INFORMACIÓN GENERAL DEL PROYECTO - profe.arias · Web viewCalcula derivadas de orden superior aplicándolas a diferentes disciplinas ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Realizar las actividades

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERGUÍA DE ESTUDIO No. 4

UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICASASIGNATURA: CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD TEMÁTICA DERIVADAS Y APLICACIONES

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJEInterpretar la noción de derivada como razón de cambio y desarro-llar métodos para hallarla en las relaciones y funciones, así como también, resolver situaciones problémicas en diferentes áreas del conocimiento usando el con-cepto de derivación

Deduce la ecuación de la recta tangente según la información presentada.

Calcula la derivada de una función real derivable mediante las reglas de derivación.

Calcula derivadas de orden superior aplicándolas a diferentes disciplinas

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Realizar las act iv idades que a cont inuación se enuncian teniendo en cuenta la carpeta guía de Apuntes del Profesor

ACTIVIDAD No 1

En los siguientes problemas use la definición de derivada, para calcular la derivada de:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

ACTIVIDAD No 2

Aplicando las reglas de derivación, obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

ACTIVIDAD No 3Versión: 2 Fecha 2012


Utilice la regla de L’Hôpital para calcular los siguientes limites

1. Calcular:

a. b. c. d.

2. Encuentre:

a. b. c. d.

3. Calcular:

a. b.

4. Hallar:

a. b. c.

ACTIVIDAD No 4

Obtener la derivada indicada (derivada de orden superior) de cada una de las siguientes funciones

=

= =

= =

=

ACTIVIDAD No 5

Derivando implícitamente, calcular para cada una de las siguientes funciones:

1. 2. 3. d. 4. 5. 6.

7. 8.

ACTIVIDAD No 6

Versión: 2 Fecha 2012


Aplicando las reglas de derivación, para las funciones trascendentes, obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones:

ACTIVIDAD No 7

Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal para cada función en el punto indicado:

1. 2.

3. 4.

5. 6.



7. 8.

ACTIVIDAD No 8Resuelva los siguientes ejercicios

1. Encuentre una ecuación para la recta que es tangente a la curva en el origen.

2. Un rectángulo tiene lados y . Si depende de de la siguiente forma: y a los t se-gundos ,a. Encuentre la tasa de variación instantánea del área del rectángulo a los 25 segundos, utilizando

la regla de la cadena.b. Determine la función que dé el área del rectángulo en función del tiempo. Determine con esta

función la tasa la de variación instantánea del área a los 25 segundos.

3. Una piscina de base rectangular con área 48 y profundidad 8m, comienza a llenarse con rapidez

constante. La altura de lo que falta por llenar se modela mediante la función , t en ho-

ras.a. Determine la función que mide los metros cúbicos que faltan por llenar.b. Encuentre la tasa de variación instantánea de las funciones y al cabo de 5 horas. c. ¿Qué relación existe entre las funciones derivadas de y ?

4. Si la recta tangente a en (4,3), pasa por el punto (0,2) encuentre

5. Grafique una función para la cual

6. Si encuentre y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto (2,2)

7. Para las siguientes funciones halle y calcule la derivada en el punto que se indica

8. Probar que la recta normal (recta perpendicular a la recta tangente a una curva) en cualquier punto de la circunferencia pasa por el origen.

9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunferencia en los puntos (4,3) y (-3,4)

ACTIVIDAD No 9Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento para cada una de las siguientes funciones:

1. 2. 3.



4. 5. 6.

ACTIVIDAD No 10 Identificar los puntos críticos de cada una de las funciones dadas, y determinar los máximos y mínimos relativos utilizando el criterio de la primera derivada.

ACTIVIDAD No 11Utilizando el criterio de la segunda derivada, calcular los puntos donde las siguientes funciones alcanzan sus mínimos y máximos locales:

ACTIVIDAD No 12Resuelve los siguientes problemas de razón de cambio

1. El voltaje V (en voltios), la intensidad I (en amperios) y la resistencia R (en ohmios) de un circuito eléctrico, como el que se muestra en la figura, se relacionan mediante la ecuación . Suponga que V aumenta a razón de 1 voltio por segundo, mientras I decrece a razón de 1/3 amperio por segundo. Sea t el tiempo en segundos.

a. a. ¿Cuál es el valor de ?

b. b. ¿Cuál es el valor de

c. ¿Qué ecuación relaciona con y ?



d. Halle la razón a la cual R cambia cuando V = 12 voltios e I = 2 amperios. ¿R aumenta o disminuye? Nota: El radio r y la altura h del cilindro circular recto se relacionan con el volumen del cilindro median-te la fórmula .

2. En cierto instante la altura es de 6 cm y se incrementa en 1 cm/seg, mientras el radio es de 10 cm y disminuye a razón de 1 cm/seg. ¿Con qué rapidez cambia el volumen en ese instante? ¿El volumen au-menta o disminuye en ese instante? 3. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radio aumenta a razón de 0,01 cm/min. ¿Cuál es la razón de cambio del área cuando el radio mide 50 cm?

4. Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósito en forma de cono invertido (con el vérti-ce hacia abajo) a razón de por hora. Si el depósito tiene un radio de 2,5 metros en su parte supe-rior y una profundidad de 10 metros, entonces: a. ¿Qué tan rápido cambia dicha profundidad cuando tiene 8 metros? b. ¿A qué razón varía el área de la superficie del nivel del aceite en ese mismo instante? 5. Un globo aerostático se infla de tal modo que su volumen está incrementándose a razón de 84,951 dm /min. ¿Con qué rapidez está incrementándose el diámetro del globo cuando el radio es 3,05 dm? 6. Las aristas de un cubo variable aumentan a razón de 3 centímetros por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el volumen del cubo cuando una arista tiene 10 centímetros de longitud?

7. De un tubo sale arena a razón de 16 dm /seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo cuya altura es siempre 1/4 del diámetro de la base, ¿con qué rapidez aumenta la pirámide cuando tiene 4 dm de altura?

8. Una mujer, en un muelle, tira de un bote a razón de 15 metros por minuto sirviéndose de una soga amarrada al bote al nivel del agua. Si las manos de la mujer se hallan a 4,8 metros por arriba del nivel del agua, ¿con qué rapidez el bote se aproxima al muelle cuando la cantidad de cuerda suelta es de 6 metros?

9. Se bombea agua a un tanque que tiene forma de cono truncado circular recto con una razón uniforme de 2 litros por minuto (1 litro = 1000 cm). El tanque tiene una altura de 80 cm y radios inferior y superior de 20 y 40 cm, respectivamente. ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 30 cm? Nota: El volumen V de un cono truncado circular recto de altitud h y radios inferior y superior a y b es:



. 10. El agua está goteando del fondo de un depósito semiesférico de 8 dm de radio a razón de 2 dm /hora. Si el depósito estaba lleno en cierto momento, ¿con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la altura es de 3 dm?

Nota: El volumen V de un casquete de altura h de una esfera de radio r es:

11. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la base está a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a razón de 1,5 m/seg.

a. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre el suelo y la parte superior de la escalera sobre el muro en ese instante?

b. ¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese instante?

c. ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo entre la escalera y el suelo en ese instante? 12. Si Angélica mide 1,80 metros de altura y se aleja de la luz de un poste del alumbrado público, que está a 9 metros de altura, a razón de 0,6 metros por segundo, entonces: a. ¿Con qué rapidez aumenta la longitud de su sombra cuando Angélica está a 7,2 metros del poste?

¿A 9 metros? b. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra? c. Para seguir el extremo de su sombra, ¿a qué razón angular debe alzar la cabeza cuando su sombra

mide 1,8 metros de largo?

13. Un automóvil que se desplaza a razón de 9 m/seg, se aproxima a un cruce. Cuando el auto está a Versión: 2 Fecha 2012


36 metros de la intersección, un camión que viaja a razón de 12 m/seg, cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 2 segundos después de que el camión pasa dicho cruce?

14. Un avión vuela con velocidad constante, a una altura de 3000 m, en una trayectoria recta que lo lle-vará directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado, el observador advierte que el án-

gulo de elevación del aeroplano es de radianes y aumenta a razón de 1/60 radianes por segundo.

Determine la velocidad del avión.

15. Una partícula se está moviendo sobre una curva cuya ecuación es . Suponga que la coor-

denada x se está incrementando a razón de 6 unidades/seg cuando la partícula está en el punto (1,2).

16. Un hombre de 6 pies de alto camina a una razón de 5 pies/seg hacia un farol cuya luz está a 16 pies del piso. ¿A qué razón se mueve la punta de su sombra? ¿A qué razón cambia la longitud de su sombra cuando está a 10 pies de la base del farol?

17. Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice opuesto al origen está sobre la curva de ecuación , según se muestra en la figura adjunta. En este vértice, la coordenada y aumenta a razón de una unidad por segundo. ¿Cuál es la variación del área del rectángu-lo cuando x=2?

ACTIVIDAD No 12Problemas de optimización

1. Expresar el número 4 como la suma de dos números positivos tales que la suma del cuadrado del primero mas el cubo del segundo tenga el mínimo valor posible.

2. Determinar el punto de pendiente máxima en la curva

3. Si la suma de dos números positivos es 20, hallar tales números sabiendo que su producto es máximo.

4. El producto de dos números positivos es 36. Hallar dichos números si su suma es máxima.

5. Una bala es disparada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 98 m/seg. Determinar la máxima altura que alcanza la bala y el tiempo en que lo hace.



6. Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10cm. ¿Cuál es el volumen máximo?

7. La figura muestra un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 2 unidades de largo.

(a) Exprese la coordenada y de P en términos de x.(b) Exprese el área del rectángulo en términos de x.(c) ¿Cuál es la mayor área posible del rectángulo y cuáles son sus dimensiones?

8. Si se quiere hacer una caja rectangular abierta con una cartulina de 8 por 15 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados congruentes y doblando hacia arriba los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que se puede hacer de esta manera con el mayor volumen, y cuál es ese volumen?

9. Una parcela rectangular en una granja tendrá límites, por un lado, por un río, y por los otros tres mediante una cerca eléctrica con un solo alambre. Si se cuenta sólo con 800 metros de alambre, ¿cuál es la mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones?

EVALUACIÓN

Derivadas y aplicaciones

1. Para las siguientes funciones ,

Se pide:a) Dominio y asíntotas.b) Extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimientoc) Representación aproximada de la curva.

2. Sea f(x) una función real de variable real derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que: f (0)=1, f (1) = 2, f´ (0) = 3, f´ (1) = 4. Se pide

a) Calcula g´ (0) siendo g(x) = f(x +f (0)). b) Calcular:

3. Se considera la función:



Se pide: a) Dominio y continuidad de f;b) Halla las asíntotas de la gráfica de f

4. Se considera la función real

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (3,1)

5. Se considera la función real

a) Determina m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2] b) Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza dicho teorema.

6. Use la regla de L'Hôpital para encontrar los límites de los siguientes ejercicios:

(a) (b) (c)

(d) (e) (f )

(g)

7. Sea la función

Estudiar el dominio, las asíntotas, los posibles puntos de máximo y mínimo y hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función.

8. En cada uno de los siguientes apartados indicar un ejemplo que muestre que el enunciado es falso.

a) La suma de dos funciones discontinuas es una función discontinua. b) Toda función continua es derivable.

9. Encuentre el valor de c, de manera que la función f sea continua en x = 0

BIBLIOGRAFÍA

APUNTES DEL DOCENTE STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson PURCELL Edwin J , CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice Hall LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill




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