22


23/25

10+3)sin(*2)+cos(pi/2*10+2)+sin(pi/2*3)cos(*10+2)+sin(pi/2*15=z

2)+sin(pi/2*1)+sin(pi/2*3)sin(*10-1)+sin(pi/2*2)+cos(pi/2*3)cos(*10+1)+sin(pi/2*2)+cos(pi/2*15=y

2)+sin(pi/2*3)sin(*1)+cos(pi/2*10-2)+cos(pi/2*1)+cos(pi/2*3)cos(*10+2)+cos(pi/2*1)+cos(pi/2*15=x

J = jacobian([x; y; z], [teta1 teta2 teta3])

Ahora el Jacobiano me queda en funcin de teta1, teta2 y teta3, los cuales reemplazo en unmomento determinado del robot, as como las velocidades instantneas de dichasarticulaciones.

Quedando como:

%POSICIONES INSTANTANEAS

teta1=15;

teta2=deg2rad(30);

teta3=deg2rad(-30);

%VELOCIDADES INSTANTANEAS

q_p=[0.5; deg2rad(90); deg2rad(45); deg2rad(90); deg2rad(45);]

J_eval=eval(J)

velocidad=J_eval*q_p

equis_p=velocidad[1,1]

ye_p=velocidad[2,1]

zeta_p=velocidad[3,1]

equis_p, ye_p y zeta_p son las velocidades instantneas del extremo del robot.

23


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CONCLUSIONES

En el clculo de la cinemtica directa lo mas complejo fue comprender cada uno de los parmetros delalgoritmo de Denavit-Hartenberg debido a que exista confusin entre el algoritmo modificado y elalgoritmo estndar, esto hacia que al consultar diferentes bibliografas los clculos en nuestro robotsean diferentes, una vez comprendido la diferencia entre los dos algoritmos, tuvimos problemas en lamanera de colocar los ejes X e Y debido a que en la tabla de los parmetros Denavit-Hartenberg no seencontraban involucrados todos los parmetros de los robot, es por eso que tuvimos que ubicar losejes X e Y de varias maneras para que los parmetros de Denavit-Hartenberg de nuestro robot seanlos correctos, y todas las variables del robot estn involucradas.

Mas tarde al solucionar las matrices de transformacin de cada vinculo, el problema estaba en quedebido a que nuestro robot es de cinco grados de libertad el producto de las matrices de

transformacin era demasiado complejo para poder realizarla a mano, es por ello que nos vimosobligados programar una funcin que nos ayude a realizar este producto, dndonos como resultadouna matriz bastante considerable en tamao y complejidad.

Para encontrar el punto final X Y Z y tuvimos que igualar los trminos mas simples del productodel las matrices de transformacin. Estos valores fueron contrastados con el comando Fkineobteniendo un resultado favorable.

En la cinemtica inversa logramos realizar los clculos de los dos mtodos aprendidos en clasessiendo el ms sencillo el mtodo geomtrico debido a que se maneja una matemtica menos complejay los ngulos y dimensiones se pueden apreciar de mejor manera.

Otro problema en la cinemtica inversa, fue que al momento de utilizar las herramientas del toolboxde Matlab como el ikine, tuvimos un inconveniente al comprobar los resultados obtenidos connuestra programacin debido a este comando nicamente es til cuando se tiene un robot de seisgrados de libertad en adelante, debido con el mtodo numrico que usa los resultados para un robot deun numero de grados de libertad menor, estos son incorrectos, sin embargo nos fue de mucha ayudael comando drivebot debido a que podemos visualizar de manera precisa los cambios de posicin enel robot al modificar los valores de 1 hasta 5.

Por otra parte al intentar calcular la cinemtica inversa de nuestro robot con cinco grados de libertadtuvimos varios inconvenientes debido a la gran dimensin y complejidad de las ecuaciones que seformaban al realizar la multiplicacin de tres matrices de transformacin en adelante, estas ecuacionesal no ser lineales sino funciones trigonomtricas los resultados podan ser mltiples, complejosconjugados o simplemente no existan valores que satisfagan la ecuacin, es por ello que para elanlisis de la cinemtica inversa nos vimos obligados a trabajar nicamente con un robot de tresgrados de libertad, ocasionando que las ecuaciones obtenidas sea muy sencillas de resolver y asobtener las soluciones requeridas, cumpliendo con el objetivo principal de este proyecto.

Para obtener el calculo de la Jacobiana Inversa tenemos la restriccin de que la inversin de la matrizsolo se podr realizar cuando sea cuadrada, es decir cuando el numero de articulaciones sea igual a 6.Por tal motivo en el programa calculamos nicamente las velocidades instantneas del extremo delrobot.

24


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RECOMENDACIONES

Recomendamos que para posteriores proyectos se plantee la posibilidad de crear cronogramas detrabajo para que las actividades u objetivos del proyecto final puedan ser evaluadas o medidas altermino de cada capitulo de acuerdo a la planificacin de la materia evitando as acumulacionesexcesivas de trabajo que podran ser evitadas.

BIBLIOGRAFIA

[1] Ctedra de Juan Fernando Vsquez -Materia Tcnica Complementaria Universidad PolitcnicaSalesiana.

[2] Robots y Sistemas Sensoriales Segunda Edicin Fernando Torres, Jorge Pomares, Pablo Gil,Santiago T. Puente, Rafael Aracil Pearson Educacin Madrid 2002

[3] Barrientos, A. et al., Fundamentos de Robtica (2nd edition), Ed. McGraw-Hill/Interamericanade Espaa, SAU, Madrid (Espaa), 2007

[4] Corke. P.I., A Robotics Toolbox for Matlab, IEEE Robotics and Automation Magazine, Vol.3,1996. Disponible en http://www.petercorke.com/Robotics_Toolbox.html

[5] Robotica de JHON J. CRAIG, tercera edicin, Cinemtica de Manipuladores CAP 3 Pag 78 - 79Cinemtica Inversa de Manipuladores CAP 4 pag 105

BIBLIOGRAFIA ELECTRONICA

[1]http://cedim-areas.blogspot.com/2007/10/blog-post_5534.html

[2]http://www.usbbog.edu.co:8080/websaib/DocDig/archivos/BDigital/42177.pdf

[3]http://www.scielo.cl/pdf/rfacing/v11n2/ART03.pdf

[4]http://www.itchihuahuaii.edu.mx/academico/II/SFP/Robotica04.PDF

[5]http://www.gdconvey.com/imagenes/productos/pedidos/GD-840%20robot%20ficha%20tecnica.pdf

[6]http://www.hellopro.es/Robots-articulados-1001254-fr-1-feuille.html

[7]http://www.kukarobotics.com/es/products/industrial_ robots/small_robots/

[8]http://www.hellopro.es/Robots-cartesianos-1001257-fr-2-feuille.html
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