INFORME FINAL DEL LABORATIRO N° “8”

“CARACTERÍSTICAS DE UN CIRCUITO

INTEGRADOR O DIFERENCIADOR”

Alumno: Ochoa Bolaños Miguel Angel

Código: 20111141F

Sección: “ T ”

LIMA – PERU

2015

*Estos son los datos a utilizar en el siguiente informe:

CUESTIONARIO

1.- Realizar el fundamento teórico de la experiencia realizada.

CIRCUITO DIFERENCIADOR

Se trata de un circuito constituido por una capacitancia C y una resistencia R (circuito

RC), el cual actúa como un filtro pasivo para altas frecuencias, debido a que no

intervienen elementos amplificadores, como transistores o circuitos integrados, este tipo

de filtro atenúa las bajas frecuencias según la fórmula:

Este circuito se utiliza para detectar flancos de subida y bajada en una señal,

provocando una mayor diferenciación en los flancos de entrada y salida de la señal que,

es donde la variación con el tiempo (t) se hace más notoria. Estas zonas de la señal son

además las que corresponden a las altas frecuencias, mientras que las zonas planas están

compuestas por frecuencias más bajas.

Para cada pulso, la forma de onda de salida se repite, mostrando la forma siguiente.

CIRCUITO INTEGRADOR

El integrador más simple consta de una resistencia R y un condensador C, en este caso

se trata de un filtro pasivo pasa bajos, como se muestra en la imagen siguiente.

Cuando llega un pulso de entrada se eleva rápidamente al máximo cargando el

condensador C exponencialmente debido a la resistencia R, lo cual deforma el pulsode

entrada como se muestra en la forma de onda inferior. Cuando el pulso de entrada se cae

de repente a cero, se descarga exponencialmente el condensador C a cero a través de la

resistencia R. El proceso se repite para cada pulso de entrada que, dará la forma de onda

de salida mostrada.

2.- Determinar la constante del tiempo teórica y experimental.

DIFERENCIADOR:

Puesto que V (t) = VR(t)+VC(t) =⇒ VC(t) = V (t)−VR(t), se cumple también que:

VR(t) = I(t)R =𝐝𝐐(𝐭)

𝒅𝒕R = RC

𝐝𝐕𝐂(𝐭)

𝒅𝒕= RC

𝐝(𝐕 (𝐭) − 𝐕𝐑(𝐭))

𝒅𝒕= RC

𝒅𝑽(𝒕)

𝒅𝒕− RC

𝐝𝐕𝐑(𝐭)

𝒅𝒕

Si V (t) varía lentamente (con un periodo T ≫ RC), el condensador tiene tiempo de

sobra para cargarse y compensar el potencial de la fuente, por lo que VC ≈ V ≫ VR,

y entonces

VR(t) ≈ RC𝒅𝑽(𝒕)

𝒅𝒕

- Como hemos comprobado la constante de tiempo experimentalmente

𝜏 ≈ RC, y lo hallaremos en función de los datos obtenidos:

∴ 𝝉 = 𝟐𝟑. 𝟑𝒏𝑭 ∗ 𝟗. 𝟖𝟒𝒌Ω = 𝟎. 𝟐𝟐𝟗𝟐𝟕𝟐ms

INTEGRADOR:

Si V (t) varía rápidamente (con periodo T≪RC), el condensador no tiene tiempo de

cargarse y descargarse en cada ciclo, por lo que casi todo el potencial cae en la

resistencia, VR ≈ V ≫ VC, y

RC𝐝𝐕𝐂(𝐭)

𝒅𝒕≈ V (t) =⇒ VC(t) ≈

𝟏

𝑹𝑪∫ 𝐕 (𝐭)𝐝𝐭

V (t) =+𝐕𝐩𝐩/𝟐 𝐬𝐢 𝟎 < 𝒕 < 𝑻/𝟐−𝐕𝐩𝐩/𝟐 𝐬𝐢 𝐓/𝟐 < 𝒕 < 𝑻

*Integrando

VC(t) =(𝟏/𝐑𝐂)(𝐕𝐩𝐩/𝟐)𝐭 𝐬𝐢 𝟎 < 𝒕 < 𝑻/𝟐(𝟏/𝐑𝐂)(𝐕𝐩𝐩/𝟐)(𝐓 − 𝐭) 𝐬𝐢 𝐓/𝟐 < 𝒕 < 𝑻

- Como hemos comprobado la constante de tiempo experimentalmente

𝜏 ≈ RC, y lo hallaremos en función de los datos obtenidos:

∴ 𝝉 = 𝟕𝟒. 𝟔𝒏𝑭 ∗ 𝟑. 𝟖𝟖𝒌Ω = 𝟎. 𝟐𝟖𝟗𝟒𝟒𝟖ms

3.- Graficar en papel milimetrado la forma de onda de la señal de entrada y

salida.

4.- Explique Ud. porque el circuito utilizado se le denomina integrador o

derivador ¿Funciona para cualquier tipo de onda (triangular por ejemplo)?

Demuestre.

CIRCUITO INTEGRADOR

Al aplicar un generador de onda cuadrada, al llegar los pulsos, estos tienen un valor

constante, entonces el condensador se debería cargar y descargar exponencialmente,

pero debido a que la frecuencia es grande en comparación a la inversa de RC o mejor

dicho es el periodo de la onda generadora es pequeña a comparación de la constante de

tiempo, la curva de carga y descarga se parecerá mas a un tramo recto, lo cual genera

una onda triangular.

CIRCUITO DERIVADOR

Cuando se aplica un generador de onda cuadrada a un circuito RC, el voltaje de la

resistencia decrece exponencialmente, pero debido al periodo de la onda generadora en

menor en comparación a la constante de tiempo.

El derivador también para una onda triangular, debido a que se considera como la unión

“ondas rampa”.

5.- Explique la influencia que tiene la frecuencia de la señal en el circuito

integrador.

Si consideramos el circuito de la Figura 1, el cual está compuesto por un generador de

ondas cuadradas con frecuencia f0, una resistencia R y un capacitor de capacidad C.

Si al tiempo t = 0 y con el capacitor descargado, se cierra la llave S se establece una

corriente i(t) en el circuito. Como se vio en el laboratorio práctico anterior, la respuesta

transitoria del circuito cuando se usa una fuente de tensión constante, es exponencial.

Entonces, si la frecuencia f0 es lo suficientemente baja, el voltaje entre las placas del

capacitor (VC) aumentará y decrecerá exponencialmente, con una constante de tiempo

𝝉 = RC, hasta alcanzar el valor máximo de la fuente y el valor cero, respectivamente.

Dicho comportamiento está esquematizado en el gráfico de la Figura 2 donde la traza

oscura representa a V (t) y la clara a VC(t).

Supongamos que se incrementa la frecuencia f0. El condensador en este caso

podríamos alcanzar el voltaje de la fuente. Como se puede ver en la Figura 3, si se

continúa aumentando la frecuencia, la curva de carga y de descarga del capacitor se

parecerá más a un tramo recto.

6.- Que sucede con la amplitud de la señales Vc y Vr, cuando varia la frecuencia

de la señal de entrada.

Para el circuito integrador y derivador, teóricamente, ocurre que mientras más se

aumentaba la frecuencia de la señal de entrada (que es lo mismo decir que su periodo

disminuía), las amplitudes de las señales de salida, que son Vc y Vr, disminuyen.

Consecuentemente, cuando las frecuencias disminuían, las amplitudes aumentaban su

valor. En nuestra experiencia vemos que no ocurre lo teóricamente descrito para el

circuito derivador, lo cual se debe a que tomamos los valores equivocadamente.

7.- Muestre analíticamente el desarrollo de la serie de Fourier de la señal de

entrada y la señal de salida en cada caso.

SEÑAL DE ENTRADA

𝑉𝑖𝑛(𝑡) = 𝑉𝑜 ; 0 < 𝑡 <

𝑇

2

−𝑉𝑜 ; 𝑇

2 < 𝑡 < 𝑇

La serie de Fourier viene dada por:

𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 cos nwt + 𝑏𝑛 sin nwt)

∞

𝑛=1

; 𝑛 = 0,1,2,3,4 …

Por la simetría impar que presenta la onda:

𝑎0 = 0 𝑦 𝑎𝑛 = 0

Que resulta:

𝑓(𝑡) = ∑ 𝑏𝑛 sin nwt

∞

𝑛=1

; 𝑛 = 1,3,5,7 …

Hallando 𝒃𝒏:

𝑏𝑛 =4

𝑇∫ 𝑉𝑜 sin 𝑛𝑤𝑡 𝑑𝑡 ; 𝑛 = 1,3,5,7 …

Reemplazando en la función, tenemos:

𝑓(𝑡) =2

𝜋𝑉𝑜 ∑

(1 − (−1)𝑛)

𝑛sin

2𝜋

𝑇𝑛𝑡

𝑛

; 𝑛 = 1,3,5,7 …

𝑓(𝑡) = 0.63𝑉𝑜 ∑(1 − (−1)𝑛)

𝑛sin

2𝜋

𝑇𝑛𝑡 ; 𝑛 = 1,3,5,7 …

𝑛

SEÑAL DE SALIDA

𝑉𝑖𝑛(𝑡) = 𝑉𝑜 ; 0 < 𝑡 <

𝑇

2

𝑇 − 𝑡𝑉𝑜 ; 𝑇

2 < 𝑡 < 𝑇

La serie de Fourier viene dada por:

𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 cos nwt + 𝑏𝑛 sin nwt)

∞

𝑛=1

; 𝑛 = 0,1,2,3,4 …

Por extensión periódica par:

𝑏𝑛 = 0

Entonces, tenemos:

𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos nwt

∞

𝑛=1

; 𝑛 = 0,1,2,3,4 …

Hallamos los coeficientes, primero hallamos 𝒂𝟎:

𝑎0 =4

𝑇∫

𝑉𝑜

𝑅𝐶𝑡𝑑𝑡

𝑎0 =𝑇𝑉𝑜

𝑅𝐶

Ahora, hallamos 𝒂𝒏:

𝑎𝑛 =4

𝑇∫

𝑉𝑜

𝑅𝐶𝑡 cos 𝑛𝑤𝑡 𝑑𝑡

𝑎𝑛 =𝑇𝑉𝑜

2𝜋𝑅𝐶

((−1)𝑛 − 1)

2𝑛

Reemplazamos los coeficientes hallados en la función:

𝑓(𝑡) =𝑇𝑉𝑜

𝑅𝐶+ ∑

𝑇𝑉𝑜

𝜋2𝑅𝐶

((−1)𝑛 − 1)

2𝑛cos nwt

∞

𝑛=1

; 𝑛 = 0,1,2 …

𝑓(𝑡) =𝑇𝑉𝑜

𝑅𝐶+

𝑇𝑉𝑜

𝜋2𝑅𝐶∑

((−1)𝑛 − 1)

2𝑛cos

2π

Tnt

∞

𝑛=1

; 𝑛 = 0,1,2 …

8.- Observaciones, conclusiones y recomendaciones de la experiencia realizada.

OBSERVACIONES:

Observamos las características de las señales de salida, cuando el circuito RC lo

analizamos como elemento integrador o diferenciador.

Se observó una onda triangular en la salida, cuando el circuito es integrador y

que el periodo de esta onda es igual al de la onda de entrada.

Se observó una onda exponencial en la salida, cuando el circuito es derivador y

que el periodo de esta onda es igual al de la onda de entrada.

Notamos que el cable que lleva la señal del generador al circuito también posee

polos que están bien marcados los cuales debemos tenerlos en cuenta al

momento del armado.

Tuvimos que acondicionar adecuadamente el circuito, verificando polaridades y

también calibrando el generador de ondas.

CONCLUSIONES:

Las señales obtenidas son parecidas a las que estudiamos teóricamente, era de

esperarse debido a que se tuvo de entrada una onda cuadrada cuya derivada e

integral es conocida.

Se concluye que en un circuito derivador, la señal de salida es la derivada de la

de entrada.

Se concluye que en un circuito integrador, la señal de salida es la integral de la

de entrada.

Los errores de medida que una vez más obtenemos en cálculo de los resultados

son debido a la calibración de los materiales, las condiciones del ambiente, que

como bien se sabe modifica las propiedades eléctricas de los materiales.