Incertidumbre (1)

1Metrologa..Medicin

Incertidumbre

Por: Rildon Valqui Cieza

Enfoque

Intuitivo (nos falta estadstica y tiempo)

Prctico(queremos trabajar en el laboratorio)

2

Indice

Medidas.

Unidades.

Clculo de incertidumbres.

Presentacin de resultados.

Media ponderada.

Regresin lineal.

Interpolacin.

Ejercicios

3

Medir

4

Comparar una cantidad con su respectiva

unidad, con el fin de averiguar cuantas

veces la segunda est contenida en la

primera.

Partes de una medida I

5

Si medimos el largo de una mesa ...

125,634

El resultado podra ser ?

125,634 cm

125,634 17,287 cm

125 17 cm

Partes de una medida II

6

Al medir una mesa podemos obtener

125 17 cm

valor

incertidumbre

Presen

tacinunidades

Error e incertidumbre I

7

Muchas veces se cometen errores al medir.

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

Xmedido

DX Xreal

DX

Error e incertidumbre II

8

Xmedido

DX Xreal

DX

Error = Xreal XmedidoXreal (Xmedido -DX, Xmedido +DX)

Nivel de Confianza

DX depende de lo seguros que queramos estar

Nivel de confianza = fraccin de las veces que quiero acertar. 99%, 95%...

9

Xmedido

DX Xreal

DX

Tipos de medidas

Medidas directas

Medidas indirectas

10

Las anoto de un instrumento

L1, L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

11

Sistemticos

Aleatorios

Derivados de los anteriores

Errores sistemticos

Errores sistemticos

Limitaciones de los aparatos o mtodos

12

Precisin

Calibracin

731072

Errores aleatorios I

Factores que perturban nuestra medida.

13

Suma de muchas causas

Tienden a ser simtricos.

Se compensan parcialmente.

Repetir las medidas.

Estadsticamedidas

Xreal

Errores aleatorios II

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.

Tienden a curvas tpicas

14

Xreal

x xx

xx xx

xxx

x x

Cmo estimar el resultado

Frente a errores sistemticos.

Frente a errores aleatorios.

15

Medir correctamente

Calibrar los aparatos

Se compensan repetir varias veces la medida

La media es el valor ms probable

n

i

i

n

XX

1

Incertidumbre

Se suele expresar como:

Se suele descomponer en:

16

1. Incertidumbre factores sistemticos: ES1,ES2...

Destaca la de precisin

2. Incertidumbre factores aleatorios: EA

1. Absoluta: DX

2. Relativa:X

XEr

D

X

XenEr

D100%

Incertidumbre de precisin Es En casos sencillos la estimaremos como:

A veces depende del experimentador

No es fcil definir su intervalo de confianza

17

La mitad (?) de la divisin menor de la escala

Ej: Balanza

No hay reglas sencillas para estimarla

Ej: Cronmetros

Incertidumbre aleatoria EA

Para n medidas

18

n

nntEA

11

--

s = Desviacin

tpica de las medidas

Desviacin tpica de la media

Factor de cobertura

t de Student

s: la dispersin de los datos

19

( ( ( (

12

2

13

454443

1

222

1

2

2

1

2 -

-+-+-

-

-

-

n

xx

s

n

i

i

n

4

Xreal

3 5

4X

Medir la separacin con respecto al valor real ?

No conocemos el valor real

Medir la separacin con respecto al valor medio ?

Cmo?

s: propiedades

Es la distancia del valor real a la que estar ms probablemente un nuevo dato

20

ctesn

Tiene las mismas unidades que el resultado

Dispersin de la media

SI hiceramos muchos grupos de n medidas...

La media es ms precisa que cualquier dato, los errores aleatorios se compensan

Pero despacio ....

Los errores de precisin no se compensan

21

n

ssX

t de Student

Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeo y

conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un factor

corrector.

Si a es el nivel de confianza a 0,95 p=0.05.

Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.

Quien fue Student ?

22

X Xs XsX D

nt)()1( 444 pttt - a

Coeficientes tn

23

n 1 2 3 4 5 10 20 40

tnP=0.1

6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,81 1,72 1,68 1,64

tnP=0.05

12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,23 2,08 2,02 1,96

tnP=0.01

63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,16 2,85 2,70 2,58

t de Student

Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeo y conlleva un nivel de confianza variable 4multiplicamos por un factor corrector.

Si a es el nivel de confianza a 0,95 p=0.05.

Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.

Quien fue Student ?

24

X Xs XsX D

nt

)()1( 444 pttt - a

Un poco de Historia:Student

Inglaterra - Irlanda

Control de calidad industrial

Extraemos un nmero pequeo de muestras de un lote grande.

Representan al producto ?

25

W. Gosset 1876-1937

Ejemplo

Me peso varios das seguidos en iguales condiciones

26

Da L M X J V

Masa

(kg)73 72 74 72 73

kgM 8,725

)7372747273(

++++

Ejemplo


27

Da L M X J V

Masa

(kg)73 72 74 72 73

kgM 8,72

( ( ( ( ( 15

8,72738,72728,72748,72728,727322222

1-

-+-+-+-+--n

kgn 837,01 -

78,241 - ttn

kgtE nA 0415

8370782

5

14 ,

,, -

Incertidumbre total

Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:

Propiedades

28

+++D 222

1

2 X 22SA EEX +D

ASASA

SASASA

EEEEE

EEEEEE

+

++

22

22

,

,

Resumen medidas directas

29

22

SAfinal EEX +D

ES Media divisin

mniman

nntEA

11

--

XX final

Ejemplo


30

Da L M X J V

Masa

(kg)73 72 74 72 73

kgM 8,72

kgEA 97,0

kgES 50,

kgM 091,15,097,0 22 +D

( kgM 091,1800,72 Presentacin incorrecta !

Medidas indirectas I

Dependen de otras mediantes expresiones matemticas

Ej: Area de un cuadrado = (Lado)2

A = L2

L = 5 1 cm A 25 cm2 , DA ?

Recordando derivadas...

31

LdL

dAA

L

A

LdL

dAD

D

D

D

D

0

lim

Medidas indirectas II

Significado DA, DL

Vlido si DL pequeo

Interpretacin geomtrica

32

LLALdL

dADD 22

DL

DL

L

L

Medidas indirectas III

Area de un rectngulo

A = L1 x L2 L1 conocido perfectamente

Y si L1, ,L2 inciertos ?

33

211

2

LLALdL

dADD

DL2

DL2

L1

L2

L1

Medidas indirectas IV

Errores independiente se compensan parcialmente

34

?1221 LLLLA D+DD

DL1 x DL2L1 x DL2

L2 x DL1

L2

L1

( ( 222

21 LLLLA D+DD

Medidas indirectas V

( ,, 21 XXfY

35

+

D

+

D

D

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

Derivadas parciales

1X

Y

36

Como vara Y si vara slo X1

( ,, 21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43 +

32zxy

V

M

hrV 2

Casos simples

21 XXY

37

( ( 222

1 XXY D+DD

XcY XcY DD

21 XXY 2

2

2

2

1

1

D+

DD

X

X

X

XYY

2

1

X

XY

nXY X

XnYY

DD

Ejemplo (casi) completo I

Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

38

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1

V

M

1

23

Ejemplo (casi) completo II


39gEEM AS 282022

.+D

gES 05.0ggEA 278052240

782 ..

.

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1gM 400.14

gM 282040014 ..

Ejemplo (casi) completo III


40

3

3

4rV rrr

r

VV D

D

D 2

2

4

33,12,4 cmV

r

r

V

VE VR

D

D 33.0,

Ejemplo (casi) completo IV


41

?0335,14377,33cm

g

V

M

22

D+

DD

V

V

M

M

Presentacin de resultados

Los resultados se presentan redondeados

43

1. NO tengo tanta precisin en D como pretendo

2. Si tengo una incertidumbre de unidades...Por qu doy diezmilsimas en ?

?0335,14377,33cm

g

3)0,14,3(cm

g

?0,14377,33cm

g

Cifras significativas

Cifras significativas Todas salvo los ceros a la izquierda

Sobreviven a un cambio de notacin

Ejemplos:

44

c.s. 3 0,670 c.s 2 0,67

c.s. 3 670 c.s. 2 67

s. c. 3 10 123 c.s. 3 0,123

c.s. 3 10 123 c.s. 3 123

3-

3

Reglas (arbitrarias) de Redondeo

45

La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.

El valor se expresa con tantos decimales como la

incertidumbre.

Valor e incertidumbre se expresan con las mismas

unidades y potencia de 10.

Comparacin de resultados

46

Resultados compatibles

Resultado ms preciso.

Review of particle porperties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11

Calculadora

47

Excel

Clculos para la curva caracterstica de una resistencia

I) Medida de I frente a V (Salamanques & Anitua)

Promax (40 mA)

V (V) DV (V) I(mA) DI(mA) R(kW) DR(kW) I_teor(mA) I_residuo(mA) 1/DR(kW) 2^ R(kW)/DR(kW) 2^

1.00 0.101 0.45 0.0145 2.22222 0.23558985 0.455 0.005 18.01718182 40.03818182

4.00 0.104 1.82 0.0282 2.19780 0.06652046 1.80964286 -0.010357143 225.9901621 496.6816749

7.00 0.107 3.17 0.0417 2.20820 0.04453215 3.16428571 -0.005714286 504.2578521 1113.503143

10.00 0.110 4.52 0.0552 2.21239 0.03636286 4.51892857 -0.001071429 756.2824602 1673.191284

13.00 0.113 5.86 0.0686 2.21843 0.03234635 5.87357143 0.013571429 955.7611244 2120.289184

16.00 0.116 7.22 0.0822 2.21607 0.02991129 7.22821429 0.008214286 1117.711575 2476.923157

19.00 0.119 8.58 0.0958 2.21445 0.02834979 8.58285714 0.002857143 1244.228592 2755.284761

22.00 0.122 9.95 0.1095 2.21106 0.0272474 9.9375 -0.0125 1346.944938 2978.169713

II) Regresin Lineal

Media x: 11.5

Varianza x: 47.25 D: 378

(sigma_x) 2^

Media y: 5.19625

Varianza y: 9.634123438 E: 77.0729875

(sigma_y) 2^

Covarianza: 21.335625

(sigma_xy)

t_n-2: 2.446911846

s_res: 0.009850066

m: 0.451547619 Dm: 0.001239686 c: 0.003452381 Dc: 0.01660901

R (kW): 2.214605853 DR (kW): 0.006080012 dR (%): 0.274541517 Intervalo_R (kW): 2.20852584 2.22068587

III) Media Ponderada


IV) Medida Directa

Promax (4 kW)


0

2

4

6

8

10

12

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

V (V)

I (m

A)

2.18 2.222.21 2.232.19 2.20R (kW

48

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