II ČAS V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆLinearizovana teorija II reda Jednačine (B) su i dalje nelinearne. U praksi je dovoljno tačno ako se usvoji da je H=S, gde je S vrednost

I I ČAS

V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆ

3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 1

STABILNOST KONSTRUKCIJA

Univerzitet u BeograduGrađevinski fakultetKatedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija

Osnovne jednačine štapaLinearna teorija štapaVaže pretpostavke o geometrijskoj (1), statičkoj (2) i fizičkoj (3) linearnosti:1) Deformacije su male ( )2) Pomeranja napadnih tačaka spoljašnjih sila su mala u odnosu na dimenzije štapa (uslovi ravnoteže na nedeformisanom štapu) 3) Linearna veza (Hukov zakon) Linearne jednačine, jednoznačna rešenja, važi superpozicija uticaja


Osnovne jednačine linearne teoriještapa za t=0


.... (1)

.... (2)du dxdv dx

0 .... (3)0 .... (4)

0 .... (5)

x

y

dN p dxdT p dx

dM Tdx

0 ..... (6)

.... (7)

.... (8)

t

t

t

d M tdx EI h

N tEF

(AI)

Teorija konačnih deformacijaTeorija konačnih deformacija pretpostavlja da važi Hookov zakon (pr. ofizičkoj linearnosti), a da ne važe pretpostavke o malim deformacijama,(pr. o geometrijskoj linearnosti) i malim pomeranjima (pr. o statičkojlinearnosti). Reč je o GEOMETRIJSKOJ NELINEARNOSTI.


Teorija konačnih deformacijaVeze deformacija i pomeranja:


Teorija konačnih deformacijaUslovi ravnoteže elementa štapa


Teorija konačnih deformacijaHukov zakon. Veze između deformacija i presečnih sila, temperature:

*uticaj T‐sila na deformaciju se zanemaruje


0

)sincos(1

T

tt

t

tVHEF

tEFN

ht

EIM

dxd

8

Teorija konačnih deformacijaOsnovne jednačine


)2(sin)1()1(cos)1(

dxdvdxdudx

)5(0)(

)4(0)3(0

HdvdudxVdM

dxpdVdxpdH

y

x

Hukov zakon

(6)

1 ( cos sin ) (7)

t

t t

d M tdx EI h

N t H V tEF EF

(A)Uslovi ravnoteže:

Veze deformacija‐pomeranja:

Teorija konačnih deformacija

Jednačine štapa (A) po teoriji konačnih deformacija predstavljaju sistem od 7 jednačina sa 7 nepoznatih:

Jednačine su nelinearne. U njima se javljaju proizvodi nepoznatih veličina.

Složene su za rešavanje.

, , , , , ,u v M N T


Teorija drugog reda

Ako uvedemo pretpostavku o malim deformacijama:

a zadržimo i dalje pretpostavku da su pomeranja velika i da se uslovi ravnoteže posmatraju na deformisanom štapu, onda se jednačine uprošćavaju, a teorija u kojoj važe dodatne pretpostavke se naziva Teorija drugog reda.


sin , cos1 11 0

Teorija drugog reda

, ,, , ,

,M H Vu v


)7(

)6( )(1

)5(0)1(

)4(

)3(

)2(

)1(

ht

EIM

dxd

tVHEF

HVdx

dM

pdxdV

pdxdH

dxdvdxdu

t

ot

y

x

Iz jednačina (A) se dobija sistem od 7 jednačina štapa po Teoriji II reda (AII) sa 7 nepoznatih (AII)

Teorija drugog redaJednačine predstavljaju sistem od 7 jednačina sa sedam nepoznatih.

Sistem je nelinearan, jer se u uslovu ravnoteže (5) javlja proizvod statičkih i deformacijskih veličina.


Teorija drugog reda

Sistem se dalje može uprostiti ako ◦ uvedemo pretpostavku da se uticaj normalnih sila na deformaciju može zanemariti,

◦ zanemarimo dilataciju u trećem uslovu ravnoteže, tj.

Sistem se raspada na dva nezavisna sistema jednačina. Prvi sistem čine 2 jednačine za aksijalno naprezanje, a drugi 5 jednačina savijanja štapa:

0


Teorija drugog reda. Osnovne jednačineAksijalno naprezanje:


)2(0

)1( 0

ottEF

Ndxdu

Teorija drugog reda. Osnovne jednačine

(1)

(2)

(3)

0 (4)

(5)

x

y

t

dvdxdH pdxdV pdxdM V Hdx

d M tdx EI h


Savijanje silama:Za štap sa zadatim graničnimuslovima, iz jednačine (B2)može da se direktno odrediH, tako da se sistem svodi na4 jednačine savijanja poTeoriji II reda.U opštem sličaju sila H zavisiod ostalih sila, tj. pomeranjai obrtanja.

(B)

Linearizovana teorija II reda

Jednačine (B) su i dalje nelinearne.

U praksi je dovoljno tačno ako se usvoji da je H=S, gde je S vrednost sile H određena po teoriji I reda. Na taj način sistem jednačina (B) postaje linearan, a teorija u kojoj važe načinjene pretpostavke naziva seLinearizovana teorija II reda.


Diferencijalna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda

Diferenciranjem jednačine (B4)

uz korišćenje jednačina (B3) i (B5) dobija se:


)(/ 2

2

dxdvH

dxd

dxdV

dxMd

dxd

dxdvHV

dxdM

)1(/)()( 2

2

2

2

dxdvH

dxdp

htEI

dxvdEI

dxd

yt

Diferencijalna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda

2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) ( )y td d v d dv d tEI H p EI Cdx dx dx dx dx h


Prav prizmatičan štapZa prizmatičan štap EI=const, py=p(x) i za t=0 , jednačina (C) postaje:

gde je: S=H

•gornji znak se odnosi na pritisak (‐S), •donji znak se odnosi na zatezanje (S)

4 2( )2

4 2xpd v d vk

dx dx EI


Sk

EI

(C’)

Rešenje diferencijalne jednačine

Rešenje dif. jednačine (C’) je oblika:

gde je:

vh(x) - rešenje homogenog dela d.j. a

vp(x) - partikularni integral


)()()( xvxvxv ph


1) Homogeno rešenje za pritisnut štap, S<0

Karakteristična jednačina i rešenje:2 2 2

1,2 3,4( ) 0 0, p p k p p ik


2

3 4

( ) ( ) , ( ) ,

( ) , ( )h h

h h

I II

III IV

px px pxh

px px

v x e v x pe v x p e

v x p e v x p e


1 2 3 4( ) sin coshv x kx kx kx


Euler‐ove formule:

Homogeno rešenje za pritisnut štap:

0 01 2 3 4( ) ikx ikx

hv x e kx e e e

cos sin cos sinikx ikxe kx i kx e kx i kx


2) Homogeno rešenje za zategnut štap, S>0

Karakteristična jednačina i rešenje:

2 2 21,2 3,4( ) 0 0, p p k p p k


0 01 2 3 4( ) kx kx

hv x e kx e e e

, 2 2

kx kx kx kxe e e eshkx chkx


Homogeno rešenje – zategnut štap:

– integracione konstante , koje se određuju iz graničnih uslova štapa

,i i

1 2 3 4( ) hv x kx sh kx ch kx


Documents

II ČAS V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆLinearizovana teorija II reda Jednačine (B) su i dalje nelinearne. U praksi je dovoljno tačno ako se usvoji da je H=S, gde je S vrednost