Information Ambiguity Explains Asset Pricing Anomalies : An Expectile CAPM Approach

Information Ambiguity Explains Asset Pricing Anomalies: An Expectile CAPM Approach

Wei Hu ， Zhenlong Zheng

“ 理论研究者建立数学模型，提出可检验的假说；经验研究者寻找理论所不能解释的现象——如此，则推动了新理论的发展。这个过程是任何一门科学往前发展的必经之途。” —— Campbell (2000), 《千禧年资产定价》

2

问题的导出－ 1

股权溢价之谜

)ln()(

)( caR

RREM

fM

%150%16

%1%9

2.0%16%1250%1%9 CMMCf

M r

• 上例出自 Cochrane 2001.• “ 股权溢价之谜确实存在且仍未解决。” (Mehra and Prescott (2003).


股权溢价之谜动量效应

• “ 过去涨的股票，未来也涨；过去跌的股票，未来会跌，而赢家的 beta 还更小。” (Jegadeesh and Titman, 1993, 1999).

• “ 在关于资本资产定价模型的众多异常现象中，动量效应是唯一不能由三因素模型决定的。 ” (Fama and French 1996).

• “ 动量效应甚至可以在完美理性投资者中被观察到。” (Crombez, 2001).



期望效用最大化公理

]}),([]),([{max 20 1},{ )()(

TTWUdtttCUET

wC tt

-(Chi-fu Huang and Litzenberg 1993)



期望效用最大化公理风险 & 不确定性

7

Table 1.1 基于完美信息的决策

Table 1.2 基于非完美信息的决策

风险与不确定性State S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4

Rate of return 1% 3% 50% 100% -1000% 3% 50% 100%

Probability 5% 15% 70% 10% 0.00% 10.00% 80.00% 10.00%

Summary

Strategy X Strategy Y

Mean = 45.5%, Variance = 0.068 Mean = 50.29%, Variance = 0.048

State S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4

Rate of return 1% 3% 50% 100% -1000% 3% 50% 100%

Probability 5% 15% 70% 10% 0.00% 10.00% 80.00% 10.00%

Summary





期望效用最大化公理风险偏好 & 观点偏差

风险 & 不确定性

9

Table 1.1 基于完美信息的决策

Table 1.2 基于非完美信息的决策

风险偏好 & 观点偏差State S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4

Rate of return 1% 3% 50% 100% -1000% 3% 50% 100%

Probability 5% 15% 70% 10% 0.00% 10.00% 80.00% 10.00%

Summary



State S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4

Rate of return 1% 3% 50% 100% -1000% 3% 50% 100%

Probability 5% 15% 70% 10% 0.00% 10.00% 80.00% 10.00%

Summary



• 完美信息 vs. 非完美信息 / 期望、方差 vs. 最大最小准则• Q: 最小值相同 ? • A: 分位回归• Q: 信息是否被充分利用 ?• A: 否且缺少数学性质，运用不方面分位期望

研究方法－ 1


期望效用最大化风险偏好 & 观点偏差


引入新的风险回报度量

研究方法－ 2



风险 &不确定性

引入新的风险回报度量修改期望效用最大化公理

研究方法－ 3





重解默顿问题求解分位期望 CAPM

研究方法－ 4






分别从理论和经验研究角度解释市场异常现象

研究方法－ 5







研究方法－ 1


期望效用最大化公理风险偏好 & 观点偏差


引入新的风险偏好度量修改该期望效用最大化公理

重解分位期望 CAPM

从理论和经验研究角度解释市场的异常现象。

16

扩展的风险回报的度量体系的定义

dxxfqxXMedian X

q)(||minarg:)(

dxxfqxXE X

q)()(minarg:)( 2

qX qX XX

qdxxfqxdxxfqxXQuantile )(||)(||)1(minarg:)(

qX qX XX

qdxxfqxdxxfqxXE )()()()()1(minarg:)( 22

Newy and Powell (1987)

17

A general framework of risk-reward measurement-More detail

• Quantile Expectile

)(1 XFq

0)(||)(||)1(

dq

dxxfqxdxxfqxdqX qX XX

0)()()1( qX qX XX dxxfdxxf

0)](1[)()1( qFqF XX

)(qFX

dxxfqx

dxxfqxdxxfqx

dxxfqxdxxfqx

XqXqX

qX qX XX

qX qX XX

)(]11)1[()(

)()()()1()(

)()()()()1(

2

22

22

dxxfxdxxfq XqXqXXqXqX )(]11)1[()(]11)1[(

dxxf

dxxfxq

XqXqX

XqXqX

)(]11)1[(

)(]11)1[(

0)(]11)1[()( 2

dq

dxxfqxd XqXqX

18

扩展的风险回报的度量体系的定义图 1 非完美信息下的概率调整（悲观倾向）

dxxfxqXE XX )()()(

dxxf XqXqX

qXqXX

)(]11)1[(

11)1()(

19

扩展的风险回报的度量体系的定义图 2 非完美信息下的概率调整（悲观倾向）

q*(-0.3371199)

00.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.450.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)

f(x)_theta

( ) 50%( ) ( ) 50%

( ) 50%

E xE x E x

E x

Normal (0, 1),

q*=-0.3371199Quantile (q*)=0.36801

3.0

• 回报度量发生改变，风险度量保持不变。• 风险的价格发生改变，风险的数量保持不变。• 我们定义风险价格的改变为一类信息溢价用于对承受信息不确定风险的补偿。被定义为一类信息溢价

20

扩展的风险回报的度量体系的一致性检验• 该回报度量是否可以用于投资组合管理？（一致性检验）

- 其次性 :

- 无风险条件 :

- 可加性 :

其中代表当投资组合被看作是一维的随机变量时的收益率。代表投资组合被看作是维的多元变量（即多元联合正态分布已知）时的收益率。

n

ii

n

ii XEXE

11

)()(

n

ii

n

ii XEXE

11

)(

)()( WEWE

)()( WErWrE

21


- 其次性 :

- 无风险条件 :

- 可加性 :

其中

n

ii

n

ii XEXE

11

)()(

n

ii

n

ii XEXE

11

)(

)()( WEWE

)()( WErWrE

iiii WrX

22


- 其次性 :

- 无风险条件 :

- 可加性 :

其中

n

ii

n

ii XEXE

11

)()(

n

ii

n

ii XEXE

11

)(

)()( WEWE

)()( WErWrE

iiii WrX

n

ii

n

ii XEXEpremiumInfond

11

)(_2

23


- 其次性 :

- 无风险条件 :

- 可加性 :

其中

n

ii

n

ii XEXE

11

)()(

n

ii

n

ii XEXE

11

)(

)()( WEWE

)()( WErWrE

iiii WrX

n

ii

n


11

)(_2

二类风险溢价是对提供更多信息的补偿。

24


- 其次性 :

- 无风险条件 :

- 可加性 :

其中

n

ii

n

ii XEXE

11

)()(

n

ii

n

ii XEXE

11

)(

)()( WEWE

)()( WErWrE

iiii WrX

n

ii

n


11

)(_2

结论一：悲观观点偏差存在时，投资者拆分投资组合获取差额收益，乐观时则反向操作。

25


- 其次性 :

- 无风险条件 :

- 可加性 :

其中

n

ii

n

ii XEXE

11

)()(

n

ii

n

ii XEXE

11

)(

)()( WEWE

)()( WErWrE

iiii WrX

n

ii

n


11

)(_2

政策建议：不应设置对投资组合的拆分重组做任何限制。

26

扩展的风险回报的度量体系的一致性检验

• 片面效应

• If and , then

• If and , then

,XY 0)( XE .0)( YE

,XY 0)( XE .0)( YE

分位期望体系优点之一• 分位期望作为收益回报度量的第一个优点就是它是“自整理”度量。• 我们定义自整理度量为加权平均值与权重的分界点相重合条件满足时的加权平均值。• 当处理复杂问题的时候，我们常常需要将一个算子施加到另一个算子之上，如果算子本身不是自整理的，那么每当我们做这样一个操作，得到结果的繁复程度就会增加，其中的很多项不具有直观的经济解释。如果算子本身是自整理的，不仅问题本身得以很好的描述，而且随着求解问题的复杂度的不断升级，所得结果的繁复程度可能会增加，但不会极度扩大，甚至还有可能收敛，从而得到简明扼要的结论。

27

分位期望体系优点之二• 分位期望具有描述信息不完美的能力。• 本文发现分位期望具有描述信息随着观点偏差的变化而渐变的能力，而分位数所描述的信息丢失不为观点偏差所控制。而且分位期望是充分统计量，这意味着在进行基于样本的统计分析时，样本所包含的所有信息都被利用了，没有浪费。

28

分位期望体系优点之三• 分位期望体系的第三个优点在于风险度量和回报度量是通过求解最小化问题在一个体系中被同时定义的。• 然而有些度量方式，比如加权平均值，它的权重分界点根据需要任意选取，不是由最小化问题求解得到。所以就不具备此性质。

29

2 2( ) arg min (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )X XX q X qqE X x q f x dx x q f x dx

2 2

( ) ( )( ) (1 ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )X XX E X X E X

VAR X x E X f x dx x E X f x dx

分位期望体系优点之四• ( 分位期望的单调性 ) 随着投资者的观点偏差由极度悲观向极度乐观转化，他的收益回报度量分位期望会由无限负值到无限正值单调增加。• （分位方差不变性）随着投资者的观点偏差由极度悲观向极度乐观转化，他的风险度量分位方差会保持不变。

30

分位期望体系优点之五• 为了实施投资组合管理，我们需要检验分位期望作为收益回报度量，以及分位方差作为风险度量，是否内在一致，即是否满足可加性、齐次性、无风险条件。结论是除了分位期望的可加性条件需要区分完美信息和不完美信息做进一步讨论，其他所有的条件均满足。

31

分位期望体系优点之六•

32

分位期望体系优点之七• 该体系下的风险度量内在一致，意味着非完美信息之下，市场风险依然可以通过分散投资降至最低。

33

分位期望体系优点之八•

34

35

扩展的风险回报的度量体系Table 3: 风险偏好和观点偏差的比较

研究方法－ 2







37

分位期望 CAPM

Where:

: ( )E 2: ( )E

)()(1)()(:~1

2ij

n

jijjijiM signtttw

)()(1)()(:~1

22jM

n

jjMjMjM signtttw

222

2

~~

:MM

iMiM

nirdt

rdt

fMM

fii ,,2,1,)(

38

分位期望 CAPM

Where:

)(: 1, E )(: 21, E

)()(1)()(:~1

2ij

n

jijjijiM signtttw

)()(1)()(:~1

22jM

n

jjMjMjM signtttw

nirdt

rdt

fMM

fii ,,2,1,)(

222

2

~~

:MM

iMiM

结论二 : 超额收益率经过调整仍具有单 beta 的表示形式，风险的数量是系统风险和隐性风险的加权平均值…… .

39

分位期望 CAPM

Where:

)(: 1, E )(: 21, E

)()(1)()(:~1

2ij

n

jijjijiM signtttw

)()(1)()(:~1

22jM

n

jjMjMjM signtttw

nirdt

rdt

fMM

fii ,,2,1,)(

222

2

~~

:MM

iMiM

…… 被定价的有效的风险是系统风险和隐性风险的加权平均值。

研究方法－ 3







研究方法－ 4







悲观观点偏差解释股权溢价之谜)ln(

)()( ca

RRRE

M

fM

%150%16

%1%9

2.0%16%1250%1%9 CMMCf

M r

))(1 22CPCPCPPC

fPP signr

dt

)2.096.0%(16%13252%16%1%9 2

悲观观点偏差解释股权溢价之谜 ))(1 22

CPCPCPPCfP

P signrdt

• 假定风险偏好为常数 3 ，求解股权溢价之谜得到观点偏差为 0.473 。•稍稍偏离观点偏差中性就会导致

两边的不相等。如果忽略观点偏差则需要巨大的风险规避系数才能使不等式重新恢复成不等式。

•

)ln()(

)( caR

RREM

fM

悲观观点偏差解释股权溢价之谜 ))(1 22

CPCPCPPCfP

P signrdt

• 假定风险偏好为常数 3 ，求解股权溢价之谜得到观点偏差为 0.473 。•稍稍偏离观点偏差中性就会导致

两边的不相等。如果忽略观点偏差则需要巨大的风险规避系数才能使不等式重新恢复成不等式。

•

)ln()(

)( caR

RREM

fM

所以，悲观的观点偏差解释了美国二战后的股权溢价之谜。

45

观点偏差的周期性波动解释了动量效应

C D

B A

图观点偏差调整的风险的投影

O

风险的数量是系统和隐性风险的加权平均

niMM

iMiM ,,2,1,~~

222

2

: ( ),E 2: ( )E

j

i

21 ijji

ijji

研究方法－ 5






计量方法

47

引入分位期望回归计量方法的必要性• Model correct specification requires

• But( | ) 0 ( | ) 0 50%E X E X iff

( | ) 0E X

所用计量方法

E(回报 )

D(风险 )

均值 & 方差 (OLS) 中位数 & 绝对离差 (LAD) 分位数 & 加权绝对离差 (Quantile regression)

分位期望 & 分位方差 (Expectile regression: Newy and Powell (1987))

How to estimate expectile CAPM?

• We establish the Expectile Regression methodology by listing all the assumptions, finding new estimators, and proving the asymptotic consistency and normality in large sample analysis. We develop the hypothesis testing by the case of conditional homoskedadticity and heteroskedasticty. We estimate and test the expectile based unconditional CAPM theory through the conditional GMM being restricted by a view bias based linear condition.

49

50

主要结论• 信息的不确定性会直接引入两方面的溢价，一类溢价是对投资者承担该风险的补偿，二类溢价则是对提供更多信息量的回报。• 非完美信息下，经观点偏差调整的资本资产定价模型仍然具有单因子的表达形式。我们称新的贝塔为有效贝塔。有效贝塔为系统风险和隐性风险的加权平均，权重由观点偏差系数唯一确定。

nirdt

rdt

fMM

fii ,,2,1,)(

222

2

~~

MM

iMiM

51

主要结论• 观点偏差的周期性波动解释了动量效应。

• 对未知信息的恐惧解释了股权溢价之谜。

))(1 22CPCPCPPC

fP

t

tP signr

dtPD

niMM

iMiM ,,2,1,~~

: 222

2

Contributions• 第一，区分完美信息下投资者风险偏好和非完美信息下投资者观点偏差两个不同的概念。• 第二，延拓了现有的定价体系，使其能够反映不完美信息下投资者观点存在偏差的事实。• 第三，将两类定价异常，随机贴现因子均值方差异常，例如股权溢价之谜，以及随机贴现因子的因子结构异常，比如动量效应，放在该定价体系中一并解决。• 第四，提出分位期望回归的计量方法，配套检验基于分位期望的理论定价模型。

52

Contributions 第一，区分完美信息下投资者风险偏好和非完美信息下投资者观点偏差两个不同的概念。第二，延拓了现有的定价体系，使其能够反映不完美信息下投资者观点存在偏差的事实。第三，将两类定价异常，随机贴现因子均值方差异常，例如股权溢价之谜，以及随机贴现因子的因子结构异常，比如动量效应，放在该定价体系中一并解决。第四，提出分位期望回归的计量方法，配套检验基于分位期望的理论定价模型。

53

厦门大学金融系

谢谢！股权溢价之

谜动量效应

风险偏好 & 观点偏

差风险 &

不确定性

期望效用最大化

Documents

Information Ambiguity Explains Asset Pricing Anomalies : An Expectile CAPM Approach