BESKONANOST U MATEMATICI I INFINITEZIMALNI RAUN

Pojam beskonanoga oduvijek je za ljude predstavljao jednu veliku misteriju, nedokuivu tajnu, preteku ili nerjeivu zagonetku koja, u odreenom smislu, sadri i elemente paradoksa. Uistinu, nema sumnje da je beskonanost neto to izmie naim spoznajnim naporima, neto to se ne da u potpunosti obuhvatiti, predstaviti, razjasniti ni ljudskim zorom, ni apstraktnim razmiljanjem, ni na bilo koji drugi konkretniji ili manje konkretan nain, neto tako veliko da prema svemu sudei ne moe stati u ljudsku glavu. Meutim, treba rei kako ipak postoje naini da s beskonanou barem u odreenoj mjeri "izaemo na kraj". Jedan od tih naina razvijen je u matematici i o tome e biti govora u ovom tekstu.U razmatranju pojma beskonanoga najprije treba rei da postoje razne beskonanosti, odnosno da sasvim sigurno "sve beskonanosti nisu iste". Tako se beskonanost u matematici odnosi na, recimo to tako, "svijet ideja", pa ovdje govorimo o beskonano velikom broju ili brojevima, beskonanim skupovima, geometrijskim objektima beskonane mjere, beskonanodimenzionalnosti sl. Nasuprot tome, beskonanost u svijetu koji nas okruuje ili "fizikalna beskonanost" povezuje se prvenstveno s prostorom u kojemu ivimo, premda je nejasno je li taj prostor uistinu beskonaan (beskonane veliine) ili nije, povezuje se ponekad i s vremenom, za koje je pitanje o njegovoj beskonanosti, u nekom "objektivnom smislu", slina nepoznanica, a takoer se ponekad govori o beskonanom broju "gradivnih elemanata materije", koje moemo nazvati "elementarnim esticama", o beskonano mnogo mogunosti njihovog "kombiniranja", o beskonanom spektru frekvencija tj. energija zraenja (valova) razliitih vrsta, o beskonano mnogo "stanja" raznih dinamikih sistema i sl. Takoer se s ovim u vezi moe govoriti o aktualnoj (aktualiziranoj) i potencijalnoj beskonanosti i to su ve stvari koje ulaze u domenu filozofskih teorija odnosno spekulacija.Naglasimo kako osim beskonanosti u smislu "neogranieno velikog", postoji i beskonanost u smislu "neogranieno malog", pa tako u matematici govori o beskonano malim (infinitezimalnim) veliinama, dok se u fizici postavlja pitanje moe li se prostor u kojemu ivimo dijeliti do u beskraj ili njega sainjavaju neki konani elementi, "kvanti prostora". To se isto pitanje postavlja i za vrijeme. Uz to, nejasno je jesu li spomenuti gradivni elementi materije "matematike toke", dakle beskonano malenih dimenzija ili imaju neku "protenost".Nije poznato kada su ljudi prvi puta doli do ideje beskonanosti, vjerojatno je to bilo vrlo davno. Beskonanost u matematici razmatrali su, kako je vidljivo iz sauvanih spisa, Stari Indijci ve poetkom prvog tisuljea prije Krista. Znaajne uspjehe u matematikom tretiranju beskonanosti, odnosno u raunanju s beskonanim tj. infinitezimalnim veliinama, postigli su Stari Grci. Jedan lijep primjer ovakvog raunanja vezan je uz poznati "Zenonov paradoks Ahileja i kornjae" koji je, koliko znamo, bio razrijeen matematikim putem jo u antiko doba - ovo rjeenje bilo je poznato slavnom Arhimedu iz Sirakuze koji je razvio i neke openitije metode putem kojih se mogu rjeavati problemi ove vrste. Inae, filozofskim je argumentima ovaj paradoks razjasnio Aristotel jo ranije.Premda su itatelji sigurno upoznati s ovom priom, rei emo o tome ipak neto vie radi potpunosti. Zenon iz Eleje bio je starogrki filozof iz V stoljea prije Krista, uz Parmenida najznaajniji predstavnik "Elejske filozofske kole" koja je nauavala kako sav "osjetilni svijet", dakle sve ovo to vidimo oko sebe, predstavlja puki privid, a da uistinu postoji samo jedno i jedinstveno Bie koje je "nemijenjajua i neunitiva cjelina". Da bi potkrijepio ovu tezu, ovaj je veliki predsokratovac pokuao je pokazati kako niti jedno tijelo u svom gibanju ne moe "prestii" neko drugo tijelo, to bi onda dokazivalo prividnost svakog gibanja u prirodi.Zenonov argument bio je sljedei - Promatrajmo utrku Ahileja i kornjae kod koje je kornjaa u trenutku starta bila negdje ispred Ahileja. Ahilej e, nakon to je utrka zapoela u odreenom vremenskom intervalu doi u toku iz koje je kornjaa "startala", no u tom vremenu kornjaa e se pomai na neki udaljenost od svoje startne pozicije. Dok Ahilej prevali tu udaljenost, kornjaa e se jo malo pomai naprijed, dok Ahilej stigne do te sljedee pozicije kornjae, ona e se ponovno pomaknuti naprijed itd. do u beskraj, pa prema tome Ahilej nikada ne bi mogao sustii kornjau, jer bi ona u svakom trenutku bila barem malo ispred njega (vidi sliku 1).Treba naglasiti da se ovdje radi (to je manje poznato) o vrlo suptilnom problemu ije je razmatranje u znaajnoj mjeri utjecalo na razvoj matematike, posebice njezinih logikih osnova, tokom mnogih stoljea njezinog razvoja. No usprkos tome, "formalno" razjanjenje toga problema (na tim logikim osnovama) prilino je jednostavno. Naime, stvar je u tome to premda imamo beskonano mnogo intervala puta, a prema tome i intervala vremena tokom kojih Ahilej dostie kornjau, njihov je zbroj konaan, to znai da kornjaa biva dostignuta nakon prevaljenog konanog puta, pa dakle i u konanom vremenu. Ovo vrlo lako vidimo ako pretpostavimo da kornjaa ide deset puta sporije od Ahileja (to moda nije realno jer je kornjaa

sporija, ali se pokazuje zgodnim u razmatranju koje slijedi) i da ima prednost od jednog kilometra ispred Ahileja. Izraunajmo duljinu puta koji e prevaliti Ahilej odnosno kornjaa do trenutka kad e se nai poravnati, tj. u trenutka u kojemu Ahilej upravo prestie kornjau.

Slika 1 - Zenonov paradoks - Ahilej pokuava dostii kornjau

Jasno je da e do trenutka kad se Ahilej naao u toki iz koje je kornjaa krenula, kornjaa prevaliti 1/10 km, do trenutka kad se Ahilej naao na toj, novoj poziciji kornjae, ona e prevaliti jo 1/100 km, do trenutka kad se Ahilej naao na ovoj jo novijoj poziciji, kornjaa e prevaliti jo 1/1000 km itd. Dakle do trenutka kad e se nai poravnati, kornjaa e prevaliti putsk = 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10.000 + ... [km] = 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... [km] = 0,11111... [km]gdje se u toj ukupnoj sumi jedinice ponavljaju do u beskonanost. Prevaljeni put za kornjau iznosi dakle 111,1111... metara, dok je u sluaju Ahileja taj put za kilometar dui (duine 1.111,1111... metara). Ako pretpostavimo da se kornjaa giba brzinom od recimo 0.5 km/h, a Ahilej brzinom od 5 km/h (10 puta bre) do "poravnavanja" e doi nakon vremena t = 1.111/5 [h] = 0.111/0.5 [h] = 0,2222... [h] = 13.3333... [min] to je dakako konano vrijeme, tako da u ovoj prii nikakvog paradoksa nema. Svi ovi brojevi koje smo izraunali imaju dodue beskonano mnogo decimalnih znamenki iza zareza, ali nisu beskonano veliki.Ono to se pokazuje ovim raunom, jest da je mogue zbrojiti ne samo konano mnogo, nego i beskonano mnogo brojeva i dobiti konaan rezultat. No, dakako, za konaan rezultat jedne takve sume, pribrojnici ne mogu biti bilo kakvi - u konkretnom sluaju vidimo da su ti brojevi sve manji i manji (svaki je deset puta manji od prethodnog) - prvi interval prijeenog puta koji smo razmatrali tako iznosi 0,1 km = 100 m, dok deseti iznosi 0,0000000001 km = 0,0000001 m = 0,0001 mm ili 0,1 tisuinku milimetra. Za ovakve brojeve moemo rei da ine niz iji elementi postaju infinitezimalni tj. beskonano maleni - svaki je od njih sve blie nuli, ali nije nula (konkretno, ovdje se radi o tzv. "geometrijskom nizu"). U modernijoj terminologiji govori se o nizu koji "tei prema nuli" ili "iji je limes nula". A niz konanih suma elemenata toga niza, kako smo vidjeli tei prema broju, tj. kao svoj limes ima broj 0,1111... = 1/9 koji smo izraunali ranije. Na ovaj nain uvodi se pojam limesa ili granine vrijednosti beskonanog niza brojeva. Limes (niza) se definira kao broj prema kojemu se svaki sljedei lan niza sve vie pribliava po svojoj vrijednosti i pritom im je razlika sve blia nuli. Jasno, svi nizovi ne moraju imati limes, a ako ga imaju, on ne mora biti jedinstven. Tako recimo niz prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, ...) nema limesa (koji bi bio prirodan ili realan broj - moemo eventualno rei da je taj limes beskonano).Zahvaljujui pojmu limesa pokazuje se moguim rijeiti razne probleme koje u okvirima elementarne matematike ostaju nerjeivi. Pojam limesa koristi se tako u integralnom raunu pomou kojega se mogu odrediti povrine raznih kompliciranih geometrijskih likova ili volumeni geometrijskih tijela, odreivati

poloaji teita tijela i sl, a koji vrlo vanu ulogu ima i u fizici. Ovdje se zapravo radi o raunanju limesa suma odreenih izraza kada broj pribrojnika tim sumama postaje beskonano velik (infinitan), a sami pribrojnici postaju beskonano mali (infinitezimalni).Ideju integralnog rauna moemo predoiti na primjeru raunanja povrine "ispod" parabole u koordinatnom sustavu (vidi sliku 2). Ta se povrina, omeena dakle lukom parabole, apscisom koordinatnog sustava i okomicom na odreenu vrijednost na apscisi - uzmimo da je ta vrijednost jednaka 1 - moe aproksimirati tj. priblino predstaviti nizom pravokutnika (jednake "irine") koji su u nju "upisani", kako je prikazano na slici. Traena povrina, koja je po definiciji "integral" funkcije koja predstavlja parabolu (ovdje se konkretno radi o funkciji f x= x ) u intervalu izmeu nula i jedan, oito e se bolje aproksimirati tj. predstaviti pravokutnicima to je "irina" pravokutnika (duljina njegove horizontalne stranice) manja - pri emu e broj "upisanih" pravokutnika, dakako, biti sve vei. Prema tome, "integral" o kojemu je rije, a koji odgovara traenoj povrini "ispod" parabole, moe se napisati kao limes sume povrina jednog takvog mnotva pravokutnika iji broj tei prema beskonanom (primijetimo da je ova suma oblika xf 0 x xf 1 x xf 2 x ... xf n x , to je u naem konkretnom sluaju

jednako xx 1234...n , gdje veliina x , koja predstavlja duljinu horizontalne stranice pravokutnika postaje infinitezimalnom, a n koji predstavlja njihov broj postaje beskonanim, ali tako da vrijedi xn=1 ). Pokazuje sa da se taj limes moe izraunati, kao to se mogu izraunati slini limesi i za velik broj drugih funkcija, posebno one "elementarne" (kakva je i funkcija "korjenovanja" koja se pojavljuje u sluaju uzetom za primjer). U tom konkretnom zadatku, gdje traimo povrinu "ispod" dane parabole u intervalu izmeu 0 i 1, rjeenje iznosi 2/3. Inae, treba rei kako pri raunanju ove vrste nitko uistinu ne ide raunati spomenute limese, nego se slui dobro poznatim "pravilima za integriranje funkcija" ili potrebne matematike formule ("neodreene integrale") pronalazi u odgovarajuim tablicama.

Slika 2 - Raunanje povrine (integracija) podruja "ispod" parabole

Jo jedno znaajno matematiko podruje u kojemu se susreemo s infinitezimalnim veliinama i u kojemu pojam limesa ima veoma znaajnu ulogu, predstavlja diferencijalni raun koji, kao to emo vidjeti neto kasnije, s integralnim raunom stoji u uskoj vezi. Diferencijalni raun omoguava rjeavanje "problema tangente" tj. odreivanja pravca tangencijalnog na krivulju u zadanoj toki koordinatnog sustava, pronalaenje ekstrema i ponaanja velikog broja funkcija, te rjeavanje raznih drugih matematikih problema, a izuzetno je znaajan i u fizici s obzirom da je veina fizikalnih zakona matematiki formulirana u obliku diferencijalnih jednadbi (jednadbi to ukljuuju "derivacije" funkcija koje opisuju odreene fizikalne veliine).Diferencijalni raun, odnosno postupkak "deriviranja" funkcija moemo prikladno rastumaiti na primjeru upravo spomenutog problema odreivanja pravca tangencijalnog na krivulju u koordinatnom sustavu. Oito

je, kao to se vidi iz slike 3, da "nagib" (koeficijent smijera) tangente na krivulju u toki x moe aproksimirati omjerom razlike vrijednosti funkcije f x u tokama x i x + h te razlike vrijednosti koje te

dvije toke predstavljaju (gledamo dakle kvocijentf xhf x

h ) i to i to tim bolje to je veliina h

manja. Prema tome, pri razmatranju ovoga problema treba gledati limes takvog kad h tei prema nuli, koji nazivamo derivacijom funkcije f x u toki x. Dakle, pri postupku deriviranja raunaju se limesi kvocijenata odreenih izraza u kojima dividend i divizor postaju infinitezimalni, tj. tee prema nuli.

Slika 3 - Odreivanje derivacije funkcije f x u toki x

Zanimljivo je promotriti jednu fizikalnu interpretaciju raunskog postupka o kojemu je ovdje rije. Pretpostavimo da funkcija koju razmatramo predstavlja put koji prelazi tijelo kreui se pravocrtno u vremenu t - tu funkciju uobiajeno je oznaavati sa x t . Nije teko zakljuiti da derivacija ove funkcije (po vremenu) predstavlja zapravo trenutanu brzinu tijela u trenutku t - jer brzina upravo po svojoj definiciji odgovara kvocijentu puta koji je tijelo prelo u nekom vremenskom intervalu i duljine (trajanja) toga intervala. Ako je interval konaan, ovaj kvocijent daje nam zapravo srednju brzinu u tom intervalu (napominjemo da, dakako, ova brzina ne mora stalno biti ista), a ako je infinitezimalan, tj. ako tei preme nuli, on predstavlja trenutanu brzinu tijela u vremenskom trenutku u kojemu se rauna ova derivacija. Dakle, trenutana brzina tijela (koja je obino oznaava s v t je derivacija funkcije koja opisuje ovisnost prijeenog puta o vremenu x t , tj. poloaj tijela u danoj vremenskoj "toki" (trenutku t ).No zamislimo sada obrnuti sluaj, da je zadana funkcija v t koja predstavlja trenutanu brzinu tijela u svakom trenutku vremena. Moe li se na osnovi ove funkcije dobiti funkcija x t koja opisuje trenutni poloaj tijela u svakom vremenskom trenutku t tj. moemo li na osnovi poznavanja brzine tijela u svakom trenutku pronai njegov trenutaan poloaj u prostoru (napominjemo da ovdje promatramo gibanje po pravcu tj. u jednoj dimenziji radi jednostavnosti, no sve ostaje isto i u tri dimenzije). Odgovor je da moemo, ali uz uvjet da je poznat poloaj (pozicija) tijela u nekom poetnom trenutku (recimo u trenutku t=0 ). Zaista, ako je zadan poetni poloaj tijela x0 i funkcija v t , tada poloaj tijela u trenutku t=T nalazimo sumiranjem produkata trenutane brzine tijela u trenutku t i infinitezimalnog intervala t vremena tokom kojega se tijelo giba tom brzinom (to upravo odgovara prijeenom putu u ovom intervalu), pa moemo napisati x t =x0 tx 0 t tx1 t tx2 t ... txn t gdje je n t=T . No, ova se formula tek za prvi pribrojnik x0 razlikuje od izraza koji se pojavljuje pri raunanju integrala neke funkcije, napisanog neto ranije. Ovu bi vezu dakako trebalo elaborirati s puno vie detalja, no na ovom mjestu dovoljno je napomenuti kako se na ovaj nain pokazuje da je "integriranje postupak obrnut od postupka deriviranja" - moemo otprilike rei da ako deriviranjem funkcije f x dobijemo funkciju

f ' x , tada e se pri integriranju funkcije f ' x pojaviti (kao "neodreeni integral") funkcija f x .Ova formulacija (premda neprecizna) izraava sutinu osnovnog teorema infinitezimalnog rauna do kojeg su doli njegovi utemeljitelji, veliki engleski matematiar i fiziar Isaac Newton i veliki njemaki matematiar i filozof Gottfried Wilhelm Leibniz, i to gotovo istodobno, tokom ezdesetih godina 17. stoljea. Inae, treba napomenuti kako se termin infinitezimalni raun ili "raun s beskonano malim veliinama", kojim se oznaavalo podruje diferencijalnog i integralnog rauna, te rauna raznih drugih

limesa, danas uglavnom ne koristi (jer su matematiari svojedobno zakljuili da je pojam infinitezimalne veliine previe "mutan"), a njegove se "teme" razmatraju unutar mnogo ireg matematikog podruja koje nazivamo matematikom analizom.Kao to smo ve ranije napomenuli "pretee" ove teorije (tj. teorija) bili su matematiari Stare Indije i Grke, a posebno znaajne rezultate postigao je u antiko doba Arhimed, ijim se prethodnikom moe smatrati Eudokso iz Knida. U srednjem vijeku na ovom se podruju istakao veliki perzijski uenjak Nasir al din al Tusi, a kasnije i novovjekovni matematiari kao to su Rene Descartes, Bonaventura Cavalieri, Blaise Pascal, John Wallis, Christian Huygens. Nakon Newtonowog i Leibnizovog "proboja" (otkrie spomenute veze postupka integriranja i deriviranja, kao i uvoenje odgovarajue notacije pojednostavnilo je rjeavanje brojnih problema), ovo se podruje matematike razvija vrlo intenzivno, tim prije to je, kako smo ve napomenuli, to postao "jezik" na kojemu su se poeli izraavati fizikalne zakonitosti. Tako nije nimalo udno to je Isaac Newton, jedan od njegovih utemeljitelja ujedno izgradio i klasinu mehaniku. Za dalji razvoj infinitezimalnog rauna naroito su zasluni veliki matematiari 18. stoljea poput Johanna Bernoullija, Leonharda Eulera, Colina Maclaurina, Jean le Rond d'Alemberta, Joseph-Louisa Lagrangea, Pierre-Simona Laplacea, i dr, a zatim su taj razvoj nastavili Carl Friedrich Gauss, Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann i Karl Weierstrass koji je na svoj nain "protjerao" pojam infinitezimalne veliine iz ovoga dijela matematike (pa se od njegovog doba termin "infinitezimalni raun" i ne koristi). Poetkom 20. stoljea znaajne rezultate na podruju integralnog rauna ostvario je francuski matematiar Henry Lebesgue koji je razvio teoriju "Lebesgueovog integrala", dok se na podruju diferencijalnog istakao jedan drugi francuski matematiar, Elie Cartan, koji je uveo pojam "diferencijalne forme". Sav ovaj napredak potakao je takoer i razvoj drugih matematikih teorija kao to su teorija mjere, teorija diferencijalnih i integralnih jednadbi, diferencijalna geometrija i sl.Na koncu ovoga razmatranja moemo se zapitati - Da li te "infinitezimalne" tj. "beskonano male" veliine (brojevi) postoje ili ne? Da li postoje beskonano velike veliine tj. brojevi? Moglo bi se rei da to ovisi o matematikom formalizmu (tonije aksiomatici) koju koristimo u svom zakljuivanju. U "standardnoj" matematikoj analizi koju koristimo u "svakodnevnom ivotu", ovakve veliine ne postoje kao aktualne (aktualizirane), ve jedino u smislu "granine vrijednosti", limesa, kao neto emu se moemo dovoljno dobro pribliiti, ali ne moemo dostii. Meutim, tokom prolog stoljea razvijene su matematike teorije ("nestandardna analiza") u kojima ovakve, infinitezimalne i infinitne veliine postoje "aktualno", kao elementi odreenog skupa - radi se o skupu tzv. "hiperrealnih brojeva" - i s njima se moe raunati kao i sa drugim "brojevima" (no to je ve jedno vrlo apstraktno podruje na kojemu se "brojevi" definiraju na prilino kompleksan nain - preko nizova realnih brojeva s odreenim svojstvima).Inae, to se tie pojma beskonano velikoga u matematici, znaajan uspjeh u njegovom shvaanju i tretiranju postignut je na jednom drugom matematikom podruju, u teoriji skupova, koju je krajem 19. st. utemeljio njemaki matematiar Georg Cantor. On je tako, koristei se svojim "dijagonalnim postupkom", dokazao da realnih brojeva (ili toaka na pravcu) ima vie nego prirodnih brojeva, odnosno da se skup realnih brojeva "ne moe prebrojavati", to pak znai da postoje barem dvije vrste beskonanosti u matematici, od kojih je ona vezana uz brojnost (kardinalnost) prirodnih brojeva "manja" od one vezane uz brojnost realnih (ovaj zakljuak zapisuje se u obliku 01 gdje se oznake - "alef nula" i "alef jedan" - alef je prvo slovo hebrejskog alfabeta - simboliziraju "broj elemenata" ovih dvaju skupova). No, treba rei kako beskonanost u teoriji skupova dovodi do mnogih nedoumica i paradoksa, kakav je primjerice "Hilbertov paradoks beskonanog hotela" u koji se, usprkos tome to je "pun", uvijek moe smjestiti ne samo konano, nego i beskonano mnogo novopristiglih gostiju. Tu su i puno ozbiljniji paradoksi, kao to je recimo onaj Banacha i Tarskog o dekompoziciji sfere, vezan uz problem "aksioma izbora" primijenjenog na odreene beskonane skupove.Sve u svemu, usprkos velikim matematikim otkriima i brzom razvoju ove znanosti u moderno vrijeme, izgledno je da e se matematiari jo dugo natezati s problemom beskonanosti u matematici (moda i beskonano dugo), a da e i beskonanost u svijetu u kojemu ivimo (recimo beskonanost Svemira) biti vrlo teko dokazati ili opovrgnuti.

Zagreb, kolovoz 2013.