Identiﬂcaci¶on de par¶ametros de un Acu¶‡fero No Conﬂnado ... · mo se explicar¶a en el cap¶‡tulo 3, este modelo est¶a basado en la ley de Darcy y la ley de conservaci¶on

Centro de Investigacion en Matematicas, A. C.

Maestrıa en Ciencias con especialidad en Computacion y Matematicas

Industriales

”Identificacion de parametros de

un Acuıfero No Confinado

utilizando el Metodo del Sistema

Diferencial Modificado formulado

con Elementos Finitos”

por

Luz Angelica Caudillo Mata

Asesor: Dr. Salvador Botello Rionda

Guanajuato, Gto., 24 de Julio 2008

A mi querida familia.

Indice general

Indice general I

1 Introduccion 31.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Organizacion de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Revision de Conceptos y Principios Basicos de Geohidrologıa 92.1. Tipos de acuıferos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Propiedades fısicas de los acuıferos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Medios por donde se desplaza el agua . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Relacion entre sistemas de flujo de agua subterranea y acuıferos . . 212.5. El enfoque hidraulico en modelado de acuıferos . . . . . . . . . . . 29

3 Modelado Matematico 313.1. Mecanica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Hipotesis del medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Ley de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. Extension de la Ley de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2. Rango de validez de la Ley de Darcy . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Potencial de Hubbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4. Hipotesis de Dupuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5. Compresibilidad y esfuerzo efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.1. Flujo insaturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.2. Capacidad de humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.3. Compresibilidad del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.4. Principio del esfuerzo efectivo (Terzaghi) . . . . . . . . . . 423.5.5. Compresibilidad de un medio poroso . . . . . . . . . . . . . 43

i

ii INDICE GENERAL

3.6. Ecuacion de conservacion de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6.1. Masa y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6.2. Ecuacion de balance global . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6.3. Balance de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7.1. Ec. de continuidad para un flujo estacionario . . . . . . . . 473.7.2. Ec. de continuidad para un flujo transitorio . . . . . . . . . 47

3.8. Ecuacion para un acuıfero freatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8.1. Ecuacion estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8.2. Ecuacion estado transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Problema Directo 514.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3. Metodo de Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4. Formulacion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4.1. Equivalencia entre la ED y su forma debil . . . . . . . . . . 564.4.2. Formulacion debil para la ec. del acuıfero freatico . . . . . . 56

4.5. Metodos numericos para resolver un PD . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.1. Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.2. Condiciones de frontera no homogeneas . . . . . . . . . . . 614.5.3. Metodo de Crank-Nicolson-Galerkin . . . . . . . . . . . . . 63

5 Problema Inverso 675.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1. Clases de problemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2. Problemas inversos en hidrologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2.1. Caracterısticas del problema inverso en hidrologıa . . . . . 695.2.2. Clasificacion de metodos para la identificacion de parametros 70

5.3. Metodo del Sistema Diferencial Modificado . . . . . . . . . . . . . 715.3.1. Solucion de un Problema de Cauchy mediante tecnicas de

Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.2. Discusion sobre el rango de la matriz . . . . . . . . . . . . . 76

5.4. Conductividad hidraulica con datos de flujo estacionario . . . . . . 765.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Resultados 796.1. Consideraciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.1. Dominio ampliado y condiciones de contorno . . . . . . . . 796.1.2. Interpretacion del signo del termino fuente . . . . . . . . . 81

6.2. Caso: Datos de flujo estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.1. Configuracion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

iii

6.2.2. Obtencion de potenciales hidraulicos . . . . . . . . . . . . . 826.2.3. Simulaciones numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2.4. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2.5. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3. Caso: Datos de flujo estacionario con ruido gaussiano . . . . . . . . 896.3.1. Configuracion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3.2. Obtencion de potenciales hidraulicos . . . . . . . . . . . . . 906.3.3. Simulaciones numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3.4. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3.5. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4. Caso: Datos de flujo transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4.1. Configuracion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4.2. Obtencion de potenciales hidraulicos . . . . . . . . . . . . . 966.4.3. Simulaciones numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4.4. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.5. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.5. Caso: Datos de flujo transitorio con ruido gaussiano . . . . . . . . 1066.5.1. Configuracion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.5.2. Obtencion de potenciales hidraulicos . . . . . . . . . . . . . 1076.5.3. Simulaciones numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.5.4. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.5.5. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7 Implementacion Numerica del MSDM 1177.1. Unidades del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2. Dominio ampliado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3. Modelado de los pozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. Solucion de sistemas lineales mal condicionados . . . . . . . . . . . 1197.5. Eleccion del nodo para la condicion inicial del Problema de Cauchy 1207.6. Generador de ruido aleatorio gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.7. Software utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.8. Suavizado de funciones usando Thin plates . . . . . . . . . . . . . 1257.9. Aproximacion de derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8 Conclusiones 129

Bibliografıa 133

Lista de Sımbolos y Abreviaciones 135

Indice de figuras 136

Indice de cuadros 139

Agradecimientos

En primer lugar quiero agradecer a Dios por haberme dado la oportunidadde poder concluir los estudios de maestrıa.

A mis padres y hermanos por el amor y apoyo incondicional que siempre mehan brindado. Por ensenarme a tener fe en los proyectos que emprendo. Y pordarme objetividad cuando las cosas no son claras para mi.

A todos mis profesores y ayudantes de la maestrıa por haberme transmitido susconocimientos, por la ayuda y el tiempo de asesorıa que me brindaron en cadaasignatura que curse. En particular agradezco a los doctores: Mariano Rivera yJohan Van Horebeek.

Al Dr. Miguel Angel Moreles por su tiempo y todas las aportaciones valiosasdurante el desarrollo de este trabajo de tesis.

A mi asesor, el Dr. Salvador Botello Rionda, por su valiosa asesorıa e intuicionpara dirigir exitosamente este proyecto.

A mis amigos y companeros de la maestrıa por hacer de esta epoca estudiantiluna experiencia inolvidable en mi vida y por todos los momentos que vivimosjuntos. Especialmente quiero mencionar a: Ivvan Valdez, Edith Santoyo, GerardoMendizabal, Josue Tago, Vıctor Munız, Joaquın Pena y Alonso Ramırez.

Claro que no puedo dejar de mencionar a los amigos que conocı despues de losestudios de maestrıa y a mis amigos del equipo de voleibol. Quienes fueron losque realmente sufrieron mis crisis existenciales, propias de esta actividad, y quehicieron que el desarrollo de esta tesis fuera mucho mas llevadera. Gracias porsu comprension, amistad, carino, confianza y ayuda. En este espacio quiero men-cionar principalmente a: Rocky Bizuet, Andres Lara, Julio Cesar Perez, JannetGarcıa, Haydey Alvarez y Elias Huchin.

1

2 INDICE GENERAL

A todos los miembros de la comunidad CIMAT-FAMAT por crear un ambiente detrabajo adecuado y armonioso el cual es clave para el desarrollo como estudiantede posgrado o licenciatura.

Y por ultimo, pero no por eso menos importante, al Consejo Nacional de Cienciay Tecnologıa (CONACyT) y al Consejo de Ciencia y Tecnologıa del Estado deGuanajuato (CONCyTEG) por el apoyo economico para la realizacion de estetrabajo de tesis.

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Motivacion

Uno de los principales problemas que afecta a la sociedad mundial es la escasezdel agua. A pesar de que el 75% de la superficie de nuestro planeta esta cubiertade agua, el 98 % de esta es salada y por tanto no apta para el consumo humano.El agua que se puede consumir se obtiene principalmente de las fuentes conoci-das como aguas superficiales: lagunas, lagos, manantiales, etcetera. Sin embargo,existen otro tipo de fuentes que se utilizan como una alternativa, las aguas sub-terraneas. Estas consisten esencialmente de acuıferos; en los cuales el volumen deagua almacenado es mucho mayor que el flujo de recarga.

El agua subterranea es de esencial importancia para la civilizacion porque suponela mayor reserva de agua potable en las regiones habitadas por los seres humanos.En tiempos de sequıa, puede servir para mantener el flujo de agua superficial.

A ultimas fechas, los principales problemas de las aguas subterraneas, es de-cir, los acuıferos son: la contaminacion y la sobre explotacion. Lo que generagraves consecuencias, por ejemplo la presencia de materiales pesados en el aguaextraıda y el fallamiento activo. Simplemente, en el estado de Guanajuato existen20 acuıferos de los cuales el 80 % son sobre explotados.

La motivacion de este trabajo de tesis esta basada en el animo de proveer unaherramienta util para controlar el problema de la sobre explotacion de acuıferos.Pues se puede considerar que el volumen de agua extraıble de un acuıfero, esuna variable de decision a ser determinada como parte de un plan de gestion.Debido a lo anterior, se hace necesario el desarrollo de modelos matematicos quese puedan utilizar para predecir la respuesta de los acuıferos ante estımulos tales

3

4 CAPITULO 1. INTRODUCCION

como bombeos en pozos, y para analizar y evaluar las polıticas de explotaciondel agua subterranea con el fin de seleccionar aquella que produzca el mejor be-neficio social, economico y ambiental que sea mas viable de instrumentar con laparticipacion de los sectores usuarios.

Una herramienta que sea capaz de simular el fenomeno fısico, sirve para analizarvarias alternativas y generar propuestas para ser presentadas a las autoridadescompetentes, en lo que concierne a su factibilidad tecnica y viabilidad economica.Tales analisis en los conflictos del agua incluyen el procesamiento de grandes can-tidades de datos hidrologicos y geofısicos, estructuras que describan el sistema,el analisis de optimizacion y multicriterio de las componentes del sistema y susoperaciones.

1.2. Objetivos

Con el fin de contribuir en una de las etapas del proceso de creacion desoluciones al problema de la gestion del agua, este trabajo de tesis tiene comoobjetivo principal:

Proponer un metodo numerico basado en la tecnica de elementos fini-tos para identificar los parametros del modelo matematico que go-bierna el comportamiento del flujo hıdrico subterraneo de acuıferosno confinados. Con el fin de que sirva como una herramienta predic-tiva para la elaboracion de un plan de gestion del agua.

En el desarrollo de este objetivo, se generan dos importantes tareas:

Implementar un software que resuelva el problema predictivo de estimar losniveles piezometricos del acuıfero en un intervalo de tiempo dado.

Implementar un software que identifique las propiedades fısicas de un acuıferono confinado, dadas las mediciones de los niveles piezometricos en algunoslugares del acuıfero.

1.3. Metodologıa

Para la modelizacion del flujo hıdrico de un acuıfero no confinado se uti-lizara un modelo matematico en ecuaciones diferenciales parciales ampliamenteconocido en la practica de administracion de recursos hıdricos subterraneos. Co-mo se explicara en el capıtulo 3, este modelo esta basado en la ley de Darcy y laley de conservacion de masa, que bajo una serie de consideraciones pertinentesse escribe como

∇ · (K(x, y)h(x, y, t)∇h(x, y, t)) + f(x, y) = ηeht, (1.1)

1.3. METODOLOGIA 5

donde (x, y) son las coordenadas espaciales, t es la variable temporal, K repre-senta la conductividad hidraulica, h representa el potencial hidraulico, ηe es elcoeficiente de almacenamiento, f representa los terminos de extraccion o recarga,ht representa la derivada temporal del potencial hidraulico. Todos estos concep-tos geohidrologicos se explicaran mas ampliamente en el capıtulo 2.

En la ecuacion de difusion no lineal (1.1), el termino principal es el poten-cial hidraulico, h. Los coeficientes de la ecuacion K, ηe son los parametros opropiedades fısicas del acuıfero. Esta ecuacion tıpicamente esta sujeta a condi-ciones iniciales y de frontera tales como:

h(x, y, 0) = h0(x, y); (x, y) ∈ Ω,

h(x, y, t) = g(x, y, t); (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ],

donde Ω representa el dominio del acuıfero, ∂Ω representa la frontera del acuıfero,h0, g : Ω → R+ y T es el tiempo maximo. La condicion de frontera nos da la dis-tribucion de los potenciales hidraulicos en la frontera y la condicion inicial, laconfiguracion inicial de los potenciales hidraulicos en el estado inicial.

Dado el modelo ahora se necesita calibrarlo, es decir, encontrar los parametrosfısicos de la ecuacion, K y ηe, ası como las condiciones de frontera que hacen quese reproduzca el comportamiento del acuıfero. Es importante tener modelos cali-brados pues una mala calibracion conduce a errores predictivos, generando datosque no corresponden al estado final real, y por tanto inducen malas polıticas deadministracion de los recursos hıdricos. La calibracion no es un problema delmodelo, sino mas bien de la informacion disponible sobre el acuıfero y la calidadde la misma. Esto es ası, porque la incertidumbre es una propiedad inherente a lacuantificacion de los sistemas subterraneos, que dimana de nuestra incapacidadpara medir, entender o representar todas las caracterısticas del sistema real, loque convierte en insuficiente el enfoque puramente determinıstico donde se igno-ran las incertidumbres propias de la caracterizacion y evaluacion de los sistemasacuıferos. [5]

En el caso de los acuıferos, para determinar sus propiedades fısicas es necesariohacer mediciones experimentales o estimarlos de manera indirecta. Las medicionesexperimentales implican la excavacion de pozos lo cual resulta extraordinaria-mente caro, considerando las dimensiones que generalmente tienen los acuıferos.Hacerlo de manera indirecta conduce al problema conocido en la literatura comoproblema inverso de identificacion de parametros.

Se han desarrollado varias tecnicas para resolver el problema inverso de iden-tificacion de parametros. En 1973 Neumann clasifico estas tecnicas en directas e

6 CAPITULO 1. INTRODUCCION

indirectas. La clasificacion mas reciente y en la cual se basan las tecnicas actualesfue dada por Chavent en 1979, quien clasifico la identificacion de parametros enlas siguientes dos categorıas:

Criterio de ecuacion del error.

Criterio del error de salida.

El metodo numerico que desarrollaremos a lo largo de este trabajo de tesis sederiva de un metodo de la primera categorıa llamado Metodo del Sistema Dife-rencial1 de aquı el nombre del metodo que proponemos sea Metodo del SistemaDiferencial Modificado.

La solucion numerica que provee el Metodo del Sistema Diferencial Modificadoesta compuesta de numerosas soluciones elementales, que involucran la informa-cion del sistema que capta cada elemento finito para el flujo hıdrico y satisface laecuacion diferencial que gobierna el flujo en cualquier punto del dominio; teniendocomo consecuencia la apropiada identificacion de los parametros del modelo, detal forma que reproduce los efectos causados por cada componente o caracterısticahidrogeologica del acuıfero en el flujo del agua subterranea.

1.4. Organizacion de la tesis

Este trabajo de tesis esta organizado de la siguiente manera:

En el Capıtulo 2 se habla sobre los conceptos basicos de geohidrologıa que estaninvolucrados con el modelo matematico que se estudio.

En el Capıtulo 3 se plantean las leyes que gobiernan al fenomeno fısico de in-teres, y se explicaran las hipotesis y/o simplificaciones hechas para obtener elmodelo.

En el Capıtulo 4 se describe el problema directo como un problema predictivo.Se presenta la aplicacion de los metodos tipo Galerkin, en particular el metodode Galerkin y el de Crank-Nicolson-Galerkin, como una alternativa de solucionpara ecuaciones parabolicas de difusion.

En el Capıtulo 5 se encuentra detallada una de las mayores aportaciones de estatesis. Es decir, se enfoca a describir lo que es un problema inverso y expone pasoa paso el metodo numerico que se desarrollo para la identificacion de parametrosen los casos en que se tienen datos de flujo estacionario y transitorio.

1Para mayor informacion se puede consultar Moreles et al [13].

1.4. ORGANIZACION DE LA TESIS 7

En el Capıtulo 6 se muestra la validacion del metodo con cuatro ejemplos sinteticos,pero realistas. Se incluyen simulaciones para datos de flujo estacionario y transi-torio. Ası como ejemplos de datos con ruido gaussiano para ambos casos.

En el Capıtulo 7 se muestran los detalles que se deben considerar para la im-plementacion numerica del metodo en un software.

Finalmente en el Capıtulo 8 se exponen comentarios, observaciones y conclusionesde este trabajo de tesis.

Capıtulo 2

Revision de Conceptos y

Principios Basicos de

Geohidrologıa

2.1. Tipos de acuıferos

Una posible clasificacion de las aguas de nuestro planeta, segun Bear [1],consiste en: Aguas Superficiales y Aguas Subterraneas. Siendo estas ultimas enlas cuales centraremos nuestra atencion.

El termino agua subterranea se refiere al agua que se encuentra en el subsue-lo alojada en materiales geologicos y que satura completa y parcialmente loshuecos existentes.

Se define como acuıfero a la roca o sedimento que pertenece parcial o total-mente a una o a varias formaciones, suficientemente permeable y saturada deagua para transmitirla en cantidades economicas hacia pozos o manantiales. Enlatın, acuıfero significa: aqui viene de aqua que significa agua, y fer de ferre quesignifica llevar.

Podemos definir al manto freatico como la superficie en donde la presion re-gistrada es la presion atmosferica (presion relativa = 0 Pascales). En la practica,el manto freatico se encuentra al perforar un pozo, siendo este el nivel en dondebrota el agua.

A la superficie virtual formada por los puntos que alcanzarıa el agua si se hicieran

9

10CAPITULO 2. REVISION DE CONCEPTOS Y PRINCIPIOS BASICOS DE

GEOHIDROLOGIA

infinitas perforaciones en el acuıfero, se le llama superficie piezometrica, y en unpunto concreto, en un pozo, se habla del nivel piezometrico. (Ver figura 2.1).

El termino acuicludo (del latın cludo, encerrar) se refiere al material geologicosaturado de agua que es incapaz de transmitir cantidades significativas de aguabajo gradientes hidraulicos normales; es decir, no produce cantidades economicasde agua hacia pozos. Un termino de acunacion posterior es el de acuitardo (dellatın tardo, retardar, impedir), para referirse a estratos de rocas o sedimentoscon permeabilidades bajas, capaces de transmitir agua en cantidades significa-tivas para estudios regionales de aguas subterraneas, pero sin la posibilidad deemplazar pozos de produccion en ellos. Por ultimo, el termino acuıfugo (del latınfugo, rechazar, ahuyentar) se refiere a una formacion geologica impermeable queno contiene agua ni la transmite.

De las primeras tres definiciones, es comun que dentro de una secuencia hidroes-tratigrafica, se manejen los terminos de acuıfero y acuitardo, como parte delsistema de agua subterranea, dejando unicamente para el basamento del sistemael termino acuicludo. Otro aspecto importante de denotar, es que las definicionesde acuıfero y acuitardo que se manejan en el ambito mundial, son imprecisas conrespecto a la conductividad hidraulica del material geologico del subsuelo; estosignifica que son definiciones en el mas amplio sentido de la palabra, es decir, re-lativos a un marco de referencia. Por ejemplo, en una secuencia interestratificadade arenas y limos, el material mas fino representara a los acuitardos; pero si la se-cuencia corresponde a limos y arcillas, ahora el acuitardo sera el material arcilloso.

La clasificacion de los acuıferos, de acuerdo al manto freatico es la siguiente:

Acuıfero confinado, es aquel acuıfero que le subyace y sobreyace materialgeologico de conductividad hidraulica significativamente baja, consistentesen acuicludos (Figura 2.1). Una caracterıstica comun de los acuıferos con-finados es que el agua esta sometida a una cierta presion, superior a laatmosferica, y ocupa la totalidad de los poros o huecos de la formaciongeologica que lo contiene, saturandola totalmente. Por ello, durante la per-foracion de pozos en acuıferos de este tipo, al atravesar el techo del mismo,se observa un ascenso rapido del nivel del agua hasta estabilizarse en unadeterminada posicion. Estos pozos reciben el nombre de pozos artesianos.Sin embargo, si rebasan el nivel del terreno, se denominan pozos brotantes.En particular, durante la extraccion de agua ningun poro se vacıa, solo dis-minuye la presion del agua y en menor medida la de la matriz solida (serefiere a la formacion geologica en sı, esta compuesta de distintos materiales,tales como arcillas, arenillas, etc.)

Acuıfero libre o acuıfero no confinado o acuıfero freatico se caracteriza por

2.1. TIPOS DE ACUIFEROS 11

Figura 2.1: Esquema de un acuıfero confinado.

tener en su base un acuicludo o acuitardo y en su parte superior, el lımitesera su propio nivel freatico (Figura 2.2). Por lo tanto, estos tipos de acuı-feros son sistemas con espesor saturado variable, debido a las fluctuacionesdel nivel freatico. Este tipo de acuıferos presenta ciertas caracterısticas di-ferentes a los confinados, como es el tener la capacidad de ceder volumenesmayores de agua por abatimiento unitario de la carga hidraulica. Asimismo,tiene la desventaja de tener un alto nivel de susceptibilidad a la contami-nacion de substancias tales como: productos agroquımicos utilizados enla agricultura o la lixiviacion de desechos toxicos. En la (Figura 2.3), sepresenta un perfil de la distribucion del agua en el subsuelo.

En los acuıferos libres el agua se encuentra rellenando los poros o fisuraspor gravedad. La superficie hasta donde llega el agua se denomina superficiefreatica; cuando un pozo corta esta superficie se habla del nivel freatico enese punto.

En este tipo de acuıferos, tambien se habla del espesor saturado, que sera me-nor o igual que el espesor del estrato o formacion geologica correspondiente.

Acuıfero semiconfinado, al que se encuentra limitado en su parte superiorpor un acuitardo y en su porcion inferior por un acuitardo o acuicludo.Este tipo de acuıfero es un caso especial de acuıfero confinado, ya que losacuitardos que lo limitan verticalmente, permiten el desplazamiento de aguasubterranea, ya sea en direccion ascendente o descendente. Bajo condiciones


GEOHIDROLOGIA

Figura 2.2: Esquema de un acuıfero libre o no confinado.

Figura 2.3: Distribucion del agua subterranea en el perfil del subsuelo.

de equilibrio, el nivel del agua en un pozo, puede coincidir con el nivelfreatico o diferir, dependiendo de las condiciones de recarga o descarga yde la presion litoestatica suprayacente.

Como caso particular de tipo de acuıfero se tiene el acuıfero colgado, que setrata de un acuıfero libre de menor tamano en relacion con un acuıfero regional.Un acuıfero colgado se ubica por arriba del acuıfero libre principal, existiendodesconexion hidraulica entre ellos. Este tipo de acuıferos es comun en ambientesgeologicos donde existen contrastes de permeabilidad en el sentido vertical y

2.2. PROPIEDADES FISICAS DE LOS ACUIFEROS 13

espesores importantes de zona no saturada.

2.2. Propiedades fısicas de los acuıferos

El flujo de agua subterranea, ya sea a escala local o regional, es funcion delas propiedades del material geologico que constituye el acuıfero en investigacion.Las propiedades fısicas de interes en un medio poroso son:

Porosidad La porosidad es una propiedad intrınseca de todo el material te-rrestre y se define como el volumen de aberturas, huecos u oquedades;es decir, todo tipo de espacio intergranular de las rocas y sedimentos. Eltermino porosidad se expresa como el porcentaje de espacios con relacion aun volumen unitario de roca o sedimento y se representa matematicamentecomo:

η(%) =Vv

V× 100, (2.1)

donde η es la porosidad (adimensional), Vv es el volumen del espacio (Lts3)y V es el volumen unitario de roca o sedimento, incluye el material solido ylos espacios intergranulares (Lts3). Puede expresarse en % o en tanto por 1.En cualquier caso es una propiedad adimensional (volumen/volumen). Enparticular, este concepto refiere a la porosidad total.

En la Tabla 2.1 se presentan valores tıpicos de la porosidad para diferentesmateriales geologicos. Los valores extremos de la porosidad dependen deltipo de material geologico y del grado de afectacion fısica y quımica que hasufrido.

Tipo de Material Porosidad Tipo de Material PorosidadMateriales no consolidados ( %) Materiales consolidados ( %)

Grava gruesa 12-28 Arenisca 5-30Grava media 13-32 Caliza y dolomia 0-40Grava fina 21-34 Caliza karstica 0-40Arena con grava 20-39 Pizarras y lutitas 0-10Arena gruesa 20-35 Basalto fracturado 5-50Arena media 15-39 Roca cristalina fracturada 0-10Arena fina 10-43 Roca cristalina densa 0-5Arcilla arenosa 3-12 Granito alterado 34-57

Cuadro 2.1: Valores tıpicos de porosidad para materiales geologicos.

Existen una serie de procesos que afectan o modifican la porosidad originalde un material geologico. Una vez formada la roca o el deposito sedimenta-rio, quedan expuestos a diversos procesos fısicos y quımicos conocidos como


GEOHIDROLOGIA

diageneticos, que ocasionan disminucion o incremento en su porosidad. Enel otro extremo se tienen los procesos distintivos que originan una reduccionen la porosidad primaria del material geologico.

Analizado desde un punto de vista estricto, la definicion previa de porosi-dad se refiere a una componente total, ya que considera todo tipo de poros:interconectados, sin interconexion y aquellos pequenos conductos que impi-den la circulacion de moleculas de agua. Sin embargo, no todos los porosde un material geologico se encuentran comunicados entre sı y por lo tantoexisten algunos que no permiten la libre circulacion del flujo subterraneo.Esta situacion conduce a la definicion de otro termino denominado porosi-dad efectiva que se refiere al porcentaje de poros interconectados quepermiten la circulacion de fluidos. Se detallara este concepto mas adelante,cuando hablemos del coeficiente de almacenamiento.

Es muy importante distinguir entre la porosidad total y efectiva, al menosen depositos granulares, pues existen trabajos de investigacion que handemostrado que la diferencia entre estos dos conceptos es de aproximada-mente un orden de magnitud. La problematica surge entorno a las rocasfracturadas, que se caracterizan por tener una gran porosidad total, perocon una desconexion de poros importante. En este caso es conveniente tratarde relacionar la porosidad efectiva con la permeabilidad de la roca en lugarde la porosidad total.

Permeabilidad En el subsuelo, el material geologico cercano a la superficie te-rrestre generalmente contiene vacıos que se encuentran comunicados entresı, por lo que tienen la capacidad de almacenar y transmitir agua. A estapropiedad intrınseca del material geologico, sin considerar las propiedadesdel lıquido que contiene, se le conoce como permeabilidad.

La permeabilidad se expresa matematicamente como el producto del dia-metro promedio de los granos del material geologico y una constante deproporcionalidad intrınseca del medio. Es decir:

k = C × d2, (2.2)

donde C es la constante de proporcionalidad denominada factor de formay d es el diametro promedio de los granos del material geologico.

Las unidades para la permeabilidad se dan en Longitud2, que pueden serm2, cm2, etc. En la Tabla 2.2 se presenta un compendio de la informacionrecopilada en la bibliografıa consultada, en donde se reportan los valoresde permeabilidad correspondientes a diversos materiales geologicos. La per-


meabilidad es un termino que comunmente se utiliza de manera cualitativapara describir la propiedad del medio geologico para transmitir un fluido.Es comun que esta palabra se aplique en forma incorrecta como un sinoni-mo de conductividad hidraulica, lo que en ocasiones conduce a confusiones.En sentido estricto, la permeabilidad describe la capacidad para permitir elflujo de cualquier fluido a traves de un medio poroso especıfico.

En la tabla 2.2 se presentan valores tıpico de permeabilidad para diferentesmateriales geologicos. Son varios los factores que condicionan los valoresde permeabilidad en los materiales geologicos. Por ejemplo, es importanteconsiderar la direccion de las mediciones, pues existen estudios que hanmostrado que la permeabilidad medida en la direccion del buzamiento de lascapas, es dos o tres ordenes de magnitud mayor que la permeabilidad mediadel conjunto. Para el analisis del flujo de agua subterranea, es convenienteconsiderar cuando menos dos componentes principales de la permeabilidad.

Tipo de Material Permeabilidad Tipo de Material PermeabilidadMat. no consolidados (Darcy) Mat. consolidados (Darcy)

Grava 105-102 Arenisca 10−1-10−5

Arena limpia 103-0,5 Caliza y dolomia 10−1-10−4

Arena limosa 102-10−2 Caliza karstica 103-10−1

Loess, limo 1-10−4 Pizarras y lutitas 10−4-10−8

Arcilla marina 10−4-10−7 Basalto fracturado 103-10−2

Cuadro 2.2: Valores tıpicos de permeabilidad para materiales geologicos.

Microscopicamente, la permeabilidad varıa entre cerca de cero, en caso derocas compactas y valores altos, en el caso de rocas densamente fracturadas.

Compresibilidad. La compresibilidad es el inverso del modulo de elasticidad,por lo que refleja la cantidad de deformacion de un volumen representativodel material poroso cuando es afectado por un esfuerzo. Aunque existenvarios tipos de compresibilidad: i) uno para la fase solida del medio, ii)otro para el medio poroso incluyendo los espacios vacıos y iii) otra para elacuıfero; la primera es mınima, por lo que generalmente se desprecia. Lacompresibilidad del medio poroso, incluyendo los espacios vacıos, se definecomo el porcentaje de cambio en el volumen total del medio poroso divididopor el cambio en el esfuerzo efectivo que causa la deformacion. En formamatematica se expresa de la siguiente manera:

α = − 1Vt× dVt

dσe, (2.3)


GEOHIDROLOGIA

donde Vt es el volumen total de la masa solida y dσe es el cambio en el es-fuerzo efectivo. En materiales granulares, la reduccion en el volumen total Vt

producido por el incremento en el esfuerzo efectivo, produce un reacomodode las partıculas que componen el medio. Aplicando el concepto de com-presibilidad del medio al espesor completo del acuıfero, es posible definir lacompresibilidad del acuıfero como el porcentaje de cambio en el espesor delacuıfero, dividido por el cambio en el esfuerzo efectivo. Es decir,

α = −1b× db

dσe. (2.4)

La ecuacion anterior es la representacion matematica de la compresibilidadvertical del acuıfero, por lo que la letra b representa el espesor de dichoacuıfero. Aunque estrictamente no es valido, para simplificar el problemaes conveniente suponer que la compresibilidad es un parametro isotropico,en donde la componente de interes es en el sentido vertical, ya que es ladireccion en donde se producen los mayores cambios en el esfuerzo efectivo.

Retomaremos este concepto en la seccion 3.5.5.

Densidad. Por definicion, la densidad volumetrica (rb) es la masa seca porunidad de volumen (incluyendo los espacios vacıos) del medio poroso in-alterado. En depositos no consolidados, la densidad volumetrica estara es-tablecida por su mineralogıa y por la cantidad de espacios vacıos (porosidad)de la muestra. La densidad de la fase solida (rs) esta definida como la masaseca de solidos por unidad de volumen de solidos.

Conductividad Hidraulica Indica la capacidad de un acuıfero para conducirel agua bajo gradientes hidraulicos; esta depende tanto de las propiedadesdel fluido y del medio. Se expresa matematicamente como

K =kρg

µ, (2.5)

donde g es la aceleracion de la gravedad, cuyas unidades son (Longitud2/t),k es la permeabilidad del medio (Longitud2,) ρ es la densidad del medio(m/L3) y µ es la viscosidad (m/(Lt)). Por tanto, sus unidades son de veloci-dad, i.e. (Longitud/tiempo). Lo mas comun es que se utilicen las unidadesde m/dia.

Una clasificacion de la formacion geologica que esta basada en la posicionde medicion de la conductividad hidraulica es la siguiente:

Si K es independiente de la posicion dentro de la formacion geologica,la formacion es homogenea.


Si K es dependiente de la posicion dentro de la formacion geologica,la formacion es heterogenea.

Estrictamente, todo medio poroso o fracturado es un medio heterogeneopor su propia naturaleza. A efectos practicos solo interesan propiedadespromedio, un medio en sı heterogeneo puede considerarse macroscopica-mente homogeneo si las propiedades promediadas en un cierto volumen dematerial alrededor de cada punto considerado varıan de un lugar a otro.

Otra clasificacion de la formacion geologica que esta basada en la direc-cion de medicion de la conductividad hidraulica es la siguiente:

Si K es independiente de la direccion de la medicion en un puntodentro de una formacion geologica, la formacion es isotropica.

Si K varıa con la direccion (i.e. es dependiente de la direccion) dela medicion en un punto en una formacion geologica, la formacion esanisotropica.

Por ejemplo, para un sistema isotropico, homogeneo en dos dimensionesKx = Ky = C, ∀ (x, y), donde C es una constante. Para un sistemaanisotropico, homogeneo se tiene Kx = C1 y Ky = C2, ∀ (x, y), conC1 6= C2. En la figura 2.4 se pueden ver las 4 posibles combinaciones delas propiedades del medio. La longitud de las flechas de los vectores esproporcional a los valores de Kx y Ky en los puntos (x1, y1) y (x2, y2).

Transmisividad o Transmisibilidad es la propiedad que indica la facilidadde un acuıfero para dejar pasar el agua a traves de su espesor en sentidovertical. Se distinguen dos tipos: la transmisibilidad darciana o lineal y latransmisibilidad turbulenta. Su representacion matematica esta dada por

T = K × b, (2.6)

donde K es la conductividad hidraulica y b representa el espesor del acuıfero.Por tanto las unidades que maneja esta propiedad son Longitud2/t.

Comunmente se utilizan las unidades expresadas en m2/dia.

Coeficiente de Almacenamiento. Se refiere al volumen que es capaz de li-berar el acuıfero al descender en una unidad el nivel piezometrico (o lapresion). Se define como el volumen de agua que puede ser liberado porun prisma vertical del acuıfero, de seccion igual a la unidad y altura la delespesor saturado, si se produce un descenso unidad del nivel piezometrico.Toma valores diferentes, segun sea el acuıfero libre o confinado. El conceptofue introducido en la Hidraulica Subterranea en 1935.


GEOHIDROLOGIA

Figura 2.4: Clasificacion de la formacion geologica en base a la direccion demedicion de K.

En un acuıfero libre el valor del coeficiente de almacenamientocoincide con el valor de la porosidad efectiva. (Ver figura 2.5). 1 Enun acuıfero confinado, sin embargo, este volumen de agua que causa un des-censo de una unidad en el nivel piezometrico, coincide con la suma del agualiberada por el acuıfero como consecuencia de la dilatacion que esta sufre aldescomprimirse y el agua que cede el terreno al compactarse el armazon portener que soportar en mayor parte el peso del terreno suprayacente. Note-mos, que en el ultimo caso el dato de la porosidad efectiva no nos sirve,pues cuando proporcionan agua todos sus poros continuan saturados, solodisminuye la presion.

En particular, en el caso de un acuıfero confinado, el coeficiente de almace-namiento se define como la variacion en el volumen de agua por unidad dearea. Se expresa matematicamente como

S =∆V

A∆h, (2.7)

donde ∆V es la variacion en el volumen de agua, A es la unidad horizontal

1 A pesar de ser conceptos equivalentes, reparemos en que el acuıfero libre nos proporciona

el volumen por me por vaciado del m3 superior (el volumen que aparece en el dibujo 2.5 entre

las dos posiciones de la superficie freatica), mientras que en el acuıfero confinado, cuando el

nivel desciende 1 m, es toda la columna del acuıfero que aporta el volumen del agua S.


Figura 2.5: (a) Coeficiente de almacenamiento. (b) Porosidad Efectiva.

de area y ∆h es la variacion de la carga hidraulica.

Por otro lado, en el caso de un acuıfero libre el volumen de agua que pro-porciona se puede calcular mediante la porosidad efectiva. La cual se expresacomo la relacion entre el volumen de intersticios interconectados y el volumentotal del medio poroso, incluidos los huecos (ver figura 2.6). Es decir,

E =Volumen de agua drenado por gravedad

Volumen total.

Se expresa igual en porcentaje. La retencion especıfica se refiere a la diferenciaentre la porosidad total y la porosidad efectiva.

El coeficiente de almacenamiento, como la porosidad efectiva, es adimensionaly los valores que presenta son mucho mas bajos en los confinados perfectos queen los semiconfinados. Los valores tıpicos serıan estos:

Acuıferos libres: 0,01 a 0,3.

Acuıferos semiconfinados: 10−4 a 10−3.

Acuıferos confinados: 10−5 a 10−4.

Para obtener mas informacion al respecto ver las referencias [1], [6] y [7].


GEOHIDROLOGIA

Figura 2.6: Porosidad efectiva a nivel microscopico.

2.3. Medios por donde se desplaza el agua

Las propiedades fısicas de los acuıferos son una caracterıstica importante queinfluye en la conceptualizacion de un sistema de agua subterranea. Para definir eltipo de medio por donde transita el agua subterranea, es necesario saber acercadel origen u ocurrencia del medio geologico. En resumen, existen cuatro ambien-tes geologicos importantes por los cuales puede fluir agua subterranea: i) mediogranular o poroso, ii) medio fracturado, iii) medio karstico y iv) doble porosidad.

El medio granular o poroso es el compuesto por materiales de tipo sedimentario,constituido por partıculas de tamano variado resultado de la disgregacion de rocaspreexistentes. En estos depositos, que pueden ser consolidados o no consolidados,el agua subterranea se desplaza por los intersticios libres entre las partıculas. Loscaminos que recorre el agua son variados y dependen del tamano, forma y dis-tribucion espacial de las partıculas. En general es muy tortuoso, debido al arregloaleatorio de poros interconectados (porosidad efectiva), por lo que la velocidadpromedio del agua subterranea en este tipo de medio, bajo gradientes hidraulicosnormales, es relativamente baja (del orden de decenas a centenas de metros porano). En particular, a la parte solida de este medio se le conoce como matrizsolida y al espacio vacıo se le llama poros.

En condiciones naturales, la direccion del agua subterranea en este tipo de mediosesta controlada por la distribucion espacial del gradiente hidraulico, que en muchasocasiones a su vez esta condicionado por la topografıa de la superficie del terre-no. Debido a su origen sedimentario, en donde el material se va depositando por

2.4. RELACION ENTRE SISTEMAS DE FLUJO DE AGUA SUBTERRANEA YACUIFEROS 21

capas paralelas a la superficie del terreno, el medio poroso presenta caracterısti-cas anisotropicas. En este caso, es relativamente comun que la conductividadhidraulica horizontal sea cuando menos un orden de magnitud mayor que la con-ductividad hidraulica vertical. Por esta razon, el flujo del agua en este tipo demedio tiende a ser horizontal, aunque dependera de su posicion dentro del sis-tema de flujo analizado. La heterogeneidad es otra caracterıstica importante deconsiderar para el medio granular, ya que en los depositos sedimentarios las carac-terısticas de los materiales, sus fuentes y procesos de transportacion son variables,tanto en tiempo como en espacio.

En el medio fracturado el agua subterranea se desplaza por las discontinuidadesestructurales que presentan los materiales consolidados de origen variado. En losacuıferos compuestos por rocas volcanicas y rocas metamorficas, el agua sub-terranea se desplaza a velocidades mayores que las que se registran para el medioporoso. Esto se debe a que, en general, la porosidad del medio fracturado es muchomenor que la correspondiente a un medio poroso. En algunas ocasiones, la direc-cion del flujo de agua subterranea en los medios fracturados esta influenciada,ademas de la distribucion del gradiente hidraulico, por el arreglo tridimensionalde los sistemas de fracturamiento. Este tipo de medio presenta caracterısticas deanisotropıa y heterogeneidad muy marcadas. En general, en un medio fracturadoel agua subterranea puede desplazarse en forma importante en el sentido vertical,sobre todo cuando se trata de materiales de tipo volcanico con espesor conside-rable.

Un caso particular de acuıferos en medio fracturado, es el constituido por rocassedimentarias de tipo calcareo o cualquier otra que contenga minerales solublescomo la anhidrita. En este tipo de acuıferos, las fracturas por donde se desplazael agua subterranea han sido ensanchadas por efecto de disolucion, por lo quecon el paso del tiempo llegan a formarse verdaderos tuneles y cavernas. En estetipo de medio, denominado karstico, las velocidades que desarrolla el agua sub-terranea pueden ser comparables con las de una corriente superficial, del ordende cientos de metros por dıa. Al igual que para el medio fracturado, presentaheterogeneidad y anisotropıa, situacion que complica enormemente el estudio yanalisis de sus propiedades hidraulicas.

2.4. Relacion entre sistemas de flujo de agua subterranea

y acuıferos

Algunos de los metodos que se utilizan para la definicion de zonas de pro-teccion de pozos requieren de la definicion de sistemas de flujo de agua sub-terranea, mientras que otros consideran el punto de vista de acuıfero. El concep-


GEOHIDROLOGIA

to de acuıfero se utiliza para estar en condiciones de aplicar diversas ecuacionespara comprender el flujo bidimensional del agua subterranea. El punto de vistade sistemas de flujo incorpora la definicion de zonas de recarga, transito y descar-ga, en un esquema tridimensional. Ambos conceptos son utiles, pero es necesariocomprender sus diferencias y analogıas. En Mexico no es comun el analisis deproblemas relacionados con el agua subterranea utilizando el concepto de sis-temas de flujo. Por esta razon, antes de relacionar los sistemas de flujo de aguassubterraneas y acuıferos, es necesario resumir aspectos importantes de la teorıade los sistemas de flujo de aguas subterraneas y rasgos indicadores de flujo.

En primera instancia un sistema de flujo de aguas subterraneas se define comoel conjunto de lıneas de flujo, en el que dos lıneas adyacentes de un determina-do punto de la region permaneceran de esa manera a traves de todo el dominiodel sistema. La interseccion de esas lıneas unicamente puede ocurrir con una su-perficie continua (nivel freatico), donde el flujo es en una direccion, [20]. Por lotanto, la configuracion de cualquier sistema de flujo se puede definir por aquellassuperficies que engloban al sistema y la distribucion espacial de los sistemas deflujo se denomina patron o distribucion de flujos. Un conocimiento de este pa-tron, implica conocer la direccion e intensidad del flujo de agua subterranea enun punto cualquiera de la region, [21].

Toth, ver [20], sugirio que en la mayorıa de las redes de flujo y areas de campose pueden diferenciar sistemas locales, intermedios y regionales de flujo de aguasubterranea, como se ilustra en la Figura (2.7). En donde exista un relieve localsuavizado, solo se desarrollaran sistemas regionales y por lo contrario, donde exis-ta un relieve local pronunciado, se desarrollaran sistemas locales. Los terminosanteriores no necesariamente se cumplen estrictamente, pero si proporcionan unaestructura cualitativa util. Freeze y Cherry (ver [9]), y Freeze y Witherspoon (ver[10]) , discuten ampliamente mediante una serie de modelos analıticos y numeri-cos experimentales de redes de flujo en perfil para sistemas heterogeneos, conenfasis en la topografıa y la geologıa.

Los diferentes sistemas de flujo del agua subterranea propuestos por Toth (ver[20]) y sus componentes que los caracterizan son los siguientes:

Sistema de flujo local. Son sistemas de flujo que tiene su area de recarga enun alto topografico y el area de descarga en un bajo topografico adyacente,es decir, localizados uno al lado del otro.

Sistema de flujo intermedio. Es el sistema de flujo en el que sus zonas derecarga y descarga, no son adyacentes, ni tampoco ocupan las elevacionesmas altas y bajas de una cuenca; pero sus zonas de recarga y descarga estanseparadas por uno o mas altos o bajos topograficos.


Figura 2.7: Modelo de flujo isotropico bidimensional, mostrando la distribucionde los sistemas de flujo local, intermedio y regional de agua subterranea.

Sistemas de flujo regional. Es aquel que su zona de recarga ocupa el parte-aguas subterraneo y su zona de descarga se situa en el fondo de la cuenca.

A continuacion, se presenta la definicion de las componentes de estos flujosde aguas subterraneas, que se ilustran en la Figura (2.8):

Area de flujo vertical ascendente. (Zona de descarga) Es la porcion de unared de flujo en el que la direccion del agua subterranea se acerca al nivelfreatico (Figura 2.8.A).

Area de flujo vertical descendente. (Zona de recarga) Es la porcion de unared de flujo en el que la direccion del agua subterranea se aleja del nivelfreatico (Figura 2.8.B).

Area de flujo horizontal. (Zona de transicion lateral) Es donde el movimien-to ocurre horizontalmente, en forma aproximadamente paralela al nivelfreatico (Figura 2.8.C).

En cuencas con materiales geologicos isotropos homogeneos, la topografıa puedecrear sistemas complejos de flujo de agua subterranea; pero la unica ley inmutablees que los terrenos topograficamente altos son areas de recarga y los topografica-mente bajos se consideran areas de descarga. Para la mayorıa de las configuracio-nes topograficas mas comunes, la lınea media de los sistemas de flujo se localizanmas cerca de los valles que de las partes topograficamente altas, [10]. Con baseen esta experiencia, una carta hidrodinamica tendra al area de descarga en un 5a 30% de la superficie total de una cuenca, [9].


GEOHIDROLOGIA

Figura 2.8: Diagramas esquematicos de zonas de: descarga, recarga y flujo lateral.

Aunque la heterogeneidad y la anisotropıa modifican los detalles del patron deflujo [10], las propiedades basicas de la geometrıa del flujo permanecen sin cambiobajo estas condiciones [21]. La heterogeneidad geologica es de gran importanciadebido a que puede tener un efecto profundo sobre el flujo de agua subterranea re-gional y afectar: i) la interrelacion entre sistemas locales y regionales; ii) el patronsuperficial en zonas de recarga y descarga; y iii) el volumen de flujo descargadoa traves de los sistemas.

Los rasgos superficiales relacionados con el flujo del agua subterranea incluyentodas las observaciones de campo que son utiles para averiguar la ocurrencia delflujo subterraneo.

Los rasgos observados en campo pueden ser producto del agua superficial, sub-terranea o una conjugacion de ambas. Por consiguiente, es evidente que areasdonde el agua subterranea se mueve hacia la superficie terrestre, poseeran ma-yor humedad por arriba de la zona saturada, a diferencia de las areas donde elagua subterranea se aleja de la superficie terrestre. Consecuentemente, areas demovimiento ascendente del agua subterranea (areas de descarga) estaran carac-terizadas por Ophori y Toth, [15]:

manantiales,

filtraciones,

niveles freaticos someros,

pozos brotantes,

aguas con alta conductividad electrica,


altos ındices de solidos totales disueltos,

freatofitas,

precipitaciones de sales,

cosechas ”quemadas”,

arenas movedizas,

exceso de humedad,

algunos tipos de construcciones hechas por el hombre, aprovechando esascircunstancias.

Segun Ophori y Toth, ver [15], en el caso de areas con movimiento descendentedel agua subterranea (areas de recarga), estaran determinadas por:

deficiencia de humedad, conteniendo conductividad electrica relativamentebaja,

mınimas concentraciones de solidos totales disueltos,

niveles freaticos relativamente profundos,

en general, carencia de rasgos de descarga como los mencionados anterior-mente

Para identificar las caracterısticas anteriores que definen zonas de recarga odescarga, se tienen como indicadores de flujo mas importantes a los siguientespuntos:

topografıa,

clima,

mediciones piezometricas,

patrones hidrogeoquımicos,

manantiales,

pozos brotantes,

flujo base,

vegetacion.


GEOHIDROLOGIA

Es importante no olvidar que los rasgos o indicadores anteriormente senaladosson validos para regiones aridas o semi aridas, donde el agua no es lo suficien-temente abundante como para enmascarar u ocultar los efectos superficiales delflujo del agua subterranea [7]. A continuacion se presenta una breve descripcionde la importancia de estos indicadores de flujo:

Topografıa. Este indicador es bastante obvio y permite suponer que la direccionde flujo del agua subterranea se dirige de las partes topograficamente altas (areasde recarga) hacia las partes topograficamente bajas (areas de descarga) o como lodefine Hubbert (1940), el flujo siempre ocurrira de regiones con cargas hidraulicasmayores hacia regiones de cargas hidraulicas menores. Es importante entenderque el movimiento del agua a traves de la zona de saturacion ocurre en respuestaa las fuerzas de gravedad y presion. La gravedad, de hecho, actua de forma tal quehace que el agua descienda, sin embargo, las fuerzas de presion pueden provocarmovimiento del agua en flujo ascendente, por lo tanto, en ocasiones es incorrectodecir que “el agua se mueve hacia abajo o cuesta abajo”cuando se refiere al aguadel subsuelo.

Otro aspecto importante de senalar es que la configuracion del nivel freaticotiene gran influencia y control sobre el patron de distribucion de flujo del aguasubterranea y de su velocidad. En areas donde la configuracion del nivel freaticoes una replica relativa de la topografıa, las caracterısticas geometricas de la su-perficie terrestre se pueden utilizar para lograr una buena aproximacion paracalcular los patrones de flujo, [21].

Clima. Los principales factores climatologicos que afectan ciertos parametros delregimen del agua subterranea son la precipitacion, la temperatura del aire y laevapotranspiracion actual. Por lo tanto, dentro de una region con una topografıay geologıa dadas, el balance entre la recarga y descarga atmosferica determina laconfiguracion del nivel freatico, que es el lımite superior de la region de flujo delmedio de saturacion; por lo tanto, los factores mencionados son los que controlanel desarrollo del patron de flujo, [21].

En regiones con un exceso de precipitacion, el nivel freatico sera una replicamas exacta de la topografıa, resultando en un maximo de diferencia del flujo po-tencial, en cambio en areas con precipitacion deficiente, el relieve del nivel freaticoes menos acentuado, habiendo una menor diferencia de potencial de flujo y bajonumero de sistemas de flujo local.

Mediciones piezometricas. El indicador mas directo para determinar los sistemasde flujo del agua subterranea es la medicion de cargas hidraulicas a diferentes


Figura 2.9: Esquema de un sistema de flujo representado con informacion deniveles estaticos medidos en pozos a diferentes profundidades.

profundidades. Rigurosamente, una superficie potenciometrica es el resultado dela configuracion de la carga hidraulica de un acuıfero confinado y solo es validapara flujo horizontal, en acuıferos horizontales. Por lo tanto, la condicion de flu-jo horizontal solo se encuentra en acuıferos con conductividad hidraulica muchomas elevada que la de capas confinantes asociadas [9]. Lo anterior significa quesi un plano potenciometrico se configura a partir de datos obtenidos de pozos condiferentes profundidades, la superficie obtenida es un compuesto de medicionesde potencial [7]. Esto sucede en la realidad, cuando se presentan componentesde flujo vertical, como se muestra esquematicamente en la Figura 2.9.Mediante la grafica generalizada de profundidad del pozo contra profundidad delnivel estatico del agua, propuesta por Freeze y Cherry, ver [9], se establecen zonascon posibles componentes de flujo, que pueden ser descendentes o ascendentes,que se asocian a zonas de recarga y descarga (Fig. 2.10). Es comprensible que losplanos del nivel del agua unicamente representan la direccion general de flujo delagua subterranea. Por eso, es importante considerar siempre el comportamientodel flujo subterraneo en planta y en perfil e interpretar graficas de profundidaddel pozo vs profundidad del nivel estatico del agua.

Manantiales. Los manantiales son indicadores de campo en la busqueda de zonasde descarga de sistemas de flujo. Adicionalmente, con base en las caracterısticasfısicas y quımicas de los manantiales y su localizacion dentro del ambiente hidro-


GEOHIDROLOGIA

Figura 2.10: Definicion de zonas de recarga y descarga de acuerdo con la relacionprofundidad del pozo-profundidad al nivel estatico.

geologico, es posible definir el sistema de flujo al que pertenecen.

Pozos brotantes. Los pozos brotantes, como su nombre lo indica, son aprove-chamientos con su nivel piezometrico por arriba del terreno, por lo tanto sonsurtidores naturales de agua subterranea, su presencia es un claro rasgo de unazona de descarga. Los principales factores que controlan la presencia de un pozobrotante son la topografıa y el ambiente geologico.

Vegetacion. Existen zonas deserticas y humedas donde habitan plantas a lo largode los cauces de los rıos y sobre las zonas donde el nivel freatico es poco profundorespecto de la superficie del terreno; estas plantas se conocen como freatofitas yposeen raıces muy profundas que llegan a alcanzar el nivel freatico. Las freatofi-tas no solamente son propias de las zonas deserticas, sino tambien de las zonashumedas, aunque en estas ultimas su clasificacion ecologica no ofrece una par-ticularidad especial. Estos arboles crecen generalmente donde la profundidad delnivel freatico no es superior a los diez metros.

2.5. EL ENFOQUE HIDRAULICO EN MODELADO DE ACUIFEROS 29

Hablar de la relacion entre sistemas de flujo y acuıfero, significa establecer queson dos concepciones conceptuales que definen los mecanismos de flujo del aguasubterranea.

Una vez establecidas las bases de los sistemas de flujo, se analizara cuales sonlas relaciones entre ellos y los acuıferos. El punto de vista acuıfero se basa enel concepto de acuıferos confinado y libre. Esta vision se enfoca especialmenteal analisis de flujo hacia pozos de bombeo y es la base de muchas solucionesanalıticas. Desde este contexto, se supone que el flujo de agua subterranea esestrictamente horizontal en los acuıferos y vertical en capas semiconfinantes. Poresta razon la conductividad hidraulica se integra en la dimension vertical, con loque se obtiene una caracterıstica de transmision del agua denominada transmi-sividad.

Es oportuno notar que en el enfoque de los sistemas de flujo, las lıneas de flu-jo pasan a traves de todas las unidades geologicas, pues se considera que existecontinuidad hidraulica entre los acuıferos y las capas confinantes. Los sistemasde flujo no tratan de identificar acuıferos y capas confinantes por si mismas,sino construir la distribucion tridimensional de cargas hidraulicas, conductividadhidraulica y propiedades de almacenamiento en cada parte del sistema. Ademas,los sistemas de flujo permiten la presencia de componentes verticales y horizon-tales de flujo que atraviesan todo el sistema y por consiguientes permiten tratarel sistema real en perfiles bidimensionales y tridimensionales. Desde este punto devista, un acuıfero puede contener uno o varios sistemas de flujo, o un sistema deflujo puede atravesar varios acuıferos en su recorrido desde las zonas de recargahasta las de descarga.

2.5. El enfoque hidraulico en modelado de acuıferos

Para terminar este capıtulo, mencionaremos las suposiciones basicas que sehacen el en campo de la Geohidrologıa en cuanto al modelado de los acuıferos.

El enfoque hidraulico consiste en suponer que es posible hacer una buena des-cripcion del flujo en un acuıfero, si consideramos que el flujo es esencialmentehorizontal. Argumentemos esta suposicion.

El flujo en un acuıfero es tridimensional, es decir, si ~q es el vector de flujo,entonces lo podemos describir mediante las tres coordenadas ~q = (q1, q2, q3).De manera analoga tenemos que la carga hidraulica depende de la posicion enel espacio. Sin embargo, los acuıferos son regiones con extensiones horizontalesgrandes comparadas con sus extensiones verticales, generalmente a razon de 10


GEOHIDROLOGIA

metros a 100 kilometros. Luego, es viable hablar del concepto de flujo esencial-mente horizontal, el cual consiste en despreciar la tercera componente del flujo~q. El enfoque hidraulico es ampliamente utilizado para hacer simplificaciones almodelo tridimensional, sin perder la esencia del modelo inicial.

Entre las consideraciones practicas, cuando tenemos pozos de extraccion, el flujopuede ser considerado de nuevo como esencialmente vertical. Se tiene como unaregla empırica que se puede hacer la suposicion original fuera de vecindades delpozo de radio de 1.5 a 2.0 veces el ancho del este. Para un acuıfero filtrante,se tiene la regla (tambien empırica), de que el flujo es esencialmente horizontalcuando el coeficiente de conductividad hidraulica del acuıfero, sea mucho mayorrespecto al coeficiente de conductividad de la formacion semipermeable, de talmanera que los efectos de filtracion no modifiquen el flujo esencialmente horizon-tal o se puedan considerar despreciables.

Para resumir esta discusion, diremos que el enfoque hidraulico consiste en quelas ecuaciones de flujo se obtienen promediando las ecuaciones tridimensionalesa lo largo del acuıfero, usando la suposicion de superficies equipotenciales. En laseccion 3.4 se hablara mas a fondo del tema, ya que este enfoque esta ıntima-mente relacionado con la hipotesis de Dupuit. La cual se expone en el siguientecapıtulo junto con el proceso para obtener el modelo matematico del acuıfero noconfinado.

Capıtulo 3

Modelado Matematico

El agua subterranea, como todo fenomeno, se rige bajo leyes fısicas que go-biernan su comportamiento; por tanto, es posible que estos procesos se describanmatematicamente, comunmente a traves de ecuaciones diferenciales. En este caso,la ecuacion de flujo que gobierna el movimiento del agua subterranea se obtieneacoplando la ley de Darcy y la ley de la conservacion de la masa. En este capıtulodiscutiremos, como obtener la ecuacion que gobierna el comportamiento de unacuıfero freatico.

3.1. Mecanica de fluidos

En esta seccion se explica el enfoque de la mecanica continua aplicada a flujos,una referencia clasica es Lin C. y Segel L. [12]. La Mecanica del Medio Continuose basa en leyes de conservacion, tales como la ley de conservacion de masa, mo-mentum lineal y angular. Su principal fundamento es que algunas propiedades delos materiales pueden ser consideradas como promedios en ciertas regiones.

La mecanica de fluidos es la rama de la mecanica de medios continuos (que asu vez es una rama de la fısica) que estudia el movimiento de los fluidos (gases ylıquidos). La caracterıstica fundamental que define a los fluidos es su incapacidadpara resistir esfuerzos cortantes. Tambien estudia las interacciones entre el fluidoy el contorno que lo limita. La hipotesis fundamental en la que se basa toda lamecanica de fluidos es la hipotesis del medio continuo.

3.1.1. Hipotesis del medio continuo

La hipotesis del medio continuo es la hipotesis fundamental de la mecanica defluidos y en general de toda la mecanica de medios continuos. En esta hipotesis

31

32 CAPITULO 3. MODELADO MATEMATICO

se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorandopor tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Conesta hipotesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, tem-peratura, etc.) son funciones continuas.

La forma de distinguir cuando la hipotesis de continuidad es valida consiste encomparar el camino libre medio de las moleculas con la longitud caracterıstica delsistema fısico. Al cociente entre estas longitudes se le denomina numero de Knud-sen. Cuando este numero adimensional es mucho menor a la unidad, el materialen cuestion puede considerarse un fluido (medio continuo). En el caso contrariolos efectos debidos a la naturaleza molecular de la materia no pueden ser despre-ciados y debe utilizarse la mecanica estadıstica para predecir el comportamientode la materia.

3.2. Ley de Darcy

En esta seccion se explica la ecuacion principal que modela el flujo en unacuıfero no confinado y se hacen observaciones sobre su validez.

En 1856, en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero hidraulico Henry Darcy fueencargado del estudio de la red de abastecimiento a la ciudad. Parece que tam-bien debıa disenar filtros de arena para purificar el agua, ası que se intereso porlos factores que influıan en el flujo del agua a traves de los materiales arenosos,y presento el resultado de sus trabajos como un apendice a su informe de la redde distribucion. Ese pequeno apendice fue la base de todos los estudios fısico-matematicos posteriores sobre el flujo del agua subterranea. En la figura 3.1 semuestra un esquema del experimento de Darcy.

El cual consiste en un aparato experimental: un cilindro circular de secciontransversal A se llena completamente de arena, tapado en cada extremo, y equipa-do con tubos para flujo de entrada y salida y un par de manometros. El agua seintroduce en el cilindro y se permite que fluya a traves de este hasta el momentoen que todos los poros estan llenos de agua y la tasa de entrada de flujo Q es iguala la tasa de salida (volumen de agua que fluye por unidad de tiempo). Si estable-cemos un dato arbitrario en la elevacion z = 0, las elevaciones de los manometrosson z1 y z2, respectivamente; y las elevaciones de los niveles del fluido son h1 yh2. Sea L la distancia entre los manometros. Definimos q, la descarga especıficaa traves del cilindro como,

q =Q

A, (3.1)

la cual tiene dimensiones de velocidad (L/t), ya que las dimensiones de Q sonL3/t y las de A son L2.

3.2. LEY DE DARCY 33

Figura 3.1: Esquema del experimento que realizo Darcy en 1856.

Los experimentos llevados a cabo por Darcy mostraron que q es directamenteproporcional a h1 − h2 cuando L se mantiene constante y a A, e inversamenteproporcional a L cuando h1 − h2 se mantiene constante. Entonces, la ecuacionpara esta ley es la siguiente:

Q = −KAh2 − h1

L, (3.2)

donde K es la conductividad hidraulica.1 Combinando las ecuaciones (3.1) y (3.2),podemos escribir la ley de Darcy en su forma equivalente

q = −K∆h

L; ∆h = h2 − h1, (3.3)

o en su forma diferencialq = −K

dh

dl.(3.4)

En la ecuacion anterior, h es el nivel hidraulico y dh/dl es el gradiente hidraulico.Este resultado se resume en la siguiente ley:

“El volumen de agua que fluye por unidad de tiempo es propor-cional al area y a la diferencia de alturas (entrada y salida) e inver-samente proporcional a la longitud. ”

O

“La velocidad del flujo es proporcional al gradiente hidraulico.”

Cabe mencionar que la Ley de Darcy es analoga a la ley de Ohm de electricidad,la Ley de Fourier de conduccion de calor y la Ley de Fick de difusion molecular.

1Ver seccion 2.2. A K tambien se le conoce como el coeficiente de permeabilidad.


3.2.1. Extension de la Ley de Darcy

Ahora queremos generalizar el potencial como una funcion de las tres coor-denadas espaciales, esto es h(x, y, z), y generalizar dh/dl la tasa de cambio delnivel con la posicion, a tres dimensiones.

Para un flujo tridimensional, en un medio que puede ser heterogeneo2 y anisotropi-co3,4 es necesario generalizar la forma unidimensional de la Ley de Darcy, ver(3.3). En tres dimensiones la descarga especıfica (o velocidad, por sus unidades)q se puede pensar como un vector con las componentes qx, qy y qz. Ası, la gene-ralizacion mas simple serıa

qx = −Kx∂h

∂x, qy = −Ky

∂h

∂y, qz = −Kz

∂h

∂z; (3.5)

donde Kx, Ky y Kz son los valores de la conductividad hidraulica en las di-recciones x, y y z respectivamente. Puesto que h ahora es una funcion en tresdimensiones, las derivadas deben ser parciales.

Para fines practicos de esta tesis, esta simple generalizacion sera consideradacomo la adecuada para describir el flujo tridimensional. Sin embargo, notemosque un conjunto de ecuaciones mas generalizado, puede ser escrito de la siguienteforma:

qx = −Kxx∂h

∂x−Kxy

∂h

∂y−Kxz

∂h

∂z,

qy = −Kyx∂h

∂x−Kyy

∂h

∂y−Kyz

∂h

∂z, (3.6)

qz = −Kzx∂h

∂x−Kzy

∂h

∂y−Kzz

∂h

∂z.

El sistema de ecuaciones (3.6) expone el hecho de que existen nueve compo-nentes de la conductividad hidraulica en su caso mas general. Si estas com-ponentes son puestas en forma matricial, forman un tensor simetrico de rangotres conocido como el tensor de conductividad hidraulica. Para el caso especialKxy = Kxz = Kyx = Kyz = Kzx = Kzy = 0, las nueve componentes se reducen atres y las ecuaciones de (3.5) son una generalizacion adecuada de la Ley de Darcy.

La condicion necesaria y suficiente que permite usar la generalizacion de (3.5)en lugar de la ecuacion (3.6) es que las direcciones principales de anisotropıa

2Los valores de la conductividad hidraulica dependen de la posicion en el espacio dentro de

una formacion geologica.3Propiedad general de la materia, segun la cual determinadas propiedades fısicas varıan

segun la direccion en que son examinadas.4Para este caso particular, anisotropıa significa que la conductividad hidraulica puede variar

con la direccion de las mediciones en cualquier punto dado en una formacion geologica.

3.2. LEY DE DARCY 35

Figura 3.2: Rango de validez de la Ley de Darcy.

coinciden con los ejes coordenados x, y, z. En la mayorıa de los casos es posibleescoger un sistema coordenado que satisface este requerimiento, pero uno puedeconcebir sistemas anisotropicos heterogeneos en los cuales las direcciones princi-pales de anisotropıa varian de una formacion a otra, y en tales sistemas la eleccionde ejes adecuados serıa imposible.

3.2.2. Rango de validez de la Ley de Darcy

Para darnos una idea del rango de validez de esta ley, es necesario analizarel comportamiento que se presenta en la figura 3.2. Se define el numero deReynolds como el numero que caracteriza el movimiento de un fluido. Su ex-presion matematica esta dada por

Re =vsD

ν, (3.7)

donde D es la longitud representativa de la matriz porosa (generalmente se tomacomo la longitud representativa de los granos), ν es la viscosidad cinematica delfluido (ν = µ/ρ) y vs es la velocidad caracterıstica del fluido. Algunas manerasen que se sugiere calcular el diametro representativo son:

Sea D10 el diametro tal que el 10% (en peso) de los granos son menores asu diametro.

Collins 1961, sugiere que D =√

kn .

Ward 1964, sugiere que D =√

k.


La evidencia experimental senala que la Ley de Darcy es valida entre numerosde Reynolds entre 0 < Re ≤ 10, donde las fuerzas predominantes son las viscosas.

El flujo subterraneo ocurre a un numero de Reynolds menor a 10, con regimenlaminar. Teoricamente la Ley de Darcy no tiene un lımite inferior de validez,siempre que exista un gradiente pequeno para iniciar el flujo.

3.3. Potencial de Hubbert

Hubbert (1940) clarifico el concepto de potencial en el flujo de aguas sub-terraneas y su relacion con los niveles de Darcy obteniendolo de principios fısicosbasicos. El define potencial como “una cantidad fısica, cuantificable en cada pun-to de un sistema de flujo, cuyas propiedades son tales que el flujo siempre ocurrede regiones en las cuales la cantidad tiene valores mas altos a aquellas en lascuales tienen valores menores sin importar la direccion en el espacio. ”

Dos posibilidades para la cantidad potencial son la elevacion y la presion delfluido. Si el equipo del experimento de Darcy (ver figura 3.1) fuera de tal formaque el cilindro estuviera vertical, el flujo ciertamente descenderıa a traves delcilindro (de elevaciones altas a bajas) en respuesta a la gravedad. Por otro lado,si el cilindro estuviera puesto en una posicion horizontal de tal manera que lagravedad no influyera, el flujo podrıa presumiblemente ser inducido por un incre-mento en la presion en un extremo y decrecer en el otro. Individualmente, ni laelevacion ni la presion son potenciales adecuados, pero ciertamente se tiene razonal esperar que sean componentes de la cantidad potencial total.

Daremos ahora la definicion clasica de potencial, la cual es comunmente dadaen terminos del trabajo realizado durante el proceso del fluido; y el trabajo rea-lizado al mover una unidad de masa del fluido entre cualesquiera dos puntos enun sistema de flujo. Es considerado una medida de la perdida de energıa de launidad de masa.

Consideremos un estado inicial arbitrario (ver figura 3.3) con elevacion z = 0y presion inicial p = p0, donde p0 es atmosferico. Una unidad de masa del flui-do de densidad p0 ocupara un volumen V0 = 1/ρ0. Deseamos calcular el trabajorequerido para levantar la unidad de masa del fluido del estado inicial a algunpunto P en el sistema de flujo en el cual esta a elevacion z y donde la presion delfluido es p. Aquı, una unidad de masa del fluido puede tener densidad ρ y ocuparun volumen V = 1/ρ. Ademas, supondremos que el fluido tiene una velocidadv = v0 = 0 en el estado inicial y velocidad v en el punto P.

3.3. POTENCIAL DE HUBBERT 37

Figura 3.3: Datos para calculo del potencial del fluido para un flujo a traves deun medio poroso.

Hay tres componentes para el calculo que deseamos:

1. El trabajo requerido para levantar la masa desde la elevacion z = 0 a laelevacion z, el cual denotaremos como

w1 = mgz. (3.8)

2. El trabajo requerido para acelerar el fluido desde la velocidad v = v0 = 0 ala velocidad v, el cual denotaremos como

w2 =mv2

2. (3.9)

3. El trabajo realizado al elevar la presion del fluido desde p = p0 a p, el cualdenotaremos como

w3 =∫ p

p0

V

mdp = m

∫ p

p0

dp

ρ. (3.10)

Si el flujo fluye desde el punto P al punto en el estado inicial, la ecuacion (3.8)representa la perdida en energıa potencial, la ecuacion (3.9) es la perdida en laenergıa cinetica y la ecuacion (3.10) representa la perdida en la energıa elastica.

El potencial del fluido Φ, es decir la energıa mecanica por unidad de masa, esta da-do por

∑3i=1 wi. Para una unidad de masa del fluido, m = 1 en las ecuaciones de

(3.8) a (3.10), tenemos que

Φ = gz +v2

2+

∫ p

p0

dp

ρ. (3.11)

Para flujos en medios porosos, las velocidades son extremadamente lentas, ası que


Figura 3.4: Manometro de laboratorio.

el segundo termino puede, casi siempre, ser despreciado. Para flujos incompresi-bles5 la ecuacion (3.11) puede ser simplificada de la forma

Φ = gz +p− p0

ρ. (3.12)

Como habıamos mencionado, el potencial del fluido involucra la elevacion z y lapresion del fluido p. Ahora nos preguntamos ¿como se relacionan estos terminoscon el nivel hidraulico h?. Regresamos al manometro de Darcy (ver figura 3.4).En P, la presion del fluido p esta dada por

p = ρgψ + p0, (3.13)

donde ψ es la altura de la columna del lıquido arriba de P y p0 es la presionatmosferica o presion en el estado inicial. Es claro de la figura 3.4 y la ecuacion(3.13) que

p = ρg(h− z) + p0. (3.14)

Sustituyendo la ecuacion anterior en el segundo miembro de la ecuacion (3.12)obtenemos

Φ = gz +[ρg(h− z) + p0]− p0

ρ= gh. (3.15)

Por tanto,

5Fluidos con densidad constante, tal que la densidad no es una funcion de la presion

3.4. HIPOTESIS DE DUPUIT 39

la ecuacion (3.15) indica que el potencial del fluido Φ en cualquierpunto P de un medio poroso es simplemente el nivel hidraulico en elpunto multiplicado por la aceleracion debida de la gravedad.

Puesto que g es muy cercana a una constante en una vecindad de la superficiede la tierra, Φ y h estan perfectamente correlacionadas. Es comun en hidrologıade aguas subterraneas establecer la presion atmosferica p0 = 0 y trabajar conpresiones por arriba de las atmosfericas. En este caso las ecuaciones (3.12) y(3.15) se convierten en

Φ = gz +p

ρ= gh. (3.16)

Dividiendo entre g ambos miembros de la ecuacion anterior, se obtiene que

h = z +p

ρg.(3.17)

Bajo la consideracion de presiones atmosfericas altas, se sigue de la ecuacion(3.13) que p = ρgψ, ası la ecuacion (3.17) toma la forma

h = z + ψ. (3.18)

Es decir,

el nivel hidraulico h es la suma de dos componentes: la elevacion delpunto de medicion, o el nivel de elevacion z y el nivel de presion ψ.

Esta relacion fundamental en los niveles hidraulicos es basica paraentender el flujo en aguas subterraneas.

3.4. Hipotesis de Dupuit

Antes de explicar la hipotesis de Dupuit vamos a hacer algunas precisiones.En la franja capilar, con una altura hc, por encima de la superficie freatica, la pre-sion es negativa. Ademas la zona no se encuentra totalmente saturada, recordemosque se considera saturada una zona si la humedad es mayor al 75%. En el casode acuıferos libres, debido a que generalmente la altura de la franja capilar espequena en comparacion al grosor del acuıfero, esta franja se desprecia tomandocomo lımite superior del acuıfero su manto freatico.

La suposicion de Dupuit surge del problema que se tiene porque la superfi-cie freatica nunca es completamente horizontal, ver figura 3.5. Entonces, h setendrıa que calcular resolviendo una ecuacion diferencial parcial, en la que ten-drıamos que especificar una condicion de frontera libre no lineal. La suposicionesta basada en:

1. Las pendientes o inclinaciones de h son muy pequenas, del orden de 1/100a 1/1000.


Figura 3.5: Esquema para la suposicion de Dupuit.

2. Para un fluido estacionario en el plano x, z la superficie freatica es unalınea suave.

De la Ley de Darcy, se tiene que para cualquier punto en esta lınea, la descargaespecıfica esta en la direccion tangente a dicha lınea, es decir

qs = −Kdh

dl= −K

dz

dl= −K sin θ, (3.19)

dado que en la superficie freatica p = 0 y por lo tanto h = z. La suposicion deDupuit (1863) es la de reemplazar en la ecuacion anterior el sin θ por tan θ quees igual a dh/dx, pues θ es un angulo pequeno. Considerando el modelo bidimen-sional, h = h(x, y, t), entonces la hipotesis de Dupuit se expresa matematicamentecomo

qx = −K∂h

∂x; qy = −K

∂h

∂y. (3.20)

El que el angulo θ sea pequeno equivale a decir que las superficies equipotencialesson verticales y que el flujo es esencialmente horizontal.6 Ahora, como qs nodepende de z, entonces la descarga total a traves de una superficie vertical deancho W que sea normal a la direccion del flujo estara dada por

Qx = −KWh∂h

∂x, Qy = −KWh

∂h

∂y, (3.21)

para h(x, y). Si dividimos las expresiones anteriores por el ancho W del acuıferoobtenemos

QT =Q

W= −Kh∇T h = −K∇T (h2/2). (3.22)

Aquı QT y ∇T se refiere a los operadores transpuestos. De las ecuaciones (3.21)y (3.22) el fondo del acuıfero es horizontal. Debemos enfatizar que la Hipotesisde Dupuit se considera como una buena aproximacion en las regiones donde θ

es pequeno y/o el flujo es esencialmente horizontal. Ver Bear en pagina 414, [2],para mas informacion.

6Para mas informacion, puede referirse a la seccion 2.5.

3.5. COMPRESIBILIDAD Y ESFUERZO EFECTIVO 41

3.5. Compresibilidad y esfuerzo efectivo

El analisis de flujo de aguas subterraneas en condiciones transitorias requierela introduccion del concepto de compresibilidad, una propiedad del material quedescribe el cambio en el volumen, inducido en un material bajo un esfuerzo apli-cado.

3.5.1. Flujo insaturado

Los conceptos explicados hasta este punto han sido desarrollados con respectoa medios porosos saturados, esto es, aquellos en los cuales todos los espaciosvacıos son llenados con agua. Es claro que algunos suelos, especialmente aquelloscercanos a la superficie de la tierra, son raramente saturados (en particular, parael caso del acuıfero libre, esto se cumple). Sus espacios vacıos son usualmentesolo parcialmente llenados con agua, el resto del espacio poroso es ocupado poraire. El flujo de agua bajo tales condiciones es llamado insaturado o parcialmentesaturado.

3.5.2. Capacidad de humedad

Si el volumen unitario total, digamos Vt, de un suelo o roca se divide entreel volumen de la porcion solida o matriz solida Vs, el volumen del agua Vw y elvolumen del aire Va, entonces la capacidad de humedad volumetrica θ se definecomo

θ =Vw

Vt. (3.23)

Para un flujo saturado, θ = η y para un flujo insaturado θ < η. Donde η representala porosidad.

3.5.3. Compresibilidad del agua

El agua en el acuıfero es compresible. Aunque esta compresibilidad es pequena,esta juega un papel importante principalmente en acuıferos confinados. El es-fuerzo se aplica a un fluido a traves de la presion p de este. Un incremento enla presion deja un decremento en el volumen Vw de una masa de agua dada. Lacompresibilidad del agua β se define matematicamente como

β = − 1Vw

∂Vw

∂p= −1

ρ

∂ρ

∂p. (3.24)

Donde ρ es la densidad del fluido. El signo negativo es necesario si deseamos queβ sea un numero positivo.


3.5.4. Principio del esfuerzo efectivo (Terzaghi)

Consideraremos la compresibilidad de un medio poroso. Supongamos que unesfuerzo es aplicado a una unidad de masa de arena saturada. Existen tres me-canismos por los cuales se puede lograr una reduccion en el volumen:

(a) Por compresion de agua en los poros.

(b) Por compresion de los granos de arena individuales.

(c) Por un reacomodo de los granos de arena en una configuracion de empaque-tado mas cerrada.

El primero de estos mecanismos es controlado por la compresibilidad β dadaen (3.24). Supongamos que el segundo mecanismo es despreciable, esto es, quelos granos de suelo individuales son incompresibles. Nuestro objetivo es definirun termino de compresibilidad que refleje el tercer mecanismo. Para hacer estoutilizaremos el principio de esfuerzo efectivo, este concepto fue propuesto porTerzaghi en 1925.

Para nuestros propositos, consideremos el equilibrio del esfuerzo sobre un planoarbitrario a traves de una formacion geologica saturada en lo profundo. (Ver figu-ra 3.5.4). Sea σt el esfuerzo total que actua hacia abajo sobre el plano, el cualse debe al peso de la roca y el agua. Este esfuerzo es soportado en parte por elesqueleto granular del medio poroso y en parte por la presion del fluido p delagua en los poros. La porcion del esfuerzo total que no es soportada por el fluidoes llamada esfuerzo intragranular (o esfuerzo efectivo) σe. Este esfuerzo se aplicaa los granos de medio poroso. El reacomodo de los granos del suelo y la compre-sion resultante del esqueleto granular son causadas por los cambios en el esfuerzointergranular, no por cambios en el esfuerzo total. Las dos estan relacionadas porla ecuacion

σt = σe + p. (3.25)

O en terminos de los cambios

dσt = dσe + dp. (3.26)

El peso de la roca y agua en cada punto del sistema muchas veces permanececonstante a traves del tiempo. En tal caso, dσt = 0 y

dσe = −dp. (3.27)

Para casos donde el esfuerzo total no cambia con el tiempo, el esfuerzo intergranu-lar en cualquier punto del sistema, y las deformaciones volumetricas resultantesahı, son controladas por la presion del fluido en ese punto. Puesto que p = ρgψ

y ψ = h− z, siendo z una constante en el punto en cuestion (ver seccion 3.3); en

3.5. COMPRESIBILIDAD Y ESFUERZO EFECTIVO 43

Figura 3.6: Esfuerzo total, esfuerzo efectivo y presion del fluido sobre un planoarbitrario a traves de un medio poroso saturado.

cambios en el esfuerzo intergranular en un punto son gobernados por cambios enel nivel hidraulico en ese punto, i.e.

dσe = −ρgdψ = −ρgdh. (3.28)

3.5.5. Compresibilidad de un medio poroso

La matriz solida del acuıfero es elastica y no rıgida. Pero sujetandola a cam-bios en el esfuerzo intergranular, sucedera una deformacion. Esta deformacioninvolucra un movimiento del solido, o partıculas del solido y su reacomodo, talque la porosidad del medio poroso es cambiada. Suponemos que la elasticidad delsolido o las partıculas del solido son muy pequenas (con respecto a toda la matrizsolida), ası que el volumen permanece sin cambio. Como ya vimos en la seccion2.2, la compresibilidad de un medio poroso es definida como

α = − 1Vt× dVt

dσe, (3.29)

donde Vt es el volumen total de una masa de suelo, y dσe es el cambio en elesfuerzo intergranular.

Puesto que el volumen de solidos Vs en Vt permanecen constantes y dado queVt = Vs + Vw, tenemos que

Vs ≡ (1− η)Vt ≡ constante;dVs

dσe= 0;

1Vt

dVt

dσe=

11− η

dη

dσe; (3.30)

α = − 11− η

dη

dσe=

11− η

dη

dp.


Es decir, los cambios en la porosidad η que resultan de cambios en la presion delagua, estan relacionados con la compresibilidad.

3.6. Ecuacion de conservacion de masa

Como ya hemos visto en la seccion 3.2, la Ley de Darcy establece la ley delmovimiento del fluido. Ahora necesitamos establecer la condicion de la conser-vacion de la masa. Se presenta una deduccion intuitiva, suficiente para nuestrospropositos.

3.6.1. Masa y movimiento

La materia es todo lo que existe en el universo y se haya constituido porpartıculas elementales mismas que generalmente se encuentran agrupadas en ato-mos y moleculas de constante movimiento y colision. Sin embargo, como se men-ciono antes, en la teorıa del continuo establecida en la Mecanica de Fluidos, seignora la existencia de la estructura molecular y se considera una distribucioncontinua de materia es decir, los cuerpos llenan todo el espacio que ocupan.

Con base en lo anterior surgen dos niveles de apreciacion de los fenomenosfısicos, el nivel microscopico y el nivel macroscopico. Usaremos este ultimo yaque para nuestros fines y de acuerdo con la mecanica del medio continuo el nivelmacroscopico no toma en cuenta la estructura molecular.

Bajo la suposicion de que la materia es impenetrable y que puntos distintosde materia en un cuerpo nunca ocupan el mismo punto en el espacio, escribire-mos matematicamente este axioma de continuidad o hipotesis del continuo, queimplica la existencia de una correspondencia uno a uno entre puntos materialeso partıculas X, y los puntos x en el espacio que ocupan. Ası tenemos la siguienterelacion:

x = p(X, t) = (x1(X, t), x2(X, t), x3(X, t)). (3.31)

Obtenemos ası la posicion del punto material X en el tiempo t. Por el Teoremade la Funcion Inversa, existe una funcion que da las coordenadas materiales enterminos de las coordenada espaciales. Es decir,

p−1(x, t) = X. (3.32)

A la funcion p−1 se le conoce como el movimiento del cuerpo. Ademas p es di-ferenciable para todo tiempo, excepto tal vez para un cierto conjunto de puntossingulares. Estrictamente hablando, p es una funcion mientras que x denota unaposicion en el espacio.

3.6. ECUACION DE CONSERVACION DE MASA 45

Hay dos tipos de propiedades que presenta la materia: las propiedades intensivasy las propiedades extensivas.

Las propiedades intensivas son funciones definidas para cada tiempo encada una de las partıculas de un sistema continuo. Pueden ser funcionesescalares o funciones vectoriales. No dependen del volumen.

Las propiedades extensivas son funciones que a cada cuerpo β de un sistemacontinuo y a cada tiempo t le asocian un numero real o un vector en R3.Estas si dependen del volumen.

Las propiedades intensivas se pueden describir desde dos puntos de vista, el en-foque Lagrangiano y el enfoque Euleriano.

En el enfoque Lagrangiano se especifica que pasa con el punto material iden-tificado por sus coordenadas materiales X. Por otro lado, en la forma Eulerianase enfoca sobre que esta pasando en un punto especıfico x en el espacio por elcual se mueven los puntos materiales. Este segundo enfoque a menudo se usapara describir el movimiento de los cuerpos en los cuales las trayectorias de lospuntos materiales son difıciles de describir en la practica. El flujo de un fluidoes un ejemplo de movimiento complicado en los cuales el enfoque Euleriano esapropiado.

Consideremos la siguiente definicion:

Dada una propiedad extensiva, la propiedad intensiva que le corres-ponde es la funcion que aparece como integrando cuando la propiedadextensiva se expresa como una integral de volumen.

3.6.2. Ecuacion de balance global

Las ecuaciones basicas de la mecanica de fluidos se expresan a traves de lasleyes de balance de masa, momento y energıa. En esta tesis nos serviremos prin-cipalmente de la ecuacion de balance de masa, la cual se deriva del hecho de que:”la masa no se crea ni se destruye”.

La variacion de una cantidad fısica dentro de una region Ω, se puede expresar demanera general de acuerdo con la siguiente ecuacion de balance global:

∫

Ω(t)

(∂Ψ∂t

+∇ · (Ψv)−∇ · τ − g

)dV ol = 0, (3.33)

donde g es la cantidad que se genera o consume dentro del cuerpo en la unidad detiempo, τ es la cantidad que entra o sale por la frontera del cuerpo en la unidadde tiempo, v representa la velocidad y Ψ es la propiedad intensiva.


Que un sistema satisfaga la ecuacion de balance global es equivalente a que dichosistema cumpla con la siguiente ecuacion diferencial

∂Ψ∂t

+∇ · (vΨ) = ∇ · τ + g, ∀x ∈ Ω. (3.34)

Esta es la Ecuacion de Balance Local. Para utilizar esta ecuacion se debe elegir aΨ, τ y g, correctamente; donde Ψ = Ψ(x, t) es la propiedad intensiva. Para derivarel modelo en este tipo de fenomenos fısicos como el que se esta tratando se requierehacer un balance de masa, esto significa establecer la relacion que hay entre lamasa de agua que entra y la que esta saliendo en una cierta region. Haciendoestas dos consideraciones se abarca el hecho de que haya cualquier posible fuenteo sumidero que no son mas que entradas o salidas respectivamente. Ası, se tomaen cuenta toda entrada o salida para establecer el cambio, en este caso, del nivelde agua (o almacenamiento).

3.6.3. Balance de masa

En el nivel macroscopico es valido pensar que la densidad de un fluido esta de-finida en todo el espacio. Ası, podemos definir a la masa de la siguiente manera:

Definicion: La masa, tanto de un solido como de un fluido libre, es igual ala integral sobre el volumen del cuerpo de la densidad. Es decir

M(t) =∫

Ω(t)ρ(x, t) dx, (3.35)

donde M(t) es la masa del fluido que encierra el cuerpo Ω en el instante t. Poresto, la masa es una propiedad extensiva y su propiedad intensiva asociada es ladensidad ρ(x, t).

Definicion: En un medio poroso la masa del fluido contenido en los poros esta ex-presada en terminos de la densidad del fluido y la porosidad del medio. Y entoncesla expresamos de la siguiente manera:

M(t) =∫

β(t)η(x, t)ρ(x, t) dx, (3.36)

donde η es la porosidad. Entonces, en un medio poroso la propiedad extensiva M

tiene como propiedad intensiva al producto de la densidad por la porosidad.

Para encontrar la expresion que modela el flujo de un fluido en un medio poroso,comenzamos identificando la propiedad extensiva de interes que en este caso es lamasa del fluido M(t) con su correspondiente propiedad intensiva. De la ecuacion

3.7. ECUACION DE CONTINUIDAD 47

(3.36) tenemos que Ψ = η(x, t)ρ(x, t), si ademas suponemos que τ = 0 y g = 0de (3.34) se sigue que

∂(ηρ)∂t

+∇ · (vηρ) = 0; ∀x ∈ Ω(t). (3.37)

Como v es la velocidad de Darcy U = Q = ηv = −K∇h, se tiene que la ecuacionde balance de masa esta ahora establecida por:

∇ · (ρU) +∂(ηρ)

∂t= 0; ∀x ∈ Ω(t). (3.38)

3.7. Ecuacion de continuidad

El siguiente paso es introducir la ecuacion de movimiento (Ley de Darcy) enla ecuacion de continuidad.

3.7.1. Ec. de continuidad para un flujo estacionario

La ley de la conservacion de la masa para flujo en estado estacionario en unmedio poroso saturado requiere que el volumen de flujo (masa) de entrada seaigual al volumen de flujo (masa) de salida. La ecuacion de continuidad representaesta ley a forma matematica como:

∂ρUx

∂x+

∂ρUy

∂y+

∂ρUz

∂z= 0. (3.39)

Donde ρ es la densidad y U es la velocidad de Darcy en las direcciones x, y y z.

Mediante un analisis dimensional se observa que el termino ρ tiene dimensiones demasa que cruza un area unitaria transversal. Si el fluido es incompresible, es de-cir ρ(x, y, z) = constante, entonces este termino puede removerse de la ecuacion(3.39). En cualquier caso la ecuacion (3.39) se simplifica a

∂Ux

∂x+

∂Uy

∂y+

∂Uz

∂z= 0. (3.40)

A la ecuacion (3.40) se le conoce como la ecuacion de continuidad para el flujoestacionario.

3.7.2. Ec. de continuidad para un flujo transitorio

Otra de las hipotesis de los modelos de flujo es que la densidad y la porosi-dad son funciones de la presion. Desarrollando el primer sumando del miembroizquierdo de la ecuacion (3.38) y aplicando la regla de la cadena se sigue que

∂(ηρ)∂t

= ηdρ

dP

∂P

∂t+ ρ

dη

dP

∂P

∂t. (3.41)


Recordando los conceptos de coeficiente de compresibilidad para el agua y lamatriz solida7 para α = dη/dP y β = (1/ρ)(dρ/dP ) se obtiene

∂(ηρ)∂t

= ρηβ∂P

∂t+ ρα

∂P

∂t

= ρ

(ηβ

∂P

∂t+ α

∂P

∂t

)

= ρ(α + βη)∂P

∂t. (3.42)

En hidrologıa subterranea se define el almacenamiento especıfico como

Ss = ρg(α + βη), (3.43)

entonces, de la ecuacion (3.42) y (3.43) se sigue que

∂(ρη)∂t

= Ss1g

∂P

∂t. (3.44)

Se define el nivel piezometrico para el caso de los acuıferos como

∂P

∂t= ρg

∂h

∂t. (3.45)

Luego,∂(ρη)

∂t= Ssρ

∂h

∂t. (3.46)

Sustituyen en la ecuacion (3.38) obtenemos que

Ssρ∂h

∂t+∇ · (ρU) = 0. (3.47)

Desarrollando el segundo sumando del miembro izquierdo obtenemos que

∇ · (ρU) = U · ∇ρ + ρ · ∇U.

Ahora, sustituyendo el desarrollo previo y dividiendo ambos miembros de laecuacion entre ρ, se tiene que

Ss∂h

∂t+ U

∇ · ρρ

+∇ · U = 0. (3.48)

Sabiendo que ρ−1∇ρ = ∇Inρ resulta:

Ss∂h

∂t+ U∇Inρ +∇ · U = 0. (3.49)

El termino ∇|Inρ| ≈ 0 ya que |∇Inρ| ¿ 1, por lo tanto

−∇ · U = Ss∂h

∂t. (3.50)

La ecuacion (3.50) es conocida como la ecuacion de continuidad para el flujotransitorio.

7Ver seccion 3.5.

3.8. ECUACION PARA UN ACUIFERO FREATICO 49

3.8. Ecuacion para un acuıfero freatico

3.8.1. Ecuacion estado estacionario

Sustituyendo la ecuacion de Darcy en ∂Ux, ∂Uy y ∂Uz, para la cual apli-camos la hipotesis de Dupuit, se obtiene la siguiente ecuacion de flujo en estadoestacionario en un medio poroso saturado anisotropico:

∂

∂x

(Kxh

∂h

∂x

)+

∂

∂y

(Kyh

∂h

∂y

)= 0 (3.51)

Donde K es la conductividad hidraulica en las direcciones x, y. Y h es la car-ga hidraulica. Si el medio es isotropico, es decir Kx = Ky = K y homogeneo,entonces

∂

∂x

(Kh

∂h

∂x

)+

∂

∂y

(Kh

∂h

∂y

)= 0, (3.52)

La solucion de la ecuacion anterior es una funcion de h(x, y), que describe el valorde la carga hidraulica en cada uno de los puntos del campo de flujo tridimensional.Utilizando esta ecuacion para encontrar la carga hidraulica de un sistema deaguas subterraneas, lo que se obtiene es un mapa de equipotenciales, que si se leincorporan las lıneas de flujo, se obtendra una red de flujo del agua subterranea.

3.8.2. Ecuacion estado transitorio

De la ecuacion de continuidad (3.50) sustituimos la Ley de Darcy, para la cualaplicamos la hipotesis de Dupuit y obtenemos

∂

∂x

(Kh

∂h

∂x

)+

∂

∂y

(Kh

∂h

∂y

)= ηε

∂h

∂t, (3.53)

donde ηε ≡ Sy porque el almacenamiento debido al drenaje es mucho mayor alalmacenamiento elastico, i.e. Sy À S0h.

Ahora bien, esta serıa la ecuacion de un acuıfero no confinado, para un medioporoso no homogeneo, isotropico, con una conductividad K y una porosidad efec-tiva ηe. Sin embargo, para nuestro modelado se requiere un termino fuente f . Elcual representa la extraccion de pozos, o bien la alimentacion del acuıfero debidoa la recarga total promedio. Dicho termino, solo tenemos que sumarlo en el primermiembro de la ecuacion (3.53) puesto que se obtuvo con el balance de masa paraun acuıfero sin fuentes, la ecuacion se transforma en

∂

∂x

(Kh

∂h

∂x

)+

∂

∂y

(Kh

∂h

∂y

)+ f = ηe

∂h

∂t. (3.54)

Esta es la ecuacion basica para el flujo de agua en un acuıfero no confinado conbase impermeable horizontal, tambien llamada Ecuacion de Boussineq.

Capıtulo 4

Problema Directo

La solucion del Problema Directo en el area de hidrologıa es una poderosaherramienta que se usa para la administracion del importante recurso natural:el agua. En este capıtulo se presenta la aplicacion del metodo de Galerkin comosolucion del problema directo cuando tenemos datos de flujo estacionario y elmetodo Crank-Nicolson-Galerkin, cuando tenemos datos de flujo transitorio.

4.1. Preliminares

Daremos un breve repaso de los espacios de funciones con los cuales se va atrabajar. La teorıa de esta seccion se puede encontrar en el libro de Rudin [18].

Empezaremos introduciendo la notacion que utilizaremos. En cualquier discusionde funciones de n variables, el termino multi−ındice denota una n−tupla orde-nada

α = (α1, α2, . . . , αn) ,

de enteros no negativos αi. A cada multi−ındice α se le asocial el operador diferen-cial

Dα =(

∂

∂x1

)α1

· · ·(

∂

∂xn

)αn

.

Cuyo orden es|α| = α1 + ... + αn.

Luego, si |α| = 0, entonces Dαf = f.

Definicion 1. Una funcion f definida en Ω ⊂ Rn pertenece al conjunto C∞(Ω)si Dαf ∈ C(Ω), i.e. es continua dentro de Ω, para cada multi−ındice α.

Definicion 2. El soporte de una funcion f (en cualquier espacio topologico) esla cerradura del conjunto x|f(x) 6= 0.

51

52 CAPITULO 4. PROBLEMA DIRECTO

Definicion 3. Sea Ω ⊂ Rn. El espacio C∞0 (Ω) es el espacio de las funciones

infinitamente diferenciables con soporte compacto en Ω. Es decir,

C∞(Ω) =∞⋂

k=1

Ck(Ω),

yC∞

0 = v ∈ C∞ (Ω

) |sup v ⊂ Ω.Definicion 4. Un espacio Lp(Ω) es un espacio de funciones medibles de Lebesgueque toman valores reales o complejos, definidas sobre un conjunto abierto y conexoΩ ⊂ Rn. Donde p ∈ N, que son integrables bajo la norma

||v||p, Ω =∫

Ω|v|p < ∞; v ∈ Lp(Ω). (4.1)

Definicion 5. Sea Ω ⊂ Rn. Se dice que una funcion v ∈ L2(Ω) tiene m−esimaderivada generalizada en L2(Ω) si existe una funcion z ∈ L2(Ω) tal que

∫

Ωzw dΩ = (−1)|m|

∫

ΩvDmw dΩ, ∀w ∈ C∞

0 (Ω) . (4.2)

Entonces Dmv = z.

Definicion 6. Sea Ω ⊂ Rn. Los espacios Hk(Ω) se definen como

Hk (Ω) = v ∈ L2 (Ω) |Dmv ∈ L2 (Ω) , |m| ≤ k. (4.3)

Estos espacios se representan con la letra H, porque son espacios de Hilbert conel producto interior

〈v, w〉 =∫

ΩDmvDmw dΩ, v, w ∈ Hk(Ω). (4.4)

Con la norma inducida correspondiente.

Una propiedad importante de los espacios Hk(Ω) es que Ck(Ω) ⊂ HkΩ. Esto,debido a que las derivadas clasicas tambien son derivadas generalizadas. Cabemencionar que los espacios Hk(Ω) son una clase particular de los espacios deSobolev.

Definicion 7. Definamos el espacio H10 como

H10 = v ∈ H1 (Ω) |v(x) = 0, ∀x ∈ ∂Ω. (4.5)

Tambien se puede pensar en el espacio H10 como la cerradura del conjunto C∞

0 (Ω)en H1(Ω).

El espacio H10 es donde se plantea la formulacion debil de muchos problemas

del tipo que nos ocupa en esta tesis. De manera simple, podemos decir que H10

es el espacio de las funciones medibles cuya primera derivada generalizada escuadrado integrable y que se anula en la frontera.

4.2. CONCEPTOS BASICOS 53

4.2. Conceptos basicos

En las ramas de la ingenierıa y la fısica aparecen varios problemas de tipocontinuo que usualmente estan formulados en terminos de Ecuaciones Diferen-ciales Parciales (EDP) con condiciones de contorno impuestas sobre la funciondesconocida, [24]. El problema directo consiste en encontrar la funcion des-conocida. Es decir, si formulamos el problema de tal modo que sea resuelto enlos terminos mas generales, estamos buscamos una funcion u que satisface ciertoconjunto de ecuaciones diferenciales, digamos

A(u) = A1(u), A2(u), . . . T = 0 (4.6)

en un dominio Ω, junto con ciertas condiciones de contorno

B(u) = B1(u), B2(u), . . . T = 0 (4.7)

en la frontera del dominio, i.e. ∂Ω.

La funcion buscada podrıa ser una cantidad escalar o podrıa representar un vectorn−dimensional. Similarmente, la ecuacion diferencial podrıa ser una o un conjun-to de ecuaciones simultaneas. Razon por la cual hemos seleccionado la notacionmatricial anterior.

El problema directo en el modelado de acuıferos, ya sean confinados o no confi-nados, consiste en dar una solucion al problema predictivo; es decir, encontrarlos potenciales hidraulicos para un cierto perıodo de tiempo, dados los valores delos parametros del sistema.

4.3. Metodo de Elemento Finito

El Metodo de Elemento Finito (MEF) es un procedimiento de discretizaciongeneral de problemas continuos, [24].

Un problema del tipo que estamos analizando puede ser resuelto por distintosesquemas numericos, por ejemplo Metodos de Diferencias Finitas, Metodos deElemento Finito, etc. Cada esquema tiene sus ventajas y desventajas. Una venta-ja del MEF es la flexibilidad que ofrece en el mallado de superficies con geometrıasirregulares y complejas. La desventaja es que la formulacion variacional medianteelementos finitos puede ser complicada.

Los conceptos principales en el desarrollo del Metodo de Elementos Finitos son:


Aproximacion numerica. El proceso de Elemento Finito (EF), empieza conuna aproximacion, i.e. buscara la solucion de la forma aproximada

u ≈ u =n∑

i=1

viai, (4.8)

donde u es la solucion buscada, u es la solucion aproximada y vi son las fun-ciones de forma prescritas en terminos de las variables independientes (talescomo las coordenadas x, y, etc.) y todos o la mayorıa de los parametros ai

son desconocidos.

Funciones base o Funciones de forma. El concepto fundamental del MEFes la eleccion de las funciones base vi(x, y). Las funciones base son fun-ciones continuas con soporte compacto que restringidas a los elementoscoinciden con los polinomios. Al seleccionar estas funciones se escogen tam-bien una serie de nodos del dominio de tal forma que las funciones baseestan definidas como sigue

vj(xi, yi) =

1 si i = j,

0 si i 6= j.

Cuando las funciones se eligen de esta manera, los coeficientes indetermi-nados αi, i = 1, . . . , N de la ecuacion (4.8) son iguales a la funcion buscadau en los nodos. Se pueden utilizar polinomios lineales, cuadraticos, cubicos,etcetera; dependiendo de la forma de las fronteras o de la forma esperadade las funciones desconocidas.

Existen dos escuelas de pensamiento concernientes a la seleccion de lasfunciones base. Una es utilizar funciones de orden superior definidas sobreelementos cuadrados o rectangulares. Aun cuando puede ser alcanzado ungrado mayor de precision al usar esta aproximacion, hay poca flexibilidadal describir la geometrıa de la region. La otra opcion esta enfocada a usarsub regiones y funciones base de grado menor. Los elementos mas populareshan sido los triangulos y cuadrilateros lineales, para mas detalles ver [14],capıtulo 5.

Integracion numerica. Una vez que se han elegido las funciones base y se hacenlas manipulaciones algebraicas necesarias, se requieren metodos numericospara evaluar las integrales que aparecen en las matrices. Dichas matricesson bandadas, simetricas y definidas positivas.

Los metodos numericos mas populares en este caso son los de Cuadratu-ra Gaussiana. En esta tecnica un polinomio f(x) de grado 2n − 1 puedeser integrado de forma exacta. La experiencia ha demostrado que deben ser

4.4. FORMULACION DEBIL 55

obtenidas las soluciones exactas de las integrales que aparecen en el sistemade ecuaciones. Para mayores referencias puede consultar [14], seccion 3.4, obien [3] seccion 4.7.

4.4. Formulacion debil

La formulacion debil de un problema directo consiste en transformar el pro-blema original en uno equivalente bajo condiciones de suavidad adecuadas.

Como se menciono en la seccion 4.3, el proceso de Elemento Finito (EF), em-pieza con una aproximacion numerica. Es decir, buscara la solucion de la formaaproximada

u ≈ u =n∑

i=1

Niai = Na, (4.9)

donde Ni son las funciones de forma prescritas en terminos de las variables in-dependientes (tales como las coordenadas x, y, etc.) y todos o la mayorıa de losparametros ai son desconocidos.

Notemos que:

las funciones de forma son usualmente definidas localmente para elementoso subdominios y

las propiedades de los sistemas discretos son recuperadas si las ecuacionesque aproximan se formulan como ecuaciones integrales. [24]

Con este objetivo en mente, debemos buscar convertir la ecuacion para la cuallos parametros ai son desconocidos en su forma integral. Esta se expresa como

∫

ΩGj (u) dΩ +

∫

∂Ωgj (u) d∂Ω = 0, j = 1, . . . , n, (4.10)

en la cual Gj y gj son funciones u operadores integrables conocidos. De la ecuacionanterior se sigue que

∫

ΩGj dΩ +

∫

∂Ωgj d∂Ω =

m∑

e=1

(∫

Ωe

Gj dΩ +∫

∂Ωe

gj d∂Ω)

, (4.11)

donde Ωe es el dominio de cada elemento y ∂Ωe es parte de la frontera. Se puedenutilizar dos procedimientos distintos para obtener la aproximacion de tal formaintegral. El primero es el metodo de los residuos pesados, el segundo es la deter-minacion de funcionales variacionales para los cuales se busca la estacionariedad,[24]. En el desarrollo de esta tesis se utilizara el primer enfoque.


4.4.1. Equivalencia entre la ED y su forma debil

Ya que el conjunto de ecuaciones diferenciales (4.6) debe ser cero en cadapunto del dominio Ω, se sigue que

∫

ΩvT A(u) dΩ ≡

∫

Ω[v1A1(u) + v2A2(u) + . . . ] dΩ ≡ 0. (4.12)

Dondev = v1, v2, . . . T ; vi ∈ H1

0 (Ω), i = 1, 2, . . . , (4.13)

es un conjunto de tantas funciones arbitrarias como ecuaciones (o componentes)de u se tengan involucradas.

Se puede asegurar que si (4.12) se satisface para toda v, entonces las ecuacionesdiferenciales (4.6) deben satisfacerse en todos los puntos del dominio. La pruebade la validez de esta declaracion es obvia si consideramos la posibilidad de queA(u) 6= 0 en cualquier punto o parte del dominio. Se puede encontrar, inmediata-mente, una funcion v que hace que la integral (4.12) sea no cero, y por lo tantose prueba el punto, ver [24].

Si las condiciones de contorno (4.7) se satisfacen simultaneamente, entonces seasegura que se debe a la eleccion de una funcion u adecuada o se requiere que

∫

∂ΩvT B(u) d∂Ω ≡

∫

∂Ω[v1B1(u) + v2B2(u) + · · · ] d∂Ω = 0, (4.14)

para algun conjunto de funciones vi|vi ∈ H10. De (4.12) y (4.14) se sigue que

∫

ΩvT A(u) dΩ +

∫

∂ΩvT B(u) d∂Ω = 0, (4.15)

se satisface ∀ v, v ∈ H10 . Notemos que la formulacion anterior es mas permisiva

que la original propuesta en (4.6), (4.7) y se conoce como la formulacion debilde estas ecuaciones. Es mas sorpresivo aun que esta formulacion es mas realistafısicamente que la original, formulada en ecuaciones diferenciales parciales, la cualimplica una excesiva suavidad de la verdadera solucion. (Para ver mas detalles,consultar [24] capıtulo 9).

4.4.2. Formulacion debil para la ec. del acuıfero freatico

Consideremos la ecuacion que modela el flujo de un acuıfero freatico isotropicoque satisface la hipotesis de Dupuit y para el cual se satisface la Ley de Darcyen un espacio bidimensional. Entonces, el flujo esta modelado por la ecuacion deBoussineq dada por

∂

∂x

(K(h− γ)

∂h

∂x

)+

∂

∂y

(K(h− γ)

∂h

∂y

)= ηε

∂h

∂t− f ;

4.4. FORMULACION DEBIL 57

donde h(x, y, t) es la elevacion de la superficie libre del acuıfero (altura piezometri-ca o potencial hidraulico), γ(x, y) es la elevacion del piso del acuıfero, f(x, y, t) esel termino fuente que representa al fluido en sentido vertical, positivo si se muevehacia abajo. Los parametros del modelo son la conductividad hidraulica, K(x, y),y la porosidad efectiva, ηε(x, y).

Por simplicidad, consideraremos que γ coincide con el dato γ(x, y) = 0, y rescri-biendo la ecuacion de Boussineq, el modelo para el acuıfero freatico se expresacomo sigue

∇ · (Kh∇h) = ηε∂h

∂t− f. (4.16)

h(x, y, 0) = h0(x, y), (x, y) ∈ Ω, (4.17)

h(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ]. (4.18)

Observacion:Por ahora consideraremos condiciones de contorno homogeneas, en el apartado4.5.2 se explica como trabajar con condiciones de contorno no homogeneas.

La formulacion debil para el modelo del acuıfero freatico dado por (4.16)-(4.18)se obtiene mediante procedimiento descrito a continuacion:

1. Multiplicando las ecuaciones (4.16), (4.17) y (4.18) por una funcion arbi-traria v ∈ H1

0 (Ω) obtenemos un problema equivalente al original, dado por

〈∇ · (Kh∇h) , v〉+ 〈f, v〉 =⟨

ηε∂h

∂t, v

⟩, (4.19)

〈h(x, y, 0), v〉 = 〈h0, v〉 , (x, y) ∈ Ω, (4.20)

〈h(x, y, t), v〉 = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ]. (4.21)

Se utiliza la notacion de producto interior 〈·, ·〉 para representar la inte-gracion de dos funciones

〈w, z〉 =∫

Ωw · z dΩ. (4.22)

2. Integrando por partes el primer sumando del miembro izquierdo de laecuacion (4.19) obtenemos∫ ∫

Ωv∇ · (Kh∇h) dΩ =

∫ ∫

Ω∇ · (vKh∇h) dΩ−

∫ ∫

ΩKh∇h · ∇v dΩ.

(4.23)Se utilizo la conocida identidad

v∇ · h = ∇ · (vh)− h · ∇v, (4.24)

donde v es una funcion escalar y h es una funcion vectorial.


3. Aplicando el Teorema de la Divergencia a la ecuacion (4.23) se tiene que∫ ∫

Ω∇ · (vKh∇h) dΩ =

∫

∂ΩvKh∇h d∂Ω = 0, (4.25)

pues v ∈ H10 (Ω), i.e. v ≡ 0 en ∂Ω.

4. Sustituyendo (4.23) y (4.25) en (4.19) se sigue que la formulacion debil parael problema original definido por (4.16)−(4.18) esta dada por

⟨ηε

∂h

∂t, v

⟩+

∫

ΩKh∇h · ∇v dΩ = 〈f, v〉 , (4.26)

sujeta a las condiciones iniciales y de frontera (4.20) y (4.21), respectiva-mente.

A esta formulacion se le conoce como formulacion debil porque podemos decirque es una solucion en el sentido mas debil. Es decir, la funcion h que se obtienepor este metodo no tiene la garantıa de ser continua y dos veces diferenciable. Porotro lado, se satisface una ecuacion integral, i.e., se puede pensar que la solucionde la formulacion satisface la ecuacion original como un promedio.

4.5. Metodos numericos para resolver un PD

En esta seccion se muestra la aplicabilidad del metodo de Galerkin como unaalternativa numerica para solucionar problemas directos cuando la condicion delos datos sea de flujo estacionario. Ası como la aplicabilidad de la aproximacionnumerica de Crank-Nicolson-Galerkin cuando la condicion de los datos sea deflujo transitorio.

4.5.1. Metodo de Galerkin

En geometrıas regulares los Metodos de Diferencias Finitas (MDF) han sidomas utilizados que los Metodos de Elementos Finitos (MEF) para generar solu-ciones aproximadas a problemas directos de ecuaciones diferenciales parciales.Aunque la aproximacion basada en EF es frecuentemente mucho mas flexible quelos metodos de DF, su formulacion variacional es mas difıcil, [17]. Otra ventaja delos metodos tipo Galerkin es la forma en la cual se presentan los resultados, puespermite que la integracion y las derivadas de los resultados se calculen utilizandouna formula cerrada. Ver [8].

Los metodos tipo Galerkin han sido utilizados extensivamente desde la deca-da de los 50’s, por ejemplo en la industria del petroleo. Matematicamente, estemetodo consiste en encontrar una aproximacion a la formulacion debil expuestaen (4.26) sujeta a las condiciones iniciales y de frontera (4.20) y (4.21) para todo

4.5. METODOS NUMERICOS PARA RESOLVER UN PD 59

tiempo, en un espacio finito dimensional de funciones, requiriendo que las fun-ciones h, v ∈ H1

0 (Ω) para cada tiempo y Ω ⊂ R2 sea un dominio acotado, [8]. Elproceso termina en resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias nolineales para cada paso de tiempo. El metodo de Galerkin ofrece un camino alter-nativo para formular un problema utilizando metodos basados en EF sin utilizarprincipios variacionales, [17]. En esta tesis consideraremos soluciones generadasutilizando este esquema numerico para el caso en que la condicion de los datossea de flujo estacionario.

La discusion que se expone a continuacion esta inspirada en el artıculo de Pinder& Frind [17], sobre el metodo que se sigue para obtener la aproximacion a lasolucion del problema directo en su forma mas general.

Para situaciones de flujo estacionario, la ecuacion de Boussineq se simplifica,pues ∂g

∂t = 0. Luego, dicha ecuacion se expresa como

∂

∂x

(Kg

∂g

∂x

)+

∂

∂y

(Kg

∂g

∂y

)= −f, (4.27)

g(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω. (4.28)

Donde g(x, y) es la elevacion de la superficie libre del acuıfero (altura piezometri-ca o potencial hidraulico), f(x, y) es el termino fuente que representa al fluido ensentido vertical, positivo si se mueve hacia abajo. Notemos que el unico parametrodel modelo es la conductividad hidraulica, K(x, y).

Realizando unas sencillas manipulaciones algebraicas, la ecuacion anterior sepuede linealizar en terminos de g2. Es decir, si tomamos h = g2, entonces laecuacion (4.27) es equivalente a

∇ · (K∇h) = −2f. (4.29)

Sujeta a las condiciones de frontera

h(x, y) = g2(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω. (4.30)

Siguiendo un proceso analogo al descrito en la seccion 4.4 se obtiene la formulaciondebil para las ecuaciones (4.29) y (4.30), dada por

∫

ΩK∇v∇h dΩ = 2 〈f, v〉 , (4.31)

〈h(x, y), v〉 = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, v ∈ H10 (Ω). (4.32)

Para aproximar la solucion, se requiere que las funciones h y v esten en un sub-espacio finito dimensional de H1

0 (Ω). Sea vi ∈ H10 , i = 1 . . . , n. Supongamos que

el conjunto vi| i = 1, 2, . . . , n es linealmente independiente y que tales funcionessatisfacen la condicion de frontera impuesta en (4.28).


Definicion 8. Se define M =< v1, v2, . . . , vn >, i.e. es el subespacio generadopor el conjunto vi| i = 1, 2, . . . , n.

Notemos que M ⊂ H10 . El metodo de Galerkin supone una aproximacion de la

solucion de la forma

h(x, y) ≈ H(x, y) =n∑

i=1

αivi(x, y), (4.33)

donde vi(x, y), i = 1, . . . , n; es el sistema base del subespacio M. Las funcionesαi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n; son coeficientes indeterminados.

De la ecuacion (4.31) se sigue que

∫

ΩK∇v∇h dΩ =

m∑

e=1

∫

Ωe

K∇v∇h dΩe = 2 < f, v >, (4.34)

donde Ωe es el dominio de cada elemento. Ahora, si la aproximacion dada en(4.33) satisface por elemento que

∫

Ωe

K∇V ∇H dΩe = 2 〈f, V 〉 , ∀V ∈M, (4.35)

〈H, V 〉 = 0, ∀V ∈M. (4.36)

Entonces, sustituyendo H de (4.33) en (4.35) tenemos

∫

Ωe

K∇V ∇(

n∑

i=1

αivi

)dΩe = 2 〈f, V 〉 , V ∈M. (4.37)

Lo cual se debe satisfacer para cada V ∈ M, esta condicion es equivalente a quese satisfaga para cada elemento de la base. Es decir,

∫

Ωe

K∇vk∇(

n∑

i=1

αivi

)dΩe = 2 〈f, vk〉 , vk ∈M, k = 1, . . . , N. (4.38)

Escribiendo la ecuacion (4.38) en su forma matricial se obtiene el siguiente sistemade ecuaciones lineales (por elemento)

Ae~α = ~b, ∀ vk ∈M. (4.39)


Sujeto a las condiciones de frontera (4.30). Donde

Aei,k =

∫

Ωe

BT DB dΩe, (4.40)

~b = 2∫

Ωe

NT f dΩe (4.41)

~α = (α1, α2, . . . , αn)T , (4.42)

B =

(∂v1∂x · · · ∂vn

∂x∂v1∂y · · · ∂vn

∂x

), (4.43)

D =

(K 00 K

), (4.44)

N = (v1, v2, . . . , vn). (4.45)

El sistema completo se obtiene al ensamblar todas las matrices elementales. Paramas detalles del proceso, consultar [14]. Cabe senalar que la matriz del sistemaglobal ensamblado, digamos A, es definida positiva y simetrica. Por tanto, de lateorıa de sistemas de ecuaciones lineales, existe una solucion y es unica.

Observaciones:

Las integrales numericas que aparecen en (4.40) y (4.41) se resuelven conel metodo de cuadratura gaussiana. Segun lo expuesto en la seccion 4.3.

En la practica, las funciones f y K son interpoladas dentro del dominioelemental, Ωe, utilizando MEF. Es decir, numericamente se consideran lassiguientes expresiones

f(x, y) =n∑

i=1

fivi, (4.46)

K(x, y) =n∑

i=1

kivi. (4.47)

Donde fi y ki son los valores de las funciones evaluadas en los nodos delelemento seleccionado.

4.5.2. Condiciones de frontera no homogeneas

En el metodo descrito en la seccion anterior, se supone que las condiciones decontorno tipo Dirichlet a las cuales se encuentra sujeta la EDP son homogeneas,ver (4.18). Para tratar condiciones de Dirichlet no homogeneas, se replantea elproblema con un cambio de variable. Es decir, si consideramos el problema de


valores en la frontera (4.16)-(4.18), pero en esta ocasion con condiciones no ho-mogeneas, tenemos:

〈∇ · (Kh∇h) , v〉+ 〈f, v〉 =⟨

ηε∂h

∂t, v

⟩, (4.48)

〈h(x, y, 0), v〉 = 〈h0, v〉 , (x, y) ∈ Ω, (4.49)

〈h(x, y, t), v〉 = 〈g, v〉 , (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ]. (4.50)

Donde g es una funcion continua de clase C2(Ω). Definamos ahora una funcionw de tal forma que en los extremos se anule, es decir

w(x, y, t) = h(x, y, t)− g(x, y, t) ⇒ h(x, y, t) = g(x, y, t) + w(x, y, t).

Notemos que w de la ecuacion anterior debera satisfacer el problema

〈∇ · (K (w + g)∇ (w + g)) , v〉+ 〈f, v〉 =⟨

ηε∂ (w + g)

∂t, v

⟩, (4.51)

〈w(x, y, 0), v〉 = 〈h0 − g, v〉 , (4.52)

〈w(x, y, t), v〉 = 0. (4.53)

Estamos suponiendo que w ∈M, ∀ t > 0; h, g,∇h, ∇g, ht y gt ∈ ÃL2(Ω× (0, T ]).Esta formulacion es valida si h y g son suaves. Simplificando la ecuacion (4.51)se sigue

∫

ΩK (w + g)∇w∇v + K (w + g)∇g∇v dΩ =

⟨ηt

∂w

∂t, v

⟩− 〈f, v〉 , (4.54)

para cada v ∈ M. Aprovechemos la expresion anterior para introducir notacionque nos sera de utilidad en la siguiente seccion:

Notacion 1. Denotaremos por

A (w(x, y, t)) = Kw, (4.55)

B (u(x, y, t)) = K(u + g)∇g, (4.56)

a(w; u, v) =∫

ΩA (w(x, y, t))∇u∇v dΩ, (4.57)

b(u, v) =∫

ΩB (u(x, y, t))∇v dΩ. (4.58)

Escribamos la ecuacion (4.54) en base a la notacion anterior, i.e.⟨

∂w

∂t, v

⟩+ a (w + g; w, v) + b (w, v) = 〈f, v〉 , v ∈M. (4.59)

Ahora el problema se ha transformado de tal modo que se debe encontrar laaproximacion a una funcion w aplicando el metodo de Galerkin. El metodo seaplicara sin cambio alguno y las matrices que se obtienen del proceso tendran lasmismas propiedades anteriormente expuestas, ver seccion 4.5.1.


4.5.3. Metodo de Crank-Nicolson-Galerkin

La discusion que se presenta en esta seccion esta basada en el artıculo deDouglas & Dupont, ver [8]. El cual trata con algunas cuestiones teoricas y com-putacionales relacionadas con la solucion aproximada, obtenidas mediante meto-do tipo Galerkin, de problemas parabolicos lineales y no lineales.

En el apartado 4.5.1 se menciono que el metodo de Galerkin consiste en resolverun problema de valores iniciales para cada intervalo de tiempo. Para evitar tenerque resolver sistemas algebraicos no lineales en cada paso de tiempo, el metodode Crank-Nicolson-Galerkin1 propone aproximar la solucion del problema no li-neal de tal forma que solo se requiera resolver sistemas lineales. El procedimientoconsistes en un metodo predictor-corrector.

Recordemos que para situaciones de flujo transitorio, se trabaja con la ecuacionde Boussineq

∇ · (Kh∇h) = ηε∂h

∂t− f. (4.60)

h(x, y, 0) = h0(x, y), (x, y) ∈ Ω, (4.61)

h(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ]. (4.62)

donde h(x, y) es la elevacion de la superficie libre del acuıfero (altura piezometri-ca o potencial hidraulico), f(x, y) es el termino fuente que representa al fluido ensentido vertical, positivo si se mueve hacia abajo. Los parametros del modelo sonla conductividad hidraulica, K(x, y); y el coeficiente de almacenamiento ηε(x, y).

Segun lo expuesto en la seccion 4.4 la formulacion debil para el modelo ante-rior es

⟨ηε

∂h

∂t, v

⟩+

∫

ΩKh∇h · ∇v dΩ = 〈f, v〉 , (4.63)

〈h(x, y, 0), v〉 = 〈h0, v〉 , (x, y) ∈ Ω, (4.64)

〈h(x, y, t), v〉 = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ]. (4.65)

Definimos Hm ∈M, como la aproximacion en el tiempo tm. Es decir,

h(x, y, tm) ≈ Hm(x, y) = H(x, y, tm) =n∑

i=1

hi(tm)vi(x, y), (4.66)

dondetm = m∆t, para m = 0, 1, 2, . . . .

1Este metodo es conocido como Crank-Nicolson-Galerkin pues trata la parte de la derivada

temporal de manera analoga al metodo de Crank-Nicolson en diferencias finitas.


Y∆t =

T

M, M ∈ Z+.

Sea fm = f(tm). Considerese

tm+ 12

=tm + tm+1

2en las funciones a, b y f, segun la notacion 1 dada en la seccion anterior. Anali-cemos la ecuacion en diferencias dada por

⟨ηε

Hm+1 −Hm

∆t, V

⟩+ a

(Hm+ 1

2;Hm+ 1

2, V

)+ b(Hm, V ) = 〈f(Hm), V 〉 . (4.67)

Donde V ∈M y m > 0. La cual se conoce como la aproximacion Crank-Nicolson-Galerkin.

Se definen

β1 =12

(1 + θ

), (4.68)

β2 =12

(1− θ

), (4.69)

para θ ∈ [0, 1]. Los coeficientes β1 y β2, que dependen de θ nos indican conque peso se debe considerar la aproximacion hacia adelante o hacia atras. Porejemplo, con θ = 0 lo que estamos tomando es un promedio. La generalizacionde este esquema es la siguiente⟨

ηεHm+1 −Hm

∆t, V

⟩+a

(β1Hm+1+β2Hm; β1Hm+1+β2Hm, V

)+b(Hm, V ) = 〈f(Hm), V 〉 ,

(4.70)donde V ∈ M, m > 0. Para el caso en que θ = 0, la ecuacion (4.70) es justa-mente el esquema (4.67) y para θ = 1 la ecuacion (4.70) es una aproximacion endiferencias finitas atrasadas de (4.51). Se puede probar mediante argumentos depunto fijo, ver [8] Lema 7.1, que (4.67) y (4.70) tienen soluciones (posiblementeno unicas) para cualquier ∆t > 0.

Por lo tanto, el esquema de aproximacion completo que se utilizara queda de-terminado por las siguientes ecuaciones:

Predictor:

ηε

⟨Wm+1 −Hm

∆t, v

⟩+a

(Hm; β1Wm+1+β2Hm, v

)+b (Hm, v) = 〈f(Hm), v〉

(4.71)

Corrector:

ηε

⟨Hm+1 −Hm

∆t, v

⟩+ b

(β1Wm+1 + β2Hm, v

)− 〈f(β1Wm+1 + β2Hm), v〉

+a(β1Wm+1 + β2Hm; β1Hm+1 + β2Hm, v

)= 0. (4.72)


Expresando las ecuaciones anteriores en su forma matricial obtenemos un sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias, al cual despues de realizarle las manipula-ciones algebraicas necesarias se simplifica como sigue

Predictor:[〈ηεvl, vk〉+ β1∆tm

∫

ΩK(Hm + g)∇vl∇vk dΩ

]αp

= 〈ηεvl, vk〉+ ∆tm

(〈f, vk〉 − β2

∫

ΩK (Hm + g)∇Hm∇vk −K (Hm + g)∇g∇vk dΩ

).

(4.73)

Corrector:[〈ηεvl, vk〉+ ∆tmβ1

∫

ΩK (β1Hm + β2Wm+1)∇vl∇vk dΩ

]αp

= 〈ηεvl, vk〉+ ∆tm

(〈f, vk〉 − β2

∫

ΩK (β2Hm + β1Wm+1)∇Hm∇vk dΩ

)

−∆tm

∫

ΩK (β2Hm + β1Wm+1 + g)∇g∇vk dΩ. (4.74)

Los sistemas de ecuaciones mostrados en (4.73) y (4.74) producen matrices ralasy definidas positivas. Es importante senalar que las integrales deben efectuarsede la manera mas exacta posible, ya que las cantidades involucradas en la EDPestan mal escaladas. Es decir, las cantidades son muy dispares en ordenes demagnitud. En nuestro caso particular, las funciones que se integran solamentecontienen polinomios, por lo que podemos resolver dichas integrales mediante elmetodo de la cuadratura gaussiana.

Capıtulo 5

Problema Inverso

La identificacion de los parametros de un acuıfero es fundamental para elestudio de modelos matematicos que ayuden a predecir el flujo de agua y de con-taminantes en estos mantos freaticos. Por tanto, tener un metodo para identificartales parametros es una labor importante. En particular, nos interesa estimar laconductividad hidraulica y la porosidad efectiva para el modelo de un acuıfero noconfinado. Este capıtulo esta dedicado a explicar el Metodo del Sistema Diferen-cial Modificado (MSDM), el cual pretende ser una alternativa numerica, y es lapropuesta principal que aporta esta tesis, para ayudar a completar esta impor-tante tarea.

5.1. Conceptos basicos

Un problema inverso es aquel en donde los valores de algunos parametros delmodelo deben ser obtenidos de los datos observados; el problema inverso apareceen muchas areas de la ciencia y de las matematicas. [19]

El problema inverso puede ser formulado como sigue:

Datos → Parametros del modelo

La transformacion de los datos en los parametros del modelo es el resultado dela interaccion de un sistema fısico, e.g., la Tierra, la atmosfera, la gravedad, unacuıfero, etc. Los problemas inversos surgen en disciplinas tales como geofısica,hidrologıa, imagenes medicas, sensores remotos, tomografıa acustica oceanica,astronomıa, etcetera.

Una definicion del problema inverso segun Yeh, ver [23], es la siguiente:

67

68 CAPITULO 5. PROBLEMA INVERSO

“El problema inverso de identificacion de parametros consiste en quedados los valores medidos de h, digamos hi(xi, yi, tj), en un numerofinito de tiempos tj , y para ciertos puntos del dominio (xi, yi), sedebe encontrar un conjunto particular de parametros, los cuales almismo tiempo que no difieren mucho de (posibles) estimaciones pre-vias, lleven una concordancia optima entre valores medidos y valorescalculados de h.”

Los problemas inversos normalmente son problemas mal planteados, en contra-posicion con los problemas bien planteados, mas usuales cuando se modelancircunstancias fısicas donde los parametros del modelo -o bien sus propiedadesmateriales- son conocidos. De las tres condiciones de un problema bien planteado,sugeridas por Jacques Hadamard (existencia, unicidad, estabilidad de la soluciono soluciones) la condicion de estabilidad es la que mas a menudo se quebranta.

En el area de analisis funcional, el problema inverso se representa como unacorrespondencia entre espacios metricos. Normalmente, los problemas inversos seformulan en espacios de dimension infinita, pero se pueden discretizar debido aque se dispone de un numero finito de medidas, y a que en la practica intere-sa recuperar un numero finito de parametros. En este caso el problema inversoestara normalmente mal condicionado.

5.1.1. Clases de problemas inversos

Los problemas inversos pueden ser clasificados arbitrariamente. Una clasifi-cacion util, dada por Oleg Mikailivitch Alifanov, es segun el tipo de informacionque se busca en el proceso de encontrar la solucion.

Problemas inversos retrospectivos. (Backward or retrospective problem) Escuando las condiciones iniciales deben ser encontradas.

Problema de identificacion de parametros. Como su nombre lo indica sedeben estimar los parametros de la ecuacion que gobierna el fenomeno fısicoque se desea simular.

Problemas Inversos de frontera (Boundary inverse problem) Alguna infor-macion de la frontera debe ser identificada. Notemos que este caso puede serun problema de estimacion de funciones cuando esta condicion de contornocambia con el tiempo.

5.2. Problemas inversos en hidrologıa

Desde hace ya varios anos se han utilizado modelos matematicos y simula-ciones para analizar el comportamiento de los mantos freaticos. En general, estos

5.2. PROBLEMAS INVERSOS EN HIDROLOGIA 69

modelos son resueltos utilizando tecnicas de aproximacion basadas en diferenciasfinitas o elemento finito. La mayorıa de estos modelos son conocidos como Mo-delos de parametros distribuidos. Los parametros involucrados no son mediblesdirectamente desde el punto de vista fısico.

Tradicionalmente, la identificacion de parametros estaba basada en la tecnicade ”prueba y error”, bajo los supuestos de que el modelo del acuıfero cumplecon las condiciones de ser homogeneo, isotropico y que existe una forma cerradapara la solucion. Por supuesto, tales tecnicas no son aplicables en el caso de quelos parametros varıen espacialmente o que la solucion no tenga la forma cerrada;esta situacion es la que se presenta para problemas en la vida real.[23]

Los problemas de identificacion de parametros en Sistemas de Parametros Dis-tribuidos1 han sido estudiados extensivamente durante los ultimos 50 anos.[23]

El objetivo del problema inverso de identificacion de parametros esel de determinar de manera optima los parametros mediante observaciones de lavariable dependiente en los dominios espacial y temporal. El numero de obser-vaciones es finito y limitado, mientras que los dominios son continuos. Para unacuıfero no homogeneo la dimension de sus parametros es teoricamente infinito.La reduccion de la dimension de los parametros de una dimension infinita a unafinita se llama parametrizacion. [23]

Existen dos tipos de error asociados al problema inverso:

Error tipo I o Error en el modelado del sistema.

Error tipo II o Error asociado con la incertidumbre del parametro.

Un incremento en la dimension del parametro (el numero de parametros descono-cidos asociados con la parametrizacion) generara una disminucion en el error tipoI pero un incremento en el error tipo II y viceversa. El nivel optimo de la para-metrizacion dependera de la cantidad y la calidad de los datos.

5.2.1. Caracterısticas del problema inverso en hidrologıa

Los problemas inversos en hidrologıa, generalmente, son mal condicionados.Esta condicion esta caracterizada por la no unicidad y la inestabilidad de losparametros identificados. La inestabilidad de la solucion inversa se deriva de lospequenos errores propios en la naturaleza de los datos. Para ver un analisis mas

1El termino Sistema de Parametros Distribuidos implica que la respuesta del sistema es

gobernada por una ecuacion diferencial parcial y los parametros involucrados en tal ecuacion

varian espacialmente.


extenso del tema consultar [4], [23].

Por otro lado, el problema de la no unicidad en la identificacion de parametrosesta ıntimamente relacionado con el concepto de identificabilidad. Dicho conceptohace referencia a cuando es posible tener soluciones unicas del problema inver-so para parametros desconocidos de interes en un modelo matematico, de datostomados de dominios espaciales y temporales. Ver [23] para mas detalles.

5.2.2. Clasificacion de metodos para la identificacion de parametros

Se han desarrollado varias tecnicas para resolver el problema inverso de iden-tificacion de parametros. En esta subseccion se describiran brevemente (en ordencronologico) las tres clasificaciones mas importantes, segun Yeh [23].

Clasificacion segun Neuman (1973)

Neuman distingue entre tecnicas directas y no directas.

Tecnicas directas. Tratan los parametros del modelo como variables depen-dientes de un problema de valores en la frontera.

Tecnicas indirectas o no directas. Estan basadas sobre un criterio de error enla salida, i.e. los parametros estimados son iterados con la idea de mejorarloshasta que el modelo respuesta es lo suficientemente cercano al que produjolas mediciones.

Clasificacion segun Kubrusly (1977)

Kubrusly por otro lado, clasifico las tecnicas existentes hasta ese momento en lassiguientes tres categorıas:

Metodos directos. Usan tecnicas de optimizacion directamente sobre el Sis-tema de Parametros Distribuido.

Reduccion de un sistema de parametros amontonados. Reducen el Sistemade Parametros Distribuidos a un sistema continuo o discreto que esta des-crito por una ecuacion diferencial ordinaria o ecuaciones en diferencias.

Reduccion a una ecuacion algebraica. Reducen el Sistema de ParametrosDistribuidos a una ecuacion algebraica.

Clasificacion segun Chavent (1979)

Dos anos mas tarde, Chavent reclasifico los metodos existentes, basado en loserrores asociados al problema inverso, en las siguientes dos categorıas:

Metodos enfocados al criterio de error en la ecuacion. Si la calidad de losdatos y sus primeras derivadas es buena, la ecuacion que gobierna se con-vierte en una ecuacion diferencial parcial de primer orden lineal de tipo

5.3. METODO DEL SISTEMA DIFERENCIAL MODIFICADO 71

hiperbolico en terminos de los parametros desconocidos. Se puede obteneruna solucion directa si se cuenta con condiciones de contorno y datos deflujo.

Metodos enfocados al criterio del error de salida. Se busca la minimizacionde una norma, i.e., se aplica un metodo de optimizacion para problemas nolineales y ni convexos.

Observacion

El metodo que estamos proponiendo como alternativa para el problema de iden-tificacion de parametros se puede clasificar dentro de los Metodos enfocados alcriterio de la ecuacion de error, segun Chavent, o como una Tecnica directasegun Neuman y Kubrusly.

5.3. Metodo del Sistema Diferencial Modificado

El Metodo del Sistema Diferencial (MSD) fue propuesto por Parravacini etal, ver [16], en 1995; para identificar los parametros en el caso de un acuıferoconfinado cuando los niveles piezometricos y el termino fuente son dados en unconjunto de tres, por lo menos uno de los flujos debe de ser transitorio con el fin depoder identificar el coeficiente de almacenamiento, de otra forma solo puede seridentificada la transmisividad, para lo cual solo se requieren dos flujos linealmenteindependientes. Ademas, se debe conocer la transmisividad en un punto del do-minio. Posteriormente, Vazquez et al, ver [22], desarrollaron el metodo mostrandolas ventajas de utilizar mas de tres condiciones de flujo. En 2002, Moreles et al,[13], extendieron el MDS para el caso no confinado transitorio.

El MSD considera la ecuacion que modela el flujo de un acuıfero freatico isotropi-co que satisface la hipotesis de Dupuit y para el cual se satisface la Ley de Darcyen un espacio bidimensional. Entonces, el flujo esta modelado por la ecuacion deBoussineq

∂

∂x

(K(h− γ)

∂h

∂x

)+

∂

∂y

(K(h− γ)

∂h

∂y

)= ηε

∂h

∂t− f. (5.1)

donde h(x, y, t) es la elevacion de la superficie libre del acuıfero (altura piezometri-ca o potencial hidraulico), γ(x, y) es la elevacion del piso del acuıfero, f(x, y, t) esel termino fuente que representa al fluido en sentido vertical, positivo si se muevehacia abajo. Los parametros del modelo son la conductividad hidraulica, K(x, y),y la porosidad efectiva, ηε(x, y).

Por simplicidad, consideraremos que γ coincide con el dato γ(x, y) = 0, por


tanto∂

∂x

(Kh

∂h

∂x

)+

∂

∂y

(Kh

∂h

∂y

)= ηε

∂h

∂t− f. (5.2)

Consideremos la ecuacion (5.2) y supongamos que el termino fuente f(x, y, ti), elpotencial h(x, y, ti) y sus derivadas en el tiempo ∂h(x, y, ti)∂t son conocidas comofunciones del espacio en p ≥ 4 diferentes tiempos ti, i = 1, 2, . . . , p. Un conjuntode datos esta dado por estas funciones, por tanto se supone que se conocen p

conjuntos de datos.

Introduzcamos la siguiente notacion:

f i ≡ f(x, y, ti),

hi ≡ h(x, y, ti),

hiβ ≡ ∂h(x, y, ti)

∂β, β = x, y o t.

Kβ ≡ ∂K

∂β, β = x, y.

Entonces, bajo la notacion anterior y despues de unas sencillas manipulacionesalgebraicas, la ecuacion (5.2) se puede reescribir como

hihixKx + hiKy − ηεh

it = −∆hiK − f i, (5.3)

para cada conjunto de datos i = 1, 2, . . . , p. Donde

∆ = hi∆hi + (hix)2 + (hi

y)2,

= hi(hi

xx + hiyy

)+ (hi

x)2 + (hiy)

2. (5.4)

Notemos que la ecuacion (5.2) se satisface para cada situacion del conjunto delos datos. Luego, escribiendo los p conjuntos de datos en forma matricial se tiene

h1h1x h1h1

y −h1t

h2h2x h2h2

y −h2t

......

...hphp

x hphpy −hp

t

Kx

Ky

ηε

= −K

∆h1

∆h2

...∆hp

−

f1

f2

...fp

. (5.5)

Sea A la matriz del sistema (5.5), definamos

~u = (u1, u2, u3)t = (Kx,Ky, ηε)t, (5.6)~F = −(f1, f2, . . . , fp)t, (5.7)

~z =(∆h1, ∆h2, . . . ,∆hp

)t. (5.8)

Suponiendo que la conductividad K es conocida, se tiene para un punto fijo(x, y) ∈ Ω el siguiente sistema lineal

A~u = −K~z + ~F . (5.9)


Si el Rango(A) = 3, entonces el sistema (5.9) tiene solucion unica en el sentidode mınimos cuadrados2 dada por

~u = −K~a +~b, (5.10)

donde los tres componentes de la funcion vectorial ~a y ~b son las soluciones a lossistemas

A~a = ~z, (5.11)

A~b = ~F . (5.12)

Ahora, escribamos la ecuacion (5.10) considerando la definicion dada en (5.6),es decir, haremos clara la dependencia sobre las variables espaciales. Tenemos elsiguiente sistema para las primeras dos componentes de ~u

u1 = Kx = −Ka1 + b1,

u2 = Ky = −Ka2 + b2. (5.13)

Y la siguiente ecuacion para la tercera componente de ~u

u3 = ηε = −Ka3 + b3. (5.14)

El segundo paso en la identificacion de parametros es considerar las ecuacionesen (5.13) como un sistema lineal de ecuaciones diferenciales parciales de primerorden en terminos de K. Para resolver este sistema, necesitamos el valor de laconductividad en algun punto del dominio, digamos (x0, y0). Por tanto, el sistemaque debemos resolver es

∂K

∂x= −Ka1 + b1,

∂K

∂y= −Ka2 + b2, (5.15)

K(x0, y0) = K0.

El sistema anterior es conocido como Problema de Cauchy. Se refiere basicamentea un problema de valores iniciales. El siguiente teorema garantiza que la soluciona este sistema bajo condiciones apropiadas de regularidad existe y es unica.

Teorema 1. Sean a y b funciones vectoriales continuas sobre un dominio abiertoy conexo Ω ∈ Rn, con valores en Rn. Y sean K1 y K2 dos funciones continuasque toman valores reales que satisfacen el sistema (5.10), ademas satisfacen lamisma condicion inicial en un punto (x0, y0) ∈ Ω. Entonces, las dos funcionescoinciden en Ω.3

2Ver seccion 5.3.2 mas adelante en este capıtulo.3Ver lema en la seccion 4 de [16] para mas detalles.


La continuidad de los coeficientes del sistema (5.10) esta asegurada dado quelos valores de a y b, se calculan como el inverso de una funcion lineal que escontinua. Esta a su vez proviene de derivadas parciales de h que por ser solu-cion a una ecuacion diferencial parcial, tiene derivadas de segundo orden que soncontinuas. El dominio de trabajo es conexo, por lo que la independencia en lastrayectorias esta asegurada.

Una vez resuelto el problema de Cauchy expuesto en (5.10), el cual se resolvera me-diante la formulacion expuesta en la seccion 5.3.1, habremos identificado el para-metro K para cada punto del domino. Posteriormente, mediante la sustitucion deK en (5.14) para cada punto del dominio, identificaremos la porosidad efectiva ηε.

Observacion:Si para resolver el problema de Cauchy de (5.15) realizasemos un analisis deaproximacion del error, luego observasemos que dicho error se propaga segun lanorma del vector ~a en cada nodo de la malla y finalmente formulasemos un proble-ma de optimizacion combinatoria, el cual resolviesemos con el algoritmo de Dijks-tra (mınima ruta de error), con el cual finalmente identificarıamos el parametro K

y posteriormente el parametro ηε mediante (5.14), entonces habrıamos recreadoel Metodo del Sistema Diferencial propuesto por Moreles et al en [13].

5.3.1. Solucion de un Problema de Cauchy mediante tecnicas de Ele-

mento Finito

Sea Ω ∈ R2 un conjunto conexo. Consideremos el siguiente sistema de ecua-ciones diferenciales parciales lineales de tipo hiperbolico

∂K

∂x= −Ka1 + b1,

∂K

∂y= −Ka2 + b2, (5.16)

K(x0, y0) = K0.

Donde, K : Ω → R, K ∈ C1. Y a : Ω → R, b : Ω → R son funciones continuastales que a = (a1, a2) y b = (b1, b2).

Mediante el metodo de elementos finitos buscamos una solucion al problema(5.16) de la forma aproximada

K(x, y) ≈ K(x, y) =n∑

i=1

kiNi(x, y), (x, y) ∈ Ω. (5.17)

donde Ni ∈ H10 (Ω), ∀ i = 1, 2, . . . , n; son las funciones de forma y ki ∈ R son

parametros desconocidos.


Aplicando el metodo de los residuos pesados a las ecuaciones del sistema (5.16)obtenemos

∫

Ωω

(∂K

∂x+ Ka1 − b1

)dΩ = 0, (5.18)

∫

Ωω

(∂K

∂y+ Ka2 − b2

)dΩ = 0, (5.19)

< w, K(x0, y0) > = < w, K0 > . (5.20)

Donde ω ∈ H10 (Ω). De las ecuaciones (5.18) y (5.19) se sigue que

∫

Ωω

(∂K

∂x+ Ka1 − b1

)dΩ =

m∑

e=1

∫

Ωe

ω

(∂K

∂x+ Ka1 − b1

)dΩe, (5.21)

∫

Ωω

(∂K

∂y+ Ka2 − b2

)dΩ =

m∑

e=1

∫

Ωe

ω

(∂K

∂y+ Ka2 − b2

)dΩe, (5.22)

donde Ωe es el dominio de cada elemento. Aplicando el metodo de Galerkin, verseccion 4.5.1, a las ecuaciones (5.21) y (5.22) por dominio elemental (i.e. paracada elemento del dominio), obtenemos

∫

Ωe

Nj

(n∑

i=1

ki∂Ni

∂x+ a1

n∑

i=1

kiNi − b1

)dΩe = 0, (5.23)

∫

Ωe

Nj

(n∑

i=1

ki∂Ni

∂y+ a2

n∑

i=1

kiNi − b2

)dΩe = 0, (5.24)

para j = 1, 2, . . . , n. Escribiendo las ecuaciones (5.23) y (5.24) en su forma ma-tricial obtenemos

(M1 + M)~k = ~v, (5.25)

este sistema esta bien determinado considerando la condicion de tipo Dirichletdada por (5.20). Donde

M1 =∫

Ωe

[~NT ~NT

]n×2

[B]2×n dΩe, (5.26)

M =∫

Ωe

[~NT

]n×1

(a1 + a2)[

~N]1×n

dΩe, (5.27)

~v =∫

Ωe

[~NT

]n×1

(b1 + b2) dΩe, (5.28)

B =

(N1x N2x . . . Nnx

N1y N2y . . . Nnx

), (5.29)

~N = [N1, N2, . . . , Nn] . (5.30)


Finalmente, notemos que la matriz M es definida positiva y simetrica, pero noası la matriz M1. Por tanto, la matriz principal del sistema tampoco. Para re-solver las integrales numericas que se involucran en las ecuaciones (5.26)−(5.28)se utilizan los metodos de cuadratura gaussiana, por ser los mas eficientes dadala estructura que tienen las matrices.

5.3.2. Discusion sobre el rango de la matriz

En esta apartado se discute sobre la condicion del rango de la matriz A dela ecuacion 5.5. Para acuıferos confinados en el caso estacionario, si se dan dosconjuntos de datos, digamos h1 y h2, la condicion de rango completo significaque los gradientes ∇h1 y ∇h2 de los potenciales no son cercanos a cero y quesus lıneas equipotenciales no se traslapan en ningun lugar. Esto se discute masdetalladamente en [16]. Ya que la independencia lineal de ∇h1 y ∇h2 en el pun-to (x, y) es equivalente a la independencia lineal de h1∇h1 y h2∇h2 la mismacondicion fısica implica que la condicion de rango completo para acuıferos noconfinados en caso estacionario tambien es valida.

Para un acuıfero en el caso transitorio necesitamos al menos una condicion deflujo transitoria, una interpretacion fısica de los vectores

(hhx, hhy,−ht) (5.31)

y que se cumpla la condicion de rango completo. En nuestro caso, se puedeconsiderar que esta condicion tecnica en el espacio de vectores

(hihi

x, hihiy,−hi

t

), i = 1, 2, . . . , p.

se satisface, ya que es de rango 3.

5.4. Conductividad hidraulica con datos de flujo estacionario

El Metodo del Sistema Diferencial Modificado (MSDM) que se planteo y ex-plico en las primeras secciones del capıtulo es para el caso en que se tienen datosde flujo transitorio. En esta seccion se muestra el sistema algebraico y diferencialque se obtiene cuando los datos son de flujo estacionario. Notemos que en estasituacion, solo es posible identificar conductividades hidraulicas del acuıfero, puespara identificar el coeficiente de almacenamiento es necesario tener el termino dela derivada temporal.

Si consideramos condiciones de estado estacionario, tal que el nivel piezometricoque se tiene y el termino fuente no dependen del tiempo, entonces la ecuacion(5.2) se reduce a

∇ · (Kh∇h) = −f (5.32)

5.5. RESUMEN 77

Consideremos p condiciones de flujo estacionario. El procedimiento para la iden-tificacion de la conductividad es el mismo que para el caso transitorio expuestoanteriormente, solo que aquı la condicion que se debe cumplir es que al menosdos conjuntos de datos (h(1), f (1)) y (h(2), f (2)) sean linealmente independientes,es decir, requerimos que la matriz de coeficientes sea de rango completo, en estecaso, Rango = 2. Escribiremos el sistema diferencial que obtendremos al finalizarlas manipulaciones algebraicas, es decir,

h1h1x h1h1

y

h2h2x h2h2

y...

...hphp

x hphpy

(Kx

Ky

)= −K

∆h1

∆h2

...∆hp

−

f1

f2

...fp

(5.33)

Sea A la matriz del sistema anterior, definimos

~u = (u1, u2)T = (Kx,Ky)T , (5.34)~F = −(f1, f2, . . . , fp)T , (5.35)

~z =(∆h1, ∆h2, . . . , ∆hp

)T. (5.36)

Con la notacion anterior, el sistema se puede expresar como

A~u = −K~z + ~F . (5.37)

Estamos suponiendo que Rango(A) = 2, entonces el sistema anterior tiene unasolucion unica en el sentido de Mınimos Cuadrados, dada por

~u = −K~a +~b, (5.38)

donde las dos componentes de los vectores ~a, ~b son las soluciones a los sistemas

A~a = ~z, (5.39)

A~b = ~F . (5.40)

Haciendo explıcita la dependencia sobre las variables espaciales que tiene elparametro K, se ve de (5.34) y (5.38), obtenemos el mismo problema de Cauchydado en (5.15). El cual se soluciona usando la tecnica explicada en la seccion 5.3.1.Con este resultado concluimos la identificacion de la conductividad hidraulica enel caso en que tengamos datos de flujo estacionario.

5.5. Resumen

El MSD esencialmente consiste en escribir la ecuacion (5.2) para cada uno delos flujos y considerar el conjunto de ecuaciones como un sistema diferencialparcial de primer orden en terminos de la desconocida K y un sistemaalgebraico en terminos de la desconocida ηε.


El MSDM es una tecnica directa y como tal es sensible a errores pequenosen los potenciales hidraulicos, que pueden introducir errores grandes en losgradientes hidraulicos y por consiguiente en la identificacion de parametros.Sin embargo, se puede dar una manera de controlar el error lo cual da mayorcertidumbre a los parametros identificados.

Capıtulo 6

Resultados

En este capıtulo se presentan los resultados numericos que se obtuvieron deaplicar el Metodo del Sistema Diferencial Modificado (MSDM), para ambos ca-sos: datos con flujo estacionario y datos con flujo transitorio. Se muestran losparametros identificados junto con sus respectivos errores. Despues se usan estosdatos en el problema directo con la finalidad de mostrar la evolucion del sis-tema del acuıfero segun los parametros identificados. Analogamente, se repite elproceso con datos a los cuales se les ha anadido ruido gaussiano, se muestranlos parametros identificados y sus respectivos errores; ası como la evolucion delsistema resultante. Los datos que se utilizaron son sinteticos pero realistas.

6.1. Consideraciones iniciales

En esta seccion definimos el dominio de trabajo, las condiciones de contorno(que es el mismo para todos los ejemplos presentados) y la interpretacion fısicadel signo del termino fuente.

6.1.1. Dominio ampliado y condiciones de contorno

Durante el desarrollo de la tesis se trabajo con diversos dominios, sin embargocon la finalidad de mostrar los resultados del MSDM de la forma mas clara posi-ble y la validacion adecuada, se opto por fijar el dominio base como un rectangulode dimensiones 200m× 200m.

Por razones numericas expuestas en la seccion 7.2, se decidio ampliar el dominiobase en 25m por lado, quedando este con la dimension final de 225m × 225m,

ver figura 6.1. Los elementos que se utilizan para la malla de elementos finitos soncuadrilateros en dos dimensiones con cuatro nodos (a este tipo de elemento le lla-

79

80 CAPITULO 6. RESULTADOS

maremos QU4 ) . Se utiliza una malla de 32×32 elementos en el dominio interior.

Figura 6.1: Dominio ampliado y mallado utilizando elementos QU4.

Condiciones de contorno

En los ejemplos de este capıtulo solo se utilizan condiciones de contorno de tipoDirichlet. Para este caso, estas estan caracterizadas por tener una variacion linealen cada uno de los lados del dominio rectangular. La cual describimos a conti-nuacion:

Lado izquierdo.

L(xini, y) = − 1,6200

y + 40; y ∈ [−25, 225], m.

Lado derecho.

R(xfin, y) = − 1,2200

y + 40,4; y ∈ [−25, 225], m.

Lado superior.

T (x, yfin) =0,8200

x + 38,4; x ∈ [−25, 225], m.

Lado inferior.

B(x, yini) =0,4200

x + 40; x ∈ [−25, 225], m.

6.2. CASO: DATOS DE FLUJO ESTACIONARIO 81

En la figura 6.1 se muestra la disposicion de tales condiciones. En particular,xini, xfin, yini, yfin son los extremos del dominio ampliado que estamosconsiderando. Para este caso,

xini = −25, xfin = 225, yini = −25, yfin = 225.

Recordemos que las unidades son metros (m).

Nota:No se utilizan condiciones de contorno variables en el tiempo en estos ejem-plos, pero sı se pueden implementar.

6.1.2. Interpretacion del signo del termino fuente

Un signo positivo en el termino fuente f > 0 significa que es una fuente derecarga del acuıfero, por ejemplo recarga por lluvia, etc. Un signo negativo en eltermino fuente −f < 0 significa que es una fuente de extraccion del acuıfero, porejemplo un pozo, un manantial, etc.

Las unidades del termino fuente son m3/s. Recordemos que las unidades delsistema son m/s, ası que antes de utilizar el valor tal cual del termino fuente hayque normalizarlo a las unidades del sistema.

6.2. Caso: Datos de flujo estacionario

A continuacion se presentan cuatro situaciones de flujo estacionario sinteticas,basadas en los ejemplos expuestos en [11] y [13], con el proposito de discutir laaplicabilidad del MSDM. Para este ejemplo todos los parametros del sistema sonconocidos con la finalidad de que la validacion del metodo sea ilustrativa.

6.2.1. Configuracion inicial

El dominio de interes es rectangular de dimensiones 200m × 200m. Verfigura 6.1 y ver seccion 6.1.1.

La definicion para los coeficientes del modelo del acuıfero freatico parasituaciones de flujo estacionario, ver (4.27), es la siguiente:

• Conductividad hidraulica:

K(x, y) = 2,8× 10−5 +(

105− 325

x− 25y

)5× 10−6,

m2

s. (6.1)

• Termino fuente de recarga 1:

f1(x, y) =[(

3,5− x

25

)2+ 2

(3,5− y

25

)2]

1× 10−6,m2

s. (6.2)


• Termino fuente de extraccion 2:

f2(x, y) = −[2

(2,5− x

25

)2+

(4,5 +

y

25

)2]

2× 10−6,m2

s. (6.3)


f3(x, y) = −[12

(3,5− x

25

)2+

(3,5− y

25

)2]

6× 10−6,m2

s. (6.4)

• Termino fuente recarga 4:

f4(x, y) =[2

(5 +

x

25

)+

(2,5 +

y

25

)]1× 10−5,

m2

s. (6.5)

Pozos. Consideramos la siguiente distribucion de pozos (i.e. extraccion deagua) para generar cada una de las 4 situaciones:

• Para la situacion 1. No hay pozos.

• Para la situacion 2. Consideramos tres pozos en las posiciones: (25m, 175m),(175m, 50m) y (175m, 175m). El valor de la extraccion es de 0,001 m3

s .

• Para la situacion 3. Consideramos dos pozos en las posiciones: (25m, 175m)y (25 m, 175m). El valor de la extraccion es de 0,001 m3

s .

• Para la situacion 4. Consideramos dos pozos en la posiciones: (175m, 75m)y (175 m, 125m). El valor de la extraccion es de 0,001 m3

s .

En el cuadro 6.1 se muestra el modelado de los pozos para cada uno de losterminos fuentes.

Condiciones de contorno. Ver figura 6.1 y ver seccion 6.1.1.

6.2.2. Obtencion de potenciales hidraulicos

Los potenciales hidraulicos que se utilizan en este ejemplo se obtienen medi-ante la resolucion de un problema directo, siguiendo la metodologıa de Galerkinexpuesta en la seccion 4.5.1; utilizando los datos de configuracion inicial descritaen la seccion 6.2.1 y el software ”SIMAC”, ver seccion 7.7.

Por ejemplo, para generar la situacion i para i ∈ 1, 2, 3, 4, se utilizan den-tro del metodo: el parametro K, las condiciones de contorno, el termino fuentefi y los pozos que se tengan considerados para esta situacion. Los resultadosobtenidos se muestran en el cuadro 6.2.


Cuadro 6.1: Terminos fuentes con pozos para datos de flujo estacionario.


Cuadro 6.2: Potenciales hidraulicos para datos de flujo estacionario.


6.2.3. Simulaciones numericas

Una vez que obtuvimos los potenciales hidraulicos, procedemos a calcular lasderivadas parciales numericas de primer y segundo orden para cada uno de lospotenciales. Es decir, hi

x, hiy, hi

xx y hiyy; i = 1, 2, 3, 4. Para este ejemplo, el calculo

se realizo utilizando el metodo de diferencias finitas, ver seccion 7.9.

Siguiendo el procedimiento descrito en la seccion 5.4 continuamos con la identifi-cacion de la conductividad hidraulica. Para este ejemplo, el nodo donde se impusola condicion inicial del problema de Cauchy, ver (5.16), esta ubicado en la coor-denada (187,5m, 125m), ver seccion 7.5. El parametro identificacion junto con elerror relativo y el parametro analıtico se muestra en la figura (6.2). Se muestranlos numeros de condicion de la matriz del sistema diferencial, ver (5.33), paracada nodo de la malla en la figura 6.3.

Figura 6.2: Parametro K identificado y su error relativo para flujos de datosestacionarios.

Se calcula el error relativo para la validacion del metodo, como sigue:

error =|K − K|

K. (6.6)

Notemos que el parametro ha sido identificado en todos los nodos del dominio(inclusive en las fronteras) y que tiene errores en la zona de la frontera del orden


Figura 6.3: Numeros de condicion de la matriz A para cada nodo de la malla.

del 6 %, esto se debe a los errores numericos inducidos por la aproximacion delas parciales. Tambien notemos que hay ciertas ondulaciones cerca de la zonade los pozos. Esto es lo esperado, pues en dichas zonas la suposicion de que elflujo se comporte esencialmente horizontal se viola. Por la propia naturaleza delfenomeno, se esta extrayendo agua, por tanto el comportamiento es vertical.

Dichos errores repercuten en que el parametro identificado contiene valores nega-tivos, lo cual carece de sentido fısico. Eliminaremos estas malas predicciones enlos nodos donde se presenta este fenomeno, sustituyendolas por valores interpola-dos calculados a partir de los nodos vecinos donde el error es razonable (menoresdel 2%) y los valores del parametro identificado son positivos. Ası, obtenemosel parametro Km modificado que se muestra en la figura 6.4. Notemos que paraeste caso el maximo error relativo es aproximadamente de 1,6%, ver figura 6.5.

Figura 6.4: K estimada modificada. Figura 6.5: Error relativo entre K y Km.


El objetivo de identificar los parametros es predecir la evolucion del sistema.Por tanto, se resuelve un problema directo con la conductividad hidraulica iden-tificada, i.e K, con el fin de predecir los flujos del sistema y validar el metodo. Losresultados obtenidos con el MSDM para cada una de las situaciones estacionariaspropuesta se muestran en el cuadro 6.3. Por otro lado, los potenciales hidraulicosestimados utilizando la conductividad hidraulica modificada mediante interpo-lacion, Km, se muestran en el cuadro 6.4. En las figuras las lıneas continuasrepresentan los potenciales hidraulicos dados y las lıneas punteadas representanlos potenciales hidraulicos estimados.

Cuadro 6.3: Mapas de contornos del sistema originales vs estimados con K, paradatos de flujo estacionario.


Cuadro 6.4: Mapas de contornos del sistema originales vs estimados con Km, paradatos de flujo estacionario.

6.3. CASO: DATOS DE FLUJO ESTACIONARIO CON RUIDO GAUSSIANO 89

6.2.4. Algoritmo

En esta seccion se da un breve algoritmo para la implementacion del MSDMen el caso de que tengamos conjuntos de datos con flujo estacionario.

1. Considerar p ≥ 2 situaciones de flujo estacionario de tal forma que secumpla la condicion de que tienen gradientes linealmente independientes.

2. Realizar el calculo numerico de las derivadas parciales de las situaciones deflujo de 1er y 2do orden.

3. Formar el sistema diferencial de (5.33) para cada punto fijo (x, y) ∈ Ω.

4. Resolver cada uno de los sistemas de ecuaciones anteriores mediante elMetodo de descomposicion QR, de tal forma que obtengamos los vectores~a, ~b ∈ R2, dados por (5.39) y (5.40), respectivamente.

5. Resolver el Problema de Cauchy, descrito en (5.15) mediante la tecnicaexplicada en la seccion 5.3.1. Recordar que la condicion inicial debe ele-girse en el nodo donde se minimice la norma euclidiana de las primerasdos componentes del vector a. En este paso acabamos la identificacion delparametro.

6. Validar el parametro identificado. Es decir, utilizar el parametro que seobtuvo en el paso anterior para resolver un problema directo y verificar sise estan reproduciendo de forma correcta los flujos dados.

6.2.5. Observaciones

1. El valor del parametro K siempre debe ser positivo. Valores muy cercanosa cero o negativos introducen inestabilidad o incluso no se encuentra unasolucion, ademas de que no tienen un significado fısico valido. Es por estarazon que hemos modificado el parametro identificado de tal forma que solocontenga valores positivos.

2. Se realizo el calculo de las parciales numericas utilizando los metodos deelementos finitos (EF) y diferencias finitas (DF). Sin embargo, solo se re-portan los resultados cuando se utilizan DF porque son mejores que los quese obtienen usando EF.

6.3. Caso: Datos de flujo estacionario con ruido gaussiano

En este ejemplo se presentan los potenciales hidraulicos que se generaron en elejemplo anterior, ver seccion 6.2, con cierta variacion. Es decir, se les anadio rui-do gaussiano. En el entendido de que el ruido tiene una distribucion normal con


media µ = 0 y desviacion estandar σ = 6 cm, i.e. ruido ∼ N(0,6 cm).

La finalidad de probar el metodo con datos que tienen cierta variabilidad enlas mediciones es para dar un sentido mas realista a las simulaciones. Pues comobien se sabe, toda medicion implica un error y falta de precision que son inhe-rentes al fenomeno mismo. Hoy en dıa, los instrumentos con los cuales se realizanlas mediciones de los niveles piezometricos son altamente precisos (los hay hastadel 0,1% de precision). Por tanto, suponer una desviacion estandar de 6 cm deerror en las mediciones es un tanto cuanto exagerado. Sin embargo, se demuestraque el metodo es robusto ante este tipo de situaciones.


La configuracion inicial que se utiliza para generar los potenciales hidraulicoses la misma que se especifico en la seccion 6.2.1.


El procedimiento para obtener los potenciales hidraulicos es el mismo que seexplico en la seccion 6.2.2. Recordemos que a los potenciales hidraulicos obtenidoshay que anadirles ruido. En la seccion 7.6 se explica el proceso que se utilizo paraaumentar la variabilidad de dichos potenciales.

Cuando se trabaja con datos que involucran cierta variabilidad hay que regu-larizarlos. El metodo de regularizacion que se utiliza es el de Suavizado medianteThin Plates, ver seccion 7.8, con un parametro ρ = 0,000005. El valor para esteparametro fue determinado por medio de experimentos numericos al resultar serel optimo para recuperar en su mayorıa los datos originales. Ası pues los po-tenciales hidraulicos con los cuales se trabaja en este ejemplo se muestran en elcuadro 6.5.



x, hiy, hi

xx y hiyy; i = 1, 2, 3, 4. Para este ejemplo, el calculo

se realizo utilizando el metodo de elementos finitos, ver seccion 7.9.

Siguiendo el procedimiento descrito en la seccion 5.4 continuamos con la iden-tificacion de la conductividad hidraulica. Para este ejemplo, el nodo donde seimpuso la condicion inicial del problema de Cauchy, ver (5.16), esta ubicado enla coordenada (90,5m, 62,5 m), ver seccion 7.5.

6.3. CASO: DATOS DE FLUJO ESTACIONARIO CON RUIDO GAUSSIANO 91

Cuadro 6.5: Potenciales hidraulicos para datos de flujo estacionario con ruido.

En el parametro identificado habıa presencia de valores negativos en algunospuntos de la malla. Como ya se ha comentado, estos valores carecen de senti-do fısico y ademas provocan malas estimaciones de la evolucion del sistema. Seeliminaron estos valores y se sustituyeron con otros construidos mediante interpo-lacion utilizando observaciones del parametro K en donde el valor fuese positivoy con un error considerable. El parametro identificacion se muestra en la figura6.6. Se muestran los numeros de condicion de la matriz del sistema diferencial,ver (5.33), para cada nodo de la malla en la figura 6.8.

Se calcula el error relativo para la validacion del metodo, como en (6.6), vergrafico del error en la figura 6.9. Notemos que el parametro ha sido identificadoen todos los nodos del dominio y que hay ciertas ondulaciones cerca de la zona delos pozos. Esto es lo esperado, pues la hipotesis basica del modelo no se cumpleen estas zonas. Tambien hay que considerar que las funciones de donde provienenlos datos no necesariamente son de clase C2, (a causa del ruido).


Figura 6.6: Parametro K identificado.Figura 6.7: Parametro K analıtico.

Figura 6.8: Numeros de condicion de ca-da sistema diferencial para situacionesde flujo estacionario con ruido. Figura 6.9: Error relativo entre K y K.

Posteriormente, se resuelve un problema directo con la conductividad hidraulicaidentificada, i.e K, con el fin de predecir la evolucion del sistema y validar elmetodo. Los resultados obtenidos con el MSDM para cada una de las situacionesestacionarias propuesta se muestran en el cuadro 6.6. La lınea continua represen-ta los potenciales hidraulicos dados y la lınea puntea representa los potencialeshidraulicos estimados.

6.3.4. Algoritmo

Se sigue el mismo algoritmo propuesto en la seccion 6.2.4.

6.4. CASO: DATOS DE FLUJO TRANSITORIO 93

Cuadro 6.6: Mapas de contornos del sistema originales vs estimados con K, paradatos de flujo estacionario con ruido.


1. El valor del parametro K siempre debe ser positivo. Valores menores oiguales a cero no tienen un significado fısico valido.

2. Se realizo el calculo de las parciales numericas utilizando los metodos deelementos finitos. En particular, para este ejemplo se introdujo mucha vari-abilidad en los datos, por tanto el error numerico inducido por este calculose incremento y afecto directamente la calidad del parametro identificado.Sin embargo, el metodo demostro ser robusto y predecir la evolucion delsistema con una calidad aceptable.

6.4. Caso: Datos de flujo transitorio

Para este ejemplo se presentan cinco situaciones de flujo transitorio sinteticas,basadas en los ejemplos expuestos en [11] y [13], con el proposito de discutir la


aplicabilidad del MSDM. Todos los parametros del sistema son conocidos conla finalidad de que la validacion del metodo sea ilustrativa. Se presentan dossimulaciones: la primera utilizando un conjunto de 3 situaciones y la segundautilizando un conjunto de 5 situaciones.


El dominio en este caso es espacial y temporal. El dominio espacial deinteres es rectangular de dimensiones 200m × 200m. Ver figura 6.1 y verseccion 6.1.1. En cuanto al dominio temporal consideraremos solamente lainformacion en los tiempos

t1 = 0,001, t2 = 0,0025, t3 = 0,0050, t4 = 0,010, t5 = 0,025.

Las unidades de tiempo para toda ti estan en anos. Recordemos que lasunidades de tiempo del sistema son los segundos.

La definicion de los coeficientes del modelo del acuıfero freatico para situa-ciones de flujo transitorio, ver (4.60), que se van a utilizar para producir lospotenciales hidraulicos que utilizaremos en las simulaciones es la siguiente:

• Conductividad hidraulica:

K(x, y) = 2,8× 10−5 +(

105− 325

x− 25y

)5× 10−6,

m2

s. (6.7)

• Coeficiente de almacenamiento:

ηε(x, y) =1

750(150 + x)× (150 + y)

6 + x + y, (adimensional.) (6.8)


f0(x, y) = −[(

1,5− x

50

)2+ 2

(1,5− y

50

)2]

1× 10−6,m2

s. (6.9)

Se utiliza para generar la condicion inicial en el tiempo t0.


f1(x, y) = −[(

12− x

50

)2

+ 3(6,5 +

y

50

)2]

5× 10−6,m2

s. (6.10)

Se utiliza para generar la situacion transitoria para el tiempo t1.


f2(x, y) = −[3

(1,5− x

50

)2+

(6 +

y

50

)2]

6× 10−6,m2

s. (6.11)



• Termino fuente extraccion 3:

f3(x, y) = −(19,5 +

x

25+

y

50

)3× 10−5,

m2

s. (6.12)



f4(x, y) = −[2

(12− x

50

)2

+(6,5 +

y

50

)2]

4× 10−6,m2

s. (6.13)



f5(x, y) = −[(

1,5− x

50

)2+ 1,5

(7,5 +

y

50

)2]

1×10−6,m2

s. (6.14)


Pozos. Consideramos la distribucion de pozos (i.e. extraccion de agua) dadaen la tabla 6.7. Los pozos se prenderan en todos los tiempos del dominiotemporal, es decir en t1, t2, t3, t4, t5 para cada uno de los terminos fuentesf1, f2, f3, f4, f5; respectivamente. En el cuadro 6.8 se muestra el modeladode los pozos para todos los terminos fuentes, incluyendo el tiempo t0 = 0.

Ubicacion Valor de extraccion(50 m,50 m) 0.0065 m3/s

(50 m,150 m) 0.0065 m3/s

(75 m,150 m) 0.0065 m3/s

(125 m,150 m) 0.0065 m3/s

(150 m,150 m) 0.0065 m3/s

Cuadro 6.7: Posicion de los pozos y valores de extraccion para datos de flujotransitorio.

Condiciones de contorno. Ver figura 6.1 y ver seccion 6.1.1.

Condicion inicial. La condicion inicial para este ejemplo esta dada por elpotencial hidraulico de flujo estacionario que se obtiene de resolver un pro-blema directo, utilizando la metodologıa de Galerkin y los datos de la con-ductividad hidraulica, K, definida en (6.7), ası como las condiciones decontorno y el termino fuente f0 definido en (6.9). El mapa de contornospara esta condicion inicial se muestra en la esquina superior izquierda delcuadro 6.9.


Cuadro 6.8: Terminos fuentes con pozos para datos de flujo transitorio.


Los potenciales hidraulicos que se utilizan en este ejemplo son obtenidos me-diante la resolucion de un problema directo, siguiendo la metodologıa de Crank-Nicolson-Galerkin expuesta en la seccion 4.5.3 para valores de θ = 1. Se probaron


diferentes valores del parametro θ, sin embargo el valor para este parametro quedio mejores resultados fue θ = 1.

Usando los datos de configuracion inicial descrita en la seccion 6.4.1 como son:K, ηε, las condiciones de contorno, los terminos fuentes fi, i = 1, 2, 3, 4, 5, res-pectivamente para cada tiempo ti, la condicion inicial y el software ”SIMAC”,ver seccion 7.7; se obtuvieron los potenciales hidraulicos que se muestran en elcuadro 6.9.

Cuadro 6.9: Potenciales hidraulicos para datos de flujo transitorio.




t, hix, hi

y, hixx y hi

yy; i = 1, 2, 3, 4, 5. Para este ejemplo,el calculo de las derivadas parciales espaciales se realizo utilizando el metodo deelemento finito, ver seccion 7.9. Y para el calculo de la derivada temporal se uti-lizaron diferencias finitas atrasadas.

Siguiendo el proceso descrito en la seccion 5.3 continuamos con la identificacion dela conductividad hidraulica K y del coeficiente de almacenamiento ηε. Mostraremosdos simulaciones: la primera consiste en utilizar las primeras 3 situaciones de flujoy la segunda en utilizar las 5 situaciones de flujo transitorio.

Simulacion utilizando 3 situaciones de flujo transitorio

Para este ejemplo, el nodo donde se impuso la condicion inicial para el pro-blema de Cauchy, ver (5.16), esta ubicado en la coordenada (0m, 156,25m). Losnumeros de condicion de la matriz A del sistema diferencial, ver (5.5), para cadanodo de la malla se muestran en la figura 6.10. El resultado de la identificacionde parametros K y ηε se muestra en las figuras (6.11) y (6.13), respectivamente.Notar que los parametros han sido identificados en todos los nodos del dominio(incluyendo las fronteras).

Figura 6.10: Numeros de condicion de los sistemas diferenciales en todos los nodosdel dominio para datos de 3 situaciones de flujo transitorias.


Figura 6.11: Parametro K identificado. Figura 6.12: Parametro K analıtico.

Figura 6.13: Parametro ηε identificado. Figura 6.14: Parametro ηε analıtico.

Se calcula el error relativo para la validacion del metodo, como sigue:

errorK =|K − K|

K, (6.15)

errorηε =|ηε − ηε|

ηε. (6.16)

En la figura 6.15 se puede apreciar que la mayor parte de valores altos de errorrelativo, del 0.5 % al 2 %, para el parametro identificado K se concentra en lazona cerca de los pozos y en las fronteras. Como ya habıamos mencionado estefenomeno es normal pues aquı la suposicion de que el flujo es esencialmente hori-zontal se viola; ademas de que en las fronteras influye el error numerico que seacarrea por la aproximacion de las derivadas parciales. Es claro que el error seamplifica para la identificacion del parametro ηε pues recordemos que este se es-tima a partir de K, ver (5.14). Este efecto se puede ver en la figura 6.16.


Figura 6.15: Error relativo entre K y K. Figura 6.16: Error relativo entre ηε y ηε.

Posteriormente, se resuelve un problema directo utilizando el metodo de Crank-Nicolson-Galerkin con los parametros identificados, i.e K y ηε, con el fin de pre-decir la evolucion del sistema y validar el metodo. Los resultados obtenidos conel MSDM para cada una de las situaciones transitorias propuesta se muestran enel cuadro 6.10. La lınea continua representa los potenciales hidraulicos dados yla lınea puntea representa los potenciales hidraulicos estimados.


Cuadro 6.10: Mapas de contornos del sistema originales vs estimados para unconjunto de 3 situaciones de flujo transitorio.



Para este ejemplo, el nodo donde se impuso la condicion inicial para el pro-blema de Cauchy, ver (5.16), esta ubicado en la coordenada (150m, 37,5m). Losnumeros de condicion de la matriz A del sistema diferencial, ver (5.5), para cadanodo de la malla se muestran en la figura 6.23. El resultado de la identificacion deparametros se muestra en las figuras (6.17) y (6.19), respectivamente. Notar quelos parametros han sido identificados en todos los nodos del dominio (incluyendolas fronteras).

Figura 6.17: Parametro K identificado. Figura 6.18: Parametro K analıtico.

Figura 6.19: Parametro ηε identificado. Figura 6.20: Parametro ηε analıtico.

Se calcula el error relativo para la validacion del metodo, como lo indicamosen (6.15) y (6.16). En la figura 6.21 se puede apreciar que la mayor parte devalores altos de error relativo, del 0.1% al 0.85 %, para el parametro identificado


K se concentra en la zona cerca de los pozos. Como ya habıamos mencionadoeste fenomeno es normal pues aquı la suposicion de que el flujo es esencialmentehorizontal se viola. Es claro que el error se amplifica para la identificacion delparametro ηε pues recordemos que este se estima a partir de K, ver (5.14). Esteefecto se puede ver en la figura 6.22. Observar que en la zona de la frontera elerror relativo es significativamente menor, esto se debe a que hemos trabajadocon un dominio ampliado.


A continuacion, se resuelve un problema directo utilizando el metodo de Crank-Nicolson-Galerkin con los parametros identificados, i.e K y ηε, con el fin de pre-decir la evolucion del sistema y validar el metodo. Los resultados obtenidos conel MSDM para cada una de las situaciones transitorias propuesta se muestran enel cuadro 6.11.

Figura 6.23: Numeros de condicion de los sistemas diferenciales en todos los nodosde la malla para datos de 5 situaciones de flujo transitorias.


Cuadro 6.11: Mapas de contornos del sistema originales vs estimados, para unconjunto de 5 de flujo transitorio.


6.4.4. Algoritmo

En esta seccion se da un breve algoritmo para la implementacion del MSDMen el caso de datos con flujo transitorio.

1. Considerar p ≥ 3 situaciones de flujo transitorio de tal forma que se cumplala condicion de que tienen gradientes linealmente independientes. Estos sepueden generar utilizando datos similares a los descritos en la configuracioninicial de este ejemplo y el metodo de Crank-Nicolson-Galerkin. Se sugieretomar el valor del parametro θ = 1.

2. Realizar el calculo numerico de las derivadas parciales de las situaciones deflujo de 1er y 2do orden.

3. Formar el sistema diferencial de (5.5) para cada punto fijo (x, y) ∈ Ω×(0, T ].En este caso el dominio temporal es discreto se reduce a solo 5 tiempos asaber ti|i = 1, 2, 3, 4, 5.

4. Resolver los sistemas de ecuaciones anteriores mediante el Metodo de des-composicion QR, antes hay que pre condicionar la matriz del sistema verseccion 7.4, de tal forma que obtengamos los vectores ~a, ~b ∈ R3, dados por(5.11) y (5.12), respectivamente.

5. Resolver el Problema de Cauchy, descrito en (5.15) mediante la tecnicaexplicada en la seccion 5.3.1. Recordar que la condicion inicial debe elegirseen el nodo donde se minimice la norma euclidiana de las primeras doscomponentes del vector a. Hasta este paso acabamos la identificacion delparametro.

6. Validar parametros identificados. Es decir, utilizar los parametros que seobtuvieron en el paso anterior para resolver un problema directo utilizandoel metodo de Crank-Nicolson-Galerkin y verificar si se estan reproduciendode forma correcta los flujos del sistema original.


1. Los valores de los parametros K y ηε siempre deben ser positivos. Masaun, el parametro ηε ∈ (0, 1). Valores muy cercanos a cero o negativosintroducen inestabilidad o incluso no se encuentra una solucion numerica,ademas de que no tienen un significado fısico valido. Por ejemplo en lasimulacion que utiliza un conjunto de 3 situaciones de flujo transitorio,el parametro identificado K en algunos nodos es negativo, ver 6.11. Parala reproduccion de los flujos del sistema esto afecto en que en las zonasdonde ocurre este fenomeno se produzca un comportamiento diferente alesperado (cerca de la coordenada (0,200)). En cambio, para el ejemplo en


que utilizamos un conjunto de 5 situaciones este fenomeno no ocurre, ver6.17; y la reproduccion de los flujos del sistema es muy buena.

2. En estas simulaciones los parametros K y ηε son constantes con respecto ala variable temporal. De hecho el metodo no esta considerando este caso.Los terminos fuentes sı pueden no ser constantes conforme a la variabletemporal y el metodo esta disenado para soportar esta variante. De hecho enel ejemplo no hay una dependencia explıcita para la variable temporal, peroal utilizar terminos fuentes diferentes se esta haciendo constar la variaciontemporal del termino fuente.

3. El calculo de las derivadas parciales numericas espaciales se realizo utilizan-do el metodo de elementos finitos. Para el calculo de las derivada parcialnumerica temporal se utilizaron diferencias finitas atrasadas.

4. Notemos que el error en la identificacion de parametros disminuyo de loscasos en que utilizamos un conjunto de 3 situaciones, al caso en que uti-lizamos 5 situaciones. Aunque con 3 situaciones la identificacion es buena,con 5 se refuerza y se obtienen mejores resultados. Es normal, pues entremayor informacion tengamos se tiene menos incertidumbre y la probabili-dad de identificar mejor los parametros es mayor.

6.5. Caso: Datos de flujo transitorio con ruido gaussiano

En este ejemplo se presentan los potenciales hidraulicos que se generaron enel ejemplo anterior, ver 6.4 con cierta variacion, es decir, se les anadio ruido gaus-siano. En el entendido de que el ruido tiene una distribucion normal con mediaµ = 0 y desviacion estandar σ = 6 cm, i.e. ruido ∼ N(0,6 cm).

La finalidad de probar el metodo con datos que tienen cierta variabilidad enlas mediciones es para dar un sentido mas realista a las simulaciones. Pues comobien se sabe, toda medicion implica un error y falta de precision que son inhe-rentes al fenomeno mismo. Hoy en dıa, los instrumentos con los cuales se realizanlas mediciones de los niveles piezometricos son altamente precisos. Por tanto,suponer una desviacion estandar de 6 cm de error en las mediciones es un tantocuanto exagerado. Sin embargo, se demuestra que el metodo es robusto ante estetipo de situaciones.


La configuracion inicial que se utiliza para generar los potenciales hidraulicospara este ejemplo, es la misma que se especifico en la seccion 6.4.1.

6.5. CASO: DATOS DE FLUJO TRANSITORIO CON RUIDO GAUSSIANO 107


El procedimiento para obtener los potenciales hidraulicos es el mismo que seexplico en la seccion 6.4.2. Recordemos que a los potenciales hidraulicos obtenidoshay que anadirles ruido. En la seccion 7.6 se explica el proceso que se utilizo paraaumentar la variabilidad de dichos potenciales.

Cuando se trabaja con datos que involucran cierta variabilidad hay que regu-larizarlos. El metodo de regularizacion que se utilizo aquı fue el Suavizamientomediante Thin Plates, ver seccion 7.8, con un parametro ρ = 0,00001. El valorpara este parametro fue determinado por medio de experimentos numericos alresultar ser el optimo para recuperar en su mayorıa los datos originales. Ası pueslos potenciales hidraulicos con los cuales se trabaja en este ejemplo se muestranen el cuadro 6.12.


Ya que se tienen los potenciales hidraulicos, procedemos a calcular las derivadasparciales numericas de primer y segundo orden para cada uno de los potenciales.Es decir, hi

t, hix, hi

y, hixx y hi

yy; i = 1, 2, 3, 4, 5. Para este ejemplo, el calculo de lasderivadas parciales espaciales se realizo utilizando el metodo de elemento finito,ver seccion 7.9. Y para el calculo de la derivada temporal se utilizaron diferenciasfinitas atrasadas.

Siguiendo el proceso descrito en la seccion 5.3 continuamos con la identificacion dela conductividad hidraulica K y del coeficiente de almacenamiento ηε. Mostraremosdos simulaciones: la primera consiste en utilizar las primeras 3 situaciones de flujoy la segunda en utilizar las 5 situaciones de flujo transitorio.


Para este ejemplo, el nodo donde se impuso la condicion inicial para el pro-blema de Cauchy, ver (5.16), esta ubicado en la coordenada (0m, 62,5m). Losnumeros de condicion de la matriz A del sistema diferencial, ver (5.5), para cadanodo de la malla se muestran en la figura 6.30. El parametro identificado ori-ginal K contiene varios valores negativos. Se eliminaron los valores negativos yse sustituyeron por valores interpolados calculados a partir de los nodos vecinosdonde el error es razonable (menos del 10%). Ası se obtiene el nuevo parametroK identificado y a partir de este el parametro ηε. Estos parametros se muestra enlas figuras (6.24) y (6.26), respectivamente. Notar que los parametros han sidoidentificados en todos los nodos del dominio (incluyendo las fronteras).


Cuadro 6.12: Potenciales hidraulicos para datos de flujo transitorio con ruido.

Se calcula el error relativo para la validacion del metodo, como se especifico en(6.15) y (6.16). En la figura 6.28 se puede apreciar que la mayor parte de valoresaltos de error relativo, para el parametro identificado K se concentra en la zonacerca de los pozos y en las fronteras. Se considera que errores menores al 20 %son aceptables. Como ya habıamos mencionado este fenomeno es normal pues



Figura 6.26: Parametro ηε identificado.Figura 6.27: Parametro ηε analıtico.

aquı la suposicion de que el flujo es esencialmente horizontal se viola; ademas deque en las fronteras influye el error numerico que se acarrea por la aproximacionde las derivadas parciales. No hay que olvidar que nuestros datos provienen defunciones que no necesariamente son de clase C2 (a causa del ruido). Es claro queel error se amplifica para la estimacion del parametro ηε pues recordemos que estese identifica a partir de K, ver (5.14). Este efecto se puede ver en la figura (6.29).

Posteriormente, se resuelve un problema directo utilizando el metodo de Crank-Nicolson-Galerkin con los parametros identificados, i.e K y ηε, con el fin de pre-decir la evolucion del sistema y validar el metodo. Los resultados obtenidos conel MSDM para cada una de las situaciones transitorias propuesta se muestran enel cuadro 6.13.



Figura 6.30: Numeros de condicion de los sistemas diferenciales en todos los nodosde la malla para datos de 3 situaciones de flujo transitorias.


Cuadro 6.13: Mapas de contornos del sistema originales vs estimados para datosde 3 situaciones de flujo transitorio con ruido.



Para este ejemplo, el nodo donde se impuso la condicion inicial para el pro-blema de Cauchy, ver (5.16), esta ubicado en la coordenada (125m, 93,75 m). Losnumeros de condicion de la matriz A del sistema diferencial, ver (5.5), para cadanodo de la malla se muestran en la figura 6.31.

Figura 6.31: Numeros de condicion de los sistemas diferenciales en todos los nodosde la malla para datos de 5 situaciones de flujo transitorias con ruido.

El resultado de la identificacion de parametros se muestra en las figuras (6.32)y (6.34), respectivamente. Los resultados de este ejemplo no contienen valoresnegativos de los parametros como en el caso anterior. Notar que los parametroshan sido identificados en todos los nodos del dominio (incluyendo las fronteras).



Figura 6.34: Parametro ηε identificado.Figura 6.35: Parametro ηε analıtico.

Se calcula el error relativo para la validacion del metodo, como se especifico en(6.15) y (6.16). En las figuras 6.36 y 6.37 se aprecia que la mayor parte de valoresaltos de error relativo, para ambos parametros, se concentra en la zona cerca delos pozos (como antes) y en las fronteras.


Las razones de que esto sea ası siguen siendo las mismas, se viola la hipotesisprincipal del modelo, es decir el comportamiento esencialmente horizontal delflujo cerca de los pozos. En cuanto al escurrimiento del error en las fronteras, estees debido al error numerico que se acarrea desde la aproximacion de las derivadasparciales. Recordemos que ya no se cumple, necesariamente, que las funcionessean de clase C2.

Finalmente cabe mencionar que a pesar de que los parametros identificados no


son lo suficientemente suaves, i.e. continuos y diferenciables, como los originales elmargen de error para ambos es a lo mas de 8 % para la conductividad hidraulica y5% para el coeficiente de almacenamiento. En general estos valores se consideranmuy competitivos, pues se llegan a aceptar errores relativos en la identificacionde parametros hasta del 20%, ver [11].

Posteriormente, se resuelve un problema directo utilizando el metodo de Crank-Nicolson-Galerkin con los parametros identificados, i.e K y ηε, con el fin de pre-decir la evolucion del sistema y validarlo. Los resultados obtenidos con el MSDMpara cada una de las situaciones transitorias propuesta se muestran en el cuadro6.14. Los resultados son muy satisfactorios. Las lıneas continuas representan lospotenciales hidraulicos dados y las lıneas punteadas representan los potencialeshidraulicos estimados.


Cuadro 6.14: Mapas de contornos del sistema originales vs estimados, para unconjunto de 5 situaciones de flujo transitorio con ruido.


6.5.4. Algoritmo

Seguir el mismo algoritmo que el expuesto en la seccion 6.4.4.


1. Los valores de los parametros K y ηε siempre deben ser positivos. Mas aun,el parametro ηε ∈ (0, 1). Valores muy cercanos a cero o negativos introduceninestabilidad o incluso no se encuentra una solucion numerica, ademas deque no tienen un significado fısico valido. Por ejemplo en la simulacionque utiliza un conjunto de 3 situaciones de flujo transitorio, el parametroidentificado K en algunos nodos es negativo y tuvo que ser interpolado. Encambio, para el ejemplo en que utilizamos un conjunto de 5 situaciones estefenomeno no ocurre, ver 6.32; y la reproduccion de los flujos del sistema esrazonablemente buena.

2. En estas simulaciones los parametros K y ηε son constantes con respecto ala variable temporal. De hecho el metodo no esta considerando este caso.Los terminos fuentes sı pueden no ser constantes conforme a la variabletemporal y el metodo esta disenado para soportar esta variante. De hecho enel ejemplo no hay una dependencia explıcita para la variable temporal, peroal utilizar terminos fuentes diferentes se esta haciendo constar la variaciontemporal del termino fuente.

3. El calculo de las derivadas parciales numericas espaciales se realizo utilizan-do el metodo de elementos finitos. Para el calculo de las derivada parcialnumerica temporal se utilizaron diferencias finitas atrasadas.

4. En los ejemplos donde los potenciales hidraulicos no tienen ruido, trabajarcon un dominio ampliado ayudaba a reducir el error inducido por utilizardatos numericos procedentes de estimar las derivadas parciales y mejorabala calidad de los parametros identificados. Como hemos visto en este ejem-plo, trabajar con un conjunto de datos pequeno y muy ruidoso induce aunmas error del que se puede manejar con la alternativa del dominio amplia-do. La solucion a este problema es utilizar un conjunto de datos mayor parareducir la incertidumbre.

5. Notemos que el error en la identificacion de parametros disminuyo conside-rablemente del caso en que utilizamos un conjunto de 3 situaciones, al casoen que utilizamos 5 situaciones. Aunque con 3 situaciones la identificaciones razonablemente buena, con 5 se refuerza y se obtienen mucho mejoresresultados. Es normal, pues entre mayor informacion tengamos se tienemenos incertidumbre y la probabilidad de identificar mejor los parametroses mayor.

Capıtulo 7

Implementacion Numerica del

MSDM

Este capıtulo esta dedicado a explicar los aspectos numericos que aparecierondurante el desarrollo del Metodo del Sistema Diferencial Modificado (MSDM).Como son la eleccion del dominio en el que se va a trabajar, la eleccion delmetodo para aproximar las derivadas parciales, la forma en que se modela laaccion de un pozo en el acuıfero, la forma de elegir la condicion inicial para elproblema de Cauchy la forma de generar el ruido aleatorio que se utiliza en losejemplos marcados como situaciones con flujos ruidosos y por ultimo el metodode regularizacion para trabajar con este tipo de situaciones.

7.1. Unidades del sistema

Las unidades con las cuales se trabajan en los ejemplos son las siguientes:

Para los potenciales hidraulicos las unidades son m/s.

Para la conductividad hidraulica las unidades son m2/s.

El coeficiente de almacenamiento es adimensional.

Para el termino fuente las unidades son m3/s. (Incluye todos los casos deextraccion y recarga).

7.2. Dominio ampliado

La aproximacion de las derivadas parciales numericas comunmente introduceerrores numericos en la zona de la frontera del dominio. Esto se debe a que el

117

118 CAPITULO 7. IMPLEMENTACION NUMERICA DEL MSDM

procedimiento que estamos utilizando introduce, por su naturaleza, condicionesde contorno de pendiente cero que rompen con la armonıa que tiene la derivadanatural, pues no se tiene mayor informacion en las zonas de la frontera. Notemospues, que estos errores numericos se van acarreando a medida que avancemos enel proceso de la identificacion de los parametros.

Debido a esto se decidio realizar la fase de experimentacion con un dominioampliado en 25 % mas de las dimensiones originales. Los resultados, como sepuede apreciar en el capıtulo anterior, son buenos. Se consiguio reducir significa-tivamente el error de aproximacion de las derivadas parciales en la frontera yademas se pueden identificar los parametros del modelo en todos los nodos deldominio. Esto es una ventaja en comparacion con el metodo expuesto en [11] y[13], en el cual se identifica el parametro solo para nodos interiores de la malla yluego proceden a hacer una interpolacion para encontrar los valores en los nodosexteriores, i.e. en la frontera.

7.3. Modelado de los pozos

El modelado de los pozos en un acuıfero es un tema complicado. Nuestromodelo matematico parte de la suposicion inicial de que el flujo es esencialmentehorizontal. Cuando existe un pozo en el acuıfero esta suposicion no es valida enuna region cerca del mismo, pues el flujo tiene un comportamiento completamentediferente (esencialmente vertical).

En los ejemplos que se presentan en el capıtulo 6 experimentamos con mode-lar el pozo y cierta region de influencia del mismo. La influencia se consideralineal decreciente dentro de esta region, es decir, en la posicion exacta del pozose considera una extraccion del 100% del valor de extraccion y a partir de allı seva reduciendo linealmente el porcentaje de extraccion hasta completar la regionde influencia (25m a cada lado). Dicha region se fijo en un rectangulo de 50m

considerando la extraccion principal del pozo en el centro de este rectangulo.En el grafico 7.1 suponemos que el pozo esta puesto en la coordenada (0,0), seilustra la region de influencia y el valor de extraccion que tendran los nodos den-tro de esta.

La experiencia demostro que esta manera de hacerlo es mejor que considerarla extraccion solo de forma puntual (i.e. en un nodo de la malla), ya que a medi-da que se va haciendo mas densa la malla, la extraccion puntual solo afecta losnodos vecinos los cuales cada vez estaran mas cercanos y por tanto a medida quedensificamos la malla minimizamos la region de influencia. En cambio al consi-derar una region de influencia, esta sera la misma no importa que tan densa sea

7.4. SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES MAL CONDICIONADOS 119

Figura 7.1: Modelado de un pozo considerando una region de influencia.

la malla.

7.4. Solucion de sistemas lineales mal condicionados

En el capıtulo 5 se expuso que las matrices de los sistemas lineales con losque trabajamos a lo largo del desarrollo del metodo son mal condicionados. Seeligio el metodo de descomposicion en en QR para resolver estos sistemas.

Sin embargo, cuando trabajamos con el MSDM para el caso de flujo transito-rio la matriz A involucrada en el sistema, ver (5.5), tiene la peculiaridad de estarmal escalada. En el sentido de que las primeras dos columnas de la matriz, gene-ralmente, tienen el mismo orden de magnitud, pero la tercera columna es siempremucho muy menor a comparacion de las primeras dos (esto es porque la terceracolumna contiene el valor de las derivadas temporales). Durante el desarrollo delos experimentos, se observo que realizar un sencillo cambio de variable al re-solver el sistema mejora considerablemente los resultados obtenidos. Este cambiode variable se presenta a continuacion.

Supongamos que

Ax = b

es el sistema de ecuaciones que debemos resolver, de tal modo que A es una matrizde dimension n × 3 mal escalada unicamente en la tercera columna comparadacon las otras dos, x ∈ R3 y b ∈ Rn. Entonces, el cambio de variable que ayuda aescalar el orden de magnitud de las columnas es

x = Py


donde

P =

1 0 00 1 00 0 M

.

y M ∈ R es un numero grande que escala la tercera columna.

7.5. Eleccion del nodo para la condicion inicial del Pro-

blema de Cauchy

En el trabajo realizado por Moreles et al, ver seccion 4 de [13], se estableceque para considerar estable al Metodo del Sistema Diferencial hay que tomar laruta de integracion de tal modo que

∑ruta

||~a||2

sea mınima en toda la ruta de integracion. Recordemos que a es la funcion vec-torial de (5.16).

En particular, esta afirmacion sugiere que el criterio de seleccion del nodo donde setomara la condicion inicial para resolver el problema de Cauchy dado por (5.15),debe ser que el nodo cumpla que la norma de las primeras dos componentes de a

sea mınima. Es decir,nodo = min||~a|| a2

1 + a22. (7.1)

En la practica, si se cuenta con el valor de la conductividad K dado en mas deun nodo, entonces se debe elegir de entre estos nodos aquel donde se cumpla lacondicion de mınima norma de las primeras dos componentes del vector ~a.

7.6. Generador de ruido aleatorio gaussiano

En esta seccion se especifica la forma en la cual se anadio ruido a los datos.

Sea h la funcion a la cual se le quiere anadir ruido gaussiano, sea ε la funcion quedescribe el ruido con distribucion normal de media µ y desviacion estandar σ ysea g la funcion que se obtiene despues de agregar ruido a h. Entonces,

g = h + ε

= h + µ + σf

donde f en este caso es una funcion de valores aleatorios generada con el comandorandn de MATLAB v 7.0.

7.7. SOFTWARE UTILIZADO 121

7.7. Software utilizado

El software utilizado para generar los datos del Problema Directo fue ”SIMAC”,Simulador de Acuıferos, el cual fue desarrollado como proyecto tecnologico por latesista durante el cuarto semestre de los estudios de maestrıa. El resto del codi-go, el metodo para resolver el Problema Inverso, esta implementado utilizando elpaquete informatico MATLAB 7.0

La aplicacion Simulador de Acuıferos es un sistema que esta disenado para fa-cilitar el proceso de modelado del flujo de agua de acuıferos confinados y noconfinados en geometrıas regulares e irregulares.

El flujo proveniente de fuentes externas, tales como pozos o rıos tambien puede sersimulado. Cubre los casos transitorio y estacionario en ambos tipos de acuıferos.La aplicacion apoya las siguientes actividades:

1. Simulacion de las alturas piezometricas del acuıfero.

2. Simulacion de flujos de agua del acuıfero.

3. Calculo del error en los flujos.

4. Asignacion de pozos en el dominio estudiado.

La aplicacion esta pensada para ser un plug in del software GiD. Para mas infor-macion acerca de este poderoso software puede consultar el sitio webhttp://gid.cimne.upc.es/index.html .

Los principales aspectos del sistema son:

Entrada de Datos:

Diseno de geometrıas complejas de forma rapida y funcional.

Permite que las conductividades o transmisividades hidraulicas y el coefi-ciente de almacenamiento varien espacialmente en el dominio.

Permite la agregacion de pozos, rıos, fuentes de recarga de forma facil.

Importacion de lista de tiempos para problemas transitorios.

Capacidades de Simulacion:

Incluye un par de poderosos solvers que eficientan el proceso de calculo.

Ofrece diversidad de elementos para el modelado, como son triangulos de 3y 6 nodos, cuadrilateros de 4, 8 y 9 nodos.


Despliegue de Resultados:

Permite realizar animaciones muy facilmente.

Nota: Puede obtener mas informacion de este software en el sitio webhttp://www.cimat.mx/∼langel

Figura 7.2: Interfaz principal del sistema SIMAC.

Figura 7.3: Interfaz para modelos de acuıferos de flujo estacionario.

7.7. SOFTWARE UTILIZADO 123

Figura 7.4: Interfaz para modelos de acuıferos de flujo transitorio.


Figura 7.5: Diagrama de flujo de datos del sistema SIMAC.

Figura 7.6: Resultado obtenido por el software SIMAC para una geometrıa realdel acuıfero Silao-Romita utilizando elementos cuadrilateros de 8 nodos.

7.8. SUAVIZADO DE FUNCIONES USANDO THIN PLATES 125

7.8. Suavizado de funciones usando Thin plates

La regularizacion de las funciones que se utilizaron en los experimentos conruido gaussiano fueron hechas con el metodo de suavizado mediante thin plates.En esta seccion se pretende dar la idea basica del metodo, no una revision ex-haustiva del mismo.

Consideremos un conjunto de datos (xi, yi)ni=1 tales que xin

i=1 cumplan lacondicion xi 6= xj si i 6= j ∀ i = 1, 2, ..., n. Es decir, debemos tener puntos distin-tos en el plano.

El spline suavizador de thin plates f es el unico minimizador de la suma ponder-ada

ρE(f) + (1− ρ)R(f), (7.2)

donde E(f) es la medida de error dada por

E(f) =∑

j

|yj − f(xj)|2 (7.3)

y R(f) es la medida de rugosidad dada por

R(f) =∫ (|D1D1f |2 + 2|D1D2f |+ |D2D2f |

). (7.4)

Aquı la integral se considera sobre todo el dominio R2. |z|2 denota la suma delos cuadrados de todas las entradas del z, y Dif denota la i-esima derivada par-cial de f . Entonces el integrando involucra las primeras y las segundas derivadasparciales de f . El parametro de suavizamiento ρ se elige de una forma ad hoc.

El valor del parametro ρ se encuentra en el intervalo [0, 1]. Por consecuencia,el spline suavizador tambien varia entre la aproximacion por mınimos cuadradosde los datos por un polinomio lineal cuando ρ = 0, al polinomio interpolante dethin plates de los datos, cuando ρ = 1.

Nota:Se utilizo la funcion tpaps de MATLAB 7.0 para generar los datos suavizados.

7.9. Aproximacion de derivadas parciales

El calculo de las parciales numericas involucradas en el sistema diferencialexpuesto en (5.5) puede ser realizado usando el metodos de diferencias finitaso de elemento finito. Para geometrıas regulares se pueden utilizar ambos meto-dos, sin embargo para geometrıas mas complicadas es muy util poder realizar las


estimaciones de las parciales de una manera practica y precisa. A continuaciondescribimos la forma en que estimamos las parciales numerica utilizando metodosde elemento finito.

Consideremos Ω ⊂ R2. Sea h : Ω → R tal que h ∈ C2. Supongamos que esta fun-cion se puede escribir como una combinacion lineal de funciones de la siguientemanera

h(x, y) =n∑

i=1

hiNi(x, y). (7.5)

Donde Ni ∈ H10 (R), ∀ i = 1, 2, . . . , n, son las funciones de forma y hi ∈ R, i =

1, 2, . . . , n. Y n es el numero de nodos del elemento que se utilice. De (7.5) sesigue que las parciales con respecto a las variables x y y se pueden escribir como

∂h

∂x=

n∑

i=1

hi∂Ni(x, y)

∂x, (7.6)

∂h

∂y=

n∑

i=1

hi∂Ni(x, y)

∂y. (7.7)

Por otro lado, las derivadas parciales son funciones que tambien se pueden ex-presar como combinacion lineal de las funciones Ni, entonces

hx :=∂h

∂x=

n∑

i=1

αi∂Ni(x, y)

∂x, (7.8)

hy :=∂h

∂y=

n∑

i=1

βi∂Ni(x, y)

∂y. (7.9)

Donde αi, βi ∈ R, ∀i = 1, 2, . . . , n. A continuacion se da el procedimiento quese debe seguir para estimar numericamente las derivadas parciales.

Procedimiento:

1. Calculamos las derivadas parciales en los puntos de Gauss.Sea G = (xg

j , ygj ) | j = 1, 2, . . . , K el conjunto de los puntos de Gauss para

el elemento que se este utilizando. Para (xgj , y

gj ) ∈ G denotamos el valor

de la derivada parcial en este punto para las variables x y y, segun (7.6) y(7.7), respectivamente como sigue

hxgj

:=∂h(xg

j , ygj )

∂x=

n∑

i=1

hi

∂Ni(xgj , y

gj )

∂x= ~Bx

∣∣(xg

j ,ygj )

~h, (7.10)

hygj

:=∂h(xg

j , ygj )

∂y=

n∑

i=1

hi

∂Ni(xgj , y

gj )

∂y= ~By

∣∣(xg

j ,ygj )

~h. (7.11)

7.9. APROXIMACION DE DERIVADAS PARCIALES 127

Donde,

~Bx =[∂N1

∂x,∂N2

∂x. . . ,

∂Nn

∂x

], (7.12)

~By =[∂N1

∂y,∂N2

∂y. . . ,

∂Nn

∂y

], (7.13)

~h = [h1, h2, . . . , hn]T . (7.14)

Luego, el valor de la derivada parcial en el elemento esta dada por

hexg :=

K∑

j=1

hxgj, (7.15)

heyg :=

K∑

j=1

hygj. (7.16)

2. Metodo de los residuos pesados.Aplicando el metodo de los residuos pesados (a nivel elemental) a las fun-ciones he

xg y hx, y a las funciones heyg y hy, se sigue que

∫

Ωe

ω(hexg − hx) dΩe = 0, (7.17)

∫

Ωe

ω(heyg − hy) dΩe = 0. (7.18)

donde ω es una funcion de forma y Ωe es el dominio elemental.

3. Metodo de Galerkin.Sustituyendo las ecuaciones (7.8) en (7.17), y (7.9) en (7.18). Tomandoω = Nk, k = 1, 2, . . . , n; se sigue que

∫

Ωe

Nkhexg dΩe =

∫

Ωe

Nk

n∑

i=1

αiNidΩe, (7.19)

∫

Ωe

Nkheyg dΩe =

∫

Ωe

Nk

n∑

i=1

βiNidΩe, (7.20)

4. Integracion numerica.Expresando las ecuaciones anteriores en su formulacion matricial se obtiene

(∫

Ωe

NT ×NdΩe

)~α =

∫

Ωe

NT hexg dΩe, (7.21)

(∫

Ωe

NT ×NdΩe

)~β =

∫

Ωe

NT heyg dΩe. (7.22)

(7.23)


Donde,

~N = [N1, N2, . . . , Nn] , (7.24)

~α = [α1, α2, . . . , αn]T , (7.25)~β = [β1, β2, . . . , βn]T . (7.26)

Los sistemas anteriores se resuelven utilizando metodos de cuadratura gaus-siana y finalmente se ensamblan los sistemas globales para obtener el resul-tado buscado.

Observacion: La segunda derivada se calcula a partir de la primera si-guiendo el mismo procedimiento.

Calculo de parciales numericas utilizando DF Se utilizaron los tres conoci-dos esquemas en diferencias finitas durante el calculo de las parciales numericaspara ambas variables, a saber:

Para los nodos interiores de la malla, se utilizaron diferencias finitas cen-tradas en el calculo de las derivadas de ambas variables.

Para los nodos de la frontera izquierda e inferior se utilizaron diferenciasfinitas atrasadas, parciales con respecto a x y parciales con respecto a y,respectivamente.

Para los nodos de la frontera derecha y superior se utilizaron diferenciasfinitas adelantadas, parciales con respecto a x y parciales con respecto a y,respectivamente.

Capıtulo 8

Conclusiones

Para terminar este trabajo de de tesis de maestrıa daremos una lista con lasobservaciones, comentarios y conclusiones finales.

El Metodo del Sistema Diferencial Modificado (MSDM) usando tecnicas deelemento finito para su desarrollo, mostro ser capaz de identificar con unmargen de error muy pequeno los parametros del modelo para un acuıferono confinado. Por tanto, de reproducir correctamente el flujo del sistema,el cual puede ser de gran utilidad para las personas que trabajan en laadministracion de recursos hıdricos.

El MSDM como cualquier otro metodo aplicable a problemas inversos engeofısica, resulta ser muy sensible a la calidad de los datos, por tantonecesita una calidad muy alta de los mismos. Gracias a los avances dela tecnologıa, este requisito hoy en dıa es factible pues se pueden realizarmediciones muy precisas. Sin embargo, los datos recolectados deben sercuidadosamente analizados antes de utilizarlos en la simulacion. Recordarque es de suma importancia utilizar conjuntos de datos linealmene inde-pendientes para que el metodo funciones correctamente.

El MSDM se puede aplicar en subregiones de un acuıfero e identificar losparametros directamente en la escala determinada por el espaciado de lospuntos donde se recolecto la informacion.

En [13] se menciona que hay un solo problema de Cauchy asociado al MSD.Por tanto, se puede decir que el principal problema del metodo es la apro-ximacion de las funciones vectoriales a y b de los sistemas (5.11) y (5.12)para el caso transitorio, y de los sistemas (5.39) y (5.40) para el caso esta-cionario. En este trabajo se presenta otra alternativa basada en una tecnica

129

130 CAPITULO 8. CONCLUSIONES

de elementos finitos para estimar dichas funciones, ver seccion 5.3.1. La cualresulto ser bastante efectiva, como se mostro en los ejemplos del capıtulo 6.

El MSDM mostro una eficiencia muy alta al resolver el problema inverso deidentificacion de parametros con errores menores del 10% en la mayorıa delos casos y para todos los nodos. Los nodos donde se detecto un incrementoconsiderable en el error fueron aquellos que se encuentran en regiones cer-canas a done se ubican los pozos. La explicacion de este fenomeno, creemos,es que se violan la hipotesis principal del modelo de que el comportamientodel flujo es esencialmente horizontal. Es intuitivo que en regiones cercanasa los pozos, el comportamiento del fluido es esencialmente vertical.

La calidad de los parametros identificados puede ser mejorada utilizando lamayor cantidad de conjuntos de datos posibles.

En situaciones reales los datos involucran ruido. El MSDM mostro dar muybuenos resultados en la prediccion de flujos de un acuıfero para estos casos.Ver ejemplos 6.3 y 6.5.

Los resultados de los experimentos demostraron que utilizar un metodode regularizacion (suavizamiento mediante Thin Plates) para tratar conlos datos ruidosos es una muy buena alternativa que produce excelentesresultados en este tipo de casos.

Las ventajas principales del MSDM son:

• Utiliza las mediciones que son usualmente recolectadas en acuıferospor razones de control o que pueden ser interpoladas a partir de estainformacion. Es decir, es facil conseguir la informacion basica inicialpara hechar a andar el metodo.

• Al estar basado en tecnicas de Elemento Finito, puede ser implementa-do para dominios regulares o irregulares sin que implique un aumentoen el costo computacional y sin tener que hacer el trabajo artesanalen la malla que implica el uso de esquemas como diferencias finitas.Ademas, se tiene la opcion de trabajar con una gran diversidad de ele-mentos en el esquema de discretizacion, no solo con cuadrilateros. Cabemencionar que en los ejemplos desarrollados en esta tesis se opto portrabajar con el tipo de elemento QU4 (cuadrilatero de 4 nodos), parapoder reproducir los ejemplos presentados en [11] y [13].

• Calcula valores de los parametros identificados para todos los nodosde la malla, incluyendo los nodos de la frontera.

• Se requiere el valor de la conductividad hidraulica en un solo punto deldominio para estimar este parametro sobre todo el terreno de estudio.

131

• No se necesita informacion a priori del coeficiente de almacenamientoen ningun punto del dominio. Pues recordemos que este se estima apartir de la conductividad hidraulica.

• Los valores de la conductividad hidraulica se pueden obtener sin lanecesidad de los valores del coeficiente de almacenamiento.

• No se necesita resolver un problema directo previamente.

• Toma en cuenta varios flujos con diferentes direcciones, todos sobre elacuıfero, usando los datos en el campo de flujos completo.

Las principales desventajas del MSDM son:

• Se requiere de una cantidad importante de datos historicos del compor-tamiento del acuıfero. Como ya hemos dicho, cuanto mas informacionse tenga mejor sera la calidad de los parametros identificados.

• Se requiere calibrar el parametro de suavizamiento. Lo cual es unacaracterıstica propia de los metodos de regularizacion.

Bibliografıa

[1] Bear, J. Hydraulics of Groundwater. McGraw-Hill, New York, 1979. [cited at p. 9, 19]

[2] Bear, J. and Verruijt, A. Modelling Groundwater flow and polution: with computerprograms for sample causes, volume 1. Springer, 1 edition, 1987. ISBN 1556080158.[cited at p. 40]

[3] Burden, L. Richard y Douglas, J. Analisis Numerico, volume 1. Math learning, 7maedition, 2001. 12 capıtulos. [cited at p. 55]

[4] Chavent, G. Identification of functional parameters in partial differential equations,in Identification of Parameters in Distributed System. Goodson, R. E. and M. Polis.American Society of Mechanical Engineers, New York, 1974. Pag 31-48. [cited at p. 70]

[5] Chavez, R. A., Pinales, M. A., Ducoing, C. R. y Cruz, J. J. Modelacion Aplicadaa Sistemas Acuıferos: Enfoques y Desarrollos en Mexico, volume 1. Impresos ABC,Leon, Guanajuato, Mexico, 1 edition, Septiembre 2006. Edicion limitada a 200ejemplares. [cited at p. 5]

[6] Davis, S.N. y De Wiest, R. Hidrogeologıa. Ediciones Ariel, 1971. pag 563.[cited at p. 19]

[7] Domenico, P. A. Concepts and Models in Groundwater Hydrology. McGraw-Hill,New York, 1972. [cited at p. 19, 26, 27]

[8] Douglas, J. Jr. and Dupont, T. Galerkin methods for parabolic equations. SIAMJournal in Numerical Analysis, 7(4):575–626, December 1970. [cited at p. 58, 59, 63,

64]

[9] Freeze, R. A. and Cherry, J. A. Groundwater. PrenticeHall, Inc, Englewood Cliffs,N.J, 1979. pag 604. [cited at p. 22, 23, 27]

[10] Freeze, R. A. and Witherspoon, P. A. Theoretical analysis of regional groundwaterflow: 2. effect of water table configuration and subsurface permeability variation.Water Resources Research, 3:623–634, 1967. [cited at p. 22, 23, 24]

[11] Ku, Alejandro. Una formulacion en elemento finito del sistema diferencial para laidentificacion de parametros en un acuıfero no confinado. Master’s thesis, Cen-tro de Investigacion en Matematicas, A. C., Callejon de Xalisco, S/N Mineral de

133

134 BIBLIOGRAFIA

Valenciana, Guanajuato, Diciembre 2001. Es del area de matematicas aplicadas.[cited at p. 81, 93, 114, 118, 130]

[12] Lin, C. and Segel, L. Mathematics Applied to Deterministic Problems in the NaturalSciences. SIAM, Philadelphia, 1988. [cited at p. 31]

[13] Moreles, M.A., Vazquez, R. and Avila F. The differential system method for para-meter identification; unconfined aquifer case. Computational Geosciences, 1(8):235–253, 2004. Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. [cited at p. 6,

71, 74, 81, 93, 118, 120, 129, 130]

[14] Onate, Eugenio. Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos. Anali-sis estatico lineal. CIMNE, Barcelona, Espana, 1ra edition, Septiembre 1995. ISBN:84-87867-00-6. [cited at p. 54, 55, 61]

[15] Ophori, D. and Toth, J. Influence of the location of production wells in unconfinedgroundwater basins: an analysis by numerical simulation. Canadian Journal of EarthSciences, 27(5):659–668, May 1990. ISSN 1480-3313. [cited at p. 24, 25]

[16] Parravacini, G., Guidici, M., Morossi, G. and Ponzini, G. Minimal a priori assig-nament in a direct method for determining phenomenological coefficients uniquely.Inverse Problems, 11(6):611–629, June 1995. [cited at p. 71, 73, 76]

[17] Pinder, George and Frind, Emil. Application of galerkin’s procedure to aquiferanalysis. Water Resources Research, 8(1):108–120, February 1972. [cited at p. 58, 59]

[18] Rudin, Walter. Functional Analysis. McGraw Hill, United States of America, 1rstedition, 1973. [cited at p. 51]

[19] Tarantola, Albert. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Esti-mation, volume 1. SIAM, United States of America, 1 edition, 2005. ISBN: 0-89871-572-5. [cited at p. 67]

[20] Toth, J. A theoretical analysis of groundwater flow in small drainage basins. Journalof Geophysical Research, 68:4795–4812, August 1963. [cited at p. 22]

[21] Toth, J. A conceptual model of the groundwater regime and the hydrogeologicenviroment. Journal of Hydrogeology, 10(2):164–176, February 1970. [cited at p. 22,

24, 26]

[22] Vazquez, R., Guidici, M., Ponzini, G. and Parravacini, G. The differencial sistemmethod for the identification of transmissivity and storativity. Transport in PorousMedia, 26:339–371, 1997. [cited at p. 71]

[23] Yeh, W-G. William. Review of parameter identification procedures in groundwa-ter hydrology: The inverse problem. Water Resources Research, 22(2):95 to 108,February 1986. Paper num 5W4047. [cited at p. 67, 69, 70]

[24] Zienkiewicz, O. C. and Taylor, L. R. The Finite Element Method, volume 1 ofSingapure. McGraw Hill, 4th edition, 1989. Basic Formulation and Linear Problems.[cited at p. 53, 55, 56]

Lista de Sımbolos y Abreviaciones

Abreviacion Descripcion Utilizado en

EDP Ecuacion Diferencial Parcial page 53EF Elemento Finito page 55ED Ecuacion Diferencial page 56PD Problema Directo page 58MEF Metodo de Elemento Finito page 58MDF Metodo de Diferencias Finitas page 58MSD Metodo del Sistema Diferencial page 71MSDM Metodo del Sistema Diferencial Modificado page 67QU4 Tipo de elemento finito que refiere a un

cuadrilatero de 4 nodospage 80

135

Indice de figuras

2.1. Esquema de un acuıfero confinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Esquema de un acuıfero libre o no confinado. . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Distribucion del agua subterranea en el perfil del subsuelo. . . . . . . 122.4. Clasificacion de la formacion geologica en base a la direccion de medicion

de K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. (a) Coeficiente de almacenamiento. (b) Porosidad Efectiva. . . . . . . 192.6. Porosidad efectiva a nivel microscopico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7. Modelo de flujo isotropico bidimensional, mostrando la distribucion

de los sistemas de flujo local, intermedio y regional de agua subterranea. 232.8. Diagramas esquematicos de zonas de: descarga, recarga y flujo lateral. 242.9. Esquema de un sistema de flujo representado con informacion de nive-

les estaticos medidos en pozos a diferentes profundidades. . . . . . . . 272.10. Definicion de zonas de recarga y descarga de acuerdo con la relacion

profundidad del pozo-profundidad al nivel estatico. . . . . . . . . . . . 28

3.1. Esquema del experimento que realizo Darcy en 1856. . . . . . . . . . . 333.2. Rango de validez de la Ley de Darcy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Datos para calculo del potencial del fluido para un flujo a traves de

un medio poroso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4. Manometro de laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5. Esquema para la suposicion de Dupuit. . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6. Esfuerzo total, esfuerzo efectivo y presion del fluido sobre un plano

arbitrario a traves de un medio poroso saturado. . . . . . . . . . . . . 43

6.1. Dominio ampliado y mallado utilizando elementos QU4. . . . . . . . . 806.2. Parametro K identificado y su error relativo para flujos de datos esta-

cionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3. Numeros de condicion de la matriz A para cada nodo de la malla. . . 866.4. K estimada modificada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

136

137

6.5. Error relativo entre K y Km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.6. Parametro K identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.7. Parametro K analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.8. Numeros de condicion de cada sistema diferencial para situaciones de

flujo estacionario con ruido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.9. Error relativo entre K y K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.10. Numeros de condicion de los sistemas diferenciales en todos los nodos

del dominio para datos de 3 situaciones de flujo transitorias. . . . . . . 986.11. Parametro K identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.12. Parametro K analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.13. Parametro ηε identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.14. Parametro ηε analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.15. Error relativo entre K y K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.16. Error relativo entre ηε y ηε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.17. Parametro K identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.18. Parametro K analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.19. Parametro ηε identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.20. Parametro ηε analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.21. Error relativo entre K y K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.22. Error relativo entre ηε y ηε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.23. Numeros de condicion de los sistemas diferenciales en todos los nodos

de la malla para datos de 5 situaciones de flujo transitorias. . . . . . . 1036.24. Parametro K identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.25. Parametro K analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.26. Parametro ηε identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.27. Parametro ηε analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.28. Error relativo entre K y K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.29. Error relativo entre ηε y ηε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.30. Numeros de condicion de los sistemas diferenciales en todos los nodos

de la malla para datos de 3 situaciones de flujo transitorias. . . . . . . 1106.31. Numeros de condicion de los sistemas diferenciales en todos los nodos

de la malla para datos de 5 situaciones de flujo transitorias con ruido. 1126.32. Parametro K identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.33. Parametro K analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.34. Parametro ηε identificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.35. Parametro ηε analıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.36. Error relativo entre K y K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.37. Error relativo entre ηε y ηε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.1. Modelado de un pozo considerando una region de influencia. . . . . . 1197.2. Interfaz principal del sistema SIMAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3. Interfaz para modelos de acuıferos de flujo estacionario. . . . . . . . . 122

138 INDICE DE FIGURAS

7.4. Interfaz para modelos de acuıferos de flujo transitorio. . . . . . . . . . 1237.5. Diagrama de flujo de datos del sistema SIMAC. . . . . . . . . . . . . . 1247.6. Resultado obtenido por el software SIMAC para una geometrıa real

del acuıfero Silao-Romita utilizando elementos cuadrilateros de 8 nodos.124

Indice de cuadros

2.1. Valores tıpicos de porosidad para materiales geologicos. . . . . . . . . 132.2. Valores tıpicos de permeabilidad para materiales geologicos. . . . . . . 15

6.1. Terminos fuentes con pozos para datos de flujo estacionario. . . . . . . 836.2. Potenciales hidraulicos para datos de flujo estacionario. . . . . . . . . 846.3. Mapas de contornos del sistema originales vs estimados con K, para

datos de flujo estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4. Mapas de contornos del sistema originales vs estimados con Km, para

datos de flujo estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5. Potenciales hidraulicos para datos de flujo estacionario con ruido. . . . 916.6. Mapas de contornos del sistema originales vs estimados con K, para

datos de flujo estacionario con ruido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.7. Posicion de los pozos y valores de extraccion para datos de flujo tran-

sitorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.8. Terminos fuentes con pozos para datos de flujo transitorio. . . . . . . 966.9. Potenciales hidraulicos para datos de flujo transitorio. . . . . . . . . . 976.10. Mapas de contornos del sistema originales vs estimados para un con-

junto de 3 situaciones de flujo transitorio. . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.11. Mapas de contornos del sistema originales vs estimados, para un con-

junto de 5 de flujo transitorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.12. Potenciales hidraulicos para datos de flujo transitorio con ruido. . . . 1086.13. Mapas de contornos del sistema originales vs estimados para datos de

3 situaciones de flujo transitorio con ruido. . . . . . . . . . . . . . . . 1116.14. Mapas de contornos del sistema originales vs estimados, para un con-

junto de 5 situaciones de flujo transitorio con ruido. . . . . . . . . . . 115

139

Documents

Identiﬂcaci¶on de par¶ametros de un Acu¶‡fero No Conﬂnado ... · mo se explicar¶a en el cap¶‡tulo 3, este modelo est¶a basado en la ley de Darcy y la ley de conservaci¶on