فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١

فصل اول

رياضيات برداري

بردارها و اسكالرها

اسكالر و : گيرند هاي فيزيكي از نظر معرفي و معين شدن در دو دسته قرار مي اصوال آميت

بردار

شوند آه تنها توسط يك عدد آه همان اندازه آن هائي اتالق مي به آميت:Scalarاسكالر

ر الكتريكيشوند مانند جرم، انرژي و با آميت باشد مشخص مي

هايي هستند آه براي مشخص شدن آنان عالوه بر اندازه، به جهت نيز آميت:vectorبردار

نيازمند هستند مانند نيرو، شدت ميدان الكتريكي و چگالي جريان حجمي الكتريكي منظور از

جهت در اين آالم، معلوم بودن راستا يا محمل بردار، جهت و سمت بردار بر روي اين راستا

.مانند شكل روبرو. باشد يم

١شكل

هاي اسكالر و برداري از يكديگر بصورت پارامتري و نمادي عموما بمنظور تفكيك نمودن آميت

با حروف بزرگ داريري بهاآميتهاي اسكالر با حروف آوچك و آميت: شود بطريق زير عمل مي

:نها مانندباالي آتوأم با عالئمي در

…,a, b, c, m, n اسكالر

E,BAFDCBA بردار ,,ˆ,,,,vr

رود و يا از عالمت قدر براي نمايش اندازه يك بردار يا حرف مربوطه را بدون عالئم بردار بكار مي

: مطلق مانندFFr

Fاندازه بردار ==r

unit vector: بردار يكان

بردار واحد يا بردار يكان يك بردار عبارتست از برداري با اندازه واحد و همجهت با بردار مربوطه

. شود ده ميبر روي آن استفا ^ همراه با عالمتa ،uبراي نمايش اين بردار عموما از حروف

و uابه با اسم بردار اصلي بهمراه حروف شدن آن از يك انديس مشتر همچنين براي مشخص

aآيد نيز استفاده بعمل مي AA au ˆˆ Aبردار واحد بردار = =

r

بنابراينAAaA r

r

=ˆ

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٢

٢شكل

vector Algebraجبر بردارها

:شوند رياضيات برداري بصورت زير تعريف مي درچهار عمل اصلي

: جمع بردارها -

:گيرد جمع چند بردار به دو روش انجام مي) هندسي(از نظر گرافيكي

.تاالضالع اس روش اول تشكيل متوازي

٣شكل

.دم است روش دوم روش چند ضلعي يا روش سربه

٤شكل

٥ شكل

توان با جمع جبري هاي هم جهت، مي از نظر تحليلي جمع دو بردار پس از تجزيه آندو به مؤلفه

.هاي هم جهت دو بردار عمل جمع را انجام داد مؤلفه

( ) 333222111

332211

332211

ˆ)(ˆˆ)(

ˆˆˆ

ˆˆˆ?

aBAaBAaBABA

aBaBaBB

aAaAaAA

BA

+++++=+

++=

++=

=+

rr

r

r

rr

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٣

.پذيري صادق هستند و شرآتدر جمع بردارها خاصيت جابجائي

CBACBA

ABBArrrrrr

rrrr

++=++

+=+

)()(

تفريق بردارها -

Aدر اين عمل بردار v

Bرا با معكوس شده بردار v

شود جمع مي)( BABArrrr

−+=−

٦شكل

ضرب بردارها

: ضرب دو بردار-الف

ضرب داخلي دو بردار– ١

:باشد، مانند ب داخلي دو بردار يك اسكالر ميه ضرنتيج

]θآوچكترين زاويه بين دو بردار است[ θcos. ABBAC ==rr

همچنين چون در نمايش اين . شود بهمين دليل اين نوع ضرب را ضرب اسكالر نيز گفته مي

اي نيز گفته شود، به آن ضرب نقطه نقطه بعنوان عمليات ضرب استفاده ميضرب از عالمت

Scalar product , Dot product. شده است

٧شكل

.پذيري است از خواص اين نوع ضرب جابجايي و توزيع

).().().(

..

CABACBA

ABBAvvrrrrr

rrrr

+=+

=

آافي : ي استخاص) راستا(ترين آاربرد اين ضرب يافتن مؤلفه يا تصوير يك بردار در جهت مهم

.است بردار واحد آن جهت خاص را در بردار مذآور ضرب داخلي آرد

:مثال

zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=r

: بر هم داريمz, y, xبا توجه به عمود بودن بردارهاي واحد سه جهت ( ) ( ) xzyxxzzxyyxxxx AAAAaaAaaAaaAaA =×+×+×=++= 00)1(ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆˆ.

r

AaAAaA :همچنين zzyy

rr.ˆ,.ˆ ==

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٤

Aمؤلفه بردار : و يا بطور آليr

B در جهت و راستاي بردار r

:AaA BB

r.ˆ=

o :بنابراين واضح است آهrrrr

oAAAAA cos.2 ==

ضرب خارجي- ٢

شود به آن استفاده ميXآن از عالمت آراس نتيجه اين ضرب يك بردار است و چون در نمايش

Cross productشود ضرب آراس نيز گفته مي

ABABCC

BAC

θsin==

×=r

rrr

ABθ آوچكترين زاويه بينABvr

Aاست آه بردار ,v

B را در امتداد بردار r

.هدد قرار مي

Cجهت بردار r

ABبر دو بردار vr

.آيد دست راست بدست مي عمود است و طبق قانون,

٨شكل

:واضح است آه

BABAABrrrrrr

×≠×−=×

:پذيري در ضرب خارجي وجود دارد همچنين خاصيت توزيع ( ) ( ) ( )CABACBA

rrrrrrr×+×=+×

يك بردار ضرب يك اسكالر در-بAamAAm : شود اين ضرب بصورت روبرو نمايش داده مي ˆ=

r

Aبرابر mنتيجه اين ضرب بردار است با اندازه r

مثبت باشد بردار نهائي هم جهت و mو چنانچه

Aدر غير اينصورت در خالف جهت بردار v

. خواهد بود

نها تعريفي آه در مورد تقسيم در مبحث بردارها وجود دارد تقسيم يك بردار بر يك :متقسي

Aa :اسكالر است آه همان مفهوم ضرب يك اسكالر در بردار را داردmAA

mmA ˆ1

==r

r

Orthogonal coordinate systemsهاي مختصات متعامد دستگاه

سه جهت آن بر هم عمود هستند را مورد در اين درس سه دستگاه مختصات سه بعدي آه

.گيرد بررسي و استفاده قرار مي

Rectangular coordinates دستگاه مختصات مستطيلي – ١

توان اين دستگاه را برپا آرده و موقعيت نقطه يا بدليل آنكه با تشكيل يك مكعب مستطيل مي

هاي اين ديگر ناماز. شود مكاني را مشخص نمود، مختصات مستطيلي به آن اتالق مي

. استCartesianدستگاه دآارتي و آارتزين

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٥

سه محور مربوطه در . گردد موقعيت يك نقطه روشن مي z و y و xدر اين دستگاه با سه پارامتر

بنابراين براي يافتن مكان هر نقطه و يا انتهاي هر بردار .نقطه مبدأ مختصات بر هم عموداند

را در تصوير مشاهده Pبعنوان مثال نقطه . سه محور عمود آرد بر آافي است آه از آن نقطه

وجه يك مكعب مستطيل است آه ٦در واقع اين خطوط عمود، قطرهاي سه وجه از . آنيد مي

.آن واقع شده است) بزرگ(در ابتدا و انتهاي قطر اصلي Pو نقطه ) O(مبدأ مختصات

xzzبردارهاي يكان سه جهت عبارتند از aaa و هر آدام با اندازه واحد و در جهت مثبت سه ˆ,ˆ,ˆ

:پس. آه بنابراين بر هم عمودند. و منطبق با سه محور فوق خواهند بودz, y, xمحور

yxzxzyzyx

zzyyxx

zyzxyx

zzyyxx

aaaaaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆ

090cos11ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ10cos11ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

=×=×=×

=×=×=×

=××===

=××===

:نمايش يك بردار در فضاي مختصات مسطيلي بصورت تحليلي

zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=r

zyz AAA Aبردار ) تصوير(بترتيب مؤلفه ,,r

.باشند مي z و y و xدر سه جهت 222zyx AAAA ++=

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٦

xyzبراي يك شكل آوچك ديفرانسيلي با ابعاد ddd توان بردار ديفرانسيلي طولي بقرار مي,,

.زير تعريف نمود

dzdladzld

dydladyld

dxdladxld

ldldldld

zzz

yyy

xxx

zyx

==

==

==

++=

,ˆ

,ˆ,ˆ

v

v

v

vvvv

zyx :بنابراين adzadyadxld ˆˆˆ ++=v

ر عمود ظبر يك سطح آه عبارتست از برداري آه بر سطح مورد ن) عمود(با تعريف بردار نرمال

توان سه باشد، مي بوده در جهت خارج از سطح است و اندازه آن برابر مساحت آن سطح مي

.بردار نرمال به سطح با توجه به شكل ديفرانسيلي قبل ارائه آرد

١٤شكل

dxdydsdxdyasd

dxdzdsdxdzasddydzdsdydzasd

sdsdsdsd

zzz

yyy

xx

zyx

==

====

++=

,ˆ,ˆ

,ˆ

v

v

v

vvvv

dxdyadxdzadydzasd :بنابراين zyx ˆˆˆ ++=v

dxdydzdv :باشد م ميآخرين ترم ديفرانسيلي يك آميت اسكالر است ديفرانسيل حج =

آيد آه متشكل از صفحات مسطح هاي هندسي بوجود مي ، مكانz يا y يا xبراي مقادير ثابت

. خواهد بودz, y, xو بينهايت عمود بر سه محور

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٧

Cylindrical coordinatesاي دستگاه مختصات استوانه– ٢

اي توانهسشود آه با برپائي يك شكل ا مياين داستگاه مختصات سه بعدي بطريقي تعريف

آند و بهمين دليل نام سه پارامتر نشان دهنده موقعيت يك نقطه را براحتي ميسر مي

.استاتالق شده اي به اين دستگاه استوانه

١٥شكل

rzسه پارامتر اين دستگاه ,,ϕاست .

r فاصله عمودي از محور zهاست. ϕاي است آه تصوير زاويهr بر روي صفحه افق )xy ( با جهت مثبت محورxسازد مي.

z سوم مختصات مستطيلي است) پارامتر( همان آميت.

ها z محور استوانه محور rاي تصور و رسم نمود آه شعاع قاعده آن توان استوانه بنابراين مي

Pن استوانه در سطح افقي واقع شده است و نقطه قاعده پائي z=zقاعده باالي آن در موقعيت

P با پارامتر سوم مختصات نقطه zارتفاع استوانه برابر با (شود روي لبه آن استوانه مستقر ميrzمحدوده ) باشد مي ,,ϕبا توجه به تعريف انجام شده:

⟨+∞∞⟨−≤≤⟨∞≤ zr ,20,0 πϕ rz مربوطه يعني بترتيب براي يافتن بردارهاي واحد سه جهت aaa ˆ,ˆ,ˆ ϕ آافي است در نقطهP در

.را بدست آوريد ra به اندازه واحد، بردار z در جهت دور شدن از محور rامتداد شعاع خواهد ϕaراستاي مماسي رسم گردد، امتداد اين مماس P بر سطح استوانه و در نقطه راگ

بنابراين واضح است آه . هاستxبود و جهت مثبت آن در جهت دور شدن از جهت مثبت محور raa ˆ,ˆϕبر خالف بردارهاي واحد مختصات مستطيلي وابسته به مكان خواهند بود.

zaشود مشابه دستگاه مختصات مستطيلي تعريف مي.

١٦شكل

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٨

:ه مختصات مستطيلي در اين مختصات داريممشاب

222

ˆˆˆ

zr

zzrr

AAAA

aAaAaAA

++=

++=

ϕ

ϕϕ

r

براي تعريف بردارهاي ديفرانسيلي طولي و سطحي بايستي قسمتي از فضاي بين دو

را در نظر گرفت اين حجم ديفرانسيلي آه drاستوانه هم محور با اختالف شعاع قاعده برابر با .شود واقع ميϕdه است در دهان dzداراي ارتفاعي برابر با

١٧شكل

:بردار ديفرانسيل طوليبنابراين

dzdladzld

rddlardld

drdladrld

ldldldld

zzz

rrr

zr

==

==

==

++=

,ˆ

,ˆ,ˆ

r

v

r

vvvv

ϕϕ ϕϕϕ

ϕ

تواند بعنوان طول در نظر است نمي) راديانبرحسب (اندازه يك زاويه ϕdتوجه داريم آه چون

آنرا به طول تبديل rاز شعاع دايره ϕdه بنابراين با توجه به آمان روبرو به زاوي .گرفته شود

.ايم آرده

ديفرانسيلي سطحيبردارهاي

١٨شكل

drrddsrdrdasddzdrdsdrdzasd

dzrddsdzrdasdsdsdsdsd

zzz

rrr

zr

×==

×==×==

++=

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

,ˆ,ˆ,ˆ

v

v

v

vvvv

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٩

dzrdrddvبراي آميت اسكالر ديفرانسيلي حجم در اين مختصات ϕ= آه از ضرب سه بعد

. بدست آمده استdz و ϕrd و drشكل ديفرانسيلي فوق يعني

همچنين در خصوص ضرب داخلي و ضرب خارجي بردارهاي يكان اين دستگاه با توجه به

:متعامد بودن سه جهت

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

rzrzzr

zzrr

zzrr

ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ0ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ1ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

=×=×=×

===

===

آند آه بقرار زير در اين مختصات براي پارامترهاي ثابت مكان هندسي خاصي را حاصل مي

: است

ها خواهد بود آه شعاع قاعده zمحوريت محور با محدود ناك استوانه سطح جانبي ي: r=kبراي

.باشد مي kآن k=ϕهاست آه در زاويه z محدود به محور مسطح و يك نيم صفحه بينهايت،: k=ϕبراي

.قرار گرفته است

. خواهد بودz=kسطح در ارتفاع مشابه مختصات مستطيلي يك صفحه بينهايت، م: z=kبراي

١٩شكل Spherical coordinates دستگاه مختصات آروي – ٣

است و چون با مرور آردن يك آره به R,,θϕدستگاه در فضاي سه بعدي داراي سه پارامتر اين

يش دهيم خواهيم مختصات آنرا نما بمرآز مبدأ مختصات از نقطه مورد نظري آه مي Rشعاع

.شود بنابراين بنام مختصات آروي موسوم است تعريف مي

Rفاصله نقطه تا مبدأ مختصات است .

θ زاويه بينR و جهت مثبت محور zهاست. r به xy در صفحه Rاي را داراست يعني از تصوير آردن همان تعريف در مختصات استوانهϕو

.خواهد بودϕها زاويه x و جهت مثبت محور rرسيده زاويه بين

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٠

:بنابراين طبق تعاريف انجام شده محدوده سه پارامتر اين مختصات عبارتندازπϕπθ 20,0,0 ≤≤≤≤⟨∞≤ R

.آيند آه بر هم عمودند بردارهاي واحد سه جهت تعريف شده بصورت زير بدست مي بدست آمده و جهت آن در Raمتصل نمود ادامه دهيم، امتداد P را به نقطه oآز چنانچه مر

بهحال اگر بر اين امتداد عمودي رسم نمائيم آه بر آره. جهت دور شدن از مرآز خواهد بود θa باشد، واقع گردد امتداد Rو خط zاي آه شامل محور مماس بوده و در صفحه Rشعاع

چنانچه بر سطح آره به شعاع . است Z+دهد و جهت مثبت آن در جهت دور شدن از محور ميR در نقطهP مماسي بموازات صفحه افق رسم شودϕaآوريم آه جهت مثبت آن را بدست مي

.هاستxدر جهت دور شدن از قسمت مثبت محور

٢٠شكل

شود آه در اين دستگاه مختصات هر سه بردار واحد وابسته به مكان خواهد بود يمالحظه مRaaaا انتهاي هر بردار در اين دستگاه بردارهاي ي و Pيعني با تغيير نقطه ˆ,ˆ,ˆ θϕ ممكن است

Aبراي يك بردار مانند بردار .تغيير بنمايندr

222

ˆˆˆ

ϕθ

ϕϕθθ

AAAA

aAaAaAA

R

RR

++=

++=r

توان از حجم ديفرانسيلي آه محصور بين دو بردارهاي ديفرانسيلي طولي و سطحي را ميθϕ است و محدود در زواياي R+dR و Rهاي آره هم مرآز با شعاع dd .باشد بدست آورد مي,

٢١شكل

بنابراين بردار ديفرانسيلي طولي

ϕθ ldldldld R

rrrr++=

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١١

ϕθϕϕθ

θθ

ϕϕϕ

θθθ

dRrddldRald

RddlRdald

dRdldRald RRR

sin,sinˆ

,ˆ,ˆ

===

==

==

r

r

:همچنين بردار ديفرانسيلي نرمال به سطح

dRRddsRdRdasddRdRdsdRdRasd

RddRdsddRasd

sdsdsdsd

RRR

R

×==×==×==

++=

θϕθϕθϕθ

θϕθϕθθ

ϕϕ

θθθ

ϕθ

,ˆsin,sinˆ

sin,sinˆ 2

r

r

r

rrrr

ϕθθ براي آميت اسكالر ديفرانسيلي حجم ddRdRdv sin2= آه از حاصل ضرب سه بعد

dRRddR ,,sin θϕθحاصل شده است .

٢٢شكل

هت عمود بر هم بصورت هاي داخلي و خارجي بردارهاي واحد سه ج در اين مختصات نيز ضرب

.آيند زير بدست مي

θϕϕθϕθ

ϕθϕθ

ϕϕθθ

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

RRR

RR

RR

ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ0ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ1ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

=×=×=×

===

===

مكان هندسي پارامترهاي ثابت در اين دستگاه مختصات طبق تعاريف قبلي بصورت زير بدست

.آيند مي

بمرآز مبدأ مختصاتkاي خواهد بود به شعاع آرهR=kبراي

. واقع در مبدأ مختصات آه داراي ابعاد بينهايت است Kس مخروط واروني با زاويه رأk=θبراي هاست آه در z محدود به محور واي، نيم صفحه بينهايت مشابه مختصات استوانهk=ϕبراي

.قرار گرفته استk=ϕزاويه

٢٣شكل

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٢

آروي به يكديگر واي تبديل مختصات مستطيلي، استوانه

اي آه در دستگاه مختصات نمايش داده شده است در اهي اوقات بايستي مختصات نقطهگ

دستگاه ديگري بيان شود و يا نمايش تحليلي بردار را در مختصات ديگري ارائه شود آه

اند آه ترين علت جمع و يا ترآيب دو برداري است آه در دستگاه مختصاتي ارائه شده عمدهθϕ : مكان هستند يعنيبردارهاي واحد آنها تابع aaaa Rr ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

.هاي مختلف در يك دستگاه به دستگاه ديگر است بنابراين نيازمند تبديل پارامترها و مؤلفه

اي به مستطيلي و برعكس تبديل مختصات استوانه-

:اي به مستطيلي تبديل متغير يا پارامترهاي مختصات استوانه

zzryrx

===

ϕϕ

sincos

:برعكس

zzx

yyxr

=

=

+=

−1

22

tanϕ

zzyyxxاگر aAaAaAA ˆˆˆ ++=r

rzاي بايد مختصات استوانهبراي رسيدن به نمايش اين بردار در AAA ,, ϕرا بدست آورد.

AaAAaAAaA :بنابراين zzrr

rvr.ˆ,.ˆ,.ˆ === ϕϕ

zrzyryxrx

zzyyxxrr

aaAaaAaaAaAaAaAaA

ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ)ˆˆˆ.(ˆ

++=

++=

( )0ˆ.ˆ

sin90cosˆ.ˆcos11ˆ.ˆ

=

=−=××=

zr

yr

xr

aa

aaaa

ϕϕϕ

( )

1ˆ.ˆ,0ˆ.ˆˆ.ˆ0ˆ.ˆcosˆ.ˆ

sin90cosˆ.ˆ

===

=

=

−=+=

zzyzxz

z

y

x

aaaaaaaa

aaaa

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٣

:اي هماتريس تبديل مختصات مستطيلي به استوان⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

z

r

AAA

AAA

1000cossin0sincos

ϕϕϕϕ

ϕ

:اي به مستطيلي ماتريس تبديل مختصات استوانه:و برعكس⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

r

z

y

x

AAA

AAA

ϕϕϕϕϕ

1000cossin0sincos

A مطلوبست نمايش بردار :مثالr

:در مختصات مستطيلي5ˆ2ˆcos3ˆ zr araaA +−= ϕϕ

r

cos3,5,2 بنابراين =−== zr ArAA ϕϕ

:روش اول

( )

( )

5.ˆ

cos2cossin3.ˆsin2cos302sincos3cos

ˆ.ˆ2ˆ.ˆcos3ˆ.ˆ5ˆ2ˆcos3ˆ.ˆ.ˆ

2

==

−==

+=+−−×=

+−=

+−==

AaA

rAaA

rr

aaraaaaaraaaAaA

zz

yy

zxxyx

zrxxx

r

r

r

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

:آنيم هاي بدست آمده را به مختصات مستطيلي تبديل مي سپس پارامترهاي موجود در مؤلفه

xyx

xyxyx

xyx

yAyyx

xA yzx 2323,23 2222222

2

−+

=−+

×+

=++

=

ˆ23ˆ23ˆ5 :بنابراين2222

2

zyx axyx

xyayyx

xaA +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

r

:روش دوم

: استفاده از ضرب ماتريسي⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

5cos2cossin3

sin2cos3

52

cos3

1000cossin0sincos 2

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

rr

rAAA

z

y

x

.آه همان نتيجه روش قبل استzyx مطلوبست نمايش بردار مكان :تمرين azayaxR ˆˆˆ ++=

r اي در دستگاه مختصات استوانه

و برعكستبديل متغيرهاي مختصات آروي به مستطيلي-

تبديل متغيرهاي مختصات آروي به مستطيلي

θϕθθθ

cossinsincossin

RzRyRx

===

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٤

222: برعكس zyxR ++=

xy

zyxz

1

222

1

tan

cos

−

−

=

++=

ϕ

θ

با توجه به شكل

( ) ϕθθ cossinˆ.ˆ90cosˆ.ˆ ×=−= xrxR aaaa

:ماتريس تبديل مختصات مستطيلي به آروي

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

xR

AAA

AAA

0cossinsinsincoscoscos

cossinsincossin

ϕϕθϕθϕθθϕθϕθ

ϕ

θ

: مستطيليبهماتريس تبديل مختصات آروي : و برعكس

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕ

θ

θθϕϕθϕθϕϕθϕθ

AAA

AAA R

z

y

x

0sincoscossincossinsinsincoscoscossin

:مثال

:بردار مكان يك نقطه آلي در مختصات آروي را بدست آوريد

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−+++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++=

0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin

0cossinsinsincoscoscos

cossinsincossin

ˆˆˆ

ϕϕθϕθϕθθϕθϕθ

ϕϕθϕθϕθθϕθϕθ

ϕ

θ

ϕ

θ

yxzyyzyx

AAA

zyx

AAA

azayaxA

R

R

zyx

r

RRRR

RRRRR

zyxAR

=+=

+=

++=

++=

++=

)cos(sincossin

cos)sin(cossincossinsincossin

cossinsincossin

22

22

2222

22222

θθ

θθ

θϕϕθ

θϕθϕθ

ϕθϕθ

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٥

0,0 و به همين ترتيب == ϕθ AA

RaRA :بنابراين ˆ=r

RA و ياrr

=

:اي و برعكس تبديل مختصات آروي به استوانه-

:شود اين تبديل بندرت استفاده مي

تبديل پارمترها

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

θ

ϕϕθ

cos

sin

Rz

Rr

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=

+=−

ϕϕ

θ22

1

22

coszr

zzrR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕ

θϕϕ

ϕ

θ

θθ

θθθθθθ

AAA

AAA

AAA

AAA R

z

r

z

rR

0sincos1000cossin

,010

sin0coscos0sin

انتگرال گيري

:باشند عبارتند از بردارها مي ارتباط بادرهائي آه انتگرال

( ) ( ) ( ) ( ) zc czycxc zzyyxxc

c

v

s

c

dzyxfadyzyxfadxzyxfadadadaflfd

lfd

dvF

sdF

ldF

∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫

++=+++= ,,ˆ,,ˆ,,ˆˆˆˆ

.

.

v

v

r

vr

vr

∫گرال اول تان گيري، دو اما مهمترين انتگرال ldF

vr∫و . sdF vr

انتگرال خطي و ماست آه بترتيب بنا.

.بريم انتگرال سطحي از آن نام مي

Line Integralانتگرال خطي

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٦

∫بعنوان مثال B

Ac

ldFvr

.گيرد بصورت زير انجام مي Cي مانند ريسروي م.

Fبراي محاسبه آن در هر نقطه، مؤلفه r

)را آه مماس بر منحني د رآن نقطه است )αcosF را

.آنيم ضرب مي dlبدست آورده در طول

ldFآه همان مفهوم vr

dlFگيري تابع اسكالر يجه انتگرالاست و نت. αcos از نقطهA تا B خواهد

.بود

∫B

AdlF αcos

F چنانچه بردار:مفهوم انتگرال خطيv

نيروي وارد بر جسمي باشد، اين انتگرال ميزان آار

تواند متناسب با انرژي اشد آه ميب مي B به A از نقطه Cالزم براي حرآت جسم روي مسير c∫ .الزم براي عمليات فوق باشد dlF.

r

F براي بردار داده شده :مثالr

∫مطلوبست محاسبه انتگرال خطي B

AldFvr

در امتداد يك چهارم .

.در شكل نشان داده شده است آه ٣دايره به شعاع

030

:003

:,2ˆˆ BAxaxyaF yx −=r

در مختصات مستطيلي:روش اول

xdyxydxdlF

dzadyadxadl zyx

2.

ˆˆˆ

−=

++=r

3,0,922 ٣به شعاع اي دايره:معادله مسير ≤≤=+ yxyx

22 : هر دو مثبتy و xو چون مسير در ربع اول است 9,9 xyyx −=−=⇒

:بنابراين

( )

( ) ( )219sin99931

929

22.

3

0

120

3

232

0

3

3

0

22

π+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=

−−−=

−=−=

−

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

xyyyx

dyydyxx

xdyxydxydyxydxldFB

A

B

A

B

A

B

A

vr

اي در مختصات استوانه:دومروش

( ) ( )dzardadrald

xxyaxxyaF

xxy

FFF

zr

r

z

r

ˆˆˆ

cos2sinˆsin2cosˆ

02

1000cossin0sincos

++=

+−−=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

v

r

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٧

٠=dz و ٠=dr قرار دارد به نحوي آه ٣=r و ٠=zمسير در موقعيت ϕϕ بنابراين dald

r3ˆ

3≡

=

v.dlFدر نتيجه در محاسبه

r .آارساز خواهد بودϕFتنها مؤلفه

:جايگزين آردهϕF در ϕsin3=y و ϕcos3=xهمچنين

( )∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=+−=

B

AddlF

219cos6cossin93. 2

0

22 πϕϕϕϕπr

Surface Integralانتگرال سطحي

s∫ :باشد طريقه نمايش بصورت روبرو مي dsF.r

F مؤ لفه تآه بردار عمود بر سطح در جهت خارج از سطح اسsdrو با توجه به تعريف v

در )جهت عمود بر سطح را بدست آورده )αcosF درds طح آنيم و نهايتا روي س ضرب ميs

:گيريم انتگرال مي

Fچنانچه : مفهوم انتگرال سطحي

rs∫بردار نمايش دهنده يك ميدان باشد انتگرال dsF.

rآل فلو

Fبردار ) شار(r

.نمايد خارج مي شود را محاسبه مي S آه از سطح ∫: يش روبرو استفاده مي آنيم باز باشد از نماsچنانچه سطح sdF vv

.

.آيد با استفاده از قانون دست راست بدست ميsdvجهت اگر سطح باز باشد

آند و انگشت شست را محصور مي S آه سطح باز Cانگشتان دست راست در جهت منحني

.دهد ا نشان مي رsdvجهت

s∫ محاسبه :مثال sdF vr

Fروي سطح استوانه داده شده در شكل براي تابع برداري .r

:

BZarAaF zr ˆˆ +=

r

∫ ∫∫∫ ++= dsFdsFdsFdsFs

....rrrr

قاعده باال ائين پ قاعده سطح جانبي

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٨

( ) ( )

( ) ( )

( )

ABABBsdF

AdzAdsdF

dzAdrzrdrAsdF

dzrdasdsdaarat

BBrdrdsdF

BrdrdBrdrdsdF

rdrdasdsdaazat

BBrdrdsdF

BrdrdBzrdrdsdF

rdrdasdsdaazat

r

rr

rrrn

z

z

zzzn

z

zz

zzzn

πππππ

πϕ

ϕϕ

ϕ

πϕ

ϕϕ

ϕ

πϕ

ϕϕ

ϕ

π

π

π

1224121212.

12.

.

ˆˆˆ2

123.

33.

ˆˆˆ3

123.

3.

ˆˆˆˆ3

2

0

3

32

22

2

0

2

03

3

2

0

2

03

33

+=++=⇒

==⇒

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

==⇒=⇒=

==⇒

=−−=⇒

−=−=⇒−=⇒−=

==⇒

==⇒

==⇒=⇒=

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

−=

==

−=

−=

=

==

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

r

آن بر روي پردازيم آه دو نوع گيري مي در اين قسمت به ارائه سه عمل مشتق: گيري مشتق

الر و ديگري بردار است و نوع سوم مشتق خاصي اسكآه نتيجه يكي گيرد بردارها صورت مي

.شود اما نتيجه آن يك بردار خواهد بود است آه بر روي اسكالر انجام مي

Divergenceيك تابع برداري ) بخش(ديورژانس

:تعريف

( )v

sdF

vFFdiv s

∆→∆=∇= ∫

rrrr .

0lim

..

.دگرد بنابراين ديورژانس يك تابع برداري با فلوي خروجي از هر متر مكعب برابر مي ديورژانس در دستگاههاي مختصات متعامد حماسبة نظر آردن از طريقه عمليات،با صرف

.معرفي شده بصورت زير خواهد بود

در دستگاه مستطيليz

Fy

FxF

F zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

∂=∇r

.

) اي در دستگاه استوانه )z

FFr

rFrr

F zr ∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=∇ϕϕ11.

r

) در دستگاه آروي ) ( )ϕθθθϕ

θ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇F

RF

RFR

RRF R sin

1sinsin11. 2

2

r

V اگر:آاربردr

الي چگالي حجمي آن سρ ال در هر نقطه باشد وي سرعت حرآت يك س

( ) 0=∇• vprفلوي(پذيري است يعني شار ال غير قابل تراآمي آن خواهد بود آه س به مفهوم (

خارج شده از آن سطح برابر است وه به يك سطح بسته همواره با فلوي جرم وارد شد( ) 0⟩∇• vpr نشان دهنده يك مادة قابل انفجار و بعنوان منبع source ( ) ⋅⟨∇• 0vpr براي يك فرآيند

. استsinkدهد و بعنوان حفره و گودال م پذير نتيجه ميتراآ

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١٩

Curlيك تابع برداري ) پيچش(آرل ) :تعريف ) FFcurl

vv×∇=

( )s

ldF

saFF c

ss ∆→∆=×∇=×∇ ∫

vvvv

0lim

ˆ).(

F مشخص است آه چنانچهبا توجه به تعريف فوق r

عمود باشد و يا ∆s بر روي سطحFتصويري نداشته باشد مؤلفه آرل

rي ندارد ش وجود ندارد و يا بعبارتي چرخsa در جهت

بنابراين مؤلفه آرل هر بردار در هر جهت . برابر صفر استsa يعني پيچش اين بردار در جهت

.معياري از چرخش خطوط ميدان برداري فوق در صفحه عمود بر آن جهت استsa تواند مي xyz aaa . يا هر جهت ديگر باشدˆ,ˆ,ˆ

در مختصات مستطيلي

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇yF

xF

az

FxFa

zF

yFa

FFFzyx

aaa

F xyz

xzy

yzx

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆr

اي استوانهدر مختصات

zr

zr

FrFFzr

araa

rF

ϕ

ϕ

ϕ ∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

ˆˆˆ1r

در مختصات آروي

ϕθ

ϕθ

ϕθ

θ

θFRRFF

R

RaRaa

RF

R

R

sin

sinˆˆˆ

sin1

2 ∂∂

∂∂

∂∂

=×∇r

Gradient) شيب(يان ادگر

باشد و جهتش در ير مكان ميگراديان بزرگترين مقدار مشتق يك تابع اسكالر نسبت به تغي

باشد بنابراين افتد مي همان سمتي آه بزرگترين مقدار مشتق نسبت به تغيير مكان اتفاق مي

directional derivative .گراديان يك مشتق گيري جهتي است :را در نظر بگيريدφبراي درك مفهوم گراديان تابع اسكالر

12 φφφ

φ

−=∆∆∆

l

آمترين مقدار باشد، ∆lاگر l∆

∆φرا خواهد داشت براي محاسبه ) مشتق( بزرگترين تغييرات

nlبيشترين تعييرات بايد : شود∆=∆nl ∆

∆=

∆∆ φφ

max

) يعني ) nadndgrad ˆφφφ =∇=

در مختصات مستطيلي z

ay

ax

a zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇φφφφ ˆˆˆ

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٢٠

در مختصات استوانه اي z

ar

ar

a zr ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇φ

ϕφφφ φ ˆ1ˆˆ

در مختصات آروي ϕφ

θθφφφ ϕθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇sin1ˆ1ˆˆ

Ra

Ra

RaR

قضايائي بر روي توابع برداري

) ) Null( فضاي صفر - ) 0.

0

=×∇∇

=∇×∇

Fr

φ

)ديورژانس(قضيه گاوس -

. استv آه شامل حجم sبراي هر سطح بسته ∫ ∫=∇

v ssdFdvF rrr

..

Stokes قضيه استوآس -∫ . استs آه شامل سطح باز cبراي هر مسير بسته ∫=×∇

s cdlFdsF ..

rr

Helmholtz قضيه هلمهولتس -

با توجه به شكل رياضي اين قضيه در محيط نامحدود

( ) ( ) ( ) vdRRRFvd

RRRFRF

vv′

′−

′×∇′×∇+′

′−

′∇′−∇= ∫∫ rr

rr

rr

rrrr

ππ 44.

) ديورژانس و آرل(شود آه هر ميدان برداري توسط پخشش و پيچش اين قضيه چنين بيان مي

Fشود يعني براي مشخص آردن آامل ميدان ميدان آامال مشخص ميr

فقط نياز به داشتن

Fr

F و ∇×r

. است∇.

توان بصورت مجموع گراديان يك تابع اسكالر و يك ميدان برداري يا تابع برداري را مي:بيان ديگر

AVFآرل يك تابع برداري نوشت rr

×∇+−∇=

.خر فصل ارائه خواهد شدهاي آاربردي قضاياي فوق در آ مثال

مشتقات مرتبه باالتر

:باشد عالوه بر قضاياي صفر، الپالسين نيز يك مشتق از مرتبه باالتر مي( )φφ ∇∇=∇ .2

مثال در مختصات مستطيلي

2

2

2

2

2

22

ˆˆˆ.ˆˆˆ

ˆˆˆ..

zyx

za

ya

xa

za

ya

xa

za

ya

xa

zyxzyx

zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∇=∇∇

φφφφ

φφφ

φφφφ

2 اي در مختصات استوانه

2

2

2

22 11

zd

rrr

rr ∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇φ

ϕφφφ

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٢١

2 در مختصات آروي

2

2222

22

sin1sin

sin11

ϕφ

θθφθ

θθφφ

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇RdRR

RRR

نوع ديگر مشتقات از درجه باالتر( ) FFF

rrr2. ∇−∇∇=×∇×∇

)مختصات مستطيلي(آه در آن

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂+

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22 ˆˆˆ

zF

yF

xFa

zF

dyF

xF

azF

yF

xF

aF zzzz

yyyy

xxxx

r

گيري برخي روابط مشتق - ( )( )

( )( ) BABA

BABA

FFF

FFF

rrrr

rrrr

rrr

rrr

×∇+×∇=+×∇

∇+∇=+∇

×∇+×∇=×∇

∇+∇=∇

...

...

φφφ

φφφ

٢هاي به شعاع) در مبدأ مختصات( آره هم مرآز يك ابر الكتروني در ناحية بين دو :١مثال

3 سانتيمتر داراي چگالي بار ٥و 2

4

8

cos103m

cR

φρ−×−

اند مطلوبست مستقر شده=

.محاسبه آل بار محصور شده در اين ناحيه

ϕθθϕ

ϕθθ

ρ

ππ′′′′′

′′×−

=

′′′′′=′

′=

−

∫∫∫

∫

ddRdRR

Q

ddRdRvd

vdQv

sincos103sin

24

2805.0

02.00

2

0

2

ϕθθϕππ

′′′′′′

×−= ∫∫∫− ddRdR

sincos1103 22

05.0

02.00

2

0

8

[ ]05.0

02.00

2

0

8 1cos42sin

2103 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

′−×′−×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′

+′

×−= −

Rπ

π

θϕϕ

cµπ8.1−=

KRaFبراي تابع برداري داده شده :٢مثال Rˆ=r

ژانس براي يين آنيدآه آيا قضيه ديورع، ت

1RRهاي آروي در ناحيه محصور شده توسط سطح 2RR و = 12به نحويكه (= RR هم ) ⟨

باشد؟ مرآز در مبدأ مختصات همانطور آه در شكل نشان داده شده است، صادق مي

)k عدد ثابت (

∫ ∫ ∫+=s s s

sdFsdFdsF2 1

... vrvrr

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٢٢

( ) ( )

( ) ( ) 32

2220

2

0

22222

31

2110

2

0

21111

4sinˆ.ˆ.

sinˆ,:

4)sinˆ.(ˆ.

sinˆ,:

2

1

KRddRaaKRsdF

ddRasdsdRRS

KRddRaaKRdsF

ddRasdsdRRS

RRs

RR

RRs

RR

πϕθθ

ϕθθ

πϕθθ

ϕθθ

ππ

ππ

==

===

−=−=

−=−==

∫∫ ∫

∫∫ ∫

rr

rv

r

rr

) بنابراين )31

324. RRksdF

s

−=∫ πrr

اما

( ) ( )

( ) ( )

∫ ∫

∫∫∫ ∫

∇=⇒

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==∇

=∂∂

=++∂∂

=∇

s v

dv

R

Rv

R

dvFsdF

RRkRRkddRdRKdvF

KKRRR

FRRR

F

rrr

44 344 21

r

r

..

43

43sin3.

31001.

31

32

31

32

2

0

2

0

32

22

2

1

ππϕθθππ

:٣مثال xaxyaFبراي بردار داده شد yx 2ˆˆ −=

r صحت قضيه استوآس روي يك ربع ديسك به شعاع

.ع اول دستگاه مختصات قرار دارد را بررسي آنيد آه در ناحي٣

∫∫∫∫ ++=0

0....

B

B

A

A

cdlFdlFdlFdlF

rrrr

dxalddyy :١مسير xˆ,0,0 ===r

( )( ) 0.0ˆ.2ˆ.0

=⇒=−=⇒ ∫A

xy ldFdxaxaldFrrrr

) .قبال در مثالي محاسبه گرديد :٢مسير )219. π+−=∫B

AldFrr

: ٣مسير

∫ =⇒==⇒

=−===0

0.0.)0(

0,ˆ,0,0

B

y

ldFldlFd

Fdyalddxxvvvv

r

بنابراين ( )219. π+−=∫c ldF

rr

فصل اول الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٢٣

) اما ) ( ) ( ) ( )xayxy

xxaaa

xxyzyx

aaa

F zzyx

zyx

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂−∂

=−=

−∂∂

∂∂

∂∂

=×∇ 2ˆ)2(ˆ0ˆ0ˆ

02

ˆˆˆr

( ) ( )

( )21992

93

sin99

921922.

ˆ,.

3

0

312

3

0

229

0

3

0

2

π+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−=+−=×∇

=×∇

−

−

∫∫∫∫

∫

yyyyy

dyyydxdyxsdF

dxdyasdsdF

y

s

zzs

rr

rrr

اي محاسبه در مختصات استوانه:روش ديگر( ) ( )

( )

( )] [ ]

( )2191929

sin31

2

cos2cos2.

ˆcos2ˆ2ˆ

20

3

0

330

2

23

0

2

0

3

0

2

0

2

0

3

0

ππ

ϕπ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕ

π

πππ

+−=×−×−=

−⎥⎦⎤

⎜⎝⎛+−=

−−=+−=×∇

=+=+−=×∇

∫∫∫∫∫ ∫ ∫

rr

drdrrdrdrdrdrsdF

rdrdasdraxaF

s

z

zz

rr

r

r

∫ بنابراين ∫ ×∇=c s

sdFdlF rrr..