Induktion  133

Induktion

Begriffsstruktur

Grundlegende Begriffe(strukturbildend)

Wichtige Begriffe und Inhalte(strukturbeschreibend)

Weitere Begriffe und Inhalte

Induktion Induktionsspannung,  magnetischer Fluss, Induktionsstrom, Lenz’sche Regel

Generator, Motor,  Energiebetrachtung zum Induktions­gesetz, Wirbelströme

Selbstinduktion Induktivität,  Energie des magnetischen Feldes

Wechselspannung,  Wechselstrom

Scheitelwert, Effektivwert, Wechselstrom­widerstand, induktiver Widerstand,  kapazitiver Widerstand,  Leistung im Wechselstromkreis 

reale Spule, Ersatzwiderstand,Siebkreis, Sperrkreis

Transformator idealer unbelasteter Transformator, belasteter Transformator

Drehstrom, Innenpolmaschine,  Außenleiter, Mittelpunktsleiter

Ausgehend von der Vorerfahrung der Schülerinnen und Schüler wird die Induktionsspannung zunächst als Folge der Lorentzkraft angesehen. Der Zugang zum Induktionsgesetz erfolgt schritt­weise über die Induktionsspannung durch Flächenänderung, wobei bereits von Beginn an  die senkrecht durchsetzte Fläche  A S  als Bezugsgröße angesehen wird, und über die Induktions­spannung durch Änderung der magnetischen Flussdichte. Das Feldlinienmodell stellt dabei ein ver einfachtes aber tragfähiges Modell der Vereinheitlichung der Effekte dar. 

Die wechselnde Polung der Induktionsspannung führt zur Spannung mit unterschiedlichem  Vorzeichen und wird durch die Lenz’sche Regel über den Induktionsstrom näher erläutert. Der  Abschnitt über das Induktionsgesetz wird durch eine Energiebetrachtung und die Erklärung  der Wirbelströme abgeschlossen.

Die Selbstinduktion wird als logische Folge des Induktionsgesetzes und der Lenz’schen Regel angesehen. Die konsequente Anwendung ergibt die Induktivität einer langen Spule. Die Berech­nung der Energie des magnetischen Feldes erfolgt über eine geometrische Argumentation im ¯­ð E/ð t­Diagramm. Der zeitliche Verlauf der Stromstärke beim Ein­ und Ausschalten von Strom­kreisen mit Spulen wird durch Modellierung mit einem Modellbildungssystem gewonnen.

Der Abschnitt über Wechselspannung und Wechselstrom wird über die Beobachtung am Schrei­ber und Oszilloskop bei variabler Drehung der Leiterschleife im Magnetfeld eingeleitet. In einer mathematischen Betrachtung werden die Funktionsgleichung der Induktionsspannung und der Effektivwert der Spannung berechnet. Die Momentanleistung  U(t) ·  (t)  und die mittlere Leistung werden bereits hier angesprochen. Diese Betrachtung wird später bei Spule und Kondensator im Wechselstromkreis fortgesetzt. Die Leistungsbetrachtung wird hier jedoch auf den Kondensator und die ideale Spule reduziert und nicht auf die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen übertragen. Der kapazitive und induktive Widerstand wird qualitativ anhand von Experimenten beschrieben, quantitativ durch eine mathematische Beschreibung.

Die Reihen­ und Parallelschaltung wird in einem Exkurs exemplarisch an der realen Spule, dem Siebkreis und dem Sperrkreis problematisiert. Die Teilspannungen und die Teilströme werden  in Zeigerdiagrammen dargestellt, wobei die Beschreibung auf das Notwendigste reduziert wird.

Der Transformator ist bereits aus der Mittelstufe bekannt, mit dem einführenden Versuch werden die Grundlagen nochmals wiederholt. Im Lehrtext wird die Beobachtung (Strom­ und Spannungs­transformation im Verhältnis der Windungszahlen) auf das Induktionsgesetz zurückgeführt, zu­dem wird die zwischen Strom und Spannung auftretende Phasenverschiebung thematisiert.

S. 177 – 212

134  Induktion

Als Anwendung des Transformators werden abschließend Netzgeräte behandelt. Die Wirkungs­weise geregelter Netzgeräte wird auf das Induktionsgesetz zurückgeführt. 

Abgeschlossen wird das Kapitel durch die Behandlung des elektrischen Schwingkreises als einer Parallelschaltung von Spule und Kondensator. Aus den Eigenschaften der Parallelschaltung wird die Thomson’sche Schwingungsgleichung hergeleitet. Alternativ dazu steht die Herleitung der Thomson’schen Schwingungsgleichung anhand der Lösung einer DGL, die aus energetischen Betrachtungen gewonnen wird. Erzwungene elektromagnetische Schwingungen, Rückkopplung, chaotische Schwingkreise und eine Analogiebetrachtung zwischen mechanischen und elektro­magnetischen Schwingungen schließen das Kapitel ab. 

Induktion  135

Ergänzende Versuche

V1  Die Querschnittsfläche A einer Spule wird vom Feld eines Elektromagneten durchsetzt. Beim Einschalten des Elektromagneten schlägt der Zeiger eines an die Spule angeschlossenen Mess­gerätes in die eine, beim Ausschalten in die andere Richtung aus.

V2  Ein quaderförmiger Magnet mit einem Kantenverhältnis  l/b = 2 : 1  wird von zwei winkelförmigen Kupferblechen begrenzt. Rollt ein Messingrohr über den Magnet, so zeigt das angeschlossene Messgerät eine doppelt so große Spannung an, als wenn bei gleicher Geschwindigkeit das Messingrohr parallel zur kurzen Kante rollt. 

V1  Ein zylinderförmiger Neodymmagnet durchfällt Rohre mit gleicher Länge und  gleichem Durch­messer. Im PVC­Rohr bleibt seine Fallzeit unverändert, im Kupferrohr wird sie deutlich größer. 

V2  An einem Faden hängt ein Aluminiumring. Nähert man ihm rasch den Nordpol eines Stabmagneten, so weicht der Ring zurück. Wird der Magnet wieder entfernt, so folgt er dem Magnet (Abbildung a). Beim Annähern des Südpoles lässt sich  Gleiches beobachten.  Ein unterbrochener Ring reagiert nicht auf die Bewegung des Magneten (Abbildung b).

V1  Ein Stück Aluminiumfolie wird an einem Faden so aufgehängt, dass sie zwischen den Polen eines Hufeisenmagneten schwingen kann.  Die Bewegung wird stark abgebremst.  Schneidet man Schlitze in die Folie, so wird  die Schwingung kaum gedämpft. 

V1  Bei fünf in Reihe geschalteten roten Leucht­dioden besteht richtig gepolt erst ab etwa 9 V ein Strom. Sie leuchten kurz auf, wenn der Schalter geöffnet wird. Das Diagramm rechts zeigt den zeitlichen Verlauf der Spannung beim Öffnen des Schalters.

Seite 181

b

l

UindN

v

Seite 185

a) b)

S

N

S

N

Seite 187

N

Seite 188

0,5 V 

zum

 Inte

rfac

e 

0,5 V

zum

Inte

rfac

e

136  Induktion

V2  Ein Rechteckgenerator schaltet eine Span­nung periodisch ein und aus. Über die Span­nung  UR  am Widerstand R kann mit dem Oszil­loskop der Verlauf der Stromstärke   ¯ =  UR /R  beobachtet werden. 

V1  Ein Bleistift wird von zwei gleichen Glüh­lampen  G 1  und  G 2  beleuchtet.  G 2  wird mit einer Wechselspannung betrieben, für die ein Oszil­loskop einen Maximalwert von 5,6 V anzeigt.   G 1  ist an eine regelbare Quelle für Gleichspan­nung angeschlossen. Ihre Spannung wird so eingestellt, dass die beiden Schatten gleich hell erscheinen. Die Gleichspannung beträgt dann 4 V.

V2  Ein Widerstand mit  R = 100 Ð  ist an einen Sinusgenerator angeschlossen, der einen Wechsel­strom mit einer Frequenz von 1 Hz liefert. Werden Spannung und Stromstärke mit Drehspul­instrumenten in der Einstellung Gleichspannung bzw. Gleichstrom gemessen, so zeigt sich, dass Stromstärke und Spannung zu gleichen Zeiten ihr Maximum erreichen.

V1  Ein Lämpchen (3,8 V / 0,07 A) wird mit einem Kondensator (C = 470 mF) in Reihe geschaltet und zuerst mit einer Quelle für Gleichspannung (U = 4 V), dann mit einer Quelle für Wechselspannung  ( U eff  = 4 V,  f = 50 Hz) verbunden. Es leuchtet nur bei der Quelle für Wechselspannung.

V2  Ein Kondensator (C = 10 mF) wird an eine Quelle für Wechselspannung der Frequenz   f = 0,1 Hz  angeschlossen. Mit Zeigerinstrumenten (Stellung „Gleichstrom“) werden Strom stärke und Spannung gemessen. Sie erreichen ihr Maximum nicht gleichzeitig. Nun wird die Frequenz der Wechselspannung auf  f = 50 Hz  erhöht, die Spannung  U eff   variiert  und die zugehörige Stromstärke  Ø eff  gemessen. Man findet   Ø eff  ~  U eff  .  Bei der Spannung    U eff  = 10 V  wird schließlich noch  Ø eff  in Abhängigkeit von C und f gemessen.

V3  Eine Spule mit hoher Windungszahl wird mit Gleichspannung betrieben. Wird ein  Eisenkern in die Spule geschoben, so sinkt die Stromstärke kurzzeitig. Beim Betrieb mit Wechselspannung sinkt sie ebenfalls, bleibt aber auf Dauer niedrig.

V4  An eine Quelle für Wechselspannung (f = 0,1 Hz) wird eine Spule (L = 640 H) an geschlossen.  Mit Zeigerinstrumenten (Stellung „Gleichstrom“) werden Stromstärke und  Spannung gemessen. Sie erreichen ihr Maximum nicht gleichzeitig. Anschließend wird bei einer Experimentierspule  (n = 500,  L ≈ 9 mH) und einer festen Frequenz  f = 50 Hz  der  Wechselspannung die Spannung  U eff  variiert und die zugehörige Stromstärke  Ø eff  gemessen. Man findet   Ø eff  ~  U eff  . Bei der Spannung   U eff  = 3 V  wird schließlich noch  Ø eff  in Abhängigkeit von L und f gemessen. 

Seite 188

RU

¯

t

Seite 191

Bleistift

G1 G2

4 V = 4 V ~

Seite 195

C in mF

f in Hz

Ø eff   in mA

2 50 6

5 50 16

10 50 31

10 100 63

10 500 315

Messwerte zu Versuch 2

L in mH

f in Hz

Ø eff   in mA

12 100 395

30 100 160

12 500 80

30 500 32

12 1 000 40

Messwerte zu Versuch 4

Induktion  137

V1  Die Primärseite eines Transformators wird mit einer regelbaren Quelle für Wechselspannung verbunden. Auf der Sekundärseite ist ein veränderbarer Widerstand angeschlossen. Mit je einem Oszilloskop werden Stromstärke und Spannung auf der Primär­ und der Sekundärseite gemessen (Abbildung a). Teilgrafik b) zeigt den Verlauf von Strom stärke und Spannung bei hohem Widerstand auf der Sekundärseite. Teilgrafik c) zeigt dieses bei geringem Widerstand auf der Sekundärseite.

V1  a)  Nach der Abbildung rechts wird ein Konden sator in Stellung 1 des Schalters über einen Widerstand aufgeladen. Bringt man  den  Schalter in Stellung 2, so schwingt der Zeiger des Messgerätes mit einer Perioden­dauer von etwa 2 Sekunden hin und her. Es liegt Wechselstrom vor. b)  Verkleinert man nacheinander die Indukti­vität der Spule und die Kapazität des Konden­sators, so lässt sich mit Hilfe des Oszilloskops feststellen, dass sich dadurch die Frequenz  des Wechselstromes vergrößert.

V2  An einen Sinusgenerator mit variabler Frequenz wird eine Spule angeschlossen. Ihr sich ständig änderndes magnetisches Feld induziert in einer zweiten Spule, die mit einem Kondensator verbunden ist, eine Wechsel­spannung. Diese wird von einem Oszilloskop an gezeigt. Wird die Frequenz des Generators variiert, dann hat die Spannung bei einer  bestimmten Frequenz ein Maximum. 

Seite 202

~Se

kund

ärse

ite

Prim

ärse

ite

a) Uregelbar b)

RSchutz

U¯

c)

tU

¯t

U¯

tU

¯t

Seite 204

R1 = 300 Ω 

100 V C = 40 mF 

L 

10200 Wdg. 

1 ¯ 2

~

138  Induktion

Lösungen der Arbeitsaufträge

A1  [. UF ] Im Experiment zeigt sich, dass die Spannung zwischen den Leiterenden die größten Werte annimmt, wenn die Leiterschaukel sich mit der größten Geschwindigkeit durch das Ma­gnetfeld bewegt. Erreicht die Leiterschaukel die Umkehrpunkte ihrer Schwingungsbewegung, dann geht die Induktionsspannung auf den Wert 0 zurück. (Hinweis: Dieser Zusammenhang ist nur bei einer langsamen Schwingung zu beobachten, aufgrund der Trägheit des Zeigermess­instruments kann es sein, dass die Spannungsmaxima bei der größten Auslenkung der Leiter­schaukel zu beobachten sind.) Zwischen der Induktionsspannung und der Geschwindigkeit des Leiters besteht ein proportionaler Zusammenhang,   U ind   ~  v.

A1  [$ UF | K ]  Wird ein gerades Leiterstück der Länge l mit der Geschwindigkeit  v = ð s/ð t  in einem  Magnetfeld der Flussdichte B bewegt, wobei die Richtungen von Magnetfeld, Bewegung und Leiterstück jeweils senkrecht aufeinander stehen, so entsteht zwischen den Enden des Leiter­stücks eine Spannung  U ind  mit dem Betrag   |  U ind  |    =  B · l · v  =  B · l · ð s/ð t  =  B ·  | ð  A S  /ð t|,mit l · ð s  =  ð  A S . 

A1  [$ UF | E | K ]  Die Grafik B2 im Schülerbuch S. 181 zeigt, dass für die wirksame Fläche  A S  einer im homogenen Magnetfeld rotierenden Spule   A S  = A · cos v  gilt, wobei v den Winkel zwischen der Spulen ebene und der Senkrechten der Flussdichte B beschreibt. In Grafik B2 S. 183 dreht sich die Spule mit gleich bleibender Winkelgeschwindigkeit z im Uhrzeigersinn. Bei konstanter Fluss­dichte B ergibt dann gemäß   |  U ind  |   =  n ·  | B ·    

· 

    AS  |   =  n ·  | B · A ·    ·        cos  (z·t) |   der Betrag der 

Induktions spannung eine Sinuskurve, denn die Ableitung von  cos (z · t)  ergibt  – z · sin (z · t).Zum Zeitpunkt 1 verläuft die Richtung der Flussdichte senkrecht zur Spulenebene, der Winkel v beträgt 0°. Wenn sich die Spule um den festen Winkel ð v dreht, ändert sich die wirksame Fläche  A S  = A · cos v  nur unwesentlich. Im Diagramm erkennen wir zu diesem Zeitpunkt die Induktions­spannung 0. Entsprechendes wiederholt sich zu den Zeitpunkten 5 und 9. Zum Zeitpunkt 3 da­gegen befindet sich die Richtung der Flussdichte tangential zur Spulenebene, der Phasenwinkel v beträgt 90°. Die wirksame Fläche  A S  ändert sich gemäß   A S  = A · cos v  bei Drehung um den  gleichen Winkel ð v wie oben viel stärker. Im Diagramm erkennen wir zu diesem Zeitpunkt einen Extrempunkt der Induktionsspannung. Entsprechendes wiederholt sich zum Zeitpunkt 7.

A1  [0 UF | K ] Im Fall des unterbrochenen Rings kann sich in der Wand des Rings kein Induktions­strom ausbilden. Entsprechend bildet sich kein Magnetfeld, das mit dem des Permanentmagne­ten in Wechselwirkung treten könnte. 

A2  [0 UF | K ] Die grundsätzliche Aussage ist im Merksatz auf Seite 185 enthalten, für die spezi­elle Situation in  B2 gilt die folgende Argumentation:Die Lenz’sche Regel besagt, dass die Induktionsspannung und der durch sie hervorgerufene  Induktionsstrom stets so gerichtet sind, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken.Nähert man einem Metallring, der an zwei Fäden aufgehängt ist, einen  Stabmagnet, so ändert sich der den Metallring durchsetzende magne­tische Fluss. Es entsteht eine Induktionsspannung, die einen Induktions­strom hervorruft. Der Strom muss gemäß der Lenz’schen Regel auf der dem Magnet zugewandten Seite einen Nordpol hervorrufen (siehe Abbildung), was der Zunahme der magnetischen Flussdichte (der Nord­pol des Stabmagneten nähert sich dem Metallring) entgegenwirkt. Die Linke­Hand­Regel gibt Auskunft über die zugehörige Stromrichtung: Strom fließt im Uhrzeigersinn durch den Ring. 

Aufträge S. 179

Aufträge S. 181

Aufträge S. 183

Aufträge S. 185

S

N

N ¯

Induktion  139

A1  [. UF | K | E ]  a)  Bewegt sich das Leiterstück  der Länge l senkrecht zur Richtung der magne­tischen Flussdichte B, so erfahren die mit ihm bewegten Elektronen eine Lorentzkraft  F L  (siehe Abbildung), deren Richtung mit der Drei­ Finger­Regel bestimmbar ist. Die Elektronen bewegen sich im Uhrzeigersinn und bilden  den Kreisstrom ¯.

b)  Bei Bewegung des Leiterstücks entsteht zwischen seinen Enden eine Induktions­spannung vom Betrag   |  U ind  |   =  B · l · v   (vgl. Schülerbuch, S. 181). Im geschlossenen Kreis der Leiterschleife besteht dann ein  elektrischer Strom, so dass der Generator in der Zeit spanne  ð t  die elektrische Energie   ð  Eel  =   U ind  ·   · ð t abgibt. c)  Elektronen, die den Kreisstrom bilden,  erfahren auch aufgrund dieser Bewegung eine  Lorentzkraft  F L , da sie senkrecht zur Richtung der magnetischen Flussdichte B verläuft (siehe Abbildung). Annahme: Im Leiterstück der  Länge l bewegen sich n Elektronen mit der Geschwindigkeit  v el = l/ð t’. Dann gilt:

F L   =  n · e ·  v el · B  =  n · e ·    l __ ð t’   · B 

   =  l · n ·    e__ ð t’   · B  =  l ·   · B

Die Lorentzkraft auf das Leiterstück ist also proportional zur Stromstärke ¯, der Leiterstück­ länge l und der magnetischen Flussdichte B. d)  ð s ist die Strecke, die das Leiterstück wäh­ rend der Zeitspanne ð t zurücklegt. Die An­triebskraft  F Antrieb  sorgt dabei für die Konstanz der Geschwindigkeit des Leiterstücks v(siehe Abbildung). Es gilt:  ð  E mech   =   F Antrieb  · ð s

e)  Für die Beträge der Kräfte gilt:   F Antrieb  =  F L  , damit lässt sich  ð  E mech   =   F Antrieb  · ðs  schrei­ben als  ð  E mech   =  l ·   · B · ð s  =  ¯ · B · ð s · l   =  ¯ · B · ð A = ¯· ðø

f)  Nach Aufgabenteil b) gilt  ð  E el =  U ind  ·   · ð t und aus e) folgt  ð  E mech   =  ¯ · ð ø.

Aus  ð  E el + ð  E mech   =  0  folgt   U ind  ·   · ð t + ¯ · ð ø = 0.

Daraus folgt   U ind  · ð t  =  – ð ø. Division durch ð t liefert dann das Induktionsgesetz für eine Leiter­schleife   U ind   =  – ð ø/ð t.

A1  [. UF | E ]  Die geblätterten Eisenkerne in Transformatoren dienen der Energieeinsparung: Dünne voneinander isolierte Bleche verhindern die Ausbildung von Wirbelströmen, der Eisenkern wird nicht nutzlos erhitzt.

Aufträge S. 186

¯

v

v

B

v

FL l

¯

v

v

B

FL 

vEl l 

¯

FAntrieb

v

ðs

B

FL

v El l

Aufträge S. 187

140  Induktion

A1  [. UF | E ]  Abbildung B3 im Schülerbuch auf S. 188 gibt den Verlauf der Stromstärke im Zweig mit LED 2 wieder. Das Oszillogramm zeigt ein langsames Ansteigen der Stromstärke. Entspre­chend leuchtet LED 2 erst nach Erreichen einer gewissen Stromstärke. Ein entsprechendes Oszillo­gramm im Zweig mit LED 1 würde idealisiert ein Rechtecksignal liefern, passend zur Beobachtung, dass LED 1 im Moment des Einschaltens wahrgenommen wird.Nach dem Ausschalten bildet die Spule eine Quelle mit einer für LED 1 falschen, für LED 2 und  LED 3 richtigen Polung. LED 1 erlischt deswegen sofort. Die Stromstärke nimmt, wie Grafik B3 im Schülerbuch auf S. 188 zeigt, langsam ab. Entsprechend nimmt die Helligkeit von LED 2 und LED 3 allmählich ab, bevor sie ganz erlöschen.

A1  [$ UF | E ]  Nach dem Einschalten wird die maximale Stromstärke nicht sofort erreicht. Die Spule ver zögert durch die Selbstinduktion das Anwachsen der Stromstärke. Eine Veränderung von R be einflusst den Grenzwert der Stromstärke, es gilt  ¯ =  U 0 /R. Bei gegebenem Ohm’schen Wider­stand bewirkt eine Vergrößerung von L eine Verkleinerung des Steigungsbetrages der t­¯­Kurve beim Ein­ und Ausschalten und umgekehrt. 

Beispiele des zeitlichen Verlaufs der Stromstärke für verschiedene Parameter. Das linke Dia­gramm zeigt R = konstant, Parameter L. Das rechte Diagramm zeigt L = konstant, Parameter R.

       

A2  [. UF | E | K ]  Die Simulation von Messwerten für  L = 2 000 H,  R = 400 Ð  hat folgendes Ergeb­nis erbracht:

Aufträge S. 188

Aufträge S. 189

¯ (L = 200 H), ¯ (L = 640 H), ¯ (L = 1000 H)0,028 

0,024 

0,020 

0,016 

0,012 

0,008 

0,004 

0,000 t in s 

0  5  10  15  20  25  30  35  40 

¯ (R = 350 Ð), ¯ (R = 400 Ð), ¯ (R = 450 Ð)0,032 

0,028 

0,024 

0,020 

0,016 

0,012 

0,008 

0,004 

0,000 t in s 

0  5  10  15  20  25  30  35  40 

t in s ¯ in mA

0 25,0

1 20,5

2 16,8

3 13,7

4 11,2

5 9,2

6 7,5

t in s  ¯ in mA

7 6,2

8 5,0

9 4,1

10 3,4

11 2,8

12 2,3

Induktion  141

Die exponentielle Regression ergibt die Gleichung:  ¯ (t)  =  25,0 mA ·  0,819  t 

Die t­¯­Kurve verläuft recht genau durch die Messpunkte, was den exponentiellen Zusammenhang bestätigt. 

t in s 0 2 4 6 8 10 12

¯ in mA 25,0 16,8 11,2 7,5 5,0 3,4 2,3

  ¯ · (t + 2 s)

 _____ ¯ (t)    0,672 0,667 0,670 0,667 0,680 0,676

Der Quotient der Stromstärkewerte  ¯ (t+ 2 s)/¯ (t)  ist in etwa konstant: Der Mittelwert beträgt 0,672 bei einer Standardabweichung von 0,047. Auch diese Eigenschaft bestätigt den exponen­tiellen Zusammenhang.Der Abnahmefaktor der t­¯­Funktion  q = 0,819  ergibt sich in etwa als Wurzel von    

¯ (t+ 2 s) ____ ¯ (t)    .

t in s 0 2 4 6 8 10 12

¯ in mA 25,0 16,8 11,2 7,5 5,0 3,4 2,3

ln (¯ ) 3,22 2,82 2,42 2,01 1,61 1,22 0,83

Logarithmierung der Stromstärkewerte und anschließende lineare Regression der t­ln(¯ )­Werte liefert eine gute Übereinstimmung zwischen den Messpunkten und der Regressionsgeraden:   ln (¯ ) = 3,2164 – 0,1996 · tDer Achsenabschnitt 3,2164 führt zum Anfangswert der Stromstärke in mA:   e3,2164  = 24,94.Der Steigungsfaktor – 0,1996 entspricht dem Abnahmefaktor   e – 0,1996  = 0,819.

Auch diese Eigenschaft bestätigt den exponentiellen Zusammenhang der Wertepaare t­¯.

A3  [$ UF ]  Im Moment des Einschaltens gilt  ¯ (t) = 0, sodass aus  R ·    =   U 0  +  U ind   die Gleichung   U 0  = –  U ind   folgt.

Wegen   U ind   =  – L ·   ð  __ ð t  folgt die Behauptung.

Aufträge S. 189

Ø in mA

24

20

16

12

8

4

0t in s

0 5 10 15 20 25 30

øn (Ø)

3,0

2,0

1,0

0,0t in s

0 2 4 6 8 10 12

142  Induktion

Für den Moment des Einschaltens gilt: Die Strom stärke steigt zunächst linear an (siehe Diagramm rechts). Zeichnet man die Tangente im Nullpunkt an die Kurve, so ergibt sich für deren Steigung: 

  ð 

__ ð t

  =    30 mA

 ___ 2 s

     =  15   mA

 __ s   . 

Die Induktivität L errechnet sich aus 

L  =     U 0 

 __   ð  __ ð t

  =     10 V ___ 

15 m  A _ 

s      =  667 H.

A1  [0 UF ]  Annahmen: Zum Zeitpunkt  t = 0  steht die Ebene der Leiterschleife mit ihrer wirk­samen Fläche  A S  senkrecht zum Magnetfeld. Bei homogenem Magnetfeld gilt nach dem Induktions gesetz für die Induktionsspannung an den Enden einer Leiterschleife:

U ind  (t)  =  B ·   · 

      AS   (t)  =  B · A ·    ·        cos  (z · t)  =  – B · A · z · sin (z · t)  =  –   ˆ

    U · sin (z · t). 

Die Winkelgeschwindigkeit  z  =  2 · p · f  ist proportional zur Drehfrequenz f. Damit folgt, dass  bei Verdopplung der Drehfrequenz auch die Amplitude    ˆ 

    U  =  B · A · z  ihren Wert verdoppelt.

A1  [0 UF ] Die Menge der entnommenen Energie wäre größer als die der eingesetzten Energie (per pe tuum mobile). Dies widerspricht dem Energieerhaltungssatz.

A1  [0 UF ]  a) Für die Größe 1/(f · C) ergeben sich folgende Werte: 

  ˆ    

 U in V        ¯  in mA R C  in Ω f in Hz C in µF 1/f·C  in  1/Hz · F

2 6 333 50 10 2 000

5 16 313 50 10 2 000

10 31 323 50 10 2 000

10 62 161 200 5 1 000

10 50 200 400 2 1 250

10 124 81 1 000 2 500

10 250 40 2 000 2 250

10 320 31 500 10 200

10 156 64 500 5 400

10 64 156 500 2 1 000

Aufträge S. 189

¯ (A) 

L (H)  U_0 (V) 

U_R (V) 

U_ind (V) 

R (V/A) 

0  20 2  4  6  8  10  12  14  16  18 

t in s 

¯ in A 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0,000 

R L

U0 

L = 640 H R = 400 Ω U0 = 10 V 

Aufträge S. 191

Aufträge S. 193

Aufträge S. 194

Induktion  143

Daraus ergibt sich im 1/(f · C)­ R C ­Diagramm eine Gerade: 

Diese lässt sich beschreiben durch die Gleichung:   R C   =  0,16 · 1/(f · C)Der Vergleich des Proportionalitätsfaktors mit dem theoretischen Wert  1/(2 π)  =  0,159  zeigt gute Übereinstimmung.

b) Für die Größe (f · L) ergeben sich folgende Werte:

Û in V Î in mA R L  in Ω f in Hz L in mH 1/f·L  in  H/s

2 74 27 500 9 4,5

3 104 29 500 9 4,5

4 143 28 500 9 4,5

4 35 114 500 36 18

4 25 160 700 36 25,2

4 18 222 1 000 36 36

4 400 10 800 2 1,6

4 85 47 800 9 7,2

4 23 174 800 36 28,8

Daraus erhält man im (f · L)­ R L ­Diagramm wiederum eine Gerade: 

Die zugehörige Gleichung lautet:   R L   =  6,2 · f · L also  k = 6,2.  Dieses Ergebnis stimmt recht gut mit dem theoretischen Wert  k = 2 π  überein.

Aufträge S. 194

1/(f · C) in 1/(Hz · F)

350

300

250

200

150

100

50

0

RC in Ð

0 2000500 1000 1500

f · L in H/s

250

200

150

100

50

0

RL in Ð

0 405 10 15 20 25 30 35

144  Induktion

A1  [0 UF ]  Gegeben:  U  =  15 V;  T  =  20 ms;     eff   =  4,8 mA

Berechnung des induktiven Widerstandes der Spule:

Mit   U eff   =    U

 __  Ö_ 2  

    =  10,6 V  ergibt sich für  R L 

 R L   =     U eff  __    eff 

    =    10,6 V

 ___ 4,8 mA

    =  2,21 kÐ

Daraus lässt sich nach 

 R L   =  2 p · f · L 

die Induktivität der Spule berechnen. Er ergibt sich 

L  =     R L  · T

 ___ 2 p

     =    2,21 kÐ · 20 ms

 _______ 2 p

     =  7,0 H

Die Zustandsgröße, die in ihrer zeitlichen Änderung betrachtet wird, ist die Stromstärke ¯. Die Änderungsrate    

· 

    ¯   =  U L /L  hängt von der Induktivität L als Konstanten und der Spulenspannung  U L  

als weiterer Einflussgröße ab. Die Spulenspannung  U L  ergibt sich aus der Differenz der Einfluss­größen  U Quelle  und  U R . Die Quellspannung wird von den Konstanten  U max  und der Frequenz f  beeinflusst, die Spannung  U R  ergibt sich als Produkt  ¯ · R, wird also von einer Konstanten und  der Zustandsgröße ¯ direkt beeinflusst.

A1  [$ UF | E ]  t < T/4:  Während die Quellspannung von 0 aus gemäß   U Quelle  (t)  =    ˆ   

 U · sin (z · t) zunimmt, steigt die Stromstärke ¯ (t) ebenfalls an, sie ist aber nicht proportional zu  U Quelle  (t). So wird der Höchstwert von ¯ (t) erst erreicht, wenn  U Quelle  (t) bereits wieder sinkt. Zum Zeitpunkt  t = 0  haben alle Spannungen und die Stromstärke den Wert 0. Nimmt die Quell­spannung von 0 aus gemäß   U Quelle  (t)  =    ˆ

    U · sin (z · t)  zu, so ergibt sich die zeitliche Ände­

rung   ·

    

 ¯   (t) aus dem Quotienten von ( U Quelle  –  U R ) / L. Dies ergibt die Phasenverschiebung zwischen der Stromstärke und der Quellspannung, die sich bereits nach einer Viertelperiode stabilisiert hat. Dies lässt sich aus dem Graphen im  U Quelle ­¯­Diagramm entnehmen, der nach einer Viertelperiode eine konstante Ellipse bildet.

A2  [$ UF ]  Aus dem Diagramm liest man eine Periodendauer von 0,02 s ab.  U L  (t) befindet sich 0,005 s vor  U R (t), also beträgt die Phasendifferenz ð v zwischen  U L  (t) und  U R  (t):  ð v = p/2.

A3  [$ UF | E ]  Im Experiment lassen sich die Schaubilder B2 und B3 mit Hilfe eines Oszilloskops bzw. eines Interfaces bestätigen. Einschränkungen muss man bei B3 machen, da sich die Span­nung  U L  nicht vom Ohm’schen Widerstand der Spule trennen lässt, wenn der induktive Wider­stand der Spule nicht groß gegen ihren Ohm’schen Widerstand ist.

A4  [$ UF | E ]  Für Zeiten kleiner als T/2 ist der Einschwingvorgang erkennbar. Unmittelbar nach dem Einschalten (t< 0,001 s) steigen alle Spannungen fast in Phase. Für  t< T/2  ist eine deutliche  Ab weichung vom sinusförmigen Verlauf erkennbar. Nach dem Einschwingvorgang – nach etwa  einer halben Periode – beobachtet man eine konstante Phasenverschiebung. Die Phasendifferenz ð v zwischen  U L  (t) und  U R  (t) beträgt p/2. Die Phasendifferenz ð v zwischen  U C  (t) und  U R  (t) be­trägt – p/2. Aus dem Diagramm liest man bei  C = 10 mF,  R = 100 Ω,  L = 0,1 H,  f = 50 Hz  eine Periodendauer von 0,02 s ab.  U L  (t) befindet sich 0,005 s vor  U R  (t), also beträgt die Phasendifferenz ð v zwischen  U L  (t) und  UR  (t):  ð v = p/2.

Im Experiment lassen sich die B2 und B3 entsprechenden Schaubilder mit Hilfe eines Oszilloskops bzw. eines Interfaces bestätigen. 

Aufträge S. 195

Aufträge S. 199

Induktion  145

A5  [$ UF | K ]  Als Wirkleistung bezeichnet man die an einem Ohm’schen Widerstand umgesetzte Leistung. Für ihren zeitlichen Mittelwert gilt   P mittel   =   U eff  ·    eff  . An einem Ohm’schen Widerstand wird elektrische Energie in innere Energie umgesetzt. Diese wird in Form von Wärme oder Licht an die Umgebung abgegeben. Eine ideale Spule nimmt Leistung auf und gibt diese auch wieder ab. Im zeitlichen Mittel ist die umgesetzte Leistung null. Man spricht von Blindleistung.

A1  [$ UF | B ]  a)  Gültigkeit der Gleichung bedeutet, dass   P 1   =   U 1, eff  ·    1, eff   =   U 2, eff  ·    2, eff   =   P 2   gilt, dass also der vom Transformator abgegebene elektrische Energiestrom  P 2  mit demjenigen  in den Transformator hinein ( P 1  ) gleich ist. Ein in Betrieb befindliches Steckernetzteil wird warm, das bedeutet, dass der elektrische Energiestrom  P 2  kleiner als  P 1  sein muss. Es besteht ein wei­terer Energiestrom  P i  , der die innere Energie des Transformators erhöht:   P 1   =   P i  +  P 2  .b)  Bei der Herleitung der Formel   U 1, eff  /  U 2, eff   =   n 1  / n 2   geht man von einem idealen Trans­formator mit einem Primärspulenwiderstand  R = 0  aus. Weitere Bedingung ist, dass der Trans­formator nicht belastet werden soll, d. h., er soll nicht als Transformator wirken!Die Formel     1, eff  /    2, eff   =   n 2  /  n 1   für einen idealen Transformator im Kurzschlussfall, also bei  ex tremer Belastung, wird lediglich mitgeteilt. Schließlich fasst man beide Formeln zusammen, deren Gültigkeitsbedingungen sich wider­sprechen und erhält die angegebene Beziehung. Im Normalbetrieb kann die Beziehung deshalb nur eine Annäherung an die realen Werte darstellen. 

A1  [$ UF | E ]  Die Differenzialgleichung lautet:

Q + L · C ·   ˙˙    

 Q  =  0

Aus dem allgemeinen Lösungsansatz  Q (t)  =    ˆ    

 Q · sin (z · t+v)  folgt:

   ˙    

 Q (t)  =    ˆ    

 Q · z · cos (z · t+v)

  ˙˙    

 Q  =  –   ˆ    

 Q ·  z 2  · sin (z · t+v)

Einsetzen in die Differenzialgleichung liefert:

  ˆ    

 Q · sin (z · t+v) – L · C ·   ˆ    

 Q ·  z 2  · sin (z · t+v)  =  0

⇔    1 – L · C ·  z 2   =  0

⇔     z 2  =     1 __ L · C

⇒    z  =  2 p · f  =    2 p __ T   =     1 ___  Ö___  L · C

    d. h.,    T  =  2 p ·  Ö___ L · C 

Aufträge S. 199

P in W

1,0

0,5

0,0

–0,5

t in s

0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070

P(t)

PWirk(t)

PBlind(t)

Aufträge S. 202

Aufträge S. 205

146  Induktion

Hinweise zu den Heimversuchen

1  [$ UF ]  In der Hülse schwingt der Magnet stark gedämpft, die Amplitude nimmt schnell ab. Ist die Hülse geschlitzt, so ist die Bewegung sehr viel schwächer gedämpft, die Amplitude nimmt nicht so schnell ab. Die Schwingung ohne umgebende Metallhülse ist nur durch die Luftreibung und Verluste in der Feder gedämpft.

2  [0 K ]  Die Dose wird sich mit dem Magnet drehen.

3  [0 K ]  Die Helligkeit der Lampe hängt in gewissen Grenzen von der Drehgeschwindigkeit ab. Ist das Lämpchen herausgedreht, so wird keine Arbeit nach außen verrichtet; das Rad wird also nicht so stark abgebremst.

4  [$ UF | K ]  Der Dynamo ist als Tachometer nicht gut geeignet. Die Bremsung ist störend, da sie sehr stark auf die zu untersuchende Bewegung rückwirken kann.

Heimversuche S. 209

Induktion  147

Lösungen der Aufgaben am Kapitelende

Induktionsspannung und Induktionsgesetz

1  [0 UF | K ]  Möglichkeit 1: Die Spule kann aus dem Magnetfeld herausgezogen werden. Dabei ändert sich der magnetische Fluss unter der Voraussetzung, dass Spulenebene und Richtung des magnetischen Feldes nicht parallel orientiert sind.

Möglichkeit 2: Die Spule rotiert im Magnetfeld, sodass sich der magnetische Fluss mit der Zeit ändert.

2  [0 UF ]  a)  Es ist  Uind  = B · ® · v = 0,1 mT · 0,2 m · 0,1   m _ s   = 2 ·  10   –6  V. b) Wir nehmen an, dass sich Voltmeter und Leiter im gleichen Abstand innerhalb des homogenen Feldes bewegen. Dann ist die induzierte Spannung  Uind  = 0 V.c) Die Spannung ist gleich der Spannung unter (a), da die Leiter parallel liegen.

3  [$ UF | E ]  Bei einer quasi statischen Betrachtung ergibt sich:

Elektron 1: F L1  = e · v ·B,  gerichtet nach unten

Elektron 2: F L2  = e · v ·B,  gerichtet nach unten

Elektron 3: F L3  = 0,  außerhalb des Feldes

Elektron 4: F L4  = e · v ·B,  gerichtet nach unten

Elektron 1 wird durch die Lorentzkraft im Leiter nach unten bewegt.Diese Bewegung von Elektron 1 verursacht eine Lorentzkraft, die der von außen wirkenden Kraft entgegengerichtet ist. Das ist in Übereinstimmung mit dem Energieerhaltungssatz.Die elektrische Feldkraft, die durch die auf Elektron 1 wirkende Lorentzkraft erzeugt wird, setzt alle Elektronen im Leiter dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt in Bewegung.Die Lorentzkraft auf Elektron 2 ändert dadurch ihren Betrag, nicht aber die Richtung.Elektron 4 erfährt eine zweite Lorentzkraft, die antiparallel zur ersten ist.Über die Resultierende kann keine allgemeine Aussage gemacht werden.

4  [. UF | K ]  Es wird angenommen, das die beim Verschieben der Elektronen im Leiter zu verricht­ende  Arbeit zu vernachlässigen ist. Dann kann der Fall des Drahtes als freier Fall behandelt werden.

Die Strecke    s1  = 0,2 m  wird in der Zeit   t1  =  √_

  2  s 1  _ g  = 0,2 s zurückgelegt.

Am Ende dieses Zeitintervalls hat der Stab die Geschwindigkeit  v1  =  √_

2  s 1  · g = 1,98   m _ s   

Die Strecke   s2  = 1,05 m  wird in der Zeit   t2  =  √_

  2  s 2 

 _ g  = 0,46 s zurückgelegt.

Die Geschwindigkeit  v2  am Ende dieses Wegintervalls ist  v2  =  √_

2  s 2  · g  = 4,54   m _ s    

Die sich ergebenden Spannungen zu den beiden Zeitpunkten sind:

Uind, 1   = B · ® ·  v1  = 0,2 mT · 0,5 m · 1,98   m _ s    

= 1,98 ·  10  –4  V = 0,198 mV  

Uind, 2   = B · ® ·  v2  = 0,2 mT · 0,5 m · 4,54   m _ s    

= 4,54 ·  10  –4  V = 0,454 mV.Die Geschwindigkeit nimmt beim freien Fall linear mit der Zeit zu, das Gleiche gilt dann auch für die Zunahme der Spannung. Das Ergebnis zeigt die Abbildung.

Aufgaben S. 209

Aufgaben S. 210

U in mV

0 0,2

t in s

0,5

0,3

0,1

0,4

148  Induktion

5  [$ UF | K ]  Linker Teil des Bildes:Die für die Berechnung der induzierten Span­nung zu berücksichtigende Leiterlänge ist zunächst   ø 1  = 1,5 m. Die Leiterschleife legt in  t1  = 15 s die Strecke 1,5 m zurück. In dieser Zeit gilt für die induzierte Spannung Uind, 1  = B ·  l 1  ·  v1  = 3 ·  10  –5  V.  Während der näch­sten 10 s ist nur   l 2  = 0,5 m  wirksam, also ist während dieser Zeit   Uind  = 1 ·  10  –5  V.Rechter Teil des Bildes:Zu Beginn ist die wirksame Leiterlänge genau so groß wie im linken Teil des Bildes. Im  Verlauf von 25 s geht sie auf null zurück. Die  Abnahme erfolgt linear. Die Ladungstrennung erfolgt in umgekehrter Richtung.Die Ergebnisse zeigt die Abbildung.

6  [. UF | K ]  Die magnetische Flussdichte im Innern der Feldspule beträgt:

B =  m 0  ·   ·    n1  _ l   = 1,2566 ·  10  –6    V s _ A m   ·   16 000 _ 0,48 m   ·    = 4,1887 ·   10  –2     V s _ 

 A m 2    ·  

Für den magnetischen Fluss ø und die induzierte Spannung Uind ergibt sich:

ø = A · B= 2,8 ·  10  –3   m 2  · 4,1887 ·  10  –2     V s  _  A  m 2 

   ·    = 1,1728 ·  10  –4    V s  _  A   · 

Uind  =  n 2  ·  |   ð ø _ ð t| = 2 000 · 1,1728 ·  10  –4     V s _ A   ·  |   ð  _ ðt|  = 0,234 56 ·   V s _ A   ·  |   ð  _ ðt|

Damit erhält man zu den in der Aufgabe gegebenen Zeitpunkten bzw. Zeitintervallen:

t 0  = 0 s  ø 0  =  0 Wb

t 0  ¥  t 1  ø nimmt linear zu U ind, 0 ¥ 1  = 4,68 ·  10 –3  V

t 1  = 5 s  ø 1  = 1,17 ·  10 –5  Wb

t 1  ¥  t 2  konstant U ind, 1 ¥ 2  = 0 V

t 2  = 10 s  ø 2  = 1,17 ·  10 –5  Wb

t 2  ¥  t 3  ø nimmt linear ab U ind, 2 ¥ 3  = 2,34 ·  10 –3  V

t 3  = 20 s  ø 3  = 0 Wb

Aufgaben S. 210 U in mV

zum linken Bild

zum rechten Bild

10 t in s

0,03

0,02

0,01

0

–0,01

–0,02

–0,03

20

ø in 10–5 Wb

0

1,0

0,5

0

U in mV

0

5

4

3

2

1

0t in s

5 10 15 20 5 10 15 20

t in s

Induktion  149

7  [$ UF ]  a)  In diesem Fall ist  U ind  = n · B ·   ð A_ ð t    ⇔    B =    U ind  · ðt

_ n · ð A

Mit den Daten der Aufgabe erhält man:  B =   0,5 ·  10  –3  V ·5 s

  __  100 · 2,5 ·  10  –3   m 2 

   = 0,01 T

b)  Für die Änderung der Flussdichte gilt:  U ind  = n · A ·    ð B_ ð t    ⇔      ð B_ ð t =   

 U ind  _ n · A = 2 ·  10  –3    V _ 

 m 2     

8  [0 UF | K ]  Nach der Lenz’schen Regel wird in dem Ring durch Induktion ein Strom hervor­gerufen, dessen Magnetfeld die Fallbewegung des Stabmagneten behindert.Fällt der Stabmagnet mit dem Nordpol nach unten auf den Ring zu, so befindet sich oberhalb des Ringes ebenfalls ein Nordpol; d. h., der Strom im Ring ist im Uhrzeigersinn gerichtet.Nach dem Passieren des Ringes entfernt sich der Stabmagnet mit dem Südpol nach oben von dem Ring weg. Unterhalb des Ringes befindet sich ein Nordpol; d. h., der Strom im Ring ist ent­gegen dem Uhrzeigersinn gerichtet.

9  [0 UF ]  Es ist   Uind  = n · A ·    ð B_ ð t = 100 · 2 ·  10  –3   m 2  ·   1 ·  10  –2  T _ 1 s     = 2 ·  10  –3  V = 2 mV

Für die Stromstärke erhält man  ¯ =    Uind 

 _ R  =   2 ·  10  –3  V _ 1 Ð    = 2 · 10–3 A = 2 mA

10  [$ UF | E ]  In der oberen Anordnung befindet sich der Ring in einem Magnetfeld mit parallelen Feld linien. Während des Einschaltvorganges wird durch Induktion im Ring ein Strom hervorgeru­fen. Durch diesen Strom entsteht ein Magnetfeld, dessen Feldlinien entgegengesetzt parallel zu  den Feldlinien des vorhandenen Feldes gerichtet sind. Der Ring bleibt in Ruhe.Anders verhält es sich in der unteren Anordnung, da dort das Magnetfeld des Dauermagneten in homogen ist und somit der durch Induktion im Ring hervorgerufene Strom zu einer Lorentzkraft führt, die den Ring in den schwächeren Bereich des vorhandenen Feldes, hier also nach links bewegt.

Selbstinduktion

11  [$ UF | E ]  a)  Die beiden Spulen sind in Reihe geschaltet, mit gleichem Windungssinn. Beim Einschalten wird durch die Selbstinduktion eine Gegenspannung induziert; der Strom steigt nur langsam an.b)  Die Spulen befinden sich mit gegenläufigem Windungssinn auf dem gleichen Eisenkern. Die durch Selbstinduktion beim Einschalten entstehenden Spannungen sind dadurch entgegen  ge richtet. Daher kompensieren sich ihre Effekte nahezu.

12  [$ UF ]  Wir betrachten den Moment des Einschaltens: Es ist ¯ (t) ≈ 0 und damit 

U0 = L ·   ð  _ ð t    ⇔    L=U0  · ð t

_ ð   =   4 V · 1 s _ 0,1 A    = 40 H

Mit der Näherung, dass wir die Spule als lange Spule betrachten, gilt

L =  m r  ·  m 0  ·    n 2  _ l   · A    ⇔     m r  =    L · l _  m 0  ·  n 2  · A

 = 6366

Zur Näherung: Für eine Spule mit Länge l und Durchmesser d gilt in der Spulenmitte   

B =  m 0  ·    n ·  _ l ·  √_

1 +   (   d_ l   )   2     

Mit    d_ l   = 0,25  errechnet sich der Fehler zu etwa 3 %.

Aufgaben S. 210

150  Induktion

13  [$ UF ]  a)  L  =   m 0  ·    n  1  

2  _ l    · A  =  1,256 6 ·  10  –6    V s _ A m   ·    8 000  2  _ 0,48 m   · 4,8 ·  10  –3   m 2   =  0,8 H

b)  In der zweiten Spule wird die Spannung   |  Uind  |  =  n 2  · A ·   ð B_ ð t  induziert.

Für das Magnetfeld gilt:  B =  m 0  ·      n 1  _ l   · Ø.  D. h.,    ð B_ ð t =  m 0  ·   

 n 1  _ l   ·   ð  _ ð t

| Uind  |   =   m 0  · A ·    n 1  ·  n 2 

 _ l    ·   ð  _ ð t =  1,2566 ·  10  –6    V s _ A m   · 4,8 ·  10  –3   m 2  ·   8 000 · 1 000 _ 0,48 m    · 0,01   A _ s    =  1 mV

Wechselspannung

14  [$ UF | K ]  Solange sich die senkrechte Komponente der Geschwindigkeit im Magnetfeld  nicht wesentlich ändert (kleine Auslenkungen), gilt   Uind  = B · ® · v  und somit   Uind  ~ v,  denn das Magnetfeld ist homogen.Für kleine Winkel v ist die Schwingung harmonisch, also ist v =  v 0  · cos  ( z · t) und    U ind  = B · ® ·  v 0  · cos  ( z · t).  Die Schwingung ist zusätzlich gedämpft, sodass die Amplitude der  induzierten Spannung abnimmt.

15  [. UF | E ]  a)  In diesem Fall lautet das Induktionsgesetz

Uind  = n · B ·  |   ð  A S  _ 

ð t|

B kann über die Maße des Rahmens als konstant angesehen werden. Die zum Feld senkrechte Komponente der Fläche ist   AS  = A · cos v. Zeichnet man diese Funktion auf, so erkennt man,  dass die Änderung von  AS  in der Umgebung von AS = 0 am größten ist. In dem Bereich wird dem­entsprechend auch die größte Induktionsspannung zu beobachten sein.b) Für die Scheitelspannung gilt:    ˆ

    U = n · B · A · z. Damit ist  

B  =       ˆ   

 U_ n · A · z    =    0,7 ·  10  –3  V · s

  __  10 ·  (0,5 m) 2  · 2 p    =  4,46 ·  10  –5  T.

c) Da  B konstant ist, muss die Kraft im Bereich der unter (a) ermittelten Position am größten sein. Es ist dagegen fast keine Kraft erforderlich, wenn die Schleife eine dazu senkrechte Position durchläuft.

16  [$ UF | K ]  a)  Es ist:    ˆ    

 U  =   √_

2   ·  Ueff    und somit

U(t)    =   √_

2   · 3,0 V · sin  (   2 p · 50 _ s    · t)    =  4,24 V · sin  (   2 p · 50 _ s    · t)

b) Da     ˆ     

 U  ~ z  ist, wird sich   ˆ    

 U verdoppeln, wenn die Frequenz verdoppelt wird. Also ist

U(t)    =  2 ·  √_

2   · 3,0 V · sin  (   2 p · 100 _ s    · t)    =  8,49 V · sin  (   2 p · 100 _ s    · t)

Nebenstehende Abbildung zeigt den Verlauf der Spannung.

Aufgaben S. 210

Aufgaben S. 211

U in V

2

t in ms

10

8

6

4

2

0

–2

–4

–6

–8

–10

124 6 8 10

Induktion  151

Wechselstromwiderstand

17  [0 UF ]  a)  Es gilt:  

Ohm’scher Widerstand: Ø eff   =     U eff  _ R

Kapazitiver Widerstand: Ø eff   =  z · C ·  U eff 

Induktiver Widerstand: Ø eff     =     U eff  _ z · L  

b)  Bei Ohm’schem Widerstand ergibt sich keine Änderung, bei kapazitivem Widerstand ver­größert sich    eff  um einen Faktor 2 und bei induktivem Widerstand wird    eff  halbiert, wenn die Frequenz verdoppelt wird.Die Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:

R 0  R C  RL 

f = 50 Hz Ø eff  = 0,06 A Ø eff  = 1,89 A Ø eff  = 19,1 A

f = 100 Hz Ø eff  = 0,06 A Ø eff  = 3,77 A Ø eff  = 9,55 A

f = 25 Hz Ø eff  = 0,06 A Ø eff  = 0,94 A Ø eff  = 38,2 A

c) Es muss gelten:

   1 _ z · C  =  z · L    ⇔    z 2   =  4  p 2  ·  f   2   =     1 _ L · C    ⇒    f  =     1 _ 2 p ·  √

_ L · C  =  159 Hz

18  [0 UF ]  a)  Aus     eff   =  z · C ·  Ueff   folgt  C  =       eff   _ z ·  Ueff 

    

Somit  C  =    0,1 A __  2 p · 50 Hz · 10 V    =  31,8 mF

b)  Aus     eff  =    U eff  _ z · L  folgt  L =    

 U eff  _ z ·    eff    

Somit L  =     10 V __  2 p · 50 Hz · 0,1 A     =  0,318 H

19  [0 UF ]  Gesucht ist der Ersatzwiderstand Z  einer realen Spule.

Gleichspannung:   R Ð   =    U_ ¯   =     12 V _ 80 ·  10  –3  A

    =  150 Ð 

Wechselspannung:  Z  =     Ueff  _    eff 

  =     12 V _ 40 ·  10  –3  A

    =  300 Ð 

Aus  Z  =   √_

 R  Ð  2  +  R  L  2     folgt   RL   =   √

_  Z  2 –  R  Ð  2     =  260 Ð 

RL   =  z · L    ⇔    L  =  RL_z    =     260 Ð _ 2 p · 50 Hz    =  0,83 H

20  [$ UF ]  a)  Es ist Z  =   √_

 R  Ð  2  +  R  L  2     =   √__

 R  Ð  2  +   ( z · L)  2    

Z  =   √___

 (Å20 Ð)  2  +  (2 p · 50 Hz · 0,2 H)  2     =  135,5 Ð

   eff   =     U eff  _ Z   =    230 V _ 135,5 Ð    =  1,7 A

b) Die maximale Feldenergie der Spule beträgt

Emagn   =    1 _ 2   L ·         ¯    2   =    1 _ 2   L ·   (  √

_ 2   ·    eff  )   2   =    1 _ 2   · 0,2 H · 5,78  A  2   =  0,578 J

Aufgaben S. 211

152  Induktion

Transformator

21  [0 UF | K ]  Die periodische Änderung der Stromstärke in der Primärspule bewirkt ein sich  periodisch änderndes Magnetfeld. Dieses induziert in der Sekundärspule eine sich periodisch ändernde Spannung. 

22  [$ UF | K ]  Dünne voneinander isolierte Bleche verhindern die Ausbildung von Wirbelströmen. Dadurch wird der Eisenkern weniger stark erhitzt und der Wirkungsgrad erhöht.

23  [. UF | E ]  a)  Es gilt:   n 2   =   n 1  ·    U 2 

 __  U 1     =  120 ·   25 000 V ____ 12 V     =  250 000

b)  Aufgrund der großen Windungszahl und der Größe der Spule muss der Draht sehr dünn und sehr lang sein.

c)  Wegen       1  _    2     =    

 n 2  __  n 1     ist     2  rund 2 000­mal kleiner als die Primärstromstärke. 

24  [$ UF | E ]  a)  Es gilt     U eff, 1  _  U eff, 2     =    

 n 1  _  n 2       ⇔     n 2   =   n 1  ·    U eff, 2 

 _  U eff, 1       ⇒     n 2   =  1 000 ·    6 V _ 230 V    =  26

Aus  Z  =     U  eff, 2  

2    _ P   =  0,72 Ð  folgt, dass die Lampe näherungsweise als Kurzschluss betrachtet werden 

kann:

 eff, 1  _    eff, 2     =    

 n 2  _  n 1       ⇔       eff, 1   =     eff, 2  ·   

 n 2  _  n 1     =     P_  U eff, 2    ·   

 n 2  _  n 1       ⇒       eff, 1   =    50 W _ 6 V    ·    26 _ 1 000    =  0,22 A

b)  Der Schalter auf der Sekundärseite ist gefahrloser; beim Aus­/Einschalten des Transformators können Spannungsstöße auftreten.Die Lampe selbst setzt im ausgeschalteten Zustand keine Energie um. Wohl aber kann das Sys­tem Lampe­Transformator Energie umsetzen, wenn die Lampe sekundärseitig abgeschaltet wird. Der Transformator ist nicht ideal, daher wird er stets eine geringe Leistung aufnehmen.

25  [. UF | K  | E ]  a) Zwei Spulen sind auf einen gemeinsamen Eisenkern gewickelt. Änderung der Strom stärke in einer der Spulen führt zu einer Induktionsspannung an der anderen Spule.Die Anordnung kann mit einem Transformator verglichen werden.b) Ein stromführender Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben, dessen Feldlinien kon­zentrisch um den Leiter verlaufen. Ihre Rich­tung ergibt sich nach der Linken­Hand­Regel (vgl. Schülerbuch S. 159, B2b). Die Feldlinien  der Leiterstücke oberhalb und unterhalb der Magnet nadel zeigen in die gleiche Richtung. Diese wird abgelenkt und zeigt so den Strom an.

c) Have had an iron ring made (soft iron), iron round and 7/8 inch thick, and ring 6 inches in external dia-meter. Wound many coils of copper wire round one half, the coils being separated by twine and calico – the-re were 3 lengths of wire each about 24 feet long and they could be connected as one length or used as sepa-rate lengths. By trial with a trough each was insulated from the other. Will call this side of the ring A. On the other side but separated by an interval was wound wire in two pieces together amounting to about 60 feet in length, the direction being as with the former coils; this side call B. Charged a battery of 10 pr. plates 4 inches square. Made the coil on B side one coil and connected its extremities by a copper wire passing to a distance and just over a magnetic needle (3 feet from iron ring).

Aufgaben S. 211

Aufgaben S. 212

U1 U2

Induktion  153

Then connected the ends of one of the pieces on A side with battery: immediately a sensible effect on needle. It oscillated and settled at last in original position.On breaking connection of A side with battery again a disturbance of the needle.

Beschreibung/Durchführung/Beobachtung

Elektrischer Schwingkreis

26  [0 UF ]  a)  Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus Kondensator und Spule. Die Eigen­frequenz ist durch die Kapazität des Kondensators und die Induktivität der Spule bestimmt.b)  Die Energie des geladenen Kondensators bzw. die Energie des elektrischen Feldes wird in Energie des Magnetfeldes der Spule umgesetzt. Der Abbau des magnetischen Feldes ist mit dem Aufbau eines elektrischen Feldes verbunden. Die Dämpfung kann durch Ergänzung des Schwing­kreises durch einen Ohm’schen Widerstand vergrößert werden. Dort wird ein Teil der Energie in innere Energie umgesetzt.Der elektrische Schwingkreis ist stets gedämpft: Jeder Kondensator hat Verluste durch Leck­ströme, jede Spule hat normalerweise Verluste durch den Ohm’schen Widerstand des Drahtes, aus dem sie gewickelt ist, und jedes magnetische Wechselfeld ist mit Abstrahlung von Energie ver­bunden.c)  vgl. Schülerbuch Seite 204, B3.

27  [$ UF | E ]  a)  Aus  z  =     1 _  √_

L · C  folgt  L  =     1 _ 

 z 2  · C  =     1  s 2  _ 

 p 2  · 8 ·  10  –5  F    =  1 267 H

b)    ˆ    

 U  =   R C  ·        ¯   =   R L  ·     

   ¯   =  p ·   1 _ s  · 1 267 H · 10 mA  =  39,8 V

c)  Den Ohm’schen Widerstand  R  der Spule kann man im Gleichstromkreis mit der Quell­spannung   U 0   durch die Messung der Spulenstromstärke Ø ermitteln:  R =  U 0 /¯. Im Moment des Einschaltens gilt   U 0  = L · ð  /ð t.  Man zeichnet den zeitlichen Verlauf der Stromstärke ¯  beim Einschalten auf. Die Induktivität L ergibt sich aus der Steigung  ð  /ð t des  t­¯­Graphen zu Beginn der Messung.

Aufgaben S. 212