Indice - Dipartimento di Matematica - Università di Paviarosso/tensori.pdf · Richiamidi algebra La meccanica ... dei suoi argomenti e simmetrica. ... I tensori (di rango 2) sono

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1 Richiami di algebra 3

1.1 Tensori di rango 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Tensori antisimmetrici e vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Prodotto diadico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Proiettori ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Prodotto scalare tra tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Tensori ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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2 INDICE

Capitolo 1

Richiami di algebra

La meccanica classica oggetto di questo corso poggia sulle tre nozioni di spazio,di tempo e quella di movimento, quest’ultima fungendo un po’ da tramite tra leprime due visto che il moto di un sistema puo essere visto come una funzioneche ad ogni istante t associa l’insieme delle posizioni nello spazio occupate dalsistema al medesimo istante. In questo capitolo introduttivo proponiamo unaformalizzazione matematica delle strutture spazio-temporali. Il tempo nellameccanica classica e indipendente dallo stato di moto dell’osservatore: in questosenso esso e assoluto, cioe slegato dallo stato di moto di chi compie le misuretemporali. Descriviamo il tempo come una variabile scalare t a valori reali estabiliamo una corrispondenza biunivoca tra gli istanti di tempo ed i punti dellaretta reale su cui viene assunta un’origine O arbitraria che puo, ad esempio,coincidere con l’istante iniziale a partire dal quale viene compiuta l’osservazionedell’evoluzione di un particolare sistema.

La struttura spaziale richiede un poco piu di cura. Un poco di riflessioneporta a concludere che i vettori con cui si opera nella fisica possono essereinterpretati come funzioni di tipo molto speciale che spostano punti in altri puntidello spazio. Cio giustifica la seguente nozione di spazio euclideo tridimensionaleche indicheremo con E .

Definizione 1.1 Un insieme E—i cui elementi saranno detti d’ora innanzipunti—e detto spazio euclideo tridimensionale se esiste uno spazio vettorialeV di dimensione 3, detto spazio delle traslazioni, i cui vettori v godono delleseguenti proprieta:

1. i vettori v ∈ V sono applicazioni da E in se:

v : E 7→ E v(P ) = Q P,Q ∈ E

2. Se u e v sono vettori di V, allora la loro somma e definita come

(u+ v)(P ) := u(v(P )) ∀P ∈ E . (1.1)

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4 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA

P Q ≡ v(P )

u

R ≡ u(Q) ≡ u(v(P ))

v

u+ v

Figura 1.1: La regola del parallelogramma attraverso la composizione successivadi vettori.

3. Dati due punti P e Q distinti appartenenti ad E esiste un unico vettoretale che

v(P ) = Q. (1.2)

Commentiamo i tre assiomi appena enunciati. Il primo assioma traduceformalmente cosa intendiamo quando parliamo di “vettore spostamento”. Unavolta fissato un punto P di partenza, se dichiariamo di muoverci di una quantitaℓ1 lungo una certa direzione e di una quantita ℓ2 lungo un’altra direzione distin-ta, otteniamo un unico punto di arrivo Q. Le istruzioni che hanno consentito diarrivare da P a Q rappresentano il vettore di cui occorre spostarsi per passareda P a Q. Ma se ora le stesse istruzioni, cioe lo stesso vettore, vengono impartitea partire da un altro punto P ′ il punto di arrivo sara Q′, diverso da Q. I nuovipunti di partenza ed arrivo sono traslati rispetto ai precedenti punti di partenzaed arrivo. Il secondo assioma traduce la regola del parallelogramma che vieneproposta nei testi elementari a giustificazione della addizione tra vettori. Unosguardo alla Figura 1.1 dovrebbe bastare a chiarire che concepire i vettori comefunzioni permette di definire la somma vettoriale come la composizione di duetraslazioni. La commutativita delle traslazioni garantisce poi che la somma divettori definita in (1.1) non dipende dall’ordine con cui si fanno agire i vettoriu e v sul punto P . Infine, la terza richiesta traduce il fatto che, in geometriaeuclidea, per due punti distinti P e Q nello spazio passa una sola retta. La (1.2)permette di definire

Q− P =: v

come il solo vettore che applica P in Q. Osserviamo che −v sara il solo vettoreche applica Q in P . Risulta allora naturale definire il modulo |v| di un vettorecome la distanza euclidea tra P e Q ≡ v(P ), cioe

|v| = |Q− P | se Q = v(P ).

Definizione 1.2 Presi due vettori a e b e sia Q = a(P ) e R = b(P ). Ilprodotto scalare tra questi vettori e definito come l’operazione

a · b : V × V 7→ R

tale chea · b := |a||b| cosϑ

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P Q ≡ a(P )

R ≡ b(P )

ϑ

a

b

Figura 1.2: Elementi per la definizione di prodotto scalare e vettoriale tra duevettori a e b.

dove ϑ ∈ [0, π] e l’angolo compreso tra Q− P e R− P (Fig. 1.2).

Poiche |b| cosϑ e la proiezione ortogonale di R− P nella direzione di a, mentre|a| cosϑ e la proiezione ortogonale di Q−P nella direzione di b, si puo concludereche il prodotto scalare cosı definito e una operazione lineare nei suoi argomentie che, inoltre, e simmetrico, vale a dire che

a · (b1 + b2) = a · b1 + a · b2 e a · b = b · a.

Se a e b non sono il vettore nullo, allora l’annullarsi del prodotto scalare tra a eb e sinonimo dell’ortogonalita tra i segmenti Q− P ed R− P e, per estensione,e sinonimo di ortogonalita tra i vettori a e b. Notiamo anche che ϑ = 0 quandoa = b ed in questo caso abbiamo

|a| =√a · a

che e una definizione alternativa del modulo di un vettore. I vettori a tali che|a| = 1 sono detti versori. Il prodotto scalare tra due versori e e n e

e · n = cosϑ.

La definizione appena data di prodotto scalare e ritagliata sulla natura tridimen-sionale dello spazio che ci circonda. Per poterla generalizzare a spazi vettorialidi dimensione superiore occorre enuclearne le proprieta essenziali ed assumerlecome definizione di prodotto scalare in generale.

Definizione 1.3 Assegnato uno spazio vettoriale V, non necessariamente didimensione 3, un prodotto scalare tra i vettori a e b di V e un’operazione,indicata ancora con a · b, che gode delle proprieta di essere lineare in ciascunodei suoi argomenti e simmetrica. Il prodotto scalare e detto non degenere se, daa · b = 0 ∀b ∈ V segue che a ≡ 0.

Il prodotto scalare che utilizzeremo e quello standard, che si identifica nel ca-so tridimensionale con quello definito in modo intuitivo in precedenza. Sia


{e1, e2, e3} una base ortonormale di V , cioe una base che soddisfi i requisiti

ei · ej ={

1 se i = j

0 se i 6= j(1.3)

Osservazione. L’ortonormalita di una base {ei} si puo esprimere in formacompatta come

ei · ej = δij ,

con δij simbolo di Kronecker che assume il valore 1 quando gli indici i e j

coincidono, 0 in caso contrario.Il prodotto scalare (standard) dei due vettori a e b e, quando la dimensione

di V e 3,

a · b := a1b1 + a2b2 + a3b3 =3∑

i=1

aibi, (1.4)

dovea = a1e1 + a2e2 + a3e3 b = b1e1 + b2e2 + b3e3. (1.5)

Utilizzare una base ortonormale come {ei} ha il vantaggio di poter determinarefacilmente i coefficienti degli sviluppi dei vettori a e b perche si verifica che

ai = a · ei bj = b · ej .

Nel seguito adoperermo sempre questo prodotto scalare, salvo avviso contrario.Una seconda operazione tra vettori e il loro prodotto vettoriale

Definizione 1.4 Il prodotto vettoriale tra i vettori a e b dello spazio delle tra-slazioni V e un’operazione, indicata con a ∧ b, che associa alla coppia ordinatadi vettori (a, b) il vettore a ∧ b tale che

1. |a ∧ b| = |a||b| sinϑ, dove ϑ ∈ [0, π] e l’angolo tra Q − P = a(P ) − P eR− P = b(P )− P , orientato positivamente nel verso che fa passare da a

a b (figura 1.2);

2. ha direzione ortogonale al piano individuato dai punti P , a(P ) e b(P );

3. verso definito in base alla regola della mano destra.

Come conseguenza dalla definizione si ha che

b ∧ a = −a ∧ b

e che due vettori a e b diversi entrambi dal vettore 0 hanno prodotto vettoriale0 se e solo se essi sono paralleli, cioe se

b = λa con λ ∈ R.

Il prodotto vettoriale consente di distinguere tra basi ortonormali positivamenteoridentate o meno.

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Definizione 1.5 Una base ortonormale {e1, e2, e3} e detta positivamente orien-tata se

e1 ∧ e2 = e3. (1.6)

La definizione seguente introduce un’operazione che combina quella di pro-dotto scalare con quella di prodotto vettoriale.

Definizione 1.6 Il prodotto misto di tre vettori a, b e c e lo scalare

a ∧ b · c.

E possibile mostrare che, se nessuno dei vettori a, b e c coincide col vettorenullo, allora a ∧ b · c = 0 se e solo se i vettori a, b e c sono coplanari, cioe see solo se P , a(P ), b(P ) e c(P ) individuano un unico piano.

Il prodotto misto e invariante rispetto a permutazioni circolari dei fattori che locompongono, vale a dire che

a ∧ b · c = b ∧ c · a = c ∧ a · b.

Al contrario, e b ∧ a · c = −a ∧ b · c e

b ∧ a · c = a ∧ c · b = c ∧ b · a.

Questa invarianza permette di concludere che, se vale (1.6), allora valgono anchele relazioni

e2 ∧ e3 = e1 e e3 ∧ e1 = e2.

E poi possibile iterare l’operazione di prodotto vettoriale, formando il doppioprodotto vettoriale di tre vettori a, b e c. Ora pero le operazioni (a ∧ b) ∧ c ea∧(b∧c) danno in generale luogo a risultati diversi. Infatti e possibile mostrareche

a ∧ (b ∧ c) = (a · c) b− (a · b) c (1.7)

mentre(a ∧ b) ∧ c = (a · c)b− (b · c)a (1.8)

che coincide con il risultato precedente solo se a e c sono paralleli.Siano dati due vettori a e b, vogliamo trovare se esistono dei vettori x che

risolvono l’equazionex ∧ a = b (1.9)

ovvero vogliamo caratterizzare gli inversi di a per l’operazione di prodottovettoriale. Premettiamo la considerazione di alcuni casi degeneri.

• a = b = 0: la (1.9) e una identita.

• a = 0, b 6= 0: non esistono soluzioni di (1.9).

• a 6= 0, b = 0: la (1.9) e soddisfatta da tutti i vettori x paralleli ad a, cioex = λa, con λ ∈ R.


In generale, vale il seguente teorema.

Teorema 1.1 Se a e b sono vettori entrambi non nulli di V, l’equazione (1.9)ha soluzione se e solo se a · b = 0.

Dim. Se (1.9) ammette soluzioni allora b risulta ortogonale sia ad x che ad a,per definizione di prodotto vettoriale. Viceversa, se a · b = 0 abbiamo

(a ∧ b) ∧ a = |a|2 b− (a · b)a = |a|2 b

da cui si ricava

b =1

|a|2(a ∧ b) ∧ a.

Sostituendo questa espressione nella (1.9) otteniamo

[x− 1

|a|2(a ∧ b)] ∧ a = 0

per cui

x =1

|a|2(a ∧ b) + λa (1.10)

dove λ e un arbitrario numero reale.Osservazione. L’equazione (1.9) o non ha soluzioni o ne ha infinite.

1.1 Tensori di rango 2

I tensori (di rango 2) sono applicazioni lineari dallo spazio delle traslazioni V inse. Cio significa che, se L e un tensore, u e v ∈ V e λ uno scalare

{

L (u+ v) = Lu+ Lv

L (λv) = λLv(1.11)

Come primi esempi di tensori prendiamo il tensore identita I ed il tensore nullo0 le cui azioni su un vettore v ∈ V sono cosı definite:

Iv = v

0v = 0 .

Il tensore identico lascia inalterato ogni vettore; al contrario, il tensore nulloannulla ogni vettore su cui agisce.

Ex.1 Verificare che il tensore identita e quello nullo sono effettivamente deitensori, cioe soddisfano le condizioni (1.11).

Vale il seguente teorema di trasposizione:

Teorema 1.2 Dato un tensore A esiste un unico tensore AT trasposto di A,che gode della proprieta seguente

Au · v = u ·ATv ,

per ogni scelta dei vettori u e v ∈ V.

1.1. TENSORI DI RANGO 2 9

Particolare rilievo hanno i tensori simmetrici e quelli antisimmetrici.

Definizione 1.7 Un tensore S si dice simmetrico quando S = ST.

Definizione 1.8 Un tensore W si dice antisimmetrico se W = −WT.

In generale un tensore L non e ne simmetrico ne antisimmetrico ma e pos-sibile associare ad esso in modo univoco una parte simmetrica ed una parteantisimmetrica.

Teorema 1.3 Ogni tensore L si puo scrivere in un unico modo come sommadi un tensore S simmetrico e di un tensore W antisimmetrico:

L = S+W , (1.12)

dove

S = 12

(

L+ LT)

W = 12

(

L− LT)

.(1.13)

Dim. Osserviamo anzitutto che

L =1

2

(

L+ LT)

+1

2

(

L− LT)

;

inoltre1

2

(

L+ LT)T

=1

2

(

L+ LT)

e1

2

(

L− LT)T

= −1

2

(

L− LT)

:

abbiamo mostrato che L e somma di un tensore simmetrico e di un tensoreantisimmetrico. Resta da mostrare l’unicita di tale scomposizione e per far ciosupponiamo di poter scrivere

L = S+W (1.14)

per un’altra coppia di tensori S e W, con S simmetrico e W antisimmetrico.Confrontando (1.12) e (1.14) otteniamo

S+W = S+W

ovveroS− S = W −W =: A . (1.15)

Poiche la differenza di due tensori simmetrici e un tensore simmetrico e la diffe-renza di due tensori antisimmetrici e un tensore antisimmetrico, la (1.15) affermache A deve essere simultaneamente simmetrico ed antisimmetrico, per cui

A = AT e A = −AT


da cui si ricava 2A = 0, cioe A = 0. Dalla (1.15) seguono le uguaglianze S = S

e W = W che garantiscono l’unicita.

Ex.2 Mostrare che la differenza o la somma di tensori simmetrici (antisimme-trici) e un tensore simmetrico (antisimmetrico).

Assegnata una base ortonormale {e1, e2, e3} ed un tensore A, possiamointrodurre la matrice associata ad A nella base {e1, e2, e3} come la matrice [A]i cui elementi sono dati da

[A]ij := ei ·Aej . (1.16)

Ovviamente, ad ogni tensore corrispondono infinite matrici, una per ogni sceltadella base {e1, e2, e3}. Grazie al teorema 1.2 ed alla commutativita del pro-dotto scalare possiamo verificare che la matrice [S] associata ad un tensore S

simmetrico e una matrice simmetrica. Infatti abbiamo

[S]ij = ei · Sej = STei · ej = Sei · ej = ej · Sei = [S]ji

grazie anche alla definizione (1.16).Il teorema principale per i tensori simmetrici e il seguente teorema spettrale.

Teorema 1.4 Sia dato un tensore S simmetrico. Esiste una base ortonormale{n1,n2,n3} di V formata da autovettori di S.

Sappiamo gia che la matrice associata ad un tensore simmetrico e simmetrica.Nella base {n1,n2,n3} la cui esistenza e garantita dal teorema spettrale, poichedeve essere

Sni = λini ∀i = 1, 2, 3

dove λi ∈ R e l’autovalore associato all’autovalore ni, avremo anche

[S]∗ij = ni · Snj = ni · λjnj = λjni · nj = λjδij = λi

per cui la matrice associata al tensore simmetrico S nella base {n1,n2,n3} hadiversi da 0 solo gli elementi sulla diagonale principale che coincidono con gliautovalori del tensore stesso.

Passando ai tensori antisimmetrici W , la matrice rappresentativa su unabase ortonormale {e1, e2, e3} soddisfa

[W ]ij = ei ·Wej = WTei · ej = −Wei · ej = ej ·Wei = −[W ]ji :

Quando i = j, allora Wii = −Wii = 0 mentre, se i 6= j, i due elementi Wij eWji differiscono per un segno e la matrice e detta antisimmetrica.

1.2 Tensori antisimmetrici e vettori

Come gia detto piu volte ,i vettori che studiamo in questo corso appartengonoad uno spazio vettoriale V di dimensione 3. In questo caso, e possibile stabilire

1.3. PRODOTTO DIADICO 11

una corrispondenza biunivoca tra vettori e tensori antisimmetrici che illustriamoricorrendo al formalismo matriciale. Fissiamo una base {e1, e2, e3} ortonormale,positivamente orientata di V . In questa base, la matrice associata al tensoreantisimmetrico W e

W =

0 −γ β

γ 0 −α

−β α 0

, (1.17)

per un’opportuna scelta dei numeri reali α, β e γ.

Definizione 1.9 Il vettore assiale w associato al tensore antisimmetrico W eil vettore che, nella base {e1, e2, e3}, ha lo sviluppo

w = αe1 + βe2 + γe3 . (1.18)

L’importanza del vettore assiale risiede nella seguente proprieta

Teorema 1.5 Sia W un tensore antisimmetrico e w il corrispondente vettoreassiale; allora

Wv = w ∧ v ∀v ∈ V . (1.19)

La dimostrazione del teorema e in realta una semplice verifica se, introdotta labase {e1, e2, e3}, si rappresenta W tramite la matrice (1.17). Sviluppando v

sulla base sceltav = v1e1 + v2e2 + v3e3 , (1.20)

si verifica direttamente la (1.19). Per indicare che w e il vettore assiale associatoa W useremo la notazione W (w), cosicche la (1.19) si riscrive come

W (w)v = w ∧ v .

Per le proprieta del prodotto vettoriale si vede che

W (w)w = w ∧w = 0 :

il vettore assiale associato aW appartiene al nucleo diW ed e possibile mostrareche, se W 6= 0 il nucleo di W e uno spazio vettoriale di dimensione 1. Infine,osserviamo che da(1.19) segue che v e Wv sono mutuamente ortogonali.

Osservazione. Oltre ad essere biunivoca, la corrispondenza tra vettori e tensoriantisimmetrici e lineare. Pertanto, se i tensori antisimmetrici W 1 e W 2 hannow1 e w2 come corrispondenti vettori assiali, il tensore antisimmetrico αW 1 +βW 2 ha αw1 + βw2 come vettore assiale, ∀α, β ∈ R.

1.3 Prodotto diadico

Il prodotto diadico di due vettori a e b ∈ V e un tensore –indicato con a ⊗ b–la cui azione su un vettore v ∈ V e data da

(a⊗ b)v := (b · v) a . (1.21)


Certamente si tratta di un’applicazione che manda V in se. Per verificare che eun tensore, mostriamo la validita delle (1.11). Presi u e v ∈ V abbiamo

(a⊗ b) (u+ v) = (b · (u+ v)) a .

Grazie alla linearita del prodotto scalare

(b · (u+ v)) a = (b · u)a+ (b · v) a

e per la definizione di prodotto diadico

(b · u)a+ (b · v) a = (a⊗ b)u+ (a⊗ b)v .

In definitiva,(a⊗ b) (u+ v) = (a⊗ b)u+ (a⊗ b)v

che soddisfa la (1.11)1.

Ex.3 Verificare la (1.11)2, vale a dire che (a⊗ b) (λv) = λ (a⊗ b) (v), conλ ∈ R.

Fissiamo in V una base ortonormale {ei} –i = 1, 2, 3– e calcoliamo la matricedel prodotto diadico (a⊗ b) su questa base. Per definizione, le sue componentisono date dalla relazione

[a⊗ b]ij = ei · (a⊗ b) ej (1.22)

Dalla definizione di diade segue che

ei · (a⊗ b) ej = ei · (b · ej)a = (ei · a) (b · ej) = aibj

dove ai e bj sono rispettivamente l’i-esimo coefficiente di a ed il j-esimo coeffi-ciente di b nello sviluppo (1.5); pertanto

[a⊗ b]ij = aibj . (1.23)

Per ottenere l’espressione della traccia della diade (a⊗ b) e sufficiente valuta-re la traccia della sua matrice rappresentativa su una base ortonormale {ei}qualsiasi. Infatti, anche se nel passaggio da una base ortonormale ad un’altrai coefficienti della matrice rappresentativa cambiano, la traccia non dipende daquesto cambiamento. Si esprime questa proprieta dicendo che la traccia e uninvariante scalare. Dalla (1.23) segue allora

tr (a⊗ b) = tr [a⊗ b] = a1b1 + a2b2 + a3b3 = a · b , (1.24)

dove l’ultimo passaggio segue dalle definizioni di prodotto scalare, di base orto-normale e da (1.5).

Un altro importante invariante scalare e il determinante di un tensore che siannulla se e soltanto se il tensore non e invertibile. Per una diade abbiamo

det (a⊗ b) = 0 . (1.25)

1.3. PRODOTTO DIADICO 13

Per mostrare la (1.25) e sufficiente verificare che esiste almento un vettore v 6= 0

tale che (a⊗ b)v = 0 perche cosı a ⊗ b non puo essere iniettivo e, a fortiori,neppure invertibile. Grazie alla definizione di diade (1.21), e sufficiente trovaresoluzioni non nulle dell’equazione

(b · v)a = 0 .

Questa equazione e soddisfatta da tutti i vettori v nel complemento ortogonaledi b, per i quali b · v = 0: la (1.25) e dunque dimostrata.

In generale, un prodotto diadico non e simmetrico. Dimostriamo la seguenteformula che caratterizza il trasposto di (a⊗ b).

(a⊗ b)T = (b⊗ a) . (1.26)

Presi due vettori qualsiasi u e v ∈ V , se applichiamo il teorema di trasposizioneed usiamo la (1.21) otteniamo

u · (a⊗ b)Tv = (a⊗ b)u · v = (b · u) (a · v) .

Poiche(b · u) (a · v) = ((a · v)b · u) ,

applicando ancora la (1.21) segue

u · (a⊗ b)Tv = (a⊗ b)

Tv · u = (b⊗ a)v · u . (1.27)

Poiche la (1.27) vale ∀u ∈ V ed il prodotto scalare ordinario e non degenere,possiamo concludere che

(a⊗ b)Tv = (b⊗ a)v , (1.28)

∀v ∈ V , da cui segue la (1.26).

L’insieme L(V) dei tensori di rango 2 puo essere dotato di una struttura dispazio vettoriale, definendo la somma di due tensori A e B come

(A+B)v := Av +Bv ∀v ∈ V

e la moltiplicazione di un tensore A per uno scalare λ ∈ R come

(λA)v := λ(Av) ∀v ∈ V .

Questo fatto non sorprende se si pensa che le matrici quadrate n×n formano unospazio vettoriale di dimensione n2 e che ogni tensore corrisponde ad una matricesoltanto, una volta che si sia fissata una base ortonormale su cui svilupparlo.In effetti e possibile mostrare che, se {e1, e2, e3} e una base ortonormale di V ,i nove tensori

{ei ⊗ ej} ∀i, j = 1, ..., 3


costituiscono una base di L(V). Per convincersi di cio e sufficiente osservare chela matrice associata ad ei ⊗ ej ha tutti gli elementi nulli fuorche quello postoall’incrocio della i-esima riga con la j-esima colonna, che vale 1. Ricordando chele matrici di questo tipo formano nel loro complesso (facendo cioe assumere adi e j i valori 1,2,3) una base dello spazio vettoriale delle matrici 3× 3, possiamoconcludere che l’asserto e valido.

Poiche l’immagine di un vettore sotto l’azione di un tensore e ancora unvettore, ha senso moltiplicare tra loro due tensori utilizzando la seguente defi-nizione

Definizione 1.10 Dati due tensori A e B, il loro prodotto AB e il tensoretale che

(AB)v := A(Bv) ∀v ∈ V . (1.29)

Osserviamo che, in generale, AB 6= BA.

Esempio 1 Siano S un tensore, a e b due vettori. Allora S (a⊗ b) = Sa⊗ b.

Per mostrare un’identita tra due tensori basta far vedere che le loro azioni suun qualunque vettore v coincidono. Ora,

S (a⊗ b)v = S((b · v)a) = (b · v)Sa = (Sa⊗ b)v

dove l’ultimo passaggio segue dalla (1.21).

Ex.4 Dimostrare che (a⊗ b)S = a⊗ STb.

Esempio 2 Dimostrare che il tensore identico I ammette la seguente rappre-sentazione:

I =

3∑

i=1

ei ⊗ ei , (1.30)

qualunque sia la base ortonormale {ei} scelta.

Dato un vettore v, Iv = v. D’altra parte e(

3∑

i=1

ei ⊗ ei

)

v =3∑

i=1

(v · ei) ei = v

poiche la base e ortonormale.

Esempio 3 Dimostrare che, assegnata una base ortonormale {ei}, per ognitensore L vale la seguente formula di rappresentazione

L =

3∑

i=1

(Lei)⊗ ei (1.31)

E sufficiente combinare i risultati degli esempi 1 e 2. Infatti, dall’esempio 1deduciamo che (Lei)⊗ ei = L (ei ⊗ ei), i = 1, 2, 3 per cui il secondo membro di(1.31) diventa

3∑

i=1

(Lei)⊗ ei =

3∑

i=1

L (ei ⊗ ei) .

1.4. PROIETTORI ORTOGONALI 15

Poiche il prodotto tra tensori gode della proprieta distributiva A(B+C) =AB+AC, possiamo riscrivere l’equazione precedente nella forma

3∑

i=1

(Lei)⊗ ei = L

(

3∑

i=1

ei ⊗ ei

)

= LI = L ,

dove nel secondo passaggio e stata usata la (1.30).

1.4 Proiettori ortogonali

I proiettori ortogonali formano di una classe importante di tensori dal precisosignificato geometrico. In matematica, il nome di proiettore e attribuito ad unaclasse di tensori P che godono delle due seguenti proprieta:

i) sono simmetrici, P = PT

ii) sono idempotenti, P2 = P .

Siamo interessati a due tipi di proiettori, quelli lungo una direzione assegnatae quelli su un piano assegnato. Sia n un versore e sia v un qualsiasi vettore. Ilversore n individua una direzione (cfr. Figura 1.3): il proiettore nella direzionedi n e l’applicazione che associa a v la sua componente lungo n.

v

n

Pnv

Figura 1.3:

Il risultato dell’applicazione deve essere un vettore diretto lungo n, di modulopari alla lunghezza della proiezione ortogonale di v nella direzione di n. DettaPn l’applicazione cercata abbiamo

Pnv = (n · v)n = (n⊗ n)v (1.32)

e dunque Pn = n⊗n. Per dimostrare che si tratta di un proiettore osserviamoin primo luogo che Pn e simmetrico, grazie alla (1.26); quanto all’idempotenzaabbiamo

P2nv = (n⊗ n) (n⊗ n)v

= (n⊗ n) (n · v)n = (n · v)n = Pnv ,


dove abbiamo ripetutamente usato la (1.21) ed osservato che n · n = 1, dalmomento che n e un versore.

Un’altra famiglia di proiettori ortogonali interessanti sono quelli che proiet-tano un vettore v su un piano π. Il significato geometrico di questi tensori sichiarisce osservando la Figura 1.4, dove e3 rappresenta un versore ortogonale alpiano π.

e3

π

v

Pπv

Figura 1.4:

Proiettare un vettore v su un piano π significa associare a v un nuovo vettoreottenuto privando v della componente lungo la normale e3 a π. Detto Pπ iltensore che svolge questo ufficio si deve avere

Pπv = v − (e3 · v) e3 = (I− e3 ⊗ e3)v. (1.33)

Questa relazione e valida per ogni v ∈ V e ci permette di concludere che Pπ =I− e3 ⊗ e3. La definizione di Pπ non dipende dall’orientazione della normale aπ , in quanto (−e3)⊗ (−e3) = e3 ⊗ e3.

Ex.5 Mostrare che le proprieta i) e ii) che caratterizzano i proiettori ortogonalivalgono nel caso di Pπ.

Esempio 4 Consideriamo nello spazio V una base ortonormale {ei} , i = 1, 2, 3,ed un versore n = αe1 + βe2 (α2 + β2 = 1). Determinare i vettori u ∈ V le cuiproiezioni ortogonali lungo n e sul piano {e1, e2} coincidono.

Sviluppiamo il vettore u sulla base {ei}: u = u1e1 + u2e2 + u3e3. Il proiettoresul piano {e1, e2} e dato da P = I− e3 ⊗ e3, e abbiamo

Pu = u1e1 + u2e2. (1.34)

La proiezione di u lungo n e invece

(n⊗ n)u = (u · n)n . (1.35)

Uguagliando (1.34) con (1.35) e servendosi dell’espressione di n ricaviamo

u1e1 + u2e2 = α (u · n) e1 + β (u · n) e2 .

1.4. PROIETTORI ORTOGONALI 17

Poiche e1 ed e2 sono linearmente indipendenti tale relazione equivale al sistema{

α (u · n) = u1

β (u · n) = u2(1.36)

che non impone restrizioni sul coefficiente u3. Questo fatto ha un chiaro signi-ficato geometrico evidenziato dalla Figura 1.4: se un vettore u e soluzione delproblema, modificandone la componente lungo e3 si ottengono altre soluzionidel medesimo problema. La (1.36) invece precisa come deve essere orientato u

rispetto ad n: u deve appartenere al piano contenente n ed e3.

Esempio 5 Verificare che (AB)T = BTAT, per ogni coppia di tensori A e B.

Applicando la definizione di tensore trasposto, abbiamo

u · (AB)Tv = (AB)u · v = A (Bu) · v = Bu ·ATv = u ·BTATv

e, per l’arbitrarieta di u e v, segue la tesi.

Esempio 6 Siano assegnati due tensori A e B e sia fissata in V una baseortonormale {ei} in modo che le matrici associate ai due tensori nella basesiano [A] e [B] rispettivamente. Mostrare che la matrice associata al tensore

AB e il prodotto righe per colonne di [A] e [B], cioe [AB]ij =∑3

k=1 [A]ik [B]kj .

Dalla definizione di matrice associata ad un tensore segue

[AB]ij = ei ·ABej = ei ·A (Bej) . (1.37)

Possiamo sviluppare il vettore Bej sulla base {ei} usando la (1.29):

Bej = (Bej · e1) e1 + (Bej · e2) e2 + (Bej · e3) e3 =

=

3∑

k=1

(Bej · ek) ek (1.38)

Inseriamo allora la (1.38) nella (1.37) e sfruttiamo la linearita dei tensori pertrasformare la (1.37) in

[AB]ij =

3∑

k=1

(Bej · ek) (ei ·Aek) =

3∑

k=1

[A]ik [B]kj

grazie alla definizione di matrice associata ad un tensore.

Gli esempi precedenti dimostrano che proprieta ben note nell’ordinario calcolomatriciale valgono anche se riferite ai tensori di cui le matrici sono soltantoutili rappresentazioni, una volta che sia stata fissata una base ortonormale nellospazio delle traslazioni V .Chiudiamo questo paragrafo segnalando la definizione di tensore aggiunto ad untensore invertibile L.


Definizione 1.11 Dato un tesnore invertibile L il suo tensore aggiunto L∗ e iltensore tale che

L∗ := (detL)(

L−1)T

(1.39)

Vogliamo mostrare una proprieta di L∗ che discende dalla seguente identita

Lu ∧ Lv · Lw = (detL)u ∧ v ·w (1.40)

valida per tutti i tensori L e tutti i vettori u,v e w. Questa relazione haun significato geometrico, in quanto il prodotto misto u ∧ v · w di tre vettorirappresenta, a meno del segno, il volume del triedro avente per spigoli u,ve w. La (1.40) afferma che il rapporto tra il volume del triedro avente perspigoli Lu,Lv e Lw e quello del triedro di partenza e pari a detL. In questomodo il determinante assume il significato di coefficiente di dilatazione volumicaassociato alla trasformazione L ed il suo annullarsi significa che il tensore L,agendo su tre qualsiasi vettori, riduce il triedro da loro determinato ad unafigura piana, di volume nullo.

Teorema 1.6 Dato un tensore L invertibile e due vettori u,v arbitrari, vale larelazione

(Lu ∧ Lv) = L∗ (u ∧ v) . (1.41)

Dim. Dal teorema di trasposizione 1.2 abbiamo

(Lu ∧ Lv) · Lw = LT (Lu ∧ Lv) ·w

mentre dalla (1.40) segue

(detL)−1

LT (Lu ∧ Lv) ·w = u ∧ v ·w

∀w ∈ V per cui(detL)

−1LT (Lu ∧ Lv) = u ∧ v . (1.42)

Se L e invertibile anche il suo trasposto lo e dal momento che le operazioni ditrasposizione e inversione si possono scambiare tra di loro. Dalla (1.42) segue

(Lu ∧ Lv) = (detL)(

L−1)T

(u ∧ v)

che e la tesi.

Osservazione. La (1.41) puo essere usata come definizione di aggiunto di untensore arbitrario L anche quando L non e invertibile e dunque non vale larappresentazione (1.39).

Ex.5 Ricordando l’identita vettoriale

a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b− (a · b) c

mostrare chea ∧ (b ∧ c) = (b⊗ c)a− (c⊗ b)a .

1.5. PRODOTTO SCALARE TRA TENSORI 19

1.5 Prodotto scalare tra tensori

Poiche l’insieme L(V) di tutti i tensori su V forma uno spazio vettoriale apparenaturale cercare di definire in questo spazio un prodotto scalare. La definizioneadottata e

A ·B := trATB , ∀A ,B ∈ L(V) . (1.43)

Occorre verificare che questa definizione soddisfi gli assiomi proprı di un prodot-to scalare. Riguardo alla linearita bisogna mostrare che, presi A, B e C ∈ L(V),abbiamo

A · (B+C) = A ·B+A ·C .

Infatti, applicando la (1.43) abbiamo

A · (B+C) = trAT(B+C) = trATB+ trATC = A ·B+A ·C

La definizione (1.43) e piu naturale di quanto sembri in quanto, se passiamo daitensori alle matrici associate abbiamo che

A ·B =3∑

i=1

3∑

j=1

AijBij (1.44)

che coincide con il prodotto scalare standard in R9 dei vettori

(A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33)T

e(B11, B12, B13, B21, B22, B23, B31, B32, B33)

T.

Come per i vettori, e possibile definire il modulo di un tensore |A| come

A =√A ·A.

Esempio Verificare che I · S = trS, per ogni tensore S.

Dalla (1.43) segue I · S = trITS = trS.

Esempio Siano dati quattro vettori a,b,u,v ∈ V . Mostrare che

(a⊗ b) · (u⊗ v) = (a · u) (b · v) (1.45)

Ricordando la (1.23) e la (1.44), possiamo scrivere

(a⊗ b) · (u⊗ v) = aibjuivj = (aiui) (bjvj) = (a · u) (b · v)

Esempio Dati due vettori u,v ∈ V ed un tensore S abbiamo

u · Sv = S · u⊗ v (1.46)

Dalla definizione di prodotto scalare tra vettori abbiamo

u · Sv = ui [S]ij vj


ed usando la (1.23), otteniamo

ui [S]ij vj = [S]ij [u⊗ v]ij

che, per la (1.44), dimostra la (1.46).

Ex. 7 Siano dati due versori e ed f tra loro ortogonali e siano Pe e Pf iproiettori ortogonali lungo le direzioni individuate da e ed f . Mostrare che

Pe ·Pf = 0 .

1.6 Tensori ortogonali

Definizione 1.12 Un tensore Q e detto ortogonale se

Qu ·Qv = u · v (1.47)

per ogni coppia di vettori u e v.

In altre parole, i tensori ortogonali conservano il prodotto scalare tra vettori.Dalla definizione e dal teorema di trasposizione (1.2) segue che

u · v = u ·QTQv ∀u,v ∈ V

e, siccome il prodotto scalare e non degenere, deve essere

QTQv = v ∀v ∈ V

cioeQTQ = I. (1.48)

Poiche vale anche QQT = I concludiamo che per i tensori ortogonali l’inversodi un tensore ortogonale esiste e coincide con il suo trasposto

Q−1 = QT. (1.49)

Essendo invertibile, un tensore ortogonale ha determinante non nullo. Di piu,dalla (1.48) e dalle proprieta elementari dei determinanti segue che

det(QTQ) = (detQ)2 = 1

cioe che i tensori ortogonali hanno detQ = ±1. In particolare, i tensori or-togonali con determinante pari a +1 sono detti tensori ortogonali speciali ecoincidono con le rotazioni. Per i tensori ortogonali speciali vale il seguenteteorema, dovuto ad Eulero.

Teorema 1.7 Dato un tensore Q ortogonale speciale, esiste un versore n, dettoasse di rotazione, tale che

Qn = n.

1.6. TENSORI ORTOGONALI 21

Per i tensori ortogonali speciali vale una formula di rappresentazione che oradimostriamo.

Teorema 1.8 Sia Q un tensore ortogonale speciale cui corrisponde l’asse dirotazione e e sia W (e) il tensore antisimmetrico associato ad e. Esiste unparametro ϑ ∈ [0, 2π[ tale che

Q = I+ sinϑW(e) + (1 − cosϑ)W2(e) (1.50)

Dim. Diamo una dimostrazione geometrica della (1.50), avvalendoci della Fi-gura 1.5.

e

p∗p

Qvvp∗

p

ϑ e ∧ vv′

W2(e)v

Figura 1.5: Dimostrazione della formula di rappresentazione per le rotazioniattorno ad un asse.

Il vettore W(e)v = e ∧ v e ortogonale sia a v che ad e ed e orientato come inFigura. Quanto a W2(e)v, abbiamo (cfr. figura 1.5)

W2(e)v = e ∧ (e ∧ v) = (e · v) e− v = −Pev. (1.51)

I punti p e p∗ si trovano su una circonferenza di raggio | Pev |, centrata sull’assedi rotazione e Qv si ottiene aggiungendo a v il vettore v′ di modulo pari allacorda che unisce p con p∗. Dal teorema della corda si ricava

|v′| = 2∣

∣W2(e)v∣

∣ sinϑ

2, (1.52)

dove ϑ e l’angolo al centro sotteso dall’arco pp∗. Proprieta geometriche elemen-

tari permettono di sviluppare v′ sulla base ortonormale{

W2(e)v

|W2(e)v| ,e∧v

|e∧v|

}

,

v′ = |v′| sin ϑ

2

W2(e)v

|W2(e)v| + |v′| cos ϑ2

e ∧ v

|e ∧ v| . (1.53)

Dall’equazione (1.51) segue che le componenti di v e W2(e)v sul piano ortogo-nale ad e sono opposte per cui e∧v = −e∧W2(e)v e poiche e e W2(e)v sonoortogonali abbiamo

|e ∧ v| =∣

∣W2(e)v∣

∣ .


Servendosi delle identita trigonometriche

sinϑ = 2 sin ϑ2 cos ϑ

2

2 sin2 ϑ2 = 1− cosϑ ,

da (1.52) e (1.53) otteniamo

v′ = sinϑ (e ∧ v) + (1− cosϑ)W2(e)v= sinϑW(e)v + (1− cosϑ)W2(e)v

da cui segue la tesi, visto che Qv = v + v′.

La dimostrazione chiarisce che il parametro ϑ rappresenta l’angolo di rotazionenecessario per passare da v a Qv.

1.7 Esercizi

Esercizio 1.1 Sia e un versore e W(e) il corrispondente tensore antisimme-trico. Dimostrare che

W(e) (e⊗ e) = (e⊗ e)W(e) = 0. (1.54)

Prendiamo un arbitrario vettore v e applichiamo ad esso il tensoreW(e) (e⊗ e).Dalle definizioni di prodotto diadico e di tensore antisimmetrico associato ad unvettore segue

W(e) (e⊗ e)v = W(e)(e · v)e = (e · v)e ∧ e = 0 .

In modo analogo si puo vedere che (e⊗ e)W(e)v = 0. Poiche cio e vero ∀v ∈ V ,vale la (1.54).

Esercizio 1.2 Sia S un tensore simmetrico. Mostrare che

S ·W = 0

per ogni tensore antisimmetrico W. E vero che, se il prodotto scalare tra untensore simmetrico S ed un tensore A si annulla, A e antisimmetrico?

Sviluppiamo il prodotto scalare usando gli elementi delle matrici associate ad S

e W rispetto ad una base ortonormale con l’aiuto della convenzione di Einsteinsugli indici ripetuti:

S ·W = [S]ij [W]ij .

Ogni coppia di indici i = i0 e j = j0 fissata compare in due termini soltanto:[S]i0j0 [W]i0j0 e [S]j0i0 [W]j0i0 che sono sommati nel prodotto scalare. Poiche We antisimmetrico ed S simmetrico, abbiamo

[S]j0i0 [W]j0i0 = [S]i0j0 [W]j0i0 = −[S]i0j0 [W]i0j0

1.7. ESERCIZI 23

per cui[S]i0j0 [W]i0j0 + [S]j0i0 [W]j0i0 = 0.

Ripetendo lo stesso ragionamento su tutte le coppie di indici possibili, arriviamoalla tesi. Quanto alla seconda parte dell’esercizio, produciamo un controesempioin cui

S ·A = 0

per un tensore S simmetrico, senza che A sia antisimmetrico. Scelto S = I

sappiamo cheS ·A = I ·A = trA

ed esistono infiniti tensori a traccia nulla che non sono antisimmetrici.

Esercizio 1.3 Trovare entro quali limiti varia la traccia di un tensore Q or-togonale speciale. Come cambia il risultato se il tensore e ortogonale, ma nonspeciale?

Prendiamo Q ∈ SO(V). Dal teorema di Eulero 1.7 sappiamo che Q e unarotazione attorno all’asse individuato da un versore e. Dunque, se Q ∈ SO(V)vale la formula di rappresentazione (1.50) che consente di determinare

trQ = 1 + 2 cosϑ

dal momento che trW(e) = 0 e trW2(e) = −trPe = −2, in virtu della (1.51).Variando l’angolo di rotazione in [0, 2π) otteniamo che trQ ∈ [−1, 3]. Se Q ∈O(V) \ SO(V) allora −Q ∈ SO(V) e dunque

−1 ≤ tr(−Q) ≤ 3

per cui trQ ∈ [−3, 1].

Esercizio 1.4 Sia S un tensore simmetrico e W un tensore antisimmetrico.Dimostrare che SW +WS e un tensore antisimmetrico.

Grazie alla regola di trasposizione (AB)T = BTAT otteniamo

(SW)T = WTST = −WS e (WS)T= STWT = −SW ,

dove abbiamo adoperato le ipotesi S = ST e W = −WT. Pertanto, SW +WS

e un tensore antisimmetrico.

Esercizio 1.5 Dato un tensore antisimmetrico W ed un numero naturale N ,si consideri il tensore

L :=

N∑

k=1

(−1)k(W)(2k−1).

Dimostrare che L e un tensore antisimmetrico, per ogni valore di N .


Il tensore L e combinazione lineare di potenze dispari del tensore antisimmetri-co W. Il trasposto di W(2k−1) e (W(2k−1))T = (−1)(2k−1)W(2k−1) = −W edunque L e antisimmetrico.

Esercizio 1.6 Sia dato un tensore L definito positivo. Quale, tra le afferma-zioni seguenti, risulta corretta:

© La parte simmetrica di L e definita positiva.© La parte simmetrica di L ha almeno un autovalore negativo.© La parte antisimmetrica di L e definita positiva.© La parte antisimmetrica di L puo avere un autovalore positivo.

Poiche L e definito positivo deve essere

u · Lu > 0 ,

∀u ∈ V\{0}. Ogni tensore si puo univocamente scomporre nella somma di untensore simmetrico S ed uno antisimmetrico W cosicche

u · Lu = u · Su+ u ·Wu .

L’ultimo addendo e pero nullo, in quanto ogni tensore antisimmetrico applicaun vettore u in un vettore Wu ad esso ortogonale. Dunque

u · Lu = u · Su

e si puo concludere che la parte simmetrica di L e definita positiva.

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Indice - Dipartimento di Matematica - Università di Paviarosso/tensori.pdf · Richiamidi algebra La meccanica ... dei suoi argomenti e simmetrica. ... I tensori (di rango 2) sono