Il TUTTO e le sue PARTI

Le Pierangiolate n.7Le Pierangiolate n.7

Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche

Luca Chiantini presenta

Il TUTTO e le sue PARTI

Giochi di Archimede ---- 27 novembre 2013

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.

METODO 1

Area cercata = Area del quadrato - Aree dei trapezi

4 ?

Area di un trapezio = ½ (base maggiore + base minore ) x altezza

1 ½ 1

= 3 / 4

Area cercata = 4 – 4 x (3 / 4) = 1 mq

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.

METODO 2

Decomponiamo la figura in quattro parti

Area cercata = ¼ (area del quadrato) = 1 mq

In ciascun quadratino la figura occupa ¼ dell’area totale

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.

Il METODO 2 è migliore del METODO 1

Area cercata = ¼ (area del quadrato)

Non richiede alcuna conoscenza di calcolo delle aree

Può essere facilmente generalizzato

La figura assegnata somiglia molto ad una girandola

Il METODO 2 può essere facilmente generalizzato

PROBLEMA: calcolare l’area di una girandola

....

PROBLEMA : area del cerchio non coperta dal triangolo

PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.

che figura è?

Santa Brigida di Kildare Croce di S. Brigida

METODO 2

Decomponiamo la figura in quattro parti

PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’

Due figure che possono essere decomposte in parti congruentihanno la stessa area

«se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»

EUCLIDE – Elementi, libro IEQUI-DECOMPONIBILI

PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’

«se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»

EUCLIDE – Elementi, libro I

Due figure che possono essere decomposte in parti congruentihanno la stessa area

congruenti =possono essere trasformate l’una nell’altra mediante un movimento rigido del piano

sono congruenti?

PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’

«se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»

EUCLIDE – Elementi, libro I

Due figure che possono essere decomposte in parti congruentihanno la stessa area

congruenti =possono essere trasformate l’una nell’altra mediante un movimento rigido del piano

stessa areaalle figure piane è associato un numero (area) che non cambia se si opera un movimento rigido del piano

uguali brutto termine perché ambiguo

stessa areaalle figure piane è associato un numero (area) che non cambia se si opera un movimento rigido del piano

L’area di una figura geometrica è INVARIANTE per congruenze

GEOMETRIA studio delle proprietà delle figure che sono invarianti,

rispetto ad un prefissato insieme di trasformazioni,

ad esempio rispetto alle congruenze.

Felix KLEIN

Programma di Erlangen (1872)

Geometria metrica

affinità

similitudini

proiettività

congruenze

Geometria descrittiva

Geometria affine

Geometria proiettiva

se invece dei movimenti rigidi si considerano le similitudini, l’area non è più un’invariante

ma la misura degli angoli sì.

Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e Scienze Matematiche

altre invarianti per congruenze

volume dei solidi

Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno lo stesso volume

Principio di equi-decomponibilità per volumi

ESEMPIO: volume di una piramide

V = B x h

3

versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà

PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI

Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli in figure della stessa area, hanno uguale volume. 1598 - 1647

equi-decomponibiltà

versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà

PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI

Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli in figure della stessa area, hanno uguale volume. 1598 - 1647

equi-decomponibiltà

} dx

Matematica infinitesimale dx

dx + dx + dx + dx + ..... < 1 (dx)2 = 0

ARCHIMEDE diSIRACUSA

Area ABC = 8 x Area ADB

Area del segmento parabolico

serie numerica

+ .... =+ .... =

ARCHIMEDE diSIRACUSA

Area ABC = 8 x Area ADB + equi-decomponibilità

Area del segmento parabolico

Area segmento =

serie numerica

equi-decomponibiltà

= ?

ARCHIMEDE diSIRACUSA

versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà

?

le serie infinite hanno proprietà ASSOLUTAMENTE non banali

se maneggiate SENZA CURA conducono a paradossi

Galileo Newton Leibniz

le serie infinite hanno proprietà ASSOLUTAMENTE non banali

se maneggiate SENZA CURA conducono a paradossi

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ....

(-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + ....

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ....

][

[[[

[[ [

]

]]]

] 0

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + .... 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + .... 1(-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + .... -1

x1 = y1 x2 = y2 ....

quindi AB e CD sonoequi-decomponibili?

ma NON hanno la stessa lunghezza

Ma anche la NORMALE equi-decomponibilità PUO’ portare a CONCLUSIONI ERRATE

CRITICA alla EQUI-DECOMPONIBILITA’

PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’

Due figure che possono essere decomposte in parti congruentihanno la stessa area

NON PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’Due figure che possono essere decomposte in parti congruentisono uguali

«se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»

EUCLIDE – Elementi, libro I

PRINCIPIO SBAGLIATO di EQUI-DECOMPONIBILITA’

Due figure che possono essere decomposte in parti

congruenti sono UGUALI.

MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti

Aristotele Marx

vediamo alcuni esempi in cui proprietà geometriche non dipendonoSOLO dalle parti che compongono un oggetto

MA ANCHE dal modo in cui le parti sono collegate insieme

MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti

la somma è un concetto chiaro sui numeri, ma NON su insiemi o figure geometriche (insiemi di punti)

somma = unione?

PROBLEMA: in una classe ci sono 12 bambini biondi e 15 bambini con gli occhi azzurri. Quanti bambini formano (come minimo) la classe?

RISPOSTA: 15 non 27!

NO

biondi

occhiazzurri

biondi biondi biondi

occhiazzurri

occhiazzurri

occhiazzurri

RISPOSTA: 15

TANGRAM

NON si possono sovrapporre i pezzi

queste figure non sono uguali

anche se hanno la stessa area

MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti

somma = unione? NO

PROBLEMA: in un anno normale (= senza squalifiche) una contrada che non corre d’obbligo né a Luglio né a Agosto, quante PROBABILITA’ ha di correre ALMENO UN Palio?

probabilità di uscire a Luglio

probabilità di uscire ad Agosto

+ 60%=

probabilità di uscire sia a Luglio che ad Agosto + -

51%formula di Grassmann# (A u B) = # (A) + # (B) - # (A n B)

anche senza sovrapposizioni, le cose non filano lisce

nastro di Moebius

il nastro di Moebius e il cilindro sono equi-decomponibili

ma ben diversi!

ACGGTCACTAC

MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti

L’equi-decomponibilità però funziona per le aree e i volumi

invarianti numerichele operazioni sui numeri sonoCOMMUTATIVE

Le operazioni su parti di un tutto NON sono commutative

metto una piramide

metto un cubo

non è uguale a

metto un cubo

metto una piramide

anche se il volume è lo stesso

Molte delle principali operazioni su numeri sono commutative

ma ci sono anche operazioni non su numeri che spesso non sono commutative

l’operazione più potente del mondo

quella che tutti facciamo dalla mattina alla sera

fare una cosa dietro l’altracomposizione

non è commutativa!

prima guardare se viene nessuno e poi attraversare la strada

non e la stessa cosa che prima attraversare la strada e poi guardare se viene nessuno

mettere prima un cubo e poi una piramide

non è uguale a

mettere prima una piramide e poi un cubo

fare prima una simmetria e poi una rotazione.

fare prima una rotazione e poi una simmetria

non è la stessa cosa che

Il mondo è pieno di operazioni non commutative

specchio specchio

Geometria Differenziale

Studia oggetti geometrici che localmente (cioè nelle vicinanze di ogni punto) sono banali e tutti uguali, ma le cui proprietà globali differiscono.

concludendo: anche per la Matematicail tutto NON è uguale alla somma delle sue parti

ma:alcune invarianti del tutto sono uguali alla somma delle invarianti delle sue parti

e quest’ultimo fatto non è mai scontato

(aree, volumi, ecc.)

« o studianti, studiate le matematiche,e non edificate sanza fondamento »

S A T O RA R E P OT E N E TO P E R AR O T A S

i metodi

ha in pugno

e ne conosce anche i limiti

Grazie per l’attenzione