IM250 Prof. Eugênio Rosa Parte II Formulação Integral das Equações de Transporte - Exercícios e Eq. da Energia

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Parte II

Formulação Integral

das Equações de Transporte

- Exercícios e Eq. da Energia


Eq. da Massa

rsys V.C. S.C

dM dd n V dA 0

dt dt

rrÒ


Eq. da Q. Movimento

• As velocidades são medidas do referencial (xyz),

• onde a aceleração relativa, arel é,

xyz r xyz CAMPO SUP MEC rel

V.C. S.C. V.C.

dV d n V V dA F F F a d

dt

r r r r r rr rÒ

2

rel xyz2

d R da r 2 V r

dt dt

r r rr r r r r r

CAMPO

V.C.

SUP

S.C. S.C.

MEC

F gd ; atua em todo o V.C.

F n p dA n dA; atua somente na S.C.

F um eixo ou barra cruza a S.C.

r r

r r r

rÒ Ò


Seção a-b aproxima-se um perfil uniforme com velocidade UoSeção c-d devido à viscosidade há um déficit de velocidade, U1Seção b-c há um fluxo de massa cruzando b-c devido a desaceleração do fluidoSeção a-d depende da escolha da S.C. pode haver atrito tauW ou o Arrasto D.

( )1 0 1

Resposta:

; onde w é a largura da placaD U U U wdyr=- -ò

Arrasto Total numa Placa Plana


Superfície de Controle Deformável


Ex. 4. 191 – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo em U. Despreze o atrito. FILME

h+

h-

g

z

L

Considere:

• S.C. deformável c/ interface: vr=vf -vb= 0

• Tubo c/ seção transversal A constante

• Vel. líquido = taxa var. nível, V = dh/dtRef.


Ex. 4. 191 – Continuação

g

z

x

ho

L

n

V

z1

n

V

z2

fronteiradeformável

S.C.-B

fronteiras fixas

S.C.-A


S.C.-C

ho – nível de equilíbrio

z1 – segue interface SC-A

V1 = dz1/dt

Vol1 = (z1 + ho).Az2 – segue interface SC-B

V2 = dz2/dt

Vol2 = (z2 + ho).A

z1 = - z2

desnível = z1 - z2


S.C

.-B

fronteira fixa

S.C

.-A


V

z1

V

z2

fronteira fixa

PAPB

Patm

Patm

z

x

ho

g

S.C.-C

PBPA

trecho horizontal

L

0

0

2

2 L2h0 n L

2h0

h t h Cos td z g 1

: z h tR 1e s g 1dt h 1 f

2 1

p.

h


Referencial Não Inercial


O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal (Vj, Aj e r) que sai de seu reservatório com velocidade constante. A pista é horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. Determine a velocidade e a aceleração do carro em função do tempo.

Resposta:

mVj = (M0 - mt).dU/dt

U/Vj = Ln[1-t*] onde t* =t/ e = (M0/m)

UM0Vj

Aj

r

Obs.: Vj é a velocidade do jato para um observador que se move com o carro

Ref N.I.

Z

XRef. I.


Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0.

A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental)

Resposta: A) -rALd2h/dt2 + rA(dh/dt)^2 = -MdU/dt

V

Lh(t)

h0S.C. se move junto com o

carro

Ref N.I.Move com

Vcarro

Z

XRef. I.


O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o. Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.

U

MVj

Aj

rX

Z

S.C. 1

2

1. S.C. não deformável, Vb =0, mas S.C. desloca com velocidade U(t);2. A vel. relativa da fronteira e a vel. medida do ref. N.I. são iguais: Vr = Vxyz

Resposta:

-2(Vj – U)2.Aj = -M.dU/dt

U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e = (M/2)/( AjVj)

Ref N.I. -> U


Efeitos de Superfície Livre na Quantidade de Movimento


• Calcule a força de reação, R, por unidade de largura em uma comporta. O escoamento de água a montante da comporta possui velocidade uniforme U1 e uma lâmina d’água com altura h1. A jusante da comporta a velocidade da água é U2 e altura da água é h2. A superfície livre da água está em contato com a atmosfera, que está a pressão Po. Indique claramente na figura sua escolha da superfície de controle. Expresse a velocidade U1 em função das demais variáveis. Despreze a força de atrito na análise.

• Dica: não se esqueça de contabilizar a distribuição de pressão hidrostática que atua da superfície livre até ao fundo do canal.

U1

U2

h1

h2

Po

X

Z

g

R


U1

U2

h1

h2

Po

X

Z

g

R

2 2 1 1

2 22 2 1 22 2 1 1

2 21 2

2 2 2 1 1 1

mm

m U h U h -------------------------------------------------- massa

h hU h U h R g g --------------------- q. movimento

2 2

h hR U U h U U h g g -------

2 2

22

1 22 1

1

222 1 2

21 1

rearranjo q. mov + massa

h hR m U U g 1 --------------------- rearranjo q. mov

2 h

h h hR mU 1 g 1 ------------------ rearranjo q. mov + massa

h 2 h


Equação da Energia: 1ª Lei da Termodinâmica

Manuscrito da 1ª Lei Forma integral

no link: 1ª Lei


Q e W são, respectivamente, o calor e o trabalho que cruzam a S.C.. Lembre-se que Q e W são fenômenos de fronteira. Ao cruzarem a

energia é transformada em energia interna, potencial ou cinética no sistema!


Convenção dos sinais de Q e W e definição de trabalho


O C

alo

r: le

i de

Fo

uri

er


VI é a velocidade absoluta do fluido na fronteira medida de um ref. Inercial.

O T

rab

alh

o n

a F

ron

teir

a

Ti,j dAj



Par

tiçã

o d

o T

erm

o d

e T

rab

alh

o


Trabalho de eixo representa todas as outras formas de trabalho a exceção do trabalho de fluxo e das tensões ‘viscosas’

Par

tiçã

o d

o T

erm

o d

e T

rab

alh

o


Eq

. En

erg

ia:

Ref

eren

cial

Iner

cial

e E

stac

ion

ário


Trabalho de fluxo

Trabalho recebido (entra) ou realizado (sai) pelo quando um volume de fluido (entra ou sai) do sistema.


Eq

. En

erg

ia:

Ref

eren

cial

Não

- E

stac

ion

ário


Ter

mo

s d

e T

rab

alh

o d

evid

o a

o

Ref

eren

cial

N

ão-

Est

acio

nár

io


Eq. da Energia

sys

2I

r

V.C. S.C

dE dt

d Vˆed e n V dA Q W onde e gz u

dt 2

rr & &

14444444444444244444444444443Ò

{

2 2I I

r

V.C. S.C.

h

b

S.C. S.C.

calor cruza S.C. (J s) trabalho pressao (força normal) que cruza

d V V pˆ ˆgz u d gz u n V dA

dt 2 2

dRk n T dA p n V r dA

dt

rr

rrrr r r

144444424444443 I eixo

S.C. trabalho mecânico,

trabalho visc. cruza S.C. (J s) a S.C. devido as velocidades de fronteira, translacao

e rotacao do referencial (J s)

n V dA W rr &

14444442444444314444444444444244444444444443{

elétrico, químico etccruza a S.C. (J s)

Expressando em termos das componentes de ‘e’, utilizando a lei de Fourier e decompondo os termos de trabalho chega-se a:

Nota: um engano comum para quem está iniciando no assunto é confundir a definição de Vr para um referencial não inercial. Ela não muda pois ela é uma velocidade relativa dada pela diferença entre as velocidades do fluido e da fronteira, isto é, Vr = Vf - Vb. Ela é invariante em relação ao referencial.


Um tanque grande contendo um fluido incompressível tem a válvula aberta para atmosfera em t = 0.

Considere: (i)altura de líquido h0 constante (ii)velocidade no interior do tanque é

desprezível e (iii)escoamento se dá sem atrito. Modele o escoamento no trecho horizontal do tubo.

S.C.

ho ~ const.

U(t)

2

o

oo

dU UResposta : L gh 0

dt 2

2ghU t 2gh Tanh t

2L

Z

XRef. I.

{

b

2 2I I

r eixo

V.C. S.C.

h

Forma simplificada Eq. Energia: fronteira fixa V =0 e ref. inercial dR/dt= =0

d V V pˆ ˆgz u d gz u n V dA Q W W

dt 2 2

rr & &



Uma bomba retira água de um resevatório através de um tubo de aspiração de 150 mm de diâmetro. A extremidade do tubo de aspiração está 2 m abaixo da superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (2m acima da superfície do reservatório) indica 170 kPa. A velocidade média no tubo de descarga é de 3 m/s. Se a eficiência da bomba for de 75% , determine a potência necessária para acioná-la.

Considerações:1.D reserv. >> d tubulação2.Vel. Reserv. 03. perdas por atrito desprezíveis

Z1=2 m

weixo

d1=150mm d2=75mm 170kPa

V2=3m/s

Z

XRef. I.

{

b

2 2I I

r eixo

V.C. S.C.

h



dt 2 2

rr & &


{

b

2 2I I

r eixo

V.C. S.C.

h



dt 2 2

rr & &

Bernoulli : um caso especial

• Regime permanente, d/dt = 0• Uma entrada e uma saída• Referencial estacionário,

WVNI = WPNI = 0• Ausência de trabalho de eixo• Fronteira não deformável, Vb = 0



A igualdade é válida somente se o termo de irreversibilidade for nulo, isto é, se não houver transferência de calor nem atrito viscoso


Bernoulli


Um jato de água emerge de um orifício com área A0 e possui uma velocidade V0. A componente horizontal do

jato permanece constante a medida que o jato é defletido pela gravidade. Determine a velocidade resultante do jato Ve, a distância h e a sua área transversal Ae numa seção com 45º de inclinação.

22 2 0e 0 e 0

Resp.

V 2V 2V , h e A A

h 2= = =


h0

M

Vj

V0

Um disco de massa M é solto de uma altura H > h0 (alt. equilíbrio). Determine h0.

Considere que:(i) Jato de líquido com dens. (i) No bocal: (A, Vj) definidos.(ii) O jato atinge o disco com V0 e é defletido radialmente ao longo da direção X.

( )2 20 j j 0

Re sp.

1V m M g e h V V

2g× = × = -


• Veja exercícios resolvidos no link: Exercícios Resolvidos de Q. Mov e 1ª Lei


Eq. Energia x Q. Movimento

• Para escoamentos incompressíveis, sem transferência de calor (adiabáticos) e em regime permanente, a Equação da Energia e a Equação de Quantidade de Movimento são Linearmente dependentes.

• Consequência: pode-se usar tanto uma quanto outra para resolver os problemas.


Ex– O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e r). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o. A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração.

U

MVj

Aj

rX

Z

S.C.

1

2

S.C. não deformável, Vb =0, mas que se desloca com velocidade U(t)

Resposta: A) U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/t e t = (M/2)/(rAjVj)

IM250 Prof. Eugênio RosaVel

oci

dad

es R

elat

ivas

x A

bso

luta

s

Velocidade de um referencial que se move com o carro:

r1 j r2 jˆ ˆV V U i e V V U i

r r

Relação entre Vr e VI -> VI = Vr + U Velocidades inerciais V1 e V2:

1 j j

2 j j

ˆ ˆV V U U i V i e

ˆ ˆV V U U i 2U V i

r

r

U

MVj

Aj

r

X

Z

S.C.

1

2 x

z


2 2 2I I I

shaft

2 1

V V Vd P Pu gz u gz u gz m Q W

dt 2 2 2

& &&

Isotérmico (u=0), P = Patm sem transferência de calor e trabalho na S.C.:

2 2 2I I I

2 1

V V Vdm 0

dt 2 2 2

&

Fluxo E.K. cruza a S.C.

2

22 2j jI I

j j

2 1

2U V VV Vm V U A

2 2 2 2

&

Variação E.K. dentro do V.C.:

2IVd dU

MUdt 2 dt

Eq. Final 2

j j

dU2 V U A M

dt

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