I. DERIVACIÓN DE FUNCIONES

III.1. INCREMENTOS

(1) Definición .- El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así pues, x = x1 -

x0.Si se da un incremento x a la variable x ( es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + x ), la función y = f(x) se verá incrementada en y = f ( x0 + x ) – f(x0 ) a partir del valor y = f(x0 ).

Ejemplo 13: Si se tiene que y = f(x) = x2

Si x0 = 10, entonces fija a y = 100Suponiendo x1 = 12, entonces fija a y = 144

Resulta que x = 2, determina y = 44Suponiendo x1 = 9, entonces fija a y = 81

Resulta que x = -1, determina y = -19

El cociente = recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la

función en el intervalo comprendido entre x = x0 hasta x = x0 + x

III.2. DERIVADAS

(1) Notación usual en las derivadas.- La derivada de una función de una variable es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este ( el incremento x ) tiende a cero. Cuando el límite existe, se dice que la función es derivable o tiene derivada. Matemáticamente:

=

la derivada será el límite del segundo miembro cuando x 0 y se representa que se lee:

“ la derivada de y [ o de f(x) ] con respecto a x “

=

si “u” es una función de “t”

=

las expresiones y deben considerarse como un todo y no como una fracción. Si y = f(x), la

derivada se expresa de diferentes formas, algunas de ellas son:

18

= f(x) = y = f (x) = y = Dx y = Dx f(x)

(2) Regla general de derivación.- Para encontrar la derivada de una función conforme a la definición anterior, se recomiendan los pasos siguientes:

I. Se sustituye en la función x por x + x y se calcula y + y.

II. Se resta el valor inicial de la función del valor obtenido y + y para encontrar el

incremento y.

III. Se divide el incremento de la función (y) sobre el incremento de la variable (x).

IV. Se calcula el límite de este cociente cuando el incremento de la variable (x) tiende a

cero. El límite encontrado es la derivada buscada.

Ejemplo 14:

Encontrar la derivada de y = 3x2 + 5I.- y + y = 3 ( x + x )2 + 5

y + y = 3x2 + 6xx + 3 (x)2 + 5II.- y + y = 3x2 + 6xx + 3 (x)2 + 5

y = 3x 2 + 5 . y = 6xx + 3 (x)2

III.- = = 6x + 3x

IV.- = = (6x + 3 x ) = 6x

EJERCICIOS VI

Encuentra la derivada de cada función que se proporciona.

19

a) y = 2 – 3x

b) f(x) = mx + b

c) y = x4

d) =

e) s = at2

+ bt +c

f) y =

g) f(x) = cx3

h) y = 3x – x3

i) y = x2 + 2xj) s = ( a + bt )2

k) y =

l) y = x2 + 2

m)

n)

o)

1

III.3. INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Geométricamente, la derivada de una función f(x) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica

de y = f(x) en el punto [ x0, f(x0) ]. En la figura

siguiente:

considerando que: y = f(x)

I.- y + y = f ( x + x ) NQ

II.- y + y = f ( x + x ) NQ y = f(x) MP = NR .

y = f( x + x) - f(x) RQ

III.- = = = tg RPQ = tg = pendiente de la

secante PQ.La razón del incremento y al incremento x es la pendiente de la secante determinada por P ( x, y ) y Q ( x + x, y + y ).

IV.- Si se considera x como fijo, entonces P es punto fijo en la gráfica. Si x varía tendiendo a cero, el punto Q se mueve en la curva y se acerca a P como límite. La recta PQ gira sobre P y se sobrepone a PT.

= inclinación de la secante PQt = inclinación de la tangente PT = t

y = tg = tg t = pendiente de la tangente en P.El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto.

Ejemplo 15: Hallar la pendiente “m” , el ángulo de inclinación “” y la ecuación de la recta tangente

a la curva y = 3x2 + 5 en los puntos (0, 5) y ( , y ).

Por lo anterior: = m

= ( 3x2 + 5 ) = 6x ; m = 6x; resultado del ejemplo 12

para x = 0, m = 6 ( 0 ) = 0 m = 0como m = tg , tg = 0

= arc tg (0) = 00 = 00

20

para (0, 5) y m= 0; la Ec. es y – 5 = 0 ( x – 0 ); y – 5 = 0

para x = , m = 6 ( ) = 2 m = 2

= arc tg (2) = 63.430 = 63.430

para ( , ) y m= 2; la Ec. es y – = 2 ( x – ); 6x – 3y + 14 = 0

EJERCICIOS VII

Encuentra la pendiente “m” , el ángulo de inclinación “” y la ecuación de la recta tangente en cada caso:

a) y = x2 – 2 ( 1, -1 ) b) y = 2x - x2 ( 3, y )

c) y = x = 2 d) y = 3 + 3x – x3 x = -1

e) y = x3 – x2 ( -1, -2 )

III.4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Debido a que la aplicación de la regla general de derivación ( por incrementos ) sería muy laboriosa, en su lugar, existen fórmulas de derivación. Para derivar funciones algebraicas, las fórmulas correspondientes son las siguientes:

21

1). = 0 siendo c una constante

2). = 1

3). = + -

4). = c siendo c una constante

5). = u + v

6). = u v + uw + vw

donde u, v, w son funciones derivables de x

7). = n v n – 1

8). = n x n – 1

9). =

10). = siendo c 0

Ejemplo 16: Derivar la función de cada inciso:

a) y = 3x2 + 5x3 + x4

= (3x2 + 5x3 + x4 ) = (3x2 ) + ( 5x3 ) + (x4 ) aplicando 3)

u = 3 (x2 ); v = 5 (x3 ); w = (x4 ); aplicando 4)

u = 3 (2x2-1 ); v = 5 (3x3-1 ); w = 4x4-1); aplicando 8)

y = 6x + 15x2 + 4x3

b) s = ( t2 – 3 )4

= [( t2 – 3 )4 ] ; u = t2 – 3; n = 4

s = 4 ( t2 - 3 )4-1 ( t2 – 3 ); aplicando 7)

s = 4 ( t2 - 3 )3 [ ( t2 ) – ( 3 ) ]; aplicando 3)

s = 4 ( t2 - 3 )3 [ 2t – 0 ]; aplicando 8) y 1)

s = 8t ( t2 - 3 )3

c) f(x) = ; f (x) =

f (x) =

f (x) = aplicando 7)

f (x) = aplicando 9)

f (x) = aplicando 1) y 2)

f (x) = =

f (x) = ; f (x) =

EJERCICIOS VIII

Encontrar la derivada de la función en cada inciso:

a) y = x5 + 5x4 - 10x2 + 6

b) f(x) = 3x1/2 - x3/2 + 2x-1/2

c) y = +

d) y =

e) f(t) = +

f) y = ( 1 – 5x )6 g) f(x) = ( 3x – x3 + 1 )4

h) f(z) = i) y = 2x2

j) =

k) y =

l) y =

m) z =

n) s =

o) s = t

p) f(t) = ( 2 – 3t2 )3 q) y = x ( a + bx )1/2

r) y =

s) s =

t) r =

u) y =

v) f(x) =

w) f(t) = at5 – 5bt2

x) s = 2t4/3-3t2/3

III.5. DERIVADAS SUCESIVAS

La derivada de una función también es una función, ello nos permite intentar derivarla repetidas veces. Así, f (x), f(x), f(x), f4(x), ..................., fn (x) denotarán la primera, segunda, tercer, cuarta, ........, n-ésima derivada de la función f.

Ejemplo 17:Si f(x) = x5 – 2x3 ; tendremos:

f (x) = 5x4 – 6x2; f (x) = 20x3 – 12x; f (x) = 60x2 - 12,f 4(x) = 120x; f 5(x) = 120

y de ahí en adelante todas las derivadas serán igual a cero. Algunas otras formas de expresar derivadas

sucesivas son: f (x) = f 2(x) = = y ; f = f 3(x) = = y y así

sucesivamente.EJERCICIOS IX

Calcular las derivadas indicadas en cada problema:

a) y = 3x4 – 2x2 + x – 5 y = ?

b) y = y(IV) = ?

c) f(x) = f (x) = ?

d) y = y = ?

e) y = y(V) = ?

f) y = y = ?

g) y = x2 – 4x + 8 y = ?

III.6. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLICITAS

Cuando se da una relación entre “x” y “y” por medio de una ecuación no resuelta para y [ f(x, y) =0], entonces “y” se llama función implícita de “x” ( o también “x” función implícita de “y” ). Por ejemplo:

x2 – 4y = 0A veces, es posible resolver la ecuación que define una función implícita con respecto a una de las

variables, obteniendo así una función explícita. Así, puede definirse “y” como función explícita de “x”: y =

x2. Sin embargo, puede ocurrir que la resolución indicada sea imposible o complicada; cuando sucede tal

caso, para calcular la derivada de esta clase de funciones se aplican los siguientes pasos:

1). Derivar término a término con respecto a “x” y donde aparece “y” derivarla como función de “x”.

2). Agrupar términos con en el primer miembro.

3). Despejar

Ejemplo 18: Calcular la derivada de:

15x = 15y + 5y3 + 3y5

(15x) = (15y) + ( 5y3 ) + (3y5 )

15 = 15 + 15y2 + 15y4

[ 1 + y2 + y4 ] = 1; =

Ejemplo 19 Derivar:

x3 – 3axy + y3 = 0

(x3) - (3axy) + ( y3 ) = (0)

3x2 – 3ay – 3axy + 3y2y = 0

y (3y2 – 3ax ) = 3ay – 3x2 ; y =

EJERCICIOS X

1) Encuentra la derivada de cada función implícita que se proporciona:

a) x2 + y2 = 4

b) y3 + xy – 10 = 0

c) x2 + 3y2 – 4 = 0

d) x2 - 2xy + y2 = 6

e) y3 + 3x2y + x2 – 2xy = 3

f) x2 + y2 – 4x + 6y – 24 = 0

g) x =

h) x2 + xy + 2y2 = 28

i) x2/3 + y2/3 = a2/3

j) x + xy + y = 2

k) x2 – xy + y2 = 3

l) x2 – xy2 + x2 + y2 = 0

2) Hallar la pendiente de las curvas indicadas en los puntos señalados:

a) x3 – 2xy + y3 = 5; P( 1, 1 )b) y3 + (y – x )2 = 7 + x y P( 1, 2 )c) x2 + y2 = 4 P( 2, 0 )d) x2 y + xy2 = 12 P( 3, 1 )

e) x2 - y2 = 3 P( 2, 1 )f) 2y3 + 4xy + x2 = 7; P( 1, 1 )g) x3 - y3 = 5xy - 3 P( 2, 1 )h) 2y3 + 4xy + x2 = 7 P( 1, 1 )

III.7. DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

El siguiente grupo de fórmulas de derivación se aplican para derivar funciones trascendentes (llamadas así para distinguirlas de las algebraicas vistas anteriormente). Las funciones trascendentes se dividen en :

(1). Función logarítmica y exponencial.(2). Función trigonométrica o circular.(3). Función trigonométrica inversa o circular inversa.

(1) Funciones logarítmicas y exponenciales.- Las fórmulas para derivar estas funciones son:

11). = =

12). =

13). = a v ln a

14). = e v

15). = v u v-1 + ln u (uv)

Ejemplo 20: Calcular la derivada de la función proporcionada en cada inciso:

a) y = ln ( 4x – 5 ); v = 4x + 5

ln v = ln ( 4x – 5 )

y = (4x – 5 ) aplicando 11)

y = (4 – 0 ) ; y =

b) f(x) = e5x

f(x) = e5x (5x ) aplicando 14)

f(x) = e5x (5 ); f(x) = 5 e5x

c) y = x2 ex

y = ( x2 ) ( ex ) + (ex ) ( x2 )

y = ( x2 ) [ ex (x ) ] + (ex ) [ 2x ] y = x2 ex (1 ) + 2x ex ; y = ex ( x2 + 2x )

d) y =

y = ( ex )

y = ( ex ); y =

e) y = 22x

y = 22xln 2 ( 2x ) aplicando 13)

y = 22xln 2 ( 2 ) y = 2 ( 22x ) ln 2

EJERCICIOS XI

Calcula la derivada de cada función indicada:

a) y = ln ( x2 + a )

b) y = x2 ln x2

c) y = b

d) f(x) =

e) y = ln ( 3x2 + 5 )

f) f(x) = ln ( ln x )

g) s = e-t

h) y =

i) y = ex ln x

j) y = ln ( x2 ex )

k) f(x) =

l) f(x) =

m) y =

n) y = ( ln x2 )3

o) y = ln

p) y =

q) f( x) =

r) s = t et

s) f()=b2

t)

(2) Funciones trigonométricas o circulares.- En la derivación de funciones trigonométricas circulares, las fórmulas que se aplican para resolver estos problemas son:

16). = cos v

17). = - sen v

18). = sec2 v

19). = - csc2 v

20). = sec v tg v

21). = - csc v ctg v

NOTA: El argumento de estas funciones trigonométricas se expresa en radianes.

Ejemplo 21: Calcular la derivada de:

a) y = 4 tg 5x

y = ( 4 tg 5x ) ; y = 4 ( tg 5x )

y = 4 [ sec2 5x ( 5x )] aplicando 18)y = 4 sec2 5x ( 5 ); y = 20 sec2 5x

b) sen y = cos 2x función implícita.

( sen y ) = ( cos 2x )

cos y = - sen 2x ( 2x ) aplicando 16) y 17)

cos y y = -2 sen 2x; y =

c) y = ctg 8x

y = [ - csc2 8x ( 8x ) ] aplicando 19)

y = ( 8 ) ( - csc2 8x ) ; y = - 2 csc2 8x

EJERCICIOS XII1) Encuentra la derivada de cada función que se proporciona:

a) y = sen 3x2

b) f(x) = 3x2 – 4 cos x

c) s = tg 3t

d) y = 4 ctg

e) f(t) = + 7 cos t

f) y = sen ax2

g) f() = 3 cos 2

h) y = tg 3 4x

i) f() = cos3

j) y = sen 2x cos 2x

k) y = a csc bx

l) s = tg -

m) f() =

n) g(x) = sec x tg x

o) y =

p) sen x + cos y = 0

q) f() =

r) s =

s) y = x sen x

t) y =

2) Encuentra la derivada de las funciones implícitas que se proporcionan:

a) 2 sen x + 4 cos y = 4b) sen 2y – cos 2x = 0c) ctg y = x – y

d) sen x + cos y = ey e) cos 2 y = tg 3 x

(3) Funciones trigonométricas inversas o circulares inversas.- La función inversa de x = sen y es y = arc sen x (y = sen-1 x). Para las demás funciones trigonométricas, su función inversa se encuentra de la misma manera. Las fórmulas de derivación de estas funciones son:

22). =

23). = -

24). =

25). = -

26). =

27). = -

Ejemplo 22: Encontrar la derivada en cada caso:

a) y = arc sen ( 2x – 3 )

y = [ arc sen ( 2x - 3 ) ]

y = ( 2x - 3 ) aplicando 22)

y = ( 2 )

y = ; y =

b) y = arc csc 2x

y = [ arc csc 2x ]

y = - (2x ) aplicando 27)

y = - ; y = -

c) y2 sen x + y = arc tg x

( y2 sen x ) + ( y ) = (arc tg x )

y2 ( cos x ) + sen x ( 2y ) y + y = ( x )

y ( 2y sen x + 1) = ; y =

EJERCICIOS XIII

Calcula la derivada de las funciones de cada inciso.

a) y = arc tg 2x2

b) y = arc cos

c) y = arc cot

d) y = arc sec

e) f(x) = arc sen ( 3x – 4x3 )

f) y = x arc sen 2x

g) y = x2 arc cos x

h) y = arc csc mx

i) y = arc sen ( a x2 + b x + c )

j) f ( x ) = x arc tg x

k) y = arc sen

l) encontrar y para cada valor de x

1). y = x arc sen x x =

2). y = x arc cos x x = -

3). y = x = 1

4). y = x2 arc csc x = 2

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