Lectia 7 : Inegalităţi. Aplicaţii..

prof. Traian Preda

1

Lecţia 7: Inegalităţi. Aplicaţii.

În această lecţie vom aplica în diverse probleme de concurs principalele

inegalităţi studiate în lecţia precedentă : inegalitatea mediilor, inegalitatea C-B-S,

inegalitatea Titu Andreescu şi vom învăţa trucuri noi şi alte inegalităţi utile.

1) Dacă a, b, c>0, să se arate că:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1( )

8( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a c b c b a c a c b a b c

(Ovidiu Pop, G.M.11/2012)

2) Să se demonstreze inegalitatea :

2 2 2 1

( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) 3

x y z

x y x z y z y x z x z y

(Petre Bătraneţu, G.M.7-8-9/2011)

3) Arătaţi că pentru orice n număr natural nenul avem:

5

2+

13

2+

25

2+….+

22 2 1

2

n n >

( 2)

2

n n

(Grigore Tarţa, G.M.1/2013)

4) Fie a,b,c numere reale pozitive cu proprietatea:

1 1 11

1 1 1a b b c c a.Să se arate că : a+b+c ab+bc+ca.

(Andrei Ciupan,Baraj, O.B.M.J.2007)

5) Fie a,b,c numere reale pozitive cu abc=1.Să se arate că:

1+3

a b c

6

ab bc ca.

(Mircea Lascu şi Vasile Cartoaje, Baraj, O.B.M.J.2007)

6) Fie a,b,c numere reale pozitive astfel încat (a+b)(b+c)(c+a)=1.Arătaţi că:

ab+bc+ca3

4.

(Cezar Lupu,Baraj, O.B.M.J.2005).

Lectia 7 : Inegalităţi. Aplicaţii..

prof. Traian Preda

2

7) Fie a,b,c numere reale strict pozitive.Să se arate că:

3 3 3

.a b c

a b cbc ac ab

8) Fie a,b,c numere reale strict pozitive cu suma 1. Să se arate că:

2 2 22 2 23( ).

a b ca b c

b c a

(Mircea Lascu, Baraj, O.B.M.J.2006).

9) Fie x,y,z numere reale pozitive cu proprietatea că 1 1 1

21 1 1x y z

.

Să se arate că: 8xyz 1.

(Mircea Lascu, Baraj, O.B.M.J.2006).

10) Să se demonstreze inegalitatea:

2 2 2 2

2 2x y

x xy y x y, pentru orice numere reale x şi y, nu simultan nule.

(O.B.M.J.,2004,Albania).

11) Să se arate că :

2 2 2

2 2 2

1 1 12,

1 1 1

x y z

y z z x x y

oricarear fi numerele reale x,y,z > - 1.

(Laurenţiu Panaitopol,O.B.M.J.,2003).

________________________________________________________________________

Test

1) Fie a,b,c R .Arătaţi că:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )3

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c b c a c a b

a b a c b c b a c a c b

(D.M.Bătineţiu Giurgiu şi Neculai Stanciu, G.M.1/2013)

Lectia 7 : Inegalităţi. Aplicaţii..

prof. Traian Preda

3

2) Fie a,b,c numere reale pozitive astfel încat a+b+c1 1 1

a b c.Arătaţi că:

a+b+c3

abc.

(Cezar Lupu,Baraj, O.B.M.J.2005 )

3) Fie date numere reale pozitive a,b,c demonstraţi că:

2

1 1 1 27

( ) ( ) ( ) 2( )b a b c b c a c a a b c.

(O.B.M.J.,2002,Grecia).

________________________________________________________________________

Soluţii:

1) 2 2 2

1 2 1 1

( ) ( ) ( ) 8 8a b a c a b a c a bc ab ac, prin însumare şi

folosirea inegalităţii 2 2 2

1 1 1 1 1 1

xy yz xz x y z rezultă inegalitatea dorită.

2 ) 2 2

( 2 )( 2 )2

x y x zx y x z x y z

22 2

2 2

1

3( ) ( )( 2 )( 2 )

xx x

x y z x y zx y x z, deoarece

2 2 2 23( ) ( )x y z a b c

3)

2 2 22 2 1 ( 1) 2 1

2 2 2

n n n n n şi prin însumare rezultă inegalitatea

dorită.

4) Aplicăm C-B-S (a+b+1) (a+b+c2) (a+b+c)

2

2 2 2

2

1 1 1 2 2 21

1 1 1 ( )

a b c a b c

a b b c c a a b c

a+b+c ab+bc+ca.

Lectia 7 : Inegalităţi. Aplicaţii..

prof. Traian Preda

4

5) (ab+bc+ca)2 3abc(a+b+c) (ab+bc+ca)

2 3(a+b+c)

1+3

a b c1+

2

9

( )ab bc ac

6

ab bc ca adevărată deoarece (1-3x)

2 0,

unde x= ab+bc+ca.

6) Folosim identitatea: (a+b)(b+c)(c+a)+abc= (a+b+c) (ab+bc+ca) şi inegalităţile:

(a+b)(b+c)(c+a) 8abc abc1

8 (a+b+c) (ab+bc+ca)

9

8,

dar (a+b+c) 3( )ab ac bc (ab+bc+ca)3

27

64 ab+bc+ca

3

4.

7) a4+b

4+c

4 a

2b

2+b

2c

2+c

2a

2 abbc +abac +bcca=abc(a+b+c).

8)

2 2 2 4 4 4 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

( )3( )

a b c a b c a b ca b c

b c a ba cb bc ba cb bc

(a+b+c) (a 2+b

2+c

2) 3(a

2b+b

2c+c

2a)

2( ) 0.a a b

9) Efectuand calculele avem xy+xz+yx+2xyz=1, iar din inegalitatea mediilor

2 2 233 2 1x y z xyz .Notăm xyz=a3,a>0,avem 3a

2+2a

3 1 (a+1)

2(1-2a) 0

1

2a

10) (x+y)2(x

2+y

2) 8(x

2-xy+y

2)2

7s2+8p

2-18ps 0, unde x

2+y

2=s şi xy = p.

Dar s 2p. Este suficient să arătăm că 6s2+12p

2-18ps 0 (s-p)(s-2p) 0, adevărat.

11) 1+ x2

2x. Este suficient să arătăm că

2 2 2

2 2 22 2 2

1 1 12,

1 1 11 1 1

2 2 2

x y z

y z xz x y

sau dacă notăm a=1+ x2 ,…

Lectia 7 : Inegalităţi. Aplicaţii..

prof. Traian Preda

5

12 2 2

a b c

b c c a a b

2 2 2

12 2 2

a b c

ab ac bc ba ca cb . Din Titu

2 2 2 2( )1

2 2 2 3( )

a b c a b c

ab ac bc ba ca cb ab bc ca.

Material realizat de profesor Traian Preda,

Scoala Gimnazială “Sf. Andrei”