C R Acad Sci Paris l 323 Serle I p 313middot31 B 1996 Problemes mathematiques de la mecaniqucMalhemillical Problems in Mechanics

Influence de la rugosite en hydrodynamique laminaire

Youcef AMIRAT el Jacques SIMON

J1horaloir d e MaLhrnatiqll f AppliilJ~ ~ Un ive rs ite 13lai~f -r~ (I (CI errnrmt-]- rr1 nd-II) middot1 CNRS 61177 Allhi~ m CEDEX Fruucn

Resume On etud ie linfluence d asperites period iques sur une plaque en rnouve ment En regime dt Stokes on calculc la trainee cl une vitessc et unc pression non oscill antes com c idant avec la vit csse et la pression rccl les 1route distance fix e de la plaque avec unc errcur dccroissant exponcnticllement ell fonction de In fai lle des asperites Ccci repose sur des estimations de type de Saint-Vcnant

Influence of nlgosify in laminar hydrodYfUanics

Abstract The influence of periodic asperities on a mo ving plate is investgated For Stok es flo w the drag and non oscillating velocity and pressure which coincide with the real ones at an) given distan ce from the plat e are calculated lip to W I error which decreases exponentially with the sie of asperities This relies Oil some kind of de Saint --inun estimates

Abridged English Version

We consider a viscou- Iluid occupying an infinite horizontal domain 0 bounded by a ruglse plate R and by a plane plate P which is moving with a constant velocity y The domain is defined by (l ) with 1(X ) = 1e(a ) = pound3 (1 + E11(C e)) The function T is 1~~riodic with periods l [ and f2 with respect 10 l 1 and 12 and we denote S = )0 f dx )O pound2 ( We intend to g ive explicit

approximations of the solution (-IJ ~ P~J of Slakes equation (6) and of the drag T = l I ~l 1V7tpound12rli where Dc = c E Oc 1 E S

The main result which is theorem I gi ves an approximation of T up to an error t smaller than exp] - cJ _I and a non osc illating approximation of (I ~ liE) by a Poiseuille flow up 10 an error -1pound

with the same bound for a ll X 3 S t lt pound3 T hey are

e1 f2 -I (13 - I ( )T = JI -0- (J + e B ) g g + t It 1) = g - p ([ + eB) 9 + e J laquo l J

Here 8 is the map 9 f-gt b where h = I~ IV (z 1J )rlz l = inf rj(r) 1 E S and W is the unique d lution of Stukes equat ion s (7) in the se mi-in fin ite vert ical s trip 1 = z E R3

z E S Zl lt (Z) as Q = (g 0) spans R2 x O

Note presentee par Philippe G C I AK LET

0764-4442196032303 13 S 200 copy Academic des Sciences 313

Y Amirat et J Simon

These approximatio ns provide polynomial e xpansions at any orde r with respect to e which are

gi ven in corollairc 2

The approximation of (ue PJ rel ies on a kind of de Saint-Vcuant estimate that is an exponential decay g ive n in lemma 4 The approxi mat ion of To follows by the localization of drags expres sion

stated in lemma 3 The l usr section is devoted to the appr oximation of the solutio n t of the Laplace equation (15) This

equation descri bes the lon gitud inal component of the velocity when asperitie s are grooves parallel to

the velocity IJ that is to fix ide as g = (0 0) 11 = 11(1 1) T his equation is also involved in three dimensional problems of el ect ro st ati cs or heat cond uc tio n fo r which m ode lling the ru gosity is useful

Approximations of IJ and of the e nergy E = 1 11lt I i 11 12 are g ive n in theorem 5 Th ey are similar hut ea sier than those related to Stokes equat ion s They ar e deduced fro m the previous ones

once generalized to dimen sion 4

1 Modelisation de la rugosite

Trainee dune plaque

On co nside re un fluide occupant un dornaine infini situe entre une plaque plane P et une pl aque

rugueuse R qui se deplacc a une vi tesse uniformc fJ pa rallelement a la prem iere Dans un rep ere

lie a la secondc Ie dornaine es t

(I)

La plaque Rest periodique ccst-a-d ire que Ia fonction Test periodique en 3 et 12 de periodes Cl

et pound2 La viresse J = (vj 112 113) et la pression fJ sont periodiques et satisfont les eq uatio ns de Stokes

(2) -11Il + ip = O i middot 11 = O U-jR = 0 l IP = g

OU 1 gt 0 et g = (g 0) sont COnstants On note S =)0 eI ( x )0 f 2 ( la section de basco Le domaine o est alors engendrc par de s translati ons du do maine horne

n = x E 3 x E S Olt l3 lt I(t )

qui es limit par les portions de plaques

p = I 1 E S 13 = O

e t par la troruiere (inunatericlle) laterale L = DS x (0 (d La trainee engcnd rcc pa r la po rtio n de plaque Rest la puissance devcloppce par la for ce exe rcec

sur elk par Ie f1uide El le vaut (J [ I ]

(3)

Aspcrites periodiques

On suppose que In plaque R est un plan couvert dasperi tes de taill e E pet ite et plus precisernent

que so n profil est donne par

(4)

1 14

Influence de la rugosite en hydrodynamique larninaire

au ej gt 0 est fixe On suppose en outre l i E entier de facon a pouvoir conserver une section S independante de E (cet te hypothese peut eIre evitee cf [ ID

On note 11 11 et Tlt les inconnues 1llt Ie domaine et Rr sa fronti crc supe rieure (P L e t S ne varient pas avec c ) correspondants Lobjectif est de calculer T avec la mr illeure precision par un developpement polynomial

T --- To + cT I I bull bull ETn - O(t )

ou par un aut re type dapproxirnation On cherche calemenl des approximations non oscillantes de 1L au ]J En regime larninaire ie pour les equations de Stokes on obtient des approximations a exp (- c E) pres et des developpcrnents polynomiaux dordre quelconque

Parois generales

Linteret de ccs approximations est de permettre Ie remplacement dune paroi rugueuse par une paroi lissc avec des coeffi cients (g t au ( 3) con venablement modi fies

Dans les applications lcs parois ne sont pas planes et les asperit es ne sont pas periodiques alors que ces hypotheses sont essentielles dans les demonstrations ci-dessous En I attente de resultats pour une paroi genera le ceux quon donne iCI peuvent etre exuupolc - pour foumir de- lois empiriquc pour la modification des coefficients (en function des caractcristiques locales de Iecoulement)

2 Equations de Stokes

On note

mum de la norme de H fl) On suppose que Le pro fil T o des asperites est donne par (4) avec

(6)

I - cnticr (5) 1 E Li pr (5 ) e

ie 17]( 7) - rj(y) j clT - yl et r(ll 1middot2 ) = 7 (0 12) r(I) -2) = TI(II 0) On note ti c E H~er(no ) J p~ E L ~ erU20 ) Iunique solution de

UIP - y l1J ~ = 0

et 1~ = v In Ivlaquo 12

Pour definir Iapproximation de u p er T on introduit lunique solution ell S lquaLiolls de Stokes JU1 S la bande infinie A = z E 3 Z E S Z3 lt 1(z )

7 1[1 E l (Af 1i E L~er loc ( 1) (7)

7 11 = 0 III II = rig r nd z --- 0

au I = z z E S ZJ = I( z ) On note l = inf frI (I ) 1 E S et 0 1) definit b = (i 0) par

315

Y Amirat et J Simon

Lapplication 9 1-+ b est lincairc de R2 dans lui-memo et on la note D En identiriant 9 a u ct it hi Cl qui est ioi sible puisque leurs composantes verticales sont nulles ccue definition s ecrit

(9) Bg = b

Remarques - La rnatrice B est const ituee des vecteurs colonnes amp1 amp2 et 0 00 iJ l et l sont definis

par (7) ct (0) avec respectiverncnt 9 = (1 0 0) et = (0 1 0) Dans (7) la condition sur I secrit W(z IJ(ZIraquo = IJ(z )g La condition I Tlh = 0 peui Clr

satisfaite bien que la rnesure de 1 soil infinie grace au lernme 4

Dans (8) le choix de L est ai hitraire car J~ w(z z3)dz ne depend pas de Z S 1shyTHEOREMI I - Pour 10111 e rijiant (5) on a

(10)

pour IOUl b gt 0 e- verifiant (5) et 2c( 1 - (l1) S 6 Q multi-entier 2 0 et 73 S pound1 - 6 01 (I

(II)

Ces approximations donnent lcs developpcments polynomiaux suivarus

COROJIAIRL 2 - Pour OUf fi gt 0 pour lour ~ et pour CJ S ( - b

T = 1 e ~~2 (1l1 2 - E Bg middot9 + + (- eB) middot g) + O (e + I )

ue(z) - y - J(g - eBg + + (- eB ) ) + O b(c +l ) 0 1-3

Remarque - En general il y a un cffct dircctionncl Ie prem ier terme du developperncnt de u n est pa- proportionncl a y car In matri cc 13 n est pas di agonale (sauf si les aspc riies sont invariames par les rotations horizonrales cest-a-dire sil ny pas daspcritcs )

Daos le cas des rayures longitudinalcs traite au proc ha in paragraphe eet aspec t sera masqu e car 9 ra parallele aux rayures En effet dans ce cas et dans eelui dune vit essc perpeudiculaire aux

rayures la composante transversale de u sannulc 0 Le corrcctcur (-)_ et la pression Plt sont do nnes dan s nopar

( 12)

ou ((J I ill) es t la solution de I equation (7) dans ia bande venicalc serni-infi nie A relative a fe = (I + e8 )- l g

L residu (= U e) est defini dans ne par

(I J)

-v6= + VU~ = 0 v =e= o

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Influence de la rugosite en hydrodynamique larninaire

II vc rific ID=I + ID O=I S cf I IIJIE exp ( - er E) dan s tout ne middot

Dem onst ration du theoreme I - L approximation de 7~ rcsu ltc de ce lle de 110 car la trainee ne depend que de sa val eur loin du bard daprcs lexpression suivantc

LEM~ IE 3 - SOil h = 8 ( r3 )g 011 8 E C2 (R) = 1 si l3 S 0 $ = 0 si TJ 132 Alors

t = - 1 I IL th = - 1 t lLo th 0 1 J)Olt xs

Dilloilsration - On a J~ lt VU E v (uo - h ) = 0 pui sque tvmiddotc = 0 et u - h = 0 sur R U P et

on a Il 771 711 = - j l H 611 pu isque allon = 0 sur OnE 0 Estimon s maintena nt middotUe Avec la definition (12 ) le second mernbre de (II) coincide avec 11 ca r

il sati sfait lequation de Stokes (6) En effe t c est une so rn rnc de fonctions qui la veri ticn t pour la condition sur fl on ob serve que

Lexistence dune solution (W 1r) de (7) dans la ba nde infinie A se demontre par passage a la limite sur les solutions dan s n z gt In nulles pour Z3 = t n

Par defin ition de B I~ ( if1Y f ( Z 1) - BlJeJdz = () done l estirnation de typ e de Saint-Venant donnee au lcrnme 4 (re lative a 1gt = Ilg - Bge ) donne pour Z3 1- 1 j8 (1J7c - 8ge- Hz )1 cro I oxp (I Z3) Avec la definition (13) il en resulte Jue loa -Cro 1 191c ( ~XP (- eriE) sur P el done da ns tout n Avec lin egalitc precedentc eec i donne la decroissance exponentielle de G~

et fJ ~ et done Ie theoreme 1 D On a uti lise Ie resulrat suivant de decroi ssance cxponeru ielle dan s la bande verticale serni-infi nie

A_ = S X (- 00 0) de fro nti erc supcricu re I = S x Ill

L EM1IE 4 - SOil cIgt tel que

(14) v 1gt = 0

On a V0 gt O rIZ3 t lt O

Principe de demonstration - Un resultat analogue a ete etabli par Galdi [2] theoreme 2 2 p 319 pour la conditi on aux limi tes de Dirich let sur la frontiere laterale iJS X ( -oc 0) au lieu de la periodicite La conditi on de Dirichlet permenait dunliser linegalite de Poincare dans chaque sec tion

SI = S x f t En intcgrant l cquati on de d ive rgence nulle puis lequntion principale sur Stgt on demontre que

Ihypothese If qgtdz = II (qui netait pas necessaire pour le problerne de Dirichlet) eruraine que

lintegrale de 1gt est nulle sur chaque S t Ccci pcrmet duriliser la methode de [2J avec linegal itc de Poincare- Win inger dan s S II la place de I inegalitc de Poin care Les deta ils se rom donnes dans [ I ] 0

Remarque - Un resul tat analogue pour l equation de Lapl ace est dcmontre par une met hod e tout a fait d ifferente basee sur un lcrnrne de Tartar dan s [3] theore rne ) 01 p 54 Un resultat de decro issance exponentielle po ur un problcmc issu (par moycnnc) des equations de Stokes bidirnensionnell es es t dcduit dll lcmrne de Tartar par Mikelic dans f41 proposition l p 1292

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Y Arnirat et J Simon

3 Equation de Laplace (rayures longitudinales)

On suppose ici que les asperitcs sont des rayures parall clcs a la viiesse g Pour fixer les idees on choisit 9 = (u 0) I = 1(Jd La solutio n des equations de Stokes est a lors 7L = (0 v 0) p = 0 au u est la solution du problerne de La place bidimensionnel dans la section O = x = (11 bull r3 ) (1 1 0 13) E A cest-a-dire -116V = 0 VIR = 0 vh = ~( La train ee

vaut T = II in- l7vI2 bull

Lc theoreme I donne des estimations de cette solution paniculiere done de v Rcmarquons qu e 11

est aussi solution de s equations de Navier-Stokes car (I 7)1 O L equation de Laplace iniervenant dans des problernes tridirnension ncls rour lesqu cl s il est

interessant de rnodeliser la rugosite (electrostatiquc thermique ) donnons les rcsultats dans cc cas On suppose (5) on definit lie de facon unique par

(15) -l6vE = 0 UeIR = 0

2et on note e = II J l 17 111 Scient Ij l un iqu e so lution dans = z E R3 z E 5 Zj lt II(Z ) de

Ij E HI~er loc ( ) n L= (A ) -16 1 = 0 j)lr = tt

et -J = 1 4)(z l)dz au l = inf riCa) 1 E 5 TIII~OR EME 5 - Pour tout D gt 0 e verifiant (5) et 2c(1 - f3l) ~ 6 Q 0 et 73 ( 3 - 6 on a

Ee = _ _1_ f1 f2

hf +e Icel 1 h I Ct E exp (_ c) I + e-J ( lt

1 Xl ( OC()vpound(l ) = ) - 1 + e-J poundj 1+ Oe() DOO()1 c ( I o t h ie exp - ~ 0

Lc co rrecteur BE est donne dans n par

B() = ~ (1) (I 1 + EIJ e

ou Ie residu ( e est defini da ns Oe pm

q ( (x (J))( elfgt =-- (3 - 4) - -- I + eJ e t=

Cc residu verifi e ID(EI ~ Ct I)ahIE exp (- ctilt) dans lout ne pour Q O

Demonstration - On peut adapte r la demonstration du theoreme I On peut egalc ment observ er que (0 v O 0) est solution de s equations de Stokes dans O x )O poundltI ( et que le theorerne J s e tend a la dimen sion 4 il

Note remise Ie 12 Icv rier J996 accept ee apres revi sion le 15 avril 1996

References bibliographiques

[ I I Amlrnt Y et Simon 1 Influence o f periodic roughness in lam inar hydrod ynamics it pa rait rc [2] Galdi G P 1994 An introduction to the mat hemat ica l theory of the Nuvier-S rok cs eq uat io ns I Linearized steady

problems Springer Tracts NIlI Philos n 38 Springe r New York [31 Lions J -L 1981 Some mehods on the mathematica l ana lys is o Iy s middotIIS lt11 their cont rol Science Press Pekin et Gordo n

amp Breach New York [4 ] Mikdit Abullbull 1995 E ffets intert iels po ur un eco ulerne nt srationnaire visqueu x incompressible dans un mil ieux porcux

C N Acad Sci Paris ~ 2 0 serie I p 1289- 1294

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Y Amirat et J Simon

These approximatio ns provide polynomial e xpansions at any orde r with respect to e which are

gi ven in corollairc 2

The approximation of (ue PJ rel ies on a kind of de Saint-Vcuant estimate that is an exponential decay g ive n in lemma 4 The approxi mat ion of To follows by the localization of drags expres sion

stated in lemma 3 The l usr section is devoted to the appr oximation of the solutio n t of the Laplace equation (15) This

equation descri bes the lon gitud inal component of the velocity when asperitie s are grooves parallel to

the velocity IJ that is to fix ide as g = (0 0) 11 = 11(1 1) T his equation is also involved in three dimensional problems of el ect ro st ati cs or heat cond uc tio n fo r which m ode lling the ru gosity is useful

Approximations of IJ and of the e nergy E = 1 11lt I i 11 12 are g ive n in theorem 5 Th ey are similar hut ea sier than those related to Stokes equat ion s They ar e deduced fro m the previous ones

once generalized to dimen sion 4

1 Modelisation de la rugosite

Trainee dune plaque

On co nside re un fluide occupant un dornaine infini situe entre une plaque plane P et une pl aque

rugueuse R qui se deplacc a une vi tesse uniformc fJ pa rallelement a la prem iere Dans un rep ere

lie a la secondc Ie dornaine es t

(I)

La plaque Rest periodique ccst-a-d ire que Ia fonction Test periodique en 3 et 12 de periodes Cl

et pound2 La viresse J = (vj 112 113) et la pression fJ sont periodiques et satisfont les eq uatio ns de Stokes

(2) -11Il + ip = O i middot 11 = O U-jR = 0 l IP = g

OU 1 gt 0 et g = (g 0) sont COnstants On note S =)0 eI ( x )0 f 2 ( la section de basco Le domaine o est alors engendrc par de s translati ons du do maine horne

n = x E 3 x E S Olt l3 lt I(t )

qui es limit par les portions de plaques

p = I 1 E S 13 = O

e t par la troruiere (inunatericlle) laterale L = DS x (0 (d La trainee engcnd rcc pa r la po rtio n de plaque Rest la puissance devcloppce par la for ce exe rcec

sur elk par Ie f1uide El le vaut (J [ I ]

(3)

Aspcrites periodiques

On suppose que In plaque R est un plan couvert dasperi tes de taill e E pet ite et plus precisernent

que so n profil est donne par

(4)

1 14

Influence de la rugosite en hydrodynamique larninaire

au ej gt 0 est fixe On suppose en outre l i E entier de facon a pouvoir conserver une section S independante de E (cet te hypothese peut eIre evitee cf [ ID

On note 11 11 et Tlt les inconnues 1llt Ie domaine et Rr sa fronti crc supe rieure (P L e t S ne varient pas avec c ) correspondants Lobjectif est de calculer T avec la mr illeure precision par un developpement polynomial

T --- To + cT I I bull bull ETn - O(t )

ou par un aut re type dapproxirnation On cherche calemenl des approximations non oscillantes de 1L au ]J En regime larninaire ie pour les equations de Stokes on obtient des approximations a exp (- c E) pres et des developpcrnents polynomiaux dordre quelconque

Parois generales

Linteret de ccs approximations est de permettre Ie remplacement dune paroi rugueuse par une paroi lissc avec des coeffi cients (g t au ( 3) con venablement modi fies

Dans les applications lcs parois ne sont pas planes et les asperit es ne sont pas periodiques alors que ces hypotheses sont essentielles dans les demonstrations ci-dessous En I attente de resultats pour une paroi genera le ceux quon donne iCI peuvent etre exuupolc - pour foumir de- lois empiriquc pour la modification des coefficients (en function des caractcristiques locales de Iecoulement)

2 Equations de Stokes

On note

mum de la norme de H fl) On suppose que Le pro fil T o des asperites est donne par (4) avec

(6)

I - cnticr (5) 1 E Li pr (5 ) e

ie 17]( 7) - rj(y) j clT - yl et r(ll 1middot2 ) = 7 (0 12) r(I) -2) = TI(II 0) On note ti c E H~er(no ) J p~ E L ~ erU20 ) Iunique solution de

UIP - y l1J ~ = 0

et 1~ = v In Ivlaquo 12

Pour definir Iapproximation de u p er T on introduit lunique solution ell S lquaLiolls de Stokes JU1 S la bande infinie A = z E 3 Z E S Z3 lt 1(z )

7 1[1 E l (Af 1i E L~er loc ( 1) (7)

7 11 = 0 III II = rig r nd z --- 0

au I = z z E S ZJ = I( z ) On note l = inf frI (I ) 1 E S et 0 1) definit b = (i 0) par

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Y Amirat et J Simon

Lapplication 9 1-+ b est lincairc de R2 dans lui-memo et on la note D En identiriant 9 a u ct it hi Cl qui est ioi sible puisque leurs composantes verticales sont nulles ccue definition s ecrit

(9) Bg = b

Remarques - La rnatrice B est const ituee des vecteurs colonnes amp1 amp2 et 0 00 iJ l et l sont definis

par (7) ct (0) avec respectiverncnt 9 = (1 0 0) et = (0 1 0) Dans (7) la condition sur I secrit W(z IJ(ZIraquo = IJ(z )g La condition I Tlh = 0 peui Clr

satisfaite bien que la rnesure de 1 soil infinie grace au lernme 4

Dans (8) le choix de L est ai hitraire car J~ w(z z3)dz ne depend pas de Z S 1shyTHEOREMI I - Pour 10111 e rijiant (5) on a

(10)

pour IOUl b gt 0 e- verifiant (5) et 2c( 1 - (l1) S 6 Q multi-entier 2 0 et 73 S pound1 - 6 01 (I

(II)

Ces approximations donnent lcs developpcments polynomiaux suivarus

COROJIAIRL 2 - Pour OUf fi gt 0 pour lour ~ et pour CJ S ( - b

T = 1 e ~~2 (1l1 2 - E Bg middot9 + + (- eB) middot g) + O (e + I )

ue(z) - y - J(g - eBg + + (- eB ) ) + O b(c +l ) 0 1-3

Remarque - En general il y a un cffct dircctionncl Ie prem ier terme du developperncnt de u n est pa- proportionncl a y car In matri cc 13 n est pas di agonale (sauf si les aspc riies sont invariames par les rotations horizonrales cest-a-dire sil ny pas daspcritcs )

Daos le cas des rayures longitudinalcs traite au proc ha in paragraphe eet aspec t sera masqu e car 9 ra parallele aux rayures En effet dans ce cas et dans eelui dune vit essc perpeudiculaire aux

rayures la composante transversale de u sannulc 0 Le corrcctcur (-)_ et la pression Plt sont do nnes dan s nopar

( 12)

ou ((J I ill) es t la solution de I equation (7) dans ia bande venicalc serni-infi nie A relative a fe = (I + e8 )- l g

L residu (= U e) est defini dans ne par

(I J)

-v6= + VU~ = 0 v =e= o

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Influence de la rugosite en hydrodynamique larninaire

II vc rific ID=I + ID O=I S cf I IIJIE exp ( - er E) dan s tout ne middot

Dem onst ration du theoreme I - L approximation de 7~ rcsu ltc de ce lle de 110 car la trainee ne depend que de sa val eur loin du bard daprcs lexpression suivantc

LEM~ IE 3 - SOil h = 8 ( r3 )g 011 8 E C2 (R) = 1 si l3 S 0 $ = 0 si TJ 132 Alors

t = - 1 I IL th = - 1 t lLo th 0 1 J)Olt xs

Dilloilsration - On a J~ lt VU E v (uo - h ) = 0 pui sque tvmiddotc = 0 et u - h = 0 sur R U P et

on a Il 771 711 = - j l H 611 pu isque allon = 0 sur OnE 0 Estimon s maintena nt middotUe Avec la definition (12 ) le second mernbre de (II) coincide avec 11 ca r

il sati sfait lequation de Stokes (6) En effe t c est une so rn rnc de fonctions qui la veri ticn t pour la condition sur fl on ob serve que

Lexistence dune solution (W 1r) de (7) dans la ba nde infinie A se demontre par passage a la limite sur les solutions dan s n z gt In nulles pour Z3 = t n

Par defin ition de B I~ ( if1Y f ( Z 1) - BlJeJdz = () done l estirnation de typ e de Saint-Venant donnee au lcrnme 4 (re lative a 1gt = Ilg - Bge ) donne pour Z3 1- 1 j8 (1J7c - 8ge- Hz )1 cro I oxp (I Z3) Avec la definition (13) il en resulte Jue loa -Cro 1 191c ( ~XP (- eriE) sur P el done da ns tout n Avec lin egalitc precedentc eec i donne la decroissance exponentielle de G~

et fJ ~ et done Ie theoreme 1 D On a uti lise Ie resulrat suivant de decroi ssance cxponeru ielle dan s la bande verticale serni-infi nie

A_ = S X (- 00 0) de fro nti erc supcricu re I = S x Ill

L EM1IE 4 - SOil cIgt tel que

(14) v 1gt = 0

On a V0 gt O rIZ3 t lt O

Principe de demonstration - Un resultat analogue a ete etabli par Galdi [2] theoreme 2 2 p 319 pour la conditi on aux limi tes de Dirich let sur la frontiere laterale iJS X ( -oc 0) au lieu de la periodicite La conditi on de Dirichlet permenait dunliser linegalite de Poincare dans chaque sec tion

SI = S x f t En intcgrant l cquati on de d ive rgence nulle puis lequntion principale sur Stgt on demontre que

Ihypothese If qgtdz = II (qui netait pas necessaire pour le problerne de Dirichlet) eruraine que

lintegrale de 1gt est nulle sur chaque S t Ccci pcrmet duriliser la methode de [2J avec linegal itc de Poincare- Win inger dan s S II la place de I inegalitc de Poin care Les deta ils se rom donnes dans [ I ] 0

Remarque - Un resul tat analogue pour l equation de Lapl ace est dcmontre par une met hod e tout a fait d ifferente basee sur un lcrnrne de Tartar dan s [3] theore rne ) 01 p 54 Un resultat de decro issance exponentielle po ur un problcmc issu (par moycnnc) des equations de Stokes bidirnensionnell es es t dcduit dll lcmrne de Tartar par Mikelic dans f41 proposition l p 1292

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Y Arnirat et J Simon

3 Equation de Laplace (rayures longitudinales)

On suppose ici que les asperitcs sont des rayures parall clcs a la viiesse g Pour fixer les idees on choisit 9 = (u 0) I = 1(Jd La solutio n des equations de Stokes est a lors 7L = (0 v 0) p = 0 au u est la solution du problerne de La place bidimensionnel dans la section O = x = (11 bull r3 ) (1 1 0 13) E A cest-a-dire -116V = 0 VIR = 0 vh = ~( La train ee

vaut T = II in- l7vI2 bull

Lc theoreme I donne des estimations de cette solution paniculiere done de v Rcmarquons qu e 11

est aussi solution de s equations de Navier-Stokes car (I 7)1 O L equation de Laplace iniervenant dans des problernes tridirnension ncls rour lesqu cl s il est

interessant de rnodeliser la rugosite (electrostatiquc thermique ) donnons les rcsultats dans cc cas On suppose (5) on definit lie de facon unique par

(15) -l6vE = 0 UeIR = 0

2et on note e = II J l 17 111 Scient Ij l un iqu e so lution dans = z E R3 z E 5 Zj lt II(Z ) de

Ij E HI~er loc ( ) n L= (A ) -16 1 = 0 j)lr = tt

et -J = 1 4)(z l)dz au l = inf riCa) 1 E 5 TIII~OR EME 5 - Pour tout D gt 0 e verifiant (5) et 2c(1 - f3l) ~ 6 Q 0 et 73 ( 3 - 6 on a

Ee = _ _1_ f1 f2

hf +e Icel 1 h I Ct E exp (_ c) I + e-J ( lt

1 Xl ( OC()vpound(l ) = ) - 1 + e-J poundj 1+ Oe() DOO()1 c ( I o t h ie exp - ~ 0

Lc co rrecteur BE est donne dans n par

B() = ~ (1) (I 1 + EIJ e

ou Ie residu ( e est defini da ns Oe pm

q ( (x (J))( elfgt =-- (3 - 4) - -- I + eJ e t=

Cc residu verifi e ID(EI ~ Ct I)ahIE exp (- ctilt) dans lout ne pour Q O

Demonstration - On peut adapte r la demonstration du theoreme I On peut egalc ment observ er que (0 v O 0) est solution de s equations de Stokes dans O x )O poundltI ( et que le theorerne J s e tend a la dimen sion 4 il

Note remise Ie 12 Icv rier J996 accept ee apres revi sion le 15 avril 1996

References bibliographiques

[ I I Amlrnt Y et Simon 1 Influence o f periodic roughness in lam inar hydrod ynamics it pa rait rc [2] Galdi G P 1994 An introduction to the mat hemat ica l theory of the Nuvier-S rok cs eq uat io ns I Linearized steady

problems Springer Tracts NIlI Philos n 38 Springe r New York [31 Lions J -L 1981 Some mehods on the mathematica l ana lys is o Iy s middotIIS lt11 their cont rol Science Press Pekin et Gordo n

amp Breach New York [4 ] Mikdit Abullbull 1995 E ffets intert iels po ur un eco ulerne nt srationnaire visqueu x incompressible dans un mil ieux porcux

C N Acad Sci Paris ~ 2 0 serie I p 1289- 1294

318

Influence de la rugosite en hydrodynamique larninaire

au ej gt 0 est fixe On suppose en outre l i E entier de facon a pouvoir conserver une section S independante de E (cet te hypothese peut eIre evitee cf [ ID

On note 11 11 et Tlt les inconnues 1llt Ie domaine et Rr sa fronti crc supe rieure (P L e t S ne varient pas avec c ) correspondants Lobjectif est de calculer T avec la mr illeure precision par un developpement polynomial

T --- To + cT I I bull bull ETn - O(t )

ou par un aut re type dapproxirnation On cherche calemenl des approximations non oscillantes de 1L au ]J En regime larninaire ie pour les equations de Stokes on obtient des approximations a exp (- c E) pres et des developpcrnents polynomiaux dordre quelconque

Parois generales

Linteret de ccs approximations est de permettre Ie remplacement dune paroi rugueuse par une paroi lissc avec des coeffi cients (g t au ( 3) con venablement modi fies

Dans les applications lcs parois ne sont pas planes et les asperit es ne sont pas periodiques alors que ces hypotheses sont essentielles dans les demonstrations ci-dessous En I attente de resultats pour une paroi genera le ceux quon donne iCI peuvent etre exuupolc - pour foumir de- lois empiriquc pour la modification des coefficients (en function des caractcristiques locales de Iecoulement)

2 Equations de Stokes

On note

mum de la norme de H fl) On suppose que Le pro fil T o des asperites est donne par (4) avec

(6)

I - cnticr (5) 1 E Li pr (5 ) e

ie 17]( 7) - rj(y) j clT - yl et r(ll 1middot2 ) = 7 (0 12) r(I) -2) = TI(II 0) On note ti c E H~er(no ) J p~ E L ~ erU20 ) Iunique solution de

UIP - y l1J ~ = 0

et 1~ = v In Ivlaquo 12

Pour definir Iapproximation de u p er T on introduit lunique solution ell S lquaLiolls de Stokes JU1 S la bande infinie A = z E 3 Z E S Z3 lt 1(z )

7 1[1 E l (Af 1i E L~er loc ( 1) (7)

7 11 = 0 III II = rig r nd z --- 0

au I = z z E S ZJ = I( z ) On note l = inf frI (I ) 1 E S et 0 1) definit b = (i 0) par

315

Y Amirat et J Simon

Lapplication 9 1-+ b est lincairc de R2 dans lui-memo et on la note D En identiriant 9 a u ct it hi Cl qui est ioi sible puisque leurs composantes verticales sont nulles ccue definition s ecrit

(9) Bg = b

Remarques - La rnatrice B est const ituee des vecteurs colonnes amp1 amp2 et 0 00 iJ l et l sont definis

par (7) ct (0) avec respectiverncnt 9 = (1 0 0) et = (0 1 0) Dans (7) la condition sur I secrit W(z IJ(ZIraquo = IJ(z )g La condition I Tlh = 0 peui Clr

satisfaite bien que la rnesure de 1 soil infinie grace au lernme 4

Dans (8) le choix de L est ai hitraire car J~ w(z z3)dz ne depend pas de Z S 1shyTHEOREMI I - Pour 10111 e rijiant (5) on a

(10)

pour IOUl b gt 0 e- verifiant (5) et 2c( 1 - (l1) S 6 Q multi-entier 2 0 et 73 S pound1 - 6 01 (I

(II)

Ces approximations donnent lcs developpcments polynomiaux suivarus

COROJIAIRL 2 - Pour OUf fi gt 0 pour lour ~ et pour CJ S ( - b

T = 1 e ~~2 (1l1 2 - E Bg middot9 + + (- eB) middot g) + O (e + I )

ue(z) - y - J(g - eBg + + (- eB ) ) + O b(c +l ) 0 1-3

Remarque - En general il y a un cffct dircctionncl Ie prem ier terme du developperncnt de u n est pa- proportionncl a y car In matri cc 13 n est pas di agonale (sauf si les aspc riies sont invariames par les rotations horizonrales cest-a-dire sil ny pas daspcritcs )

Daos le cas des rayures longitudinalcs traite au proc ha in paragraphe eet aspec t sera masqu e car 9 ra parallele aux rayures En effet dans ce cas et dans eelui dune vit essc perpeudiculaire aux

rayures la composante transversale de u sannulc 0 Le corrcctcur (-)_ et la pression Plt sont do nnes dan s nopar

( 12)

ou ((J I ill) es t la solution de I equation (7) dans ia bande venicalc serni-infi nie A relative a fe = (I + e8 )- l g

L residu (= U e) est defini dans ne par

(I J)

-v6= + VU~ = 0 v =e= o

316

Influence de la rugosite en hydrodynamique larninaire

II vc rific ID=I + ID O=I S cf I IIJIE exp ( - er E) dan s tout ne middot

Dem onst ration du theoreme I - L approximation de 7~ rcsu ltc de ce lle de 110 car la trainee ne depend que de sa val eur loin du bard daprcs lexpression suivantc

LEM~ IE 3 - SOil h = 8 ( r3 )g 011 8 E C2 (R) = 1 si l3 S 0 $ = 0 si TJ 132 Alors

t = - 1 I IL th = - 1 t lLo th 0 1 J)Olt xs

Dilloilsration - On a J~ lt VU E v (uo - h ) = 0 pui sque tvmiddotc = 0 et u - h = 0 sur R U P et

on a Il 771 711 = - j l H 611 pu isque allon = 0 sur OnE 0 Estimon s maintena nt middotUe Avec la definition (12 ) le second mernbre de (II) coincide avec 11 ca r

il sati sfait lequation de Stokes (6) En effe t c est une so rn rnc de fonctions qui la veri ticn t pour la condition sur fl on ob serve que

Lexistence dune solution (W 1r) de (7) dans la ba nde infinie A se demontre par passage a la limite sur les solutions dan s n z gt In nulles pour Z3 = t n

Par defin ition de B I~ ( if1Y f ( Z 1) - BlJeJdz = () done l estirnation de typ e de Saint-Venant donnee au lcrnme 4 (re lative a 1gt = Ilg - Bge ) donne pour Z3 1- 1 j8 (1J7c - 8ge- Hz )1 cro I oxp (I Z3) Avec la definition (13) il en resulte Jue loa -Cro 1 191c ( ~XP (- eriE) sur P el done da ns tout n Avec lin egalitc precedentc eec i donne la decroissance exponentielle de G~

et fJ ~ et done Ie theoreme 1 D On a uti lise Ie resulrat suivant de decroi ssance cxponeru ielle dan s la bande verticale serni-infi nie

A_ = S X (- 00 0) de fro nti erc supcricu re I = S x Ill

L EM1IE 4 - SOil cIgt tel que

(14) v 1gt = 0

On a V0 gt O rIZ3 t lt O

Principe de demonstration - Un resultat analogue a ete etabli par Galdi [2] theoreme 2 2 p 319 pour la conditi on aux limi tes de Dirich let sur la frontiere laterale iJS X ( -oc 0) au lieu de la periodicite La conditi on de Dirichlet permenait dunliser linegalite de Poincare dans chaque sec tion

SI = S x f t En intcgrant l cquati on de d ive rgence nulle puis lequntion principale sur Stgt on demontre que

Ihypothese If qgtdz = II (qui netait pas necessaire pour le problerne de Dirichlet) eruraine que

lintegrale de 1gt est nulle sur chaque S t Ccci pcrmet duriliser la methode de [2J avec linegal itc de Poincare- Win inger dan s S II la place de I inegalitc de Poin care Les deta ils se rom donnes dans [ I ] 0

Remarque - Un resul tat analogue pour l equation de Lapl ace est dcmontre par une met hod e tout a fait d ifferente basee sur un lcrnrne de Tartar dan s [3] theore rne ) 01 p 54 Un resultat de decro issance exponentielle po ur un problcmc issu (par moycnnc) des equations de Stokes bidirnensionnell es es t dcduit dll lcmrne de Tartar par Mikelic dans f41 proposition l p 1292

317

Y Arnirat et J Simon

3 Equation de Laplace (rayures longitudinales)

On suppose ici que les asperitcs sont des rayures parall clcs a la viiesse g Pour fixer les idees on choisit 9 = (u 0) I = 1(Jd La solutio n des equations de Stokes est a lors 7L = (0 v 0) p = 0 au u est la solution du problerne de La place bidimensionnel dans la section O = x = (11 bull r3 ) (1 1 0 13) E A cest-a-dire -116V = 0 VIR = 0 vh = ~( La train ee

vaut T = II in- l7vI2 bull

Lc theoreme I donne des estimations de cette solution paniculiere done de v Rcmarquons qu e 11

est aussi solution de s equations de Navier-Stokes car (I 7)1 O L equation de Laplace iniervenant dans des problernes tridirnension ncls rour lesqu cl s il est

interessant de rnodeliser la rugosite (electrostatiquc thermique ) donnons les rcsultats dans cc cas On suppose (5) on definit lie de facon unique par

(15) -l6vE = 0 UeIR = 0

2et on note e = II J l 17 111 Scient Ij l un iqu e so lution dans = z E R3 z E 5 Zj lt II(Z ) de

Ij E HI~er loc ( ) n L= (A ) -16 1 = 0 j)lr = tt

et -J = 1 4)(z l)dz au l = inf riCa) 1 E 5 TIII~OR EME 5 - Pour tout D gt 0 e verifiant (5) et 2c(1 - f3l) ~ 6 Q 0 et 73 ( 3 - 6 on a

Ee = _ _1_ f1 f2

hf +e Icel 1 h I Ct E exp (_ c) I + e-J ( lt

1 Xl ( OC()vpound(l ) = ) - 1 + e-J poundj 1+ Oe() DOO()1 c ( I o t h ie exp - ~ 0

Lc co rrecteur BE est donne dans n par

B() = ~ (1) (I 1 + EIJ e

ou Ie residu ( e est defini da ns Oe pm

q ( (x (J))( elfgt =-- (3 - 4) - -- I + eJ e t=

Cc residu verifi e ID(EI ~ Ct I)ahIE exp (- ctilt) dans lout ne pour Q O

Demonstration - On peut adapte r la demonstration du theoreme I On peut egalc ment observ er que (0 v O 0) est solution de s equations de Stokes dans O x )O poundltI ( et que le theorerne J s e tend a la dimen sion 4 il

Note remise Ie 12 Icv rier J996 accept ee apres revi sion le 15 avril 1996

References bibliographiques

[ I I Amlrnt Y et Simon 1 Influence o f periodic roughness in lam inar hydrod ynamics it pa rait rc [2] Galdi G P 1994 An introduction to the mat hemat ica l theory of the Nuvier-S rok cs eq uat io ns I Linearized steady

problems Springer Tracts NIlI Philos n 38 Springe r New York [31 Lions J -L 1981 Some mehods on the mathematica l ana lys is o Iy s middotIIS lt11 their cont rol Science Press Pekin et Gordo n

amp Breach New York [4 ] Mikdit Abullbull 1995 E ffets intert iels po ur un eco ulerne nt srationnaire visqueu x incompressible dans un mil ieux porcux

C N Acad Sci Paris ~ 2 0 serie I p 1289- 1294

318

Y Amirat et J Simon

Lapplication 9 1-+ b est lincairc de R2 dans lui-memo et on la note D En identiriant 9 a u ct it hi Cl qui est ioi sible puisque leurs composantes verticales sont nulles ccue definition s ecrit

(9) Bg = b

Remarques - La rnatrice B est const ituee des vecteurs colonnes amp1 amp2 et 0 00 iJ l et l sont definis

par (7) ct (0) avec respectiverncnt 9 = (1 0 0) et = (0 1 0) Dans (7) la condition sur I secrit W(z IJ(ZIraquo = IJ(z )g La condition I Tlh = 0 peui Clr

satisfaite bien que la rnesure de 1 soil infinie grace au lernme 4

Dans (8) le choix de L est ai hitraire car J~ w(z z3)dz ne depend pas de Z S 1shyTHEOREMI I - Pour 10111 e rijiant (5) on a

(10)

pour IOUl b gt 0 e- verifiant (5) et 2c( 1 - (l1) S 6 Q multi-entier 2 0 et 73 S pound1 - 6 01 (I

(II)

Ces approximations donnent lcs developpcments polynomiaux suivarus

COROJIAIRL 2 - Pour OUf fi gt 0 pour lour ~ et pour CJ S ( - b

T = 1 e ~~2 (1l1 2 - E Bg middot9 + + (- eB) middot g) + O (e + I )

ue(z) - y - J(g - eBg + + (- eB ) ) + O b(c +l ) 0 1-3

Remarque - En general il y a un cffct dircctionncl Ie prem ier terme du developperncnt de u n est pa- proportionncl a y car In matri cc 13 n est pas di agonale (sauf si les aspc riies sont invariames par les rotations horizonrales cest-a-dire sil ny pas daspcritcs )

Daos le cas des rayures longitudinalcs traite au proc ha in paragraphe eet aspec t sera masqu e car 9 ra parallele aux rayures En effet dans ce cas et dans eelui dune vit essc perpeudiculaire aux

rayures la composante transversale de u sannulc 0 Le corrcctcur (-)_ et la pression Plt sont do nnes dan s nopar

( 12)

ou ((J I ill) es t la solution de I equation (7) dans ia bande venicalc serni-infi nie A relative a fe = (I + e8 )- l g

L residu (= U e) est defini dans ne par

(I J)

-v6= + VU~ = 0 v =e= o

316

Influence de la rugosite en hydrodynamique larninaire

II vc rific ID=I + ID O=I S cf I IIJIE exp ( - er E) dan s tout ne middot

Dem onst ration du theoreme I - L approximation de 7~ rcsu ltc de ce lle de 110 car la trainee ne depend que de sa val eur loin du bard daprcs lexpression suivantc

LEM~ IE 3 - SOil h = 8 ( r3 )g 011 8 E C2 (R) = 1 si l3 S 0 $ = 0 si TJ 132 Alors

t = - 1 I IL th = - 1 t lLo th 0 1 J)Olt xs

Dilloilsration - On a J~ lt VU E v (uo - h ) = 0 pui sque tvmiddotc = 0 et u - h = 0 sur R U P et

on a Il 771 711 = - j l H 611 pu isque allon = 0 sur OnE 0 Estimon s maintena nt middotUe Avec la definition (12 ) le second mernbre de (II) coincide avec 11 ca r

il sati sfait lequation de Stokes (6) En effe t c est une so rn rnc de fonctions qui la veri ticn t pour la condition sur fl on ob serve que

Lexistence dune solution (W 1r) de (7) dans la ba nde infinie A se demontre par passage a la limite sur les solutions dan s n z gt In nulles pour Z3 = t n

Par defin ition de B I~ ( if1Y f ( Z 1) - BlJeJdz = () done l estirnation de typ e de Saint-Venant donnee au lcrnme 4 (re lative a 1gt = Ilg - Bge ) donne pour Z3 1- 1 j8 (1J7c - 8ge- Hz )1 cro I oxp (I Z3) Avec la definition (13) il en resulte Jue loa -Cro 1 191c ( ~XP (- eriE) sur P el done da ns tout n Avec lin egalitc precedentc eec i donne la decroissance exponentielle de G~

et fJ ~ et done Ie theoreme 1 D On a uti lise Ie resulrat suivant de decroi ssance cxponeru ielle dan s la bande verticale serni-infi nie

A_ = S X (- 00 0) de fro nti erc supcricu re I = S x Ill

L EM1IE 4 - SOil cIgt tel que

(14) v 1gt = 0

On a V0 gt O rIZ3 t lt O

Principe de demonstration - Un resultat analogue a ete etabli par Galdi [2] theoreme 2 2 p 319 pour la conditi on aux limi tes de Dirich let sur la frontiere laterale iJS X ( -oc 0) au lieu de la periodicite La conditi on de Dirichlet permenait dunliser linegalite de Poincare dans chaque sec tion

SI = S x f t En intcgrant l cquati on de d ive rgence nulle puis lequntion principale sur Stgt on demontre que

Ihypothese If qgtdz = II (qui netait pas necessaire pour le problerne de Dirichlet) eruraine que

lintegrale de 1gt est nulle sur chaque S t Ccci pcrmet duriliser la methode de [2J avec linegal itc de Poincare- Win inger dan s S II la place de I inegalitc de Poin care Les deta ils se rom donnes dans [ I ] 0

Remarque - Un resul tat analogue pour l equation de Lapl ace est dcmontre par une met hod e tout a fait d ifferente basee sur un lcrnrne de Tartar dan s [3] theore rne ) 01 p 54 Un resultat de decro issance exponentielle po ur un problcmc issu (par moycnnc) des equations de Stokes bidirnensionnell es es t dcduit dll lcmrne de Tartar par Mikelic dans f41 proposition l p 1292

317

Y Arnirat et J Simon

3 Equation de Laplace (rayures longitudinales)

On suppose ici que les asperitcs sont des rayures parall clcs a la viiesse g Pour fixer les idees on choisit 9 = (u 0) I = 1(Jd La solutio n des equations de Stokes est a lors 7L = (0 v 0) p = 0 au u est la solution du problerne de La place bidimensionnel dans la section O = x = (11 bull r3 ) (1 1 0 13) E A cest-a-dire -116V = 0 VIR = 0 vh = ~( La train ee

vaut T = II in- l7vI2 bull

Lc theoreme I donne des estimations de cette solution paniculiere done de v Rcmarquons qu e 11

est aussi solution de s equations de Navier-Stokes car (I 7)1 O L equation de Laplace iniervenant dans des problernes tridirnension ncls rour lesqu cl s il est

interessant de rnodeliser la rugosite (electrostatiquc thermique ) donnons les rcsultats dans cc cas On suppose (5) on definit lie de facon unique par

(15) -l6vE = 0 UeIR = 0

2et on note e = II J l 17 111 Scient Ij l un iqu e so lution dans = z E R3 z E 5 Zj lt II(Z ) de

Ij E HI~er loc ( ) n L= (A ) -16 1 = 0 j)lr = tt

et -J = 1 4)(z l)dz au l = inf riCa) 1 E 5 TIII~OR EME 5 - Pour tout D gt 0 e verifiant (5) et 2c(1 - f3l) ~ 6 Q 0 et 73 ( 3 - 6 on a

Ee = _ _1_ f1 f2

hf +e Icel 1 h I Ct E exp (_ c) I + e-J ( lt

1 Xl ( OC()vpound(l ) = ) - 1 + e-J poundj 1+ Oe() DOO()1 c ( I o t h ie exp - ~ 0

Lc co rrecteur BE est donne dans n par

B() = ~ (1) (I 1 + EIJ e

ou Ie residu ( e est defini da ns Oe pm

q ( (x (J))( elfgt =-- (3 - 4) - -- I + eJ e t=

Cc residu verifi e ID(EI ~ Ct I)ahIE exp (- ctilt) dans lout ne pour Q O

Demonstration - On peut adapte r la demonstration du theoreme I On peut egalc ment observ er que (0 v O 0) est solution de s equations de Stokes dans O x )O poundltI ( et que le theorerne J s e tend a la dimen sion 4 il

Note remise Ie 12 Icv rier J996 accept ee apres revi sion le 15 avril 1996

References bibliographiques

[ I I Amlrnt Y et Simon 1 Influence o f periodic roughness in lam inar hydrod ynamics it pa rait rc [2] Galdi G P 1994 An introduction to the mat hemat ica l theory of the Nuvier-S rok cs eq uat io ns I Linearized steady

problems Springer Tracts NIlI Philos n 38 Springe r New York [31 Lions J -L 1981 Some mehods on the mathematica l ana lys is o Iy s middotIIS lt11 their cont rol Science Press Pekin et Gordo n

amp Breach New York [4 ] Mikdit Abullbull 1995 E ffets intert iels po ur un eco ulerne nt srationnaire visqueu x incompressible dans un mil ieux porcux

C N Acad Sci Paris ~ 2 0 serie I p 1289- 1294

318

Influence de la rugosite en hydrodynamique larninaire

II vc rific ID=I + ID O=I S cf I IIJIE exp ( - er E) dan s tout ne middot

Dem onst ration du theoreme I - L approximation de 7~ rcsu ltc de ce lle de 110 car la trainee ne depend que de sa val eur loin du bard daprcs lexpression suivantc

LEM~ IE 3 - SOil h = 8 ( r3 )g 011 8 E C2 (R) = 1 si l3 S 0 $ = 0 si TJ 132 Alors

t = - 1 I IL th = - 1 t lLo th 0 1 J)Olt xs

Dilloilsration - On a J~ lt VU E v (uo - h ) = 0 pui sque tvmiddotc = 0 et u - h = 0 sur R U P et

on a Il 771 711 = - j l H 611 pu isque allon = 0 sur OnE 0 Estimon s maintena nt middotUe Avec la definition (12 ) le second mernbre de (II) coincide avec 11 ca r

il sati sfait lequation de Stokes (6) En effe t c est une so rn rnc de fonctions qui la veri ticn t pour la condition sur fl on ob serve que

Lexistence dune solution (W 1r) de (7) dans la ba nde infinie A se demontre par passage a la limite sur les solutions dan s n z gt In nulles pour Z3 = t n

Par defin ition de B I~ ( if1Y f ( Z 1) - BlJeJdz = () done l estirnation de typ e de Saint-Venant donnee au lcrnme 4 (re lative a 1gt = Ilg - Bge ) donne pour Z3 1- 1 j8 (1J7c - 8ge- Hz )1 cro I oxp (I Z3) Avec la definition (13) il en resulte Jue loa -Cro 1 191c ( ~XP (- eriE) sur P el done da ns tout n Avec lin egalitc precedentc eec i donne la decroissance exponentielle de G~

et fJ ~ et done Ie theoreme 1 D On a uti lise Ie resulrat suivant de decroi ssance cxponeru ielle dan s la bande verticale serni-infi nie

A_ = S X (- 00 0) de fro nti erc supcricu re I = S x Ill

L EM1IE 4 - SOil cIgt tel que

(14) v 1gt = 0

On a V0 gt O rIZ3 t lt O

Principe de demonstration - Un resultat analogue a ete etabli par Galdi [2] theoreme 2 2 p 319 pour la conditi on aux limi tes de Dirich let sur la frontiere laterale iJS X ( -oc 0) au lieu de la periodicite La conditi on de Dirichlet permenait dunliser linegalite de Poincare dans chaque sec tion

SI = S x f t En intcgrant l cquati on de d ive rgence nulle puis lequntion principale sur Stgt on demontre que

Ihypothese If qgtdz = II (qui netait pas necessaire pour le problerne de Dirichlet) eruraine que

lintegrale de 1gt est nulle sur chaque S t Ccci pcrmet duriliser la methode de [2J avec linegal itc de Poincare- Win inger dan s S II la place de I inegalitc de Poin care Les deta ils se rom donnes dans [ I ] 0

Remarque - Un resul tat analogue pour l equation de Lapl ace est dcmontre par une met hod e tout a fait d ifferente basee sur un lcrnrne de Tartar dan s [3] theore rne ) 01 p 54 Un resultat de decro issance exponentielle po ur un problcmc issu (par moycnnc) des equations de Stokes bidirnensionnell es es t dcduit dll lcmrne de Tartar par Mikelic dans f41 proposition l p 1292

317

Y Arnirat et J Simon

3 Equation de Laplace (rayures longitudinales)

On suppose ici que les asperitcs sont des rayures parall clcs a la viiesse g Pour fixer les idees on choisit 9 = (u 0) I = 1(Jd La solutio n des equations de Stokes est a lors 7L = (0 v 0) p = 0 au u est la solution du problerne de La place bidimensionnel dans la section O = x = (11 bull r3 ) (1 1 0 13) E A cest-a-dire -116V = 0 VIR = 0 vh = ~( La train ee

vaut T = II in- l7vI2 bull

Lc theoreme I donne des estimations de cette solution paniculiere done de v Rcmarquons qu e 11

est aussi solution de s equations de Navier-Stokes car (I 7)1 O L equation de Laplace iniervenant dans des problernes tridirnension ncls rour lesqu cl s il est

interessant de rnodeliser la rugosite (electrostatiquc thermique ) donnons les rcsultats dans cc cas On suppose (5) on definit lie de facon unique par

(15) -l6vE = 0 UeIR = 0

2et on note e = II J l 17 111 Scient Ij l un iqu e so lution dans = z E R3 z E 5 Zj lt II(Z ) de

Ij E HI~er loc ( ) n L= (A ) -16 1 = 0 j)lr = tt

et -J = 1 4)(z l)dz au l = inf riCa) 1 E 5 TIII~OR EME 5 - Pour tout D gt 0 e verifiant (5) et 2c(1 - f3l) ~ 6 Q 0 et 73 ( 3 - 6 on a

Ee = _ _1_ f1 f2

hf +e Icel 1 h I Ct E exp (_ c) I + e-J ( lt

1 Xl ( OC()vpound(l ) = ) - 1 + e-J poundj 1+ Oe() DOO()1 c ( I o t h ie exp - ~ 0

Lc co rrecteur BE est donne dans n par

B() = ~ (1) (I 1 + EIJ e

ou Ie residu ( e est defini da ns Oe pm

q ( (x (J))( elfgt =-- (3 - 4) - -- I + eJ e t=

Cc residu verifi e ID(EI ~ Ct I)ahIE exp (- ctilt) dans lout ne pour Q O

Demonstration - On peut adapte r la demonstration du theoreme I On peut egalc ment observ er que (0 v O 0) est solution de s equations de Stokes dans O x )O poundltI ( et que le theorerne J s e tend a la dimen sion 4 il

Note remise Ie 12 Icv rier J996 accept ee apres revi sion le 15 avril 1996

References bibliographiques

[ I I Amlrnt Y et Simon 1 Influence o f periodic roughness in lam inar hydrod ynamics it pa rait rc [2] Galdi G P 1994 An introduction to the mat hemat ica l theory of the Nuvier-S rok cs eq uat io ns I Linearized steady

problems Springer Tracts NIlI Philos n 38 Springe r New York [31 Lions J -L 1981 Some mehods on the mathematica l ana lys is o Iy s middotIIS lt11 their cont rol Science Press Pekin et Gordo n

amp Breach New York [4 ] Mikdit Abullbull 1995 E ffets intert iels po ur un eco ulerne nt srationnaire visqueu x incompressible dans un mil ieux porcux

C N Acad Sci Paris ~ 2 0 serie I p 1289- 1294

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Y Arnirat et J Simon

3 Equation de Laplace (rayures longitudinales)

On suppose ici que les asperitcs sont des rayures parall clcs a la viiesse g Pour fixer les idees on choisit 9 = (u 0) I = 1(Jd La solutio n des equations de Stokes est a lors 7L = (0 v 0) p = 0 au u est la solution du problerne de La place bidimensionnel dans la section O = x = (11 bull r3 ) (1 1 0 13) E A cest-a-dire -116V = 0 VIR = 0 vh = ~( La train ee

vaut T = II in- l7vI2 bull

Lc theoreme I donne des estimations de cette solution paniculiere done de v Rcmarquons qu e 11

est aussi solution de s equations de Navier-Stokes car (I 7)1 O L equation de Laplace iniervenant dans des problernes tridirnension ncls rour lesqu cl s il est

interessant de rnodeliser la rugosite (electrostatiquc thermique ) donnons les rcsultats dans cc cas On suppose (5) on definit lie de facon unique par

(15) -l6vE = 0 UeIR = 0

2et on note e = II J l 17 111 Scient Ij l un iqu e so lution dans = z E R3 z E 5 Zj lt II(Z ) de

Ij E HI~er loc ( ) n L= (A ) -16 1 = 0 j)lr = tt

et -J = 1 4)(z l)dz au l = inf riCa) 1 E 5 TIII~OR EME 5 - Pour tout D gt 0 e verifiant (5) et 2c(1 - f3l) ~ 6 Q 0 et 73 ( 3 - 6 on a

Ee = _ _1_ f1 f2

hf +e Icel 1 h I Ct E exp (_ c) I + e-J ( lt

1 Xl ( OC()vpound(l ) = ) - 1 + e-J poundj 1+ Oe() DOO()1 c ( I o t h ie exp - ~ 0

Lc co rrecteur BE est donne dans n par

B() = ~ (1) (I 1 + EIJ e

ou Ie residu ( e est defini da ns Oe pm

q ( (x (J))( elfgt =-- (3 - 4) - -- I + eJ e t=

Cc residu verifi e ID(EI ~ Ct I)ahIE exp (- ctilt) dans lout ne pour Q O

Demonstration - On peut adapte r la demonstration du theoreme I On peut egalc ment observ er que (0 v O 0) est solution de s equations de Stokes dans O x )O poundltI ( et que le theorerne J s e tend a la dimen sion 4 il

Note remise Ie 12 Icv rier J996 accept ee apres revi sion le 15 avril 1996

References bibliographiques

[ I I Amlrnt Y et Simon 1 Influence o f periodic roughness in lam inar hydrod ynamics it pa rait rc [2] Galdi G P 1994 An introduction to the mat hemat ica l theory of the Nuvier-S rok cs eq uat io ns I Linearized steady

problems Springer Tracts NIlI Philos n 38 Springe r New York [31 Lions J -L 1981 Some mehods on the mathematica l ana lys is o Iy s middotIIS lt11 their cont rol Science Press Pekin et Gordo n

amp Breach New York [4 ] Mikdit Abullbull 1995 E ffets intert iels po ur un eco ulerne nt srationnaire visqueu x incompressible dans un mil ieux porcux

C N Acad Sci Paris ~ 2 0 serie I p 1289- 1294

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