ОлексiйКостянтиновичКолежукiht.univ.kiev.ua/Kolezhuk/SelChapPhys/Lectures/SelChapPhysLecture12.pdf · Вибранi питання загальної та

Вибранi питаннязагальної та квантової фiзики

Олексiй Костянтинович Колежук

Iнститут Магнетизму НАН та МОН України

Iнститут високих технологiй,Київський Нацiональний Унiверситет iм. Т.Г.Шевченка

WS 2011, IВТ

Лекцiя 12: Загальнi властивостi енергетичної зонноїструктури конденсованих середовищ

1 Типи твердих тiл: метали, напiвпровiдники i дiелектрики

2 Квазичастинки. Електрони i дiрки. Ефективна маса.

3 Густина станiв. Сингулярностi Ван Хова.

4 Особливостi енергетичної структури неiдеальних кристалiв





О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 0 / 20

Метал: верхня зона частково заповнена

EF

мiн. енергiя, потрiбна для переведення системи в збуджений стан∆E ∼ 1/L→ 0 при L→∞ рiвень Фермi EF = хiм. потенцiал µ


Метал: зони, що перекриваються


Напiвпровiдник/Iзолятор: верхня зона заповнена

EFEg

мiн. енергiя, потрiбна для переведення системи в збуджений стан∆E = Eg ; Eg � Troom – iзолятор , Eg ∼ Troom – напiвпровiдник


Реальний приклад зонної структури: арсенiд галiя







Напiвпровiдник: електрони i дiрки

Ev

Ec

EF

E

k

valence band

conduction band

малi темп-ри ⇒ хвильовi вектори поблизу min c-band

Eelectron ≈ Ec +~2k2

2m∗eEhole ≈ Ev −

~2k2

2m∗h

ефективна маса (m∗e)−1 =1~2∂2Ec(k)

∂k2


Поверхня Фермi. Квазичастинки в металах.

над поверхнею Фермi – “частинки”, пiд поверхнею Фермi – дiрки


Поверхня Фермi. Квазичастинки в металах.

над поверхнею Фермi – “частинки”, пiд поверхнею Фермi – дiрки


Загальний випадок: тензор ефективної маси

E (~k) =∑ij

~2kikj

2m∗ij, i , j ∈ (x , y , z), ||m∗ij || 7→

m∗xx 0 00 m∗yy 00 0 m∗zz

анiзотропiя в оберненому просторi

iзоенергетична поверхня:елiпсоїд

iзоенергетичнаповерхня:гiперболоїд


Рiвняння руху для квазиiмпульсу

H =~p

2

2m0+ V (~r)︸︷︷︸bH0

+Uext(~r), iмпульс ~p = −i~~∇

∂~p∂t

=1i~

[~p, H] = −~∇V (~r)− ~∇Uext(~r)

оп-р квазиiмпульсу ~P: ~Pψ~k = ~~kψ~k комутує з H0

ψ~k = e i~k~ru~k(~r) ⇒ ~P = −i~~∇+i~~∇(ln u~k(~r)

)⇒ [Pi , xj ] = −i~δij

∂~P∂t

= −~∇Uext(~r) ⇒ ∂(~~k)

∂t= ~Fext(~r)

квазиiмпульс реагує тiльки на неперiодичну частину потенцiалу


Рiвняння руху: швидкiсть = ∂(енергiя)/∂(iмпульс)

ψ~k = e i~k·~ru~k(~r), Hψ~k = E~kψ~k ⇒ ~v =〈~p〉m0

=1~∂E~k∂~k

H =~p

2

2m0+ U(~r), e−i~k·~r He i~k·~r︸︷︷︸eH

u~k = E~ku~k , e−i~k·~r ~p e i~k·~r = ~p + ~~k

H =(~p + ~~k)2

2m0+ U(~r) ⇒ m0

~∂H

∂~k= ~~k + ~p = ~~k − i~

∂

∂~r

〈~p〉 =

∫d3~r u∗~k (−i~

∂

∂~r+ ~~k)u~k =

m0

~

∫d3~r u∗~k

∂H

∂~ku~k =

m0

~〈u~k |

∂H

∂~k|u~k〉

E~k =

∫d3~r u∗~k Hu~k = 〈u~k |H|u~k〉

⇒∂E~k

∂~k= 〈

∂u~k

∂~k|H|u~k〉+ 〈u~k |H|

∂u~k

∂~k〉︸︷︷︸

E~k∂

∂~k(〈u~k |u~k〉)=0

+〈u~k |∂H

∂~k|u~k〉 =

~〈~p〉m0


Ефективна маса i рiвняння руху

E~k =∑ij

~2kikj

2m∗ij,

∂(~~k)

∂t= ~Fext(~r), ~v =

〈~p〉m0

=1~∂E~k∂~k

∂E~k∂ki

=/m∗ij = m∗ji

/=∑

j

~2

m∗ijkj

прискорення ai =∂vi

∂t=

1~∂

∂t

(∂E~k∂ki

)=∑

j

1mij

∂(~kj)

∂t=∑

j

(~Fext)j

m∗ij

якщо швидкiсть ~v не паралельна осi елiпсоїда ефективної маси,то прискорення ~a не паралельне силi ~Fext







. . . Густина станiв

для вiльних частинок

для ε ∼ k2:Dd=1(ε) ∼ 1√

ε

Dd=2(ε) ∼ constDd=3(ε) ∼

√ε

3d

2d

1dD( )ε

ε

особливостi там, де похiдна(∂E~k/∂

~k)

= 0

для частинок в кристалi (3d)


Теорема ван Хова

(3d): принаймнi по однiй критичнiй точцi типiв S1, S2 (сiдловi точки E~k)

iлюстрацiя (2d): M – абс. максимум E~k , m – абс. мiнiмум, S – сiдло







Дефекти ґратки. Домiшковi рiвнi.

дефекти ґратки, домiшки: сильний локальний потенцiал

поява локалiзованих рiвнiв (ψ ∼ e−κr ) в забороненiй зонi

E

k

valence band

conductivity band

trap levels

з ростом безпорядку – локалiзацiя iнших рiвнiв

окремий клас – квазикристали


Квазикристали: заборонена краса

Dan Shechtman, 1982(Nobel prize 2011)

iкосаедрична фаза в Al0.86Mn0.14iдеальна дифракцiйна картиназ вiссю симетрiї 5-го порядкув кристалах тiльки 1,2,3,4,6 дозволенi !

←− дифракцiйнi картинидекагональногосплаву Al− Co−Ni


Квазикристали

iдеальнi дифракцiйнi картини, як в “справжнiх” кристалах+ заборонена симетрiя (iкосаедрична, додекаедрична i т.п.)

сплав Ho-Mg-Zn(I.R.Fisher et al., 1998):


Квазиперiодична ґратка

ґратки квазикристалiв є квазиперiодичними

ґратка Пенроуза

квазикристалiчнi ґратки = проекцiї кристалiчних ґраток убагатовимiрному просторi !


Чому iдеальна дифракцiйна картина?

Дифракцiйна картина = структурний фактор S(~q) (Фур’є-образґратки) = сума бреггiвських пiкiв

S(~q) =∑

Fn δ(~q − ~Qn)

тiльки якщо ґратка iдеально перiодична? Нi!

квазiперiод. ґратка = проекцiя багатовимiрної (d > 3) перiодичноїґратки на 3d простiрнапр. ґратка Пенроуза = проекцiя 5d кубiчної ґратки на 2dструктурний фактор квазiперiод. ґратки = теж сума бреггiвськихпiкiв!




S(~q) =∑

Fn δ(~q − ~Qn)






S(~q) =∑

Fn δ(~q − ~Qn)


квазiперiод. ґратка = проекцiя багатовимiрної (d > 3) перiодичноїґратки на 3d простiрнапр. ґратка Пенроуза = проекцiя 5d кубiчної ґратки на 2d

структурний фактор квазiперiод. ґратки = теж сума бреггiвськихпiкiв!




S(~q) =∑

Fn δ(~q − ~Qn)






Хвильовi функцiї електронiв в неiдеальних кристалах

iдеальний кристал: квазиiмпульс, теорема Блоха

ψ(x) = u(x)e ikx , u(x + a) = u(x)

дефекти, домiшки: “локалiзованi” хвильовi функцiї

ψ(x) ∼ e−κ|x |

квазикристали: нi те, нi iнше

ψ(x) ∼ 1/xα




ψ(x) = u(x)e ikx , u(x + a) = u(x)


ψ(x) ∼ e−κ|x |


ψ(x) ∼ 1/xα




ψ(x) = u(x)e ikx , u(x + a) = u(x)


ψ(x) ∼ e−κ|x |


ψ(x) ∼ 1/xα


Зонна структура квазикристалiв

“справжнi” кристали: скiнченна кiлькiсть енергетичних зон

1/L~

L

8E

Quasicrystal

квазикристали : нескiнченна кiлькiсть зон

Quasicrystal

self−similarityспектр має т.зв. фрактальну розмiрнiсть D, 0 < D < 1:щоб покрити спектр маленькими вiдрiзками довжини ∆E ,потрiбно N вiдрiзкiв, причому

N → const/(∆E )D , ∆E → 0




1/L~

L

8E

Quasicrystal


Quasicrystal

self−similarityспектр має т.зв. фрактальну розмiрнiсть D, 0 < D < 1:щоб покрити спектр маленькими вiдрiзками довжини ∆E ,потрiбно N вiдрiзкiв, причому

N → const/(∆E )D , ∆E → 0




1/L~

L

8E

Quasicrystal


Quasicrystal

self−similarity

спектр має т.зв. фрактальну розмiрнiсть D, 0 < D < 1:щоб покрити спектр маленькими вiдрiзками довжини ∆E ,потрiбно N вiдрiзкiв, причому

N → const/(∆E )D , ∆E → 0




1/L~

L

8E

Quasicrystal


Quasicrystal

self−similarity

спектр має т.зв. фрактальну розмiрнiсть D, 0 < D < 1:щоб покрити спектр маленькими вiдрiзками довжини ∆E ,потрiбно N вiдрiзкiв, причому

N → const/(∆E )D , ∆E → 0


Documents

ОлексiйКостянтиновичКолежукiht.univ.kiev.ua/Kolezhuk/SelChapPhys/Lectures/SelChapPhysLecture12.pdf · Вибранi питання загальної та