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Il teorema di Pitagora nel suo sviluppo storico. Veronica Gavagna Università di Salerno. - PowerPoint PPT Presentation
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Il teorema di Il teorema di PitagoraPitagoranel suo sviluppo storiconel suo sviluppo storico
Veronica GavagnaVeronica Gavagna
Università di SalernoUniversità di Salerno
In letteratura…In letteratura…
Posso affermare, senza tema di smentita, che la legge di Pitagora esprime una verità eterna. Ancor prima che il sole splendesse nel firmamento, ancor prima che ci fosse aria da respirare, il quadrato dell’ipotenusa era uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati.
Malba Tahan, Una perla pericolosa, in
L’uomo che sapeva contare. Una raccolta di avventure matematiche, Salani, 1996.
In letteratura…In letteratura…
Esaminando i libri di geometria, si chiese se davvero valeva la pena saper leggere; di quei testi conservò una lunga frase che tirava fuori nei momenti di malumore: “In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è il lato opposto all’angolo retto”. Frase che in seguito avrebbe causato stupore tra gli abitanti di El Idilio, che la accoglievano come uno scioglilingua assurdo o un’abiura inoppugnabile.
L.Sepulveda, Il vecchio che leggeva romanzi d’amore, Guanda 1993.
Se il mondo rinuncia all’arte di Se il mondo rinuncia all’arte di ricordarericordare
… Che cosa vale la pena di tenere a mente, di mettere nel proprio teatro della memoria? Quel che ci mettevamo fino a poco tempo fa? Per esempio le tabelline, il teorema di Pitagora, il Cinque Maggio, i Dieci Comandamenti, la data di Waterloo, le declinazioni latine, i numeri telefonici…
Marino Niola (La Repubblica 7 marzo 2011)
Il caso Scafroglia… Il caso Scafroglia…
Lo sapevate?? Il quadrato costruito sull’ipotenusa è il doppio di quello sui cateti… ma la qualità è scadente e dopo un anno lo butti! È così! È capitato a mia sorella! Fidatevi!
Corrado Guzzanti, Il caso Scafroglia 2002
Fra i matematici…Fra i matematici…
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
9292 dimostrazioni del Teorema di Pitagora
Elisha Scott Loomis, The Pythagorean proposition (ristampa,
1968)
397397 dimostrazioni
Molte etichetteMolte etichette
Ponte degli asini (in Francia) Dulcarnon (“proprietario di due corna”)Teorema del mulino a ventoTeorema della giovane sposa Teorema della sedia della sposa
Teorema dell’ipotenusa
IlIl teorema di Pitagora teorema di Pitagoraè di Pitagora ?è di Pitagora ?
Pitagora Pitagora (Samo 575 a.C.– Metaponto 495 a.C)
AcusmaticiAcusmatici: discepoli che ascoltavano le lezioni del maestro, venendo così a conoscenza dei soli precetti pratici della dottrina
MatematiciMatematici: discepoli iniziati alle dottrine segrete
IlIl teorema di Pitagora teorema di Pitagoraè di Pitagora ?è di Pitagora ?
• Non esiste alcuna testimonianza anteriore al I sec. a.C. di un’attività scientifica (e matematica in particolare) di Pitagora
• Unica eccezione parrebbe il distico di Apollodoro
Come quando Pitagora scoprì la famosa Come quando Pitagora scoprì la famosa figurafigura
Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoibuoi
Come quando Pitagora scoprì la Come quando Pitagora scoprì la famosa figurafamosa figura
Per la quale offrì un glorioso sacrificio Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoiai buoi
PlutarcoPlutarco (I-II sec.)
Diogene LaerzioDiogene Laerzio (II-III sec.) identificano Apollodoro con Apollodoro
il Calcolatore (IV sec. a.C.) ma è arbitrario
VitruvioVitruvio (I sec. a.C.) cita il sacrificio a proposito della terna 3,4,5
Proclo Diadoco (V sec.)Proclo Diadoco (V sec.)In primum Euclidis Elementorum libri commentariiIn primum Euclidis Elementorum libri commentarii
Se si crede a coloro che vogliono indagare gli avvenimenti antichi, si potrà anche trovare qualcuno che attribuisce il teorema a Pitagora e che assicura che egli abbia sacrificato un bue dopo la scoperta. Quanto a me, seppure sia meravigliato di coloro che per primi hanno riconosciuto la verità del teorema, ammiro ancora di più l’autore degli Elementi non solamente per la dimostrazione che ha provato definitivamente il teorema, ma anche per la generalizzazione che ne ha dato nel libro VI…
IlIl teorema di Pitagora teorema di Pitagoraè di Pitagora ?è di Pitagora ?
• Proclo è scettico sull’attribuzione a Pitagora del teorema
• Attribuisce esplicitamente la dimostrazione a Euclide
Le fonti sembrano attestare a Le fonti sembrano attestare a Pitagora o ai pitagorici una Pitagora o ai pitagorici una qualche scoperta matematica, qualche scoperta matematica, ma non sono concordi su quale ma non sono concordi su quale potesse essere.potesse essere.
IlIl teorema di Pitagora teorema di Pitagoraè di Pitagora ?è di Pitagora ?
• Il teorema di Pitagora quasi Il teorema di Pitagora quasi certamente NON è di Pitagoracertamente NON è di Pitagora
• L’attribuzione a Pitagora tuttavia si consolida e si conserva anche nelle edizioni rinascimentali degli Elementi
Federico CommandinoFederico CommandinoDe gli Elementi d’Euclide libri quindidici (1575)De gli Elementi d’Euclide libri quindidici (1575)
Questo theorema è attribuito à Pythagora, & dicono che quando egli l’hebbe trovato sacrificò un bue. Ma quello che scrive Euclide nel sesto è molto piu universale, perche dimostra che ne triangoli rettangoli la figura che si fa dal lato sottoposto all’angolo retto è uguale alle figure fatte da i lati, che l’angolo retto contengono, simili & similmente descritte.
Cristoforo Clavio S.J.Cristoforo Clavio S.J.RecensioRecensio degli degli ElementiElementi (1574) (1574)
Possiamo congetturarePossiamo congetturareun’attribuzione?un’attribuzione?
Prima di tutto dobbiamo distinguere fra
teoremateorema e regolaregola
Civiltà babiloneseCiviltà babilonese
1. Tavoletta Yale 7289
2. Tavoletta Plimpton 322
3. Tavoletta di Susa
4. Tavoletta Tell Dhibayi
Tavoletta YBC 7289Tavoletta YBC 72891900 a.C. – 1600 a.C.
Tavoletta YBC 7289Tavoletta YBC 72891900 a.C. – 1600 a.C.
Sul lato del quadrato (in forma decimale)
3030Sulla diagonale
1,4142131,414213 (~ √2)
42,4263942,42639 = 30 * 1,414213
Tavoletta Plimpton 322Tavoletta Plimpton 322Columbia UniversityColumbia University
Tavoletta di SusaTavoletta di Susa
Determinare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo isoscele di lato e base noti
Tavoletta di Tell DhibayiTavoletta di Tell Dhibayi Determinare l’area di un rettangolo
di cui sono noti l’area e la diagonale
Tavoletta BM 85 196Tavoletta BM 85 196~ 1700 a.C.~ 1700 a.C.
Una trave lunga 0;30 GAR è appoggiata a un muro.
La sua altezza da terra è 0;60 GAR più bassa di quanto sarebbe se fosse appoggiata verticalmente al muro.
Quanto dista la base della trave dal muro?
SulbasutraSulbasutra 1500 a.c - 200 a.C. 1500 a.c - 200 a.C.
I Sulbasutra raccolgono varie regole di misurazione
Baudhayana Sulbasutra Baudhayana Sulbasutra (800 a.C.)(800 a.C.)
La fune che è stesa lungo la diagonale di un quadrato produce un’area doppia del quadrato originale
Matematica cineseMatematica cinese
Chou Pei Suan Ching(Il libro dello gnomone e
delle orbite circolari)
Teorema Kou ku (Gou Gu)
Il problema del bambù Il problema del bambù spezzatospezzato
Chiu Chang Shuan Shu(I nove capitoli di arte
matematica) 206 a.C. -220 d.C. – 246 problemi
Un bambù alto 32 cubiti si è spezzato a causa del vento. La sua estremità superiore tocca il terreno ad una distanza di 16 cubiti dalla base del fusto.Dimmi, o matematico, a quale altezza si trova la frattura?
Pier Maria CalandriPier Maria CalandriAritmetica (1491)Aritmetica (1491)
Pier Maria CalandriPier Maria CalandriAritmetica (1491)Aritmetica (1491)
Pier Maria CalandriPier Maria CalandriAritmeticaAritmetica
La dimostrazione del La dimostrazione del teoremateorema
Il caso del triangolo rettangolo isoscele
si “vede” immediatamente
Il Il MenoneMenone di Platone di Platone
• Socrate.Socrate. Coloro che se Coloro che se intendono chiamano intendono chiamano questa linea diagonale questa linea diagonale sicché, se essa ha sicché, se essa ha nome diagonale, allora nome diagonale, allora dalla diagonale, come dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di tu dici, o ragazzo di Menone, si può Menone, si può ottenere l’area ottenere l’area doppia. doppia.
• RagazzoRagazzo – Certamente, – Certamente, o Socrateo Socrate
Una dimostrazione Una dimostrazione visuale visuale generale?generale?
Il quadrato azzurroa destra è veramenteun quadrato?
Mondrian, Composizione con rosso,blu e giallo (1930)
I rischi delle dimostrazioni I rischi delle dimostrazioni visualivisuali
La dimostrazione di Euclide La dimostrazione di Euclide ElementiElementi, I.47, I.47
La dimostrazione del teorema sembra un po’ artificiale: esistono dimostrazioni più semplici ma non usano risultati così elementari.
Perché il “teorema di Pitagora” viene Perché il “teorema di Pitagora” viene collocato alla fine del primo libro collocato alla fine del primo libro degli degli ElementiElementi??
La quadraturaLa quadraturadelle figure rettilineedelle figure rettilinee
Nei primi due libri degli Elementi, Euclide affronta il problema della quadratura delle figure rettilinee. L’ultima proposizione del libro II recita
II.14II.14 Costruire un quadrato uguale Costruire un quadrato uguale a una figura rettilinea dataa una figura rettilinea data
Il teorema di Pitagora (I.47) è uno dei pilastri su cui poggia II.14
Il problema della Il problema della quadraturaquadratura
delle figure rettilineedelle figure rettilineePossibili strategie
Byrne’s edition (1847)Byrne’s edition (1847)
http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html
Byrne’s edition Byrne’s edition
GeneralizzazioniGeneralizzazioniProposizione II.12 degli Proposizione II.12 degli ElementiElementi
In un triangolo ottusangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo ottuso è maggiore dei due quadrati costruiti sui lati che contengono il quadrato
GeneralizzazioniGeneralizzazioniProposizione II.13 degli Proposizione II.13 degli ElementiElementi
GeneralizzazioniGeneralizzazioniProposizione VI.31 degli Proposizione VI.31 degli ElementiElementi
Le lunuleLe lunuledi Ippocrate di Chio (IV sec. di Ippocrate di Chio (IV sec.
a.C.)a.C.)
La proposizione VI.31 (th. di Pitagora esteso)
vale anche se costruiamo dei semicerchi sui lati
Le lunuleLe lunuledi Ippocrate di Chio (IV sec. di Ippocrate di Chio (IV sec.
a.C.)a.C.) Rosso = giallo +
Giallo
Rosso = triangolo + segmento + Segmento
Triangolo = lunula + Lunula
GeneralizzazioniGeneralizzazioniIl Il Teorema di PappoTeorema di Pappo ( (Collezioni matematicheCollezioni matematiche, ,
IV libro)IV libro)
Riferimenti bibliograficiRiferimenti bibliografici
A. Cerasoli, Mr. Quadrato, Sperling & Kupfer 2006
B.Vitrac, Sur Pythagore et le “théorème de Pythagore”, in Euclide, Les Éléments, PUF, vol.1 1990, pp.310-321
Pitagora e il suo teorema, a cura di E.Giusti, Firenze, Polistampa 2001
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858%20