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Université de Montréal

Sur certaines classes de solutions des équations aux dérivées

partielles obtenues par la méthode des symétries

conditionnelles

Par

Mohamed Iadh Ayari

Département de mathematiques et de statistique

Faculté des arts et des sciences

Thèse présentée à la faculte des études supérieures

en vue de l'obtention du grade de

Philosophiæ Doctor (Ph.D.)

en mathématiques

Orientation mat hématiques fondamentales

Mai, 1998

National Li brary of Canada

Bibliothèque nationale du Canada

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395 Wellington Street 395. rue Wellington OttawaON KlAON4 Onawa ON K1A W Canada Canada

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L'auteur conseive la propriété du droit d'auteur qui protège cette thèse. Ni la thèse ni des extraits substantiels de celle-ci ne doivent être imprimés ou autrement reproduits sans son autorisation.

Université de Montréal

Faculté des études supérieures

Cette thèse de doctorat intitulée:

"Sur cert.aines classes de solutions des équations aux dérivées partielles obtenues par

la méthode des symétries condi tionnetles"

présentée par

Mohamed Iadh Ayari

a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes:

Pave1 Winternitz

(Président-rapporteur)

-4Jfred iblichel Grundland

(Directeur de recherche)

Véronique Hussin

(Membre du jury)

.!Ckheline Musette

(Examinateur e-xterne)

~Michael Pearson

(Représentant du doyen de la FES)

Thèse acceptée le:

À la mémoire de mon père OTHMAN AYARI décédé le 27 Juin 1998.

Remerciements

Toute ma reconnaissance va à Monsieur le Professeur Alfred Michel Grundland,

mon directeur de thèse à qui je dois une large part. de ma formation mathématique,

pour le grand intérêt qu'il a toujours manifesté à mon égard. Sa présence continue,

ses remarques, conseils et suggestions qu'il n'a cessé de me prodiguer tout au long de

mes recherches ont été pour moi d'un apport fructueux. Qu'il trouve ici l'expression

de ma profonde gratitude.

Je souligne aussi les multiples opportunités scientifiques qui me furent offertes par

mon directeur de recherche en termes de conférences, séminaires et écoles d'été aussi

bien au niveau national qu'international, où j'ai pu exposer mes travaux.

Je lui suis reconnaissant pour le soutien financier qu'il m'a apporté tout le long de

mes études.

.Je remercie l'examinateur externe la professeure Micheline Musette et les membres

de jury d'avoir accepté de juger ce travail. Je remercie également le professeur Robert

Conte pour les discussions fructueuses lors de la préparartion de ce travail.

Mes remerciements vont également à la Faculté des Études Supérieures et au

Département de Mathématiques et statistique pour l'encadrement tant financier qu'int-

ellectuel dont j'ai bénéficié. Je remercie aussi le personnel du département de mathémati-

ques et statistiques ainsi que du Centre de Recherches Mathématiques de l'Université

de Mont réal.

Mes remerciements vont aussi aux organismes qui ont contribué au financement

de mes recherches, l'Institut des Sciences Mathématiques à Montréal, les Fonds pour

la formation do chercheurs et 1',4ide à la Recherche FCAR et le centre de recherche

mathématiques de l'université de Montréal pour le soutien financié apporté durant

mes années d'études. Mes remerciements vont a mes amis et collègues spécialement

Abdelkarim Kihel et Kim Goudreau

Je ne peux oublier le support continu de ma famille: Mon père Cheickh Othman,

ma mère Hadjja Néfissa, ma seule et unique soeur Sallouha ainsi que toute sa famille,

mes frères Dr. Mohamed, Dr. M. Laoucet ( Bal1 Aerospace, Colorado, U.S.A. &

University of Manitoba, Canada ), mes frères et collègues Dr M. Ali, Dr. M. Sahbi

(Université de Montréal), Dr. M. Arselène (University of Colorado, U.S.A.) MERCI

à tous! .

Sommaire

Le présent travail est une contribution à l'étude des méthodes analytiques pour

r&soudre les équations aux dérivées partielles par In théorie des groupes de Lie. Nous

allons d'abord présenter une adaptation de la méthode des symétries conditionnelles

au cas des équations aux dérivées partielles. Xous allons déterminer les conditions

nécessaires et suffisantes pour que ces EDP admettent des algèbres de symétries con-

ditionnelles de dimension p correspondant au nombre de variables indépendantes de

l'équation considérée. Afin de faciliter la résolution de ces conditions nous utiliserons

la structure de singularité de l'équation de départ et nous soumettrons cette dernière à

une transformation de Darboux spécifique. Nous proposerons une nouvelle procédure

pour construire des solut ions conditionnellement invariantes basées sur une forme fac-

torisée de contraintes différentielles multiples basée sur une application du théorème

de Lie concernant les solutions fondamentales. Cette procédure peut établir dans cer-

tains cas un lien entre les symétries conditionnelles et les transformations de Backlund

en utilisant des transformations de Darboux spécifiques. Plusieurs équations aux

dérivées partielles seront utilisées comme applications de cette approche. Une trans-

formation de Biicklund de l'équation de Tzitzéica sera déterminée (voir page 74).

Certaines classes de solutions de rang 1 et 2 de cette équation seront présentées. Y L ous

dériverons les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation aux dérivées

partielles admette des contraintes différentielles d'ordre supérieurs compatibles. Cal-

culer les coefficients des systèmes couplés d'équations de type Riccati est une tâche

très élaborée qui dépend de l'ordre et du nombre de variables indépendantes. Afin

de simplifier ce problème, nous avons réalisé une première version d'un programme

symbolique appelé BackDar. Ce programme écrit dans le langage Maple permet

d'économiser du temps et d'échapper aux erreurs de calcul.

Table des matières

Remerciements i

Sommaire iii

Table des Matiéres iv

Introduction 1

1 Préliminaires 8

1.1 Transformations locales de groupe de Lie à un paramètre . . . . . . . 8

1.2 Transformations et générateurs infini tésimaux . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Groupes de symétrie des équations différentielles et prolongement

1.4 Condition de non-dégénerescence et critère de symétrie . . . . . .

1 . Le théorème de Lie concernant les solutions fondamentales . . . . 1.5.1 Construction des EDO avec des principes de superposition

1.6 Propriété de Painlevé pour les EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 L'approche de R. Conte: analyse Invariante des EDP . . . 1.6.2 Condition suffisante d'intégrabilité . . . . . . . . . . . . .

1.6.3 Les Transformations de Backlund des EDP . . . . . . . . . 1.6.4 Existence des paires de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Contraintes différentielles de premier ordre 28

2.1 Symétries conditionnelles des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Les symétries conditionnelles et les transformations Auto-Backlund . 32

2.3 Procédure pour construire des solutions conditionnellements invari-

antes des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Exemples d'applications

3.1 Contraintes différentielles de premier ordre associées à la représentation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sl(2. Et)

3.1.1 L'équation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 L'équation de KdV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 -3 Lléquation modified KdV (MKdV) . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 L'équation de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.15 L'équation de Kaàorntsev-Petviashvili . . . . . . . . . . . . . . 3 . i . ti L'%uat.iirn du type KMn-Güildùn . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Contraintes différentielles de premier ordre associées a la représentation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sl(3, W)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 L'équation de Boussinesq

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 L'équation de Sawada-Kotera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 L'équation de Tzitzéica

3.2.4 Équation de Tzitzéica sujette à des contraintes différen-

tielles d'ordre premier et séparation des variables . . . . . . . 85

. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 L'équation de Hirota-Satsuma 90

4 Contraintes différentielles d'ordre supérieur 97

4.1 Construction des solutions conditionnellement invariantes des EDP . 97

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Exemples 104

4.2.1 L'équation de Korteweg-de Vries Burgers . . . . . . . . . . . . 104

4.2.2 L'équation de Tzitzéica sujet te a des contraintes d'ordre supérieur lO?

5 Le programme BackDar 112

5.1 Résumé du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Description du programme 113

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Procédures 114

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Fichier de données 114

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Modes d'utilisation 115

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Fichier de sortie 116

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Exemples 116

5.3.1 Fichiers de donnés . . . . . . . . . . . . - - . . . . . - . . . . 5.3.3 Fichiers de sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . .

A Les systèmes surdéterminés Gh déterminant les coefficients Af

1.1 L'équation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 L'équation de Sawada-Kotera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 La substitution de la transformation de Darboux (3.100) dans

l'équation de Sawada-Kotera (3.110) . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Système satisfait par les .-If . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

'1.3 L'équation de Hirota-Satsurna . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . .

B Le listage de BackDar

Références

Introduction

La plupart des méthodes analytiques de résolution des systèmes d'équations aux

d6ri~ks p~rtie!ko [EDP) non linéaires se ramenent à la constructicm de c l ~ s e s de

solutions plus restreintes que la solution générale. Par exemple, il a été démontré par

E. Goursat [36] que la solution générale de n équations différentielles quasi-linéaires

en deux variables dépend de n fonctions arbitraires d'une seule variable. Un moyen

pour construire des solutions plus restreintes que la solution générale dépendant de

quelques fonctions arbitraires ou même de m paramètres (rn < n) peut être obtenu en

exigeant que la solution de l'équation originale satisfasse des conditions additionnelles,

par exemple des contraintes différentielles.

Par exemple on considère I'EDP

où x = (xl, , x,) est l'ensemble des variables indépendantes et u(") l'ensemble des

dérivées partielles de u jusqu7à l'ordre n (avec la convention do) = u) , à laquelle on

ajoute des contraintes différentielles

+(z, u(") v(l)) = O, (0.2)

où S, est définie dans un espace plus large de nouvelles variables dépendantes u et v.

On a ainsi un système surdéterminé, où le nombre d'équations est plus grand que le

nombre d'inconnues, qui peut ne pas avoir de solution. 11 est donc important d'établir

des théorèmes d'existence de solutions dans ce genre de système et de déterminer leur

degré de liberté à l'aide de l'analyse des compatibilités de ces systèmes.

La méthode la plus générale pour analyser les compatibilités des systèmes d'EDP

est celle de E. Cartan utilisant les formes différentielles extérieures (voir par exemple

[37]). Vu la complexité de cette méthode on fait appel à une forme équivalente qu'on

illustre par l'exemple suivant: soit le système surdéterminé

dui -= i j ( ) i = 1,-0- ,n; j = l,... ax, : m,

où u = (ul, - - - , un) E iP et x = (XL, , x,) E P. On suppose que les fonctions

f i j sont de classe CL dans un domaine G des variables (z, u). Si V i = 1, - - - , n et

V j, k = 1, - - , rn les conditions de compatibilités

sont satisfaites dans G, alors le système (0.3) est dit complètement intégrable dans

ce domaine. Dans ce cas, V(xo, uo) E G il existe un voisinage ouvert de xo dans

lequel (0.3) possède une solution unique u(x) de classe C2 telle que u(xo) = uo.

La détermination de u(x) est réduite ainsi à résoudre le système caractéristique

d'équations différentielles ordinaires (EDO)

avec la condition initiale u(0) = uo et x(0) = xo. Ici x = x ( t ) est une courbe de classe

C2 joignant le point xo a u point x, et ui = ui(x(t)). Ainsi, une solution u ( x ) d'un

système complètement intégrable (0.3) dépend de n constantes uio, - , uno.

Souvent, dans l'étude des équations aux dérivites partielles, les coefficients du

système original sont des fonctions arbitraires. On le voit par exemple dans la

méthode de Clairin (171. En effet, considérons le système surdéterminé suivant:

au où ui = - et A est un paramètre réel (ou complexe), qui sera désigné par A n $.

dzi

On cherche la valeur de u pour laquelle ce système est consistant de telle fqon que v

satisfasse une certaine équation différentielle. Dans certain cas, ceci permet de con-

struire les transformations de Backlund (BT) pour les EDP. La BT est déterminée par

les équations d'ordre premier (0.6ii) entre l'ensemble des solutions de I'équation (0.6i)

et une certaine équation différentielle pour U. Si u et u satisfont la même équation

alors (0.6ii) sont appelées transformation Auto-Biicklund. Ces transformations aident

à construire les solutions. La difficulté est de trouver de telles transformations. 11

existe une méthode due à Clairin, pour construire les BT d'une façon systématique,

mais elle n'est pas simple et directe [2] .

Une aütre apprûche qui se ramène aux mntraintec: differentielles est de chercher

des solutions G-invariantes. Il s'agit d'ajouter à I'équation originale une contrainte

différentielle de premier ordre qui consiste à annuler la caractéristique d'un champ de

vecteur qui est un générateur infinitésimal de l'algèbre de symétrie de cette équation.

On cherche par exemple des solutions invariantes sphériques de I'équation (0.1) à

laquelle on ajoute le système de contraintes

Dzns ce cas, on cherche une classe spéciale de solutions pour laquelle le système

composé de I'équation (0.1) et les contraintes (0.7) est consistant et possède une

solution non triviale. Notons que ce problème se réduit à la résolution d'une équation

différentielle ordinaire (EDO) de la variable indépendante r = x: + - - - + xz. Toute solution du système A n $, si elle existe, est une solution de 4 mais la

réciproque n k t pas toujours vraie. Le système A f~ @ est appelé sous-système de 4.

L'approche de S. Lie, décrite en toute généralité dans [55], permet de trouver

des solutions G-invariantes. Elle fournit plusieurs alternatives pour construire des

solutions explicites des équations différentielles: solutions similaires, ondes progres-

sives et différentes réductions à des équations différentielles plus simples. En 1969,

G.W. Bluman et J.D. Cole [7] ont étendu cette méthode de réduction de Lie en

y incluant la méthode non ciassique où le critère d'invariance pour les EDP est

donné sur l'intersection de la variété des solutions de I'équation considérée et la sur-

face d'invariance caractérisant l'invariance du groupe qui n'est pas un groupe de

symétrie de I'équation de départ. P. Olver et P. Roseneau ont prouvé dans [69, 701

que les méthodes de réduction classiques et non classiques, d'invariance partielle,

de séparation des variables etc. peuvent être formulées dans un cadre plus général.

En effet, ceci revient à ajouter au système d'équations différentielles des contraintes

différentielles. Certaines extensions de ces travaux ont été traitées par E. M. Vorob'ev

[85, 861. D. Levi et P. Winternitz ont prouvé dans [54] qu'on peut mettre la méthode

non classique dans le contexte de la théorie des groupes. Une autre approche ef-

ficace pour trouver des solutions explicites des EDP est d'appliquer la méthode de

réduction directe proposée en premier lieu par P. Clarkson et M. Kruskal [18]. P.J.

I1:cr i, prouvé ultérieurement 173j qu'il existe une correspondance biuniwqiie entre

les réductions directes des EDP à des EDO et les contraintes différentielles compat-

ibles avec 1'EDP en question. Il a prouvé également qu'une équation d'évolution

de type parabolique admet une infinité de réductions caractéristiques de second or-

dre mais elle n'admet des réductions non caractéristiques de second ordre que si et

seulement si elle est linéarisable.

C.M. Cosgrove a classé dans [23] toutes les EDP du 2eme ordre du type hyperbolique

en 2 variables indépendantes de la forme

où A, B,C, F sont localement analytiques en x et t avec B2 - 4AC > O, et F ra-

tionnelle en u, u,, ut. Il a montré que moyennant des conditions nécessaires pour que

les équations (0.8) possèdent la proprièté de Painlevé alors elles se réduisent à 22

formes cannoniques dont certaines sont linéarisables par la méthode de la transfor-

mation de la partie singulière, d'autres se transforment en I'équation de sine-Gordon

(u, = sin u) et I'équation de Tzitzéica (uZt = aeu + b ë z u ) . Ceci est donc une des

motivations pour s'intéresser à I'équation de Tzitzéica dans cette thèse.

Le problème fondamental que nous avons étudié dans cette thèse est la caractérisa-

tion des sous-systèmes des EDP pour trouver des solutions non triviales si elles exis-

t,ent. L'approche proposée est basée sur la théorie des groupes de Lie. En particulier,

nous nous sommes intéressés par le cas où les systèmes d'EDP admettent une infinité

de contraintes différentielles compatibles avec l'équation originale. Ceci est relié dans

certains cas à la notion de transformations de Backlund.

Notre objectif est d'examiner certains aspects de I'intégrabilité des EDP non linéaires

dans le contexte de la méthode des symétries conditionnelles en supposant que I'équation

passe le test de Painlevé. Nous nous sommes particulièrement intéressés à combiner

les symétries ponctuelles de Lie locales afin de construire les transformations .Auto-

Backlund pour les EDP. Ii y a eu beaucoup de tentatives pour traiter les transfor-

mations Auto-Backlund du point de vu de la théorie des groupes (voir par exemple

[3] ,[72],[19],[53] et [58]). Récemment, ce sujet a été réexaminé par plusieurs auteurs

(par exemple P. Olver et Ph. Roseneau [69], D. Levi et P. Winternitz [54], E. Pucci

et G. Sacmtiimdi iT6jj. 11 a Qtd &tudi& &gaiement dans le cas des systhes d'EDF du

premier ordre par exemple par Q. Liu et A S . Fokas [JS] ainsi que A.M. Grundland

et al. ([38]-[41]) conduisant à une nouvelle version de la méthode de réduction par les

symétries conditionnelles basée sur des contraintes différentielles multiples de premier

ordre. Cette approche, parmi d'autres, notamment la méthode non classique (voir

172, 53]), rend possible la détermination explicite de certaines classes de solutions

invariantes sous l'action d'un groupe de transformation qui n'est pas un groupe de

symétrie de I'EDP originale mais du système surdéterminé composé de 1'EDP origi-

naie et les contraintes d'invariance. Ces contraintes sont choisies de telle fqon que

toutes les dérivées partielles de u sont exprimées en terme de fonctions qui dépendent

de 3: et u à déterminer. Ceci est un cas particulier de la méthode non classique car

celle-ci est basée sur une contrainte différentielle seulement. La plupart des difficultés

qu'on rencontre dans la méthode non classique est qu'elle conduit a des équations

déterminantes non linéaires et dificiles à résoudre. Cependant, la méthode utilisée

par Grundland et al [38]-[41] permet de réduire I'équation de départ à une relation

fonctionnelle et les contraintes ajoutées sont soumises aux conditions de compati-

bilité qui s'expriment par la condition d'annulation de la courbure de gauge. Comme

résultat, nous obtenons un système surdéterminé qui peut être résolu dans certains

cas en utilisant un algorithme qui sera proposé dans le chapitre 2. Nous postulons, en

concordance avec la méthode utilisée dans [38, 391, que ces contraintes différentielles

multiples prennent une forme spécifique basée sur une adaptation du théorème de

Lie concernant les solutions fondamentales pour les EDO (561. Pour ces contraintes,

toutes les dérivées des fonctions inconnues sont exprimées en termes de certaines

fonctions des variables indépendantes et dépendantes seulement.

Le plan de cette thèse est décrit comme suit. Dans le premier chapitre, nous

présentons les principales notions et définitions de base nécessaires à la compréhension

des chapitres suivants. Nous définissons les groupes de symétrie des équations différen-

tielles et le principe de prolongement des champs de vecteurs. Nous rappelons la

condition de non-dégénérescence et le critère de symétrie des équations différentielles

qui sont très utiles dans la théorie des symétries conditionnelles. Nous rappelons

également ie théorème de Lie concernant les solutions fondamentales des équations

diK4renrielle~ ~rdinair~e, A i n i noue d ~ n n o n s un a p q u sur la prcprieté de Painlevé

des équations aux dérivées partielles basée sur des travaux de J . Weiss, M. Tabor et G.

ous nous Carnevale [87], R. Conte et M. Musette [22, 63, 64, 651, A. Pickering [74]. 'r'

intéressons particulièrement à la construction des transformations Auto-Backlund si

I'EDP considérée passe le test de Painlevé.

Dans le second chapitre, nous définissons d'abord la notion de symétries condi-

tionnelles en conformité avec la méthode de Clairin. Nous formulons cette approche

dans le contexte de la théorie des groupes. Ensuite, nous démontrons les condi-

tions nécessaires et suffisantes pour l'existence des symétries conditionnelles pour une

EDP d'ordre k quelconque, admettant des contraintes différentielles de premier ordre.

Yous discutons enfin le lien entre les symétries conditionnelles et les transformations

Autc~Backlund en proposant une toute nouvelle procédure pour la construction des

sol ut ions conditionnellement invariantes basée sur des contraintes différentielles du

premier ordre. En effectuant le test de Painlevé à l'équation de départ nous trouvons

les conditions suffisantes pour l'intégrabilité de I'équation en question.

Pour confirmer l'utilité de notre procédure développée dans le second chapitre,

nous l'illustrons par des exemples dans le chapitre 3. Xous analysons d'abord les

équations de Burgers, KdV, MKdV, Sine-Gordon, Kadorntsev-Petviashvili, du type

Klein-Gordon. Ensuite, nous traitons les équations de Boussinesq, Sawada-Kotera et

Tzitzéica. Une forme explicite de la transformation Auto-Backlund de I'équation de

Tzitzéica est présentée. Nous proposons une solution particulière de cette dernière,

basée sur la méthode de séparation des variables. A la fin de ce chapitre, nous

exhibons les formes explicites des transformations Auto-BZcklund pour certaines

équations intégrables de troisième ordre dont l'équation de Hirota-Satsuma ainsi que

celle d'une EDP de troisième ordre reliée à l'équation de Tzitzéica par une trans-

formation non bijective. Nous présentons pour (presque) chacun de ces exemples les

paires de Lax matricielles, ainsi que les transformations Auto-Backlund (a l'exception

de celle de l'équation non homogène du type Klein-Gordon qui est non intégrable pour

laquelle néanmoins nous proposons une solution explicite).

Le chapitre 4 a pour objet la construction des solutions conditionnellement invari-

antes basée sur des contraintes différentielles d'ordre supérieur. Nous énonçons les

conditions d'existence de telles contraintes. h l'aide de I'6quation de Korteweg de

Vries Burgers qui est non intégrable, nous illustrons ces conditions en donnant une

solution explicite pour cette équation en terme de la fonction elliptique de Weierstrass.

A la fin de ce chapitre, nous prouvons deux théorèmes sur la nature des contraintes

différentielles d'ordre supérieur compatibles avec l'équation de Tzitzéica.

Finalement, dans le chapitre cinq, nous décrivons ie nouveau programme dénommé

BackDar (voir annexe B) écrit en langage symbolique MAPLE qui nous a permis de

vérifier l'esactitude de nos calculs lors de la construction des coefficients des équations

de type Riccati matricielles qui ensemble avec une transformation de Darboux ap-

propriée de t'équation de départ, peut nous donner l'Auto-Bkklund ou une solution

explicite d'une telle EDP.

Chapitre 1

Préliminaires

Ce chapitre sera consacré à certaines notions, définitions de base et théorèmes con-

cernant les symétries des EDP et leurs structures de singularité. Dans les sections

1 - 4, les éléments que nous introduisons sont tirés des livres de P.J. Olver [71] et de

G.W Bluman & S. Kumei [8]. La section 5 est tirée du travail de P. Winternitz [92]

et la section 6 est extraite des travaux de R Conte et M. Musette [21] et[62].

1.1 Transformations locales de groupe de Lie à un

paramètre

Définition 1.1 U n groupe de Lie local à r paramètres est la donnée de deux sous-

ensembles ouverts Vo et V connexes tels que Vo C V c IRr contenant l'origine et des

applications de classe Cm,

m : V x V + R r

définissant l'opération du groupe et

définissant l'opération inverse de sorte que les propriétés suivantes soient satisfaites:

assoczativité: Si x, y, z E V et m(x, y), m(y, z) sont aussi dans V alors

- élément neutre: Vx E V, m(0, x ) = m(x, O) = X.

inverse: Vx E I.o, rn(i(x), x) = m(x, i(x)) = 0.

Remarque 1 Si on dhigne m(x , y) par x.y et i ( x ) par x-', les &ornes précédents

peuvent être considérés comme des actions de groupe. Cependant, elles ne sont pas

nécessairement déjnies partout. Ainsi, x.y a un sens seulement pour s, y voisins de

l'élément neutre O . L'associativité dit que x.(y.r) = (x.y).z à chaque fois que les deux

membres sont définzs. L'élément neutre du groupe est l'origine. Finalement, x-'

aussi est défini seulement pour x aoisin de l'origine et l'équation x-lx = rx-' = O

n'est vérifiée que povr de tek x.

Définition 1.2 Soit x = (x l , x2, - - , x,) u n vecteur appartenant ù une région D C

Rn. L 'ensemble des transfomations x* = \I(x, E ) , définies povr chaque x dans D et

dépendant du paramètre c E S c IR, où t$(c, 6) définit une loi de composition des

paramètres c et 6 dans S , forme une transformation de groupe sur D si

1. E S, les transformations sont injectives dans D, en particulier x* E D

2. S muni de la loi de composition t$ fonne un groupe.

3. x* = x quand E = O (neutre de S), autrement dit \Ir(x,O) = x.

4. Si x* = II(x,e) ,x" = ik.(z*,b) alors x" = 9 ( x , 9 ( ~ , 6 ) ) .

Une transformation de groupe est dite à un paramètre si, en plus des axiomes ( 1 ) - (4),

elle satisfait - E est u n paramètre continu, autrement dit, S est un intervalle de W. Sans perte

de généralité, E = O correspond à 1 'élément neutre e .

O \li est indéfiniment dflérentiable par rapport à x E D et est une fonction ana-

lytique de € € S. - $(é, 6 ) est une fonction analytiq*ue de c et 6, OU E , d E S.

1.2 Transformations et générateurs infinitésimaux

On considère les transformations de groupe de Lie à un paramètre (é)

x* = *(x, €), (1.1)

avec le neutre E = O et la loi de composition 4. En développant (1.1) autour de E = 0,

on obtient

ae Si on pose <(x) = - la transformation x + E<(x) est appelée une transforma-

& tion infinitésimale de groupe de Lie correspondant à (1.1). Les composantes de <(x)

sont appelées les infinitésimales de (1.1). À partir de maintenant, et sans perte de

généralité, on suppose que les transformations du groupe de Lie à un paramètre sont

paramétrisées de façon que leur loi de composition soit @(cl 6) = ~ + 6 , l'élément inverse

e-' = -c. Ainsi, en fonction de leurs termes infinitésimaux <(x), les transformations

du groupe de Lie à un paramètre deviennent @/de = C(x8) avec x* = x en E = 0.

Définition 1.3 Le générateur infinitésimal des transfomations de groupe de Lie à

un paramètre est l'opérateur défini sur W

où V est 1 'opérateur gradient

a a . = (- . . -). axl ax,

Les opérateurs de type (1.3) définissent une structure d'algèbre de Lie muni du crochet

de Lie suivant:

[X Y ] , ( / ) = Xz(Y.f) - K(X-f )? (1.4)

où on définit pour toute fonction dflérentiable f (x) = f (XI, ****-' , x,),

Il s'ensuit qu'il existe une correspondance entre la transformation du groupe de Lie à

un paramètre et sa transformation infinitésimale ou de son générateur infinitésimal.

Le théorème qui suit montre que l'utilisation du générateur infinitésimal mène à un

algorithme pour trouver la solution explicite de dx*/dc = <(x8) avec x* = x en e = 0.

Théorème 1.1 La trans/omation de groupe de Lie à un paramètre est équiualente

où l'opérateur X est défini par (1.3) et l'opérateur X k = ,YSk-l, k = 1 , 2 . . . .

E n résumé, il y a deux moyens de trouver explicitement les transformations de

groupe de Lie à un paramètre: les exprimer en termes de série de puissance de

Lie (1.6), avec le générateur infinitésimal (1.3) ou résoudre le problème d'équation

différentielle ordinaire avec condition initiale

dx* -- - <(xL), x* = x en c = O. de

1.3 Groupes de symétrie des équations différentielles

et prolongement

Le groupe de symétrie d'un système d'équations différentielles est le groupe des

transformations locales le plus large agissant sur les variables indépendantes et dépendantes

du système qui a la propriété de transformer les solutions du système en d'autres so-

lutions. Le but est de déterminer une méthode systématique qui donne explicitement

le groupe de symétrie d'un système d'équations différentielles. Notons que l'étude

sera faite pour les groupes de Lie connexes.

Un système S d'équations différentielles d'ordre n ayant p variables indépendantes

x = (xi, - - - , xp) et q variables dépendantes u = (ul, - -- , u,) est donné comme un

système de I équations

où u ( ~ ) sont les dérivées partielles jusqu'à d'ordre n. Les solutions auront la forme

u = f (2) OU, en composantes, u, = fa(xl, - - , x,), où cr = 1, - - - , q.

On considère les transformations locales de la forme

2 = ( I L ) û = R.(x,u), x E IRp et u E Wq. (1.8)

Les fonctions l? et dépendent seulement des variables x et u.

Définition 1.4 Soit S un système d'équations difirentielles, le groupe de symétrie

de S est un groupe G de transformations locales agissant sur un sous-ensemble ouvert

.%I de l'espace des ztariables indépendantes et dépendantes du sp t ème . De plus, lorsque

ZL = f (x) est une solution de S et g. f est définie pour g E G, alors ü - g . f (x) est

aussi une solution du système.

Un des avantages de connaître le groupe de symétrie de S est qu'il est possible de

construire de nouvelles solutions à partir de celles déjà connues.

Afin de mieux exposer la notion de symétrie d'un système d'équations différentielles,

on va introduire certains objets géométriques tel que l'espace des jets et le p r e

longement d'une fonction f . Pour cela, on va prolonger l'espace de base E x U

qui représente les variables indépendantes et dépendantes en un espace représentant

également les différentes dérivées partielles qui apparaissent dans le système. Ainsi,

si O-(") = U x Ul x U2 x - -Un est l'espace produit cartésien dont les composantes

représentent les dérivées de la fonction u = f(x) jusqu'à l'ordre n alors u(n) est un

espace euclidien de dimension q + qp, + - - - qpk = qp.1 où

désigne le nombre de dérivées partielles d'ordre k possibles de la fonction f. On utilise

la notation multi-indices

k

où les jk sont des entiers positifs. Notons que # J = Cji est appelé l'ordre du i= l

multi-indice J.

Définition 1.5 Étant donnée une fonction u = f (x) de classe Cm, f : £ + 24, il &te une fonction induite pdn) f (x), appelée le n""e prolongement de f, laquelle est

définie par toutes les dérivées possibles a~ f "(z).

Ainsi pdn) f (x) est un vecteur dont les qp(n) entrées représentent la valeur de f et

de toutes ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre n. En d'autres termes, une solution

de S est une fonction u = f (x) différentiable telle que

A , , ( x , ~ ( * ) f(x)), v = 1 , s . - , I (1.10)

chaque fois que z E Dom f (domaine de f j. Cette condition est équivalente à la

suivante: le graphe du prolongement pdn) f (x) déterminé par le système

doit se trouver entièrement à l'intérieur de la sous-variété

SA = {(x, dn)) E J(") : A(5, ~ ( " 1 ) = O},

où J(*) est appelé l'espace des jets d'ordre n de l'espace E x 24.

Dans ce qui suit on va citer la condition sufisante importante pour qu'un groupe

de Lie G soit un groupe de symétrie d'un système doéquations différentielles.

1.4 Condition de non-dégénerescence et critère de

symétrie

Souvent, dans le contexte des symétries conditionnelles, on a besoin d'imposer une

condition de non-dégenérescence dite résolubilité locale. En général, étant donné

(zo, u r ) ) un point de J("), on ne peut garantir l'existence et l'unicité d'une solution

u = f (x) de (1.7) ayant la valeur particulière de sa dérivée en zo ar) = pdk) f (zO).

Ainsi? pour montrer la condition nécessaire du critère d'invariance infinitésimale, il

faut considérer que chaque point de

Sa = {(z, dn)) : AV(z, IL(")) = O ) ,

possède une seule solution correspondante.

Définition 1.6 Considérons u n système d'EDP (1.7). Le système est dit de rang

maximal si la matrice jacobienne d'ordre 1 x @ + qp(n) ) ,

34, aa, J A ( x , ~ ( " 1 ) = (- ->

ax i au:

de 4 par rapport à toutes les variables (x, dn)) est de rang 1 quand A(x, d n ) ) = 0 .

Proposition 1.4.1 Soit P(r , da)) une fonction de classe Cm, la ième dérivée totale

de P a la forme générale suivante:

Ca somme sur J dans (1.12) est telle que O < ji 5 n, où n est l'ordre de dérivation L

le plus élevé figurant dans P.

Un outil important pour trouver les transformations (de groupe de Lie) infinitésimales,

c.-à-d. construire l'algèbre de Lie, est la formule générale de prolongement, ce qui

fera l'objet du théorème suivant.

Théorème 1.2 Soit u n champ de vecteur

dé jn i sur l'ouvert M C E x U. Le nkme prolongement de v est le champ de vecteurs

défini sur 1 'espace M(") C J(") = E x Li("). La deuxième sommation étant sur tous les

multi-indices J = (ji, - + -, jk), avec 1 5 jk 5 p, 1 < k 5 n. Les coeficients sont

donnés par la formule

Définition 1.7 Le syst éme (1.7) est di t résoluble loenlernent au point (zO, up)) E SA,

s'il existe une solution u = f (2) de classe Cm du système défini pour x dans u n

voisinage de xo possédant les conditions initiales TAO) = pdn)/(xo). D'autre part, le

système (1.7) est dit non dégénéré, si pour tout point (zo, u g ) ) E SA, il est résoluble

localement et de rang maximal.

Dans ce qui suit, nous énonçons le critère fondamental servant pour le calcul des

groupes de symétrie (711.

Theoreme 1.3 Étant donné un syst2rne d'EDP non dégénéré, G un groupe de trans-

formations locales connexe agissant sur une région lil.1 c E x 2.4 est un groupe de

symétrie de SA si et seulement s i

pr(n)v [4,(x, u("))] = O, quand (1.7) est satisfait, (1.17)

pour chaq,ue générateur infinitésimal v de G.

1.5 Le théorème de Lie concernant les solutions

fondamentales

Dans cette section, nous rappelons le théorème de Lie concernant les lois de super-

position des solutions fondamentales des équations différentielles ordinaires (EDO)

[xi].

Théorème 1.4 Le système d'EDO

admet un ensemble de solutions fondamentales Ül ( t ) , . . . , Ü m ( t ) telles que la solution

générale est donnée par la règle de superposition non linéaire

o.ri les ci sont des constantes arbitraires ssi les conditions suivantes sont satisfaites:

à un difiéomorphisme près s u r ~ n + ' ou @+' ,

2. les champs de vecteurs

engendrent une algèbre de Lie de dimension finie

et le nombre de solutions fondamentales satisfait n.m 1 r.

Comme premier exemple, on considère le cas n = 1, c.-à-d. le cas des EDO de

premier ordre. En vertu du théorème de Lie, on doit construire une algèbre de Lie de

dimension finie en utilisant les opérateurs du type

d --Ya = Q(u)- u € W.

du ' (1.22)

11 est connu [57] que les seules algèbres de Lie de dimension finie qui peuvent être

construites en terme de champs de vecteurs en une seule variable (1.22) sont sZ(2, IR) et

ses sous-algèbres.

de variables près

L a réalisation correspondant à sl(2, IR) est unique (à un changement

u = q5(y)). Elle est donnée par

d ,Y1 = - d , & = u -

d x3 = u2-. du du' du

En utilisant le théorème de Lie, I'équation peut être écrite ainsi:

où Zi(t) (i = 1,2,3) sont des fonctions arbitraires de la variable indépendante t.

C'est ce qu'on appelle I'équation de Riccati. Si on pose u = $(y), où u est une

certaine fonction différentiable, on obtient une réalisation équivalente de sZ(2, IR) et

une équation déguisée

Le principe de superposition pour l'équation de Riccati est connu. En effet? connais-

sant trois solutions particulières de (1 -24) ul, u2 et u3, la solution de (1.24), u satisfait

la propriété que le rapport anharmonique est constant

Ainsi, on peut résoudre (1.25) pour u pour obtenir la loi de superposition

où c E R est une constante reliée à la valeur initiale u(tO) de la solution u(t ) .

Pour n 3 2, il existe une infinité d'algèbres de Lie qui peuvent être réalisées en terme

de champs de vecteurs en n variables. En effet, pour n = 2, en plus des trois algèbres

de Lie semisimples d ( 3 , IR), 0(3,1) et 0(2,2), on peut réaliser des familles d'algèbres

de Lie avec des idéaux abéliens plus larges.

algèbres de Lie qui peuvent être réalisées en

En effet, S. Lie [57] a classifié certaines

terme d'opérateurs

où <, et 77a sont des fonctions différentiables arbitraires.

1.5.1 Construction des EDO avec des principes de superpo-

sition

Approche directe: L'approche la plus directe est d'utiliser le critère de Lie

pour certains nombres finis de variables réelles ou complexes ul, - , un et clas-

sifier toutes les algèbres de Lie qui peuvent être réalisées en terme des champs

de vecteurs

OU Ü = (U l, - - - , un). En particulier si les coefficients des champs de vecteurs

sont linéaires

alors les équations (1.19) deviennent ainsi:

Les algèbres qui nous intéressent sont celles réalisées par les opérateurs (1.28j

dans lesquelles les fonctions <[ sont des fonctions non linéaires de u, et qui ne

peuvent pas être linéarisables par une transformation inversible

u ( y ) p = 1 , - - - ,n. (1.31)

Procéder directement par dimensions, et classifier toutes les algèbres est u n

problème très dificile. Pour le cas n = 1, le problème et le résultat sont trivi-

aux. Pour n = 2, la classification est assez compliquée (40 pages du livre de Lie

[57]), pour n 2 3 on ne sait pas s'il existe une telle classification.

0 Approche structurel: L'approche alternat ive est ce qu'on a appelée 1 'approche

structurekle. Les restrictions peuvent être imposées aux formes des coefficients

cf(ii) OU a u type d'algèbres de Lie considérées. Par exemple, on peut se res-

treindre au cas où cf(ü) sont polynômiaux ou seulement quadratique en ü. Ceci

a un lien avec un sujet intéressant en géométrie différentielle qui est les algèbres

de Lie filtrantes. Le point de départ est de considérer un groupe de Lie G et

une variété A f opérant sur G d'une façon non linéaire. L'étape suivante con-

siste à calculer !'action infinitésimale de G. Ceci nous ramène aux champs de

vecteurs (1.28) qui forment une base de l'algèbre de Lie correspondant à G.

Les équations non linéaires satisfaisant le critère de Lie peuvent être obtenues

directement

Ce qui est en accord avec la décomposition (1.19) du théorème de Lie.

1.6 Propriété de Painlevé pour les EDP

L'analyse des singularités des EDP permet de déterminer, si elle existe, la trans-

formation de Darboux (voir definition 1.12) entre deux représentants de la solution

générale de celles-ci. Weiss, hf. Tabor et G. Carnevale [87] ont étendu le test de

Painlevé des EDO pour les EDP. Nous allons montrer dans le chapitre 2 qu'on peut

reconstruire les Auto-Backlund de certaines EDP en utilisant l'approche de la théorie

des groupes.

Avant de définir la propriété de Painlevé nous introduisons la notion des surfaces

non caractéristiques.

Définition 1.8 Soit un système d'EDP d'ordre n (1.7j composé de g équations . Soit

(z,, u:)) un point de la sous-variété des solutions SA = ( (2 , u ( " ) ) / ~ , ( ( z , dn)) = 0).

Considérons la matrice suivante:

ou W J = wj, - Wjn et w = (w', - - ,wP) E IRP. Un p-uplet non nul w définit une

direction non caractéristique à ( 1 -7) au point (so, ut)) si det hl ( w ) # O. Une hyper-

sufice S = {z/$(z) = c) , Vq5 # O est dite non caractéristique au point (zo, up)) si

w = V$(xo) détermine une direction non caractéristique.

Définition 1.9 Une EDP A(x, dk)) = O, où x = (xl, - , x,), passe le test de

Painlevé en vertu du travail de J. Weiss, si pour toute famille de surfaces non carac-

téristiques M = { Z / ( O ( X ) - < ~ 0 = O ) il existe une série de Laurent

représentant la solution générale u d'une façon uniforme au voisinage de PO. Les

quantités uj , (F sont des fonctions analytiques dans un uoisinage de la variété singulière

&P. p € z < O.

1.6.1 L'approche de R. Conte: analyse invariante des EDP

R. Conte [22] a prouvé que l'analyse de Painlevé des EDP est invariante sous

une transformation homographique arbitraire en rp qui est. la variable de la variété

singulière. Pour des raisons de commodité, il propose un développement pour le test

de Painlevé en fonction d'une nouvelle variable des séries de Laurent appelée X gui

est donnée par l'expression suivante:

Sotons que cette variable satisfait le système de type Riccati suivant:

Les coefficients S et C dépendent des dérivées de cp par rapport à x et t ,

2 a Pz, 1 Pz= Pt S={&. }= - ( - ) cpz -+) ,C=-- . Pz

Les quantités S et C sont des invariants pour les transformations homographiques.

Le système (1.34) satisfait la condition de compatibilité suivante:

2((X,~l)~ - (Xil)t) = St + ClZz + 2C,S + CS, = 0. (1 -36)

En terme de la nouvelle variable X, la série de Laurent en rp (1.32) devient:

ou E (u ) = O est I'EDP de départ écrite sous forme polynômiale. La transformation

ILJ A' = - linéarise le système de type Riccati (1.34) en le système linéaire d'ordre deux @z

suivant:

cz +( + C+, - (T + g ( t ) ) $ = O avec g arbitraire en t .

Afin d'obtenir les couples (uo ,p ) nous substituons la forme polynômiale de u dans

SEDP

u - uoXP, Xz - 1, Xt - 4, Du - uoD(Xp).

On analyse par la suite les termes dominants de I'espression polynômiale obtenue.

Chaque solution ( u o , p ) définit ce qu'on appelle une famille. Pour tout j tel que j 3 1,

on obtient les relations de récurrence déterminant les uj :

où P est un polynôme de degré 5 N. Pour que I'équation passe le test de Painlevé,

il est nécessaire mais pas suffisant que:

-les zéros de P (appelés résonances ou indices) soient des entiers distincts.

-V la valeur i de la résonance, il existe une condition de compatibilité Qi = O iden-

tiquement satisfaite.

1.6.2 Condition suffisante d'intégrabilité

Une condition nécessaire pour qu'une EDP soit intégrable est qu'elle passe le test

de Painlevé. Les méthodes permettant de montrer la condition suffisante qui seront

exposées dans les prochaines sections. Avant de les énoncer, nous rappelons les

définitions de l'opérateur de la variété singulière d'une famille, transformation de

Darboux, transformation de Backlund des EDP et les paires de Lax.

Définition 1.10 Lu partie singulière d'une des familles de singularités mobiles d'une

EDP donnée est la partie principale de la série de Laurent dans la méthode des

développements polaires

Définition 1.11 Étant données 9 la variable de la variété singulière et & une

famille à un paramètre cpo d 'ezpression Cl;.(cpo), l'opérateur partie singulière V d'une

famille est défini par

In y + D In y = U+(O) - C/+(m).

Définition 1.12 Une transfomat ion de Darboux ( T D ) d'une EDP E(u) = O (écrite

sous forme polynômiale en u et ses dérivées) est une relation de la forme

OU V est l'opérateur de la variété singulière, la fonction $ satisfaisant le système

linéaire (1.38) et ü = u-,(S, C) + f (S, C ) est une autre solution de la même EDP

c.-à-d. E(ü) = 0.

1.6.3 Les Transformations de Backhnd des EDP

Les origines de la théorie des transformations de Backlund remontent aux travaux

de Lie et Backlund dans l'étude des surfaces en géométrie différentielle. En se basant

sur une des définitions qui se trouve dans le volume de G. Darboux [25] vol. III chap.

XII qui est en conformité avec [77] et est la suivante:

Définition 1.13 Étant données de- EDP en u et v d'ordre k

i) (x, u@)) = O et ii) A ~ ( Y , u(lr)) = 0, (1.41)

ayant respectivement z = (xl, - , xp) et y = (YI, - - , y,) comme uariables indépendantes

ay avec le jacobien - # O. Une t r a w f o m a t i o n de Backlund de premier ordre entre ces dx

EDP consiste à un système de p EDP de premier ordre

pour lesquelles les matrices jacobiennes

(l)) E E x u(') x u('). Sous les conditions (1.13), sont inversibles en u n point (xo, u, , vo t'élimination de u ou v de (1.42) mène à (1.41i) ou (1.41ii) respectivement.

Dans le cas où u et u satisfont la même équation, la transfomation est appelée Auto-

Backlund.

1.6.4 Existence des paires de Lax

Définition 1.14 [ . j #tant donnée une EDP d'ordre n non linéaire oyant p vanables

indépendantes z = (xl, - - , x,,)

une paire de Lax de (1.44) est un ensemble de deux opérateurs linéaires Ll(u) et L2(u)

dont le commutateur s'annule si et seulement si u est une solution de l'équation (1 .4)

c.-à-d.

[Li, L2]$ = A(z, dn))$.

Exemple: nous considérons l'équation de Korteweg-de Vries (KdV)

KdV(u) r ut + 6uu2 + u,, = O

qui possède la paire de Lax suivante:

où A est une constante arbitraire. 11 est facile de vérifier que

Dans ce qui suit on va proposer quelques méthodes afin de trouver des conditions

suffisantes de l'intégrabilité des EDP.

i) Méthode de la transformation de la partie singulière:

Considérons une EDP en u et le changement de variable u = Z) ln p . Il s'agit

d'intégrer l'équation en <p, une fois fait, la résolution est achevée.

ii) Méthode de la troncature de J. Weiss [87], (901:

C~nsidérons une EDF' non linéaire et non Iinéarisable qui passe le test de Painlevé. J.

Weiss considère que la partie principale de la série de Laurent contient les informations

nécessaires pour trouver, si cette équation passe le test de Painlevé, sa transformation

de Backlund. Cette méthode consiste a tronquer les séries de Laurent pour u et E(u)

a u delà des puissances non négatives en X.

et d'identifier à zéro les coefficients E, du polynôme en X de Xe'ET(X). Les équations

E, = O, j = 0,. , - p déterminent les (p + 1) coefficients t l j . Après avoir remplacé

les U j par leurs valeurs, les équations restantes sont

o ù j # indices de compatibilité, i E {O, - - - , - p l . R. Conte et M. Musette ont appelé

les équations (1.47) les équations de Painlevé Darboux. Les coefficients uj7 Ej de

(1.16) dépendent des invariants homographiques (S,C) et leurs dérivées. On peut

écrire, tenant compte du lien entre X et +

d'où la relation (1.40) si ü = U-,(S,C) + f(S,C) satisfait l'équation E(ü) = 0.

L'élimination des fonctions arbitraires ui parmi les équations de Painlevé Darboux

nous fournit une équation de la forme

appelée l'équation de la variété singulière. L'étape suivante consiste à chercher une

représentation paramétrique de (1.48) dépendant d'une fonction U et une constante

arbitraire X telle que la condition de compatibilité (1.36) est identiquement satisfaite

où U vérifie I'équation originale E(u) = O. En effet, si U peut être identifiée à 6 , la

troncature nous fournit une TD à partir de (1.40) et les paires de Lax (à partir du

système (1.38)). D'où la transformation de Bücklund.

Cette méthode est efficace pour quelques équations telles KdV, KdV5 et .41('iS [63,

871.

Exemple: L'équation de KdV (1.15) passe le test de Painlevé pour p = -2 et q = -5

et admet une famille a - -2X-2 avec les résonances -1,4 et 6. La troncature obtenue

est:

L'équation de la variété singulière pour l'équation de KdV est

C - S + 6 X = O ,

où X est une constante arbitraire. Une représentation paramétrique de (1.50) est

S = 2(U + A), C = 2(U - 2A). (1.51)

Cette paramétrisation donne un système linéaire du second ordre

La condition de compatibilité s7écrit &,t - $,, = ?Kdli(U)@ = 0. Ainsi la relation

entre deux solutions de KdV est donnée par la troncature suivante:

La méthode de J. Weiss nous fournit la paire de Law et la transformatior? de Darboux.

Posons UT = u = uZ et O = Wz. De la TD découle Ia relation suivante:

En éliminant i> entre (1.54) et (1.52), on obtient l'Auto-Bikklund de la forme poten-

tielle de KdV,

iii) Méthode de paire de Lax du troisième ordre proposée par M. Musette

et R. Conte (641:

Dans le cas des équations possédant une famille de singularités mobiles ou plusieurs

familles avec résidus opposés comme l'équation de Boussinesq, Sawada-Kotera, Hirota-

Satsunia (471, la paramétrisation de (S, C) fournit une condition (1.36) pour différente

de l'équation originale. Ceci définit une transformation entre ù;. et O' appelée Trans-

formation de Mz'ura obtenue par l'élimination de (X, S, C) entre les quatres équations

CiT = la troncature, les deus équations de la représentation paramétrique (S, C) =

f (5) et n'importe qu'elle équation des équations dépendantes qui forment le système

(1.34). Ainsi, afin d'obtenir 1'-Auto-BT, on demande que la fonction $J qui satisfait

la relation (1.40) satisfait un système linéaire de troisième ordre dont les coefficients

sont à déterminer et dépendant du paramètre spectral X et une autre solution C' de

l'EDF considérée Iiée à fi à travers la transformation de Darboux.

Soient (a: 6 , c, d, e) cinq coefficients inconnus définissant le système linéaire en I) de

troisième ordre suivant:

Ensuite, on considère la non linéarisation du système précédent qui est donnée en

terme d'équations de type Riccati matricielles

@z IL où les pseudopotentiels sont Zl = -, Z2 = - . Les équations déterminantes vérifiées .rcI 1L

par (a, 6, c, d , e ) de la paire de Lax sont engendrées par le développement de f i =

E(uT) dans la base (Zi, Z2)

Dans le cas où les équations déterminant les (a, b, c, d , e ) ne nous fournissent pas

une solution attendue pour une raison donnée, comme par exemple l'absence du

paramètre spectral, on doit augmenter l'ordre du problème spectral. Cette méthode

a été appliquée avec succès par exemple pour les équations de Boussinesq et Sawada-

Kotera dont les auteurs dans [61, 661 ont trouvé la transformation Auto-Balund.

Nous montrerons dans le chapitre 2 qu'on peut incorporer cette approche dans le

contexte des symétries conditionnelles.

Chapitre 2

Contraintes différentielles de

premier ordre

Dans la première section de ce chapitre, une adaptation de la méthode des symétries

conditionnelles dans le cas des EDP d'ordre k ayant p variables indépendantes est

présentée. Les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces EDP admettent des

algèbres de symétrie conditionnelles de dimension p sont déterminées. Nous mon-

trerons qu'il existe une affinité entre les symétries conditionnelles et les transforma-

tions de Biicklund. Nous développerons ce thème dans la section 2 du chapitre 2

et nous déterminerons les conditions sous lesquelles il existe une transformation de

Backlund de premier ordre pour une EDP d'ordre k. Nous proposerons également un

algorithme pour construire des solutions conditionnellement invariantes (section 3).

La majeure partie de ce chapitre est extraite d'un article soumis [SI.

2.1 Symétries conditionnelles des EDP

Dans cette section, nous établissons les conditions nécessaires et suffisantes pour

l*existence des symétries conditionnelles des EDP d'ordre k. Cette analyse est faite

par analogie avec le cas des systèmes d7EDP de premier ordre décrit dans [40]. La

terminologie de base et les notations sont utilisées en conformité avec 171, 81.

Considérons une EDP non dégénérée d'ordre k

A(x7 dk)) = O

ayant p variables indépendantes x = (xi, - - , x,), qui forment des coordonnées locales

dans un espace Euclidien E.

La particularité la plus importante de la méthode des symétries conditionnelles

est que I'EDP initiale est sujette à certaines contraintes différentielles pour lesquelles

toutes les dérivées de u sont exprimées en fonction de x et u seulement. Ainsi

L'équation j 2 2 j veut dire que les caractkristiques Qi d'un ensemble de p champs de

vecteurs linéairement indépendants (définis dans E x U)

Z , = a z , + d j ( ~ , ~ ) & i = l , - - - , p , (2.3)

sont égales à zéro. Il a été prouvé (541 pour le cas d'un seul champ de vecteur

(2.3) que le critère infinitésimal d'invariance de symétrie (1.17) pour les équations

(2.2) est identiquement satisfait. Dans le cas de plusieurs contraintes différentielles

le critère infinitésimal d'invariance de symétrie (1 -1 7) pour les équations (2.2) n'est

pas identiquement satisfait et ainsi des conditions de compatibilité pour (2.2) doivent

être ajoutées.

Considérons le système surdéterminé composé de (2.1) et (2.2)

3u ou nous désignons l'expression - par u,. Les condit.ions de compatibilité de (2.4)

ax,

sont:

Les crochets [i, j ] désignent l'antisymétrisation par rapport, aux indices i et j, c.-à-d.

où = - . Les équations (2.5) forment un système surdéterminé de i p ( ~ - 1) + au 1 équations à p fonctions inconnues ei dans p + 1 variables indépendantes (x, u).

Kotons que les équations (2.5) sont des EDP d'ordre premier et ne dépendent pas du

chois de I'EDP originale (2.1). Cependant, l'équation (2.5ii) constitue une restriction

fonctionnelle dans l'espace des solutions, données par l'équation initiale (2.1).

Xous introduisons les notions de base de la méthode des symétries conditionnelles

[40] adaptées a u cas des EDP d'ordre k. Nous associons aux systèmes d'EDP

A : Jk + W et Q, : J' -t RP les sous variétés de l'espace des solutions

et

SQ = {(x, u(')) E JL/Qi(x, u(l)) = O i = l ? . . . , p ) ,

respectivement. considérons l'intersection de ces deux sous variétés différentielles

et désignons par T~,;,(~I~S l'espace tangent de S au point (x, dk)) .

Définition 2.15 Une algèbre de Lie L engendrée par les champs de vecteurs Zi, - - . , 2,

est appelée une algèbre de symétrie conditf~nnelle de Z'EDP d'ordre k (2.1) si les

champs de vecteurs ZI, - - - , 2, sont tangents à la sous variété S , c'est-à-dire

Définition 2.16 Une solution u = /(x) dune EDP d'ordre k (2.1) est appelée une

solution condionnellement invariante si son graphe {(x, /(x))} est invariant sous

l'action de la distribution abélienne Zl, - - - , 2, qui satisfont la condition (2 .6) .

Le théorème suivant nous donne une condition nécessaire et suffisante pour l'existence

des symétries conditionnelles pour n'importe quelle EDP d'ordre k.

Théorème 2.1 Une EDP d'ordre k non dégénérée (2.1) admet une algèbre de symétrie

conditionnelle L de dimension p si et seulement si il existe p champs de vectevrs

linéairement indépendants définis dans l'espace E x U

2 , =a,, +&(z ,u )au i = 1:- , p (2.7)

où les jonctions & : E x U -t B sont de classe C L et satisJont les conditions (2.5)

dans un voisinage d'un point (zo, ur)) E S.

Preuve: les champs de vecteurs Zi constituent des symétries conditionnelles de

L'EDF d'mire jL' (2 . l j s'ils sont d e pointa de sytnèt.ries du aystétne surdéteritiiti&

composé des caractéristiques de Zk qui s'annulent et de l'équation originale (2.1),

(c.-à-d. le système (2.4)). En appliquant le critère d'invariance (1 .l7) à (2.4i), nous

obtenons

où

0, = a,, + +,au sont les opérateurs des dérivées totales modifiées tronqués au premier jet, quand

(2.4ii) est remplacée dans l'opérateur D défini dans l'expression (1.12). L'équation

(2.8) est satisfaite en vertu des conditions (2.5i). En appliquant une autre fois le

critère d'invariance de symétrie (1.17) à I'EDP originale (2.1) on aura

où la sommation est effectuée sur tous les multi-indices J = (jl,. . . , j r ) avec

1 5 3 5 p, 1 5 # J 5 k, et DJ = Djl Dj2 . . . Djk est la JR"" dérivée totale modifiée.

On opère la dérivée totale modifiée Di à I'équation (2.5ii)

où la somme est sur tous les J d'ordre O < #J 5 k - 1, puisque k - 1 est la dérivée

la plus élevée apparaissant dans (2.5ii). Après avoir substitué (2.10) dans (2.9) et

en tenant compte de l'équation (2.5i), nous montrons que les équations (2.9) sont

satisfaites.

Réciproquement, supposer que l'équation originale (2.1) est non dégénérée revient

à dire qu'elle est localement résoluble pour des conditions arbitraires et que la matrice

jacobienne de A est de rang maximal en chaque point (zO, uik l ) E SA. Par la suite, en

vertu du théorème 1.3, le critère infinitésimal de symétrie pour que G soit un groupe

de symétrie de (2.1) devient une condition nécessaire et suffisante pour l'existence du

groupe de symétrie G d u système surdéterminé (2.4). Puisque les champs de vecteurs

Zz hrmefit une distribution ribélienne, il en rkütte que 1s cünditiün (2.5ij est satis-

faite. Nous demandons que les caractéristiques des champs de vecteurs 2, s'annulent.

En les remplaçant dans (2.1) on obtient la condition (2.5ii). Ceci termine la preuve,

puisque les solutions de l'équation originale (2.1) sont invariantes sous l'algèbre L

engendrée par les p champs de vecteurs linéairement indépendants Zi,. . . 2,. O

Remarque 2 Notons que si les jonctions di satisfont les conditions (2.5) alors le

graphe d'une solution du système (2.4) est invariant sous l'action des champs de

vecteurs Zi 1 5 i 5 p. En vertu de la définition 2.16, cela veut dire qu'il en'ste une

solution conditionnellement invariante de I 'EDP (2.1).

2.2 Les symétries conditionnelles et les transfor-

mations Auto-Backlund

Il a été démontré dans (731 qu'une EDP de second ordre admet une infinité de

contraintes différentielles de premier ordre compatibles. Ces contraintes ne sont pas

nécessairement de la forme postulée (2.2). Ainsi, un problème fondamental pour nous

dans cette section est la sélection des sous-systèmes composés de I'EDP initiale (2.1) et

les contraintes différentielles (CD) (2.2) qui sont consistantes (c.-à-d. pour lesquelles

le système (2.5) possède des solutions non triviales pour les fonctions &)- En général le

système (2.5) est non linéaire et très difficile à résoudre. Afin de simplifier le problème

on ajoute certaines hypothèses. En particulier nous limitons notre considération à

certaines classes d'EDP (2.1) pour lesquelles la transformation de Darboux (TD)

peut être construite. Nous postulons également une forme spécifique factorisée des

CD (2.2). Cette forme est basée sur une adaptation du théorème de Lie pour le cas

des EDP. .i travers ces hypothèses nous cherchons les conditions pour lesquelles il

existe des solutions conditionnellement invariantes (SCI) du système surdéterminé

composé de I'EDP originale (2.1) et les contraintes différentielles (2.2). Ces solutions

nous fournissent des solutions de (2.1) via la TD. En plus nous prouvons que dans

certaines circonstances les CD (2.2) avec la TD déterminent la transformation -Auto-

BikkIund ',A+u~PBT) de I'EW f %?).

Xous supposons que 17EDP (2.1) passe le test de Painlevé. Ceci veut dire que

I'EDP (2.1) satisfait les conditions nécessaires pour l'absence des singularités mobiles

critiques dans sa solution générale sur toute surface non caractéristique [87]-(641 (voir

la section 1.6 du chapitre 1 pour plus de détails). Ce test nous fournit un outil

puissant pour détecter les EDP intégrables.

Xous considérons deux fonctions u et ù de I dans U qui sont solutions de l'EDP

(2.1). Soient q une fonction de E dans un espace B de dimension m et F une application

de E x D dans W. Nous commençons notre analyse par la réalisation d'un plongement

de la variable u dans l'espace B ayant des coordonnées q = ( q l , . . . , q,) et nous

supposons que ce plongement peut être réalisé à travers une TD sous la forme [26]

et af est un opérateur différentiel de la variable x. L'ordre de cet opérateur, qu'on

désigne par n, peut être déterminé par le test de Painlevé [26, 59, 641. La relation

ci-dessus veut dire que la différence entre deux exemplaires de la solution générale u

et 6 de (2.1), peut être exprimée en fonction de la dérivée logarithmique de la fonction

scalaire F qui dépend de x et q où q peut être interprétée comme un pseudopotentiel

dans la technique de Wahlquist et Estabrook [91].

Nous considérons un cas particulier de la TD (2.11) pour lequel la structure de

singularité pour I'EDP (2.1) est donnée seulement par des pôles. Nous postulons que

la différence de deux solutions u et û est polynômiale en la variabie q

[U - Û] = [QI -P, (2.12)

où [q] le crochet de q qui désigne le degré d'homogénité en q et - p est la multiplicité

du pôle. Cette hypothèse est est en conformité avec les travaux de Clairin [ E , 161

concernant la construction des transformations de Backlund. De plus, nous postulons

que q satisfait un système de type Riccati. Par conséquent, la fonction F donnée dans

(3.1 1) peut être développée

chnt !es c~leff;_cients ne sont

U(Z> -

en une série finie en fonction des variables auxiliaires q,

(2.11) devient

(2.13)

et J = (jl,. . . , j,), ji est un entier naturel et #J = j l + . . . + jm = S .

Supposons qu'après un changement de variable, I'EDP (2.1) puisse être transformée

en une forme polynômiale avec la nouvelle variable dépendante et ses dérivées jusqu'à

I'ordre k. Nous désignons la nouvelle variable par u (c.-à-d. le même symbole pour

la solution de I'EDP originale (2.1)). Après avoir effectué ce changement de variable

(provenant d'une transformation ponctuelle), nous substituons (2.13) dans la forme

polynômiale de (2.1) et nous obtenons ainsi une EDP d'ordre k pour les fonctions

inconnues q,. Xotons cette EDP

Afin d'assurer l'existence des SC1 de (2.14), nous supposons en concordance avec le

théorème 2.1 qu'il existe une algèbre de symétrie conditionnelle L de dimension p de

(2.14) engendrée par les champs de vecteurs suivants:

Ceci veut dire que I'EDP (2.14) doit être augmentée par des CD telles que toutes les

dérivées de la fonction q s'expriment en terme de x et q seulement

Pour construire des SC1 de (2.14) nous suivons la méthode développée dans [40]

pour les EDP d'ordre premier. Nous utilisons également une forme spécifique fac-

torisée des CD (2.16). L'existence de ces formes est assurée par certaines hypothèses

additionnelles. Considérons un ensemble ouvert D c E et toutes les fonctions

q : D -+ i3 de classe Cm telles que V x E D, la matrice jacobienne (&) est

de rang fini r, c.-à-d.

Ceci induit dans D r p fonctions de classe Cm.* : D -t W et rrn fonctions : D -t W

de classe Cm telles que Vz 'z D la matrice jacobiennne peut être décomposée comme

suit:

Sous supposons aussi que les -{y sont des fonctions composées -fr(x) = bp(q (x ) ) , où

g : D -+ B et bp : B + W En utilisant ces conditions , nous aurons la décomposition

matricielle suivante:

où nous supposons que l'ensemble des fonctions bp peuvent être identifiées aux champs

de vecteurs dans O

bf = b;(q)a,, 1 = 1 ,... , r . (2.20)

Nous demandons que ces champs de vecteurs i>i engendrent une algèbre de Lie de

dimension finie Ç

[ b i , & k ] = CE&., 1 5 a, k , l 5 r. (2.21)

L?étape suivante consiste à substituer k fois (2.19) dans (2.14), ensuite nous im-

posons aux coefficients des termes indépendants figurant dans les b~ des équations

obtenues d'être identiquement nulles. Nous obtenons ainsi un ensemble de CD pour

les fonctions A:. Désignons ces contraintes par

~q E B G~(z , û(k)7 ~ f ( ~ - ' ) ) = O, h = 1, . . . d. (2.22)

Ces contraintes différentielles sont soumises à des conditions de compatibilité pour

(2.19)

Par conséquent, nous aboutissons à un système surdéterminé pour les fonctions *q. Sous désignons par H le système composé de (2.22) et (2.33). Pour établir l'existence

des solutions du système surdéterminé et pour estimer le degré de liberté de la solution

générale? une analyse des conditions de compatibilité du système H est essentielle.

Sous les conditions ci-dessus nous avons le théorème suivant:

Théorème 2.2 Considérons une EDP non dégénérée d 'ordre k (2.14) en variables q

qui est obtenue de 1 'EDP (2.1) via la transformation de Darbouz: (2.13).

Il existe des SC1 de Z'EDP (2.14) s i les conditions suivantes sont satisfaites:

1 ) il existe des jonctions vectorielles AL : D -t E et bi : B + i3 telles que toutes les

dérivées de q par rapport à xi sont décomposables selon (2.19).

2) il existe un ensemble de r champs de vecteurs linéairement indépendants (2.20)

dans O qui engendrent une algèbre de Lie de dimension finie Ç (2.21).

3) pour une certaine réalisation de l'algèbre de Lie en t e rne des champs de

uecteurs il , il existe des solutions non triviales A ' (z) , . . . , Ar (x) du système surdéterminé

H composé des conditions de courbure de gauge (2.23) et l'ensemble des contraintes

di fférentielles (2.22).

Preuve: afin de prouver l'existence des SC1 de I'EDP (2.14) à l'aide des hypothèses

ci-dessus, nous montrons que le système surdéterminé composé de I'EDP (2.14) et les

CD (2.19) est consistant. En effet, en utilisant les hypothèses 1) et 2), la différence

des dérivées secondes mixtes pour (2.19) nous conduit à

Comme les champs de vecteurs ba sont linéairement indépendants et en tenant compte

des conditions (2.23), il s'ensuit que les conditions de compatibilité (2.24) pour le

système (2.19) sont identiquement satisfaites. Les hypothèses 2) et 3) impliquent que

le système surdéterminé (2.14) et (2.19) satisfait les conditions de compatibilité (3.5) r

pour les fonctions 4: = ~ i b ~ , c'est-à-dire f = L

Les notations A~('-') et 4('-') représentent toutes les dérivées de A: et bp respec-

tivement par rapport à Xj et q~ jusqu'à l'ordre (k - 1). Ainsi en vertu du théorème

2.1, i l existe une algèbre de symétrie conditionnelle de 1'EDP (2.14) engendrée par les

champs de vecteurs

Par Ia suite, d'après la remarque 2, I'EDP (2.14) sujette à des CD (2.19) admet des

SCI. O

Dans ce qui suit, nous montrons comment les SC1 peuvent être utilisées, sous

certaines conditions, pour déterminer les Auto-BT.

Suppposons que le système H possède des solutions non triviales Af qui sont

paramétrisées par une fonction Û qui est solution de I'EDP originale (2.1) et par

une constante (constante d'intégration pour H). Pour une certaine solution donnée

û de (Tl ) , nous pouvons intégrer les CD (2.19) pour les variables auxiliaires q, (qui

sont aussi des SC1 de l'équation (2.14)). Ensuite, nous les substituons dans la TD

(2.13) et nous obtenons une nouvelle solution de (2.1). Ceci veut dire qu'il existe

une relation entre l'ensemble des solutions de I'EDP initiale (2.1) qui est déterminée

par le système composé des CD d'ordre premier (2.19) et la TD (2.13). Si nous pou-

vons effectuer une élimination des variables q, de ce système, sans spécifier û, alors

nous pourrons déterminer explicitement des relations entre deux solutions u, Û et un

paramètre constant (appelé paramètre du Backlund). Autrement dit, l'Auto-BT de

(2.1) peut être explicitement construite par ces relations.

2.3 Procédure pour construire des solutions con-

ditionnellements invariantes des EDP

En se basant sur nos considérations théoriques ci-dessus? nous proposons une procé-

aure pour construire cenaines ci- de sotut-ions d'une EDP d'ordre k. Cette

procédure consiste en les étapes suivantes:

1). Nous considérons une EDP (2.1) qui passe le test de Painlevé et qui peut être

présentée sous une forme poiynômiale par rapport a la variable u et ses dérivées

(éventuellement après une transformation ponctuelle dans l'espace E x U). Ainsi

notre première étape consiste à vkifier cette propriété pour une EDP donnée.

2). Nous réalisons une transformation de Darboux spécifique satisfaisant les exi-

gences (2.13). Nous commençons par un plongement (2.13) avec l'espace B de plus

basse dimension. -4près avoir substitué (2.13) dans I'EDP originale (2.1): celle-ci de-

vient une EDP d'ordre k qui est (2.14) pour les variables auxiliaires go.

3). Nous sélectionnons une algèbre de Lie de dimension finie munie d'une représenta-

tion en termes de champs de vecteurs (2.20). Nous commençons par les algèbres de

Lie unidimensionelle et si nécessaire (voire étape 4) nous considérons les algèbres de

dimensions supérieures.

Notons que le problème de la construction et dc la classification des algèbres de

Lie de dimensions finies qui peuvent être réalisées en termes de champs de vecteur

(2.20) reste ouvert. Cependant, ce sujet a été étudié d'une façon intensive et il existe

beaucoup de listes d'algèbre de Lie de dimension finie qui peuvent nous servir de

source pour notre sélection (voir par exemple [4]-[60] et les références qui s'y trouvent).

Pour une certaine algèbre de Lie 6 et ses réalisations, nous pouvons construire des

CD postulées (2.19). Nous ajoutons à I'EDP (2.14) cette forme spécifique de CD.

4). Pour une certaine réalisation de Ç, nous cherchons une classe de solutions non

triviales Af du système surdéterminé H composé des conditions de courbure de gauge

(2.23) et les conditions (2.22). Par la suite, l'analyse des conditions de compatibilité

de H est nécessaire.

Si le système H est inconsistant alors nous retournons à l'étape 3 et si nécessaire

l'étape 2. Nous considérons d'abord les algèbres de Lie restantes possédant les

représentations de même dimension que l'algèbre ultérieurement choisie. Si nous

ne trouvons pas une algèbre qui nous conduit à un système H consistant alors

nous retournons au plongement (2.13) et nous ajoutons graduellement la dimension

de l'espace 6. Sous testons des cas consécutifs pour lesquels la fonction F dépend de

plus en plus de variables q,.

5). Si le système surdéterminé H est consistant, alors nous les intégrons pour chaque

solution des conditions de compatibilité. Ceci nous ramène à plusieurs classes de

solutions non triviales 4. Dans ce qui suit, nous examinons séparément les deux cas suivants:

5.a). Pour le premier cas, l'ensemble des solutions ~f du système H n'est pas déterminé

d'une façon unique. En particulier, si les fonctions -4: sont paramétrisées par (au

moins) une fonction ii qui satisfait I'EDP originale (2.1) et certaines constantes

d'intégration A, alors les contraintes différentielles (2.19) deviennent

En intégrant (2.26), nous obtenons la fonction q qui est aussi une solution de (2.14).

En particulier, si les CD (2.26) sont décrites par une famille d'équations de type

Riccati matricielle (ERM) alors nous introduisons des coordonnées homogènes basées

sur les coordonnées affines q,. Nous pouvons ainsi linéariser ces ERM et obtenir par

la suite le problème spectral pour l'équation (2.14).

Notons que la solution obtenue de (2.14) constitue une SC1 puisqu'elle est invariante

par l'algèbre de symétrie conditionnelle L engendrée par

ou br = bp(q)aqQ engendrent une algèbre de Lie de dimension finie G .

Finalement, à partir de la SC1 obtenue de (2.14) nous déterminons une solu-

tion de I'EDP originale (2.1) par l'intermédiaire de la TD (2.13). Conséquemment,

le système (2.26), ensemble avec I'équation (2.13), déterminent une transformation

Auto-Backlund entre l'ensemble des solutions de I'EDP initiale (2.1). En éliminant

les variables auxiliaires q, dans le système (2.13)-(2.26), nous pouvons obtenir une

forme explicite de l'Auto-BT.

5.b). Dans le second cas, l'ensemble des solutions A! du système surdéterminé H est

defini d'une facon unique ir un choix de constante près. Ainsi une Auto-BT n'existe

pas et seulement certaines solutions particulières de I'EDP (2.1) peuvent être trouvées

en intégrant (2.26) et ensuite en substituant ce résultat dans la transformation (3.13).

Xous résumons le lien entre les solutions conditionnellement invariantes et les trans-

formations d'Auto-Backlund dans le corollaire suivant:

Corollaire 2.1 Considérons une EDP d'ordre k (2.1). Nous supposons pour une

représentation donnée d'une algèbre de Lie de dimension finie Ç en terme des champs

de vecteurs (2.20) qu 'il existe u n ensemble non trivial de solutions il1, . . . , -Ir du

système d'équations (2.23) et (2.22) qui sont pararnétriskes par une jonction Û qui sa-

tisfait 1 'EDP (2.1) et par certaines constantes c ~ , . . . , c, € R Alors il existe une

transformation Auto-Backlund de 1'EDP (2.1) de'terrninée par les contraintes (2.26).

L'étape suivante consiste à construire les transformations de Backlund de la forme

(226). XOUS commençons tout d'abord par les hypothèses Ies plus simples concernant

l'algèbre de Lie associée &. Comme premier essai, on analyse le cas où l'algèbre

est sZ(2, R), qui admet la représentation unidimensionnelle en terme de coordonnées

affines projectives q dans la variété grassmanienne Gi(W),

d ( 2 , R) = {hl = a,, h = q&, g3 = **a,)- (2.28)

Cette algèbre est apparue dans l'investigation des équations AKNS et plusieurs EDP

non linéaires intégrables (voir par exemple 11, 21). Dans ce cas les équations (2.26)

prennent la forme d'équations de type Riccati dans la variable q

Les conditions de compatibilité de (2.29) exigent que les coefficients -4: satisfassent

la condition de la courbure de gauge (2.23)

Si le système surdéterminé composé de (2.29) et (2.30) est inconsistant, alors nous

considérons le cas des algèbres de Lie Ç qui peuvent être réalisées en terme de champs -

de vecteurs bt en deux variables (q17q,) , avec des coefficients polynômiaus au plus

de deuxième ordre. D'après [34], ies seules algèbres de L.ie de dimension finie avec

coefficients qui sont poIynômes de l'ordre k 5 2 qui peuvent être réalisées en deux

variables sont équivalentes (à un changement de variable prés) à une des algèbres

suivantes ( ou une de ses sous algèbres)

{ b , } = d ( 3 , R), 0(3, l ) , O(& 2) - 0(2 ,1 ) 8 0(2, l), gl(2, R) e t 3 .

où t3 désigne une translation unidimensionnelle.

Puisque la plupart des exemples qui seront traités dans le prochain chapitre seront

des équations aux dérivées partielles ayant deux variables indépendantes (xl, x2) =

(x, t). Pour le cas de l'algèbre s l (2 , W), le système (2.29) devient

et les équations de courbure de gauges (2.30) correspondantes sont

Si l'algèbre considérée est { h l ) = d ( 3 , IR) munie de la représentation suivante:

bl=(<li)2&i+q1q2â91, &=a,,, &,=a,, % = 9&qi + (!?d2aq2, b5 = @aq1 7 b6 = qlapli b7 = 68 = g2aq2-

(2.34)

Dans ces coordonnées le système (2.26) prend la forme d'équations de type Riccati

projective

avec les conditions de courbure de gauge (2.23) données par:

à l'aide d'exemples, nous allons illustrer dans le prochain chapitre, la procédure

donnée dans la section trois. C'est à l'aide d'un programme symbolique en langage

Maple qui sera décrit dans le chapitre 5 que nous avons programmé la procédure

développée dans ce chapitre.

Chapitre 3

Exemples d'applications

Dans ce chapitre, nous présentons plusieurs exemples d'équations intégrables pour

lesquelles nous illustrons nos considérations théoriques concernant la construction

des solutions conditionnellement invariantes développées dans le chapitre S. Cette

méthode nous a permis de retrouver les Auto-Backlund des EDP suivantes: Burgers,

KdV, MKdV: sine-Gordon, Kadomtsev-Petviashvili, Boussinesq, Sawada-Kotera et

Iléquation de Hirota-Satsuma déjà démontrées dans la littérature par d'autres ap-

proches. Nous déterminons aussi une solution explicite de l'équation non intégrable

du type Klein-Gordon. Une forme explicite de la transformation Auto-Backlund de

l'équation de Tzitzéica est trouvée.

La majeure partie de ce chapitre est extraite de deux articles dont un soumis [5] et

le deuxième en préparation 161.

3.1 Contraintes différentielles de premier ordre as-

sociées à la représentation 4 2 , IR)

La détermination des transformations de Bikklund pour l'équation de Liouville et

l'équation de Schrüdinger non linéaire dans le contexte des symétries conditionnelles

est établie dans [39]. Dans ce qui suit nous allons appliquer l'approche des symétries

conditionnelles pour le reste du schéma AKNS (voir la référence dans (11). Tous les

calculs développés dans ce chapitre sont faits grâce au programme BackDar qui sera

décrit dans le chapitre 5.

3.1.1 L'équation de Burgers

Considérons I'équation de Burgers

ut + U U z - uzz = 0.

On cherche une transformation de Darboux spécifique de (3.1) qui serait en conformité

avec la TD (2.13) et de la forme suivante:

u = û + F(q), (3.2)

où te peudopotentiei q satidait un système de type Ricmi;i (2-32) dont les coefncieni;~

satisfont les conditions de courbure de gauge (2.33) et û est une autre solution de (3.1).

L'analyse de la structure des singularités pour (3.1) obtenue en effectuant le test de

Painlevé montre que la solution admet des pôles mobiles simples

u - -2x-l. (3-3)

Ceci implique que F(q) est polynômiale de degré 1 en la variable q. Nous démontrons

ce fait autrement. En effet, en substituant (3.2) dans (3.1), on obtient l'équation

suivante:

Fqqt + ûFqqz + F(ûz + Fqqz) - Fqqq: - Fqqz, = 0- (3.4)

Dans ce qui suit, si I'équation à traiter admet des coefficients qui ne dépendent

pas de x et t alors la fonction F peut être écrite comme un polynôme à coefficients

constants.

Comme I'équation de Burgers satisfait ta condition précédente, la fonction F sera

polynôrniale en q à coefficients constants. Nous substituons ensuite le polynôme F

dans I'équation (3.4). L'analyse des termes dominants de (3.4) montre que F est

un polynôme de degré 1 quelconque F(q) = aq + b, où a et b sont des constantes

arbitraires. On peut supposer sans perte de généralité que a = 1 et b = O. La TD

(3.2) devient ainsi

qui est en concordance avec (2.12). Par conséquent, l'équation (3.4) devient un

polynôme en q de degré 3. En écrivant que chaque coefficient est nul, on trouve

le système suivant

L*integraie généraie d u systkme (3.6j et (8.33) est ie suikxnt:

E n substituant (3.7) dans le système (2.33) nous obtenons que le pseudopotentiel q

satisfait le système suivant:

En éliminant le pseudopotentiel q d e (3.5), on obtient 1'-Auto-BT de (3.1) qui est

connue dans la littérature [5l]

Cette A u t ~ B a c k l u n d (3.9) confirme le théorème de P. Olver énoncé d a n s [73] que

chaque EDP de second ordre admet une infinité de contraintes compatibles de premier

ordre de l a forme Q ( x , t, u, us, ut) = O. Notons qu'on peut obtenir les Auto-BT (3.9)

de l'équation de Burgers par un a u t r e moyen en suivant la méthode développée dans

(391

En effet nous proposons de chercher des contraintes différentielles d'ordre premier qui

sont compatibles avec I'équation de Burgers. Elles sont de la forme

où et + sont deux fonctions supposées de classe C2 en les variables z, t , u. Ceci est

équivalent a étudier le système suivant:

L'élimination de I/J nous ramène à l'équation suivante:

'Pt - (% + 2~<pm + V ~ < P U U - U ( P I - pz) = 0. (3.12)

Xous supposons que la fonction p solution de (3.12) peut être développée en une série

de puissance formelle en u, c.-à-d. 9 = vj(z9 t ) d . Y i 'ous trouvons que cette série

est tronquée à l'ordre T = 2. Ainsi p est quadratique en u, c.-à-d.

p = a ( x , t )u2 + b(x, t ) u + c (x , t ) . (3.13)

Sous substituons (3.13) dans (3.12) et nous demandons ensuite que les coefficients

successifs en u dans I'équation obtenue s'annulent. On obtient les équations suivantes:

a2(2a - 1 ) = O (3.14)

k a , + 2ab(2a - 1 ) - a, = O

a( - (oz, + 4a,b -t 2ab, + (2a - l ) ( b 2 + 2ac)) + b, = O

bt - (b, + 2bbz) +c, = O

CL - (h + 2cbZ) = O .

1 Pour le cas a = -, le système (3.62) est réduit au système suivant:

2

u Si c = O et en introduisant le changement de variable b = -5 dans le système - (3.15) alors le coefficient û doit satisfaire l'équation de Burgers (3.1). D'où les

solutions de (3.12) sont:

- rn ienani ccmpie de (S.iCij nous rwonetmieon~ ainsi ia forme explicite de

l'.Auto-BT de Burger (3.9).

En appliquant le changement de variable

( u , Û ) -5 (v, -(v 4- 26))'

le système (3.9) devient ainsi

La transformation de Cole-Hopf (201, (491

w = -3(lnu),,

linéarise l'équation de Burgers (3.1) et la transforme en l'équation de la chaleur

ut - wZ, = O (3.20)

Si b satisfait l'équation de la chaleur (3.20), alors le système (3.13) devient:

Le système (3.21) possède la solution générale suivante:

ou 0 satisfait une équation transcendante

Les fonctions a et p sont arbitraires en t. Ainsi la solution du système (3.11)

est de la forme

Ainsi les équations (3.10) deviennent:

ou !2 satisfait l'équation transcendante (3.23).

3.1.2 L'équation de KdV

Considérons l'équation KdV

ut + uZz, + 6uu, = 0.

Ramenée à la forme potentielle u = u,, on obtient. l'équation suivante:

wt + w,,, + 3uZ2 = 0. (3.27)

L'analyse de la structure des singularités pour (3.27) obtenue en effectuant le test de

Painlevé montre que celle-ci admet des pôles simples

w ,̂ 2 ~ - l . (3.28)

D'après l'hypothèse (2.12), nous allons prouver que la TD de (3.27) est de la forme

[W - W] = [q]. (3.29)

Considérons une TD de (3.27) de la forme

w = W + F(q) ,

où F est un polynôme en q qui satisfait le système (2.32). En substituant (3.30) dans

(3.27), on arrive à l'équation suivante:

3 Fqqqqz + Fqqzzz + 3Fqqqzqzz + Qc + 3 F:q: + 6&Fqqz = 0. (3.31)

L'analyse des termes dominants montre que F(q) = aq+b, où a et b sont des constantes

arbitraires. On peut prendre sans perte de généralité a = 1 et b = O. Par conséquent,

la TD (3.30 j devient

w = W + q . (3.32)

.Ainsi, on obtient à partir de (3.31) un polynôme en q d'ordre 4. En identifiant les

coefficient.^ à zéro

( A ; ) ~ ( ~ A : + 1) = O (3.33)

6 .4 : ,xx + A:A: + 2=1:(.4:)2 = O

4-4:,.4: + ~ . - I : ( A : ) ~ + 5 . 4 : ~ : ~ + 6&.-1: + -4; + ~A;.-L: + 8 - - 1 7 ( ~ : ) ~ + A:,,

+3(.4:)2 = O

2 O -4; + 2 A , A l , + 6 5 , ~ : + 6.4:.-1; + 4;1:,.47 + + 8.4:~: .4: + A:,,

+ 3 . 4 : , ~ : = O

1 2 O 1 O ( - A l ) Al + A: + 3 ( ~ : ) ~ + ~ A : ( A ? ) * + + .41A1,z + 2.4: ,x~7 + G,A: = 0.

La soIution générale de (3.33) et (2.33) est la suivante:

1 -4: = -23, + A, A: = O , -4: = -- A est arbitraire, (3.34)

2'

En remplaçant (3.34) dans (2.32) on obtient le système suivant: 1

Q, = --q2 - (22 , - A ) , 2

(3.35)

Par conséquent la TD de KdV (3.26) prend la forme suivante:

où le pseudopotentiel q satisfait le système suivant:

h m ~ r q u o n s qu'en éliminant q de (3.32): on obtient 1'-4uteBT de l,r forme potentielle

de IidV (3.27) qui coïncide avec celle donnée par Lamb [XI et qui s'écrit: '1 9

3.1.3 L'équation modified KdV (MKdV)

L'analyse des singularités de l'équation MKdV

ut + u,, - qu3), = O,

implique que la solution u admet un pôle simple avec deux résidus opposés

u - &x-' (3.40)

En vertu de l'hypothèse (2.12), nous démontrons que la TD est de la forme

v = Û + q . (3.41)

Nous pouvons prouver cette relation d'une aure manière. En effet considérons une TD

de la forme (3.2). En substituant la TD (3.2) dans (3.39), nous obtenons l'équation

suivante:

L'analyse des termes dominants dans l'équation (3.42) nous ramène à un polynôme

de degré 1 en q. On peut considérer sans perte de généralité que F(q) = q. Par la

suite, la TD (3.2) devient (3.41). L'équation (3.42) devient polynômiale en q de degré

quatre dont les coefficients s'annulent. Nous trouvons les relations suivantes:

De la première équation de (3.43), nous déduisons trois cas A: = O ou A: = f 1. Pour

le cas A: = O nous obtenons que û est nécessairement constante. Le cas -4: = +1,

nous obtenons la solution suivante:

En substituant (3.44) dans (2.32) et en éliminant le pseudopotentiel q de (3.2) nous

obtenons les contraintes suivantes:

Ces contraintes ne représentent pas une Auto-BT à cause de l'absence du paramètre

A. Une généralisation de l'hypothèse (2.12) basée sur la structure des singularités de

l'équation (3.39) peut se faire si nous prenons une forme spécifique de la transforma-

tion de Darboux (2.11) pour le cas des équations admettant des résidus opposés

41 où q = - et lLi, ~,b* sont des fonctions entières [65]. Par exemple ceci est valable pour Q2

M<dV qui admet des résidus opposés contrairement à KdV qui ne possède pas cette

propriété (voir (3.28))- Nous pouvons montrer cette dernière relation (3.46) de la

manière suivante. Nous ramenons (3.39) à la forme potentielle

Nous allons prouver que la TD de (3.47) en utilisant l'expression (3.46) est de la forme

- . - . . I . . ._. . . - - f . Inq- ( 3 . q

En effet, considérons la TD de (3.47)

w = Lj + In F(q)

où q satisfait le système (2.32) , w et Lj sont deux solutions distinctes de (3.47).

En vertu de l'algorithme proposé dans le chapitre précédent, substituons (3.49) dans

(3.47), on obtient l'équation suivante:

Sachant que F est une fonction polynômiale en q a coefficients constants, l'analyse

des termes dominants nous conduit à une série tronquée pour F jusqu'à l'ordre 1

c.-.à-d. que F(q) = aq + b avec a et b sont deux constantes arbitraires. Sans perte de

généralité on peut supposer que a = 1 et b = 0. Ainsi la TD (3.49) devient (3.48).

L'équation obtenue dans (3.50) est de la forme - P4(9) où P4(q) est un polynorne de q2

degré 4 en q. En écrivant que chaque coefficient de P4 est nul on obtient le système

suivant:

L'intégrale générale de (3.51) et (2.33) est la suivante:

où X est une constante arbitraire. En substituant (3.52) dans le système (2.32) on

obtient le système suivant:

Signalons qu'on peut obtenir l'Auto-BT de (3.47) en éliminant le pseudopotentiel q

de (3.48) qui est une reconstruction de l'Auto-BT de Lamb [Sl]

u, = -2Asinh(w - W) - 2,

Par conséquent, la TD de l'équation potentiel de MKdV (3.47) implique la TD de

MKdV (3.39) est

u = û + &(lnq), (3.55)

et le pseudopotentiel q satisfait le système de type Riccati suivant:

q, = -Xq2 - 2ûg + X

3.1.4 L'équation de sine-Gordon

Considérons 17équation de sine-Gordon (SG)

uZt = sin u.

Ramenée a la forme polynômiale, modulo le changement de variable suivant:

iu z:=e , (3.38)

(3.57) devient

L'analyse de la structure des singularités de ( 3 5 9 ) montre que cette équation admet

des pôles doubles avec résidus opposés

e*" = v*' --. - ~ c x - ~ . (3.60)

où C est l'invariant homographique défini dans l'expression (1.33). En vertu de

l'hypothèse (2.12), nous proposons une TD de la forme suivante

[u - Û] = IqI2. (3.61)

Considérons une TD de la forme (3.2) c.-à-.d

2. = 6 + F(q) .

En substituant (3.62) dans (3.59) nous obtenons l'équation suivante:

L'analyse des termes dominants montre que F est quadratique en q, F(q) = aq2. On

peut prendre a = 1 sans perte de généralité. La TD de (3.59) devient ainsi:

En substituant F(q) = q2 dans (3.63), nous obtenons une équation polynômiale en

q de degré six. En identifiant chaque coefficient à zéro, nous obtenons un système

inconsistant pour les 4. Une analyse similaire à MKdV peut être effectuée pour

l'équation (3.57). L'analyse de la structure des singularités pour SG (651, montre que

celle-ci admet une TD de la forme

2L2 où tbl et q2 sont deux fonctions entières. En posant q = -, la TD (3.65) devient îC.1

ainsi

Le changement de variable (3.58) nous conduit a chercher une TD généralisée de la

forme

2 u = G q , (3.67)

où q satisfait le système (2.32), v et û sont deux solutions distinctes de SG dans la

forme polynômiale (3.59). Xous prouvons que la TD généralisée (3.67) permet de

construire l'Auto-BT de SG. Si on prend une TD généralisée de la forme

u = ûF(q) . (3.68)

En remplaçant (3.68) dans (3.59), on obtient l'équation suivante:

La fonction F est polynômiale en q a coefficients constants puisque les coefficients de

(3.09) sont indépendants de x et t. L'analyse des termes dominants montre que F

est quadratique en q, F(q) = aq2. On peut prendre a = 1 sans perte de généralité.

La transformation de Darboux généralisée (3.68) devient ainsi (3.67). En substituant

F ( q ) = q2 dans (3.69), et sachant que q satsisfait le système (2.32), nous obtenons un

polynôme de degré 6 en la variable q. En écrivant que chaque coefficient est nul on

obtient le système suivant:

La solution générale de (3.70) et (2.33) est la suivante:

En substituant (3.71) dans (2.32) on obtient que le pseudopotentiel q satisfait le

système de type Riccati suivant:

2 Ûz qZ = - A g - 1-q + A,

V

Par conséquent la TD de SG (3.57) est

u = -2 i lnq + û,

où q vérifie:

Xotons aussi que l'élimination de q dans l'équation (3.73) nous permet de retrouver

l'Auto-BT de SG (3.57) [52] A

u - u A

u, = -4A sin(-) - u,, 2

Cette transformation de Biicklund a été caractérisée par Vorob'ev [83 et A. Newell

[68] en utilisant la méthode non classique. Soit û(x, t ) une solution particulière de

SG (3.57). Les deux champs de vecteurs,

u - û ui = 3, + (4X sin(-) + û,)&

2

engendrent un groupe de symétrie conditionnelle et toute solution u conditionnelle-

ment invariante de SG est invariante par rapport à la distribution abélienne engendrée

par t'1 et 2'2.

3.1.5 L9équat ion de Kadomtsev-Petviashvili

Nous proposons dans ce qui suit, d'adapter l'approche décrite par A M . Grundland et

G. Rideau dans [39], afin de déterminer la transformation Auto-Bikklund pour une

équation intégrable en (2 + 1 )-dimension.

Xous considérons la forme potentielle de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili (KP)

Afin de simplifier les calculs, nous réduisons l'équation (3.77) a un système d'équations

de la forme

UY = fx-

Remarquons que si on dérive la première équation du système (3.78) par rapport à x

et en utilisant la deuxième équation du même système nous retrouvons l'équation IiP

(3.77). En accord avec les exigences de notre méthode, nous considérons un système

surdéterminé dTEDP obtenu en ajoutant des contraintes différentielles d'ordre premier

au système initial (3.78). Ici, nous supposons que nous pouvons trouver des formules

pour (u t , u,, u,) et ( fc, fz, fy ) uniquement en terme de x, y, t, u et f. Ceci veut dire que

nous cherchons une classe spéciale de solutions de (3.78) et (3.79) qui sont invariantes

sous I'action des champs de vecteurs

Les conditions de compatibilité entre (3.78) et (3.79) sont déterminées en utilisant les

opérateurs différentiels (3.80),

Sous postulons que les fonctions @, p, @, r ] et C qui sont de classe C2 peuvent s'écrire

comme un polynôme par rapport aux variables u et / dont les coefficients sont réels et

dépendant de x, y et t. Nous remplaçons ensuite ces polynômes dans (3.81). L'analyse

des termes dominants de ces polynômes dans les équations obtenues nous ramène à

plusieurs cas possibles. Un des cas les plus intéressants apparaît quand ces polynômes

ne dépendent pas de f , sont cubiques en u et ont des coefficients dépendants de x, y

et t . En suivant la procédure décrite ci-dessus nous obtenons un système de 12 EDP

pour ces coefficients. L'intégrale générale de ce système peut être paramétrisée par

certaines fonctions v et g, qui satisfont aussi l'équation KP ( M g ) ,

P = gz +l(u - u ) ,

1 C = gv + 4 + uz + ?(u - - u ) ~ ,

Ainsi, en vertu des équations (3.79), l'Auto-Backlund, qui relie une solution de

l'équation IiP à une autre, est donnée par les relations suivantes:

Cette Auto-BT a été donnée auparavant par D. David, D. Levi et P. Winternitz 1271.

3.1.6 L'équation du type Klein-Gordon

Considérons l'équation hyperbolique qu i est non intégrable (elle ne passe pas le test

de Painlevé),

Xous cherchons des solutions de (3.83) compatibles avec les contraintes différentielles

d'ordre premier

Théorème 3.1 Soient <p et qh deux/onctions analytiques en la variable u. L 'équation

du type Klein-Gordon (3.85) est compatible avec le système (3.86) si et seulement si

Preuve: analyser le système composé de (3.85) et (3.86) revient à déterminer des

solut ions conditionnellement invariantes de (3.83) sous l'action de la distribution

abélienne de dimension deux engendrée par les champs de vecteurs suivants:

s-1 = a, + $(x, t , u)&,

En utilsant le fait que les opérateurs (3.87) cornmutent et en tenant compte que u

satisfait l'équation (3.85) nous obtenons

Sous supposons que p et $J peuvent être représentés par deux polynômes en u

La substitution de ces formes polynôrniales de p et q!~ dans (3.88) et l'analyse de

ses termes dominants, nous permettent de déduire que les polynômes (3.89) sont

respectivement de degrés r = 2 et s = 1. Nous obtenons sis équations dont les

inconnues sont les fonctions pi et $Ji. L'exploitation

solution générale de (3.88) est

de cinq équations nous donne la

où f est une fonction arbitraire en z. L'équation restante nous donne une condition

que doit satisfaire la fonction f et qui est la suivante:

P2 Nous déduisons ainsi que a = - et que la fonction f est une constante. 17 4

Le système (3.90) devient ainsi:

et la seule solution dans ce cas trouvée de (3.83) est

Cette solution est donnée sous forme de série de Laurent finie par rapport aux vari-

ables x et t .

3.2 Contraintes différentielles de premier ordre as-

sociées à la représentation sZ(3, IR)

3.2.1 L'équation de Boussinesq

Considérons l'équation de Boussinesq

L'analyse des structures de singularité obtenue du test de Painlevé montre que la

solution u admet un pôle double

(3.95)

En concordance avec (2.12), la TD doit être de la forme

[u - û] = [q]2.

Xous pouvons prouver ceci autrement en effectuant une transformation de Darboux

spécifique de la forme (3.2) , où u et û sont deux solutions distinctes de (3.94). Nous

substituons (3.2) dans (3.94). Nous obtenons ainsi une EDP d'ordre 4 pour la variable

auxiliaire q

La fonction F est polynômiale en q avec des coefficients constants. L'analyse des

termes dominants en q nous ramène une série tronquée pour F jusqu'à l'ordre 2.

L'équation obtenue est un polynôme de degré 6 en q. Nous trouvons que F = aq2+bq,

où a et b sont deus constantes arbitraires avec a négative. Sans perte de généralité

nous pouvons prendre a = - 1 et b = 1 . Xous demandons que les coefficients des

puissances sucessives de q dans cette équation s'annulent. La TD (3.2) devient ainsi

et le système (2.32) obtenu pour le cas de I'équation Boussinesq

ou a est une constante arbitraire. Nous trouvons que le système -l

(3.98)

(3.94) est le suivant:

(3.99)

(3.99) est consistent

1 si et seulement si û = -- - a*. Nous obtenons ainsi la solution solitonique de

12

l'équation (3.91) qui est. la suivante:

1 1 - 1 U ( X , t ) = -- -

12 a2 + 2 Y

où c est une constante arbitraire. Nous considérons par la suite les contraintes

différentielles (2.34) associées à l'algèbre sl(3,W). Dans ce cas, nous plongeons u

dans un espace bidimensionel décrit par qi et 92. Ceci est possible grâce à la trans-

formation de Darboux de la forme suivante:

7.L = 6 + q q i , q2), (3.100)

où ii est une solution quelconque de I'équation de Boussinesq (3.94) et F est une

fonction différentiable en ql et q2 à déterminer. Les pseudopotentiels satisfont le

système surdéterminé composé du système couplé d'ERM (2.35) et les conditions de

courbure de gauge (2.36). La substitution de (3.100) dans (3.94) nous conduit à

l'équation suivante:

La fonction F peut être exprimée comme un polynôme en pi et q2 à coefficients

constants,

+ s

où les coefficients Aij sont constants car ceux de l'équation de Boussinesq (3.94) le

sont aussi. L'équation (3.101) est sujette à des contraintes (2.35) (pour lesquelles

les fonctions -41 doivent satisfaire les conditions (2.36)). Nous substituons (2.35) et

(3.100) dans (3.101). En analysant les termes dominants en q1 et q2 dans I'équation

obtenue, nous trouvons ainsi une série tronquée pour F jusqu'à l'ordre 2 par rapport

à chacune des variables ql et q2. Par conséquent, nous obtenons un polynôme de

degré 8 en ql et q2- NOUS écrivons que les coefficients sucessifs des différents monômes

en ql, 92 s'annulent. Nous obtenons un système surdéterminé pour les fonctions A,'

qui est consistant si

ou A et B sont deux constantes arbitraires avec -4 négative. Sans perte de généralité,

nous pouvons supposer que les coefficients A et B apparaîssant dans (3.104) sont

respectivement égaux à -1 et 1. Par conséquent, la TD (3.103) devient

et nous obtenons les équations pour les fonctions rlf qui seront données dans la section

1.1 de l'Annexe ..A.

L'intégrale générale est parmétrisée par la fonction û satisfaisant ( 3 . 9 9 , ses dérivées

et par une constante d'intégration X

En substituant les relations (3.105) dans les contraintes (2.35) nous obtenons les

équations déterminant l'Auto-BT de l'équation de Boussinesq en terme des pseu-

dopotentiels ql et q2

où w = (q17 qdT.

Remarquons que si on a utilisé la forme potentielle de l'équation de Boussinesq, il ne

va pas apparaitre des formes intégrales dans 1' Auto-BT (3.106)- En introduisant les

coordonnées homogènes \k = , , dans (3.106) nous obtenons les paires de ( 1

Lax de (3.94)

Posons u = v, et û = 6,. À partir de (3.103) et des équations (3.106) nous trouvons la

forme explicite de l'Auto-BT de l'équation de Boussinesq qui représente une extension

de X # O de la forme bilinéaire de Hirota et Satsurna [46, 471

La relation de compatibilité est la suivante:

3.2 -2 L'équation de Sawada-Kotera

Considérons l'équation de Sawada-Kotera (SK)

A ( u ( ~ ) ) = ut + (utZZz + 30uuZz + 6 0 2 ) ~ = 0.

L'analyse de la structure des singularités pour SK (3.110) montre que sa solution

admet un pôle double

u .- U ~ X - * , d e résidus uo = -2 ou uo = - 1 . (3.111)

Similairement au cas de I'équation de Boussinesq, nous réalisons une transformation

de Darboux de la forme (3.2) où la fonction scalaire q satisfait les équations d e type

Riccati (2.32). E n remplaçant (3.2) dans (3.1 IO), nous obtenons l'équation suivante:

La fonction F est polynômiale en q à coefficients constants car ceux de l'équation

(3.110) le sont aussi. L'analyse des termes dominants en q nous conduit à une série

tronquée juqu'au niveau 2. L'équation obtenue à part ir d e (3.112) est polynômiale

de degré 7 en q. Nous obtenons un système consistant pour les -4: si

u = û + .dg2 + Bq, (3.113)

où -4 et B sont arbitraires avec A négative. On peut prendre sans perte d e généralité

que -4 = - 1 et B = 1 . Ainsi l a TD devient

-4 part ir d'un des coefficients d u polynôme d e degré 7 nous trouvons que A: prend

1 1 5 valeurs possibles: 0, f 1 , k-. Pour le cas A: = &-

JZ' nous trouvons un système fi

inconsistant pour les A:. Pour le cas A: = O, nous trouvons que les cinq aut res

coefficients de (2.32) sont également nuls.

Pour le cas A: = 3 ~ 1 nous trouvons que le système (2.32) est le suivant:

où b = 36a - 1. Ainsi pour le cas de l'algèbre sl(2, R), seulement des solutions

constantes Û = a sont trouvées.

En accord avec la procédure décrite dans le chapitre 2, nous considérons dans la

prochaine étape l'algèbre sl(3, IR) munie de la représentation (2.34) où ql , q2 satisfont

un système couplé d'équations de type Riccati projective (2.35) et les 4 satisfont les

conditions de courbure de gauge (2.36). Ainsi nous aurons un plongement de u dans

un espace bidimensionel décrit par les variables auxiliaires qL et q?. Ceci peut être

réalisé à l'aide de la TD (3.100) où Û satisfait l'équation SK (3.110). F est donnée

par l'expression polynômiale (3.102). Nous substituons (3.100) dans (3.110). Nous

obtenons l'équation qui sera donnée dans la sous-section 1.2.1 de l'annexe -4.

Cette équation est sujette à des CD (2.35). L'analyse des termes dominants en q ~ et

qs: nous conduit à la troncature r = 2 et s = 2. Nous obtenons un polynôme de degré

7 en chacune des variables ql et q*. Le système surdéterminé pour les fonctions -4:

est consistant si

où .4 et B sont arbitraires avec A négative. Sans perte de généralité, nous pouvons

supposer que les coefficients A et B dans (3.113) sont respectivement égaux à -1 et

1. Ainsi la TD (3.100) devient

1 1 Nous trouvons que -4: prend 5 valeurs possibles: 0, hl, &-. Pour le cas .4: = f -

f i ,h7 nous trouvons un système inconsistant pour les 4. Pour le cas A: = O nous trouvons

une solution triviale pour SK. Le seul cas qui nous ramène à 1'Autc~Backlund est

-4; = f 1. Nous obtenons un système d'EDP non linéaires pour les Af qui sera donné

dans la sous-section 1.2.2 de l'annexe -4. L'intégrale générale de ce système est la

suivante:

l A2 = -6&(ûx, - 6û2), A: = 9k(2Û, + A), '4: = 6A(ûzz - 6û2), A: = 9(2û, - A),

A$ = -12€(Û, + 3û2), A; = E [ ~ Û ~ ~ ~ ~ f 216û3 + 108ûû, + 36û: + 9A2],

AS = 6[û,, - 9XÛ + 6ûû,], A: = -6[6Ûûx + û,, + 9Aû] (3.117)

En remplaçant les relations (3.117) dans les CD (2.35) nous obtenons les équations qui

déterminent l'Auto-Backlund de l'équation SK (3.110) en terme des pseudopotentiels

q1 et 92,

En introduisant les coordonnées homogènes 9 = 1, 9 2 , \ko dans (3.1 18) nous (Q > obtenons les paires de Lax de (3.1 10)

La forme explicite de la transformation AuteBacklund de l'équation de Sawada-

Iiotera est ainsi reconstruite [28, 781

où u = cz ainsi que û = 6,. La relation de compatibilité est la suivante:

( v - û)tA, - (ZJ - î')zz,t = -6(v - Û ) A ( Û ~ ) ) G 0 .

3.2.3 L'équation de Tzitzéica

Considérons une équation non linéaire

A ( u ( ~ ) ) 3 Vrt - eV + e-2v = O

dont l'origine est un travail de G. Tzitzéica [83, 841 dans loétude de la géométrie

des surfaces intégrables bidimensionnelles. L'équation de Tzitzéica apparaît dans la

dynamique des gaz [31, 32, 801 et dans la théorie classique des champs [82, 291. G.

Tzitzéica [83] qui a étudié les surfaces pour les quelles tous ces points possèdent une

courbure totale proportionnelle à la puissance quatrième de la distance d'un certain

point fixé au plan tangent. Il était le premier qui a formulé les équations différentielles

linéaires pour lesquelles les conditions de compatibilité nous donnent l'équation orig-

inale (3.123). Depuis 1907, l'équation (3.123) a été étudiée par beaucoup d'auteurs

(voir [9] ,[11],[96],[30], [SOI ,[89] et [6l]). M. Musette et R. Conte ont montré qu'elle

passe le test de Painlevé dans [65]. L'intégrabilité complète de cette équation a été

établie dans l'étude des réseaux de Toda bidimensionnelles par -4. Mikhailov 1611.

Récemment , W. K. Schief [81] a montré que le système surdéterminé obtenu par la

troncat ure du développement de Painlevé pour l'équation de Tzitzéica (3.123) ad-

met une solution qui définit une transformation de Biicklund . La signification de

ce résultat devient évidente en raison de la conjecture que les paires de Lau et les

transformations de Bikklund des équations intégrables peuvent être obtenues par

l'intermédiaire de la troncation (au niveau constant) des développements de Painlevé

(dans le sens de Weiss [89]).

Dans ce qui suit on va énoncer quelques théorèmes importants concernant cette

équation dans le contexte des symétries conditionnelles.

Théorème 3.2 L 'équation de Tzitzéica (3.123) n 'admet pas de contraintes dzfférentielles

compatibles d'ordre premier de la forme

oG p et 1L. sont deux fonctions développables en série de Fourier et non identiquement

nulles.

Preuve: les équations (3.124) signifient que les caractéristiques des champs de vecteurs

suivants:

s'annulent. La condition de compatibilité de (3.121) qui correspond à [,Y, Y] = O

s'écrit ainsi:

pi + $pu = sinh v + cosh v - cosh 2u + sinh 2v, (3.136)

qb, + cp& = sinh u + cosh v - cosh 2u + sinh 2u. I

On suppose que les solutions de (3.126) peuvent être représentées par une série de

Fourier de la forme

En substituant (3.127) et (3.128) dans (3.126), on obtient une troncation des séries

pour r = s = 2. D'autre part? en utilisant le fait que cosh(lv),sinh(lv) avec 1 =

0 , 2 , 2 , 3 , 4 est une base, on obtient des systèmes différentiels et algébriques n'admettant

pas de solutions. O

Nous proposons maintenant d'appliquer la :iiéihode des symétries conditionnelles à

I'équat ion (3.123). En concordance avec la première étape de notre procédure décrite

dans le chapitre 2, on change ta variable dépendante

afin de transformer l'équation (3.123) dans la forme polynômiale en u et ses dérivées

L'analyse des structures de singularité obtenue du test de Painlevé pour (3.130) mon-

tre que cette dernière admet un pôle double et deux zéros simples

où C est l'invariant homographique défini dans I'espression (1.35). En concordance

avec (2.1 2)

En 1910 G. Tzitzéica [83], a prouvé que la TD pour l'équation en v (3.123) est de la

forme suivante:

En vertu de (3.129) et (3.132), nous pouvons transformer (3.133) sous la forme sui-

vante:

= - q l q 2 ) 7 (3.2 34)

& $t où q, = 6 -, q2 = fi -- Notons que la relation (3.134) peut s'écrire autrement 1L .i/I

qui est en conformité avec (2.11).

Dans ce qui suit, nous proposons de prouver (3.134) dans le contexte de notre

procédure. En suivant la deuxième étape de notre méthode, nous construisons une

TD généralisée pour (3.130) de la forme

où u et û sont deux solutions distinctes de (3.130). La fonction F est supposée

polynômiale en la variable auxiliaire q = (91,. . . , q,) E B dont les coefficients sont

constants (car les coefficients de (3.130) ne dépendent pas de x et t). Substituons

(3.136) dans (3.130), nous obtenons une EDP de deusième ordre en q qui est la

suivante:

En vertu de l'étape trois, l'équation (3.137) est sujette à des contraintes différentielles

(2.19) pour lesquelles nous supposons une structure d'algèbre de Lie spécifique. Xous

commençons notre analyse par l'algèbre sl(2, IR) munie de la représentation donnée

dans (2.28). Pour cette algèbre, les équations (2.19) deviennent (2.29). Les conditions

de compatibilité de (2.29) sont (2.30). Nous représentons F comme une série finie en

q dans (3.136) et nous substituons ensuite (2.29) dans (3.137). L'analyse des termes

d0rninant.s en q nous ramène à une série tronquéc F jusqu'a l'ordre deux et l'équation

obtenue est un polynôme de degré 6 en q. Nous demandons que les coefficients des

puissances successives de q s'annulent. Nous obtenons un système d'EDP pour les

fonctions Af qui est inconsistant et seulement les constantes F sont admissibles.

En tenant compte de ce qui précède, nous retournons à l'étape 2 de notre procédure

en considérant des algèbres plus larges que (2.28).

Nous choisissons l'algèbre sl(3, R) dont la représentation est donnée dans (2.34).

Dans ces coordonnées le système de CD (2.19) prend la forme dtERM (2.35) pour

lesquelles les fonctions doivent satisfaire (2.36).

Dans ce cas, nous plongeons TL dans u n espace bidimensionel ayant les coordonnées

ql et q2. Par analogie avec le cas précédent, ce plongement peut être réalisé à l'aide

d'une généralisation de la TD (3.136)

La substitution de (3.138) dans f3.iXI j nous conduit à l'équation suilante:

L'équation (3.139) est sujette aux contraintes (2.35) (pour lesquelles les fonctions

A: doivent satisfaire la condition de courbure de gauge (2.36)). Nous substituons

(2.33) et (3.138) dans (3.139). La fonction F peut être exprimée en une série finie

(à coeEcients constants) en fonction des variables ql et q2. L'analyse des termes

dominants dans l'équation obtenue nous ramène à une série tronquée pour F jusqu'à

l'ordre 2.

Comme dans le cas précédent, l'équation obtenue est polyn6rniale de degré 6 en les

variables ql et qz. Ensuite nous demandons que les coefficients des monômes en q1 et

qz s'annulent et nous obtenons ainsi

- 8 a ~ ; ( 2 ~ : + a ~ s ) = 0,

8a2(2&4: - aû) = 0,

-2Ai.4: + .$A: - dE.4: - II:, = O,

A;,$ + A;A; = 0,

3 4 8 -&.-l: + 2A2Al + A ~ A ? - Al* = O?

2 r l ? ( ~ : - A:) + 2il?,, = 0,

4 A; = A: = A: = A; = il; = A; = -4, = 4: = 0,

1 =A;* = A : ~ = = A;,~ = -4;,t = O , où O # a E He

Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que la constante a qui apparaît

dans (3.140) est égale a 1, puisqu'il est toujours possible d'introduire de nouvelles

variables QI = ~ l a 1 ~ / ~ ~ ~ et q2 = la^/^^^ où E = hl. Dans ce qui suit, pour simplifier

les notations, nous désignons @, par qi, i= 1,2. Ainsi, l'équation (3.138) devient

u = U(q1q2 - 1). (3.142)

La transformation de Darboux généralisée (3.142) nous donne une relation entre le

rapport de deux solutions de I'équation (3.130) et les pseudopotentiels q, et qî et est

donnée par une fonction de gauge près.

Finalement, en suivant l'étape 5 et 5.a de notre procédure on cherche les solutions

.-lf(x) du système surdéterminé H composé de (2.36) et (3.141). L'intégrale générale

de ce système est paramétrisée par la fonction û (solution de (3.130)), ses dérivées et

par une constante d'intégration k

1 -k k i-i t i-i t A ~ = o , A ~ = - A: = O, A$ = -a, A: = 0, dg = ,, -42 = -7. -4, = -

2 , h ' J5' u 21

Finalement, I'.4uto-Backlund pour l'équation (3.130) est définie par la TD généralisée

(3.112) et les contraintes différentielles de premier ordre (2.35). En effet, en rem-

plaçant les relations (3.143) dans les contraintes (2.35), on obtient une transforma-

tion Auto-Backlund en terme des pseudopotentiels ql et q2 dont la forme d7ERM

project.ives.

o ù on désigne w = û2(ql,q2)T et k peut être interprété comme un paramètre de

Backlund. Ceci veut dire que I'équation (3.139) est invariante sous l'action de la

distribution abélienne engendrée par les deux champs de vecteurs suivants:

En introduisant des coordonnées homogènes 9 = 1 , 80 dans (3-144), on (Q ) obtient les paires de Lax de I'équation (3.130)

Sotons que les paires de LRI (3.?47), ccntr~irement R celles obtenues d ~ n s [95] sont

symétriques au sens qu'elles contiennent les deux dérivées de û par rapport à x et t .

D'autre part, en effectuant le changement de variable

dans les systèmes d'équations (3.147) et (3.148), on obtient les paires de Lai; de

l'équation de Tzitzéica (3.123), qui est exactement une reconstruction du travail de

Tzitzéica [83]. Récemment, H. X. Yang et Y.Q. Li ont reconstruit des paires de Lax

équivalentes dans [95] en utilisant la méthode de Whalquist et Estabrook [91].

En introduisant de nouvelles variables dépendantes

y z = u l & = Û , (3.148)

['équation (3.130) devient

Nous utilisons maintenant les équations qui déterminent l'Auto-Backlund corn-

posée de la TD (3.142), et les équations de type Riccati matricielles (3.144) et (3.145)

afin de construire la forme explicite de l'Auto-BT de l'équation (3.149). Nous mon-

trons que le processus d'élimination des pseudopotentiels ql et qz peut se faire de

deux façons différentes. Ce processus nous ramène en général à trois équations aux

dérivées partielles. Le but est de trouver un système de deux équations fonction-

nellement indépendantes parmi ces trois équations (nous éliminons celle qui est une

conséquence différentielle des deux équations restantes.) Nous allons démontrer dans

le cas de l'équation (3.149) qu'une de ces deux éliminations nous ramène à une Auto-

BT formée de deux équations dont une EDO de type Gambier 5 qui peut être linéarisée

par une transformation de Cole-Hopf et une EDP d'ordre premier. La condition de

compatibilité pour le système de ces deux équations s'exprime comme produit de

l'équation originale et d'une certaine fonction dépendant de (y - y).

Nous éliminons les variables auxiliaires ql et q2 à partir des équations (3.142) et

(3.144) et (3.145). En effet, en utilisant (3.142) nous déduisons que

Par la suite, en remplaçant (3.150) dans la première équation de (3.144), nous trou-

vons que

La première élimination consiste à remplacer (3.151) dans la transformation de Dar-

boux généralisée (3.142). Nous trouvons que

Ensuite, nous remplaçons les expressions de ql et q2 données respectivement dans

(3.1 31) et (3.152) dans la seconde équation de (3.141) et les équations (3.145). Nous

trouvons trois équations compatibles avec l'équation (3.149) dont deux EDP de pre-

mier et second ordre et la troisième est une EDO de second ordre

k2 Y, + i z Yzt + - yt -y, &(y - y) = O ,

m y - ?a2 - yz- - Y - Y 2

k2 YI + I x . gt - y: & @zt - - fi (Y - @)2 - %- Y - Y +,(Y-Y)=(), -

Une autre façon de procéder serait de remplacer l'expression de ql donnée dans

(3.151) dans la deuxième équation de (3.144). Nous trouvons que q2 est déterminée

par l'expression suivante:

Xous obtenons une EDP de premier ordre en égalant (3.132) et (3.156)

Yous substituons ensuite les expressions de ql et q* données respectivement dans

(3.151) et (3.106) dans la deuxième équation de (3.143) et en tenant compte de

I'égali té des expressions (3.156) et (3.1 52) nous obtenons l'équation suivante:

o ù les fonctions y et y sont deux solutions de l'équation de (3.149).

L a condition de compatibilité de (3.157) et (3.158) est

Yotons que si on effectue le changement de variable Y = 2(y - y), l'équation (3.108)

devient une EDO de second ordre donnée par:

où Y = l), = YM. Cette équation appartient à la cinquième classe d'équivalence

de Gambier [33] et elle est linéarisable par la transformation de Cole-Hopf suivante:

r Y = - -, ce qui donne

7-

De même, I'équat ion (3.157) devient

En conclusion, 1' Auto-BT de I'équation (3.149) est formée des deux équations (3.157)

et (3.108).

Nous utilisons maintenant les équations qui déterminent 1' Auto-Bkklund composée

de la TD (3.142), et les équations de type Riccati matricielles (3.144) et (3.145) afin

de construire la forme explicite de I'AuteBT de I'équation de Tzitzéica (3.123). En

wrtu du changement de variable (3.129) et la TD généralisée (3.142) nous déduisons

que la TD de l'équation de Tzitzéica (3.123) est la suivante:

v = 8 + ln(qlq2 - 1) (3.163)

Les pseudopotentiels pl et 92 satisfont le système de type Riccati projectif suivant:

Sous faisons la même analyse que celle déjà faite pour l'équation (3.149) afin de

déterminer une forme explicite de IT.4uto-BT de I'équation de Tzitzéica (3.123). Ainsi

il existe deux façons différentes pour éliminer les pseudopotentiels ql et q2. Nous allons

démontrer dans le cas de l'équation de Tzitzéica qu'une de ces deux éliminations se

ramène à une Auto-BT formée de deux équations dont une EDO de type Gambier

5 peut être linéarisable par une transformation de Cole-Hopf et une EDP d'ordre

premier. Cependant, dans ce cas, on élimine q, et q* en exploitant seulement les

équations de type Riccati et non pas la TD. Le processus d'élimination dans le cas

de I'équation (3.149) a eté basé sur l'utilisation de la TD en l'insérant dans une des

équations de type Riccati.

On commence par éliminer 92 de (3.164). Nous trouvons que

Xous substitions ensuite I'expression de q- donnée dans (3.168) dans les trois équations

restantes (3.165),(3.166) et (3.167). Nous obtenons ainsi trois équations dont deux

sont fonctionnellement indépendantes . Nous obtenons une EDO de second ordre et

une EDP de premier ordre

La condition de compatibilité entre (3.169) et (3.170) est la suivante:

Sotons que l'EDO (3.169) appartient à la cinquième classe d'équivalence de Gambier

et elle est linéarisable en effectuant le changement de variable suivant:

Lëquation linéaire obtenue à partir de (3.169) est la suivante:

où w = w,,, w = w,.

En utilisant la TD (3.163) et I'équation (3.164) nous déduisons que

ql = -- / ( e u - eY)dz. k

(3.1 73)

Nous obtenons ainsi la forme explicite de l'auto-BT de I'équation de Tzitzéica (3.123)

en remplaçant I'expression de ql donnée dans (3.173) dans les équations (3.169) et

(3.170). Cette Auto-BT a été récemment obtenue [24].

Xotons que l'équation (3.123) admet une classe de contraintes différentielles compati-

bles, composée doEDP de deuxième ordre qu'on peut trouver dans [9, 791. Cependant,

notre méthode est plus convenable pour effectuer les calculs, puisque les équations

(3.169)-(3.170) possèdent une forme beaucoup plus simple.

La deuxième méthode consiste à éliminer ql de (3.166). Nous obtenons que:

Ensuite, nous substituons l'expression de pl donnée dans (3.174) dans les trois équations

(3.1641, (3.165) et (3.167). Nous obtenons trois équations dont deux sont fonction-

nellement indépendantes. Les deux équations consistent en une EDO de second ordre

qui appartient a la cinquième classe d'équivalence de Gambier ainsi qu'une EDP

d'ordre premier

q2,t -

La condition de compatibilité entre (3.175) et (3.176) est la suivante:

( 9 i , ~ ~ ) t - ( q i , t ) ~ ~ = 92e-2v(e2"(û(2)))~. (3.177)

Xotons que l'EDO (3.175) peut être linéarisable en effectuant le changement de vari-

able suivant:

ce qui donne

où = rmz, + = rZ.

Notons que la condition de compatibilité (3.177) montre que le système composé des

équations (3.175) et (3.176) ne constitue pas l'Auto-BT pour l'équation de Tzitzéica

(3.123). Dans [24], les auteurs ont prouvé que la linéarisation du système composé

des équations (3.175) et (3.176) par une certaine transformation de Cole-Hopf, peut

ramener au paire de Lax scalaire de l'équation de Hirota-Satsuma qui sera discutée

dans la prochaine section.

Nous nous proposons dans ce qui suit d'effectuer la même analyse pour les algèbres

de Lie citées dans (2.31) autre que sl(3, R)).

Yous considérons le cas de l'algèbre {&) = o(3.1) munie de la représentation

Dans ces coordonnées, le système des contraintes différentielles (2.19) est un système

couplé d'équations de Riccati

où (x l , x2) = (2, t ) . Pour cette représentation les conditions de courbure de gauge

(2.23) sont:

L'équation (3.139) est sujette à des contraintes différentielles (3.180) (pour lesquelles

les coefficients Af doivent satisfaire la condition (3.181)). En suivant la même procédure

développée dans le chapitre 2, on remplace (3.180) dans (3.139) et nous supposons

que la fonction F est developpée en une série finie dont les coefficients sont constants

en fonction des variables ql et 92. L'analyse des termes dominants nous conduit à une

série tronquée pour F jusqu'à l'ordre 3, et l'équation polynômiale obtenue est d'ordre

9 en ql et q2. XOUS obtenons que

On peut prendre a = 1 sans perte de généralité (voir le cas de l'algèbre sl(3, IR)). La

TD devient ainsi

U = Û(qlq2 - 1). (3.184)

Xous obtenons un système inconsistant pour les fonctions -4: (voir chapitre 5) et

seulement la solution nulle est trouvée pour (3.130).

Par soucis de simplicité, nous allons proposer le système en -4: seulement pour

I'algèbre o(3, l ) .

Nous considérons le cas de l'algèbre { i l } = 4 2 , 2) - o(2,l) 0 o(2,l) qui admet la

représentation suivante:

Dans ces coordonnées, le système composé par les contraintes (3.19) est un système

de type Riccati

où (xi, 5 2 ) = (x, t). Les conditions de courbure de gauge pour les fonctions A: sont

L'équation (3.139) est soumise à des contraintes différentielles (3.186) (pour lesquelles

les fonctions -4: doivent satisfaire la condition de courbure de gauge (3.187)). L'analyse

des termes dominants en ql et q2 dans (3.139) nous ramène à une série tronquée pour

F jusqu'à l'ordre 3 et par la suite l'équation polynômiale obtenue à partir de (3.139)

est de degré 9. Nous demandons ensuite que chaque coefficient des monômes en ql et

q2 s'annule. Par conséquent, la fonction F a la même forme que dans (3.184). Dans

ce cas là, on trouve un système inconsistant pour les A f , et seulement la solution nulle

de l'équation (3.230) est trouvée.

Nous analysons maintenant le cas de la dernière algèbre gl (2 , IR) CI-& munie de la

représentation suivante:

(+{& = a,, &j = ,,aq2, b, = (ql)'aq2}

Dans ces coordonnées le système de contraintes différentielles associées (2.19) se trans-

forme en

1 qixi = A, + + ~ : ( q ~ ) ~ , i = 1,2 (3.189)

où ( x i , 2 2 ) = (x, t). (3.189) est de type Riccati en q1 et (3.190) est linéaire en 92. Les

conditions de courbure de gauge sont

Xous ajoutons à I'équat ion (3.139) les contraintes différentielles (3.189) et (3.190)

(pour lesquelles les coefficients il: vérifient la condition de (3.191)). Nous remplaçons

(3.189) dans (2.35) et nous supposons que F est developpée en une série finie à

coefficients constants en terme des variables qi et qz. En analysant les termes domi-

nants, nous trouvons que F se tronque jusqu'aux degré 3 en ql et degré 1 en q2. Par

conséquent, nous obtenons à partir de l'équation (3.139) un polynôme de degré 9 en

ql et de degré 3 en q2. Nous obtenons un système inconsistant pour les -4:.

Ainsi lorsqu'on a une représentation polynômiale d'algèbres de Lie en deus vari-

ables, il n'est pas surprenant de trouver une seule algèbre, qui est dans ce cas sl(3, IR)).

Ceci nous ramène à la construction de l'Auto-Backlund.

3.2.4 Équation de Tzitzéica sujette à des contraintes différen-

t ielles d'ordre premier et séparation des variables

Dans cette section, nous présentons une approche différente de I'équation de Tzitzéica

(3.123) en combinant la méthode non classique proposée par G. Bluman et S. Kurnei

dans [8] et certaines techniques de séparation de variable (developpées en premier

lieu dans [42]). Pour des raisons purement calculatoires, il est plus facile d'écrire

l'équation originale (3.1 23) sous la forme suivante:

Xous cherchons une classe de solutions de (3.192) invariante sous l'action d'un champ

de vecteur

Z = XI&, - X2&, (3.1 93)

où X1 et /Y2 sont des fonctions de 3: et t respectivement. Nous supposons l'existence

de fonctions < et q qui dépendent de X1 et JY2 respectivement, telles que

Ceci veut dire que les fonctions XI et ,Y2 sont supposées localement monotones par

morceaux. En utilisant le fait que toute fonction p(s), où s = ,YIS2, est invariante

par l'action du champ de vecteur Z, nous réduisons l'équation (3.192) à l'équation

différentielle suivante:

où, pour simplifier les formules, on utilise les notations

d~ I dJY1 , - = dA-2 -= 4 - = ( s ) , - - d77 , -= ds dx dt d X l d,Y2 v'-

En faisant agir le champ de vecteur Z dans l'équation (3.193), nous obtenons

où nous introduisons le générateur adjoint

Z* = x,a,-, + ,\:;a,, ,

,Y* qui commute avec Z (c.-à-d. [Z,Z'] = O). Le générateur adjoint Z* admet r = - comme fonction invariante. L'équation (3.196) implique que la fonction

est une fonction de s seulement, c.-à-d.

ZZ*ln[FI = 0.

Ceci implique qu'il existe deux fonctions hl et h2 d'une seule variable s = X1X2 et

r = XI /,Y2 respectivement, telles que

F = hl(s)h2(r)- (3.199)

Xous substituons (3.199) dans (3.198), ensuite nous dérivons l'équation obtenue deux

fois, par rapport à Xi et ,Y2. Après séparation des variables par rapport à s et r , nous

obtenons un système d'équations de type Cauchy-Euler

s2h; + sh; - Ahl = 0 , r2h: + rh; - Ah? = 0, (3.200)

où X est une constante de séparation. L'intégrale générale du système (3.200) possède

la forme suivante:

hl ( s ) = C l sJ" + C ~ S - ~ ~ h2(r ) = D ~ T ~ + D ~ T - ~ , (3.201)

oh Ci, Di, i = 1,- sont des constantes arbitraires. Notons que les solutions de (3.201)

dépendent du signe de A. Ce fait nous conduit à trois situations différentes c.-à-d.

A > O, X = 0 , A < O. II est facile de montrer que dans le cas de l'équation de Tzitzéica

(3.192) la solution explicite trouvée par la séparation des variables correspond à X = 0 .

Dans ce cas les solutions de (3.200) sont

hl ( s ) =Cl+C21nlsl , h2 ( r )= Dl+D21nlrl. (3.202)

Sous substituons (3.202) et (3.199)

et A-27 on se ramène a des EDO

dans (3.198). .4près avoir

(C2D2 + C2 Dl),& In ,Yl -

séparé les variables S1

C2D2Xl (ln

La résolution des équations (3.203) nous conduit à la solution suivante:

où b et sont des constantes arbitraires. Nous résolvons ensuite les équations (3.194)

à l'aide des expressions de <(,Y1) et i ) (X2) données dans (3.204). Nous trouvons les

solutions en fonction de l'inverse de la fonction elliptique de Weierstrass

Les invariants de la fonction P-weierstrass sont les suivants:

Après avoir substitué (3.202) et (3.205) dans (3.196), nous intégrons l'équation obtenue.

Xous obtenons

Xous remplaçons ensuite (3.205) et (3.206) dans (3.195). Nous obtenons

En utilisant le théorème d'inversion locale pour (3.206), s peut s'écrire comme une

fonction de cp. Nous substituons alors ce résuitat dans (3.207). Nous obtenons

'Tous obtenons l'équation de Tzitzéica (3.192) a l'aide d'u

constantes

et CL, Dl, p. b sont reliées par la relation suivante:

Cl3 + C:b3D1 - 2Clb3p = 1 .

on appropriée des

(3.209)

Ainsi (3.205) devient

Nous utilisons (3.206) avec le choix des constantes (3.209) et (3.210)' nous obtenons

la solution de rang 2 de l'équation de Tzitzéica (3.192) qui représente la superposition

de deux ondes

et 14,g2r b sont des constantes arbitraires. Signalons que Y. Brezhnev [IO] a trouvé la

solution explicite de (3.192) en terme de la fonction P-Weierstrass

où B est une constante arbitraire. Cette solution dépend de x seulement et est

invariante par l'opérateur de translation &, contrairement à notre solution donnée

dans (3.212) qui dépend de x et t. Après avoir remplacé (3.211) dans (3.193) nous

obtenons que la solution (3.212) est invariante sous l'action du champ de vecteur

Notons que le champ de vecteur (3.213) corresponde à une symétrie non classique

puisqu'il ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire des champs de vecteurs

qui sont les générateurs de l'algèbre de symétrie classique de l'équation de Tzitzéica

(3.192). Cette solution est la reconstruction du résultat de [65], elle représente la

superposition de deux ondes de propagation.

3.2 -5 L 'équation de Hirota-Satsuma

Considérons l'équation d'ordre trois [48] suivante:

&(d3)) = vzlt + auzut = F ( t ) .

Où F ( t ) est une fonction arbitraire de f.

Pour le cas a = -3, I'équation (3.214) peut être transformée en utilisant le change-

ment de variable suivant:

1 u = -v + -(x f t ) ,

3 (3.215)

à I'équation de Hirota-Satsuma

4(d3)) = ut - uzzt + uZ - 3u1ut = F l ( t ) . (3.216)

L'équation (3.214) est reliée à l'équation de Tzitzéica (3.123) étudiée dans la section

3 de ce chapitre. Cette liaison se manifeste dans la transformation suivante:

v, = -@,, + &*), ut = -3e0, (3.217)

o ù q5 est une solution de Tzitzéica (3.123)

Cependant cette transformation (3.217) n'est pas bijective. En effet, en utilisant le

fait que v satisfait l'équation (3.214), avec cr = 1 , on aura ainsi:

L'équation (3.218) indique que

&t = e@ + k(t)e-*? k est une fonction arbitraire en t . (3.219)

Ainsi on peut obtenir I'équation de Tzitzéica (3.123) en donnant une valeur parti-

culière à la fonction k c.-à-d. k ( t ) = -1.

L'analyse des structures de singularité obtenue du test de Painlevé pour (3.214)

montre que cette dernière admet un pôle simple

Ainsi la TD pour (3.214) doit être de ta forme

!. - q = [41.

Nous proposons dans ce qui suit de prouver :a relation précédente. Nous abordons

notre analyse avec l'algèbre sl(2, IR) munie de la représentation (2.28). ojous effectuons

une TD de la forme (3.2), c.-à-d.

La substitution de (3.222) dans (3.214) nous conduit à l'équation suivante:

Kous savons que la fonction F est polynômiale à coefficients constants car ceux de

(3.214) le sont aussi. L'étude des termes dominants en q nous ramène à une série

tronquée d'ordre 1, F(q) = Ag + B. Sans perte de généralité, nous pouvons supposer

que A = 1 et B = O. La transformation (3.222) devient ainsi

L'élimination du pseudopotentiel q à partir des équations (3.224) nous conduit à une

solution explicite particulière de l'équation de troisième ordre (3.214) en terme de la

fonction elliptique de Weierstrass qui dépend de x et une fonction arbitraire en t et

qui est donnée par l'expression suivante:

Notons que la fonction C est une fonction arbitraire en t, anisi que p et k sont deux

constantes arbitraires. Ceci est la construction de la solution trouvée dans [64].

En accord avec notre procédure, nous considérons ainsi le cas de l'algèbre sl(3, IR)

munie de sa représeritation (2.34), où ql et q2 satisfont les équations (2.35). La TD

(3.200) prend ainsi la forme suivante:

La substitution de (3.226) dans (3.214) nous conduit à I'équation suivante:

où F est donnée dans l'expression (3.102). Après avoir substitué (2.35) dans (3.214),

nous anaIysons les termes dominants en ql et q2. La série (3.102) est tronquée pour

r = s = I et I'équation obtenue est polynômiale de degré 4 par rapport aux variables

q i et qz. Le système est consistant si

F(ql,q2) = Aqi + B, i = l , 2 (3.228)

où A et B sont des constantes arbitraires. Sans perte de généralité, nous pouvons

supposer que -4 = 1 et B = O. Le choix de ql et 92 étant symGtrique, la transformation

de Darboux (3.226) devient alors

Pour n'importe quelles ql et q2, l'équation (3.227) prend la forme d'un polynôme en ql

et q* , dont les coefficients forment un système d'EDP qui sera donné dans la section

1.3 de l'annexe -4. Sa solution générale est la suivante:

La transformation Auto-Biicklund pour I'équation (3.214) est composé de la TD

(3.329) est le système de type Riccati matriciel suivant:

Yous obtenons ainsi les paires de Lax de l'équation (3.214)

En éliminant ql a partir de la transformation de Darboux (3.229) et q2 à partir de

(3.231) et en utilisant les équations restantes dans (3.231) et (3.232) nous obtenons

I'Auto-Backlund de l'équation (3.214). Elle est définie par les équations suivantes:

X 36(v - Û), + 18a(v - û)(v + Û), + a2(v - Û ) ~ - 216- = 0.

Ck

La relation de compatibilité de (3.235) est:

Pour le cas (a = -3) l'Auto-BT de l'équation de Hirota-Satsuma (3.216) est donnée

en termes d'ERM projectives

Les paires de Lau de l'équation (3.216) sont:

Par conséquent, la forme explicite de l'Auto-BT de I'équation de Hirota-Satsuma

(3.216) est composée d'une EDO de second ordre et une EDP d'ordre premier et est

la suivante:

Elle relie une solution de (3.216) à une autre. La relation de compatibilité de I'Xuto-

BT précédente est

Sotons que pareillement a u cas de l'équation (3.149), on obtient une Auto-BT de

l'équation de Hirota-Satsuma (3.216) composée d'une EDO de second ordre qui ap-

partient à la cinquième classe de Gambier. En effet en posant Z = 2(u - û) dans

(3.242) nous obtenons l'EDO suivante:

oii 2 = Z,, 2 = Z,,. Cette équation est linéarisable par la transformation de Cole-

F Hopf Z = -

F

où F = Fzxx7 F = F,. D'autre part en utilisant le même changement de variables

I'EDP de premier ordre (3.241) s'écrit:

Cette ressemblance entre la structure des Auto-BT de l'équation (3.149) et celle de

Hirota-Satsuma (3.216), qui sont d'ordre 3, est expliquée par les changements de

variables (3.148), (3.215) et (3.217) c.-à-.d.

Chapitre 4

Contraintes différentielles d'ordre

supérieur

Dans ce chapitre, nous proposons de dériver des conditions suffisantes pour l'existence

des solutions conditionnellement invariantes des EDP de second ordre basées sur les

hypothèses du théorème de Lie concernant les solutions fondamentales des EDO. En-

suite nous déterminons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une EDP

d'ordre p + 1 quelconque soit compatible avec plusieurs contraintes différentielles de

second ordre. Enfin nous montrons l'efficacité de notre approche en déterminant

une solution explicite non triviale de l'équation de Korteweg-de Vries Burgers. Nous

établissons deux théorèmes concernant la nature des contraintes différentielles d'ordre

supérieur conipatibles avec l'équation de Tzitzéica.

La majeure partie de ce chapitre est extraite d'un article en préparation (61.

4.1 Construction des solutions conditionnellement

invariantes des EDP

Par soucis de simplicité, nous restreignons notre discussion aux cas des EDP de

deuxième ordre ayant deux variables indépendantes r = (xl, x2)

H(x i , U, ui, uij) = O 2 , = 172. (4.1)

au a 2 ~ Nous rappelons les notations du chapitre 2, .il, = - , uij = -.

axi axixj

Nous allons essayer de dériver des conditions suffisantes pour l'existence de certaines

classes particulières de solutions conditionnellement invariantes pour (4.1)- Nous

sommes intéressés à trouver certaines classes de solutions du système surdéterminé

suivant:

Les fonctions 9, AT 7 dépendent des \-ariabies x; u et ul à déterminer par les relations

de compatibilité. Pour cela, nous introduisons la variable auxiliaire v : £ -+ U et les

deux champs de vecteur définis dans JO = E x U C R2 x R2 de la forme suivante:

Donc les fonctions I, A et @ dependent de x, u et v seulement. Nous limitons notre

considération au cas où I'EDP (4.1) est sujette a des CD obtenues en demandant que

les caractéristiques des champs de vecteurs Zk soient nulles

Sous désignons par R le système obtenu de (4.1) et (4.4) et qui est le suivant:

Par élimination de la variable v à partir des CD ( 4 4 , le système R se réduit donc à

un système d'EDP pour u avec des contraintes différentielles de second ordre, qui est

le système (4.2). La condition de compatibilité pour (4.2) nous donne

où nous utilisons les opérateurs des dérivées totales modifiées [73]

à la place de (4.3).

Sotons que si les conditions (4.6) sont satisfaites, alors le commutateur de 2 1 et

s'annule. Donc, les deux champs de vecteurs constituent une distribut ion abélienne

bidimensionelle définie dans E x u('). Les conditions (4.6) assurent que les solutions

obtenues à partir de (4.2) constituent évidemment des solutions du système original

(4.1).

Le théorème d'existence de certaines classes de solutions de (4.1), basé sur les hy-

pothèses du théorème de Lie concernant les solutions fondamentaIes peut être formulé

comme suit:

Théorème 4.1 Si les conditions suivantes sont satisfaites:

1) il existe deux ensembles de fonctions de classe C1 A' : E + E et bi : U c R2 -t U telles que toutes les dérivées de IL par rapport à xi sont décornposables.

dans un certain domaine 2) c E x U.

2) i l existe un ensemble de T champs de vecteurs linéairement indépendants dans U

= b:(u, v)& + b:(u, u)t3, (4-9)

qui engendrent une algèbre de Lie de dimension finie G,

O& les Ch sont les constantes de structure.

3) pour une réalisation de l'algèbre de Lie en fonction des champs de vecteurs

(4.10) on suppose que les conditions suivantes sont satisfaites:

(iii) -4: bi (u, v ) = v. possède des solutions n o n triviales pour A' (z) - - -.rlr(z).

Alors il &te localement une solution conditionnellement invariante u = f (xl, x 2 ) de

(4.1) telle que pour

du système d'EDO,

x 2 0 f i é cette solution u = f ( x l , x * ~ ) devient la solution générale

et similairement, si les rôles des variables xl et xz sont interchangés, c.-à-d. pour xlo

h é , cette solution u = f (zLo, x2) deviendra la solution générale du système d%DO

r dv du

r

- = - 4 ~ ( ~ 1 ~ , x2)b:(u, v ) , - = -4i(q0, x2)b?(u, v ) . d12 [=1 dx2 1=1

Preuve: afin de montrer l'existence d'une solution SC1 de (4.1), nous devons prouver

que le système composé des équations données dans 3) i i et (4.11) est consistant sous

les hypothèses données dans le théorème. Xous commençons par réécrire le système

(4.8) autrement

où nous notons (u, v ) = ( u l , u2) . La symétrie d e la dérivée seconde de (1.12) nous

donne

Comme les champs de vecteurs ha sont linéairement indépendants, en vertu de I'hyp*

thèse (3i) il s'ensuit que la condition de compatibilité du système (4.12) est identique-

ment satisfaite. Notons que pour 2 2 0 fixé, le système (4.12) constitue une famille

paramétrée d'EDO

Ainsi chaque famille d'EDO (4.14) admet une formule de superposition. Comme les

conditions 1) et 2) de notre théorème coïncident avec celles du théorème de Lie, il

s'ensuit qu'il existe une solution

telle que pour x20 fixé, (4.15) devient la solution générale de (4.14). Sous les hy-

pothèses 1) - 3) les fonctions

satisfont les conditions (2.5) du théorème 2.1. Ces conditions appliquées aux équations

(1.12) sont (322). Par la suite, l'équation (322) sujette à des contraintes (4.12) admet

des SCT.

Nous considérons maintenant la possibilité de construire des solutions condition-

nellement invariantes basées sur des contraintes différentielles contenant des dérivées

partielles d'ordre supérieur.

Considérons une EDP d'ordre k ayant ( p + 1) variables indépendantes x = (5, xo) E

C c IR?'+', de la forme

Xous désignons par R le système surdéterminé composé de l'équation (4.17) et des

contraintes différentielles de premier et second ordre,

au au a2 u où nous désignons par uo = - ,u,= - a* u

? U00 = - uoa = -, a = 1,- , p . Les ~ X O axa t 3 ~ g ' ~ = C O Z ~

fonctions a, A,, y, sont des fonctions en (z, u, uo) qui seront spécifiées en utilisant les

conditions de compatibilité du système (4.18).

Dans ce qui suit, on propose de trouver des conditions nécessaires et suffisantes

pour que le système (4.18) soit compatible.

Xous supposons qu'il existe un ensemble ouvert D c E et deux fonctions à valeurs

réelles u : D -+ U et v : D + U. Tl existe aussi un groupe de transformations locales

connexe G opérent sur un ensemble ouvert t3 c E x U2 avec (p +- 1) générateurs

in fi n i tésimaux linéairement indépendants

Xous supposons que (4.17) admet une algébre abélienne de symétrie conditionnelle

de dimension O> + 1) (voir la définition 2.15) dont les générateurs sont XP. Les

caractéristiques des champs de vecteurs ,YP qui s'annulent sont exprimées ainsi

Qo(x? u"), d')) (u0 - U, vo - 6) = (ol O) (4.20)

Qa(x, dl), t.(l)) (u. - va - Au) = (Ol O).

Sous ajoutons à I'EDP (4.17) un systéme de CD (4.20). Nous désignons par R le

système surdéterminé obtenu. L'élimination de la variable auxiliaire u à partir des

CD (4.20) réduit le système R à un système surdéterminé d'EDP en u seulement avec

des contraintes de premier et second ordre, c.-à-d (4.18).

Les conditions de compatibilité pour le système R sont

où nous utilisons les dérivées totales modifiées

à la place de (4.1Ei). sou^ rappelons aussi la notation r:z,~81,ÿ = ?,At,, - .;A,.G.

Si les conditions (4.21) sont satisfaites, alors les commutateurs de ,Yp, X, sont égaux

à zéro. Ceci veut dire que {,Yo, XI, - - - , X,} forme une distribution abélienne de

dimension ( p f 1) définie dans S x Ldl). Les conditions (1.21) et (4.22) nous assurent

que les solutions obtenues de (4.18) constituent des solutions de I'EDP (4.17).

En conclusion nous pouvons formuler dans ce qui suit le théorème d'existence des

solutions conditionnellement invariantes dans le cas des CD d'ordre supérieur et qui

est le suivant:

Théorème 4.2 Une EDP n o n dégénérée d 'ordre k (4.17) possède u n e solution con-

ditionnellement invariante u(x) telle que son graphe T, soit invariant sous ( p + 1)

champs de vecteurs linéairement indépendants (4.23) définis dans B c E x U(') si

el seulement s i les conditions (4.21) et (1.22) sont satisfaites dans un voisinage d 'un

point générique (xo, uo(')) E B.

Preuve: pour prouver ce théorème nous procédons d'une façon similaire à la preuve

du théorème 2.1 du chapitre deux.

En effet, les générateurs X, constituent des symétries conditionnelles de (4.17) s'ils

sont des symétries ponctuelles locales de Lie du système R. 11 est facile de vérifier que

sous les conditions (4.21) et (4.22), le critère infinitésimal de symétrie du système R

est identiquement satisfait, autrement dit p d k ) A J ~ ) = O et ~ T ( ~ ) X ~ ( Q ; ) = O chaque

fois que A = O et QE = O, où Q, sont les caractéristiques définies dans (4.20).

Réciproquement, l'hypothèse que l'équation originale (4.17) est non dégénérée, nous

permet d'utiliser le théorème 1.3. Ce théorème fournit une condition nécessaire et

sufisante pour l'existence d'un groupe de symétrie de l'équation. Comme les champs

de vecteurs (4.23) constituent une distribution abélienne. Il s'ensuit que !es condi-

tions (4.21) sont satisfaites. Nous demandons ensuite que les caractéristiques des

champs de vecteures (4.23) s'annulent et en les remplwant dans l'équation originale

(1.17) nous obtenons les conditions (4.22). Ceci finit la preuve puisque les solutions

de l'équation originale (4.17) sont invariantes sous la distribution abélienne engendrée

par les p + 1 champs de vecteurs (4.23). O

Sous terminons ce chapitre avec des exemples simples pour iiiustrer i'efficacité de

notre approche.

4.2 Exemples

4.2.1 L'équation de Korteweg-de Vries Burgers

Nous considérons l'équation de Korteweg-De Vries Burgers (KdVB) qui est non

intégrable

ut + 3(u2), + U- + yuzz = 0- (4.24)

Sotons que l'analyse de la structure des singularités de cette équation montre qu'elle

ne passe pas le test de Painlevé et la solution de (4.24) admet des pôles doubles.

Xous proposons de trouver des solutions du système surdéterminé composé de Iléquation

(4.24) et le système suivant:

Les fonctions ~, $, X dépendent des variables x, t , u, u, et seront déterminées en étudiant

la compatibilité du système composé de l'équation (4.24) et (4.25).

Ceci veut dire en terme des symétries conditionnelles que nous cherchons une classe

de solutions de (4.24) invariantes sous les champs de vecteurs

zz = a, + va, + #a,,

z2 = a, + .srau + M u ,

où nous introduisons la variable auxiliaire v : W+' -t n1. Les fonctions 4, qb et X sont

des fonctions de (x, 1, u , u ) seulement. Les caractéristiques de ces champs s'annulent

En ajoutant les conditions (1.27) à l'équation initiale (4.24) nous obtenons les relations

suivantes:

ut + 3(u2) , + U r z , + yuzz = O ,

u z = v , v . = ~ ( x , t , u , v )

ut = ( x , t ) u v ) , ÿ = X(x, t , u , v ) ,

où les fonctions #, d et X peuvent être déterminées à partir des conditions de compati-

bilité. Nous éliminons v de (4.28), de telle manière que toutes les dérivées (ut , u,,, uZt)

puissent être exprimées en terme de (x, t , u , u,) seulement et nous obtenons ainsi le

système (4.25).

En utilisant les opérateurs différentiels (4.26) et en dérivant (4.24) et (4.25) nous

obtenons

.Il, + %@t' + o+u, = A,

où nous utilisons les opérateurs de dérivées totales modifiées

à la place des opérateurs (4.26). Pour simplifier le problème, nous supposons que les

fonctions d, @ et A sont analytiques en u et u, et peuvent être représentées comme des

séries de puissance finies en u et uZ avec des coefficients constants. Nous substituons

ces formes polynômiales de 4, + et X dans (4.29) et nous analysons ensuite leurs

termes dominants. L'analyse de ces termes dominants nous ramène à une infinité

de troncatures possibles. Pour simplifier les calculs? nous avons choisi le cas où les

fonctions 4, ?,b et X sont cubiques en u et IL,, ce qui représente la troncature la plus

simple. Alors la solution générale pour les fonctions satisfaisant (4.29) est la suivante:

Xous obtenons ainsi un système surdéterminé pour la fonction u, compatible avec

l'équation initiale (4.24) et qui est assez facile à résoudre. En effet, la première

équation de (4.31) est une équation ordinaire en la variable x. Elle admet pour

solution générale en terme de la fonction elliptique de Weierstrass

16 u ( x , t ) = 7y4~i ( t ) 2 e ( % 7 2 z ) ~ (t)e(&7*4 + C 2 ( t ) , O , - 1

62s

où CI et C2 sont deux fonctions arbitraires en t . En remplaçant cette solution (4.32)

dans les deux équations restantes de (4.31), nous obtenons ainsi une solution non

triviale de ce système qui est la suivante:

où p et C sont deux constantes arbitraires. Ce résultat représente une onde progres-

sive. Cette solution est la reconstruction de [50] obtenue par la méthode de Wahlquist

et Estabrook.

16 76 2 L'apparition de la fonction --75(5 + --/)t + -y x, qui représente une invari-

625 25 25 4 16 76

ante du champ de vecteur X = + -75(5 + -7)& dans la solution (1.33) 25 625 25

nous permet d'obtenir aussi la solution (4.33) par réduction de symétrie classique.

Il est à noter que la méthode de symétrie conditionnelle ne fournit pas une nouvelle

solution. Par contre, une solution translationelle peut être obtenue directement par

réduction de symétrie classique.

4.2.2 L'équation de Tzitzéica sujette à des contraintes d'ordre

supérieur

Xous avons prouvé dans le chapitre 3 que I'équation de Tzitzéica (3.123) ne possède

pas des contraintes différentielles d'ordre premier compatibles en se basant sur t'approche

des symétries conditionnelles. Dans ce qui suit, nous exploitons la même approche afin

de déterminer la nature des contraintes d'ordre supérieur compatibles avec l'équation

(3.123).

Théorème 4.3 L 'équation de Tntzéica (3.1233 n'admet pas de contraintes dz&rentielles

compatibles de la fonne suivante

Preuve: supposons que l'équation (3.123) admet des contraintes différentielles com-

patibles (4.34)-(4.36). Nous introduisons la variable auxiliaire suivante v = u, de IR2

vers P Ceci veut dire que I'équation (3.123) admet des solutions conditionnellement

invariantes par la distribution abélienne engendrée par

où 4, A, y sont des fonctions de classe CL de vers IR En écrivant que les ca-

ractéristiques des champs de vecteurs X et Y sont nulles on aura

En éliminant la fonction auxiliaire, nous obtenons les contraintes (4.34)-(4.36). De

l'équation (4.35), on aura d'après le théorème des fonctions implicites

uz = F ( x , t , u) . (4.39)

Les relations (4.36) et (1.39) contredisent le théorème 3.2. O

Théorème 4.4 Considérons 1 'équation de Tritrézca (3.123). O n suppose l'existence

de

1. 2 fonctions a d i a i r e s p, q E CL (R2, R),

2. 2 champs de vecteurs dans Jo(E x U ) , E = R2, U = p.

oc y, z , 7 sont des fonctions de classe CL en x, t , u , p, q.

Si (3.123) possède des solutions conditionnellement invariantes s o u Z 'action de S et

Y alors les conditions suivantes sont satisfaites:

Preuve: nous écrivons que les caractéristiques des champs de vecteurs X et Y sont

nulles

Nous obtenant ainsi les relations (4.41) en se basant sur les relations de compatibilité

U z t = U h , Pzt = Ph,!?,, = 9,.

Xotons que l'élimination des variables auxiliaires p et q des équations (4.42) nous

ramène au système suivant:

Par conséquent, on a reconstruit la forme de l'Auto-Backlund d'ordre 2 pour l'équation

de Tzitzéica (3.123) qui a été trouvée par R. A. Sharipov e t R. 1. Yamilov [79] ainsi

que A. Y. Boldin, S. Safm et R. Çharipov [9] et qui a la forme suivante:

avec

p = 2 d 2 " ) ~ - ' ( h ~ - ~ v ) , = 2 e Z U ~ - ' ( ~ h & - c). Ce résultat peut être obtenu directement de la TD proposée par G. Tzitzéica [83]

et les paires de Lax

1 (P3 En effet, nous introduisons les pseudopotentiels y1 = -- (P2 y3 = -. NOUS obtenons

'4 pl7 91

ainsi à partir des paires de Lax (4.46) le système de type Riccati couplé et qui est le

suivant:

1 -u Y1,t = x e y-, + UtYl -

La TD (4.45) devient en terme des pseudopotentiels

Xous dérivons ensuite (4.51) par rapport à x et t respectivemernt et en utilisant

(4.47) - (4.50) on obtient les deux relations suivantes:

En éliminant y2 de la TD (4.51), nous obtenons que

En substituant l'expression de y2 donnée dans (4.52) et (4.53), nous obtenons les deus

équations suivantes:

u - û où V = - u + û , u=- 2

. De (4.35) et (4.56) nous obtenons 2

AL^^ - ,WZ3 - e - 2 u ~ ~ 2 + (2 cosh2 ~ e - ' ~ - cosh ~ e - ~ - e 2 * ) x (4.57)

- cosh ~ e - ~ ~ (cosh ve-* - e2') = 0,

où X = VzG. En introduisant les quantités suivantes

I'équation (4.57) devient une contrainte différentielle de premier ordre qui est exacte-

ment I'EDP d'ordre premier trouvée dans (4.44). Les deux équations restantes de

(4.44) sont déterminées de la manière suivante: on dérive respectivement (1.52) et

(4.53) par rapport à x et t.

Dans ce qui suit, on propose de voir une manière plus simple d'obtenir l'.Auto-BT

(4.44) Q partir de notre thborème ci-dessus.

En effet en remplaçant u et v respectivement par Ci + V et - V dans la dernière

équation du système (4.431, nous obtenons l'équation suivante:

Xous multiplions par la suite, les deux membres de I'equation (4.59) par e2V R2 et en

comparant I'équation obtenue avec la troisième équation de (4.44), nous obtenons

En termes de u et u , nous obtenons à partir de (4.60) la valeur de la fonction

s(x, t , u, v,, ut). Les fonctions 7 et y peuvent être déterminées directement à par-

tir des deux premières équations de (4.44). Nous déduisons que

Le théorème précédent permet d'obtenir des contraintes différentielles d'ordre supérieur

compatibles avec I'équation de Tzitzéica d'une façon plus simple.

Un problème ouvert consiste à démontrer le Iien entre les deux Auto-BT de I'équation

de Tzitzéica (3.123) c.-à-d. la première trouvée dans le chapitre 3 composée des

équations (3.169) et (3.170) en y remplaçant l'expression de ql donnée dans (3.173)

et la deuxième donnée dans (4.44). Présentement, une étude sur ce sujet est en cours.

Chapitre 5

Le programme BackDar

Dans ce chapitre, on décrit l'utilisation et le fonctionnement du programme BackDar,

écrit avec le langage MAPLE. Ce proramme sera donné dans l'annexe B. Il permet

d'obtenir des équations aux dérivées partielles non linéaires en termes des coefficients

des systèmes d'équations de type Riccati matricielles (ERM). La résolution de ce

système mène dans certains cas à la construction des transformations de Backlund de

telles EDP intégrables. Nous pouvons obtenir aussi des solutions explicites de telles

EDP ou des systèmes inconsistents, Plusieurs exemples sont présentés afin d'éprouver

Ies capacités de ce programme.

5.1 Résumé du programme

Tilre du programme: BackDar

Nun~ém du Catalogue:

Lieu du programme: CPC Program Library, Queen's University of Belfast, N. Ireland

Référence dans CPC:

Ordinateur & installation: système UNIX avec Version 4 de MAPLE

License d'utilisation: aucune

Système d 'opémtion sur lequel le programme a été testé: Systèmes UMX

Langage de pmgmmmation utilisé: Maple V Version 4.

Nombre digital dans un mot: 32

Nombre de lignes dans le programme: 360

Card punching code: ASCII

Mots-clés:

Systèmes d'équations différentielles, MAPLE, calcul symbolique, algèbre de Lie, t ransfor-

mation de Backlund e t Darboux, solutions conditionnellement invariantes.

Nature du problème:

La construction des solutions conditionnellement invariantes des EDP nous permet dans

certains cas de déterminer la transformation de Backlund en se basant sur une transforma-

tion de Dartoux spécifique.

hféthode de résolution:

L'algorithme servant à calculer les coefficients des ERM est décrit dans le chapitre deux.

Toutes les étapes de calculs sont modélisées dans le programme BackDar écrit en langage

MAPLE.

Restrictions concernant la cornplmité du problème:

Le temps d'exécution devient long au fûr et à mesure que l'ordre e t le nombre de variables

dépendantes e t indépendantes du système d'EDP augmentent.

Temps d'utilisation

Tl dépend d u système d'EDP à étudiée e t est donné dans la section 5.3.2.

5.2 Description du programme

Dans cette section, on décrit le rôle des différentes procédures de BackDar. La

version 4 de MAPLE a été utilisée dans le développement de ce programme et toutes

les fonctions et les commandes sont décrites dans le livre de référence "Maple V

Library Reference Manual" [l4]. Le programme possède une fonction principale,

appelée BackDar, avec plusieurs procédures. Une fois appelée, la fonction principale

lit le fichier de données ou rrianual qui doit être écrit comme exposé dans la section

5.3. Ensuite le programme calcule les coefficients du polynômes en q obtenues en

remplaçant la forme spécifique de la transformation de Darboux (adaptée a notre

approche), dans I'EDP.

5.2.1 Procédures

La fonction principale BackDar va a travers les différentes étapes de l'algorithme,

décrites dans la section 2.3 du chapitre 2, en appelant séquentiellement les différentes

ruritines dms l'ûrdre suivant:

a echo lit tous les renseignements du fichier de données et les renvoie sur l'écran

afin d'assurer l'exactitude de l'information introduite par l'utilisateur.

Subdar remplace la TD dans l'équation de départ. Ensuite, substitue les

dérivées partielles de q' par rapport aux xj par les F [ j ] dans le cas de l'algèbre

sZ(2, Rj notée s12 dans le programme, et tes dérivées de q, , qz par rapport aux

variables xj par les F [ j ] et G [ j ] respectivement pour les autres algèbres. Toutes

les équations en ;If sont ramassées dans une liste appelée CC[i].

Compcond est la procédure qui évalue les conditions de compatibilité (2.23).

Les équations aux dérivées partielles en Af sont ramassées dans une liste Com-

pcond. Ensuite, on ramasse les équations obtenues dans Subdar avec celles

des relations de compatibilités dans CC[i], tout en utilisant le fait que les vi

satisfont les équations de départ Eq := [Eq,, . . . , Eq,].

5.2.2 Fichier de données

Afin d'utiliser correctement Backaar, l'utilisateur doit fournir les informations suiv-

antes dans un fichier écrit sous forme ASCII:

(1)- Une liste des variables indépendantes : X := [xl, - - - , x,].

(2)- La liste de toutes les variables dépendantes: U := [u l , - - - , u,]

(3)- Eq: contient le membre gauche des équations différentielles du système.

(4)- Introduire la transformation de Darboux correspondante à l'algèbre utilisée. En

générale, une telle transformation s'écrit comme suit:

où i,! 1 5 j 5 k sont des entiers positifs. Les nombres i, dont déterminés

par l'analyse de Painlevé (voir l'étape 2 de la procédure du chapitre 2). La

présence des quantités figurant à l'intérieur de o dépend des résultats du test

de Painlava sur I'EDP de dQpart.. Notons qiie rn = 1 si I'algkhre est si(2, R) et.

m = 2 pour toutes les algèbres figurant dans (2.31).

(5)- Simpl LI: contient l'équation différentielle vérifiée par les uj .

(6)- numiter: c'est le nombre d'itérations fixées par l'utilisateur permettant d'exploiter

les résultats simples obtenus pour les coefficients -4: et d'en tenir compte lors

de la prochaine itération.

(7)- nad: c'est le nombre d7équations algébriques ou différentielles qu'on ajoute au

fichier de données afin que BackDar tienne en considération lors de l'itétration

suivante. En effet, lors de la première exécution du programme, certaines

équations algèbriques ou différentielles triviales sont trouvées. Nous exploitons

ces résultats en les insérant dans le fichier de donnée "nad" et on exécute à

nouveau BackDar.

5.2.3 Modes d'utilisation

II existe deux faqons pour exécuter le programme BackDar. Premièrement, un mode

appelé Batch. Cette technique est très recommendée pour les EDP ayant un ordre

assez élevé et possédant un nombre élevé de variables indépendantes. Il s'agit de

créer un fichier appelé, par exemple, "infofile" qui contient les 2 données suivantes:

"read(BackDar) ;" et "BackDar(inputfi1e) r. Ensuite on exécute la commande suivante "maple -q < infofile > outputfile &". Un

fichier de résultat "outputfile" sera créé où toutes les équations aux dérivées partielles

verifiées par les coefficients A: seront sauvegardées.

La deuxième méthode est appelée mode Interactif. Elle est destinée à des EDP

simples possédant des dérivations d'ordre peu élevé. En utilisant une session de

Maple, on exécute les 2 commandes précédentes et les équations en 4 défilent à

l'écran. Il est à noter que l'utilisateur pourrait toujours fixer le nombre d'itérations

dès le départ dans le fichier de donné en fixant un nombre dans "numiter".

5.2.4 Fichier de sortie

Une fois que les calculs sont terminés et en utilisant les outails de Maple on peut sauve-

garder les résultats soit sous forme de "Text" ou KE.Y. four imprimer les résultats

obtenus, on peut toujours créer un fichier postscript (outputfile-ps) en utilisant encore

les outils de la session de Maple.

5.3 Exemples

Afin d'illustrer la performance de BackDar, nous présentons dans cette section des

exemples d'EDP. Nous présentons les fichiers de donnés et de sortie des équations de

Burgers, et Tzitzéica pour trois algèbres de Lie distinctes qui sont sl(2, R), sl(3, W) et

o(3, l),. Toutes les applications ont étés traitées sur UNIX où le système d'exploitation

est un Sun Ultra avec une mémoire principale de 236 Mbytes qui se trouve dans Ie

Centre de Calcul de l'Université de Montréal.

5.3.1 Fichiers de donnés

Le fichier MAPLE de:

1. L'équation de Burgers

# This i s a Users Manual for the program BackDar # I t is in the same time an example of a data f i l e # that can be used to solve the Darboux equation # #------------------------------------------------------------------

# Enter the array X of independent variables [xl , . . . xp] #

X:=Cxl,x2] ;

> # E n t e r the array U of dependent variables Cul,..urj > #

> U:=Cul(x1,x2)1;

> # E n t e r the system of Darboux transformations in the form > #

> # note that the symbol < > stands for an optional tenu > # > #------------------------------------------------------------------

> Darboux Cl] := ul (xl ,x2)=vl (xl ,x2)+ql(xl ,x2) ; > # Please enter the type of Algebra 812 or s13, 0(3,1), 0(2 ,2) , > #EquivO (2,2) or g l ( 2 ,R)+t3 > # (note that m-1 when 812 and m=2 vhen s13, 0(3,1), 0(2,2), > # Equiv0(2,2) and g1(2,R)+t3 )

> Algebra : =sl2 ; > #------------------------------------------------------------------

> # Simplification form r equations > SimplC11 :- diff (vl(xl,x2) ,rl,xl)=diff (vl(xl,x2) ,x2) > +vl(xl ,x2) *diff (vl (xi ,x2) ,XI) ; > # Number of iterations for simplification

> # Additions > #Ad:=[]; > nad:=4; > Ad111 :=A12(r1 ,x2)=1/2; > AdC21 :=A22(x1 ,x2)=1/2*(Ail(xl ,x2)-vl(x1 ,r2)) ; > Ad[3] :=A2l(x1,x2)-All(xl,x2)~2-v1(x1,x2)*All(xl,x2)+diff(All(xl,x2),rl) > -diff (vl ( x l ,x2) ,xi) ; > AdC41 :-A20Cx1 ,x2)=Ali(xl ,x2)*AlO(xl ,x2)-vl(x1 ,x2)*AlO(xl ,x2) > +diff (AlO(x1 ,x2) ,xl) ; > #End of Data

2. L'équation de Tzitzeica: algèbre sl(3, R)

# This is a Users Manual for the program BackDar # It is in the same time an example of a data file # that cap be used to solve the Darboux equation # #------------------------------------------------------------------

# Enter the array X of independent variables [xl, . . .qd #

X:=Cxl,x21; #------------------------------------------------------------------

# Enter the array U of dependent variables Cul,..url # U:=Cul(xl,xS)l; #------------------------------------------------------------------

# Enter the system of partiaï Differentiaï Equations Eq:Ceql,..eqrl Eq: * Cul (xl ,x2) *diff (ul (x1 ,x2) ,xl ,x2)-dif f Cul (XI ,x2) ,XI) *diff (ul (XI , x2) ,x2) -ul Cx1 ,x2) ̂3+11; #------------------------------------------------------------------

#

#

# Enter the system of Darboux transformations in the fonn #

# ui = vi + <diff>(Cln>(H(ql, . .am)) ,xl, . .xl,x2,. .x2,. .*.rp,. .rp )

# <-Il-> <-12-> <-Ip-> # i=l. *r # or #

# u i - v i <diff>(<ln>(F(qi, .. p)),xl,..xi,x2,..x2,.. , . )

# <-Il-> c-12-> c-Ip-> # i=i. .r # note that the symbol < > stands for an optional tenn # #--------------------------------------------------------------------

Darboux[1] := ul(r1 ,x2)=vl(xl ,r2)*(qI(xl,x2)*q2(xl ,x2)-1) ; # Please enter the type of Algebra s12 or 813 # (note that m-1 vhen 812 and m-2 vhen 1313) Algebra: -813 ; #--------------------------------------------------------------------

# Simplification f orm r equations Simpl Cl] := dif f (vl (XI , x 2 ) ,xl ,x2)=(l/vl (XI ,x2) ).(diff (VI (XI ,x2) ,xl)*dif f (VI (x1 ,x2) ,x2)+vl(xl -1) ; # Number of iterations for simplification numiter : 4 ;

3. L'équation de Tzitzéica: algèbre o(3 , l )

> #

> # This i s a Users Manual for the program BackDar > # It is in the same time an example of a data f i l e > # that can be used t o solve the Darboux equation > #------------------------------------------------------------------

> # Enter the array X of independent variables [ x i , ... xp] > #

> X:=[xl,x21; > ##------------------------------------------------------------------

> # Enter the array U of dependent variables Cul, . . ur] > #

> U:=Cui(xl,x2)7 ; > ##------------------------------------------------------------------

> #

> # > # Enter the system of Darboux transformations in the form > #

> # ui = vi + <diff>(<ln>(H(ql,..qm)),x1,..xl,x2,..x2,..,.. )

> # i-1. .r > # <-Il-> <-12-> <-Ip-> > #

> # or > #

> # ui = oi <diff>(<ln>(F(ql,. .am)) ,XI,. .xi,x2,. = x 2 , )

> # <-Il-> <-12-> <-Ip-> > # note that the symbol < > stands for an optional term > # > ##------------------------------------------------------------------

> Darbowr[ij := ~ ~ ( x i ,~2)=~1(~1,~2)*(qi(~l ,xs)*@(x~ ,x2)-1) ; > # Please enter the type of Algebra s12 or 913, 0 (3,1) , 0 ( 2 , 2 ) ,

O EquivO{2,2) or g1(2,R)+t3 > # (note that m-1 vhen s12 and m-2 vhen 313) > Algebra:=0(3,1); > ##------------------------------------------------------------------

> # Simplification form r equations > SimplC11:- > diff (vl(xl,x2) ,x1,x2)*vl(xl,%2)diff (vl(xl,x2) ,~1)*diff(v~(xl~x2) ~ ~ 2 1 > +vl(x1 ,x2)-3-1; > # Number of iterations for sisplif ication > numiter:-1; > #

> # Additions > #Ad:=[]; > nad:=O; > #End of Data

5.3.2 Fichiers de sorties

Dans ce qui suit, on présente les fichiers de sortie, sauvegardés sous forme BTm,

des exemples d7EDP introduits dans la sous-section précédentes. Notons aussi que

le temps d'exécution mis par le programme est à la fin de chaque liste des équations

obtenues.

1. L'équation de Burgers: algèbre sl(2, JR)

3eme exécution

BackDar

MA PLE program for the calculation of the condionnally invariant solutions of PDEs

by M . Iadh Ayari D éparternent de Math ématiques et Statistique Sc

Centre de Recherches Mathématiques,

Universit é de Montréal,

Copyright 1997

'Number of independent variables-', 2 'Number of dependent variables-', 1 'Number of PDEs', 1 'Number of additional simplifying equations ' , 4 '******+**+**ITERATION ', 1, '+***********' '****Equation after simplification No:', 1

' ****Equation after simplification No: ' , 2

a a + (- A l 1 (xl , 1 2 ) ) + (- AlO(z1, 22)) = O ax2 axl

temps CPU de Maple: 0.6 secondes.

L'intégrale générale du système précédent est donnée par l'expression (3.6) du

chapitre 3. Les expressions des transformations Auto-BT, donnée en terme du

pseudopotentiel ql ainsi que sa forme explicite, seront données respectivement

par (3.8) et (3.9).

2. L'équation de Tzitzéica: algèbre sl(3, R)

4me exécution

11fAPLE program for the calculation of the condionnally inuan'ant solutions of PDEs

b y M . Iadh Ayan' Département de Math érnatiques et Statzstique &

Centre de Recherches Math ématiques, Uniuersit é de Montréal,

Copyright 1997

'Number of independent variables-', 2 'Number of dependent variables=', 1 'Number of PDEs', 1 'Number of additional simplifying equations ', 16 '***********rITERATION ', 1, '************' '****Equation after

'****Equation after

simplification No:', 1

simplification No: ' , 1

'****Equation after

1

simplification No: ' , 2

temps CPU de Maple: 5.2 secondes.

L'intégrale générale du système précédent est donnée dans l'expression (3.143)

du chapitre 3. Les expressions des transformations Auto-BT en terme des

pseudopotentiels pi et q2 est donnée dans (3.144) et (3.145). Pour la forme

explicite de l'Auto-Biicklund pour l'équation de Tzitzéica est donnée dans le

même chapitre et est composée de deux équations dont une EDO de second

ordre (3.158) tandisque la deuxième (3.157) est une EDP de premier ordre.

3. L'équation de Tzitzéica: algèbre 0(3,1)

lffe exécution

MAPLE program for the calculation of the condionnally invariant solutions of PDEs

by M . ladh Ayan Département de Mathématiques et Statistique &

Centre de Recherches Mathématiques, Uniuersit é de Montréal,

Copyright 1997

'Number of independent variables-', 2 'Number of dependent variables=', 1 'Number of PDEscs 1 'Number of additional simplifying equations ' , O '*****i******ITERATION ', 1, '************' '****Equation of the form product No:', 8

'**Buff:', A15(xl,x2)*A25(x1,x2) '****Equation of the form product No:', 9

<**Buff:', A16(xl,x2)*A26(~1,~2) '****Equation after simplification No: ' , 1

'****Equation after simplification No: ' , 2

-6 v l (x1, ~ 2 ) ~ A16(x1, x2) .426(x1, x2)+3 v l ( x1 , ~ 2 ) ~ .-\15(xl, 22) -425(zl 12) = O

' ****Equat ion af ter simplification No : ' , 3

a - v l ( z l , ~ 2 ) ~ .414(x1, 22) A23(x1, 22) - vl(x1, ~ 2 ) ~ (- - 4 1 6 ( ~ I , ~ 2 ) )

dz2

- vl ( x l , .416(x1, 22) .M3(xl, 22) = O

'****Equation after simplification No: ' , 4

- v l ( x l , ~ 2 ) ~ + 8 v l ( z1 , x2)* A l5 (x l , 22) -426(x1, 22)

+ 8 v l (x1 , x2)* A16(xI, 22) .\25(xl, x2) = O

'****Equation after simplification No:', 5

-6 v l (x1 , x2)* Al5(x1' 22) .A%(xl, x2)+3 v l (x1 , x2)' A l6(x l , x2) A26(xl: x2) = O

'****Equation after sîmplification No:', 6

- v l ( x l , x212 .\14(x1, z2) A25(zl , 22) - vI ( z1 , ~ 2 ) ~ .1\15(xl , 22) A24(x1, x2) = O

'****Equation after simplification No:', 7

~ l ( x 1 , .\16(21, 22) A24(2l, $2) + vl(x1, ~ 2 ) ~ -4l4(xl , ~ 2 ) .&26(~l , ~ 2 ) = O

' ****Equation after simplification No: ' , 8

A15(x1, x2) A25(x1, 3 2 ) = O

'****Equation after simplification No:', 9

A16(x1, z2) .;226(x1, x2) = O

r****Equation after simplification No:', 10

'****Equation after simplification No:', 11

-2 VI ( z l , x2)* A l3 (x l , x2) A22(xl, x2) - v i ( z1 , x212 A I ~ ( X I , x2) r\23(xl, 22)

- v l ( r1 , A l l ( x1 , x2) A24(xl, x2) - 2 v l ( x1 , X Z ) ~ -A l l ( x l , 22) -421(21, 22)

'****Equation after simplification No:', 12

+ 2 vl(x1. ~ 2 ) ~ .414(zl, 22) X22(21, 22) - 2 v l ( z 1 , ~ 2 ) ~ Al3(x l , 22) .&21(xl, 22)

- vl ( x l , ~ 2 ) ~ A1 l ( x1 , 22) A23(x1, x2) = O

'****Equation after simplification No:', 13

-18 vl(x1, x2)* .-\lZi(zI, 22) A26(xl, 22) + 4 v l ( x l , X S ) ~ - 1

- v l ( z1 , ~ 2 ) ~ r\ l2(xl , 22) .%26(zl, 22) - v l (x1 , ~ 2 ) ~ Al l (x1 , x2) A25(x1: x2)

'****Equation after simplification No:', 14

-6 vl (XI, ~ 2 ) ~ A15(x1, 22) A21(x1, 22) + 4 v l (x1 , X Z ) ~ .Al1(xl, 22) A24(xl, 22)

- 5 v1 (XI, x q 3 + 2 - 4 v l (x1, XZ)' A13(x1, x2) A23(zl, 22)

a - 2 v l ( x l , x2)* (- .413(z1, 22)) - 2 vl(x1, ~ 2 ) ~ Al 1 ( x l , 22) A25(xI, x2)

ax2

'****Equation &ter simplification No:', 15

'****Equation af ter simplification No: ' , 16

2 v l ( z 1 , ~ 2 ) ~ r\14(x1, 2 2 ) A26(x1, 2 2 ) + 3 v l ( x 1 , ~ 2 ) ~ 4 1 6 ( x 1 , x 2 ) A24(x lY 2 2 )

'****Equation after simplification No:', 17

-v l (zl , ~ 2 ) ~ .414(xl , x 2 ) A22(x1, x2) + 3 v l ( z 1 , ~ 2 ) ~ A16(x1, x 2 ) .\23(x1, 2 2 )

- 2 v l ( x 1 , ~ 2 ) ~ .-214(x1, 2 2 ) A 2 5 ( z l , x 2 ) - 3 vl(x1, ~ 2 ) ~ .\15(xl, 2 2 ) X24(x1, x 2 )

- v l ( x l , ~ 2 ) ~ -412(x1, 2 2 ) A X ( x l , 22) = O

'****Equation after simplification No:', 18

'****Equation after simplification No:', 19

'****Equation af ter simplification No : ' , 20

'****Equation after simplification No: ' , 21

'****Equation after simplification No: ' , 22

2 rl ( x l , 22)' A14( z l , x2) A26(xI , 22) + 3 v l ( x 1 , ~ 2 ) ~ A15(x17 x2) r\23(x1, x2)

'****Equation after simplification No:', 23

-2 v l ( x l , x2)* A14(x1, 22) ..AZ5(xl, 22 ) + 3 v l ( x 1 , x2)* A l 6 ( x l , z 2 ) A23(2l, 22)

a - 5 v l (zl , x2)* A13(xI, x2) A24(x1, 22) + 3 vl (x l , 22)' (- A l 6 ( 2 l , x2 ) ) = O

3x2

'****Equation after simplification No: , 24

a -3 vl (x l , ~ 2 ) ~ (- A l 5 ( x l , 2 2 ) ) - 6 v l ( x 1 , A13(xI , z 2 ) A 2 5 ( ~ 1 , 22)

ax2

' ****Equat ion after simplification No : ' , 25

6 v1 (xi, ~ 2 ) ~ A14(x1, x 2 ) .425(x1, z 2 ) - vl ( x l , ~ 2 ) ~ -211 ( 2 1 , x 2 ) A 2 3 ( x l , 2 2 )

'****Equation after simplification No:', 26

12 v l ( x l , ~ 2 ) ~ A16(x1, 22) .X?6(2l, 2 2 ) - 2 vl(xl , z2)' 1\16(x1, 2 2 ) -221 ( x l , 22)

- 2 vl ( x l , ~ 2 ) ~ -\12(21, 22) -1\25(x1, x 2 ) - 12 v l ( X I , A l j ( x l , 2 2 ) -42.5(~1, x 2 )

d + v i ( x 1 , ~ 2 ) ~ (- A14(x1, 22)) = O 8x2

'****Equation &ter simplification No:', 27

'****Equation after simplification No:', 28

'****Equation after simplification No:', 29

a -2 .\16(x1, 22) A21(x1, $2) + 2 Al5(xI, 22) A22(21, d ) - (- A 2 4 ( ~ 1 , 22))

dxl

d - 2 A%(xl , 22) A12(x11 22) + (- 5i14(xll 22)) + 2 A26(x1, x2) All(x1, 22) = O

a22

'****Equation after simplification No: ' , 30

-.423(x11 22) .412(x1, 22) + A13(x1, x2) .422(x1, x2) + A14(xl, x2) A21 ( x l , x2)

d d - A 2 4 ( ~ 1 d j Ali(x1, x2j - (- M ~ ( z I , ~ S j j + (- A ~ ~ ( x I , ~ S j j = O ~ Z I ax2

'****Equation after simplification No: ' , 31

a a (- .Al6(xI, ~ 2 ) ) - A26(xl, 22) Al3(xl , x2) - - A 2 6 ( ~ l , 22)) (3x2 (azr

+ A23(x1, 22) -414(zl, x2) - X24(xl, xi?) Al5(x l , 572) + .A23(xl, x2) X16(x1, x2) = O

'****Equation after simplification No:<, 32

<****Equation after simplification No:', 33

-2 A26(x11 x2) .A13(x1, 22) - 2 A24(xl, 22) Al5(x l , 22) + 2 A23(x1, x2) -416(x1, x2)

'****Equation after simplification No:', 34

'****Equation after simplification No: ' , 35

'****Equation after simplification No:', 36

'****Equation after simplification No:', 37

.-\13(x1, 22) A21 (XI, 22) + .\21(xl, 22) A12(x1, 22) - A23(x1, 22) -41 1 (XI, 22)

temps CPU de Maple: 3.2 secondes

L'espioitation des équations 8 et 9 nous fournit 4 cas possibles, l'analyse de tous ces

cas nous ramène à la solution triviale (nulle) de l'équation de Tzitzéica.

Conclusion et développements

futurs

-& la suite des travaux [39] et 1401, nous avons proposé une autre étape dans la

formulation et le développement des symétries conditionnelles pour les systèmes mui-

tidimensionels. Étant donnée une EDP d'ordre k, la modification importante consiste

à plonger la variable u dans les variables auxiliaires q", 1 5 cw 5 m, à l'aide d'une

transformation de Daiboux spécifique. Par conséquent, nous avons trouvé beaucoup

plus de flexibilité dans la sélection des contraintes différentielles qu'on ajoute à I'EDP

initiale. Dans ces contraintes toutes les dérivées de q" doivent être factorisées en

termes de certaines fonctions de variables indépendantes et dépendantes (auxiliaires)

seulement. Cette factorisation est dictée par des représentations possibles de l'algèbre

de symétrie Ç engendrée par les champs de vecteurs 4. La sélection des algèbres

appropriée et leurs représentations reste un processus heuristique.

L'aspect le plus intéressant de la méthode des symétries conditionnelles est sa

liaison avec les transformations de Backlund. Nous avons prouvé qu'il est possible de

construire des Auto-Backlund des EDP basées sur des solutions conditionnellement

invariantes sous certaines conditions assez fortes. Cependant, ces conditions sont

satisfaites pour plusieurs systèmes intégrables qui ont été étudiés par la méhode des

symétries conditionnelles comme par exemple le système AKNS [39], l'équation à trois

ondes [dl], I'équat ion de Liouville généralisée [40], [13], les équations de Weierstrass-

Enneper [44] et les équations étudiées dans le chapitre trois. Tous ces exemples

nous confirment que l'approche des symétries conditionnelles nous fournit un procédé

simple et efficace pour construire les Auto-Biicklund. Notons que certains résultats

sont obtenus pour des systèmes pour lesquels il n'existe pas d'AuteBT connues ([40],

[43] et [44]). Nous terminons cette thèse par présenter la liste de problèmes ouverts

suivants:

Est-ce que les contraintes différentielles d'ordre supérieur peuvent produire de

nouvelles solutions différentes de celles obtenues par la réduction par symétrie

classique et non classique.

Quelles sont les relations entre les techniques de prolongement de Wahlquist et

Estabrook, la méthode de diffusion inverse et les syméries conditionnelles.

Peut-on étudier les symétries conditionnelles pour les transformations de con-

tact.

Peut-on étudier la notion de symétries conditionnelles pour les équations aux

différences finies et construire pour eus les transformations de Biicklund.

Peut-on étudier la méthode de symétrie conditionnelle pour les équations ou les

systèmes d'équations différentielles ordinaires.

Considérons une EDO qui ne passe pas le test de Painlevé. En ajoutant des

contraintes différentielles basées sur le théorème de Lie concernant la formule

de superposition des solutions fondamentales à cette équation, peut-on obtenir

un système surdéterminé qui passe le test de Painlevé.

Ces questions et plusieurs autres peuvent être soulevées dans l'avenir. Certaines

travaus sont déja en cours, notamment les questions 2, 5 et 6.

Annexe A

Les systèmes surdéterminés Gh déterminant les coefficients A:

Dans cette annexe, nous proposons de donner la liste des équations de type

données dans nos considérations théoriques dans le chapitre 2. Kous traitons le cas des équations de Boussinesq, Sawada-Kotera et Hirota-Satsuma. Pour l'équation de sawada-Kotera nous donnons l'équation obtenue en remplaçant la transformation de Darboux (3.100) dans (3.1 10).

1.1 L'équation de Boussinesq

Lorsqu'on remplace la fonction F(q l , q2) = - (q1 )2 + q2 dans l'équation (3.101) et

en écrivant que chaque coefficient du polynôme obtenu en q L et q2 s'annule, nous obtenons les équations suivantes:

1.2 L'équation de Sawada-Kotera

1.2.1 La substitution de la transformation de Darbowc (3.100) dans l'équation de Sawada-Kotera (3.110)

Lorsqu'on remplace la transformation de Darboux (3.100) dans I'équation de Sawada-

Kotera (3.110), nous obtenons l'équation suivante:

+ 0 1 (92) (2, t )5 4,2,2,2.2(F) ( q l ( x , t ) , q2(x, t ) ) + 7610 Dl, 1, 1- 1, i (92)(2 , t )

+ 3 0 F ( q l ( ~ , t ) , @(x, t ) ) Dl, 1, i ( v ) ( x , t ) + DI, 1,1,i, ~ ( g l ) (x , t ) + 7610 D2(q2)(x7 t )

+ 7611 D2(@ )(x, t ) + 90 F(ql(x , t ) , @(x, t ) ) &(g l ) ( x , t)* %9 Dl(qZ)(x, t )

+ 30 %11 Di(qf )(x, t ) %IO Dl, 1 ( 9 2 ) ( ~ , t ) + 30 %IO D ~ ( @ ) ( x , t ) %ï D 1 ( q I ) ( ~ , t )2

+ 6o%lo D 1 ( 9 2 ) ( ~ , t )2 D l (q I ) ( x , t ) %6 + 30 %lO Dl(q;?)(x, t ) %I l D l T 1 ( q l ) ( x , t )

+ 60 DI ( v ) ( x , t ) Di ( q l ) (x , 1) %6 0 1 (92) (2, t )

+ 90F(ql(x , t ) ? @b? t ) ) '368 Dl(@)(x , t ) m , 1 (q2)(x , t )

+ 350 v ( x , t ) F(q l ( r , t ) , q2(x, t ) ) %11 Dl(ql ) (x , t )

+ 360 V ( X , t ) F(ql(x, t ) , @(x, t ) ) %lO D l ( q 2 ) ( ~ , t ) + 60 % l l D l ( q l ) ( x , t )2 %6 Dl(q2)(x, t )

-+ 30 %ll Dl (q I ) ( x , t ) %8 D1(q2)(x7 t)' + 90 V(X, t ) Lfo7 Dl (q I ) j x , t j Dl, ,(ql )(x, t )

+ 10 m 9 1 ) ( x , tI2 D l ( 9 2 ) ( ~ , a , 1,2,2,2(F)(ql(x, t ) , @(x , t ) )

+ 90 V ( X , t ) 0 1 ( q l ) ( x , t )2 %9 Dl (q2) ( x , t )

+ 5 Ddql ) (x , t ) 4 Dl, L. 1, L ? * ( F ) ( ( I ~ ( X , t ) , q q x , 1 ) ) D1(qZ)(x, t )

f 5 DI ( 9 2 ) ( ~ , t )4 D1,2,2,2.2(F)(q1(x7 t ) , @ ( x , t ) ) D ~ ( ç l ) ( x , t ) 4- 30 V(X, 1 ) Dl ( q l ) ( z , t ) 3 %'c4

+ 30 v (x , 1) %ll?63 + 30 v (x , t ) Dl(q2)(x , t ) 3 %5 + 30 v(z, t ) %10 %2

+ 30F(ql(x , t ) , q2(x, t ) ) D ~ ( q l ) ( x , t )3 %4 + 30F(ql(x , 1) . @(x, t ) ) %11%3

+ 30 F(ql(x7 t ) , @(x , t ) ) 0 1 ( 9 2 ) ( ~ , t )3 %s + 30 F(ql ( x , t ) , q2(x7 t ) ) %Io %2

+ 180 v(x, t ) 2 %il Di(ql )(x, t ) + 180 v (x , t )2 %lO Dl(q2)(r , t )

+ 180 F(ql (x , t ) , $(x, t))* %I l D l (q l ) ( x , t ) + 180 F(ql(x , t ) , q2(x, t ) ) 2 5610 Dl(g2)(x, t )

+ 360 ~ ( 2 , 1 ) F(ql (x , t ) , @(x , t ) ) Dl (v ) (x , t ) + 30 7611 DI (q l ) ( x , t ) 3 %7

+ 30 %112 Dl (q l ) ( x , t ) Dl, l ( q l ) ( x , t ) + 30 %10 Dl(q2)(x, t )3 %8

+ 30 %102 Dl (@)(x , t ) DI , l (qZ)(x , t ) + 30 D ~ ( v ) ( x , t ) %? Dl (91 )(x , t)'

+ 30 ( u ) ( x , 1 ) %11 Dl, 1 (q l j ( x , t ) + 30 Dl (o.) (22, I j %8 Dl (q2)(x7 t ) 2

+ 30 D1 ( u ) ( x , t ) %10 DI, 1 (q2) (2, t ) + 30 %11 Dl (ql ) ( x , t ) DIT 1 (v) ( x , t )

+ 30 7610 D l ( q z ) ( ~ , t ) Dl, 1 (u)(x, t )

+ l0 Dl(ql )(x, t ) 3 D l ( q 2 ) ( ~ , t ) 2 Dl, 1, l,2,2(F)(q1(xl t ) , q2(x, t ) )

+ 5 W q l ) ( x , t ) %6D1,1,1,1(q2)(x7 1 )

+ 10 Dl (&Wx, t )3 D2,2,2,2(F)(ql (xi t ) , q2(x, t ) ) Dl, 1 (q2)(x , t )

+ 10 W 9 l ) ( x , tI3 Dl. 1,1,2(F)(ql (x, t ) , @(x, t ) ) Dl, 1 (q2)(x, t )

+ 15 o i ( q l ) (x , t ) 764 Dl, ~ ( q l ) ( z , t ) 2 + 15 Di, 1 ( q l ) ( x , t )2 %9 Dl (qg) (x , t )

+ 15 Dl(qZ)(G t ) %5 Dl, l(qZ)(x, t )2 + 5 %8 D I ( ~ ~ ) ( X , t ) Di. l , l , 1(qZ)(x, t )

+ so i . i , i , i ( q l ) ( x , t )%6Di(q2)(x9 t )

+ 10 D l W )(x7 tI3 D1.1. 1. d F ) ( q l ( x , t ) , q q x , t ) ) Dl, 1(q l )(x, 1 )

+ V ( X ? t , l ( p1 ) (~7 t ) %6 D1(q2)(x7 t ) f 90 v(x ; t ) Di (q1)(x7 t ) Dl (q2)(x i t )2 O/ol

+ 9 0 ~ ( ~ 7 t ) D l ( ~ l ) (x , t ) %6 Di? i ( q 2 ) ( ~ , t ) f 90 v ( ~ , t ) %8 Di (92) (s, t ) Di, i ( @ ) ( x , t )

+ 90 F(ql(x , t ) , @(x, t ) ) %7D1(ql ) ( x , 1 ) Dl, 1(ql )(x, t )

+ 90 F(ql(x , t ) ? q w , t ) ) a . l ( q 1 ) (x , t ) 9% Dl(@)(% 1 )

+ 90F(ql(x7 t ) , q2(x7 t ) ) Di ( q l ) ( x 7 t ) Di ( @ ) ( x , t )2 %l

+ 90F(q1(x7 t ) , @(x , t ) ) D l (q l ) ( x , t ) %6 Dl, 1(@)(x7 t ) + DiT 1, 1 , 1 ( v ) ( x 3 t ) + & ( F ) ( x , t )

+ 20 Dl ( q l ) ( x , t ) %9 DI (q2) (x, t ) W 3 + 30 DI(q1) (2, t ) %9 Dl, 1 (q2) (2, t ) Dl; 1 ( q l ) (x, t )

+ 15 Dr(q1 )(x , t ) DlVi(q2)(x, t)%l + 10 %3 %6 Dil ~ ( Q ; ? ) ( X ? t ) + 10 W 3 D1(q2)(x, t j z %l

+ 5 %7 Di ( q l ) ( x , t ) Di? 1, 1 , i (q l )(x, t ) + 10 Dl(q1) ( x , t )2 %9 '32

+ lO%8 D l , i ( q 2 ) ( ~ , t )%2 + 10%7Dl l l (q l ) (x , t ) %3

+ 10 D1(q2)(x7 t13 D1.2,2,2(F)(q1(x7 t ) , @(x , t ) ) Di, i ( q l ) ( x , t ) + 10 Dil i ( q l ) ( x , t ) %6 %2

+ 10 Dl(q2)(x , t ) 2 %5 %2 + 10 Dl(q l ) ( x , t )2 %4 %3 + 20 D&l )(x, t ) Di(q2)(z , t ) %i 762

+ 30 Dl, , (q l )(x: t ) D1(qZ)(x, t ) %1 Dl. 1(42)(x, t )

+ 30 Dl (ql ) ( x , tI2 a, 1, 1, 2(F)(ql (x, t ) , @(x, t ) ) Dl ( q 2 ) ( ~ , 1 ) Dl, 1 ( q l ) ( x , 1 )

+sO Dl fq l ) ( X I t ) 2Dl (q2 ) (~7 t ) D1,ll2,2(F)(ql(x, t ) ? q2(x, t ) ) Dl, 1 ( ~ 2 ) ( x i t )

f 3O Dl (ql ) (x, t , Dl ( q z ) ( ~ 7 t ) 2 DI, 1,2,2(F) (q1 (2, t ) i q2(~7 t ) ) D l , l ( q l ) (2, t )

+ 30 Dl(q2 ) (~7 t)2 D1,2,2,2(F)(ql(x7 t ) , @ ( f t ) ) Di (q1)(x7 t ) Di, 1 ( @ ) ( x , t )

ni := D1,?12(F)(q1(~7 t)i q2(x, t ) )

%2 := Dl7 1. l (92) ( x , t )

%3 := D1,1.1(ql)(x, t )

'a := Di, 1, 1 ( F ) ( q l ( x , t ) , q w , 1 ) )

%J := D212,2(F)(q1(~ii t ) 7 q2(x, t ) )

%6 := D,.2(F)(ql(x, t ) , q2(x7 t ) )

%7 := Dl, 1 (F) (q l (x , t ) , q2(x, t ) )

%8 := D2. 2 (F) (q l (x , t ) , q a x , t ) )

769 := Dl. 1.2(F)(ql(x, t)o @(x? t ) )

%IO := D2(F)(q l (x , t ) , q2(x, t ) )

%il := D1(F)(q l (x , t ) , q2(x, t ) )

où v = Û et par exemple Dllz(F)(ql (x , t ) , q2(x, t ) ) veut dire la dérivée seconde de F

par rapport aux variables ql et 92 qui est notée dans le chapitre 3 comme étant F,,,.

1.2.2 Système satisfait par les A:

L'équation obtenu en remplaçant la TD (3.1 16) dans l'équation donnée dans la section 1.2.1, est polynômiale en ql et q:! qui s'annule. En écrivant que chaque coefficient s'annule. Pour le cas A: = f 1 (voir la discusion dans le chapitre 3), le système

obtenue pour les A: est le suivant:

La résolution du système précèdent augmenté des conditions de courbures de gauge (2.36) nous a donné l'intégrale général pour les -4: qui est fourni dans l'expression (3.217).

1.3 L'équation de Hirota-Satsuma

En substituant la TD (3.229) dans l'équation (3.227) nous obtenons un polynôme en ql et q 2 qui s'annule dont les coefficients sont les suivants:

La résolution du système précèdent augmenté des conditions de courbures de gauge p p p p p p p p p - - - - - - - - - - - - - - - - -

T2.36)nouca donné l'intégrale général pour les At qui est fourni dans l'expression (3 Z O ) .

Annexe B

Le listage de BackDar

Dans cette annexe, nous donnons le listing du programme écrit avec le langage Maple. Ce programme nous a permis de vérifier nos calculs faites à la main et nous a facilité

la tâche de résoudre les coefficients du système de type Riccati matricielles. A l'aide de ce programme nous sommes capables d'obtenir ces coefficients et de vérifier par suite leur existence.

###############w#ww###~######~#w#ww####~#It#w####l#tw#~#I#t#~ # BackDar (version 1.0) # # A Maple program for determining conditionally #

# invariant solutions of PDEs # # Author: M. Iadh Ayari # Departement de Mathematiques et Statistique et #

# Centre de Recherches Mathematiques #

# Universite de Montreal, C.P. 6128, Succ. Centre-ville # # Montreal, QC H3C 357, Canada # # # # (cl Copyright 1997 # # # # e-mail: ayariQdms.umontreal.ca #

###############~H####H#~###~###W###~##### i r#~# I t#W#WW#iHt#~### # #readlib(vrite) : readlib (writestat) : ###########SHt#~######H#w#####w#~#Hw#w####wH###w###~#H#w # BackDar :=proc(input,file)

# global X,U,Eq, Darboux,Algebra,simpIe,numiter,Ad,nad; local p,r,ndif,F,k,l,Eij,G,Gij,nceq,totnumeq,DD,iad,kode,iteration, CCtemp , Subdar , Compcond, lm, i ,El, neq, CC, j 1 , buf f ; # options 'Version beta Copyrigh', 1997 by M- 1. Aya.i',remember,

system; # ###~w~~##i#Cw#w~###~#I#t#m##~#m~##it######~#~#m~#w#l#t#~ # #Read Data Input & output its content

read(input,file); close () ;

echo ( 1 ;

print( ' the condionnally invariant solutions of PDEs '1; print ( ' '1; print ( ' by M. Iadh Ayari '1 ; print ( ' Departement de Mathematiques et Statistique O '1 ; print ( ' Centre de Recherches Mathematiques, '1; print( ' Universite de Montreal, '1; print( ' Copyright 1997 ' 1 ; pr-nt( '+-----------------------------------------------+ '1;

print ( ' '1 ; print ( ' '1; # # determine the number of independent & dependent variables

p : =nops ( X I ; uritestat (def ault , 'Number of independent variables=' , p) ; r : =nops CU) ; writestat (def ault , ' Number of dependent variables= ' , r) ; # determine the number of PDEs ndif : =nops (Eq) ; writestat (default, 'Number of PDEsC ,ndif) ; #detemine the number of additional equat ions #nad : = nops (Ad) ; writestat (def ault , ' Number of addit ional simplif ying equations ' ,nad) ; #########~w#w#wf#t~#~######w#~#w#####w##~#m#w##### if Algebra = sl2 then for i from 1 to p do

n n K w

O b/

CV u' i f i n K V

a O V

Cr)

4

*

4

+ m n K w a O V

c'4 ,

s r (

u II * . n * A u w

.4 Cr) * w 00

od ; fi;

if Algebra = Equiv0(2,2) then ### f o r i from 1 to p do

od ; fi; ### if Algebra = gl(S,R)+t3 then ### f o r i from 1 to p do

+ 2* A . i . 3 Cop(X) )*ql (op(X))* q2 Cop(X)) + A . i . 4 (op(X))* q2( op(X) + A . i . 5 (op(X)) + A . i . 6 (op(X)) * ql (op(X)) + A . i . 7 (op(X)) * (ql (op(X)) 1-2;

od ; fi;

Subdar : =() ; f o r k from 1 to r do

f o r 1 from 1 to r do El [kl : =expand (simplif y ( subs (Darboux Cl] , Eq Ck1) ) ; od; f o r i from 1 to p do while has(E1 [k] , diff (ql (ope() ,x . i)) or has (El Ckl , diff (q2(op(X)) ,x . il) do for lm from 1 to p do El [k] : =simplif y(expand(subs (dif f (q1 (op (XI ) ,x . lm)= F b l ,

dif f (q2(op(X)) ,x . lm)= GCLml ,El[kl 1)) ; od ;

El [k] : =collect (El [k] , [ql (op(X)) ,q2(op(X))] ,distributedl ; Subdar : = Subdar union Ccoef f s (El [kl , Cql (op(X) , q2 (op (X) ) 1 > ;

for 1 from 1 to p do Eij := simplify<subs(diff (ql(op(X)) , x 1)

= FCl] ,diff(q2(op(X)), x . 1) =G[l],Eij 1); Gij := simplify(subs(diff (ql(op(X)), x . 1)

= FCl] ,diff(q2(op(X)), x . 1)= CC11 ,Gij 1) ; od ; Ei j : =collect (Eij , Cql (op(X1) .q2(op(X) 11 ,distributed) ; Gi j : =collect (Ci j , [ql (op(X) ) , q2 (op (X) ) 1 ,distributedl ; Compcond : = Compcond union {coef f s (Ei j , [ql op(^) ) , q2 (op (XI ) 1))

union {coef f s (Gi j , [ql (op(X) 1 , q2(op (XI ) 1 ) ) ; fi;

od ; od ;

# ~ # # # # # ~ # # # W W W ~ ~ # # ~ # # # # ~ ~ # ~ # ~ W # ~ # # # # ~ i # t # W # W # # # ~ nceq: =nops (Compcond) ; # totnumeq: =neq+nceq; f o r i from 1 to nceq do DD Ci] :=op (i ,Compcond) ; od; for i from neq+l to totnumeq do

CC Ci] : =DD Ci-neq] ; od; # if nad <>O then # writestat(default,' *****Here is Ad ************'); # writestat (default , 'the number of entries ' ,nad) ; for ij from 1 to nad do #print (Ad Ci jl ) ;

fi; # for i from 1 to totnumeq do for j from 1 to r do

od ; if nad <>O then for iad from 1 to nad do

# writestat (def ault , 'iad' , iad) ; CC Ci J : =simplif y(subs (lhs (Ad [iad] ) =rhs (Ad a d , CC [il ) ) ;

# for i from 1 t o totnumeq do vritestat(defa~lt,~****Equation &ter simplification NO:',^); print (CC Cil =O) ;

od; # od; end :

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