58

¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

  • Upload
    others

  • View
    31

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

����������� ������������������������ ������� �!�#"$� �%��&����('"$����� �)*�+�,��-��./����01�!)��32��-�54#�-�76�����.8�9�,���

:<;>=@?BADCFE�GIHKJML8;>NPO8Q

R9SPTVUWSBX*YPZ[X]\_^�S�Z[X�SPUa`cbed[f g!^>hjik`abPielnmodMieiPdpbB^rqDi@iPSPUcUsiIt@T�ikUa`aUaq�UWS7ZuY�\�S�bB^>T,Z[fvZ�wxhMlR*d[y{zBXk`a|}wDSkl�~n�D�

� S�b�UaqDX�Ski3wp`K�xSBT�dxU!Us^�S�x�,X@`sT>w��,bP^DZ}Z[f�Z[T���qj��SBX@ikUaXk`sT>w[i�dxT,|��SBfvdxUWSe|{m�dxUcUWSPXei

\�X@`�SkiBUWSkl!�x�p���D��mod[X bB^��D�p�[�

�V���p���p�k���j���

 ¢¡¢£ ¤¦¥u§[¨e©�ª[«n¬-¤®­�¯±°j²u³ ¬-¤¦­ ³ ¥ ´�µ

Page 2: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º¾�¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄÃ�Á�Å�ÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ�Ì¢ÍÎÃ}Ï�ÀÐÉMÆ¢Ì�ÇxÑxÒrÓ�Æ�ÇjÌ�Ô7ÏÊÅ@Ó Æ¢ÒpÌ¢Å@Á�Ç�É�ÇjÕ>Å@É�ÁWÆ�Ì¢ÀÐÉpÖI×rÅeÏÂÑ

Æ�¿rÅeÇ�Ì¢Ô�ØMÙ*ÀÐÆ�¿�Á�ÕDÅ@Ó�ÀÂÃ}Ï>ÈËÇxÓ�ÒrÁ�Ç�ÉIÆ�¿pÅ!Á�Æ¢Ì�ÒrÓ�Æ�ÒpÌ¢Å+Ç�È�Æ�¿pÅ�Ç�ÕDÅeÉ�ÁWÆ�Ì¢ÀÊÉpÖ3ÁWÆ¢Ã�Ì�Ã}ÏÊÖ�ÅeÚÛ ÌuÃpÜ�¾�¿pÅ8Æ�ÇjÕpÀÂÓeÁVÑpÀÊÁ¢Ó�ÒrÁ¢Á�Å@Ñ-Ã}Ì¢Å+ÝWÞkß�à+ÏÐÖjÅ Û ÌuÃ}ÀÂÓ8Á�Æ¢Ì�Ò>Ó Æ�ÒrÌ�Å Ç�ÈDáÄâxã¹¾ÄØjÝsä�ß,ånã¹¾ÑxÅe×rÉpÀÐÆ�ÀÊÇ�É�Ç}È�ÁWÆ¢Ã�Ì@Ø�ÝKæjßnç9Å@ÒpÍÎÃ}ÉpÉ7Ó�Ç[Å�èIÓeÀÐÅ@ÉjÆuÁeØ�ÝKæjß*å�Ç�ÉrÁ�ÅeÌ¢éPÃPÆ¢ÀÐÇjÉ�ÏÂÃBÙ9ÁeØ�ÝKêjßâ[ÒpÌ�ÈëÃ�ÓeÅnÁWÆ¢Ã}Æ�ÅkÁ�ÝKìjß¹âMÆ¢Ã�Ì�Ã�ÏÐÖjÅ Û ÌuÃ9Á�Õ>ÅkÓ Æ¢Ì�ÇMÁ�ÓeÇ�Õ[Ô�ØxÝsí�ß,â[Æ¢Ã}Ì8ÃjÁ,î�ÇPÔMÃ}ÏMÕpÌ¢Ç[ÑpÒrÓ ÆkØÃ}É>Ñ�ÝKïjß�âMÆuÃ}Ì+Ã�ÏÐÖjÅ Û ÌuÃÕpÌ¢Ç}ð�ÅkÓ Æ¢Ç�ÌuÁeÜ

Page 3: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ñ#ò3ó<ô�õ+ó�ô¹ö

÷ ø]ùKú,û>ünýMþVÿ�������ý�������ýjû��� �������� ���������� ��� ��!#"$!#%'& ()�*+"-,/. 01"$.2,$346587�!:9-"<;>=?3�,/(�"-%,<(& �A@B�23C&D"$!#"FEG*+"-,/!�&2H�I6!#3C)���JJ'K���ML N�!�&23�"$!�0O"-3�,QPR01%'PS=�.2"$(�"$!�%'& 9 �T���U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJJW

X YZ���\[�ûD]6^nÿ_�jÿ���^`�� ��a_û���b+ûc^`����ý[ÿd^_úe����þ�ý ��f_÷

� g û+��h1þ�^i^j�'�8ûDke�>ÿKû+^l�m�nZ�a�ûoYZ��� þ bib�ýp�Vþ ��a`�m�þ�ýMünÿ_��ýMþ�ýqsr,ûDým�jÿ��pûc� ��f�f

f YZ��^��}ûDýmr�þ2�Mÿ_�l^ut!þDvA�w F�,ýAx�ÿsýMþ �C�Výp�y��b9ûDýjþ �m�Výp� ��f�z{ ��� *c3�"-"$!�&2HA. =V|>!#,Q(9-%,$%w01%'& 9-3�,/}p(�"$!#%'&�9~�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ���{ �ML 5��23T� ,/9$"8�_3�7�01%'&�9-3�,$}�(�"$!#%'&�)�(m7�9��U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ�L

� ����ýp Wþ �pûe�?��þ2��ûc��6��[�û+^l�jÿ_��q þ�^�[��8ùaÿ_r,ûDý �l�2f�c��� ��,$3C9-3C&D"$(�"$!#%'& 9��_%,�9$.2,$�d(013U9-"$(�"-3C9��U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ���c�ML 5��23�!��23C&D"$!#"�E�9-"-,Q!�&2H~� 3C)�� �����T���U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ���c�MJ ��9/.2��()#H3�� ,Q(Z%�67<3C�2H3U9-"$(�"-3C9����U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ�W

� �l�jþ�ý�ø]ùsúVûDünýjþ���b9ûc���ýp���C����b?q ��� ÷�c��� N~��(& ��!#"$98��!#H3C&D}3C01"-%,/9������T���U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ�J�c�ML �o3C�2H3~*c"$(�"-3C9C��N~��(& ��� ���T���U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ���c�MJ ��!#H3C&D}3C01"-%,/9�%����(& ��� ���T���U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ���c� {   3C)�(�"$!�& HS"$�23�3C!#H3C&D}p():.23C98%��� (&���N~�8}c!:(~"$�23U¡¢Pw(�"-,/!�013C9£�T�VJ�'K

¤ �l�jþ�ýG¥�ý��[6���'��þ �¦Y§��^l�jÿd^��������A¨��Dq�þVù<¥Iýp��[i���� � ¤+©KD��� ;O9$0�!�)�):(�"-%,8}3�,$"-31ª��_%,�"$�23Z«�%mE'()¬=�,$%c��. 01" �����U�T�����T�����U�T�VJ'K�LKD�ML ;>=?3C&V9-"-,/!�&2Hw9$"$(�,�!�&¦"$�23U01%'&D"$!�&c.2%'. 98%'9/0�!�)�)�(�"-%,���(9$!�9<���T�����U�T�VJ'K��KD�MJ @­�23C&D"$!#��0�(�"$!�%'&V%��«�%E'()�9-"-,/.�01"$.2,$3C9e�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ'K�®

¯ �l�jþ�ý�ø]ùsúVûDünýjþ°¥�ý�+±}ûc��m�,ý� ��¯ ÷®c��� ��.�& !#}3�,/9$()l3C!#H3C&D}3C01"-%,O%��²U³§��%,�()�)?=�,$%p´B3C01"-%,Q9µ�����T�����U�T�VJ®L®c�ML 5��23�¶·.2"-"-3�,$¸ E�*c"$(�"-3T�U�T�������T���U�T�����T�����U�T�����T�����U�T�VJ®J

z �wb9ûc^`¥Iýp�Vü�ùsûche� ��¯ f

¹ ûc WûDýjû+^��pûD� ��¯��

Page 4: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï
Page 5: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

º�»�¼�½#¾�¿�À_ÁcÂVÃ�Ä+Å�Æ�¼2Å�Á�Ç�Ãd¿QÀ�ÁDÂ�Ç�ÃÉÈ�¿OÊ>½ ÂcÅmË�¿BÈ ÌÌÍ

Î ÏÑÐ/Ò�Ó�Ô~Õ�Ö�×/Ø�Ù Ú?Õ¬Û~ØiÚ?Û~Õ�ÓRÜ�Ý�ÞàßUá°â

ã­äAåælçCäGè-é-ê/ë�ä ì�í çCî�ïSé$ð ç�åê$ñòcóUôcë:ä2ç�é$ë�õ8åæ?ç�ê/ó�é-åê�ö~òcóU÷§ø î#é$ë#æ�î:ë�õ�ó�é$ë#å'ä~ê/ø î�çOù'òcóä ïóäúë�ä�ä2ç�ê�æ ê/åcï ø�õ1éZû­ü�ý�üÿþQò¬ó�ê$ç§é$ð2çZôç�ñúè-é-ê/ø õ1é$ø2ê/çCè�é$ð ó�éOóî�î#å�� é$ð ç§ï2ç�í�ä ë#é$ë#å'äVå���óè-é-ê/ë�ä2ìúóõ1é$ë#å'ä�����î:î�é$ð2çCè-ç�è-é-ê/ø õ1é$ø ê$çCèUó�ê$çGê$çCî#ç��óä�éUé-å�ó�çCõ1é-åê~è$æ�óõ1ç�� ��ð2ç�ê/çé$ð2ç>è$é-ê/ë�ä2ì�í�çCî�ïGî:ë��çCè����ð2ç�ôcë�ä ç�é$ë�õ8åæ?ç�ê/ó�é-åê�ö é$ó�ôçCè���é-å���òcé$ð2ç>è$é$ó�ê<æ�ê$åcï�ø õ1éé$ó�ôçCè�é���å§çCî#çC÷SçCäDé$è�å�����óä ïAì'ë��çCè�ø�è�ó�é$ð�ë#ê/ï�òé$ð2ç�æ ê$å+ï ø õ1é���6ë�ä óî�î#ñò�é$ð2ç�ë�ä�ä2ç�êæ ê$å+ï ø õ1é�û­ü�ý�üÿþ<é$ó�ôçCè�é��<åwçCî#çC÷SçCäDé$è�å���� óä ï�ì'ë��çCè�ø è�ó��dõ1å'÷wæ�î#ç����<äDø ÷��?ç�ê�� ãBäé$ð ë�è8î�óä2ì'ø�ó�ìç�é$ð2çUè-é-êQë�ä2ìSóõ1é$ë#å'ä�é$ó�ôçCè�é$ð2ç ��åê/÷

! �#"$�&% ')(*,+-. (/ û0"�ý�ö1"�þ324(Ì û0" ý5"eù6"�þ�78ý � ( �

��ð2ç�ê$ç * - ë:è¦é$ð2çoåæ?çCä è-é-ê/ë�ä ì�õ1å'ø æ�î�ë�ä2ì�õ1å'ä è-é$óäDé�8��ð ç õ1å'ä�è$ë�è-é-çCä õ1ñ å��~è$ø õ/ðóäeóõ1é$ë#å'äeê$ç�9cø ë#ê$çCèUè-ç�ç�ê/óî·õ1å'ä ï ë#é$ë�å'ä è�:��ð2çAô+ë�ä2ç�é$ë:õSåæ?ç�ê/ó�é-åêSö\è$ó�é$ë�è$í çCèUé$ð ç�_å'î�î�å;��ë�ä ì~ë:ï2çCä�é$ë�é$ë#çCè

ö +�< %>=+ýö?� < ù&@?��%A�Éö < ��ù6@B2C�D' ( �FE < ùG�Éö @H� � / �û'ö < ýI@uþ�%J'K�D'G�FE�û < ýQöL@wþ�ý

��ð2çAí�ê/è-éUå'ä çGë�èZé$ð2ç¦ä ë�î#æ?åé-çCä õ1ñ õ1å'ä ï ë#é$ë�å'ä����ð2ç�è-çCõ1å'ä ïyè-é$ó�é-çCè~é$ð ó�éwö ë�èZóäåcï ï ï2ç�êQë��pó�é$ë�å'ä�å���é$ð2ç§è$é$ó�êTæ ê$å+ï ø õ1é� ��ð2ç§é$ð ë#êQïúè$ð å;��è>é$ð ó�éUö¢ë�è>è-çCî��NMFóïPO-å'ë�äDé���ð2ç�ê$ç�ó�ê$çZóî�è-åwë�ï2çCäDé$ë#é$ë#çCè8ë:äQ�å'î��+ë�ä2ì~é$ð2ç�ë:ä ä2ç�ê8æ ê$å+ï ø õ1é8óä ï¦é$ð çUè-é$ó�ê�åæ?ç�ê/ó�é$ë#å'ä

û < ýI@Sþ&%A�D'R�FETS�ûU@�ý < þû < ýI@�ù6V þ�% û < ùW@ ýXV þ � Ì0�< ùG�U@ ù6VK��%A� < ùW@?��ù�VZY

ã­ä¦é$ð2ç�è/ë#ì'ä:��óõ1é-åêQè�ò�é$ð2çTç��+æ?å'ä2çCäDé$è < ýI@�ý�ü�ü�ü�ï çCä2åé-ç�é$ð2ç�[>êQóè$è$÷wóä óî:ë#éFñ�å���é$ð çè-é$ó�é-çò¬óä ï�è$ð2å'ø î�ï�?çUê$çCóï�óèH�D'R� EZ\ �D'R�F]�^ ET_ ��ð2ç�ê/ça`;� < �b%c=$�d÷Så+ï / �d��ð çCä< ë�èe[Oê/óè$è$÷wóä�ä�ç�çCä�ò�óä ïf`;� < ��% ( �d÷wåcï / �$��ð2çCä < [Oê/óè$è$÷wóä�ä�å+ï ï��$��ð çí ê/è-é�æ�ê$åæ?ç�ê$éFñVóg�?å;�ç~ë�è�óGè-ñc÷A÷Sç�é-ê$ñ�õ1å'ä ï ë�é$ë#å'ä�ò2é$ð2ç§è-çCõ1å'ä ï�ë�ä ï ë�õ�ó�é-çCè�é$ð ó�é�é$ð çë�ä ä2ç�ê�æ ê$å+ï ø õ1é�ð�óè>ó�õ1ñ+õ�î�ë�õ�ë#é�ñ�æ ê$åæ?ç�ê$é�ñ�óä óî#åìå'ø èOé-å¦é$ð2ç~è$ë�÷wë:î�ó�ê�æ ê$åæ?ç�ê$é�ñ�å��é$ð2ç�é-ê/óõ1ç�åæ?ç�ê/ó�é$ë�å'ä����ð2ç~î�óè-éOç�9cø ó�é$ë#å'äoë�äh� Ì0�>ë�è>é$ð2çSè-é$ó�é-çC÷SçCäDéTé$ð ó�éTé$ð2çSè-é$ó�êTæ ê/åcï ø�õ1é�ë�èOóè$è-ågMõ�ë�ó�é$ë��ç�����ð ë:è�ë�èUó��ø�ä ï ó÷SçCäDé$óî æ ê$åæ?ç�ê$é�ñ��¦ã­ä é$ð2çGõ�óè-ç�å���è-é-ê/ë:ä2ìVí çCî�ï é$ð2ç�åê$ñé$ð2çZõ1å'ä ï�ë#é$ë#å'äVå���óè$è$åcõ�ë�ó�é$ëi�cë#é�ñVë�è�è-å�è-é-ê/ë�õ1é�é$ð ó�é�é$ð2ç�ê/çUë�è�O$ø è-é�å'ä2çUæ?å'è$è$ëi��î#çe�<ómñé-åAï2ç�í�ä2çTé$ð çTæ ê$å+ï ø õ1éWjGé$ð2ç �·óCñVï2ç�+ë�è-çCï:�cñ:k ë�é-é-çCä��

Page 6: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

l�l�m nGo�p3q�r#s;tIuQv�wxRyiz�{|~}����i���yiyi���0���0�H{$�U��}I�I��{}������N��}��?�g�I���0�H�i����{���{����I�g}I�H�g|T�0�����I��{d���I�g}&�~}I������~�������{���{��yi�g}I{����I�g}K����|T{���� s��gs� �~}����~�����L�����~{z�}I{{?�{}I�����$�~����3�i����y����i�{���z0yi�i�I�h�H{������?�I�~�g�?|T���I�h�I��{f G}����I�I�����~��yi�����Z���~�¡�I��{�z0���0�������~��|T{}H���G�I�~{���I�g}K�~}����~�����L���6��¢W�£����}��i�~z�¤~{�yi�~�L�i� ��|~�I���i��{����¥}I�0�¦�I�~�0��{������I��{��I��}��i��z:¤~{�yi���¢d���I���0���b���,�����~�~���I���0����yX�g§���{�¨

©;ªU«­¬&®?¯�°B©�ªU«e¯3±¡©;ªU®?¯z0� ªU«­¬&®?¯�° z0� ªU«L¯3± z0� ªU®?¯X² ª¥³,¯´ ���I���i�byi����z0�~�gz�{¶µA�i�b������~�:���T{}��g����}d�����~{z�}I{{ �0��{�¨

©�ª µ «L¯�°B©;ªU«L¯3±>·z0� ª µ «e¯&° z0� ªU«L¯3±>·�² ª¹¸0¯´ �º�I��{H���0�Q»�{��,�I���0�~�e¢6{¶�I�~��yiy¼¢W��}I½º�I��{?¾�¿ ª¹À �ÂÁ ¯ »g����~�~�)à ÄQÅR�i�G���I�I��z0��{��ºz0���0����,�~��|T{}b�{}I����$��{ �g|T�;»�{���{�I�����yiyi�;¢d�$����������{��~�~��{ �I�0�H{ |����I���R��}I���T{}I�I��{��������I��{K����}�����z¤~{�yi��� ´ �1���g}I�I�i���yi�g}������I�Kz0�~�0���a���~��|T{}������~�1�i�I�¶ G}����I�I�?���~��y��������f�$��{� G}����I����?���~��yi�����º���dÆJ����Ç|T{?��{��~�~��{��f�¥}I�0�È�I�~{?���0�~�~���I���0�f�I���g�K�I��{H½��i��{�I�i�¶��{}��È����I��{$����}��i�~zG�����I���0�����~�I��|T{b���0���#»g���~�i���~�i��z��¼ÉG�I�i�~zG�I�~{��g|T��»�{$�~}I���T{}I�I��{���¢6{$�~��»�{

Ê ÆeË�µKÆ$Å °JªDÌK·;¯DÍ5Î�Ï�Ð�Í~Ñ Ê µ�ÆGË�Æ$Å ° Ê µ�ÆGË�Æ$Å °JÌ�ªDÌ ·;¯DÍ Ê ÆGË�µKÆdÅ ² ª m ¯´ �H�i�a�y�{��g}H�I�~�g�¶�I��{�����}�����zº¤�{�yi�hÆÒ�a�~���¶|T{� e}����I�I�?�����Ç���~���Óx��¶�I�~�i�a�T�0�i�,�¢W{:�������a����{��I�0�H{�ÔbÕ��Ö½����;¢Ry�{���z�{����f�~{���i��{��0�Z�I��{� G}������I�?���~��yi�i���Ó���$�I�~{¾�¿ ª¹À �ÂÁ ¯ »P������~�È���~�Ç�0���I��{?z0���0�I�K�,���K|T{} �����I��{��I��}��i��z:¤~{�yi�3��Õ���}K|T�0���0���i�����}��i��z0�R¢6{a�~�;»�{¶�I�~�g�R�{}��:�?�0�H{��Q�I���×�I�����Q���0���I�I�g��{�� �g}I{a�����I��{a�N��}��×ØDÙ Ï Ã ÄQÅ��¢d��{}I{¶Ù Ï ���G��z0���0�I�L¤~{�yi�º�0�I��iyiyi�g����};�a¾��i�~��{a�I�~�i�R�0�I��iy�yi�g����} �i�  G}����I���?���~�£����������~�h�I��{�����}�����zf¤~{�yi�Ú�i�H��yi�I�1 G}����I�I�����~�h��������¢6{�������H��{��yi�g}I{��I��{º¾�¿ ª¹À �ÂÁ ¯»P����~���Û���?|T{� G}����I���?���~�:{»�{����6�$�,���

à ÄQÅ��i�$�� e}����I�I�?�����:{»�{�����I�g��{�����z0�~�0���d���~�K|T{}b�{}I� ² ª#Ü�¯¾��i�~��{��I��{�Ù Ï �0�I��iyiyi�g����}?��g}�}���{��az0���0���?���~��|5{}¶�0��{��6¢6{:��y����Ó��{��~�~��{:�I�~�g�H�I�~{���5{������}��i��z¶¤~{�y������~�I�$�~��»�{�z0���0���d���~��|5{}b�0�~{��

ÃÝÆ$Å6�i�d�� G}����I�I�����~�����~�����I�g��{K����z0���0�I�$�,�~��|T{}$�0��{ ² ª¹Þ0¯ß&à �~�g�I���0�~� ª¹À0¯ � ª l ¯ � ª¥³,¯ � ª¹¸0¯ ���~� ª¹Þ0¯ z0�~�g}����,��{{L�I�~�g���I��{e����}��i�~z�¤~{�y��������I���0��i�b�i�,»P�g}������Q�$�~����{}b�I��{Lz0����z�{���}����~���¥��}��?�g�I���0���¨

áPÆ ° µLâ ± Æ ¬ â Ì â ¬ Æ£Ë ª¹ã0¯

Page 7: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ä&åçæXè�égêçëNì�í�î¥ï�ð�ñòæ�ðì£óXîUê�ë¥ì,í�ó�î#ôgêeõGè í�ð;öêDô ÷�÷0øùNú�ûKü�ý,þÓÿGû�ü�������ü�ý~ý��������ý� ��ú ������ý��������û���ûIú����Iü�������� �ú�û��ú!���û!"�ügû$#iü���#�ú0ýfú�ù���%�Kü�&'��#�ú0ý( #)���*�+���%��,-�*.)/0�*1���ü���#�ú0ý

2�3�4537683:9<;8= >�?;A@

ä�å,ðê�B�ëDC�ðFE �ûG#iùNþH���~ü�� ����������ûG#iý%Óü�&'��#iú0ý:#iýI>�?!@ #)�F0ü��%��J#�ýA�gügûG#iü�ý�� �~ý�/%�ûK�������û�ü�ý���ù¥ú�ûG�?ü���#�ú0ý-�L>NM @$�O �P#)�Q&�ú0ý�����ý�#R��ý��S��úT�����U���%�Rü��Tú!���V����ûG��&'���~û��*�Q��úF/%�,�ý%�$ü����-.R��#).)#iý���ügû�ú���W��*&'�

���~ü��+ #R����ý(���~û���L����ûG#�ý%F,��*.)/��X#R�bþ�#R�*.)/-�büHý��������û*YZ�[7\-]^\`_LacbdZ�[e\f] 6 _7a >�?�?!@

g �%���h#)/�/�.R�i�*1j�~ü���#�ú0ýk#iýl> ÷ @U#)�Km-.)#)�*�X���%� Bn Bè ëoB�ë¥îon ú�ùQ���%�F����.)��#).)#iý%��ügûdùNú�ûG���Up���?ü�.).q&ü�.)&�-.iü���#�ú0ý(#)� � �*/�#iü����*.�þr #R���*�Y

Z�[7\-]^\f_�a 9s>�tU@vuxwzy|{q}q~ Z�]<\`_H\�[ia >�?*� @

pH��ü���#)&Q&�ú0ý-��#)������ý�&�þi&$�%�*&�� ú�ù%�����S��#R0ý-�3ü��Tú!���8#)�|���~ü������%�S&���-#)&����ûG� Z 3 \ 3 \ 3 a#iý0���%�Kü�&'��#�ú0ý7>N� @X#)�X����û$#)&'��.�þ0&�þj&.)#D&eùNú�û$ú�/�/�3V"~ü�ý-/(���%�û��ù¥ú�û��L/�új�*�$ý�ú��X�gü�ý�#)�G�q��q��� ��������� ���x�����������A���j� �Q�A�|�i� �J�����L���X��� �f���|���q�S�e���Q�-��� �N�* 7�����A���Q¡

¢ ���-���£Vm���ý�����ûG#iý�K���%�ú�ûIþ(�~ü��dü�/-/�#R��#�ú0ý~ü�.Tü�.R����û�ü�#)&�����û$��&'����û�������ü�����ú �K���#)� �*�+m-.iü;þj�ü�&�ûG��&#iü�.�ûIú .)���¤£eý�������&G�¤����ûG��&'����û���ügûG#D���*�¶ùNû�ú �¥���%�(��¦U#)���¶ú�m��û�ü���#�ú0ýq"S¦���#)&$�û�����ûG���*�V���%�Tm�ügû�ü��K���û$#R��ü���#�ú0ýºú�ù�ür����û$#iý%%��§�û�ú �¨�����aü�.R����û�ü�#)&���#R�¦+mTú #iý��+����#D�#)�h���-� �?ügûG#R��*/5�,þ¤���%�J�'©�#D������ý�&'�ú�ù ü�ý­ú�m��û�ü���ú�û(ª«�Iü���#)�IùNþ�#iý%����%�ºùNú .D.�ú!¦�#�ý%m~ûIú�m��û���#R�*�Y

ª�>�2 [ @Q9¬2 >Nª [ @Z ª [7\ ª ]5a 9 Z�[7\`]¤a >�? ÷ @ª­> [ 6 ] @c9s>�tU@ u�y|{�® ª�> ] @x6PªL> [ @`=

g �%�8,~ûG����m~û�ú�mf�ûG��þ�� ��ü�ý������~ü��c���%�+¯8°V± g ú�mf�û�ü���ú�û��~ü�����ûIúi��¦�#)���"0ú�ûQ/~ú��*��ý~ú��&G�~ü�ý%��8���%�P��¦U#)����m~ûIú�m��û���þLú�ù-���%�P���Iü����*�c#R�òü�&'����ú0ýq� g �%�8���*&�ú0ý�/�m~ûIú�m��û���þL���Iü����*����~ü��²���%���`#).)#iý%��ügûdùNú�ûG�³#)�U��¦U#)���²#iýA�gügûG#iü�ý��� g �%������#�ûG/Jm~ûIú�m��û���þ�#)�U&�û$��&#iü�.N�²´�m��ú���#R0ý-�Q��¦U#)����#iý%L���%�����IügûPm~ûIú�/���&'��ú�ù|����ûG#iý%i,��*.D/���ü��Hú �~ý����S��úT�T��.R��#Rm`.�þj#�ý%U�������¦�#)�����*/����Iü����*�c#�ý é�æQæ�é�C�ëUî�ðGégê�µQð�ê � g ��#)��&G�~ü�ý���6ú�ù�ú�ûG/%�û�#)�¼ü²��#)� m-.R�Q&�ú0ý����*1j�%��ý�&'�ú�ùq���%����ü��G#)&+�T��.R��#Rm-.D#)&ü���#�ú0ý¶ûG��.)�X¦��%�û��U���%�U���*&�ú0ý-/r�~ü�.iùXú�ùq���%�U,~ûG���S����ûG#iý%��������

Page 8: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

¶�¶�· ¸V¹�º|»c¼�½!¾�¿AÀ'Á

ÂfÃ�Ä Å)Æ%Ã*Ç�È�ÉVÈ�Ê%ÃSË�ÌGÍ�È�Ê�Î*Ï�ÃPÉ�Ð%È�Ê%ÃSÍ�Ã*Ñ'É Ò�ÇTÉ Ò%Ã�Ó�Ô�Ê%Ã�Í�ÕRÄ ÒLÐÖÎ�Ñ'È�É�ÌcÕ)Í�Î�Å)Í�ÉVÕ)×KØ�É�Ì�È�Î�Ò�ÈÓÙ É�Ì�È�Ê%Ã�Í�È�ÌGÕ)Ò%ÄFË�Ã*ÅDÇ�ÚVÛ%Ü�Ê�Õ)Ñ$Ê(Õ)ÍUÝVÌ$Î�Í�Í�× Î�Ò�Ò0É�Ç�ÇqÛ�Õ)ÈXÄ ÕRÏ�Ã*Í

Þ�ß Ú7àPÚ+ácâIã ßNÞ Ú+á�à ßNÞ Ú�á ß�ä'å á

Ü�ÕRÈ�ÊrÈ�Ê%òØ-Å)Æ�ÍPÍ�ÕRÄ ÒqÓcÔ+Ê-Õ)Í�ÌGÃ*Í�Æ�ÅRÈÛjÈ�É�Ä�ÃÈ�Ê%ÃÌ+Ü�Õ)È�ÊhÈ�Ê%òË�Ì$Í�ÈSÈ�ÜSÉKÃ*æjÆ�Î�È�ÕRÉ Ò-ÍPÕDÒ ß�ä ¶ áÕ)× ×KÃ*Ç�ÕDÎ�È�Ã*ÅRçrÕ)× Ø-Å)ÕRÃ*ÍSÈ�Ê�Î�È+È�Ê%Ã�Í�È�ÌGÕ)Ò%ÄFË�Ã*ÅDÇ(Î�Ñ'È�ÕRÉ Ò�Õ)Ò ßNè áXÕ)ÍXÈ�ÜUÕ)Í�È+Õ)Ò�Ï�Î�Ì$Õ)Î�ÒAÈ

é+ßNÞ Ú+ácâ éXß Ú�á`ê ß�ä*ë á

Ô+Ê�Õ)Í�Õ)Ò�Ï�Î�ÌGÕDÎ�Ò�Ñ'ÃìÆ-Ò�Ç%ÃÌ�È�Ü�Õ)Í�ÈrÈ�ÌGÎ�Ò-Í�ÐíÉ�Ì$× Î�È�ÕRÉ Ò�Í0Î�Å)ÅRÉ�Ü�Í�É Ò%ÃkÈ�ɤÑ'É Ò�Í�È�ÌGÆ�Ñ'È(Ò%ÃÜÍ�È�ÌGÕ)Ò%Ä0È�Ê%ÃÉ�Ì$ÕRÃ*ͲÂ�çJÈ�ÌGÆ�Ò�ÑÎ�È�ÕDÒ%Ä0È�Ê%à Í�Ø�Ã*Ñ'È�ÌGÆ�׳È�É(È�Ê%à ÍGÆ%Â-Í�ÃȲÉ�ÐSÍ�È�Î�È�Ã*Í�È�Ê�Î�È�Î�Ì�ÃÈ�Ü�Õ)Í�ÈSÃÏ�Ã*ÒqÓPî�É�Ì�ÃÉ�Ï�ÃÌ*Û-Õ)Ò�Í�É ÅRÏ�Õ)Ò%ÄTÈ�Ê%òÍ�È�ÌGÕ)Ò�Ä�Ë�Ã*ÅDÇhÃ*æjÆ�Î�È�ÕRÉ Ò�Í8ÕRÈPÜ�Õ)ÅDÅ�Â�Ã�Ø�É Í�Í�Õ)Â-ÅRÃÈ�É Ë-Ò�Ç0Ñ'É Ò�Í�ÕDÍ�È�Ã*ÒAÈUÍ�É Å)Æ%È�ÕRÉ Ò-ÍSÂjç0Ì�Ã*Í�È�ÌGÕDÑ'È�Õ)Ò%ÄFÉ Ò%Ã*Í�Ã*ÅRÐ�È�É È�Ê%Ã�È�Ü�Õ)Í�ÈXÃÏ�Ã*Ò�Í�Æ%Â-Í�Ø`Î�Ñ'ÃÉ�Ð�È�Ê%Ã�Í�È�ÌGÕ)Ò%ÄFË�Ã*ÅDÇqÓïQð ½ñ�À*¼Dò*½ Ó�óxÃÈ�È�Õ)Ò%Ä ÞXô Ç%Ã*Ò%É�È�Ã�È�Ê�Ã Þ Ã*ÕRÄ�Ã*Ò�Ï�Î�ÅDÆ%ÃiÉ�Ð�õ�Û-Í�Ê�É!ÜIÈ�Ê�Î�È

ö õL÷�ø�÷$ùLú�â ÞXô�Þ�ûcÞ+ü8ß�ý�ä á ôfûxþqû|üqþqü�ôfþ�ÿ ö ùV÷�ø�÷�õ²ú`ê ß�ä�� á

ïQð ½ñ�À*¼Dò*½ Ó�óxÃÈ Þ õ���â��²õ Î�Ò�Ç�� ß õ��cáQâ ä Ó�%Ê%É!ÜIÈ�Ê-Î�Èö õ þ ÷�õ þ ÷�õ��úcâ �8ê ß�ä�� á

ïQð ½ñ�À*¼Dò*½ Ó���òÜ�Õ)ÅDÅ�Í�Ê%É�Ü<ÅDÎ�È�ÃÌPÈ�Ê-Î�ÈPÈ�Ê�ÃVÍ�È�Î�Ì8Ø�ÌGÉjÇ�Æ-Ñ'È�É�Ð|È�Ê%ÃVÏ�Î�ÑÆ�Æ�× Ü�ÕRÈ�Ê�ÕRÈ�Í�Ã*ÅRÐÕ)Í8È�Ê%Ã�Ï�Î�ÑÆ�Æ�× Ø`Å)Æ�Í�VÕ)ÌGÎ�Í�É�Ì�É Ç%Ã*ÍGÑ'Ã*Ò�Ç%Ã*Ò�È�Í��

� �Aú�à � �AúQâ � �Aú|ã ����� ß�ä · á

��Ê%É!ܬÈ�Ê�Î�È+È�Ê�Õ)ÍXÕD×KØ-Å)ÕRÃ*ÍPÈ�Ê�Î�È�È�Ê%ÃiÏ�Î�ÑÆ-Æ�׫Õ)Í8È�Ü�Õ)Í�È+É�Ç�Ç��

Þ � �AúQâ ý � �Aú$ê ß�ä�� á

Ô+Ê%Ã�Î�ÅRÄ�ÃÂ�ÌGÎJÉ�Ð�Í�È�Î�ÌKÊ�Î�ÍFÎ�ÒHÕ)Ç%Ã*Ò�È�ÕRÈ�ç�Ã*Å)Ã*×KÃ*ÒAÈÛSÆ�Í�Æ�Î�Å)Å)çJÜ+Ì$ÕRÈ�È�Ã*Ò7Î�Í��UÓ��PçÇ%ÃË-Ò�ÕRÈ�Õ)É ÒqÛ�È�Ê-Õ)Í+Í�È�Î�È�ÃLÍGÎ�È�Õ)Í�Ë�Ã*Í

�eà�õIâ<õ5à��lâ<õ7÷ ßNè �Aá

ÐíÉ�ÌiÎ�Å)Å�Ì�Ã*Î�Í�É Ò-Î�Â-ÅRÃKÍ�È�Î�È�Ã*Í�õ�Ó��jÉ ×KÃFØ�ÌGÉ�ØfÃÌGÈ�ÕRÃ*Í�É�Ð��IÎ�Ì�ÃKÕ)× ×KÃ*Ç-Õ)Î�È�Ã*ÅRç�Ç%Ã*Ç�Æ-Ñ'Ã*ÇÐíÌ�É ×«È�Ê%Ã�Î�Â�É!Ï�Ã�Ç�ÃË-Ò�ÕRÈ�ÕRÉ Ò

� Õ)Í�ÝVÌ$Î�Í�Í�× Î�Ò�Ò�ÃÏ�Ã*ÒqÛ�Ä Ê%É Í�ÈUÒ�Æ�×�Â�ÃÌ �ÃÌ�É%Û-È�Ü�Õ)Í�ÈXÉ�Ç�Ç(Í�È�Ì$Õ)Ò%ÄFË�Ã*Å)Ç ßNè�ä á

Page 9: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

!#"%$'&)(+*%,.-0/21436587�$95�-�:'1;*<,4-=/8:>1@?+*�A�& /05�B�*C? DEDEF

GIH9JLKNMPORQSK T6UVUXWVYZTEW[J�YZK]\_^4Ta`R`)TbMcQ ^4YZTadeKZH9J�K]McORQSK WVYfTEWgJ�YfKN\8TE^hW>YZT0U>iVjkKZQl�monqpsrLtvuwmCx�y�tfz {[|�}bm~l rLt�p�m~l�n t�u�x�m~l rLt�p�m~l�n t'� m~�E�at

� OR�VjkJ�KZH9J�`RJ�^.KIHV�E�>U2QZORU9J�ORQ �E`�QST��Si>QSK m~l rLt O)KId�iVQSK ^4Ta`R`)T�M�KZHV�+Kl�n�u�x�n�� m~� D t

GIHVORQPORQcjkTa�VQfORQSKSJ��=KPMcORKZH�KZH9J�^4�EjkK�KZHV�+K�KZH9J �6�sm~�0����t � �Ej�iViVd�ORQc�E`�QST�K]McORQSK�T0U>U��� �VUVJ�J�U�KZH9J�ORU9J��=KZO)KN\�QSKSY<OR�9���>J�`RU�ORQ��Si>QSKvKZH9J � �Ej�i>iVd�W>`�iVQv��O)Yf�EQSTEYfT�U9J�QZjkJ��>U9J���KZQTE^�KZH9J � �Ej�iVi>d � �EQIMJ�QZHV�E`�`gQZJ�J�`R�+KSJ�Y��

� OR�V�E`R`)\ � `)J�K�i>QPYfJ�d��+YZ �KZH>�+K��E��\¡U9J�YfO � �+KZO)Ta�¡¢£TE^#KZH9J�QSKZ�+Y��E`R�EJ�¤VYf�2QZH9Tai>`RU�E�V�VORHVO�`R�+KSJPKZHVJ�ORU9J��=KZO)KN\g¥

¢ mon¦psrLt�uwm ¢ n§t�psr©¨�n¦p ¢ rªuwm ¢ n t�psr©¨ ¢ r«� m~�­¬=t� OR�VjkJIKZHVJc`)J�^4KsHV�E�VU�QZORU9Jc�E`�QST�J�®0iV�E`RQ#¢ r�� Ta�9JPjkTa�Vj�`RiVU9J�Q#KZHV�+K m ¢ n§t9p�r u ¯ ^.TEY�E`R` r�� �E�VUqKZH0iVQ�KZH9J�Jk°6W[J�jkKZ�+KZO)Ta�qKZHV�+K�¢ n�u�¯ ��±qJ�McOR`R`�QSJ�J�KZHV�+K�QSTad�J�KZORd�J�QQZi9¤VKZ`)J�Jk²[J�jkKZQcW>YZJ � J���KcKZHVORQ§^4YZTad³¤[J�OR�9�´KZH9J�j��EQZJE�

µ�¶.· ¸«¹]ºv»9¼a¹N½�¼E»V¾=¿ ½6À�¿ÂÁsÃv¼+Äg¼a¹@À�º#Å� J�K#iVQ�O�`R`RiVQSKSY<�+KSJ§QZTad�JITE^gKZH9JcQSKSYfi>jkKZi9YZJ§¤=\��LQZ�Ed�W>`)JIjkTad�W>iVKZ�+KZO)Ta��TE^gKZH9JcQSKSYfO��9��EjkKZO)Ta��KSYfiV�Vj��+KSJ�U�KST�KZH9J_Æ�J�YfT¡d�Tad�J���KZi>d£KZ�Ej<H�\ETa�ÇQSKSYfOR�9���VJ�`RUªÈ É�Ê uÌËCÍ } È ¯ Ê<�Î J�YZJ�MJ�J � �E`RiV�+KSJ�KZH9J� 6OR�9J�KZORj�KSJ�YfdÐÏ.ÉPÑ<Ò�É�Ê<��G�T_KZHVORQIJ��>U�MJ��9J�J�UÓKSTXiVQSJ�KZHVJ�9TEYfd��E`RORÆ��+KZO)Ta�2jkTa�VUVO)KZORTa�

Ï ¯ È Í�Ô } ÍkÕ�Í } È ¯ Ê u�y Ñ m~�EÖatMcHVORj<H�ORQ��+WVWVYZTEW>YfOR�+KSJsOR^9MsJ HV� � J§jkTad�W>�EjkKZO)�VJ�U��E`R`0jkT=TEYfU>OR�V�+KSJ�Q m OR�Vj�`Ri>UVOR�9� KZORd�J t �× KZH9J�YZMcO�QSJIKZH9J��+¤[T � JLOR�V�9J�YsWVYZT6UViVjkKvMTaiV`RU_�9J�J�UXU9J�`)KZ��^4iV�>jkKZO)Ta�VQ#�EQfQST0j�O��+KSJ�U_KSTd�Tad�J��=KZiVd2�

GIH9JXKZ�EjfH=\ETa�Ø�>J�`RUÙORQ´QZ�EORU�KSTq¤[J8TE^�`)J � J�`§Æ�J�YZT9�ÙGIH9J2`)J � J�`Ú8TE^��¡QSKZ�+KSJ�O�QYZJ�`R�+KSJ�U2KST�KZHVJ�Û Õ J�O)�EJ�� � �E`Ri9J��EQ

Ú u Û Õ#¨ y�� m~�EÜat

!v"=5�*CÝ�,�Þ�5�ߧà O � J�� Í+m;á0tvu�â¦ãåäNæç æ�è=é QfH9T�M�KZH>�+KÏ ¯ È ÍEm;á } têÍ+m;ábëbtêÍEm;á�ìbt È ¯ Ê uwm;á } xíá�ë�tkm;á } xíá�ì�tkm;á�ë xíá�ì�t m~�aîEt

ï TbMðKZH>�+K�MJ_d�iVQSK�jkTad�W>i9KSJ_�Ó®=i>�E��KZO)K]\qWVYZJ�j�ORQZJ�`)\ÓMJXQZH9TaiV`RUqd��+ EJ8j�`)J��+YKZH9J�ñ � GªU9J��>�>O)KZO)Ta�XTE^hKZH9J�OR�V�VJ�YW>YZT0U>iVjkK

Page 10: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ò­óaô õ�öh÷�ø�ù@ú�ûZü�ýkþ

ÿ ú����Vù��;ù��������� �������������������� ���! #"#$�%�$&����('*),+�).-�/1032545687:9<;>=�?A@<BDC�/E9<;GFH3I /17 IJH $K%L$�MN/E$ H ;O$:PNC� Q /EM�$R;SB�TO%L/1U�BD%LVXWO$RY1Z\[]���^�59�_`Z�/1Ua$R;O0�/19<;cb�F�/EC I B�0dBXUa9NZO$�$:PNT�B�;�0�/E9<;[]���^�e�gfLh [ h� h�ikj + [ h �gl b^�mDn � hDikj!ipo [p���N�q ��m�r<�

s $�ZA$�W�;O$�t�u���t[ h �wvgl byxmDnkz x

h�ikj:{|o []�}x~� H /EC I x����S�� q ��m��<�� 9�C~$�C I BDC(C I /10X0L/1UaT�YEV�ZA$�W�;O$R0�C I $�2�456g7:9<;D=~?A@<BDC�/19<;�9�_KC I $\9<0�7�/1Y�Y1BDC~9�% H /1C IC I $K0�B�Ua$�_}9�%LU&?OY1B�B�0dC I $�9<0L7�/1Y1Y1BDC~9�%d/EC�0�$RYE_���m�r<���?AC5%�$�_�$�%L%�$RZJC~9XBa7:9N9�%LZO/1;OBDC~$KBDC���g�� e� I /10�/1;^C~$�@�%LB�YG/105$�MDB�Y1?OBDC~$RZ\�^VJ?O0�/�;A@�C I $�C~%LB�;O0~_}9�%LU�BDC�/19<;SY1B H[]�}x~�:��byx~� j �g[]���^�:��by�N� j q �~ò+ôy�s $�C I $�%�$�_}9�%�$�@�$�C

������t[ h ��v���l b^�mDnkz ��<��� � ��G�h�ikj:{|o []���^�:��� � � j q �~ò � �� I $XU�/�;^?O0�0L/E@<;�/1;�_}%�9<;^C�BD%L/�0~$R0�_}%�9<U�B\%�$�M�$�%L0�B�Ye9�_d7:9<;yC~9<?A%�9�_d/1;^C~$�@�%LBDC�/E9<;���B7:9<;yC~9<?A%J7�/E%L7�Y�/1;A@�xc�£ô87�YE9*7�� H /10~$\7�/1%L7�YE$R0���� ô�7:9<?O;^C~$�%L7�YE9 H /10~$��! ��S9�%L$�9�M�$�%C I $�C~%LB�;O0~_}9�%LU�BDC�/19<;SY1B H�H B�0d?�0~$RZ.C~9�%�$�$:P*TO%�$R0L03[p�}x��5/1;JC~$�%!U�0�9�_`C I $�WO$RY1Z\[]���^�H3I 9<0~$KUa9*ZA$�$:P*T�B�;O0�/19<;./10�@</EM�$R;| ¡ A/1UaT�Y1/1_�V*/1;A@KC I $�/1;^C~$�@�%LB�Y|9<;A$KW;OZO0������t[ h �����¢� � � h�ikj [ {Oh �~ò�m<�� I /10w$R£N?OBDC�/E9<;cZA$�W�;A$R0¡254�6.7:9<;D=~?A@<BDC�/19<; H3I $R; H $¤0�?ATOTYE$RUa$R;^C�/EC H /EC I C I $3%L?�YE$���� � [ hy¥|¦�¦�¦ [ h�§ � ôy� � ��;ô�� �����t[ h^¥ � ¦�¦�¦ �����t[ h�§ �q �~òEò<�� I /10|_}9�%LU&?OY1Bd/�0G7:9�%�%�$R7:C`B�0p0�C�BDC~$RZ&B�Y�0~9 H3I $R;�C I $e9<0L7�/1Y1Y1BDC~9�%L0pBD%�$¡B�;^C�/17:9<U�U&?AC�/1;O@A � I $�9<;OYEV�7:9<;�ZO/EC�/E9<;�_�9�%S/1C�0JM>B�Y1/�ZO/EC�V�/�0cC I BDC.C I $�M>BD%L/19<?O0JUa9NZO$R0 H /EC I Ua9NZO$;^?OU��k$�%L0w9�_|C I $¤0�B�Ua$¤0�/E@<;XU&?O0~C�7:9<U�U&?AC~$��}9�%5B�;^C�/17:9<U�U&?AC~$��! �¨¤C I $�% H /10~$d254�67:9<;>=~?O@<BDC�/E9<;.TO%�9*ZO?O7:$R0�BX0~$R£^?O$R;O7:$K9�_`9<0�7�/1Y1Y�BDC~9�%L0�/1;J%�$�M�$�%L0�$K9�%LZA$�%R © ;A9<;^C~%L/EM*/1B�Yw$:PAB�UaT�YE$c9�_�C I $cBD�k9�M�$(%L?OY1$R0KBD%L/10~$R0 H3I $R;�C~%�V*/1;A@SC~9�ZA9�254�67:9<;>=~?O@<BDC�/E9<;�9�_3C I $cUa9*ZA$R0&ª h 9�_dC I $(0~C~%�$R0�0�C~$R;O0~9�%� �«�M�$R;¬C I 9<?A@ I C I $(0~C~%�$R0�0C~$R;O0~9�%�­&���N�5/10�;A9�C3B�T�%L/1U�BD%�VXWO$RY1Z|FA/EC�C~%LB�;�0~_�9�%!U�0�B�03B�TO%!/1U�BD%�V(?O;OZA$�%3 *Y���mNF¯®3�C~%LB�;O0~_}9�%LU�BDC�/E9<;�0eB�;OZcC I $�%�$�_}9�%�$#/1C¡ZA9N$R0eC~%!B�;O0~_}9�%LU°B�0�B�Z�/1Ua$R;O0�/19<;�C H 9&T�%L/1U�BD%�V?O;OZA$�%�C I $K/�;yM�$�%L0L/E9<;.;A$�$RZA$RZS/�;.C I $KZA$�W�;�/EC�/E9<;(9�_w2�456] O� I ?O0 H $ I BRM�$�t�u����ª h �����¢� � � h ª {Oh q �~ò­ó^�

Page 11: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

±e²´³µE¶D·´¸�¹Nº.»}¼*½(¾p³A½�¹�¿»�·!¸}¹^º(¿�»tÀD·ÂÁ¤µ ºN½�Ã�·¢À Ä>ÅOÆÇDÈOÈ�É1ÊEËRÌ(Í~ÎXÇXÏ~Í~ÐLÊ1ÑAÒ�Î�Ó`Î<Ï�Ô�Ê1É�É1ÇDÍ~Î�ÐLÏ5Õ�Ë�Ö�×�Ï~Í�ÕdÐLÊEÍ~ËØ�ÙÚpÛ´Ü�Ý^Þ|ß�ß�ßLÜ�Ý�à*á âyãåäcæ�ç�â�á Ø�ÙÚè�Ü�Ý�à�éß�ß�ß´Ø�ÙÚ�è�ÜeÝyÞ!éê è Ä�ë é

ì Ê1ÑOÔ:ËwÍ�íOËeÌOÊ1ÖaËRÑ�Ï�ÊEÎ<ÑÂÎ�Ó*Í�íAË�Ò<íAÎ<Ï�ÍGîOËRÉ1ÌKï è�Ú^é Ê1ÏGÖ�Ê�Ñ^×OÏkÎ<ÑOË�ð>Õ�ËeíOÇ�ñ�Ë Ø�ÙÚ�è ï�ò éwæè¢ó Æ é òõôpò ï�ö|ò æ ï�ö|ò3Ç�ÑOÌ.Í�íAË�Ð�Ë�Ó}Î�Ð�Ë Ø�ÙÚè ï�ò á âyã~é¡æ�ç�â�á ï�ö|òR÷�øùÊEÍ�í.Í�íOÊ1Ï5Õ�Ë�íOÇ�ñ�Ëç�ú3û!ü¤úÂãeæ�ýåþ�ç�â�á ï�ö|ò ü ï�ò á âyãê è Ä�ÿ é� ËRÔ�Ç�×�Ï~Ë�Î�ÓwÍ�íOËKÓ�Î�Ð!Ö Î�ÓwÍ�íAË&Ê1ÑOÑAË�ÐdÈ�Ð�ÎNÌ�×OÔ:Í�Î<ÑOÉ��JÍ�íAË�Í~Ë�ÐLÖ ï�� Ü ��Ê1Ñ ü Ô�Ç�Ñ�Ô:Î<Ñ��Í~ÐLÊ���×AÍ~Ë�Ç�ÑOÌSÕ¡Ë�í�ÇRñ�Ëç�ú3û!ü¤úÂãeæ�ý þ ç�â�á ï�ö|ò!ï�� Ü �:ï�ò á âyã�æ�ódý þ ç�â�á ï�ö|ò!ï��:ï�ò á âyãeæ�ó�ý þ ê è Ä� é íOÊ1ÏwÔ:Î<ÖaÈÉEË�Í~ËRÏwÍ�íAË3Ô:Î<Ö�È�×AÍ�ÇDÍ�ÊEÎ<ÑaÎ�ÓkÍ�íAË��N×OÇ�ÌAÐ!ÇDÍ�Ê1Ô5Í~Ë�ÐLÖ°Ê�Ñ�Í�íAË�Í�Ç�ÔLí ��Î<Ñ(ÈuÎ�Í~ËRÑ��Í�Ê1Ç�É�÷ íAËÂÑAË�Ò<ÇDÍ�ÊEñ�Ë�Ï�ÊEÒ<ÑcÎ��OÍ�Ç�Ê1ÑOËRÌcÊ1Ï¡Í�íAˤË��NÈkËRÔ:Í~ËRÌ(Î<ÑAË�ðAÏ�íAÎ�Õ3Ê1ÑAÒ�Í�íAËÂÊ1ÑOÏ~Í�Ç���Ê�É1ÊEÍ��Î�ÓpÍ�íAË ýwæùâ îOËRÉ1Ì.Ô:Î<ÑAîOÒ<×OÐLÇDÍ�ÊEÎ<Ñ|÷� ����� �������� "!# %$&�'$)(*!,+-�.$0/1�2�'34!657 8�-9:34!6;<5 íAËKÖaÎ<Ï~Í#ÌOÊEÐ�ËRÔ:Í�Õ5Ç=�JÍ~ÎXÌAË�îÑAËKÏ~Í�ÇDÐ#Ê�Ñ?>A@ É1Ç�ÑAÒ<×OÇDÍ~Ë�Ê1Ï5Í�íAÐ�Î<×AÒ<íSÍ�íAËKÐ�ËRÉ1ÇDÍ�Ê1Î<ÑÒ<ÊEñ�ËRÑSÊ1Ñ è Æ�Æ é ç�B¬û4C�ûED�ã�F ç�B�û6CHGAD¬ãê è Ä�I éø Ë\Õ3Ê1É�É�ÌOË�î�ÑAË ç�B¬û4C�ûED�ã ð�Ç�ÑOÌ�Ï�Ê�ÑOÔ:Ë.Í�íAË\Ê1Ñ�ÑAË�Ð�ÈOÐ�Î*ÌO×OÔ:Í�íOÇ�Ï�Ç�É1Ð�ËRÇ�Ì��J�kË�ËRÑÌAË�î�ÑAËRÌùÇ�ÑOÌùÊ1ÏJÑAÎ<Ñ���ÌOË�Ò�ËRÑAË�ÐLÇDÍ~Ë�ð¤Í�íAË Ç��uÎ�ñ�Ë Ð�ËRÉ1ÇDÍ�ÊEÎ<ÑùÌAË�îÑAËRÏ(Ó�Î�ÐS×OÏ(Í�íAË Ï~Í�ÇDÐÈOÐ�Î*ÌO×OÔ:Í�÷>�Î<ÑOÏ�Ê�ÌAË�Ð5Í�íAÐ�Ë�Ë�Ï~Í�ÇDÍ~ËRÏ B�û%C(û Ç�ÑOÌ D Ç�ÑOÌ.Í�íAËRÊ1ÐdÇ�Ï�Ï~Î*Ô�Ê1ÇDÍ~ËRÌSñ�Ë�Ð�Í~Ë��.Î�ÈkË�ÐLÇDÍ~Î�ÐLÏKML ð KON ðOÇ�ÑOÌ KOP ÷wø Ë�ÌOË�î�ÑAËçQB�û%C(û8D�ãRFTS�U,VòXW KOL è�âyé!ûYU,Vþ W KON è�âyé!ûEU,VZ W K[P è�âyé8\ V ê è Ä�] é^ Ë�Ð�Ë#Í�íAˤÐLÊEÒ<í^Í_��íOÇ�ÑOÌ�Ï�Ê�ÌAË3ÌAËRÑAÎ�Í~ËRÏ�Í�íAËM>A@ Ô:Î�Ð�ÐLËRÉ1ÇDÍ~Î�Ð5Î�Ó|Í�íAË#Ô:Î<ÑAÓ}Î�ÐLÖ�Ç�ÉÍ~ÐLÇ�ÑOÏ"�Ó�Î�ÐLÖXÏ3Î�Ó�Í�íOË�ñ�Ë�Ð�Í~Ë���Î�ÈkË�ÐLÇDÍ~Î�ÐLÏ K L ð K N ð|Ç�ÑOÌ K P ÷ íOË�Ô:Î<ÑAÓ}Î�ÐLÖ�Ç�É]Í~ÐLÇ�ÑOÏ�Ó�Î�ÐLÖXÏÇDÐ�Ë�Ï�ÈuËRÔ�Ê1îOËRÌ[�`�KÍ�íAË�Ó�×OÑOÔ:Í�ÊEÎ<ÑOÏ Uba Ç�Ï]Õ�Ë�Ë��*È�É1Ç�Ê�Ñ�ÑAÎ�ÕK÷dc Ë�Í`Í�íAË�Ð�Ëe�uË�Í�íAÐ�Ë�Ë5Ô�Ç�ÑAÎ<Ñ��Ê1Ô�Ç�ÉwÔ:Î^Î�Ð!ÌOÊ1ÑOÇDÍ~ËRÏgf a ðGÕ3ÊEÍ�íih æ Æ ûYjNû Ä ÷ íAË�Í�íAÐLË�Ë&Ó�×OÑOÔ:Í�Ê1Î<ÑOÏ Uba¢è f até ÌAË�î�ÑAË�Ö�ÇDÈ�ÏÓ�Ð�Î<Ö,Í�íAË�×AÈOÈkË�ÐÂíOÇ�ÉEÓ�ÌOÊ�Ï"kNÏgl è f atégmgâ*û�á f aLá6n Æ Ê1Ñ^Í~Î(ÇJÌOÊ1Ï%kpo�ðkÕ3Ê1Í�í\Í�íAË&ÈkÎ<Ê1Ñ^Í�Ïf a æ�â �kËRÊ1ÑAÒ�Í�Ç�k�ËRÑ�Ê�ÑyÍ~ÎaÈkÎ<Ê1Ñ^Í�ÏdÊ1ÑJÍ�íAË[�uÎ<×�ÑOÌOÇDÐ%��Î�Ó`Í�íAË�ÌOÊ1Ï"ku÷ íAËKÖaËRÇ�Ñ�Ê1ÑAÒaÎ�ÓÍ�íAËdÔ:Î<ÑAÓ}Î�ÐLÖ�Ç�ÉAÖ�ÇDÈaÎ�ÓuÎ�ÈkË�ÐLÇDÍ~Î�ÐLÏwÊ1Ï`Í�íOÇDÍrq Uba W KOL è�âyé ¸tsd»}¼*½Â¶!³A½�·¢À�»t¶�· KML è f a|æùâyé½�²´³u·~½�sYs�½Yu ¸}¹�»�½:·wvxsJ¶_y(µE¶=zLÀDµ3¶´³A½:·~À�»t¶D·8s\À�» Uba¢è f a¤æ âyé ÷ íAË(ÌOÊ1Ï"k�o Ö�Ç=� íOÇRñ�Ë

Page 12: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

{b|~} �&�d�7�������%�~����%���������Y�����<�?�4�����O�����%�E�7���x�r���¡ #���%���*¢Q����������Y����£�£�¤i�=¥`����¦���£��=�~�8§M��¨�¨#�r�O����£��¨4£��������6���M���~¤p���%���r�g���Y 4���"�Y���%¤©�����Y�©ªO«&�R������8�"���#�%���x�4�����0�4���"�©�����i�%���-��¨�¨#�r�����£��¬¨E£������O���%�O�"¨#�=�r����£­£�¤®���� ¦��=�����=� ����������¯`¨E£����r���<�����¨4���%���%������rª° ���2�%���0± °³² �����������7���%���<´µ���8£����%���r�r�%�R���E�%���<�%���%�r���"�"�Y����¶�����%���%�r¨��Y�=�"�=�~�"�=����M�%�����������g�4��£���· �4���"���[¸`¹ ºr»%¹½¼¿¾�À8ÁºiÃÅÄ`Æ�½Ç)Èɾ�À } À { �����*�%���%�r������¨4���=�M���µ�%��������¨4£���¯Ê¨4£�������ª ² ���� #����4�����Y���=��¹ ºr»Y¹#È˾����Ê�%�����%�=�"¨#�=���%��¦�����¨�¨#�r�O����£��tÌ������"������%�[Í ���)Î ÍQÏ ��Ð Ñ�Î ª ² �`�����%���<¨#���� ��ºr»,ÈÒǽ���³�%���0�"�"�Y����¶M���­��¨#����~�rª ² ������� �"�r�Y�����%�������rÓ4������¶©�%����¦��r�%�"��¯Ô���M 4���­£��*  ¤Ê¶£­������¶©�%���®�%���%�r�1����£��tÌ������"���g�"�Õ�����Y�:�?�%����¶£�������"�6ª ² �����<���<������M�%���O�%���Ö����£��tÌ��"�"�Y����¶-�����=� �%��Ó4�r���%������r×

º�Ø%º=Ù�ÈÛÚO¾³À �t���&¹ º�ØܹÈݾ�ÀEÞO¢�º�Ø8§e¼ßĺ=Ù�º=à�ÈÛÚO¾³À �t���&¹ º=Ù¹Èݾ�ÀEÞ�¢�º=Ù=§A¼ßÄ ¢ | Ä~§º=à�º�صÈÛÚO¾³À �t���&¹ º=à¹Èݾ�ÀEÞ�¢�º=à=§A¼ßÄAá

â ���"�Ö�%�������%���[���������?��� �"�r�Y�����%����?¨#����~��ã��4�������4���r�=�ºr»¬È�Ç&¢������)ÇRÈÛ¾�À } À { §8��������=£�¤��%���O�����`·~¨#���� �2���½�=���Y�©��¨#�=�©�"�"�Y�­��¶©¹ ºr»%¹ÈÛ¾�À#Á1ºr»dÃXÄ�ª ² ���M£��r���A�4��£��7����%����Ó��Y�%�R�"�"�Y����¶O�­��¶£����=��´0���%�-�%�����Y��¶�~�2�4��£��4���#�%���)�%�=��������"�"�8����¶��~�������%���)�%����������%�r¨#�=���"�=�*��¤��r£����r��£�£�¤�ª ² �����)����4�"�"�Y�����%����i���rÓ4���=�)�1�"¨#�=�r��Ó4�-äå�%���Y�r�w·~¨4�������%���Y�=������"�6æ��,�®¶��=�`���gçr�r�%�pè0���=�������*�%���%�������x´)���%�*�1 #����������Y¤��6�%���%�r�������%���=�*¨#���� �%�¢�¨4�������%���Y�=�8§g��é�%�����[ 6��4�������%¤��³�����Ô�?�Y��������®���0£��`�r��£e���`���Y���������"�=�Öºr»����%����4��=���Y�p¨E�������%���%��ª² ���Â�r��£��r��£����%����é���0�%���Â���4�����%������-ê,ë» ¢�º§[�%�=¥`�����Y�®�Ê�Y��������Â���0�����%��ìÖª�íÊ� 6�r¶�­�Õ´0���%�?�%�����r���"��´)���=�i�%���������%�?ìî���g�%����¨4£�¤Â�8����"�=�Ê�"�© #�x�%������� �"�r�Y�����g����%�����������g�����%�Ô¹ ï-¹¬ð¿¾�ª-ñ_�*�%�����M�r���"���%���������4���%������Mê ë¬ò» ó êb»e�Ö���%�g����¨��=���Y�����£��tÌ������"�©�"�©�*¾ } Äôx´µ�=��¶��x���µ�%�����g�������0�����%�Eª ² �©������"�"�Y�����g�%���-��¯�¨4£����r���0����¨4��%�����)�"�=���pºr»½�"���%���Mïõ¨4£­������������[�����%�­���=�<�%�������%���-±�öµ¢ } �ø÷�§µ�"�8�����"�����Y�����%����ù ¢Qú §RÈ ¾eûÔÇ�º

¾)ÚÊÇ�º À ¢ | ¾�§����¨4���%���Õ����������¨�¨#�r�_· ����£��&�����"��¸`¹ º4¹&¼ü¾�À8ÁeºÒÃýÄ`Æi�"�é�%����äå�8��¶�~�ræe����£��­· �����"�¸`¹ ù ¹�¼þ¾�ÀYÞ ù ÃXÄ`Æ��´)���%�©ú-ÈÒÄ�¶������¶��"� ù ¢QÄ~§2Èݾ�ª ² �`���A�%���O�Q�������%����4�

ê Ø�¢�º�Øw§ÿÈ �������� � ¾µûÔÇ�º�ؾ�ÚÊÇ�º�Ø �� À

ê�Ù�¢�º=Ù�§ÿÈ � ¾µûJÇ�º Ù¾�Ú�Ç�º=Ù� �� À

ê�¢�º=à=§ÿÈ � �������� � ¾µûÔÇ�º=à¾�ÚÊÇ�º à� �� À ¢ |~} §

Page 13: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

��������� �����������! #"$�% &�('����)���*�#'��,+ �.-/� �� 10&�2+ 35463798;:;:=<?>A@CBEDGF%>�DGF%HI>&>JF�K:�LNMOB�8;<?P!<QD?RSDGFCHG>&>J7�>AB%T>A<U8;@EDGF%>�VXW�:NK@%>YZ798�DGFEW�[�@C\�MDG[%HG>A<]K D_^�`�a)bc YZd Y$K@CBS^e�`�a)bc HI>A<?Wf>A\gDG8�h>A:�ijlkmFC8;<.<?Wf>A\&8�n�\&K DG8;Ro@pRL�DGF%>lL�[C@C\gDG8�Ro@�<q5r2s�t&r,u To8�h>A<�DGF%>9B%>&n�@C8�DG8�Ro@lRLfDGF%>9\&[Cv�8;\wh>&HGD?>gxfjZy2@zDGFC8;<{HI>&WCHG>A<?>A@*DGK DG8�Ro@U\gi!\&:;8;\&8;DOis ��|� A| Y=},~��&�)~w� �)~��&�]��},~w� �)~����)~/��� u 8;<]��K@C8;L�>A<?D]v�i�\gRo@C<?D?HI[�\gDG8�Ro@�jU�=i��!� s�� Y�� u8;@6h K HI8;K@�\g>Y�DGF%>&HG>zK HG>���K@*i�RDGFC>&H]W�Ro<I<G8�v�:�>_HG>&WCHG>A<G>A@6DGK DG8�Ro@�<.DGFCK D]To8�h>z>gx%K\gDG:�iDGF%>Q<GK�z>]R ���*<GF%>A:N:�K�zW�:;8;DG[CB%>A<&j� [C<G>&L�[C:=\IFCRo8;\g>�8;<�D?Rp�UK W�DGF%>#8N@6D?>&HIK\gDG8N@%TpVXBC8;<?PS<Gi�����>&D?HI8;\&K:;:�i�D?R�DGFC>[%WCWf>&H=F�K:�L�� M,W�:NK@%>]��j�k9FC8;<=8;<=DGF%> \gRo@6h>A@*DG8�Ro@�DGF�K D�7�> <GF�K:;:f�zRo<?DG:�i�vf>][C<G8N@%T%j¡ >�\&K@¢DGF%>&HG>&L�RHG>_B%>&n�@%> DGF%>_L�[C@�\gDG8�Ro@C< q�£r v*i¤\gRo�zWfRo<G8N@%TzDGF%>Q>AK H):;8�>&H9��K W�< q5rs DGFCK D=<G>A@CBUDGFC>�FCK:�L�MOBC8;<GP�<�D?R_DGF%>�V¥[C@C8�D�BC8;<?P u 798�DGFUDGF%>.��K WJ¦ e � s V u �¨§�©�ª$e �ª�« �DGK P�8;@CT#DGF�8;<.[C@C8�D.BC8;<?P¢D?R�DGF%>z[%WCWf>&H2�*FCK:�LN�6W�:;K@C>Y�798�DGF(DGF%>zDGFCHG>&>lW�[C@C\gDG[%HI>A<�Ro@DGF%> HG>AK:�K5x%8;<&Yq £� s�t � u­¬ ¦ e �$® q � s�t � u �¥¯ s�q £� s�t � u?u

� ° 39±¨²3 t � ± dA³´ ° 3 t � � ± � 4 ²² d t � � ±¶µ¸· t �?¹&ºp»q £� s�t � u­¬ ¦fe � ® q � s�t � u �¥¯ s�q £� s�t � u?u �¼DGK@¤½ �3 K HI\gDGK@ s�t � u¿¾� �3 t �=§ d&À² d t � � ±¶µ¸· ����Á ºp»q £� s�t � u­¬ ¦fe � ® q � s�t � u �¥¯ s�q £� s�t � u?u� § ° 39±¨²3 t ��§ dA³´ ° 3 t � � ± � 4 ²² d t � � ±¶µ s�t � ¹ u » s 463 u

kmF%>UDGFCHG>&>UW�[�@C\gDG[%HG>A<_K HG>ÂK D q�£� s À u � ± ° 3 � q�£� s À u �XÀ!� q�£� s À u �ç ° 3 �$K@CBDGF%>��!� s�� YÅÄ u ��K W�¯ s � u �ÇÆ e�È �� «�È � Æ \gi!\&:�>A<�DGFC>A� s DGF�[C<�¯ ® ¯ ® ¯ s � u �É� u jkmFC8;<�\gRo�zW�:�>&D?>A<=DGF%>/B%>&n�@C8;DG8�Ro@�RL�DGF%>.<?D?HI8N@%T nC>A:;BÂDGF%>&RHGi�K\gDG8;Ro@�j ¡ FC>A@ÂDGFC>BC8;<?PJÊË8;<9WCHG>A<?>A@*D?>AB¢K<.KÂ[C@C8�DmBC8N<?PJDGF%>QL�[C@C\gDG8�Ro@�< q5r 8;@ s 3 ´ u K HG>_DGF%>QL�[C@C\gDG8�Ro@�<To8�h>A@�8;@l>AÌ�[CK DG8�Ro@ s 4 �ou j ¡ F%>A@zDGFC>mBC8;<?PQÊÉ8N<ÍWCHG>A<?>A@*D?>AB�K<{DGF%>m[CWCWf>&HÍF�K:�L�W�:NK@%>�ÎDGF%>QHG>A:�>&h K@6D�L�[C@C\gDG8�Ro@�<�8;@ s 3 ´ u K HG>QDGF%> L�[C@C\gDG8�Ro@C< q�£r To8�h>A@¢8;@ s 463 u K vfR1h>j�Z�* &�2ÏA�NÐA AÑ�Ò >&HI8�L�i#>gx�W�:N8;\&8�DG:�iÂv*i�K 0&Ó5Ô¿��+ ��Õ \&K:;\&[C:NK DG8�Ro@�DGFCK D�DGF%> nCHI<GD�DO7=RUD?>&HI��<8;@JDGF%> >gx!W�K@C<G8;Ro@JRL q £� K@CB q £� Y�K<97�>A:N:�K<mDGF%>]nCH)<?D�D?>&HI�Ö8;@ q £� K HG>Q\gRHGHI>A\gD&j��>&Dz[C<l@%R�7×HI>&DG[%HI@ØD?R�DGF%>#\gRo��W�[%DGK DG8�Ro@ERL9DGFC>#DGK\)F6iRo@ÙK\gDG8�Ro@�jSÚ%RHzRo[%H<?D?HI8;@%TlnC>A:NB�Û Ü.�Z�¼Ý2Þ��1Û À6��DGF%> 8;@*D?>&HIK\gDG8�Ro@¢D?>&HI�Î}�Ü9�2Ü9�2Ü]�=798;:;:�vf>]To8�h>A@�v�i}�Ü9�2Ü9�2Ü.�Z�ßÝ � }�Þ��A�GÞ��A�GÞ1��� » s 44 u

Page 14: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

à5áá â/ãåä�æ{ç,è1éGê6ëgìí!î;ïCðgñ.òGó%ñ ôñ&õIò?ñgöJ÷øfñ&õIù ò?÷õ/ùúGú?÷!ð&î;ù ò?ñAû¤ò?÷Âü1ý5þ ÿ���î;úmü��������CúIî;ï ��� à�� ���=ñ��mõIî;ò?ñ��

����������� ������� � �"!ý$# ü���ÿ�� �%�"!& # ü'��ÿ�� �%�"!� # ü���ÿ��(� !*) � á�+ �í!î;ïCðgñ.òGó%ñ�,�ñ.-;û�ü������wî;úmù�øCõIî0/�ù õ%1�÷�2{ûCî0/zñAïCúIî�÷oï3/Uî;ï��úw÷oï%ñ��4�=ñQóCùAôñü������5 � � ü'�76��5 6 8 ü��769�:� ü������;=<;=> ) � á�? �@ ó%ñ&õGñA2�÷õGñ

� # ü'��ÿ��CBßü��76D�ßÿ��:� ü�� � ��ÿ��(��FE ��ÿ�� ) � á�G �H úGîNï �¤ñ.IJCù òGî�÷oïCúK� á6à �Qò?÷�õGñAùûØòGó%ñÂô5ù�-0CñAúQ÷�2 � !ý ��ÿ��_ùïCû ;ML.NO;(> ��ÿ��P�=ñUòGó%ñ&õIñA2�÷õGñ�ñ&òA��2�÷õmñgö!ù�/�ø�-�ñ�� � !ý # ü'��ÿ��C� ü�� � !ý ��ÿ��(�� !ý E ��ÿ�� � ü��RQ à �S� ) � á�T �@ ó%ñ]÷òGó%ñ&õmòU��÷#î;ïCú?ñ&õIòGî�÷oïCú�ù õGñ û%ñAù�-;òV�9î�òGó�úGîW/�î0-;ù õ%-01��*ùïCûX�=ñ�,�ï�û

�������Y��� �Z� � ��[ ü��RQ à �S� � ü���ÿ��&� � ü���\YQ à �S� ] !� à �^�_ � ü�� Q à � ü���ÿ�� ü���\ Q à �(� ! � àa` Q à^'b � � á�� ��9ó%ñ&õGñ î;ïJòGóCñ�-;ùú?ò9ú?ò?ñ&øc��ñD/Uùû%ñ�Cú?ñ]÷�2V� ^9G �d�eP%õmùïCú(�=ñ&õ�î;úwòGóCñ&õGñA2�÷õIñQùú

����������� ��� Tgf Q à?5á ����B��h�jik� � � ü�ý � ü�ý � ü�ýl��� Tgf Q à?5á �min� ) � + ÿ��@ óCî;ú�ðg÷9/zøo-�ñ&ò?ñAú�òGó%ñQð&ù�-NðA4-;ù òGî�÷oïJ÷�2{ùï¤î;ï*ò?ñ&õIùðgòGî�÷oï¢ò?ñ&õ%/Xdp qsr:tvuxwVyvy{z}|�r}~�z��%r:y�����������r������ wV�v���"|Yw�z��Z�F|w����v�����"w������Yr:�F���=z}r:�� ó%ñAïzûC÷oî;ï �.ñgö�øo-;î;ð&î�òÍðg÷9/zø�%òGù òGî;÷oïCúZî;ï�e íg� @ �=ñmï%ñ&ñAûzò?÷ ðg÷oïCúIî;û%ñ&õZî;ï*ò?ñ&õIùðgòGî�÷oïCú÷�2C,Cñ.-NûCú/÷òGó%ñ&õ]òGóCùï�òGó%ñlòGùð)ó�1÷oï"d @ ó%ñlñgö�øo-;î;ð&î�ò.ðg÷9/zø�%òGù òGî;÷oïp÷�2�òGó%ñløCõIñ&ô�î�÷9�úú?ñAðgòGî�÷oïv�fñAðg÷9/zñAúZùD-�÷ò�/z÷õGñmî;ï*ô÷9-�ôñAû�2�÷õ:/�ùúGúIî�ôñ�,Cñ.-;ûCú.�oùïCûzî�òZî;ú}CúGñA274-�ò?÷P,�ï�ûùïUù�%ò?÷9/�ù ò?ñAû#øCõI÷�ðgñAû4CõGñ�ò?÷_û%ñAù�-��9î�òGó�ú%CðIóÂð&ù�-;ðA4-;ù òGî�÷oï�úAd}e]ï%ñ9ú=Cð)ó�øCõI÷�ðgñAû4CõGñî;ú#òGó%ñ�/zñ&òGó%÷!û ÷�2�ðg÷oïCú?ñ&õGô ù òGî�÷oïm-;ù��9úAd �/ï%÷òGó%ñ&õ¤î;ú#òGó%ñ�CúGñ�÷�2_ñgö�ø�-Nî;ð&î�ò3�C÷�ð%¡õGñ&øCõGñAú?ñAï*òGù òGî�÷oïCú#÷�2]òGó%ñpú?ò?õIîNï ��ôñ&õGò?ñgö�d @ óCî;ú¢�9î0-0-��fñ�÷9%õ#ú% �g£?ñAðgòÂ÷�2QîNï6ò?ñ&õGñAúGò

Page 15: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

¤:¥l¦o§M¨'©lª�«J¬X­7®g¯±°²¦ ¯A«n³o­�©ª7«�¬±³�­R´'©¶µ�§ ¬J¯�·A©�´ ¸a¹�º» ¼A½=¼�¾�¿�¼VÀ�Á0Â0Â�Ã4½=ÄÆÅJÁ0Ç4¼ÉȶÊ(¼.ÂMË�ÌÎÍjÄ9Ï�Ð=È�Á0Ï ¼.ÇvÇ ¼A½%Á0ÅaÈ'Ð=ÁMÄ9ÏÑÄ�ËoÐ=» ¼�Ò�¼.Ó4Ô¢È�Ï4Ï�ÍjÄ�¼AÕ¢ÍAÁ0¼.Ï�Ð=ÊÇ ¼AÖ�Ï4Á0Ï4×vÐ=» ¼DÐ=» ½%¼A¼ØÊ(Ð(½%ÁWÏ ×vÅ�¼A½=Ð(¼jÙcÚ�Ä�Ð=»cÁWÏXÐ=» ¼ØÔ¢È'Ð(Ð(¼A½¶È�Ï�ÇcÁ0ÏXÐ=»4¼D×9» Ä9Ê(жÊ(¼.ÍjÐ(Ä�½.¾Û ÏÜË7È�ÍjÐ3Ä9Ó ½±ÍjÄ9Ï�Ê(Ð(½%Ó4ÍjÐ=ÁMÄ9ÏÜÀ�Á0Â0Â�Ú�¼�Å�¼A½%ÝÞ×�¼.Ï ¼A½%È� ßVÈ�Ï4ÇàÈ'Ã4Ã�Â0Á0¼.ÊvÐ(ÄáÐ=» ½%¼A¼âÊ(Ð(½%ÁWÏ ×Á0Ï�Ð(¼A½È�ÍjÐ=ÁMÄ9Ï4Ê�Ä�Ð=» ¼A½YÐ=»4È�ÏXÐ=» ¼PÄ9Ï4¼DÓ4Ê(¼.Ç�ÁWÏcã�ägåçæP¾Û Ï�Ð=» ¼�å ÄgÍ=èmÊ(ÃoÈ�Íj¼n½%¼AÃ4½=¼.Ê(¼.Ï�Ð=È'Ð=ÁMÄ9Ï�Ä�ËDÐ=»4¼nÅ�¼A½%Ð(¼jÙF߶ÀɼkÔÑÓ4Ê(ÐKÖ�Ï�ÇàÈÞÊ(Ð=È'Ð(¼éRê4ë�ìJíXîðïáîðïáî Ê=Ó�Í%»KÐ=»4È'Ð�Ë7Ä�½VÈ�Ï�ݱå ÄgÍ=èXÊ(Ã�È�Íj¼�Ê(Ð=È'Ð(¼.Ê�ñDò=óôÈ�Ï4ÇcõðÄ9Ï ¼PÖ�Ï�Ç4ÊÐ=»4È'Ð é ñØò=ó±òõDö�÷ éRê�ë�ì ñPö%øWùUú ì óvö%øüû=ú ì ó�ö%ø ë ú�ý þ ºgÿ��ägÁ0Ï4Íj¼�ÀɼcÃ�½=Ä�ÅgÁ0Ç ¼.ÇàÁ0Ï þ ¸���� ÈáÇ ¼AÖoÏ4ÁMÐ=ÁMÄ9Ï Ä�ËPÐ=» ¼nÂM¼AË7Ð3»4È�Ï4ÇàÊ=Á0Ç ¼cÄ�ËPÐ=» ¼âÈ'Ú�Ä�Å�¼¼���Ó4È'Ð=Á0Ä9Ï"ß�Ð=» ¼�Å�¼A½=Ð(¼jÙ éRê4ë�ì Á0Ê}Á0ÔvÃ�ÂWÁ0ÍAÁMÐ=ÂMÝ�Ç ¼AÖoÏ ¼.Ç"¾�ã¶Ó ½�Ã4½%ÄJÍj¼.Ç4Ó4½=¼�À�Á0Â0ÂJÚ�¼�×�¼.Ï ¼A½%È�ÂÁ0ÏáÐ=»�È'ÐÑÐ=»4¼±Ë�Ó4Ï4ÍjÐ=Á0Ä9Ï4Ê��'þ�� � Ô¢È'Ã4Ã�Á0Ï ×âÐ=» ¼XÍAÈ�Ï Ä9Ï4Á0ÍAÈ�Â�»4È�Â0ËWÌÎÇ4ÁWÊ(èJÊDÐ(ÄkÐ=» ¼XÓ Ã4Ã�¼A½»4È�ÂMË�ÃoÂ0È�Ï ¼PÀ�Á0ÂWÂ�Ú�¼Pè�¼AÃ4Ð�È'½%Ú�ÁMÐ(½%È'½=Ý�¾�æ�» ¼A½=¼�Á0Ê�È�Ï�È'Ð=Ó ½%È�Â�È�Ï4Ê%È'Ð� �Ë�Ä�½�Ð=» ¼�Å�¼A½=Ð(¼jÙ��

éRê�ë�ì�� � þ é���ì ��� ù ��� � ø ë ú � þ é���ì ��� ù ��� � øüû=ú � þ é���ì ��� ù ��� � ø�ùUú �¼jÙgÃ��� ÿ�! #" $ % " &(' ù*) ø ú&,+ -$& % ) ø $ ú%/. ¼jÙgÃ�� #" $ 021435�1768 ø ú&:9 -$& % � ø $ ú%/. ý

þ º � �; ¼A½=¼ � Á0Ê�È�Ï Ä�½%Ô�È�Â0Á< .È'Ð=ÁMÄ9ϱË7È�ÍjÐ(Ä�½.ß ÀY»4Á0Í%»±À�ÁWÂ0Â�Ú�¼¶Ç ¼AÐ(¼A½%Ô�ÁWÏ ¼.ÇKÊ=» Ä�½=Ð=ÂMÝ�¾ Û ÏKË7È�ÍjÐAßÁMÐ=Ê:Ç ¼AÐ(¼A½Ô�Á0Ï4È'Ð=ÁMÄ9Ï3Á0Ê�¼.Ê%Ê(¼.Ï�Ð=ÁWÈ�Â0ÂMÝ�Ð=» ¼�Ð=È�Í»�Ý�Ä9ÏXÍjÄ9Ô�Ã�Ó Ð=È'Ð=ÁMÄ9Ï3Ä�Ë"Ð=» ¼�Ã�½=¼AÅJÁ0Ä9Ó4Ê:Ê(¼.ÍlÌÐ=ÁMÄ9Ï"¾>=�Ä�½%¼AÄ�Å�¼A½.ß�Ï4Ä�Ð(¼YÐ=»4È'Ð�Ð=» ¼�Ï Ä9Ï�Ð(½%ÁMÅgÁ0È�Â4Ä9Ê=ÍAÁWÂ0Â0È'Ð(Ä�½�Ç ¼AÃ�¼.Ï4Ç ¼.Ï4Íj¼�Á0Ï�Ð=» ¼¶Ô�È'Ð(Ð(¼A½Ê(¼.ÍjÐ(Ä�½�Á0ÊCÁWÏ�Ð=» ¼YË�Ä�½%Ô Ä�Ë�È�Ï3¼jÙJÃ�Ä9Ï ¼.Ï�Ð=Á0È�Â�Ä�Ë�È?�JÓ4È�Ç ½%È'Ð=ÁWÍVË7Ä�½%ÔX¾}æV»4Á0ÊCÁ0Ê:ÈØ×�¼.Ï ¼A½%È�½=¼.Ê=Ó4ÂMÐÉË7Ä9Â0ÂMÄ�ÀYÁ0Ï ×DË7½=Ä9Ô Ð=» ¼¶Ë7½=¼A¼¶Ö4¼.Â0DZÃ4½=Ä�Ã�¼A½=ÐUÝ�Ä�Ë�Ð=»4¼�Ô�È'Ð(Ð(¼A½A@�åçæP¾ ; È�ÅJÁWÏ ×AB(Ó4Ê=ÐÈC��Ó4È�Ç4½%È'Ð=Á0ÍÉË�Ä�½Ô Á0Ê�ÃFÄ9Ê%Ê=ÁMÚ�ÂM¼ÉÈ�Â0Ê(ÄPË7Ä�½}Ð=» ¼�×9» Ä9Ê(Ð�Ê=¼.ÍjÐ(Ä�½.ß�Ú�Ó4ÐçÁ0Ð�½%¼���Ó4Á0½=¼.ÊçÈPÍAÈ'½=¼AË7Ó�ÂÍ%» Ä9Á0Íj¼�Ä�ËoÅ'È�ÍAÓ4Èg¾}æV»4Á0ÊçÁ0ÊçÚ�¼.ÍAÈ�Ó4Ê=¼�Ð=» ¼A½=¼VÁ0Ê}È�Ê%Ó4Ô ½%Ó4ÂM¼É½=¼A×9È'½%Ç�Á0Ï ×¶×9» Ä9Ê(Ð:ÏJÓ4ÔØÚ�¼A½#DÁMËçÐ=» ¼DÅ'È�ÍAÓ4ȱÈ'½=¼ØÏ Ä�Ð�Í%» Ä9Ê=¼.ÏnÍjÄ9Ï�Å�¼.Ï4ÁM¼.Ï�Ð=ÂMÝ�ßF¼jÙJÐ(½È3Â0ÁWÏ ¼.È'½�×9» Ä9Ê=Ð�Ë�È�ÍjÐ(Ä�½%ʶÈ'½=¼ØÏ ¼.Íl̼.Ê=Ê=È'½=ÝcÁWÏcÐ=» ¼�Å�¼A½=Ð(¼jÙ�¾ÑägÁWÏ4Íj¼DÐ=» ¼�Å�¼A½=Ð(¼jÙkÊ(Ð=È'Ð(¼ éRê ë ì Á0ʶȱÚ4½%È¢ÀC¼vÓ4Ê=¼ØÄ9Ó Ð�ÌRÅ'È�ÍAÓ4ÈgßÁ0ϱÃ�È'½=Ð=Á0ÍAÓ4ÂWÈ'½�Ð=» ¼PÅaÈ�ÍAÓ�È é���ì ��� ù ��� ¾�æ�»4Á0Ê�Á0ÊE�JÓ4ÁMÐ(¼PÍjÄ9Ï�Å�¼.Ï�ÁM¼.Ï�Ð�ÚF¼.ÍAÈ�Ó�Ê(¼PÐ=» ¼P×9» Ä9Ê(ÐÏ�Ó4ÔØÚ�¼A½�ÍjÄ9Ï4Ê(¼A½%ÅaÈ'Ð=ÁMÄ9ÏnÂ0È�ÀðÁ0ÊVÊ%È'Ð=Á0Ê(Ö4¼.ÇcÀ�» ¼.ÏX¼.È�Í»âÄ�ËçÐ=» ¼ÑÊ(Ð=È'Ð(¼.Ê�ñDò=ó È�Ï�Çâõ ÁWÏþ ºgÿ�� Á0Ê�Ä�Ëo×9» Ä9Ê=ÐçÏJÓ4ÔØÚ�¼A½�Ä9Ï4¼�¾ Û Ï4Ç ¼A¼.Ç�Á0Ïؼ.È�Í%»�Ä�ËoÐ=» ¼�Ð=» ½%¼A¼�Ê=Ð=È'Ð(¼VÊ(Ã�È�Íj¼.Ê}Àɼ�ÔØÓ4Ê=л4È.Å�¼XÈ�Ð(Ä�Ð=È�Â�×9»4Ä9Ê(ÐØÏJÓ4ÔØÚF¼A½ÑÄ�Ë�Ð=» ½=¼A¼�D�ÐÎÀÉÄ�È'½=¼KÊ=Ó Ã4Ã�ÂWÁM¼.ÇkÚ�Ý�Ð=»4¼3Ä9Ó Ð�ÌRÅ'È�ÍAÓ4Ó4Ô�ßÈ�Ï4Ç¢Ä9Ï4¼YÚJÝvÐ=» ¼YÁWÏgÌÎÊ(Ð=È'Ð(¼�¾:æV»�Á0Ê�ÍAÂM¼.È'½%Â0Ý�È�Â0ÂMÄ�ÀYÊ:Ð=» ¼�Ï Ä9Ï�Ð(½%ÁMÅgÁ0È�Â4×9» Ä9Ê=ÐÉÇ ¼AÃ�¼.Ï4Ç4¼.Ï4Íj¼Ä�Ë�Ð=»4¼PÅ�¼A½=Ð(¼jÙ�Ð(Ä�Ú�¼�B(Ó�Ê(Ð�ÈvÃ�Ó ½=¼P¼jÙgÃ�Ä9Ï ¼.Ï�Ð=Á0È�Â�À�ÁMÐ=»F A¼A½=Ä¢×9» Ä9Ê(Ð�ÏJÓ4ÔØÚF¼A½�¾>G Ö�Ï�È�ÂÃFÄ9ÁWÏ�Ð�ÍjÄ9Ï4Íj¼A½%Ï�Ê�Ð=» ¼PÊ=Ó4Ô ½=¼.Ê=Ð(½%Á0ÍjÐ=ÁMÄ9Ï4Ê�ÄÆÅ�¼A½�Ð=» ¼P×9»4Ä9Ê(Ð�Ä9Ê=ÍAÁ0Â0ÂWÈ'Ð(Ä�½%ÊA¾�æV» ¼.Ê=¼¶Ê%Á0ÔvÃ�ÂMÝÈ'½%Á0Ê(¼�Ú�¼.ÍAÈ�Ó4Ê=¼�Ä9Ï4ÂMÝKÄ9Ê=ÍAÁ0ÂWÂ0È'Ð(Ä�½%Ê�Ð=»4È'Ð�Ç Ä¢Ï Ä�ÐYèJÁWÂ0Â�Ð=» ¼DÅ'È�ÍAÓ4È é���ì � � ù � � Ê%» Ä9Ó4Â0Ç�È'Ã4ÌÃF¼.È'½�Á0ÏvÐ=»4¼Y¼jÙgÃ�Ä9Ï ¼.Ï�Ð=ÁWÈ� ¾�æ�»�Ó4Ê:Ë�Ä�½ÉÐ=» ¼¶È�Ï�Ð=Á0×9» Ä9Ê(Ð:Ä9Ê%ÍAÁ0Â0Â0È'Ð(Ä�½%ÊH8 & Àɼ�Ö�Ï4ÇJILK �È�Ï4ÇXË7Ä�½VÐ=» ¼P×9» Ä9Ê(Ð�Ä9Ê=ÍAÁ0Â0Â0È'Ð(Ä�½Ê � % Àɼ�Ö�Ï4ÇFMNK ÿ

Page 16: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

OPRQ SUTWVYX[Z]\�^-_R`�ab(cedgfeh�ikjml�nporq�l4s-orh�fut�l�v�s�h�i>wxvyl�fFz�dU{edys�dyikjmo<f|d�{}z7~}��f�{|o<fe�Cs-cedgh���dyikn<l4��h�ts-ced!��dyi-s�d�����ors-cFs-c|i-dyd!qydyi-h}jmh�jJd�fRs-��j�s-l�vkc�~�h�f|�U���� �R���*��fFs-c�o<�(vyl���d!��d?c|l���d

� � ��� � ��� � � �[� �]�|� � � � �k� ��� � � � �k��� � � � � �k� � � ��w �  ¢¡ O�£�-o<f|v�d!l�n<n�h��kvyo<n<n<l4s�h�ik��o<fFs-ced!d��¤��h�fed�fRs-opl�n<�H¥7opn<n�s-cedCqydyi-h¦jJh�jJd�f�s-�|j�s-l�vkc�~�h�f§�H�#f ¢¡ �R£C��d}t�h��|f|{¨s-c|d}�4l�n<�edmh�tHs-c|o<�©v�h�f|��s-l�f�s?t�h�i©s-c|d}vyl���d¦h�t�s-c|dFª!«¤¬­b®��dyiks�d��¯�b(ced?vyl�n<vy��n<l4s-orh�f°o<f�s-ced���d�fedyikl�nWvyl���d±o<��feh�sUl�fR~²jJh�i-d©v�h�jm��n<o<vyl4s�d�{²l�f|{²o<s�o<��l��h�h¤{�d��¤dyikvyo<��d�³´>µ \y¶#`�Zp·�\�¸�«¤ceh��¹s-c|l4sEtºh�i(l4ikz�ors�ikl4i-~Jt��|f|v�s-o<h�f|�E»¼  �½ £�¾e��ors-cu¿­�®À �kÁ7� O7¾Âjml4�|�Âo<fe�s�h¨s-cedÄÃAÅUÆW¾[s-ced�feh�ikjml�nporq�l4s-orh�fÇv�h�f|��s-l�f�smh�t�s-c|d�s-cei-dyd���s�iko<f|�°��dyiks�d��  ¢¡�Á £±op���or��d�f�z7~ÂÈ

wÉ�   » ��  �R£­ÊË» �   �R£�£   » �  �R£­ÊÌ» �   �R£�£   » �   �R£­ÊË» �   �R£�£»¯Í�   �R£#»¯Í�   �R£#»¯Í�   �R£ Î  ¢¡ P�£ªg�eiÏ��h�l�n¤feh��Ðop�Ys�hU��f|{!d��¤��n<opvyorsYd��¤�|i-d��-�-o<h�f|�Yt�h�i2s-c|d*ÑAd��|jml�f|f�v�h�dyÒuvyord�fRs-�­Ó²Ô-ÕÖØ×l�f|{¦Ù Ô-ÕÖØ× o<f¦s�dyikj}�Hh�tYs-cedgt���f|v�s-orh�f|�E»¼Ï{edy�Âf|o<fe�©s-cedg��dyi-s�d��¯�ØÚ¨dC��o<n<n�z¯dy��opf}h��ei{edyikor�4l4s-orh�fFz7~¦v�h�f|�ko<{edyiko<f|��s-c|d!vyl���d?h�tWs-ced?jml4s�s�dyiU��d�v�s�h�i��

��fÄs-ced!jml4s�s�dyig��d�v�s�h�i�¾|s-ced?tºh�n<n<h���o<f|�±v�h�f���d�f�s-orh�f|��l4ikd?fed�v�d��-�-l4ik~¿�Û�Ù  �Ü £��ÞÝ ß ×Ü ×�à � � ß × �âá ã ÜÁ4ä ¿ Ü × ¿�Û�Ù �  ¢¡�¡ £

� ¿�Û|Ù  �Ü £(¿�Û|Ù  �å £���� À �Ü Ê å £ � � æ ß × � ß Ö(ç �¹èÏé Ö�à¯×�ê ë Î  ¢¡ Q�£ªg�eiu�-s�ikl4s�dy��~/t�h�i¦s-ced°{|dyikor�4l4s-orh�fìh�t!s-c|d°jml4s�s�dyiÄÑAd��|jml�f�f/v�h7dyÒ}vyord�f�s-�Fo<�}s�hv�h�jJ���es�d�lg�Âl4i-s-o<vy�|n<l4i[d��¤�|i-d��k�-orh�fJo<f±s��*h�{|oîí�dyi-d�fRs[�Hl�~¤�y�[b(cedEd��¤�|i-d��k�-orh�fJ�|f|{|dyiv�h�f|�-o<{edyi�l4s-orh�f�o<�

ï � �]��� ��¿�Û|Ù � Ô �  �Ü £�¿�Û�Ù � Õ �  �å £7� � ���� � �R� � ��� � �î� �� � �R� ��� � � � � �� � �R� � � � Î  ¢¡�𠣬eh�i�h��ei��|ik��sEv�h�jJ���|s-l4s-orh�f���d?�|��dCs-ced©jJh7{|dUd��¤��l�f|�korh�f  ¢¡�¡ £�h�t­s-ced!v�h�fet�h�ikjml�n�|d�n<{|�El�f|{Äs-ced�fÄ�-o<jm��nr~mdy�4l�n<�|l4s�d?���-o<fe��s-ced!h��-vyopn<n<l4s�h�i(t�h�ikj�h�tWs-ced!��dyi-s�d�� �

ï � ÝÖ�ê ×Àܤñ ÖHà � Àå!ñ ×�à � �]�|� � ß � Ô �ñ Ö ß � Õ �ñ × � � ���� � �R� � ��� � ��� �� � �R� ��� � � � � �� � �R� � � �

� Ê>w ÝÖ(ê × Ü Ö ñ� å × ñ �|ò èYÓ Ô-ÕÖ*× Î  ¢¡�ó £

ô]õ�ö÷�ø�÷�ù]úüû�ýkþ]úüÿ�����÷��üÿ����÷�÷�ø� �(ý������Eÿ�ø�ú�����ýkþ]úüÿ����Yö÷���������������þ2þ]ö�÷����4ý���ù]÷� ��� þ �þ]ú����ö�ÿ�� øYú��Aþ]ö�ú�!�#ý�¢÷�"

Page 17: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

#�$�%'&)(+*�,.-0/2143�576�%859-;:'1<*�,4-=/7:>1@?+*BAC& /05ED9*�? F�G=HI�J2KMLON�P�NRQTS�JOUVN9W+XZY\[OX+KM]\S�J_^`N�a>bcP�KdbMN9^eb�])K�N�f XZPfhgji@k>lnm=oqpOrtsvuMw�x<y=z�oqp>r{s)|qw�x4}Bz0~s��qwTx<�nz�~s��MwTx<�nz�~s l wTx<�nz9m �n� s.�qw m �n� s��Mw m �n� s l w'� x �Z��z

XZJOU2bMNR]\J=K�N9bM�ObcN9K�XZP�X�QTSZbMbMNRY\X+K�SZbR��]\J2KML8N�P��>])bc]\K�SZ�ex FZ��z��e�eLON�KML8bMN9N�WZN9bcK�NT�VSZ��N9bM�X+K�SZbcP���NR]\JO��]\JOP�N9bMK�NRU�X+bMN�Q9Y\NRX+bcY)�_oqp>r svuMw x<y=z�~Zx<�nz��>oqp>r s)|qw x4}Bz�~Zx<�nz�XZJOU�~Zx<�nz��e��NKML=[OP�LOXRWZNf�g���� u  ¢¡ o�pOr£x<y=z0~Zx<�nz�¤¥� |� �¡ oqpOr£x4}Bz0~Zx<�nz�¤���¦   ~Zx<�nz�§ � x ¨+�nz

^�L8N9bMN¢©7ªg¬« �c­ �7��LO]\P®QTSZbMbMNRY�X+K�SZb�]\P�JOSZK�LOX+bcU�K�S�N9W�XZY�[OX+K�NZ���eLON���L8S�P�K��'X+bMK�SZ�])K¯��])WZNRP�X+��XZ]\JVKML8N®�4XZQTK�SZb�°±�`�eL8N®²�X+K�K�N9b��'X+bMK9�O[OPM]\JO��oqp>r³x<y0z`g´o�pOr£x � x<y=z�z�µ)¶µM· �XZJOUtx �Z¨�z¯a'JOXZY\Y)����]\WZNRPf g °¸��¹u x<y=z���¹| x4}®z � o�pOr£x � u x<y=z�zdoqp>r³x � | x4}Bz�z §g ° � ¹u x<y=z�� ¹| x4}Bzx � u x<y=z»ºt� | x4}Bz�z �®¼ x ¨�½Ez

¾�¿0[OX+KM]\J8�¢KML8N®bcNRPM[OY)KMP�x �ZÀ�zeXZJOUtx ¨�½Ez¯SZ��KML8N�Kq^`S�N9W�XZY�[OX+KM])S�JOP¯SZ�Áf ^`N�SZ�>KMXZ]\JÃÂÄÅ�Æ Ç y ÅeÈ �M} Ç=È �OÉ2ÊÌË�u�|Å�Ç gjº � ¹u x<y0z�� ¹| x4}Bzx � u x<y=z ºt� | x4}®z�z �®¼ x ¨ZÍ�z

IqKe]\P¯J8S^±PM]\²��>Y)N�K�SÎ�>]\QMÏ7[8�_KML8N�QTS0N9ÐÎQ9])NRJ=KMPeË uM|Å`Ç �0�7QTS�J=K�S�[8b�]�JnK�N9�ZbcX+KM]\S�J2SEWZN9bPM²�XZY\YÃQ9])b�Q9Y)NRPdPM[8bMbcS�[OJOUO]\JO��yÑgÒ��XZJOU_}ÓgÔ����ÕBJ8N®a'JOXZY\Y)��a'JOUOPË u�|Å�Ç gjº ½É2Ê�Ö+×¥Ø yÍ+Ù�o ½y Å Ö+×ÑØ }Í+Ù�o ½} Ç � ¹u x<y=z�� ¹| x4}®zx � u x<y=z»ºt� | x4}Bz�z � ¼ x ¨ZF�z

�eLO]\PÚ]\PÑKML8NVU8NRPc])bMNRU³NT�0�>bMNRPMPM])S�J£�4SZb¢KML8NVÛ�NR[O²�XZJOJÜQTS0N9ÐÎQ9])NRJ=KMP¢SZ�CKML8NV²�X+K�K�N9bP�NRQTK�SZbR�Ý�eL8N9�´Q9XZJÒ��N�[OP�NRUÔ�4SZbVXZJn�ÔX+bM�>])K�b�X+bM�ÞWZN9bMK�NT���Ý�eL8N�X+��SEWZNtQTS�J=K�S�[8b]\JnK�N9�Zb�XZY\P®X+bMN�P�K�bcXZ]\��LnK��4SZbM^¯X+bcU¥K�S�QTS�²¢�>[OK�N�XZJOU;KML8N9�;Q9XZJ{��NÚNRXZPM]�Y)��U8S�JONÑ�0��XQTS�²¢�>[8K�N9be]\J_XÚP�N9bc]\NRP`NT���>XZJOPc])S�JÃ�»I�J7K�N9bc²ÎP¯SZ�!bMNRPM]�UO[8NRP�KML8NBNT�0�>bMNRPMPM])S�J_X+��SEWZN�]�PNR¿=[O]\W�XZY)NRJ=KdK�SË uM|Å�Ç gߺ ½É2Êdà NRP ·cá × à NRP�â á ×�ã ½y Å ½} Ç � ¹u x<y=z�� ¹| x4}®zx � u x<y0z ºt� | x4}®z�z ��ä ¼ x ¨�G=z

#Á$=59*�åR,�æR5Rç¢è�L8S^�KMLOX+K�KML8NÎQTS�J=K�S�[8b�]\J=K�N9�ZbcXZY\P�]\Jéx ¨ZF�z®Q9XZJt��N¢N9W�XZY\[>X+K�NRUt]\J{XZJ=�SZbcU8N9bR�ÁêCS�KMLO]�Pd��SZKML_�.SZbeKMLON�Q9XZP�N�^�LONRJ2«2ªg ­ XZJOUV�.SZbeKMLON�Q9XZP�N�^�LONRJ2«�g ­ �

Page 18: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ë�ìní îCï�ðÌñ ò@óEôMõnöT÷ø�ù�ú8ûüÓýMþ8ÿcú_ý�ûÎý��8ù��������9þ���+ý�\û�ú2û���ý��Où�� �8û ��ý���ùRþ���Zú>ú��Tû=ù�����\ùRúný��������������8ûZÿÎý�� �¢ü`ù�ú8ù9ù"!#�¢û$!8ù2ù&%$'(�Zú��\û�ú���Zú!Üýqü`û)'�û \úný*�<þOú�Tý�\û�ú�+�.ûZÿÎý��8ù,� �8û ��ý- �/. � .0�8ù"��ù��+ÿcù

1�24365�798 � 1 �3 �;:=<?> @ 243A5B7C8 � @ �3 ��DFEG> H 1�24365 @ 2JIG5LKM7 N3POQI9R 2TS�U 5.0�8ùG��ý�ÿV�+ý�ù���WX���û�ú�TùY�¢ûZÿMùGZ(����ù"!7û�ú_ý��8ùG�Tû �*'>þ8ý��+ý�\û�ú_û��[�+�Tù9ÿMý���\ú7ù&%$'OÿMù"����\û�ú\ú_ý ü�û\!^]�ù9ÿMùRú=ýdü_�"W$� �B` ú!8ù9ù"!=a8ü�ùP�Tû�ú�� !8ù9ÿdý��8ù�ûcbZù9ÿV���d'

e 7 Hgfh;i@"j �lk 24365?1 j ��k 2JIG5 i 1 j <lk< i m K j <lk 1 j E�k< i m K j E�k 1 j h k< i m K j h k > 2TS�S 5�Zú!�nOÿo��ýÁù�bd���\þ�+ý�ùG)ýBZAW�þ��\úp�®ý��Oùq�¢û$!8ù�ù&%$'(�Zú�V)û�ú�û��Ãý��8ùr�Zúný��� �8û ��ýs�Zú(!�� �8û ��ýnOù"��!��aA�Zú!�ý��OùRúÎý��8ùCù&%$'(�����)ý ù&%$'OÿMù"�V��)û�ú��4ûZÿ�ý��8ùqbZù9ÿcý�ù&%\\ú 2TU�t 5 ��` ú�ý�����üM�uW�ü`ùn>ú!

e 7 8�0v � N3 :��DFE NI :�0:=<wHgf(h;ix@ j �yk:� 1 j ��k:� 1 j <lk< i m K j <lk 1 j E�k< i m K j E�k 1 j h k< i m K j h k7 z{8�0v � 3 :�dDFE I :�0:=< � ������ R 2TS |�5` ú2ý��Où���ù"�Tû�ú!��Tû ��'>þ8ý��+ý�)û�ú e ��?\ú=ý�ù9ÿ�'OÿMù9ý�ù"!����0���TûZÿMÿMù"� �+ý�ûZÿq�Zú!2ü�ùP��ubZùe 7 } ~ �[� @ 24365?~ �B� 1�2JIG50~ <[� 1�2 m 5$~ Es� 1�2 m 5$~ h � 1�2 m 5o� 2TS í 5

7 2T~��� 24365L5 E~ �� 2JIY5 N~ �< 2 m 5x~ �E 2 m 5x~ �h 2 m 5 } @ 2T~ � 24365L501�2T~ � 2JIY5L5?1�2T~ < 2 m 5L5A1d2T~ E 2 m 5L5A1�2T~ h 2 m 5L5 � >ü��8ù9ÿMù_ü�ù_þ(��ù"!£ý��8ù���ý��Zú!�+ÿo!��Tû�úp�.ûZÿo�����_���d'(�Úû��Cý��8ù_ÿMù"�)ù�bd�Zúný¢û�'�ù9ÿV�+ý�ûZÿV�*��� �û���ü�� �V���+ÿMù+'OÿV����+ÿ�W � .0�8ù+n>ú�����TûZÿMÿMù"���+ý�ûZÿ�����Mþ��ýY�X�TûZÿMÿMù"� �+ý�ûZÿ�\ú;ý��8ù¢þp''�ù9ÿ����^�G'(���Zú8ù,�Zú(!#�����q�+ÿ���þ�¢ùRú=ý��Îû��®ý��Où,nOù"��!��ÿMù��.ù9ÿ7ý�ûtý��Où��Tû0ûZÿV!\ú�+ý�ù"�\\úÞý��Oùþp''�ù9ÿs�������'w���Zú8ù � .0�8ùr�TûZÿMÿMù"���+ý�ûZÿ?���Zú�Z�ùq�������9þ� �+ý�ù"!\ZAWÎþ�V\úp���G�s�0����aAZ>þ8ýM)ýs �����*'(�\ù9ÿ�ý�û��Mù9ù�)ý��Y��\úp��þ(���+ÿV)ýlW���ý�ÿcþ�TýMþOÿMù*�Zú!�!8ù9ÿV^bZù�\ý��®ú8ûZÿV��������"�+ý�)û�ú��.ÿMû ����L'�ù"������(�Tû�úpn(��þ8ÿV�+ý�)û�ú � ��ûZý�ùG�.ûZÿ¯ù&%p���*'(�)ù�ý���+ý¯ý��8ù9ÿMùG��þ(��ýsZ�ùq�9ù9ÿMû=ù"�¯üq�8ùRú\�Zú6W'(��)ÿCû�� 1 nOù"� !���d''>ÿMû ���V�;ù"���V�¥ûZý��Où9ÿ �q` ú�'(�+ÿMý���9þ� �+ÿ�ý�����ü��� ��\ú���\þ(!8ùP�\�J���Tý�ûZÿ2T~ < 2 m 5�O�~ E 2 m 5L5&2T~ < 2 m 5/O�~ h 2 m 5L5&2T~ E 2 m 5�OQ~ h 2 m 5L5 ���0\ú z 2 ��ù9ù 2TU ì 5 � ø�ù�ü�����F�����Mû��"bZù+'�û �)ù"��ü��8ùRúVý��Où��Zú=ý�^� �8û ��ýY�d''>ÿMû ���V�8ù"�G�Zú6W,� �8û ��ý � .0�Où"��ù��Tû�ú�V�!8ù9ÿV�+ý�)û�ú(���*'(�^WÎý���+ý

e 7 z 2T~ �� 24365L5 E~ �� 2JIY5 N~ � 24365�O�~ � 2JIY5�� h�V� < 2T~ � 2JIY5/O�~ � 2 m 5L5� h �d� < 2T~ � 24365�O�~ � 2 m 5L5 R 2TS�� 5

Page 19: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

�����w�^ d¡�¢¤£A¥�¦J§$¨�©[�p¨�£�ªw¦4¡o¢J£6¥�ª(¦g«d¡G¬r� ¥A¨u­�¡x« ®°¯;±²q³u´Aµ�¶·\¸&¹ º*»(¼½L¾"¿�ÀÁµ�¶�½ÃÂM¹�¿µ^Ä�¾�Å�¾"¶6½�Â_³"Æ$Ç�È�¾"É6¼(³d½�µ�¶p·�½�ʾ�Å�¾"ÇV¼Ë^½�Ç0¹�Ì(½�³�µ�¶p¾"¿�µ ¶ÍTÎ Ï�Ð ³�¶¿ ÍTÎ ± Ð È?³�¶¿Ñ»(µ�¸VÒAµ�¶·�¼»Ñ½�ʾ,¸&¹6¾�Ó�¸�µ�¾"¶;½�Ç*´$µ�³�¸&¹ ¶6½L¹ ¼pÅ�µ�¶6½L¾�·�ÅV³d½�µ^¹ ¶=ÈsÂs¾Ô ¶¿Õ�Ö�×Ø�Ù�ÚCÛÝÜ6ÞßdàFá âÞ Ù6ã=ä ÛåÜ æßdàFá âæ ØMçFè ÍTé�ê× Í Þ ÐLÐ èé êÖ Í æ Ð âé × Í Þ Ð�ë�é Ö Í æ Ð�ì�íîVï ä ÍTé Ö Í æ Ð�ë�é î Í4ð;ÐLÐ

ì�íñdï ä ÍTé × Í Þ Ð/ë�é ñ Í4ð;Ð�òÍgÏ°ð;Ðó ʵ�Ç*µ�Ç+½�ʾ,·�¾"¶p¾�ÅV³�Ë?ÅV¾"Ç�¼Ë^½+ôJ¹�Å�½�Êp¾,· Êp¹ Ç�½�õ�¾"¼(º�³�¶¶ö¸&¹A¾�Ó�¸�µ^¾"¶6½�Ç�÷#øq· ³�µ�¶=ÈMô¤¹�ų�¶;Æ*´�¾�Å�½L¾&ù�½�Êp¾�Æ�³dÅ�¾q¾"³�Ç�µ�Ë^Æ*¸�³�Ë�¸�¼Ë ³d½L¾"¿�ÌAÆ*»F¹uÂM¾�Å_Ç�¾�ÅVµ^¾"ÇB¾&ù$»(³�¶ÇVµ^¹ ¶Ç�³�¶(¿�»(µ�¸VÒAµ ¶p·¼p»)ÅV¾"Ç�µ�¿¼p¾"Ç"÷�úp¹�Å+»(³dÅ�½�µ ¸�¼Ë�³dÅ�´�¾�Å�½�µ�¸&¾"Ç�¹ ¶p¾X¸�³�¶�Ç�µ�º*»(Ë µ^ô¤Æ�ÇL¹ º*¾�Â�Ê(³d½�½�ʾ�³dÌF¹u´�¾¾&ùA»ÅV¾"Ç�Ç�µ^¹ ¶Çs³�¶¿ Ô ¶¿�µ�¶6½L¾�Å�¾"ÇL½�µ ¶p·�Å�¾"Ë�³d½�µ�¹ ¶Ç�÷/ûy¶�ôJ³�¸&½�Èp³�ôJ³�µ�Ås³�º*¹ ¼¶6½�¹�ô=ÂM¹�Å�Ò�¸�³�¶Ì�¾0¿¹ ¶p¾0ôJ¹�Å�½�Êp¾Yü�ý$ú ó ´�¾�Å�½L¾&ù�µ�¶�Ç�µ�º*»(Ë µ^ô¤Æ$µ�¶p·q½�Êp¾�³dÌF¹u´�¾rÅ�¾"Ç�¼(Ë^½�Ç�÷BüG¶p¾�¸�³�¶\Ç�Êp¹u½�ʳd½B½�Êp¾0º�³d½LÅoµ�¸&¾"ÇBþÿ³�¶¿+Õÿ³dÅV¾?Å�¾"Ë�³d½L¾"¿=È;³�¶(¿*Â�ʵ�Ë�¾M¶p¹�¸�Ë�¹ ÇL¾"¿*ôJ¹�ÅVº ¾&ùA»(Å�¾"Ç�Ç�µ^¹ ¶(dzdÅ�¾*ÒA¶¹uÂ�¶�ôJ¹�ÅY½�Êp¾�¸&¹A¾�Ó�¸�µ^¾"¶6½�Ç�È�½�Êp¾�Æ�¸�³�¶�ÌF¾+·�¾"¶p¾�ÅV³d½L¾"¿QÉA¼µ^½L¾+¾�Ó�¸�µ^¾"¶6½�Ë^Æ�ô¤Å�¹ º½�Êp¾PÇ�µ�º�»(Ë^¾�ÅM¾&ùA»ÅV¾"Ç�Ç�µ^¹ ¶Ç"÷²q³u´Aµ ¶p·,¾&ù$»(Ë�µ�¸�µ^½G¾&ù$»Å�¾"Ç�ÇVµ^¹ ¶ÇGÂ�Êp¾�ÅV¾�ÇL»F¾"¸�µ Ô ¸+õq¾"¼º�³�¶¶Q¸&¹A¾�Ó�¸�µ^¾"¶6½�Ç�¸�³�¶QÌF¾¸�³�Ë�¸�¼Ë�³d½L¾"¿�¾&ùp³�¸&½�Ë^Æ�Â�µ^½�Ê Ô ¶µ^½L¾r¶6¼(ºPÌF¾�Å�¹�ô ¹�»�¾�Åo³d½�µ^¹ ¶Ç�ÈA½�Êp¾r»Å�¹�Ì(Ë^¾"º ¹�ô ¸&¹ º*»(¼½ �µ�¶p·���������� ��ôJ¹�Å?½�ÊpÅ�¾�¾Gúp¹A¸VÒ�Ç�»(³�¸&¾YÇL½�³d½L¾"Ç?µ�Ç_ÇL¹ Ë^´�¾"¿X³�Ë�ÇL¹�Â�µ^½�Ê Ô ¶µ�½L¾r¶A¼º�Ì�¾�ÅM¹�ô¹�»�¾�Åo³d½�µ^¹ ¶Ç�÷� �����������������! ���#"$�&%'�)(*�+�-,. /�!�0���+�!�1��23���!���4�5�!�6�¾r¾&ù$»(Ë�³�µ ¶\Êp¾�ÅV¾r³�»Å�¹$¸&¾"¿¼pÅV¾�½�ʳd½?µ�Çs½�Êp¾YÇLÆ$ÇL½L¾"º�³d½�µ�¸* 87:9<;V§p¨&�J�;µ�º*»(Ë�¾"º*¾"¶;½�³d½�µ�¹ ¶¹�ô�½�ʾ�¸&¹ ¶6´�¾"¶;½�µ^¹ ¶(³�Ë>=Gµ^ÅV³�ÇL¹�ÅV¹?6Q³dÅV¿,ûx¿p¾"¶6½�µ^½�µ^¾"Ç�½�ʳd½q³�Ë�Ë�¹uÂC½�Êp¾�¸&¹ º*»(¼p½�³d½�µ�¹ ¶,¹�ô¸&¹�Å�Å�¾"Ë�³d½L¹�ÅVÇq¹�ô&=Gµ^ÅV³�ÇL¹�Å�¹�¿p¾"Ç�¸&¾"¶¿¾"¶;½�Çqµ�¶,½L¾�ÅVº�Ç0¹�ô�½�Êp¹ ÇL¾�¹�ô@=rµ�ÅV³�ÇL¹�Å�¹\»ÅVµ�º�³dÅoµ^¾"Ç�÷6�¾�´Aµ^¾� ½�Êp¾X´�¾�Å�½L¾&ùA�CB í

D ³�Ç*³�¶ ¹�ÌFEx¾"¸&½*Â�ʾ�Å�¾�³�¶¾�· ³d½�µ^´�¾"Ë^Æ)º�¹A¿p¾"¿G=Gµ^ÅV³�ÇL¹�ÅV¹¹�»�¾�Åo³d½L¹�Å�µ�¶#¹ ¶p¾�Ç�½�³d½L¾�Ç�»(³�¸&¾�¸�³�¶ ÌF¾�¸&¹ ¶6´�¾�Å�½L¾"¿ µ�¶6½L¹)Ë�µ�¶¾"³dÅ�¸&¹ ºPÌwµ�¶³d½�µ^¹ ¶Ç\¹�ô»�¹ ÇVµ^½�µ^´�¾"Ë^Æ�º*¹A¿¾"¿H=rµ�ÅV³�ÇL¹�Å�¹Y¹�»F¾�ÅV³d½L¹�ÅVÇsµ�¶�³�Ë�Ë(ÇL½�³d½L¾qÇL»w³�¸&¾"Ç�È;Â�µ�½�Ê*Å�¾"³�¿µ�Ë�Æ�¸�³�Ë�¸�¼Ë ³ �Ì(Ë^¾�¸&¹A¾�Ó�¸�µ^¾"¶6½�Ç0½�ʳd½�¸�³d»(½�¼pÅ�¾�½�Êp¾P·�¾�¹ º*¾�½LÅ�Æ�¹�ô/½�Êp¾�µ�¶6½L¾�ÅV³�¸&½�µ^¹ ¶=÷?ý$¼¸oÊ�Å�¾"Ë�³d½�µ^¹ ¶(dz�Ë�Ë^¹u Å�¾"¸�¼pÅoÇ�µ^´�¾�¸&¹ º*»w¼p½�³d½�µ^¹ ¶\¹�ô ³�Ë�Ë(¸&¹�ÅVÅ�¾"Ë�³d½�µ^¹ ¶ÇMµ�¶6´�¹ Ë^´$µ�¶p·Y½�Êp¾�=rµ�ÅV³�ÇL¹�Å�¹�¹�»�¾�Åo³ �½L¹�ÅVÇ�÷ ó Êp¾�Æ+³dÅ�¾0¹�̽�³�µ ¶p¾"¿=È ôJ¹�ÅB½�Êp¾0=Gµ^ÅV³�ÇL¹�ÅV¹P¸�³�ÇL¾�È;ÌAÆ*ÇL½�¼¿pÆ$µ�¶p·G¸&¹ ¶6½L¹ ¼pÅsµ�¶6½L¾�·�ÅV³�Ë�ǹ�ô[½�Êp¾Y½lÆ6»F¾ I+J Í Þ Ð<K�Í Þ Ð Ü6Þ ÂqÊp¾�Å�¾ K�Í Þ Ð µ�Ç?³+· Ë^¹�Ì(³�Ë�Ë�Æ\¿p¾ Ô ¶¾"¿\´�¾"¸&½L¹�Å Ô ¾"Ë�¿�¹ ¶�½�ʾ»(¼¶¸&½�¼pÅV¾"¿ÑÇV¼pÅ�ô4³�¸&¾,¿p¾ Ô ¶µ�¶·�½�Êp¾,µ�¶6½L¾�ÅV³�¸&½�µ^¹ ¶ö´�¾�Å�½L¾&ù�÷ ó Êp¾�µ�¿p¾"¶6½�µ^½�µ^¾"Ç*³dÅVµ�Ç�¾�ÌAƸ&¹ ¶;½L¹ ¼pÅr¿p¾�ôJ¹�ÅVº�³d½�µ^¹ ¶�³�¶¿�ÌAÆ�ÅV¾�ô¤¾�Å�Åoµ�¶p·+½�Êp¾�¹�ÌLEL¾"¸&½�Ç�µ ¶Ç�µ�¿p¾G½�Êp¾�µ�¶;½L¾�·�Åo³�Ë�Ç?½L¹�½�ʾ¸&¹6¹�ÅV¿(µ�¶³d½L¾"Ç+¸VÊp¹ Ç�¾"¶ö³d½+½�Êp¾X»(¼¶¸&½�¼pÅV¾"Ç�÷NM/³dÅ�½�µ�¸�¼Ë�³dÅ*¸�³�ÇL¾"Ç�¹�ô�½�Êp¾�¸&¹ ¶ÇL¾�ÅV´°³d½�µ^¹ ¶Ë�³"Â�Ç�¹�ô�½�ʾ�¹�»F¾�ÅV³d½L¹�Å�ôJ¹�ÅVº�³�Ë�µ Ç�º ʳu´�¾�Ì�¾�¾"¶ ¼Ç�¾"¿ Ç�µ ¶¸&¾�´�¾�Å�Æ ¾"³dÅVË^Æö½�µ º*¾"Ç\µ ¶ÇL½LÅVµ�¶p·+½�Êp¾�¹�ÅVÆ�÷súp¹�ÅrÇL½LÅVµ�¶p·*µ�¶6½L¾�ÅV³�¸&½�µ^¹ ¶(Ç?Ì(³�ÇL¾"¿�¹ ¶�¸&¹ ¶;½�³�¸&½r½ÃÆA»F¾�µ�¶;½L¾�Åo³�¸&½�µ^¹ ¶Ç Í ³�ǵ�¶�Ë�µ�· Ê;½r¸&¹ ¶p¾�½�ʾ�¹�ÅVµ^¾"Çr³�¶¿�¸�Ë ³�Ç�Ç�µ�¸�³�Ë�¸�Ë^¹ ÇL¾"¿�ÇL½LÅVµ�¶· Ô ¾"Ë�¿�½�Êp¾�¹�Å�Æ Ð ÇV¼¸VÊ�Å�¾"Ë�³d½�µ^¹ ¶(Çʳ"´�¾�·�¹ ¶p¾P¼¶¿¾�Å?½�Êp¾�¶³�º*¾Y¹�ô�O�¹u´�¾�ÅoË�³d»�¸&¹ ¶¿(µ^½�µ^¹ ¶ÇQP^÷

Page 20: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

RTSVU W�XZY\[&]C^`_acbedf:gFhjilkmh*ncoipoilh*q0rVshjtTuZogFhjvTh*nFhQs/rTw\uxtTs/y$z{C|~}�� �0�����~��� {C|~}c�T��� �+�`���)����~�F� �� � ���<�� ������~�m� �� � ����� �'����~� �e�� � �

} ��A�+� �C� �`¡¢ gFhQsh � ��£ � �� £ � �� rTnmk � �� rVsh¥¤et�hQ¦3¤Qiph*ncoq�ogmrVo ¢ ilw�w!§�h�kFhQo¨hQs/y©ilnFh*k$§�h*wpt ¢ rTnmkkFhQª�h*nmkHt�n?ogmh:vThQt�yHhQo¨s«?tTu�ogFh+¬ThQso¨he­�® ��¯ «?¤e«L¤Qwlil¤Qilo°« £ ogmh+qrTyHh�ilkFh*n�oipo°«�gFt�wlk~qrVuxo¨hQsjwphQo¨oi�nFv �8�`¡:± �³²�¡ £ �³²�¡:±´� R ¡ £ � R ¡:±´�8�`¡ ® ¡ f5gFh�ª�t�iln�o5tTu�ogmilq�ilkFh*n�oipo°«µi�qogmrVo�ogFh?nFhQv�rVoip¬Th*wl«¶yHtLkFh*k¸·¹ips/rTq¨tTs/tºvTh*nFhQs/rVo¨tTs � �»���~� rT¤eoilnmvºt�n¼q¨orVo¨h©q¨ª~rT¤eh ²ilqjo¨s/rTkmh*kNu½tTs�rµq/¾my¿tTu�ª�t�qipoip¬Th*wl«¶yHtLkFh*kÀvTh*nFhQs/rVo¨tTs/q¥rT¤eoilnFvÁt�nÂrTwlw�ogFh©ogFs/hQhq¨orVo¨hºq¨ª~rT¤eh*q £ ª~w�¾mq r¶¤eh*nco¨s�rTwÃo¨hQs�yº®¼ÄFilnm¤eh3rTw�w�ogFhÅq¨orVo¨h*qHilnÂogFh�§~rT¤Æ vTst�¾mnmkLÇilnmkFhQª�h*nmkFh*n�o�q¾F§~q¨ª�rT¤ehjrVshjtTuZogFhju½tTs/y

È �x�<�É*�ËÊ�Ì�Í Ä ª~rTn4Î ��Ï ��Ð/Ñ4ÒQÒQÒ ��Ï ��ÐCÓ ��Ô/Õ�~Ö�Ñ ÒQÒQÒ ��Ô/Õ�~Ö Ó � � � U ± × Ê@Ø ² �Ù Ê&Ø �ËÚ Ò �C�V²�¡¢ hµqhQhµogmrVo?§ «ÛogFhµ¤et�nmqhQs¬ËrVoilt�nÜwlr ¢ qHu½tTs3y?rVo¨o¨hQs�rTnmkÝv�gFt�q¨o3·�ils/rTq¨tTst¼vTh*nLÞhQs/rVo¨tTs/q £ rTnmk¼ogFh3¤et�y?y�¾morVoipt�nÀs/h*wlrVoipt�nmq�tTu�ogFh©·�ips�rTq¨tTstµrTwpvThQ§~s/r £ ¢ h?tT§morTilnrºsh*¤Q¾Fs/q/ip¬ThHªmstL¤eh*km¾Fsh�ogmrVo�rTwlwpt ¢ q�t�nFh?o¨t$he­Lªmsh*q/qjogFh?¤et�¾Fª�wlilnFvÅtTu0rTnc«¸ogFs/hQhq¨orVo¨h*q+i�nºogFh ¾mn~ip¬ThQs/qrTw!q¾m§~q¨ª~rT¤eh i�nÅo¨hQs/y?q:tTu@ogFh¥¤et�¾Fª~wli�nFv { � �*� � �*� � ��ß tTu@ogFs/hQhorT¤/g�«Tt�nmqQ®à�á°â ãZäFåVå�æ°ç�è�é�ê-ëÀæCì�í!îËï\ì�ï�ðLï>ç�îËämìTñ�í4å�æCï>çÃîò o�ilq¥¤et�nc¬Th*nmilh*nco�o¨t¸¾mq¨h�ogFh�qorTnmkmrVs/kÜóôkFt�¾F§~w�ilnFv$o¨s/i�¤Æ4õöu½tTs�tTª�h*nÛq¨o¨s/i�nFv�qQ®µ÷¼ho¨s/rTkFh:ogFh:gmt�wpt�yHtTsª~g~il¤�rTnmk?rTn�oilgFt�wpt�yHtTs/ª~gmil¤�¤et�yHª�t�nFh*n�oq�tTu�ogFh:q¨o¨sh*q/q�o¨h*nmq¨tTs £kFhQø~nFh*kHiln?ogFh:¾Fªmª�hQs8Ç�gmrTwlu�ù�ª~w�rTnFh £ u½tTsÃrjqi�nFv�wph0gFt�wpt�yHtTs/ª~gmil¤�ømh*wlk¥ú � ù ¡ kFhQø~nmh*kiln¼ogFh ¢ gFt�wph?¤et�yHª�wphe­Nª~wlrTnFhT®�÷ûipogNogmi�qj¤et�nc¬Th*n�oipt�n £ ogFh�¤Q¾F§~il¤?¬ThQso¨he­Àilqjs/heÞv�rVs/kFh*kNrTqjr$R`Çcª�¾mnm¤eo¾Fsh*k¼qª~gFhQshT®¥÷¼h?he­FrTy?ilnFh?rºq¨o¨s/h*qqüÇco¨h*nmq¨tTs ¢ ipog¸vTh*nFhQs/rTw¤eh*nco¨s/rTw>o¨hQs/y £

ú � ùTý ¡ ú � ù ¡�þ �*ÿ ²� ù ý�� ù ¡ � � ² ú � ù ¡� ù ý�� ù ¡ � � � ú � ù ¡ù ý�� ù ���Q�Q� �C� R ¡� nmkmhQs:gFt�wpt�yHtTsª�gmil¤¹¤/gmrTnmvThjtTu@¬ËrVs/i�rV§~wph*q £�ú ����¡ � ��ù ��� � ú � ù ¡ � ��*²� � ù ���¹¡�� � ù ����¡ �������� �������� � �

}� � �������� � ¡ �� ������ ¡ � Ò �C����¡f:gFh$ÄL¤/g ¢ rVs/o��*ilrTn kFhQs/il¬ËrVoip¬Th � ù ����¡ ¬VrTnmilqgFh*q�ipu+ù¼rTnmk � rVshÅsh*wlrVo¨h*kÛ§ «ÂrTnÄ�� �³² £�� ¡ o¨s�rTnmq¨u½tTs/y?rVoipt�n!® � n~kFhQsj¤et�yHª�t�qipoipt�n¶tTu�¤et�nFuxtTs�y?rTw&y?rVª~q £ ù ±! 4� ù ¡ £ �±"���� L¡ £ t�nmhjø~nmkmq ��� � ù ¡ � � ��#��� � � ������ L¡ � �� ~� ù ¡ ®

Page 21: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

$&%('*),+.-(/103254�6�798:'�7;0=<*4>-?/�0@29<A4CB.-EDF) 237HG;-�B IKJ�LMONQPSR�TVU�W;XYNQZ�X[X�W;\SX�W]R�W]P@^�_.^�T,NQP�NK`a^�b�Wdc;ZSeATfchgKW;X�^�Wji9TfPk^�b�Wd`�ZSlVl�cjNQmk\Al,Wjin\AlV_KP�Wo T,^�bp\AZSPAcj^�Z�X�W]Rq_.^sr�t I�u:v _KPAUxwdt I�ynz W9R�bS_Klfl{lf_.e|W]l{^�b�W�cjN@NKX�UATfPS_.^�WnTfP}^�bSW~ l,NKeA_Kld\Alf_KP�W=_KR5� u _KPSU�^�b�Wpl,N�c;_KlFcjN3NKX�USTVPS_.^�W]R�_.X�NQZSPSU�^�b�Wp\AZSPScj^�Z�X�W]R�_KR��;� uLk��L.���3��I3y9� W;^q���>�3�Ee|Wk_�b�NQl,NQmkNKX�\AbSTfc�gKW]cj^�NKX��AW]lfUp���>�@� u ^�b3ZSRE^�X�_KPSR�`�NKX�mnTVP ~_KR�������E� � ����������A�a� �|�>�@� y�z W}X�W]�@ZSTfX�W��|�>�@��^�N e|WpbSNQl,NQmkNKX�\AbATfc�W;gKW;X�¡ o b�W;X�WTfPx^�b�Wp�¢\Alf_KP�W u Wji�cjW;\S^5_.^9^�b�W�\*ZSPScj^�Z�X�W]R o b�W;X�W=T,^�m�_]¡�bA_]gKW=\�NQlfW]R y¤£ TVPScjWTfPpNQZ�X¥cjNQP@gKW]P¦^�T,NQP§^�b�Wk\AZAPScj^�Z�X�W]RE_.X�W�_KlVl¨l,N3c;_.^�W]U�_.^¥�APST,^�Ws\|NQTfP@^�RENQP}^�b�WkX�W]_Kl_©i�TfR u o WpP�W;W]U�^�N¢Tfmn\�NQR�W�X�W ~ ZSlf_.X?T,^ª¡x_.^�TfP��APAT,^ª¡ y¬« W;X�`�NKX�mnTfP ~ ^�b�W�c?bS_KP ~ WpNK`g©_.X�TV_.eAl,W]R�� � w LH­ � u ������q� � � �A® �|�>�@� y°¯ W]PScjW±`�NKX����>�3�9^�Nxe|W}X�W ~ ZSlf_.X�_.^TfP��APSTf^ª¡ u lfTfm ��²¥³ � �A® �|�>�@��m´ZSR�^µe|WqcjNQPSR�^�_KP@^´��NKXd¶;W;X�N@� y· b�WY\*Z�X�\|NQR�W¨NK`�cjNQPSR�TfUSW;X�TfP ~ ^�b�W[gKW]cj^�NKX¸�|�>�@�aTVR¹^�bS_.^:^�b�WY\SX�N�USZScj^a�|�>�@�ªº´�>�@�¼»@�^�X�_KPSR�`�NKX�mnRh_KRd_ L?½ `1NKX?m¾��Wji�cjW;\S^µ`�NKXd_kcjNKX�X�W]cj^�TfNQP¿USZ�Wq^�N�^�b�W¥cjW]P¦^�X?_Kl¹^�W;X�m�� uº´�>�@�À���>�3�3»¦� � � �º´���q�{wÂÁL]��à �>� � �E� � ��|���E�3»¦� � �CÄ J �_KPSUkc;_KPse|W�PA_.^�Z�X�_Klfl,¡�TfP¦^�W ~ X?_.^�W]Un_Kl,NQP ~ L?½ cj¡�c;l,W]R yYÅ NKX�W;NHgKW;XO^�bSTfR L?½ `�NKX�mÆTfRµÇ +.0SÈÉ 7j-(Ê.7�Ë.u ^�bA_KP�Ì3R&^�N¥^�b�WbSNQl,NQmkNKX�\Ab@¡�NK`�º´�>�3�{_KPSUk�|�>�@� u _KPAUnTfP@^�W ~ X�_.^�T,NQPncjNQP@^�NQZ�X�RTfP}^�b�W9�¿\AlV_KP�Wnc;_KP�e|W�cjNQP@^�TfP3Z�NQZSR�lf¡=U�W;`�NKX�mkW]U§_KR�lfNQP ~ _KR o W9U�N¿P�NK^´cjX�NQR�R�_\AZSPScj^�Z�X�W y MONQPAR�TfU�W;X¨_¥cjNQP@^�NQZ�XYÍ o bATfc�bsW]PSc;TfX�c;l,W]R{^�b�Wµ^�bSX�W;Wµ\AZSPAcj^�Z�X�W]R¨_.^wdt I�uv _KPSU¿t I TVP�^�b�W��k\AlV_KP�W yYÎ NKXd_.X�eAT,^�X�_.X�¡�gKW;X�^�Wji�NK\|W;X�_.^�NKX�RdÏ�� u ^�bSW¥cjNKX�X�W]lf_.^�NKX

ÐCÑ�Ò �|�>�@�ªº´�>�@�¼»@�´Ó �¸Ô Ï � � v ��Ó ®OÔ Ï ® � v ��Ó.Õ Ô Ï�ÕK� v ��Ö �CÄ.×Q�g©_KPSTVR�b�W]R¨TfU�W]P@^�Tfc;_Klflf¡ u e@¡sR�b�X?TfP�Ì�TfP ~ ^�bSWcjNQP¦^�NQZSX&Í�^�N�¶;W;X�N�R�T,¶;W_.X�NQZAPSUs^�b�Wµ\|NQTfP@^_.^dTfP��*PST,^ª¡}� o bSTVc�b¿TVRµ_�X�W ~ ZSlf_.Xµ\|NQTfP@^?� yhØ P¿^�bSTfRµ_.X ~ ZSmkW]P@^dT,^FTfRµTfmk\|NKX�^�_KP@^µ^�bS_.^ZSPSU�W;XY^�bSWdTfP@gKW;X�R�T,NQPn� � w LH­ � u ^�bSW £ c?b o _.X�^�¶]Tf_KP9U�W;X�T,g._.^�T,gKWµg._KPSTfR�b�W]RY_KPSU�^�b@ZSR^�b�W;X�WsTfRP�N�cjNQP@^�X�T,eAZ�^�TfNQP�`�X�NQm°^�bSW´cjW]P@^�X�_Kl¸^�W;X�mÙTfP§�CÄ J � y�£ TfPAcjW�^�b�W´cjNKX�X�W]lf_.^�NKX�CÄ.×Q�hTfR�¶;W;X�N�`1NKXF_.X�eAT,^�X�_.X�¡�ÏO� u o W�c;_KP o X�Tf^�WÐCÚ Õ¦Û Ñ Ò �|�>�@�ªº´�>�@�¼»@� �¬v�Ü �CÄKÄK�Ý W;`�NKX�mnTVP ~ ^�bSWFcjNQP@^�NQZ�X�Í=TVP¦^�N´^�b�WER�ZSmÞNK`¹^�b�X�W;WqcjNQP@^�NQZ�X�ROÍ���_.X�NQZSPAU�^�b�WE^�b�X�W;W\AZSPScj^�Z�X�W]R u _KPSU¿X�W;`1W;X�X�TfP ~ ^�b�W L?½ `1NKX?m°^�N9^�b�W�l,N�c;_Kl�cjN3NKX�USTVPS_.^�W]R u o W´NKeS^�_KTfP�^�bSWeA_KR�TfcEX�W]lV_.^�T,NQP

ÐCÚ ÕKÛ Õß�fà � Ñ�Ò(á »¦�;�|�Sâ�fã ���;�ä� � ºs���;�ä�¸w ÁL]� à �äÓ©�����;�C� � �;�ª� � �åvkÜ �CÄ.æQ�

Page 22: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

çKèKé êFë¸ì¹í¨îCïHð�ñ¦òjóôµõ�ö�÷nø.ù*ú�û©üªý{ú�þfÿ��jö���õ�ö����Sþ�|ö��� �������äé3ý��������øKÿSú������÷nø���þ��QÿSú;ý:õAø! Kö"��õ�ö�ú�øK÷kö�#��õ%$Oø�&��']þføKÿ(��ö�?þ) ©ø���þ� Kö�*,+dÿ5ö� .ø�-�.Sø���þ��Qÿ�þfÿ�ù/�0$Oö�ú�ö��þfö]ú21Qþ) Kö]ú43

5 �äû©ü76�8;ü9�,:<;>=�?@<A é ?@ 8 3ü ;B=�?ç 8�Cü�D�D�D 6 EF: = 6�é 6�ç G �9H�@I���þfÿJ�jöK��õSþfúdöML3ùJ�ö]ú�ú�þ)�Qÿ=þfúN�ö�1I.J-fø�Eø��Eö]ø���õpù�.Sÿ��M�4.��ö"�POHüQ: ? �?ýR��õ�öS�jö]ÿ%���ø�-F��ö��÷�;øKÿT�M�Qÿ%���þ)��.J��öU���(��õSöV�M�QÿSú�ö�& ©ø���þ)�QÿW-fø0$X�9H�YI���QÿJ-)�Z����[ Kö!�M����]\Sö!-��Aú�^J_ ü)` ��õSø��õSø! Kö�ùa�I-fö]úhø��b��õ�ö¥ù�.AÿJ�M�4.��ö]ú�*c ö�ø��ö�-��%��d�þfÿ�1]����e�M�QÿSú�ö�& ©ø���þ)�QÿAúb-fø!$dú2���F��õ�ö��f��?÷g�9H = �h*��ö!�;ø�-�-fþfÿ�1]��õAø��

i _ ü�`j�k : =é�l/E mon 8 ü 8 j�k�prqü s _ ü�` ��8 ü �t6 �uY ? �$[öOÿ�ö;ö!��øe Kö!�M����v\Aö!-���$õSþw��õ��|ö]õSø0 Kö]ú:øKúr^J_ 3 `vx 8 j�k�prq3 ASy �PO 3 �aø�4�I.Sÿ��qù�.SÿJ�M�4.J�öé3ý*øKÿJ��õAøKúø�';ö�&��þfÿz��õSö�����õ�ö�e�{$��9ù�.Sÿ��M�4.��ö]ú;ý�^ _ q ` x y ��8 q �?ý�^ _| ` x y ��8 | �h*2+ Kö!�M�����\Sö!-��>���Q��õSþfúb�{�@ù|ösõSøKú}���f���~�� = �µø�ù/�I-,ö�ø�����õ�ösú�ö!�M�QÿJ��ù�.SÿJ�M�4.J�öKý*øKÿJ�þfú��ö�1I.J-fø�¥ø�4�I.AÿJ�Z��õ�ö}����õ�ö���{$���ùt.SÿJ�M�4.��ö]ú!*}���Qÿ%���þ)��.J��þ)�QÿSúN�f4�Q÷X��õSö}�jö]ÿ%���ø�-��ö��÷�$þ�-w-t��õSö]ÿz�QÿJ-)��ø.ùSù|ö]ø�µþfÿ���õ�ö�ú�ö!�M�QÿJ��ú���ø���ö´ú�ùAø��jö�*�,�f� �V�Q�T�������(�������#���Q���J�I�a�a�I�9���<����������QÿSú�þ��Sö�b.Sú�þfÿ�1S��õ�ö�1I-����Aø�-�-)�"��ö�\Aÿ�ö!�� Kö!�M�����\Sö!-��

^ q �PO%�Q: ; é@ �PO 3 ;�çI�tG �uY = �+dú]�SþVú4��.Sú�ú�ö!�T�|ö��f���öKý,��õSþfúsõSøKú}';ö�4�±ø��sù�.AÿJ�M�4.��ö]ú = øKÿJ� ç=øKÿJ� þfúS�ö�1I.J-Vø�sø��þfÿ�\AÿSþ�����*r¡Fú�þfÿJ1N��õ�ö2��?øKÿSú������÷nø���þ)�Qÿ}-fø0$¢^ _ ü�`q ��8;üu�Q:£^ q �POt��8;ü9����¤#� n O%¤ n 8;ü��r$[ö2��ö��þ� Kö��õ�ö�ô¸ø!�#-)���öML3ù*øKÿSú�þ)�Qÿ¢���[��õ�ö( Kö!�M����z\Sö!-w�¢�ö���ö�4�ö!�¥���T��õ�ö�ö]ø���õ£������õ�öZ-)�#�;ø�-�M�%��&�AþfÿSø���ö]ú^ _ q `q ��8 q �¦: ; §çI¨ ç 8 q A YéIH 8 q 3 ; § ?Y = ¨ ç 8 q | A § ?H.é�@ 8 q C A =�? §H.é�@I¨ ç 8 q4© Aªy¬« O q&­�®^ _ 3 `q ��8 3 �¦: =�A =�=éIH 8 3 3 ; Y ?H.é�@ 8 3 C A =�= ç�¯= @�¯�YKç 8 3 ­ A¢y°« 8 3²± ®^ _³| `q ��8 | �¦: §çI¨ ç 8 | A YéIH O | 3 A § ?Y = ¨ ç 8 | | A § ?H.é�@ 8 | C ; =�? §H.é�@I¨ ç 8 | © Aªy°« O | ­ ®�uYKéI�´7µ�¶h·�¸9¹�º�»½¼&¾�¿]À2¶²»P¸�Á7Â0Ã�Ä�º�Å�ºÆ¸2Å�¶hÀ2Ã�Ç0¸�¼&¸9º�¶²¾�»�ºÆ¸½º�»½Ç�»uÁ7ÈÇ�Äa¸9¶�Ç�»uÁN¼[»PÉ0À�Ê�¶²Ä�º�ÅeÀb¼&¾�º�Ã�Ç�Ä˼&¸9¶h·»uÇ�Å{¹�¼h»rÌͼhÃ�Ä�ÁQ¶&·vÌͼ&¸9¹�Á7Àb¼&¸9º�Å�¼0Î

Page 23: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ÏQвÑtÒ)Ó�Ô²ÕfÖ ×zØ�Ù#Ú"ÛrÑ�Ú�Ö�ÜtØPÔhÕ�Ö%×"Ü�Ø9Ý�ÔÍÞ�Ò × Ú0ß�Ô�Ý à�á�àâ7ãåä4æJç�è[é�ê�è4ëVä4æ�ëVìJí³î)ï�ê�ð4ëVð4ë�ñIòJó�ê�ðSê�ð4ôIòJãJõ Ú&ÝIöMÙz÷�òJã�éMä4ò�ð4ë�ørè4ô(ù�ëVñ�ë�ä}ã�ô(éMôIã#úä�ð&ç)û�ò�ä4ç�ôIãªü�ð4ôIýþä4æ�ë�éMë!ã%ä�ð&ê�óÍä�ë�ð&ý>ÿ���è4ç�ãJñ�������"ê�ãJõ£ã�ô�ä4ç�ãJñTä4æJê�äzç�ã%ä�ë�ñ�ð&ê�ä4ç)ôIãê�ý]ôIòJã%ä4èKä�ôZä4æ�ë"ð4ë�÷�ówê�éMë!ý]ë!ã�äSì í³î�ï�� î� ì í³î�ï�� í î�ï���� ø ù�ë"é�ê�ã ç�ý�ý�ë!õJç�ê�ä�ë!ó���ùbðhç)ä�ëä4æ�ë[éMôIãJè�ë�ð���ê�ä4ç)ôIã(ó�ê!ù

���������� "!$# %à& à �('*) �+ � � � # % ��-,.& à �0/0) % �� +21 � � ) , � %� +21 & à �0354646487 í9�{ï) ������ ! � ��� ) ,2,+ � � � # � �� +21 � � ) ,2,!à2:, 1 :2��à �0;0)<46464 7 í / ï) ������ ! %à& à �0'0) �+ � � � ) % ��-,.& à �0/0) % �� +21 � �=# , � %� +21 & à �03546464 7 í � ï?>�"��à�

@ æJê�ãBA#è]ä�ôåä4æJë(éC� é�ówç�é�ç)äD� ô�üÍä4æ�ë�è�ä�ð&ç�ã�ñE��ë�ð&ä�ëCFaøbê�ãJê�ó�ô�ñ�ôIòJèVçwõ�ë!ã�ä4ç�ä4ç)ë!è]æ�ôIó�õ¢ûG�éC� é�ó�çwã�ñ>ä4æ�ë"÷�òJãJéMä4òJð4ë!è�øH�I,.� � + �høJ� + � �uà�høK�uà� �I,.�hÿL��è4ç�ã�ñ>ä4æJëM��ë!éMä�ô�ðN ë!ó�õ ì / � � � ��# %+ � � / # à� O �"� % �ù�ë�ô�û�ä4ê�ç�ã�P�������� ! # �+ � �0'0) � ��-,.& à � � # ,2, ++ % à �0/Q)

à � %� +21 & à � �=# % �2�, 1 :2��à �03*46464 7 í9�{ï) ��� � ! � � / ) áá %�R )

,S:+ � � ' # , 1+ % à � / )� �2�, 1 :2��à � 3 )�46464 7 í / ï

) �����2 ! # �+ � �0' # � ��-,.& à � � # ,2, ++ % à �0/ #à � %� +21 & à � �=# % �2�, 1 :2��à �03*46464 7 í � ï >�"��á�

T ç�ãJéMë�ì / � � �½æJê�èNê]÷/ôIó)ë�ê�äe÷�ò�ãJéMä4ò�ð4ë + ù�ë�ñ�ô�äNêUéMôIã�ä�ð&ç�û�ò�ä4ç)ôIã�ü�ð4ôIý�ä4æ�ë�éMë!ã%ä�ð&ê�óä�ë�ð&ýzÿSâ7ãZñ�ë!ã�ë�ðhê�ó ù�ë�é�ê�ã�ñ�ë�ä[éMôIãJè�ë�ðU��ê�ä4ç)ôIã�ó�ê0ùeè�ü�ô�ð � í / ï��V ùeç)ä4æ�ì V � � �KWX� � / #à� � ��V6YZ� ÿ\[�ô�ð^]�_ + øròJè4çwã�ñVä4æ�ç�è`��ë!éMä�ô�ðKçwã�������ÍôIã�ë]ô�ûJä4ê�çwãJè�ê�ã�ç�õJë!ã�ä4ç)äa�(ä4æJê�äûaë!è&ç�õ�ë!è � í / ï��V çwã���ôIó���ë!è�ô�ä4æJë�ð>ã�ë�ñIê�ä4ç���ë!ó�� ý]ô#õ�ë!õ<b�ç)ðhê�è�ô�ð4ô ñ�ë!ã�ë�ð&ê�ä�ô�ð&è � í / ï��V6Y / ø� í / ï��V6Y 3 ø >6>6> ÿ[â7ä�ç�èÍè�ä�ð&ê�ç)ñIæ%ä�ü�ô�ð4ù�ê�ðhõZä�ôzð4ë!ý]ô.��ëUä4æ�ë!è�ë]ä�ë�ð&ý�èÍûG��è&ò�ûJä�ð&ê�éMä4ç�ãJñ"ä4æJëéMôIãJè�ë�ðU��ê�ä4ç)ôIã>ó�ê0ùeè2ü�ô�ðNè4ýUê�ó�ó)ë�ðc]aÿd�ë�éMôIãJé�ówòJõ�ëFä4æJç�èRè�ë!éMä4ç�ôIã�ùeç)ä4æ�ê2õ�ç�è4é�òJè4è&ç)ôIã�ô�ü ä4æJë,è�ô$e%é�ê�ó�ó)ë!õgf�ð&ë�÷�ê�ð&ê�ý]ë�ä�ð&çih!ê�úä4ç)ôIã�ç�ãj��ê�ð&çwê�ãJéMë!è6kaô�üQä4æ�ë]é�ò�û�çwé���ë�ð4ä�ëCF/ÿSâ{ä�ç�è�ù�ë!ó�ólA ãJô0ùeã�ä4æJê�ä�ü�ô�ð R �m� ��Ø9Ó�Ø9Ý�Òb�ç)ðhê�è�ô�ð4ô]ñ�ë!ã�ë�ð&ê�ä�ô�ðhèn�½ä4æ�ë�éMôIýKû�ç�ã�ê�ä4ç)ôIã

o � � # � # ,.� � �? O �"�2:�

Page 24: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

p2q$r sKtluwv*x�y.zU{�|C}~i���C��?���6�U�2�S������U�B�`�2�6�����C�����U�?���J~i����?��2�����9�a���� ��� �U��¡� ��� � ��£¢M¤<¥=¦ §"¨©2ª« �B�S���^�U�S¬i���U~�����­���U�g��®¯�S�6~i�2¬Z�6�2���S�°�2±Q�U�B�^²K~i���2���2�U�³�C��?���6�U�����U~���´¬i�.µJ�­�2���¶�6�2�· �H� · �U�2~i�?�S� ·G¸ �2�?�?~9�B¹J�U�B� p � ¸ �6¬9~i�0�2�6�n�U~���?�l�2±?�U�B��ºc» � �C��?���6�U�����U~����¼5½��?~����S�C��2�?�L¾\�2�U�P�S¬i�6¹�2���`�B�6��~i�$���U~���¶~i�K�2�K±¿�¬i¬i�.µJ�6¼`ÀH��?�U~9�B�6�J�U�B�^�2�S�C���2�ÂÁ?�S¬9���B�6Á��?�S�·j¸³Ã � Äi�� §ÆÅ Ä ª0¤ÇÅ �2ÈZ�Ä É § É�Ê ª � Å » ��ÈZ�Ä ���U�Ë?�?�Ì�S�2�n���2±*�U�?�®�Ë?�?�C�UË?�U�S�6¼ « �?~i�=�2�S�C���2�Á?�S¬i�Í~i�5¹¬�� · �2¬i¬ ¸ �?�6Á��B�S�Í�U~i���C���U�B�c�C�-®?�U�S�U�U~i��?�5��Í�S�2���ή�Ë?���C�UËB�U�����U�J�C��?��~i�����S�j�µJ~��U�³�U�B�¹¬9Ë?~i�B¹^�U�S¬i���U~����� § r ¥�ª �2±l�U�B�������n~i�B¹g�2�6�U���C�¯¼0ÏE�P���S�2�Â�U�B�S�

���?��� �ÐÄiÑZ�Ò�Ó � Äi� §ÆÅ Ä ª � Å �2ÈZ�Ä É § ÉÂÊ ª � Å » ��ÈZ�Ä ¢M¤�¥=Ô §"¨2¨ª

µJ�?~i�n�M~i¾\¾\�S�?~i�����S¬ ¸ ¹~��2�S� §"¨©2ª ¼ÖÕ-~i���C�­�U�B�K�2�S�C���2��Á?�S¬i� à � Äi�� µ=�2�=�?~��U�S�C�U¬ ¸ ¹~��2�S�Î~9����6��¾\�Q�2±¯�U�B�­¬��G�6�2¬��C�j�2����~i�?�����S�0× Ä �2�?�\�U�B�صJ�\��� · �J¹¬�� · �2¬i¬ ¸ �B�6Á��B�S�\�U�B�c�U�S�2�B�6�¾\� ¸ µH��?�B�6�K�B�.µÙ�U�B���C�S�j�����2¬Ú���6�n¾Û�-~��¬i���U~���?�c�2±*�U�B�S����~i�?�S���U~��U~i�S��µ(�Ë�¬i������~i�U�2¼ÜÝ�?�?�6�S���2µJ�?~i¬i�0�U�B���C��j���ËB�0~i�j���6¹2���2¬i�*�6�2� · �=�6�2�?�C�S¬��S�Í®��2~i�UµJ~i���H���*�U�B� · �Ë?�?�?��� ¸�2±H�U�?�\¬��G�6�2¬0�?~i��Þ-�°µJ~��U�B�Ë?�`�C�G�������C�������~ · ËB�U~���?� § �U�?�\�����2�?�U~i�U~���´±ÆË��?�C�U~���?�`���U�®?�U�$ß��S�C�U~��2� ª ���U�B�6�U��~9�\�à�UË · �U¬��6� ¸ ���Î�U�B��~i�j���6���2�C�U~���á®��~9���U� § �U�?��®¯�~i�j�U�\× Ä ¤âKã ��<�U�B�E¬��G�6�2¬°�C�G�2���?~i�������S�ä�2���<× ¤å¥-Ônæ ��<�U�B�´¹¬�� · �2¬°�?~i��Þ ª ¼ « �ç�B�S�2¬µJ~��U�ä�U�?~i�H®?�U�2®¯�6��¬ ¸ ��B�Â�6�2�Ì�6�2�?�C�S¬��U�B�`�C��j���ËB�J~i�j���6¹2���2¬i�=®��2~��UµJ~i�U�2� · Ë?�H�B�2�c�2¬9¬�U�B�\µ=� ¸ �����U�B�Î~i�����6�n�2�C�U~���讯�~i�j�U�6¼ « ��~i�`¬��S�S�2�S�P�U�B�U�6�M�U~i� ¸ �C��j���ËB�P~i�j���6¹2���2¬i�é Ä2ê Ó §ÆÅ Ä ª à §ÆÅ Ä ªÝëÅ Ä �U�����Î�2�?�ìËB®á���í�à�C��j���ËB�Ì�UËB�U�U�Ë��?�?~i�B¹¶�S�2����~i�j���6���2�C�U~���®��~9���6¼ « �Î�6�$�2¬9Ë?�������U�?~9����B�P���2�c���ä®��2�U�J��¹�2~9�����ä�U�B���C�G�2���?~i�?�����^×\���2�?~i�U��~i�B¹���K�U�?�^~i�j���6���2�C�U~���¶®¯�~i�j�6¼K½î�U~i¾Í®�¬����C�¾Í®�Ë?�U���U~���´�U�B�.µ­�­�U�����­�U�B�MÕ-�n��µ=���UïS~i�2�ð §ÆÅ Ä Ô × ª �?�2�Q�����S�C��?�Í�2���?�6�Q®¯�¬��c���0× ¤�¥ ¼*ÜI�Í�2�?�?~i�U~�����2�U�B�c�2�S�C���2� à �?�2�Q�`Á?�n����2���B�6�=ï6�6�U�Í����× ¤�¥ ¼ « �GË?�H�P�C�S�j�����2¬��n�?���U¹2�Â�C��j����~ · ËB�U~i�� § ~i�ä±ñ�2�C�6�G�2±Z�U�B�K��~�¹�j��$�2¬iË?� ª ����~i�U�S�6¼Lò°�B�M�6�2�í�U�B�ص § �U�6�ή���®¯�6��� ·j¸ ÕB���?�?� · ¬ ª �U�?���P±¿�2�^�6�2�S��¾\�G�B�S�§"¨©2ª · �S�C�¾Í�S� �������2��� �9�a��I� � � �ó�U��I� � � � � ��I� ¢M¤ É p2ô �I� ������ ¦ §"¨2õªµJ�B�6�U� ô �I� ¤ q�öq$r�÷6ø § É�Ê ª � §"õ�¥�ª« �B�Â~i�B�S�j�U~��U~��S�=µ­~��U� ø �G���Ì�6���U� ¸ �B�M�2�B�¾\�2¬ ¸ ¼ù úPûgü�ýSþ�ÿ�� ú��¯þ�������� ������������� þ���� ú��������QüÜÝ�í�U�?~i�^���S�C�U~���íµH�ÌË?���ä�U�B�³���S���?�B�¬i�2¹ ¸ �B�6�2�S¬i�2®��S� · �6±¿�2���Î���´¹2�6�\~i�?��~�¹���^~i�j����U�B�ä�����UËB�U�ä�2±c�U�B�³~i�B�S�j�U~�� ¸ �U����~i�B¹LÁ?�S¬i��¼LÏE�³�2¬9���¶¬i�S�������?�.µ ���E�C�¾Í®�ËB���ä�C� �

Page 25: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

!�"$#&%('*)$+-,�.0/2143657# 38,:9&/;)<+2, .69=/?>*)A@�% .�3CB8)D> EGFGF

H=IKJKL8J(M�IKNOJKPQM�R STI(S8UGSVI�SXW4H=YGP[Z�J(\]PQY_^2S8`aZ�M�Y*bcH[b�\�d[e=LXM�Z8f�JgP[L8IKe[d[JgP hiM�R[Y*Mj\G^kMl`m\n S8b�\*oqp�\]p�SVP M�e[prM�YGL�R NG\]P[Z8s�tuS�JgZ�\]IKY*M�SvY�^2YGpjJKI(N6\G^�Z�M�b�JKP hjw[SVIKd[Z�YGZ�Z�\4L8JKY*M�SVdxM�\\]P[LXSXo?H=e[P[LXM�e[b�SVdud[JKZ�y4Z8sjz4e[L<RuZ�e b�^;YGLXSjZ�M�Y*M�SVZVf7L8YGIKI(SVd|{ 3�}V.�3�~X/?>G/q3$~�� SVL8YGe[Z�S�M�R[SI(\�L8YGI=LX\ \Gb�d=JKP[Y*M�S�R[YGI(^-oqd[JKZ�yvd S8w=P SVZ�Y�`mSVd[hGS�\G^&M�R[S�e[P[J(M�d[JgZ�y&fG^2\Gb�p�YvZ�e � YGI(hGS � b�Y\G^�M�R[S�Z�M�Y*b�YGI(hGS � b�Y4sQ�JKP[YGIKIKNGf�`�SxZ�R \�`�e[Z�JKP[hiLX\]P=Z�S8b�U*Y*M�J(\]P|IKYC`�Z�M�R[Y*Mj�j�V�����d S8w=P SVZ�Y�Z�e � YGI(hGS � b<Y�\G^7M�R S�Z�M�Y*b�YGI(hGS � b<Y4s��q� �j�]�=���=�7�G���]�?���m�0�D���:�*���]�D���4�|���G���G�=�� \GbkM�R S�H=e b�H�\]Z�SVZ�\G^mM�R S�Y*b�h]e[p�SVP M�ZAM�\�^2\]IKI(\�`¡`mS�`�JgIKI�b�S8U4J(S8`¢M�R S�U*Y*b�J(\]e=Z�LX\*o\Gb�d[JKP[Y*M�SAZ�N4Z�M�SVp�Z�e[Z�SVd�M�\�d[SVZ�LXb�J � S�Z�e b�^;YGLXSAZ�M�Y*M�SVZ8sm£¤Z�e b�^;YGLXS�Z�M�Y*M�Sj¥?¦k§ ^-\Gb�M�R[SH[b�SVZ�SVP M�H&e b�H�\]Z�SVZvY*b<JKZ�SVZ¨^-b�\]p©Y:ª�JKSVp�YGP[P«Z�e b�^;YGLXS0¦¬`�JKM�R­M�R ScM�\GH�\]I(\GhGN­\G^�Yd[JKZ�y�f7`�J(M�ROY:p�Y*b�yGSVd«H�\]JKP M�®�f�M�R[S�H=e=P[LXM�e b�SGfI(N4JKP h�\]P«M�R S � \]e[P[d[Y*b�Ni\G^�M�R[Sd[JKZ�y�f YGP[d�Y�I(\4L8YGI¯LX\�\Gb�d[JKP[Y*M�S�Y*b�\]e[P[d0J(M8s° 143�±­²<'V'*)�}*+-,�>G/q3V³�´ R=JKZ�JgZ�M�R S�I(\4L8YGIµLX\ \Gb�d=JKP[Y*M�SGs ´ R S�I(\4L8YGI7LX\�\Gb�d[JgP[Y*M�SGf¯M�SVL�R4oP[JKL8YGIKI(N�Z�H�SVY*y�JKP[h¨JKZ�Y�pjY*H�^-b�\]p¶M�R SkL8YGP \]P[JKL8YGI¯R=YGI(^goqd=JKZ�y:§ ± §�·¹¸*º<»�¼ ± ½�¾|¿ JKP M�\M�R Svª�JKSVp�YGP[P0Z�e b�^2YGLXS¨¦Af `�R S8b�SkM�R[S � \]e=P[d[Y*b�N0»�¼ ± ½�ÀÁ¿ º�§ ± § ÂøkJKZ�p�Y*H=H�SVdcM�\M�R S � \]e[P[d=Y*b�N�\G^¦ÄYGP[d ±vÀÅ¿ JKZ�p�Y*H[H�SVd�M�\¨M�R S�H=e[P[LXM�e b�S�®�s ´ R S�\GH�SVP6Z�M�b�JgP hJKZAM�R ST§ ± § À ¸�Y*b<L�JKPiM�R S�R[YGI(^-oqd[JKZ�y&s ´ R S�H�\]JKP M ±0À¬Æ JKZAM�R S�Z�M�b<JKP h0p�JKd H�\]JKP M8s´ R SAZ�e b�^;YGLXS�¦Qp�JKP�e[ZmM�R SAJKp�Y*hGS�\G^�M�R SAL8YGP \]P[JKL8YGI ± R[YGI(^-oqd[JKZ�y¨`�JKIKI � S�L8YGIKI(SVd6ÇTsÈ Z�JgP h�YGP N .G%(' B�>*%µ²<'V'*)�}*+-,�>G/q3�É \]P�M�R Svd[JKZ�yjb�S8H[b�SVZ�SVP M�JgP hj¦�f[YGP[d0`�b<J(M�JKP h

ÉcÀÁÊ ¼ ± ½ º `�JKM�R Ê ¼ ¿ ½�ÀÅÉ ¼;® ½ º ¼ÌË4¸ ½M�R SvZ�e b�^2YGLXSkZ�M�Y*M�Sc¥?¦k§�JKZ�M�R[SVP�d S8w=P SVdcM�R[b�\]e h]RcM�R Skb�SVIKY*M�J(\]P¯Í

¥?¦v§ÏÎ�Ð À ¥ Ê�Ñ Î7¼ ¿ ½ ÐDÒ�º ¼ÌËGÓ ½^-\Gb6YGP N|Z�M�Y*M�SħÏÎ�Ð<sÅÔ�S8b�SuÎ7¼2Õ ½ JKZ�M�R SxUGS8b�M�SXW|\GH�S8b�Y*M�\GbcLX\Gb�b�SVZ�H�\]P=d[JKP hiM�\_M�R[SZ�M�Y*M�Sx§ÏÎ�Ð�YGP[dÄ¥ÖÐDÒ«d SVP \GM�SVZ�M�R S�LX\Gb�b�SVIKY*M�JK\]PT^;e[P[LXM�JK\]P�\]P:M�R S�d[JKZ�yT¦As ´ R[S8b�S¨JgZP \GM�R[JKP h�Z�H�SVL8JKYGI¯Y � \]e M�Y�Z�H�SVL8JKw=LAL�R \]JKLXSv\G^7h]I(\ � YGI¯LX\ \Gb�d=JKP[Y*M�S É f&YGP[dcM�R SvZ�M�Y*M�S¥?¦k§ � e[JgI(M�`�J(M�R×M�R SxY � \CUGSTH[b�SVZ�LXb<J(H[M�J(\]P×d \�SVZ�P \GMjL<R[YGP hGSxe=P[d S8b�Y­LX\]P ^2\Gb�p�YGIp�Y*HTM�Y*y4JKP h É M�\cZ�\]p�S¨\GM�R S8b�LX\ \Gb�d=JKP[Y*M�S�YGP[di¦ÃJKP M�\6Y6d[J�Ø�S8b�SVP M�I(\�\Gy4JKP hT¼ � e[MLX\]P ^-\Gb<p�YGIKI(N�SVÙ�e[J(U*YGI(SVP M ½ d[JKZ�y�s�Ú�S8UGS8b�M�R[SVI(SVZ�ZÖM�R S8b�SkY*b�S�H&Y*b�M�JKL8e[IKY*b<I(N�LX\]P UGSVP=J(SVP ML�R \]JKLXSVZ�`�R[JKL<Rc`mS�P \C`Ãd=JKZ�L8e[Z�Z�JgP0d S8M�YGJKIÌs° 143�Û Ü7#&)�3X~838,=/?>G/;+Ì'*,&³ÖÝ P6M�R[JKZÖH[b�SVZ�SVP M�Y*M�J(\]PcM�R[Skª�J(SVp�YGP=P6Z�e b�^;YGLXSk¦ÞJgZ�pjY*H[H�SVdM�\jM�R S�ß$à %-% e H[H�S8b�R[YGIK^ Û o?H&IKYGP SGf[`�JKM�RcM�R SkH=e[P=LXM�e b�SkI(N4JKP h�Y*M Û�ÀÁ¿ s ´ R SvJKpjY*hGS\G^�M�R S�L8YGP[\]P[JKL8YGI ± R[YGI(^-oqd[JKZ�y6JKZ�Z�\]p�S¨b�S8h]J(\]P:Y*b�\]e[P[d ÛjÀ¤¿ s ´ R e[Z�J(^ ÛjÀ¡á ¼ ± ½ f`mSvR=YVUGS

¥?¦k§ÏÎ�Ð À ¥ á�Ñ Î7¼ ¿ ½ Ð�â�ãmäcå ¼ÌË E]½

Page 26: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

æGçGè é�êµë�ì�í?îCï�ð ñXò

ó�ò4îkôõ*ö;÷&ø î$ùVîXú=û?ðGû;íÌü*ú&êvýDþxÿ�������������Vþ ÿ��*ÿ�� �]þ:ÿ�����������Gþ[þ����������������������� ���!"�������×ÿ��#�*ÿ¨ÿ���$����� %�&����ÿ���'�(�Gþ��]þ#���(��)+*,�#��) � ö "#���.-/���¨ÿ���&����)�)0��ÿ.��� �21 354 ôõ76 1089;:=<�>@? 4 ôõ760ACBED�F �(ÿ��G*IHKJL��� ���M�Kþ�%¨ÿ.� ôõ HKJON D �Gþ#"cÿ���P���!VþG��ÿ.���Kþ�%Q��� ���M�Kþ�%ÿ.��ÿ���5R�(��ÿ����(��)S����) �T)��Kþ��U�*ÿV3W4 ôõX6 H2YGZ []\_^������U���U���Q�#)��QVþ ÿ."&`7a6ÿ���W��� �

ôõ HÞÿ��Gþ!bdc�*+e 4gf < 6^���,����ÿGhi���j� F ��)�)�ÿ�� -�k���l�Qm"�(n=þ��(ÿ.,����� �!xÿ��#�*ÿ F ��)�)�ÿoaX�#���(��)�) ap������)�ÿ.����l�Kþ��(��"� F �(ÿ��«ÿ���&����)�)q�����!(� ö ����) � ôõ �#)��Gþ��\r^������I���#� �]&���Xÿ�����)�)�ar�(� ����� ��ÿ����Kþ��s�������*ÿ�� �]þ'� `!�l� ÿ�ÿ���5������������j�t\ó�ò4î�ôuIv�÷&ø î$ùVîXú=û?ð]û;í;ü*ú�ê�ýDþ�ÿ������L�#���.Vþ ÿ��*ÿ�� �]þjÿ���t�V� ���Gþ[þw������������x�C���_��� ���!"�������Oÿ����*ÿ¨ÿ���w����� %�w����ÿ���G�(�Gþ��]þ#���(��)_*y����) � ö "����.-k����ÿ���w�(�Gþ��]þ#���(��)q�#��) �U"����.-1 ôu 1!8{z > 354 ôuW6xA|BEDdF �Kÿ���*wH B ��� ���#�Kþ�%�ÿ.� ôu H}z \W^������V���x�����#) �QVþ ÿ."�`7aÿ���W��� �

ôu H z0~�J�*z��mJ�*���� 4s* 6 e 4gfGç 6

^���L����ÿ�h���� ÿ���0������������ F ��)�)*ÿ�� -�U�.�l�Qq"�(n=þ��(ÿ._����� �! ôh��Kþkÿ������S������Vþ ÿ��*ÿ�� �]þS\^������5����� �!w���Xÿ�����)�)�a/�(� ����� ��ÿ���w�gþ������@���*ÿ�� �]þr� `!�l� ÿ�ÿ���w������������&�t\$�m'��)����þ��Gÿ.kÿ����*ÿ�ÿ��� ôu�ö �����.Vþ ÿ��*ÿ����]þ��Gþ�"0ÿ��� ôõ ������Vþ ÿ��*ÿ�� �]þ�� ��5��)��*ÿ."����

ôu HK��E��4g��J ôõE6 e 4gfGè 6ó�ò4î�* v7÷&ø î$ùVîXú=û?ð]û;í;ü*ú�êÖý þcÿ��#���0�����.Vþ ÿ��*ÿ�� �]þ0ÿ���5�V� ���Gþ[þ&�������s����W�����0��� ���!"�Kþ ÿ.��ÿ���t* ö �M)��Gþ��`7a���4ÿ.Vþ�"��Kþ�%vÿ.��ÿ��� F ���l)��������������5�Äÿ���t��� �6ÿ����*ÿmÿ�� -��Öÿ���þ�� %l�X`]���@���X�E"�����ÿ���&�#�[þ#�Xÿ�����&���|���Kþ ÿ.�iÿ���&* ö ����) � ö "�����-M\/^��#���W��4ÿ.Vþ�"�"��� � D �������l�����. D ���a&���7��� ��x`��@�Gþ����$�(�[ÿ��(\�ý þ�ÿ������+������Vþ ÿ��*ÿ�� �]þxÿ���5�������s����W���ÿ�����(�Gþ��]þ����(��)�*P����) � ö "����.-I�#)��������l�Q���(%l� �]þw�Kþ�ÿ����* ö �#)��Gþ� F ���l�������� �!��(� ����� �ÿ���'�Kþ��s�������*ÿ�� �]þ�����ÿ���&��ÿ��*ÿ.�\��m$�(��)�)��0��ÿ���'�������s����'�KþOÿ������j������Vþ ÿ��*ÿ�� �]þS\ý þcÿ������U�(���.kÿ���5�7���*ÿ�� �]þ�"�(n=þ��Kþ�%�ÿ���5��ÿ��*ÿ.vÿ�� -������#� ��ÿ����(��)�� ��) a��������#) t����������Kþ���kþ������]þ�����������)S��� ������þ�������� ��a

� �51��!�LH � �T4 B�6 ���E��e 4gfl� 6^���j*w�����.Vþ ÿ��*ÿ����]þm�(�Gþm`!I��`[ÿ����gþ�",�����l� ÿ���Äôu �����.Vþ ÿ��*ÿ�� �]þk`7axÿ�������Xÿ�� �]þ��� � bdc \

�¡ �¢ £w¤_¥§¦o¨L¥#©�ªl¦gª¬«�­=ª�®�¦o©L¯±°q¥#²o¨³ �����@����)���`�´��Xÿ F �������W�#�������2ÿ.Vþj`!(VþI���]þ�����"�(��"j�Kþj"������(������� �]þ��d���#���]Vþj��ÿ.���gþ�%n�)�"0ÿ���(����a&����ÿ���W��"�Vþ ÿ��(ÿoa&) �QVþ ÿ����ÿ���Qµ���) %�(`���� D �w��ÿ.���Kþ�%Qn�)�"r1 ¶+� F �����@�

Page 27: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

·_¸º¹M» ¼ ½º¾�¿7À'ÁsÂEÃGÄ�¹�Ã(¿,ÅMÁ�½@¾s¿XÀGÅ#Á�Æ ½xÇt» À7ìÈ(½�Æ É�ÊlË

Ì�Í+Î�Ï�Ð@Ñ�Ò�Ó�Ó ÔwÕ�Ö7×!ÕØ�Ù.ÕÚ$Ù.Ï�Ï�Û]Õ(ÔÜ Ý+Þ;ßtÜ�à�ÞLáâÜ�à�Þ;ßxÜ ÝUÞ�áâÜ�à�Þ ãgä�ålæ

Î�Ï�ÐtÒ�ç�Ô'Í.Ù.Ð�Ì�ç�è�é�ÕÓ�Ú Ü�à�Þ@êqë ÕIç�Ï=ì|èlÌ í�ÕIÒ�Û#Ò�Ø�îXè�Ð�Ïlï#ç�Ú$Ì�ç�Ú�Õ(×]Õç#Ú�Õç�ÙUØ@ð�Ò Ð�Ò�Ø�Ù.Õ(Ð�Ìòñó Ò Ù�Ì Ïlç$Ù.Ï Ü ÝUÞ@ê

ôOçKõ+ö¡÷øÓ�Ò�ç�èlï#Ò è�Õ�ù+Í�ï�Ø�ðCÎsï�ç#Ø�Ù�Ì Ïlç�Ò�ÓUÌ�ÍQÐ�Õ(×�Ð�ÕÍ.ÕçXÙ.ÕÚúÛ7ÔpÒ/Í.Ù�Ò Ù.Õpû ÝxÜUüþý'ÿÍ�Ò Ù�Ì�Í.ÎsÔ7Ì�ç�è±û ÝxÜ.à�Þ�� û à�Þ ÎsÏ�ÐGÒ�Ó�Ó Ü�à�Þ,ü�ý ùUì�ð�Õ(Ð�Õ�Ù�ð�ÕyÏlç�Õ�×!ÏlÌ�çXÙ�Îsï#ç�Ø�Ù�Ì ÏlçCÌ�ÍØ�ÏlÑQ×#ï�Ù.ÕÚ�Ïlç�ÒyÍ.×!ÕØ(Ì é#Ø�����×Mï�ç�Ø�Ù�ï�Ð�ÕÚ�Ú�Ì�Í.î]ùTÏlç�Õ�ì�ð�Õ(Ð�Õ�Ù�ð�ÕGÓ ÏEØ(Ò�Ó_Ø�Ï7Ï�Ð�Ú�Ì�ç�Ò Ù.ÕÍÒ Ð�ÕPÍ�ï�Ø�ðGÙ�ð�Ò Ù+Ù�ð�ÕxÓ Õ(ÎsÙUÒ�ç�Ú�Ð@Ì èlð�Ù+ð�Ò�Ó í�ÕÍ+Ï�Î;Ù�ð�ÕxìqÏ�Ð�Ó�Ú�Í�ð�Õ(Õ(Ù0Û!Ïlï�ç�Ú�Ò Ð�ÔQÒ Ð�ÕxèlÓ�ï�ÕÚÙ.Ï�è�Õ(Ù�ð�Õ(Ð ê û ÝxÜ Ì�Í�ÒGÍ�ï�Ð�ÎsÒ�Ø�Õ�Í.Ù�Ò Ù.Õ�ùSÍ�Ì�ç#Ø�Õ���ï�Í.ÙVÒ�ÍQû�� Ü Ì�Ù�Õç�Ø�ÏEÚ�ÕÍtÙ�ð�ÕIØ�Ï�Ð�Ð�ÕÓ�Ò Ù.Ï�Ð�ÍÏlç$ÒQ×#Ò Ð�Ù�Ì�Ø(ï�Ó�Ò Ð ��Ì�ÕÑ�Ò�ç�ç'Í�ï�Ð�ÎsÒ�Ø�Õ ê��Õ(×�Ð�ÕÍ.Õç�Ù�Ì�ç�è�Ò�ÍSï�Í�ï#Ò�Ó Ù�ð�ÕLì0Ï�Ð�Ó�Ú�Í�ð�Õ(Õ(Ù!Ò�Í;Ù�ð�ÕLï�×�×!Õ(ÐSð�Ò�Ó�Î�ñ Ú�Ì�Í.î�� Ü �#Ü�� ����� ������ ù�Ù�ð�Õ5Î�ï�ç�Ø�Ù�Ì Ïlç � á�� ��� "! ã#�læ_á%$ �'&)( �� *+( �-,'. � ãgä�älæÍ.Õç�Ú�ÍqÙ�ð�Ì�Íqï�×�×!Õ(Ð/�Xð�Ò�Ó Î!ï�ç�Ì�ÙqÚ�Ì�Í�îjÙ.ÏjÙ�ð�ÕtÎsï#Ó�Ó�ï�ç�Ì�ÙqÚ�Ì�Í�î�Ì�ç�Ù�ð�Õ � ×#Ó�Ò�ç�Õ�ùEÑ�Ò ×�×MÌ�ç�èÙ�ð�Õ�ÙoìqÏQð�Ò�Ó í�ÕÍqÏ�ÎdÙ�ð�ÕtÍ.Ù.Ð�Ì�ç�è ã � Ü ��ÜXá ���-0 �21 ��� Ò�ç�Ú3� Ü ��Ü�á ���40 �65 ��� æ Ù.ÏIÙ�ð�ÕÍ�Ò�ÑQÕ�Ì�çXÙ.Õ(Ð�í Ò�Ó��7� � á � �8*9� � 0 � � ��� ê ôoÙWÌ�Í5Ø�Ïlç�í�Õç#Ì Õç�ÙIÙ.ÏyÑ�Ò ×�Û#Ò�Ø�îmÙ�ð�ÕÚ�Ì�Í.îwÙ.Ï�Ù�ð�ÕWï�×#×]Õ(ÐUð�Ò�Ó�Î:��×#Ó�Ò�ç�Õ ê<; ï�ÐUé#ç�Ò�ÓdØ@ð�ÏlÌ�Ø�Õ5Ï�Î�Ó ÏEØ(Ò�ÓSØ�Ï7Ï�Ð�Ú�Ì�ç#Ò Ù.Õ5Ì�Í+Ù�ð�Õç

= á?> ��� ! ã#��æ�áA@CBED=ãF� ��� ! ã#��æ.æLá G ���* � . � ã � �H� æì�ð�Õ(Ð�Õ @ ì0Ò�Í+Ú�Õ(éMç�ÕÚwÌ�ç ã#I � æ@ê ÷�ð�Õ�×#ï#ç�Ø�Ù�ï�Ð�ÕtÌ�ÍqÒ Ù = á � ùEÒ�ç#Ú�Ù�ð�ÕxÌ�Ñ�Ò è�ÕxÏ�ÎSÙ�ð�Õï�ç�Ì ÙUï�×�×!Õ(ÐUð�Ò�Ó Î¡Ú�Ì�Í�î�Ì�ÍUÙ�ð�ÕPÎ�ï�Ó�Ó!ï�×#×]Õ(Ð�ð#Ò�Ó Î = ñ�×MÓ�Ò�ç�Õ êJ ç�Õ�ÖE×#Ó�Ì�Ø(Ì�Ù5Ð�Õ(×�Ð�ÕÍ�Õç�Ù�Ò Ù�Ì Ïlç§ÎsÏ�ÐjÙ�ð�Õ'Ì�Ú�ÕçXÙ�Ì Ù Ô/Ì�Í�ç�Ï=ì ÕÒ�Í.ÔrÙ.Ï,ì�Ð�Ì Ù.Õ ê ôOÎUìqÕØ(Ò�ç�é#ç#Ú'Ù�ð�ÕWÏ�×!Õ(Ð�Ò Ù.Ï�ÐLKNM8OQPQR ! Ù�ð�Ò ÙtÌ�ÑQ×#Ó ÕÑ�Õç�Ù�Í�Ù�ð�ÕWØ�Ïlç�ÎsÏ�Ð�Ñ�Ò�Ó�Ù.Ð�Ò�ç�Í.ÎsÏ�Ð�Ñ�Ò Ù�Ì�Ïlç> ��� "! ã = æ Ì�ç&Ù�ð�ÕIõ+ö¡÷2Í.Ù�Ò Ù.ÕIÍ�×#Ò�Ø�Õ�ù�ì0ÕWð�Òí�Õ

û ÝxÜ�á û � Ü K MSOQPQR !�T ã � � � æU ï�Ø�ðwÏ�×!Õ(Ð�Ò Ù.Ï�ÐUÑIï#Í.Ù_Û!Õtì�Ð�Ì Ù.Ù.ÕçwÒ�ÍqÙ�ð�ÕVÕ�ÖE×!Ïlç�Õç�Ù�Ì�Ò�Ó#Ï�Î;ÒjÓ�Ì�ç�ÕÒ ÐqØ�ÏlÑIÛ#Ì�ç�Ò Ù�Ì ÏlçwÏ�ÎÙ�ð�Õ5Ù.Ï�Ù�Ò�Ó ã Ñ�Ò Ù.Ù.Õ(ÐV&þèlð�ÏlÍ�Ù æXW Ì Ð�Ò�Í.Ï�Ð�ÏQè�Õç�Õ(Ð�Ò Ù.Ï�Ð�ÍLY�É I[Z

K M áA\8] R�^�R \`_ba8c�d ] a ^ a T ã � � G æ÷�ð�Ì�ÍPÑ�Ò î�ÕÍjÑ�Ò�ç�Ì�Î�ÕÍ.ÙWÙ�ð�Õ�Û#Ò�Ø�îXè�Ð�Ïlï#ç�ÚrÌ�ç#Ú�Õ(×!Õç�Ú�Õç�Ø�Õ�Ï�Î5û ÝxÜ ê U Ì�ç�Ø�Õ >�ã � æPá �Ïlç�Ó ÔG×]ÏlÍ�Ì Ù�Ì í�ÕÓ ÔGÑQÏ7Ú�ÕÚ W Ì Ð@Ò�Í.Ï�Ð�Ï�è�Õç�Õ(Ð@Ò Ù.Ï�Ð�Í�ÕçXÙ.Õ(ÐeK M ù#Ò�ç�Ú'ì0ÕWð�Ò¬í�ÕIØ@ð�ÏlÍ.Õç$Ù.Ï

Page 28: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

fHgHh ikjmlonqprts"uwvyxz�{S|�}�~�}���{9�[��� �"��{��[���H��}H��z"�S}H�:�:���6�y�[�6|C�[��{8�����8�/�����7�<� ��{9�y��{S���S��{8���"z �����S}H���C{� {S��{S~����:��{ � ~"{8�S��~�z"�:�H{8�����#~"�[���"��{9�m}8�����H~�{y �|�}H��z"���[�¡�H�£¢m¤�����~"{8¥�����~��¦���� � �¨§ ¢-©#ªF«w¬ ª/­S« f ¬

{y �|)®¯£°��±E² � ��³ �H´µ²�¶w·y¸¹ ³ § º ¢ © ªF«w¬¼»Q½ ² ¢qª ³ ¬ § ³�¾À¿�ÁS³ Á ¾)¿�ÂS³  ¾ÄÃSÃSÃ9ÃÅ �H~Æ{y �}H�6|���{H¤��#�H~Æ�"��{�Ç�~�z�� �y��{S���S��{8���"z �[��{eÇ�� � z

� ² § ¿�ÁmÈ � Á §ÊÉ ¿ ÁÁ ¾À¿�ÂmÈ �  § fË ¿ ÁÁ É gË ¿�Áy¿�Â<¾À¿�Ì6à ª/­S«�Í�¬�µ}�Î��:����¢ § ¢ Â�Ï�Ð"ÑVÒ {9�H���"}H�¦�ÓqÔSÕQÖ � Ñ § Ë � � {y �|X×�Ø'Á É ­Ë Ø£Ì ¾ ­Ë Ø<Ï ÉÚÙ­ Ë Ø'Û ¾

Ëf Ø�²¼Ð ¾ÄÜSÜSÜÞÝ�à ª/­S« g ¬ß �áà�â'ª Ë ¤äãk¬£�:���7}�~��¦}H���y{ �H�E�"��{��7}H�S�����å¤-æF«�ç Ø'Ð § «�¤�z��e�"��}��VæéèVç � ��{8zê���H�'�¦�6�#}H�y�� {S|C{8� � �[�å�"��{��`�H{S~�}H�:��z��S}H�:�:���6�F}H�y���H~Æ�HÐ7� Â���)�H���"}H�:�Ä�"��{ëÎH{S�2èìz��:�6|����À~"{8�S}H�¦�Æ�"��}�� ßXíêî �y�[�7ï"���[}��"���[��z�{8� � záØ � ���ª É ­t¬ � Ø ½ ��¤è § {y �|ê×ðØ ½ Á É ­Ë Ø ½ Ì ¾ ­Ë Ø ½ Ï ÉñÙ­ Ë Ø ½ Û ¾

Ëf Ø ½ ²¼Ð ¾ÄÜSÜSÜòÝ ç «wó à ª/­S«[ô[¬

� ���:z'{y �|�~"{8z"z"���[�¡�:z Ò {8�:�éõ � {SÇ4��{ � �:���"��{9��{S�H{8�C��~������S}��"�:�[��z�����{8�6{H�XöV������}2Ç�������{�����L�C{S~��H�'��{S~���ze�:�÷�"��{�z"���ùø � ����Ø ½ �ú}�~"{���{S{ � { � ��� Ò ~�����{6�"��{6{y �|�~"{8z"z"�:�[��H��è?��~������S}���{ � }��9z��[�6{6�[���H{8�+�:{S�H{8�Q�üûý�C{8}H���"���F����{y �|�~"{8z�z"���[�ë�þ�H~��"��{2� � {8�w�"�:�¼�z���~��:���2Ç�{8� � Ò }HzÆ�þ�[��� � ���¡ÿ<�:� Ò ��� � {S��}H�Q��� �Æ~"{8} � zç èXó § �������CÁ {y �|� É ËË � Ø ½ Á� ��� � ����� ç «wó

§ ÃSÃSà {y �|µª É ËË Â Ø ½ Á Õ ¬�{y �|mª ÉËË Á Ø ½ Á � ¬�{y �|µªFØ ½ Át¬Sç «wó ª/­S« Ù ¬Å �H~�� § «��V��~�}Hz"�H~"���H{8��{S~�}����H~�z Ò {e}H�:z�����}t�H{æéèVç ��� § « à ª/­S« h ¬Õ������ �"!�# �%$'&)(*(,+%-�.�/�021%- 3546�*�879&;:<�"&)�=��#>&)(*?A@CB9D�&;:'&)�%$<# # ?E$<F=&G$ $<F=#5?ADH:AIJ&G� #>?K$'&G$<#>�*?L�*�=!�# MN# �=!�# �%$@GI�$<F�#�M�&G:A$<�*� D�("&G:O.H/�0218- 3P4NIQ:'&)RS#OD=?A#�!5$<@ETE:<�,$<#�$<F�#ORC&GMVUXWY�2I[ZU]\_^>`%UX-;T F=#�:<#6^a�*?b&)�c.�/O0218- 354$A:'&G�=?KId@):<RC&G$<�*@)�X-=$<F�# �fehg�i jCkl \mehg�i j�nOj l \oehg=i j l W6pqF=#���@9RSMN@9?A�,$<�*@9�r("& Tojts Ñ l \uj s j l F�@9("!�?�*�r&wvqxtp_T �,$<Fy7)&)���*?AF=�*�=Bw��# �%$A:'&)(z�{F=&G:<B9#)-�&G?|�*?E$<F=#5� &)?A#>F=#�:<#)W

Page 29: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

}V~9���J���9���b�_���Y���|�t�%�����K�)���X���O�<���y��� �b�H�%� � �N�N��C���h���2�����;���N�8�¡ N�u¢���£h£J�H¤��%¥§¦o�©¨ª��«��G�h�t�%��¬;���­�N�8¨ª¬��N�¯®��8£h�±°q²K³X´¶µ·³N¸�¹|º¼»² »�´ ¸ ³Y½ ¸N¹|º  N�¿¾q�%¢��N�;�¯ N«��À¨ª��«t®��GÁ¬;�� �¬%ÃIJK��´a�J¬Å�; �¬;�h�;®��8��°6² »ÇÆHÈ=³X´�³zɶµÊ°6²K³X´ N�w�;�8ËXÌO�J�;�8�¿¾XÍ¿¬;�t�r�h�t�8«X¬;�J®O¨% �¬;�J��«Å³ÏÎлÇÆHÈ=³tÑL²K�h��´>¬;�t�y�N�8¨ª¬��N�]®O�8£h�¿�O N�S«t���6��£h�8� N«zÍb¤]�t�%�;���8£h�����h«¬;�t��Ò³Ï��£h N«t�N¥>Ów�t�8¨;ÔY�h«tÕŲK�h��´P�G�8ËXÌ��h�;�8���N�%�G�J¢�ÍY�h«tÕǬ;���2�V�h�V¬;�t��¨% N���¾6�N¬;��¢��N�aÒ³fµÄÖ�²K�h«�¢� N¨ª¬%Ñ�°q²9Ò³�µÀÖ�´w�h�w×%�%�;�X´�´C N«��_¢��N�aÒ³fµÙØÚ²K�h«Å¢K N¨ª¬]¢��N�aÒ³fÎÊØÀÑ°6²9Ò³b´VÛÜÒ³ É Ñ�¤]�O�h¨G���2�w�;�%Õ�Ì�£h ��] �¬¿Ò³fÎÊØÝ´)¥wÞy«_¬;���Ç�N¬;�t�%���O N«��Å¢��N��ÕN�8«t�%�G N£|ÓSßP�¤c�¼�O 8�N� àdáyâ ã É ¸ µåäæqç ² »¼ÆH´ ¸ àdáyâ)è ² Æ%é � ´ê5ë�ì íïî�ð>ñcòqó'ô õ�ñcö�òø÷Lùrú�õ�û>ô õüî�ýNò�ýNõOî�C�t�>�N¾O�;�%�;�= �¬;�h��«Ç¬;�� �¬P¬;�t�c�2�t�8«z¬;�h¬'Ír�h�E¬;�t�[�;Ìt�;¢K N¨ª�c�;¬; �¬��[ N�;�;�b¨%�h �¬��8�Ϥ]�J¬;�Ǭ;�t�cÁa ��þÇÿ������ «� �¬;Ì��G N£h£JÍ�£h�8 N���ÇÌ��r¬���¨ª��«��;�h���%�Ç _ÕN�8«t�%�G N£h�h×8 �¬;�J��«m¬����*¤[�8�tÕN���X£h�hÔN�|��¬; �¬��8��N¢C ��;¾O�J¬��G ��Gͯ N«�Õ�£J�N¥����Ϥ[�¿�;�� N£2£��� b��£h N�h«EÑ|¬;���h�Ç¢K NÁa�h£hÍu�N¢C��¬; �¬��8�8Ñ> ��G�h�;�h«�Õ_¢��;��Á��«�¨ª�¼�OÌO«�¨ª¬;Ìt�;�8�u���h��ÔY�%Ñ��� N��¬;�t�Ï�2«z¬��%�;�8�;¬;�h«tÕa���G�N�6�%�G¬'ÍÅ�N¢�¾q�8�h«tÕ  ¿�;Ìt¾O N£JÕN�%¾O�G �N¢¬;�t�����' N£JÕN�%¾��) Y¥¦o�¼¾q�%Õ��h«Å¾bÍ�¨ª��«O�;�h�t�%�G�2«tÕϬ;���¼Áa ��

� µ þ������ �� ²K³b´Vµ�� Æ��¶Ö'³ÆS»mÖ'³�� ��"! ² ÆNÆ%éz´¤]���h¨)���;�8«����[¬;�t�rÌ�«��J¬[Ìt���q�%�w�� N£J¢L���2��Ôa�h«�¬;�t�r³��O£h N«t��¬��a f¤c�8��ÕN�r�N¢| N«tÕ�£J� ÿ���� �¸�h«�¬;�t� � �O£h N«t�N¥�#YÌO¨G�_Áa ��O�w ��;�rÌ��;�8���2«¿¬;���y�O�JÕ��t�%�w�q���h«z¬w�h«X¬��%�G N¨ª¬;�J��«��[�N¢P�N�q�8«�;Ìt�q�%�G��¬��G�2«tÕÏ®O�8£h�Ŭ;�t�%�N�;ÍN¥����CÌ��GÌ� N£AÑt¤[�ÇÁa ���¾O N¨GÔ_¬��a¬;�t�ÇÌt���q�%�C�� N£h¢L�O£h N«��NÃÒ³�µ%$ ����� �� ²K³X´>µ'& ½ º ² þ ����� �� ²K³b´�´VµÄ¬; N«�� æç  ��G¨ª¬; N«|²K³X´ � è ² ÆNÆNÆH´( �%¬]Ì��w¬;���8«��t�%®O«���¬;���Ç¢� NÁ �h£JÍ �N¢5�;Ìt�G¢� N¨ª�Ç��¬; �¬��8�) �* é,+ç ---.

à é â0/21 ����� �� è ² ÆNÆ8æ�´¦Ä�J¬;�f¬;�t�S�; NÁa�[Á�%¬;���b��Ì����8�f¬��r¨% N£h¨%Ì�£2 �¬��[¬;���w�2�t�8«z¬;�h¬'ÍǤ[�S¨% N«�¤C�G�J¬��[ N«��� b�O£2�h¨%�J¬�� b���G�8�;�;�J��«Å¢��N�C¬;�t�8���¼¤c�8�tÕN�Ï��¬; �¬��8�%Ã---�* é,+ç 3 µ �� Y�54=» ç Éw»76� ç É98 ½OÉ � ç;: » Æ *� é ç : 8 ½ :» ² ç É »�6X´ª² Æ=< * �ÀÆ8æ> ç É �ÀÆNÆ ç : ´Æ?> � é ç � 8 ½ � �A@�@�@0B â éDCm² ÆNÆ � ´

Page 30: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

EFHG IKJML�NPORQ=S�TDU�VWYXZ\[�]_^a`cbdZ�b?e�Xgfb�Zih�jYbdkmlYb?nDh�kohqpsrut EFHG,vgw ]xt y{z |~}�b�b�|�^ G,F,��� WYXZ\[�]���`cb� b�h�h�jYbufH�e�������r�t�^?� G v w ]�t GDw�� W�XZ�[�z���`5bu��n�l���}���X�Xh�j��oko� k�ht � w ]�t EFHG v� w ]�b�� �5¡£¢ ^E¥¤�¦�§©¨ ^EHG�¤ª¦�« ¢ ^^^?�¬ G­¤ª¦�®�¨ E£¯¯DF,°°°H±­¤ª¦�²©¨�³�³�³0´ t GDw¶µ|�^^ ¯·�¸ jYb�b��Yko}�h�b?n�e�b¹Xº»h�jYb [{z � �oko��kohue��n½¼¥b ��n�l�b�Z¾}�h�X�X�l�º¿Z�X,�Àh�jYb�b�� ��Z�b?}�}�koX,nºÁXZ�h�j�bÂe�X,nYº¿XZ¾��������H�Äà ŻÆ�Ç�ÈRÉÊ |~Ë �MÌÍu΢¶z �[ �HZ¾e�h��nM|~Ë �¶µ |�^^ ±,�¸ jYbÂ���H�7j��}���`5b?�o��Ï·lYb���n�b?l��oko��koh��Y��h�XÐ��fH�n�ko}�j�kmn � }�e���okon � º¿�e�h�XZ?Ãs`�j�kme¾j�km}ko�����Hh�b�Z¾km��¶konÑh�jYbilYb��¶n�k�h�k�X,n¹XºÄh�jYbu}¾�YZ�º~�e�b\}�h��Hh�b ��¸ j�ko}»}�h��Hh�b¹t � w km}ch�j�baÒ�Ó O¿ÔHQ�Õ��¸ jYb�`cb?l � b\}��YZ¾º¿�e�bK}�h��Hh�b?}ªe��n ¼¥bKlYb���nYb?l ºÁXZ»e�X,nDh�kmn·�YX,��}�[PÃ��}5e��n¹¼¥b�}�b�b?nºÁZ�X,�Ö|�^^ E,���½× b�haØ�]ÚÙ ®�Û ÉÌ lYb?nYXh�bÑh�jYb¹`5b?l � b��n � ��b �ÝÜ nÞh�jYbàßá ��Z�b?}�b?nDh��Hh�k�X,nh�jYb�}����b�}�h��Hh�bÝe�XZ¾Z�b?}��¥X,n�l�}âh�Xã�½}�b?e�h�XZÑXº\�n � ��bÞ^?� G v |¿[ã¢ä^ ���%å n�lYb�Z }�h��HZ�a���oh�k����okoe��Hh�koX,n��n � ��b?}aXº�}�b?e�h�XZ¾}â}�ko������p7�l�l ��¸ j���}Âh�jYb¹��Z�X�l���e�huXº���`cb?l � b`�k�h�jÐ[½�n�l�X,n�bi`�k�h�jÐæÀko}»X,n�bu`�k�h�jÐ[ ¨ æç¢è^ �ééé EFHG,vê,ëäìií ééé EFHG,vê § ì ] ééé EFHG,vêë ¨ ê § ¢î^ ì µ |�^^ F,�Ü h�ko}�e���b?�HZ�º¿Z�X,�xh�j�ko}»b?ï����Hh�k�X,n�h�j��Hht � w í t � w ]�t � w |�^^ °�¸ j�ko}ªko}»h�j�bu��Z�X£ð�b?e�h�XZ���Z�X�¥b�Z�hñp¹Xº2h�jYbu}¾�ok�fb�Z�}�h��Hh�b �¸ jYba`cb?l � bâ}�h��Hh�b ééé Ù ®�Û ÉÙ w ]àt�^?� G v w j��}K�n�kmnDh�b�Z�b?}�h�kon � kon·h�b�Z���Z¾b�h��Hh�k�X,n �Kò X,nYó}�kolYb�Zªh�jYb í óR��Z�X�l���e�hªXº2hq`5X fH�e������x}�h��Hh�b?} �cô bako� ��b?l�ko�Hh�b?��pÑj��?fbt GDw í t GDw ]�t�^?� G v w í t�^?� G v w ]�t�^?� G v w¶õ |�^^?� �`�jYb�Z�b�`5b����lYb���}�b�Xºi|�^^ F,���Ѹ j�ko}\�n�}�`cb�ZÂkm}\b?�}�ko��p7��n�lYb�Z�}�h�X·X l7k�º�`5b�Z�b?e���m�h�j��HhÂh�jYbÐö × |���Ãø÷ � fH�e������Àl�b?��b�h�b?}u����n�e�h��YZ�b?} �¹Ü hÂh�jYb?n½º¿X,�o��Xg`�}iº¿Z�X,�ùh�jYb¹l�ko}�ú��Z�b?}�b?n·h��Hh�k�X,n�Xºsh�jYb�fb�Z¾h�b���h�j��Hh©h�jYb�Z¾b?}�����h�kon � }¾�YZ�º~�e�b�ko}©�iX,n�e�b�����n�e�h��YZ¾b?l�l�ko}�ú`�k�h�j���^?� G,v `5b?l � b ��å }�kon � h�jYbu[�] E e��}�baXº»|�^^ E,� `cb � b�h�rt GDw í t GDw ]�b�� ��û�¢ ±� °¥¤ª¦�§©¨ ^ E¯ � F;¤�¦�« ¢ E ^ °E ¬ EFF�¤�¦�®©¨ ° ^ ±� EF ^?¬ FĤ�¦�²©¨ µ�µ�µøü t GDw¶µ|�^^?¬ �

Page 31: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ý�þ�ÿ���������� �������­ÿ������������������������� � ��"!��#� $&%�'(�)+*-,/.�021�324657*�8-9;:<.�=>)+4@?&A-A�)�5B)�C&. 8-*-A�.�=@465B?�=79>8-D�5B)�E�D+)+,�?�5B)�32*F5B1�. 4B8�:�46E�?&,/.GIHKJBLMONQPKR 3&ST021�32465U*�8-9;:V.�= W�.�=B3X465B?�56.O4Y)+* G MONQPZR )[4\)�5B4B.OD�S]?^4B8�:�?&D+0&.�:-=_?�`Uab1�.�=_.@)[4?&* .�C&.O*I4B9c?&D+D�.�=b8-*-)+C&.�=_4B?&Dd4B8�:�?&D�0&.�:-=_?@?�5b021�324B5e*�8�9Y:<.�=fW�.�=B3�`fgh32*-4B)+A-.�=

G HKJBL_i�jhk]l (�E�?&*�m jon+pqnr�s_tdu�u�u j]n+pvnr�sxwzy {}|�~�� P������ u i ' � { k� .�=B. j n+pqn A�.O*�3&56.O4�5B1�.h,/329Y:�)[*�.OA;9c?�5656.�=o?&*-AY021-32465 i��e� { kd� )�=_?&463&=_3e3&E<.�=_?�563&=_4�`� *-A-.�.OA�4B)+*-,/. y {}|o�;y {}|;� G HZJBL i�jhk�i 46.�. i '&'O� k )�5�S�32D+D�3��e4�S=_329�5B1�.7,/32*-46.�=_CQ?�5B)�32*D+?O�e4;5B1-?�5�?&*���E-=B3�A-8-,/5U3&S\A�.O4B,/.O*-A�.O*�5B4>3&Sb5B1�.�CQ?&,�8�8-9��\)+D+D�:<.�?�A�.O4_,/.O*-A�.O*�53&S y {}|o�Uy {}|Y� G HZJBL i�jhk ?&*-A�5B1�8-4�?^A�.O4B,/.O*�A�.O*}5�3&ST5B1�.�C�?&,�8-8-9 `Yae1-)+4�,/32*��-=_9c4G HKJBL i�jhk )+4f?�4B8�:�?&D+0&.�:-=_?�` � 5f�T328-D[A^:V.U)[*}56.�=B.O4B5B)+*�0@563c)+*�C&.O465B)�02?�56.>)�5b,/32*-,/=B.�56.OD��&`� ���V�f�¡ £¢B¤\¥]¦@�d�§�;¨�¥o©��V�dª\«�©�ª ¨�¬� .�=B.Y�T.>)+*}C&.O4B5B)�02?�56.Y5B1�.;­�8�.O4B5B)�32* �e1�.�5B1-.�=e5B1�.Y®\.O8-97?&*�*X,/3�.�¯�,�)�.O*}5 97?�56=_)+,/.O4,�?&*°:V.�A-)+?�0&32*�?&D+)�W�.OAd`±(�)+*-,/.�5B1�.O46.�?�=B.�)+*���*�)�56.²97?�56=�)+,/.O4�³ �e)�5B1´,/329�E�D+)+,�?�56.OA./µ�E-=_.O4B4B)�32*-4¶5B1�.]E-=_3&:�D�.O9·)+4¸­�8�)�56.]*�32*�56=_)�C�)+?&Dx`�¹�*�.],/328-D+AY1-?OC&.h./µ�E<.O,/56.OA>A-)+4B,/=_.�56..O)�0&.O*}C�?&D+8�.O4º5B1-?�5¸?&,�,�8�9;8-D[?�56.h?�5�46329�.]E<32)+*�5B4�³Q:�8�5d5B1�.T=B.O4B8-D+5º)+4¶­�8-)�56.]4_8�=BE-=_)[4B)+*�0�`ab1�.^®e.O8-9c?&*-*»97?�56=_)+,/.O4�1-?"C&.X,/32*}5B)[*�8�328�4>4BEV.O,/56=�8-9 ` � 5@4B.�.O974�D+)�¼&.OD���5B1�?�5@?E-=B3&E<.�=U8-*-A�.�=�465B?&*-A-)+*-0�3&Sz�e1��²5B1�)+4�)+4�5B1�.7,�?&4B.�97?"��)[D+D+8-97)[*-?�56.;5B1-.74656=_8-,/5B8�=_.3&S]5B1�.7(�5B?�=U?&D�0&.�:-=�?�`Uab1�.@A-)+?�0&32*-?&D+)+WO?�5B)�32*I3&ST5B1�.O46.�97?�56=_)[,/.O4 1�?&4 ?&D+=B.O?&A��I1-?&A46.�C&.�=_?&Dº?�E�E�D+)+,�?�5B)�32*�4�³�46329�.�3&S��e1-)+,�1^�e)+D+DV:<.�A-)+4B,�8�4B46.OA 1�.�=B.&`½ .Y�e)[D+Dd,/32*-4B)+A-.�=e1�.�=B.U5B1-.;®\.O8-97?&*-*X9c?�56=_)+,/.O4b=_.OD�.�CQ?&*�5e563�5B1�.Y9>8-D�5B)�E�D+)+,�?Q¾5B)�32*73&SdW�.�=B3>9�329�.O*�5B8-9±465B?�56.O4�` ½ 1�.O*�9>8-D�5B)+E�D���)+*�0 W�.�=B3;9�3297.O*}5B8-9±465B?�56.O4T�T.,�?&*I8-46.

y ¿À�OÁÃÂ7|qÄ � Å"Æ ¿�y�Ç Æ ÂXyÉÈ-ÄO|�~ i ' � ' k�e1�.�=B.�5B1�.�5B1-=B.�.Y4656=_)[*�0@C&.�=B56./µ yÉÈ Ä | )[4f02)�C&.O* :��yÉÈ Ä | � ./µ�E i#ÊbË>k y {�~�Ìd| Å Ç6Ä ~ i ' �&� k�e)�5B1 ËÍ� '� ÎÐÏ

Ñ ÒÓ Ñ Ô"Õ tÖ&×�Ø�Ù HZÚBL ×QÛÁ È ÚBÜÁ N Ù HKÜqL

Ø�ÛN u i ' � $ k� .�=B. Ù HZÚ6L ×Á ³ Ù HZÚ6L ×QÛÁ ?�=B.c*�32*�¾�W�.�=_3I9�3�A�.797?�5656.�=Y324_,�)+D+D+?�563&=_4BÝ@?&,/5B)[*�0X32*�5B1-.�Þ�¾�5B14656=_)+*�0�465B?�56.>*�3&=_97?&D[)�W�.OA 46375B1-?�5

ß Ù HZÚBL ×Á ~ Ù HKÜqL Ø�ÛN à � Ö ×QØoá Á N á ÚBÜ ~ â�~6ã � ' u i ' �Qä kåqæ�çXè�é"ê�çQè_ëíì_ë�îÐè�ç²ï�ð ñ_ò&ó�ô2õ+ö�÷;øùð ñ�ú&ô ûFü Ô�ýþ2ÿ�� � ��� � ôÔ ö�� Ô � t øùü Ô� ôÔ ö� Ô � t�� ì_ç� ò&ó�ô}õ+ö�÷�ò&ó��"õ���÷������"ô�����ñOõ+ö�����÷����

Page 32: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

"!"# $&%('�)�*,+-/.10�23547684:9�;84=<?>A@CB/DCE/FG4IH=J�E�KMLON�4QPR@CB/DSUTWV L�E/FAX5Y�Z\[^]�_�J";G6A<?>a` SUT E/F84IE V LbP/EH=J�E�KMLdcAegfC]h S&i SjT�k 354lJ"mbP�n=684:9�;84"op B�Drq `l@ B/Dts eg] #"u hv >?N:mOLbNIP/>?H=H=4:E�K/>AK/4QmbJ�E�4QPRE/FG4QP�4wH=J�E�KMLbN�4QPxP�nWE/FGJ�ERE/F84:KM4yJ�KM47nz;�m�>AE/F8K/4:4wLb;�684�{| 4Q;�684Q;1E}H=J�E�KMLON�4QP}p�~�~Q_�p�~���J";G65p���~ kl� F84QP/4�H=J�E�K�LbN�4QP�N�nzH=H��8E�4 V L�E/F�4QJ"NMFn"E/F84:K�J";G6wJ�KM4CK/4QJ"m�P�>�H=Hx4:E�K�LbN k�� �8K/E/FG4:KMHxn"K/4"_ V 4lFGJ�"4CE/F84CKM4QmbJ�E/L�nz;GP:op ~��U� p ��~rq ]�fAp ~�~ Y p ~�� p ��~rq p ~�~ e�p ~�~ f�]h s eg] #"! hV FGLbN�F�J"mbmbn V �GP�E�nA684:E�4:KMH=LO;84�E/F84y4QL��"4Q;���J"mb�84QP�n"�&p�~��yJ";G6�p\��~xLb;�E�4:KMH=PRn"�E/F8nzP�4Rn"�jp�~�~ k�� �GK&H=J"LO;��"nzJ"m V LOmbmt<4lE/F84x684:E�4:K�H=Lb;GJ�E/L�nz;�n"�UE/F84�4QL��"4Q;��"4QN�E�n"KMPJ";G6�4QLb�"4Q;1��J"mb�84QP&n"��E/F84RH=J�E�KML�c�p ~�~ k&� n"KCN�nz;1�"4Q;�L�4Q;GN�4Rn"�U;8n"E/J�E/L�nz;�_���K/nzH�;8n Vnz; V 4�P/FGJ"mbmt684Q;Gn"E�4CE/F84CH=J�E�KMLON�4QP�p ~�~ J";G6�@ ~�~ <�>wp J";�6�@�K/4QP | 4QN�E/L��"4Qm�> k� F84�9GK�P�E���4 V 4Qm�4QHx4Q;�E/P�n"��E/F84lH=J�E�KML�cyp J�K/4

p q ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢

f¤£�/¥ ¦ § ��g¨ §/© § ¦ f ¨�~�ª © £~�«�ª�¬ § ­:­:­¦ f ~ §�g¨ § ¦ £ ~�� © �~�«�ª�¬ § ¦ ­:­:­§ ��g¨ § © § ¦ f ¬�« §~�«�ª�¬ § ¦ ~ £�® ¨ © ££ « ® ¨/« © § ­:­:­¦ £ ~�� © �~�«�ª�¬ § ¦ f £ ~�� £~¯¥�¥�~,¨M¥ ¦ ­:­:­f ¨�~�ª © £~�«�ª�¬ § ¦ ~ £�® ¨ © ££ « ® ¨/« © § ¦ f ¨�~�~�ª £~ £ «g¨ § � § ­:­:­kkk kkk kkk kkk kkk kkk

°M±±±±±±±±±±±²eg] #z³ h

� F84 v ��� Hx4:E/F8n�6´�µ�8KM;GLbPMF84QP�J";�LO;1E�4:�"KMJ"m�4�c | K/4QP/P/L�nz;���n"K�E/F84l4Qmb4QHx4Q;1E/P�n"�Up�~�~ k� n"K¶E/FGLOP | �8K | nzP�4 V 4l;8n"E�4CE/F84��"4Q;G4:KMJ"m���n"KMH��GmbJw· ¹¸zºp SUT q egfC]h S¼» ~½ XwZ ¾ ®�¿zÀ#�Á ¾ ®�¿�Ã#�Á ]à S À T Ä�Å e à h Ä�Å e À he Ä e à h�f Ä e À h�h �

Y eg] #"Æ hV F84:K/4"_8��n"K�E/F84CE/FGK/4:4CP�E�KMLb;G�x�"4:K/E�4�c�_

Ä e à h q^Ç ] �  Ã]�f  ÃÈ �/É § s eg] #"Ê h

Ëjn"E/F À J";G6 à LO;1E�4:�"KMJ�E/Lbnz;wN�nz;1E�nz�8K�P�J�K/4CN:L�KMN:mb4QP�J�K/nz�G;G67E/F84�n"KMLb�zLb;t_ V L�E/FyE/F84 ÀN�nz;1E�nz�8K�mb>?Lb;G��nz�8E/PMLb684&E/F84 à N�nz;1E�nz�8K_GJ";G67<�n"E/FyN�nz;�E�nz�8KMP�mb>?Lb;G��Lb;GPMLb684�E/F84��G;�L�EN:L�KMN:m�4 k

Page 33: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ÌUÍ�Î�Ï�Ð�Ñ�Ò�Ó?ÔwÕ�Ö�×7ØÙÎ8×:Ó�Ú�ÕµÑ�Ò�Ó�Ô7Ú�Õ,Û�Ñ}Ü&Ï Ô?×Ý:ÑgÛ Þ"ß"Þà�á�â ã7ä�åtæUçéè,êzëwìxè,í�î�æÙï�î�ð?ê�ñ�ò1ëó¶ô:õ/ô�öjô7÷bø1ù�õMú?ûGü�ý�ô=þ´ÿ=þ�ù�õM÷���� ä õ/ô���õ/ô���ôQø�ù/÷bø�´ù�8ôIþ"ý�ù/÷�úzøAú �¼ù�8ô��/ù/þ�õ���þ ���"ô��GõMþû8ô:õM÷���þ�ù/÷�úzø�� ä�����ä������tä! #" ôyö¶÷$�$�%�ô7þ&�'��ô�ù�ú)(�øGûaô!�*�+�b÷bý:÷�ù,��ú"õMÿ-�.��ú"õ�ù�GôôQ÷��"ôQø/�"ôQý�ù�ú"õ0��þ"øGûyôQ÷$�"ôQø/��þ �bü8ô���ú �1� ä� %2 ø3��þ�õ/ù/÷bý:ü4�Oþ�õ�öjô,���þ �$�5��ô:ôCù�Gþ�ù�� ä Gþ ��þø8úzø6��û8ô��"ôQø8ô:õ�þ�ù�ô&ý�úzø�ù/÷bø?ü8úzü4�7����ôQý�ù�õ�üGÿ 82 ø�ù�8ô�ø8ô!��ù7��ôQý�ù/÷búzø�örô9���þ �$�4��8ú�ö ù�Gþ�ù� ä þ"øGû3: ý�úzÿ=ÿ�ü8ù�ô ;Gþ"øGûIù��ü'�Uù�8ô&ôQ÷��"ôQø<�"ôQý�ù�ú"õ=��ú �>� ä þ�õ/ô&ôQ÷��"ôQø/�"ôQý�ù�ú"õ0��ú �?: @Gü8õ/ù�8ô:õ�þ"øGþ ��A6�/÷$�¼ö¶÷$�B��õMô��"ôQþ ��ù�8ô�õ/ô��Oþ�ù/÷�úzøC�ô:ù�örô:ôQø´ù�8ô�ôQ÷$�"ôQø/��þ �bü8ô�� " ôD�ô��z÷bøyúzü8õ�þ"ø�þ ��A*�M÷$�E�<Ayõ/ôQý:þ �B�b÷bø�Rù�Gþ�ù�ù�Gô�ú ��ô:õ�þ�ù�ú"õ� äF����ä?�G���tä HJI Þ&K/L÷$��þ�û8ô:õM÷���þ�ù/÷�úzø�ú ��ù�8ô���ù/þ�õ�þ ���"ô��Gõ�þ-M Þ&K&N 1" ô¶ü4��ô�÷�ù���þ"ý�ù/÷�úzø=úzø��úO�/÷�ù/÷��"ô���A�ÿxú?ûGôQûúO�/ý:÷$�$�bþ�ù�ú"õ0�QP/Ryþ"øGû S RUTWV X>P/R HJI Þ I Lö¶÷�ù�3XZY I ù�úIû8ô�(�ø8ô�ÿ=þ�ù�õM÷Oý�ô��[� ä þ"øGû]\� äM � ä�^�_a` PON5T H � ä�_ L ` PUb V c _?äedM � ä ^�fg` S N5T H \� ä f L ` S b f ä S?h1i HJI Þ c Ló¶ô:õ/ôlöjôD�þ��"ôl÷bø�ù�õ/ú�ûGüGý�ôQûyù�8ôD�"ôQý�ù�ú"õ&ø8ú"ù/þ�ù/÷búzø

j ` P-T klR m ä j R*P/R ^ n.` S T klR m ä n R S R ^ HJI Þ"ÞOLþ"øGû.�Mü�4�Gõ/ô��=��ôQûCù�8ôEo�ú"õMôQø1ù�p¼÷bøGûG÷Oý�ô�� q2 û8ôQø�ù/÷��rA�÷bø� _q` P�ù�ú f�` S þ"øGû�ü'�/÷bø��ô�s BHJI Þ Iöjô,�"ô:ù�; _ R � V X f R i HJI Þut<L@8õ/úzÿ HJI Þ I L0;�öjô.Gþ��"ô�ù�8ô�õ/ô��bþ�ù/÷�úzø

H \� ä Lwv R �yx Xz H � ä Lwv R i HJI Þ {OL|9�/÷Oø�xù�8ô,��ù/þ"øGû�þ�õMû´ý�úzÿ=ÿ�ü8ù/þ�ù�ú"õ=��}M � v ^ Sq~R N � bQX S ~vF� R ^ HJI Þ"ßOLöjô���ô:ô&ù�Gþ�ùjù�Gô�ÿ=þ�ù�õM÷���� ä ÷$����A�ÿ=ÿxô:ù�õM÷bý&;?ù�8ô&ûG÷bþ&�"úzøGþ ��ô���ôQÿxôQø�ù��¼þ�õ/ô[p:ô:õ/ú;8þ"øGûù�8ôCúzø4��A7ø8úzø6����þ"øG÷$���÷bø��ôQø1ù�õM÷bô���þ�õ/ôCúzø8ô,�/ù�ô���þQö¼þ�AC��õ/úzÿ ù�GôlûG÷bþ&�"úzøGþ �H \� ä LwR v � b H X�b I LJ��R �tä�� v b H X ��I LJ��R � ä�� v ^H � ä LwR v � b,� X H X�b I LJ��R �tä�� v b]� X H X ��I L���R � ä�� v i HJI ÞO� L

Page 34: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

� �u� ���8�>�%�������/�!��6�$�4�!�,���9�-�& '¡Q¢w£[�$¡�¢[��¤ ���¥¢�¦-¢w£[�$¡�¢[¦*§4§¥¡�¢��&¢���¡�¨©¢�ª�D� ¡�¡�¦6���$�&¢���§)�-�&¢�«=�$�!��¡9� �/¢���¬�!¦O�-�.­4¢��,£[��¢�ª3¢�ª�.�-�&¢�«=��®¥¯U¨°�± ��² ¯U³�´ °4µ± ��² ¯U³�´�¶E· ¸J¹ � ºO»¼ �B�4� ½$½�¾ ¨¡��$�'�!�,�C�[�$¡Q�$�<¤&�&«=�$� �<¢�­4�4§��«Qª��«=����¢��$� �C�!¦O�u¿�­ÀO�&¢���¦O�Á¨'£��,ª4��¤ � Âà �C� ²�ÄaÅ�Æ*ÇwÈ ´yÉD¸ ± � Ä » Å�Æ*ÇqÊÌË ÍuÄ �ÏÎD· ¸J¹ � ÐO»

Ñ ¢F�$¡F� ½$¡�¦.�!¦O�<¤ ���4�����<¢F¢�¦a«=�� 4«���¡����<¢7¤ ���!¢�¦ «=¡E¦ ÒÁ¢w¾< 5��ÓÔ¸ÏÕ>Ö�×'� ¡=�$¡ » �B�-¢���«=�-¡�¦ ÒÒr¦ «=��� ½Á 5¦�£F��«[¡���«=����¡[�$�C�U¤u�&«0�$�&×'½��,بÙuÚ�¸eØ »7Û ÜÝÖ Þ?� ÓQÖ<Ø Ö · ¸J¹ � ¶ »

ß ��¢�ª�¢�ª4�$¡Q§��à'�'��¢���¦O�á£��.�¦ ¢��,¢�ª4�&¢Ù â©Ú)´ãÙuÚF¸JÉ�Ø » · ¸J¹ � ¹ »ä ¡��B�À���å'æB¸J¹ � �O» ¸ç¦ «á§4��«����!¢�½�¾èÒç«�¦O�é��å+æB¸J¹ �Oê » £��¥¡����¥¢�ª4�&¢ë¢�ª��¦  5��«=�&¢�¦ «ë����´ì � Ê ìQí �-¦O�î¢�ª4��×'� ¡��$¡-¦ Ò�Òe­4�4�!¢��$¦O�4¡U¦ ÒïØ��$¡U«��� '«���¡����<¢���§]×*¾è¢�ª4��§4��ð5��«����/¢��B� ½¦  ©��«0�&¢�¦ «� ñ � Û ÉD¸J¹ Ê Ø/ò »9óó Ø · ¸J¹ � Í »ô ¦ «��C¡� 5������à+��� ½$½�¾ ¨8£[��¢�ªõ¢�ª�ë '«�¦�¤6�$¡�¦#¢�ª4�&¢��!¦O�4¡�¢�� �<¢a¢���«0�-¡a¦ ×4¢�� �$���§è�&Òr¢���«�¢�ª4�� �!¢���¦O��¦ Ò8¢�ª�D§4��ð©��«����<¢��$� ½5¦  5��«=�&¢�¦ «[�&«=�,¢�¦-×5�,§«�¦  4 5��§Á¨*£F�Dª4��¤ �Ù µö8÷ Ú ¸eØ » ´ñ � Ù Ú ¸eØ » · ¸J¹ �/�O»Ñ ¢��$������§4�$�&¢���½�¾ëÒr¦O½B½�¦�£[¡�Òr«�¦O�ø¢�ª4�$¡E��å*­4�&¢���¦O�C¢�ª4�&¢µ± ��Ó,ù�ú�û?´ýüQÓ,ù�ú�û þ ñ �0Ù Ú?ÿ���� ´ãü'Ù Ú?ÿ���� ÊîÆ[² ¸J¹ � �<»£[ª��«��U¢�ª���!¦O�4¡�¢�� �<¢ Æ �$¡�­4¡���§ ¢�¦�� ���!¦O­4�<¢,Òç¦ «ï¢�ª�UÒç� �!¢ï¢�ª4�&¢ï¢�ª4�-� �!¢���¦O� ¦ Ò�¢�ª4�§4��ð5��«����/¢��B� ½5¦  ©��«0�&¢�¦ «[�.­'¡�¢�×5�ï¡�­ 4 '½$�������/¢���§3×*¾á«�����¦�¤6�$�À�¢�ª4�D�!¦O�4¡�¢�� �<¢[¢���«=��æ� ª��«���Òç¦ «��D¢�ª4�.����À ���<¤&� ½$­�a 4«�¦ ×'½�����Òr¦ «�¢�ª�U�$�à'�'��¢��,�-�&¢�«=��® µ± ����� �)×5�.¡�¢�­4§'����§� ¡.¢�ª4�ë����À ���<¤&� ½$­�á 4«�¦ ×'½���� Òr¦ «a¢�ª�3§4��ð5��«����<¢��$� ½ ¦  5��«=�&¢�¦ « ñ �a¦O�õ¢�ª�3¡� '� �!�3¦ ÒÒr¦ «=��� ½5 ©¦ £���«9¡���«=����¡�æ � ª�ï§4��ð5��«����/¢��B� ½+��å*­4�&¢���¦O�¥�&ש¦ ¤ �D�$¡E«���� §'�$½�¾��$�<¢���À «=�&¢���§C¢�¦à'�4§ Ù Úqÿ���� ¸eØ » ´yÉ ¹ü �!®* 8¸JÉ[üQ¢�� � í � ¸eØ »�» Ê ¹ü Û ÜÝÖ&Þ?� ÓDù ú�ûÖ Ø Ö ² ¸J¹ ���O»

Page 35: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

� ������� ����������� �!�"�#�%$��&�'���(� $)�+*��-,.� ���0/#�1* 24345687"9#:�9<;�7"9�=0>49#:�?4@A@(B"=4:�CD?4@FE�GH?�;�E�=IBJ7K?4LNMO9#9HBQP�7"=ILR9HBSLR=T;�7K?�;!UJVXW0YZ\[^]�_a`<b�c ?4BKd)EAB"e;�7"9S?�Mf=0>49gEAB c =06h9#:�L8=4ikjl?4BKd%mKL�EFB"eon ]qpIr�s =IB"9SP#?4B%:�9H?4do;�7"9tPq=(9#ulP#E�9HB�;�L.UQVvW0Yw687KEAP'7yxyMf9HP#?4mKLR9t=4i-n ]qp4p(s-c :�=0>�EAd"9g?4Bz9HEAe49HB�>49HPq;R=4:S=4i|{} Z _g~ 7KEFL�L�7K=068L�;�7)?�;�{} Z7K?4Lg? �����)�1�����(�#�O�q�R*4���%�������&���K�K����� L c 9HPq;R:�mKC _�� 9�P#?4B�;�?��49���� ��������x?4BKd�;�7K9#:�9oEAL�9 b ?4Pq;�@A��=IB"9%9HE�e49HB�>49HPq;R=4:�i�=4: 9H?4P�7�>�?4@Am"9�=4iS� _�� =4;R9%?4@FLR=�;�7K?�;9H?4P�7�9HEAe49HB�>49HPq;R=4:�=4i {} Z c :�=0>�EAd"9HL�?4B�9HE�e49HB(>49HPq;R=4:lU VvW0Yw =4i } Z 6�E�;�7�;�7"9�L�?4Cg99HE�e49HB�>�?4@Am"9Jm)L�EAB"et;�7"9J:�9H@A?�;�E�=IB��KVXW0Yw [ � ¡ UJVXW0Yw _�~ 7KEALhi�=I@F@�=068LTi�:�=IC¢9H£ _ n ] 2 p(s'_¤ ;�i�=I@A@�=¥68L.i�:�=IC¦n ]qpK]0s ?4BKd�n ]qp 5 s ;�7K?�;S§�U VXW0Y [ �¨U VF©)W0Y ?4BKdª;�7"9#:�9#i�=4:�9t6k9P#?4B�i�=4:�C¢@AEABK9H?�:«Pq=ICSM)EAB)?�;�E�=IBKL¨=4iad"9#¬)BKEA;R9�;�68EAL�;

U VvW0Y­ ® ]¯8° U V�©)W0YO± U VvW¥Y+²-³ n ]qp 3 s;�7K?�;8L�?�;�EAL�i�� §zU VvW¥Y­ [ ´ U VvW0Y­¶µ n ]qp(·4s¸a¹�º »�¼)½�¾N¼À¿!Á4ÂOÁ�¼�Ã(Ä«Å Z ÂfÆk½ÈÇÉ e49HB"9#:'?4@N6h9Hd"e49QLR;�?�;R9�Ê ËªÌ«P#?4B�MO9�9 b�c :�9HL�LR9Hd�?4L

Ê ËªÌ [ 9 b�c�Í � ]¯fÎ�Ï<Ð n+§.ÑNÒ s ÐHÎ�Ï1Ó Ê r Ì ® 9 b�c ° �8Ô�Ò ² Ê r Ì ³ n ]qp�ÕIs687"9#:�9�Ö ] ¯Ø× ÑNÒ [ Ñ�ÙÚn1�«Ñ s Ò © Z] ��n1�«Ñ s Ò µ n ]qp�ÛIs~ 7"9-CD?�;R:�EAPq9HLhÑNÒÚ?�:�9�:�9H@F?�;R9Hdl;R=g;�7K9 � 9HmKCD?4B)B Pq=�9#u�P#E�9HB(;�L¨=4i!;�7"9�Ë��¨;�7�Pq=ICtÜc @�9#;R98=¥>49#:�@A? c LR;R:�EFB"eQ>49#:�;R9 b x)Ý)Ò [ §.ÑNÒ _ ¤ C c =4:�;�?4B(;kL c 9HP#EA?4@�P#?4LR9HL«?�:�9�ÑyÞ [ Ñn�;�7"9QL�@AEA>49#: sàß ?4BKd�Ñyá [ âÈ_~ 7"9g9HE�e49HB(>49HPq;R=4:�LQ=4i�ÑNÒã?�:�9g;�7"9DL�?4Cg9gi�=4:Q?4@A@a;�7"9DC�?�;R:�EAPq9HLJEABª;�7K9gi�?4CDEF@��4x?4BKd%;�7"9S9HEAe49HB�>�?4@Am"9HL-?�:�9t:�9H@A?�;R9Hdª?4P#Pq=4:�d)EAB"e�;R=�;�7"9|?�Mf=¥>49gi�=4:�C|mK@A? _Qä = 6h9tP#?4BL�EAC c @A�.i�=�P#mKLa=IB|Ñ�?4BKd�å¥=4: âã_æ� 9TL�7K?4@A@(¬K:�LR;æ9HLR;�?�M)@AEFL�7Q;�7)?�;<;�7"9«9HE�e49HB�>49HPq;R=4:'Lç=4i} Z ?�:�9¨9HE�e49HB�>49HPq;R=4:'Lç=4i â ?4BKdt=4i â Z�è ?4BKd â è Z _<~ 7"9HB|6k9¨¬�BKd|;�7"9«9HE�e49HB�>�?4@Am"9HL=4i â ³ â Z�è xK?4BKd â è Z Pq=4:�:�9HL c =IBKdKEFB"et;R=�?teIE�>49HB�9HEAe49HB�>49HPq;R=4: _¸a¹�é êtë�¾N¼)Æ!ìí¼)î�Á4ïNð(Ã�ïNñJòóÂyÆ�½ÈǤ B�;�7KEAL�L�m"M)LR9HPq;�E�=IBl6h9�L�7K?4@F@)L�7"=¥6À;�7)?�;�;�7"9.9HE�e49HB(>49HPq;R=4:�L«=4i } Z ?�:�9.9HE�e49HB(>49HPq;R=4:�L=4i â ?4B)dD=4i â Z�è ?4BKd â è Z _a� 9�6�EA@A@"d"=J;�7)EALçEAB�;�6h=SLR;�?�e49HL _�� 9�¬K:'LR;�L�7"=¥6�;�7KEFLôàõföØ÷�økùvú û�û�úRüNøhùvý+ú'þ ÿ ������� ÷ ù��+ö�1÷ ��������'û ��àøhú'ù���û�÷�8÷ ���+ö�¨ý���������� �� �!#"%$ ��øhö��'ø'&(���ùvú���*)+���¥þ�àý+÷ ,-�'û�û�.0/21�aø ö��'û�û(ý34�3�¥ý3�+�+ú5�+öØ÷�ø764ú ÷ �0�íû8�#�3àý-/

Page 36: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

9(:(: ;=<?>�@BA3CED#FHG�IJLKNM-OQP2RTSVU(O+W X(Y[Z\X(]L]_^`R�Z2a(RbK-M#X*M-RdceX*M-OQJLf�R�KNg�hTi5jlk2R�Ym^`RTM#P2OQYmM-UeM#k2Rnf0X(K-R�U(SM#k2RbceX*M-OQJ%f�R�KoWqp�rTX(YsZtWur�p�ivwRnxsOQK-M+Y[U(M-RbM#k[X*M=M#k2RnZ[R0OQJzy*X*M#JzU{Yt| p X(Y[Y[JLksJL]LX*M-R�KlX(]L]�^5R�Z[a(RnK-M#X*M-R�K~} ����i��Y[Z[R0R�Z7��| p X(Y[Y[JLksJL]LX*M-R�K�M#k2R�JLZ2R�Y�M#JzM��(�?^ok[JLf�k�f�U(O#O#R�K#��U{YsZ[K�M-U������*��X(Y[Z�M#k[R���5��� � ���Ty*X(f0P[P[c\��^oksJLfQk�f�U(O#O#R�K-�_U{Y[ZsK�M-U���� � i � JLY[f�R�X(]L]'ksJza{k2R0O���^5R�Z2a(RK-M#X*M-R�K�f0X(Y �_R�U(�[M#X(JLY[R�Z �¡��K#M#X*O�cdP[]zM#Jz�¢]LJLf0X*M#JzU{Y£U(Se� � � K-M#X*M-R�K�^5R�k[X�y(R| p } �w¤w�¦¥�i§vwR¨Y2UE^�K#k2UE^©M#k[X*MªX(KtX«f�U{Y[K#R�¬�P2R�Ysf�R�U(SnM#ksJLK0�=M#k2R�ceX*M-OQJLf�R�Kg7h­f�U{cecdP2M-R�^oJzM#k\® p i'��Y[Z[R0R�Z7�[P[K#JLY[anR�¬¢i � ��¯H°e^5R�k[XEy(R¥b��| p } ��¤'��| p R�±��5²�³l´ hoµ } ¥H¤¶�·³b¸ | p0¹ ´ hlº R�±¡��²E³o´ hlµ } ¥H¤ ¹ � ��»*¥H�K#JLY[f�R¼¸ | p ¹ ´+h º f�U{cecdP2M-R�Kd^oJzM#k½´+h�it¾+KQJLY2a � � 9(¿ ���'X(YsZ¨Y2U(M#JLY[atM#k[X*MnM#k2RÀcÁU*ÂcÁR�YHM#PscÃU(��R0O�X*M-U(OeÄ¡J%]L]LKdX(YH��^5R�Z[a(RªK-M#X*M-R(�5^`Rªk[XEy(RªM#k[X*MÁM#k2R\X*�_UEy(RªR�¬¡P[X*M#JzU{Ya{Jzy(R�K¥b�ÆÅ ��_Ç�È�É � ® p�Ê g�h½Ë Ê g�h�® p � ÉEÇ�È�Ì } �w¤¶��Å ��7Ç�È?É � Ê ¸ g7h ¹ ® p º � É�Ç�È�Ì } �w¤¢Í� ��»��E�� JLY[f�R�M#k[RdcdP[]zM#Jz�¢]LJLf0X*M#Jzy(RTSÎX(f�M-U(O�X(f�M#JLY2aÀU{Y¼M#k[Rb^`R�Z2a(RÁK-M#X*M-R�K�X*��Uy(RÁf�U{Y[K#JLK-M#K+U(Sf�O#R�X*M#JzU{Y�U(�_R0OQX*M-U(OQK?U{Y[]z�(�(M#k[R5SÎX(f�M-U(O¶JzM#K-R�]zS[cdP[K-M�y*X(Y[JLK#knJLZ2R�Y�M#JLf0X(]L]z�(i?jlk[JLK?JLcÁ�¢]LJzR�KM#k[X*M ¸ g7h ¹ ® p º ��¥NÍ � ��» � �� JLY[f�R�M#k[RnK-�_R�f�M-OQP[cÏU(S¶® p JLK+Y2U{Y�Â�Z2R0a(R�Y2R0O�X*M-R(� F(ÐÑÐ R�Jza(R�Y�y(R�f�M-U(OQK�U(S¶® p cnP[K#Mo�_RR�Jza(R�YHy(R�f�M-U(O�K�U(S¶g�hbibÒ[P2O#M#k[R0OQcÁU(O#R(��K#J%Y[f�Rdg7hqf�U{c~cnP2M-R�K�^oJzM#k Ê �_^`ReK-R0R�SÑO#U{cR�¬si � ��¯�ÓnM#k[X*M`Ô�ÕzÖ_×EØ?Z2R�K#f�OQJL��R+Z2R0a(R�Y2R0OQX*M-R�R�Jza(R�Y�y(R�f�M-U(OQK�U(S_g�h���X(Y[ZÀÔ�ÕÙ×EØ�Ú¼ÔbÕ%Ûs×EØX*O#RnK#J%cnP[]LM#X(Y2R0U{P[K�R�Jza(R�Y�y(R�f�M-U(OQK=U(S�g�h­X(YsZ Ê i`vwR�K#k2U{P[]LZ\Y[U(M-R(��k2U^5R0y(R0OE�¢M#k[X*MM#k2R�O#R�]LX*M#JzU{Yª¸ g h ¹ ® p º ��¥Tk2U{]LZsK�U{Ys]z�bSVU(O'JLY2x¢Y[JzM-R5ZsJLcÁR�Y[K#JLU{Y[X(]�c~X*M-OQJLf�R�K�g h X(Y[Z® p X(Y[ZªJLKNU{Ys]z��X*�s�[O#U�±2JLceX*M-RnJzS�^`R�M-OQPsY[f0X*M-RTg�huX(Y[Zt® p M-UexsY[JLM-R�Z[JLcÁR�Y[KQJzU{Y[X(]ceX*M-OQJLf�R�K0iÜ K#JLceJL]%X*O�X*OQa{P[cÁR�Y�M~f0X(YÝ�_RªP[K-R�ZÞM-U�K#k2U^ÏM#k[X*M~® p f�U{c~cnP2M-R�K~^oJzM#k«M#k[RceX*M-OQJLf�R�KoWßp�rTX(Y[ZtW­r�p�i'jlk[R�Z2R0OQJzy*X*M#JzU{Ym�[O#U(�_R0O#M4�~U(SB| p J%cÁ�s]LJzR�K5M#k[X*M²�| Õ%p4Øp ËÞ| Õàr#Øp Ë«| ÕÙá#Øp µ }�â á ¤¶��¥ ¹ � ��» 9 �^ok2R0O#R�M#k2RTR�±��[O#R�K#KQJzU{Y�SÑU(O�M#k2RTy(R0OQM-R�±�^NX(K�a{Jzy(R�YªJ%Y � � �(� ��X(Y[Z � � � 9 ��i5��M�K#P2ã~f�R�KSÑU(O¶M#k[R��[O#R�K-R�Y�M¶�sP2OQ��U{K#R�K�M-Ub^5U(O#Ä�X*M¶ä0R0O#UncÁU{cÁR�Y�M#P[c\��X(YsZ�M#k2RoX*�_UEy(RlR�¬¡P[X*M#JzU{YJLcÁ�s]LJLR�K5M#ksX*M

²�| Õ%p4Øp ËÞ| Õàr#Øp ËÞ| Õàá#Øp µ R�±��`²³ ��bå æ�ç è Ç Õ æ Ø È Ê W æ#è Ç Õ è Ø È µ } ¥H¤¶��¥NÍ � ��»�¯��

Page 37: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

é'ê�ë¢ìzí*î�ïÑð¡ñ\òVó�ô�õ�ë2ô0ð�ö¢òÎî�ïVð�ñ�ösò3÷*î�ø=ì ñ¡ôEù0î�÷ ú(û{üý�þLÿ������������� ��(ÿsÿ[þ��[þ��������������������������� �!sþ���"#��$%�&�'��������$�() ���������*{þ+���,.-/10 2�3 465�7 298�:<;>= ?A@CB)DE2C4�F 5�7 4�8G:�H ��IJ! ,�KL-/10 MN3 OP5�7 M�8�:);DQM�O 5�7 OR8�:�HTS UWV XYU6Z\[ -C]�]%^

_ �[þ� `��${ÿ�a[þ+�#þ+${ÿÀþ��b!��Lþ��C c������� = @ B)D 2C4 F.XdUfe �� g�����(þ��&�CaThji�ÿ�������*%�(þ%ÿ e �����+ÿ�${ÿ�ka���*���ÿ���()����lA$�mn����� ? @ �!n�C����()���qþ��b!��Lþ��C o������� ? @ ��þ+*���ÿp���C����$�() g��(�����þ+*���ÿp���C����$�() $�m D @rq �(ÿ�a D qs@ htvu�w xzy|{~}.�%�r�`���%�`y�y��~��y|���n}T{r�jy�������� }T�j��� @ �`�~}��%�`y�����}|���W���fy��� �[þ��+�&����� ? @ $�!n��()����$�(A���C�+!� 1�� a�������()�~þLÿ��&��������þ+*���ÿp���C����$�() A$�m D �(ÿ�a���� e �$�m ��(�þ������� �ÿ�$���*{þ+����ÿ��� Tþ%ÿ�mG$�(<�&���#þ+${ÿ¡��¢n$%���������b��$�(�(��C �!n${ÿ�asþLÿ�*#��þ+*���ÿW���������C �� b�����£!�(��C�0þ� ��#()�C�����#þ+${ÿ¤¢n���r�g����ÿ D �(ÿ�a ? @ ���� Áÿ�$��b¢n����ÿ¤mG$%�[ÿ�aTh � �¥ ��������¦sÿ�a����[þ� '(��C�����#þ�${ÿ¤¢pl�þLÿW��()$Ja����0þLÿ�*¡��ÿ����§�&����(Qþ¨I¤© e �ª���)�> #þ��&!��+��('�����(ÿ D«e�(ÿ�a¡������� �����(��C 1�����¬�����&��þ�*���ÿW���C����$�() ª$�m D h _ ���b()�C�����#þ+${ÿ¡$�m6©­��$£� [ $�( D ^þ� ���������������¢����ª�(ÿ����+lJ�#þ���������lL�(ÿ�az���p�� ������ª(��C�����#þ+${ÿz¢.����� ����ÿ®������þ+(¯��þ+*���ÿW���������C Tþ� ¦�IJ�Ca�h±°���(�������()�&$�(��²�����z�����#þ+${ÿY$�mª©³${ÿ������¡��þ+*���ÿp���C����$�(L´ 7¨µ 8¶ �oþ��������� �$¤¢n���������������¢�����(ÿ����+lJ�#þ��������+l�h _ �sþ� lþLÿ¥����(Qÿ e �+þ����Ta�������()�~þLÿ��1�����A�����#þ+${ÿ²$�m D �(ÿ�a��${ÿ�´ 7¨µ 8¶ h

� �La���¦sÿ��#©·�� '�������+�C��a[þ%ÿ�*¥��If!��(ÿ� #þ�${ÿ�$�mP��� e �¸����ÿ�¹�þ� ª����(�l�����$% �����$�r�g$�º � q�»n¼ Xd½ ©d¾À¿ [Á½ q ^ Z [ -C] û ^ If!��(ÿ�a[þLÿ�*������¸mG$�()�'����� [ -�ÃWÄ%^ � ��¦¢ÿ�aA�����P(��C�����#þ�${ÿb$�m.©��oþ����A�����¸ ��Lþ�����(`�&����(Qþ¨I� e© X K �¥�Lÿ [ K � ^- K � q Z [ -C] ü ^

Å $��#þ������������P�� �YÆ K - e ©ÇÆ K -9È / e �(ÿ�a��� �YÆ Ufe ©±Æ U h5ýJ$ª�����¯ �!n�C����()���$�m¬© þ� P��If!n�C�����CaL��$��%þ+��${ÿ������bþLÿp����(������ = K -9È / B�U�F h_ $�$�¢����(þ%ÿb�(ÿA��IJ!�()�C � #þ+${ÿªmG$�(c�����6������(Qþ¨I�C�+�C�&��ÿW�� c$�m.©Q�g�P��${ÿ� #þ�a���(BþLÿA�b$�()�a������(þ��n�����1�g�Ca�*�� �������� S / ¾ ½sV h � ����9��� e ${ÿ������1${ÿ�����(ÿ�a eS / ¾ ½<V`X ��If! [Á½<ÉTÊ ^ S UWV`XÇS UWV ¾ ½<ÉTÊ S UWV ¾À¿ [Á½ q ^ [ -C]�Ë%^mG$�(¸�(ÿ¥��!�!�(�$�!�(�þ����������C����$�(�¦��C��a

ÉTÊ¥X Ì0¶�Í qfÎ ¶pÏÊ ¶ Z [ -C]�Ä%^

Page 38: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

Ð�Ñ�Ò Ó¯Ô¬Õ�Öc×~Ø9Ù�ÚWÛ�ÜÝ�Þ�ß�à�á¡âTã`äTå�æCç�è�é�évê�ë�è�ê�ìgæCá�í�æ�î�ê�è�ê�æCî#ï ð¡ñ�òóæ�ôfõ#ö�÷®øù�únûnüþý¨ÿ��ù�� ã ù�� ï �Wñ¯è�å�æ&á�æ��ß�à�æCá���å�æ� ����+å���à�í�� Ð����

æ�ôfõ�� ø�ù�únû üþý¨ÿ��ù�� ù�� ��!#"�$ � ò ð % ê�è�à'& %ð è�å)ç�ê�è�à)( ��*,+ (.-CÑ�� */ å�Þ10 æ� Jî�23(.-�4�Ò * ��(.-CÑ�� * ìgæAë�è�5�æ üþý û6�87 �ù ò:9<; ù 2>=`ôJõ�è�à�á���à�í&ê�ë�æªå?��í%ëWê.�rë�è�à�á²î6��á�æÞA@B(.-CÑ�� * @GÞ�å�ð ò %DC 9Pìgæ1í�æ�ê�6E ; E � E � � ò -% ( �GF (.- C � û * ê�è�à ã � �#*IH (.-CÑJ- *Ý�ë���î6í1�K5�æCî?L

âTã²ò ø�E ú � ( F - *E -( %NM F - * ( %NMOC - * � ã û E H (.-CÑ % *P à£ê�ë�æ1Þ�ê�ë�æ�å¯ë�è�à�á£ìgæè�é�î�Þ&ë�è�5�æG@ å�Þ10Q(.-�RWÒ * è�à�áS(.-�4�Ñ * ê�ë�è�ê

ï %TC 9sñcò�æ�ôfõ & F 9 -%8U�VXW (ZY\[ * W�U�V + ï �Wñ`òÇï �Wñ F 9 -%8UJVXW (ZY>[ * W�UJV ï �Wñ C^] (_9 û *�H(.-CÑ�Ð *` Þ10bõ�è�å?��à�íbê�ë�æ1å?��í%ëWê.�rë�è�à�áLî6��á�æCî¸ÞA@a(.-�4�Ò * è�à�áb(.-CÑ�Ð * äc��î6��à�íbæ� I23(.-CÑ % * äTè�à�áLê�ë�ææ� #��è�ê6��Þ%à � ã�d ò -% �?egfih ã�d � e f)j ã eNk h j @ Þ�å lnmo�Bp (.-CÑNR *ì æ1ß|à�è�é�éK�&ß|à�á

[ d E q F ( F - *Nr�s�tu v l M(wl CbM * û F - @ Þ�å MxC l�æ�5�æCà (.-CÑA4 *[ d E q � @GÞ�å MyC l�ÞJá�á Hz Þ�ê�æªê�ë�è�ê�ê�ë�æ\0&è�ê�å��¨ô[{��î|0}��ç<ë¥î6�~0&õ�é+æ�ågê�ë�è�àLê�ë�æ\0�è�ê�å?�¨ô�� Þ�åD��2� ��à�ç�æa� ÿ ç�Þ10�0}��ê�æCîgìT�+ê�ëy� � @ Þ�å æ�5�æ�å6��ð�äfî�Þ�0}��î�ê�[�2vݸë#��îjê�ë�æ¸æ���í�æCà�5�æCç��ê�Þ�å)îa; ý����E ò v Mc� ý����E 0}��î�ê¯è�é�î�Þ�næ�æ��+í�æCà#5�æCç�ê�Þ�å)î�ÞA@�[�2 P ��å�í�Þ%è�éoà�Þ9ì���îPê�Þ�ß�à�áè�à�æ�ôfõ�å�æCî�î?�+Þ%à�@ Þ�åªê�ë�æ�æ��+í�æCà#5�è�é3��æCîG��(_� * ÞA@T[ è�î�î�Þfç���è�ê�æCá�ê�Þ²ê�ë�æ�æ��+í�æCà#5�æCç�ê�Þ�å)î; ý���� 2 / Þ�å�ê�ë���î6ìgæç�Þ%à�î6��á�æ�åPê�ë�æ1æ��+í�æCà#5�è�é~��æ�æ� ���è�ê6�+Þ%à�E#� � [ d E ; ý����E ò���(_� * ; ý����d H (.-CÑ�Ñ *�.�8�N���)���.���Z�? c¡��.¢¤£¥�N¦��i¦�¢��_�a§A�.�.¨D�.��¨��_�¤£��� Z�©£D�¤¨N£��.ªA��¨�£���¨��Z¢¬«a§�«¥­��®�N¨N¦�§N¢�¯ °�°?±3²

Page 39: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

³µ´�¶I·K¸�¹�º¼»�½O¾w¿JÀ�Á ¶<À�»�ÂI¾Ã¹�ºw»#½�Â�¾ZÄ�¹ÆÅ¥· ½�À�Ç�¹.Ä ÈAÉAÊËJÌ~Í�Î�ÏÆÐ6Ñ�Ì~ÒaÓ6Ï�Ô~Õ�Ð6ÌKÖ1ÍOÑ<Ö1Ô3×�ÒBؼÖAÓTÏ�ÙAÏ�Ó6ÚÛÝÜÞÏGÑ�Õ�ÙAÏAßIÌ3Íà�Õ�Ó6Ð6Ì~Î�á�Ô3Õ�Ó�ßâ�ã_äIåµæ çè�é�ê�ëì íî#ï ì�ð ì î è é�ê�ëî æ çñGé�ê�ëì îíò©ó ì ã.ô ç å òõ�öa÷ ç ñ\é�ê�ëø ò�ù ìiú ã ç É1û åü ØýÜÞÏ�×<Ï�þ�Í<Ï ÿ ã��#å æ îíò.ó ì ã.ô ç å òõ�öT÷ ç ñ é�ê�ëø ò?ù ì � ø ò�� ì � ã ç É�� åÐ6Ñ<Ï�ÍOÜ�Ï���Õ�ÚÓ6Ï�ÜTÓ?ÌKЩÏ�ã ç É1û ÕAÒâÞã_ä å æ ÿ ã ç åñ\é�ê�ëì æ ÿ ã ç å � ã ç ÉAÊ åÒ6Ì~Í�Î�ÏAß�ÕAÒDÒ©Ï�Ï�ÍOØwÓ6Ö� Ï� �3ã ç���� å�ß ñGé�ê�ëì æ ç ���ÆÍÐ6Ñ�Ï\ÖAÐ6Ñ<Ï�ÓTÑ�ÕAÍ�×cß<ÜÞÏ�Ñ�Õ�ÙAÏAß

� ÿ ã���å� � æ îíò©ó ì ã.ô ç å ò ñ\é�ê�ëø ò�ù ì � ø ò æ çõ�� ��������� �"!?ã � �#åXô#����� �"!6ã.ô � ��å%$ � ã ç û�& åÜTÑ<Ï�Ó6Ï'�����(�)!6ã��#å}Ñ�ÕAÒ�*8Ï�Ï�Í ×<Ï�þ�Í�Ï�×bÌ3Í Ï� �3ã ç���� å��,+ Ï Î�ÕAÍ Ï�ÕAÒ6Ì3ÔKÚ Ì~Í#ЩÏ.-AÓ?Õ�ЩÏOÐ6Ñ�Ì3ÒÏ�#á�Õ�Ð6Ì~Ö1ÍSãwÜTÌKÐ6ÑOÐ6Ñ�Ï/* Ö1á�Í�×�Õ�Ó6Ú�Î�Ö1Í�×�ÌKÐ6ÌKÖ1Í ÿ ã & åÞæ & å�ЩÖ0-AÏ�ÐâÞã_äIåÞæ ÿ ã ç å æ ô�çä21 ì3 � �4�ÞÒ6Ì~Íiã_äaÐ6ÕAÍ�Ñ ù ì ã��#å©å æ ô'çõ ä6587 õÒ6Ì~Í�Ñcã_ä6587 õ å ú ã ç û ç å9 Ñ�Ì~Ò}Ì~Ò}Ð6Ñ<ÏOÏ�Ì:-AÏ�Í#ÙNÕAÔ3á<ÏÖAØTÐ6Ñ<Ï'��Õ�ЩÓ�Ì<; ð ÕAÒ6Ò©ÖJÎ�Ì~Õ�ЩÏ�× Ð©Ö Ð6Ñ<ÏÏ�Ì:-AÏ�Í#ÙAÏ�Î�ЩÖAÓ è é�ê�ë �= Ò6Ì3Í>- Ï�6�3ã ç�� û åaÜ�Ï\Î�ÕAÍ ×<Ï�ЩÏ�Ó)�xÌ~Í<Ï>Ð6Ñ<Ï\Î�ÖAÓ6Ó?Ï�Ò©à8Ö1Í�×�Ì~Í>-}Ï�Ì:-AÏ�Í#ÙNÕAÔ3á<Ï\ÖAØ�? ЩÖ0*8Ï�@

A ã_äIå æ ôCB ù8D ê D E�F ø ú ã ç û õ åü Í ×<Ï�Ó�ÌKÙ�Ì3Í>-}ã ç û õ åýÜ�ÏaÑ�Õ�ÙAÏTÍ<ÖAЩÏ�× Ð6Ñ�Õ�Ð�Ï� �3ã ç�� û å�×<Ö�Ï�Ò�Í<ÖAÐ ×<Ï�ЩÏ�Ó���Ì~Í<Ï�?oá�Í�ÌG#á<Ï�Ô~ÚؼÖAÓxÕH-1Ì~ÙAÏ�ÍJI�ß�ÕAÍ�× Ü�Ï Í<Ï�Ï�×oÒ©Ö� Ï'ÕA×�×�Ì~Ð6ÌKÖ1Í�ÕAÔBÌ~Í<à�á�Ð.� 9 Ñ�Ì~Ò Î�Ö� Ï�Ò�ØwÓ6Ö� Ð6Ñ�ÏÓ6Ï�#á�ÌKÓ6Ï�� Ï�Í#ÐBÐ6Ñ�Õ�Ð|Ð6Ñ<Ï>Ï�Ì:-AÏ�Í#ÙNÕAÔ3á<ÏÆÖAØ8? Ô~Ì~Ï�ÒK*8Ï�Ð,ÜÞÏ�Ï�Í ô ç ÕAÍ�× & ß�Õ}ØwÕAÎ�ÐTؼÖ1á�Í�×�Ì3ÍÍ#áL��Ï�Ó?Ì~Î�ÕAÔ8Ï�;Jà Ï�Ó�ÌM� Ï�Í#Ð6Ò.�N Ì~Í�ÕAÔ~ÔKÚAß�á�Ò6Ì~ÍL-GÏ� �3ã ç�� Ê å�ß�ÜÞÏ>Î�ÕAÍ×<Ï�ЩÏ�Ó)�xÌ~Í<Ï¥Ð6Ñ<ÏDÏ�ÌM-AÏ�Í�Ù�ÕAÔ~á<ÏPOµã_äIåµÖAØ�Q æR?TSЩÖ0*8Ï Oµã_äIå æ A ã_äIå ÷ ã A ã_äIå©å øç ÷ ã A ã_äIå©å S æ ô çç ÷ õ Î�Ö1Ò6Ñ ã_ä6587 õ å ú ã ç û�È å9 Ñ�Ì~Ò|Î�Ö��à�ÔKÏ�ЩÏ�Ò|Ð6Ñ<Ï�×<Ï�ЩÏ�Ó)��Ì~Í�Õ�Ð6ÌKÖ1ÍÖAØXÐ6Ñ<Ï>Ï�Ì:-AÏ�Í#ÙAÏ�Î�ЩÖAÓ?ÒÆÕAÍ�×Ï�Ì:-AÏ�Í#ÙNÕAÔ~á�Ï�ÒaÖAØÐ6Ñ<Ï0��Õ�ЩÓ?Ì<;UQV� N á<Ó6Ð6Ñ<Ï�Ó)��ÖAÓ6ÏAßiÏ� �3ã ç û�È å>ÕAÔ~Ò©ÖOà�Ó6Ö�ÙJÌ~×<Ï�Ò>á�Ò>ÕOÒ?ÌM� à�ÔKÏ}Ï�;Jà�Ó6Ï�Ò6Ò6Ì~Ö1ÍؼÖAÓCQ Ì~ÍЩÏ�Ó���Ò|ÖAØýÐ6Ñ<Ï���Õ�ЩÓ?Ì:;XW ì @Q æ ôGã ç ÷ õ Î�Ö1Ò6Ñ ã�W ì 587 õ å©å ù ì ú ã ç û � å

Page 40: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

YZ�[ \P]_^a`cbedgf"h�i�jkml>npoqn.rts�u�n�v:w�n�xzy|{�}M~>n�ot{|�)n/r"l>n�x

���q����� ��� � ����,��� so"l ���a� � � ����������� ��� ��� ��� n���� ���a� � � �q�z������� � � Z|� �� ��� ��� ��� ��� ��� n���� ���m�a� � � �q�z������� �� �/�� ¢¡¤£R¡T¥p¦0§�¨_�© ¢ª¬«­¥P®P�°¯�®p§�¥C§�ª²± ¥�³P m´µ£R¡T¥p¦0§�¨_�¶ x'{·oqr"vM¸¹~L}M{|r"vMx>w��6{|�°n.�mº�{|�)o¹»¼Y�½�¾�lL{�om¿Ln�o � �)v:À°n�¿Ár"l>nps��°n�x'oqrq��vMx>wÂoqr"{|�t�6�"sÿ6~ � rvMx0rqn.�)¸·o�s�uTr"l>n�Ä's�Å{�}°�L�"s�¿L~ � r.Æ�º�{|�)o��L�"s��°soqn�¿Âr"lL{|r�n�{ � lÁn.y�n�xÁ�°so"v:r"v:sx·¸ÂsÿLn� n�� � n.�Lr2uÇs��·r"l>nÉÈ.n.�"s#¸Âs�¿>n � rqs�w�n.r"lLn.�·Êtv:r"l,{#oq�°n � v:Ë � }MvMx>n�{|� � s¸ÌÀ6vMx6{|r"v:sx,s�ur"l>n¹ÍLs~>�)v:n.�Prq�){�xLoquÎs��)¸0ots�u4r"l>n¹sÿ6¿'�°so"v:r"v:sxϸÂs�¿>n�otuÎs��)¸0oP{XÄ's�Å{�}�� {�v:��ÆtkmlLny�{|�)vMs~Lo·ÄµsgÅ{�}C�6{�v:�)oÂ{|�"nϸÌ~>r"~6{�}M}:Å � s¸·¸Ì~>r"vGx>w#{�xL¿,r"lLn.ÅÐ{�}G}mlL{�y�nÏr"l>n'o"{�¸Ânx>sx � s¸0¸¹~>r"{|r"v:y�v:r�Å2�6{|�){�¸Ân.rqn.�mѵÒ� [�Æ4kml>nP�L�"n � vMo"nPrq�)n�{|r"¸Ân�x�r¢s�u�r"l>n � n�x�rqn.�"Óes�uGÓ¸0{�o"o¢s��Poqrq�)vMx>w¸0vG¿>�°svMx�r�Ê�{�ot}:n.uÎr¢uÇs��tuÎ~>r"~L�"n�ÊKs��"Ô�ÆÕ n.�)n4ÊKn��"n.yÃvMn.Ê#{�xpvMxzy�n�oqr"v:w{|r"v:sxps�uÃr"lLncs���n�x�oqrq�)vMx>w¢oqr"{|���L�"s�¿L~ � rTvMx�rqn.�)¸·oas�uÄ's�Å{�}°�L�"s�¿L~ � r"o�~6o"vMx>wpr"lLnP¿LvG{|w�sxL{�}Mv:È�{|r"v:sx2s�uTr"l>n�Ötn�~6¸0{�xLxÁ¸0{|rq�)v � n�o�¿>n.Ë6x6vMx>wr"l>nÂso � vM}M}G{|rqs��PuÎs��)¸×s�u�r"l>nÂr"l>�"n.n�Óes��°n�x�Ó�o"rq�)vMx>wÁy�n.�"rqn��°Ø�{�xL¿Hr"l>n�s��"r"lLsx>s��)¸0{�}MvMr�Å{�xL¿ � s¸Â� }:n.rqn�x>n�o"ots�u_r"lLn�n�v:w�n�xzy�n � rqs��)o�{�om�L�)sgy�n�xÙvMx#» � ��¾eÆ�kml>n�oqn��"n�o"~L}:r"otvM¸Â�6}:År"lL{|rmr"l>n.�"nÌvMom{ÂÀ6{�o)vMo�s�u�so � vM}M}M{|rqs���o¢Êtl>n.�"n/r"lLnpn��Ã�°sx>n�xzr"vM{�}TvMx'r"l>npy�n.�"rqn��Ér"{|Ô�n�o¿LvM{|w�sxL{�}_uÎs��)¸ÉØT{�xL¿Ùr"lz~6oCu�~>�)x6vMo"l>n�oC{2�)n.�L�"n�oqn�xzr"{|r"v:sxHs�u4r"l>n��L�)sÿL~ � rPvMxÏrqn.�)¸0os�u_¸¹~>r"~L{�}M}MÅ � s¸0¸¹~>r"vMx>w2{�}:w�n.ÀL�){�o.ÆÚ nKÊCvM}M}o"lLsgÊÛr"lL{|r8n�{ � l � s¸0¸Ì~Lr"vMx>wmu�{ � rqs��4vMx/r"lLvGoa�L�"s�¿L~ � r�vMo8{�Ä's�Å{�}Ã�L�"s�¿�Ó~ � r.ØL{�xL¿Xr"lÃ~Lo�n�{ � l'{�}Mw�n.ÀL�){ÂvMo�{ � sx>np¿LvG¸Ân�xLo"v:sx6{�} � Õ n�vMoqn�xzÀ°n.�"w¹{�}Mw�n.ÀL�){�Æ�Ü�vGx � nr"l>n0oq�°n � rq�)~L¸×s�u�r"l>n·ÖCn�~L¸0{�xLxU¸·{|rq�)v � n�opvMo � sxzr"vMxÃ~>s~Lo.Ø8ÊKn0w�n.rÌ{ � sx�r"vMxÃ~>s~Lorqn�xLoqs��t�6�"sÿ6~ � r�s�u Õ n�vMoqn�xzÀ°n.�"w0{�}:w�n.ÀL��{�o¢Êtv:r"l'{·o"¸ÂsÃs�r"lL}:Å·y|{|�"Å�vMx>w0x>sx � s¸0¸Ì~>Ór"{|r"v:yÃvMr�ÅÉ�6{|�){�¸0n.rqn.��Æ ¶ rCo"lLs~L}M¿ÉÀ°n�n�¸0�6lL{�o"v:È.n�¿µr"lL{|rtÊ�n¹ÊKs��"ÔÉsxÏr"l>n¹o"~>À6oq� { � ns�u4È.n.�"sɸÂs¸Ân�xzr"~L¸ÝuÎ~Lx � r"v:sxL{�}Mo.Ø r"lL{|r/vMo.Ø uÎ~Lx � r"v:sxL{�}Motr"lL{|r/{|�"n¹vGxL¿>n.�°n�xL¿>n�xzrms�ur"l>n � n�xzrqn.�ts�uc¸0{�o"o � sÃs��)¿LvGxL{|rqn/s�u�r"l>npoqrq�)vMxLw>ÆÞ ~>��Ä's�Å{�} � szs��)¿6vMxL{|rqn�o_{|�"n � sx6oqrq�)~ � rqn�¿¹{�o_uÇs}M}MsgÊto.Æ_Í>s���n�{ � l �µß#���Cà � àá�r"l>nÂÖtn�~L¸·{�xLxH¸0{|rq�)v � n�opâ � â ��� � {�xL¿Uâ ��� lL{�y�n0{ � s¸0¸ÂsxHn�vMw�n�x�y�n � rqs��Ìã ��� �Êtv:r"lÐn�v:w�n�xzy�{�}G~>n�o ������� � � ��� ��� � {�x6¿ � ��� ��� � �)n�oq�°n � r"v:y�n�}:Å�ÆRktl>n'o"v:wxL{�}�s�u/x>sx>Ó� s¸0¸Ì~Lr"{|r"v:yÃvMr�ÅUvMo�r"l>n0u�{ � rpr"lL{|r � ��� ����� Ò�¬� ��� ����� Æ2äPxL¿>n.�/r"l>n2{ � r"v:sxUs�u�s��°n�xoqrq�)vMx>w�r�ÊtvMo"r.ØÃr"lLnCn�v:w�n�xzy�n � rqs��)o�ã ��� � {�xL¿2ã ���t��� ¸·v<��ØÃ{�xL¿2sx>n � {�x � sxzy�n�xLv:n�xzr"}:Å¿>n.Ë6x>n�r�ÊCvMoqrps�¿L¿U{�xL¿HråÊtvMoqr/n.y�n�x#n�v:w�n�x�y�n � rqs���o�uÎs�� �,ß » [ � àá� ÆÁkml>nÂ~Lx>�6{�vM�"n�¿n�v:w�n�x�y�n � rqs���{|r �Á� [PvGo_{ � r"~6{�}M}:Å�råÊtvMoqr�s�¿L¿TØ{�xL¿�lL{�o�uÎn�{|r"~>�"n�¿ÂvGx¹o"n.y�n.�){�}>oqr"~L¿LvMn�o

Page 41: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

æ�ç�è é:ê|ë�ìÇíÃîÉïÎð�ñÁò�è>ñ.íÙó ï�ë�ìÎízîÁó6ïeô|ë�õPé îÃñgö.ë�ô ÷øÃùú�û�ü|ý�þ.ÿLÿ������������ ������������.ú����Uý���������:ü��������"ý�������� ùgø���÷� !�" ø��$#&%('*) ��+,����-�Lý�ü��ý�.���0/°ú����"ý�1�2�"ú&�3�4�!������ý��5+6���� '87 �!�4�!���9�������:+;����/þ�ú&��<=�Lý����:ú&���ý����4�!������?>���)ý����4���3�����ü���þ@�qú��A�pú�ûCB � ý���.+,�����D���!���E>ú��5���3����zü���þ@�qú����/ú�ûFBHG:I¹ý����BJIKG ����!�����L�0ý������Mþ@���M�Lý�ü��������0/9�3�0ý�þ@���:ú& ú&N���!��� ' O �P�9������Lý��¹ûÇú��M��ý�þ��RQTSVU ����!�D�:+;����W�.ü���Ùý�������!�X�:+,�����mú?�������3����zü���þ@�qú����2������/Y��þ@���:ü����3�L�!���9��8���!�MZµú[�ý��þ�úzú����9�Lý������]\_^`Q=a�ý��� bY^`Qca � +,�3����Lú&Lþ�ú&�d�¹ÿ!�"ý����:ü?�3�:�P/6ý��)ý��0�������;�&�:ü���'ý���e

f ^`Q=ahg �"ý���Ci�j Q#�k5l QEmRUFn ^ ùgø�o ap ú����.���Lý��0ûÎú��LQqgrU � +,������� ���!�����s��0ú&��� ú&!�s���3����zü���þ@�qú�� � ý���t���zÿ��·ú&��3�ú&!�Ìþ�úÃú������6ý���� � ���!�����M��W>úu�)þ�ú�/c�ÌûÇú��Pý*Zµú[�ý��v/��"ú?�LÿLþ@� � ý�9�µþ�ú&�����������1����P�����>ú&Lþ�ú&�d�¹ÿ!�"ý����:ü?�3�:�µü�ý�������!��� '57 �!�Ìü�ý����Múÿ��Cþ�úÃú�������Lý������PûÇú��8���xwY������y�tü|ý��Mÿ!���Pú�ûQµþ�ú&�d�¹ÿ!��� � �"úd���Lý��W+6���Lýgü��

� \"^`Q=a l bz^`Q!{|a %~} gT� f ^`Qca?�y^`QL��Q�{3a=n ^ ùgø�ø a7 �!�d�!���)þ@���3/����:ú&Ùú�û6���!�u���"ý���/��"ú?�LÿLþ@�8���������d�pú�û6�����0ý�<�ú�ü��*Zµú[�ý��C/��"ú?�?>ÿLþ@���E��µý��'ûÎú&��:ú[+;� '�� �:ü���©ýR������������������0^���^|��a�a � +6� ü����+��3�'ý��µýáûÎÿ�6þK>���:ú&��0^���\ I��=� l ��\ I��y�zG�� aµú�ûu���!���.ü���¤ý��� ú?���J�0ú��!�����J���!�N�@��/ ý�����:ú& ú�û�N^|��a 'C7 �!��P+C���Lúÿ!���3���]���)ý�9�qûÇú��A���©ú&����!�/ú?���L�Âú������]\ I��y�zG �1�qú�ü|ý����Mý�<9����� I��1�zG ^����6ý��Ìþ�ú���������/�ú&9���qúE���!�d��������ü|ý��Mÿ!����ú�ûP�� I��y�zG aPú�<��"ý�����!�ÉýÉû�ÿ�Lþ@���:ú&6ý����0^���\ I��=� l � � I��y�zG�� a ' 7 ����/û�ÿ�Lþ@���Mú&Lý��h��X>ú[+�+W���3����������������u�pú�ûmþ�úÃú������Lý������^�\"^`Q=a l bz^`Q=a�atÿ�����!�4���!���zü��������3<9��2�����Mý����:ú&��

\"^`Q=a�g �  �¡��¢vG&£ I�� ^`Qca��

¥¤ \ I�� l bz^`Q=ahgH�;� t�¡��¢vG £ I��1�zG^`Q=a� ¥¤ � ù � I��1�zG l ^ ùgø�¦ a

���Lý�� � ý��4�0��y���:ú&!����<Y�.ûÎú���� � ÿ����L���!�L�:+;����M�.ü���,ý�����:+,�����Ìú?���N���3����zü���þ@�qú���� '7 �!�P�����"ÿ��3����!�E���������8§�^�\_^`Q=a l bz^`Q=a�a4��4���"ý��d�¹ÿ��3���/9��3���P¨"ÿ�����ÿ�����!�E���!� Zµú[�ý��/��"ú?�LÿLþ@�pú&N���!�Xÿ���!���A�3����!�Éþ�úzú����9�Lý������ '�©�ª �X+6�P+,���h����� � ������Ìþ�ú&1���Ãÿ>úÿ��Z'ú«�ý��D/��"ú?�LÿLþ@�Éþ.ý�¬<Y��+W���������­ý��µý�­A® í=¯gï�ì�ê|í�ô|é Z'ú«�ý��D/��"ú?�LÿLþ@� � ÿ������N������Mý�!�ÿLý�����ú�ûh/6ý������y�������)ý���Cúgü��������!�¹þ�úÃú�������Lý������0^�\"^`Q=a l bz^`Q=a�a ' �>ú���Q�g°U*������"ÿ!�"ü?�:ü?�!�Éþ�úzú��A���Lý����dbz^`Q�g±U1a8��D/��������Mþ@�������qús<Y�0þ�ú&�d�¹ÿ!�"ý����:ü�� 'Eª ��þ.ý�²<Y����������^ ùgø�¦ a5�3�/þ�ú���������/°ú&����2�qúµýL��/Y��þ��3�6þ4�����ý���þ�ú&�X<9�6ý����:ú&Ùú�û6�Âú&�d��1�"ÿ���Âú������ 'h7 �����þ�ú&�X<9�Lý����:ú&P/�����þ�������3�u�����3��þ@���F���!�8�Âú&�0��y�"ÿ�� þ.ý���������*<��*�6ý��:ûaú�û³:´�µ·¶(¸8¹¥º«µ»¶(¼vµ»º¥¼`½¿¾`¶(½�À8Á¥ÂAÃ:Ä;¶(¸¥½�¾(½�µ»¼"ÂAºDÅ?Æ?Ç3Â�ÿ¶(ÈA¾_µÉº5¶(¸«½�¾(µ»ÊA¸�¶`Ë�¸¥ÂAº�À;¼`µÌÀ[½CÈ�Ç"Í|Î�ÏAÐKÑ�Ò-Ó�È«Ô&Â�¼¹«¼`¹�Â�ÕÔ¥Ö6¸¥ÂA¼�À«µ»×]½�º«¼`µÉÈAº¥¼zÈ�Ç$Í3Õɽ¿º¥ÊA¶(¸�Ñ`Ø�ÒÙ�Ó�¶`¾(µ»Ã¿¶(Õ·Ú-¼`Û�½�Â�Ä�µÉº«Ê«Ô�¶(¸¥½�¶�ÜcÈvÛ[¾(È�À«¹¥Ã�¶(¼!Â�¾(½9¾(½�ÕÉÂ�¶(½�ÀhÁ�Ú_×6¹«Õ·¶(µÉÛ«Õ»µÉÃ�Â�¶(µ»ÈKº�Á�ÚhÂAºhÈ�Ý@½¿¾:Â�ÕÉÕ&Í3µ»º«Þ¥º¥µ·¶(½�ÑÿÈKº¥¼|¶:Â�º�¶�ÇxÂAÿ¶(È�¾�Ò

Page 42: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ß&à�á â2ã"ä$å-æ(ç[è�é1ê@ëì�í!îdï�ì�ð�ñò�ó!ôMõ2ï8ö6îdî@÷�ø=ùú�ñò�ñò.ì�í!îdì�î@÷?ì�û�ü�ý�ðDþ�î�ð�ý ÿ0ý&ÿdî�ò1ì���ÿ ü���ò��@ì�ñ3ý&ò�ú�ùï�ûzì�í�îý�øcî�ò�ï�ì�ð�ñò!ó���î�ð�ì�î@÷�ì�ð�î�ú�ì�ïDì�í!î*ÿ0ý&ÿ0î�òyì���ÿ���ú�ð�ðAñ3î�� �.í�ú�ùüCý�üFì�í!îuï�ì�ð�ñò!ó ú�ïDú�@ý&ÿdÿ���ì�ñò!ó��@ý�ý�ð���ñò�ú�ì�î�ôõ;ùì�î�ð�ò�ú�ì�ñ���î�ù���û!ö6î���ú�ò ñ�ò���î�ð�ì���� à���� ú�ò�����ï�î���� à�à�� ì�ýuñòyì�î�ð�ø�ð�î�ìFì�í!î��Tñ3ì�ì�î�òï�ì�ú�ðvø9ð�ý �����@ì�ú�ïvì�í!î! Eý"�&ú�ù?ø�ð�ý �����@ì$ñòDì�í!î6ò!ý&ò��@ý&ÿdÿ#�!ì�ú�ì�ñ���îFï�ø9ú��@î$��%'&�(')+*'&�,.-0/ �ö,ñ3ì�í�údò!ý&ò���ñú�ó�ý&ò�ú�ùYü�ý�ð�ÿ ý�ü_ò!ý&ò��@ý&ÿdÿ#�!ì�ú�ì�ñ���îXø9ú�ð�ú�ÿ0î�ì�î�ð

1 %'&�(2)+*'&�,.-0/4365.798�: &�(�; &�,<-0/ = )4>@?A�CB ��� à�D��ö,í!î�ð�î;ì�í!î2ÿuú�ì�ð�ñx÷E:�ú�Yý"��î$�@ý&ñò���ñF��î�ï�ö,ñì�íuý&ò!î2ý�ü$ì�í!î5ÿdú�ì�ð�ñG�@î�ïCð�î�ù3îH�¥ú�òyìFñòuì�í�îí�ú�ù3ü6I:ï�ì�ð�ñò!ó0ü�ý�ð�ÿdú�ù�ñï�ÿ�ô!J¿òsì�í�ñïWö6ú"���Tñì�ì�î�ò0K»ï,ø9ð�î�ï��@ð�ñ3ø9ì�ñ3ý&ò�ü�ý�ð;ñF�!î�òyì�ñ3ü���ñ�ò!ódí�ú�ù3üï�ì�ð�ñò!ó&ï4ÿdú"�LcîLñòyì�î�ð�ø�ð�î�ì�î��ú�ïuñF�!î�òyì�ñ3ü6�?ñò!ósì�í!î�î�ò���øYý&ñòyì�ïMý�üM��ñøcý&ùî�ïXñò�ì�í�îò!ý&ò��@ý&ÿdÿ#�!ì�ú�ì�ñ���îDï�ø=ú��@î���� à�D�� ôNJ�ì]ñïFñòyì�î�ð�î�ï�ì�ñ�ò!óXì�í9ú�ìO*2&�,.-0/Wí�ú��î8ì�í�î5ñ�ò1ì�î�ð�ø9ð�îPIì�ú�ì�ñ3ý&ò ý�üC�@ýyý�ðQ��ñò�ú�ì�î�ïWú�ò���ì�íR�9ïS%'&�,<-0/,ï�í!ý���ùF�EYî8ñòyì�î�ð�ø�ð�î�ì�î�Eú�ï,ÿ0ý&ÿ0î�òyì�ú?ôTOUWV X�Y�Z\[^]W]`_2a�bdc�eOf�c�a�f\gih�bdcja�klfLmnb'op_0]rqNc�btsvuNZ aw í!îDì�í!ð�î�îXï�ì�ð�ñ�ò!ó���î�ð�ì�î@÷Eñï,ý�ð���ñò�ú�ðAñù��dî@÷?ø�ð�î�ï�ï�î�Eú�ï2ú�xR�9ú��!ð�ú�ì�ñF�8ü�ý�ð�ÿ�ñò�ý&ï���ñù�Iùú�ì�ý�ð�ïMú��@ì�ñò!óEý&ò�ì�í!îy��ú��H����ÿ ôz ý�ð�î*ø�ð�î��ñï�î�ù���ûvö6î*í9ú��îPý&ï���ñùùú�ì�ý�ðAïDü�ð�ý&ÿ�ì�í�îì�í!ð�î�î4ï�ì�ú�ì�îdï�ø9ú��@î�ï�ûzì�í�ý&ï�î4ý�ühì�í!î4ì:ö6ý�ñò!ø��!ì2ï�ì�ð�ñò�óy{�î�ùF�9ï;ú�ò��sì�í�ú�ì5ý�ü�ì�í�îXý��!ì�Iø��!ìFø�ð�ý|�����@ì�û!ú��@ì�ñò!ó0ý&ò ì�í!î8ì�î�ò�ï�ý�ðWø9ð�ý �����@ìFý�üO��ú��H��ú?ôlJ�ò�ý�ð��!î�ð]ì�ý}��ò��!î�ð�ï�ì�ú�ò��í!ý[ö¬ì�ýuñ�ò1ì�î�ð�ø9ð�î�ì]ï�����í�ú~��î�ð�ì�î@÷Lú�ïWú� Eý"�&ú�ù�ø�ð�ý|�����@ì6öCî8ö;ñùù2��ú�ùF�H��ùú�ì�îDí!î�ð�î5ú�òý&ï���ñùùú�ì�ý�ð�I(ü~ý�ð�ÿ�ì�í!ð�î�îPI`��î�ð�ì�î@÷Pü�ý�ð]ì�í!î� Eý"�&ú�ù$ÿ#��ù3ì�ñ3ø=ùñF��ú�ì�ñ3ý&ò*ñòPì:ö6ý���ñÿ0î�ò�ï�ñ3ý&ò�ú�ùï�ø9ú��@î�ôJ�ì-ñït�9ï�î�ü��9ù�{�ðAï�ì_ì�ý8ð�î��ú�ùù!í!ý«ö�ý�ð���ñò�ú�ð����@ý&ÿdÿ���ì�ú�ì�ñ���îWøYý&ñòyì:ö,ñï�î6ÿ#��ù3ì�ñ3ø=ùñF��ú�Iì�ñ3ý&òuý�üzü+��ò��@ì�ñý&ò�ïv��ú�ò}Yî,î�ò��@ý|�!î�Pñòuú�ì�í!ð�î�îPI`��î�ð�ì�î@÷PöWð�ñ3ì�ì�î�òPñòdý&ï���ñùùú�ì�ý�ðCü~ý�ð�ÿ ôw í�ñïFð�î�ï���ù3ìFö6ú�ï,ó&ñ���î�ò ñò 1 ß�á 3!��îxyò$ôr� ß ôF�� �4�Q������"� 7 � áß�� �S� /^��& î@÷�ø<� �� �+�|� / �|� /�� � �& �|�&v� �|�� �|�� ��� áß �+�|� / �|�&t� � �& �|�� � � �� �|� / �W� � ��� )��� � � �ö,í!î�ð�î]ì�í!î;ï��\9ï��@ðAñ3ø�ì�ï_ý&ò!î,ú�ò��0ì:ö6ý�ý&ò0ì�í�îWý&ï���ñùù�ú�ì�ý�ð�ï-ð�î�ü�î�ð�ì�ýDì�í�î.{�ð�ï�ì-ü+��ò��@ì�ñý&òú�ò�� ï�î�@ý&ò��sü+��ò��@ì�ñ3ý&òLì�ý}cîXÿ���ùì�ñ3ø9ùñ3î�*ð�î�ï�øYî�@ì�ñ���î�ùF��û�ö,í�ñùî8ì�í!î�ï��\=ï��@ð�ñ3ø�ìFì�í!ð�î�îñï]ú�ï�ï�ý|��ñú�ì�î� ì�ýuì�í!îDø�ð�ý|�����@ì�ô w í9ñïFð�î�ï���ùì6ó�ý�î�ï,ú�ùý&ò!ódö,ñ3ì�íLì�í�î��!îH{9ò�ñ3ì�ñý&ò�ï

�%�7 8� á �+� � � � � ) �*E7 �� á �+� � � � � ) ��� � � �ú�ò���ì�í!î��@ý&ò�ï�ì�ð����@ì�ñ3ý&ò�ý�ü_ì�í!î8øYý&ï�ñì�ñ3ý&ò�ï�ì�ú�ì�î�ï

� % � 7 �� /^��� �+��� î@÷?ø � � �á % & � � á 8W�N% � �á �R� � B ��� ��á��

Page 43: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

�v���'���� �¡6¢ £�¤�¥|¦¨§O�\¦H¢j©'¤+ Q¡�¢R£¨©�¤`ª� ¬«M� £ ¦"­H �ª ®�¯�®°¬±�²�³´Aµ^¶N·¹¸�º�´�»Pµ�±�·�´�¼�½t¾�¿0ÀÂÁ Ã�¿tÄ ½dÅEÆ�´�ÇÉÈ2¾�¿0ÀÊÁ Ã�¿CÄ È|ÅQË�µ�Ì\³´Í¾Î½ÐÏ\È\ÀP¾�¿ÑÀÒÁÃ�¿CÄÓÃνlÄÓÃ6ÈÑÄ�Ä�Ô�ÕÖÅQ×ÙØ�³�Æ�Ú�³#Æ�¸6µ4³HÚrµ�Ì\³�Û�³´�³HÚ�Æ�ÜF±�ÝÆ�µ�±�·�´�·�¸<¾�Þß�à�ÀS¸�·�Ú<µ�Ì\³�»HÆ�¼4³�·�¸váz·"â�Æ�Üã º�ÜFµ�±�ä�ÜF±F»HÆ�µ�±F·�´0×på�µS¼�Ì\·�º�ÜFÇyæѳM´\·�µ4³Ç¨¸�Ú�· ã µ�Ì\³¬·�º\µ�¼4³HµÙµ�Ì�Æ�µÙ¸�·�ÚÙÆ�áz·"â�Æ�Ü0ä�Ú�· Ç�º�»Pµ¶N³�´�³H³Ç�µW¶!·y»P· ·�Ú�Ç�±F´�Æ�µ4³¼Ù稼4·�µ�Ì\³�²�³HÚ�µ4³PèE¶r±FÜFÜ2æѳ�Æ ã · Ç�±�é�»HÆ�µ�±�·�´E·�¸�µ�Ì\³�Æ�æÑ·"²�³±F´�²�·�ÜF² ±F´�Û�µ^¶N·�¼4³Hµ�¼Ù·�¸�·�¼�»H±FÜGÜFÆ�µ4·�Ú�¼H×CØÉÌ\³´Eµ�Ì\³$´\·�´�»P· ã�ã º\µ�Æ�µ�±�²|±�µ^â}±F¼Ù¼4³HµSµ4·�ÝH³HÚ�·\˶N³ ã º�¼4µSÚ�³»P·"²�³HÚMµW¶!·}»P·�ä�±�³¼.·�¸�µ�Ì�³�Æ�æ2·Ö²�³�²�³HÚ�µ4³PèÑ×Ø�³#æѳHÛ�±F´z¶<±�µ�Ìzµ�Ì\³#¼�µ�Æ�´�Ç�Æ�Ú�ÇjÇ\³Hé�´�±Fµ�±�·�´�·�¸lµ�Ì\³~á�·Öâ�Æ�ÜCä�Ú�·|Ç�º�»PµM±F´ ã · ã ³´�µ�º ã¼4ä�Æ�»P³�¸�·�Ú<ê$ë4ì�í¾Î½}îlÈ|ÀP¾Îï�ÀvÁið ñ ï|ò¾Îó�ôpÀ ë4ì ñ ï ë¾Îó�ôpÀ ë4ì ¾Îó�ôpÀ ë4ìÖõ ¾Îï òtö ï ëS÷ ï�À|ø�ù<úûPüHýGþ�ÿ þ�� ü û � ½t¾Îï ò À�È2¾Îï ë À �¾�Þß ® À¶<±�µ�Ì��\·�º\ÚQ±�³HÚ.µ4Ú�Æ�´�¼�¸6·�Ú ã Æ�µ�±�·�´�Ç\³Hé�´�±�µ�±�·�´�¼� ¾Îï�ÀvÁAð ñ ¿¬ø�� ü� � ¾�¿ÑÀ� � ¾�¿0ÀlÁAð ñ ï¾Îó�ôpÀ ë4ì ø�ù�� ü� � ¾Îï�À � ¾�Þß� RÀØ�³�ä�Æ�¼�¼Ùµ4·¨»P·R·�ÚQÇ�±F´�Æ�µ4³�¼4ä'Æ�»P³�µ4·�é�´�Ç�Æ���³HÚQ´\³Ü�� ¾�¿ ò 4¿ ë 4¿ Õ ÀÙÇ\³Hé�´�³ÇE¸6Ú�· ã

¾Î½}îvÈ|ÀP¾�¿ Õ À��ið ñ ¿ ò ñ ¿ ë � ¾�¿ ò 4¿ ë 4¿ Õ À|½t¾�¿ ò ÀWÈ2¾�¿ ë À � ¾�Þß���À� ¼�±G´\Û�µ�Ì\³$¸�·�Ú ã º�ÜFÆ~¸6·�Ú ã · ã ³´Rµ�º ã ¼4ä�Æ�»P³�¶N³�Ì�Ʋ�³�í�L¾�¿ ò 4¿ ë 4¿ Õ ÀvÁ ð ñ ï ò¾Îó�ôpÀ ë4ì ñ ï ë¾Îó�ôpÀ ë4ì ³Pè|ä�� ÷ Þó ï ò Ï����#Ï�ï ë ö ï ò Ï��Q¾�¿ ò ÷ ¿ Õ À ö ï ë Ï��Q¾�¿ ë�÷ ¿ Õ À�� �¾�Þß� �À! ³HÚ�³"� ±G¼$Æ�ó ñ�# ó ñ ã Æ�µ4Ú�±Óè Æ�´�Ç ¶!³�º�¼4³EÏ0µ4·�Ç\³´\·�µ4³�¼�»HÆ�ÜGÆ�Ú�ä�Ú�·|Ç�º�»PµHËÑ·�Ú�¼�º ã·"²�³HÚ<ó ñ »P· ã äÑ·�´\³´RµÙ±F´�Ç�±F»P³¼×%$.Ì�³M±F´Rµ4³HÛ�Ú�Æ�ÜÑ»HÆ�´¨æѳrÇ\·�´\³Mæ ây»P· ã ä�Ü�³Hµ�±G´\Û�¼'& º�Æ�Ú�³¼Æ�´�Ç�·�´\³$é�´�Ç�¼Ùµ�Ì\³�¼4µ�Æ�´�Ç�Æ�Ú�ÇEÚ�³¼�º�Ü�µ� ¾�¿ ò 4¿ ë 4¿ Õ ÀlÁ Þô ë4ì Ç\³Hµ�� ³Pè|ä�� ÷ ó��'¾�¿ ò ÷ ¿ Õ À(� ù ò ¾�¿ ëS÷ ¿ Õ À��) ¾�Þß ¯ À·�ÚË�±F´ ã Æ�´�±�¸6³¼�µ�Ü�â}»Pâ|»HÜF±F»¬¸�·�Ú ã� ¾�¿ ò 4¿ ë 4¿ Õ ÀlÁ Þô ë4ì Ç\³Hµ�� ³Pè|ä � ÷ ó���* ¿ ò � ù ò ¿ ë ö ¿ ë � ù ò ¿ Õvö ¿ Õ � ù ò ¿ ò(+ � �¾�Þß�ß�À, ·Ö¶ Ú�³¼4µ4Ú�±F»Pµ�Æ�µ4µ4³´Rµ�±�·�´Lµ4· µW¶!· Ç�± ã ³´�¼�±F·�´�Æ�Üt´\·�´�»P· ã�ã º\µ�Æ�µ�±�²�³E¼4ä�Æ�»P³�Ët±Î×�³�×�Ët¼4³Hµñ Á Þ�× Ø�Ú�±�µ4³ÂÆ Û�³´�³HÚ�Æ�Ü�»Pâ|»HÜF±F» Æ�´�¼�Æ�µ4ݸ�·�Ú�Æ µ�Ì\Ú�³H³.-`²�³HÚ�µ4³Pè2Ë$æ âÉ»P·�´�¼�±FÇ\³HÚQ±F´\Û·�¼�»H±FÜFÜFÆ�µ4·�ÚQ¼�¾0/132HÀSÆ�¼�¼4· »H±GÆ�µ4³Ç�µ4·�µ�Ì\³�»P· ·�Ú�Ç�±G´�Æ�µ4³¼.¿�4�Ë�¶<±�µ�Ì65 Á Þ7�ó ×

¾�¿ ò (8 ò:9 ¿ ë (8 ë 9 ¿ Õ (8 Õ À<; ¾0/>= ò 32= ò 9 /?=ë 32.=ë 9 />=Õ 32.=Õ À � ¾�Þß�@�À

Page 44: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ACBED FHG%I�JLKNMPO'QSR.TUWVYX[Z]\C^'_a`'_b\Cc6Xd_ae�Xdc�^(`'f7`(Xd^Hg�f�cih]XkjYX�l�cYXdjim�^'_ncYeio�pdq>pPrs`(\�e�X�`'VYX�t)uv_b`'V�`'VYXkf�c�f�wax\�e�\Cm�^Wt'Xdwnf7`'_a\Cc�^

yz<{ |} ~ o������.�3r�� y�k{ p} ~ o��L���.�3r�� o�pd�7�Sr� ^'_ncYe ~ x�g.\C��Z]\CcYXdc�`vcY\�`'f7`'_a\Cc���6{ o ���(z r � ��<{ o ��� ��r���u�XkV�fd��X� ��L��{ �� � � � � X.�?Zs��� �  ��¢¡ �� � } ~ | ��k¡ �� � �  ��£¡ ���¤)�� �¥L� { �� � � � � X.�>Z¦�E� �  �¥"¡ �¥ � } ~ ��£¡ �¥ � �  ��k¡ ��?¤ � o�pd�>pPrUWVYX§`'VYt'X�X.xN��X�t3`(X.�iuv_bwbw¨h]X)uWt3_a`(`(Xdcif�^

��©�ªP«�{­¬ X.�>Z��E� p~ �® � © �® � ¤k� � «�� o�pd� ~ ruvVYX�t'X © _b^Wf¢¯�°±¯��<f7`(t3_²�]��f�c�j �® f<^'_a�³g.\C��Z]\CcYXdc�`W��Xdg.`(\�t

©´{¶µ·¹¸ º ºS»º » ¸ ºº ºC» ¸¼½ � �® � { o'�� � � � �� �  � �� �ª r�� o�pd��ACr

uv_a`'V ¸ � º `�u�\¢h?¾³`�u�\"�<f7`(t3_ng.Xd^�¿�ÀÁXkcY\EuÂt'XdÃ?m�_at3XH`'V1f7`Ä oP�� � � ��   � ��¨ª r { � � �� � �0Å � ��   �0Å � ���ªC� ¤k��©1ªP«L{ pÆ   jYX�`�Ç X.�>Z��E� p~ �È´Ä �È ¤)� o�pd��D�ruvVYX�t'X[m�^'X§u�f�^É�<f�jYX§\�ÊWo�pdq�qCr���f�c�jiuËXkV1fd��XkjYX�l�cYXdj

Ä { o ~ | r µ · � Ç£Ì � �ÉÇÍÌ ��ÉÇ Ì � � Ç Ì �Ç£Ì � �ÉÇ£Ì � �¼½ � �È { oP�� � � ��   � ���ª r�� o�pd��ÎCr

Ï c�`'V1_b^scY\�`'f7`'_a\Cc:�%o�pd�>pPrsf�wbwa\Euv^s\CcYXk`(\<uWt3_a`(X� È �S{ � �� � �²Å � ��   �²Å � ���ªS�S{ pÆ } Æ � � � X.�?Zs��� p~ �È ¡ �È � } ~ | �® ¡ �È � p~ �® ¡ �® ¤ �£o�pd��¯CrÐ mYh1^(`'_b`'mY`'_bcYe<h�f�g'ÑÒ_bcS`(\6`'VYX��<f�_nc±g.\Cc�j1_a`'_a\Cc�o�pd��D�r)f�c�jÒjY\C_bc�e"`'VYX�g.\Cc�`(t3f�g.`'_a\CcuËX[l�c�j:ÓpÆ   j�X�`�Ç X.�?Z � � p~ �ÈÔÄ �È ¤ { ¬Æ } Æ pÕ j�X�`Eo�pË� © r X.�?Z � � p~ �È pW� ©pË� © �È ¤ �o�pd�CB�r

Page 45: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ÖØ×Ù�ÚaÛ7ÜÝßÞ?à�áãâ>ä³å�ÙYä�Þçæ�á0Ü�ÝãÞ�à³æ1áNè7Ü)éHÚ à?äPê�Ü�è ëCì7íî�ï�ðiñ.òCï�ñ�óbô1ðYõ)ö'÷�î7ö

ø´ùûúWüþýúËÿ ý � � ù�� ðYõ�ö�� úËÿ ø�� ðYõ�ö�� � ú���� �� õ"ïYò�� ö'î���õ�� ù���� �ü � ��� � î�ï�ð"!�ï�ðÒö'÷�î7ö$#ãò�% �'&ù � ö'÷�õ)(<î7ö*%,+.-/� úWÿ�ý �î�010]õdî�%,+bï324+bï ø +657+bï98�õ:%3ö;+=<1óaõ�>@?v÷Yõ$%'õ�5'ô1óaö;+bï32�õA-B01%'õ�5;5;+bòCï�#ßò�% ø +nï�ö(õ:%,(C5vò�#%ö'÷�õD �*E (<î7ö*%,+bñ.õ�5 +nï"� ú�� ëF� +65D ù ü GÉÿ �FHú�Ivÿ � H � ú �� ú � � E ù Gú�Ivÿ � H � I J �üKJ � I � � ú���� �L ò�%'õ�ò�8�õ:% � ù � � ú�Ivÿ � H � ù Ië úM úËÿON;PQ H�R � I ��� �S óbóT+nï�î�óbó � ö'÷YõU#ãò�%,( ò�# ö'÷YõU8�õ:%'ö(õA-V+W5X ø1Y � � �*Z ù Ië úúØÿ[N;PQ H õA-\07] ü úI M ü GÉÿ �FHú�Ivÿ � H R �_^\` Q ^B` Q ÿba `Q a ` Q ÿ ñAc?ñ�ó6+nñ �ü M �ú�Ivÿ � H R �_^ ` Q ^ `H ÿba `Q a `H ÿ ñAc>ñ�ó6+bñ � � I � ú �ü M G�J �ú�Ivÿ � H R �_^B` Q a `H üda `Q ^\`H ÿ ñAc>ñ�ó6+bñ �fe X � Z ?W÷1+65K+65¦ö'÷�õkðYõ�5;+=%3õdð�#ßò�%,( ò�#%ö'÷�õU8�õ:%'ö(õA-g#ßò�%Éñ�î�ïYòCï1+bñ�î�ó L ò�cCî�óh>i?W÷�õ[ó6+6(C+aö �kjl�+65K5;(�ò?ò�ö'÷ î�ï�ð�2F+68�õ�5:mX ø1Y � � ù � �*Z ù Ië õA-B07] ún �_^B` Q ^\` Q ÿba `Q a ` Q ÿ ñAc>ñ�ó6+bñ � ü Ië �_^B` Q ^B`H ÿ/a `Q a `H ÿ ñAc>ñ�ó6+bñ �fe X � Z � I � I �o î�010�+bó=c � ö'÷1+65sî�2�%'õ�õ�5p�7+aö'÷6ö'÷�õ[ñ.òF(C(£ô�ö'î7ö;+=8�õq%'õ�53ô�óaöK%'õ:8B+aõ:��õdðg+bï"� ú�� � � >rtsvu wyxKz�{[|�}�~��f{���|�}���~��f{�}F��z'�B��{t}F�f{������i|y��|��3�f������}���~g�i��|���|� õÍïYò��ÂõA-Yî�(C+bïYõ£ö'÷Yõ[ö'÷3%3õ�õk5(ö*%,+nï32C8�õ:%'ö(õA- î�ï�ð±ô15(õ£ö'÷Yõ$%'õdñ.õdï�öHð�+bî�2�òCï�î�ó6+=�dî7ö;+bòCïò�#�ö'÷Yõ �Éõdô1(<î�ï1ïC(<î7ö*%,+bñ.õ�5�ö(ò$%'õ:� %,+bö(õ�ö'÷�õK8�õ:%'ö(õA-C+bï�î�<1î�5;+65 ò�#]òF5'ñ:+nóbóbî7ö(ò�%,5��7+bö'÷�îñ.òCïSö;+bï?ôYòCô15i(�ò>ðYõWóbî�<]õdóh> � õ7�7+bónó�ö'÷�õdïC0]õ:%;#ãò�%,( î$%'õdð�õ:!1ï1+aö;+aòCïÍò�#:ö'÷YõvòF5'ñ:+bóbóbî7ö(ò�%�5+bï�5'ô1ñ3÷�îd�¦î�c ö(ò î�óbóbò��ûî ñ.òF(40�î�%,+65(òCï��7+aö'÷¹ö'÷Yõ L ò�cCî�ó�#ãò�%,( ò�#[ö'÷Yõ�8�õ:%'ö(õA-ðYõ�ö(õ:%,(C+bï�õdðy+bï6ö'÷Yõ$01%3õ:8\+aòCô�5�5'õdñ.ö;+aòCïT>

Page 46: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

�F��� �¡ £¢�¤�¥�¦�§;¨9©Aª« ¬3­U­�®=¯�­�°�±�­�²A³*´�µ¡¶¸·�¹hº�» ®6¼½¯F®=±�­�°g¾\¿À³;¬3­U¯�­�°3­:µ,Á�³;®6°1¯CÂÄÃ�°1²A³;®=´F°TÅÇÆ

È�É ¹_Ê\»�Ë ÌÍ·�ÎtÏ ¶¸·�¹hº�»Ð Ñ Ê · Ë ÒÓ ¹hº�»9ÔÕ Òº ¹ Ò Öd×�Ø É3Ù_ÚÜÛ�Ý Ô�Þ »�ß ¹hà�áF�F»â ¬3­:µ;­ Ó ¹hº�»½®W¼K¯F®=±�­�°y¾\¿�ãäàF�¸å Ó ¹hº�»�Ë àº ¼;®6°1¬çæ ºàéè ¹hà�á�ê�»ë ´�³*­�Á�ì6¼*´4³;¬1Á�³ íTî*ï ¹ Ö º�»@Ë í�ï�î ¹hº�»�ß ¹hà�áFðF»â ¬3­:µ;­ â ­g¬1Á�±�­gñ3­:ò�°3­�ñ í î*ó Ï*ô ïõó Ï Ë í î;ï Âv´�µC¼,Ã3ö�­:µ,¼;²Aµ,®=ö�³;¼k÷4´Bñb�\øù«7¬3­�³ â ®6¼;³÷CÁ�³*µ,®.úVûO¬1Á�¼pÁ â ­�ì6ì=üfñ3­:ò�°3­�ñyÁ�²A³;®=´F°V´F°y³;¬3­U­�®=¯�­�°�±�­�²A³*´�µ,¼ÌÍ·�ÎtÏ ûiý@·�¶¸·�¹hº�»iË Ö ¶�ýk¹ Ö º�»�ß ûiýi·4Ëþ¹ ÖqÒ » ý¡ÿ ý@· è ¹hà�áF�F»� ³�ÂÄ´Fì6ì=´ â ¼�Âvµ,´F÷þ³;¬1®6¼�­��\Ã1Á�³;®=´F°ç³;¬1Á�³@³;¬3­K­:±�­�°)Á�°1ñç´Bñ1ñ4²A´F÷4ö�´F°3­�°�³;¼�´�Â�³;¬3­ ­�®=¯�­�°3ü±�­�²A³*´�µ,¼p¼,Á�³;®6¼*ÂÄ¿ ³;¬3­Uµ,­�ì6Á�³;®=´F°1¼¶��Ü· ó Ï�¹ Ö º�»@Ë�¶��Ü· ó Ï�¹hº�»�ß ¶��Ü·T¹ Ö º�»�Ë Ö ¶��Ü·�¹hº�» è ¹hà�á9��»« ¬3­U­�®=¯�­�°3Â_Ã1°1²A³;®6´F°1¼K²:Á�°y¾�­$¼;¬3´ â °y³*´C¾�­U´�µ;³;¬3´�¯�´F°�Á�ì�Á�°1ñy²A´F÷4ö�ì=­:³*­��ÌÍ·�ÎtÏ ¶¸·�¹hº�ÏA»�¶�·�¹hº���»�Ë ÿ ¹hº�Ï Ö º���»�ß� ÌØ Ì ºK¶�ýç¹hº�»�¶�·�¹hº�»�Ë ÿ ý ô · è ¹hà�á��F» Ã1­ ³*´�³;¬3­�µ;­�ì6Á�³;®6´F°1¼À¹hà�á9��»�� â ­y²:Á�°'¼*­:ö�Á�µ�Á�³*­À³;¬1­À­:±�­�°'Á�°1ñù´Bñ1ñù÷4´\ñ1­�¼kÁ�°1ñâ µ,®=³*­U³;¬3­$²A´F÷Cö�ì=­:³*­�°3­�¼;¼pÁ�°1ñ�´�µ;³;¬3´�¯�´F°�Á�ì6®=³f¿�µ;­�ìWÁ�³;®=´F°1¼q¹hà�á��F»à ÌÍ·�ÎtÏ ¶��Ü· Ø Ï�¹hº�Ï »�¶��Ü· Ø Ï�¹hº���»�Ë ÿ ¹hº�Ï Ö º���»�ß à ÌÍ·�ÎtÏ ¶��Ü·T¹hº�Ï »�¶��Ü·�¹hº���»�Ë ÿ ¹hº�Ï Ö º���»�ßà � Ì� ºK¶��Üý4¹hº�»�¶��Ü·�¹hº�»�Ë ÿ ý7ô ·�ß à � Ì� ºK¶��Üý Ø Ï¸¹hº�»�¶��Ü· Ø Ï¸¹hº�»�Ë ÿ ý7ô · è ¹hà�á��F»������������� �����! "��#%$'&��! )(* "+�,.-"��+��/�0$2143 5�6�798;:<-"���=$>1%?�@2A��/$2+�1B+�(C-"���=1�+D ",FE�@2$2GHED-"$2+�1B(IE�?!-"+D J<KML�N ÝCOP�Q

Page 47: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

RTS�UWVYX�Z�[]\_^a`cbedgfhUid;\kjW`lZ�[c\m^gj�`"n�Zpo0V ^_drq;Z�n s�t�tuFviw�xHw�y�z|{�y�w;z|}|~Yw�x)���M�Y{%����x)}H{�~M��}HzD{_������w��iw;��{�x|�;~M�M�M��}H{�z�xT�=v�{�xHw���{e�iw0�m������ w;z�~�x�����{���}|~��m�i{���x�y���zD����w;}Hw;zr���iz|{����/���������i~Y}�~Mx���{��m��w���~Yw��m}�}H{�~���}Hz|{e������w��iw;���{���}|~M�_�i{���xF{�x|�;~M�M�M��}H{�z�xF�� ¡�����£¢� ���xDxH{_�;~���}Hw��a}H{B}|viw¤w;��w��¥�����a{e���a��{e�iw�x|���Bxz|w�xHy�w���}|~Y��w��Y¦¨§¢�© �ª¬«�­ �¯®a°±²�³h´�µ�¶ ²�·9´ �/¸¨�!¹ ©¶ ²m·9´Cº �%© <ª ­ �»°±²�³h´¡µ�¶ ² �/¸W�_¹ ©¶ ²�º �/�e¼;���¹ ©¶ ² ª ­ �T½ °¾ ¿ ¸ µ ¶ ² �/¸W�e�%©  º ¹ ©¶ ²m·9´ ª ­ ��®_½ °¾ ¿ ¸ µ ¶ ²�·9´ �/¸¨�_¢�© =À�/�e¼�¼r�Á w<v��r��w<~M�m}Hz|{e������w��a�¡Âl����}H{�z={�Âî�~M�Ä}|viw�Å�zDxH}�w�Æ_����}|~Y{��£x|{¡}|v���}=}|v�w;¦Äv�����w�}|v�wx|����w�Ç�ÈÊÉË��{���ÌH��Í���}|~Y{��ay�z|{�y�w;z|}ΦÏÑÐWÒ �l¢� �� ªÓ« ¢ ©  º ÏÑÐWÒ �/�r �� ªÓ« � ©  À �/�e¼����uFviw��iw;�Ô{�xD�;~M�M�M��}H{�zDx�xD��}|~MxHÂc¦Õ}|viw<��{��¡�<��}|��}|~Y{��4z|w�����}|~Y{���xÖ ¢�  º ¢ © ;×MØ ª Ö �r  º � © �×YØ ªÚÙ �/¸ « ¸iÛM� º Ö ¢�  º � © ;×MØ ª Ö ��  º ¢ © ;×MØ ª � À �/�e¼ s �Ü {�}HwÄ}|v���}<Â]{�z�¸ ª �e��}|viwÄ��  ³ ¾ {�x|�;~M�M����}H{�z�������~Mx|viw�x��¯�����Ý�ÊwÕ{����M¦Þv�����wa¢�  ³ ¾ �uFv�~Mx�~Mx � w��;����xHwF}|viw0¸ ª ��w�~YÍ�w��m��w���}H{�z�~�x)ß0�"{e���9� Ü {�}Hwp���MxH{�}|v���}T}|viw��Dv����iÍ�w0{�Â� ��x|~MxÊÂcz|{��à}|viw���~MxD��z|w;}Hwp{�x|�;~M�M�M��}H{�z�xÊ~���}H{�}|viw¤��{��m}|~M�_�i{���x�{��iwB�/�e¼;����~�x��á����~Y}|��z|¦}HzD����xHÂc{�zD�¡��}|~Y{��â����x=�;��� � w��Dv�w��|ã�w��k��x|~M�iÍ4�/���������ä xD~M�iÍgw�Æm����}|~M{���x¡�/�e¼�¼r�p�����Þ}|viw���{���yW�Yw;}Hw��iw�x|xpz|w�����}|~Y{���x¡�/���������h��Âc}Hw;z�xH{���w���YÍ�w � zD��}|viw�}|viz|w;w��ÑxH}HzD~��iÍ���w;z|}Hw�åæ'ç�èré ª w�å_y=ê « ¼� ± ë�ì í¤±î ì ² ¹

ë ©î �"ß�ï ë|í � îT² ¹ í ©²=ð æ � é º �/�e¼�ñm��;���4}|viw�� � wp�FzD~M}H}Hw��4~M�Ä}Hw;zD�¡xF{�Ââ�  º �r  � ��x|~MxF��xæ'ç�èré ª w�åeyóò ± ë�ì í ½ °¾ ¿ ¸õô « ¼ñ �cö ë|í �/¸W�h÷Ýö í"ë �/¸W�H�Êøe��ù ëHú  © ��ù íÎú  © ÷¢mù ë|ú  © ¢mù íÎú  ©�û÷ ®ñ �cö ë|í « ö í"ë �Êø�¢ ù ë|ú  © � ù í!ú  © « � ù ëHú  © ¢ ù í!ú  ©�û¤üWý æ � é À �/�e¼�þ���=viw;z|w æ � é ~Mxp�i{%�ÿ~M��}Hw;zDy�z|w;}Hw��Ë��x¤���H��{���}|~��m�i{���x¤}Hw���xH{�z¤y�zD{_������}��B{�ÂÊ{�x|�;~M�M����}H{�zÍ�z|{������axH}|��}Hw�x�Âc{�z��   º ¢   ���£{�z|w�w�åey��M~M�;~M}|�Y¦��â�/�e¼�þ����;��� � w¤�Fz�~Y}H}Hw��a��xæ'ç è é ª w�å_y£ê�½ °¾ ¿ ¸�� « ¼� öT�/¸W���¢ ù ´ ú  © ¢ ù ´ ú  © ÷ � ù ´ ú  © � ù ´ ú  © ÷��¦e��« ¼� �cö ´ ¶ �/¸W�C÷Ýö ¶ ´ �/¸¨�H����¢ ù ´ ú  © ¢ ù ¶ ú  © ÷ � ù ´ ú  © � ù ¶ ú  © ÷��¦_� �/�e¼����« ®� �cö ´ ¶ �/¸W� « ö ¶ ´ �/¸¨�H���;� ù ´ ú  © ¢ ù ¶ ú  © « ¢ ù ´ ú  © � ù ¶ ú  © ÷��¦_� �� ð æ � é À

Page 48: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

����� ���������� �!#"%$&('*),+-),+-.�'0/210/�+3)54�/�17698�4;:<8�6�.�'0/28�=>/�?@+A.A4;),?0BC.�'04�/D/%E�F�/D4�.A/%G>HJIK?L.�'0/M?0/%GN.(+A/�O%.�)58�?P /Q)R10/�?#.�),69ST.�'*/VUW8XS�Y�Z�+�.A43[*O%.�[04�/�+L/%GN=\Z,)ROD)5.�Z5S�H<&('0/]Y�^>8 F�/V:_Y�.A.A/D4`F�/D4�.A/%Ga)R+4�/�+A.A43),O%.A/�1W.A8_.�'0/cbLdfeg+A/�O%.A8�4�hiY�?\1W),+cY�=*=*438�=*43),Y�.A/�Z5S7?08�43:_Y�ZR)5jD/�1kHlnm9o pXqsrit�u�v�wyxNz{u�v�|�t}|�~���|\��zk���Xu��#�Jx�u��s�#r\�I�?C.�'*)R++A/�O%.�)58�? P /([*+A/-.�'0/c4�/�+3[*Z5.�+�6�4�8�:�.�'0/c. P 8M=*43/DF�)58�[\+�+�/�O%.�)58�?*+.A8�+3'08 P .�'*Y�..�'0/M+A.�Y�4c=*4�8N1*[*O%.c),?\10/D/�1LO%8�4�4�/�+A=>8�?*1*+y.A8�U`8 S�Y�Z�=*4�8N1*[*O%.�+y698�4(YgO%8�?�.�),?�[08�[*+c+A/D.8�6iF�Y�43),Y�^\Z,/�+�=\Y�43Y�:g/D.A43),jD/�1C^�Sg�`�V� eN�;�T�;H��/�),10/�?�.�)56�S�.�'0/�+�/cF�Y�43)RY�^\Z5/�+Y�?*1gY�Z,+�8B�)5F�/�Y�?W),?�.A/D4�=*43/D.�Y�.�)58�?@6�8�4(.�'0/�O%8�:_:�[0.�),?*B_:g8�1*/2/�?*O%8�[*?�.A/D4�/�1`Y�.��7d�eNH��/�'\Y�F�/�?08 P O%8�:g=\Z5/D.A/�1�8�[04J=\4�/�Z,),:_)R?*Y�4�S P 8�4��C�\?*1\),?0B2^>8�.�'_.�'0/�8�+�OD),Z,ZRY�.A8�44�/D=*4�/�+A/�?�.�Y�.�)58�?�8�6-.�'0/7UW8XS�Y�Zs=*4�8N1*[*O%.M)R?�+A/�O%.�)58�?Q��h�/���?�HR ¡��e0¢ �;h�Y�?\1]YL=*4�/�+A/�?0E.�Y�.�)58�?£ ¡�N¢�¤��¥8�6M.�'0/¦.�'04�/D/%E§+A.A43)R?0BVF�/D43.A/%G¨Y�+LYVO%8�?�.�),?�[08�[*+7.A/�?*+A8�4L=*438�1*[\O%.�8�6.�'04�/D/%E�F�/D4�.�),O%/�+�HT©-8�:g=\Y�43),?*Bª.�'0/L/%GN=>8�?0/�?#.�+�),?«.�'0/�+A/LF�/D4�.�),O%/�+ P /W+A/D/@.�'*Y�._Y�?),10/�?�.�)5�\ODY�.�)58�?  ­¬�®D�3¯°®;�±² ¡³ ®´ ��µ�®´ �i�  ¡�N¢ ���4�/���[\)54�/�+-.�'0/MO%8�?*1\)5.�)58�?*+

¶  ¡�{�·d ¸c¹�º¼»�½¢�� º�» ½ �¶�¾ ½  ¡�{� º ¶ ½ ¾  ¡�{�·d ¢�¤¢�� º¼» ½ �¶ ¾ ½  ¡�{� ¸ ¶ ½ ¾  ¡�{�·d � »¢�� º¼» ½�¿  ¡�N¢����À 8�.A/C.�'*Y�.�.�'0/CO%8�?*+�),+�.A/�?*O%S`O%8�?*1*),.�)58�? ¶ º ¶ ¾ ½ º ¶ ½ ¾ dÁ¢�),+�+3Y�.�),+A�*/�1kH2UªY���),?*B[*+A/�8�6�.�'0/�/%G�=\ZR),OD)5.s/%GN=*4�/�+�+3)58�?*+� K¢ ��Â�� P /��\?*1¥.�'*Y�.y.�'0/2Y�^{8XF�/�/���[*Y�.�),8�?*+-Y�4�/�Y�ZRZ+�Y�.�),+A�*/�1L^�S@O3'08�8�+�),?*B »  ¡�{�df�C.�Y�?*'yÃ�Ä �¹QÅ ¿  ¡�N¢�Æ��&('*),+�),+�.�'0/C?08�?*O%8�:_:�[0.�Y�.�)5FN)5.§Sª=\Y�43Y�:g/D.A/D4MY�+3+A8�OD)RY�.A/�1Ç.A8@.�'0/_UW8XS�Y�ZsY�Z5B�/D^*43Y�+�HÀ 8�.A/7),?Ç=\Y�4�.�),OD[\Z,Y�42.�'*Y�.M6�8�4��QdÈe P '*/D4�/g.�'0/_=\Y�),428�6y8�+3OD),Z,Z,Y�.A8�43+2O%8�ZRZ,Y�=\+A/�+2.A8É [*+�.�µ ´ Ê>Ë P /�'*Y�F�/-Y(O%8�:_:�[0.�Y�.�)5F�/y=*4�8N1*[*O%.DH�&�'0/J?08�?*O%8�:�:�[0.�Y�.�),F�)5.ÌS�=\Y�43Y�:g/D.A/D4B�4�8 P +�Y�+��`B�4�8 P +�^\[0.(),+-^>8�[*?\10/�1kÍ »  ¡�i�yÎÏ��HÀ 8�.A/�.�'*Y�.s.�'0/c��)5.A.A/�?gF�/D4�.A/%G�1\)ÑÐ{/D4;+n6�4�8�:£.�'*/�UW8XS�Y�Z*F�/D4�.A/%Gg^�S�Y2O°E§?�[*:�^{/D4=*4�/D6­Y�O%.A8�4�h{Y�+�ODY�?ª^{/�+A/D/�?ª^�SWO%8�:g=iY�43),?0Bª ¡��e0¢ � P ),.�'V ¡�N¢�¤��;H�&�'*),+(:g/�Y�?\+�.�'*Y�.Dh+A.A43),O%.�Z5SV+A=>/�Y���),?*B0hs.�'0/L8�=>/�?«+�.A43),?0B¦�*/�Z,1«.�'0/D8�4�S«=*4�8N1*[*O%.¥ÒXÓÔY�?*1«.�'0/`U`8 S�Y�Z=*4�8N1*[*O%.�Ò Õ ÒXÓ�ÖgdØ×2Ù Õ ÒÖ��  ¡����e#�

Page 49: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ÚJÛ°ÜiÝ5Þ�ß°à9á�â@ã�äNå7ænÜ0åDá¦çiã­ß;à�á�â7ç\ã�è�ß�é�Ý â�å êDßKè ë�ì�íî�ï ð�ñRò0ó�ñ,ô*õ�ò#ö�ñ5÷\õ�ô�ö�ø0õ�ò0ù�ò\ú%ù�û_û�ü*ö�ï�ö�ñ5ð�õJý\ï�þ;ï�ûgõDöAõDþnÿyõ�û�ü��Aönò0ù ÿ�ô0õDöAõDþ3û_ñRò0õÿ�ø*ï�ö�ï�þ3õ�ö�ø0õ�õ���ý��Rñ,úDñ5ö���ù�þ3û��sù�kö�ø*õ�ú%ù�ù�þ3ô*ñ,ò*ï�öAõ��ö�ø*ï�ö�õ�ò#öAõDþ-ö�ø0õ��Wù� �ï�iý\þ�ù�ô\ü*ú%ö���Ìö�ñ��(ò*ï�ö�ü0þ3ï�>öAù¥õ���ý>õ�ú%ö(ö�ø\ï�ö(ö�ø0ù��Aõ�ÿ�ñ������>õMú%ù�ò#ö�ñRò�ü0ù�ü��(ú%ù�ù�þ;ô*ñ,ò*ï�öAõ�û_ù�ô0õ���������ï���AùNúDñ,ï�öAõ�ô«öAùªö�ø0õLü���ü\ï�sý>ù���ñ5ö�ñ5ù�òVûgùNô0õ� ��!"�# �þ�õ�Rï�ö�ñ5ù�ò��$��ñ,û_ñ��Rï�þMöAùªö�ø*ù��Aõ7ñRò��%'&�()�*�,+,��ø\ñ,ò#öAõ�ô`ï�ö-�>õ���ù�þ�õ.\ÿyõ�ÿ�ñ����kø*ï ð�õ�öAù7ü��Aõ�õDð�õ�ò¦ï�ò\ôWùNô*ô`ûgùNô0õ��.{ï�ò*ô¦ï/0ù�ü0þ3ñ5õDþ�öAþ3ï�ò��0��ù�þ3û_ï�ö�ñ5ù�òWù�nö�ø0õ�ù�ô*ô@û_ù�ô0õ�(ÿ�ñ������>õMò0õ�ú%õ����ï�þ� �/0ù�þ�ö�ø\ñ��-ý\ü0þ�ý>ù��Aõ�ÿyõ�ú%ù�ò���ñRô0õDþcö�ø0õMý>ù���ñ5ö�ñ,ù�ò7ï�ò\ôWûgù�ûgõ�ò�ö�ü*û<õ�ñ5ó�õ�ò��Aö�ï�öAõ�

13245�768��9;: 1 (�9Ìõ���ý�<�= 2�?>@�A�BC> 2�EDF%HG 2I >�@JALK3> 2�ED &% 2I > 2INM�O1L2PQ�768��9;: 1 (�9Ìõ���ý < = &R 2S >T@UBC> 2S D 2I >@V> 2S = &% 2I > 2I M O ��%%'&T�ÿ�ø0õDþ�õW�X: G% @Y>#� I = INZ � O WS :[@ ALK >#� I D INZ � O @�\]!J:_^ %`ba \]!-c ��%%%��

�7d(ø*ñ��cñ��-ÿyù�þ�eNñ,ò0ó_ñ,òLö�ø*õUfhg�:i&Tjk%_ú%ù�ò#ð�õ�ò�ö�ñ5ù�òL�l�Q�Wù�þ3õMõ���ý��,ñ,úDñ5ö��m W��!J: Gn % ` >#� I !U= I Z! � O WS !J: ^ ` % � I !oD I Z! � O `qp & O ��%%�ë��

ï�ò*ô@ö�ø0õsrDõDþ3ù�ûgùNô0õ2õ���ý\þ�õ����ñ5ù�ò��cï�þ�õMö�ø0ù��Aõ�ñ,òq�t&u'&T�*�vd�ø0õ�ïk�>ù ð�õMó�ù7ï�5ù�ò0ógÿ�ñ,ö�øö�ø0õMõ��Ný\ï�ò���ñ5ù�ò��w45�768�3:xW��y�D n %{z|!k} K W��!7ú%ù�� ` 6 O ~ wP?�768�3:�WS y�D n %{z|!} K WS !7ú%ù�� ` 6EcU��%%HR#���õ�û�ü��AöJò*ù ÿ�ô0õD÷\ò0õ�ò*õDÿÏú%ù�ù�þ3ô*ñ,ò*ï�öAõ�ï�ò*ô�ûgù�û_õ�ò#ö�ü*û ù�ý>õDþ3ï�öAù�þ��yï���AùNúDñ,ï�öAõ�ô�öAùö�ø0õMù���úDñ����,ï�öAù�þ��s���� O � Z� �-ï�ò*ô��7�H� O � Z� �yÿyõ�ø*ï ð�õ�ñ,ò�öAþ�ùNô*ü*ú%õ�ôL����õU�,õDö

�TW��� O W� �)���F���T� O � Z� � O �TW� � O W� �)���F�7�k� O � Z� � O ��%%���ü���ñ,ò0óCö�ø0õs��ö�ï�ò*ô*ï�þ3ôWú%ù�þ3þ�õ�Aý>ù�ò*ô0õ�ò*ú%õ���9ù�þ�rDõDþ3ùk�§ûgù�ô*õ�U�t&u'&T�*�W��� : Gn % ���q=�� Z� � O W� � : &n % ����D�� Z� � OW� � : Gn % �7�H� =q� Z� � O W� � : &n % �7�k��D5� Z� ��c ��%%���

d(ø0õ�ú%ù�ù�þ3ô*ñRò*ï�öAõJù�ý>õDþ3ï�öAù�þ��sW����ï�ò*ôqW� �(ï�þ�õyö�ø0õJù�ò0õ����ù�þ�ÿ�ø\ñ,ú3ø�ö�ø0õ-ë�����öAþ3ñ,ò0ó�ð�õDþ�öAõ��ø*ï�8�>õDõ�ò�ý\ü0ö�ñRòU�`ùT �ï�'��ù�þ3û��8��õcû�ü��Aönö�ø0õDþ�õ���ù�þ�õyò*ù ÿ«õ���ý*þ3õ����ö�ø*õ�û}ñ,ò�öAõDþ3û���ù�

Page 50: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

��k� �,���h�����T �¡)¢�£¤�¥§¦-¨©*ªm«�ª�¬�­®�¨¯�¦�©*­k¤0¨©�°,±�²³�´�µ ²¶�´'·*¸3¹ ¨©C¤�¥�ª�°]ºv¦,»�°�¦$±�¼'½ � · ¤0¨$¾�©�°0¤]¯�­°�°]¤0¨�±7¿ ´�µ ¿'À´ ·¨�°�Á�ª�®�®�­k¤0¨©*° ­¬�Â�¤�¥§¦¬[±�¼¼ � · ¤0¨�¯�­°�°U¤0¨Ã±T²³ ´ µ ²¶ ´ · ¨¯�¦�©*­k¤0¨©�° ¸"Ä ¬§¦Qª�Å?ÅJ¦Â�ª�­k¤0¦®mƾ�¬�Â�°

²³�Ç È É ¼ËÊÌ´ÍÏÎ�ÐÑ ´ ±�Ò ·0É ¼HÓÔ²³ Ñ ´,µ ±�¼¼�Õ ·²Ö�Ç È × É ¼ ÊÌ´ÍÏÎ Ð Ñ ´)ØLÎ ±�Ò ·É ¼HÓ × ½ ²¶ Ñ ´#ØLÎÙµ ±�¼¼ � ·²ÚTÇ È É ¼{ÊÌ´ÍÏÎ Ð Ñ ´ ±�Ò ·É ¼HÓ ²¶ Ñ ´�µ ±�¼¼Û ·²Ü Ç È É ¼ ÊÌ´ÍÏÎ ÐÑ ´)ØLÎ ±�Ò · É ¼HÓ × ½�²³ Ñ ´)ØLÎhÝ ±�¼ �k� ·

Þ ¦�©�¦?º]¦?°�¦�¦�¤�¥�­k¤s¤�¥§¦àßá¨�Æ�­®]Á�¨N¨©�Â�ª�¬�­k¤0¦°�âh¤�¥§¦�¦ª�«¦¬)ãk­®�»§¦°o¨äQ²³�Ç ­¬�ÂÔ²Ö�Ç â8­k©�¦©�¦°0¯Ù¦Á�¤�ªm㦮mÆá±7ª · ®�ª�¬§¦­k©�Á�¨�ÅUå�ª�¬�­k¤�ª�¨�¬�¨äÙ¦�㦬QÁ�¨�¬#㦬#¤�ªm¨�¬�­®ÙÁ�¨#¨©*Â�ª�¬�­k¤0¦°�âN­¬�Âæ±7ª�ª ·®�ª�¬§¦­k©�Á�¨�ÅUå�ª�¬�­k¤�ªm¨�¬�°]¨äL¨NÂ�ÂQÅJ¨�ÅJ¦¬#¤�­ ¸�ç ¥N»�°3¤�¥�¦,ßb¨TÆ�­®L°0¤0©�»�Á�¤�»§©�¦�ª�°]Á�­¬§¨�¬�ª�Á�­®ä訩é¤�¥§¦sÅ$»�®m¤�ª�¯�®�ª�Á�­k¤�ªm¨�¬?¨ä�°�¤0©�ª�¬§«$äê»�¬�Á�¤�ªm¨�¬�­®�°vº�¥�¦�©�¦�¤�¥§¦�¨NÂ�ÂXÁ�¨N¨©�Â�ª�¬�­k¤0¦° ³ Ñ ´#ØLέk©�¦X©�¦�¯�®�­Á�¦ÂëåNÆì¨'Â�Â�Å�¨�ÅJ¦¬)¤�­ ¶ Ñ ´)ØLÎ ãNª�­ ¹ ¨�»�©�ªm¦�©E¤0©�­¬�°0äꨩ�Å�­k¤�ª�¨�¬ ¸îí ¬ë¨¤�¥§¦�©º]¨©�Â�°é«�ªm㦬á°0¤0©*ª�¬§«Eäê»�¬�Á�¤�ªm¨�¬�­®�°�ï�ðt±òñ ³ Ñ ´�ó�µ ñ ³ Ñ ´)ØLÎ�óH· ¤0¨?å�¦s°�¤�­k©�ÅU»�®m¤�ªm¯�®�ª�¦ÂLâ#»�°�¦¨ä�ßb¨TÆ�­®Ï¯�©�¨'Â�»�Á�¤C©�¦ôN»�ªm©�¦°C¤�¥�¦s¤0©�­¬�°0äꨩ�Å�­k¤�ª�¨�¬�°ï,ð0±òñ ³ Ñ ´�ó�µ ñ ³ Ñ ´#ØLÎ�óH· õ öï�ðt±òñ ³ Ñ ´�ó�µ ñ ¶ Ñ ´#ØLÎóH· õ ïo÷ð ± ³ ±�Ò ·*µ0Ö ±�Ò ·0·�µ±�¼ � ½ ·º�¥§¦�©�¦ ³ ±�Ò · ­¬�Â Ö ±�Ò · Â�¦¬§¨¤0¦U¤�¥�¦ ¦ªm«¦¬#ãH­®�»§¦°�¨äJ²³�Ç ­¬�Âø²Ö�Ç ©�¦°0¯Ù¦Á�¤�ªm㦮mÆ ¸�ç ¥�¦¾�©�°0¤�­k©�©�¨TºÃ­kåÙ¨Tã¦é§¦¬�¨¤0¦° ¹ ¨�»§©�ªm¦�©�¤0©�­¬�°�ä訩�Å?­k¤�ªm¨�¬Lâ­¬�Â$ª�¬s¤�¥§¦C°0¦Á�¨�¬�ÂE­k©�©�¨Tº5º]¦ù »�°�¤]©�¦�¦�ú'¯�©�¦°�°C¤�¥§¦oÁ�¨#¨©�Â�ª�¬�­k¤0¦o­¬�ÂXÅJ¨�ÅJ¦¬#¤�­Jª�¬à¤0¦�©�Å�°C¨ä�Á�¨�¬)¤�ª�¬N»§¨�»�°vãk­k©�ª�­kå�®�¦°»�°�ª�¬§«X±�¼¼�Õ · ­¬�Âî±�¼¼ � ·*¸�í ¬?¤�¥�ª�°�¾�¬�­®�äꨩ�Å�â'º�ª�¤�¥Q°�»�¯�¦�©*°�Á�©�ªm¯�¤�ûüä訩�ßb¨TÆ�­®�â�¤�¥�¦°0¤�­k©-¯�©�¨NÂ�»�Á�¤�ª�° ù »�°0¤�Á�­¬�¨�¬�ª�Á�­®Ïßb¨TÆ�­®�¯�©�¨NÂ�»�Á�¤éº�ªm¤�¥áý�±�Ò · äꨩ�¦­Á*¥�Ò"þ � â�ª�¬æ­ºv­TÆà¤�¥�­k¤�º�ª�®�®�åÙ¦sÅ�­Â§¦sÅ�¨©�¦s¯�©�¦Á�ª�°0¦oª�¬X¤�¥§¦ ¬§¦�ú'¤�°�»�å�°0¦Á�¤�ªm¨�¬ ¸í ¤Uª�°�¨äéª�¬)¤0¦�©�¦°0¤o¤0¨æª�Â�¦¬)¤�ªmäêÆb¤�¥�¦�¬�­k¤�»§©�¦J¨äC¤�¥§¦?Á�¨�Å?ÅU»§¤�ª�¬§«áÁ�¨#¨©*Â�ª�¬�­k¤0¦�­°tÿ°0¨NÁ�ª�­k¤0¦Âî¤0¨æÒ È � õ ý�±�Ò ·,È � ¸?í ¬�Â�¦�¦Â"ä訩UÒ È � ¤�¥�¦J¦ªm«¦¬)ã¦Á�¤0¨© Ð ±�Ò È � ·¨�¬�®mÆ"¥�­°s¨'Â�ÂìÁ�¨�Å�¯�¨�¬�¦¬)¤�°�â�­¬�Âî¤�¥�¦�©�¦�ä訩�¦â�äê©�¨�Å ±�¼¼�Õ · ­¬� ±�¼¼ � · ¨�¬�®mÆ ²Ö�ÇTÍ �°�»§©�ã'ªm㦰 ¸3ç ¥�ª�°Cª�°é¦�ú'¯�®�ª�Á�ªm¤�®�Æ²Ö ÇTÍ � Èi× É ¼ ÊÌ´kÍÏÎ ± × ½ · ´��ÏμHÓ × ½ ²¶ Ñ ´#ØLÎ ÈÔ× É ¼���²¶ Î × ½� ²¶��� ½ ²¶��é× �������-Ý ±�¼ � ¼ ·

� ¦àÁ�­¬ëª�§¦¬#¤�ªmäêÆæ¤�¥�ª�°s©�ªm«�¥#¤tÿ�¥�­¬�Âì°�ª�§¦?»�°�ª�¬§«ì±�¼¼�� ·*¸ � ¦à¬§¨¤0¦Q¤�¥�­k¤$¤�¥§¦Q­kåÙ¨T㦮�ª�¬§¦­k©�Á�¨�Å å�ª�¬�­k¤�ªm¨�¬"ª�°�âÙº�ª�¤�¥ ¶ � È � â ù »�°0¤-¤�¥�¦EÅ�¨�ÅJ¦¬)¤�»�Å Á�­k©�©�ªm¦Âæå#Æ�¥�­®mä3¤�¥�¦

Page 51: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

���������������! #"%$'&)(*�+&��-,�".�/�%�0 ),1"32��546� !&87��92 :<;'=>@?@ACBED+F GHJI8KMLONQPSR TUWV<X9YL Z

G[]\.^`_bac^ NQPSR T ZG[edgf \ T :<:J_h5i AOAkjl> inm ?o?kp+j�Akj�q%r<Akjs>k?kt�?@jl>u?kpnt�? G[*d-v i >@?OwMjlpnt8x<jyt<>ut<Dzr<AC{nBED1t�Ak|~}�r v�v i ?kBEDnF}�r0r<AC{1BEDnt�?@j�t<>Sq.t�A5t<>S?kpnj�>@?@A/BED+F]�1j m {Wx<j�Ak?@j���BE>6}�rJDn}�j�ACD+jl{��6�9Dn{+j�jl{���?kpnBE>6BE>u?kpnj}�t<>@jzq%r<A]��j�Akr v r v jlD0? i v q i Dn}�?kBErJDnt m >���t<>���jzj��'� m t<BED D+r��g���'BEDn}�j#?kp+j�r<�MjlD>@?@ACBED+F�x<j�Ak?@j���B�>~{+j���D+jl{�w!|�F mEi BED+F�ACBEFJpc?�pnt m qg>@?@A/BED+FJ>~?@r m j�q�?)pnt m qg>@?@ACB�D+FJ>~BE?B v � m j v jlDc?k>e?kp+j�q%r mEm r8�SBED+FS}�rJD1{nB�?kB�rJDn>e�upnjlD v inm ?kBE� m |'BED+Fu>@?@A/BED+F \9=8_ ?kB v jl>�>@?@ACB�D+F\ T _ ?@r]FJB�x<jg>k?@ACBED+F \�:J_/�G[����k ¡ NQP G[���¢£ d¥¤ G[¦��¢£ ¡ N§P G[�� Y  d¨¤ G[�� Y  ¡ NQP G[�� Y  d \ T :�©0_ª i ?Sq%r<A5��j�Akr v r v jlDc? i v >k?@ACBED+F)>@?kt�?@jl> G[���¢£ ¡ N«P G[���¢£ d t<Dn{ G[¦� Y  ¡ N«P G[�� Y  d �¬t<Dn{t<>ut¦}�rJDn>@jl­ i jlDn}�js�®jsp1tlx<js?kp1t�?O?kp+j¯x<j�Ak?@j��WAkjl­ i B�ACjl>G[���¢£ d N G[�� Y  d N G[¦���k d ¤ \ T :<°J_�upnBE}/pgBE>�?kp+j®>@?kt�?@j v jlD0?`?kpnt�? G[*d jlB�F<jlD0x�t mEi jl>�wMjlpntlx<j�t<>`tO}�r v]v i ?kB�D+Fy± �8���9²<����2J"³&t�?O?kp+js>@?@A/BED+F�x<j�Ak?@j��M��£?�BE>sB�Dc?@j�Akjl>k?kBED+Fz?@r-D+r<?@j)?kpnt�?yq%r<As��j�ACr v r v jlDc? i v q i Dn}�?kB�rJDnt m > G[ed B�>�� i �?@r�t�}�rJDn>k?kt<Dc?��®?kp+j#>kt v j#t<>�?kp+j�r<�Mj�ACt�?@r<A G[*d P G[ ¡ ��´up+j)}�rJD1D+jl}�?kB�rJDµr<qu?kpnj¶·N¹¸ jlB�F<jlD0x<jl}�?@r<AW?@r G[ d P G[ ¡ BE>)} m jlt�A�q%Akr v ?kpnj�r<w1>kj�Akx�t�?kBErJD�r<q~º : T�» ?kpnt�??kpnBE>�jlB�F<jlD0x<jl}�?@r<AOB v � m B�jl>¼?kpnt�?®?kp+ju> m BEx<j�A�q i Dn}�?kB�rJDnt m B�>�BED0x�t�A/BEt<Dc? i Dn{+j�Ar<�1�¬rJ>CB�?@jACB�FJBE{~{nBE>@� m t<}�j v jlDc?k>®r<q`?kpnjS?£�®r�pnt m x<jl>®r<q`?kp+j¯>@?@ACBED+F+�½zr<Akj6�nAkjl}�BE>@j m |<�0?kp+j5��j�Akr�¾v r v jlD0? i v > m B�x<j�A�BE>t<D1DnBEpnB m t�?@jl{�w0|�?kp+jut<}�?kBErJD]r<q G[ed P G[ ¡ �¼�b?�q%r mEm r8�S>�?kpnt�?�?kpnj}�r v�v i ?kBED+F#}�r0r<A/{nBEDnt�?@j GH I8KMLs¿ G[ d x�t<D1BE>kp+jl>6rJD�?kp+j¦> m BEx<j�Al� h q�}�r i AC>@j<�`BE?6�SB mEmD+r<?Ox�t<DnBE>kp)rJDWF<jlDnj�ACt m ��j�Akr�¾ v r v jlDc? i v q i Dn}�?kB�rJDnt m >l�

À Á¯Â¬ÃoÄÆÅÈÇkÉSÊ�Ë�Ä�ÃÍÌ�Ä�Î�Ï1ÊÐeÂMÎuÄ�Ñ�bD�>@?kt�A v inm ?kB�� m |!B�D+F¯?³��r�> i Akq.t<}�j5>@?kt�?@jl>o?@r¦FJB�x<j¯t�?kpnB�AC{~��j6F m�i jS?kpnj5> i Akq.t<}�jl>®?@rq�r<A v t�D+j��·> i Akq.t<}�j<�®Ò+r<A5t��1Akr�Ó9jl}�?@r<AS?kp+jsF m�i BED+F�r<q¼?kp+js?£�®r)BE{+jlD0?kBE}�t m > i Akq%t<}�jl>v i >k?oFJB�x<jg?kp+js>Ct v jg> i Akq.t<}�jg��js>@?kt�Ak?o�SB�?kp��´OpnB�>�B�>orJD m |~�¬rJ>C>kB�w m j6wMjl}�t i >@jg?kpnj> i Akq.t<}�jl>`D+j�jl{srJD m |5wMj�}�rJD+q%r<A v t mEm |Sjl­ i B�x�t m jlD0?��*ÔACr�Ó9jl}�?@r<AC>*Akj��nACjl>@jlDc?e>@r v j��up1t�?{+j�F<jlD+j�ACt�?@j]> i Akq.t<}�jl>���t<Dn{-?kpnBE>6?³|!�Mj¦r<q®{+j�F<jlDnj�ACt�?kB�rJDÕBE>5}�A i }�B�t m B�D v t�Ö!BEDnF)?kpnj>@?kt�Au�nACr!{ i }�?�FJBEx<jst¦> i Akq.t<}�js}�rJD+q%r<A v t m�m |]jl­ i B�x�t m jlD0?o?@r�?kp+j¯r<ACB�FJB�Dnt m rJD+j<�´Op+j v t�?kpnj v t�?kBE}�t m �1Akr<�Mj�Ak?³|~F i t�ACt<D0?@j�jlBED+F]?kp1BE>�Akjl> inm ?�B�>�j��!� m t<BED+jl{�wMj m r8�s�× rJDn>kB�{+j�A�t¦>kj�?or<q*> i ACq%t<}�jl>��1t�A/t v j�?@ACB���jl{�w!|]Ø�ÙÚº ¸ ¤ = » �®Ònr<AOjlt<}Cp#Ø�{nBÜÛMj�AkjlD0?q�Akr v rJDnj<�`?kp+j�> i Akq%t<}�j¦Ý \ Ø _ BE>¯t��1DnBE?@j�ACj�FJB�rJD�r<q®?kpnj�}�r v � m j��-� m t<D+j��uB�?kp�?kpnj

Page 52: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

Þ<ß<à á6âeã�ä�å3æ8çkècé�êë@ì<í¬ìJîEì<ï<ð#ì<ñò]ónôEõkö�÷oø6õuù�ï<ì!úlõSë@ì~ìJû+ú�ëkü+úsýkú�ïJôEìJûWþ�ò�ýCô�úlõuõCÿ¦ì0ì<ëkü1î�ð�ëkü+ýkì��+ïJü+ì��në� �+ë¯ó+ú�þ<úlî�ì<í1õsò#ëkünôEûÕû+ú��Cö-ò<û1ó�ò�ëgù����¦ô�ë¯í1ô�û�Cü+úlõ� � ýkúlò�ö'ôEû+ïWôEû0ë@ì#ë���ìWí1ô�ú���úlõ �� ò<ûnó �� � ì<ëkü�ì<ñ��uünô��Cü�ò�ýkú��1ûnôEë@ú6ónô�õ@ö!õl÷��`ú�ë��§ó+úlû+ì<ë@ú¯ëkü+ú¯í1ô�û�Cünô�û+ïsíMìJôEû0ë���ìJÿ�ÿ¦ìJû ë@ì �� ò<ûnó �� 6ò<ûnó ò<õCõ��nÿ¦ú�ëkü+ú�ýkú�ò�ýCú�û+ìµì<ëkü+ú�ýWí1ôEû��CünôEûnïÚíMìJôEû0ëkõ�÷� ú���ò��1õ@ú]ónôEõkö!õ���ò<û�ò<î ��òlð'õ � ú�ÿ]ò�íníMúló�ë@ìWó1ôEõ@ö'õ��ò<ûcð "! ù$#%�uôEëkü�ù'&(�)��ò<û � úÿ�ò�íníMúló#ë@ì �� ÷�*Oü+úgÿ�ò�í-ôEû#ñ.ò���ë6ô�õOû+ì<ë%�nû1ô,+-�núgó�+ú¯ë@ì/.0� ! à 21�#OôEû0þ�ò�ýCô�ò<û��úgì<ñëkü+úsónôEõkö�÷�3Õúsû+ì4�5��îEò<ô�ÿ ëkünò�ë�6798 è�å;:"<>=`ê'æ@?kæÚæBA<åDCFE;C�èHG�èI:�å 8KJML GÕé LIN G L ?F:�è 8 :�èPO�CHQ ! ù$#R6 "! ù�#TS ��@U G L ?ùWVYX Z\[��F] U é LIN E.å N^LI^ CSå N ù U ä¼ê'æ�?@æ_Q ! �`# åDC�E%ê'æ¯åbacæ N E.åbE J :�èPO LIc æ�? �� è N a":�èPO�Cè 8D89L G �� E L � â

*Oü+úoôEû0ë��nô�ëkô�ìJû�ü+ú�ýkúoôEõeëkünò�ë�ò<õ�ñ.ò�ý�ò<õ�ìJû+ú�ì<ñ1ëkünúOõkôEó+úlõeì<ñ1ëkünú�í�ôEû�Cü1ôEû+ïSõB�+ýkñ.ò���úôEõd��ìJû���ú�ýCû+úlóe0��ò<îEîMô�ë�õkôEó+ú6ìJû+ú�+ò<îEî�ëkünò�ëoôEõ�ï<ìJô�û+ïyìJû)ìJû)ëkü+ú5ì<ëkü+ú�ýoõkôEónú�!õkô�ó+úuëf�®ì0��ò<û � úoþ!ô�ú���úló�ò<õü1ò�íníMúlûnôEû+ï5û+úlò�ýëkü+úoí�ôEû�Cü1ôEû+ï6í¬ìJô�ûcë�÷�*Oü+ú_��ìJÿ¦í�î�ú�ë@úOõkôEó+ú�ëf�®ì0î�ð!ô�û+ï�ìJûÕëkü+ú�ì<ëkü+ú�ý�õkôEó+ú�ì<ñ�ëkü+ú]ûnú��kög9��ò<û � ú�ÿ]ò�íníMúló�ë@ìzò#þ�ò<ûnôEõkünô�û+ïJî�ðWõkÿ�ò<î�îýkú�ïJô�ìJûh�uünôEî�ú¦ëkünúi��ìJû+ñ%ì<ýCÿ�ò<î�ÿ�ò�íµôEõsò������+ý/ò�ë@úlî�ðY��î�ìJõ@ú~ë@ì�ëkünú~ôEó+úlû0ëkô�ë£ðÕìJû�õkô�ó+úìJû+ú<÷j�k�l monqpdrts�u�vxwzy|{�u�r�}~u�p�s�u������~v��~���H������v�ye{f{%�dv����zu������~vxw� ô�þ<ú�òÚínýkìz�@ú���ë@ì<ý����ú���ò<û�ýCú�ínýkúlõ@úlû0ë~ô�ë~ò<õ�ëkü+ú�ú@�!íMìJû+úlû0ëkôEò<îEõ¦ì<ñgÿ]ò�ë@ë@ú�ý ! ò<ûnóïJü+ìJõ@ëP#�ìJõ���ôEîEî�ò�ë@ì<ýCõ®ò���ëkô�û+ï�ìJû~ëkünúSþ�ò�����nÿ#÷q�5ûnú���ò<û�õkü+ì4� ëkünò�ë�ëkü+ú6ÿ]ò�ë@ýCô��/� ��q�ò<õkõ@ì\��ôEò�ë@úló/�uô�ëkü�ò<û0ð~ínýCìz�9ú���ë@ì<ýOünò<õ�ëkünú6í1ýkì<íMú�ýkë³ð~ëkünò�ëoô�ëoünò<õoò<û�úlô�ï<úlû0þ<ú���ë@ì<ýuì<ñúlô�ï<úlûcþ�ò<î,�+ú�ìJû+ú��ëkünú�úlôEï<úlûcþ<ú���ë@ì<ý � úlô�û+ï~ëkünú�õCò<ÿ¦ú¦ò<õ¯ëkü+ú"����Z�úlô�ï<úlû0þ<ú���ë@ì<ýsì<ñ��� X à ZI]3÷�*OünôEõ6ï<úlû+ú�ý/ò<îEô ��úlõ5ëkü+ú�õkò<ÿ�ú¦ínýkì<íMú�ýkë³ð�ì � ú�ð<úló � ð-ëkü+ú¦õkîEô�þ<ú�ý'�Sú��nÿ�ò<û1ûÿ�ò�ë@ýCô��M÷øSû�ôEû0ë��nô�ëkô�þ<ú¦ú@�'í1îEò<ûnò�ëkôEìJû�ñ%ì<ýsëkünôEõgínýkì<íMú�ýkë³ðR��ò<û � ú�ïJô�þ<úlûY�1õkôEû+ï#ëkü+ú)ünò<î�ñD�õ@ë@ýCôEû+ïyôEûcë@ú�ýCínýkú�ëkò�ëkô�ìJû�÷�*uü+úuúlô�ï<úlû0þ<ú���ë@ì<ýOôEûH+-�núlõ@ëkô�ìJû)ôEÿ¦í1îEôEúlõ¼ëkünò�ë�ëkü+úuínýCìz�9ú���ë@ì<ý��ò8þ<ú@�3ñ;�nû���ëkô�ìJûnò<î�ôEõ6ôEû0þ�ò�ýCô�ò<ûcë��nûnó+ú�ý���ìJûnõ@ëkò<û0ë¯ò<ûnó-ì<íníMìJõkô�ë@úsë@ý/ò<ûnõkîEò�ëkô�ìJû�ì<ñ�ëkünúünò<î�ñD�³õ@ë@ýCôEû+ïJõ X Þ<à ]3÷�¡bñ���úOó+úlû+ì<ë@ú � ð��9¢�ò<ûnó)��£#ýkúlõ@íMú���ëkô�þ<úlîEðsëkü+úoÿ¦ìJÿ¦úlû0ë��nÿ>��ò�ý$�ýCô�úló � ð�ëkü+ú5î�ú�ñ%ë®ò<ûnó~ýCô�ïJü0ë®ü1ò<î�ñ��³õkë@ýCôEû+ïJõq�®ú5ünòlþ<ú5ëkünò�ë�ëkü+úSúlô�ï<úlû0þ<ú���ë@ì<ý%��ìJûnónô�ëkôEìJûôEõoôEû0ë@ú�ýkínýkú�ë@úlóWò<õuëkü+ú'��ìJûnónôEëkô�ìJû�ëkünò�ë

! �9¢H¤¥�9£�#�¦¨§_©��ªZ [ ! à<Þ�« #

�uü+ú�ýkú�¦¨§_©oôEõuëkü+ú�ínýkìz�@ú���ë@ì<ý6õ��nýkñ%ò���ú�õ@ëkò�ë@ú<÷ � úlô�û+ï~ò)õ��+ýkñ.ò���úyõkëkò�ë@ú�ó+ú���û+úlóT�uôEëkü�uú��nÿ]ò<ûnû � ì��nûnónò�ýCði��ìJûnónôEëkô�ìJû�ëkü+úgë@ì<ëkò<îeÿ¦ìJÿ¦úlû0ë��nÿ¬� ¢)­ � £ ��ò�ýký/ô�úló � ð)ëkünúõ@ëkò�ë@ú]þ�ò<ûnôEõkünúlõ�÷i*Oü��nõ5ëkü+úH��ìJûnónô�ëkôEìJûÕò � ì�þ<ú~ôEõsõkôEÿ¦í1îEðzëkü+ú]õkëkò�ë@úlÿ¦úlûcë�ëkünò�ë��9¢è N a ��£Úò<û1ûnôEünôEî�ò�ë@ú�¦¨§_©/÷ � �+ëoëkü1ôEõ�ÿ��nõkë � ú¯õ@ì0nõkô�û��ú®¦¨§_©���¦¨§ ¢|©�¯ª¦¨§_£�©P0�uü+ú�ýCú

Page 53: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

°q±F²�³ ´IµF¶D·�¸�¹;º\»H¼�²0»�·�½�¹bµP¶;·-¸H½�¹¿¾Iµ�À�³ ¸�»`Á�µÂ¾ Ã�Ä�Ã

ŨƠÇgÈ~É�ÊË/ŨÆ_Ì�È�ÉIÍ�ÎqÏ�Ð0Î�Ñ®Ò$Î�Ó Ô�Î�Ò�Ò�Õ0Í�ÖbÉ�×@ÎdÒ�Ï�ÉIÏ$Î�Ò9ËÎ�Ø�Ê0Î�Ë'ÙÛÚ Ï�Ð�ÜÛÎ�ÕÑ"É�ÊÊ�Ý|Þ�ÕÊËÉIÍ�ß×@Þ�ÊËÚ Ï�Ú Þ�Ê~à

á�âDã äiåqæèç�é�êIêIæ�ë�ìqí>î9ê�ï�ê�æð Ð0Î�Ý�Õ0Ï$Ï$Î�ÍBñß�Ò$Ï�ÉIÏ$Î�ò`ó�ÕÒ$Ï�É�Ò�É�Ê-ß)Ò�Õ0Í�ÖbÉ�×@Î_Ò$Ï�ÉIÏ$Î�ò\Ú,Òô×@Þ�Ñ)õ�Ó Î�Ï$Î�Ó,ß�Ë0Î�Ø�Ê0Î�Ë�Ý-ß)É�Ñ"ÉIõÖDÍ�Þ�Ñ÷ö�Ï$Þ®Ï�Ð0Î�Õ0õõ|Î�Í�ÐÉ�Ó Ö9ø"õ�Ó�É�Ê0Î"ùbøIú¿õÍ�Î�Ò$Î�Ê-Ï�ÉIÏ�Ú Þ�Ê�ûPàWüRÎ'Ï�Ð�ÕÒ�Ù_ÍPÚ Ï$Î

ø�ý öþ ÿ�� ö������� ù;öxû� ù � Ã�� û

É�ÊËTË0Î�Ø�ÊÎ�Ï�ÐÎ'Ý�Õ0Ï$Ï$Î�Í�ñ�ßiÒ$Ï�ÉIÏ$Î�Å � ÈWÏ�ÐÍ�Þ�Õ���Ð/Ï�Ð0Î'ÍBÎ�Ó,ÉIÏ�Ú Þ�Ê������Å��|È�ý�� � ��� �9ù��xû$È�� �"!$# ù � Ã�Ä û

% Ê�Ï�Ð0Î�øIú¿õ�Í�Î�Ò$Î�Ê-Ï�ÉIÏ�Ú Þ�Ê)Ï�Ð0Î_Ò�ÕÍ�Ö;É�×@Î�Ú,Ò9Ï�Ð0Î�ÖbÕÓ,Ó�Õ0õõ|Î�Í�ÐÉ�Ó Ö�õ�Ó,É�Ê0Î�ò�É�ÊË�Ï�Ð0Î�ÍBÎ�ÖDÞ�Í�Î_Ú�ÊÞ�ÍBË0Î�ÍWÏ$Þ&��É�Ú�ÊHÚ�ÊxÏ�ÕÚ,Ï�Ú Þ�Ê®ÉIÝ|Þ�Õ0ÏdÏ�Ð0Î�Ï�ß�õgÎ�Þ�Ö�Ò$Ï�ÉIÏ$Î�Ï�ÐÚ�ÒdÚ,Ò�ò-ÙWÎ�×�É�Êiõ�Ó Þ�ÏqÏ�Ð0Î�Ú,Ñ®É���ÎÞ�Ö9Ï�ÐÎ'×�É�Ê0Þ�ÊÚ,×�É�Óeö"Ð�É�Ó Ö�ú�Ë�Ú,Ò�'®Ú,Ê/Ï�ÐÎ�øIú¿õ�Ó,É�ÊÎ ð Ð0Î�Þ�õ|Î�ÊTÒ$Ï$ÍBÚ�Ê���Å ö�Å�ý ÿ )(�ù;öxû+*,�Ú,Ò%Ò$Î�Î�Ê�Ï$Þ/Ñ"ÉIõ�Ï$ÞHÏ�Ð0Î�Ð-ß�õgÎ�ÍBÝgÞ�Ó�É�- �/.102� ý43� ùbÚ,ÊTÏ�Ð0Î�Õ0õõ|Î�Í%ÐÉ�Ó,Ö9õ�Ó,É�Ê0Î�òÙ%Ú,Ï�Ðø�ý5- �76 0 ûPà9üRÎWÊ0Þ�Ï$ÎWÏ�ÐÉIÏ�ø�ù;ö�ý 6 ûqý�8 É�Ê�Ë'Ï�Ð�ÕÒ�ò�É�Ò�Î:9\õ|Î�×@Ï$Î�Ë�ÖDÞ�Í�É_õÍBÞzóÂÎ�×@Ï$Þ�Í�òÏ�Ð0Î'Þ�õ|Î�Ê�Ò$Ï$ÍBÚ,Ê;�"Ñ"Ú,Ë0õ|Þ�Ú,Ê-Ïd×@Þ�Ú,Ê�×�Ú,Ë0Î�Ò�Ù%Ú,Ï�Ð/Ï�Ð0Î�Ý|Þ�ÕÊËÉIÍ�ßiÞ�Ö�Ï�ÐÎ�ËÚ,Ò�'gà

< Õ0Í�Ï�ÐÎ�Í'Ú,ÊÒ�Ú=��Ð-Ï�Ú,ÊxÏ$Þ/Ï�Ð0Î)ÊÉIÏ�ÕÍ�Î�Þ�ÖdÏ�Ð0Î)Ò$Ï�ÉIÏ$ÎiÚ,Ò�Þ�ÝÏ�É�Ú,Ê0Î�Ë�Ý�ß�Î:90É�Ñ"Ú,ÊÉIÏ�Ú,Þ�ÊÞ�ÖôÏ�Ð0Î�ËÚ,Ò>'/Ú�Ê�Ï�Ð0Î@?ø�ú¿õÍ�Î�Ò$Î�Ê-Ï�ÉIÏ�Ú Þ�Êeà ð Þ®Ï�ÐÚ�Ò�Î�ÊËTÙWÎ�Õ�Ò$Îiù AB-û%Ï$Þ®Í�Î�×@ÞC��Ê�Ú=D�Î�Ï�ÐÉIÏù � Ã�� û�×�É�ÊTÝ|Î�Í�Î�Ù%ÍBÚ Ï$Ï$Î�Ê�É�Ò

ø�ýªÒ�Ú,Ê~ù;Ï�É�Ê�E 3 ù;öxû$û�ý ÒBÚ,ÊF?ø ù � à A�ûð ÐÚ,Ò�Ñ"ÉIõ�Ò"Ï�Ð0Î�Ú,Ñ"É���Î�Þ�Ö�Ï�Ð0Î�Ó,Þ�×�É�Ó�×@Þ�Þ�ÍBËÚ,Ê�ÉIÏ$ÎTÚ,ÊèÏ�Ð0ÎG?øIú¿õ�Í�Î�Ò$Î�Ê-Ï�ÉIÏ�Ú Þ�ÊMÏ$Þ¥Ï�ÐÎÚ,Ñ"É���Î_Þ�ÖeÏ�Ð0ÎÛÓ Þ�×�É�Ó�×@Þ-Þ�ÍBË�Ú,ÊÉIÏ$Î%Ú,Ê"Ï�Ð0Î%øIú¿õÍBÎ�Ò$Î�ÊxÏ�ÉIÏ�Ú,Þ�ÊeàIHÛÒdÎ:9\õ�Ó,É�Ú,Ê0Î�Ë�Ý|Î�Ö;Þ�Í�Î�òxÏ�ÐÎÒ�Õ0Í�ÖbÉ�×@Î)Ê0Î�Î�Ë¥Ê0Þ�Ï�Ø�Ó,Ó9Ï�Ð0Î"Õõõ|Î�Í$ú�ÐÉ�Ó Ö ?ø�ú¿õ�Ó,É�Ê0Î�à ð Þ�Ø;��Õ0ÍBÎ�Þ�ÕÏ�Ï�Ð0Î)Î:9�Ï$Î�Ê�Ò�Ú Þ�Ê Þ�ÖÏ�Ð0Î�ÒBÕ0Í�ÖbÉ�×@Î�Ú,Ê�Ï�Ð0ÎJ?øHõÍ�Î�Ò�Î�ÊxÏ�ÉIÏ�Ú Þ�Ê�ÙWÎ�Ò�Ú�Ñ)õ�Ó ß/Ú,Ê-Ô�Î�Í�ÏÛÏ�ÐÎ�õÍ�Î�Ô\Ú Þ�ÕÒ%ÎLK-Õ�ÉIÏ�Ú Þ�Ê�Ï$ÞÙ_ÍBÚ Ï$Î

?ø�ýªÒ�Ú,Ê E 3 ø/# ù �B��xûð ÐÚ,Ò�Ï$ÍBÉ�ÊÒ$Ö;Þ�ÍBÑ"ÉIÏ�Ú Þ�Ê�Ñ"ÉIõ�Ò9Ï�Ð0ÎWÖbÕÓ,Ó�Õ0õ�õgÎ�Í9ÐÉ�Ó ÖøIú¿õ�Ó,É�Ê0ÎdÚ�ÊxÏ$Þ�Ï�Ð0ÎWÍ�ÎM��Ú Þ�ÊTÅ N'ù ?ø-û�Å2OPRQ �S)(�ùT?ø\ûU*V�\à�ÜÛÞ�Ï$Î�Ï�ÐÉIÏ�Ï�Ð0Î�Ô�Î�ÍBÏ�Ú,×�É�Ó�Ó,Ú,Ê0Î�ÒUN'ùT?ø-û�ýXW PRQ �iÉIÍ�Î�Ú,Ñ"É���Î�Ò�Þ�Ö�Ï�ÐÎÝgÞ�Õ�ÊËÉIÍ�ß�É�Ê�ËRÊ0Þ�Ï'Ú,Ë0Î�Ê-Ï�Ú Ø�×�ÉIÏ�Ú Þ�ÊRÓ�Ú,Ê0Î�Ò�à�Y�Ô�Î�ÊRÏ�ÐÞ�Õ���Ð Ï�Ð0Î"Ò�Õ0ÍBÖ;É�×@Î)Þ\×�×�Õ0õ�Ú Î�Ò�ÉõgÞ�ÍBÏ�Ú Þ�ÊèÞ�Ö�Ï�Ð0Î ?ø�ú¿õ�Ó�É�Ê0Î/Ï�Ð0ÎTÝ|Þ�ÕÊËÉIÍBßYÍ�Î�É�×PÐ0Î�Ò"Ï�Ð0Î�õgÞ�Ú�ÊxÏ)ÉIÏ®Ú,ÊØ�ÊÚ Ïfß�òdÉ�ÊËMÒ�ÞË0Þ-Î�ÒqÏ�Ð0ÎÛÑ®Ú,Ë0õ|Þ�Ú,Ê-Ï�ùbÉ�ÒdÎ:9\õgÎ�×@Ï$Î�ËgûPà ð Ð0Î%ÉIÝ|Þ`Ô�Î�×@Þ�Ê0Ö;Þ�ÍBÑ"É�Ó�Ñ®ÉIõiÚ,ÒqõgÎ�ÍPÐÉIõ�Ò�Ñ)Þ�Ò�ÏÎ�É�Ò�Ú,Ó ßhÏ�Ð0Þ�Õ���Ð-Ï"ÉIÝgÞ�ÕÏ�Ú�Ê ËÚ[Z|Î�Í�Î�ÊxÏ�Ú�É�ÓdÖ;Þ�ÍBÑ�òqÙ%Ð0Î�Í�Î�Ú Ï)Ý|Î�Ó Þ�Ê���Ò�Ï$Þ¥Ï�ÐÎ/×�Ó�É�Ò�Ò)Þ�Ö\ ×BÐ-ÙWÉIÍ]D@ú_^ Ð0ÍBÚ,Ò�Ï$Þ�ZgÎ�ÓeÏ$ÍPÉ�ÊÒ$Ö;Þ�ÍBÑ"ÉIÏ�Ú Þ�ÊÒ�àôüRÎ�ÐÉ�Ô�Î

` ?ø�ý ` øþ ù ÿ . ø-û@ù ÿ+� ø-û ù �B ÿ û

Page 54: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

aCbc dUegfihkjmlon>prq:s

tvu�wyx>wLzC{�{}|}~;wU|}~��>u;wy�C�m��{}zC~�w�|}�+�Jz�����wL��|}~����Jz�� ��{=���C��~$|}~��>u�w&��@�;x>wL�>wL~r�>z��>|=��~i�� u�wMx>w��>u�w��>�;x]~;|}~���� ��|}~��>�/z�x>w��7������zC~;�$�>u;w��>��x]~;|}~;��zC~;��{=wL�vz�x>w�� �C�>u$�R�����

� |}~;zC{}{=�C� � w ��|=¡Cw¢�>u�w �£ �;x>wL�>wL~r�>z��>|=��~���¤F�]|}~��¦¥ §C¨�©J�>u�w x>wM��|}��~«ª ¬�¥ ��2©Mª®­�R���S¯)°�¥ ��2©&±�² �C³+�>u�w ��´��x>wL��wL~��>z��>|=��~1�>��x)~;��|}~����´�>u�wJ³��;{}{k��|}��µ � |=�>u1z$��zC|=x��C³¶ ���>��·M�����J|}~��$|}~����$�>u�w¦�£ �Cx]|}��|}~¸³¹x>��� �£ �»º�����¼½~;��wMwL�G�>u�w�� ���;~;�;z�x]�´�C³"�>u;w�>��x>³�z ¶ w¢|}�J�>u�w¢z�x ¶¸¾M¿=À � |}�>u¦²ÂÁÄÃVÁÅ�����C�CwM�>u�wMx � |=�>u¦�>u�w¢{Æ|}~�w$�C��|}~��dz¹x>����£ �Ⱥ��7��� �£ �«²2� ��{Æ�;�/�>u�w&��z ¶ µ � z�x]�;�y{}|}~�w�³¹x>��� �£ �«²É��� �£ �ʺ�����{}�;�v�>u;wz�x ¶U¾ ¿=À � |=�>u¸ºv�ËÁ,Ã�Á̲2�I¼Í�+|}�"� wMx]u;z����"|}~��>u�|}�I�;x]wL��wL~r�>z��>|}��~É�>u�z��+|}�"|}� ¶ {=wLz�x>wL����>u;z��v�>u�w�����x)|}~��J�J|}�;����|Æ~r���£ �²J����� ¶ u�wL�®�>u�w�� ���;~;��z�x>�J�C³Î�>u�w��;|}�>µ��

Ï Ð«Ñ�Ò�ÓÕÔ¦Ö�×UØ@Ù>Ò�ÚÜÛÝ wvwL~;�@�>u;|Æ�k|}~�³Þ�Cx]�JzC{2x>wM¡2|=w �Ì� |=�>u@z�{}|}���Î�C³��;x>�C��{=wL���Î�>u;z�� � ���;{}��� wv|}�@� �Cx>�>zC~����������{=¡Cw�|Æ~��>u�w�~�wLz�x®³����>��x]wCß

à � |}~;�;|Æ~��F�>u;w®zC~;zC{=���>| ¶ ����{}�;�>|=��~&x>wM�;x>wL��wL~��>|}~����>u;wv�>z ¶ u��C��~�¡�z ¶ �;�;�á|}~ Ý |}�½���wL~�âã�yä�å � t��

à � |}~;�;|Æ~��É�>u;wJzC~;zC{=���>| ¶ ����{}���>|}��~¢x]wM�;x>wL��wL~��>|}~��´z$�Jz�x]��|}~;zC{k��wM³Þ�Cx]�Jz��>|=��~Ë|Æ~Ý |=����wL~�âã�Uä�å � t��

à � |}~;�;|Æ~��$�>u�w���ur�2�>| ¶ zC{"|}~���wMx>�;x>wM�>z��>|=��~Ç�C³®��� w ¶ ��x>��� ¶ �C���1x>wL�]�;{=�>� � |=�>u1·MwMx>��@�2��wL�M�;zC~;� � |=�>u$�Jz���~�wM�>| ¶�æ wL{}���

à å���{=¡2|}~����>u�w���u������v~��;��� wMx/·MwMx>�ÉwLç���z��>|=��~Ç¥�è�é/º¦�o©�ê1ë,êíì+ê¦�²2�

îXïið Ó�×"ñ«Ù]ÒIò@óFÚÜÒ�ÓUô Û¼ � |Æ�>u����J�>u;zC~�µ$õ���ö¢zC{}�;z ¶ wL~�z@³¹�CxFu;|}�/|}~�¡�|}�>z��>|=��~����É{=w ¶ �>�;x>w�z��®t÷x]|=wL����wC�

Page 55: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

ø�ùûú�ü=ý�þûÿ����������÷ú�� ������þ)ÿ�����������þ��Uü �����Mþ�� �����

� �"!#�"$%�'&)(*�'+

,.-0/214365�7#8%9":�8<; 3"=>3'?A@B%3*C'D�E�F#3*G�H�IJ9LKNMNO-QP�-#R�R�RNS�, D�7 T�U�;VDXWYR�RYMNZ- M � /�[\D�7 T>U;VD�WYR�RYMYK<ZYM<]�[J=N^\_'Ca`�`bH�cd9�MNZN]AP�-#R�R�RNS4, D�7 T�U�;VD�WYR�R-�-�-�-#Oe/�3

,fZe/2_g3�hjik;l;l7#8%9nmlop@N8�qr@Nsts4u>;VvY;Vikw�7ax\7 @Nsy7 ;lz{E|1\8>B}5�;lz{i~8>����ik7#�~B|�gD�7 @�zVE�9��o\u>q ��3>C'D�EF 3>��c>���%9�Z ��� P�-#R � ONS�3

, � /2�"3��pv�FV;l7#�~�~i�9*143"57#8�v�8�B��\3'�X�pik7 ��v�q{D%9�m{5�;lz�i~8�����7#�~BQ;VD>7 @�zVEQvYzV@Nu>8�B�;VD>7;Vv�q{D�E�@N8�w�v�q u>u�st�9�D�7 T�U�;VDXW�M�M�-#Z�Z � -Y3

, KY/2�23�x�v�ik@�;l;l@�9X�"3��pv�Fl;l7#���~i�9�1�3�57#8�v�8>B��\3��X�pik7 ��v�q�D%9*m{x�D�@NFl;gFV;lz{u>qr;Vu�zV7�v�8>Bq �k@NFl7#B�Fl;lz{i~8��NF�i�8�w�v�q u>u�s�Fl;lz{i~8>�2��7#�~B�;VD�7 @�zVE�9�� vYzV¡\i~w�¢�D�7 T>U�;VD�W�M�-�-�-�-#Z�R�3

, � /2�"3>�£v�Fl;l7#�~�~i�9143�5�7#8�v�8>B��£3��d�pik7 ��v�q�D%9"m{¤¥�~v�FVF{i~q v��dFl@N�~u�;Vik@N8�F�i~8�Fl;lz{i~8��)�>7#��B;VD�7 @�zVE�vYzV@Nu>8�B�;VD�7�;Vv�q{D�E�@N8�w�v�q u�u>s�9��yD�7 T�U�;VDXW�M�- MNZ-�-#Z�3

,fOe/2�"3Y�pv�FV;l7#�~�~i�9�143�5�7#8)v�8>B2�\3<�X�pik7 ��v�q�D%9%ml^£v��~¦�U§Fl;lz�i~8��NF 9�C"z{@�¨�7#qr;l@�z{F#9<v�8>By?�u��.U;VikT��~7��£U��>z�v�8�7#Fgi~8�©"v�q u>u�sª5�;lz{i�8��y�«i~7#�~B��gD�7 @�zVE�9�D�7 T>U�;VD�W�M�- M � M ��� 3

,�]�/2�"3X�pv�Fl;l7#���~i�9�143d57#8�v�8>B��\3%�d�pik7 ��v�q�D%96ml�L@Nu>8>B�vYzVE�¤¥���¬¤¥@N8>Fl;lz{u>qr;Vi~@N8A@�¦�£U��>z{v�8�7#Fpi~8�©"v�q u>u>s­5�;lz{i~8��y��ik7#�~B��pD�7 @�zVE�9��tD�7 T>U�;VD�W�M�- M � -#O � 3

, � /�®)3*?�vY;VFVu�@�92ml�g¤¥���¯v�8>B°FV�~ikw�7 z)Fl;VvY;l7�9���C'D�E�F#3��b7 ;l; 3"�²±JH�³J9£-#R � P�ZYM�M�-�S, vYzV¡�ikwX¢�D�7 T�U�;VD�W�M�- M � -�] � /�3

,fRe/)=�3"��3"��v#wi~B%94ml_"´q i~;VvY;Vik@N8>Fy@N8°�L7#B���7�FV;VvY;l7#Fµv�8>B°@N8¶;VD>7�FV�~ikw�7 z�9��Q=N^\_'C· H ·d¸ 9�MNZ�K�P�ZYM�M�-�S4, vYzV¡�ikw�¢�D>7 T�U�;VD�W�M�- M � - � KY/�3

,.- M�/2�23J=�3Jx\zV@NFVF�v�8>B�h|3d�«v#E�k@�z#9gm{5T��~ik;pFV;lz{i~8����>7#�~B�;VD�7 @�zVE�3d:09���=<^£_6C · H · �%9M�MNRAP�ZYM�M�-�S4, vYzV¡�ikw�¢�D>7 T�U�;VD�W�M�- M � M � Re/�3

,.-�-0/2�23�=�3�x�zV@NFVFpv�8�B�h¹3��ºv�E��k@�z�9'm{5�T��~i~;LFl;lz�i~8��y�>7#�~B�;VD>7 @�zVE�3>:V:09��µ=N^\_'C · H · �%9M�- M�P�ZYM�M�-�S4, vYzV¡�ikw�¢�D>7 T�U�;VD�W�M�- MNOYM � Oe/�3

,.-#Ze/2»y3���u�z{u>u>q�D>iNv�8>B4»y3Y¼�½�u�ENv�sµv9dm{¤¥@Nststvgw�7 z{;l7r´�v�8>B�Fl;lz�i~8��g�>7#��B�v��k��7 �>z{v9��=N^\_'C · H · `%9�M ��� P�ZYM�M�-�S4, vYzV¡\i~w�¢�D�7 T>U�;VD�W�M�- M<]�- M�-0/�3

,.- � /2^43N^£vY;Vv�v�8�By��3�»�v#�¥v�8�@�9�m{¼\Td7#82FV;lz{i~8���Fl;VvY;l7#F6vYzV@Nu>8>B)v�q �~v�F{FVi~q v��Fl@N�~u�;Vi~@N8i~8�wYv�q u>u>s�FV;lz{i~8��)�>7#�~B�;VD>7 @�zVE�9��µD�7 T>U�;VD�W�M�- M � - � M3

,.-rKY/4:03"»�i~FVD>i�sy@�;l@�9�m{5�@Nsy7�T>zV@�Td7 zV;Vik7#F2@�¦�Fl;lz{i~8>����7#�~B°v��k��7 �>z{v9��¶=N^\_'C · H�H�cd9M�M<]�P�ZYM�M�-�S4, vYzV¡�ikw�¢�D>7 T�U�;VD�W�M�-�- M�-#Z�KY/�3

Page 56: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

¾�¿�À Á\«ÃJÄ*Å�Æ�ÇVÈ<ÉrÊ

Ë.Ì#ÍeÎ2Ï«ÐNÑ�Ò�ÓÔ�Õ�Ö�×�Ø�Ô<ÙN×�Ù�ÚºÛ{Ü�ÝVÞ ß�à~à~×YálÕ�â«âVã Ö>âVã#Ýlã#ä�áV×YáVßkÕNä)Õ�å�áVÔ�ã�æ�ç�è«é°ÞrÕNä�Ýlálâ{Ò>ÞráVßkÕNäÕ�å�ê£ë�ì>â{×�ä�ã#Ý�ß~äîí�×�Þ Ò>Ò�ïðÝlálâ{ß�ä�ñóò>ã#à~ØîáVÔ�ã Õ�âVÙ�Ú�ôîõ<ö£÷6ϯøJù�ùúdÚpûNü�Íaý�üYû�û�Ì�þË ×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���û�Ì�Ì û�Ì ¾�À Î�Ð

Ë.Ì À Î��4ÐÑ�Õ�ã#à�àkã â#Ú�Û���ÕNïyã\ã�×�Þrá¥âVã#ÝVÒ�àkáVÝ'ÕNä áVÔ�ã�ït×Yálálã âgÝláV×Yâlë�Ö�âVÕ�Ø�Ò>Þrá6ß~ä áVÔ�ã�Ô>×�àkå�ëÝlálâ{ß�ä�ñ)å�Õ�â{ïµ×�à~ß~ÝVï�Ú�ô)×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���û�Ì�Ì ûNüYû��Ð

Ë.Ì ��Î2ö4Ðö\×YáV×t×�ä>Ø��XÐ>Ñ�Õ�â{ßkÙN×�ït×Ú"Û{Ü�ì�Ýlã âVíY×Yì�àkã#Ý¥×�Ýgé��£ß~Ýlá��\ä�ÕNït×�à~Ù ß~ä��"×�Þ Ò>Ò>ï��álâ{ß�ä�ñyè«ß~ã#à~Ø�égÔ�ã Õ�âVÙ�Ú�ôµ×YâVÿ\ß~í���Ô�ã Ö>ë�áVÔ���û�Ì�Ì�Ì û ¾ �Ð

Ë.Ì ¿ Î��yÐJÜ\ÓÒ�ÙN×�ït×Ú�Û��ßkã ñ�ã#àºñN×�Ò�ñ�ãyß~ä�í�×�Þ Ò>Ò�ï Ýlálâ�ß~ä�ñµò�ã#à~Ø�áVÔ>ã Õ�âVÙ�Ú�ô�×YâVÿ�ßkí���Ô>ã Ö�ëáVÔ���û�Ì�Ì�Ì û ¿ ��Ð

Ë.Ì��eÎ��"Ð��p×�Ýlálã#à~à�ß�Ú��4Ð���ã#ä�×�ä>Øîæ\Ð����pßkã ì�×�Þ�Ô%ÚyÛ��ªä>Õ�álã�ÕNäî×QÖ>âVÕ�ÖdÕNÝV×�à�å�Õ�âµáVÔ>ãáV×�Þ{Ô�Ù�ÕNä�ÝláV×Yálã4ß~ä�íY×�Þ Ò>Ò>ï Ýlálâ{ß~ä�ñ)ò>ã#à�Ø�áVÔ�ã Õ�âVÙ�Ú�ôµÔ>ã Ö�ë�áVÔ���û�Ì�Ì�Ì�Ì#Í ¾ Ð

ËfüYû�Î��"Ð��p×�Ýlálã#à~à�ß�Ú��4Ð���ã#ä ×�ä�Ø}æ\Ð ���pß~ã ì�×�Þ{Ô%Ú�Û���áV×Yâ�×�à~ñ�ã ì>â{× ÝlÖdã#ÞrálâVÕNÝ{ÞrÕ�Ö�Ù�Ú�ô×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���û�Ì�Ì�Ì#ü ¿ ÌYÐ

ËfüÌ0Î�!0Ð"��ß~ÝVÔ>ß�ïyÕ�álÕy×�ä>Ø��yÐXÜ�Ô>ïyÕ�â{ß�Ú*Û{ç¥è�é Ø>ã#ÝVÞrâ{ßkÖ>áVß~ÕNä�Õ�å�ß�Ø�ã#ä<áVß~á§Ù�Ýlálâ{ß~ä�ñ)ò>ã#à�Ø#�éºÕ �¥×Yâ{Ø�Ø�ã â�ßkí�×YáVß~ÕNä�Õ�åºáVÔ�ã$�%�è�é ×�ÞráVß~ÕNä%Ú�ôt×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���û�Ì�Ì#üÌ À ��Ð

Ëfü�üeÎ���Ð&�p×�ÝVÔ>Ó�Õ�íQ×�ä>Ø'�yÐ(�dÐ)�\ß�Ý��L×�ä�×YáVÔ>×�ä%Ú�Û���ä�Õ�álãµÕNä�áVÔ�ã áV×�Þ{Ô�Ù�ÕNä°ÝláV×Yálã�ß�äíY×�Þ Ò>Ò>ï ÝVálâ{ß~ä�ñ�ò�ã#à~ØyáVÔ�ã Õ�âVÙ�Ú�ô)×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���û�Ì�Ì#ü�üYûNü+*6Û��jÖ>âVÕ�ÖdÕNÝV×�à�å�Õ�â6áVÔ>ãí�ã#ÞrálÕ�â�ÝláV×Yálã4ß~ä�íY×�Þ Ò>Ò>ï¯ÝVálâ{ß~ä�ñyò>ã#à�Ø�áVÔ�ã Õ�âVÙ�Ú�ôt×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���ûNüYû�Ì#ü�ü,��Ð

Ëfü ¾ Î�!0Ð,-2Ð.�£âVã å�ã íY×Ú.��Ð+��Ð0/�ßkâVÙN×�í�ã áVÝL×�ä�صϫÐ�æ\Ð�ÑAã#Ø�í�ã#Ø>ã í�Ú�Û��1�µït×Yálálã â¥ÝVà~ßkí�ã â�Ú�ô×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���û�Ì�Ì#ü�üÌ�Ð!0Ð�-)Ð)�£âVã å�ã íY×Úbê2ÐbÑQÐJæ6ã#à~Õ�í ×�ä>Ø2�4Ð��4Ð3/�ßkâ{ÙN×#í�ã áVÝ Ú\Û{çLÕNä>Ýlálâ{Ò�ÞráVßkÕNänÕ�å6áVÔ>ãíY×�Þ Ò>Ò>ï�ÝVálâ{ß~ä�ñgò�ã#à~Ø�áVÔ�ã Õ�âVÙ�ÕNä2×pä>ÕNäë§æ¥Ï���ì�â{×�ä�ã�Ú�ô�×YâVÿ�ßkí���Ô>ã Ö�ë�áVÔ���ûNüYû�Ì�Ì��4��Ð

Ëfü5YÎ)ÑQÐ<Ñ�×Yâ{ß�ä�Õ�×�ä>Ø6��Ð.�Þ{Ô>ß�×YÖ>Ö�×ÚJÛléºÕ �¥×Yâ{Ø>Ý"íY×�Þ Ò>Ò>ï Ý{Ò�Ödã â{Ýlálâ{ß~ä>ñ£ò>ã#à�Ø4áVÔ>ã Õ�âVÙ��égÔ�ã�Ý{Ò�Ödã â{ÝVà~ßkí�ã â�Ú�ô4×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���û�Ì�Ì#ü�ü ¾ ÌYÐ

Ëfü�ÍeÎ��yÐ�Ü�Ó�Ò�ÙN×�ïµ×ÚXÛ�/�Ô>ÕNÝlá7��ß~ä>ã áVß~Þ'Ü\Ödã â{×YálÕ�âJÕ�å.�"×�Þ Ò>Ò>ï8��álâ{ß~ä>ñgè«ß~ã#à~Ø�égÔ�ã Õ�âVÙ�Ú�ô×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���ûNüYû�Ì û�Ì#Í�Ð

Ëfü À Î��"ÐXæLÕNä�Õ�â{×Ú%ê2ÐdÑ�×�ïyÕNä�ãy×�ä>Ø�ÑóÐ)�×�à~ß:9;9 ÕNä�ß�Ú6Ûlæ�ò>ã#à~Ø�×�ä�Ø�Ý=<�Ò�ã ã;9 ã#ØnÝláV×Yálã#Ýß~ä�íY×�Þ Ò>Ò>ï�ÝVálâ{ß~ä�ñ)ò>ã#à~Ø�áVÔ>ã Õ�âVÙ�Ú�ôµ×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���ûNüYû�Ì û À ûÐ

Ëfü4��Î��yÐ�Ü\ÓÒ�ÙN×�ït×ÚóÛ��£×YáVßkÕ Õ�å�álã#ä>ÝVßkÕNä>Ý�å�âVÕNï íY×�Þ Ò>Ò>ï Ýlálâ�ß~ä�ñaò>ã#à~جáVÔ�ã Õ�âVÙ�Ú�ô×YâVÿ�ßkí���Ô�ã Ö�ë�áVÔ���ûNüYû�Ì�Ì ¾�À Ð

Page 57: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

>@?BA�C:D�EBFHG+IKJML.N�O3A0N;GQP�JRESFMGTI�PUJWV�E1XYC I+N Z;E[V \,]4^

_a` ]cb�d%[email protected]"i"j.k$l�dnm0oKo�pThUj,qsr:tvu'w,xYy=w4qsh0t=r:w4z"y rsz|{�j,};h"h"~�y�t��Srsz0�Q�"o�qsi�t=m0o;w,�=u,k��j��=�1r:{���m0o;�0�Wt=m��5� ` �0�,����+e

_a` �cb���e���j�t=j.k���e���w,�Sr:u4j,~�j�j,z"i���e d3o;��j��4h"}Sm"r�k�l����.j,}t��=o�y=h"qst=y'w4z�tv�nrsy=tj,z0w4~�j,qsu,k���j��=�1r:{���m"o;�0�Wt=m��5� ` �0�,� ^,^Te

_ \��5b� �e�¡�j,y�t�o�qsqsr¢j,z"i¤£Ye�¥��nr:o;¦Uj,}Sm#k$l�d&j,}�mTu,w4z���w,t�o�zTt=rsj,qsy;k�y�t=j����"�=w.i"h"}t=y j,z"ih"z"rs{,o;��y=j,qsr:t§u,k���¨4�Y�@©«ª)¬Tª�­#kU�4\,]¯® ` �,�0� ° _ j����Yr:{���m0o;�0�Wt=m��5�,�,�4± ` �4�5bWe

_ \.�Bb�²�e�³$e�´%w4y=t�o�q:o�}=g+u¤j,z"i¤¡µe¶©&w,t�t=rsz0�0k l�³�zUj,q:uTt=r·};j,q�}w4z"y�t���h"}t=rsw4z�w,xYj2z0w4z0���o;�=t=h0�=¦�j�t=r:{,o¸{�j,};h"h"~¹xMw,�6t=m0oKw,��o�z�¦�w4y�w4z"rs}�y�t���r·z0�0k��º©�m�u.y;e¶¡»o;{�e�¼¾½U¿#k����±��,��^¯® ` �,�0� ° _ m0o;�"�Wt=m��5�,�,�4] `,À,` bWe

_ \ ` b6Á�eK��w+w,�=o8j,z"iÃÂÄeKd&j�u.q:w,��kÅl�d»m0oÆy=rsz0�4hUqsj����,o;w4~6o;t���u�w,x�t=m0o8y=qsrs{,o;���j��=�1r:{���m0o;�0�Wt=m��5�0�,�,�;�4±,�+e

_ \,\cb �ºe%�.}Sm"z"j�¦UqWk¯l�³Yz0w4~�j,q:w4h"yQ�=o;��j���j,~6o;t���r:Ç�j�t=rsw4z"y¯j,zUiĦ�h0t�t�o;�=È"uÅy�t=j�t�o�y2r·zy�t���r·z0� �"o�qsiÉt=m0o;w,�=u.��j��=�1r:{���m0o;�0�Wt=m��5� ` � ` ��\,�+e

_ \5��b�³�e� 7ocÊ¢qsj,r:� k��ºe#�»e�©3o�y=g+rszËj,z"i�ÊYe�¡µe#©@�=o�r:t=y=}Sm0w,�"xÌk¢l��.t���rsz0��Í&rso�qsi¯dnm0o;w,�=uf1z¤d»m"o¯Ê�w4z0xMw,��~�j,q�©@q·j,z0o,e»��e@´µrsz"o�~�j�t=rs};j,q�©��Srsz"};r:�Uqso�y;k���ÎYh"};q�e¶©@mTu+y�e@£¿)¬"Ï�k»�"�,��®[���,],�4°SÐÑl��+t��Srsz0�ºÍ(r:o�qsi�d»m0o;w,�=u�f1z�d»m0o2Ê�w4z0xMw,��~�j,qn©�qsj,z0o,e ` eÁYo�z0o;�Sj,qsr:Ç;o�i¯Á1q·h"rsz0�0k�� ÎYh"};q�e"©@mTu.y;e"£Å¿)¬"Ï�k"��±5�Ë®[���,],�4°Se

_ \ À b�¼�e5¨"e�ÁY�=w4y�y3j,z"i�³$e�¨,o;{.rs}=g.r�k�l�fY��o;��j�t�w,�(Í0w,��~�h"qsj�t=r:w4z6fYx.ÒÌzTt�o;��j,}t=rsz"�1�+t���r·z0�Í(r:o�qsiKd»m"o;w,�=u,k���ÎYh"};q�e"©@mTu.y;e"Ó�Ô"ÕU¿)k3��®[���,]4^,°Se

_ \,±cb�ÒBec£¢j���y(j,z"i$Ö�e,�Ñj�t=y�h0w0k7l�³Yy=y�w.};rsj�t=r:{.r:tvuµ³Yz0w4~�j,q:uµr·z �+t��Srsz0�nÍ(r:o�qsi�d»m0o;w,�=u,k��j��=�1r:{���m0o;�0�Wt=m��5� ` � ` �4\��.e

_ \4^ b���ec��ecÊ�m"j,z#k5¨"e�£�w,��i0o�y;k4��e�d%e�d»y=w4hµj,z"iµ @e�Îno�qsqso�z#kc©�m�u.y;e�¡»o;{�e ¼¤×�ª�®[���,],�4°` ± ` �.Ð#¨0eU£�w,��i0o�y�k���e��ºe�Ê¢m"j,z#k� �eUÎ�o�qsq:o�z�j,zUiQ��eUdµeUd»y�w4h#k�Î�h"};qWeU©@mTu+y�eU£¿�Ø)¬Ñ®[���,�.� °��,�"��Ð�¨"e+£�w,��i"o�y;k"³$e0³�¦#i"h0�=��j,mU~�j,z�j,z"iÉÍ�e0³�zTt�w4z#k"©@mTu.y;e+¡no;{�e¼Ù×�­�®[���,�5�T° ` �,±,± _ j����Yr:{���m0o;�0�Wt=m����,\��4±�� ` �cbWÐ)³$eU³�¦#i"h0�=�Sj,m"~�j,z#k0Í�eU³Yz�t�w4zj,z"i¤¨0e¶£�w,��i0o�y�k@Î�hU};q�e&©�m�u.y;e¶£Ú×7¬U¬«®[���,�5�T°6±,�,\+Ð�³$e�³�¦#i"h0�=�Sj,m"~�j,z�j,z"i¨0ec£�w,�Si0o�y;k,©@mTu+y�e ¡»o;{�ec¼�ØUÕÉ®[���,�,]4°7�4],±��,�4\+Ð+d%ec´$j��¢j,z0w�j,z"i�´6e5fYg.h0u4j,~�j.kl�fY��o�z�y�t��Srsz0���"o�q·i"y%j,y�~�j�t���rs}o�y;k��2¨4�Y�@©8ª)¬+ªU½)k(�4±.�Q® ` �,�0� ° _ j��=�Yrs{���m0o;�"�t=m��5�0�;� À � ` �cbWe

_ \,]cb�ÒBec£¢j���y;k#l=�¯j���w,xU«r:t�t�o�z)Û�y�Ü¢t�w1�Ñw u4j,qWÛ�y�Ü4k��%©@mTu+y;e5 )o;t�t;e�£|Ø)¬0Ï�k,��\,±�® ` �,�0� °_ j��=�1r:{���m0o;�0�Wt=m��5�0�;�4±.� À ^ bWe

Page 58: ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º - ICTPusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Zwiebach/Zwiebach.pdf · ¶I·¹¸@ºe»P¼p½}º ¾ ¿pÀÂÁ+ÀÂÁÄà Á ÅÆÄÇ}È ÀÊÉxÈËÇ Ì¢ÍÎÃ}Ï

Ý,Þ,Þ ßYà&á)â¶ãWä å=æ�çè

é Ý,êcë�ìBí�î@ï·ï:ð�ñ+ñ.ò#ó�ôYí�õ0ö�÷0ø0ó�ù í�ú�í�ú�ö¯û,÷Uò�ü�í¢ýÑñTö�ï·ï:ö;þ�ó6ÿ����0ö��sò0ö�÷������ ����þ��·÷0ø� ö�ïsò�û,÷"ò����"ö��=û�����,ñ4÷���û��������Kó�����ú�î��! #"� %$�ó'&)(+*-,/.0&�&)(21 é û�þ�34�5�76��0ö�8�9���7:;&)(�&=<0&=.;>�ëWí

é >=&5ë ýºí@?A���U÷"û0BUï�ó ÿDC2ö�ò0ø,öE���=û0��ö+�F�s÷G����þ��s÷"ø � ö�ïsòH���0ö;ñ,þ�,ó�� û�þ�3I��76��"ö�8)9���7:;&=.0&)(�&4ê�<+í

é >�(Bë ýºíKJµíKLYñ=�0ø4ï·û��;óUú�íKM#�5�)ó�N í�ýÑñTñ,þ=ö�û,÷"ò�ôYíPO�ðQ�sö�BUû����#ó�ÿ�RI8�ö�÷�?S��þ��s÷0øT?S�=û�þû��»ûVU¢ñ4÷W���s÷S�0ñ=����ý�ñX4û,ï#��þ�ñ+ò��K�Y�;ó��6û�þ�34�5�76��0ö�8�9Z���7:;&=.0&=.0&4Þ=[Tí