1

يف الرياضيات حل املشكالتاسرتاتيجيات هــي مــا يميــز الكائنــات الحيــة عــن ....... و والحركــة والنمــو والتكــاثرإذا كانــت مظــاهر الحيــاة كــالتنفس

. الجمادات٬ فإن القدرة على حل المشكالت هي ما يميز اإلنسان عن الكائنات الحية األخرىنسـبها لتـدريس الرياضـيات فـي المراحـل التعليميـة المختلفـة٬ وتعتبر طريقة حل المشكالت أهـم الطـرق وأ

أن يكون أسلوب حل المشكالت مركز مناهج الرياضـيات حيث يوصي المتخصصون في تعليم الرياضيات ب . يتم تدريس الرياضيات من خالل حل المشكالتوأن ٬هاوبؤرة اهتمام

:مفهوم املشكلةر أو موقــف مربــك٬ ال يمكــن إجابتــه أو حلــه عــن طريــق المعلومــات ســؤال محيــ: تعــرف المشــكلة بأنهــا

.والمهارات الجاهزة لدى الشخص الذي يواجه هذا السؤال أو الموقفويمكن توضيح مفهوم المشكلة من خالل وصف الموقف الذي يمر به الشخص٬ فالفرد يكـون فـي مشـكلة

يـه مـن الـدوافع مـا يمكنـه مـن البحـث الـواعي إذا كان لديه هدف يريد الوصول إليه وفـي اسـتطاعته ذلـك ولدــق التــي تمنعــه مــن ــة بعــض العوائ ــو بصــفة مؤقت ــه٬ ولكــن توجــد ول للوصــول إلــى ذلــك الهــدف واالســتمرار في

. الوصول إلى هدفه بسرعة٬ مما يتطلب منه أن يتغلب على هذه العوائق :روط التاليةوفي ضوء ما سبق فإن الموقف يكون مشكلة لشخص ما إذا تحققت الش ٬ ويسعى إلى تحقيقههأن يكون لدى الشخص هدف واضح محدد٬ يشعر بوجود. ــالطرق أن يكــون هنــاك عــائق يمنعــه مــن تحقيــق الهــدف٬ وهــذا العــائق ال يمكــن إزالتــه أو التغلــب عليــه ب

.الروتينية من خالل الخبرات والمعلومات الجاهزة لدى الشخص الذي يواجه الموقف مهتمــا بــالموقف ومتحمســا لــه٬ ممــا يدفعــه للبحــث عــن وســائل وطــرق للتغلــب علــى أن يكــون الشــخص

.العائق وتحقيق الهدف

:مفهوم املشكلة يف الرياضيات ال يختلف مفهوم المشكلة في الرياضيات عن مفهومها بشكل عام٬ فأي موقف تعليمي في الرياضـيات

ويـــرى بعـــض التربـــويين المتخصصـــين فـــي تعلـــيم . ةيكـــون مشـــكلة للطالـــب إذا تـــوفرت فيـــه الشـــروط الســـابقالرياضــيات أن كــل تمــرين أو مســالة أو رســم هندســي أو إدراك عالقــة يعــد مشــكلة طالمــا أن لــدى الطالــب دافعـــا لحـــل التمـــرين أو المســـالة أو رســـم الشـــكل أو إدراك العالقـــة وطالمـــا أن الموقـــف فيـــه حيـــرة بالنســـبة

. للطالب :مفهوم حل املشكلة

ل المشكلة يعني التعـرف علـى وسـائل وطـرق للتغلـب علـى العوائـق التـي تعتـرض الوصـول إلـى الهـدف ح .وتوظيفها للوصول إليه

2

:اسرتاتيجيات حل املشكالتالمشـكلة بقصـد ) الطالـب(استراتيجية حـل المشـكلة يقصـد بهـا المقاربـة أو الفكـرة التـي يتنـاول بهـا الفـرد

بـه الفـرد المشـكلة مـن خـالل خطـة وخطـوات تمكنـه جحرك الذهني الذي يعـالأي أنها تعني نوعية الت. حلها . من الحل

ــــن االســــتراتيجيات العامــــة لحــــل ــــات تربويــــات الرياضــــيات عــــدد م ــــه يوجــــد فــــي أدبي ــــن أن ــــالرغم م وبتعــد أهــم اســتراتيجية جــورج بوليــا٬ إال أن واســتراتيجية فرانــك ليســتر٬ كاســتراتيجية جــون ديــويالمشكالت٬

وأكثرهــا تــداوال فــي مجــال تربويــات الرياضــيات٬ , االســتراتيجيات وأنســبها لحــل المشــكالت الرياضــية تلــكوفيمـا يلـي عـرض . وقد اعتمدت عليها مناهج الرياضيات الجديدة في التعليم العام في تدريس حل المسألة

.موجز لهذه االستراتيجية :اسرتاتيجية جورج بوليا حلل املشكلة

ســتراتيجية العامــة التــي اقترحهــا بوليــا لحـل المشــكالت الرياضــية مــن أربــع مراحــل أو خطــوات تتكـون اال :رئيسة٬ يمكن إيجازها فيما يلي

في عملية حلها٬ إذ إنه من الخطأ ىفهم المشكلة يعد الخطوة األول: فهم المشكلة -ىالمرحلة األولقبل التفكير في حلها٬ ويمكن ير اإلجابة على سؤال ال تفهمه٬ ففهم المشكلة ووضوحها شرط ضرو

لهم٬ يتم من خاللها التأكد من ةللمعلم التأكد من فهم الطالب للمشكلة من خالل توجيه عدد من األسئل : فهمهم المشكلة وإدراكها٬ ويتحقق ذلك من خالل التأكد من قدرة الطالب على القيام بما يلي

.قراءة المشكلة �

.الخاصةلب ة الطابلغشكلة إعادة صياغة الم �

.فهم وإدراك المدلوالت الرياضية لأللفاظ والرموز الواردة في المشكلة �

.تحديد المعطيات والمطلوب والشروط �

.عليه المعطيات والمطلوبوضيح وت ٬ا التي تتطلب رسم شكلةرسم شكل للم � . شكلةتحديد مدى كفاية المعلومات المعطاة لحل الم �

.الضروريةتحديد المعلومات الزائدة أو غير �

): ابتكار خطة الحل ( وضع خطة لحل المشكلة -المرحلة الثانيةتعد هذه المرحلة أهم مراحل حل المشـكلة٬ فـالجزء الـرئيس فـي حـل المشـكلة هـو الوصـول إلـى فكـرة

وتعـد مرحلـة ابتكــار . ويمكـن أن يسـبق الوصـول إلـى فكـرة الحـل بعـض المحـاوالت الفاشـلة. أو خطـة الحـلعب المراحل على الطالب٬ ولذلك ينبغي للمعلم أن يساعده ليتوصل إلى فكرة الحل بنفسـه دون الخطة أص

التــي يمكــن أن يوجههــا المعلــم ةإقحــام أو فــرض خطــة ال يفهمهــا وال يــدرك ســبب اختيارهــا٬ ومــن األســئل : للطالب في هذه المرحلة لمساعدته على ابتكار الخطة ما يلي

3

لمشكلة من قبل؟هل رأيت مشكلة مماثلة لهذه ا

هل تعرف مشكلة ذات صلة أو عالقة بالمشكلة الحالية؟ هل يمكن تبسيط هذه المشكلة؟ ولها نفس المجهول أو مجهول مشابه له انظر إلى المجهول وحاول أن تتذكر مشكلة مألوفة لك٬.

؟هل يمكن تعديل المجهول ليصبح في صورة أخرى قريبة من المعطيات

؟ات لتصبح في صورة قريبة من المجهولهل يمكن تعديل المعطي يمكن استخدامه لحل المشكلة؟ ا أو أسلوب ا أو نموذج ا هل تعرف نظرية أو قانون إذا لم تستطع حل هذه المشكلة فحاول أن تحل مشكلة ذات عالقة بها. الشروط األخرى همل مؤقتا بعض الشروط وحققأ.

هل استخدمت كل المعطيات٬ كل الشروط؟

يكـون قـد قطـع شـوطا ٬ خطـةفكـرة الحـل ورسـم ال الطالـب أدركبعـد أن : تنفيـذ الخطـة -الثالثـة المرحلةكبيــرا فــي طريــق حــل المشــكلة٬ فتنفيــذ الخطــة يعتبــر مــن األمــور الســهلة علــى الطالــب٬ وخاصــة عنــدما

ان بينمـا يكـون احتمـال نسـي يكون قد توصل إلى فكرة الحل بنفسه أو قام بدور فعال في وضع الخطـة٬ما يقوم به الطالب فـي هـذه المرحلـة و .الطالب لخطة الحل كبيرا٬ إذا كانت قد فرضت عليه من المعلم

٬عبارة عن عمليـات وخوارزميـات واضـحة٬ ولكـن يجـب أن يتأكـد مـن أن كـل خطـوة يقـوم بهـا صـحيحة .سليمةإثبات صحتها٬ وأن الحسابات والعمليات وأويمكن تبريرها

):التحقق من صحة الحل ( مراجعة الحل -المرحلة الرابعةيهمــل كثيــر مــن الطــالب حتــى الجيــدين هــذه المرحلــة٬ ألنهــم يعتقــدون أن حــل المشــكلة ينتهــي بمجــرد

الوصول إلـى الحـل٬ وهـذا يفقـد الطـالب جوانـب مهمـة وأكثـر فائـدة فـي حـل المشـكلة٬ ولـذلك فإنـه ينبغـي نتيجـة التـي توصـلوا إليهـا وفحصـها٬ والـتمعن فـي الخطـوات للمعلم تشجيع الطالب على إعـادة النظـر فـي ال

ةالتي أدت إليها٬ وبذلك تزداد معلومات الطالب تركيزا٬ وتزداد قدرتهم على حل المشكالت٬ ومـن األسـئل :التي يمكن أن يطرحها المعلم على الطالب في هذه المرحلة ما يلي

هل يمكن أن تتحقق من صحة النتيجة؟ شروط المشكلة؟ هل الحل يحقق هل الناتج معقول ويتفق مع طبيعة المشكلة؟ هل تم استخدام جميع المعلومات؟ ؟هل يمكن حل المشكلة بطريقة أخرى( أخرى لنتيجة بطريقةلهل يمكن الوصول(. هل يمكن استخدام هذه الطريقة أو االستراتيجية في حل مشكالت أخرى؟

4

:ت الرياضيةاالسرتاتيجيات اخلاصة حلل املشكالوفيما . أو التكنيكات الخاصة لحل المشكالت الرياضية بهناك عدد من االستراتيجيات أو األسالي

:تيلي عرض لبعض تلك االستراتيجيا :اسرتاتيجية التخمني والتحقق -1للوصـول تسمى أيضا باسم المحاولة والخطـأ أو المحاولـة والخطـأ المنظمـة٬ وتعتمـد علـى مبـدأ التخمـين

إلى الحل٬ حيث يخمن الطالب حال للمشكلة ثم يخضـع هـذا التخمـين لالختبـار والتحقـق٬ فـإذا تبـين عـدم صــحة التخمــين٬ فإنــه يــتم اســتبعاده واللجــوء إلــى تخمــين أو محاولــة أخــرى٬ وهكــذا حتــى يــتم التوصــل إلــى

د علــى المنطــق ومعطيـــات الصــحيح٬ ولكـــن التخمــين هنــا لـــيس عشــوائيا بــل إنـــه تخمــين ذكــي يعتمـــ لالحــفيســتفاد فــي كــل محاولــة مــن المحــاوالت التــي االموقــف٬ كمــا أن عمليــات التخمــين تكــون مرتبطــة ببعضــه

. سبقتها٬ بمعنى أن المحاولة التالية في التخمين تكون أقرب للحل من المحاولة التي سبقتهاكــرة 11اشــترى محمــد . ريــاالت 7ة ريــاالت ٬ وثمــن الكــرة الكبيــر 5إذا كــان ثمــن الكــرة الصــغيرة :مثــال

فكم كرة تم شراؤها من كل نوع ؟.رياال 65بمبلغ : فهم المشكلة -المرحلة األولى

قراءة المشكلة � إعادة صياغتها بلغة الطالب � عدد الكرات التي تم شراؤها: تحديد المعطيات �

ثمن الكرة من كل نوع الثمن الكلي للكرات التي تم شراؤها

عدد الكرات من كل نوع : المطلوب � أن يتم شراء كرات من كال النوعين: الشروط �

)استراتيجية الحل(خطة الحل ) ابتكار( اقتراح -المرحلة الثانيةإال إنــه للصــفوف األعلــى٬ بالنســبة بــالرغم مــن أنــه يمكــن اســتخدام اســتراتيجية تنظــيم معادلــة أو معــادالت

.يمكن استخدام استراتيجية التخمين والتحقق٬ وذلك بتخمين عدد الكرات الصغيرة والكرات الكبيرة :تنفيذ الخطة -المرحلة الثالثة

:من المعلومات التي تساعد الطالب على تنظيم عمليات التخمين ما يلي .كرة11البد أن يكون مجموع الكرات � .كرات من الكرات الكبيرة 8ر من ال يمكن شراء أكث � كرات 8يبدأ بتخمين عدد الكرات الكبيرة٬ ولتكن �

كرات 3سيكون عدد الكرات الصغيرة

5

65> 71=7×8+ 5×3: نتحقق من هذا التخمين .هذا التخمين غير صحيح ألنه ال يحقق شروط المسألة

كرات 7الصغيرة سيكون عدد الكرات ٬ كرات 4ليكن عدد الكرات الكبيرة : محاولة أخرى 65< 63= 7×4+ 5×7: التحقق

.يحقق شروط المسألة٬ ولكنه أفضل من التخمين األول أيضا هذا التخمين غير صحيح ألنه ال 6سيكون عدد الكرات الصغيرة ٬ 5ليكن عدد الكرات الكبيرة : محاولة أخرى )تخمين صحيح( 65= 7× 5+ 5×6: التحقق

5وعدد الكرات الكبيرة 6غيرة عدد الكرات الص )التحقق من صحة الحل(مراجعة الحل -المرحلة الرابعة

هل تم حل المشكلة؟ .حيث تم إيجاد عدد الكرات من كل نوع. نعم

هل الحل يتفق مع معطيات وشروط المشكلة؟ الـثمن اإلجمـالي - كـرة 11مجمـوع الكـرات التـي تـم شـراؤها -تم شراء كرات مـن كـال النـوعين . نعم

رياال 65للكرات هل يمكن حل المشكلة باستراتيجيه أخرى؟

.استخدام استراتيجية تنظيم معادالت. يمكن. نعم هل يمكن استخدام هذه االستراتيجية في حل مشكالت أخرى؟

.اليومية يمكن استخدام هذه االستراتيجة في حل بعض المسائل العملية التي تواجهنا في الحياة. نعم :تدريبات

بائع دواجن لديه عدد من سالت البيض٬ بعضها بيض دجاج وبعضـها بـيض بـط٬ وكانـت أعـداد البـيض ) 1( ٬29 ٬23 ٬14 ٬12 ٬6 5: في السالت كما يلي

فمـا هـي السـلة . إذا تم بيع إحدى السالت فإن عدد بيض الدجاج المتبقي سيكون ضـعف عـدد بـيض الـبط التي يجب أن تباع؟

فـــي الـــدوائر المحـــددة علـــى أضـــالع المثلـــث المرســـوم جانبـــا٬ بحيـــث يكـــون 9-1: ضـــع األرقـــام مـــن )2( . ٬ مع استخدام جميع األرقام20مجموع األعداد على كل ضلع

6

):الرجوع للخلف(اسرتاتيجية احلل عكسيا -2 نهايـة للبدايـة٬ فالطالـب وفـق يتم في هذه االستراتيجية السير في حل المشـكلة بطريقـة عكسـية٬ أي مـن ال

هــذه االســتراتيجية يبــدأ فــي حــل المشــكلة مــن النهايــة ثــم يســير بخطــوات متتاليــة ومتسلســلة نحــو بــدايتها٬ وذلك بعكس العمليات التي تجرى عندما يتم السير من البداية للنهاية٬ ويمكن استخدام هذه االسـتراتيجية

وصــول إليــه ليســت معروفــة٬ ففــي بعــض المســائل تعطــى اإلجابــة عنــدما يكــون النــاتج معروفــا ولكــن طريقــة الفإن استخدام هذه االسـتراتيجية فـي حـل يوبالتال. النهائية ويسأل عن الخطوات التي أدت إلى هذه اإلجابة

.بعض المسائل يوفر الجهد والوقت المبذولين في الحل بالطريقة العادية من البداية للنهاية فما هو العدد؟ 44فأصبح المجموع 8أضيف إلى الناتج ثم 4عدد ضرب في :مثال

44وهو العدد : نبدأ الحل من الناتج 44من 8لحاصل الضرب٬ وإليجاد حاصل الضرب نطرح 8نتج من إضافة 44العدد

44-8 =36 4على ٬36 ولمعرفة ذلك العدد نقسم 4ناتج من ضرب العدد المطلوب في 36العدد

36 ÷4 =9 .9المطلوب هو إذا العدد

44= 8+٬36 36=9× 4: التحقق من صحة الحل :تدريبات

٬ 7ثــم طــرح مــن النــاتج ٬7 ثــم قســم المجمــوع علــى 7ضــرب عــدد فــي ســبعة ثــم أضــيف إلــى النــاتج ) 1( فما هو العدد؟ 7فكان الناتج

يشـة٬ فـإذا كـان بدل غالء معلایر 500إذا كان راتب موظف يتضاعف كل خمس سنوات ويضاف له )2( ؟ عاما 20فكم كان راتبه منذ . لایر 12000راتبه اآلن

:اسرتاتيجية البحث عن منط -3 طواألنمـا. عبارة عن تكرارات منتظمة٬ قد تكون في شكل عددي أو بصري أو أي شيء آخر طاألنما

دراكـه والتعـرف عليـه والتعبيـر أو األعـداد يمكـن إ ءالرياضية عبارة عن تتابع لظاهرة مـا أو سلسـلة مـن األشـيا. عنه في عالقات وقواعد رياضية تـربط بـين هـذه التتابعـات٬ ثـم اسـتخدام تلـك العالقـات فـي حـل المشـكلة

وعند استخدام هذه االسـتراتيجية فـإن الطالـب يفحـص بعنايـة ويالحـظ بدقـة البيانـات المعطـاة٬ ويعمـل علـى ذه البيانـــات٬ ثـــم يعمـــم القاعـــدة التـــي تـــم التوصـــل إليهـــا اكتشـــاف القاعـــدة أو الطريقـــة التـــي تســـير وفقهـــا هـــ

ـــا ـــذي الحظـــه فـــي هـــذه البيان ـــنمط وفـــق النظـــام ال ـــيح . تويســـتخدمها فـــي حـــل المشـــكلة أو إكمـــال ال وتتالتوقـع والتنبـؤ تاستراتيجية البحث عن نمط الفرصة لتنمية كثير من مهارات االستقراء واالكتشاف٬ ومهارا

7

تطلب اسـتخدام هـذه االسـتراتيجية تنظـيم المعلومـات والعالقـات التـي تـربط بينهـا وقد ي. وتكوين التعميمات .على شكل جدول أو قائمة لتسهيل عملية اكتشاف النمط

: تدريبات :سل األعداد التاليةأكمل سال) 1(

......٬ ٬11 ٬7 ٬4 ٬2 1) أ( ....٬ ٬283 ٬139 ٬67 ٬31 ٬13 4) ب( في الشكل أدناه؟ وضعها في المستطيل الفارغكم عدد الكرات التي يجب ) 2(

: إذا كان) 3(

2 *1 =13 5 *3 =28 7*2 =59

9*1 =810 4* 5: أوجد

:اسرتاتيجية حذف بعض احلاالت -4. استراتيجية اعتبار كافة اإلمكانات ثم الحذف أو استراتيجية الحذف تتسمى في بعض األدبيا

وتستخدم عندما يكون للمشكلة عدد محدد من اإلجابات المحتملة٬ فيتم حصر جميع اإلمكانات٬ ثم .الصحيحة ةستبعاد اإلجابات الخاطئة٬ ليتم الوصول إلى اإلجابيتم ا فما هو العدد؟ .عدد مؤلف من رقمين يزيد رقم عشراته عن رقم آحاده بـأربعة٬ إذا كان العدد أوليا :مثال

8

:فهم المسألة

:المعطيات ٬9 ٬8 ٬7 ٬6 ٬5 ٬4 ٬3 ٬2 ٬1 : . لدينا األرقام

تكوين عدد مؤلف من رقمين: المطلوب الفرق بين رقم العشرات ورقم اآلحاد أربعة : الشروط

العدد المطلوب عددا أوليا . يمكن حل هذا المسألة باستخدام استراتيجية حذف بعض الحاالت: وضع خطة الحل

.التي يمكن أن تحقق هذه الشروطويقرر الطالب استخدام هذه االستراتيجية نظرا لمحدودية األعداد : تنفيذ الخطة

)أربعة اآلحادرقم العشرات يزيد عن (يتم كتابة جميع األعداد التي تحقق الشرط األول -أوال )ال يوجد أعداد أخرى تحقق الشرط األول( ٬95 ٬84 ٬73 ٬62 ٬51 40: األعداد هي

:نحذف األعداد غير األولية -ثانيا أيضا ليس عددا أوليا ٬ وهكذا نستبعد األعداد غير األولية ٬ وسنجد في 51وليا ٬ ليس عددا أ 40

73: النهاية أن العدد الوحيد األولي بين هذه األعداد هو ): التحقق من الحل( مراجعة الحل

ورقم آحاده أربعة؟ 73هل الفرق بين رقم عشرات العدد 4= 3-7: نعم

أوليا؟ 73هل العدد ٬73 1: قاسمان فقط هما ٬73 للعدد نعم

٬ ومجموع مربعيهما أكبر من مربع مجموعهما٬ إذا كان كل من3عددان س ٬ ص الفرق بينهما : تدريب .أوجد العددين. }11-6٬-٬ 4-1٬-٬ ٬2 ٬3 ٬5 ٬7 ٬8 9{: عنصرا من عناصر المجموعة س٬ ص

مة -5 ):إنشاء جدول(اسرتاتيجية عمل قائمة منظ

وتنظيمها على شكل قوائم أو جداول أو مخططات٬ لتسهيل دراستها تيتم فيها جدولة البيانا ومساعدة الطالب على تنظيم تفكيره والسير بخطة واضحة نحو حل المشكلة٬ وقد يتم حل المشكلة من

أنها قد خالل هذه االستراتيجية مباشرة٬ كما أنها قد تكون استراتيجية مساعدة لحل المشكلة٬ بمعنى .تساعد في اكتشاف طريقة الحل أو رؤية النمط أو إدراك العالقات بين أجزاء المشكلة

معرض فيه عدد من السيارات والدراجات النارية٬ فإذا كان مجموع عجالت السيارات والدراجات :مثال 4ة لها علما بأن كل سيار ( عجلة٬ أوجد جميع النواتج الممكنة لكل من السيارات والدراجات؟60

). عجالت وكل دراجة لها ثالث عجالت

9

عدد السيارات عدد عجالت

السيارات

العدد المتبقي من العجالت

عدد الدراجات

الحلول الممكنة

) سيارة ٬ دراجة(

1 4 56 × -

2 8 52 × -

3 12 48 16 )3  ٬16(

4 16 44 × -

5 20 40 × -

6 24 36 12 )6  ٬12(

7 28 32 × -

8 32 28 × -

9 36 24 8 )9  ٬8(

10 40 20 × -

11 44 16 × -

12 48 12 4 )12  ٬4(

13 52 8 × -

14 56 4 × -

15 60 0 × -

طائر على أن تأخذ من أربعة أصناف 100ها لایر ٬ وطلب منك أن تشتري ب 100إذا كان لديك :تدريبفإذا كانت البطة بريالين٬ والدجاجة بريال واحد٬ وكل حمامتين . بط ٬ حمام ٬ عصافير ٬ دجاج :من الطيور

.اإلجابات الممكنة لحل هذه المسألةبعض فأوجد . بريال ٬ وكل ثالثة عصافير بريال ).حال 304يوجد للمسألة (

10

:مشكلة أبسط اسرتاتيجية حل -6تستخدم هذه االستراتيجية عندما تكون المشكلة الرياضية معقدة٬ نظرا الحتوائها علـى أعـداد كبيـرة أو

لهذه االستراتيجية هي حل مشكلة ةصعبة الحسابات أو كان حلها يتطلب خطوات كثيرة٬ والفكرة األساسيوقــد يكــون التبســيط باســتبدال . ت عالقــة بهــاعلــى أن تكــون مشــابهة لهــا وذا ةأســهل مــن المشــكلة األصــلي

األعــداد الكبيــرة بأعــداد صــغيرة وســهلة الحســابات٬ كمــا أن التبســيط قــد يكــون مــن خــالل دراســة حــاالت خاصــة للمشــكلة أو بحــذف بعــض الشــروط أو عــدم اعتبارهــا مؤقتــا٬ ومــن ثــم فإنــه يســتفاد مــن حــل هــذه

.ةالمشكلة السهلة في حل المشكلة األساسي٬ فـإذا كـان يوجـد فـي كـل ركـن مـن أركـان اللوحـة الواحـدة ) متالصـقة(يراد تعليـق لوحـات متجـاورة :لمثا

وكانـــت كـــل لوحـــة تشـــترك مـــع اللوحـــة المجـــاورة لهـــا فـــي مســـمارين مـــن الجهتـــين . مكـــان لمســـمار واحـــد . لوحة 30فكم عدد المسامير الالزمة لتعليق . المتجاورتين :فهم المسألة

د المسامير التي يمكن وضعها في كل لوحة عد: المعطيات طريقة تعليق اللوحات عدد اللوحات المراد تعليقها

لوحة 30عدد المسامير الالزمة لتعليق : المطلوب :وضع خطة الحل

الث يمكــن اســـتخدام اســـتراتيجية حـــل مشـــكلة أبســـط٬ حيـــث يـــتم البـــدء بلوحـــة واحـــدة ثـــم لـــوحتين ثـــم ثـــ لوحة 30لوحات٬ ومحاولة استنتاج نمط ليمكن من خالله إيجاد عدد المسامير الالزمة لتعليق

:تنفيذ الخطة مسامير 4لتعليق لوحة واحدة يلزم

11

مسامير 6لتعليق لوحتين متالصقتين يلزم مسامير 8لتعليق ثالث لوحات يلزم

مسامير 10لوحات يلزم أربع لتعليق

:البيانات على شكل جدول كما يلي يمكن تنظيم هذه

7 6 5 4 3 2 1 عدد اللوحات

10 8 6 4 عدد المسامير

2+ عدد اللوحات × 2= عدد المسامير : ومن خالل هذا الجدول نالحظ أن :لوحة بهذه الطريقة 30وبناء على ذلك يكون عدد المسامير الالزمة لتعليق

= 2 + 30× 2= عدد المسامير مسمارا 62= 2+ 60

):التحقق من صحة الحل( مراجعة الحل

هل أوجدت الناتج؟ .نعم

هل الناتج معقول ؟ .فهو يتفق مع النمط الذي يظهر في الجدول. نعم

:كم عدد جميع المربعات في الشكل المجاور: تدريب

:اسرتاتيجية رسم شكل أو صورة أو خمطط أو منوذج-7

تعـد اسـتراتيجية الرســم مـن االسـتراتيجيات الفعالــة لحـل المشـكالت الرياضــية٬ وتسـتخدم عنـدما يكــون هناك إمكانية للتعبير عن المشكلة برسم أو مخطط توضـيحي٬ حيـث تسـاعد الرسـومات والمخططـات علـى

المشـــكلة٬ كمـــا أنهـــا تعمـــل علـــى تحويـــل المشـــكلة مـــن المســـتوى المجـــرد إلـــى رؤيـــة العالقـــات بـــين أجـــزاءــالي تصــبح المعلومــات والعالقــات التــي تتضــمنها المشــكلة أكثــر وضــوحا المســتوى شــبه المحســوس٬ وبالت

12

ــالي ابتكــار خطــة مناســبة لحلهــا٬ ولــيس شــرطا أن تكــون للطالــب٬ ممــا يســاعده علــى فهــم المشــكلة٬ وبالتودقيقة٬ فهي مجرد رسـوم توضـيحية قـد ترسـم مباشـرة دون اسـتخدام أدوات هندسـية ودون الرسوم تفصيلية

.اعتبار القياسات الفعلية٬ 2(٬ ب)1-٬ 2(أ: األزواج المرتبة التالية هـي إحـداثيات ثـالث نقـاط فـي المسـتوي اإلحـداثي)1(تدريب

. د مربعا أوجد إحداثيات النقطة د بحيث يكون الشكل أ ب جـ ). ٬3 2-(٬ جـ) 3 ):تنظيم معادالت أو متباينات(اسرتاتيجية اجلمل الرياضية املفتوحة -8

تستخدم هذه االستراتيجية إذا كان يمكن التعبير عن المجهول أو المطلـوب بمتغيـر أو متغيـرات٬ ومـن رات٬ وذلـك وفـق أو متباينات٬ باسـتخدام هـذا المتغيـر أو المتغيـ تجمل مفتوحة٬ معادال) تكوين(ثم تنظيم

ـــم حـــل المعـــادالت أو المتباينـــات وإيجـــاد قيمـــة المتغيـــر ـــات المشـــكلة وشـــروطها٬ ث وتختلـــف هـــذه . معطياالستراتيجية عن استراتيجية استخدام صيغة أو قانون٬ ففي حالة استخدام قانون يـتم فقـط تـذكر القـانون أو

ا فـي حالـة الجمـل المفتوحـة٬ فالطالـب هـو الصيغة المناسبة للمشـكلة ثـم حلهـا وفـق القـانون أو الصـيغة٬ أمـ . الذي يكون أو ينظم المعادالت أو المتباينات التي سيتم من خاللها حل المشكلة

:تدريبات .فما هما العددان 33والفرق بين مربعيهما 11عددان مجموعهما ): 1(تدريب .أوجد هذه األعداد. 63مجموع ثالثة أعداد فردية متتالية ): 2(تدريب

:اسرتاتيجية التمثيل أو احملاكاة-9يتم في هذه االستراتيجية تمثيل الموقف عمليا باستخدام النماذج الماديـة المحسوسـة كاألشـخاص٬ أو

وقــد يــتم محاكــاة الموقــف بــدال مــن التمثيــل العملــي الــواقعي٬ ويفضــل اســتخدام ... األدوات٬ أو العمــالت٬ رالطالب األصغر سنا في المرحلة االبتدائيـة ومـا قبلهـا٬ وذلـك ألنهـم غيـهذه االستراتيجية بشكل أكبر مع

.قادرين على القيام بالعمليات المجردة :تدريبات

فكم عدد الدفاتر التي بقيت معه؟. دفاتر 3دفاتر٬ أعطى زميله أحمد 7لدى محمد )1(

التي تمت في هذا اللقاء؟أصدقاء فصافح كل منهم اآلخر٬ فكم عدد المصافحات أربعة تقابل )2(٬ حيـــث يقـــوم الطـــالب بتجســـيد كـــل مـــن الســـابقتين يمكـــن اســـتخدام اســـتراتيجية التمثيـــل لحـــل المســـألتين

. من خالل متابعة أحداث الموقف) حل المسألة(المسألتين عمليا وإيجاد المطلوب :اسرتاتيجية التربير املنطقي-10

م اســتراتيجيات حــل المشــكالت٬ ويــتم مــن خاللهــا تحديـــد تــدخل هــذه االســتراتيجية غالبــا فــي معظــ ــــين البيانــــا وتســــتخدم فــــي حــــل . المعطــــاة فــــي المشــــكلة وإدراك هــــذه العالقــــات تالــــروابط والعالقــــات ب

المشكالت التي تتضمن قضـايا منطقيـة٬ كمـا أنهـا تسـتخدم فـي حلـول التمـارين الهندسـية٬ وإجـراء البـراهين

13

ا االستخدام تكون مناسبة لطالب المراحل العليـا المتوسـطة والثانويـة٬ إذ إنـه الرياضية٬ وبالتالي فإنه وفق هذيفترض أنهم قد وصلوا مرحلـة العمليـات المجـردة٬ حيـث إن اسـتخدام هـذه االسـتراتيجية يتطلـب أن يكـون

.الطالب قادرا على القيام بالعمليات المجردة٬ والعمليات المنطقية . مد و خالد في شركة٬ أحدهم مدير٬ وآخر سكرتير٬ واآلخر محاسبيعمل كل من عبد اهللا و أح :مثال

عبــد اهللا شــقيقةالســكرتير الــذي كــان وحيــد والديــه يتقاضــى أقــل راتــب ٬ أمــا خالــد الــذي كــان متزوجــا مــن ما وظيفة كل واحد من األشخاص الثالثة؟. فيتقاضى أكثر من المدير

: نطقي كما يلييمكن حل هذه المشكلة باستراتيجية التبرير الم

.عبد اهللا ليس السكرتير ألنه ليس وحيد والديه � خالد ليس المدير ألنه يتقاضى أكثر من المدير � خالد ليس السكرتير ألنه ليس أقلهم مرتبا �

.٬ والمحاسب خالد ٬ والمدير عبد اهللا السكرتير أحمد: إذا ومـا . مـا لـدى سـعيد أكثـر ممـا لـدى سـعدإذا كان ما لدى محمد من النقود أكثر مما لـدى حمـد٬ و : تدريب

.رتب هؤالء األفراد تصاعديا حسب ما يمتلكه كل منهم. لدى سعد أكثر مما لدى محمد ):إيجابيات طريقة حل المشكالت -مزايا( أهمية حل المشكالت

:يمكن إبراز أهمية حل المشكالت في الرياضيات فيما يلي . ةيتم من خاللها تعلم معارف رياضية جديد -1 .يتم من خاللها اكتشاف معارف رياضية جديدة -2

. تعد وسيلة للتدريب على المهارات الرياضية وإعطاء معنى لها -3

تساعد على انتقال أثر التعلم٬ بمعنى أنه يمكـن مـن خاللهـا توظيـف المفـاهيم والتعميميـات والمهـارات -4 . في أوضاع ومواقف جديدة في الحياة العامة للفرد

. ا تنمية مهارات التفكير العليا لدى الطالبيتم من خالله -5

.تعد وسيلة مناسبة إلثارة الفضول الفكري لدى الطالب -6تساهم في تحسين اتجاهات الطالب نحو الرياضيات وتزيد من ثقتهم بأنفسهم وتشعرهم بلذة النجـاح -7

.عندما يكتشفون طريقة حل المشكلة ويتوصلون إليه

.وضوعات الرياضيات نوعا من االنسجام والترابطتضفي عملية حل المشكالت على م -8

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

14

:املراجع. 2ط. وف األولىمناهج تدريس الرياضيات للصف). م2010.(أبو زينة٬ فريد كامل وعباينة٬ عبد اهللا -1

.دار المسيرة للنشر والتوزيع والطباعة: عمان: عمان.تضمين التفكير الرياضي في برامج الرياضيات المدرسية). م2008.(بدوي٬ رمضان مسعد -2

.دار الفكر للنشر والتوزيعدار الفكر : عمان.أساليب تعليم العلوم والرياضيات).هـ1421.(البكري٬أمل و الكسواني٬ عفاف -3

. للطباعة والنشر والتوزيع). ترجمـــة محمـــد أمـــين المفتـــي وآخـــرون. (طـــرق تـــدريس الرياضـــيات). م1986. (بـــل٬ فريـــدريك هــــ -4

.الدار العربية للنشر والتوزيع: القاهرةترجمة رمضان مسعد . (تدريس الرياضيات للطلبة ذوي مشكالت التعلم). م2009( .بيري٬ س -5

.نشر والتوزيعدار الفكر لل: عمان). بدوي

مكتبة : القاهرة. 2ط.تدريس الرياضيات في التعليم األساسي). م1985.(خليفة٬ خليفة عبد السميع -6 .األنجلو المصرية

دار الفجر : القاهرة.طرق تدريس الرياضيات بين النظرية والتطبيق). م1995.(سالمة٬ حسن علي -7 .للنشر والتوزيع

.دار القلم للنشر والتوزيع: دبي. معلم الرياضيات الفعال). م2004.(السواعي٬ عثمان نايف -8معمــل الرياضــيات فــي المدرســة االبتدائيــة بــين ). ه1411.(الشــبل٬ عبــداهللا و عبــد الســميع٬ مصــطفى -9

.النظرية والتطبيقدار : القاهرة. الرياضيات أهدافها واستراتيجيات تدريسها). م1985.(شعراوي٬ إحسان مصطفى -10

. عربيةالنهضة الــة فــي تــدريس الرياضــيات). م1989.(شــوق٬ محمــود أحمــد -11 دار : الريــاض. 2ط.االتجاهــات الحديث

. المريخ للنشردار الفكــر : عمــان. االتجاهــات المعاصــرة فــي تعلــيم الرياضــيات). م2006.(صــالح٬ ماجــدة محمــود -12

.للنشر والتوزيعالمركـز : الكويـت . ياضـيات فـي التعلـيم العـام دليـل تـدريس الر ). هـ1419.(الصباريني٬ محمد سعيد -13

.العربي للبحوث التربوية لدول الخليج

أثر استخدام طريقة االكتشاف الموجه في تدريس وحدة الشكل )."م1993.(عبد الغني٬ زينب -14مجلة كلية ". الرباعي واالنتقال على تحصيل تالميذ الصف الثاني اإلعدادي من مرحلة التعليم األساسي

. ٬9 س 1لتربية٬ جامعة أسيوط ٬عا

15

ـــيم -15 ايير وثقافـــة تعلـــيم الرياضـــيات لجميـــع األطفـــال فـــي ضـــوء متطلبـــات المعـــ). م2004.(عبيـــد٬ ول .للنشر والتوزيع والطباعة ةلمسير دار ا: عمان. التفكير

دار المسيرة : عمان. مناهج الرياضيات وأساليب تدريسها). م2000.(عقيالن٬ إبراهيم محمد -16 .والتوزيع والطباعة رللنش .مكتبة مرزا: جدة.تدريس الرياضيات باليدويات). م1997.(غندورة٬ عباس حسن -17ديبونـــو للطباعـــة : عمـــان. 2ط.تنميـــة التفكيـــر بأســـاليب مشـــوقة). م2008.(الكبيســـي٬ عبـــد الواحـــد -18

.والنشر والتوزيع

.مكتبة األنجلو المصرية:القاهرة.3ط.اتتربويات الرياضي). م1992.(المفتي٬ محمد أمين وآخرون -19عمادة شؤون٬ : الرياض. طرق تدريس الرياضيات). م1989. (المغيرة٬ عبد اهللا بن عثمان -20

. المكتبات٬ جامعة الملك سعود

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ