IIdo.mat.Guia.repaso.teorema.thales.y.semejanza

8/17/2019 IIdo.mat.Guia.repaso.teorema.thales.y.semejanza

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TEOREMA:

Toda paralela a un lado de un triángulo determina en los otros dos lados segmentos proporcionales.

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Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de ellas sonrespectivamente proporcionales a los segmentos determinados en la otra.

En la figura 1, L1 y L2 son rectas y AD

// BE

// CF

. Entonces: &. ("/.0 "1

A

B

C

D

E

F

L1 L2 fig. 1

1. En la figura 2, L1 // L2 // L3, entonces x =

A)

0B)

2C)

3D)

4E) 6

2. Si en la figura 3, L1 // L2 // L3, entonces x + y =

A)

24B)

11C)

8D)

5E)

3

4 2

x + 2 x – 1

L1

L2

L3

fig. 2

L1

L2

L3

6

x

8

y

16

4

fig. 3

C

A B

D E


2/5

TEOREMA:

Si los lados de un ángulo o sus prolongaciones más allá del vértice se cortan por dos rectas paralelas,

las paralelas son entre sí como los segmentos de cada lado medidos desde el vértice hasta la paralela

respectiva.

Hipótesis: DE // AB

Tesis: DE

AB=

CE

CB

C

A B

D E

1. En la figura siguiente, BC // DE .

a. Determina EC , si AD = 3, DB = 4 y AE = 4,5.

b. Determina EC , si AD = 3,5, DB = 4 y AE = 5,25.

c. Determina BC , si AD = 3, DB = 4,5 y DE = 4.

A

B C

E D

1. Si AA’ // BB’ // CC ’ y CO = 3, OB = 4, OB’ = 4, AA’ = ,10

3C’ C

O

B’ B

A

A’

BB’ = , calcula las medidas de: CC ’, OC ’, A’B’ y AB.25

12

2.

2. Determina el valor de x , en cada caso, de manera que AB y CD sean paralelas.

a. b.

A B

C D

24 cm18 cm

x + 5 x + 3

A

B

C

D

6 cm

12 cm

9 cm

x

3.


3/5

3. En la figura, RT // PQ.

a. Escribe todas las proporciones que se pueden establecer entre los segmentos de la figura.

b. Si SR = 40 m, ST = 42 m y TQ = 63 m, calcula las medidas de RP y SP .

4. Determina el valor de x de manera que se cumpla RT // PQ.

5. ¿Con cuál de los siguientes conjuntos de medidas se cumple que DE // AB?

a. CD = 20, DA = 5, CE = 24 y EB = 6.

b. CD = 18, DE = 6, CA = 21 y AB = 7.

c. CB = 30, EB = 4, CD = 21 y DA = 3.

S

R T

QP

S

3 x – 13 x + 4

x + 2 x

R T

Q

C

P

E

B A

D

4.

5.

6.

3. a. = , = , = , =

b. RP mide 60 m y SP mide 100 m.

4. x = 2

5. a. Se cumple. c. No se cumple.

b. Se cumple.

ST

TQ

SR

RP

SQ

QP

ST

TR

ST

SQ

SR

SP

SP

QP

SR

TR

4.

5.

6.

1. CC’ mide ; OC’ mide 3; A’B’ mide y

2. a. x = 3 cm b. x = 8 cm

12

5

25

16

AB mide .12

5

2.

3.

1. a. EC = 6

b. EC = 6c. BC = 10

012 4125627


4/5

1'-'2$34$

Para establecer la semejanza entre dos triángulos, se pueden utilizar los siguientes teoremas, conocidos

como criterios de semejanza:

• Criterio AA o primer criterio de semejanza: si dos triángulos tienen dos de sus ángulos iguales,

entonces los triángulos son semejantes.

• Criterio LLL o segundo criterio de semejanza: si dos triángulos tienen todos sus lados correspondientesen igual proporción, entonces los triángulos son semejantes.

• Criterio LAL o tercer criterio de semejanza: si dos triángulos poseen dos de sus lados correspondientes

en igual proporción y los ángulos comprendidos por dichos lados son congruentes, entonces los

triángulos son semejantes.

• Dos figuras son semejantes si todos sus correspondientes ángulos son congruentes y la razón

entre sus correspondientes lados es constante.

A’ α’

C’

γ’

B’ β’

Aα

a

a’

bb’

c’

C

γ

c Bβ

De acuerdo a los elementos de la figura 1, se cumplen los siguientes teoremas:

"#$%#&' (

En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazoshomólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros.

) *

)+ *+, - ./ /,+ - .

/ 012341-25 '67012341-25 '+6+7+

/ 8888

"#$%#&' 9

Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón enque se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera.

:21* '67:21* '+6+7+

/; ;;

) *

) *+

, - ./ /

,+ - .+

/ 8888

A c B

C

b atc

ha

A’ c’ B’

C’

b’ a’tc’ ha’

fig. 1

8

9

1. En un triángulo ABC , AB = 4 cm, BC = 7 cm y CA = 10 cm. En otro triángulo A’B’C ’, A’B’ = 3 cm,

B’C ’ = 6 cm y C ’ A’ = 15 cm. ¿Son semejantes los triángulos ABC y A’B’C ’?

2. ¿Son semejantes dos triángulos de lados a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm y a’ = 12 cm, b’ = 16 cm, c ’ = 21 cm,

respectivamente?

3. Dos triángulos ABC y A’B’C ’ son semejantes con razón de semejanza . Los lados del triángulo ABC son

a = 3 cm, b = 10 cm, c = 8 cm. Halla las longitudes de los lados del ∆ A’B’C ’.

4. Dos triángulos ABC y PQR son semejantes.

a. Si AB = 5 cm, BC = 8 cm, CA = 4 cm, PQ = 2,25 cm, RP = 1,8 cm, ¿cuánto mide ?

b. Si AB = 2 cm, BC = 2 cm, CA = 3 cm, PQ = 4 cm, PR = 2 x – 2 cm y QR = x , ¿cuál es el valor de x ?

¿Cuánto mide ?

1

3

QR

PR


5/5

5. Si ∆ ABC ~ ∆DEF , tales que = , y si se tiene que AB = 12 cm, BC = 9 cm y AC = 7,5 cm, calcula

las medidas de los lados del ∆DEF .

6. Prueba que los triángulos dados son semejantes.

7. Determina los valores de x e y si los triángulos son semejantes.

a.

b.

2

3

AB

DE

6

x

B

x

y

7 cm

3,5 cm

3 cm

4 cm

C A

R

Q

y 3

4

8

5,2

5

48

10

12

1. No son semejantes.

2. No son semejantes.

3. Si ABC es el de menor tamaño, las medidas del

A’B’C’ son 9 cm, 30 cm y 24 cm, respectivamente.

4. a. QR = 3,6 cm

b. x = 4 cm. PR = 6 cm

5. DE = 18 cm, EF = 13,5 cm, DF = 11,25 cm

6. Sí, son semejantes, por criterio LLL.

7. a. x = 6, y = 2,6.

x = 2 cm, y = 6 cm.

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