I. FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

Fyzikální veličina charakterizuje fyzikální vlastnosti, stavyfyzikálních objektů a jejich změny, které lze změřit.Její hodnotu lze vyjádřit číselnou hodnotou a jednot-kou (smluvené značky).

Jednotky fyzikálních veličin◦ Smluvené značky.◦ Používání je upraveno zákonem (resp. normou), po-užívají se zákonné měřicí jednotky vycházející zmezinárodní soustavy SI. Dělí se na:

� Základní jednotkymetr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol, kandela�Odvozené jednotky- Jsou určené definičním vztahem příslušné veličiny.- Některé mají vlastní název: N, Pa,. . .- Patří sem i tzv. doplňkové jednotky(radian, steradian).

Základní a odvozené jednotky se dohromady nazývajíhlavní jednotky.

� násobné a dílčí jednotky vytvořené z hlavníchpomocí předpon:♣ mili, mikro, nano, piko, femto, atto♣ kilo, mega, giga, tera, peta, exa♣ deci, centi, deka, hekto

� vedlejší jednotky (minuta, hodina, den; úhlovýstupeň,minuta,vteřina; astronomická jednotka, par-sek; VA, eV, ◦C a další)

Rozměrová zkouška (nepovinné)Vyjádříme-li fyzikální veličinu pomocí jiných veličin, pakpo dosazení jednotek a úpravách musíme správnou jed-notku.

Veličiny skalární a vektorové◦ skalární veličiny se chovají „ jako čísla�.Mají velikost a jednotku.hmotnost, čas, . . .

◦ vektorové veličiny se chovají „ jako šipky�.Mají velikost, směr (a orientaci) a jednotku.rychlost, síla, . . .

Práce s vektory (matematické okénko)◦ Sčítání (skládání)◦ Odčítání (= přičítání opačného vektoru)◦ Násobení číslem (a dělení číslem)♣ Skalární a vektorový součinPřevody jednotek◦ Používání násobných a dílčích jednotek◦ Používání mocnin deseti

II. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU

� Hmotný bodNemá rozměr, má hmotnost. Nahrazujeme jím tělesov případech, že rozměry tělesa můžeme zanedbat.

� Vztažná soustavaSoustava souřadnic, v níž je dáno měření času.

� Polohový vektor ( značíme �r )Vektor spojující počátek vztažné soustavy s aktuálnípolohou hmotného bodu.

Relativnost pohybuTěleso může být v jedné vztažné soustavě v klidu a v jinév pohybu. Absolutní klid neexistuje.

� TrajektorieTrajektorie je myšlená křivka, kterou hmotný bod opi-suje při svém pohybu.

� Dráha (zn. s, jednotka m – metr)Dráha je skalární fyzikální veličina definovaná jakodélka trajektorie. Značí se s, její jednotkou je metr.

Okamžitá rychlost a okamžité zrychleníVektorové (!) fyzikální veličiny definované vztahy

�v =Δ�rΔt, Δt→ 0 [v] = m · s−1

�a =Δ�vΔt, Δt→ 0 [a] = m · s−2

Symbol Δt→ 0 znamená, že čas Δt je velmi malý.

Průměrná rychlost

Skalární (!) fyzikální veličina definovaná jako

vp =s

t=celková dráhacelkový čas

[vp] = m · s−1

Rozdělení pohybů

� podle velikosti rychlostirovnoměrný – velikost rychlosti je stálánerovnoměrný – velikost rychlosti se mění

� podle tvaru trajektoriepřímočarý – trajektorie je přímkakřivočarý – trajektorií není přímka (ale křivka)

Rovnoměrný pohybVzorečky

a = 0 (zrychlení je nulové)v = konst. (rychlost se nemění)s = s0 + vt s0 je počáteční dráha

Grafy závislostí zrychlení, rychlosti a dráhy na čase

Rovnoměrně zrychlený pohybVzorečky

a = konst. (zrychlení je stálé)v = v0 + at v0 je počáteční rychlosts = s0 + v0t + 12at

2 s0 je počáteční dráha

Grafy závislostí zrychlení, rychlosti a dráhy na čase

Rovnoměrně zpomalený pohybVzorečky

a = konst. (zrychlení je stálé)v = v0 − at v0 je počáteční rychlosts = s0 + v0t− 12at2 s0 je počáteční dráha

Grafy závislostí zrychlení, rychlosti a dráhy na čase

Volný pádVzorečky

a = g g je tzv. tíhové zrychlenív = gt g .= 9, 81 m · s−2h = h0 − 12gt2 h je aktuální výška nad zemí

h0 je výška, z níž těleso padá

Užitečné jsou také dva následující vzorce:

v =√2gH H je výška, o níž těleso spadlo

td =√2h0g

td je čas dopadu na zem

Grafy závislostí zrychlení, rychlost, dráhy a výšky na čase(je to de facto rovnoměrně zrychlený pohyb)

Princip superpozice (princip skládání pohybů)Jestliže těleso koná více pohybů najednou, pak jeho vý-sledná poloha je taková, jako by tyto pohyby vykonalopo sobě a to v libovolném pořadí.Příklady: loďka na řece, vržený kámen, . . .Skládají se posunutí, rychlost i zrychlení.

Oblouková míra – stupně vs. radiány360◦ odpovídá 2π radiánům. Pokud α◦ je úhel ve stup-ních, pak se přepočítá na radiány podle vztahu

α =2π360

· {α◦} [rad]Orientovaný úhelJestliže jedno rameno úhlu je pevné a druhé obíhá pokružnici, pak může „oběhnout� i více než 2π radiánů(resp. 360◦). Může „obíhat� i záporně.

Křivočarý pohybPOZOR! Při pohybu po kružnici, resp. jakémokoliv kři-vočarém pohybu, se vektor rychlosti vždy mění, neboť semění i směr pohybu. To znamená, že pohyb po kružnicimá vždy nenulové zrychlení!Bývá výhodné celkové zrychlení�a rozdělit do dvou složek:(a) tečné zrychlení �at (má směr tečny k trajektorii)(b) normálové zrychlení �an (směr normály k trajektorii)Tečné zrychlení určuje změnu velikosti rychlosti.Normálové zrychlení určuje změnu směru rychlosti (jakmoc se trajektorie zakřivuje).Velikost celkového zrychlení se spočítá jako

a =√a2t + a2n.

Pohyb po kružniciPro pohyb po kružnici používáme kromě obvyklých ki-nematických veličin (dráha, rychlost, zrychlení) ještě třijiné fyzikální veličiny.

◦ Úhlová dráha (značíme ϕ, jednotka rad)Orientovaný úhel, který hmotný bod po kružnici oběhne.

◦ Úhlová rychlost (značíme ω, jednotka rad . s−1)Je definovaná vztahem

ω =ΔϕΔt

, Δt→ 0 úhlová rychlost = změna úhlové dráhykratinký čas◦ Úhlové zrychlení (značíme ε, jednotka rad . s−2)Je definované vztahem

ε =ΔωΔt

, Δt→ 0 úhlové zrychlení = změna úhlové rychlostikratinký časMezi dráhou, rychlostí a zrychlením a jejich úhlovýmiobdobami platí vztahy

s = ϕrv = ωr r je poloměr kružniceat = εr at je tečné zrychleníad = v

2

r = ω2r ad je normálové zrychlení

Při pohybu po kružnici se obvykle normálové složce zrych-lení říká dostředivé zrychlení (když se nakreslí jakošipka, míří do středu kružnice) a značí se ad.

Rovnoměrný pohyb po kružniciVzorečky

ε = 0 úhlové zrychlení je nulovéω = konst. úhlová rychlost je konstantníϕ = ϕ0 + ωt ϕ0 je počáteční úhlová dráhaat = 0 tečné zrychlení je nulovéad = v

2

r= ω2r dostředivé zrychlení je

nenulové, ale konstantní

Zopakujeme ještě vztahy pro dráhu a rychlost,ať je vše pěkně pohromadě:

s = ϕr r zde značív = ωr poloměr kružnice

III. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

Síla (značka �F , jednotka N – Newton)Síla je vektorová fyzikální veličina, která charakterizujevzájemné působení těles. Tělesa na sebe mohou působitdotykem nebo i na dálku prostřednictvím (silového) pole.Účinky síly mohou být pohybové nebo deformační. Dy-namika se zabývá pohybovými účinky sil.O vztahu síly a pohybu hovoří tři Newtonovy zákony.1. Newtonův zákon (Zákon setrvačnosti)Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímo-čarém pohybu, pokud není přinuceno vnějšími silamisvůj pohybový stav změnit.

2. Newtonův zákon (Zákon síly)Velikost zrychlení hmotného bodu je přímo úměrnávelikosti výslednice působících sil a nepřímo úměrnájeho hmotnosti. Směr zrychlení je totožný se směremvýslednice sil.

�F = m�a, �a =�F

mZ tohoto zákona plyne, že jednotka Newton má v jed-notkách SI rozměr

[N ] = kg ·m · s−23. Newtonův zákon (Zákon akce a reakce)Působí-li jedno těleso na druhé silou (akce), pak pů-sobí také druhé těleso na první silou stejně velikou aopačného směru (reakce). Tyto síly vznikají a zanikajísoučasně.

Inerciální vztažná soustavaVztažná soustava, kde platí první Newtonův zákon.Např. vztažná soustava spojená se zemí, se stálicemiKaždá vztažná soustava, která se vůči nějaké inerciálnívztažné soustavě pohybuje rovnoměrně přímočaře, je takéinerciální.

Hybnost (značka p, jednotka kg . m . s−1)Hybnost je vektorová fyzikální veličina, je definovaná vzta-hem

�p = m�v.

Lehko se vypočte, že

�F = m�a = mΔ�vΔt=Δ�pΔt.

Působení síly na těleso se tedy projeví změnou hybnostitělesa. Proto říkáme, že hybnost charakterizuje pohybovýstav tělesa. Veličině

I = �F ·Δtse někdy říká impuls síly. Je roven změně hybnosti tělesa.

Izolovaná soustava těles (hmotných bodů)Soustavu těles (či hmotných bodů) nazveme izolovanou,jestliže výslednice vnějších sil působících na soustavu jenulová.Zákon zachování hybnostiCelková hybnost izolované soustavy těles je konstantní.

Druhy sil♣ Gravitační síla (značíme �Fg)Gravitační silou na sebe navzájem působí každá dvětělesa. Bavit se o ní budeme později.

♣ Tíhová síla (značíme �FG)Tíhovou silou působí Země na objekty v blízkosti zem-ského povrchu. Směr a orientace tíhové síly je (více-méně) do středu Země. Platí pro ni vztah

�FG = m�g,

kde �g je tzv. tíhové zrychlení, jehož velikost je při-bližně g .= 9, 81 m . s−2. Způsobuje volný pád těles.

♣ Smykové tření (značíme �Ft)Třecí síla vzniká na styčné ploše tělesa a podložky aje důsledkem reakce podložky �R na tíhovou sílu �FG.Na vodorovné ploše (ne však už třeba na nakloněnérovině) je reakce podložky stejně velká jako tíhová sílaa pro velikost třecí síly platí

Ft = f ·R = f · FG = fmg,kde f je tzv. koeficient tření, jehož velikost závisína drsnosti styčných ploch. Maximální je v klidu (tzv.klidové tření), při pohybu bývá o něco menší.Třecí síla vždy působí proti směru pohybu tělesa.

♣ Valivý odpor (značíme �Fv)Vzniká jako důsledek mírné deformace valícího se tě-lesa v místě dotyku s podložkou. Působí vždy protisměru pohybu tělesa, její velikost se vypočte jako

Fv = ξ · Rr,

kde R je velikost reakce podložky a r je rameno tétosíly (poloměr valícího se tělesa). Hodnotě ξ se říkásoučinitel valivého odporu. Bývá velmi malý.

♣ Síly při pohybu po kružniciProtože pohyb po kružnici je pohyb se zrychlením,musí na hmotný bod působit síla, která toto zrychlenízpůsobuje.Síle, která způsobuje dostředivé zrychlení �ad, se říkásíla dostředivá. Značí se �Fd a pro její velikost platí

Fd = mad = mv2

r= mω2r.

Její směr a orientace míří do středu kružnice — jsoutotožné se směrem a orientací dostředivého zrychlení.

Neinerciální vztažné soustavyNeinerciální soustavy jsou ty, ve kterých neplatí prvníNewtonův zákon. Vztažná soustava je neinerciální, po-kud se vůči libovolné inerciální soustavě pohybuje s ne-nulovým zrychlením �a.Třetí Newtonův zákon platí i v neinerciálních sousta-vách beze změny.První a druhý Newtonův zákon platí také, ovšem s jis-tou modifikací. K silám působícím na těleso je nutné při-dat tzv. zdánlivé síly. Jejich výslednici obvykle značíme�F ′. Platí pro ni vztah

�F ′ = −m�a,kde �a je zrychlení neinerciální soustavy vůči libovolnéinerciální soustavě. To znamená, že její orientace je opačnánež orientace vektoru zrychlení soustavy.

Tyto síly nazýváme je zdánlivé, protože reálně neexis-tují. Jsou to formální matematické objekty. Pouze spra-vují výpočty, aby výsledek odpovídal realitě.V praxi jsou důležité dva typy neinerciálních soustav:

� Zrychlující soustavaVztažná soustava, pohybující se vůči povrchu zeměrovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem s kon-stantním zrychlením �a.Zdánlivá síla, působící proti směru pohybu soustavy,se v tomto případě nazývá setrvačná síla.Př. člověk v rozjíždějícím se/brzdícím metru

� Otáčející se soustavaVztažná soustava spjatá s objektem, pohybujícím serovnoměrným pohybem po kružnici s konstantním do-středivým zrychlením �ad.Zdánlivá síla se v tomto případě nazývá odstředivásíla. Je stejně velká jako síla dostředivá, má ale opačnýsměr (od středu).POZOR! Nejde o síly akce a reakce!!Př. člověk na kolotoči

IV. PRÁCE, VÝKON, ENERGIE

Mechanická práce (značka W , jednotka J – Joule)Mechanická práce je skalární fyzikální veličina, vyjadřujícípůsobení síly na těleso po dráze. Jestliže na těleso působístálá síla F po dráze s a tato síla svírá se směrem pohybuúhel α, je mechanická práce W definovaná vztahem

W = Fs cosα, [J ] = Nm = kg ·m2 · s−2�F

α s

♣ Jestliže působící síla má směr a orientaci shodnou s po-hybem tělesa (α = 0◦), pak W = Fs.

♣ Jestliže působící síla má směr kolmý na pohyb tělesa(α = 90◦), pak žádnou práci nekoná, W = 0 J.

♣ Jestliže působící síla má směr a orientaci proti pohybu tě-lesa (180◦ ≥ α > 90◦), pak práce vyjde zápornáW < 0.V takovém případě říkáme, že se práce spotřebovává.Grafické určení práceJestliže působící síla má směr a orientaci shodnou s pohy-bem tělesa, potom vykonaná práce je rovna ploše podgrafem závislosti síly na dráze. Platí to i tehdy, kdyžje síla proměnná.

F

sW

F

sW

Výkon (značka P , jednotka W – watt)Výkon je skalární fyzikální veličina, která určuje, jak rychlese koná práce. Je definován vztahem

P =W

t[watt] =

J

s=Nm

s= kg ·m2 · s−3

Výkon dělíme na◦ průměrný (celková práce/celkový čas)◦ okamžitý (práce/kratinký čas)Příkon (značka P0, jednotka W – watt)Příkon je skalární fyzikální veličina definovaná jako podílEt energie dodané stroji a času, za který byla energiedodána.

Účinnost (značka η, bezrozměrná veličina)Účinnost stroje je skalární fyzikální veličina, kterou defi-nujeme vztahy

η =P

P0=W

W0,

kde P je výkon a P0 příkon stroje, respektiveW je prácestrojem vykonaná a W0 energie stroji na tuto práci do-daná. Platí

0 ≤ η < 1.Občas se účinnost vyjadřuje v procentech, potom

η =P

P0· 100% (0% ≤ η < 100%)

Stroje nikdy nemohou pracovat se stoprocentní účinností,vždycky nastanou nějaké ztráty. Hypotetický stroj pra-cující se stoprocentní účinností se nazývá perpetuummobile (II. druhu).

Mechanická energieJestliže vnější síly vykonaly na tělese nějakou práci, pro-jeví se to změnou veličiny, které se říká mechanickáenergie. Ta se dělí na dva druhy, podle účinku vyko-nané práce.

� kinetická energie (značka Ek, jednotka J) Jestližeje těleso volné (nepůsobí na něj žádné síly), pak sevykonaná práce projeví změnou jeho rychlosti. Platí

W = Fs =12Fat2 =

12F

aa2t2 =

12mv2.

Kinetickou energii tělesa tak definujeme vztahem

Ek =12mv2, kde m je hmotnost a v rychlost tělesa.

� potenciální energie (značka Ep, jednotka J)Jestliže se těleso nachází v silovém poli, pak se prácemůže spotřebovat na překonání těchto sil.♣ zvolím si místo O, kde je potenciální energie nulová♣ potenciální energii v libovolném místě prostoruA definuji jako práci, kterou vykoná síla při přemístěníz místa A do místa s nulovou potenciální energií O.♣ Pojem má smysl, pouze pokud práce nezávisí natvaru trajektorie tělesa mezi místy A a O. Síly vytvá-řející takové pole nazýváme konzervativní.

Mechanická energie tělesa E je pak určena jako sou-čet jeho kinetické energie a potenciální energie

E = Ek + Ep

Druhy potenciální energieTyp potenciální energie je odvislý od síly, k níž náleží.Následující výčet není zdaleka úplný.� tíhová potenciální energieV homogenním tíhovém poli Země hovoříme o tíhovépotenciální energii má těleso o hmotnosti m ve výšceh nad povrchem tíhovou potenciální energii

Ep = mgh

� gravitační potenciální energieV radiálním gravitačním poli hmotného bodu o hmot-nosti M má hmotný bod o hmotnosti m, ve vzdále-nosti r, gravitační potenciální energii

Ep = −κmMr

� potenciální energie pružnostiNa pružině o tuhosti k při výchylce x z rovnovážnépolohy má těleso potenciální energii pružnosti

Ep =12kx2

� tlaková potenciální energiePři proudění kapaliny v potrubí má množství kapalinyo objemu V pod tlakem p potenciální energii tlakovou

Ep = pV

� potenciální energie elektrického poleNáboj q v elektrickém poli jiného náboje Q má po-tenciální energii elektrickou

Ep =14πε0

Qq

r

Zákon zachování mechanické energieCelková mechanická energie izolované soustavy těles sepři mechanických dějích nemění.Může se ale měnit jedna forma energie v jinou nebo pře-cházet z jednoho tělesa na jiné.Příklady:

♣ padající míč v tíhovém poli(mechanická energie se zachovává po dobu pádu)(hybnost míče se mění)

♣ pružná srážka(mechanická energie se zachovává i při srážce)(zachovává se též celková hybnost)

♣ nepružná srážka(mechanická energie se při srážce nezachovává)(celková hybnost soustavy se zachovává)

Princip zachování energieObecně platí, že v izolované soustavě se celková energiezachovává. Může se měnit jedna forma energie v jinou,může přecházet z jednoho tělesa na jiné.Do celkové energie však musíme zahrnout i jiné typyenergie než mechanickou (např. vnitřní energii, elek-tromagnetickou, energii jaderných sil. . .)

V. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

Tuhé tělesoTěleso, které se působením sil nedeformuje = jeho tvarani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění.(Deformační účinky sil na těleso jsou zanedbatelné.)Pohyb tuhého tělesa� posuvný (translační)� otáčivý (rotační)Moment síly (značka �M , jednotka Nm)Moment síly je vektorová fyzikální veličina vyjadřujícíotáčivý účinek síly. Její velikost je definována vztahem

M = Fr,

kde F je velikost působící síly a r je vzdálenost tzv. ra-meno síly = vzdálenost osy otáčení od přímky určenésměrem působící síly.◦ Působiště vektoru momentu síly je v průsečíku rovinypůsobení síly a osy otáčení. Směr a orientace momentusíly je určena podle pravidla pravé ruky = zahnutéprsty ukazují smysl otáčení, vztyčený palec určuje směra orientaci vektoru momentu síly.

r

�F

Příklad: Moment síly na páce

Skládání silPro libovolný počet sil působících na těleso vždy existujejedna síla, tzv. výslednice sil (určená svou velikostí, pů-sobištěm, směrem a orientací), která má stejný posuvnýi otáčivý účinek na těleso.Nepovinně: jak se taková výslednice určí na páceDvojice silDvojici sil tvoří dvě stejně velké síly opačného směru.Moment dvojice sil se spočte jako

M = Fd.

Závisí jen na vzájemné vzdálenosti sil d a jejich velikostiF . Nezávisí na vzdálenosti od osy otáčení!Podmínky rovnováhy

♣ Tuhé těleso je v rovnovážné poloze, jestliže výslednice silpůsobících na těleso je nulová a těleso je v klidu.

�F1 + �F2 + . . . + �Fn = �o.

♣ Tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy je v rovnováze,jestliže výslednice momentů působících sil vůči této oseje nulová a těleso je v klidu. (Momentová věta)

�M1 + �M2 + . . . + �Mn = �o.

Rovnovážné polohy� stabilní – při malém vychýlení se těleso samo vracído rovnovážné polohy.

� labilní – při malém vychýlení se těleso dále samovzdaluje od rovnovážné polohy.

� volná (indiferentní) – po vychýlení těleso zůstanev nové rovnovážné poloze.

Těžiště tuhého tělesaTěžištěm tuhého tělesa nazýváme působiště tíhové síly.Kinetická energie tuhého tělesaKinetická energie tuhého tělesa přísluší jednak posuvnésložce pohybu, jednak rotační složce pohybu.

� Kinetická energie posuvného pohybu tělesa o hmot-nosti m a rychlosti v se spočte

Ekp =12mv2

� Kinetická energie rotačního pohybu o úhlové rychlostiω se spočte

Ekp =12Jω2

kde J je veličina zvaná moment setrvačnosti.

Moment setrvačnosti (značka J , jednotka kg . m2)Moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina. Defi-novaná je takto:

� Pro hmotný bod o hmotnostim je moment setrvač-nosti tohoto bodu vzhledem k ose otáčení ve vzdále-nosti r dán vztahem

J = mr2.

� Pro soustavu hmotných bodů m1, . . . , mn od osyotáčení ve vzdálenostech r1, . . . , rn je moment setr-vačnosti této soustavy vzhledem k této ose otáčení

J = m1r21 + . . . +mnr

2n.

� „Posčítáním� přes všechny hmotné body lze určit mo-ment setrvačnosti i pro některá homogenní tělesa.

♣moment setrvačnosti homogenní koule vzhle-dem k ose procházející jejím středem

J =25mr2

♣moment setrvačnosti homogenního válce vzhle-dem k ose procházející jeho středem

J =12mr2

Jednoduché stroje◦ páka◦ pevná kladka◦ kladkostroj◦ kolo na hřídeliPohyb těles na nakloněné rovině (nep.)(a) Pohyb bez tření (kvádr, koule)(b) Pohyb s malým třením (kvádr)(c) Pohyb s velkým třením (kvádr, koule)

VI. GRAVITAČNÍ A TÍHOVÉ POLE

Newtonův gravitační zákonDvě tělesa o hmotnostechm1,m2 a vzdálenosti r na sebevzájemně působí stejně velkými přitažlivými silami

Fg = κm1m2r2

gravitační konstanta κ = 6,67 . 10−11 N kg−2 m2

Gravitační síla je♣ vždy přitažlivá,♣ má směr spojnice těžišť obou těles,♣ pro obě tělesa má stejnou velikost, ale různé účinkyStejně velkou silou, jakou působí Země na kámen,působí také kámen na Zemi. Zatímco ale kámen velmirychle padá, se Zemí to (obrazně řečeno) ani nehne.

Gravitační zrychlení (značka �ag, jednotka m . s−2)Gravitační síla �Fg udílí tělesu o hmotnosti m gravitačnízrychlení

�ag =�Fgm.

Intenzita gravitačního pole (zn. �K, jedn. N . kg−1)Intenzita gravitačního pole je vektorová fyzikální veličina,definovaná v daném místě prostoru jako gravitační síla �Fgpůsobící na těleso o hmotnosti 1 kg. Vypočte se

�K =�Fgm= �ag

a je tedy rovna gravitačnímu zrychlení tělesa.

Radiální (centrální) gravitační poleGravitační pole hmotného bodu má charakter radiálního(centrálního) pole – vektor intenzity míří vždy do hmot-ného bodu.Stejně vypadá aké pole vně homogenní koule (přibližněto odpovídá také gravitačnímu poli hvězd a planet).Pro velikost intenzity gravitačního pole hmotného boduo hmotnosti M ve vzdálenosti r platí

K =Fgm=

κmMr2

m= κ

M

r2.

Radiální gravitační pole hmotného bodu a homogenní koule

Čím dále od středu, tím menší intenzita (síla) pole

SiločárySiločára je myšlená křivka, jejíž tečna má v každém jejímbodě směr působící síly.Říkává se, že hustota siločar je úměrná velikosti síly pole.◦ Siločáry homogenního pole jsou rovnoběžnénapř. tíhové pole v blízkosti povrchu Země

◦ Siločáry radiálního pole míří jako paprsky ze sluncenapř. gravitační pole ZeměEkvipotenciální plochyJsou to plochy se stejnou potenciální energií. V každémmístě jsou kolmé na siločáry pole.

Paprsky mířící do středu koule znázorňují siločáry radiálního pole.

Soustředné kružnice znázorňují ekvipotenciální plochy radiálního pole.

Potenciální energie v radiálním gravitačním poli

Ep = −κMmr

Práce v centrálním gravitačním poli

W = ΔEp = Ep1 − Ep2Gravitační potenciál (značka ϕg, jednotka J . kg−1)Gravitační potenciál ϕg se definuje jako potenciální ener-gie tělesa o hmotnosti 1 kg v daném místě prostoru. V ra-diálním gravitačním poli ve vzdálenosti r od centra platí

ϕg =Epm= −κM

r.

Pohyby planet v centrálním gravitačním poli SlunceŘídí se třemi Keplerovými zákony:

1. Keplerův zákonPlanety se pohybují po elipsách málo odlišných od kruž-nic. V jejich společném ohnisku je Slunce.

2. Keplerův zákonObsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotkučasu jsou konstantní.

3. Keplerův zákonPodíl druhé mocniny oběžné doby planety a třetí mocninyhlavní poloosy oběžné dráhy je konstantní.

Pohyby těles v centrálním gravitačním poli (nep.) Druhý a třetí Keplerůvzákon platí obecně pro jakákoli tělesa pohybující se v centrálním gravitačnímpoli, která obíhají po eliptických drahách.

�v0

M

R

h

Pohyby těles v centrálním gravitačním poli (obecně).

V závislosti na velikosti rychlosti v0 může nastat některý z šesti případů:

(a) v0 = 0. Těleso spadne po přímce na Zem.

(b) 0 < v0 < vk. Těleso nemá dostatečnou rychlost na to, aby obíhalo. Běhemprvního (či některého dalšího) obletu spadne.

(c) v0 = vk. Těleso má kruhovou rychlost – minimální rychlost na to, abyse udrželo na stabilní oběžné dráze, která je v tomto případě kruhová.Velikost této rychlosti lze odvodit z rovnosti gravitační a dostředivé síly

Fg = Fd ⇐⇒ κmMr2= m

v2kr

⇐⇒ vk =√

κM

r.

(d) vk < v0 < vp. Těleso obíhá po stabilní eliptické oběžné dráze.

(e) v0 = vp. Těleso má únikovou rychlost – minimální rychlost na to, abyuniklo ze sféry působení gravitačního pole. Velikost této rychlosti lze od-vodit z rovnosti velikostí kinetické a potenciální energie

Ek = Ep ⇐⇒ 12mv2p = κ

mM

r⇐⇒ vp =

√2κMr= vk

√2.

V tomto případě těleso uniká po parabolické dráze.

(f) vp < v0. V tomto případě těleso uniká po hyperbolické dráze.

V případě, že jde o gravitační pole Země, se kruhové rychlosti říká také první

kosmická rychlost a únikové rychlosti druhá kosmická rychlost.

Tíhová sílaTíhovou silou �FG označujeme výslednici gravitační a od-středivé síly při povrchu země.

�FG = �Fg + �Fs

Tíhové pole v blízkosti povrchu obvykle považujeme zahomogenní pole. Pro tíhovou sílu a tíhovou potenciálníenergii platí

�FG = m�g, Ep = mgh,

kde �g je tíhové zrychlení, g .= 9,81 m . s−2.Normální tíhové zrychlení je dohodnutá konstantag0 = 9,80665 m . s−2. Je skoro přesně rovna hodnotětíhového zrychlení na rovníku při hladině moře.

Tíha (značka �G, jednotka N – newton)Tíha je vektorová fyzikální veličina, jejíž velikost, směr iorientace je rovna tíhové síle. Rozdíl je v tom, že tíhovásíla působí v těžišti tělesa, zatímco tíha na styku tělesa spodložkou.

Pohyby v tíhovém poliJde o složení volného pádu a rovnoměrného přímočaréhopohybu ve směru vzhůru, vodorovně nebo šikmo.Rozlišujeme◦ volný pád◦ vrh svisle vzhůru◦ vodorovný vrh◦ šikmý vrh

Obvykle nás zajímá:♣ nejvyšší výška h a čas th, kdyjí těleso dosáhne♣ dálka d, do které těleso doletí♣ doba letu td tělesa

VII. MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ

Tekutiny◦ kapaliny (nestálý tvar, nestlačitelná, vytvoří hladinu)◦ plyny (nestálý tvar, stlačitelný, vyplní nádobu)Ideální kapalina je dokonale tekutá i zcela nestlačitelná.

Tlak (značka p, jednotka Pa – pascal)Tlak je skalární fyzikální veličina, definovaná podílem pů-sobící síly F na plochu S.

p =F

S[Pa] =

N

m2= kg ·m−1 · s−2

Síla vyvolaná tlakem tekutiny se nazývá tlaková síla.

Pascalův zákonTlak v kapalině vyvolaný vnější silou je ve všech místechkapaliny stejný.♣ využívá se toho v hydraulických zařízeních (lis, nůžky)Hydrostatický tlakTlak v kapalině vyvolaný tíhou samotné kapaliny se na-zývá hydrostatický tlak. V kapalině hustoty � v hloubceh má hodnotu

p = h�g.

Přitom nezávisí na objemu či tvaru nádoby, ani plošnémobsahu dna – to se nazývá hydrostatické paradoxon.

� spojené nádoby� měření tlaku (manometr = tlakoměr)♣ otevřený/uzavřený kapalinový manometr♣ kovový manometr

Archimedův zákonTěleso je z tekutiny vytlačováno stejnou silou, jako jeobjem jím vytlačené tekutiny.Vztlaková síla Fvz se tedy spočte jako

Fvz = V ponořenéčásti tělesa

�tekutinyg.

V závislosti na hustotě tělesa � a hustotě tekutiny �kmohou pro těleso ponořené do tekutiny nastat tři případy1) � < �k = těleso vyplave na povrch a plove2) � = �k = těleso se v tekutině vznáší3) � > �k = těleso klesá na dno

♣ karteziánek, hustoměryAtmosférický tlakAtmosférický tlak je tlakem vzduchu v daném místě. Po-čítá se složitěji, protože u vzduchu se s rostoucí výškoua měnící teplotou mění i jeho hustota.Normální atmosférický tlak pa = 1,013 25 . 105 Pa.◦ Toricelliho pokus a rtuťový barometr◦ Magdeburské polokouleProudění kapalin a plynůProudění je pohyb tekutiny, při kterém se částice teku-tiny pohybují svým neuspořádaným pohybem a zároveňse posouvají ve směru proudění. Tekutina vždy proudíz místa vyššího tlaku do místa nižšího tlaku.Proudnice (proudová čára) je trajektorie pohybu jed-notlivých částic při proudění kapalin.◦ ustálené proudění (časová nezávislost veličin)◦ neustálené proudění

Objemový průtok (značka Qv, jednotka m3 . s−1)Objemový průtok je skalární fyzikální veličina, která udává,jaký objem vody proteče daným průřezem S za jednotkučasu. Vypočte se jako

Qv =V

t=Ss

t= Sv,

kde v je rychlost proudící tekutiny.

Rovnice kontinuity (ZZHm)Pro ustálené proudění tekutiny platí, že objemový průtokje všude konstantní. To se přepisuje do vztahu

S1v1 = S2v2.

Z toho vyplývá, že v užší trubici proudí voda rychleji(„zalévací zákon�).

Potenciální tlaková energiePři ustáleném proudění v trubici o průřezu S působí nakapalinu tlaková síla, která ji nutí proudit. Této síle pří-sluší tlaková potenciální energie, pro kterou lze odvoditvztah

Ep = W = Fs = pSs = pV.

Bernoulliho rovnice (ZZE)Pro ustálené proudění tekutiny platí zákon zachování ener-gie, kterému se (po dělení objemem) říká Bernoulliovarovnice a píše se ve tvaru

12�v2 + p = konst.

� je hustota kap., v rychlost proudění a p tlak v kap.Z rovnice vyplývá, že v místě větší rychlosti proudění je vkapalině menší tlak = hydrodynamické paradoxon.

Výtok kapaliny z nádobyJestliže voda vytéká otvorem z nádoby ve výšce h podhladinou, pro rychlost výtoku platí Torricelliho vzorec

v =√2gh.

Proudění reálné kapalinyV reálné kapalině existuje vnitřní tření (charakterizujejej veličina zvaná viskozita). Rozlišujeme dva typy prou-dění� laminární� turbulentníPři obtékání těles vzniká odporová síla. Při malých rych-lostech je úměrná první mocnině rychlosti, při vyššíchrychlostech druhé mocnině rychlosti.

Fo =12CS�v2. (Newtonův vztah)

Koeficient odporu C nabývá hodnot od cca 0, 03 dozhruba 1, 33 a závisí v zásadě na aerodynamičnosti tvarutělesa.Fyzika létáníKřídla mají vhodný tvar, aby jejich horní stranu okolnívzduch obtékal rychleji než spodní. Tak se vytváří přetlak(resp. aerodynamická síla), který letadlo drží ve vzduchu.

VIII. MOLEKULOVÁ FYZIKA

Atomová hmotnostní jednotka muJedna dvanáctina klidové hmotnosti izotopu uhlíku 126 C

mu.= 1, 66 · 10−27 kg

Relativní atomová/molekulová hmotnost (zn. Ar)Podíl hmotnosti atomu/molekuly m0 a atomové hmot-nostní jednotky (udává se v tabulkách).

Ar =m0mu

Avogadrova konstanta NAPočet atomů v 12g izotopu uhlíku 126 C

NA.= 6, 022 · 10−23 mol−1.

Látkové množství (zn. n, jednotka mol)Látkové množství je určeno podílem N počtu částic vlátce a Avogadrovy konstanty NA.

n =N

NA

Molární hmotnost (zn. Mm, jedn. kg . mol−1)Molární hmotnost je hmotnost jednoho molu látky.

Mm =m

n.

Protožem

n=

mNAN= m0NA = ArmuNA

.= Ar · 10−3 kg/mol

je molární hmotnost v jednotkách g/mol přibližně rovnarelativní molekulové hmotnosti.Molární objem Vm = objem jednoho molu látky.

1

Molekulová fyzikaZkoumá vlastnosti látek na základě jejich vnitřní struk-tury a vzájemného působení částic v látce. Jejím zákla-dem je kinetická teorie látek, která se popsat makro-skopický stav látky (teplotu, tlak, . . .) v souvislosti s po-hybem částic v látce. Je postavena na třech experimen-tálně ověřených poznatcích:

� diskrétní struktura látekKaždá látka se skládá z částic. Prostor, který látkazaujímá, není částicemi zcela vyplněn – mezi částicemijsou mezery.

� neustálý neuspořádaný (tepelný) pohyb částic v látce♣ tlak plynu♣ Brownův pohyb♣ difuze♣ osmóza

� částice látky na sebe vzájemně působí silami, kteréjsou na krátkou vzdálenost odpudivé a na větší vzdá-lenost přitažlivé♣ sféra působení těchto sil je malá♣ graf této závislosti, rovnovážná poloha částic

Vnitřní energieVnitřní energie látek se skládá zejména

◦ z kinetické energie částic v látce◦ z potenciální energie vzájemného silového působeníčástic v látce♣ pro rovnovážnou polohu částic vazebná energie

2

Modely skupenství látekPlyn� velké vzdálenosti mezi částicemi (malá interakce)� malá poteciální energie; vnitřní energie ≈ kinetickáenergie částic� pohyb posuvný všemi směry, rotační, vibrační� rychlost pohybu roste s teplotou� snadno vyplní celou nádobuPevná látka (krystalická)� částice blízko sebe� kmitají v rovnovážných polohách (uzlech mříže)� stálý tvar a objem� potenciální energie převažuje nad kinetickouPevná látka (amorfní)� struktura jen částečně uspořádána� přechod mezi pevnými látkami a kapalinami� lze je považovat za velmi viskózní kapalinyKapaliny� částice dále od sebe než v pevné látce� částice kmitají kolem rovnovážných poloh, které seale často mění (uspořádání na krátkou vzdálenost)� potenciální energie je zhruba rovna kinetické� tvar podle nádoby, stálý objem (skoro nestlačitelné),tekutéPlazma (plamen, blesk, polární záře, . . .)� tvoří ji ionty, elektrony i neutrální částice� vzniká při vysokých teplotách

3

IX. TERMODYNAMIKA A STATISTICKÁ FYZIKA

TermodynamikaTermodynamika se zabývá přeměnami různých forem ener-gie na energii vnitřní a naopak.Statistická fyzikaZabývá se vztahem makroskopických vlastností látek ajejich mikroskopické struktury. K tomu používá metodmatematické statistiky a pravděpodobnosti.

Termodynamická soustavaTěleso nebo skupina těles, jejich stav zkoumáme♣ otevřená (vyměňuje si s okolím energii i hmotu)♣ uzavřená (vyměňuje si s okolím energii, ale ne hmotu)♣ izolovaná (s okolím si nevyměňuje energii ani hmotu)♣ adiabaticky izolovaná (nevyměňuje hmotu a teplo)Stavové veličiny / Dějové veličinyJsou to fyzikální veličiny popisující stav látky.♣ tlak, teplota, objem, vnitřní energie, . . .Dějové veličiny popisují děje, které v látce probíhají♣ teplo, práceRovnovážný stavTermodynamická soustava je v rovnovážném stavu, jestližese hodnoty stavových veličin v čase nemění.Každá soustava, která je v neměnných vnějších podmín-kách, přejde do rovnovážného stavu. V tomto stavu se-trvá, dokud se vnější podmínky nezmění.Děje v termodynamice◦ rovnovážný děj / nerovnovážný děj◦ vratný děj / nevratný děj

1

Změny vnitřní energieVnitřní energii U tvoří součet kinetické energie neuspo-řádaného pohybu částic v látce + potenciální energie in-terakcí mezi částicemi.Vnitřní energie látky se může změnit dvěma způsoby:◦ konáním práce◦ tepelnou výměnouToto vyjadřuje první zákon termodynamiky.

ΔU = Q +W Q = ΔU +W ′

Znaménková konvence:– Q > 0 (okolí teplo soustavě dodává)– Q < 0 (okolí teplo soustavě odebírá)– W > 0, resp. W ′ < 0 (okolí koná práci na soustavě)– W < 0, resp. W ′ > 0 (soustava koná práci na okolí)První termodynamický zákon vylučuje existenci tzv.perpetua mobile I. druhu: stroje vyrábějícíhoenergii z ničeho.

TeplotaPokud jsou dotýkající se termodynamické systémy v te-pelné rovnováze (neprobíhá mezi nimi tepelná výměna),říkáme, že mají stejnou teplotu.Měření teploty je tedy založeno na porovnání tepelnéhostavu tělesa se standardem (teploměrem s nějakou tep-lotní stupnicí)

� Celsiova teplota (značka t, jednotka ◦C)Dříve: dva pevné body (tání ledu 0◦C, var vody 100◦C).Dnes: pomocí termodynamické teploty a trojného boduvody (0,01◦C).

2

� Termodynamická teplota (Kelvinova stupnice)(značka T , jednotka K – kelvin)Jeden pevný bod: trojný bod vody (273,16 K)Druhý bod: absolutní nulaMá stejný dílek jako Celsiova stupnice

{t} = {T} + 273, 15 {T} = {t} − 273, 15K realizaci termodynamické teploty sloužíMezinárodní praktická teplotní stupnice

� jiné teplotní stupnice: Fahrenheit, Réaumur

Teplo (značka Q, jednotka J – joule)Teplo je forma energie. Je mírou změny vnitřní energiepři tepelné výměně.Tepelná kapacita (zn. C, jednotka J . K−1)Množství tepla, které je nutné k ohřátí látky o 1 K.Měrná tepelná kapacita (zn. c, jedn. J . kg−1 . K−1)Množství tepla, které je nutné k ohřátí 1 kg látky o 1 K.Kalorimetrická rovniceTeplo přijaté = teplo odevzdané

Přenos tepla◦ vedením

Q =λSΔtl

τ, tepelný tok Φ =Q

τ◦ prouděním◦ zářením

3

X. STRUKTURA PLYNŮ

Ideální plyn◦ rozměry částic zanedbatelné proti vzdálenostem◦ s výjimkou srážek žádná interakce mezi částicemi◦ srážky částic jsou dokonale pružné♣ nulová potenciální energie♣ vnitřní energie = kinetická energie neuspořádanéhopohybu částic plynuMaxwellovo rozdělení rychlostí� Lammertův pokus, výsledná křivka� V plynu se vyskytují částice velmi pomalé i velmi rychlé� Při stejné teplotě vyšel vždy stejněVnitřní energie ∼ Teplota

U =32NkT,

kde k je Boltzmannova konstanta.

k = 1, 38 · 10−23 J . K−1Střední kvadratická rychlost vk◦ V plynu různě rychlé molekuly◦ Pro zjednodušení si představujeme všechny stejně rychlé◦ Rychlost je volena tak, aby se nezměnila energie plynu

32NkT = N · 1

2m0v

2k =⇒ vk =

√3kTm0

Pro ideální plyn závisí jeho energie pouze na jeho teplotě.

Základní rovnice pro tlak plynu

p =13�v2k

1

Molární plynová konstanta R = 8,314 J.K−1.mol−1

Stavová rovnice pro ideální plyn

pV = NkT, pV = nRT

pV

T= konst.

Avogadrův zákon: Plyny o stejném objemu, teplotě atlaku mají stejný počet molekul.Stavová rovnice pro reálný plyn (van der Waals)(

p +a

V 2

)(Vm − b) = nRT

Děje v plynech♣ izobarický děj♣ izochorický děj♣ izotermický děj♣ adiabatický děj(Zákon, znázornění v pV -diagramu, energetická bilance)(Měrná tepelná kapacita při stálém tlaku a objemu)(Mayerův vztah)

2

Práce vykonaná plynemPři stálém tlaku je rovna

W ′ = pΔV = p(V2 − V1)Při proměnném tlaku ji lze spočíst jako plochu pod křiv-kou znázorňující děj v plynu v pV -diagramu.Kruhový (cyklický) dějPo vykonání jednoho cyklu plyn přejde do výchozího stavu.Přitom od okolí přijme teplo Q1, vykoná práciW ′ a ode-vzdá okolí teplo Q′2. Pro účinnost tak platí

η =W ′

Q1=Q1 −Q′2Q1

.

Druhá věta termodynamikyNeexistuje cyklicky pracující stroj, který by jen přijímalteplo a měnil jej na práci.(Perpetuum mobile II. druhu)Carnotův cyklusKruhový děj s maximální možnou teoretickou účinností.Pokud tepelný stroj pracuje Carnotovým cyklem s pra-covní látkou mezi teplotami ohřívače T1 a chladiče T2,dosáhne účinnosti

ηmax = 1− T2T1.

Tepelné motory◦ parní (parní stroj, parní turbína)◦ spalovací pístové (plynová turbína, zážehový čtyřtakt,vznětový motor)◦ spalovací reaktivní (proudový, raketový)◦ chladicí stroje◦ tepelná čerpadla

3

XI. PEVNÉ LÁTKY A KAPALINY

Pevné látky◦ krystalické látky (dalekodosahové uspořádání)♣ monokrystaly (anizotropie)♣ polykrystaly (izotropie)

◦ amorfní látky (krátkodosahové uspořádání)♣ polymeryIdeální krystalová mřížka (ideální krystal)Částice v látce jsou dokonale pravidelně rozloženy.� základem je elementární buňka – podle ní rozlišujemerůzné typy krystalových mříží (7 základních, 14 celkem)♣ kubická (prostá, plošně/prostorově centrovaná)mřížkový parametr (angström)

♣ jednoklonná, trojklonná, hexagonální,ortorombická, romboetrická, tetraedrická

Reálné krystaly – poruchy mříže� bodové poruchyvakance, intersticiální částice, příměsi

� čárové poruchy (dislokace)hranová, šroubová

Vazby v krystalech� iontová� vodíkové můstky� kovová vazba� kovalentní (polární, nepolární)� van der Waalsova

1

Deformace pevného tělesaZměna rozměrů či tvaru tělesa způsobená vnějšími silami.◦ pružná (elastická)◦ tvárná (plastická)Podle působení vnějších rozeznáváme deformaci� tahem, tlakem, ohybem, smykem a torzíNormálové napětí (značka σn, jednotka Pa)Skalární fyzikální veličina vyjádřující „stav napjatosti tě-lesa�. Je definována podílem vnější deformující síly Fpůsobící kolmo na průřez S a jeho plochy

σn =F

S♣ mez pružnosti (dokdy je deformace elastická)♣ mez pevnosti (dokdy je deformace nedestruktivní)(dovolené napětí, součinitel bezpečnosti)Hookův zákon (pro pružnou deformaci tahem)V oblasti elastické deformace je relativní prodloužení ma-teriálu přímo úměrné normálovému napětí.

σn = Eε = EΔll

E = Youngův modul pružnosti v tahu.Je to materiálová konstanta.Teplotní roztažnost pevných látek� délková teplotní roztažnost

Δl = αl0Δt l = l0(1 + αΔt)

α = teplotní součinitel délkové roztažnosti� objemová teplotní roztažnost

V = V0(1 + βΔt) β ≈ 3α2

KapalinyStruktura kapalin je podobná struktuře amorfních látek(málo uspořádaná, proměnné rovnovážné polohy).

Ep ≈ Ek.Povrchová vrstvaVolný povrch kapaliny se chová jako tenká pružná blána.Na každou molekulu v povrchové vrstě kapaliny působípřitažlivá síla, která má směr dovnitř kapaliny=⇒ kapalina má tendenci mít co nejmenší povrch=⇒ potenciální energie molekul v povrchové vrstvě

je větší než ve zbytku kapaliny = povrchová energie.Povrchové napětí (značka σ, jednotka N m−1)Povrchové napětí se rovná podílu velikosti povrchové sílyF a délky l okraje povrchové blány. Platí též, že je rovnapovrchové energii blány na jedotku plochy

σ =F

l=E

S.

Jevy na rozhraní pevné látky a kapaliny� smáčivé kapaliny (voda)� nesmáčivé kapaliny (rtuť)Stykový úhel svírá povrch kapaliny se stěnou nádoby.Kapilární tlak (značka pk)Zakřivení povrchu kapaliny způsobuje vznik přídavnéhotlaku v kapalině. Ten se nazývá kapilární tlak. Má-li po-vrch kapaliny tvar kulového vrchlíku, je roven

pk =F

S=σ · 2πRπR2

=2σR

3

Kapilární jevyV tenkostěnné kapiláře kapalina vystoupí/klesne o výšku

FG = Fpn ⇐⇒ πR2h�g = σ · 2πR ⇐⇒ h = 2σ�gR

� kapilární elevace (vzlíná vzhůru)� kapilární deprese (klesá pod hladinu)Teplotní roztažnost kapalinU většiny kapalin objem roste s rostoucí teplotou

V.= V0(1 + β1Δt)

pro větší teplotní rozdíly

V.= V0(1 + β1Δt + β2(Δt)

2)

S rostoucí teplotou se mění také hustota kapaliny (klesá)

�.= �0(1− βΔt)

Anomálie vody = narozdíl od jiných kapalin, hustotavody od 0◦C do 4◦C nejprve stoupá a klesá až od 4◦Cvýše.

4

XII. ZMĚNY SKUPENSTVÍ

pevné ⇐⇒ kapalné ⇐⇒ plynnéVeškeré skupenské přeměny probíhají při stálé teplotě, jek nim potřeba/uvolní se při nich určitá energie.Při fázových přeměnách může docházet ke změnám ob-jemu/hustoty, ne však ke změně celkové hmotnosti látky.Tání / Tuhnutí (pevné ⇐⇒ kapalné)◦ (Normální) teplota tání/tuhnutí◦ (Měrné) skupenské teplo tání/tuhnutí

lt =Ltm

◦ Průběh tání/tuhnutí z hlediska molekulové fyziky◦ Krystalizační jádra◦ Přechlazená kapalinaSublimace / desublimace (pevné ⇐⇒ plynné)◦ Sublimace (jod, led, vonící/páchnoucí látky)◦ Desublimace (jinovatka z vodních par)◦ (Měrné) skupenské teplo sublimace/desublimace

ls =Lsm

Toto teplo závisí na teplotě při níž sublimace probíhá◦ Průběh (de)sublimace z hlediska molekulové fyziky◦ Sublimující látka v uzavřené nádobě, rovnovážný stav

1

Vypařování / kondenzace (kapalné ⇐⇒ plynné)Vypařování (jen z povrchu kapaliny)◦ probíhá při všech teplotách◦ rychlost závisí na druhu kapaliny, teplotě, koncentracipar nad povrchem◦ (Měrné) skupenské teplo vypařování/kondenzace

lv =LVm

Toto teplo závisí na teplotě při níž vypařování/kondenzaceprobíhá.

Sytá páraProbíhá-li vypařování v uzavřené nádobě, nastane poslézerovnovážný stav mezi párou a kapalinou. Pára, která jev rovnovážném stavu se svou kapalinou, se nazývá sytápára.Tlak syté páry nezávisí při stálé teplotě na objemu páry.Tlak syté páry roste s teplotou. (Křivka sytých par.)

Var◦ Při dosažení určité teploty přejde vypařování ve var= kapalina se vypařuje nejen z povrchu, ale i zevnitř(bublinky)◦ Nastane tehdy, je-li tlak sytých par přibližně roven vněj-šímu tlaku. (Určení teploty varu v tabulkách.)

2

Kritický bod / Kritický stav látkyS rostoucí teplotou roste hustota sytých par a klesá hus-tota kapaliny. Při teplotě zvané� kritická teplotahustota kapaliny = hustota syté páryTato teplota určuje koncový bod křivky sytých par. Tense nazývá kritický bod.� zmizí rozhraní mezi kapalinou a párou� tento stav je popsán kritickou teplotou, kritickým tla-kem a kritickým objemem

Fázový diagramTvoří jej tři hraniční křivky:♣ křivka tání a tuhnutí♣ křivka sytých par♣ sublimační křivkaTy rozdělují diagram do třech oblastí:♣ oblast rovnovážných stavů pevné látky♣ oblast rovnovážných stavů kapaliny♣ oblast přehřáté páryPřehřátá pára = pára s nižším tlakem a hustotou nežsytá pára téže teploty.Trojný bod = bod, kde se křivky stýkají (jsou zdev rovnováze všechna tři skupenství).

3

Vodní pára v atmosféře◦ Absolutní vlhkost (podíl hmotnosti vodních par mv daném objemu vzduchu V )

Φ =m

V[Φ] = kg . m−3.

◦ Absolutní vlhkost má maximální hodnotu Φm, jestliževodní páry jsou sytými parami.◦ Relativní vlhkost definujeme jako

ϕ =ΦΦm

· 100% = pps

· 100%kde Φ je absolutní vlhkost vzduchu a Φm (absolutní) vlh-kost vzduchu příslušející sytým vodním parám za danýchpodmínek. V druhém vzorci p je tlak vodních par a pstlak sytých vodních par.♣ pro člověka nejvhodnější rel. vlhkost 50%-70%.♣ vlhkoměr (lidský vlas zbavený tuku mění délku)♣ rosný bod = teplota, na níž by bylo třeba ochladitvzduch, aby se páry staly sytými parami (při dalším sní-žení začnou páry kapalnět)

4

XIII. MECHANICKÉ KMITÁNÍ

Periodický dějDěj probíhající s časovou periodou neustále stejně.

Kmitavý pohyb◦ Periodický nerovnoměrný pohyb◦ V nejjednodušším případě harmonický (kmitání mácharakter sinusoidy = podobný pohybu po kružnici)

y = ym · sin(ωt + ϕ0)v = vm · cos(ωt + ϕ0)a = −am · sin(ωt + ϕ0)

ω = 2πf = 2πT

f = 1T

vm = ωymam = ω2ym

y = okamžitá výchylka (elongace), ym = amplituda v.v = okamžitá rychost, vm = amplituda rychlosti.a = okamžité zrychlení, am = amplituda zrychlení.ω = úhlová frekvence [rad . s−1]f = frekvence [Hz = s−1] (Hertz)T = perioda [s]člen v závorce (ωt + ϕ0) = fázečlen ϕ0 = počáteční fáze

Oscilátor = libovolný harmonicky kmitající systém◦ Mechanické oscilátory (pružina, matematické kyvadlo)◦ Jiné oscilátory (obvody střídavého proudu)Vlastní kmity = kmitání bez působení vnějších silNucené kmity = kmity vynuceny vnějšími silami◦ Rezonance = pokud se frekvence nucených kmitůa frekvence vlastních kmitů oscilátoru shodují, docházík velkému nárůstu amplitudy kmitů. Říkáme, že nastalarezonance.

1

Pružina (tuhost k, hmotnost závaží m)Perioda/frekvence/úhlová frekvenci vlastních kmitů:

T0 = 2π

√m

kf0 =

12π

√k

mω0 =

√k

m

Matematické kyvadlo (délka l)Perioda/frekvence/úhlová frekvenci vlastních kmitů:

T0 = 2π

√l

gf0 =

12π

√g

kω0 =

√g

l

Dynamika kmitavého pohybuHarmonické kmity vynucuje síla

F = ma = −mω2y F ∼ −y,která je přímo úměrná výchylce a míří proti ní.♣ Pružina, matematické kyvadlo♣ U -trubice, bóje na moři, torzní kyvadlo, . . .Skládání kmitůPlatí princip superpozice: y = y1 + y2 + . . .

� Skládání kmitů v jedné přímce1) izochronní = kmitání stejné frekvence♣ ve fázi (Δϕ = 2kπ) =⇒ maximální amplituda♣ opačné fáze (Δϕ = (2k + 1)π) =⇒ min. ampl.2) různých frekvencí♣ obecně neperiodický pohyb♣ soudělné frekvence = složené periodické kmitání3) blízkých frekvencí♣ vznikají rázy

2

Skládání kmitů (pokračování)

� Skládání kolmých kmitů (vznikají obrazce)1) stejné frekvence (úsečka, elipsa, kružnice)2) soudělné frekvence (Lissajousovy křivky)3) nesoudělné frekvence (otevřené křivky)

Energie harmonického kmitavého pohybuPřipomínáme, že harmonický kmitavý pohyb je způsobo-ván silou přímo úměrnou výchylce a působící proti ní:

F = −ky� Této síle přísluší potenciální energie pružnosti

Ep =12ky2

Energie pružnosti maximální v krajních polohách, nulováv rovnovážné poloze� Oscilátor má dále kinetickou energii

Ek =12mv2

Maximální v rovnovážné poloze, nulová v krajních polo-hách.Netlumené kmitáníOscilátor neztrácí energii, platí zákon zachování energie

E = Ek + Ep

Tlumené kmitáníOscilátor postupně ztrácí energii, zmenšuje se amplitudakmitů.

3

XIV. MECHANICKÉ VLNĚNÍ

Děj, při kterém se kmity šíří látkovým prostředím= nepřenáší se látka, ale energiepostupné vlnění = šíří se ze zdroje do okolí◦ příčné = částice kmitají kolmo na směr šíření vln

vlny ve vodě / ne ve vzduchu◦ podélné = částice kmitají ve směru šíření vln

zvukRovnice postupného vlnění

y = ym · sin 2π(t

T− xλ

)

︸ ︷︷ ︸fáze vlnění

y = výchylka, ym = amplituda, T = perioda vlněnít = čas, x = poloha, λ = vlnová délka

λ = v · T = vf

v je fázová rychlost = rychlost, kterou se vlnění šíří

Interference vlnění = skládání vlněníŘídí se principem superpozice. Obecně složité.Interference koherentních vln (stejná f , stálý Δϕ)Fázový rozdíl Δϕ = rozdíl fází vlněníDráhový rozdíl d = „vzdálenost bodů se stejnou fází�

Δϕ =2πλd

1. d = (2k + 1)λ2 (lichý počet půlvln)interferenční minimum (maximální zeslabení)2. d = (2k)λ2 (sudý počet půlvln)interferenční maximum (maximální zesílení)

1

Odraz vlnění◦ na volném konci = se stejnou fází◦ na pevném konci = s opačnou fázíStojaté vlněníVzniká interferencí dvou vlnění o stejné amplitudě a frek-venci postupujících proti sobě.kmitna = místo s maximální amplitudou výchylkyuzel = místo s nulovou amplitudou výchylkyRůzná místa mají různé amplitudy kmitů.Stojaté vlnění (příčné i podélné) nepřenáší energii.Na volném konci kmitna, na pevném konci uzel.Podmínky pro stojaté vlnění tyče♣ s pevným a volným koncem l = (2k + 1)λ4♣ s oběma pevnými konci l = kλ2♣ upevněné uprostřed l = (2k + 1)λ2Šíření vlněníVlnoplocha = plocha bodů kmitajících se stejnou fázíPaprsky = přímky/křivky kolmé na vlnoplochy, udávajísměr šíření vlněníHugyensův principKaždý bod, do něhož vlnění dospělo, můžeme poklá-dat za zdroj elementárního vlnění, z něhož se vlnění šířív elementárních vlnoplochách. Vlnoplocha je vnější oba-lová plocha všech elementárních vlnoploch ve směru, jímžse vlnění šíří.

2

Odraz vlněníDěj na rozhraní dvou prostředí, kdy se vlna dopadající narozhraní vrací do původního prostředí.Zákon odrazu1) Úhel dopadu α se rovná úhlu odrazu α′.2) Odražená vlna leží v rovině dopadu.Lom vlněníDěj na rozhraní dvou prostředí, kdy vlna dopadající narozhraní prochází do druhého prostředí.Zákon lomu (v1,2 = rychlosti šíření vlny v prostředích)

sinαsinα′

=v1v2= n (relativní index lomu)

Prošlá vlna leží v rovině dopadu.Při dopadu obvykle nastává jak lom, tak odraz. Při šířeníz hustšího do řidšího prostředí ale může nastat také úplnýodraz = častější to je pro jiné druhy vlnění (např. světlo)Ohyb vlněníDěj, kdy vlnění dopadá na překážku a za ní se šíří v jinémsměru. Vliv ohybu klesá s vlnovou délkou.

Akustikazvuk = mechanické vlnění vnímané sluchemrozsah: 16Hz – 16/22 kHz (mění se s věkem)< 16 Hz = infrazvuk, > 16 kHz = ultrazvukPeriodický zvuk◦ jednoduchý tón (frekvence ≈ výška tónu)◦ složený tón (i vyšší harmonické – barva tónu)Neperiodický zvuk = šum, hluk

3

Šíření zvuku◦ ve vzduchu 340 m . s−1◦ v pevné látce ∼ 103 m . s−1♣ rychlost šíření závisí na teplotě♣ nešíří se ve vakuu (potřebuje látkové prostředí)Intenzita zvuku (zn. I , jednotka W . m−2)Podíl energie vlnění, plochy S a času t.

I =E

St=P

SPráh slyšení odpovídá nejmenší intenzitě zvuku I0, kte-rou je schopno lidské ucho ještě rozeznat (subjektivní vní-mání hlasitosti závisí i na výšce, nejcitlivější při 1 kHz).

I0 = 10−12W . m−2

Hladina intenzity zvuku (zn. L, j. dB – decibel)

L = 10 log10I

I0.

0 dB = práh slyšení, 120 dB = práh bolestiDopplerův jevZměna frekvence zvuku při relativním pohybu pozorova-tele a zdroje

fp = fzv

v ∓ vz(přibližování = vyšší frekvence, vzdalování = nižší fr.)

4

XV. ELEKTROSTATIKA

Elektrický náboj (značka Q, jednotka C – Coulomb)◦ 2 typy: dohodou se jim říká kladný, záporný◦ měří se elektroskopem/elektrometrem◦ nevzniká ani nezaniká (zákon zachování náboje)◦ elektron je nositelem nejmenšího záporného náboje,proton je nositelem nejmenšího kladného náboje

e = 1, 602 · 10−19 C elementární nábojLátky se dělí na dva typy:Vodiče = náboj se snadno přemísťuje♣ valenční elektrony vytváří elektronový plynIzolanty (dielektrika) = náboj vedou velmi špatněCoulombův zákonMezi dvěma bodovými náboji Q1, Q2 ve vzdálenosti rpůsobí elektrostatická síla o velikosti

Fe = k|Q1Q2|r2

k = 9 · 109 N m2 C−2

k =1

4πε0εrε0 = 8, 85 · 10−12 C2 N−1 m−2

Síla mezi náboji stejného znaménka je odpudivá, mezináboji různého znaménka je přitažlivá.Konstanta ε0 – permitivita vakuaKonstanta εr – relativní permitivita prostředíSoučin ε = ε0εr – permitivita prostředíIntenzita elektrického pole (zn. E, j. N C−1)Definovaná jako síla lomená velikostí náboje

�E =�F

q

1

Elektrická potenciální energiePráce nutná k přenesení náboje q z nekonečna do vzdá-lenosti r od náboje Q.

Ep = kqQ

r

Elektrický potenciál (zn. ϕ, jedn. V – volt)Elektrický potenciál je definován jako podíl potenciálníenergie Ep testovacího náboje v daném místě a velikostitohoto náboje

ϕ =Epq

Elektrické napětí (zn. U , jedn. V – volt)Elektrické napětí mezi body A,B je rovno rozdílu po-tenciálů. Je rovno práci potřebné k přenesení testovacíhonáboje q mezi těmito body dělené velikostí tohoto ná-boje.

UAB = ϕA − ϕB = WABq

[V] = J . C−1

Elektrické pole♣ znázornění pomocí siločar / ekvipotenciálních ploch� Pole bodového náboje = radiální, E = kQ

r2, ϕ = kQ

r� Pole mezi deskami nabitými opačnými stejně velkýmináboji = homogenní, E = konst., ϕ = Ex� Pole elektrického dipólu

2

Vodič v elektrickém poli◦ Náboj ve vodiči se může volně přemísťovat=⇒ náboj se rozmístí na povrchu vodiče=⇒ hromadí se na hranách a hrotech=⇒ elektrický vítr (sršení náboje z hrotů)

◦ uvnitř vodiče je intenzita pole nulová◦ plošná hustota elektrického náboje souvisí s intenzitoupole v okolí vodiče

σ =Q

S= ε0E

◦ Při působení elektrického pole dochází k přemísťovánínáboje, dokud nedojde k vyrovnání vnějšího a vnitřníhopole (elektrostatická indukce)Izolant v elektrickém poli◦ Náboj je pevně vázán=⇒ posun náboj jen v rámci atomu

◦ polarizace dielektrika = dipóly se natáčí a vytvářívnitřní pole Ei směřující proti vnějšímu poli Ee. V dielek-triku dojde k zeslabení vnějšího pole. Souvislost s relativnípermitivitou materiálu

EeEe − Ei = εr

♣ atomová polarizace = dipóly se v látce vytváří♣ orientační polarizace = dipóly v látce se natáčí

3

Kapacita vodiče (zn. C, jedn. F – farad)Potenciál ϕ na povrchu vodiče je přímo úměrný náboji Qna povrchu vodiče. Konstantě úměrnosti se říká kapacita

C =Q

ϕVodiče mají malou kapacitu. Mnohem větší kapacitu másoustava dvou deskových vodičů, přičemž prostor mezinimi je vyplněn dielektrikem (kondenzátor). Napětí Umezi oběma vodiči je přímo úměrné náboji na deskách

C =Q

UNejběžnější kondenzátory jsou deskové, válcové, kulové.Materiálově se dělí na svitkové, elektrolytické, keramickéa další.Deskový kondenzátor o účinné (překrývající se) plošedesek S, vzdálenosti desek d vyplněný dielektrikem o re-lativní permitivitě εr má kapacitu

C = ε0εrS

dJe to důležitá elektrotechnická součástka. V elektrickémobvodu se značí symbolem

−||−Spojování kondenzátorůKapacita paralelně spojených kondenzátorů se sčítá

C = C1 + C2Převrácené kapacity sériově spojených kondenzátorů sesčítají

1C=1C1+1C2

4

XVI. STEJNOSMĚRNÝ PROUD - KOVY

Elektrický proud – fyzikální děj♣ uspořádaný pohyb volných částic s nábojem♣ za směr proudu se podle dohody pokládá směr uspo-řádaného pohybu kladně nabitých částic.♣ směr proudu je tedy od + k −Elektrický proud – fyzikální veličina(značka I , jednotka A – Ampér)Elektrický proud je definován jako podíl celkového nábojeQ, který projde průřezem vodiče, a příslušné doby t

I =Q

t, [A] = C . s−1

Z rovnice pro jednotky je vidět, že C = As, proto sejednotce coulomb někdy také říká ampérsekunda.Elektrický zdroj napětí je zařízení, mezi jehož svor-kami je udržováno stálé napětí (rozdíl potenciálů).◦ nezapojený zdroj: rozdíl potenciálů mezi svorkamiznamená, že na náboje působí elektrostatická síla, kteráje nutí napětí vynulovat. Aby se napětí na svorkách udr-želo, musí náboje na svorkách udržovat neelektrostatickésíly. Protože napětí mezi svorkami je stálé, jsou elek-trostatické a neelektrostatické síly v rovnováze.♣ Elektromotorické napětí Ue – je definováno jakopodíl práce Wz vykonané neelektrostatickými silami připřenesení náboje Q z jedné svorky na druhou.♣ Napětí naprázdno – napětí mezi svorkami zdrojenezapojeného do obvodu. Je rovno elektromotorickémunapětí.

1

◦ zapojený zdroj: po zapojení do obvodu dojde k úbytkunáboje na svorkách, neelektrostatické síly převáží a udr-žují v obvodu stálý proud.♣ Svorkové napětí U – je definováno jako podílpráce W vykonané elektrostatickými silami při průchodunáboje Q obvodem.♣ je-li zdroj zapojen do obvodu, je U < Ue.Druhy zdrojůa) galvanický článek (chemická reakce)b) fotočlánekc) termočlánek (Seebeckův jev)d) zdroje střídavého proudu (alternátory)

Ohmův zákon pro část obvoduProud I procházející kovovým vodičem je přímo úměrnýnapětí U mezi jeho konci.Elektrický odpor (značka R, jednotka Ω – ohm)

R =U

I, Ω = V . A−1

Elektrická vodivost (značka G, jednotka S – siemens)

G =1R, S = Ω−1 = A . V−1

Elektrický odpor kovového vodiče je přímo úměrný jehodélce a nepřímo úměrný jeho průřezu. Odpor kovů rostes teplotou.

R = �l

S, R = R1(1 + αΔt)

kde � je měrný elektrický odpor (jednotka Ωm) aα je teplotní součinitel el. odporu (jednotka K−1).

2

Sériové spojení rezistorů (různé napětí, stejný proud)

R = R1 + R2,

Paralelní spojení rezistorů (stejné napětí, různý proud)1R=1R1+1R2,

I1I2=R2R1.

Ohmův zákon pro uzavřený obvodZdroje napětí se chovají, jako by byly složené z ideálníhozdroje s napětím rovným elektromotorickému napětí Uea rezistoru o odporu Ri (tzv. vnitřní odpor zdroje).Ohmův zákon pro uzavřený obvod říká, že

I =Ue

R +Ri,

kdeR je celkový odpor obvodu. Při zkratu (odpor obvodutéměř nulový) prochází obvodem zkratový proud

Iz =UeRi.

Zatěžovací charakteristika zdroje = graf závislostinapětí na svokrách na velikosti odebíraného proudu.Regulace proudu a napětía) reostat (regulace proudu)b) potenciometr (regulace napětí)Konstrukce ampérmetru a voltmetruJádrem obou přístrojů je galvanometr (ručička se vychy-luje působením magnetické síly na vodič s proudem). Mávětšinou malý rozsah. Za účelem nastavení n-násobnéhorozsahu se připojuje♣ k ampérmetru bočník: Rb = RGn−1♣ k voltmetru předřadný odpor: Rp = (n− 1)RG

3

Úbytek napětí na rezistoruMezi konci odporové součástky (rezistoru, spotřebiči) oodporu R je v uzavřeném obvodu při průchodu proudu Inapětí

U = RI

Kirchhoffovy zákony♣ elektrická síť = složitější elektrický obvod♣ uzel = místo, kde se setkávají nejméně tři vodiče♣ větev = vodivé spojení dvou uzlů1. Kirchhoffův zákonSoučet proudů v uzlu je nulový

n∑k=1

Ik = 0.

2. Kirchhoffův zákonSoučet úbytků napětí v uzlu je stejný jako součet elek-tromotorických napětí zdrojů.

n∑k=1

RkIk =m∑j=1

Uej.

Elektrická práce a výkon v obvodu st. proudu

W = UQ = UIt, P = UI,

kde U je svorkové napětí, I proud v obvodu. Má-li vnějšíčást obvodu odpor R, platí

P = UI =U 2

R= RI2.

4

Konání práce v obvodu vede ke změně vnitřní energievodičů (rezistorů), posléze tedy ke zvýšení jejich teplotya tepelné výměně mezi vodiči a okolím. Takto přenesenáenergie QJ se nazývá Jouleovo teplo.Účinnost zdrojePráce vykonaná v obvodu W = UQ, kde U je svorkovénapětí.Práce vykonaná uvnitř zdroje je WZ = UeQ, kde Ue jeelektromotorické napětí.=⇒ účinnost zdroje je rovna

η =W

WZ=U

Ue=

R

R +Ri.

Maximální výkon zdrojeMaximálního výkonu se dosáhne, pokud odpor R spo-třebiče připojeného ke zdroji napětí je roven vnitřnímuodporu zdroje Ri.

R = Ri, Pmax =U 2e4Ri

, η =Ri2Ri= 50%.

5

XVII. POLOVODIČE

Vodiče – při běžných teplotách konstantní počet vol-ných elektronů, s rostoucí teplotou odpor roste kvůlivětším rozkmitům mříže.Polovodiče – při pokojové teplotě větší odpor než ukovů (méně volných částic nesoucích proud)♣ s rostoucí teplotou odpor klesá = rychle přibývávolných částic nesoucích prouda) termistorb) fotorezistorČisté polovodiče – vlastní vodivostČisté polovodiče: Si, Ge.◦ všechny 4 valenční elektrony v kovalentních vazbách,které nejsou příliš pevné =⇒ často dojde k úniku va-lenčního elektronu z vazby◦ generuje se pár díra – elektron◦ rekombinace (zánik) páru = uvolněný elektron pře-skakuje do jiné díry◦ záporné elektrony a kladné díry se v polovodiči chao-ticky pohybují a jsou schopné nést elektrický proud. Mlu-víme o proudu elektronovém a proudu děrovém.◦ odpor silně závisí na teplotě◦ pár elektron-díra může generovat také záření = vnitřnífotoelektrický jev

1

Příměsové polovodičeDíky vhodným příměsím převáží buď elektronová neboděrová vodivost. Mluvíme o majoritních (většinových)nosičích náboje a minoritních nosičích náboje.◦ typu N: příměsi pětimocných prvků, 4 valenční elek-trony se uplatní v kovalentní vazbě a pátý je volný =převažuje elektronová vodivost. Z atomů příměsí jsoukladné ionty, tzv. donory.◦ typu P: příměsi třímocných prvků, 3 valenční elek-trony se uplatní v kovalentní vazbě a místo jednoho jedíra = převažuje děrová vodivost. Z atomů příměsí sestávají při přeskoku elektronu do díry záporné ionty, tzv.akceptory.

PN–přechod (polovodičová dioda)V polovodiči typu P převládají jako nositelé proudu díry,v polovodiči typu N převládají volné elektrony.♣ na rozhraní PN se vytvoří hradlová vrstva = elek-trony a díry zde zrekombinují, tím ale v P-polovodiči zbu-dou záporné a v N-polovodiči kladné ionty. Vznikne elek-trické pole ve směru NP, které brání průchodu elektronůči děr♣ zapojení v závěrném směru (NP) = hradlovávrstva se zvětší, proud prochází velmi nepatrný (takřkažádný), až do (velkého) průrazného napětí.♣ zapojení v propustném směru (PN) = po do-sažení prahového napětí UF0 (křemík cca 0,6 V) proudzačíná velmi rychle růst. Velikost prahového napětí od-povídá síle pole nutného ke zrušení hradlové vrstvy.♣ voltampérová charakteristika diody

2

Použití polovodičů v elektroniceJednocestný usměrňovačPolovodičová dioda zapojená v obvodech střídavého proudupouští proud pouze jedním směrem a v jedné půlperiodě.Dvoucestný usměrňovač – Graetzovo zapojeníKombinace čtyř polovodičových diod, pouští proud pouzejedním směrem v obou půlperiodách. Pomocí kondenzá-torů a cívek se sestavují filtry, které dokáží průběh prouduvyhladit a převést tak střídavý proud na stejnosměrný.TranzistorJe tvořen krystalem polovodiče se dvěma PN-přechody.Střední část se nazývá báze B, okrajové kolektor C aemitor E. Z báze, kolektoru i emitoru vedou vývody.◦ dva typy NPN (šipka ven) a PNP (šipka dovnitř).◦ základní zapojení = CE a BE jsou připojené ke zdrojinapětí.=⇒ pokud je obvod báze zapojený v závěrném směru,

ani emitorovým, ani kolektorovým obvodem proud nepro-chází.=⇒ pokud je obvod báze zapojený v propustném

směru, začne procházet proud oběma obvody = tran-zistorový jev.Malé napětí v obvodu báze vzbuzuje v obvodubáze proud, který je příčinou vzniku mnohem vět-šího proudu v obvodu kolektorovém.Závislost proudu kolektoremIC na proudu bází IB jecca lineární. Def. proudový zesilovací činitel

β =ΔICΔIB

, při UCE = konst.

3

XVIII. PROUD V KAP. A PLYNECH

Elektrolyty – kapalné látky vedoucí el. proud♣ obvykle roztoky kyselin, zásad a solí♣ vodivost způsobují ionty vzniklé disociacíDo roztoku elektrolytu vkládáme dvě elektrody: anodu(spojená s kladným pólem baterie, přitahuje anionty) akatodu (spojená se záporným pólem baterie, přitahujekationty)=⇒ mezi elektrodami vzniká elektrické pole, to způ-

sobuje pohyb iontů, vzniká elektrický proud.Voltampérová charakteristika elektrolyt. vodičea) měděné elektrody + roztok CuSO4. Proud je v tomtopřípadě přímo úměrný napětí, je splněn Ohmův zákonU ∼ I , odpor elektrolytu splňuje vztah R = � l

S.

b) platinové elektrody + kys. sírová. Stálý proud procházíaž do určitého rozkladného napětí Ur.Na rozhraní elektrod a elektrolytu vzniká elektrická dvoj-vrstva s určitým napětím. Pokud na obou elektrodáchprobíhá podobný jev, napětí obou dvojvrstev se navzájemvyruší. Pokud probíhají na obou elektrodách různé jevy,vznikají různé dvojvrstvy a napětí se navzájem nevyruší.Tomu říkáme, že se elektrody polarizují a vzniká nanich polarizační napětí (opačně orientované než napětívnějšího zdroje).=⇒ využívá se v galvanických článcích (suché, aku-

mulátory)=⇒ kapacita akumulátoru = náboj, co může aku-

mulátor vydat = se udává v ampérhodinách.

1

ElektrolýzaPři průchodu proudu elektrolytickým vodičem probíhajína elektrodách látkové změny = tento jev nazývámeelektrolýza.◦ na katodě se vždy vylučuje vodík nebo kov◦ na anodě dochází k jejímu rozpouštění, popř. se můževylučovat jiná látka (např. kyslík)1. Faradayův zákon = hmotnost vyloučené látky jepřímo úměrná náboji, který prošel elektrolytem.

m = A ·Q = AIt.Konstanta úměrnosti A se nazývá elektrochemickýekvivalent látky.2. Faradayův zákon

Mmν= A · F.

Zde Mm je molární hmotnost látky, ν je počet elektronůpotřebných k vyloučení jednoho atomu/molekuly a F jeFaradayova konstanta (Faradayův náboj). Platí

F = NA · e .= 9,65 . 104 C . mol−1.Použití:♣ galvanické pokovování♣ galvanické leptání♣ elektrometalurgie (výroba kovů elektrolýzou /Na,Al/)

2

Elektrický proud v plynechZa obvyklých podmínek je většina plynů dobrými izolanty= vysoká ionizační energie, málo volných nabitých čás-tic vždy alespoň částečně ionizován kosmickým zářenímNesamostatný výboj = elektrický proud v plynu, kterýse udržuje jen po dobu působení vnějšího ionizátoru (plynlze ionizovat zářením nebo žhavením elektrod).Při malém napětí většina iontů zanikne rekombinacípo cestě k elektrodám – platí Ohmův zákon. Od určitéhodnoty napětí Un doletí téměř všechny = s rostoucímnapětím se proud dále nezvyšuje, obvodem prochází tzv.nasycený proud.Samostatný výboj = při dalším zvyšování napětí dojdek překročení hodnoty tzv. zápalného napětí Uz. Elek-trony a ionty vzniklé ionizací mají již tak velkou energii,že nárazem dokáží ionizovat další elektroneutrální částiceplynu = mluvíme o ionizaci nárazem.S dalším rostoucím napětím proud velmi rychle roste,plyn se stává vysoce ionizovaným, vzniká plazma.Při samostatném výboji se mohou uvolnit také elek-trony z elektrod, a to: nárazem iontů plynu (sekundárníemise), tepelným žhavením (termoemise) či dopademvhodného UV-záření (fotoemise).Voltampérová charakteristika plynného vodiče

3

Výboje v plynu za atmosférického tlaku◦ obloukový výboj = např. mezi uhlíkovými elektro-dami. Při krátkém spojení elektrod se tyto silně rozžhaví,po vzdálení teplem ionizují vzduch mezi nimi a obvodemprochází silný proud provázený velkou teplotou elektrodi plazmy mezi nimi⇒ obloukové sváření, vysokotlaké výbojky (Xe, Na, Hg)◦ jiskrový výboj = intenzita pole dosahuje hodnotypotřebné k samostatnému výboji, ale zdrojem je např.kondenzátor, který napětí dokáže udržet jen krátce.=⇒ blesk=⇒ koróna (v okolí drátů, hran, hrotů s vysokým po-

tenciálem) – způsobuje ztráty ve vedení velmi vysokéhonapětí. Výboj je prakticky neviditelný.Výboje za sníženého tlaku (výbojové trubice)= zvýší se střední volná dráha iontů, výboje nastanouuž při nižším napětí◦ doutnavý výboj při 10 kV a tlaku 100 Pa = nízkýproud i teplota elektrod. V blízkosti katody je modravékatodové světlo, zbytek trubice vyplňuje růžový ano-dový sloupec.(Důvod: v katodovém prostoru je vysoký spád napětí,elektrony jsou zde silně urychlovány. V anodovém pro-storu pak způsobují lavinovitou ionizaci.)=⇒ doutnavky – krátké výbojky (Ne), v nichž ne-

vzniká anodový sloupec=⇒ reklamní trubice, zářivky (Ar,Hg). Užívají přede-

vším anodový sloupec. Anodové záření bývá UV, světlovydávají luminofory na povrchu.

4

Kanálové záření = pokud opatříme katodu kanálem,pronikají kladné ionty za katodu, mohou způsobit světél-kování vhodné plynné náplně (tzv. kanálové záření)Katodové záření = pokud opatříme anodu otvorem,pronikají elektrony za anodu, mohou způsobit světélko-vání vhodné plynné náplně či skleněné stěny trubice (tzv.katodové záření).=⇒ zmenší-li se tlak ve výbojové trubici pod 1 Pa,

prolétají elektrony trubicí beze srážek = katodové světloa anodový sloupec zmizí a trubici vyplní katodové záření.=⇒ katodové záření je proud elektronů:– je vychylováno elektrickým a magnetickým polem– způsobuje světélkování v místě dopadu– mechanické účinky (roztočí vrtulku)– tepelné účinky (soustředěním do jednoho místa roz-žhaví anodu)– chemické účinky (může exponovat fotografii)– dopadem katodového záření na kov vzniká rentge-nové zářeníKatodové záření využívá CRT obrazovka (cathode raytube).Zkoumání vlastností katodového záření vedlo k objevuelektronu (změřilo se, že jej tvoří záporně nabité částice opoměru hmotnosti ku náboji asi jedné dvoutisíciny iontuvodíku, přičemž poměr hmotnosti ku náboje nezávisel napoužitých materiálech).

5

XIX. STACIONÁRNÍ MAGNET. POLE

Magnetismus v přírodě = existují látky, například mag-netovec, které se chovají jako magnety.Tyčový permanentní magnetmá severní a jižní pól.Dva magnety se přitahují různými póly, stejnými póly seodpuzují.Magnetka = malý magnet s možností otáčení kolemsvého středu.

Indukční čára = křivka v prstoru, jejíž tečna v da-ném bodě má směr osy velmi malé magnetky umístěnév tomto bodě. Orientaci indukční čáry určuje směr odjižního k severnímu pólu magnetky.Indukční čáry jsou vždy uzavřené křivky = magne-tické pole je pole vírové.

Magnetické pole permanentního magnetu= uvnitřmagnetu jsou indukční čáry rovnoběžné a míří od jižníhopólu k severnímu. Vně jsou to křivky mířící od severníhopólu k jižnímu.Magnetické pole solenoidu (vodič je ovinutý kolemválce) je podobné poli permanentního magnetu.Magnetické pole vodiče s proudem = kolem pří-mého vodiče s proudem vzniká magnetické pole ve tvarusoustředných kružnic (Oerstedův pokus).K určení orientace indukčních čar používáme Ampé-rovo pravidlo pravé ruky = palec ukazuje směr proudu,zahnuté prsty orientaci indukčních čar.

1

Magnetická indukce (značka �B, jednotka T – tesla)Je to vektorová fyzikální veličina charakterizující magne-tické pole. Její směr a orientace je shodná se směrem aorientací indukčních čar.Magnetická síla na vodič s proudem

Fm = BIl sinα, T = N . A−1 . m−1

kde B je velikost magnetické indukce, I proud prochá-zející vodičem, l délka vodiče a α úhel, který svírá vodičs indukčními čarami magnetického pole.Směr magnetické síly se určí podle Flemingova pra-vidla levé ruky: indukční čáry do dlaně, prsty ukazujísměr proudu, odtažený palec ukazuje směr síly.Vztah platí jen pro přímý vodič s proudem v homogennímpoli. Lze jej použít na velmi krátké úseky vodiče libovol-ného tvaru = pak se označuje jako Ampérův zákon.Magnetická indukce pro pole vodiče s proudem

B = μI

2πd= μ0μr

I

2πd,

kde I je proud procházející vodičem, d vzdálenost od vo-diče a μ permeabilita prostředí. Pro vakuum a vzduchmá hodnotu μ0 = 4π . 10−7 N . A−2 (dohodou určenákostanta, tzv. permeabilita vakua). Ostatní prostředíjsou charakterizována relativní permeabilitou μr.Síla mezi rovnoběžnými vodiči s proudem

Fm =μ

2πI1I2dl, (užívá se k def. ampéru)

kde I1, I2 jsou proudy ve vodičích, d jejich vzdálenost, ldélka vodičů a μ permeabilita prostředí.

2

Magnetická indukce pole cívky (solenoidu)

B = μNI

l,

kde μ je permeabilita prostředí uvnitř cívky, N početzávitů, l délka cívky a I proud procházející cívkou.Orientaci indukčních čar uvnitř cívky lze určit pomocíAmpérova pravidla pravé ruky pro cívku: prsty uka-zují směr proudu v závitech, odchýlený palec ukazuje ori-entaci magnetických indukčních čar v cívce.

Částice s nábojem v magnetickém poliMagnetická síla působící na nabitou částici v magnetic-kém poli je úměrná náboji q, velikosti rychlosti v a indukciB, má velikost

Fm = Bqv

a působí kolmo ke směru pohybu (podle Flemingova pra-vidla levé ruky). Proto se velikost rychlosti částice půso-bením této síly nezmění, ale zakřiví se trajektorie částice– pohybuje se po kružnici o poloměru

Fd = Fm =⇒ mv2

r= Bqv =⇒ r = mv

Bq.

Pokud se částice pohybuje současně v elektrickém poli(intenzita �E i magnetickém poli (indukce �B), výslednásíla na ní působící se nazývá Lorentzova síla

�FL = q �E + q �B × �v.Použití: vychylovací cívky v CRT obrazovkách.

3

Magnetické vlastnosti látekElektrony obíhající kolem atomového jádra vytváří prou-dové smyčky a ty vytváří vnitřní magnetické pole atomu.◦ diamagnetické atomy = magnetická pole elektronůse navzájem vyruší◦ paramagnetické atomy = magnetická pole elektronůse nevyruší♣Diamagnetické látky = z diamagnetických atomů,magnetické pole velmi mírně zeslabují (μr maličko menšínež 1). (vzácné plyny, zlato, měď, rtuť,. . .)♣Paramagnetické látky = z paramagnetických atomů,které ale nemají volnost uspořádání. Magnetické polevelmi mírně zesilují (μr o maličko větší než 1). (sodík,draslík, hliník,. . .)♣ Feromagnetické látky = z paramagnetických atomů,které se mohou uspořádat tak, aby se pole jednotlivýchatomů navzájem podpořila. Magnetické pole silně zesilují(μr mezi 100 až 10000). (ocel, železo, kobalt, slitiny)Magnetování feromagnetické látkyPo výrobě je feromagnetická látka nemagnetická. Pů-sobením vnějšího magnetického pole (např. elektromag-netu) dochází k magnetování, látka má remanentnímagnetickou indukci, která s rostoucí silou vnějšíhopole roste do magnetického nasycení.= magneticky tvrdé materiály = velká rem. indukce= magneticky měkké materiály = malá rem. indukceOdmagnetovávání= působením magnetického pole – hysterezní smyčka= teplem (Curieova teplota, pro železo 770◦C)

4

XX. NESTACIONÁRNÍ MAGN. POLE

Stacionární mag. pole = magnetická indukce (velikost,směr) se nemění s časemNestacionární mag. pole = magnetická indukce (velikost,směr) se s časem mění. Nest. pole lze dosáhnout pomocí♣ nepohyblivého vodiče s proměnným proudem♣ pohyblivého vodiče s proudem♣ pohyblivého magnetuElektromagnetická indukceNestacionární magnetické pole indukuje pole elektrické.◦ při vsouvání/vysouvání magnetu do cívky se v ní in-dukuje proud, který lze změřit citlivým ampérmetrem.Magnetický indukční tok (zn. Φ, jedn. Wb – weber)je skalární fyzikální veličina „měřící tok indukčních čaruzavřenou plochou – závitem�.

Φ = BS cosα, Wb = T . m2

kde B je velikost magnetické indukce, S obsah plochy(závitu) a α úhel, který svírá normála (kolmice) k plošeS s indukčními čarami.Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Ui = −ΔΦΔt=⇒ když se uzavřený vodič otáčí s konstantní úhlovoufrekvencí ω ve stacionárním magnetickém poli, potomje indukované napětí střídavé a jeho časový průběh jesinusový, platí

ui = Um sinωt.

1

Lenzův zákonIndukovaný proud v uzavřeném obvodu má takový směr,aby zabránil změně, která jej vyvolala.(ve Faradayově zákoně znázorněno znaménkem ”− ”)Užití elektromagnetické indukce♣ magnetický záznam signálu♣ vířivé proudy – elektrodynamická (indukční) brzda♣ výroba elektřiny

Vlastní indukcePři průchodu proudu vodičem se mění magnetické poleuvnitř vodiče, které vytváří indukované elektrické pole.Tento jev se nazývá vlastní indukce.Magnetický indukční tok je přibližně přímo úměrný prouduve vodiči (cívce). Konstantu úměrnosti L nazýváme in-dukčnost, jednotkou indukčnosti je Henry, zn. H. Platí

Φ = LI, H = Wb . A−1 = V s A−1.

Indukčnost vodičů je zanedbatelná. Mnohem větší in-dukčnost mají cívky, především cívky s jádrem z feromag-netického materiálu (tlumivky). Při změně proudu se nacívce indukuje napětí

Ui = −ΔΦΔt = −LΔIΔt.

Přechodný děj – při sepnutí a vypnutí obvodu docházík velkým změnám proudu, které mají za následek vznikvelkého indukovaného napětí na cívkách v obvodu.Energie magnetického pole cívky

Em =12LI2

2

XXI. STŘÍDAVÝ PROUD

Rovnice harmonického střídavého napětí

u = Um sinωt = Um sin(2πft)

Um = amplituda napětí, ω = úhlová frekvence, f =frekvence (v zásuvce 50 Hz, v technice od Hz do GHz).Obvod střídavého proudu s odporemObvodem prochází střídavý proud, jehož okamžitá hod-nota je

i =u

R=UmRsinωt.

Proud a napětí mají nulový fázový rozdíl.Proud má amplitudu

Im =UmR.

Odpor R rezistoru je stejný v obvodech střídavého i stej-nosměrného proudu. V obvodech střídavého proudu sepoužívá též název rezistance.Obvod střídavého proudu s indukčnostíProměnné napětí v cívce indukuje napětí s opačnou po-laritou, než je napětí zdroje =⇒ proud procházející sobvodem se za napětím zpožďuje o fázový rozdíl −π2 .Odporové vlastnosti cívky v obvodu střídavého prouducharakterizuje veličina zvaná induktance

XL =UmIm= ωL, [XL] = H . s

−1 = Ω.

1

Obvod střídavého proudu s kapacitouProměnné napětí v obvodu kondenzátor periodicky nabíjía vybíjí =⇒ proud procházející s obvodem se před-chází před napětím o fázový rozdíl π2 .Odporové vlastnosti kondenzátoru v obvodu střídavéhoproudu charakterizuje veličina zvaná kapacitance

XC =UmIm=1ωC

, [XC ] = s . F−1 = Ω.

Sériový RLC obvod střídavého prouduV obvodu je zapojen zdroj střídavého napětí, odpor R,cívka o indukčnosti L a kondenzátor o kapacitě C. Platí,že velikost amplitudy proudu Im je úměrná velikosti am-plitudy napětí Um. Konstanta úměrnosti Z se nazýváimpedance obvodu

Z =UmIm=

√R2 + (X2L −X2C)

◦ fázorový diagram = diagram, v němž jsou znázor-něny amplitudy napětí na rezistoru UR (vodorovná osa),napětí na kondenzátoru (svisle dolů = předchází se o fáziπ/2) a napětí na cívce UL (svisle vzhůru = zpožďuje seo fázi π/2).Fázový rozdíl proudu a napětí ϕ podle fázorovéhodiagramu lze spočítat jako

tgϕ =UL − UCUR

=XL −XC

R=X

R

VeličiněX = XL −XC

se říká reaktance obvodu.

2

Rezonance v sériovém RLC obvoduStav, kdy induktance a kapacitance obvodu jsou stejněvelké, fázový rozdíl proudu a napětí nulový a obvod mánejmenší impedanci (protéká jím maximální proud).Podmínka rezonance pro sériový RLC obvod je

XL = XC ⇐⇒ ωL = 1ωC

⇐⇒

⇐⇒ ω2 = 1LC

⇐⇒ f = 12π

√LC

.

Efektivní hodnota napětí a proudu

U =Um√2, I =

Im√2.

Efektivní hodnoty napětí a proudu odpovídají hodnotámstejnosměrného proudu a napětí, při nichž je výkon vobvodu s odporem stejný jako výkon daného střídavéhoproudu.Výkon střídavého proudu

P = UI cosϕ,

kde U, I jsou efektivní hodnoty napětí a proudu a ϕ jefázový posun mezi napětím a proudem. Veličina cosϕ senazývá účiník.Transformátor (k = transformační poměr)

k =N2N1=U2U1=I1I2

♣ elektřina se rozvádí pod vysokým napětím

3

XXII. ELMAG KMITY A VLNY

Vlastní kmitání elektromagentického oscilátoruNejjednodušší elektromagnetický oscilátor je LC-obvod(cívka a kondenzátor spojené do série). Pokud je kon-dezátor nabitý, po sepnutí obvodem začne procházet proud– ten indukuje napětí na cívce, přičemž kondenzátor sepostupně vybíje – napětí na cívce pak k