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Il pricing dei derivati: Metodo di Montecarlo, Path Integrals. L. Bellucci, G. Cipriani M.Rosa-Clot, S.Taddei Firenze E. Bennati Dip Scienze Econ. (Pisa) M.Cerchiai, C.Giannotti G. Einaudi, P. Rosa-Clot (Pisa) A. Amendolia, (Sassari). Un indice di borsa: il cambio EURO/$. - PowerPoint PPT Presentation
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Il pricing dei derivati:Metodo di Montecarlo, Path Integrals
L. Bellucci, G. Cipriani M.Rosa-Clot, S.Taddei Firenze
E. Bennati Dip Scienze Econ. (Pisa)
M.Cerchiai, C.Giannotti G. Einaudi, P. Rosa-Clot (Pisa)
A. Amendolia, (Sassari)
Analisi dell’indice
• Ci sono andamenti di lungo periodo • Si sovrappongono movimenti veloci
Rumore
Fisici e ingegneri chiamano rumore tutti quei fenomeni impreditibili che alterano il processo fisico e le sue leggi di fondo
Volatilità
Gli economisti chiamano volatilità la rapida fluttuazione di un indice o di un prezzo determinata dalle spinte impredittibili del mercato
La legge binomiale
• Si assume che ci sia una probalbilità definita che abbia luogo un evento (1/2 se si lancia una moneta e si vuole trovare testa) e si chiede con quale frequenza compare testa in un certo numero di lanci.
• In generale
Eventi casuali Rischio
Esempio canonico : il lancio della monetatesta p=.5croce q= .5
p + q = 1
Distribuzione Binomiale Curva Gaussiana
mNqmpmmN
NNmp
!)!(
!),(
Distribuzioni di probabilità
• Come verificare che la legge gaussiana è vera ? • Osservando molte volte l’evento !• Quante volte ? Moltissime ! ! !• Processo di Wiener : per il lancio della moneta
abbiamo assunto x= 1 x =w
• MATALAB: BINOMIALE
Il continuo e il metodo di Montecarloun semplice caso di barriera
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
monte1.m
Processo di Wiener
In generale assumiamo:
x =x,t)t + (x,t) w
In particolare per esempio si ha
r =a (b - r ) t + w Vasicek
oppure
r =a (b - r ) t + r w CIR
Il caso generale: equazioni stocastiche
• Soluzioni analitiche (in pochi casi)
• equazione differenziale (Fokker Plank) • metodo di montecarlo (lunghi tempi di CPU)• Metodi discretizzati ad albero
dWtxdttxdx ),(),(
),,,(22),(
21),,,(),(),,,( txTyF
xtxtxTyF
xtxtxTyF
t
E la corrispondente equazione differezniale
Le tecniche di soluzione
• Soluzioni analitiche (in pochi casi)
• Soluzione della equazione differenziale (metodo generale ci sono problemi matematici delicati)
• metodo di montecarlo (lunghi tempi di CPU)
• Metodi discretizzati ad albero (funziona bene solo in casi 1D)
• Metodo dei Path Integral (funziona in 1 2 3 dimensioni ed è rapido e generale)
Una realizzazione del modello CIR
0 2 4 6 8 10 120
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2Cox, Ingersoll, Ross a= 0.5 b= 0.1 sigma= 0.075
monte3.m
Modelli realistici
• Il modello di Vasicek ha seri limiti (ammette per esempio tassi di interesse negativi)
• Un modello migliore è quello CIR (Cox Ingersoll Ross) che sostituisce ad una volatilità costante una legata alla radice del tasso. Tale modello ammette soluzioni analitiche.
• PROBELMA I : sganciarsi dai modelli e utilizzare i tassi “reali”
• PROBLEMA II: valutare un funzionale generico
Cosa è un funzionale
0 2 4 6 8 10 120
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2Cox, Ingersoll, Ross a= 0.5 b= 0.1 sigma= 0.075
Nella figura accanto
tutto quello e supera la linea nera viene pesato
calcolato attualizzando il valore col tasso di
interesse corrispondente
I funzionali possono essere molto complicati: per esempio i possono
essere barriere, oppure cedole,
oppure il diritto di esercizio di qualche clasuola
Calcolare un funzionale comporta
• Mediare su tutti i cammini possibili
• Ma icammini possono dipendere dal funzionale stesso
• Quindi iterare moltissimi processi mediando i diversi risultati
• MONTECARLO
• Discretizzare il processo a step finiti
• Conoscere la distribuzione di probabilità ad ogni istante
• Integrare numericamente sulle distribuzioni
• PATH INTEGRAL
Path Integral 1
• La distribuzione di probabilità condizionata (y,t,x,0) dà la probablità di trovare il valore y della variabile al tempo t essendo nota la distribuzione al tempo t=0.
• Per tale distribuzione vale la legge di composizione
dzxzztyxty )0,,,(),,,()0,,,(
Path Integral 1
Path Integral 2
• Per piccoli incrementi temporali si ha in generale
ttxxLetxt
txtty
),,(
),(21),,,(
Con
txyx
ttxxtx
txxL
)(
),(),(2
1),,(2
2
• Si tratta ora di effettuare N convoluzioni ottenendo in tal modo l’ampiezza di probabilità per tempi finiti.
• La grandezza (y-x)/t rappresenta una specie di velocità e la funzione L(x,v,t) è la lagrangiana del sistema.
tred.m
Path Integral 3
Realizzazione di alcuni cammini
0 2 4 6 8 10-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 Partendo da zero
si realizzano
5 diversi percorsi
La funzione di
trasferimento è nota per ogni
intervallo t
path1.m
Il formalismo di Feymann• Wiener formula la teoria degli integrali stocastici nel 1921
• Feynman introduce il concetto di path integral in meccanica quantistica nel 42.
• Non vengono applicati fino al lavoro di Kreutz e Freedman del 1981 (problemi di calcolo)
• Poi esplodono gli approcci Montecarlo: problema di tempo ma “multidimensionalità”
• Più recentemente approcci “deterministici”: Rosa-Clot e Taddei. Molto veloci ma bassa dimensionalità: <4.
• Basta e avanza per i mercati finanziari.
Vantaggi formali e numerici
• Teoria solidamente fondata
• Sono noti tutti i casi analitici e le loro possibili estensioni
• Si riproducono tutti i casi noti in letteratura
• Sono note molte tecniche approssimate
• Numericamente stabile• Da fondamento più
generale agli alberi• E’ molto veloce
(quanto gli alberi)• Permette di estendere
a casi complessi la valutazione del funzionale
Il funzionale
• In genere si tratta di valutare grandezze che dipendono dalla realizzazione del processo stocastico.
• Esempi tipici sono il cap e la put american
Esempio di un cap
)),(()0,,,()(
trPedrEstrCdr
dreEdrtrP
)(),(Con
Questa definizione formale si traduce numericamente in una
prescrizione molto semplice: quando il tasso di interesse
supera il valore si calcola attualizzato il valore in eccesso.
Esempio di una put american
0 2 4 6 8 10-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
L’opzione viene
esercitata quando
il suo valore scende
sotto un valore tale
da massimizzare il
guadagno
path1.m
Il problema delle volatilità
Un problema aperto e molto complesso è quello delle fluttuazioni non gaussiane degli indici di borsa.
In altre parole ci sono scarti molto elevati rispetto al valore della deviazione standard: la teoria prevede che la probabilità di una fluttuazione maggiore di 3 volte la deviazione standard sia 1/1000
In realtà abbiamo spesso deviazioni che sono 10 volte superiori alla deviazione standard