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Laboratorio Nº6
2014
HIDRAULICA
Ing. Miguel Vicente Herquinio Arias
Integrantes:
Carrasco Altamirano, Jhon Deyvi
Gálvez Vargas Juan Pedro
Moreano Pamo Emilio de Jesús
Romero Esteban Kenny
Tema:
Flujo gradualmente variado
Fecha de entrega: 25/06/14
1 INTRODUCCION
El flujo variado puede clasificarse como rápidamente variado o gradualmente variado.
En el primer caso (rápidamente variado) la profundidad de flujo cambia abruptamente en una distancia comparativamente corta, por ejemplo en un resalto hidráulico.
En el segundo caso, se requieren distancias mayores para que alcancen a desarrollarse los perfiles de flujo gradualmente variado.
El estudio y conocimiento de este tipo de flujo es de suma importancia, ya que al ingeniero le permite diseñar, a partir de los resultados obtenidos, diversas estructuras hidráulicas para el control, abastecimiento o captación de diversas fuentes hídricas.
En el presente informe se presenta el procedimiento, el cálculo y los resultados realizados para la obtención del perfil de flujo gradualmente variado.
2 OBJETIVOS
Entender el comportamiento del flujo gradualmente variado y la influencia de
los controles que lo generan.
Aplicar modelos matemáticos desarrollados para el cálculo de perfiles de flujo
gradualmente variado, contrastándolos con las mediciones realizadas en el
laboratorio.
Analizar perfiles de flujo experimentalmente y compararlos con los resultados.
3 FUNDAMIENTO TEORICO
El flujo gradualmente variado, es un flujo permanente cuya profundidad varía de manera gradual a lo largo del canal. Se tendrán en cuenta las siguientes hipótesis:
1. La pérdida de altura en una sección es igual que la de un flujo uniforme con las mismas características de velocidad y radio hidráulico.
2. La pendiente del canal es pequeña (<10%). Esto quiere decir que la profundidad del flujo puede medirse verticalmente o perpendicularmente al fondo del canal y no se requiere hacer corrección por presión ni por arrastre del aire.
3. El canal es prismático.
4. Los coeficientes de distribución de la velocidad y el de rugosidad son constantes en el tramo considerado.
Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado
Figura 1. Deducción de la ecuación de flujo gradualmente variado.
La figura 1 muestra el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud elemental dx de un canal abierto. La altura de la línea de energía en la sección aguas arriba, con respecto a la línea de referencia es
(1)
Donde H, Z, d y son según se muestran en la figura 1, v es la velocidad media del flujo a través de la sección.
Se asume que y son constantes en el tramo del canal.
Tomando el piso del canal como el eje x y derivando la ecuación (1) con respecto a x se obtiene,
(2)
Si Sf es la pendiente de la línea de energía , S0 la pendiente del piso del
canal y Sw la pendiente de la superficie del agua , sustituyendo estas expresiones en la ecuación (2) y resolviendo para Sw se tiene:
(3)
La ecuación (3) representa la pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo del canal y se conoce como la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Para pendientes pequeñas cos 1, d y, dd/dx dy/dx y la ecuación (3) puede escribirse:
(4)
Si se tiene un canal rectangular ancho, se puede calcular la pendiente del piso del canal para que ocurra flujo uniforme utilizando la ecuación de Manning:
Dadas las características del canal, vale la aproximación y
expresando , donde q es el caudal por unidad de ancho y yn es la profundidad normal, se obtiene
(5)
La hipótesis 1 permite usar la fórmula de flujo uniforme para calcular la pendiente de energía, es decir,
(6)
Donde y es la profundidad del flujo gradualmente variado.
El término de la ecuación (4) puede desarrollarse así:
Como (ancho superior) = b para canal rectangular,
(7)
La ecuación (4) puede expresarse según las ecuaciones (5), (6) y (7) como
(8)
3.1 TIPOS DE PERFIL DE FLUJO
Los perfiles de flujo se clasifican con base en dos criterios básicos:
1. Según su profundidad. 2. Según la pendiente del canal.
El primer criterio divide la profundidad del canal en varias zonas:
Zona 1: Sobre la profundidad normal (en pendiente subcrítica) ó sobre la
profundidad crítica (en pendiente supercrítica).
Zona 2: Entre las profundidades crítica y normal.
Zona 3: Bajo la profundidad crítica (en pendiente subcrítica) ó bajo la
profundidad normal (en pendiente supercrítica).
El segundo criterio considera cinco condiciones de la pendiente:
H: Horizontal.
M: Moderada o subcrítica.
C: Crítica.
S: Pronunciada o supercrítica.
A: Adversa.
Estos dos criterios permiten hacer la clasificación como H2, H3; M1, M2, M3; C1, C2, C3; S1, S2, S3; A2 y A3, donde la letra se refiere a la pendiente y el número a la zona de profundidad.
De acuerdo con lo expuesto, pueden existir 15 formas para el perfil de la superficie libre en un flujo gradualmente variado, que resultan de la combinación de 5 grados de pendiente del canal con 3 zonas de formación de perfil. En la tabla 4.1 se resume las condiciones en cada caso, y se muestra el signo que tomaría la ecuación del flujo gradualmente variado, por lo que se puede inferir zona la forma que adopta el perfil.
Figura 2. Condiciones para los distintos tipos de perfil hidráulico
Figura 3. Comportamiento de los distintos perfiles de flujo
3.2 CÁLCULO DEL PERFIL DE FLUJO
3.2.1 METODO DIRECTO POR PASOS
Este es un método sencillo, aplicable a canales prismáticos. Divide el canal en tramos cortos y desarrolla los cálculos para cada sección comenzando por una conocida (la sección de control por ejemplo). Si el flujo es subcrítico los cálculos se inician desde aguas abajo y se desarrollan hacia aguas arriba y si es supercrítico se parte de aguas arriba continuándose hacia aguas abajo.
Tomando un tramo corto del canal, como lo ilustra la figura 4, se cumple que
(9)
Figura 4. Tramo del canal para la deducción de los métodos de paso.
Definida la energía específica (E) como
(10)
Reemplazando (9) en (10) y despejando :
(11)
La pendiente de la línea de energía en una sección puede calcularse según Manning,
(12)
y la pendiente de la línea de energía en un tramo se obtiene como
(13)
Procedimiento de cálculo
1. Conocidos Q, b, y Y en la sección de control, se calcula la velocidad v, la cabeza de
velocidad y la energía específica
2. Se calcula la pendiente de la línea de energía (Sf) según la ecuación (12).
3. Se asume una profundidad según el perfil de flujo que se presenta; se obtienen los valores de E y Sf para la sección con esta profundidad.
4. Se calcula 1, entre estas dos secciones y con la ecuación (13); con
estos resultados se halla según la ecuación (11). Así se conoce la localización de la sección a lo largo del canal.
5. Se vuelve al paso 3.
3.2.2 METODO DE INTEGRACION DIRECTA
Este método es válido únicamente para canales prismáticos. Se recomienda cuando se
requiere conocer solo unos cuantos tirantes del perfil y no el perfil completo, o cuando
se desea saber la distancia hasta la que hay influencia notoria del control en estudio.
Debido a que la integración es directa, los valores sucesivos de L en los cálculos son
independientes entre si, lo que representa la ventaja de que no se acumula error en la
distancia acumulada.
La integración directa de la ecuación dinámica es prácticamente imposible si se desea
obtener en forma general. Se han hecho muchos intentos de resolver dicha ecuación
para algunos casos especiales, introduciendo hipótesis simplificatorias que permitan la
integración matemática. La solución más aplicada en la actualidad es presentada por
Chow y se da de la forma:
Donde: M, N: Parámetros que dependen de la geometría del canal y de la
relación del tirante al ancho de aquel, se presenta en las figuras [N = f
(yc / b); M = f (yc / b)].
Y: Tirante a una distancia x del origen, en m.
Yc: Tirante crítico, en m.
Yn: Tirante normal, en m.
A1 Constante de integración, en m.
La función F (u, N) se calcula como:
Y del mismo modo:
Estas funciones pueden integrarse numéricamente. Algunos valores de estas funciones
se presentan en tablas anexas. La distancia L entre dos secciones 1 y 2 con tirantes y1 y
y2 respectivamente se obtienen mediante:
Figura 5. Calculo del parámetro N
Figura 6. Calculo del parámetro M
3.2.3 METODO DE INTEGRACION GRAFICA
Este método tiene como objetivo integrar la ecuación dinámica de flujo gradualmente
variado mediante un procedimiento gráfico. Consideremos dos secciones de canal (fig.
4.9a) localizada a unas distancias x1 y x2 respectivamente desde un origen
seleccionado y con los tirantes de agua d1 y d2 correspondientes. La distancia a lo
largo del canal es:
Supongamos varios valores de “d” y calcule los valores correspondientes de dx/dd, el
cual es el recíproco del lado derecho de la ecuación de flujo gradualmente variado, es
decir de la ecuación (4.12). Luego se construye una curva de d contra dx/dy (fig. 4.9b).
De acuerdo con la ecuación (4.25), es claro que el valor de x es el área sombreada
formada por la curva el eje “y” y las ordenadas de dx/dd correspondientes a d1 y d1.
Luego puede medirse esta área y determinarse el valor de x. El valor de dx/dd será:
Figura 7. Principio del método de integración grafica
4 MATERIALES
Canal rectangular
Bomba hidráulica
Vertedero triangular
Limnímetro
Regla
Libreta de notas
5 PROCEDIMIENTO
1. Medir las variables geométricas de la sección transversal del canal de pendiente
variable,
2. Colocar el canal con una pendiente cualquiera y ubicar una compuerta en el extremo
final.
3. Hacer circular un caudal sin que se rebose el agua.-
4. Mirar la variación del perfil del agua. Si es bien notoria continuar con el paso siguiente;
de lo contrario modificar la pendiente del canal y el caudal hasta lograr visualizar bien
la variación del perfil.
5. Quitar la compuerta para que se establezca el flujo normal. Una vez que se estabilice
medir la profundidad (y) del agua y aforar el caudal en el vertedero triangular
localizado en el tanque aforador del extremo final del canal.
6. Medir la cota inicial (Z1) y final (Z2) y la longitud del canal y con estos datos calcular la
pendiente (So).
7. Colocar nuevamente la compuerta al final del canal manteniendo constante el caudal.
8. A partir del control medir las profundidades del agua (Y) cada 10 cm.
Para lo cual se tiene las siguientes lecturas.
9. Identificar el tipo de flujo (flujo subcrítico o supercrítico).
10. Identificar el tipo de perfil.
11. Anotar los datos experimentales.
6 CÁLCULOS
METODO DE INTEGRACION GRAFICA
a. Tirante Normal:
Cota de fondo = 18 cm
Cota superior = 19.15 cm
b. Tirante Crítico:
√( )
⁄
Caudal (Q):
Para la lectura : 7.8 cm
y = 0,0469x - 2,5143
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
75 80 85 90 95 100 105
Cu
dal
Q (
l/s)
Lectura del canal (cm)
Gráfica del Caudal
Ancho de canal (B): B = 10.8 cm
√( )
c. Ecuación del flujo gradualmente variado es:
( (
)
( )
)
Donde:
√
√
√ ( )
√
(
) ( ) ( )( )
Para hallar n:
Cuando Entonces:
(
)
1. Para :
Cota Superior = 31.4 cm
Cota de Fondo = 18 cm
Tirante (Y) = 31.4 -18 = 13.4 cm
( )( ) ( )
(
) (
)
( (
)
( )
)
(
(
)
( )
)
Así continuando con cada una de las cotas medidas a lo largo del flujo del canal
hasta el tirante normal ( ) se tiene:
DATOS CALCULOS
Longitud X (cm)
medida
Cota superior (cm)
Cota de fondo (cm)
Y(cm) A (cm2) R (cm) K Z dx/dy ∆A Longitud X (cm)
0 31,40 18 13,40 144,72 13,40 371115,48 529,76 28,94 0 0
10 31,00 18 13,00 140,40 13,00 352836,36 506,22 28,93 11,57 11,6
20 30,60 18 12,60 136,08 12,60 334928,41 483,04 28,91 11,57 23,1
30 30,25 18 12,25 132,30 12,25 319566,48 463,05 28,90 10,12 33,3
40 29,85 18 11,85 127,98 11,85 302365,10 440,56 28,88 11,56 44,8
50 29,50 18 11,50 124,20 11,50 287627,77 421,18 28,86 10,10 54,9
60 29,00 18 11,00 118,80 11,00 267088,72 394,02 28,83 14,42 69,3
70 28,65 18 10,65 115,02 10,65 253075,68 375,36 28,81 10,09 79,4
80 28,30 18 10,30 111,24 10,30 239366,36 357,01 28,78 10,08 89,5
90 27,90 18 9,90 106,92 9,90 224074,82 336,42 28,75 11,51 101,0
100 27,55 18 9,55 103,14 9,55 211027,97 318,73 28,71 10,05 111,1
110 27,15 18 9,15 98,82 9,15 196503,17 298,92 28,66 11,47 122,5
120 26,80 18 8,80 95,04 8,80 184136,07 281,93 28,61 10,02 132,6
130 26,40 18 8,40 90,72 8,40 170398,81 262,93 28,54 11,43 144,0
140 26,10 18 8,10 87,48 8,10 160377,25 248,97 28,48 8,55 152,5
150 25,65 18 7,65 82,62 7,65 145804,23 228,52 28,37 12,79 165,3
160 25,35 18 7,35 79,38 7,35 136399,67 215,21 28,28 8,50 173,8
170 25,00 18 7,00 75,60 7,00 125747,05 200,02 28,16 9,88 183,7
180 24,65 18 6,65 71,82 6,65 115443,77 185,21 28,01 9,83 193,5
190 24,20 18 6,20 66,96 6,20 102719,74 166,73 27,76 12,55 206,1
200 23,85 18 5,85 63,18 5,85 93238,27 152,81 27,51 9,67 215,8
210 23,45 18 5,45 58,86 5,45 82856,88 137,41 27,15 10,93 226,7
220 23,00 18 5,00 54,00 5,00 71771,34 120,75 26,58 12,09 238,8
230 22,65 18 4,65 50,22 4,65 63594,95 108,29 25,98 9,20 248,0
240 22,15 18 4,15 44,82 4,15 52611,57 91,31 24,71 12,67 260,7
250 21,70 18 3,70 39,96 3,70 43451,42 76,86 22,90 10,71 271,4
260 19,90 18 1,90 20,52 1,90 14308,38 28,28 20.21 11,9 283.3
270 19,15 18 1,15 12,42 1,15 6200.38 13,32
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
20.00
22.00
24.00
26.00
28.00
30.00
3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 13.00 15.00
dx/
dy
y
CURVA DE y vs dx/dy
PERFIL DE FLUJO (METODO DE INTEGRACION GRAFICA)
METODO DE TRAMO A TRAMO
Cálculo del coeficiente n
Por el método anterior se obtuvo n
n = 0.00193
Cálculo del tirante crítico
Donde:
A= b*Yc
Q= 1150 cm3/s
g= 981 cm/s2
T = 10.8 cm
Despejando:
√( )
Yc=2.26 cm
Como Y < Yc entonces el flujo es supercrítico
Cálculo de la pendiente crítica
Sc=0.0044 y So=0.0344
Entonces Sc < So, por lo tanto el perfil es tipo S1
Cálculo de la velocidad en 1 y 2
Cálculo de la velocidad en 1 y 2
Cálculo de la pendiente de friccion Sf
0.00004042
Cálculo de variación de X
11.5829387
Cálculos Método Tramo a Tramo
Cota de fondo
Cota superior
10 18 31.40 13.40 144.72 7.946 13.432
20 18 31.00 13.00 140.40 8.191 13.034 13.20 142.560 37.20 3.832 0.00004042 11.5829387
30 18 30.60 12.60 136.08 8.451 12.636 12.80 138.240 36.40 3.798 0.00004350 11.5784404
40 18 30.25 12.25 132.30 8.692 12.289 12.43 134.190 35.65 3.764 0.00004672 10.1269597
50 18 29.85 11.85 127.98 8.986 11.891 12.05 130.140 34.90 3.729 0.00005030 11.5678161
60 18 29.50 11.50 124.20 9.259 11.544 11.68 126.090 34.15 3.692 0.00005430 10.1165874
70 18 29.00 11.00 118.80 9.680 11.048 11.25 121.500 33.30 3.649 0.00005941 14.4416885
80 18 28.65 10.65 115.02 9.998 10.701 10.83 116.910 32.45 3.603 0.00006526 10.1008647
90 18 28.30 10.30 111.24 10.338 10.354 10.48 113.130 31.75 3.563 0.00007073 10.0927249
100 18 27.90 9.90 106.92 10.756 9.959 10.10 109.080 31.00 3.519 0.00007736 11.5231798
110 18 27.55 9.55 103.14 11.150 9.613 9.73 105.030 30.25 3.472 0.00008494 10.0714063
120 18 27.15 9.15 98.82 11.637 9.219 9.35 100.980 29.50 3.423 0.00009365 11.4947773
130 18 26.80 8.80 95.04 12.100 8.875 8.98 96.930 28.75 3.371 0.00010371 10.0418583
140 18 26.40 8.40 90.72 12.676 8.482 8.60 92.880 28.00 3.317 0.00011543 11.4548993
150 18 26.10 8.10 87.48 13.146 8.188 8.25 89.100 27.30 3.264 0.00012817 8.57305665
160 18 25.65 7.65 82.62 13.919 7.749 7.88 85.050 26.55 3.203 0.00014422 12.8251855
170 18 25.35 7.35 79.38 14.487 7.457 7.50 81.000 25.80 3.140 0.00016333 8.52233607
180 18 25.00 7.00 75.60 15.212 7.118 7.18 77.490 25.15 3.081 0.00018298 9.90809896
190 18 24.65 6.65 71.82 16.012 6.781 6.83 73.710 24.45 3.015 0.00020819 9.86401439
200 18 24.20 6.20 66.96 17.174 6.350 6.43 69.390 23.65 2.934 0.00024357 12.5992539
210 18 23.85 5.85 63.18 18.202 6.019 6.03 65.070 22.85 2.848 0.00028824 9.71701763
220 18 23.00 5.00 54.00 21.296 5.231 5.43 58.590 21.65 2.706 0.00038052 23.1547663
230 18 22.65 4.65 50.22 22.899 4.917 4.83 52.110 20.45 2.548 0.00052123 9.26514357
240 18 22.15 4.15 44.82 25.658 4.486 4.40 47.520 19.60 2.424 0.00066978 12.7991525
250 18 21.70 3.70 39.96 28.779 4.122 3.93 42.390 18.65 2.273 0.00091735 10.8535562
260 18 19.90 1.90 20.52 56.043 3.501 2.80 30.240 16.40 1.844 0.00238248 19.4053579
270 18 19.15 1.15 12.42 92.593 5.520 1.53 16.470 13.85 1.189 0.01441445
𝐿 (𝑐𝑚) Y (𝑐𝑚) 𝐴(𝑐𝑚 ) 𝑉(𝑐𝑚 𝑠)⁄ 𝑌𝑚 (𝑐𝑚) E (𝑐𝑚) 𝐴𝑚 (𝑐𝑚 ) 𝑃𝑚 (𝑐𝑚) 𝑅𝑚 (𝑐𝑚) 𝑆𝑓 𝑥 (𝑐𝑚)
PERFIL DE FLUJO (MEDIDO EN LABORATORIO)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 50 100 150 200 250 300 350
TIR
AN
TE Y
LONGITUD X
PERFIL DE FLUJO
PERFIL DE FLUJO TEORICO POR TRAMOS
PERFIL DE FLUJO EXPERIMENTAL
PERFIL DE FLUJO POR INTEGRACION
7 CONCLUSIONES
EL perfil de la curva de Remanso obtenida es del tipo S1, debido a su tirante critico
es mayor que su tirante normal, generando así un flujo supercrítico. Y también su
pendiente critica es menor a la pendiente normal.
Yc=2.26 cm
Yn = 1.15 cm
Como Yn < Yc entonces el flujo es supercrítico
Sc=0.0044 y So=0.0344
Entonces Sc < So, por lo tanto el perfil es tipo S1
Al efectuar las comparaciones de las gráficas obtenidas teóricamente y la
elaborada directamente con datos del laboratorio, se aprecia una pequeña
variación, esto debido a las condiciones ideales que se considera en el cálculo y
que no se evidencias o no se dan en la práctica misma. Pero como se aprecia existe
una relación muy cercana entre los valores.
El método de integración gráfica es uno de los métodos más sencillos para llevar a
cabo el análisis del flujo gradualmente variado, sin embargo, puede llegar a
presentar problemas en su cálculo, ya que, al basarse en las diferencias de alturas
que existan entre los tirantes, los resultados pueden variar si se tienen tirantes de
igual altura en algunos tramos del perfil.
El método de tramos fijos es un procedimiento bastante confiable ya que al tomar
el perfil de flujo gradualmente variado y dividirlo por tramos se pueden obtener los
valores más adecuados, de acuerdo a las características hidráulicas de cada tramo,
sin embargo, al ser un procedimiento iterativo, los cálculos deben realizarse de
forma cuidadosa para que los resultados se adecúen a los lineamientos del
método.
8 RECOMENDACIONES
o Calibrar el limnímetro para obtener mejores medidas y por ende mejores
resultados.
o Una mejor responsabilidad por parte de los operadores para obtener valores que
se acerquen lo más posible al valor real.
o Mejorar las condiciones de limpieza de los materiales y su constante
mantenimiento.
9 BIBLIOGRAFIA
Ven Te Chow. Hidráulica de canales abiertos. Colombia: Editorial Mc Graw Hill. 2004,
667pp.
Villón Béjar, Máximo. Hidráulica de canales. Cartago: Editorial Tecnológica de Costa Rica,
1995. 487pp.
Universidad Nacional Autónoma de México. Práctica 3 Flujo gradualmente variado. México
(ref. de octubre 2009). Disponible en:
http://www.ingenieria.unam.mx/hidrounam/HC3FlujoGradualmenteVariado.pdf