力学力学力学力学力学力学力学力学IIIIII

工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学

４週目

立命館大学 機械システム系 ２００８年度 後期

先週先週先週先週のおさらいのおさらいのおさらいのおさらい先週先週先週先週のおさらいのおさらいのおさらいのおさらい

•運動エネルギーの概要

•剛体の運動エネルギーの導出

•演習

エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則

系に保存力だけが働く場合、

系全体のエネルギーは

時間が経過しても変化しない

エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則のののの例例例例のののの例例例例ポテンシャルエネルギー運動エネルギー

全エネルギー

UKV +=

+= 22

2

1

2

1

d

dkxxm

tV &&

運動方程式

エネルギーの時間変化

2

2

1xmK &= 2

2

1kxU =

0=+ kxxm &&

エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則のののの例例例例のののの例例例例ポテンシャルエネルギー運動エネルギー

全エネルギー

UKV +=

( ) 0

2

1

2

1

d

d 22

=+=

+=

+=

kxxmx

xkxxxmkxxmt

V

&&&

&&&&&&

運動方程式

エネルギーの時間変化

2

2

1xmK &= 2

2

1kxU =

0=+ kxxm &&

( )θcosrrmgU −=

？

演習演習演習演習演習演習演習演習

ポテンシャルエネルギー運動エネルギー

全エネルギー

UKV += ？運動方程式

エネルギーの時間変化

( )22

1θ&rmK =

振り子運動に関するエネルギー保存則を

導出せよ

重力

m

重力

m

解答解答解答解答解答解答解答解答ポテンシャルエネルギー運動エネルギー

全エネルギー

UKV +=運動方程式

エネルギーの時間変化

( )22

1θ&rmK = ( )θcosrrmgU −=

0sin2 =+ θθ mgrmr &&

( ) ( )

−+= θθ cos2

1

d

d 2

rrmgrmt

V &&

重力

m

解答解答解答解答解答解答解答解答ポテンシャルエネルギー運動エネルギー

全エネルギー

UKV +=運動方程式

エネルギーの時間変化

( )22

1θ&rmK = ( )θcosrrmgU −=

0sin2 =+ θθ mgrmr &&

( ) ( )

( ) 0sin

sincos2

1

d

d

2

22

=+=

+=

−+=

θθθ

θθθθθθ

mgrmr

mgrmrrrmgrmt

V

&&&

&&&&&&

今週今週今週今週のののの内容内容内容内容今週今週今週今週のののの内容内容内容内容

•仮想仕事の原理の概要

•仮想仕事の原理の適用例

•演習

仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理のののの概要概要概要概要仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理のののの概要概要概要概要

•静力学の概念

•「釣り合い」の概念を一般化したもの

•スカラー値の仕事で解析することで、

複雑な系でも統一的に釣り合いを解析

質点質点質点質点におけるにおけるにおけるにおける釣釣釣釣りりりり合合合合いいいい質点質点質点質点におけるにおけるにおけるにおける釣釣釣釣りりりり合合合合いいいい

質点に働いている力 fiの合計

が0のとき、系は釣り合いの状態にある

f1f2

f3f4

f5

f6

∑=

n

i 1

if

釣釣釣釣りりりり合合合合いのいのいのいの一般化一般化一般化一般化釣釣釣釣りりりり合合合合いのいのいのいの一般化一般化一般化一般化

では、複雑な系での釣り合いは？

f1f3

f2

f7 f4f6

f5

釣釣釣釣りりりり合合合合いのいのいのいの一般化一般化一般化一般化釣釣釣釣りりりり合合合合いのいのいのいの一般化一般化一般化一般化

では、複雑な系での釣り合いは？

f1f3

f2

f7 f4f6

f5

仮想仕事の原理で解析

仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理

系が釣り合いの状態にあるとき、

系に作用する力がする仮想仕事の

合計は0である （逆も真）

仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理のののの数学的表現数学的表現数学的表現数学的表現仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理のののの数学的表現数学的表現数学的表現数学的表現

仮想仕事δW

( ) 01

=⋅+=∑=

n

i

W iii xfs δδ

よって、 であれば系全体は釣り合う

δxi:各質点の仮想変位

（拘束に矛盾しない微小変位）

拘束力は仕事をしない

質点iに拘束力 siと外力 fiが作用し、

それらの合力 si+ fiが 0 の場合

01

=⋅∑=

n

i

ii xs δ

01

=⋅=∑=

n

i

W ii xf δδ

fi

δxi si

仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理のののの適用例適用例適用例適用例仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理のののの適用例適用例適用例適用例

( ) 022112211

1

=+−=+=⋅=∑=

δθδδδδ lflfxfxfWn

i

ii xf

各仮想変位の関係

2211 xlxl δδδθ −=−=

釣り合いの条件

よって、 のとき系は釣り合う2211 lflf −=

： ヤコビ行列

釣り合いの条件

各仮想変位の関係

リンクリンクリンクリンク構造構造構造構造のののの仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理リンクリンクリンクリンク構造構造構造構造のののの仮想仕事仮想仕事仮想仕事仮想仕事のののの原理原理原理原理

qqJx δδ )(=

( ) 01

=⋅+=⋅+⋅=⋅=∑=

qτfJqτxfxf ii δδδδδ Tn

i

W

よって、 のとき系は釣り合うfJτT−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=21

21)(q

y

q

x

q

y

q

x

qJ

δxf

τ1

τ2

δq1

δq2

回転系の場合は（トルク）・（角度変位）で仕事

： ヤコビ行列

ヤコビヤコビヤコビヤコビ行列行列行列行列ヤコビヤコビヤコビヤコビ行列行列行列行列

qqJx && )(=

fJτT−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=21

21)(q

y

q

y

q

x

q

x

qJ

δxf

τ1

τ2

δq1

δq2

手先速度と関節速度、

手先力と関節トルクの関係を表す行列

手先速度と関節速度の関係

手先力・関節トルクの関係

演習演習演習演習演習演習演習演習下図の関節角q1,q2と手先位置xの関係を導出せよ

また、ヤコビ行列を導出せよ

：ヤコビ行列

qqJx && )(=

)(qJ

解答解答解答解答解答解答解答解答手先位置 x

手先速度 x&

++

++=

)sin(sin

)cos(cos

21211

21211

qqlql

qqlqlx

+++

+−+−−=∴

+++

+−+−−=

+++

++−−=

)cos()cos(cos

)sin()sin(sin

)cos()cos(cos

)sin()sin(sin

)cos()(cos

)sin()(sin

21221211

21221211

2

1

21221211

21221211

21221111

21221111

qqlqqlql

qqlqqlql

q

q

qqlqqlql

qqlqqlql

qqlqqqlq

qqlqqqlq

J

x

&

&

&&&

&&&&

演習演習演習演習演習演習演習演習

レジュメP.31の問題4.1～4.5