1

همزمان توابع احتمال توأم يا مشترك را تعيين مقدار احتمال وقوع پيشامدهاي براي : تابع احتمال تجمعي مشترك. تعريف مي كنيم

, ≜ , , (joint CDF) متغير تصادفي پيوسته(تابع چگالي توام:(

, ≜ , , (joint pdf)

:و تابع جرم احتمال توام , ≜ , , (joint pmf)

2

تابع جرم احتمالخواص: 0 , 1,

توابع احتمال حاشيه اي)marginal:(

∑ , , ∑ , ,

, 1,

3

مشترك احتمال) تجمعي(توزيع تابع : و راست طرف غير نزولي است و پيوسته از احتمال براي هر يك از متغيرهاي آن توزيع تابع

.يك استآن در فاصله ي صفر و اندازه ∞, , ∞ 0, ∞,∞ 1,

:اي توابع احتمال حاشيه- , ∞ , ∞, ,

, , , , , , ,

, , در غير آن؟ انتگرال چگالي. يك چهارگوش: تعبير هندسي.

4

تابع چگالي احتمال: , , . ,

, . , , , . 1, ∆ , ∆ ≅ , . ∆ ∆ ,

:توابع چگالي حاشيه اي-

, . , , .

5

و يكتابع احتمال يكنواخت در فاصله صفر ):غ ض( مثال. اشتباه؟

6

------------------------------------------------------------------

7

X و Y مستقل هستند اگر: , . → , . , → , .

---------------------------------------------------------------------------------------- مثال :X وY مشتركاً نرمال هستند اگر:

, ~ , , , , ∶

, .

.است Yو Xضريب همبستگي متغيرهاي تصادفي آن ضريبكه در آنگاه 0 اگر , در آن،كه .

.

.است گوسي ) چگالي( و هر يك داراي توزيع مستقل اند Yو X، يعني f(y)مشابه براي وبه طور

8

اگر X و Y ًصحيح امر اين عكس بر اما .بود خواهند نرمال نيز يك هر باشند نرمال مشتركا نيستند نرمال مشتركاً لزوماً باشند نرمال جداگانه بطور يك هر Yو X اگر يعني .نيست

.)پاپ175-6 ص ؟،()?(

___________________________________________________ قضيه اليب نيتز:

, . , . ,

, ,

9

, ∬ , . , . . , مثال:

, , ∬ . , . ,

كه در صورت استقاللX وY: ∬ . . .

بديهي است كه اين رابطه بطور عام برقرار نيست. اميد رياضي شرطي:

, ,

كه براي هرy خاص يك عدد است، و در كل يك تابع عددي.

10

تابعي است از اماYو خود يك متغير تصادفي است ،. ميانگين اين متغير؟

قضيه: زيرا:

, . ∬ ,

, . تابع مشخصه مشترك:

Ф , ≜ → ⇒ Ф , ≜ Ф Ф

, ~ → Ф ,

11

قضيه: ∗ , ,

, , , ,,

| ,∗

:بيش از يك جواب داشته باشد* و اگر , ∑ ,

| , || , ∗

:كه در آنها

,جواب نداشته باشد، * و البته اگر ( 0 (

12

فرض كنيد :مثالX وY دو متغير تصادفي نرمال استاندارد ومستقل باشند و

)دستگاه قطبيانتقال متغيرهاي تصادفي به يعني (

13

1است با پارامتر "رايلي"كه همان چگالي احتمال

.يكنواخت استكه همان توزيع

14

مثال :، ,

1 10 1 1,

, , | , , , , . , .

،در صورت استقالل متغيرهاي :قضيهبنابراينX وY و :

∗ و :

Ф Ф .Ф , Ψ Ψ . Ψ

15

ممان مشترك مرتبهk,r دو متغير تصادفي: , ≜ ,

كوريليشن(كه مهمترين آنها تابع همبستگي (X وY است 1بازاي: ≜

ممان مشترك مركزيk,r:

, . , و تابع كوواريانسX وY آنهاست 1و 1ممان مركزي:

. ≜ ,

روشن است كه:

16

متغيرهاي تصادفيX وYمتعامدند اگر: 0,

متغيرهاي تصادفيX وY ناهمبسته اند اگر: . 0,

:كه معادل است با

اگرX وY مستقل باشند ناهمبسته هم خواهند بود، ولي نه برعكس . فرض كنيد :مثالX وY متغيرهاي . دو متغير يكنواخت در فاصله صفر و يك باشند

.را در نظر بگيريد و تصادفي 0

) اثبات دقيق :تمرين(نا همبسته اند، اما روشن است كه مستقل نيستند W و Zيعني

17

ي احتمال، با اندازه مقابل در فضاي نمونه متغيرهاي تصادفي را مي توان به مثابه بردارهايي :در نظر گرفت

≜ ضرب داخلي متغيرهايX وY به عنوان دو بردار:

. ≜ و به اين ترتيب مي توان از زاويه بين آنها سخن گفت:

Cos ,.| | ≜

دو متغير تعريف تعامد و معياريست براي ميزان مشابهت يا نزديكي متغيرهاي تصادفي كه :اما براي صدق تعريف بايد صورت از مخرج كوچكتر باشد. تصادفي را توجيه مي كند

قضيه( نامساوي شوارتز:(

18

:همواره -اثبات0,

⇒ 2 0, ∀ :كه الزم دارد

∆ 0 → 0 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

بصورت كسينوس متغيرهاي مركزي مربوطه تعريف مي شودضريب همبستگي و:

≜ os ,

,

.,

ضريب همبستگي، معياري از شباهت تغييرات دو متغير تصادفي، در تعريف بعضي توزيعهاي -

. مشترك متغيرهاي تصادفي، مانند توزيع مشترك گوسي بكار رفته است

19

بررسي رفتار توان توابع احتمال مشترك را براي تصادفي مي شكل مشابه دو متغير به .بردبكار بردارهاي متغيرهاي تصادفي

…… , …… مشترك تجمعيتوزيع احتمال تابع:

… … , , … , تابع چگالي مشترك :

… ,

و تابع جرم مشترك: , , … ,

خواص توابع مشترك دو متغير تصادفي بطور مشابه براي اين توابع برقرار است و تعميم مي يابد .

20

∞,∞,… ,∞ 1, , … , ∞,… , 0,

, ∞ ,

… ,∞,∞, … ,∞ ,

… . … , براي تابع چگالي مشترك:

… . … 1,

… . … ,

… … , و بطور مشابه براي تابع جرم مشترك:

∑ ,…, , … , 1,, ,…, … ,… , ∑ , ,…, , , … , , …..

21

, , … ,… . , , … , … ,

, … ,

, … ,,…,

,…,

,

براي متغيرهاي گسسته تنها انتگرالها به مجموع وpdf ها بهpmf تبديل مي شوند.

, … , *

22

ممان اول، بردار ميانگين: ≜ … ≜ … ,

ممان دوم ساده، ماتريس همبستگي: ≜ ∗ ,

≜

⋯

⋮ ⋱ ⋮⋯

ممان دوم مركزي، ماتريس كوواريانس: ≜ ∗ , ≜

Λ ≜⋯

⋮ ⋱ ⋮⋯

≜ ∗ ):بردار(هرميشن يك ماتريس ∗

23

دارند تقارن هرميتيروشن است كه اين ماتريسها: , Λ Λ

با استفاده از نمايش بردارهاي تصادفي مي توان نوشت: . , Λ .

باشند حقيقياگر متغيرها: . , Λ .

هستند متقارنكه البته: , Λ=Λ

تعريف مي شوندهمبستگي و كوواريانس متقابل متغيرهاي تصادفي ماتريسهاي دو برداربراي .

: براي متغيرهاي حقيقي

. , Λ .

→ ,

24

است همبستگي قطريباشند، ماتريس متعامداگر متغيرهاي يك بردار تصادفي :, , … . , ,

است كوواريانس قطري، ماتريس باشند ناهمبستهاگر متغيرهاي يك بردار تصادفي :, … . ,

و بطور مشابه براي توابع چگالي و جرم احتمال(هستند اگر مستقلدو بردار تصادفي:(

| → , هستند اگر متعامددو بردار تصادفي:

0, .باشد) آماري(يعني هر عضو يك بردار بر هر عضو ديگري عمود

هستند اگر هر عضو يكي با هر عضو ديگري ناهمبسته باشد ناهمبستهدو بردار تصادفي: Λ . 0

و همچنين: → , ? . → ,

25

اگر بعالوه: → , ؟تمرين . → ,

و همچنين: ,

تصادفيبردار متغيرهاي تعريف تابع مشخصه مشترك يك:

Ф ω ≜ ⋯ و تابع گشتاور:

Ψ ≜ Ф ω | ⋯

26

تصادفي بردار متغيرهايX مشتركاً نرمال است اگر:

~ , Λ :| |

بردارهاي تصادفي مشتركاًنرمال خواص: . خواهد بودنرمال نيز آن از عناصربردار تصادفي مشتركاً نرمال باشد هر يك اگر يك -1

)حاشيه اي هر عضوچگالي محاسبه تابع با : اثبات. (اين امر لزوماً صحيح نيستبرعكس .يك بردار متغيرهاي تصادفي ناهمبسته باشد، مستقل نيز خواهد بود Xاگر -2 استقالل، ↔ناهمبستگي : اما، گوسي. همبستگي و نه برعكس نا← استقالل باشدناهمبسته اگر: اثبات:

27

:مشتركاً نرمال بوده و تعريف كنيم X متغيرهاي تصادفيكنيد بردار فرض -3

هر يك از متغيرهاي همچنين . مشتركاً نرمال استنيز Yتصادفي دراين صورت بردار متغيرهاي .خواهد بودهم گوسي Yi تصادفي

:تابع مشخصه مشتركا نرمال بردار تصادفي -4

Ф ,

اثبات، :تمرين - ) 331، 2-4-6گارسيا، (

دو بعدي ← بعدي nاز مشتركا نرمال :تمرين -

28

ازعبارتست مشترك مشخصه ي تابع ):4خ (قضيه: اثبات:

:تعريف مي كنيم

→ ) تركيب خطي متغيرهاي نرمال(خود يك متغير تصادفي نرمال است zروشن است :بنابراين

29

بزرگ متغيرهاي تصادفي و قانون اعداد مجموع

ها اگرiid باشند:

بزرگضعيف اعداد قانون

)در احتمال: (باشند iidاگر دنباله ي متغيرهاي تصادفي

30

از نامساوي چبي شف: اثبات

:بدست مي آيد كه

31

فرض كنيم ال ح:

:متغيرتصادفي داريمبر نامساوي چبي شف با اعمال بنابراين

ميزان به احتمال برابري با ∞به سمت nميل يعني با .نزديك مي شود كه همان قانون اعداد بزرگ استيك دلخواه به

32

قضيه ي حد مركزي: و نرمال مي رود سمت توزيع به nبزرگتر شدنبا =S توزيع اگر ها باشند،

:دقيق تر متغير تصادفيبطور

.يك متغير تصادفي نرمال استاندارد خواهد بود

33

34