-
7/29/2019 Infinite Simo s
1/4
Infinitsimos e infinitos 1
Unidad docente de Matemticas 1
INFINITSIMOS
Definicin
Diremos que una funcin y=f(x) es infinitamente pequea,
infinitesimal o infinitsimo
cuando ax (o bien cuando x ) si y solo si 0)x(flmax
=
( 0)x(flmx
=
).
De la definicin de lmite se deduce:
Si 0)x(flmax
=
, entonces para cualquier nmero ,
por pequeo que sea, existe un entorno de radio (a-, a+)tal que
para cada x(a-, a+) se verifica que x0 se verifica que
-
7/29/2019 Infinite Simo s
2/4
2 Infinitsimos e infinitos
2
4. El cociente entre un infinitsimo y una funcin no nula (cuando
ax x ) es otroinfinitsimo (cuando ax x ).
Infinitsimos comparables
Dos infinitsimos f(x) y g(x) cuando ax se dice que son
comparables si y solo si existe
k)x(g
)x(flm
ax=
. Adems:
i). Si k ,0 se dice que f(x) y g(x) son infinitsimos del mismo
orden.ii). Si k=0 =
)x(f
)x(glm
axse dice que f(x) es un infinitsimo de mayor orden (u orden
superior) que g(x) (f(x) tiende a 0 con ms rapidez), o bien que
g(x) es un infinitsimo de
menor orden (u orden inferior) que f(x).
Anlogamente para x
Infinitsimos equivalentes
Se dice que dos infinitsimos f(x) y g(x) cuando ax son
equivalentes si y solo si
1)x(g
)x(flm
ax=
. Escribiremos en este caso gf cuando ax .
Anlogamente para x .
Tabla de infinitsimos equivalentes cuando 0x
alnx1a
2
xxcos1
xarctgxxtg
xarcsenxxsen
x
2
Definicin: Orden de un infinitsimo
Sean f(x) y g(x) dos infinitsimos cuando ax , diremos que f es
un infinitsimo de orden
n respecto de g si y solo si[ ]
=
c0c)x(g
)x(flm
naxR
Anlogamente cuando x .
-
7/29/2019 Infinite Simo s
3/4
Infinitsimos e infinitos 3
Unidad docente de Matemticas 3
Ejemplos
1. f(x)=5x2 es un infinitsimo de orden 2 respecto de g(x)=x
cuando x 0.En general el infinitsimo Kxnes de orden n respecto del
infinitsimo x cuando x 0.
2. f(x)=7(x-1)3 es un infinitsimo de orden 3 respecto de
g(x)=x-1 cuando x 1.En general el infinitsimo K(x-a)nes de orden n
respecto del infinitsimo x-a cuando x a.
Teorema 1
La suma de dos infinitsimos de distinto orden es otro
infinitsimo equivalente al de orden
inferior (cuando ax x ).
Demostracin
Supongamos que f(x) y g(x) son infinitsimos cuando ax y que g es
de mayor orden que f,
entonces 101)x(f
)x(glm1
)x(f
)x(g1lm
)x(f
)x(g)x(flm
axaxax=+=+=
+=
+
.
Luego f(x)+g(x) f(x) cuando ax . (Anlogamente se probara para x
).
Observacin
Por induccin, el teorema se puede generalizar para la suma de un
nmero finito de
infinitsimos. La demostracin se propone como ejercicio.
Ejemplo
p(x)=5x3-4x2+2x es un infinitsimo cuando 0x que es equivalente a
f(x)=2x ya que
11x2
4x
2
5lm
x2
x2
x2
x4
x2
x5lm
x2
x2x4x5lm
)x(f
)x(plm 2
0x
23
0x
23
0x0x=
+=
+=
+=
.
Luego x2x2x4x523 +
Teorema 2
El lmite cuando ax de toda expresin de la forma E(x)f(x) donde
f(x) es un
infinitsimo cuando ax , no vara si se sustituye f(x) por un
infinitsimo equivalente p(x) que
cumpla la condicin de ser no nulo en un cierto entorno reducido
de a.
Demostracin
( ) ( ) ( ))x(p)x(Elm
)x(p
)x(flm)x(p)x(Elm
)x(p
)x(f)x(p)x(Elm
)x(p
)x(p)x(f)x(Elm)x(f)x(Elm
axaxaxaxaxax
==
=
=
(Anlogamente se probara para x ).
-
7/29/2019 Infinite Simo s
4/4
4 Infinitsimos e infinitos
4
Nota: Este teorema se puede generalizar fcilmente a toda
expresin de la forma
)x(g)x(g)x(g
)x(f)x(f)x(f)x(Elm
m21
n21
ax "
"
, donde )x(g,),x(g),x(g),x(f,),x(f),x(f m21n21 "" son
infinitsimos con la condicin de ser no nulos en un cierto
entorno reducido de a (cuando ax
x ).
INFINITOS
Teorema
Si y=f(x) es un infinitsimo cuando ax (o bien x ) siendo f(x) 0
en un entorno
reducido de a (o bien para x>x0), entonces = )x(f
1lm
ax
=
)x(f
1lm,bieno
x.
La demostracin es obvia.
Definicin
Diremos que una funcin y=g(x) es un infinito o infinitamente
grande cuando ax (o
bien cuando x ) si y solo si la funcin )x(g1)x(f = es un
infinitsimo cuando ax (o bien
cuando x ).
Es decir, una funcin y=g(x) es un infinito o infinitamente
grande cuando ax (o bien cuando
x ) si y solo si 0)x(g
1lm
ax=
=
0
)x(g
1lm,bienox
.
ObservacinEl estudio hecho para infinitsimos se desarrolla de
manera anloga para infinitos.
