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IL FASCINO DELLESIMMETRIE INFRANTE
Quasicristalli, tassellature e antichimosaici
Tesina diArianna Magni
Liceo scientifico Alessandro Volta Milano
IndiceIntroduzione.........................................................................................................3
1. La cristallografia tradizionale.........................................................................5
Gruppi cristallografici.......................................................................................6
Le isometrie...................................................................................................6
Cristalli..........................................................................................................7
Tassellature...................................................................................................7
I fregi.............................................................................................................8
Le restrizioni cristallografiche..........................................................................11
2. I quasicristalli..............................................................................................13
La scoperta.....................................................................................................13
Quasicristalli in natura...................................................................................14
Le proprietà fisiche dei quasicristalli...............................................................14
Applicazioni tecnologiche................................................................................14
3. Quasicristalli in matematica........................................................................16
La tassellatura di Penrose...............................................................................16
La storia delle tassellature aperiodiche............................................................18
4. Le tassellature nell’arte islamica..................................................................20
Le tessere girih................................................................................................20
Anticipazioni delle tessere di Penrose?............................................................25
Bibliografia.........................................................................................................31
Opere citate....................................................................................................31
Fonti delle immagini...........................................................................................32
2
Introduzione
Sfogliando un libro di matematica1 sono rimasta colpita da un
approfondimento dal titolo “Trasformazioni geometriche e tassellature del piano” e
mi ha incuriosito molto leggere che esiste un numero finito di tipi di tassellature
del piano, ovvero modi di ricoprire un piano ripetendo per un numero infinito di
volte una figura geometrica, senza buchi o sovrapposizioni. Questa scoperta risale
al 1891 e avvenne per opera di E.S. Federov, un cristallografo russo che dimostrò
che sono possibili sono 17 tipi di tassellature del piano. Mi ha sorpreso molto
sapere che essi sono stati tutti realizzati dagli arabi, circa cinque secoli prima
degli studi del cristallografo russo, nelle decorazioni musive dell’Alhambra di
Granda che ho visitato circa tre anni fa. Approfondendo la ricerca ho scoperto che
esiste un’analogia nello spazio tridimensionale: è, infatti, possibile individuare
230 tipi di disposizioni di solidi regolari nello spazio, che corrispondono alle
possibili disposizioni di atomi in un solido cristallino con una struttura periodica.
Non tutti i materiali hanno però struttura cristallina. Nel 1984 David
Schechtman2 scoprì dei materiali che prendono il nome di quasicristalli. Come
suggerisce il nome essi hanno una struttura simile a cristallina, ma non
perfettamente regolare. La disposizione degli atomi nei quasicristalli è di tipo
aperiodico. Curiosamente per fornire un modello che descriva adeguatamente i
quasicristalli si fa ricorso a un particolare tipo di tassellatura aperiodica,
inventata quasi per gioco dal fisico Roger Penrose. Questo genere di tassellatura
contiene figure pentagonali e dodecagonali che sono proibite nelle tassellature
periodiche del piano.
Mi ha impressionato un articolo3 pubblicato sulla rivista Science nel 2007
scritto da Peter J. Lu e Paul J. Steinhardt, fisici americani. Essi hanno notato che
in molti edifici arabi medievali sono presenti mosaici geometrici decorativi che
contengono figure pentagonali e dodecagonali. Tra questi hanno studiato con
particolare attenzione il tempio Darbi Imam di Isfahan, Iran: le decorazioni
musive presentano una struttura aperiodica che può essere ricondotta, con lievi
3
imprecisioni, alla tassellatura di Penrose, inventata in occidente cinque secoli
dopo la realizzazione del tempio islamico.
Il lavoro è così strutturato. Il primo capitolo è dedicato alla cristallografia
tradizionale, alla spiegazione del modello classico che consiste nella
classificazione dei cristalli in 230 gruppi spaziali; per semplificare il discorso farò
riferimento riferirò ai casi bidimensionale e unidimensionale. Particolare
attenzione è posta sulle restrizioni cristallografiche, sul motivo per cui è limitato il
numero di modi in cui è possibile tassellare un piano e uno spazio
tridimensionale.
Il secondo capitolo è riservato ai quasicristalli e all’importanza della loro
scoperta che ha costretto il mondo scientifico a rivedere i fondamenti della
cristallografia tradizionale. Verranno date, inoltre, alcune informazioni sulle
proprietà fisiche e sulle applicazioni tecnologiche di questi materiali.
Il terzo capitolo tratta la tassellatura di Penrose, vista come modello utile per
comprendere la struttura dei quasicristalli.
L’ultimo capitolo è dedicato interamente all’arte islamica. Seguendo lo studio
proposto da Peter J. Lu e Paul J. Steinhardt3 esaminerò alcuni mosaici arabi
medievali.
Buona lettura!
4
1. La cristallografia tradizionale
La materia è formata da atomi legati tra loro da legami chimici di natura
diversa. A volte gli atomi sono disposti in ordine perfetto, regolare, geometrico,
altre volte no. Nel primo caso si parla di cristalli, ovvero di materiali in cui gli
atomi sono disposti in modo ordinato. La forma della struttura cristallina che essi
assumono a livello microscopico si riflette spesso nelle forme geometriche che essi
assumono a livello macroscopico. È il caso dei diamanti, del quarzo o dei cristalli
di ghiaccio, tutti costituiti da facce piane che formano tra loro angoli caratteristici
per ogni materiale. Esistono poi altri materiali, come il vetro, in cui gli atomi sono
disposti in modo disordinato; per questo motivo sono detti amorfi.
Nei cristalli gli atomi si dispongono in modo diverso a seconda della dimensione
dei diversi atomi e delle forze interatomiche che agiscono tra di essi. Lo studio
della disposizione degli atomi può essere, in alcuni casi, molto complicato.
L’analisi e la classificazione dei cristalli è stato uno dei problemi che ha
maggiormente interessato fisici, chimici e matematici tra la fine dell’800 e l’inizio
del ‘900.
Inizialmente lo studio della geometria della struttura cristallina fu effettuato
osservando la geometria cristallina, ovvero attraverso la misura degli angoli tra le
facce dei cristalli. Solo a inizio del 1900 fu introdotto un nuovo metodo di
indagine cristallografica: la diffrazione ai raggi X prodotta dal reticolo atomico in
un cristallo. Nella cristallografia a raggi un fascio di raggi X colpisce il cristallo e
viene quindi diffratto in direzioni specifiche. Dallo studio delle figure di diffrazione
prodotte è possibile costruire un'immagine tridimensionale della densità di
elettroni nel cristallo da cui si ricava le posizione degli atomi. Questa tecnica è
oggi ampiamente utilizzata per lo studio e la descrizione di molecole organiche
(proteine e acidi nucleici) e per materiali nuovi; inoltre le tecnologie attuali
consentono di effettuare diffrazioni con fasci di elettroni o neutroni, a seconda
dello scopo che ci si prefigge e dei materiali da studiare.
Il risultato più interessante raggiunto in cristallografia agli inizi del ‘900 è
quello dell’individuazione di 230 gruppi spaziali di simmetria. A questa
5
conclusione si giunse in seguito a teorie matematiche, che furono supportate da
fatti sperimentali.
Alcuni studiosi, come il cristallografo russo Fedorov (1891), provarono a
combinare tutte le classi di simmetria possibili con le operazioni traslazionali e
ottennero tutte le possibili disposizioni in uno spazio a tre dimensioni di oggetti
tridimensionali. Si poté così dimostrare che ciascun oggetto ordinato e periodico
nelle tre dimensioni deve necessariamente appartenere ad uno di 230 gruppi
spaziali.
Gruppi cristallografici
Lo studio dei gruppi di simmetria in tre dimensioni risulta essere molto
complesso e lungo. Può essere però ridotto a casi più semplici, in una o due
dimensioni.
Per affrontare questa classificazione è necessario introdurre alcuni concetti
fondamentali della geometria piana.
Le isometrie
Per isometria del piano intendiamo quelle trasformazioni di punti del piano tali
che, a movimento avvenuto, ogni coppia di punti si trovi a distanza uguale a
quella che aveva inizialmente, anche se i punti potranno chiaramente occupare
posizioni diverse da quelle di partenza. Sono movimenti di questo tipo le
traslazioni, le rotazioni intorno a un punto, le riflessioni (o ribaltamenti) rispetto a
una retta, e le glissoriflessioni, ovvero la composizione di una traslazione e di una
riflessione rispetto una retta parallela alla direzione di traslazione.
Secondo il teorema di Chasles (1831), tutte le isometrie del piano rientrano in
uno di questi quattro tipi. Possiamo quindi eseguire una sequenza lunga a
piacere di rotazioni, traslazioni e riflessioni, ottenendo alla fine lo stesso risultato
che avremmo ottenuto se avessimo applicato una sola delle quattro isometrie
precedenti, anche se non sempre è facile scoprire quale.
Per individuare quale isometria è stata applicata, secondo il Teorema di
Chasles, è necessario osservare che se la trasformazione lascia fisso almeno un
punto si tratta di una rotazione oppure di una riflessione, mentre se non ne
6
lascia fisso alcuno è una traslazione oppure una glissoriflessione. Nel primo caso
è una rotazione se fissa un solo punto ed è una riflessione se ne fissa più di uno.
L’insieme infinito delle isometrie costituisce un gruppo; si può, infatti,
verificare che l’operazione di composizione tra isometrie gode delle seguenti
proprietà:
è associativa ha elemento neutro, detto l’isometria identica o identità, cioè il movimento
che lascia tutti i punti del piano fissi ogni elemento ha un unico inverso. Infatti a ogni isometria m corrisponde
una isometria inversa m’, ossia il movimento che eseguito dopo m fa
ritornare tutti i punti nella loro posizione di partenza.
La composizione di movimenti non è sempre commutativa ossia il risultato può
cambiare se eseguiamo le stesse isometrie, ma in ordine diverso.
Cristalli
La classificazione sistematica dei cristalli si basa sul riconoscimento degli
elementi geometrici di simmetria della struttura cristallina; tali elementi di
simmetria sono:
gli assi di simmetria i piani di simmetria i centri di simmetria.
L’analisi in tre dimensioni è molto lunga perché il numero di possibili
simmetrie è molto elevato, tanto che i gruppi cristallografici sono 230.
Concentriamoci quindi sul caso bidimensionale.
Tassellature
Si chiama tassellatura o pavimentazione la ripetizione su un piano, ottenuta
attraverso isometrie, di una stessa figura, detta tassello o modulo, per un numero
infinito di volte senza che ci siano sovrapposizioni o parti del piano non ricoperte.
Valgono inoltre le proprietà di invarianza traslazionale e invarianza rotazionale; in
altre parole immaginando di spostarci su un pavimento di questo tipo da una
piastrella all’altra con passi di lunghezza e in direzione opportuna, o ruotando su
se stessi di angoli adeguati si osserva che la disposizione delle piastrelle non
varia. In altre parole una tassellatura è periodica se può essere divisa in infinite
7
regioni congruenti, che prendono il nome di cella fondamentale o modulo, che
hanno le seguenti proprietà:
1) Due regioni non hanno punti interni in comune
2) Per ogni coppia di regioni R1 e R2 esiste un vettore che trasla l’una nell’altra e
l’intera tassellatura su se stessa
3) Nessuna coppia di punti interni a una regione gode della proprietà di
invarianza traslazionale.
Non ci sono limitazioni alla nostra fantasia per quanto riguarda la scelta del
motivo decorativo da applicare alla cella fondamentale della tassellatura. Al
contrario è limitato il numero di modi nei quali è possibile sviluppare la
tassellatura combinando opportune isometrie. In particolare esistono diciassette
gruppi di simmetria in due dimensioni rappresentati in figura 1.
Figura 1 Schema dei diciassette gruppi cristallografici nel piano
Per dare un’idea di come sono state ottenute queste classificazioni esaminiamo
il caso più semplice, in una sola dimensione. Questo genere di “tassellatura”
prende il nome di fregio.
8
I fregi
Il termine fregio in matematica indica una striscia di piano (regione di piano
compresa tra due rette parallele) coperta da copie ripetute di un motivo “base”. Le
copie sono ottenute mediante isometrie, una delle quali è necessariamente una
traslazione.
Vi sono sette possibili gruppi di simmetria per un fregio. Questi si possono
elencare mediante un nome simbolico che indica le isometrie utilizzate. Esso è
composto da quattro caratteri:
il primo segno è sempre una p che indica la traslazione il secondo segno può essere 1 o m: è una m (che sta per mirror = specchio) se
il gruppo di simmetria della figura contiene riflessioni (simmetrie assiali)
rispetto a rette verticali, altrimenti è un 1. il terzo segno può essere 1 o m o a: è una m se il gruppo di simmetria della
figura contiene una riflessione rispetto ad una retta orizzontale, è una a se il
gruppo di simmetria della figura contiene una glissoriflessione rispetto ad una
retta orizzontale, altrimenti è un 1. il quarto segno può essere 1 o 2: è 2 se il gruppo di simmetria della figura
contiene rotazioni di 180°, altrimenti è un 1.
Lo schema in figura 2 mostra come viene effettuata questa nomenclatura e i
sette gruppi di simmetria possibili nei fregi lineari.
9
SÌ SÌ SÌ NONONO
SÌ SÌ NONO
SÌ
SÌ NO
Figura 2 Schema che mostra come ottenere la classificazione dei fregi.
Analizziamo i sette gruppi, rappresentati in figura 3, nel dettaglio:
il fregio di tipo p111 (figura 3A) è ottenuto mediante la semplice traslazione del
modulo base di un vettore orizzontale di modulo maggiore alla lunghezza dello
stesso. Il fregio di tipo p1a1 (figura 3B) è ottenuto mediante glissoriflessione. Il fregio di tipo pm11 (figura 3C)è ottenuto mediante riflessioni verticali. La
prima orma azzurra sulla sinistra è l’immagine riflessa della prima orma rossa,
rispetto all’asse verticale passante tra le due. Traslando la prima coppia si
ottengono le successive. Si noti che l’orma rossa della seconda coppia è il
simmetrico di quella azzurra, rispetto all’asse che divide le due coppie. Ciò
mostra che la traslazione è il risultato della composizione tra simmetrie assiali
con assi paralleli. Il fregio di tipo p1m1 (figura 3D) è ottenuto tramite riflessioni orizzontali
dell’orma rossa, ripetute con traslazioni di vettore parallelo all’asse. Il fregio del tipo p112 (figura 3E) è ottenuto con una rotazione di 180° (simmetria
centrale) rispetto al punto segnato in verde e con traslazioni ripetute della prima
coppia. La terza orma può anche essere ottenuta mediante una traslazione della
prima rispetto ad un vettore orizzontale o con una simmetria centrale della
seconda orma rispetto al punto segnato in viola.
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è un fregio?è un
fregio?
ci sono simmetrie verticali?
ci sono simmetrie verticali?
ci sono simmetrie orizzontali?
ci sono simmetrie orizzontali?
pmm2pmm2 ci sono rotazioni di 180°?
ci sono rotazioni di 180°?
pma2pma2 pm11pm11
ci sono simmetrie orizzontali o
glissoriflessioni?
ci sono simmetrie orizzontali o
glissoriflessioni?
ci sono simmetrie orizzontali?
ci sono simmetrie orizzontali?
p1m1p1m1 p1a1p1a1
ci sono rotazioni di 180°?
ci sono rotazioni di 180°?
p112p112 p111p111
Il fregio di tipo pma2 (figura 3F) è ottenuto mediante rotazione di 180° dell’orma
azzurra rispetto al punto verde segnato in figura, simmetria rispetto ad un asse
verticale per ottenere l’orma rossa, un’ulteriore rotazione rispetto al punto viola
e così via. Considerando la coppia formata da un’orma azzurra ed una rossa, si
può invece notare una glisso simmetria. Il fregio del tipo pmm2 (figura 3G) è ottenuto mediante rotazioni di 180°
dell’orma rossa per ottenerla seconda orma rossa, opposta al centro di rotazione,
ed una simmetria orizzontale rispetto all’asse passante tra i talloni delle orme,
che dà origine ad immagini di colore diverso. Si può notare anche una simmetria
verticale tra le orme. Questa è una conseguenza della composizione di
trasformazioni. Infatti, componendo due simmetrie assiali con assi
perpendicolari, si ottiene una rotazione di angolo 180°. Traslando il primo
gruppo di quattro orme, si ottiene poi l’intero fregio.
11
(A) (B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
Figura 3 Schema dei sette tipi di fregi possibili: (A) fregio p111; (B) fregio p1a1;(C) fregio pm11; (D) fregio p1m1; (E) fregio p112; (F) fregio pma2; (G) fregio pmm2.
Le restrizioni cristallografiche
Per quale motivo esiste un numero limitato di gruppi? Se per quanto riguarda il
caso dei fregi può essere semplice verificare che non esiste un altro modo per
ripetere in una sola dimensione, la verifica empirica in due o tre dimensioni è
molto più complicata.
Esiste una dimostrazione matematica che verifica l’impossibilità di tassellare
un piano (o uno spazio tridimensionale) in un modo alternativo a quelli mostrati
in precedenza. Qui limitiamo a notare che la limitazione dei gruppi di simmetrie
12
possibili in un piano è conseguenza del teorema di Barlow che dimostra che è
possibile ottenere simmetrie dividendo l’angolo giro in 2, 3, 4 o 6, ma non in 5.
La periodicità è incompatibile con la simmetria rotazionale di ordine 5 σ5 e
con simmetrie di ordine superiore al sesto. Assumiamo per assurdo che esista
una tassellatura che sia periodica con una rotazione di ordine N σ N . Sia x il
centro di rotazione. Poiché si tratta di una tassellatura periodica essa contiene
infiniti centri di rotazione che si trovano a una distanza minima d tra loro. Sia
quindi y un altro centro di rotazione tale che ¿ x− y∨¿d . Applicando una
rotazione di 2ΠN intorno a x, si ottiene un altro centro di rotazione y’
(trasformato di y) la cui distanza da x deve essere maggiore di d: ¿ x−y'∨≥d .
Ciò è possibile solo se N ≤6 , come mostra la figura 4A. Se N=5 allora
¿ x− y∨¿d , ma sorge un altro problema. Poiché y è un altro centro di rotazione
è possibile effettuare una rotazione intorno ad esso che porti x in x’. Ma
¿x'−y'∨¿ d (vedi figura 4B) Risulta quindi impossibile la simmetria σ5 .
(A) (B)Figura 4 (A) L’angolo di rotazione non può essere inferiore a
Π 3 ; (B) L’angolo di rotazione non può essere 2Π5 .
Analogamente, nello spazio tridimensionale sono impossibili simmetrie
rotazionali di ordine 5; in particolare è impossibile avere come cella fondamentale
l’icosaedro (solido regolare con 20 facce triangolari). Queste limitazioni prendono
il nome di restrizioni cristallografiche.
13
x
y'x'
y
y'
d
d d
x yd
d
d
d
72
2. I quasicristalli
La scoperta
Tornando alla cristallografia, verso la
metà del ‘900 la maggior parte delle
problematiche relative allo studio e alla
classificazione dei cristalli sembravano
essere risolte, supportate da numerose
teorie algebriche. Fino al 1984 si credeva
che non ci fossero alternative tra lo stato
cristallino e quello amorfo, tra il perfetto
ordine e il disordine. In quell’anno il
ricercatore israeliano David Schechtman2
osservò al microscopio elettronico alcuni
campioni di una lega di alluminio e
manganese che aveva preparato. Egli notò
la presenza di una simmetria icosaedrica o quinaria all’interno del materiale,
analoga a quella visibile in figura 5.
Tali materiali furono chiamati quasicristalli. Questa scoperta sconvolse
l’ambiente scientifico e per alcuni anni non fu accettata. Nel dicembre 2011 David
Schechtman ha ricevuto il premio Nobel per la chimica per la scoperta dei
quasicristalli. Nella motivazione si legge che «A differenza di quanto si riteneva,
Schechtman ha scoperto che gli atomi possono disporsi in una forma non periodica,
una scoperta estremamente controversa tanto che per questo motivo gli venne
chiesto di lasciare il suo gruppo di ricerca. Tuttavia la sua battaglia a difesa delle
sue idee ha costretto gli scienziati a riconsiderare le loro concezioni sulla natura
stessa della materia». Infatti, l’osservazione di Schechtman metteva in crisi quelli
che ormai erano considerati i fondamenti della cristallografia, ovvero
l’inconciliabilità tra simmetrie rotazionali quintuple e periodicità, nel piano, e tra
simmetrie icosaedriche e periodicità, nello spazio tridimensionale. Negli anni
successivi furono scoperti molti altri materiali che presentavano caratteristiche
14
Figura 5 Immagine al microscopioelettronico di un quasicristallo diuna lega alluminiorame e ferro,che mostra una forma consistentecon una simmetria icosaedrica.
analoghe a quelle della lega di Schechtman. Attualmente sono stati trovati, nei
laboratori di tutto il mondo, molti cristalli con simmetrie proibite dal teorema di
restrizione cristallografica che presentano una struttura a periodica e per questo
chiamati quasicristalli.
Quasicristalli in natura
La maggior parte dei campioni di quasicristalli conosciuti sono stati sintetizzati
in laboratorio in condizioni controllate e in piccole quantità. Nel 2009 un gruppo
di ricercatori guidati dal mineralologo Luca Bindi4 ha trovato sull’Altopiano dei
Coriacchi, nella Siberia orientale, una lega di alluminio, rame e ferro che presenta
una struttura icosaedrica tipica dei quasicristalli. Questo quasicristallo è l’unico
campione trovato finora in natura e si presenta in frammenti microscopici
contenuti in minerali di khatyrkite e cupalite. Il ritrovamento suggerisce che i
quasicristalli si formano e rimangono stabili in determinate condizioni geologiche,
ma non è chiara l’origine di questo campione.
Le proprietà fisiche dei quasicristalli
Le proprietà fisiche e chimiche dei quasicristalli sono state ampiamente
studiate, ma molte di esse rimangono ancora misteriose. I quasicristalli sono delle
leghe metalliche che hanno scarsa capacità di condurre sia calore sia elettricità.
Un quasicristallo ha capacità di condurre calore cento volte inferiore all’alluminio
e capacità di condurre corrente elettrica un miliardo di volte inferiore a rame o
alluminio (resistenza elettrica elevata). Il motivo è che, a differenza dei metalli
come l’alluminio, di cui sono prevalentemente formati, non hanno atomi disposi
con la massima regolarità. Tuttavia la spiegazione dettagliata di questi fenomeni
è ancora poco conosciuta.
Inoltre i quasicristalli hanno una scarsa reattività chimica e tendono a non
combinarsi con altri materiali e sono quindi molto resistenti alla corrosione;
hanno anche una bassa capacità di adesione a altre sostanze, ovvero hanno un
coefficiente d’attrito molto basso.
15
Applicazioni tecnologiche
Per le loro proprietà non convenzionali i quasicristalli sono materiali molto
promettenti per potenziali applicazioni: in un non lontano futuro i quasicristalli
potrebbero comparire nella nostra vita quotidiana.
Per esempio per la scarsa reattività chimica e la resistenza meccanica
potrebbero essere utilizzati per ottenere rivestimenti antiaderenti resistenti. Per lo
stesso motivo si stanno sviluppando materiali compositi per l’industria
aerospaziale, per l’immagazzinamento dell’idrogeno. Le proprietà elettriche dei
quasicristalli fanno pensare alla realizzazione di dispositivi elettronici di nuova
concezione. Un altro importante campo d’applicazione è quello degli utensili da
taglio. L’inserimento di piccoli quasicristalli all’interno di metalli leggeri come
l’alluminio conferirebbe a questi ultimi un’adeguata resistenza meccanica per
realizzare lame leggere ma al tempo stesso robuste.
16
3. Quasicristalli in matematica
Alla luce della scoperta dei quasicristalli nel 1984 era chiaro che era necessario
rivedere e sviluppare nuove teorie. In particolare si era alla ricerca di opportuni
modelli matematici per descrivere un reticolo cristallino dal momento che non era
più possibile definire un cristallo come un solido con una struttura atomica
periodica.
Nonostante ad oggi siano stati scoperti numerosissimi quasicristalli e la ricerca
avanzi molto rapidamente, non è ancora stato definitivamente individuato un
modello matematico pienamente soddisfacente che descrivi adeguatamente
queste strutture a periodiche.
La descrizione dettagliata delle strutture aperiodiche in tre dimensioni risulta
essere molto complessa, ma, come avevamo fatto per i gruppi spaziali, è possibile
fare un parallelo con delle strutture aperiodiche bidimensionali che prendono il
nome di tassellature di Penrose.
La tassellatura di Penrose
Nel 1976 il fisico, cosmologo e matematico inglese Roger Penrose5 inventò una
tassellatura aperiodica. Egli la concepì quasi per gioco, senza immaginare che da
lì a qualche anno avrebbe potuto essere molto utile per lo studio della struttura
dei quasicristalli.
Prima di procedere con la descrizione della tassellatura di Penrose è importante
sottolineare che per questo genere di tassellatura vale la proprietà di invarianza
rotazionale per alcuni angoli, ma non quella traslazionale: è infatti impossibile
trovare un vettore che trasli la tassellatura su se stessa. Esistono però gruppi di
punti, disposti casualmente, nei quali si riscontrano uguaglianze, almeno
nell’intorno dei punti stessi.
La tassellatura di Penrose è uno schema formato da una coppia di figure che
consente di ricoprire il piano in modo aperiodico. Esaminiamola ora nel dettaglio.
Esistono più insiemi possibili di tasselli di Penrose. Uno dei più utilizzati è
composto una coppia di tasselli che può essere costruita a partire da un rombo
17
avente angoli acuti di 72° e angoli ottusi di 108°. La figura 6 mostra come
ottenere i due tasselli. Riportando uno dei lati sulla diagonale maggiore su questa
si individua un punto P che la divide in due segmenti che stanno tra loro in
rapporto aureo φ=1+√5
2. Unendo P ai vertici degli angoli ottusi, si ottengono i
due tasselli, che prendono il nome di "dardo" (dart) ed "aquilone" (kite).
Figura 6 Come ottenere i tasselli di Penrose “dardo” e “aquilone”
I tasselli devono essere uniti rispettando un'unica regola: nessuna coppia di
tasselli deve essere unita in modo che formi un singolo parallelogramma, per non
incorrere nella periodicità. I tasselli possono essere modificati con rientranze e
denti in modo da forzare l'applicazione della regola ma la tassellatura ha un
aspetto migliore se i tasselli hanno i lati lisci. È possibile disegnare degli archi di
circonferenza sulle tessere come in figura. In questo caso la regola di
composizione consiste nell’avvicinare due tessere in modo che si formino linee
continue.
Curiosamente il numero di “aquiloni”, in qualsiasi schema che ricopra il piano,
è esattamente φ =1,618... volte quello dei “dardi”.
È possibile derivare i tasselli
“aquilone” e “dardo” da un secondo
insieme di tasselli detti “rombi sottili” e
“rombi spessi”. Siano T e t due rombi
aventi i lati di lunghezza unitaria.
Supponiamo che la misura degli angoli
acuti di t sia Θ e la misura degli
18
Figura 7 I tasselli di Penrose “rombospesso” e “rombo sottile”
angoli acuti di T sia 2Θ , dove Θ=2Π5 . I rombi di Penrose sono ottenuti da T e
t aggiungendo frecce singole e doppie ai loro bordi come mostrato in figura 7.
L’unica regola di composizione è che nel caso in cui due tasselli condividano un
intero lato è richiesto che, lungo il lato in comune, i tasselli abbiano lo stesso tipo
di frecce con la stessa direzione. Senza
regole di composizione, i rombi T e t
ammettono tassellature periodiche.
Le tassellature rivelano una
simmetria rotazionale a cinque
movimenti, e cinque simmetrie assiali
rispetto a cinque assi passanti per il
centro come in figura 8. Non esiste,
però, simmetria traslazionale: questo
significa che le tassellature sono
aperiodiche, lo schema non si ripete
mai nello stesso modo. Comunque, data
una regione di schema, per quanto sia
grande, questa sarà ripetuta un numero infinito di volte nella tassellatura.
La storia delle tassellature aperiodiche
Lo studio delle tassellature aperiodiche proviene dal confluire di diverse
scoperte e linee di ricerca. Da un punto di vista filosofico, l’interesse verso la
materia comincia a prendere forma quando Hao Wang si pose il problema sulla
decidibilità di una tassellatura: dato un insieme di tasselli fondamentali, è
possibile che tale insieme formi una tassellatura del piano infinita? Nel 1961, Hao
Wang6 provò l’esistenza di un algoritmo per decidere se un dato insieme di tasselli
può tassellare o meno il piano sotto la seguente condizione: ogni insieme di
tasselli che tassella il piano, deve poter tassellare il piano anche periodicamente.
Cinque anni più tardi, Robert Berger7 scoprì che nessun algoritmo fissato può
determinare se un dato insieme di tasselli arbitrari può tassellare il piano.
Pertanto, la dimostrazione di Berger implica che devono esistere insiemi di tasselli
che ricoprono il piano soltanto non periodicamente. Il primo esempio di insieme
19
Figura 8 Esempio di tassellatura diPenrose con simmetria rotazionalequintupla
aperiodico è stato scoperto da Berger e consiste di 20426 forme di tasselli; tale
insieme successivamente è stato ridotto a 104 tasselli. Nel 1970, Raphael
Robinson8 trovò un insieme aperiodico relativamente semplice, composto da
appena sei tasselli di forma quadrata con varie incisioni ed estensioni sui bordi
per impedire la disposizione periodica. Nel 1974, Roger Penrose5 scoprì il più
semplice esempio di insieme aperiodico; esso era composto da appena due
tasselli.
20
4. Le tassellature nell’arte islamica
Com’è noto le tassellature periodiche hanno avuto un ruolo significativo
nell’arte e nei motivi decorativi.
Il credo islamico vieta la
rappresentazione pittorica di
figure di esseri umani e di
soggetti religiosi. L'ingegno
artistico islamico si è quindi
rivolto soprattutto alla
decorazione, all'architettura, al
perfezionamento dell'arte
calligrafica e ai mosaici. Tra gli
esempi più celebri ricordiamo i
mosaici arabi dell’Alhambra di
Granada e del Real Alcazar di
Siviglia.
L’Alhambra è un enorme
palazzo costruito tra il XII e il XV
secolo su un’altura alle spalle della cittadina andalusa di Granada. È famoso in
tutto il mondo per i vivaci mosaici che decorano le pareti, i pavimenti e i soffitti
come quelli in figura 9. Le decorazioni musive dell’Alhambra sono tassellature del
piano ed è possibile ritrovarvi tutti i diciassette gruppi di simmetria del piano
sparsi nelle varie ali del palazzo.
Le tessere girih
Nel 2007 Peter J. Lu, dell’università di Harvard, e Paul J. Steinhardt,
dell’università di Princeton, hanno pubblicato3 un articolo sulla rivista Science in
cui sostengono che gli arabi avevano utilizzato sistemi decorativi che richiamano
le tassellature di Penrose già nel Medioevo.
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Figura 9 Mosaici dell’Alhambra
Una parte consistente dell’arte islamica è costituita dalla cosiddetta
piastrellatura girih. Generalmente si pensava che, con l’ausilio di strumenti
matematici, le piastrellature girih fossero state realizzate disegnando un insieme
di linee con riga e compasso. In questi mosaici compaiono frequentemente figure
pentagonali e dodecagonali che decorano una cella di una tassellatura formata da
poligoni regolari ripetuti. Un esempio è mostrato in figura 10 dove la cella
fondamentale è evidenziata dalla linea gialla.
Figura 10 Tempio Darbi Kushk a Isfahan, Iran (1496d.C.)
Alcuni motivi semplici possono essere realizzati senza grosse difficoltà con riga
e compasso. Tuttavia nell’arte islamica sono frequenti motivi dodecagonali molto
complessi, in cui un’unica cella fondamentale contiene centinaia di dodecagoni e
viene ripetuta su un’area molto ampia. La realizzazione di decorazioni di questo
genere con il semplice uso di riga e compasso sarebbe molto laboriosa e
verosimilmente ricca di imprecisioni che non sono però osservate.
Per questo motivo Lu e Steinhardt sostengono che intorno al 1200 d.C. ci fu
una svolta nell’arte decorativa islamica: fu infatti inventato un modo nuovo di
realizzare motivi girih grazie all’uso di cinque tipi di tessere o piastrelle, chiamate
tessere girih. Ogni tessera girih è decorata con linee molto semplici da realizzare
con gli strumenti utilizzati all’epoca di cui si ha notizia. Inoltre accostando diverse
tessere le linee decorative di ciascuna si uniscono formando un unico motivo
decorativo.
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Le cinque piastrelle in figura 11 sono equilatere, ma hanno forme diverse:
un decagono regolare con angoli interni di 144° decorato con una stella a 10
punte (azzurro) un esagono allungato (convesso) con
angoli interni di 72°, 144°, 144°, 72°,
144°, 144° (verde) un esagono irregolare concavo con
angoli interni di 72°, 72°, 216°, 72°, 72°,
216° decorato con due quadrilateri
(rosso) un rombo con angoli interni di 72° e
108° (viola) un pentagono regolare con angoli interni
di 108° decorato con una stella a 5 punte (giallo)
Ogni lato ha la stessa lunghezza e due linee della decorazione interna si
intersecano nel punto medio di ogni lato con angoli di 72° e 108°. Questo fa sì che
avvicinando due tessere le linee siano continue. Inoltre tutti gli angoli che si
formano hanno ampiezza multipla di 36°. Per questo motivo le linee sono
parallele ai cinque lati di un pentagono regolare. Infine ogni tessera ha una
simmetria interna rotazionale: di ordine 10 per il dodecagono, di ordine 5 per il
pentagono e di ordine 2 per il rombo e per i due esagoni.
La figura 12 mostra come la decorazione precedente (tempio Darbi Kushk a
Isfahan) possa essere realizzata sia ripetendo più volte il quadrilatero giallo
(sinistra), sia accostando tre delle cinque tessere girih (destra).
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Figura 11 Le cinque tessere girih
Figura 12 Decorazione musiva del tempio DarbiKushk a Isfahan, sulla sinistra è evidenziata in giallo lacella fondamentale, sulla destra la ricostruzione delmosaico con tessere girih.
Alcuni motivi decorativi girih possono essere realizzati usando tutte le cinque
tessere girih, altri solo alcune di esse. In ogni caso ci sono moltissime possibilità
differenti che danno origine a fantasie diverse. Alcuni esempi nelle figure 13, 14 e
15.
Figura 13 Interno dell’arco all’ingresso della Grande Moschea, Bursa,Turchia (1424 d.C.); fotografia e ricostruzione
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Figura 14 Mamluk Quran di Aydughdi ibn Abdallah alBadri (1313 d.C.);fotografia e ricostruzione
Figura 15 Pennacchi del portale della Grande Moschea di Neyriz, Iran (decorazioneXV secolo)
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Una testimonianza significativa in questo ambito sono degli schizzi del XV
secolo di motivi decorativi da riprodurre poi nelle mosche contenuti nei rotoli
TimuridTurkmen oggi conservati al Museo Topkapi di Istanbul di cui un esempio
è in figura 16.
Figura 16 Riquadro 28 del rotolo Topkapi, fotografia ericostruzione
L’utilizzo delle tessere girih permette di realizzare questo tipo di decorazioni
velocemente e ridurre le imprecisioni degli artigiani.
Anticipazioni delle tessere di Penrose?
Uno degli aspetti più significativi delle decorazioni girih è l’uso delle
trasformazioni auto similari, ovvero la suddivisione di grandi tessere girih in
tessere più piccole per creare due motivi girih sovrapposti, ma a scale differenti.
Un esempio di questa tecnica è presente sui portali del tempio Darbi Imam a
Isfahan, Iran (1453 d.C.) nelle figure 17 e 18.
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Figura 17 portale del tempio Darbi Imam a Isfahan, Iran (1453 d.C.), fotografia ericostruzione
Figura 18 A Pennacchio del portale del tempio Darbi Imama Isfahan, Iran (1453 d.C.), fotografia
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Figura 18 B Ricostruzione su piccola scala della decorazione del portale del tempioDarbi Imam
C Ricostruzione su larga scala della decorazione del portale del tempioDarbi Imam
E e F Come scomporre due tessere girih in utilizzando altre tessere girihdi dimensioni inferiori
La piastrellatura del portale del Drabi Imam può essere ricondotta alla
tassellatura di Penrose. È possibile infatti ottenere le tre tessere girih utilizzate
per decorare questo portale accostando le due tessere di Penrose (“aquilone” e
“dardo”) come mostrato in figura 19.
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Figura 19 Come scomporre le tessere girih utilizzando letessere di Penrose “dardo” e “aquilone” di dimensioniopportune
Notiamo che questa suddivisione spezza la simmetria decorativa presente nelle
tessere verdi e blu osservata in precedenza.
Nonostante sia ragionevole credere che gli arabi avessero tutti gli strumenti
necessari per realizzare motivi decorativi quasicristallini, non ci sono elementi
che assicurano che
avessero a quei tempi
piena consapevolezza
della portata delle loro
scoperte. Inoltre nei
mosaici del Drabi Imam
ci sono alcune
imperfezioni.
Scomponendo le tessere
girih in tessere di
Penrose è possibile
individuare 11 errori su
oltre 3700 tessere di Penrose. Questi errori possono essere eliminati
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Figura 20 Particolare della ricostruzione contessere di Penrose della decorazione del portale deltempio Darbi Imam in cui a sinistra è presente unerrore nel posizionamento delle piastrelle eliminabileriposizionando le piastrelle come mostratonell’immagine a destra.
riposizionando alcune tessere senza sconvolgere il resto della tassellatura come si
vede nella figura 20.
Infine gli artigiani che realizzarono le decorazioni del Drabi Imam non
utilizzarono singole tessere girih, ma tasselli più ampi formati da un gruppo girih.
Il lavoro di Lu e Steinhardt non può quindi essere considerato una prova del fatto
che gli arabi conoscessero già quello che potrebbe essere considerato un antenato
della tassellatura di Penrose, ma lascia aperta questa possibilità. Nel mondo
arabo ci sono, infatti, molti monumenti e mosaici ancora da analizzare che
potrebbero fornire una risposta definitiva.
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3. P.J. LU e P.J. STEINHARDT, Decagonal and quasicrystalline tilings in Medieval Islamic
Architecture, Science, vol. 315, 23 febbraio 2007, pag 11061110
4. L. BINDI, P. J. STEINHARDT, N. YAO e P. J. LU, Natural Quasicrystals, Science, vol.
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Fonti delle immagini
Figura 1 https://sites.google.com/site/cristallografia/appunti/cristallografia
geometrica/gruppidisimmetriainduedimensioni/completamentodella
derivazionedeigruppidelpianoFigura 3 http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&im=766Figura 5 http://www.treccani.it/scuola/lezioni/scienze_naturali/quasicristalli.htmlFigura 6 http://intendo.net/penrose/info.htmlFigura 7 http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Penrose_tilingFigura 8 http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling
Figura 9 http://math.ucr.edu/home/baez/week267.html
Figure 1020 da P.J. LU e P.J. STEINHARDT, Decagonal and quasicrystalline tilings in
Medieval Islamic Architecture, Science, vol. 315, 23 febbraio 2007, pag 1106
1110 e Supporting Online Material scaricabile all’indirizzo http://www.science
mag.org/content/suppl/2007/02/20/315.5815.1106.DC1/Lu.SOM.pdf
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