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IMN317Chapitre 3 - Analyse fréquentielle
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
23 septembre 2013
Analyse fréquentielle 1 / 194
Plan du chapitre
1 Transformée de Fourier à temps discret
2 Transformée en z
3 Classification des filtres
Analyse fréquentielle 2 / 194
Transformée de Fourier à temps discret
Plan de la section
1 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuDTFT : définition, propriétés et calculRéponse en fréquence d’un système
2 Transformée en z
3 Classification des filtres
Analyse fréquentielle 3 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Mise en contexte
Au chapitre précédent, on a vu que toute séquence peut êtrereprésentée comme une combinaison linéaire d’impulsions unitédécalée temporellement.
Une conséquence de cette propriété est d’avoir permis de définir unerelation entrée/sortie pour un système LTI dans le domainetemporel à l’aide de la convolution :
y [n] =∞∑
k=−∞x [k ]h[n − k ]
Analyse fréquentielle 4 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Mise en contexte
Dans ce chapitre, on va définir cette même relation entrée/sortie, maiscette fois-ci dans le domaine fréquentiel.
On verra qu’il est parfois utile de savoir exprimer les effets d’unsystème en terme de fréquences plutôt qu’en termed’échantillons.
Analyse fréquentielle 5 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Mise en contexte
Pour obtenir cette représentation fréquentielle, on étudiera latransformée de Fourier à temps discret, qui propose d’exprimer uneséquence discrète à l’aide d’un espace continu de fréquences.
Avant d’en arriver là, quelques rappels sur la transformée de Fouriercontinue est nécessaire.
Analyse fréquentielle 6 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Définition
Soit xa(t) un signal continu, sa représentation dans le domainefréquentiel est donnée par la transformée de Fourier à tempscontinu :
Xa(iΩ) = F [xa(t)] =
∫ ∞−∞
xa(t)e−iΩt dt
Analyse fréquentielle 7 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Définition
Le signal xa(t) peut être retrouvé à partir de sa transformée de Fouriergrâce à la transformée de Fourier inverse :
xa(t) = F−1 [Xa(iΩ)] =1
2π
∫ ∞−∞
Xa(iΩ)eiΩt dΩ
On notera alors cette paire
xa(t) F↔ Xa(iΩ)
Analyse fréquentielle 8 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Définition
En général, Xa(iΩ) sera une fonction complexe, avec −∞ < Ω <∞.Il est donc possible de l’exprimer sous forme polaire :
Xa(iΩ) = |Xa(iΩ)| eiθa(Ω)
avec θa(Ω) = arg (Xa(iΩ)).
Chacune de ces parties porte un nom :
|Xa(iΩ)| est le spectre d’amplitude de la TF ;
θa(Ω) est le spectre de phase de la TF.
Analyse fréquentielle 9 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Définition
La transformée de Fourier à temps continu d’un signal xa(t) existe sice signal respecte les conditions de Dirichlet :
Le signal possède un nombre fini de discontinuités et unnombre fini de maximums et minimums sur tout intervalle fini.
Le signal est absolument intégrable, c’est-à-dire que∫ ∞−∞|xa(t)| dt <∞
Analyse fréquentielle 10 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Énergie d’un signal
L’énergie Ex d’un signal continu xa(t) est donnée par
Ex =
∫ ∞−∞|xa(t)|2 dt
Il s’agit de la version continue de la définition de l’énergie vue auchapitre 2 :
Ex =∞∑
n=−∞|x [n]|2
Analyse fréquentielle 11 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Énergie d’un signal
On peut montrer qu’il est aussi possible d’exprimer l’énergie d’unsignal dans le domaine fréquentiel.
Analyse fréquentielle 12 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Énergie d’un signal
Si on a que
xa(t) F↔ Xa(iΩ)
alors
Ex =
∫ ∞−∞|xa(t)|2 dt =
12π
∫ ∞−∞|Xa(iΩ)|2 dΩ
Cette propriété est connue sous le nom d’identité de Parseval.
Analyse fréquentielle 13 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Énergie d’un signal
Il est important de noter qu’un signal continu absolument intégrablexa(t) possède toujours une énergie finie.
∫ ∞−∞|xa(t)| dt <∞⇒
∫ ∞−∞|xa(t)|2 dt <∞
Analyse fréquentielle 14 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Largeur de bande d’un signal
On définit maintenant un nouveau concept relatif aux fréquences quel’on retrouve dans un signal, la largeur de bande.
Un signal continu à énergie finie sera dit à bande complète si sonspectre de fréquences occupe l’étendu −∞ < Ω <∞, tandis qu’il seradit à bande limitée si seule une portion de cet étendu est couvert parles fréquences du signal.
Analyse fréquentielle 15 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Largeur de bande d’un signal
Un signal à bande limitée idéal aura un spectre qui sera nul endehors d’un certain intervalle de fréquences Ωa ≤ |Ω| ≤ Ωb,c’est-à-dire
Xa(iΩ) =
0 si 0 ≤ |Ω| < Ωa
Xa(iΩ) si Ωa ≤ |Ω| ≤ Ωb
0 si Ωb < |Ω| <∞
On verra plus tard qu’un tel signal ne peut être généré en pratique.Pour dire qu’un signal est à bande limitée, il suffit que son énergie soitinférieur à un certain seuil ε à l’extérieur de l’intervalle.
Analyse fréquentielle 16 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu
Largeur de bande d’un signal
On appelle la largeur de bande d’un signal l’intervalle de fréquencesoù se trouve la plus grande partie de son énergie.
Dans le cas précédent, la largeur de bande du signal xa(t) serait
Ωa ≤ |Ω| ≤ Ωb
On dispose maintenant des atouts nécessaires pour traverser dans lemerveilleux monde du discret...
Analyse fréquentielle 17 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Définition
La transformée de Fourier à temps discret (DTFT) d’un signal àtemps discret x [n] est la représentation de celui-ci en terme d’uneséquence d’expontielles complexes
eiωn, avec ω ∈ R qui est la
variable des fréquences.
Analyse fréquentielle 18 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Définition
La DTFT d’une séquence x [n] est définie par
X (eiω) = F [x [n]] =∞∑
n=−∞x [n]e−iωn
Notons la différence des symboles : F pour la transformée de Fourierà temps continu et F pour la DTFT.
Analyse fréquentielle 19 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Exemple 3.1
Analyse fréquentielle 20 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Définition
De manière équivalente à tout à l’heure, on définit la DTFT inverse par
x [n] = F−1[X (eiω)
]=
12π
∫ π
−πX (eiω)eiωn dω
On notera alors
x [n]F↔ X (eiω)
Analyse fréquentielle 21 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Définition
Une question se pose alors : si la DTFT d’un signal x [n] est unefonction continue pour ω, pourquoi l’intégrale de la DTFT inverse selimite-t-elle à l’intervalle [−π, π] ?
Analyse fréquentielle 22 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Périodicité de la DTFT
Contrairement à la transformée de Fourier continue, la DTFT d’unsignal discret est une fonction périodique de période 2π pour ω. Eneffet,
X (ei(ω+2kπ)) =∞∑
n=−∞x [n]e−i(ω+2kπ)n
=∞∑
n=−∞x [n]e−iωne−i2kπn
=∞∑
n=−∞x [n]e−iωn
= X (eiω)
Analyse fréquentielle 23 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Spectres d’amplitude et de phase
En général, la DTFT X (eiω) d’un signal est une fonction complexed’une variable réelle et peut être écrit sous la forme
X (eiω) = X<(eiω) + X=(eiω),
où X<(eiω) et X=(eiω) sont respectivement les parties réelle etimaginaire de la DTFT.
Analyse fréquentielle 24 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Spectres d’amplitude et de phase
On peut aussi exprimer la DTFT X (eiω) d’un signal sous la formepolaire :
X (eiω) =∣∣∣X (eiω)
∣∣∣ eiθ(ω) avec θ(ω) = arg (X (eiω))
Comme tout à l’heure, on a donné des noms à chacune des parties decette représentation :∣∣X (eiω)
∣∣ est le spectre d’amplitude
θ(ω) est le spectre de phase
Analyse fréquentielle 25 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Spectres d’amplitude et de phase
Notons finalement qu’un lien existe entre les deux représentationsde la DTFT.
En effet, on a que
tan (θ(ω)) =X=(eiω)
X<(eiω)
Analyse fréquentielle 26 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Spectres d’amplitude et de phase
Géométriquement, le spectre de phase est l’angle par rapport à l’axedes x lorsqu’on considère le nombre complexe X (eiω) dans le plan.
Le calcul avec l’équation
tan (θ(ω)) =X=(eiω)
X<(eiω)
s’explique alors très bien d’un point de vue géométrique.
Analyse fréquentielle 27 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Condition de convergence
Une série infinie de la forme
X (eiω) =∞∑
n=−∞x [n]e−iωn
peut ne pas converger. Or, on dira que la DTFT d’un signal existe sila sommation converge.
Analyse fréquentielle 28 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Condition de convergence
Une condition suffisante pour assurer la convergence de la série estque la séquence x [n] soit absolument sommable, c’est-à-dire que
∞∑n=−∞
|x [n]| <∞
En effet,
∣∣∣X (eiω)∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∞∑
n=−∞x [n]e−iωn
∣∣∣∣∣ ≤∞∑
n=−∞|x [n]|
∣∣∣e−iωn∣∣∣ ≤ ∞∑
n=−∞|x [n]| <∞
Analyse fréquentielle 29 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
DTFT usuelles
62 FOURIER ANALYSIS [CHAP. 2
Given X(eJw) , the sequence x (n ) may be recovered using the inverse DTFT,
The inverse DTFT may be viewed as adecomposition of x (n ) into alinear combination of all complex exponentials that have frequencies in the range -17 i w 5 IT. Table 2- 1 contains a list of some useful DTFT pairs.
Table 2-1 Some Common DTFT Pairs
Sequence Discrete-Time Fourier Transform
6(n)
S(n - no) 1
eJ" wO
anu(n), la1 < I
-anu(-n - I ) , la1 > 1
(n + I)anu(n), la1 < 1
EXAMPLE 2.5.2 Suppose X(eJ") consists of an impulse at frequency w = wo:
X(eJ") = 6(w - wO)
Using the inverse DTFT, we have
Note that although x(n) is not absolutely summable, by allowing the DTFT to contain impulses, we may consider the DTFT of sequences that contain complex exponentials. As another example, if
X(eJ") = r 6 ( w - 9) + r 8 ( w + 9)
computing the inverse DTFT, we find x ( n ) = i e j w + ie-l"wo = cos(nwo)
2.6 DTFT PROPERTIES There are a number of properties of the DTFT that may be used to simplify the evaluation of the DTFT and its inverse. Some of these properties are described below. A summary of the DTFT properties appears in Table 2-2.
Periodicity
The discrete-time Fourier transform is periodic in w with a period of 2n: ~ ( ~ j w ) = x (,jW+zx) 1
This property follows directly from the definition of the DTFT and the periodicity of the complex exponentials:
Analyse fréquentielle 30 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Propriétés
On s’intéresse maintenant à certaines propriétés importantes de laDTFT.
Pour présenter celles-ci, on considère qu’on a les paires detransformées suivantes :
g[n]F↔ G(eiω) et h[n]
F↔ H(eiω)
Analyse fréquentielle 31 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Propriétés
Linéarité : αg[n] + βh[n]F↔ αG(eiω) + βH(eiω), avec α, β ∈ R
Inversion temporelle : g[−n]F↔ G(e−iω)
Décalage temporel : g[n − n0]F↔ e−iωn0G(eiω), avec n0 ∈ Z
Analyse fréquentielle 32 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Exemple 3.2
Analyse fréquentielle 33 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Propriétés
Décalage fréquentiel : eiω0ng[n]F↔ G(ei(ω−ω0)), avec ω0 ∈ R.
Dérivation en fréquences : ng[n]F↔ i dG(eiω)
dω
Analyse fréquentielle 34 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Exemple 3.3
Analyse fréquentielle 35 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Propriétés
Convolution : g[n] ∗ h[n]F↔ G(eiω) · H(eiω)
Modulation : g[n] · h[n]F↔ G(eiω) ∗ H(eiω), avec
G(eiω) ∗ H(eiω) =1
2π
∫ π
−πG(eiθ) · H(ei(ω−θ)) dθ
Analyse fréquentielle 36 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Propriétés
Soit l’énergie Eg d’une séquence, telle que définie dans le chapitre 2.
Eg =∞∑
n=−∞|g[n]|2
Comme dans le cas de la transformée de Fourier continue, on al’identité de Parseval qui met en relation le calcul d’énergie dans ledomaine temporel et dans le domaine fréquentiel :
Eg =∞∑
n=−∞|g[n]|2 =
12π
∫ π
−π
∣∣∣G(eiω)∣∣∣2 dω
Analyse fréquentielle 37 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Largeur de bande d’un signal
Comme le spectre d’un signal à temps discret est une fonctionpériodique de période 2π pour ω, un signal à bande complèteoccupera en entier l’étendu des fréquences, soit −π ≤ ω ≤ π.
Un signal à bande limitée n’occupera quant à lui qu’une portion de cetétendu. Comme dans le cas des signaux continus, un signal à bandelimité idéal (c’est-à-dire nul en dehors d’un intervalle defréquences) ne peut être généré.
Analyse fréquentielle 38 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Calcul de la DTFT avec Matlab
Évaluer la DTFT d’une séquence dans Matlab est une tâche plutôtardue. On préférera évaluer celles-ci à la main.
C’est une fois la DTFT obtenue que Matlab peut s’avérer très utileavec des fonctions comme abs, angle, unwrap, real et imag.
Analyse fréquentielle 39 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Calcul de la DTFT avec Matlab
Considérons par exemple la DTFT suivante :
X (eiω) =0.008− 0.033e−iω + 0.05e−2iω − 0.033e−3iω + 0.008e−4iω
1 + 2.37e−iω + 2.7e−2iω + 1.6e−3iω + 0.41e−4iω
À l’aide de Matlab, on peut facilement obtenir ses représentationsgraphiques.
Analyse fréquentielle 40 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Calcul de la DTFT avec Matlab
0 0.5 11
0.5
0
0.5
1Real part
/
Ampl
itude
0 0.5 11
0.5
0
0.5
1Imaginary part
/
Ampl
itude
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1Magnitude Spectrum
/
Mag
nitu
de
0 0.5 14
2
0
2
4Phase Spectrum
/
Phas
e, ra
dian
s
Analyse fréquentielle 41 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Calcul de la DTFT avec Matlab
MATLAB>> k = 50;>> num = [0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008];>> den = [1 2.37 2.7 1.6 0.41];>> w = 0:pi/(k-1):pi;>> h = freqz(num, den, w);
Analyse fréquentielle 42 / 194
Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul
Calcul de la DTFT avec Matlab
MATLAB>> subplot(2,2,1)>> plot(w/pi,real(h));grid>> title(’Real part’)>> xlabel(’\omega/\pi’); ylabel(’Amplitude’)>> subplot(2,2,2)>> plot(w/pi,imag(h));grid>> title(’Imaginary part’)>> xlabel(’\omega/\pi’); ylabel(’Amplitude’)>> subplot(2,2,3)>> plot(w/pi,abs(h));grid>> title(’Magnitude Spectrum’)>> xlabel(’\omega/\pi’); ylabel(’Magnitude’)>> subplot(2,2,4)>> plot(w/pi,angle(h));grid>> title(’Phase Spectrum’)>> xlabel(’\omega/\pi’); ylabel(’Phase, radians’)
Analyse fréquentielle 43 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Définition
La réponse en fréquences d’un système LTI fournit une descriptioncomplète du système dans le domaine fréquentiel. La réponse enfréquence est la DTFT de la réponse impulsionnelle h[n].
H(eiω) =∞∑
n=−∞h[n]e−iωn
Analyse fréquentielle 44 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Définition
Comme tout DTFT qui se respecte, H(eiω) est une fonction complexeet peut être exprimée en terme de composantes réelle et imaginaire,de même qu’en fonction de son amplitude et de sa phase :
H(eiω) = H<(eiω) + H=(eiω) =∣∣∣H(eiω)
∣∣∣ eiθ(ω)
La quantité∣∣H(eiω)
∣∣ sera la réponse en amplitude du système, tandisque θ(ω) sera sa réponse en phase.
Analyse fréquentielle 45 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Définition
Rappelons que si la réponse en fréquences H(eiω) est une fonctioncomplexe, il n’en est pas de même pour les réponses en amplitudeet en phase, qui sont des fonctions réelles.
Pour un système ayant une réponse impulsionnelle réelle, on trouveraque la réponse en amplitude est une fonction paire, tandis que laréponse en phase est une fonction impaire.
Analyse fréquentielle 46 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Définition
Un petit rappel s’impose... Les différentes réponses qui permettent decaractériser un système LTI sont :
Réponse impulsionnelle : C’est le signal de sortie associé ausignal d’entrée δ[n]. On la note h[n].
Réponse en fréquences : C’est la DTFT de la réponseimpulsionnelle. On la note H(eiω).
Réponse en amplitude : C’est la norme de la réponse enfréquences. On la note
∣∣H(eiω)∣∣.
Réponse en phase : C’est la phase de la réponse en fréquences.On la note θ(ω)
Analyse fréquentielle 47 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Caractérisation fréquentielle d’un système LTI
À partir de la relation entrée/sortie pour un système LTI définie auchapitre précédent
y [n] = x [n] ∗ h[n],
on peut obtenir par DTFT que
Y (eiω) = H(eiω)X (eiω),
où H(eiω) est la réponse en fréquence du système.
Analyse fréquentielle 48 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Caractérisation fréquentielle d’un système LTI
De plus, en transformant l’équation précédente pour obtenir
H(eiω) =Y (eiω)
X (eiω)
on réussit à exprimer la réponse en fréquence d’un filtre comme leratio entre la DTFT du signal de sortie y [n] et celle du signald’entrée x [n].
Analyse fréquentielle 49 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Caractérisation fréquentielle d’un système LTI
On s’intéresse maintenant au cas des systèmes LTI à réponseimpulsionnelle finie.
Ceux-ci sont représentés dans le domaine temporel par une équationaux différences de la forme
y [n] =
N2∑k=N1
h[k ]x [n − k ]
Analyse fréquentielle 50 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Caractérisation fréquentielle d’un système LTI
En appliquant la DTFT de chaque côté et en utilisant les propriétés delinéarité et de décalage temporel, on trouve
Y (eiω) =
N2∑k=N1
h[k ]e−iωkX (eiω)
où X (eiω) et Y (eiω) sont respectivement les DTFT de x [n] et y [n].
Analyse fréquentielle 51 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Caractérisation fréquentielle d’un système LTI
On obtient ainsi
H(eiω) =Y (eiω)
X (eiω)=
M∑k=0
h[k ]e−iωk
qui est de forme polynomiale en eiω.
Analyse fréquentielle 52 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Caractérisation fréquentielle d’un système LTI
On procède de manière équivalente pour les systèmes LTI à réponseimpulsionnelle infinie, qui sont eux définis par une équation auxdifférences de la forme
N∑k=0
dky [n − k ] =M∑
k=0
pkx [n − k ]
Analyse fréquentielle 53 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Caractérisation fréquentielle d’un système LTI
En appliquant la DTFT de chaque côté et en utilisant les propriétés delinéarité et de décalage temporel, on trouve
N∑k=0
dk e−iωkY (eiω) =M∑
k=0
pk e−iωkX (eiω)
et donc
H(eiω) =Y (eiω)
X (eiω)=
∑Mk=0 pk e−iωk∑Nk=0 dk e−iωk
qui est une fonction rationnelle en eiω.
Analyse fréquentielle 54 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Forme de la réponse en fréquences
Systèmes FIR
H(eiω) =M∑
k=0
h[k ]e−iωk
Systèmes IIR
H(eiω) =
∑Mk=0 pk e−iωk∑Nk=0 dk e−iωk
Analyse fréquentielle 55 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Réponse en fréquences avec Matlab
Matlab peut être utilisé pour évaluer la réponse en fréquences d’unsystème.
Pour ce faire, on fait intervenir l’équation aux différences de celui-ci.
N∑k=0
dky [n − k ] =M∑
k=0
pkx [n − k ]
On considère le cas des systèmes IIR, mais pour les systèmes FIR, ilsuffit de poser d0 = 1 et dk 6= 0 pour k 6= 0.
Analyse fréquentielle 56 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Réponse en fréquences avec Matlab
On pose
a = [d0,d1, . . . ,dN ] et b = [p0,p1, . . . ,pM ]
Par la suite, il suffit d’appeler la fonction freqz(b,a,w), où w est unensemble de fréquences sur l’intervalle [0, π].
Analyse fréquentielle 57 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Exemple 3.4
Considérons le filtre moyenneur de longueur M vu au chapitre 2.Celui-ci était représenté par l’équation aux différences
y [n] =1M
M−1∑l=0
x [n − l]
Toujours au chapitre 2, on avait trouvé la réponse impulsionnelle dece filtre :
h[n] =
1M si 0 ≤ n ≤ M − 10 sinon
Analyse fréquentielle 58 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Exemple 3.4
On souhaite obtenir la réponse en fréquences de ce filtre.
Analyse fréquentielle 59 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Exemple 3.4
Avec Matlab, il est facile faire afficher les spectres d’amplitude et dephase.
MATLAB>> h = ones(1,5);>> [H,w] = freqz(h,1,256);>> amp = abs(H);>> plot(w,amp,’-’);>> ylabel(’Amplitude’); xlabel(’\omega’);>> legend(’M=5’);>> pha = angle(H)*180/pi;>> ylabel(’Phase, degres’);xlabel(’\omega’);>> legend(’M=5’);
Analyse fréquentielle 60 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Exemple 3.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Ampl
itude
M=5
(a) Spectre d’amplitude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5150
100
50
0
50
100
Phas
e, d
egre
s
M=5
(b) Spectre de phase
Analyse fréquentielle 61 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Dépliement de phase
Le spectre de phase peut parfois présenter des sauts de 2π sur l’axevertical. Ce problème est du à la méthode de calcul du arctan dans lafonction angle.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5150
100
50
0
50
100
Phas
e, d
egre
s
M=5
Il ne faut pas confondre avec les sauts de π sur l’axe vertical, qui sonteux présents aux racines de la réponse impulsionnelle.
Analyse fréquentielle 62 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Introduction au filtrage
Une application des systèmes LTI à des signaux audio est de bloquercertaines fréquences tout en en laissant passer d’autres sansdistorsion.
En définissant adéquatement le spectre d’amplitude d’un filtre, on peuten arriver à grandement atténuer certaines fréquences.
Analyse fréquentielle 63 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Introduction au filtrage
Pour comprendre le processus de conception de filtres, considéronsun système LTI caractérisé par la réponse en amplitude
∣∣∣H(eiω)∣∣∣ =
1 si 0 ≤ |ω| ≤ ωc
0 si ωc < |ω| < π
Considérons aussi le signal d’entrée
x [n] = A cos (ω1n) + B cos (ω2n) avec 0 < ω1 < ωc < ω2 < π
Analyse fréquentielle 64 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Introduction au filtrage
On peut vérifier que le signal de sortie correspondant au signald’entrée x [n] sera de la forme
y [n] = A∣∣∣H(eiω1)
∣∣∣ cos (ω1n + θ(ω1)) + B∣∣∣H(eiω2)
∣∣∣ cos (ω2n + θ(ω2))
Analyse fréquentielle 65 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Introduction au filtrage
Or, le filtre, tel que défini par la réponse en amplitude
∣∣∣H(eiω)∣∣∣ =
1 si 0 ≤ |ω| ≤ ωc
0 si ωc < |ω| < π
viendra atténuer les fréquences supérieures à ωc . On a donc plutôt que
y [n] ≈ A∣∣∣H(eiω1)
∣∣∣ cos (ω1n + θ(ω1))
Analyse fréquentielle 66 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Introduction au filtrage
Comme le filtre laisse passer les bases fréquence (ω < ωc), mais vientatténuer les hautes (ω > ωc), on dira de ce filtre qu’il est passe-bas.
Plus tard, on verra les définitions formelles pour les filtres passe-bas,passe-haut et passe-bande.
Analyse fréquentielle 67 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Exemple 3.5
Analyse fréquentielle 68 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Exemple 3.5
Après avoir trouvé α0 = −6.76195 et α1 = 13.45633, on peut tracer laréponse en amplitude du filtre, pour vérifier qu’il correspond bien àl’objectif visé.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
5
10
15
20
25
30
Amplitude
Analyse fréquentielle 69 / 194
Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système
Exemple 3.5
Soit le signal d’entrée x [n] = cos (0.1n) + cos (0.4n). Si on applique lefiltre précédent sur x [n] pour obtenir y [n], on aura que :
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Am
plitu
de
Temps n
y[n]cos[0.4n]cos[0.1n]cos[0.1n]+cos[0.4n]
Le filtre a-t-il fonctionné ?
Analyse fréquentielle 70 / 194
Transformée en z
Plan de la section
1 Transformée de Fourier à temps discret
2 Transformée en zIntroductionRetour sur la région de convergenceTransformée inversePropriétés de la TZFonction de transfert d’un système
3 Classification des filtres
Analyse fréquentielle 71 / 194
Transformée en z Introduction
Mise en contexte
La DTFT définie à la section précédente est une fonction complexede la fréquence ω.
Elle permet d’avoir une représentation fréquentielle de signauxdiscrets et de systèmes LTI.
Analyse fréquentielle 72 / 194
Transformée en z Introduction
Mise en contexte
En raison de la condition de convergence
∞∑n=−∞
|x [n]| <∞,
il se peut que la DTFT d’une séquence n’existe pas. Il devient alorsimpossible d’utiliser cette représentation fréquentielle.
Analyse fréquentielle 73 / 194
Transformée en z Introduction
Mise en contexte
C’est cette problématique qui nous amène à définir unegénéralisation de la DTFT que l’on appèlera la transformée en z.
Celle-ci aura la particularité d’exister pour plusieurs séquences qui nepossèdent pas de DTFT.
Analyse fréquentielle 74 / 194
Transformée en z Introduction
Définition
Soient une séquence g[n].
On définit sa transformée en z, notée G(z) par
G(z) =∞∑
n=−∞g[n]z−n,
avec z ∈ C. On note alors la relation entre g[n] et G(z) par
g[n]Z↔ G(z).
Analyse fréquentielle 75 / 194
Transformée en z Introduction
Définition
Si on écrit la variable z dans sa forme polaire z = reiω, l’équationprécédente devient
G(reiω) =∞∑
n=−∞g[n]r−ne−iωn.
Analyse fréquentielle 76 / 194
Transformée en z Introduction
Définition
Si on compare avec la définition de la DTFT de la séquence g[n]
G(eiω) =∞∑
n=−∞g[n]e−iωn,
on constate que la TZ peut être interprétée comme la DTFT de laséquence r−ng[n].
Analyse fréquentielle 77 / 194
Transformée en z Introduction
Région de convergence
Comme pour la DTFT, on doit imposer des conditions deconvergence pour garantir l’existence de la transformée en z.
Une condition suffisante pour que la TZ d’une séquence existe estque
∞∑n=−∞
∣∣g[n]r−n∣∣ <∞.L’ensemble des valeurs de z pour lequel la TZ d’une séquence g[n]converge est noté Rg et appelé la région de convergence (ROC).
Analyse fréquentielle 78 / 194
Transformée en z Introduction
Région de convergence
Quelques petites précisions avant de poursuivre...
Même si une séquence g[n] n’est pas absolument sommable, laséquence r−ng[n] peut l’être pour certains r .
Suivant ce raisonnement, même si la séquence g[n] ne possèdepas de DTFT, elle peut posséder une TZ avec une ROC Rg .
En général, la région de convergence Rg sera un anneau sur leplan complexe de la forme
Rg− < |z| < Rg+ avec 0 ≤ Rg− < Rg+ <∞.
Analyse fréquentielle 79 / 194
Transformée en z Introduction
Exemple 3.6
Analyse fréquentielle 80 / 194
Transformée en z Introduction
Région de convergence
Analyse fréquentielle 81 / 194
Transformée en z Introduction
Région de convergence
L’exemple précédent illustre une particularité pas très agréable de laTZ : deux séquences peuvent avoir la même TZ.
Il est donc nécessaire de toujours spécifier la région deconvergence associée à une TZ, puisque c’est ce qui permettra deles différencier.
Analyse fréquentielle 82 / 194
Transformée en z Introduction
Exemple 3.7
Analyse fréquentielle 83 / 194
Transformée en z Introduction
Région de convergence
THE 2-TRANSFORM
Table 4-1 Common z-lkansform Pairs
[CHAP. 4
Sequence Region of Convergence
4.3 PROPERTIES Just as with the DTFT, there are a number of important and useful z-transform properties. A few of these properties are described below.
Linearity
As with the DTFT, the z-transform is a linear operator. Therefore, if x(n) has a z-transform X(z) with a region of convergence R,, and if y(n) has a z-transform Y (z) with a region of convergence R,,,
and the ROC of w(n) will include the intersection of R, and R,, that is,
R , contains R , n R,
However, the region of convergence of W(z) may be larger. For example, if x(n) = u(n) and yin) = u(n - I ) , the ROC of X(z) and Y(z) is Izl > 1. However, the z-transform of win) = x(n) - y(n) = S(n) is the entire z-plane.
Shifting Property
Shifting a sequence (delaying or advancing) multiplies the z-transform by a power of z. That is to say, if x(n) has a z-transform X (z),
Because shifting a sequence does not affect its absolute summability, shifting does not change the region of convergence. Therefore, the z-transforms of s (n) and x(n - no) have the same region of convergence, with the possible exception of adding or deleting the points z = 0 and z = oo.
Time Reversal
If x(n) has a z-transform X(z) with a region of convergence R, that is the annulus a < lzl < #I, the z-transform of the time-reversed sequence x(-n) is
z x(-n) t-, ~ ( z - I )
and has a region of convergence 1 /#I -= lz 1 < I / a , which is denoted by 1 / R ,
Analyse fréquentielle 84 / 194
Transformée en z Introduction
Forme rationnelle
Pour les systèmes LTI, toutes les TZ servant à les représenter serontdes fonctions rationnelles de z−1, c’est à dire des ratios de deuxpolynômes, P(z) et D(z) :
H(z) =P(z)
D(z)=
p0 + p1z−1 + · · ·+ pM−1z−(M−1) + pMz−M
d0 + d1z−1 + · · ·+ dN−1z−(N−1) + dnz−N ,
où le degré du numérateur est M et le degré du dénominateur estN.
Analyse fréquentielle 85 / 194
Transformée en z Introduction
Forme rationnelle
On peut aussi écrire l’équation H(z) sous les formes suivantes :
H(z) = z(N−M) p0zM + p1zM−1 + · · · pM−1z + pM
d0zN + d1zN−1 + · · · dN−1z + dN
=p0
d0
∏M`=1(1− ξ`z−1)∏N`=1(1− λ`z−1)
= zN−M p0
d0
∏M`=1(z − ξ`)∏N`=1(z − λ`)
Analyse fréquentielle 86 / 194
Transformée en z Introduction
Forme rationnelle
Les racines du numérateur sont situées à z = ξ`. À ces points, on aque H(ξ`) = 0.
Les valeurs de z pour lesquelles H(z) = 0 sont appelées les zéros.
Analyse fréquentielle 87 / 194
Transformée en z Introduction
Forme rationnelle
Pareillement, les racines du dénominateur sont situées à z = λ`. Àces points, on a que H(λ`)→∞.
Les racines du dénominateur de H(z) sont appelées les pôles.
Analyse fréquentielle 88 / 194
Transformée en z Introduction
Forme rationnelle
Une transformée en z sous forme rationnelle peut être décritecomplètement par la position de ses pôles et de ses zéros et par laconstante de gain p0
d0.
Lorsqu’une TZ peut être représentée sous forme rationnelle, les pôleset les zéros viennent en paires conjuguées.
Analyse fréquentielle 89 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
ROC de la TZ
La région de convergence d’une transformée en z est un concepttrès important pour plusieurs raisons :
On a vu que si on ne spécifie pas la ROC, il n’existe pas derelation unique entre une séquence et sa TZ.
Si on connaît la TZ d’une séquence, sa DTFT peut être obtenueen évaluant la TZ sur le cercle unité, si celui-ci se trouve dans laROC.
Plus tard dans le chapitre, on verra une relation entre la TZ de laréponse impulsionnelle d’un système LTI causal et sastabilité.
Analyse fréquentielle 90 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
ROC de la TZ
Toutes ces raisons, ainsi que notre désir d’en apprendre toujoursdavantage nous motive à étudier en profondeur la notion de régionde convergence.
Analyse fréquentielle 91 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Pôles et zéros
La ROC d’une TZ rationnelle est bornée par la position de sespôles. Pour comprendre cette relation, on introduit le graphiquepôle-zéro d’une TZ.
Analyse fréquentielle 92 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Pôles et zéros
À l’exemple 3.6, on avait mentionné que
u[n]Z↔ 1
1− z−1 , pour∣∣∣z−1
∣∣∣ < 1.
Or, on a que1
1− z−1 =z
z − 1
La TZ possède donc un pôle à z = 1 et un zéro à z = 0.
Analyse fréquentielle 93 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Pôles et zéros
Dans le graphique pôle-zéro, on note les pôles par un × et les zérospar un .
On doit aussi indiquer la région de convergence.
Analyse fréquentielle 94 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Pôles et zéros
×
Region de convergence
Cercle unite
Pole a z = 1
Zero a z = 0
Analyse fréquentielle 95 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Pôles et zéros
Lorsqu’on évalue une TZ rationnelle à un pôle, on obtient l’infini. Pardéfinition, la TZ ne converge donc pas aux pôles.
Cela entraîne qu’aucun pôle ne peut se trouver dans la ROC d’uneTZ rationnelle.
Analyse fréquentielle 96 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Pôles et zéros
Soit une TZ avec des pôles situés à z = α et z = β. Il y a troispossibilités pour la ROC :
Region de convergence
× ×βα
× ×βα
× ×βα
Analyse fréquentielle 97 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Pôles et zéros
En résumé, on peut faire les observations suivantes concernant laROC d’une TZ rationnelle :
(a) La ROC associée à une séquence de longueur finie définie pourM ≤ n ≤ N est le plan C, sauf peut-être z = 0 et/ou z =∞.
(b) La ROC associée à une séquence définie à droite pourM ≤ n <∞ correspond à l’extérieur d’un cercle dans C défini parle pôle le plus éloigné de l’origine.
Analyse fréquentielle 98 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Pôles et zéros
(c) La ROC associée à une séquence définie à gauche pour−∞ < n ≤ N correspond à l’intérieur d’un cercle dans C défini parle pôle le plus près de l’origine.
(d) La ROC associés à une fonction de longueur infinie est unanneau borné par deux cercles dans C définis par deux pôles,avec aucun autre pôle à l’intérieur de l’anneau.
Analyse fréquentielle 99 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
ROC et Matlab
Le graphique pôle-zéro d’une TZ rationnelle peut être tracé avec lafonction zplane de Matlab.
Deux options sont offertes :
zplane(zeros,poles), où zeros et poles sontrespectivement les vecteurs colonnes des pôles et des zérosde la transformée en z.
zplane(num,den), où num et den sont respectivement lesvecteurs lignes de coefficients du numérateur et dudénominateur de la transformée en z, en ordre décroissant depuissances de z.
Analyse fréquentielle 100 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
ROC et Matlab
La fonction factorize, qui est disponible sur la page web du cours,peut s’avérer très utile pour factoriser les polynômes du numérateuret du dénominateur de manière à obtenir la position des pôles etdes zéros.
Analyse fréquentielle 101 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Exemple 3.8
Analyse fréquentielle 102 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Exemple 3.8
MATLAB>> num = [2 16 44 56 32];>> den = [3 3 -15 18 -12];>> K = num(1)/den(1);>> FactNum = factorize(num); disp(’Facteurs du numerateur’); disp(FactNum);Facteurs du numerateur
1.000000000000000 4.000000000000002 01.000000000000000 1.999999999999994 01.000000000000000 2.000000000000004 2.000000000000004
>> FactDen = factorize(den); disp(’Facteurs du denominateur’); disp(FactDen);Facteurs du denominateur
1.000000000000000 3.236067977499790 01.000000000000000 -1.236067977499787 01.000000000000000 -1.000000000000003 0.999999999999999
>> disp(’Constante de gain’); disp(K);Constante de gain
0.666666666666667
Analyse fréquentielle 103 / 194
Transformée en z Retour sur la région de convergence
Exemple 3.8
MATLAB>> zplane(num,den)
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Part
Imag
inar
y Pa
rt
Analyse fréquentielle 104 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Expression générale
Comme c’était le cas pour la DTFT, la TZ d’une séquence obtenuepar convolution de deux séquences est le produit des TZ decelles-ci.
Ce faisant, il est nécessaire de pouvoir calculer des TZ inverses afinde pouvoir revenir dans le domaine temporel à partir du domainetransformé.
Analyse fréquentielle 105 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Expression générale
On rappelle la définition de la TZ d’une séquence g[n] :
G(z) =∞∑
`=−∞g[`]z−`
On multiplie chaque côté par zn−1 et on intègre le long d’un contour Cdans la ROC, dans le sens antihoraire :∮
CG(z)zn−1 dz =
∮C
∞∑`=−∞
g[`]z−`zn−1 dz
Analyse fréquentielle 106 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Expression générale
On inverse l’ordre de la sommation et de l’intégrale et on multipliechaque côté par 1
2πi :
12πi
∮C
G(z)zn−1 dz =1
2πi
∞∑`=−∞
g[`]
∮C
zn−1−` dz
Analyse fréquentielle 107 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Expression générale
En vertu du théorème d’intégration de Cauchy, on a que
12πi
∮C
zn−1−` dz = δ(n − `)
Ce résultat permet d’obtenir que
12πi
∞∑`=−∞
g[`]
∮C
zn−1−` dz = g[n]
Analyse fréquentielle 108 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Expression générale
Ce faisant, l’expression générale pour la TZ inverse est donnée par
g[n] =1
2πi
∮C
G(z)zn−1 dz
Analyse fréquentielle 109 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Expression générale
g[n] =1
2πi
∮C
G(z)zn−1 dz
Pourquoi n’aimons-nous pas cette méthode de calcul d’inverse ?
Il y a une intégrale. C’est compliqué de calculer une intégrale.
Il faut faire le calcul pour toutes les valeurs de n. C’estbeaucoup trop forçant.
Cette technique sera donc abandonnée, parce qu’elle estdifficilement applicable en pratique.
Analyse fréquentielle 110 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Expression générale
Dans la pratique, on utilisera plutôt une des méthodes suivantes pourcalculer les TZ inverses :
Utilisation des tables de transformées
Décomposition en fractions partielles
La division longue
On va présenter les deux premières approches.
Analyse fréquentielle 111 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Utilisation des tables de transformées
Bien souvent, on peut obtenir la TZ inverse d’une fonction en utilisantune table de transformées.
THE 2-TRANSFORM
Table 4-1 Common z-lkansform Pairs
[CHAP. 4
Sequence Region of Convergence
4.3 PROPERTIES Just as with the DTFT, there are a number of important and useful z-transform properties. A few of these properties are described below.
Linearity
As with the DTFT, the z-transform is a linear operator. Therefore, if x(n) has a z-transform X(z) with a region of convergence R,, and if y(n) has a z-transform Y (z) with a region of convergence R,,,
and the ROC of w(n) will include the intersection of R, and R,, that is,
R , contains R , n R,
However, the region of convergence of W(z) may be larger. For example, if x(n) = u(n) and yin) = u(n - I ) , the ROC of X(z) and Y(z) is Izl > 1. However, the z-transform of win) = x(n) - y(n) = S(n) is the entire z-plane.
Shifting Property
Shifting a sequence (delaying or advancing) multiplies the z-transform by a power of z. That is to say, if x(n) has a z-transform X (z),
Because shifting a sequence does not affect its absolute summability, shifting does not change the region of convergence. Therefore, the z-transforms of s (n) and x(n - no) have the same region of convergence, with the possible exception of adding or deleting the points z = 0 and z = oo.
Time Reversal
If x(n) has a z-transform X(z) with a region of convergence R, that is the annulus a < lzl < #I, the z-transform of the time-reversed sequence x(-n) is
z x(-n) t-, ~ ( z - I )
and has a region of convergence 1 /#I -= lz 1 < I / a , which is denoted by 1 / R ,
Analyse fréquentielle 112 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Exemple 3.9
Analyse fréquentielle 113 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Décomposition en fractions partielles
Dans le cas où G(z) est la TZ sous forme rationnelle d’uneséquence causale g[n], on peut utiliser la méthode de ladécomposition en fractions partielles pour retrouver g[n].
Analyse fréquentielle 114 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Décomposition en fractions partielles
Une TZ rationnelle G(z) peut s’exprimer sous la forme
G(z) =P(z)
D(z),
où P(z) et D(z) sont des polynômes en z−1.
Si le degré M du numérateur P(z) est supérieur au degré N dudénominateur D(z), on dira qu’il s’agit d’une fraction impropre. Àl’inverse, il sera question de fraction propre si N > M.
Analyse fréquentielle 115 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Décomposition en fractions partielles
Lorsqu’on est en présence d’une fraction impropre, on doit exprimerG(z) sous la forme
G(z) =M−N∑`=0
η`z−` +P1(z)
D(z),
où P1(z)D(z) est une fraction propre.
Analyse fréquentielle 116 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Exemple 3.10
Analyse fréquentielle 117 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Décomposition en fractions partielles
La plupart du temps, G(z) sera une fraction propre à pôles simples.
Analyse fréquentielle 118 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Fraction propre à pôles simples
Considérons que les pôles de G(z) sont situés à z = λk , pour1 ≤ k ≤ N, avec λi 6= λj . Une décomposition en fractions partiellesde G(z) aura la forme
G(z) =N∑`=1
ρ`1− λ`z−1 ,
où les constantes ρ` sont appelées les résidus et sont égales à
ρ` = (1− λ`z−1)G(z)∣∣∣z=λ`
Analyse fréquentielle 119 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Fraction propre à pôles simples
G(z) =N∑`=1
ρ`1− λ`z−1 ,
Chaque élément dans la sommation possède une ROC de la forme|z| > |λ`|, et donc une TZ inverse de la forme ρ`λn
`u[n].
Ce faisant, la TZ inverse de G(z) sera donnée par
g[n] =N∑`=0
ρ`λn`u[n].
Analyse fréquentielle 120 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Exemple 3.11
Analyse fréquentielle 121 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Fraction propre à pôles multiples
Si G(z) est une fraction propre à pôles multiples, le processus estun peu différent.
Considérons que le pôle situé à z = v est de multiplicité L, tandisque les N − L autres pôles sont simples (c’est-à-dire λi 6= λj ), et situésà z = λ`, pour 1 ≤ ` ≤ N − L.
Analyse fréquentielle 122 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Fraction propre à pôles multiples
La décomposition en fractions partielles de G(z) aura donc laforme
G(z) =N−L∑`=1
ρ`1− λ`z−1 +
∑i=1
Lγi
(1− vz−1)i ,
où les constantes γi sont données par
γi =1
(L− i)!(−v)L−i ·dL−i
d(z−1)L−i
[(1− vz−1)LG(z)
]∣∣∣z=v
Analyse fréquentielle 123 / 194
Transformée en z Transformée inverse
DFP avec Matlab
La fonction residuez de Matlab peut être utilisée pour manipuler lesdécompositions en fractions partielles de TZ. On peut utiliserresiduez de deux façons.
Analyse fréquentielle 124 / 194
Transformée en z Transformée inverse
DFP avec Matlab
Pour trouver la DFP d’une TZ rationnelle :
MATLAB>> [r, p, k] = residuez(num, den);
Les paramètres d’entrée sont les vecteurs des coefficients de laforme rationnelle.
Pour convertir la DFP d’une TZ dans sa forme rationnelle.
MATLAB>> [num, den] = residuez(r, p, k);
Les paramètres d’entrée sont le vecteur des résidus r, les pôlescorrespondant p et le vecteur k contenant les constantes η`.
Analyse fréquentielle 125 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Exemple 3.12
On cherche la décomposition en fractions partielles de la TZ suivante :
G(z) =18z3
18z3 + 3z2 − 4z − 1
Analyse fréquentielle 126 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Exemple 3.12
MATLAB>> num = 18;>> den = [18 3 -4 -1];>> [r,p,k] = residuez(num,den);>> disp(’Residues’);disp(r’)Residues
0.3600 0.2400 0.4000
>> disp(’Poles’);disp(p’)Poles
0.5000 -0.3333 -0.3333
>> disp(’Constants’);disp(k)Constants
Il s’agit d’une DFP à pôles multiples, où le pôle z = −13 est de
multiplicité 2. Le résultat sera donc
G(z) =0.36
1− 0.5z−1 +0.24
1 + 13z−1
+0.4(
1 + 13z−1
)2
Analyse fréquentielle 127 / 194
Transformée en z Transformée inverse
Division longue
La troisième méthode de calcul de l’inverse d’une TZ repose sur le faitque pour une séquence causale, G(z) peut être exprimé sous laforme d’une série de puissance en z−1.
G(z) =∞∑
k=0
akz−k = a0 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·
Dans cette série, le coefficient associé au terme z−n sera le n-ièmeéchantillon de la séquence g[n]. Pour obtenir la série de puissance,on procède par division longue des deux polynômes de la formerationnelle de la TZ.
Analyse fréquentielle 128 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Propriétés de la TZ
Comme c’était le cas avec la DTFT, la transformée en z possèdeplusieurs propriétés très utiles.
Pour les présenter, on utilise la notation introduite en début dechapitre, sans oublier la région de convergence :
g[n]Z↔ G(z) avec ROC = Rg ,
où Rg est donnée par Rg− < |z| < Rg+ .
Analyse fréquentielle 129 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Propriétés de la TZ
La compréhension de ces propriétés rend l’application de la TZ pourl’étude des filtres plus facile.
Les démonstrations de ces propriétés sont souvent directes. Cefaisant, elles sont laissées en exercice.
Analyse fréquentielle 130 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Inversion temporelle
La TZ d’une séquence inversée temporellement g[−n] est donnéepar G
(1z
)avec une ROC de 1
Rg.
g[−n]Z↔ G
(1z
)avec ROC =
1Rg
La notation ROC = 1Rg
représente la région 1Rg+
< |z| < 1Rg−
.
Analyse fréquentielle 131 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Linéarité
La TZ d’une séquence obtenue par combinaison linéaire de deuxséquences g[n] et h[n] est donnée par αG(z) + βH(z) avec une ROCqui contient l’intersection de Rg et Rh.
αg[n] + βh[n]Z↔ αG(z) + βH(z) avec ROC ⊇ Rg ∩Rh
On ne peut pas donner de manière exacte la ROC de la combinaisonlinéaire, mais elle doit absolument contenir l’intersection des ROC desdeux composantes.
Analyse fréquentielle 132 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Exemple 3.13
Analyse fréquentielle 133 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Décalage temporel
La TZ d’une séquence décalée temporellement x [n] = g[n − n0],avec n0 ∈ Z est donnée par X (z) = z−n0G(z). La ROC restera lamême, sauf peut-être pour les points z = 0 ou z =∞.
g[n − n0]Z↔ z−n0G(z) avec ROC = Rg \ 0 ou ∞
Analyse fréquentielle 134 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Décalage temporel
Dans quels cas devons nous retirer les points z = 0 ou z =∞ de laROC ?
Si n0 > 0, le facteur z−n0 ajoute n0 pôles à z = 0. Comme aucunpôle ne peut se trouver dans la ROC, le point z = 0 est alorsexclu de celle-ci.
Pour les mêmes raisons, si n0 < 0, le facteur z−n0 ajoute n0 pôlesà z =∞ et celui-ci est exclu de la ROC.
Analyse fréquentielle 135 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Exemple 3.14
Analyse fréquentielle 136 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Multiplication par une exponentielle
La TZ d’une séquence mise à l’échelle par une exponentiellex [n] = αng[n], avec α ∈ R, est donnée par X (z) = G
( zα
)avec une
ROC de |α|Rg .
αng[n]Z↔ G
(zα
)avec ROC = |α|Rg
La notation ROC = |α|Rg représente la région
|α|Rg− < |z| < |α|Rg+
Analyse fréquentielle 137 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Dérivation
La TZ d’une séquence multipliée par n x [n] = ng[n] est donnée parX (z) = −z dG(z)
dz . La ROC restera la même, sauf peut-être pour lespoints z = 0 ou z =∞.
ng[n]Z↔ −z
dG(z)
dzavec ROC = Rg \ 0 ou ∞
Analyse fréquentielle 138 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Exemple 3.15
Analyse fréquentielle 139 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Convolution
La TZ de la convolution de deux séquences g[n] et h[n] est donnéepar G(z) · H(z), avec une ROC qui contient l’intersection de Rg et Rh.
g[n] ∗ h[n]Z↔ G(z) · H(z) avec ROC ⊇ Rg ∩Rh
Analyse fréquentielle 140 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Convolution
La ROC de x [n] = g[n] ∗ h[n] contient l’intersection de Rg et Rh. Danscertains cas, la ROC sera plus grande que Rg ∩Rh en raison del’annulation de pôles et de zéros.
Analyse fréquentielle 141 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Exemple 3.16
Analyse fréquentielle 142 / 194
Transformée en z Propriétés de la TZ
Propriétés de la TZ
148 THE Z-TRANSFORM [CHAP. 4
Derivative
If X(z) is the z-transform of x(n), the z-transform of nx(n) is
Repeated application of this property allows for the evaluation of the z-transform of nkx(n) for any integer k. These properties are summarized in Table 4-2. As illustrated in the following example, these properties are
useful in simplifying the evaluation of z-transforms.
Table 4-2 Properties of the z-Transform
Linearity Shift Time reversal Exponentiation Convolution Conjugation Derivative
z-Transform Region of Convergence
aX(z) + hY(z) Contains R, n R, z-""x(z) Rx X(z-I) 1/Rx
X(a-lz) law, x(z)y(z) Contains R, n R,
Nore: Given the z-transforms X(z) and Y ( z ) of x ( n ) and y ( n ) . with regions of convergence R, and R y , respectively, this table lists the z-transforms of sequences that are formed from x ( n ) and y(n).
EXAMPLE 4.3.2 Let us find the z-transform of x(n) = nal'u(-n). To find X(z), we will use the time-reversal and derivative properties. First, as we saw in Example 4.2.1,
Therefore.
and, using the time-reversal property, 1 anu(-n) A -
I - a - ' z I4 < a
Finally, using the derivative property, i t follows that the z-transform of nanu(-n) is
A property that may be used to find the initial value of a causal sequence from its z-transform is the initial value theorem.
Initial Value Theorem
If x(n) is equal to zero for n < 0, the initial value, x(O), may be found from X(z) as follows:
x(0) = lim X(z) Z'OO
This property is a consequence of the fact that if x(n) = 0 for n < 0,
Therefore, if we let z + oo. each term in X ( z ) goes to zero except the first.
Analyse fréquentielle 143 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Introduction
À la section précédente, on avait introduit la réponse en fréquencesd’un système LTI. Il s’agissait de la DTFT de la réponseimpulsionnelle du système.
L’utilité de la réponse en fréquences était de fournir de l’information surle comportement d’un filtre dans le domaine fréquentiel.
Analyse fréquentielle 144 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Introduction
On a toutefois vu que dans certains cas, il était possible que la DTFTd’une séquence n’existe pas, alors que la TZ était quand à elle facileà obtenir.
Dans cette optique, la TZ apportera plus de souplesse pourl’application de filtres dans le domaine fréquentiel.
Analyse fréquentielle 145 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Introduction
Dans un premier temps, on s’attardera à décrire une relationentrée-sortie pour un système LTI, à l’aide de la TZ. Cette relationmènera à la notion de fonction de transfert d’un système.
Par la suite, on étudiera les propriétés de la fonction de transfertpour finalement en arriver à définir une nouvelle condition pour lastabilité d’un système.
Analyse fréquentielle 146 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Définition
Considérons le système LTI décrit par la figure suivante
x[n] y[n]h[n]
La relation entrée-sortie entre les signaux x [n] et y [n] est donnée parl’équation
y [n] =∞∑
k=−∞h[k ]x [n − k ]
Analyse fréquentielle 147 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Définition
Soient Y (x), X (z) et H(z), les TZ des signaux y [n], x [n] et h[n],respectivement. La propriété de convolution énoncée précédemmentnous permet d’avoir la relation
Y (z) = H(z)X (z),
où H(z) est appelée la fonction de transfert du système LTI et estdéfinie par
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n
Analyse fréquentielle 148 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Définition
La relation Y (z) = H(z)X (z) permet aussi de définir H(z) commeétant le ratio des TZ des signaux de sortie et d’entrée du système :
H(z) =Y (z)
X (z).
La TZ inverse d’une fonction de transfert permet de retrouver laréponse impulsionnelle de celui-ci.
Analyse fréquentielle 149 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Fonction de transfert d’un filtre
On s’attarde maintenant aux formes générales des fonctions detransfert pour des filtres FIR et IIR.
Analyse fréquentielle 150 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Fonction de transfert d’un filtre
Dans le cas d’un filtre FIR, sa réponse impulsionnelle n’est définieque sur un intervalle N1 ≤ n ≤ N2. Ainsi, h[n] = 0 pour n < N1 etn > N2. Ce faisant, sa fonction de transfert est donnée par
H(z) =
N2∑n=N1
h[n]z−n
Pour un filtre FIR causal, on aura 0 ≤ N1 ≤ N2.
Analyse fréquentielle 151 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Exemple 3.17
Analyse fréquentielle 152 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Fonction de transfert d’un filtre
On considère maintenant le cas d’un filtre IIR décrit par l’équation auxdifférences
N∑k=0
dky [n − k ] =M∑
k=0
pkx [n − k ]
On applique la TZ de chaque côté pour trouver la relation entrée-sortiedu système : (
N∑k=0
dkz−k
)Y (z) =
(M∑
k=0
pkz−k
)X (z)
Analyse fréquentielle 153 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Fonction de transfert d’un filtre
On se souvient avoir mentionné que H(z) = Y (z)X(z) . À partir de l’équation
précédente, on peut donc facilement trouver que
H(z) =Y (z)
X (z)=
∑Mk=0 pkz−k∑Nk=0 dkz−k
En multipliant par zM et zN le numérateur et le dénominateur(respectivement), on obtient une transformée en z sous sa formerationnelle.
Analyse fréquentielle 154 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Exemple 3.18
Analyse fréquentielle 155 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Exemple 3.18
Avec Matlab, on peut facilement trouver les pôles et les zéros de cettefonction de transfert.
MATLAB>> num = [1 -1.2 1];>> den = [1 -1.3 1.04 -0.222];>> [z,p,k] = tf2zp(num,den)
z =
0.600000000000000 + 0.800000000000000i0.600000000000000 - 0.800000000000000i
p =
0.500000000000000 + 0.700000000000000i0.500000000000000 - 0.700000000000000i0.300000000000000
k =
1
MATLAB>> zplane(z,p)
1 0.5 0 0.5 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
y Pa
rt
Analyse fréquentielle 156 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Exemple 3.18
Analyse fréquentielle 157 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Réponse en fréquences
Comme la fonction de transfert est une fonction complexe, ellepeut être ramenée sous une des formes suivantes :
H(z) = H<(z) + H=(z) ou H(z) = |H(z)| ei arg(H(z)),
où
arg(H(z)) = arctan(
H=(z)
H<(z)
)
Analyse fréquentielle 158 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Réponse en fréquences
Si le cercle unité est contenu dans la ROC de H(z), la réponse enfréquences d’un système LTI peut être obtenue à partir de sa fonctionde transfert.
Il suffit d’évaluer H(z) sur le cercle unité :
H(eiω) = H(z)|z=eiω
Analyse fréquentielle 159 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Condition de stabilité
Au chapitre 2, on a montré qu’un filtre est stable si et seulement sisa réponse impulsionnelle est absolument sommable, c’est-à-diresi
∞∑n=−∞
|h[n]| <∞
Une telle condition est toutefois difficile à vérifier pour un systèmepossédant une réponse impulsionnelle de longueur infinie.
Analyse fréquentielle 160 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Condition de stabilité
On s’attarde maintenant à développer une nouvelle condition pourla stabilité d’un système, cette fois-ci basée sur la position despôles de la fonction de transfert H(z).
Analyse fréquentielle 161 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Exemple 3.19
Analyse fréquentielle 162 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Exemple 3.19
Region de convergence
× ×βα
× ×βα
× ×βα
Analyse fréquentielle 163 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Condition de stabilité
On peut démontrer que si la réponse imuplsionnelle h[n] d’un filtre estabsolument sommable, alors la ROC de la fonction de transfertcontient le cercle unité, et réciproquement.
Un filtre est donc stable si et seulement si le cercle unité est dans saROC.
Analyse fréquentielle 164 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Condition de stabilité
De manière évidente, on a que un filtres FIR causals ayant uneréponse imuplsionnelle bornée est toujours stable, puisque tousses pôles sont à l’origine.
À l’opposé, un filtre IIR causal peut être instable ! Un test de stabilitésur s’impose alors lorsqu’on utilise un filtre IIR.
Analyse fréquentielle 165 / 194
Transformée en z Fonction de transfert d’un système
Condition de stabilité
Dans le cas d’un filtre causal, la condition de stabilité peut êtrereformulée comme suit : tous les pôles du filtre doivent êtrestrictement à l’intérieur du cercle unité.
Pour un filtre anticausal, la condition est inversée : tous les pôles dufiltre doivent être strictement à l’extérieur du cercle unité.
Analyse fréquentielle 166 / 194
Classification des filtres
Plan de la section
1 Transformée de Fourier à temps discret
2 Transformée en z
3 Classification des filtresClassification basée sur l’amplitudeClassification basée sur la phase
Analyse fréquentielle 167 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres d’amplitude idéale
Un filtre idéal, conçu pour laisser passer certaines fréquences d’unsignal audio, devrait avoir une réponse en fréquence de 1 pour cesfréquences et de 0 pour toutes les autres.
L’ensemble des fréquences où H(eiω) = 1 est appelé la bandepassante, tandis que l’ensemble des fréquences pour lequelH(eiω) = 0 est appelé la bande stop.
Analyse fréquentielle 168 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres d’amplitude idéale
© Maxime Comtois 2006 11
Filtres
Passe bas
c c
)(H
1
(a) Filtre passe-bas idéal © Maxime Comtois 2006 12
Filtres
Passe haut
c c
)(H
1
(b) Filtre passe-haut idéal
© Maxime Comtois 2006 13
Filtres
Passe bande
o o
)(H
1B
(c) Filtre passe-bande idéal © Maxime Comtois 2006 14
Filtres
Bande stop
o o
)(H
1B
(d) Filtre stop-bande idéal
Analyse fréquentielle 169 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres d’amplitude idéale
Une nouvelle notion doit être introduite, la fréquence de coupure,représentée par ωc dans les graphiques précédents.
Il s’agit de la fréquence où l’amplitude passe de 1 à 0.
Analyse fréquentielle 170 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres d’amplitude idéale
On remarque finalement que pour un filtre idéal, on a que H(eiω) = 1ou H(eiω) = 0. Or, comme H(eiω) ∈ R, sa phase (qui donne sacomposante complexe) est toujours nulle.
H(eiω) =∣∣∣H(eiω)
∣∣∣ eiθ(ω) ∈ R⇒ θ(ω) = 0 ∀ ω
On s’intéresse maintenant à montrer pourquoi de tels filtres sontinutilisables en pratique. Pour ce faire, on utilisera le cas du filtrepasse-bas.
Analyse fréquentielle 171 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres d’amplitude idéale
Soit un filtre passe-bas idéal :
© Maxime Comtois 2006 11
Filtres
Passe bas
c c
)(H
1
H(eiω) =
1 si 0 ≤ ω ≤ ωc
0 si ωc < ω ≤ π
On trouve que sa réponse impulsionnelle est donnée par
h[n] =sin (ωcn)
πn, n ∈ Z
Analyse fréquentielle 172 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres d’amplitude idéale
h[n] =sin (ωcn)
πn, n ∈ Z
Cette réponse impulsionnelle possède plusieurs caractéristiquesdésagréables...
Elle est de longueur infinie.
Elle n’est pas causale.
Elle n’est pas absolument sommable, et donc le filtre associén’est pas stable.
Analyse fréquentielle 173 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres d’amplitude idéale
Comme le filtre passe-bas idéal n’est ni stable, ni causal, on dira qu’iln’est pas réalisable, c’est-à-dire qu’il ne peut pas être représenté parun système LTI ayant une fonction de transfert d’ordre fini.
Ainsi, comme on ne peut utiliser les filtres idéaux, on devra trouver unmoyen de s’en approcher.
Analyse fréquentielle 174 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Approximation d’un filtre idéal par un filtre réalisable
Pour y arriver, on introduit le concept de bande de transition quiconsiste en une relaxation du critère de transition entre les fréquencesstoppées et celles que le filtre laisse passer.
L’amplitude décroîtra graduellement le long de celle-ci au lieu depasser brusquement de 0 à 1.
Analyse fréquentielle 175 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Approximation d’un filtre idéal par un filtre réalisable
On permettra aussi une certaine variation de l’amplitude sur labande de fréquences traitée. Ces variations prendront deux formes :
l’atténuation stop-bande
la distorsion passe-bande
Analyse fréquentielle 176 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Approximation d’un filtre idéal par un filtre réalisable
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Bande de transition
Variations de l'amplitude
ωc−ωc
Analyse fréquentielle 177 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres passe-tout
Une fonction de transfert A(z) ayant une amplitude de 1 pour toutesles fréquences, c’est-à-dire∣∣∣A(eiω)
∣∣∣ = 1, ∀ ω
est appelée fonction passe-tout et définira un filtre passe-tout.
Analyse fréquentielle 178 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres passe-tout
Un filtre passe-tout d’ordre M est représenté par la fonction de transfert
AM(z) = ± dM + dM−1z−1 + · · ·+ d1z−M+1 + x−M
1 + d1z−1 + · · ·+ dM−1z−M+1 + dMz−M
Analyse fréquentielle 179 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres passe-tout
Considérons le filtre passe-tout défini par la fonction de transfert etobservons son graphique pôle-zéro :
A3(z) =−0.2 + 0.18z−1 + 0.4z−2 + z−3
1 + 0.4z−1 + 0.18z−2 − 0.2z−3
1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.51.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Real PartIm
agin
ary
Part
La forme particulière de la fonction de transfert force les pôles et leszéros à venir en paires de conjugués réciproques.
Analyse fréquentielle 180 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres passe-tout
Les filtres passe-tout sont utiles pour compenser les effets desfiltres non linéaires en phase. Cette notion sera abordée à laprochaine section.
Soit G(z), la fonction de transfert d’un filtre possédant une certaineréponse en amplitude, mais ayant aussi un impact non linéaire (etnon souhaité) sur la phase.
Analyse fréquentielle 181 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres passe-tout
Il est possible de compenser cet effet en faisant passer le signaldans un filtre passe tout de fonction de transfert A(z).
x[n] y[n]
Signal d'entrée Signal de sortie
G(z) A(z)
Comme∣∣A(eiω)
∣∣ = 1 pour tout ω, on aura que∣∣∣G(eiω)A(eiω)∣∣∣ =
∣∣∣G(eiω)∣∣∣
Analyse fréquentielle 182 / 194
Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude
Filtres passe-tout
L’application du filtre passe-tout ne modifiera pas l’amplitude dusignal de sortie. L’effet du filtre G(z) sur les fréquences sera doncconservé.
Analyse fréquentielle 183 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Filtre de phase zéro
Pour plusieurs applications, il est nécessaire de s’assurer qu’un filtren’ait aucun effet sur la phase du signal d’entrée pour les fréquencesdans la bande passante.
Une façon de s’assurer qu’aucune distorsion dans la phase ne serainduite par le filtre est d’avoir une réponse en fréquence réelle et nonnégative. On dira alors que le filtre est de phase zéro.
Analyse fréquentielle 184 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Filtre de phase zéro
Soit H(z) une transformée en z rationnelle à coefficients réels nepossédant aucun pôle sur le cercle unité. On a alors que H(z)H(z−1)est de phase zéro sur le cercle unité. En effet,
F (eiω) = H(z)H(z−1)|z=eiω
= H(eiω)H(e−iω)
=∣∣∣H(eiω)
∣∣∣2Notons que si z = v est un pôle (ou un zéro) de F (z), alors z = 1
v estaussi un pôle (ou un zéro).
Analyse fréquentielle 185 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Filtre de phase zéro
Il est impossible d’implanter un filtre causal de phase zéro.
Toutefois, si les contraintes de temps réel et de causalité sontabandonnées, on peut implanter de manière simple un filtre de phasezéro.
H(z)x[n] v[n]
u[n] = v[−n]
y[n] = w[−n]
w[n]H(z)u[n]
F (z) y[n]
Le résultat sera un filtre de phase zéro possédant une réponse enamplitude de
∣∣H(eiω)∣∣2.
Analyse fréquentielle 186 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Filtre à minimum de phase
Un filtre LTI réalisable modélisé par une fonction de transfert H(z)rationnelle a tous ses pôles dans le cercle unité, mais qu’en est-il deszéros ?
Analyse fréquentielle 187 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Filtre à minimum de phase
Parfois, il est nécessaire que l’inverse d’un filtre G(z) = 1H(z) soit
aussi réalisable. Pour que ce soit le cas, les zéros de H(z) doiventaussi se trouver à l’intérieur du cercle unité.
Un filtre ayant cette propriété sera appelé filtre à minimum de phase.
Analyse fréquentielle 188 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Filtre à minimum de phase
Un filtre à minimum de phase est défini de manière unique par saréponse en amplitude
∣∣H(eiω)∣∣ :
1 Partant de∣∣H(eiω)
∣∣, on trouve∣∣H(eiω)
∣∣2 qui est fonction decos(kω)
2 En remplaçant cos(kω) par 12(zk + z−k ), on trouve
G(z) = H(z)H(z−1)
3 Le filtre à minimum de phase est formé à partir des pôles et deszéros de G(z) se trouvant à l’intérieur du cercle unité.
Analyse fréquentielle 189 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Exemple 3.20
Analyse fréquentielle 190 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Filtre à minimum de phase
De plus, tout filtre réalisable peut toujours être factorisé en unproduit d’une composante à minimum de phase et d’unecomposante passe-tout. C’est donc dire que
H(z) = HMP(z)HPT (z)
Analyse fréquentielle 191 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Filtre à minimum de phase
Pour arriver à cette décomposition, on suit ces étapes :
1 Tous les zéros de H(z) situés à l’extérieur du cercle unité sontréfléchis à l’intérieur en prenant leur conjugué réciproque 1
z∗ . Lafonction résultante est HMP(z).
2 La composante passe-tout est définie de telle sorte que les zérosayant été modifiés sont renvoyés à leur position d’origine.
Analyse fréquentielle 192 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Exemple 3.21
Analyse fréquentielle 193 / 194
Classification des filtres Classification basée sur la phase
Fin du plus long chapitre de l’histoire
Analyse fréquentielle 194 / 194